泰州市八年级上数学第二次月考试卷

泰州市八年级上数学第二次月考试卷一、选择题1．如图，以数轴的单位长度为边作一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，交数轴于点A ，则点A 表示的数为（ ）A ．12+B ．21-C ．2D ．322．计算3329a b a b a b a-（a ＞0，b ＞0）的结果是（ ） A ．53ab B ．23ab C ．179ab D ．89ab 3．已知二元一次方程组522x y x y -=-⎧⎨+=-⎩的解为41x y =-⎧⎨=⎩，则在同一平面直角坐标系中，两函数y ＝x ＋5与y ＝﹣12x ﹣1的图像的交点坐标为（ ）A ．（﹣4，1）B ．（1，﹣4）C ．（4，﹣1）D ．（﹣1，4）4．如图，以Rt ABC ∆的三边为边，分别向外作正方形，它们的面积分别为1S 、2S 、3S ，若12316S S S ++=，则1S 的值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．105．当12(1)a -+与13(2)a --的值相等时，则（ ）A ．5a =-B ．6a =-C ．7a =-D ．8a =-6．下到图形中，不是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知点M (1，a )和点N (2，b )是一次函数y =－2x ＋1图象上的两点，则a 与b 的大小关系是( ) A ．a ＞b B ．a =b C ．a ＜b D ．以上都不对 8．直线y=ax+b(a ＜0，b ＞0)不经过( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．下列各组数是勾股数的是( )A ．6，7，8B ．1，3，2C ．5，4，3D ．0.3，0.4，0.510．下列调查中，调查方式最适合普查（全面调查）的是（ ）A ．对全国初中学生视力情况的调查B ．对2019年央视春节联欢晚会收视率的调查C ．对一批飞机零部件的合格情况的调查D ．对我市居民节水意识的调查二、填空题11．4的算术平方根是 ．12．已知y 与x 成正比例，当x=8时，y=﹣12，则y 与x 的函数的解析式为_____． 13．如果等腰三角形的一个外角是80°，那么它的底角的度数为__________. 14．如果2x -有意义，那么x 可以取的最小整数为______．15．在平面直角坐标系中，点A （2，1）向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位后的坐标为______．16．阅读理解:对于任意正整数a ，b ，∵()20a b-≥，∴20a ab b -+≥，∴2a b ab +≥，只有当a b =时，等号成立；结论：在2a b ab +≥（a 、b 均为正实数）中，只有当a b =时，+a b 有最小值2ab .若1m ，1m m +-有最小值为__________．17．计算：32()x y -=__________．18．若点P （2−a ，2a+5）到两坐标轴的距离相等，则a 的值为____． 19．如图，在ABC ∆和EDB ∆中，90C EBD ∠=∠=︒，点E 在AB 上.若ABC EDB ∆∆≌，4AC =，3BC =，则DE =______.20．如图，在△ABC 中，PH 是AC 的垂直平分线，AH ＝3，△ABP 的周长为11，则△ABC 的周长为_____．三、解答题21．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，已知三角形ABC 的三个顶点的坐标分别为(3,6)A -，(1,2)B -，(5,4)C - （1）作出三角形ABC 关于y 轴对称的三角形111A B C （2）点1A 的坐标为 .（3）①利用网络画出线段AB 的垂直平分线L ；②P 为直线上L 上一动点，则PA PC +的最小值为 .22．计算：（1）2(43)x y - （2）(1)(1)x y x y +++-（3）2293169a a a a -⎛⎫÷- ⎪++⎝⎭（4）22222233a b a b a a a b a b a b b+-⎛⎫⋅-÷ ⎪-+-⎝⎭ 23．小明在学习等边三角形时发现了直角三角形的一个性质：直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半。

