卷积及其性质
卷积及其性质
f1()
f2(t
)d
iii) 若t 0, f1(t)0, f2(t)0,则
S(t) 0,
t
0
t
S(t) 0
f1() f2(t )d,
t
0
精选PPT
2
§2.7 卷积及其性质
2， 卷 积 及 分 的 求 取 方 法
（1） 函 数 计 算 法
例，已知
f1 (t )
1 [u (t 2
2 ) u (t 5)]
二，离散卷积和
1，定义
两个序列x1(n)，x2(n) 得卷积和定义为
x1(n)*x2(n) x1(m)x2(nm) m
如果两个序列都是因果的，即 x1(n) x1(n)u(n)，x2(n) x2(n)u(n) 则有
n
x1(n)*x2(n) x1(m)x2(nm) m0
精选PPT
13
§2.7 卷积及其性质
解 ： s(t) f1 (t)* f1 (t) d fd 1 ( tt)* t f2 ()d
f1(t)
f2(t)
2
1
0 123
t
1
2
01
t
精选PPT
11
§2.7 卷积及其性质
f1'(t) 2
1
0 12 3
t
f2'(t)
1
2
01
t
s(t) 2
45
1 23
t
-2
精选PPT
12
§2.7 卷积及其性质
f1( ) f2 (t )d
举例说明。
精选PPT
6
§2.7 卷积及其性质
（1）分配律：f1(t)[ f2(t) f3(t)] f1(t） f2(t) f1(t) f3(t) 物理意义：几个系统并联，可等效为一个冲激响应
课件：卷积及其性质和计算
f (1) 2
t
必须加上一个前提条件，就是
f1 t
t
df1
d
d
二、卷积的性质
三、δ(t)的卷积特性 • 任意信号f(t)与δ(t)的卷积等于该信号f(t) 。
推论
f
t
t
f
t
d
f
t
d
f t
1. f (t) (t t0) f (t t0) 2. f (t t1) (t t 2) f (t t1 t 2)
s' t f1 t f2' t
f1' t f2 t
由卷积定义，
st
f1
f2
t
d
两端对t微分，得到
s'
t
d dt
f1
f2
t
d
f1
d dt
f2 t d
二、卷积的性质
s'
t
d dt
f1
f2
t
d
f1
d dt
f2 t d
f1 t f2' t
利用卷积的交换律，可得
s'
t
d dt
f1
f2
t
d
d
dt
f1 t
f2
d
d dt
f1 t
f2 d
f1' t f2 t
二、卷积的性质
二、微积分性质
• 积分性质
两个函数卷积的积分，等于两个函数中任一函数的积 分与另一函数的卷积，即
s(1) t
f1 t
f (1) 2
t
f (1) 1
t
f2 t
r (t )
第二章 (4)卷积积分的性质
f 1 (t )
f 2 (t )
2
1
0
2
0 1
1
2 3
t
1
3
t
解法一: 解法一:图示法
f 1 (τ
t <1 ,
)
f (t ) = 0
2
0
1
2 3
τ
f 2 (t τ
t2
)
1
t 0
1
τ
解法一: 解法一:图示法
f 1 (τ
t <1 ,
)
t
f (t ) = 0
1< t < 2 ,
f (t ) = ∫ 2dτ = 2(t 1)
(2) e ε(t + 3) ε(t 5) 2t e ε (t + 3) ε (t 5) ∞ 2τ = ∫ e ε (τ + 3) ε (t τ 5)dτ ∞
2t
=∫t 53e2τ1 2(t 5) 6 e = e 2 6 1 2( t 2) = e 1 e 2
[
1 2τ dτ = e 2
' ∞ ∞
上式称为杜阿密尔积分. 上式称为杜阿密尔积分. 杜阿密尔积分 其物理含义为: 其物理含义为:LTI系统的零状态响应等于激励的 系统的零状态响应等于激励的
f ' (t )与系统的阶跃响应 g(t )的卷积积分. 的卷积积分. 导数
例2.4-4 求图示函数 f1(t ) 与 f2 (t ) 的卷积 f (t ) .
