南京市2017届高三年级三模数学卷

南京市2017届高三年级第三次模拟考试

数 学 2017.05

注意事项：

1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．

2．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡．．．

上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡． 参考公式：

方差s 2＝1

n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其中x 为x 1，x 2，…，x n 的平均数．

柱体的体积公式：V ＝Sh ，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高． 锥体的体积公式：V ＝1

3

Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．

上． 1．已知全集U ＝{1，2，3，4}，集合A ＝{1，4}，B ＝{3，4}，则∁U

(A ∪B )＝ ▲ ．

2．甲盒子中有编号分别为1，2的2个乒乓球，乙盒子中有编号分别为3，4，5，6的4个乒乓球．现分别从两个盒子中随机地各取出1个乒乓球，则取出的乒乓球的编号之和大于6的概率为 ▲ ． 3．若复数z 满足z ＋2－

z ＝3＋2i ，其中i 为虚数单位，－

z 为 复数z 的共轭复数，则复数z 的模为 ▲ ．

4．执行如图所示的伪代码，若输出y 的值为1， 则输入x 的值为 ▲ ．

5．如图是甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则在这五场比赛中得分较为稳定（方差较小）的那名运动员的得分的方差为 ▲ ．

6．在同一直角坐标系中，函数y ＝sin(x ＋π3) （x ∈[0，2π]）的图象和直线y ＝1

2

的交点的个数是 ▲ ．

7 7 9 0 8 9

4 8 1 0

3 5 甲 乙 （第5题图）

（第4题图）

7．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 22m 2－y 2

3m ＝1的焦距为6，则所有满足条件的实数m 构成的集合是

▲ ．

8．已知函数f (x )是定义在R 上且周期为4的偶函数．当x ∈[2，4]时，f (x )＝|log 4(x －3

2)|，

则f (1

2

)的值为 ▲ ．

9．若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 3－a 1＝2，则a 5的最小值为 ▲ ． 10．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1，BC ＝2，BB 1＝3，∠ABC ＝90°，点D 为侧棱BB 1上的动点．当AD ＋DC 1最小时，三棱锥D －ABC 1的体积为 ▲ ．

11．（2017南京三模）若函数f (x )＝e x (－x 2＋2x ＋a )在区间[a ，a ＋1]上单调递增，则实数a 的最大值为 ▲ ．

12．（2017南京三模）在凸四边形ABCD 中， BD ＝2，且AC →·BD →＝0，(AB →＋→DC )•(→BC ＋→AD )＝5，则四边形ABCD 的面积为 ▲ ．

13.（2017南京三模） 在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x ＋a ＋3)2＋(y －2a )2＝1(a 为实数)．若圆O 与圆M 上分别存在点P ，Q ，使得∠OQP ＝30 ，则a 的取值范围为 ▲ ． 14．（2017南京三模）已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋2b ≤8c ，2a ＋3b ≤2c ，则3a ＋8b c

的取值范围为 ▲ ．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．

作答，解答时应写出文字说明、证

明过程或演算步骤．

15．（2017南京三模）（本小题满分14分）如图，在三棱锥A －BCD 中，E ，F

分别为棱BC ，CD 上的点， 且BD ∥平面AEF ．

（1）求证：EF ∥平面ABD ；

（2）若BD ⊥CD ，AE ⊥平面BCD ，求证：平面AEF ⊥平面ACD ．

16．（2017南京三模）（本小题满分14分）已知向量a ＝(2cos α，sin 2α)，b ＝(2sin α，t )，α∈(0，π2)．

（1）若a －b ＝(25，0)，求t 的值；（2）若t ＝1，且a • b ＝1，求tan(2α＋π

4

)的值．

17．（2017南京三模）（本小题满分14分）在一水域上建一个演艺广场．演艺广场由看台Ⅰ，看台Ⅱ，三角形水域ABC ，及矩形表演台BCDE 四个部分构成（如图）．看台Ⅰ，看台Ⅱ是分别以AB ，AC 为直径的两个半圆形区域，且看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍；矩形表演台BCDE 中，CD ＝10米；三角形水域ABC 的面积为4003平方米．设∠BAC ＝θ． （1）求BC 的长（用含θ的式子表示）；

A

C

B A 1

B 1

C 1

D

（第10题图）

A

B

C

F

E D

（第15题图）

（2）若表演台每平方米的造价为0.3万元，求表演台的最低造价．

18．（2017南京三模）（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的

右顶点和上顶点分别为A ，B ，M 为线段AB 的中点，且OM →·AB →

＝－32b 2．

（1）求椭圆的离心率；

（2）已知a ＝2，四边形ABCD 内接于椭圆，AB ∥DC ．记直线AD ，BC 的 斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1·k 2为定值．

19．（2017南京三模）（本小题满分16分）已知常数p ＞0，数列{a n }满足a n ＋1＝|p －a n |＋2 a n ＋p ，n ∈N *．

（1）若a 1＝－1，p ＝1，①求a 4的值；②求数列{a n }的前n 项和S n ．

（2）若数列{a n }中存在三项a r ，a s ，a t (r ，s ，t ∈N *，r ＜s ＜t )依次成等差数列，求a 1

p 的取值范围．

20．（2017南京三模）（本小题满分16分）已知λ∈R ，函数f (x )＝e x －e x －λ(x ln x －x ＋1)的导函数为g (x )． （1）求曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程； （2）若函数g (x )存在极值，求λ的取值范围； （3）若x ≥1时，f (x )≥0恒成立，求λ的最大值．

南京市2017届高三第三次模拟考试

数学参考答案及评分标准

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.）

1．{2} 2．3

8

3． 5 4．－1 5．6.8 6．2

7．{32} 8．12 9．8 10．1

3 11．－1＋52 12．3

13．[－6

5

，0] 14．[27，30]

二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分）

证明：（1）因为BD ∥平面AEF ，BD ⊂平面BCD ，平面AEF ∩平面BCD ＝EF ， 所以 BD ∥EF ． …………………… 3分

因为BD ⊂平面ABD ，EF ⊄平面ABD ，所以 EF ∥平面ABD ． …………………… 6分 （2）因为AE ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，所以 AE ⊥CD ． …………………… 8分 因为 BD ⊥CD ，BD ∥EF ，所以 CD ⊥EF ， …………………… 10分

又 AE ∩EF ＝E ，AE ⊂平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，所以 CD ⊥平面AEF ． …………………… 12分

x y O

C

B

D

M

A

（第18题图）