小明同学对以上结论作了进一步探究.如图1，在Rt ABC ∆中，190,2ACB AC AB ∠==，则：30ABC ∠=. 探究结论：（1）如图1，CE 是AB 边上的中线，易得结论：ACE ∆为________三角形. （2）如图2，在Rt ABC ∆中，190,,2ACB AC AB CP ∠==是AB 边上的中线，点D 是边CB 上任意一点，连接AD ，在AB 边上方作等边ADE ∆，连接BE .试探究线段BE 与DE 之间的数量关系，写出你的猜想加以证明.拓展应用：如图3，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(3,1)-，点B 是x 轴正半轴上的一动点，以AB 为边作等边ABC ∆，当点C 在第一象内，且(2,0)B 时，求点C 的坐标.24．某商场计划购进A 、B 两种新型节能台灯共100盏，这两种台灯的进价、售价如表所示：类型 价格 进价/（元/盏） 售价/（元/盏） A 型 30 45 B 型5070（1）若商场预计进货款为3500元，则这两种台灯各购进多少盏？（2）若商场规定B 型台灯的进货数量不超过A 型台灯进货数量的4倍，应怎样进货才能使商场在销售完这批台灯时获利最多？此时利润为多少元？ 25．阅读下列材料：459253 5252 请根据材料提示，进行解答： （17的整数部分是 ．（27的小数部分为m 11的整数部分为n ，求m +n 7的值．四、压轴题26．（1）探索发现：如图1，已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，直线l 过点C ，过点A 作AD ⊥l ，过点B 作BE ⊥l ，垂足分别为D 、E ．求证：AD ＝CE ，CD ＝BE ． （2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板MON 放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点O 重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点M 的坐标为（1，3），求点N 的坐标．（3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线y ＝﹣3x+3与y 轴交于点P ，与x 轴交于点Q ，将直线PQ 绕P 点沿逆时针方向旋转45°后，所得的直线交x 轴于点R ．求点R 的坐标．27．如图，在ABC ∆中，90,,8ACB AC BC AB cm ∠=︒==，过点C 做射线CD ，且//CD AB ，点P 从点C 出发，沿射线CD 方向均匀运动，速度为3/cm s ；同时，点Q 从点A 出发，沿AB 向点B 匀速运动，速度为1/cm s ，当点Q 停止运动时，点P 也停止运动．连接,PQ CQ ，设运动时间为()()08t s t <<．解答下列问题：（1）用含有t 的代数式表示CP 和BQ 的长度； （2）当2t =时，请说明//PQ BC ； （3）设BCQ ∆的面积为()2S cm，求S 与t 之间的关系式．28．在平面直角坐标系xOy 中，对于点(,)P a b 和点(,)Q a b '，给出如下定义：若1,(2),(2)b a b b a -≥⎧=<⎩'⎨当时当时，则称点Q 为点P 的限变点．例如:点(2,3)的限变点的坐标是(2,2)，点(2,5)--的限变点的坐标是(2,5)-，点(1,3)的限变点的坐标是(1,3)．（1）①点3,1)-的限变点的坐标是________；②如图1，在点(2,1)A -、(2,1)B 中有一个点是直线2y =上某一个点的限变点，这个点是________；（填“A ”或“B ”）（2）如图2，已知点(2,2)C --，点(2,2)D -，若点P 在射线OC 和OD 上，其限变点Q 的纵坐标b '的取值范围是b m '≥或b n '≤，其中m n >．令s m n =-，直接写出s 的值． （3）如图3，若点P 在线段EF 上，点(2,5)E --，点(,3)F k k -，其限变点Q 的纵坐标b '的取值范围是25b '-≤≤，直接写出k 的取值范围．29．已知ABC 和ADE 都是等腰三角形，AB AC =，AD AE =，DAE BAC ∠=∠．（初步感知）（1）特殊情形：如图①，若点D ，E 分别在边AB ，AC 上，则DB __________EC ．（填＞、＜或=）（2）发现证明：如图②，将图①中的ADE 绕点A 旋转，当点D 在ABC 外部，点E 在ABC 内部时，求证：DB EC =．（深入研究）（3）如图③，ABC 和ADE 都是等边三角形，点C ，E ，D 在同一条直线上，则CDB ∠的度数为__________；线段CE ，BD 之间的数量关系为__________．（4）如图④，ABC 和ADE 都是等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒，点C 、D 、E 在同一直线上，AM 为ADE 中DE 边上的高，则CDB ∠的度数为__________；线段AM ，BD ，CD 之间的数量关系为__________．