若f (t ) = f1(t ) f2(t ),则 f1(t t1 ) f2(t t2 ) = f1(t t2 ) f2 (t t1 ) = f (t t1 t2 )
推广4 推广
卷积公式概率论
卷积公式概率论
卷积在概率论中是一种常用的技术，常用来处理两个概率分布的乘积。
具体来说，如果有两个概率分布p和q，那么它们的卷积就是另一个概率分布(p*q)(x)，定义为：
(p*q)(x)=∫p(y)q(x-y)dy
这个公式中，x是一个连续变量，y是一个辅助变量。
这个公式表明，在计算(p*q)(x)时，要将p(y)和q(x-y)的值相乘，并将结果累加起来。
卷积在概率论中有很多应用，例如用来解决生成函数问题、计算多元随机变量的联合分布、以及求解高斯过程等。
卷积的性质
卷积具有若干性质，这些性质使得卷积在数学和工程中得到广泛应用。
其中一些常见的性质包括：
卷积的结果是连续的：如果两个函数p和q都是连续的，那么它们的卷积(p*q)(x)也是连续的。
卷积满足交换律：即(pq)(x)=(qp)(x)，这意味着对两个函数进行卷积的顺序并不
重要。
卷积满足结合律：即(pq)r=p(qr)，这意味着对多个函数进行卷积的顺序并不重要。
卷积的逆运算是卷积的逆：即(p*q)^(-1)=p^(-1)*q^(-1)，这意味着对两个函数进行卷积的逆运算就是将它们的逆运算做卷积。
这些性质使得卷积具有很好的算术性质，并且它可以被用于解决许多数学问题。
函数的卷积
函数的卷积什么是卷积卷积是一种数学运算，常用于信号处理、图像处理和深度学习等领域。
在函数的卷积中，我们将两个函数进行卷积运算，得到一个新的函数。
卷积的定义给定两个函数f(t)和g(t)，它们的卷积定义为： *g(t)=_{-}^{}f(t-u)g(u)du)卷积的性质卷积具有如下性质：1.交换律：f(t)*g(t) = g(t)*f(t)2.分配律：f(t)*[g1(t)+g2(t)] = f(t)*g1(t) + f(t)*g2(t)3.结合律：f(t)*[g1(t)*g2(t)] = [f(t)*g1(t)]*g2(t)卷积的计算方法在实际计算中，可以使用离散形式的卷积来对函数进行计算。
离散形式的卷积可以表示为： [n]=_{k=-}^{}f[k]g[n-k])一维离散卷积的例子例如，给定两个离散函数f = [1, 2, 1]和g = [2, 1, 2]，它们的卷积可以通过如下方式计算：f = [1, 2, 1]g = [2, 1, 2]f*g = [1*2 + 2*1 + 1*2, 1*2 + 2*1, 1*2] = [6, 4, 2]二维卷积除了一维函数的卷积，卷积还可以应用于二维函数（如图像）。
二维函数的卷积可以通过将两个函数的权重矩阵进行对应元素相乘，再求和得到。
举个例子，假设我们有一个3x3的图像矩阵A和一个2x2的卷积核矩阵B，它们的卷积计算如下：A = [[1, 2, 3],[4, 5, 6],[7, 8, 9]]B = [[2, 0],[1, 2]]我们可以将卷积核B在图像矩阵A上滑动，将对应的元素相乘，然后求和，得到新的矩阵C：C = [[1*2 + 2*0 + 3*1, 2*2 + 0*1 + 3*2],[4*2 + 5*0 + 6*1, 5*2 + 6*1 + 9*2]]C = [[7, 10],[16, 23]]我们可以看到，经过卷积运算后，原始图像矩阵被卷积核影响，生成了一个新的矩阵。
卷积运算的性质
卷积运算的性质
卷积运算是数学和工程领域中一个非常重要的概念，它是一种图像处理技术，也是一种概念上的运算，用于处理和分析信号（信号可以是图像、音频或文本信息等）的属性。
