2012南京市高三三模数学试卷
南京市名校2012届高三模拟考试 详细解答过程
南京市名校2012届高三模拟考试(南师附中)1. B 解析：试将各个单位转换为对应的物理量，则A 项为qUx ，不是力的表达式；B 项为qBv ，恰为洛仑兹力的表达式；C 项为BIv ，不是力的表达式；D 项为BS/t ，不是力的表达式．2. C 解析：两物体均做平抛运动，它们下降的高度不等，A 的高度大，则A 的运动时间长，但两物体的水平位移相等，所以A 的初速度应小一点．选项C 正确．3. D 解析：试在图中作出过各点的等势线，由“沿着电场线方向电势降低”知，b 点电势最高；图中c 点的电场线最稀疏，场强最小；正电荷由a 点移到b 点过程中电场力做负功，电荷电势能增大；负试探电荷由c 点移到d 点电场力做正功，电势能减小．4. A 解析：为研究C 点的张力，可以研究电线的CD 段，CD 段受自身重力、C 点向左的拉力、D 点斜向右上方的拉力，合力为零，所以C 点的张力最小．由B 、D 两点等高知，B 、D 两点的张力相等，所以A 点的张力大于B 、D 点的张力．在其他条件不变的情况下，缩短电线的长度，会增大线中张力．5. C 解析：在血液流动过程中，其中的正、负电荷会在洛仑兹力的作用下发生偏转，使上、下极板分别带上正、负电荷，形成由上向下的电场，直到qvB ＝q ud ，所以血液的流速为v ＝uBd ，流量为Q ＝πd 24·v ＝πdu 4B.6. ABC 解析：由F ＝G Mm r 2知，F 2F 1＝⎝⎛⎭⎫r 1r 22＝⎝⎛⎭⎫40372≈1.17，即引力约大17%；此时为“近地点”，月球速度最大；如果不减速，月球将沿椭圆轨道从近地点向远地点运动，即开始做离心运动；为使其做圆周运动，需使它适当减速；月球围绕地球运动，只能求出地球的质量．7. CD 解析：在K 1闭合，K 2、K 3断开的状态下，合上K 2瞬间电源对电容器充电，使电源内电压变大，路端电压减小，灯B 亮度降低；在K 1、K 2都闭合，K 3断开的状态下，断开K 1瞬间电容将原来已充的电量对外放电，这一瞬间的电压与原来是相同的，灯B 从原有亮度开始变暗；在K 1、K 2断开，K 3闭合的状态下，合上K 1，A 灯与电感串联，电流逐渐变大，灯A 逐渐变亮，B 灯立即变亮，由于灯A 的电流逐渐变大，路端电压会有所减小，灯B 后来稍稍变暗；在K 1、K 3闭合，K 2断开的状态下，断开K 1，则电感中的电流从原有电流值开始减小，A 、B 灯串联，两灯都逐渐变暗，并同时熄灭．8. AD 解析：由图乙知，交流的周期为0.02 s ，所以频率为50 Hz ；升压变压器副线圈输出电压的最大值为31 V ，有效值为22 V ；滑片P 向右移动时，负载电路的电阻减小，消耗功率变大，电流变大，远距离输电线路上的电压降也变大，使得降压变压器的输入、输出电压都变小；整个输电系统相当于电源内电阻不变，而外电路电阻减小，效率降低．9. AC 解析：撤去外力以后，物块的加速度大小为μg ，由图象可知两物块做减速运动的加速度大小相等，所以它们与地面间的动摩擦因数一定相同；由F －μmg ＝ma ，可得F ＝m(μg ＋a)，由于A 物块的质量小而加速度大，所以F 1与F 2的大小关系不确定；对两物块运动的全过程应用动能定理，有总功为零，力F 所做的功与滑动摩擦力做的功大小相等，从图象计算出两物块的位移，x A ＝15 m ，x B ＝17.5 m ，而A 物块的滑动摩擦力小，摩擦力做的功少，所以F 1对A 做的功一定小于F 2对物体B 所做的功；由功率P ＝Fv 知最大功率的大小关系是不确定的．10. (1) D 连线略(电流表外接法)(各1分，共2分) (2) Ⅰ. 开关S 不应闭合，应处于断开状态Ⅱ. 滑动变阻器的滑动触头P 位置不当，应将其置于b 端(各1分，共2分) ③ (2分)(3) 0.34～0.38都正确(2分)解析：(1)灯泡正常工作时的电阻为6.25 Ω，滑动变阻器不宜选用200 Ω的，只能选用5 Ω的“D ”，并采用分压式供电电路，由于电流表电阻约为1 Ω，应采用电流表的外接法，将电压表直接连到灯泡两端，连线略．(2)为安全起见，接线时应将开关S 处于打开状态；同时应将滑动变阻器所取的电压调到最小，滑键应置于最右端b.若导线③未连接好，则电路变为“限流式”，灯泡所得到的电压不可能为零．(3)小灯泡与阻值为 5.0 Ω的定值电阻串联后，灯泡得到的电压应为U ＝E －I(r ＋R)，将这一图线叠加在灯泡的U －I 图线上，则两线的交点即为灯泡的工作点，大约为1.2 V ，0.3 A ，功率为0.36 W.11. (1) 2.20或2.25(2分)⎝⎛⎭⎫d t B 2－⎝⎛⎭⎫d t A 22x(2分)(2) 注意：应为直线，标度的选取要合适(2分) D(2分) (3) 0.16(2分)解析：(1)注意游标卡尺为20分度，且游标尺的0刻度线与主尺2 mm 对齐，读作2.25 mm.由d t可求出滑块通过每一个光电门时的速度，由v 22－v 21＝2ax 可知，滑块的加速度a ＝v 22－v 212x＝⎝⎛⎭⎫d t B 2－⎝⎛⎭⎫d t A 22x.(2)描点，并将所描的点连线(略)．注意应为一条直线．由牛顿第二定律有mg －μ(M ＋m′)g ＝(M ＋m′＋m)a ，化简得a ＝（1＋μ）gM ＋m′＋m m －μg ，所以图线为一条直线是因为M ＋m′＋m 保持不变，即m′＋m 总是保持不变．(3)由图线的纵轴截距知，μ＝0.16.12A. (12分)(1) BD(4分) (2) 放出(2分) 0.5(2分) (3) V′＝N A ρVV 0M(4分) 解析：(1)油酸分子的直径应等于油酸体积除以油酸膜的面积；悬浮在液体中的固体颗粒越小碰撞的不均匀性越显著、液体的温度越高，碰撞的冲量越大，布朗运动越激烈；分子间的距离越小，分子间引力和斥力都越大；液晶具有各向异性．(2)水位缓慢升高时，密闭气体的温度不变，由ΔU ＝Q ＋W 知，气体对外放出0.5 J 的热量．(3)体积为V 的二氧化碳气体的质量为m ＝ρV ，其分子数为n ＝mM N A ，变成固体后体积为V′＝nV 0，解得V′＝N A ρVV 0M.12B. (12分)(1) BD(4分) (2) 先到达后壁(2分) 短(2分) (3) t ＝s v ＝2dn ccos β＝2×10－10 s(4分)解析：(1)粗糙斜面上的金属球由于存在阻力，其运动是阻尼运动；单摆的回复力为重力的一个分力，即F ＝mgsin θ，由于单摆的摆角小，所以sin θ约为xl，回复力的大小为F＝mgx l ，方向与位移x 相反；质点A 、C 的平衡位置之间的距离等于半个波长；由质点M 向下运动可知波向右传播．(2)根据相对论，闪光先到达后壁，并在运动方向上长度变短．(3)光路示意图如图所示，由sin α＝nsin β，得β＝30°，由题意及光路图得Δs ＝2dtan60°－2dtan30°，代入数值解得d ＝1.5 cm ，光在透明介质里传播的速度v ＝cn ，光在透明介质里的路程为s ＝2d/cos β，所以光在透明体里运动的时间t ＝s v ＝2dn ccos β＝2×10－10 s.12C. (12分)(1) AD(4分)(2) 310n(2分) (m U －m Ba －m Kr －2m n )c 2(2分) (3) 能级差ΔE ＝hν0(1分) E M ＝E 0－hν0(3分)解析：(1)黑体辐射电磁波的强度按波长的分布只与黑体的温度有关而与表面形状无关；比结合能越大，原子核中核子结合得越牢固，原子核越稳定；一切物体都具有波粒二象性；原子核衰变时，遵循能量守恒和动量守恒．(2)由电荷数和质量数守恒知，核反应方程中还应有3个中子10n ；由质能方程知，放出的能量为(m U －m Ba －m Kr －2m n )c 2.(3)能级差ΔE ＝hν0，由能量守恒E 0＋(0－E M )＝ΔE ，所以E M ＝E 0－hν0.13. (15分)解：(1) 由图知a 2＝10 m/s 2(1分)由牛顿第二定律mgsin θ＋μmg cos θ＝ma 2(2分) 解得μ＝0.5(1分)(2) 由图知a 1＝20 m/s 2(1分)由牛顿第二定律F －mg(sin θ＋μg cos θ)＝ma 1(3分) 解得F ＝30 N(1分)(3) 由图，风力F 作用时间为t 1＝0.2 s撤去风力后，物体继续向上运动时间为t 2＝v ma 2得t 2＝0.4 s(1分)向上的最大位移为x m ＝12v m (t 1＋t 2) 得x m ＝1.2 m以后物体下滑，由牛顿第二定律mgsin θ－μmg cos θ＝ma 3(2分) 解得a 3＝2 m/s 2 由x m ＝12a 3t 23(1分)得t 3＝65s 总时间为t ＝t 2＋t 3(1分) 代入数据得t ＝⎝⎛⎭⎫0.4＋65 s ≈1.5 s(1分) 14. (16分)解：(1) u CD ＝200 V 时，粒子获得最大速度v max (1分) 由动能定理eu CD ＝12mv 2max －12mv 20(2分)得v max ＝323×106 m/s(1分) (2) 最大半径R max ＝mv maxeB＝10 cm(1分)sin θ1＝l R max ＝35y min ＝R max (1－cos θ1)＋Ltan θ1＝11 cm(2分) 最小半径应满足R 2min ＝l 2＋⎝⎛⎭⎫R min －l 22(1分)∴ R min ＝7.5 cm ，sin θ2＝lR min ＝45y max ＝l2＋Ltan θ2＝19 cm(2分)∴ Δy ＝y max －y min ＝8 cm(1分) (3) R min ＝mv mineB(1分) eu AB1＝12mv 2min －E k0(2分)∴ u AB1＝60 V(1分)∴ n ＝u m －u AB1u m×2 000＝1 400个(1分)15. (16分)解：(1) 每个线圈穿过磁场过程中有电流的运动距离为2L ，t 穿＝2Lv (2分)E ＝BLv(1分) P ＝E 2R(1分)产生热量Q ＝P·t 穿＝B 2L 2v 2R ·2L v ＝2B 2L 3vR解得Q ＝2B 2L 3vR(1分)(2) 每个线圈从投放到相对传送带静止，运动的距离是一样的．设投放时间间隔为T ，则vt 图象如图所示．可得2L ＝v·T(1分) v ＝a·T(1分)传送带做加速运动f ＝μmg ＝ma(1分)在T 时间内，传送带位移为s 传＝vT ，线圈位移为s 线＝v2摩擦产生的热为Q 摩擦＝μmg·s 相对＝μmg·v2·T(2分)线圈中焦耳热Q 焦耳＝B 2L 2v 2R ·T有P·T ＝Q 摩擦＋12mv 2＋Q 焦耳(1分)代入以上各式，得P ＝mv 32L ＋B 2L 2v 2R(1分)(3) 为保持线圈通过磁场过程中不产生滑动，安培力必须不超过滑动摩擦力．应有BIL ＝B 2L 2vR≤μmg(2分)代入(2)中有关各式，得B ≤mvR2L 3(2分)南京市名校2012届高三模拟考试(金陵中学) 1. D 解析：AB 的实际高度约为50 cm ，曝光时间为0.01 s ，所以小球的速度约为50 m/s ，由v 2＝2gh 可知，h ＝v 22g ＝5022×10m ＝125 m ，选D.2. B 解析：滑动头向右移动一段，回路总电阻变小，总电流变大，由q ＝It 知两次时间不相等；全电路电功W ＝EIt ＝Eq ，所以两次全电路的功相等；在总电流变大后，内阻r 和R 1上分得的电压变大，R 2分得的电压变小，电流变小；电源内电阻上的电热Q ＝I 2rt ＝Irq ，两次不相等．3. A 解析：对B 球进行研究，有F ＝mgtan θ，对A 、B 整体研究，与细杆的滑动摩擦力为F ，对细杆的压力为2mg ，所以F ＝μ·2mg ，得μ＝12tan θ；增大水平恒力F 后，滑动摩擦力不会增大，系统将做加速运动．4. A 解析：小球先做平抛运动，后在斜面上做匀加速运动．所以小球的水平速度先保持不变，后均匀增大，图A 正确；竖直方向上一直做加速运动，加速度先是g ，后小于g ，图B 错；小球掉到斜面后加速度就发生了变化，时间应为Lv 0，图C 错误；由于速度是时间的一次函数，所以动能应是时间的二次函数，图D 错误．5. D 解析：由于x ＝L 这一点左侧的场强为负，右侧的场强为正，所以这两个电荷一定为负电荷；x ＝L 处场强为0，则A 、B 所带电荷量的比为1∶4；x ＝L 处的电势不一定为零；负电荷所受的电场力的方向与场强方向相反，所以移动过程中电场力先做正功，再做负功，电势能先减小后增大．6. ABD 解析：由于卫星在近地轨道运行，所以周期约为90 min ；坠落大气层前卫星的轨道半径会不断减小，引力做正功，速率越来越大；由于引力大于所需的向心力，卫星做向心运动；由于阻力的作用，机械能会不断减小，高度降低，重力势能减小，动能会变大．7. BD 解析：仅将交变电流的频率变为2倍，则副线圈的电压有效值不变；频率也变为2倍，等于100 Hz ；频率加大后，电感对交流的阻碍作用变大，灯L 2变暗；电容对交流的阻碍作用减小，灯L 3变亮．8. BC 解析：金属球在磁场中运动时，磁能量保持不变，没有电磁感应现象；t 0＝0时传感器中的拉力最大，小球应处于最低点，F 0－mg ＝m v 2L ，所以动能为E k ＝12mv 2＝（F 0－mg ）L2；t 1时刻以后传感器中的拉力的最大值、最小值都保持不变了，说明不再有电感感应现象，小球一直在磁场中运动，机械能守恒．9. CD 解析：当A 运动到最低点时，A 并不是处于平衡状态，而是具有向上的加速度，此时的弹簧拉力一定大于A 的重力mg ，虽然有m ≤M ，B 还是有可能离开地面的；A 速度最大时弹簧弹力才等于A 的重力；A 向下的运动一定是先加速后减速，重力的功率一定是先增大后减小；当B 对地面的压力刚好为零时，弹簧弹力等于Mg ，形变量为Mgk ，所以A物体下降了Mgk ，由机械能守恒知，弹簧的弹性势能等于A 物体减少的重力势能，即mgh ＝mg·Mgk＝mMg 2/k.10. (8分)(1) 无关 (2) 乙 (3) 砂和砂桶质量 C解析：(1)设木板倾角为θ时摩擦力被平衡，有mgsin θ＝μmg cos θ，显然与小车质量无关．(2)甲小组的砂和砂桶的总质量变化幅度太小，对小车的拉力变化不大，比较合理的是乙小组．(3)应保持拉力不变，即保持砂和砂桶的总质量不变．