（拓展提升）（5）如图⑤，ABC 和ADE 都是等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒，将ADE 绕点A 逆时针旋转，连结BE 、CD ．当5AB =，2AD =时，在旋转过程中，ABE △与ADC 的面积和的最大值为__________．30．如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为AC边上一动点，且不与点A点C重合，连接BD并延长，在BD延长线上取一点E，使AE＝AB，连接CE．（1）若∠AED＝20°，则∠DEC＝度；（2）若∠AED＝a，试探索∠AED与∠AEC有怎样的数量关系？并证明你的猜想；（3）如图2，过点A作AF⊥BE于点F，AF的延长线与EC的延长线交于点H，求证：EH2+CH2＝2AE2．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】先根据勾股定理求出正方形对角线的长，然后根据实数与数轴的关系解答即可.【详解】22112，∴点A2.故选C.【点睛】本题考查了勾股定理，以及实数与数轴，主要是数轴上无理数的作法，需熟练掌握．2．A解析：A【解析】【分析】23a b a a b a ⨯⨯即可求解． 【详解】解：∵a ＞0，b ＞0，23a b a a b a ⨯⨯=故选：A ． 【点睛】本题考查二次根式的性质与化简；能够根据二次根式的性质，将所求式子进行正确的化简是解题的关键.3．A解析：A 【解析】 【分析】根据一次函数与二元一次方程组的关系进行解答即可． 【详解】解：∵二元一次方程组522x y x y -=-⎧⎨+=-⎩的解为41x y =-⎧⎨=⎩∴在同一平面直角坐标系中，两函数y ＝x ＋5与y ＝﹣12x ﹣1的图像的交点坐标为：（-4,1） 故选：A. 【点睛】本题考查的是一次函数与二元一次方程组的关系，一般地，如果一个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标.4．B解析：B 【解析】 【分析】根据正方形的面积公式及勾股定理即可求得结果. 【详解】因为是以Rt ABC ∆的三边为边，分别向外作正方形， 所以AB 2=AC 2+BC 2 所以123S S S =+ 因为12316S S S ++= 所以1S =8故选：B 【点睛】考核知识点：勾股定理应用.熟记并理解勾股定理是关键.5．C解析：C 【解析】 【分析】根据题意列出等式，由负整数指数幂的运算法则将分式方程转化为一元一次方程求解即可. 【详解】依题意，112(1)3(2)a a --+=-，即3(1)2(2)a a +=-，解得7a =-，经检验7a =-是原分式方程的解， 故选：C. 【点睛】本题主要考查了负整数指数幂的运算及分式方程的解，熟练掌握相关运算知识及运算能力是解决本题的关键.6．C解析：C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义，依次对各选项进行判断即可. 轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴. 【详解】解：A 、是轴对称图形，故此选项错误； B 、是轴对称图形，故此选项错误； C 、不是轴对称图形，故此选项正确； D 、是轴对称图形，故此选项错误； 故选：C ． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形，熟记轴对称图形的定义，并能依据定义判断一个图形是不是轴对称图形是解决此题的关键.7．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】 ∵k=﹣2＜0，∴y 随x 的增大而减小， ∵1＜2，∴a ＞b ． 故选A ．8．C解析：C 【解析】 【分析】先根据一次函数的图象与系数的关系得出直线y ＝ax ＋b （a ＜0，b ＞0）所经过的象限，故可得出结论． 【详解】∵直线y ＝ax ＋b 中，a ＜0，b ＞0， ∴直线y ＝ax ＋b 经过一、二、四象限， ∴不经过第三象限． 故选：C ． 【点睛】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，即一次函数y ＝kx ＋b （k ≠0）中，当k ＜0，b ＞0时函数的图象经过一、二、四象限．9．C解析：C 【解析】 【分析】欲求证是否为勾股数，这里给出三边的长，只要验证222+=a b c 即可． 【详解】解：A 、222768+≠，故此选项错误；BC 、222345+=，故此选项正确；D 、0.3，0.4，0.5，勾股数为正整数，故此选项错误． 故选：C ． 