S&Sch3-4卷积积分的计算与性质

h1 (t )
h2 (t )
y (t ) = [ x(t ) * h1 (t )] * h2 (t )
等价于
x(t )
h1 (t )
h2 (t )
y (t ) = x(t ) *[h1 (t ) * h2 (t )]
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4.微分特性
y (t ) = x(t ) * h(t )
8.展缩特性
1 x`(a )∗x (a ) = y(a ) t 2 t t 1 a
x1 (at ) ∗ x2 (at ) =
aτ = x
∫
∞
−∞
x1 (aτ ) ⋅ x2 (a (t − τ ))dτ
1 = a
∫
∞
−∞
x1 ( x) ⋅ x2 (at − x)dx
1 = y (at ) a
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p1 (t ) 1
p1 (τ )
-0.5 0.5
0 .5 + t − 0.5
τ
t
y (t ) = ∫
c) 0 < t ≤ 1
dt = 1 + t
p1 (t ) ∗ p1 (t ) 1
y (t ) = ∫−0.5+t dt = 1 − t
0 .5
t -1 1
d) t >1
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二、图形计算
y (t ) = x(t ) ∗ h(t ) = ∫
步骤： 步骤： 1. 将x(t)和h(t)中的自变量由 t 改为τ； 2. 把其中一个信号翻转得h(-τ)，再平移t；
h(τ ) →h(−τ ) →h(−(τ −t)) = h(t −τ )
翻转 平移 t
∞ −∞
y (t) = 0
计算 y(t)= x(t)* h(t) (练习)
x(t )
2
1
0
h(t )
2
t
0
1
2
t
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口算练习1：u(t) * u(t)
x(t )
1
t
0
= r(t)
口算练习2：计算 y (t) = x(t) * h(t)。
h(t )
1
0
1
2
t
y (t )
∫
t
−∞
x (τ )d τ = x
( − 1)
(t )
说明：系统函数 h(t ) = u (t ) ，则系统为积分器
x(t )
u (t )
y (t ) = ∫
t
−∞
x(τ )dτ
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利用等效特性计算卷积
[例] 利用等效特性，计算y(t) = x (t) * h(t)。
y (t ) = ∫
d) t >1
0 .5 − 0.5 + t
dt = 1 − t
1
τ
− 0.5 + t 0.5 + t
y (t) = 0
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[例] 计算 y(t) = p1(t) * p1(t)。 a) −∞ < t ≤ −1 b) −1 < t ≤ 0 y (t) = 0
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3.4.1 卷积的计算
卷积的定义： 卷积的定义：
y (t ) = x(t ) ∗ h(t ) = ∫
∞
−∞
x(τ )h(t − τ )dτ
计算方法：解析计算和图形计算
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一、解析计算
例：已知 x1 (t ) = e −3t u (t ),
1
0
t
3−t
1 国家电工电子教学基地2 信号与系统系列课程组
3
t
3.4.2 卷积的性质
y (t ) = x(t ) ∗ h(t )∆ ∫ ∆∫
∞
−∞
x(τ )h(t − τ )dτ x(t − τ )h(τ )dτ
∞
−∞
卷积积分的性质：(与乘法有很多相似的特性) 交换律 分配律 结合律 平移特性 展缩特性
6 ∫ ∞ e −2τ e − (t −τ ) dτ t > 0 = 0 = 6(e −t − e −2t )u (t ) 0 t<0
(2) 利用卷积的平移性质和题(1)的结论 ) 2e −2(t −1) u (t − 1) ∗ 3e − (t − 2) u (t − 2)
=6 e−(t−3) −e−2(t−3) )u(t −3 ( )
3 .4.3 奇异信号的卷积
(1) 延时特性 x (t) * δ (t −T) = x (t −T) (2) 微分特性 x (t) * δ '(t) = x '(t) (3) 积分特性 x(t ) ∗ u (t ) = (4) 等效特性
∫
t
−∞
x(τ )dτ = x ( −1) (t )
x1 (t ) ∗ x2 (t ) = x1( −1) (t ) ∗ x2 ' (t )
p1 (t ) 1
p1 (τ )
-0.5 0.5
τ
t
τ
a) −∞ < t ≤ −1 y (t) = 0 b) −1 < t ≤ 0
0.5 −1 ≤ t < 0 p1 (τ ) p1 (t − τ )
1
τ
− 0.5 + t 0.5 + t
y (t ) = ∫
0.5 + t − 0 .5
dt = 1 + t
求： y(t) = x1 (t) ∗ x2 (t )
注意： 1.结果的始点为两信号始点之和, 终点为两信号终点之和。 2.方波和方波卷积结果是等腰梯形。
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[例] 计算 y(t) = p1(t) * p1(t)。
− ∞ < t < −1 p1 (τ ) p1 (t − τ ) 1 − 0.5 + t 0.5 + t
3.4 卷积积分
卷积是计算零输入响应 yzs (t) 的基本工具。
卷积的定义：
y (t ) = x(t ) ∗ h(t )∆ ∫ ∆∫
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∞
−∞
x(τ )h(t − τ )dτ x(t − τ )h(τ )dτ
∞
−∞
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卷积积分的计算和性质
卷积积分的计算 卷积积分的性质 交换律 分配律 结合律 平移特性 展缩特性 奇异信号的卷积积分 延迟特性 微分特性 积分特性 等效特性
= x1 ' (t ) ∗ x (2−1) (t )
= [ x1 ' (t ) ∗ x2 (t )]
( −1)
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1.延迟特性
x(t) * δ (t -T) = x(t -T) 应用：周期延拓 xT (t ) = x(t ) * δ T (t )
A
xT (t ) = x(t ) * δ T (t )
A