在小车质量不断减小后，系统的加速度越来越大，砂和砂桶的失重现象越来越明显，小车的加速度不断趋近于重力加速度g ，图C 正确．11. (10分)(1) R A (2) 如图 45 (3) 0.45～0.46 Ω皆可 (4) 如图解析：(1)分析图甲电路可知，该同学利用了并联电路的分流原理，由于电流表A 1的量程为0.6 A ，而电流表G 的量程为10 mA ，所以当两表指针偏转角度均比较明显时，两支路的电流之比约为1∶50，电阻之比约为50∶1，所以R 1最好选用R A .(2)由I g (R g ＋R 1)＝(I －I g )R 2可求得I g ＝R 2R g ＋R 1＋R 2I ，结合图象斜率，可求出电流表电阻为45 Ω.(3)由分流原理有0.01×45＝0.99·R ，求得R ＝0.45 Ω.(4)连线略．12 A. (12分)(1) BCD (2) 放热 大于 (3) 5×1010个解析：(1)气筒压下后，空气分子间距离仍大于r 0，分子间的作用力仍表现为引力．反弹是因为气体体积减小压强增大．(2)由图中数据可知，A 、B 两状态气体的pV 乘积相等，所以气体的温度相等，内能相等，而气体的体积减小，外界对气体做功，所以气体对外放热．B →C 的过程为等容降压，气体对外放热，内能减小，温度降低，有t B ＞t C ，所以有t A ＞t C .(3) 设小颗粒边长为a ，放大600倍后，则其体积V ＝(600a)3＝0.1×10－9 m 3实际体积V′＝a 3＝10－16216m 3质量m ＝ρV′＝2524×10－15 kg 含分子数为N ＝m 1.2×10－2×6.0×1023个≈5×1010个． 12B. (12分)(1) AC (2) 0 10 (3)63R 解析：(1)全息照相利用的是光的干涉原理，激光光源的相干性好；双缝干涉现象中，条纹间距与光的波长成正比，绿光改为紫光后，条纹间距变小；由多普勒效应可知，光的波长变长，说明光源正远离我们而去；加偏光镜可以挡住玻璃表面反射的偏振光，从而拍清玻璃里面的物体．(2) 由图b 知，t ＝0.05 s 时位于原点O 的质点的位移为0；周期为T ＝0.2 s ，由图a 知，波长λ＝2 m ，所以波速为v ＝λT＝10 m/s.(3) ① 光路图如图② 由几何关系可知光从P 点射入时的入射角θ＝60°， 由折射定律：n ＝sin60°sin γ得折射角：γ＝30°；由几何关系可知：∠PON ＝15°；∠PNO ＝45° 由正弦正理：sin ∠OPN R ＝sin ∠PNO OP ；得OP ＝63R.12C. (12分)(1) CD(2) 6 0.65 (3) ① m 2v 0＝m 3v v ＝m 2m 3v 0② hf ＝(m 1＋m 2－m 3)c 2＋12m 2v 20－12m 3v 2 f ＝（m 1＋m 2－m 3）c 2h ＋12hm 2v 20⎝⎛⎭⎫1－m 2m 3 解析：(1)作为示踪原子，主要是利用它的半衰期短，影响小的性质；α粒子散射实验仅表明原子中的主要质量和正电荷应该集中在一个很小的区域，并不能说明原子核可以再分；电子的衍射现象表明实物粒子具有波动性；太阳内部发生的轻核聚变反应，也叫热核反应．(2)从n ＝4向下跃迁可以有6种可能，放出6种频率的光子．n ＝4到n ＝2释放的能量为2.55 eV ，可使铯发生光电效应，光电子的最大初动能为2.55－1.9＝0.65 eV.(3)见答案13. (15分)解：(1) 金属棒的速度最大时，所受合外力为零，即BIL ＝F而P ＝F·v m ，I ＝BLv mR ＋r(2分)解出v m ＝P （R ＋r ）BL ＝4×（2＋2）2×0.5m/s ＝4 m/s(2分)(若根据图象求解，同样给分)(2) 速度为2 m/s 时，感应电动势E ＝BLv ＝2×0.5×2 V ＝2 V 电流I ＝E R ＋r ＝22＋2A ＝0.5 A ，安培力F 安＝BIL ＝2×0.5×0.5 N ＝0.5 N(2分) 金属棒受到的拉力F ＝P v ＝42 N ＝2 N(1分)牛顿第二定律：F －F 安＝ma(1分)解出a ＝F －F 安m ＝2－0.50.2 m/s 2＝7.5 m/s 2(2分)(3) 在此过程中，由动能定理得 Pt ＋W 安＝12mv 2m －12mv 2，(2分)而W 安＝－(Q R ＋Q r )＝－2Q R ＝－2×3.2 J ＝－6.4 J(2分)解出t ＝mv 2m －mv 20－2W 安2P ＝0.2×42－0.2×12＋2×6.42×4s ＝7940 s ＝1.975 s(1分)14. (16分)解：(1) m 2到达D 点速度为零，由动能定理m 1gR －μm 2gR ＝0(2分) μ＝0.5(2分)(2) 球Ⅱ向右运动过C 点后加速度是a －μm 2g ＝(m 1＋m 2)a(1分) 球Ⅰ对杆弹力－F ＝m 1a F ＝53N(1分)球Ⅰ经过B 点速度为v ，有m 1gR ＝(m 1＋m 2)v 2/2(1分) 球Ⅰ经过B 点时轨道对球Ⅰ的弹力F N －m 1g ＝m 1v 2R (2分)F N ＝8.3 N(1分)(3) 下滑至D 过程－W f ＝0－m 1gR(2分)从D 点反弹直到球Ⅰ回到A 点过程W 弹－W f ＝m 1gR(2分) W 弹＝2m 1gR ＝10 J弹簧的弹性势能E p ＝W 弹＝10 J(2分) 15. (16分)解：(1) 由相关规律可得 d 1＝12at 20(1分)qE 0＝ma(1分)由此解得d 1＝2π2mE 0qB 2(1分) (2) 粒子在第一、第三这两段t 0时间内做匀加速直线运动，总位移为 y ＝4d 1＝8π2mE 0qB 20(2分)粒子在第二段t 0时间内做匀速圆周运动，半径r 1<d 1，因而在这段时间内粒子不会碰到A 板．粒子在最后0.25t 0做匀速圆周运动，转过1/4圆周而恰好到达B 板，于是由v ＝qE 0m 2t 0 qvB 0＝mv 2r (2分)可得r ＝4πmE 0qB 20(1分)所以得d 2＝y ＋r ＝4π（2π＋1）mE 0qB 20(1分)(3) 由相应规律依次有y 1＝12qE 0m ⎝⎛⎭⎫t 022＝π2mE 02qB 20v 1＝qE 0m ⎝⎛⎭⎫t 02＝πE 0B 0 r 1＝mv 1qB 0＝πmE 0qB 20 y 2＝8y 1＝4π2mE 0qB 20v 2＝3v 1＝3πE 0B 0 r 2＝3r 1＝3πmE 0qB 20 y 3＝16y 1＝8π2mE 0qB 20……若带电粒子没有碰及B 板，则它的运动轨迹示意图如下图所示：由于y 1＋y 2＋r 2＜d 2，而y 1＋y 2＋y 3＞d 2，所以粒子经过3.5t 0即在t ＝4t 0时刻仍未碰及B 板．由d 2＝12at 2有4π（2π＋1）mE 0qB 20＝12·qE 0m ·t 2，解得t ＝4π＋2πt 0，所以粒子撞击B 板的总时间为t 总＝⎝⎛⎭⎪⎫4π＋2π＋2t 0， 发生的水平位移为x ＝4(r 1＋r 2)＝16r 1＝8πmE 0qB 20.。
江苏省重点中学2012届高三质量检测(三)数学
江苏省重点中学2012届高三质量检测(三)数学试卷Ⅰ012.4一、填空题（本大题共14小题,每小题5分，计70分）1.点(－2，t）在直线2x－3y+6=0的上方，则t的取值范围是▲．2．一组数据的方差为2s,将这组数据中的每一个数都乘以2,所得到的一组新数据的方差是▲．3.设x是纯虚数，y是实数，且yxi yyix+--=+-则,)3(12等于▲．4。
当太阳光线与地面成θ角时，长为l的木棍在地面上的影子最长为▲．5.定义符号函数()()()10sgn0010xx xx⎧>⎪⎪==⎨⎪-<⎪⎩，则不等式:xxx sgn)12(2->+的解集是▲．6。
一个正整数数表如下（表中下一行中的数的个数是上一行中数的个数的2倍)：则第8行中的第5个数是▲7.已知分别为与的重心，且12A A =e 1,12B B =e 2, 12C C =e 3，则12G G =▲ ．(用e 1、e 2、e 3表示)8。
若框图所给的程序运行的结果为S=132，那么判断框中应填入的关于k 的判断条件是 ▲ ． 9已知：0x y >> ，且1xy =， 若22()x y a x y +≥-恒成立,则实数a 的取值范围是▲ ．10．已知函数)(x f 的导数()(1)(),f x a x x a '=+-若()f x x a =在处取到极大值，则a 的取值范围是 ▲ ．11。
一直角三角形的两直角边长都是区间(]0,1内的随机数，则斜边长度小于3/4的概率为 ▲ ．12.将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里,这个正四面体的高的最小值为 ▲ ．13．已知椭圆与x 轴相切，两个焦点坐标为F 1（1，1）,F 2（5,2)，则其长轴长为 ▲ ．14。
集合方程}1,0{)(=R Q P 有序解（P,Q ，R ）的个数为 ▲ ． 二、解答题（本大题共6小题，计90分） 15．(本小题满分14分）已知O 为原点,(,0),(0,),A a B a a 为正常数,点P 在线段AB 的延长线上，且AP t AB =，求OA OP ⋅的取值范围。
江苏省南京市高三数学第二次模拟考试试卷
江苏省南京市2012届高三3月第二次模拟考试数学试卷数学试卷一．填空题1.已知集合}|{},,02|{2a x x B R x x x x A ≥=∈≤-=,若B B A =⋃,则实数a 的取值范围是_______________2.已知i b ii a -=+3，其中R b a ∈,，i 为虚数单位，则b a +=_____________ 3.某单位从4名应聘者A,B,C,D 中招聘2人，如果这4名应聘者被录用的机会均等，则A,B 两人中至少有1人被录用的概率是________________4.某日用品按行业质量标准分为五个等级，等级系数X 依次为1,2,3,4,5，现从一批该日用品中随机抽取200件，对其等级系数进行统计分析，得到频率f的分布表如下：则在所抽取的200件日用品中，等级系数X=1的件数为_______________5.已知变量x,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≥+.2,1,2y y x y x 则目标函数y x z +-=2的取值范围是_________6.已知双曲线1222=-y ax 的一条渐近线方程为02=-y x ,则该双曲线的离心率e=_______7.已知圆C 经过直线022=+-y x 与坐标轴的两个交点,又经过抛物线x y 82=的焦点,则圆C 的方程为________________8.设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，若3163=S S ,则=76S S _____________ 9.已知函数)2||,0,0)(sin(πϕωϕω<>>+=A x A y 的部分图像如图所示，则ω的值为___10.在如果所示的流程图中，若输入n 的值为11.则输出A 的值为______11.一块边长为10cm 的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点P 为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥容器，当x=6cm 时，该容器的容积为__________________3cm .12.下列四个命题：（1）“01,2≤+-∈∃x x R x ”的否定;(2)“若2,062>≥-+x x x 则”的否命题；(3)在ABC ∆中，“o A 30>”是“21sin >A ”的充分不必要条件； (4)“函数)tan()(ϕ+=x x f 为奇函数”的充要条件是“)(Z k k ∈=πϕ”.其中真命题的序号是____________________(真命题的序号都填上)13.在面积为2的ABC ∆中，E,F 分别是AB ，AC 的中点，点P 在直线EF 上，则2+⋅的最小值是______________14.已知关于x 的方程03)2(log 22222=-+++a x a x 有唯一解，则实数a 的值为________二、解答题15．（本题满分14分）设向量a ＝(2，sin θ)，b ＝(1，cos θ)，θ为锐角（1）若a ·b =613,求sin θ+cos θ的值； （2）若a //b ,求sin(2θ+3π)的值．16. （本题满分14分）如图，四边形ABCD 是矩形，平面ABCD ⊥平面BCE ，BE ⊥EC.（1） 求证：平面AEC ⊥平面ABE ；（2） 点F 在BE 上，若DE//平面ACF ，求BEBF 的值。
13--南京市2012届高三第三次模拟考试