【点睛】本题考查了勾股数的概念，一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数．验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，从而作出判断．10．C解析：C 【解析】 【分析】根据普查和抽样调查的特点解答即可． 【详解】解：A ．对全国初中学生视力情况的调查，适合用抽样调查，不合题意； B ．对2019年央视春节联欢晚会收视率的调查，适合用抽样调查，不合题意；C．对一批飞机零部件的合格情况的调查，适合全面调查，符合题意；D．对我市居民节水意识的调查，适合用抽样调查，不合题意；故选：C．【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的知识，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．二、填空题11．【解析】试题分析：∵，∴4算术平方根为2．故答案为2．考点：算术平方根．解析：【解析】试题分析：∵224，∴4算术平方根为2．故答案为2．考点：算术平方根．12．y=-x【解析】【分析】根据题意可得y=kx，再把x=8时，y=-12代入函数，可求k，进而可得y与x的关系式．【详解】设y=kx，∵当x=8时，y=-12，∴-12=8k，解得k=解析：y=-3 2 x【解析】【分析】根据题意可得y=kx，再把x=8时，y=-12代入函数，可求k，进而可得y与x的关系式．【详解】设y=kx，∵当x=8时，y=-12，∴-12=8k，解得k=-32，∴所求函数解析式是y=-32 x；故答案为:y=-32 x．【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，解题的关键是理解成正比例的关系的含义．13．40°【解析】【分析】根据三角形的外角性质和等腰三角形的性质求解．【详解】解：∵等腰三角形的一个外角为80°，∴相邻角为180°-80°=100°，∵三角形的底角不能为钝角，∴100解析：40°【解析】【分析】根据三角形的外角性质和等腰三角形的性质求解．【详解】解：∵等腰三角形的一个外角为80°，∴相邻角为180°-80°=100°，∵三角形的底角不能为钝角，∴100°角为顶角，∴底角为：（180°-100°）÷2=40°．故答案为40°．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是掌握三角形的内角和定理以及等腰三角形的性质．14．2【解析】【分析】根据被开方数大于等于0列式求解即可．【详解】根据题意得，x-2≥0，解得x≥2，∴x可以取的最小整数为2．故填：2.【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，根据解析：2【解析】【分析】根据被开方数大于等于0列式求解即可．【详解】根据题意得，x-2≥0，解得x≥2，∴x可以取的最小整数为2．故填：2.【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数大于等于列式求解即可，比较简单．15．（-1，-3）【解析】【分析】让点A的横坐标减4，纵坐标减2即可得到平移后的坐标．【详解】点A（2，1）向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，平移后点的横坐标为2−3＝−1；纵坐标解析：（-1，-3）【解析】【分析】让点A的横坐标减4，纵坐标减2即可得到平移后的坐标．【详解】点A（2，1）向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，平移后点的横坐标为2−3＝−1；纵坐标为1−4＝−3；即新点的坐标为（-1，-3），故填：（-1，-3）.【点睛】本题考查图形的平移变换，关键是要懂得左右平移只改变点的横坐标，左减右加；上下平移只改变点的纵坐标，上加下减．16．3【解析】【分析】根据（、均为正实数），对代数式进行化简求最小值．【详解】解：由题中结论可得即：当时，有最小值为3，故答案为：3．【点睛】准确理解阅读内容，灵活运用题中结论，解析：3【解析】【分析】根据a b +≥（a 、b进行化简求最小值． 【详解】1=1111m m m111m=111m 1211=31m m即：当1m 时，m m 3， 故答案为：3．【点睛】 准确理解阅读内容，灵活运用题中结论，求出代数式的最小值．17．【解析】【分析】根据积的乘方法则进行计算.【详解】故答案为：【点睛】考核知识点：积的乘方.理解积的乘方法则是关键.解析：62x y【解析】【分析】根据积的乘方法则进行计算.【详解】()2323262-=-=()x y x y x yx y故答案为：62【点睛】考核知识点：积的乘方.理解积的乘方法则是关键.18．a=-1或a=-7．