卷积运算是一种基于共卷积定理的数学方法，它的本质是基于一组所谓的卷积核，它是由一组数字组成的矩阵，通过应用这个卷积核来卷积数学表达式和输入信号。
卷积运算有很多有用的性质，可以用来处理图像数据，也可以用来处理文本和声音信号。
目标是通过它来提取信号的特征，从而使我们能够做出更好的决策。
其中最重要的性质有：
1.享性：卷积运算的最大优点就是共享性。
总的来说，卷积运算的某些元素（比如卷积核）可以被用来提取局部信息，这使得不用重复计算，大大减少了计算量。
2.视化：卷积运算得到的结果是可视化的，从而使得我们可以更好地理解和分析信号的特征。
3.效性：卷积运算在计算资源非常有限的环境中也可以取得优秀的表现，这使得它在实时系统中大量使用，比如计算机视觉、自动驾驶汽车等。
4.义卷积运算：在许多情况下，在原来的卷积运算中加入广义卷积可以提升性能，其中一些常见的广义卷积包括“带权重”、“特征融合”和“去噪”等。
卷积运算不仅在计算机视觉和机器学习等领域应用广泛，而且在更多的领域，如图像增强、语音识别和自动驾驶等也有着重要的应用。
卷积运算可以在各个维度上把信号进行特征提取，提取出信号有效的特征，从而使我们的系统更加高效、更加强大。
卷积运算的优点使它在计算机视觉、机器学习和智能设备等技术领域越来越受到重视，它的应用前景非常广阔。
信号与系统 卷积积分的性质
信号与系统
d x t dt
h d
t
2
1
1 0
2
c
1
t
0
4
t
d
dxt t h d 15 dt 8
t
9 8
2
dxt t h d dt
3
1 0
2
2
6
1 0
2 3
6
t
f
e
信号与系统
t t t
[ 1 d ]u (t 1) [ 1 d ]u (t 2)
1 2
t
t
(t 1)u (t 1) (t 2)u (t 2)
(t 1)[u (t 1) u (t 2)] 3u (t 2) 0 t 1 3
0 t a 1 e d 1 e at 0 a
f t
1
1 d ]u(t ) 1 e at u t a
t 0
f d
t 0
t
e at
1 a
0
a
t
0
b
t
信号与系统
作业 13-4-16
t
y( )d f (t ) h( )d h(t ) f ( )d
t
y(t)的一重积分
y ( 1) (t ) f (t ) h( 1) (t ) f ( 1) (t ) h(t )
推广：
y ( m) (t ) f (t ) h( m) (t ) f ( m) (t ) h(t )
任意函数卷积政正弦函数
任意函数卷积政正弦函数一、函数卷积定义函数卷积是指将两个函数在某个区间内进行重叠部分的求和运算。
具体定义为：对于函数f(x)和g(x)，定义f(x)与g(x)的卷积为[f(x) * g(x)] = (f(x)与g(x)的函数图像重叠部分的面积)/dx。
二、卷积运算性质1.线性性质：对于任意常数a和b，有[a f(x)+b g(x)]h(x) = a[f(x)h(x)]+b[g(x)* h(x)]。
2.结合律性质：对于任意函数f(x)，g(x)和h(x)，有[f(x)(g(x)h(x))] =[f(x)g(x)]h(x)。
3.交换律性质：对于任意函数f(x)和g(x)，有[f(x)g(x)] = [g(x)f(x)]。
4.分配律性质：对于任意函数f(x)，g(x)和h(x)，有[f(x)(g(x)+h(x))] =[f(x)g(x)]+[f(x) * h(x)]。
三、函数卷积应用函数卷积在信号处理、图像处理、统计学等领域有着广泛的应用。
例如，在信号处理中，卷积运算可以用来对信号进行滤波、去噪等操作；在图像处理中，卷积运算可以用来对图像进行模糊、锐化等操作；在统计学中，卷积运算可以用来对概率密度函数进行积分、求期望等操作。
四、正弦函数定义正弦函数是指三角函数中的正弦函数部分，一般用sin(x)表示。