南京市2012届高三第三次模拟考试1. B 解析：由于物块沿斜面上滑，所以物块对斜面的作用力为垂直于斜面向右下方的压力和平行于斜面向右上方的滑动摩擦力，都有向右的分力，所以地面对斜劈有摩擦力，方向向左．2. C 解析：电压表接在定值电阻R 0两端，所以U 越大，表示电流越大，回路电阻越小，传感器电阻越小，表示c 越大．由闭合电路欧姆定律有U ＝IR 0＝E R 0＋r ＋kcR 0，显然c大U 大，但U 与c 不成正比．3. D 解析：由图知，输出电压的最大值为12 V ，故u ＝12sin100πt V ；电压的有效值为6 2 V ，副线圈总电流为0.4 2 A ，而原线圈电流为0.04 A ，所以原、副线圈的匝数比为102∶1；断开S 后，电路消耗功率变小，原线圈输入功率变小；原线圈电流变小．4. C 解析：竖直平面内的AB 光滑杆是以初速度v 0的平抛运动轨迹制作的，设末速度为v 1，则v 1的水平分量大小为v 0.现由静止释放小球，它到达底端时的速度大小一定小于v 1，而方向与v 1一定相同，所以末速度的水平分量一定小于v 0；运动时间一定大于sv 0；由机械能守恒定律有：mgh ＝12mv 2，而h ＝12gt 2＝12g ⎝⎛⎭⎫s v 02，联立得v ＝gsv 0；轨道是依平抛运动的轨迹制作的，所以轨道末端与水平方向的夹角α由平抛运动的速度方向决定，有sin α＝v yv 2x ＋v 2y＝g s v 0v 20＋g 2s 2v 2＝gsv 40＋g 2s 2，小球运动到末端时重力的瞬时功率为P ＝mgvsin α＝mg gs v 0·gs v 40＋g 2s 2＝mg 3s 2v 0v 40＋g 2s2.选项C 正确．5. A 解析：由于是两等量正电荷，所以，左侧电荷的左边场强向左(为负)，右侧电荷的右边场强向右(为正)，由此排除BD 两选项；考虑到左侧电荷与原点之间的场强应该为正，右侧电荷与原点之间的场强应该为负，只有A 选项正确．6. AC 解析：卫星的向心加速度由万有引力提供，a ＝GMr2，所以静止轨道卫星的向心加速度比中轨道卫星的小；由G Mm r 2＝m v 2r 有v ＝GM r <GMR，地球卫星的运行速率都小于第一宇宙速度；由G Mm r 2＝m ⎝⎛⎭⎫2πT2r 得T ＝2πr 3GM ＝2πGM·r 3，所以中轨道卫星的周期约为T ＝⎝⎛⎭⎫2794243×24 h ＝12.7 h ；赤道上的物体随地球自转的角速度与静止轨道卫星的角速度相等，由a ＝ω2r 知，赤道上的物体向心加速度小．7. AB 解析：A 、B 两球间的库仑吸引力大小相等，由于释放时加速度之比为2∶1，所以质量之比为m A ∶m B ＝2∶1.由于固定C 球后A 、B 两球刚释放时加速度大小相等，C 球必带正电，现设A 、B 间距离为2l ，C 球的带电量为Q ，则B 球的加速度一定向左，A 球的加速度可能向左、可能向右，所以有k2qq （2l ）2k 2qQ l 2m 1＝±k 2qq （2l ）2＋k 2qQl 2m 2，解得Q ＝110q 和Q＝12q. 8. BC 解析：由功的计算式W ＝Fx 可知，Wx 图线的斜率表示力F 的大小，第一阶段力F 为5 N ，第二阶段力F 为2 N ，由于滑动摩擦力为2 N ，所以第一阶段的合力为3 N ，加速度为1.5 m/s 2；位移3 m 时速度为3 m/s ，用时2 s ；第二阶段合力为0，做匀速运动，速度保持为3 m/s ，x ＝6 m 时，拉力的功率是P ＝Fv ＝2×3 W ＝6 W ；x ＝3 m 至x ＝9 m 的过程中，物体做匀速运动，合力做的功是0.9. BCD 解析：下落h 的过程中，h ＝122，末速度为v 1＝gt ，加了电场后，在相同时间回到出发点，小球做匀减速运动，以向下的初速度v 1的方向为正方向，则位移为－h ，有－h ＝(gt)t －122，解得a ＝3g ，所以qE ＝4mg.从加电场到小球返回到出发点的过程中，小球电势能减少了qEh ＝4mgh ；加电场时小球的动能等于释放后减少了的重力势能mgh ，加电场后到最低点时速度为0，动能减少了mgh ；由于a ＝3g ，小球将继续下降13h ，重力势能一共减少43mgh ；由动能定理，回到出发点时qEh ＝12mv 2，解得v ＝8gh.10. (1) 将木板稍稍倾斜，轻轻推动小车，若两个光电传感器记录时间相同，就表明平衡了摩擦力(2分)(2) t －2(2分) 在质量一定时，加速度与力成正比(2分) (3) 甲(2分)解析：(1) 适当抬高木板的左端，轻推小车，给它一个小的初速度，如果遮光条通过两个光电门的时间相等，则表示小车做匀速运动．(2) 由于小车做匀加速运动，已知小车从释放到光电门2的位移x ，设遮光条的宽度为d ，则有⎝⎛⎭⎫d t 2＝2ax ，得a ∝1t 2，所以应以t －2为纵轴；如果是一条直线，表示质量一定时加速度与力(重物重力)成正比．(3) 在重物质量不断增大后，系统的加速度越来越大，重物的失重现象越来越明显，重物的加速度增加得越来越慢．(或者说，在重物质量不断增大后，系统的加速度在向极限值重力加速度g 靠近，不会超过g.)选图甲．11. (1) B C F(3分) (2) 0.183(0.181～0.185)(2分)(3) 见图(3分)说明：图中电压表连接线柱b 也正确． (4) πkd 24I(2分)解析：(1) 由于电源的电动势为3 V ，所以电压表应选量程为3 V 的B ；通过金属丝的电流不超过150 mA ，应选电流表C ；为便于调节，滑动变阻器应选0～20 Ω的F .(3) 分压式电路应从滑动变阻器的电阻丝的一端和滑动头(金属横梁的两头之一)上取输出电压，同时注意电流表应采用外接法，如上图．(4) U I ＝ρL S ，S ＝πd 24U ＝4Iρπd 2L ，显然图线的斜率k ＝4Iρπd 2，则ρ＝πkd 24I . 12A. (12分)(1) AD(4分) (2) 300(2分) 150(2分) (3) ① 3.3×1022个(2分) ② 1.6×104 J(2分)解析：(1) 昆虫靠水的表面张力站立在水面上；花粉的运动不是自发的，是由于水分子对它的碰撞的不均匀性造成的；分子永不停息地做无规则的热运动，分子动能永远不可能为零，温度是分子平均动能的标志，绝对零度是达不到的，物体的内能不可能为零；物质是晶体还是非晶体不是绝对的，天然水晶熔化后再凝固就是玻璃，是非晶体．(2) 对一定质量的理想气体，PVT ＝C ，所以T B ＝300 K ；结合热力学第一定律ΔU ＝Q ＋W 分析，气体从C →A 的过程中体积变大，对外做功，W ＝－100 J ，吸收热量，Q ＝250 J ，所以内能增加了150 J.(3) ① 由题意1 g 水分解得到的氢气分子总数为N ＝m M N A ，N ＝1×10－31.8×10－2×6.02×1023个＝3.3×1022个．② 氢气完全燃烧所放出热量Q ＝1×10－31.8×10－2×2.858×105 J ＝1.6×104J.12B. (12分) (1) AD(4分) (2) 20(2分) 波谷(2分)(3) ① 3(2分) ② 3×108 m/s(2分)解析：(1) “B 超”是利用超声波的反射原理工作的；根据多普勒效应，波源靠近观察者时，观察到的频率变大；飞船高速飞离地球时，其上的人观察到地球在高速远离，时间进程变缓；偏光片可以挡住水表面的反射的偏振光，从而使水下影像变得清晰．(2) 由图，波长为2 m ，所以波速v ＝λf ＝2×10 m/s ＝20 m/s ；周期T ＝0.1 s ，t ＝0.125 s ＝114T ，所以x ＝1 m 处的质点由平衡位置向下振动1.25个周期后，到达波谷处． (3) ① 完成光路如图所示，由几何关系可得r ＝30°、i ＝60°.则n ＝sini sinr ＝sin60°sin30°＝ 3.② 棱镜中的光速 v ＝cn＝3×108 m/s.12C. (12分)(1) BD(4分)(2) 10n →11H ＋ 0－1e(2分) 不等于(2分)(3) ① 3.8×10－19 J(2分) ② 2.0×10－20 J(2分)解析：(1) 阴极射线的本质是电子，来源于原子核外；光电效应表明了光的能量的不连续性，光具有粒子性；玻尔原子模型中原子的能量是不连续的，与之相对应的电子轨道也是不连续的；电子属于实物粒子，它的衍射现象表明实物粒子具有了波动的特性．(2) 微观世界的作用遵守动量守恒定律，由于在转化过程中释放光子，而光子也具有动量，所以转化前原子核的动量不等于转化后的电子与新核的总动量．(3) 绿光光子能量E ＝hν＝hcλ＝3.8×10－19 J ，② 根据爱因斯坦光电方程hν＝E k ＋W.可得E k ＝hν－W ＝2.0×10－20 J.13. (15分)解：(1) 流过电阻R 的电流大小为I ＝U R ＝1k 分)电流方向水平向右(或从a →b)(2分)(2) 在运动过程中金属棒受到的安培力F A ＝BIL ＝BLk(1分) 对金属棒运用牛顿第二定律有mg －F A ＝ma(1分) 得a ＝g －BLmk恒定，金属棒做匀加速直线运动(1分) 根据v 2＝2as ，得v ＝2h ⎝⎛⎭⎫g －BL mk (2分) (3)设金属棒经过时间t 落地，有h ＝12at 2(2分)解得t ＝2h a＝2hkmmgk －BL (2分)故有Q ＝I·t ＝1k2hkmmgk －BL(2分)14. (16分)解：(1) 小物块在C 点时的速度大小为v C ＝v 0cos53°＝5 m/s ，竖直分量为v Cy＝4 m/s(2分)下落高度h ＝v2Cy 2g＝0.8 m(2分)(2) 小物块由C 到D 的过程中，由动能定理得 mgR(1－cos53°)＝122D －12mv 2C (2分)解得v D ＝29 m/s(1分)小球在D 点时由牛顿第二定律得F N －mg ＝m v 2D R(2分)代入数据解得F N ＝68 N(1分)由牛顿第三定律得F′N ＝F N ＝68 N ，方向竖直向下(1分) (3) 设小物块刚滑到木板左端达到共同速度，大小为v ，小物块在木板上滑行的过程中，小物块与长木板的加速度大小分别为a 1＝μg ＝3 m/s 2，a 2＝μmg M＝1 m/s 2(1分)速度分别为v ＝v D －a 1t ，v ＝a 2t(1分) 对物块和木板系统，由能量守恒定律得 μmgL ＝12mv 2D －12(m ＋M)v 2(2分)解得L ＝3.625 m ，即木板的长度至少是3.625 m(1分)15. (16分)解：(1) 粒子离开出发点最远的距离为轨道半径的2倍 R 0＝2r ＝2mvqB(2分) v ＝qBR 02m(2分) (2) 磁场的大小变为B4后，粒子的轨道半径为2R 0，根据几何关系可以得到，当弦最长时，运动的时间最长，弦最长为2R 0，圆心角60°(3分)t ＝60°360°T ＝4πm3qB(3分)(3) 根据矢量运算法则，叠加区域的磁场大小为B2，方向向里，R 0以外的区域磁场大小为B2，方向向外．粒子运动的半径为R 0. 根据对称性画出运动轨迹图，由几何关系可得R 1的最小值为(3＋1)R 0(3分)T ＝⎝⎛⎭⎫π3＋5π6·4m q B2＝28πm 3qB分)。
2012年江苏省南京市、盐城市高考数学三模试卷
2012 年江苏省南京市、盐城市高考数学三模试卷2012 年江苏省南京市、盐城市高考数学三模试卷一、填空题：本大题共14 小题，每题 5 分，计 70 分 .请把答案写在答题纸的指定地点上 .1．（ 5 分）（ 2012?盐城三模） 已知会合 A={ ﹣ 1，1，3} ，B= ，且 B? A ，则实数 a 的值是 _________．2．（ 5 分）（2012?盐城三模）已知复数 z 知足（ 2﹣ i ） z=5i （此中 i 为虚数单位），则复数 z 的模是_________．3．（ 5 分）（2012?盐城三模）依据如下图的流程图，若输入 x 的值为﹣ 7.5，则输出 y 的值为 _________．4．（5 分）（ 2012?盐城三模）若将一颗质地均匀的骰子（各面上分别标有 1、 2、3、4、5、6 个点的正方形玩具）先后投掷两次，向上的点数挨次为 m 、 n ，则方程 x 2+2mx+n=0 无实根的概率是_________ ． 5．（ 5 分）（ 2014?扬州模拟）为了检测某自动包装流水线的生产状况，在流水线上随机抽取 40 件产品，分别称出它们的重量（单位：克）作为样本．如图是样本的频次散布直方图，依据图中各组的组中值预计产品的均匀重量是_________ 克．6．（ 5 分）（2012?盐城三模）已知正 △ ABC 的边长为 1，，则 = _________ ．7．（ 5 分）（2012?盐城三模）已知 α、 β是两个不一样的平面，以下四个条件： ① 存在一条直线 a ， a ⊥α， a ⊥ β；② 存在一个平面γ， γ⊥ α， γ⊥ β；③ 存在两条平行直线 a 、 b ， a? α，b? β， a ∥ β， b ∥ α； ④ 存在两条异面直线a 、b ， a? α，b? β， a ∥ β， b ∥ α．此中是平面 α∥ 平面 β的充足条件的为 _________ ．（填上全部切合要求的序号）8．（ 5 分）（2012?盐城三模）若函数是奇函数，则知足 f （x ）＞ a 的 x 的取值范围是_________ ．9．（ 5 分）（2012?盐城三模）在直角坐标系 xOy 中，记不等式组 表示的平面地区为 D ．若指数函数y=a x（ a ＞ 0 且 a ≠1）的图象与 D 有公共点，则 a 取值范围是 _________ ．10．（ 5 分）（ 2012?盐城三模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线 y 2=4x 的焦点为 F ，点 P 在抛物线上，且位于 x 轴上方．若点 P 到坐标原点 O 的距离为 ，则过 F 、 O 、P 三点的圆的方程是_________ ．11．（5 分）（ 2012?盐城三模）已知，则 cos α= _________ ．12．（ 5 分）（ 2012?盐城三模）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A （ 0， 2），直线 l ： x+y ﹣ 4=0 ．点 B （ x ，y ）是圆 C ： x 2+y 2﹣ 2x ﹣1=0 的动点， AD ⊥ l ， BE ⊥ l ，垂足分别为 D 、 E ，则线段 DE 的最大值是 _________ ． 13．（5 分）（ 2012?盐城三模）如图，将数列 {a n } 中的全部项按每一行比上一行多两项的规则排成数表．已知表中的 第一列 a 1，a 2，a 5， 组成一个公比为 2 的等比数列，从第 2 行起，每一行都是一个公差为d 的等差数列．若 a 4=5，a =518，则 d= _________ ．8614．（ 5 分）（ 2013?宝应县一模） 若不等式 |ax 3﹣ lnx|≥1 对随意 x ∈（ 0，1]都成立， 则实数 a 取值范围是_________ ．二、解答题（共 6 小题，满分 90 分）15．（ 14 分）（2013?宝应县一模）在 △ ABC 中，角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、 b 、c ．已知向量，，且．（ 1）求的值；（ 2）若，求 △ ABC 的面积 S ．16．（ 14 分）（ 2012?盐城三模）在 △ ABC 中， ∠ BAC=90 °，∠ B=60 °，AB=1 ， D 为线段 BC 的中点， E 、 F 为线段 AC 的三平分点（如图 1）．将 △ABD 沿着 AD 折起到 △ AB ′D 的地点，连结 B'C （如图 2）．