【解析】【分析】由点P到两坐标轴的距离相等可得出|2-a|=|2a+5|，求出a的值即可．【详解】解：∵点P到两坐标轴的距离相等，∴|2-a|=|2a+5|，∴2-解析：a=-1或a=-7．【解析】【分析】由点P到两坐标轴的距离相等可得出|2-a|=|2a+5|，求出a的值即可．【详解】解：∵点P到两坐标轴的距离相等，∴|2-a|=|2a+5|，∴2-a=2a+5，2-a=-（2a+5）∴a=-1或a=-7.故答案是：a=-1或a=-7．【点睛】本题考查了点到坐标轴的距离与坐标的关系，解答本题的关键在于得出|2-a|=|2a+5|，注意不要漏解．19．5【解析】【分析】先根据勾股定理求得AB的长度，再由全等三角形的性质可得DE的长度. 【详解】解：在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4，BC=3，由勾股定理得：AB=5，∵△ABC≌解析：5【解析】【分析】先根据勾股定理求得AB 的长度，再由全等三角形的性质可得DE 的长度.【详解】解：在Rt △ACB 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，由勾股定理得：AB=5，∵△ABC ≌△EDB ，∴DE=AB=5.【点睛】本题考查勾股定理，全等三角形的性质.熟记全等三角形对应边相等是解决此题的关键. 20．17【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【详解】解：是的垂直平分线，，，的周长为11，，的周长，故答案为：17．【点睛】本题考解析：17【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质得到PA PC =，26AC AH ==，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【详解】解：PH 是AC 的垂直平分线，PA PC ∴=，26AC AH ==，ABP ∆的周长为11， 11AB BP PA AB BP BC AB BC ∴++=++=+=，ABC ∆∴的周长17AB BC AC =++=，故答案为：17．【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．三、解答题21．（1）见解析（2）点1A 的坐标为(3,6)；（3）①见解析②20.【解析】【分析】（1）首先确定A 、B 、C 三点关于y 轴的对称点位置A 1、B 1、C 1，再连接即可得到△ABC 关于y 轴对称的△A 1B 1C 1；（2）根据平面直角坐标系写出点1A 的坐标；（3）①根据垂直平分线的定义画图即可；②根据轴对称的性质以及两点之间线段最短得PA PC +的最小值为BC 的长，再由勾股定理求解即可.【详解】（1）如图所示：（2）点1A 的坐标为(3,6)；（3）①如图所示：②PA PC +的最小值为BC 的长，即2224+=20 【点睛】此题主要考查了作图--轴对称变换，以及三角形的面积，关键是掌握几何图形都可看作是由点组成，画一个图形的轴对称图形时，就是确定一些特殊的对称点．22．（1）2216249x xy y -+；（2）2221x xy y ++-；（3）3a a +；（4）22223()()a ab b a b a b +++- 【解析】【分析】（1）根据完全平方公式直接写出结果即可；（2）先将x y +看做一个整体运用平方差公式计算，再利用完全平方公式展开即可； （3）将分式利用平方差公式和完全平方公式分解因式，再约分化简即可；（4）运用分式的混合运算法则化简即可.【详解】（1）2(43)x y -=2216249x xy y -+；（2）2222(1)(1)()121x y x y x y x xy y +++-=+-=++-；（3）22293(3)(3)169(3)33a a a a a a a a a a a -+-⎛⎫÷-=⋅= ⎪+++-+⎝⎭； （4）22222233a b a b a a a b a b a b b +-⎛⎫⋅-÷ ⎪-+-⎝⎭ 22222()2()()3()a b a b a b a b a b a b a+-=⋅-⋅-+- 2222()13()()1a b a b a b a b a b +=⋅-⋅-+- 2222()3()()a b ab a b a b a b+=--+- 2224233()()a ab b ab a b a b ++-=+- 22223()()a ab b a b a b ++=+-. 【点睛】本题主要考查了整式得乘除法及分式的乘除法，熟练运用整式得乘法公式，幂运算，及分式的通分约分等计算技巧是解决本题的关键.23．（1）等边；（2）ED EB =，证明详见解析；（3）12(,C +.