正弦函数的定义域为全体实数，值域为[-1,1]。
五、正弦函数性质1.周期性：正弦函数是周期函数，其周期为2π。
2.奇偶性：正弦函数是奇函数，满足sin(-x)=-sin(x)。
3.有界性：正弦函数的值域为[-1,1]，在定义域内函数的取值范围有限。
4.振幅特性：正弦函数的振幅随着频率的变化而变化，频率越高振幅越小。
5.波形特性：正弦函数的波形是一条周期性的曲线，每个周期内的形状相同且对称。
六、正弦函数图像正弦函数的图像是一条周期性的曲线，每个周期的长度为2π。
图像呈“波峰”和“波谷”交替出现的形式，且在每个周期内，函数的取值范围从-1变化到1，再从1变化到-1。
《信号与系统教学课件》§2.6 卷积及其性质和计算
将卷积的微分性质和积分性质加以推广，可以得到
s
t
nm
f (n) 1
t
f (m) 2
t
f (m) 1
t
f (n) 2
t
X
二、卷积的性质
注意函数的积分和微分并不是一个严格的可逆关系， 因为函数加上任意常数后的微分与原函数的微分是相 同的。因此，对于等式
f1 t
f2 t
f1' t
k
d
k
f
3
t
d
令w k
f1
k
f2
w f3
t
k
w d w d k
令st f2t f3t
f1 k s t k d k
f1 t st
f1 t
f2 t
f3 t
f 1
t f2 t
f3 t
X
二、卷积的性质
一、代数性质 • 结合律
对于函数f1 t , f2 t , f3 t ,存在
h2 t
r(t)
h1 t
图2.6.2 卷积交换律的系统意义
X
二、卷积的性质
一、代数性质
• 结合律
对于函数f1 t , f2 t , f3 t ,存在
f1 t f2 t f3 t f1 t f2 t f3 t
根据卷积的定义
f1 t
f2
t
f3
t
f1
k
f2
X
三、卷积的计算
根据卷积的定义，卷积计算是由若干基本的信号运算组成的， 对于
s
t
f1
f2
t
d
第一步 反褶：将 f1 t 反褶运算，得到 f1
卷积的性质
卷积的性质卷积的本质，是一个全局变量（维数大于等于2）投影到一个全局变量上的运算。
在这个性质里，只有当维数超过两时，才能构成全局变量；当维数小于两时，则是用另外的变量作为全局变量的投影。
但必须注意，维数必须是整数或实数。
在矩阵理论中，卷积就是将矩阵中的某个元素乘以另一个元素后所得结果的乘积。
我们在计算一些对象间的关系时常需用到矩阵的运算。
所谓运算，就是把矩阵变换成行向量、列向量或线性表组成的新的行列式和列向量，再根据原来矩阵的性质对其进行操作。
而卷积是其中最重要的操作之一。
2、一个矩阵只要可逆就有与初始矩阵等同的特征值，它也称为可逆矩阵。
反过来，任何不可逆矩阵都不可能是一个可逆矩阵。
3、所有可逆矩阵都有相同的行列式，因此所有可逆矩阵都可表示成一个行向量加一个列向量。
每个可逆矩阵都有唯一确定的逆矩阵。
如果n 个矩阵A， B， C……满足Ax+By=0，则称A， B， C……是可逆矩阵。
3、所有可逆矩阵都有相同的行列式，因此所有可逆矩阵都可表示成一个行向量加一个列向量。
每个可逆矩阵都有唯一确定的逆矩阵。
如果n个矩阵A， B， C……满足Ax+By=0，则称A， B， C……是可逆矩阵。
4、可逆矩阵都是实对称矩阵。
设a， b是正交矩阵且存在非零常数c，使得Ax=cBc=b。
那么称a， b是正交矩阵，简称正交。
所有正交矩阵都是可逆矩阵。
实际上，正交矩阵总是可逆矩阵。
若A是正交矩阵， B是可逆矩阵，则称AB是正交阵。
显然，正交矩阵A=B。
5、可逆矩阵不仅可以按行列式定义，还可以按行向量定义：若A是可逆矩阵，且存在正交基， B是可逆矩阵，且存在对角阵，即A=BC，则称B为A的转置矩阵，记作B=A。