（ 1）若平面 AB ′D ⊥ 平面 ADC ，求三棱锥 B ′﹣ ADC 的体积；（ 2）记线段 B ′C 的中点为 H ，平面 B ′ED 与平面 HFD 的交线为 l ，求证： HF ∥ l ；（ 3）求证： AD ⊥ B ′E ．17．（ 14 分）（2012?盐城三模）在某次水下考古活动中，需要潜水员潜入水深为 30 米的水底进行作业．其用氧量包含 3 个方面：①下潜时，均匀速度为 v （米 /单位时间），单位时间内用氧量为cv 2（ c 为正常数）；② 在水底作业需 5 个单位时间，每个单位时间用氧量为 0.4；③ 返回水面时，均匀速度为（米 /单位时间），单位时间用氧量为 0.2．记该潜水员在此次考古活动中，总用氧量为y ．（ 1）将 y 表示为 v 的函数；（ 2）设 0＜ v ≤5，试确立下潜速度 v ，使总的用氧量最少．18．（ 16 分）（ 2012?盐城三模） 在平面直角坐标系 xOy 中，过点 A （﹣ 2，﹣ 1）椭圆的左焦点为 F ，短轴端点为 B 1、 B 2， ．（ 1）求 a 、b 的值；（ 2）过点 A 的直线 l 与椭圆 C 的另一交点为 Q ，与 y 轴的交点为 R ．过原点 O 且平行于 l 的直线与椭圆的一个交点为 P ．若 AQ ?AR=3OP 2，求直线 l 的方程．19．（ 16 分）（2012?盐城三模）已知数列 {a n } 的奇数项是公差为 d 1 的等差数列，偶数项是公差为 d 2 的等差数列， S n是数列 {a n } 的前 n 项和， a 1=1， a 2=2． （ 1）若 S 5 =16， a 4=a 5，求 a 10；（ 2）已知 S 15=15a 8，且对随意 n ∈N *，有 a n ＜ a n+1 恒成立，求证：数列 {a n } 是等差数列；（ 3）若 d 1 =3d 2（ d 1≠0），且存在正整数 m 、 n （m ≠n ），使得 a m =a n ．求当 d 1 最大时，数列 {a n } 的通项公式．20．（ 16 分）（ 2013?宁波模拟）已知函数 f （ x ） =x 3+ax 2﹣ a 2x+2 ， a ∈R ． （ 1）若 a ＜0 时，试求函数 y=f （x ）的单一递减区间；（ 2）若 a=0，且曲线 y=f （ x ）在点 A 、B （A 、 B 不重合）处切线的交点位于直线x=2 上，证明： A 、 B 两点的横坐标之和小于 4；（ 3）假如对于全部 x 1、 x 2、 x 3∈[0 ， 1] ，总存在以 f （ x 1）、 f （ x 2）、f （x 3）为三边长的三角形，试求正实数 a 的取值范围．三、 [选做题 ]在 A 、 B 、 C 、 D 四小题中只好选做 2 题，每题 0 分，共 20 分．请在答题卡指定地区内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21．（ 2012?盐城三模）选修 4﹣ 1：几何证明选讲：如图， ⊙ O 的直径 AB 的延伸线与弦 CD 的延伸线订交于点P ，E 为 ⊙ O 上一点， ，DE 交 AB 于点 F ．求证：PF?PO=PA?PB ．22．（ 2012?盐城三模）选修 4﹣ 2：矩阵与变换：已知曲线 C ： x 2+y 2=1，对它先作矩阵 A=对应的变换，再作矩阵B=对应的变换，获得曲线．务实数 b 的值．23．（ 2012?盐城三模）选修 4﹣ 4：坐标系与参数方程：在以 O 为极点的极坐标系中，直线l 与曲线 C 的极坐标方程分别是和 ρsin 2θ=8cos θ，直线l 与曲线 C 交于点 A 、 B ，求线段 AB 的长．24．（ 2012?盐城三模）选修 4﹣ 5：不等式选讲： 解不等式：．四、 [必做题 ]每题 10 分，共 20 分．请在答题卡指定地区内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 25．（ 2012?盐城三模）一个袋中装有大小和质地都同样的 10 个球，此中黑球 4 个，白球 5 个，红球 1 个． （ 1）从袋中随意摸出 3 个球，记获得白球的个数为 X ，求随机变量 X 的概率散布和数学希望 E （X ）； （ 2）每次从袋中随机地摸出一球，记下颜色后放回．求 3 次摸球后，摸到黑球的次数大于摸到白球的次数的概率．26．（ 2012?盐城三模）已知数列 {a n } 的首项为 1，．（ 1）若数列 {a n } 是公比为 2 的等比数列，求p （﹣ 1）的值；（ 2）若数列 {a n } 是公差为 2 的等差数列，求证： p （x ）是对于 x 的一次多项式．2012 年江苏省南京市、盐城市高考数学三模试卷参照答案与试题分析一、填空题：本大题共14 小题，每题 5 分，计 70 分 .请把答案写在答题纸的指定地点上.1．（ 5 分）（2012?盐城三模）已知会合A={ ﹣ 1， 1， 3} ，B=，且B ? A，则实数a 的值是1．考点：会合的包含关系判断及应用．专题：计算题．剖析：由 B ? A，及+2≥2 知+2∈A，且+2=3 ，直接得出a=1．解答：解：因为A={ ﹣ 1， 1， 3} ，B=，且B? A，则 +2∈A ，又+2≥2，∴+2=3 ，a=1所以 a 的值为 1．故答案为： 1评论：此题考察了会合的包含关系，属于基础题型．2．（ 5 分）（2012?盐城三模）已知复数z 知足（ 2﹣ i） z=5i （此中 i 为虚数单位），则复数z 的模是．考点：复数代数形式的乘除运算；复数求模．专题：计算题．剖析：对复数方程两边求模，而后求出复数z 的模．解答：解：因为复数z 知足（ 2﹣ i） z=5i ，所以 |（ 2﹣ i） z|=|5i|，所以 |z|=．故答案为：．评论：此题考察复数的模的求法，考察计算能力．3．（ 5 分）（2012?盐城三模）依据如下图的流程图，若输入x 的值为﹣ 7.5，则输出y 的值为﹣1．考点：程序框图．专题：图表型．剖析：联合框图，写出前几次循环的结果，判断每一次结果能否知足判断框的条件，直到知足履行Y，输出 y 的值．解答： 解：经过第一次循环获得x= ﹣5.5经过第二次循环获得 x= ﹣ 3.5 经过第三次循环获得 x= ﹣ 1.5 经过第四次循环获得x=0.5知足判断框的条件，履行 Y ， y=log 20.5=﹣ 1，输出﹣ 1故答案为：﹣ 1评论： 此题考察解决程序框图中的循环构造时，常采纳写出前几次循环的结果，找规律．4．（5 分）（ 2012?盐城三模）若将一颗质地均匀的骰子（各面上分别标有1、 2、3、4、5、6 个点的正方形玩具）先后投掷两次，向上的点数挨次为m 、 n ，则方程2无实根的概率是．x +2mx+n=0考点 ： 古典概型及其概率计算公式． 专题 ： 计算题．剖析： 连续投掷两次骰子分别获得的点数记作（m ， n ）：共 36 个，方程 x 2+2mx+n=0 无实根，即 △ ＜ 0，即 n ＞ m 2 ，这样的（ m ， n ）有 7 个，由此求得方程 x 2+2mx+n=0 无实根的概率．解答： 解：连续投掷两次骰子分别获得的点数记作（ m ， n ）：（ 1， 1），（1， 2），（1， 3），（ 1， 4），（ 1， 5），（ 1， 6） （ 2， 1），（2， 2），（2， 3），（ 2， 4），（ 2， 5），（ 2， 6） （ 3， 1），（3， 2），（3， 3），（ 3， 4），（ 3， 5），（ 3， 6） （ 4， 1），（4， 2），（4， 3），（ 4， 4），（ 4， 5），（ 4， 6） （ 5， 1），（5， 2），（5， 3），（ 5， 4），（ 5， 5），（ 5， 6）（ 6， 1），（6， 2），（6， 3），（ 6， 4），（ 6， 5），（ 6， 6）．共 36 个方程 x 2+2mx+n=0 无实根，即 △ =4m 2 ﹣4n ＜ 0，即 n ＞m 2，这样的（ m ， n ）有：（ 1， 2），（ 1， 3），（ 1， 4），（ 1， 5），（1， 6），（ 2， 5），（2， 6），共 7 个，故方程x 2+2mx+n=0 无实根的概率是，故答案为．评论： 此题考察古典概型问题，能够列举出试验发生包含的事件和知足条件的事件，应用列举法来解题是这一部分的最主要思想，属于基础题．5．（ 5 分）（ 2014?扬州模拟）为了检测某自动包装流水线的生产状况，在流水线上随机抽取40 件产品，分别称出它们的重量（单位：克）作为样本． 如图是样本的频次散布直方图， 依据图中各组的组中值预计产品的均匀重量是507克．考点 ： 频次散布直方图．专题：计算题．剖析：直接依据频次直方图均匀数的求法求解即可．解答：解：由题意可知：均匀重量=0.1×490+0.3×500+0.4×510+0.2×520=507．故答案为： 507．评论：此类题要点考察频次散布直方图的知识，加权均匀数，频次计算，考察计算能力．6．（ 5 分）（2012?盐城三模）已知正△ ABC的边长为1，，则=﹣2．考点：平面向量数目积的性质及其运算律；向量加减混淆运算及其几何意义．专题：计算题．剖析：由题意可得=（）? =7+3，再利用两个向量的数目积的定义求出结果．解答：解：由题意可得=（）? =7+3=7×1×1cos120°+3×1×1cos60°=+ =﹣2，故答案为﹣ 2．评论：此题主要考察两个向量的数目积的定义，注意两个向量的夹角的值，属于基础题．7．（ 5 分）（2012?盐城三模）已知α、β是两个不一样的平面，以下四个条件：①存在一条直线a， a⊥α， a⊥ β；② 存在一个平面γ，γ⊥ α，γ⊥ β；③存在两条平行直线a、 b， a? α，b? β， a∥ β， b∥ α；④存在两条异面直线a、 b， a? α，b? β， a∥ β， b∥ α．此中是平面α∥ 平面β的充足条件的为①④．（填上全部切合要求的序号）考点：平面与平面平行的判断．专题：证明题．剖析：利用空间直线与平面平行、垂直的判断与性质和平面与平面平行的判断与性质，对各个选项分别加以推理论证，则不难获得此题的正确答案．解答：解：对于① ，依据直线与平面垂直的性质可知，当直线a⊥ α且 a⊥ β，必有平面α、β相互平行时，故①正确；对于② ，以长方体的一个角为例，可知γ⊥α且γ⊥β时，也可能α、β订交，不必定有α∥ β，故② 不正确；对于③，当α、β订交，交线 l 既与 a 平行，又与 b 平行时，存在两条平行直线a、 b， a? α， b? β， a∥ β，b∥ α，所以，③ 不正确；对于④，存在两条异面直线a、b， a? α，b? β， a∥ β， b∥ α．可将α内的直线平移到β内的直线c，则有订交直线b、 c 都与平面α平行，依据面面平行的判断定理，可得④ 正确．故答案为：①④评论：此题以充足条件的判断为载体，找寻使两个平面平行的充足条件，侧重考察了空间线面垂直、面面垂直、面面平行的判断与性质等知识点，属于基础题．8．（ 5 分）（2012?盐城三模）若函数是奇函数，则知足 f （x）＞ a 的 x 的取值范围是．考点：函数奇偶性的性质．专题：计算题．剖析： 依据奇函数定义求出a 的值，得原不等式即 f （ x ）＞﹣ 2，再分类议论，分别解一元二次不等式，可得原不等式的解集．解答： 解：当 x ＜0 时， f （﹣ x ） =（﹣ x ） 2﹣ 2（﹣ x ） =x 2+2x∵ 函数 f （ x ）是奇函数，∴ 当 x ＜ 0 时， f （ x ）=﹣ f （﹣ x ） =﹣ x 2﹣ 2x ，比较已知条件，得 a=﹣ 2① 当 x ≥0 时，原不等式可化为x 2﹣ 2x ＞﹣ 2，即 x 2﹣ 2x+2 ＞ 0 解之得 x ≥0；② 当 x ＜ 0 时，原不等式可化为﹣ x 2﹣ 2x ＞﹣ 2，即 x 2+2x ﹣ 2＜0解之得﹣ 1﹣ ＜x ＜ 0综上所述，得原不等式的解集为故答案为：评论： 此题给出分段函数为奇函数，求参数a 值并解对于 x 的不等式，侧重考察了函数奇偶性和一元二次不等式的解法等知识，属于基础题．9．（ 5 分）（2012?盐城三模）在直角坐标系 xOy 中，记不等式组表示的平面地区为 D ．若指数函数y=a x（ a ＞ 0 且 a ≠1）的图象与 D 有公共点，则 a 取值范围是[ ） ．考点 ： 简单线性规划的应用．专题 ： 综合题．剖析： 作出平面地区，对底数 a 议论，联合函数的图象，利用指数函数的性质，即可获得结论．解答： 解：暗影部分是平面地区D ，依据指数函数的性质可知，当 a ＞ 1 时，函数图象离 y 轴越近，则 a 的值越大∴ 当图象经过 g （ x ）与 r （ x ）的交点时， a 的值最小由，可得∴ 3=a 2， ∴ a=∴ a ≥当 0＜ a ＜ 1 时，函数图象与 D 没有公共点 综上知， a ≥ 故答案为： [）评论： 此题考察线性规划知识，考察指数函数，考察学生剖析解决问题的能力，属于中档题．10．（ 5 分）（ 2012?盐城三模）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y 2=4x 的焦点为 F ，点 P 在抛物线上，且位于 x轴上方．若点 P 到坐标原点 O 的距离为 ，则过 F 、 O 、P 三点的圆的方程是22．x +y ﹣ x ﹣ 7y=0考点 ： 抛物线的简单性质；圆的一般方程．专题 ： 计算题．剖析： 依据抛物线方程，求出焦点F 的坐标和知足条件 |OP|=4 的 P 点的坐标，再设经过 F 、O 、P 三点圆的一般式方程，将 O 、F 、 P 坐标代入，解对于 D 、 E 、 F 的方程组，即可获得所求圆的方程．解答： 解： ∵ 抛物线的方程为 y 2=4x ， ∴ 抛物线焦点为 F （ 1， 0）设 P （， t ），则 |OP|==4 ，解之得 t=4 （舍负），∴ P 坐标为（ 4， 4）设经过 F 、 O 、P 三点的圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0 ，将 O （ 0， 0），F （ 1，0）， P （ 4， 4）代入，得，解之得 D= ﹣ 1， E=﹣ 7，F=022∴ 经过 F 、 O 、P 三点的圆的方程为x +y ﹣x ﹣ 7y=0 ．22故答案为： x +y ﹣ x ﹣7y=0评论： 此题给出过抛物线上一点和焦点的圆经过坐标原点，求圆的一般式方程，侧重考察了抛物线的标准方程和基本观点、圆的一般式方程等知识，属于基础题．