【解析】【分析】（1）易证,60AC AE A ︒=∠=，因此ACE ∆是等边三角形； （2）连接PE ，结合,ACP ADE ∆∆等边三角形的性质，利用SAS 可证CAD PAE ∆≅∆， 由全等的性质知90ACD APE ∠=∠=，结合等腰三角形三线合一的性质可得EA EB =，等量代换即得ED EB =；拓展应用：作AH x ⊥轴于,H CF OB ⊥于F ，连接OA ，易知AO 、AH 长，由题中结论可得30AOH ∠=，结合（2）中结论，利用HL 定理可证ABH OCF ∆≅∆，可知CF 长，易得点C 坐标.【详解】解：（1）190,2ACB AC AB ∠== 30ABC ∴∠=60A ∴∠=CE 是AB 边上的中线12AE AB ∴= AE AC ∴=ACE ∴∆是等边三角形．（2）结论：ED EB =．理由：连接PE ．∵,ACP ADE ∆∆都是等边三角形 ，,,60AC AD DE AD AE CAP DAE ∴===∠=∠=，CAD PAE ∴∠=∠，()CAD PAE SAS ∴∆≅∆，90ACD APE ∴∠=∠=，EP AB ∴⊥，∵PA PB =，EA EB ∴=，∵DE AE =，ED EB ∴=拓展应用：作AH x ⊥轴于,H CF OB ⊥于F ，连接OA ．∵(3,1),22,30A AO AH AOH -∴==∴∠=， 由（2）可知，,CO CB OC AC =∴=∵,1CF OB OF FB ⊥∴==，,()AH OF ABH OCF HL ∴=∴∆≅∆23CF BH ∴==+∴.C(1,2【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，直角三角形的特殊判定，等腰三角形的性质，属于三角形的综合探究题，灵活利用等边三角形及直角三角形的性质是解题的关键.24．（1）75盏；25盏（2）购进A型台灯20盏，B型台灯80盏；1900元【解析】【分析】（1）设商场应购进A型台灯x盏，表示出B型台灯为（100﹣x）盏，然后根据进货款＝A 型台灯的进货款+B型台灯的进货款列出方程求解即可；（2）设商场销售完这批台灯可获利y元，根据获利等于两种台灯的获利总和列式整理，再求出x的取值范围，然后根据一次函数的增减性求出获利的最大值．【详解】解：（1）设购进A型台灯x盏，则购进B型台灯（100﹣x）盏，由题意可得：30x+50（100﹣x）＝3500∴x＝75∴100﹣x＝25答：购进A型台灯75盏，购进B型台灯25盏；（2）设商场销售完这批台灯可获利y元，y＝15x+20（100﹣x）＝﹣5x+2000又∵100﹣x≤4x，∴x≥20∵k＝﹣5＜0，∴y随x的增大而减小∴当x＝20时，y取得最大值，最大值是1900．答：购进A型台灯20盏，购进B型台灯80盏时获利最多，此时利润为1900元．【点睛】本题考查了一次函数的应用，主要利用了一次函数的增减性，（2）题中理清题目数量关系并列式求出x的取值范围是解题的关键．25．（1）2；（2）1【解析】【分析】（1<（2<<，进而得出答案．【详解】解：（1<<<，∴232．故答案为：2； （2）由（1）可得出，72m =-， ∵91116<<，∴n ＝3，∴772371m n +-=-+-=．【点睛】本题考查的知识点是估算无理数的大小，估算无理数的大小要用逼近法，同时也考查了平方根． 四、压轴题26．（1）见解析（2）（4，2）（3）（6，0）【解析】【分析】（1）先判断出∠ACB=∠ADC ，再判断出∠CAD=∠BCE ，进而判断出△ACD ≌△CBE ，即可得出结论；（2）先判断出MF=NG ，OF=MG ，进而得出MF=1，OF=3，即可求出FG=MF+MG=1+3=4，即可得出结论；（3）先求出OP=3，由y=0得x=1，进而得出Q （1，0），OQ=1，再判断出PQ=SQ ，即可判断出OH=4，SH=0Q=1，进而求出直线PR 的解析式，即可得出结论.【详解】证明：∵∠ACB ＝90°，AD ⊥l∴∠ACB ＝∠ADC∵∠ACE ＝∠ADC+∠CAD ，∠ACE ＝∠ACB+∠BCE∴∠CAD ＝∠BCE ，∵∠ADC ＝∠CEB ＝90°，AC ＝BC∴△ACD ≌△CBE ，∴AD ＝CE ，CD ＝BE ，（2）解：如图2，过点M 作MF ⊥y 轴，垂足为F ，过点N 作NG ⊥MF ，交FM 的延长线于G ，由已知得OM ＝ON ，且∠OMN ＝90°∴由（1）得MF ＝NG ，OF ＝MG ，∵M （1，3）∴MF ＝1，OF ＝3∴MG＝3，NG＝1∴FG＝MF+MG＝1+3＝4，∴OF﹣NG＝3﹣1＝2，∴点N的坐标为（4，2），（3）如图3，过点Q作QS⊥PQ，交PR于S，过点S作SH⊥x轴于H，对于直线y＝﹣3x+3，由x＝0得y＝3∴P（0，3），∴OP＝3由y＝0得x＝1，∴Q（1，0），OQ＝1，∵∠QPR＝45°∴∠PSQ＝45°＝∠QPS∴PQ＝SQ∴由（1）得SH＝OQ，QH＝OP∴OH＝OQ+QH＝OQ+OP＝3+1＝4，SH＝OQ＝1∴S（4，1），设直线PR为y＝kx+b，则341bk b=⎧⎨+=⎩，解得1k2b3⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴直线PR为y＝﹣12x+3由y＝0得，x＝6∴R（6，0）．