6、可逆矩阵与正交矩阵的关系类似于正交矩阵与对角矩阵的关系。
7、不可逆矩阵的可表示成一个行向量，并且可由此推出它的逆矩阵。
8、从左边看，若A=B，B=A，则称A为可逆矩阵的左逆阵， B为可逆矩阵的右逆阵，记作Acirc B。
通信技术概论3.4卷积积分的物理解释和性质2012
f (t ) * (t t 0 ) (t t 0 ) * f (t ) f (t t0 )
三、卷积积分的应用
(t )
e(t) r(t) r ( t ) e ( t ) * h( t )
即
线性网络 零状态
t
h(t)
r (t ) e( )h(t )d
卷积积分
一、卷积积分(Convolution)的定义 定义：设 f1(t)， f2(t) t < 0 均为零
f1 (t ) * f 2 (t ) f1 ( ) f 2 (t )d
t 0
二、卷积积分的性质 性质1
f1 ( t ) * f 2 ( t ) f 2 ( t ) * f 1 ( t )
0
物理解释: 将激励 e(t)看成一系列宽度为 ，高度为 e(k )矩形脉冲叠加的。
e(t )
e(0)
o
2
k (k+1)
t
e(t ) e(0)[ (t ) (t Δ )] e(Δ )[ (t Δ ) (t 2Δ )]
e(kΔ ) p(t kΔ ) Δ
k 0
k 0
响应 r (t ) e(k ) hp (t k )
当e(t )分割得足够细 即N ,
激励 e( t ) lim
N
e(kΔ ) p(t kΔ ) Δ
k 0
N
(t )
冲激
脉冲
响应 r ( t ) lim e( kΔ )hp ( t kΔ )Δ
积分
N k 0
N
脉冲响应
h(t )
冲激响应
第二章第3讲 卷积
[ f () * f ()]d f (t) * f ()d f (t) * f ()d
1 2 1 2 2 1
t
t
t
证明：
[ f ( ) * f
1 t 1
t
2
( )]d [ f1 ( ) f 2 ( )d ]d
[ f1 (t )u(t t1 )] [ f 2 (t )u(t t2 )]
信号与系统 同济大学汽车学院 魏学哲 weixzh@
g (t ) f1 ( )u( t1 ) f 2 (t )u(t t2 )d
结合律应用于系统分析,相当于串联系统的冲激响 应,等于串联的各子系统冲激响应的卷积
信号与系统 同济大学汽车学院 魏学哲 weixzh@
卷积的微分与积分
df2 (t ) df1 (t ) d [ f1 (t ) * f 2 (t )] f1 (t ) * f 2 (t ) * dt dt dt
t t2
t1
f1 ( ) f 2 (t )d
t1 t t2
t
积分限是： 例：
f1(t ) 2e u(t )
g (t )
f 2 (t ) u(t ) u(t 2)
求
f1 ( ) f 2 (t )d
信号与系统 同济大学汽车学院 魏学哲 weixzh@
f1( ) 1 f2(1-) 2
f1( ) 1 f2(2-) 2
f1( )
f2(3-)
2
c
c
c
c
-1
0
f1() f2(-)
卷积积分及其性质 ppt课件
d dx
(t)是奇函数 [ (x t)] f (x) d x [ f (t)] f (t)
第2-15页
PPT课件
15
■
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 电子教案
2.4 卷积积分的性质
3. f(t)*ε(t)
t
f ( ) (t ) d f ( ) d
¥
ò yzs (t) =f (t) * h(t) =
et [6 e- 2(t- t )- 1]e(t - t ) d t
-?