11．（5 分）（ 2012?盐城三模）已知，则 cos α= ．考 两角和与差的正弦函数；同角三角函数间的基本关系． 点：专 计算题．题： 分由条件求得，再由 ，可得 ，再由析：，利用两角和差的正弦公式求出结果．解解： ∵已知 ，答：∴，，又，所以．∴= ?cos+sin?sin=，故答案为．点 此题主要考察两角和差的正弦公式，同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题．评：12．（ 5 分）（ 2012?盐城三模）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A （ 0， 2），直线 l ： x+y ﹣ 4=0 ．点 B （ x ，y ）是圆 C ： x 2+y 2﹣ 2x ﹣1=0 的动点， AD ⊥ l ， BE ⊥ l ，垂足分别为 D 、 E ，则线段 DE 的最大值是．考点 ： 直线和圆的方程的应用．专题 ： 计算题．剖析： 线段 DE 的最大值等于圆心（ 1，0）到直线 AD ： x ﹣y+2=0 的距离加半径，由此可得结论．解答： 解：圆 C ： x 2+y 2﹣2x ﹣ 1=0 的圆心坐标为（ 1， 0），半径为 ；依据题意，线段 DE 的最大值等于圆心（ 1， 0）到直线 AD ： x ﹣ y+2=0 的距离加半径，∵ 圆心（ 1， 0）到直线 AD ：x ﹣ y+2=0 的距离为=∴ 线段 DE 的最大值为故答案为：．评论： 此题考察直线与圆的方程的应用，考察学生剖析解决问题的能力，属于中档题．13．（5 分）（ 2012?盐城三模）如图，将数列 {a n } 中的全部项按每一行比上一行多两项的规则排成数表．已知表中的第一列 a 1，a 2，a 5， 组成一个公比为2 的等比数列，从第2 行起，每一行都是一个公差为d 的等差数列．若 a 4=5，a =518，则 d= 1.5 ．86考点 ： 等差数列与等比数列的综合． 专题 ： 综合题．剖析： 由第 2 行成公差为 d 的等差数列，得 a 2=5﹣ 2d ，由第 n 行的数的个数为2n ﹣1，从第 1 行到第 n 行的全部数的个数总和 n 2，由此利用 a 4=5， a 86=518 ，能求出 d ． 解答： 解： ∵ 第 2 行成公差为 d 的等差数列，∴ a 2=a 4﹣ 2d=5﹣ 2d ，第 n 行的数的个数为 2n ﹣ 1，从第 1 行到第 n 行的全部数的个数总和为，86=9 2+5，第 10 行的前几个数为： a 82， a 83，a 84， a 85， a 86， ，所以 a 82=a 86﹣ 4d=518﹣ 4d ．第一列 a 1 2 5 10 17 26 375065822 的等比数列，， a ， a ， a ， a ，a ， a ， a， a ， a ， 组成一个公比为 故有 ，解得： d=1.5． 故答案为： 1.5．评论： 此题考察等差数列和等比数列的综合应用，解题时要认真审题，认真察看，注意找寻规律．14．（ 5 分）（2013?宝应县一模）若不等式 |ax 3﹣ lnx| ≥1 对随意 x ∈（ 0，1] 都成立，则实数 a 取值范围是．考点 ： 利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题．专题 ： 综合题；导数的综合应用．剖析：令 g（ x）=ax 3﹣ lnx ，求导函数，确立函数的单一性，从而可求函数的最小值，利用最小值大于等于1，即可确立实数 a 取值范围．解答：解：明显 x=1 时，有 |a|≥1， a≤﹣ 1 或 a≥1．令 g（ x）=ax 3﹣ lnx ，①当 a≤﹣ 1 时，对随意x∈（ 0，1] ，，g（x）在（0，1]上递减，g（x）min=g（1）=a≤﹣ 1，此时 g（ x）∈[a， +∞）， |g（ x） |的最小值为0，不合适题意．②当 a≥1 时，对随意x∈（ 0， 1]，，∴函数在（ 0，）上单一递减，在（，+∞）上单一递加∴ |g（ x） |的最小值为≥1，解得：．∴实数 a 取值范围是评论：此题考察导数知识的运用，考察函数的单一性与最值，考察分类议论的数学思想，正确求导是要点．二、解答题（共 6 小题，满分90 分）15．（ 14 分）（2013?宝应县一模）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、 b、c．已知向量，，且．（ 1）求的值；（ 2）若，求△ ABC的面积S．考点：解三角形；平面向量的综合题．专题：计算题；解三角形．剖析：（ 1）由可得b（cosA﹣2cosC）+（a﹣2c）cosB=0法一：依据正弦定理可得， sinBcosA ﹣ 2sinBcosC+sinAcosB ﹣ 2sinCcosB法二：依据余弦定理可得，b×=0化简可得，而后依据正弦定理可求（ 2）由（ 1） c=2a 可求 c，由 | |可求 b，联合余弦定理可求cosA ，利用同角平方关系可求sinA ，代入三角形的面积公式S=可求解答：解：（ 1）法一：由可得b（cosA﹣2cosC）+（a﹣2c）cosB=0依据正弦定理可得， sinBcosA ﹣2sinBcosC+sinAcosB ﹣ 2sinCcosB=0∴（ sinBcosA ﹣ sinAcosB ）﹣ 2（sinBcosC+sinCcosB ） =0∴sin（A+B ）﹣ 2sin（ B+C ）=0∵A+B+C= π∴sinC﹣ 2sinA=0∴（法二）：由可得 b（ cosA﹣ 2cosC）+（ a﹣ 2c）cosB=0依据余弦定理可得， b×=0整理可得， c﹣ 2a=0∴=2（ 2）∵由（ 1）可知 c=2a=4∴b=3∴ cosA==，sinA==∴ △ABC 的面积 S===评论：此题以向量的坐标运算为载体主要考察了正弦定理及余弦定理在三角形求解中的应用，属于三角知识的综合应用16．（ 14 分）（ 2012?盐城三模）在△ ABC 中，∠ BAC=90 °，∠ B=60 °，AB=1 ， D 为线段 BC 的中点， E、 F 为线段 AC 的三平分点（如图 1）．将△ABD 沿着 AD 折起到△ AB ′D 的地点，连结 B'C （如图 2）．（1）若平面 AB ′D⊥平面 ADC ，求三棱锥 B ′﹣ ADC 的体积；（2）记线段 B ′C 的中点为 H，平面 B ′ED 与平面 HFD 的交线为 l，求证： HF ∥ l；（3）求证： AD ⊥ B′E．考点：直线与平面平行的性质；空间中直线与直线之间的地点关系．剖析：（1）要求三棱锥的体积，要点要确立高与底面，因为平面AB'D ⊥平面 AD C ，则可让△ADC 为底， B'到面 ADC 的距离为高，即要找到过B'点的 AD 的垂线即可；（ 2）此问是要证明线线平行，又知l 为平面 B'ED 与平面 HFD 的交线，故可证HF ∥面 B'ED ，再用线面平行的性质定理即得证；（ 3）要证 AD ⊥ B'E，可用线面垂直的性质定理，即让AD 垂直于 B'E 所在的此中一个平面即可．解答：解：（1）在直角△ ABC中，D为BC的中点，所以AD=BD=CD ．又 ∠ B=60 °，所以 △ABD 是等边三角形．取 AD 中点 O ，连结 B'O ， ∴ B'O ⊥ AD ． ∵ 面 AB'D ⊥ 面 ADC ，面 AB'D ∩面 ADC=AD ， B'O? 面 AB'D ， ∴ B'O ⊥ 面 ADC ．在 △ ABC 中， ∠ BAC=90 °， ∠ B=60 °， AB=1 ， D 为 BC 的中点，∴ AC=， B'O=，∴． ∴ 三棱锥 B' ﹣ADC 的体积为 V=．（ 2）∵H又 HF?面 ∵HF? 面 为 B'C 的中点， F 为 CE 的中点， ∴ HF ∥B'E ，B'ED ， B'E ? 面 B'ED ， ∴HF ∥ 面 B'ED ， HFD ，面 B'ED ∩面 HFD=l ，∴ HF ∥ l ．（ 3）由（ 1）知， B'O ⊥ AD ．∵ AE= ， ， ∠DAC=30 °，∴=，∴ AO 2+EO 2=AE 2， ∴AD ⊥ EO又 B'O ? 面 B'EO ， EO? 面 B'EO ， B'O ∩EO=O ， ∴AD ⊥ 面 B'EO ，又 B'E? 面 B'EO ， ∴ AD ⊥B'E ．评论： 此题考察的是立体几何的平行与垂直的关系和空间体的体积；立体几何的平行与垂直的问题是高考的常考必考内容，除了要掌握与平行垂直有关的结论外，理科生还要注意掌握用空间向量的方法解决立体几何中的平行、垂直、空间角的问题．17．（ 14 分）（2012?盐城三模）在某次水下考古活动中，需要潜水员潜入水深为 30 米的水底进行作业．其用氧量包含 3 个方面：①下潜时，均匀速度为 v （米 /单位时间），单位时间内用氧量为 cv 2（ c 为正常数）；② 在水底作业需 5 个单位时间，每个单位时间用氧量为 0.4；③ 返回水面时，均匀速度为（米 /单位时间），单位时间用氧量为 0.2．记该潜水员在此次考古活动中，总用氧量为y ．（ 1）将 y 表示为 v 的函数；（ 2）设 0＜ v ≤5，试确立下潜速度 v ，使总的用氧量最少．考点 ： 函数模型的选择与应用；利用导数求闭区间上函数的最值．专题 ： 应用题；函数的性质及应用．剖析： （ 1）分别计算潜入水底用时、用氧量；水底作业时用氧量；返回水面用时、用氧量，即可获得总用氧量的函数；（ 2）利用基本不等式可得 时取等号， 再联合 0＜ v ≤5，即可求得确立下潜速度 v ，使总的用氧量最少．解答：解：（ 1）潜入水底用时 ，用氧量为，水底作业时用氧量为5×0.4=2，返回水面用时，用氧量为= ，∴ 总用氧量 y=（v ＞ 0）；（ 2） y=≥2+2=2+12，当且仅当 ，即时取等号当≤5，即时，时，y的最小值为2+12，当＞ 5，即时，y′=0，∴函数在（ 0， 5] 上为减函数∴ v=5 时， y 的最小值为．综上，当时，下潜速度为时，用氧量最小值为2+12；当时，下潜速度为 5 时，用氧量最小值为．评论：此题考察函数模型的建立，考察基本不等式的运用，考察导数知识，考察分类议论的数学思想．18．（ 16 分）（ 2012?盐城三模）在平面直角坐标系xOy 中，过点 A（﹣ 2，﹣ 1）椭圆的左焦点为 F，短轴端点为 B1、 B2，．（ 1）求 a、b 的值；（ 2）过点 A 的直线 l 与椭圆 C 的另一交点为Q，与 y 轴的交点为 R．过原点 O 且平行于 l 的直线与椭圆的一个交点为 P．若 AQ ?AR=3OP 2，求直线 l 的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．剖析：（ 1）利用222，依据椭圆过点A（﹣ 2，﹣ 1），可得，由此可求 a、，可得 c ﹣ b=2bb 的值；（ 2）设直线 l 的方程代入椭圆方程，求出Q 的横坐标；直线OP 的方程代入椭圆方程，求出P 的横坐标，利用 AQ ?AR=3OP 2，成立方程，即可求得直线l 的方程．解答：解：（ 1）由题意， F（﹣ c， 0）， B 1（0，﹣ b），B 2（ 0， b），则∵∴c 2﹣ b2=2b2①∵椭圆过点 A （﹣ 2，﹣ 1）∴②2 2由①②解得 a =8， b =2∴；x+2）[ （4k 2+1）（x+2 ）﹣（ 8k+4 ）]=0（ 2）由题意，设直线l 的方程为 y+1=k （x+2 ），代入椭圆方程可得（∵ x+2≠0，∴，∴ x Q+2=由题意，直线OP 的方程为 y=kx ，代入椭圆方程可得（4k 2+1） x2=8∴∵AQ ?AR=3OP 2，∴∴∴k=1 或 k=﹣ 2当 k=1 时，直线 l 的方程为 x﹣ y+1=0 ；当 k=﹣ 2 时，直线 l 的方程为 2x+y+5=0评论：此题考察椭圆的方程，考察直线与椭圆的地点关系，考察学生的计算能力，属于中档题．19．（ 16 分）（2012?盐城三模）已知数列{a } 的奇数项是公差为 d 的等差数列，偶数项是公差为d的等差数列， Sn12n 是数列 {a n12．} 的前 n 项和， a =1， a =2（1）若 S5 =16， a4=a5，求 a10；（2）已知 S15=15a8，且对随意 n∈N *，有 a n＜ a n+1恒成立，求证：数列 {a n} 是等差数列；（3）若 d1 =3d2（ d1≠0），且存在正整数 m、 n（m≠n），使得 a m=a n．求当 d1最大时，数列 {a n} 的通项公式．考点：数列的应用；等差关系确实定．专题：综合题；等差数列与等比数列．剖析：（1）确立数列的前 5 项，利用S5=16， a4=a5，成立方程，求出d1=2， d2=3，从而可求a10；（2）先证明 d1=d2，再利用 S15=15a8，求得 d1=d2=2，从而可证数列 {a n} 是等差数列；（3）若 d1 =3d2（ d1≠0），且存在正整数 m、 n（m≠n），使得 a m=a n，在 m， n 中必定一个是奇数，一个是偶数．不如设 m 为奇数， n 为偶数，利用 a m=a n，及 d1=3d2，可得，从而可求当 d1最大时，数列 {a n} 的通项公式．解答：（ 1）解：依据题意，有a1=1，a2=2， a3=a1+d1=1+d1， a4=a2+d2=2+d 2， a5=a3+d1=1+2d 1∵ S5=16， a4=a5，∴a1+a2+a3+a4+a5=7+3d1+d 2=16 ，2+d 2=1+2d1∴ d1=2， d2=3．∴a10=2+4d 2=14（ 2）证明：当n 为偶数时，∵ a n＜ a n+1恒成立，∴2+，∴（d2﹣d1）+1﹣d2＜0∴d2﹣ d1≤0 且 d2＞ 1当 n 为奇数时，∵ a n n+1恒成立，∴，＜a∴（ 1﹣ n）（ d1﹣ d2）+2＞ 0∴d1﹣ d2≤0∴d1=d2∵ S15=15a8，∴ 8++14+=30+45d 2∴d1=d2=2∴a n =n∴数列 {a n} 是等差数列；（3）解：若 d1=3d2（d1≠0），且存在正整数 m、 n（ m≠n），使得 a m=a n，在 m，n 中必定一个是奇数，一个是偶数不如设 m 为奇数， n 为偶数∵a m=a n，∴∵d1=3d2，∴∵ m 为奇数， n 为偶数，∴ 3m﹣ n﹣ 1 的最小正当为2，此时 d1=3， d2=1∴ 数列 {a nn．