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2.微分特性
x (t) * δ '(t) = x '(t) 说明：系统函数 h(t ) = δ (t )，则系统为微分器
'
x(t )
δ ' (t )
y (t ) = x ' (t )
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3.积分特性
x (t ) * u (t ) =
3
t
[例] 计算下列卷积积分 例 (1) 2e −2t u (t ) ∗ 3e −t u (t ) −2 ( t −1) − (t − 2) u (t − 1) ∗ 3e u (t − 2) (2) 2e (1) 2e −2t u (t ) ∗ 3e −t u (t ) ) 解:
=∫
+∞ −∞
2e −2τ u (τ ) ⋅ 3e − (t −τ ) u (t − τ )dτ
2.分配律
y (t ) = [ x1 (t ) + x2 (t )] * h(t ) = x1 (t ) * h(t ) + x2 (t ) * h(t )
x1 (t )
x2 (t )
⊕
h(t )
y (t ) = [ x1 (t ) + x2 (t )] * h(t )
等价于
x1 (t )
h(t )
输入x(t)=2e-2tu(t)，y(0-)=1，y’(0-)=2 试求：(1) 系统的零输入响应 yzi(t) (2) 系统的零状态响应 yzs(t) (3) 系统的完全响应 y(t) [解] (1) 系统的零输入响应 yzi(t) 系统的特征方程为 s2+7s+12=0 解得系统的特征根为 s1= -3，s2= -4 系统的零输入响应 yzi(t)=K1e-3t+K2e-4t t≥0-。
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[例] 计算 y(t) = p1(t) * p1(t)。
0 < t ≤1 p1 (τ ) p1 (t − τ )
p1 (t ) 1
p1 (τ )
-0.5 0.5
τ
t
1
τ
− 0.5 + t 0.5 + t t > 1 p1 (τ ) p1 (t − τ )
c) 0 < t ≤ 1
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6.卷积的等效特性
y (t ) = x(t ) * h(t )
则
y (t ) = x (t ) * h
'
( −1)
(t ) = x
( −1)
(t ) * h (t )
'
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7.平移特性
已知 x1(t) * x2(t) = y(t) 则 x1(t - t1) * x2(t - t2) = y(t – (t1 + t2))
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系统响应的综合求解
卷积法 零输入响应求解 零状态响应求解
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[例] 已知某线性时不变(LTI)系统的动态方程式为
y" (t ) + 7 y ' (t ) + 12 y (t ) = 2 x (t ) + 3 x(t ) t>0，
⊕
x2 (t )
h(t )
y (t ) = x1 (t ) * h(t ) + x2 (t ) * h(t )
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3.结合律
y (t ) = [ x(t ) * h1 (t )] * h2 (t ) = x(t ) * [h1 (t ) * h2 (t )]
x(t )
则
y (t ) = x (t ) * h(t ) = x(t ) * h (t )
' ' '
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5.积分特性
y (t ) = x(t ) * h(t )
则
y ( −1) (t ) = x ( −1) (t ) * h(t ) = x(t ) * h ( −1) (t )
x(t )
1
h(t )
h(t ) − h(t − 1)
1
1
0
1
t
0
2
t
2
0
3
1
t
解: x '(t) = δ (t) − δ (t−1)
x '(t) ∗ h(t)= h(t) − h(t−1)
1
−1
y (t )
t
3−t
y (t ) = ∫ [h(t ) − h(t − 1)]dt
t 0
0 1 2 国家电工电子教学基地 信号与系统系列课程组
x1 (t − t1 ) ∗ x2 (t − t 2 ) =
=
∫
∞
−∞
x1 (τ − t1 ) ⋅ x2 (t − τ − t 2 )dτ
τ −t1 = x ∞
∫
−∞
x1 ( x) ⋅ x2 (t − t1 − t 2 − x)dx
= y (t − t1 − t 2 )
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x2 (t ) = e −5t u (t )
试计算 y (t ) = x1 (t ) ∗ x2 (t ) 注意： 1.积分上下限问题； 解： y (t ) = x1 (t ) ∗ x2 (t ) 2.积分结果的始终点问题。 +∞ = ∫ x1 (τ ) ⋅ x2 (t − τ )dτ
=∫
=
−∞ +∞
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1.交换律
y (t ) = x(t ) * h(t ) = h(t ) * x(t )
x(t )
等价于
h(t )
y (t ) = x(t ) * h(t )
h(t )
x(t )
y (t ) = h(t ) * x(t )
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−∞
e −3τ u (τ ) ⋅ e −5( t −τ )u (t − τ )dτ
t −τ > 0
∫
t
0
e − 3τ ⋅ e − 5 ( t − τ ) d τ
τ >0
0 <τ < t
暗含 t > 0
1 − 3t − 5 t = (e −e )u (t ) 2
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代入系统的初始状态y(0-)，y'(0-) 有 y(0-)=K1+K2=1 y'(0-)= -3K1-4K2=2
x(τ )h(t − τ )dτ
3. 将x(t) 与h(t- τ)相乘；对乘积后信号的积分。 4. 不断改变平移量t，计算x(t) h(t- τ)的积分。
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二、图形计算
例：用图形法求解
x1(t ) = u(t +1) − u(t −1), x2 (t) = u(t ) − u(t −1)