当t <τ，即τ> t时，ε(t -τ) = 0
蝌t
yzs (t) =
et [6 e- 2(t- t )- 1]d t =
-?
t
(6 e- e2t 3t - et ) d t
?
(t)
t0
)
f
(
t
)
d
t
f (t0)
'(t) f (t) d t f '(0)
PPT课件
(t
t0 )
f
(t) d t
f
(t0 )
16
第2-16页
■
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 电子教案
2.4 卷积积分的性质
三、卷积的微积分性质
1.
dn dtn
第2-11页
PPT课件
11
■
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 电子教案
2.4 卷积积分的性质
下面讨论均设卷积积分是收敛的（或存在的）。
卷积运算的性质
卷积运算的性质
卷积运算是数学中一种经典的基本操作，它可以用来描述一些常见的物理现象，并已广泛应用于工程、物理和数学领域。
本文主要对卷积运算的性质进行介绍，以期对读者加深对其理解。
首先，先介绍卷积运算的定义及其基本性质。
卷积运算的定义是：给定两个函数f(x)和g(x)，它们的卷积运算可以用下面的积分表达式来定义：
∫f(x)g(x-x)dx
从这个定义中，可以看出卷积运算本质上是将两个函数进行积分运算。
其中，f(x)是被卷积的函数，而g(x)是卷积核，卷积核是一个可以移动的函数，根据卷积核的不同，可以获得不同的卷积结果。
卷积运算的性质有三：线性，对称性和周期性。
线性性是指，对于两个函数之间的卷积运算，它的结果是满足线性关系的。
换句话说，如果f（x）= af1（x）+ bg（x），那么卷积运算结果也会满足：∫f （x）g（x-x）dx = a∫f1（x）g（x-x）dx + b∫g（x）g（x-x）dx 。
其次，卷积运算也具有对称性，它满足：f（x）g（x-x）dx=∫g （x）f（x-x）dx 。
最后，卷积运算具有周期性，即它在积分范围内可以无限次循环。
此外，卷积运算应用有很多，比如在滤波工程中，常用到卷积运算，滤除噪声；在信号处理工程中，用卷积运算来分析信号；在图像处理工程中，也用到卷积运算，来检测和提取图像中的纹理特征。
本文介绍了卷积运算的性质，包括定义、线性性、对称性及周期
性，以及卷积运算的应用。
卷积运算是一个做数学建模和计算的重要工具，它具有广泛的应用，可以帮助人们更好地去理解客观现象，帮助实现技术进步。
卷积积分介绍
h(t)
(1) 1
O
(1) t
g(t)
1
O12 1
g(t)f(1)(t)h(1)(t)
t 3 2t
t 3
0t 1 1t 2 2t 3
3 t
注意
28
注意
当f1(t)
t df1(t)dt时, dt
f 1 ( t) f 2 ( t) f 1 ( t) f 2 ( 1 )( t)
例 sg t： n t
系统并联运算
3．结合律
f ( t ) f 1 ( t ) f 2 ( t ) f ( t ) [ f 1 ( t ) f 2 ( t )]
系统级联运算
22
系统并联
f 1 ( t ) [ f 2 ( t ) f 3 ( t ) f ] 1 ( t ) f 2 ( t ) f 1 ( t ) f 3 ( t ) 系统并联，框图表示：
一般数学表示： g(t) f1()f2(t)d 信号无起因时： g(t) f()h(t)d
(4)卷积是数学方法，也可运用于其他学科 。
(5)积分限由 f1(t),f2(t)存在的区间决定，即由
f1()f2(t)0的范围决定。
20
总结
求解响应的方法： 时域经典法： 完全解=齐次解 + 特解 双零法：
: 信号作用的时刻，积分变量
从因果关系看，必定有 t
(2)分析信号是手段，卷积中没有冲激形式，但有其内容；
f() 是h(t-)的加权，求和
即d f() 是h(t-)的加权，积分