} 的通项公式为a =评论： 此题考察数列的通项，考察数列的乞降，考察学生剖析解决问题的能力，确立数列的通项是要点．20．（ 16 分）（ 2013?宁波模拟）已知函数 f （ x ） =x 3+ax 2﹣ a 2x+2 ， a ∈R ． （ 1）若 a ＜0 时，试求函数 y=f （x ）的单一递减区间；（ 2）若 a=0，且曲线 y=f （ x ）在点 A 、B （A 、 B 不重合）处切线的交点位于直线 x=2 上，证明： A 、 B 两点的横坐标之和小于 4；（ 3）假如对于全部 x 1、 x 2 、 x 3∈[0 ， 1] ，总存在以 f （ x 1）、 f （ x 2）、f （x 3）为三边长的三角形，试求正实数 a 的取值范围．考点 ： 利用导数研究函数的单一性；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题 ： 综合题．剖析： （ 1）求导函数，令 f' （ x ）＜ 0，联合 a ＜0，可得函数单一递减区间；（ 2）设在点 A （ x 1 3 2 3，x 1 +2 2+2）处切线的交点位于直线 x=2 上一点 P （ 2，t ），求出切线方程，）、B （ x ， x 代入点 P 的坐标，双方程相减，借助于基本不等式，即可证得 A 、 B 两点的横坐标之和小于 4；（ 3）先确立 0＜ a ＜ 2，再求导函数，确立函数的单一性与最小值，从而可确立正实数a 的取值范围．解答：（ 1）解： f'（ x ） =3x 2+2ax ﹣ a 2=3（x+a ）（ x ﹣ ）令 f' （ x ）＜ 0， ∵ a ＜ 0， ∴∴ 函数单一递减区间 [ ，﹣ a] ；（ 2）证明：当 a=0 时， f （ x ） =x 3+2设在点 A （ x 33x=2 上一点 P （ 2， t ），1，x 1 +2）、 B （ x 2， x 2 +2）处切线的交点位于直线 ∵ y ′=3x 2， ∴ 在点 A 处的切线斜率为 k=∴ 在 A 处的切线方程为y ﹣（ x 13+2） = 1（（ x ﹣ x ）3（（ 2﹣x 1）∵ 切线过点 P ， ∴ t ﹣（ x 1 +2 ） =∴①同理②①﹣②可得∵ x 1≠x 2， ∴∵ x 1≠x 2， ∴∴∴ 0＜ x 1+x 2 ＜4∴ A 、B 两点的横坐标之和小于4；2（ 3）解：由题设知， f （ 0）＜ f（ 1）+f （ 1），即 2＜ 2（﹣ a +a+3 ），∴ ﹣1＜ a＜ 2∵a＞ 0，∴0＜ a＜ 2∵∴ x∈时，f′（x）＜0，f（x）单一递减；当x∈时，f′（x）＞0，f（x）单一递加∴当 x=时，f（x）有最小值 f （）=﹣∴ f（）=﹣＞0① ，f（0）＜2（﹣）② ，f（1）＜2（﹣）③ ，由①得 a＜；由② 得，∵ 0＜a＜2，∴不等式③化为＜0令 g（ a）=，则g′（a）=，∴ g（a）为增函数∵ g（ 2）=﹣＜0，∴ 当时，g（a）＜0恒成立，即③ 成立∴正实数 a 的取值范围为．评论：此题考察导数知识的运用，考察函数的单一性，考察导数的几何意义，考察存在性问题的研究，正确求导是要点．三、 [选做题 ]在 A 、 B 、 C、 D 四小题中只好选做 2 题，每题 0 分，共 20 分．请在答题卡指定地区内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21．（ 2012?盐城三模）选修4﹣ 1：几何证明选讲：如图，⊙ O 的直径 AB 的延伸线与弦CD 的延伸线订交于点P，E 为⊙ O 上一点，，DE交AB于点F．求证：PF?PO=PA?PB．考点：与圆有关的比率线段．专题：证明题；直线与圆．剖析：先证明△PDF∽ △ POC，再利用割线定理，即可证得结论．解答：证明：连结OC、 OE，则∠ COE=2 ∠ CDE∵， ∴ ∠AOC= ∠AOE∴ ∠ AOC= ∠ CDE ∴ ∠ COP= ∠PDF ∵ ∠ P=∠P∴ △ PDF ∽ △POC∴∴ PF ×PO=PD ×PC 由割线定理可得PC ×PD=PA ×PB∴ PF?PO=PA?PB ．评论： 此题考察三角形相像，考察割线定理的运用，考察学生剖析解决问题的能力，属于基础题．22．（ 2012?盐城三模）选修 4﹣ 2：矩阵与变换：已知曲线 C ： x 2+y 2=1，对它先作矩阵 A=对应的变换，再作矩阵 B=对应的变换，获得曲线．务实数 b 的值．考点 ： 矩阵变换的性质．专题 ： 计算题．剖析：从曲线 C 1 变到曲线 C 2 的变换对应的矩阵为 BA ，而后在曲 C 1 上随意选一点 P （ x 0， y 0），设它在矩阵 BA对应的变换作用下变成 P'（ x'，y' ），成立关系式，将 P （x 0， y 0）代入 x 2+y 2=1，最后与 比较可得 b 的值．解答：解：从曲线 C 1 变到曲线 C 2 的变换对应的矩阵 BA= ? =在曲 C 1 上随意选一点 P （x 0， y 0），设它在矩阵 BA 对应的变换作用下变成 P'（ x'， y' ），则有?=故解得代入曲线 C 1 方程得， y'2+=1即曲线 C 2 方程为：+y 2=1与已知的曲线 C 2 的方程为：比较得（ 2b ） 2=4所以 b=±1评论： 此题主要考察了矩阵变换的性质，同时考察了计算能力和运算求解的能力，属于基础题．23．（ 2012?盐城三模）选修 4﹣ 4：坐标系与参数方程：在以 O 为极点的极坐标系中，直线 l 与曲线 C 的极坐标方程分别是和 ρsin 2θ=8cos θ，直线l 与曲线 C 交于点 A 、 B ，求线段 AB 的长．考点 ： 简单曲线的极坐标方程；直线与圆锥曲线的关系．剖析： 把两曲线化为一般方程，分别获得直线与抛物线的方程，联立直线与抛物线的分析式，消去y 获得对于 x的一元二次方程，求出交点A 与B 的坐标，利用弦长公式求出弦AB 的长度．解答： 解：直线 l 的直角坐标方程为 x ﹣y ﹣ 6=0 ，抛物线 C 的一般方程为 y 2=8x ，二者联立解得 A 和 B 的坐标为： A （2，﹣ 4），B （ 18， 12）∴ 线段 AB 的长：|AB|=．评论： 本小题主要考察圆的参数方程和直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线与圆的地点关系，属于基础题．24．（ 2012?盐城三模）选修 4﹣ 5：不等式选讲：解不等式：．考点 ： 绝对值不等式的解法．专题 ： 计算题；不等式的解法及应用．剖析：依据解绝对值不等式的方法， 经过分类议论将不等式|x ﹣ 1|＞ 化为整式不等式， 从而获得原不等式的解集．解答：解：不等式 |x ﹣ 1|＞ 可化为：当 x ＜ 0 时，原不等式成立；当 x ≥1 时，原不等式可化为 x （ x ﹣ 1）＞ 2，解得 x ＞ 2 或 x ＜﹣ 1，所以 x ＞2．当 0＜ x ＜ 1 时，原不等式可化为： x （ 1﹣ x ）＞ 2，此不等式无解，综上所述，原不等式的解集是 {x|x ＜ 0 或 x ＞ 2} ．评论： 此题考察的知识点是绝对值不等式的解法，此中将含绝对值符号的不等式化为整式不等式是解答此题的要点．四、 [必做题 ]每题 10 分，共 20 分．请在答题卡指定地区内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．（ 2012?盐城三模）一个袋中装有大小和质地都同样的 10 个球，此中黑球 4 个，白球 5 个，红球 1 个．（ 1）从袋中随意摸出 3 个球，记获得白球的个数为X ，求随机变量 X 的概率散布和数学希望E （ X ）；（ 2）每次从袋中随机地摸出一球，记下颜色后放回．求 3 次摸球后，摸到黑球的次数大于摸到白球的次数的概率．考点 ： 失散型随机变量的希望与方差；等可能事件的概率；n 次独立重复试验中恰巧发生 k 次的概率．专题 ： 综合题．剖析： （ 1）确立随机变量 X 的取值，求出相应的概率，即可获得随机变量的散布列及数学希望；（ 2）3 次摸球后，摸到黑球的次数大于摸到白球，包含 3 个黑球， 2 个黑球 1 个白球或 2 个黑球 1 个红球，由此可得结论．解答： 解：（ 1）随机变量 X 的取值为 0， 1， 2， 3，则P （X=0 ）= = ；P （X=1 ） = ； P （X=2 ） = = ； P （X=3 ） = = ．X 的散布列为 X 0123P。
2012南京三模试卷 数学(含参考答案)
南京市2012届高三年级第三次模拟考试数 学 2012.05参考公式：锥体的体积公式为V ＝13Sh ，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.请把答案写在答题纸的指定位置上. 1．已知集合A ＝{}1,1,3-，B ＝{}2,a a +，且B A ⊆，则实数a 的值是 ▲ ．答案:12．已知复数z 满足(2)5i z i -=（其中i 为虚数单位），则复数z 的模是 ▲ ． 答案:53．根据如图所示的流程图，若输入x 的值为 -7.5，则输出y 的值为 ▲ . 答案: -14．若将一颗质地均匀的骰子（各面上分别标有1、2、3、4、5、6个点的正方形玩具）先后抛掷两次，向上的点数依次为m 、n ，则方程220x mx n ++=无实根的概率是 ▲ ． 答案:7365．为了检测某自动包装流水线的生产情况，在流水线上随机抽取40件产品，分别称出它们的重量（单位:克）作为样本。
下图是样本的频率分布直方图，根据图中各组的组中值估计产品的平均重量是 ▲ 克. 答案:5076.已知正△ABC 的边长为1，73CP CA CB =+, 则CP AB ⋅= ▲ ． 答案: -27.已知α、β是两个不同的平面，下列四个条件： ①存在一条直线a ，a α⊥，a β⊥； ②存在一个平面γ，,γαγβ⊥⊥；③存在两条平行直线a 、b ，,a b αβ⊂⊂，a ∥β，b ∥α； ④存在两条异面直线a 、b ，,a b αβ⊂⊂，a ∥β，b ∥α。
其中是平面α∥平面β的充分条件的为= ▲ ．（填上所有符合要求的序号） 答案:①③8.若函数222,0(),0x x x f x x ax x ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩是奇函数，则满足()f x a >的x 的取值范围是 ▲ ．答案:(1)--+∞9.在直角坐标系xOy 中，记不等式组30270260y x y x y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩表示的平面区域为D ．若指数函数x y a =（a ＞0且1a ≠）的图象与D 有公共点，则a 取值范围是 ▲ ．答案:)+∞10．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线24y x =的焦点为F ，点P 在抛物线上，且位于x 轴上方．若点P 到坐标原点O的距离为，则过F 、O 、P 三点的圆的方程是 ▲ ． 答案:221725()()222x y -+-=11．已知sin()sin 0352ππααα++=--<<，则cos α= ▲ ．解答：3sin coscos sinsin sin )3326πππαααααα++==+= 4sin()65πα+=-，又366πππα-<+<，所以3cos()65πα+=。
2012年高考最新南京数学模拟试卷
18 ． （ 本 小 题 满 分 16 分 ） 设
an 是 公 差 不 为 零 的 等 差 数 列 ， S n 为 其 前 n 项 和 ， 满 足
2 2 2 2 a2 a3 a4 a5 ,S7 7 .(1) 求数列 an 的通项公式及前 n 项和 Sn ；试求所有的正整数
A
D E P F D B
C
16.证明： （1）方法一：取线段 PD 的中点 M，连结 FM，AM． 1 因为 F 为 PC 的中点，所以 FM∥CD，且 FM＝2CD． 因为四边形 ABCD 为矩形，E 为 AB 的中点， 1 所以 EA∥CD，且 EA＝2CD．所以 FM∥EA，且 FM＝EA． 所以四边形 AEFM 为平行四边形．所以 EF∥AM 又 AM平面 PAD， EF平面 PAD，所以 EF∥平面 PAD 方法二：连结 CE 并延长交 DA 的延长线于 N，连结 PN．
(2) ∵a,b,c 成等比数列,
∴b =ac 2 b 2 a 2 c 2 ac P≥ = 2ac 2ac
F M
2 ac ac 1 = 2 ac 2
∴0<B≤
3
∴
5 <2B+ ≤ 6 6 6
∴
1 ≤sin(2B+ )≤1，∴2≤f(B)≤3 2 6
3d (a4 a3 ) d (a4 a3 )
18.（1）设公差为 d ，则 a2
2
2 2 2 ，由性质得，因为 d 0 ， a5 a4 a3
所以 a4
即 2a1 5 d 0 a3 0 ，
， 又由 S7
7 得 7a1
76 解得 a1 5 ， d 7， 2
Q {x | f ( x) 1} ， 若 “ x Q ” 是 “ x P ” 的 必 要 不 充 分 条 件 , 则 实 数 t 的 取 值 范 围
2012年金陵中学、海安高级中学、南京外国语学校三校联考高三数学模拟卷