【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形是解本题的关键.27．（1）CP=3t，BQ=8-t；（2）见解析；（3）S=16-2t．【解析】【分析】（1）直接根据距离=速度⨯时间即可；（2）通过证明PCQ BQC≅，得到∠PQC=∠BCQ，即可求证；（3）过点C作CM⊥AB，垂足为M，根据等腰直角三角形的性质得到CM=AM=4，即可求解．【详解】解：（1）CP=3t ，BQ=8-t ；（2）当t=2时，CP=3t=6，BQ=8-t=6∴CP=BQ∵CD ∥AB∴∠PCQ=∠BQC又∵CQ=QC∴PCQ BQC ≅∴∠PQC=∠BCQ∴PQ∥B C（3）过点C 作CM⊥AB，垂足为M∵AC=BC，CM⊥AB ∴AM=118422AB =⨯=（cm ） ∵AC=BC，∠ACB=90︒∴∠A=∠B=45︒∵CM⊥AB∴∠AMC=90︒∴∠ACM=45︒∴∠A=∠ACM∴CM=AM=4（cm ） ∴118t 416222BCQ S BQ CM t ==⨯-⨯=- 因此，S 与t 之间的关系式为S=16-2t ．【点睛】此题主要考查列代数式、全等三角形的判定与性质、平行线的判定、等腰三角形的性质，熟练掌握逻辑推理是解题关键．28．（1）①)3,1；②B ；（2）3s =；（3）59k ≤≤．【解析】【分析】（1）利用限变点的定义直接解答即可；（2）先利用逆推原理求出限变点(2,1)A -、(2,1)B 对应的原来点坐标，然后把原来点坐标代入到2y =，满足解析式的就是答案；（3）先OC OD ，的关系式，再求出点P 的限变点Q 满足的关系式，然后根据图象求出m n ，的值，从而求出s 即可；（4）先求出线段EF 的关系式，再求出点P 的限变点Q 所满足的关系式，根据图像求解即可．【详解】解：（1）①∵2a =， ∴11b b ==-='，∴坐标为：)，故答案为：)； ②∵对于限变点来说，横坐标保持不变，∴限变点(2,1)A -对应的原来点的坐标为：()2,1-或()21--，， 限变点(2,1)B 对应的原来点的坐标为：()2,2，∵()2,2满足2y =，∴这个点是B ，故答案为：B ；（2）∵点C 的坐标为(2,2)--，∴OC 的关系式为：()0y x x =≤，∵点D 的坐标为(2,2)-，∴OD 的关系式为：()0y x x =-≥，∴点P 满足的关系式为：()()00x x y x x ≤⎧⎪=⎨->⎪⎩， ∴点P 的限变点Q 的纵坐标满足的关系式为：当2x ≥时：1b x '=--，当02x <<时：b x x '=-=，当0x ≤时，b x x '==-，图像如下：通过图象可以得出：当2x ≥时，3b '≤-，∴3n =-，当2x <时，0b '≥，∴0m =，∴()033s m n =-=--=；（3）设线段EF 的关系式为：()022y ax c a x k k =+≠-≤≤>-，，， 把(2,5)E --，(,3)F k k -代入得：253a c ka c k -+=-⎧⎨+=-⎩，解得：13a c =⎧⎨=-⎩， ∴线段EF 的关系式为()322y x x k k =--≤≤>-，， ∴线段EF 上的点P 的限变点Q 的纵坐标满足的关系式4(2)|3|3(22)x xb x x x -⎧'=⎨-=--<⎩， 图象如下：当x ＝2时，b ′取最小值，b '＝2﹣4＝﹣2，当b '＝5时，x ﹣4＝5或﹣x +3＝5，解得：x ＝9或x ＝﹣2，当b ′＝1时，x ﹣4＝1，解得：x ＝5，∵ 25b '-≤≤，∴由图象可知，k的取值范围时：59k ≤≤．【点睛】本题主要考查了一次函数的综合题，解答本题的关键是熟练掌握新定义“限变点”，解答此题还需要掌握一次函数的图象与性质以及最值的求解，此题有一定的难度．29．（1）=；（2）证明见解析；（3）60°，BD=CE ；（4）90°，AM+BD=CM ；（5）7【解析】【分析】（1）由DE ∥BC ，得到DB EC AB AC=，结合AB=AC ，得到DB=EC ； （2）由旋转得到的结论判断出△DAB ≌△EAC ，得到DB=CE ； （3）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定定理证明△DAB ≌△EAC ，根据全等三角形的性质求出结论；（4）根据全等三角形的判定和性质和等腰直角三角形的性质即可得到结论；（5）根据旋转的过程中△ADE 的面积始终保持不变，而在旋转的过程中，△ADC 的AC 始终保持不变，即可．