(t-)的响应
19
(3)卷积是系统分析中的重要方法，通过冲激响应h(t)建 立了响应r(t)与激励e(t)之间的关系。
零输入响应：解齐次方程，用初（起）始条件求系数；
卷积及其性质
利用图形处理器（GPU）的并行计算能力进行卷积运算加速。GPU具 有大量的计算核心和高速内存访问能力，适用于大规模并行计算。
03
FPGA加速
利用现场可编程门阵列（FPGA）的可编程性和并行处理能力进行卷积
运算加速。FPGA可以根据具体需求进行定制化的硬件设计，实现高效
的卷积运算加速。
THANK YOU
利用卷积核检测图像的边缘信息，可以实现基于 边缘的图像分割。
3
目标检测与识别
卷积神经网络（CNN）在目标检测和识别领域 取得了显著成果，通过训练CNN模型可以实现 对图像中特定目标的检测和识别。
05
卷积在深度学习中的应用
卷积神经网络（CNN）基本原理
局部连接
01
卷积神经网络通过卷积核实现局部连接，每个神经元仅与输入
数据并行
将输入数据划分为多个子集，每 个处理单元负责一个子集的卷积 运算，最后合并各子集的结果得 到最终输出。
任务并行
将卷积运算划分为多个子任务， 每个处理单元负责一个子任务的 计算，最后合并各子任务的结果 得到最终输出。
硬件加速技术在卷积中的应用
01 02
硬件加速技术
利用专用硬件加速器（如GPU、FPGA等）提高卷积运算速度。这些加 速器具有高度的并行处理能力和优化的数据存储方式，能够显著提高卷 积运算的效率。
模式识别
卷积运算还可以应用于模式识别领域。通过将输入信号与一组预定义的卷积核进行卷积运算，可以得 到一组特征图。这些特征图可以作为模式识别的输入，用于训练分类器或进行相似度匹配等操作。
04
卷积在图像处理中的应用
图像滤波与去噪
滤波器的设计
卷积在图像处理中常被用于设计 各种滤波器，如均值滤波器、高 斯滤波器等，用于去除图像中的
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一，卷积积分
1， 定 义
设 f1 (t )和 f 2 (t )是 定 义 在 ( , )区 间 上 的 两 个 函 数 ，
则 积 分
S (t ) f1 ( ) f 2 (t ) d
称 为 f1 (t )和 f 2 (t )的 卷 积 ， 记 为 f1 (t ) f 2 (t )
对 d
i) 若 t 0, f1 (t ) 0， 即
S (t ) 0
f1 ( ) f 2 (t ) d
1
§2.7 卷积及其性质
ii) 若t 0, f2(t)＝0，那么对于f2(t),t 0, f2(t)0
S(t)
t
f1()
f2(t
0,
t3,3,
12t, 0,
t 3 3t 6 6t 9 9t 12
t 12
由 此 可 见 ， 函 数 式 积 分 应 特 别 注 意 积 分 结 果 存 在 的 区 间 ， 稍 不
留 意 就 会 出 错 。
5
§2.7 卷积及其性质
（2） 卷积积分的图解法
观察
S(t)
f1( ) f2 (t )d
解 ： s(t) f1 (t)* f1 (t) d fd 1 ( tt)* t f2 ()d
f1(t)
f2(t)
2
1
0 123
t
1
2
01
t
11
§2.7 卷积及其性质
f1'(t) 2
1
0 12 3
t
f2'(t)
1
2
01
t
s(t) 2
45
1 23
t
-2
12
§2.7 卷积及其性质
二，离散卷积和 1，定义
)d
iii) 若t 0, f1(t)0, f2(t)0,则
S(t) 0,
t
0
t
S(t) 0
f1() f2(t )d,
t
0
2
§2.7 卷积及其性质
2， 卷 积 及 分 的 求 取 方 法
（1） 函 数 计 算 法
例，已知
f1 (t )
1 [u (t 2
2 ) u (t 5)]
f2 (t) 2 u (t 1) u (t 7 )
求 S (t ) f1 (t ) f2 (t )