江苏省海安高级中学、南京外国语学校、金陵中学2012届高三联合考试数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．1．已知集合A ＝{x |x ≥0}，B ＝{x |x ＜1}，则A ∩B ＝ ▲ ． 2．已知x 是实数，x ＋i1－i 是纯虚数，则x 的值是 ▲ ．3．根据如图所示的流程图，当输入的正整数n 的值为5时， 输出的a n 的值是 ▲ ．4．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 的横、 纵坐标，则点P 在直线x ＋y ＝5下方的概率是 ▲ ． 5则该运动员的平均得分为 ▲ ． 6．不等式lg(－x )＜x ＋1的解集为 ▲ ．7．底面边长为2m ，高为1m 的正三棱锥的全面积为 ▲ m 2． 8．在等比数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和为S n ．若数列{S n ＋12}也是等 比数列，则S n 等于 ▲ ．9．已知函数f (x )＝kx 3－3(k ＋1)x 2－k 2＋1，若f (x )的单调减区间是(0，4)，则在曲线y ＝f (x )的切线中，斜率最小的切线方程是 ▲ ．10．若tan α＝3tan β，且0≤β＜α＜π2，则α－β的最大值为 ▲ ．0 9 1 055 2 8 3 1（第5题）（第3题）11．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右顶点A 作斜率为－1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B ，C ，若AB →＝12BC →，则双曲线的离心率是 ▲ ． 12．△ABC 的面积为1，点D 在AC 上，DE ∥AB ，连结BD ，设△DCE 、△ABD 、△BDE 中面积最大者的值为y ，则y 的 最小值为 ▲ ． 13．在△ABC 中，若a ＝2，b －c ＝1，△ABC 的面积为3，则→AB ·→AC ＝ ▲ ．14．已知使函数f (x )＝x 3－ax 2－1(0≤a ≤M 0)存在整数零点的实数a 恰有3个，则M 0的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知函数f (x )＝3sin x 4cos x 4＋cos 2x4．（1）若f (x )＝1，求cos(2π3－x )的值；（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足a cos C ＋12c ＝b ，求f (B )的取值范围． 16．（本小题满分14分）如图，已知BC 是半径为1的半圆O 的直径，A 是半圆周 上不同于B ，C 的点，F 为⌒AC 的中点．梯形ACDE 中，DE ∥AC ， 且AC ＝2DE ，平面ACDE ⊥平面ABC ．求证：（1）平面ABE ⊥平面ACDE ； （2）平面OFD ∥平面BAE ．F EACBD（第12题）ABDE如图，将边长为3的正方形ABCD 绕中心O 顺时针旋转α (0＜α＜π2)得到正方形A ′B ′C ′D ′．根据平面几何知识，有以下两个结论：①∠A ′FE ＝α；②对任意α (0＜α＜π2)，△EAL ，△EA ′F ，△GBF ，△GB ′H ，△ICH ，△IC ′J ，△KDJ ，△KD ′L 均是全等三角形．（1）设A ′E ＝x ，将x 表示为α的函数； （2）试确定α，使正方形A ′B ′C ′D ′与正方形ABCD 重叠部分面积最小，并求最小面积．D'已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝32，椭圆C 的上、下顶点分别为A 1，A 2，左、右顶点分别为B 1，B 2,左、右焦点分别为F 1，F 2．原点到直线A 2B 2的距离为255． （1）求椭圆C 的方程；（2）过原点且斜率为12的直线l ，与椭圆交于E ，F 点，试判断∠EF 2F 是锐角、直角还是钝角，并写出理由；（3）P 是椭圆上异于A 1，A 2的任一点,直线PA 1，PA 2，分别交x 轴于点N ，M ,若直线OT 与过点M ，N 的圆G 相切，切点为T .证明：线段OT 的长为定值,并求出该定值.19．（本小题满分16分）设数列{a n }是一个公差不为零的等差数列，且a 5＝6．（1）当a 3＝3时，请在数列{a n }中找一项a m (m ＞5)，使a 3，a 5，a m 成等比数列；（2）当a 3＞1时，如果存在自然数m 1，m 2，…，m t ，…，满足5＜m 1＜m 2＜…＜m t ＜…，且a 3，a 5，a m 1，a m 2，…，a m t ，…构成一个等比数列，求a 3的一切可能值；（3）在（2）中的a 3取最小正整数值时，求证： t =1n3t +1m t m t ＋1＜122．20．（本小题满分16分）设f (x )是定义在[a ，b ]上的函数，用分点T ：a ＝x 0＜x 1＜…＜x i －1＜x i ＜…＜x n ＝b ，将区间[a ，b ]任意划分成n 个小区间，若存在常数M ，使∑i =1n|f (x i )－f (x i －1)|≤M 恒成立，则称f (x )为[a ，b ]上的有界变差函数．（1）判断函数f (x )＝x ＋cos x 在[－π，π]上是否为有界变差函数，并说明理由；（2）定义在[a ，b ]上的单调函数f (x )是否一定为有界变差函数？若是，请给出证明；若不是，请说明理由；（3）若定义在[a ，b ]上的函数f (x )满足：存在常数k ，使得对于任意的x 1，x 2∈[a ，b ]，| f (x 1)－f (x 2)|≤k |x 1－x 2|．证明：f (x )为[a ，b ]上的有界变差函数．江苏省海安高级中学、南京外国语学校、金陵中学2012届高三联合考试数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．请在答．题．卡指定区域内．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图，AB 为半圆O 的直径，点C 在半圆O 上方，连结AC 交半圆O 于点D ，过点C 作线段AB 的垂线CE ，垂足为E ． 求证：B ，C ，D ，E 四点共圆．B ．选修4—2：矩阵与变换 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 3．（1）求矩阵MN ；（2）若点P 在矩阵MN 对应的变换作用下得到Q (0，1)，求点P 的坐标．C ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，设O 为极点，点P 为直线ρcos θ＝1与圆ρ＝2sin θ的切点，求OP 的长．D ．选修4—5：不等式选讲AEBCDO· （第21－A 题）已知：a ，b ，c 都是正数，a ＋2b ＋3c ＝9．求证：14a ＋118b ＋1108c ≥19．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共20分．请在答．题卡指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．甲、乙两队进行一场排球比赛，根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为23，本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，此时比赛结束．设各局比赛相互之间没有影响．令X 为本场比赛的局数，求X 的概率分布和数学期望．23．设P 1，P 2，…，P j 为集合P ＝{1，2，…，i }的子集，其中i ，j 为正整数．记a ij 为满足P 1∩P 2∩…∩P j ＝ 的有序子集组(P 1，P 2，…，P j )的个数． （1）求a 22的值； （2）求a ij 的表达式．江苏省海安高级中学、南京外国语学校、金陵中学2012届高三联合考试数学Ⅰ参考答案及评分建议说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．{x |0≤x ＜1} 2．1 3． 32 4．16 5．18 6．{x |－1＜x ＜0} 7．3 3 8．3n －12 9．12x ＋y －8＝0 10．π6 11． 5 12．3－52 13．134 14．[269，6316)二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．本题主要考查两角和与差的正、余弦公式、二倍角的正、余弦公式，正、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力．满分14分．解：（1）f (x )＝3sin x 4cos x 4＋cos 2x 4＝32sin x 2＋12cos x 2＋12＝sin(x 2＋π6)＋12．………………… 3分由f (x )＝1，可得sin(x 2＋π6)＝12， 解法一：令θ＝x 2＋π6，则x ＝2θ－π3．cos(2π3－x )＝cos(π－2θ)＝－cos2θ＝2sin 2θ－1＝－12． ………………… 6分 解法二：x 2＋π6＝2k π＋π6，或x 2＋π6＝2k π＋5π6，k ∈Z ． 所以x ＝4k π，或x ＝4k π＋4π3，k ∈Z ．当x ＝4k π，k ∈Z 时，cos(2π3－x )＝cos 2π3＝－12；当x ＝4k π＋4π3，k ∈Z 时，cos(2π3－x )＝cos(－2π3)＝－12； 所以cos(2π3－x )＝－12．………………… 6分（2）解法一：由a cos C ＋12c ＝b ，得a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋12c ＝b , 即b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12．因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3，B ＋C ＝2π3． ………………… 10分 所以0＜B ＜2π3，所以π6＜B 2＋π6＜π2，所以f (x )＝sin(B 2＋π6)＋12∈(1，32)． ………………… 14分 解法二：由a cos C ＋12c ＝b ，得sin A cos C ＋12sin C ＝sin B ． 因为在△ABC 中，sin B ＝sin(A ＋C )，所以sin A cos C ＋12sin C ＝sin(A ＋C )，sin A cos C ＋12sin C ＝sin A cos C ＋cos A sin C ， 所以12sin C ＝cos A sin C ，又因为sin C ≠0，所以cos A ＝12．因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3，B ＋C ＝2π3． ………………… 10分 所以0＜B ＜2π3，所以π6＜B 2＋π6＜π2，所以f (x )＝sin(B 2＋π6)＋12∈(1，32)． ………………… 14分16．本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力．满分14分．证明：（1）因为平面ACDE ⊥平面ABC ，平面ACDE ∩平面ABC ＝AC ，AB ⊂平面ABC ，又在半圆O 中，AB ⊥AC ．所以AB ⊥平面ACDE ．因为AB ⊂平面ABE ，所以平面ABE ⊥平面ACDE ． ………………… 6分（2）设线段AC 与OF 交于点M ，连结MD ．因为F 为⌒AC 的中点，所以OF ⊥AC ，M 为AC 的中点．因为AB ⊥AC ，OF ⊥AC ，所以OF ∥AB ． 又OF ⊄平面BAE ，AB ⊂平面ABE ，所以OF ∥平面BAE ． ………………… 8分 因为M 为AC 的中点，且DE ∥AC ，AC ＝2DE ，所以DE ∥AM ，且DE ＝AM ． 所以四边形AMDE 为平行四边形，所以DM ∥AE ．又DM ⊄平面BAE ，AE ⊂平面ABE ，所以DM ∥平面BAE ． ………………… 11分 又OF ∥平面BAE ，MD ∩OF ＝M ，MD ⊂平面OFD ，OF ⊂平面OFD ，所以平面OFD ∥平面BAE ． ………………… 14分 17．本题主要考查数学建模和解决实际问题的能力，考查运算求解能力．满分14分．解：（1）在Rt △EA ′F 中，因为∠A ′FE ＝α，A ′E ＝x ，所以EF ＝x sin α，A ′F ＝xtan α ．由题意AE ＝A ′E ＝x ，BF ＝A ′F ＝xtan α，所以AB ＝AE ＋EF ＋BF ＝x ＋x sin α＋xtan α＝3．所以x ＝3sin α1＋sin α＋cos α，α∈(0，π2) ………………… 6分（2）S △A ′EF ＝12•A ′E •A ′F ＝12•x •x tan α＝x 22tan α＝(3sin α1＋sin α＋cos α)2•cos α2sin α＝9sin αcos α2(1＋sin α＋cos α)2． ………………… 9分 令t ＝sin α＋cos α，则sin αcos α＝t 2－12．因为α∈(0，π2)，所以α＋π4∈(π4，3π4)，所以t ＝2sin(α＋π4)∈(1，2]． S △A ′EF ＝9(t 2－1)4(1＋t )2＝94(1－2t ＋1)≤94(1－22＋1)．正方形A ′B ′C ′D ′与正方形ABCD 重叠部分面积 S ＝S 正方形A ′B ′C ′D ′－4S △A ′EF ≥9－9 (1－22＋1)＝18(2－1)． 当t ＝2，即α＝π4时等号成立． ………………… 14分答：当α＝π4时，正方形A ′B ′C ′D ′与正方形ABCD 重叠部分面积最小，最小值为18(2－1)．F EO AC B DM18．本题主要考查椭圆的标准方程及简单性质、平面向量的坐标运算及直线和圆等基础知识，考查运算求解、分析探究及推理论证的能力．满分16分． （1）因为椭圆C 的离心率e ＝32，故设a ＝2m ，c ＝3m ，则b ＝m ． 直线A 2B 2方程为 bx －ay －ab ＝0， 即mx －2my －2m 2＝0． 所以2m 2m 2＋4m2＝255，解得m ＝1．所以 a ＝2，b ＝1，椭圆方程为x 24＋y 2＝1． ………………… 5分（2）由⎩⎨⎧x 24＋y 2＝1，y ＝12x ，得E (2，22)，F (－2，－22)．又F 2(3，0)，所以F 2E →＝(2－3，22)，F 2F →＝(－2－3，－22)， 所以F 2E →·F 2F →＝(2－3)×(－2－3)＋22×(－22)＝12＞0．