卷积及其性质

t
f ( t ) u ( t ) f ( ) d
10
§2.7 卷积及其性质
例 ： 求 卷 积 s ( t) f1 ( t)* f2 ( t) ， 其 中 f1 ( t) 2 [ u ( t 1 ) u ( t 3 ) ]
f2 ( t) u ( t) 2 u ( t 1 ) u ( t 2 )
卷积和的性质与卷积积分完全对应。特别地，有
（1） 卷 积 和 的 差 分
x1 (n ) * x2 (n ) x1 (n ) * x2 (n ) [ x1 (n ) * x2 (n )] x1 (n ) * x2 (n ) x1 (n ) * x2 (n ) [ x1 (n ) * x2 (n )] （2） 卷 积 和 的 累 加
求 S (t ) f1 (t ) f2 (t )
解：
S (t ) f1 (t ) f2 (t )
f 1 ( ) f 2 ( t ) d
1 [ u ( 2 ) u ( 5 )
2
2 u (t 1) u (t 7 ) d
3
§2.7 卷积及其性质
对于 同理
§2.7 卷积及其性质
一，卷积积分
1， 定 义
设 f1 (t )和 f 2 (t )是 定 义 在 ( , )区 间 上 的 两 个 函 数 ，
则 积 分
S (t ) f1 ( ) f 2 (t ) d
称 为 f1 (t )和 f 2 (t )的 卷 积 ， 记 为 f1 (t ) f 2 (t )
对 于 S (t )
f1 ( ) f 2 (t ) d
i) 若 t 0, f1 (t ) 0， 即
S (t ) 0
f1 ( ) f 2 (t ) d
1
§2.7 卷积及其性质
ii) 若t 0, f2(t)＝0，那么对于f2(t),t 0, f2(t)0
S(t)
t
f1()
f2(t
（4）卷积的微分：
d dt
f1(t)
f2(t)
f1(t)
df2(t) dt
f2(t)
df1(t) dt
（5 ）卷积的积分
t
t
t
f1() f2()d f1(t) f2()d f2(t) f1()d
8
§2.7 卷积及其性质
推论
f1(t) f2(t) (i) f1(t)(j) f2(t)(ij)
5
11d (t 6) u(t 6)
t7
S3
u(t 7)u( 2)d
2
11d (t 9) u(t 9)
t7
S4
u(t 7)u( 5)d
5
11d (t 12) u(t 12)
4
§2.7 卷积及其性质
于是
S(t) (t 3)u(t 3)(t 6)u(t 6)(t 9)u(t 9)(t 12)u(t 12)
实现卷积积分有四个步骤：
第一步，改变积分变量, f1(t) f1( )， f2 (t) f2 ( )
第二步, f2 ( )反转 f2 ( )
第三步，f2 ( )平移 f2 (t )
第四步，相承与积分
f1( ) f2 (t )d
举例说明。
6
§2.7 卷积及其性质
（1）分配律：f1(t)[ f2(t) f3(t)] f1(t） f2(t) f1(t) f3(t) 物理意义：几个系统并联，可等效为一个冲激响应 h(t) h1(t)h2(t)
)d
iii) 若t 0, f1(t)0, f2(t)0,则
S(t) 0,
t
0
t
S(t) 0
f1() f2(t )d,
t
0
2
§2.7 卷积及其性质
2， 卷 积 及 分 的 求 取 方 法
（1） 函 数 计 算 法
例，已知
f1 (t )
1 [u (t 2
2 ) u (t 5)]
f2 (t) 2 u (t 1) u (t 7 )
u(t 1)u( 2)d u(t 1)u( 5)d
u(t 7)u( 2)d u(t 7)u( 5)d
S1
u(t 1)u( 2)d，通过积分限判断得
t 1
S1 2 11d (t 3) u(t 3)
t 1
S2
u(t 1)u( 5)d
（2）结合律： [ f1(t) f2(t)] f3(t) f1(t)[ f2(t) f3(t)] 物理意义：若冲击响应为h1(t)，h2(t)的两个系统相串联， 此两系统的组合可等效唯一个冲击响应 h(t) h1(t)h2(t)的系统。
7
§2.7 卷积及其性质
(3) 交换律： f1(t) f2(t) f2(t) f1(t) 物理意义：串联的子系统可以任意交换位置。
解 ： s(t) f1 (t)* f1 (t) d fd 1 ( tt)* t f2 ()d
f1(t)
f2(t)
2
1
0 123
t
1
2
01
t
11
§2.7 卷积及其性质
f1'(t) 2
1
0 12 3
t
f2'(t)
1
2
01
t
s(t) 2
45
பைடு நூலகம்
1 23
t
-2
12
§2.7 卷积及其性质
二，离散卷积和 1，定义
两个序列x1(n)，x2(n) 得卷积和定义为
x1(n)*x2(n) x1(m)x2(nm) m
如果两个序列都是因果的，即 x1(n) x1(n)u(n)，x2(n) x2(n)u(n) 则有
n
x1(n)*x2(n) x1(m)x2(nm) m0
13
§2.7 卷积及其性质
2， 卷 积 和 的 性 质
i 和（i j）为00整 整数 数
表示微分 表示积分
9
§2.7 卷积及其性质
（ 6） 与 奇 异 函 数 的 卷 积 f (t) (t) f (t) f (t) (t t0 ) f (t t0 ) (t t1 ) (t t2 ) (t t1 t2 ) f (t ) '(t ) f '(t ) f (t) (k)(t) f (k)(t) f (t) (k)(t t0 ) f (k)(t t0 )
0,
t3,3,
12t, 0,
t 3 3t 6 6t 9 9t 12
t 12
由 此 可 见 ， 函 数 式 积 分 应 特 别 注 意 积 分 结 果 存 在 的 区 间 ， 稍 不
留 意 就 会 出 错 。
5
§2.7 卷积及其性质
（2） 卷积积分的图解法
观察
S(t)
f1( ) f2 (t )d