解：
S (t ) f1 (t ) f2 (t )
f 1 ( ) f 2 ( t ) d
1 [ u ( 2 ) u ( 5 )
2
2 u (t 1) u (t 7 ) d
3
§2.7 卷积及其性质
对于 同理
u(t 1)u( 2)d u(t 1)u( 5)d
u(t 7)u( 2)d u(t 7)u( 5)d
S1
u(t 1)u( 2)d，通过积分限判断得
t 1
S1 2 11d (t 3) u(t 3)
t 1
S2
u(t 1)u( 5)d
卷积和的性质与卷积积分完全对应。特别地，有
（1） 卷 积 和 的 差 分
x1 (n ) * x2 (n ) x1 (n ) * x2 (n ) [ x1 (n ) * x2 (n )] x1 (n ) * x2 (n ) x1 (n ) * x2 (n ) [ x1 (n ) * x2 (n )] （2） 卷 积 和 的 累 加
（2）结合律： [ f1(t) f2(t)] f3(t) f1(t)[ f2(t) f3(t)] 物理意义：若冲击响应为h1(t)，h2(t)的两个系统相串联， 此两系统的组合可等效唯一个冲击响应 h(t) h1(t)h2(t)的系统。
7
§2.7 卷积及其性质
(3) 交换律： f1(t) f2(t) f2(t) f1(t) 物理意义：串联的子系统可以任意交换位置。
实现卷积积分有四个步骤：
第一步，改变积分变量, f1(t) f1( )， f2 (t) f2 ( )
第二步, f2 ( )反转 f2 ( )
第三步，f2 ( )平移 f2 (t )
第四步，相承与积分
f1( ) f2 (t )d
举例说明。
6
§2.7 卷积及其性质
（1）分配律：f1(t)[ f2(t) f3(t)] f1(t） f2(t) f1(t) f3(t) 物理意义：几个系统并联，可等效为一个冲激响应 h(t) h1(t)h2(t)
两个序列x1(n)，x2(n) 得卷积和定义为
x1(n)*x2(n) x1(m)x2(nm) m
如果两个序列都是因果的，即 x1(n) x1(n)u(n)，x2(n) x2(n)u(n) 则有
n
x1(n)*x2(n) x1(m)x2(nm) m0
13
§2.7 卷积及其性质
2， 卷 积 和 的 性 质
（4）卷积的微分：
d dt
f1(t)
f2(t)
f1(t)
df2(t) dt
f2(t)
df1(t) dt
（5 ）卷积的积分
t
t
t
f1() f2()d f1(t) f2()d f2(t) f1()d
8
§2.7 卷积及其性质
推论
f1(t) f2(t) (i) f1(t)(j) f2(t)(ij)
t
f ( t ) u ( t ) f ( ) d
10
§2.7 卷积及其性质
例 ： 求 卷 积 s ( t) f1 ( t)* f2 ( t) ， 其 中 f1 ( t) 2 [ u ( t 1 ) u ( t 3 ) ]
f2 ( t) u ( t) 2 u ( t 1 ) u ( t 2 )
5
11d (t 6) u(t 6)
t7
S3
u(t 7)u( 2)d
2
11d (t 9) u(t 9)
t7
S4
u(t 7)u( 5)d
5
11d (t 12) u(t 12)
4
§2.7 卷积及其性质
于是
S(t) (t 3)u(t 3)(t 6)u(t 6)(t 9)u(t 9)(t 12)u(t 12)
i 和（i j）为00整 整数 数
表示微分 表示积分
9
§2.7 卷积及其性质
（ 6） 与 奇 异 函 数 的 卷 积 f (t) (t) f (t) f (t) (t t0 ) f (t t0 ) (t t1 ) (t t2 ) (t t1 t2 ) f (t ) '(t ) f '(t ) f (t) (k)(t) f (k)(t) f (t) (k)(t t0 ) f (k)(t t0 )