所以∠EF 2F 是锐角． ………………… 10分 （3）由（1）可知A 1(0，1) A 2(0，－1),设P (x 0，y 0), 直线P A 1：y －1＝y 0－1x 0x ，令y ＝0,得x N ＝－x 0y 0－1；直线P A 2：y ＋1＝y 0＋1x 0x ，令y ＝0,得x M ＝x 0y 0＋1；解法一:设圆G 的圆心为(12(x 0y 0＋1－x 0y 0－1)，h ),则r 2＝[12(x 0y 0＋1－x 0y 0－1)－x 0y 0＋1]2＋h 2＝14(x 0y 0＋1＋x 0y 0－1)2＋h 2．OG 2＝14(x 0y 0＋1－x 0y 0－1)2＋h 2．OT 2＝OG 2－r 2＝14(x 0y 0＋1－x 0y 0－1)2＋h 2－14(x 0y 0＋1＋x 0y 0－1)2－h 2＝x 021－y 02．而x 024＋y 02＝1，所以x 02＝4(1－y 02)，所以OT 2＝4，所以OT ＝2,即线段OT 的长度为定值2. ………………… 16分解法二:OM ·ON ＝|(－x 0y 0－1)·x 0y 0＋1|＝x 021－y 02,而x 024＋y 02＝1，所以x 02＝4(1－y 02)，所以OM ·ON ＝4． 由切割线定理得OT 2＝OM ·ON ＝4．所以OT ＝2,即线段OT 的长度为定值2.………………… 16分19．本题主要考查等差，等比数列的概念、通项公式与求和公式等基础知识，考查运算求解、分析探究的能力，综合思维能力．满分16分． （1）因为a 52＝a 3a m ，所以a m ＝a 52a 3＝12．设数列{a n }的公差为d ．则a m ＝a 3＋(m －3)d ＝3＋(m －3)×32＝12，所以m ＝9． ………………… 5分 （2）因为数列{a n }是一个公差不为零的等差数列，且a 5＝6，所以a m t ＝a 3＋(m t －3)×6－a 32( m t ＞5，m t ∈N*)又 a m t ＝a 3(6a 3)t ＋1，故 a 3(6a 3)t ＋1＝a 3＋(m t －3)×6－a 32，即 6t ＋1－a 3t ＋1a 3t＝(m t －3)×6－a 32，故 (6－a 3)(6t ＋6t －1a 3＋…＋6a 3t －1＋a 3t )a 3t ＝(m t－3)×6－a 32． 由a 3≠a 5，所以a 3≠6．m t ＝5＋2[(6a 3)t ＋(6a 3)t －1＋…＋(6a 3)]，t ∈N*．当t ＝1时，m 1＝5＋2×6a 3＝5＋12a 3．由m 1∈N*，且a 3＞1， 则12a 3＝1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11．当t ＝2时，m 2＝5＋2×[(6a 3)2＋6a 3]，所以12a 3为奇数时，m 2不为整数，不符合．所以，12a 3＝2，4，6，8，10．从而a 3＝6，3，2，32，65，又因为数列{a n }是一个公差不为零的等差数列，且a 3≠6．所以a 3＝3，2，32，65．经检验均满足题意． ………………… 12分 （3）由（2）以及a 3取最小整数，可得a 3＝2，m t ＝5＋2(3t ＋3t －1＋…＋3)＝5＋2×(3t ＋1－3)2＝3t ＋1＋2． 3t +1m t m t ＋1＝3t ＋1( 3t ＋1＋2)( 3t ＋2＋2)＝12(13t ＋1＋2－13t ＋2＋2)， ∑t =1n3t +1m t m t ＋1＝∑t =1n 12(13t ＋1＋2－13t ＋2＋2)＝12(131＋1＋2－13n ＋2＋2)＜12×131＋1＋2＝122． ………………… 16分20．本题主要考查函数的概念、性质及导数等基础知识，考查阅读理解能力，灵活运用化归 与转化思想进行分析、探究及推理论证的能力．满分16分．（1）易得f ′(x )＝1－sin x ≥0，x ∈[－π，π]，所以f (x )＝x ＋cos x 为区间[－π，π]上的单调增函数， 故当x i －1＜x i 时，总有f (x i －1)＜f (x i )，此时，∑i =1n|f (x i )－f (x i －1)|＝∑i =1n[f (x i )－f (x i －1)]＝f (x n )－f (x 0)＝f (π)－f (－π)＝2π．所以函数f (x )＝x ＋cos x 在[ ]-ππ，上为有界变差函数； …………5分 （2）因为函数f (x )为区间[－π，π]上的单调函数，所以当x i －1＜x i 时，总有f (x i －1)＜f (x i )（或f (x i －1)＞f (x i )）， …………7分 故∑i =1n|f (x i )－f (x i －1)|＝|∑i =1n[f (x i )－f (x i －1)]|＝|f (x n )－f (x 0)|＝| f (b )－f (a )|．故存在常数M ＝|f (b )－f (a )|，使得∑i =1n|f (x i )－f (x i －1)|≤M 恒成立，所以定义在[a ，b ]上的单调函数f (x )为有界变差函数； …………10分 （3）因为存在常数k ，使得对于任意的x 1，x 2∈[a ，b ]，| f (x 1)－f (x 2)|≤k |x 1－x 2|． 所以∑i =1n|f (x i )－f (x i －1)|≤∑i =1nk |x i －x i －1|＝k (b －a )． …………14分故存在常数M ＝k (b －a )，使得∑i =1n|f (x i )－f (x i －1)|≤M 恒成立，所以f (x )为[a ，b ]上的有界变差函数． …………16分江苏省海安高级中学、南京外国语学校、金陵中学2012届高三联合考试数学Ⅱ参考答案及评分建议21．A ．选修4—1：几何证明选讲本小题主要考查圆的几何性质等基础知识，考查推理论证能力．满分10分．证明：如图，连结BD ， 因为AB 为半圆O 的直径，所以∠ADB 为直角，即有∠CDB 为直角， …………4分 又CE 为线段AB 的垂线，所以∠CEB 为直角，所以∠CDB ＝∠CEB …………8分故B ，C ，D ，E 四点共圆． …………10分B ．选修4—2：矩阵与变换本小题主要考查二阶矩阵的乘法及变换，考查运算求解能力．满分10分．（1）MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 54 9； …………5分（2）设P (x ，y )，则解法一：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 54 9 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01，即⎩⎨⎧2x ＋5y ＝0，4x ＋9y ＝1．解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52，y ＝－1，即P (52，－1)． …………10分解法二：因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 54 9－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－92 52 2 －1．所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－92 52 2 －1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 52－1． 即P (52，－1)． …………10分 C ．选修4—4：坐标系与参数方程本小题主要考查直线与圆的极坐标方程与普通方程的互化等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．解：将直线ρcos θ＝1化为直角坐标方程得x ＝1， …………3分将圆ρ＝2sin θ化为直角坐标方程得x 2＋(y －1)2＝1， …………7分 易得切点P 的坐标为 (1，1)，AE BCDO· （第21－A 题）所以OP ＝2． …………10分 D ．选修4—4：不等式选讲本小题主要考查柯西不等式等基础知识，考查推理论证能力．满分10分． 证明：因为a ，b ，c 都是正数，所以(a ＋2b ＋3c )(14a ＋118b ＋1108c )≥(a •14a ＋2b •118b ＋3c •1108c )2＝1． …………8分因为a ＋2b ＋3c ＝9，所以14a ＋118b ＋1108c ≥19．22．本题主要考查概率分布及数学期望等基础知识，考查运算求解及推理论证的能力．满分10分．解：单局比赛甲队胜乙队的概率为23，乙队胜甲队的概率为1－23＝13．比赛三局结束有两种情况：甲队胜三局或乙队胜三局，因而 P (X ＝3)＝(23)3＋(13)3＝13；…………3分比赛四局结束有两种情况：前三局中甲队胜2局，第四局甲队胜；或前三局中乙队胜2局，第四局乙队胜，因而P (X ＝4)＝C 23(23)2×13×23＋C 23(13)2×23×13＝1027； …………6分 解法一：比赛五局结束有两种情况：前四局中甲队胜2局，乙队胜2局、第五局中甲队胜或乙队胜，因而P (X ＝5)＝C 24(23)2×(13)2×23＋C 24(13)2×(23)2×13＝C 24(13)2×(23)2＝827； 所以X…………8分E (X )＝3×13＋4×1027＋5×827＝10727． …………10分 解法二：P (X ＝5)＝1－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝827； 所以X 的概率分布表为…………8分E (X )＝3×13＋4×1027＋5×827＝10727． …………10分 23．本题主要考查两个基本计数原理等基础知识，考查分析探究的能力．满分10分． 解：（1）由题意得P 1，P 2为集合P ＝{1，2}的子集，因为P 1∩P 2＝∅，所以集合P ＝{1，2}中的元素“1”共有如下3种情形： 1∉P 1，且1∉ P 2；1∈P 1，且1∉ P 2；1∉P 1，且1∈P 2； 同理可得集合P ＝{1，2}中的元素“2”也有3种情形，根据分步乘法原理得，a 22＝3×3＝9； …………4分 （2）考虑P ＝{1，2，…，i }中的元素“1”，有如下情形： 1不属于P 1，P 2，…，P j 中的任何一个，共C 0j 种； 1只属于P 1，P 2，…，P j 中的某一个，共C 1j 种； 1只属于P 1，P 2，…，P j 中的某两个，共C 2j 种； ……1只属于P 1，P 2，…，P j 中的某(j －1)个，共C j －1j 种，根据分类加法原理得，元素“1”共有C 0j ＋C 1j ＋C 2j ＋…＋C j －1j ＝2j －1种情形，…………8分 同理可得，集合P ＝{1，2，…，i }中其它任一元素均有(2j －1)种情形，根据分步乘法原理得，a ij ＝(2j －1)i ． …………10分。
江苏省南京市2012届高三3月第二次模拟考试数学试卷
江苏省南京市2012届高三3月第二次模拟考试数学试卷数学试卷一．填空题1.已知集合}|{},,02|{2a x x B R x x x x A ≥=∈≤-=,若B B A =⋃,则实数a 的取值范围是_______________ 2.已知i b iia -=+3，其中Rb a ∈,，i 为虚数单位，则b a +=_____________ 3.某单位从4名应聘者A,B,C,D 中招聘2人，如果这4名应聘者被录用的机会均等，则A,B 两人中至少有1人被录用的概率是________________4.某日用品按行业质量标准分为五个等级，等级系数X 依次为1,2,3,4,5，现从一批该日用品中随机抽取200件，对其等级系数进行统计分析，得到频率f 的分布表如下：则在所抽取的200件日用品中，等级系数X=1的件数为_______________5.已知变量x,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≥+.2,1,2y y x y x 则目标函数y x z +-=2的取值范围是_________6.已知双曲线1222=-y ax 的一条渐近线方程为02=-y x ,则该双曲线的离心率e=_______7.已知圆C 经过直线022=+-y x 与坐标轴的两个交点,又经过抛物线x y 82=的焦点,则圆C 的方程为________________ 8.设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，若3163=S S ,则=76S S _____________ 9.已知函数)2||,0,0)(sin(πϕωϕω<>>+=A x A y 的部分图像如图所示，则ω的值为___10.在如果所示的流程图中，若输入n 的值为11.则输出A 的值为______ 11.一块边长为10cm 的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点P 为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥容器，12.下列四个命题：（1）“01,2≤+-∈∃x x R x ”的否定; (2)“若2,062>≥-+x x x 则”的否命题； (3)在ABC ∆中，“oA 30>”是“21sin >A ”的充分不必要条件； (4)“函数)tan()(ϕ+=x x f 为奇函数”的充要条件是“)(Z k k ∈=πϕ”. 其中真命题的序号是____________________(真命题的序号都填上)13.在面积为2的ABC ∆中，E,F 分别是AB ，AC 的中点，点P 在直线EF 上，则2BC PB PC +⋅的最小值是______________14.已知关于x 的方程03)2(log 22222=-+++a x a x 有唯一解，则实数a 的值为________ 二、解答题15．（本题满分14分）设向量a ＝(2，sin θ)，b ＝(1，cos θ)，θ为锐角 （1）若a ·b =613,求sin θ+cos θ的值； （2）若a //b ,求sin(2θ+3π)的值．16. （本题满分14分）如图，四边形ABCD 是矩形，平面ABCD ⊥平面BCE ，BE ⊥EC. （1） 求证：平面AEC ⊥平面ABE ； （2） 点F 在BE 上，若DE//平面ACF ，求BEBF的值。