【详解】[初步感知]（1）∵DE ∥BC ，∴DB EC AB AC=， ∵AB=AC ，∴DB=EC ，故答案为：=，（2）成立． 理由：由旋转性质可知∠DAB=∠EAC ，在△DAB 和△EAC 中AD AE DAB EAC AB AC ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝，∴△DAB ≌△EAC （SAS ），∴DB=CE ；[深入探究]（3）如图③，设AB ，CD 交于O ，∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形，∴AD=AE ，AB=AC ，∠DAE=∠BAC=60°，∴∠DAB=∠EAC ，在△DAB 和△EAC 中AD AE DAB EAC AB AC ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝，∴△DAB ≌△EAC （SAS ），∴DB=CE ，∠ABD=∠ACE ，∵∠BOD=∠AOC ，∴∠BDC=∠BAC=60°；（4）∵△DAE 是等腰直角三角形，∴∠AED=45°，∴∠AEC=135°，在△DAB 和△EAC 中AD AE DAB EAC AB AC ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝，∴△DAB ≌△EAC （SAS ），∴∠ADB=∠AEC=135°，BD=CE ，∵∠ADE=45°，∴∠BDC=∠ADB-∠ADE=90°，∵△ADE 都是等腰直角三角形，AM 为△ADE 中DE 边上的高，∴AM=EM=MD ，∴AM+BD=CM ；故答案为：90°，AM+BD=CM ；【拓展提升】（5）如图，由旋转可知，在旋转的过程中△ADE 的面积始终保持不变，△ADE 与△ADC 面积的和达到最大，∴△ADC 面积最大，∵在旋转的过程中，AC 始终保持不变，∴要△ADC 面积最大，∴点D到AC的距离最大，∴DA⊥AC，∴△ADE与△ADC面积的和达到的最大为2+12×AC×AD=5+2=7，故答案为7．【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转和全等三角形的性质和判定，旋转过程中面积变化分析，解本题的关键是三角形全等的判定．30．（1）45度；（2）∠AEC﹣∠AED＝45°，理由见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性质可求∠BAE＝140°，可得∠CAE＝50°，由等腰三角形的性质可得∠AEC＝∠ACE＝65°，即可求解；（2）由等腰三角形的性质可求∠BAE＝180°﹣2α，可得∠CAE＝90°﹣2α，由等腰三角形的性质可得∠AEC＝∠ACE＝45°+α，可得结论；（3）如图，过点C作CG⊥AH于G，由等腰直角三角形的性质可得EH EF，CH＝CG，由“AAS”可证△AFB≌△CGA，可得AF＝CG，由勾股定理可得结论．【详解】解：（1）∵AB＝AC，AE＝AB，∴AB＝AC＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∠ACE＝∠AEC，∵∠AED＝20°，∴∠ABE＝∠AED＝20°，∴∠BAE＝140°，且∠BAC＝90°∴∠CAE＝50°，∵∠CAE+∠ACE+∠AEC＝180°，且∠ACE＝∠AEC，∴∠AEC＝∠ACE＝65°，∴∠DEC＝∠AEC﹣∠AED＝45°，故答案为：45；（2）猜想：∠AEC﹣∠AED＝45°，理由如下：∵∠AED＝∠ABE＝α，∴∠BAE＝180°﹣2α，∴∠CAE＝∠BAE﹣∠BAC＝90°﹣2α，∵∠CAE+∠ACE+∠AEC＝180°，且∠ACE＝∠AEC，∴∠AEC＝45°+α，∴∠AEC﹣∠AED＝45°；（3）如图，过点C作CG⊥AH于G，∵∠AEC﹣∠AED＝45°，∴∠FEH＝45°，∵AH⊥BE，∴∠FHE＝∠FEH＝45°，∴EF＝FH，且∠EFH＝90°，∴EH2EF，∵∠FHE＝45°，CG⊥FH，∴∠GCH＝∠FHE＝45°，∴GC＝GH，∴CH2CG，∵∠BAC＝∠CGA＝90°，∴∠BAF+∠CAG＝90°，∠CAG+∠ACG＝90°，∴∠BAF＝∠ACG，且AB＝AC，∠AFB＝∠AGC，∴△AFB≌△CGA（AAS）∴AF＝CG，∴CH2AF，∵在Rt△AEF中，AE2＝AF2+EF2，2AF）2+2EF）2＝2AE2，∴EH2+CH2＝2AE2．【点睛】本题是综合了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定的动点问题，三个问题由易到难，在熟练掌握各个相关知识的基础上找到问题之间的内部联系，层层推进去解答是关键.。