2007复变函数试卷
复变函数题库(包含好多考试卷,后面都有问题详解)
5.如z0是函数f(z)的本性奇点，则 一定不存在. ( )
6.若函数f(z)在z0可导，则f(z)在z0解析. ( )
7.若f(z)在区域D解析,则对D任一简单闭曲线C .
( )
8.若数列 收敛，则 与 都收敛. ( )
9.若f(z)在区域D解析，则|f(z)|也在D解析. ( )
1.设 ，则 .
2.若 ，则 ______________.
3.函数ez的周期为__________.
4.函数 的幂级数展开式为__________
5.若函数f(z)在复平面上处处解析，则称它是___________.
，
证明 是一个至多n次的多项式或一常数。
《复变函数》考试试题（四）
一. 判断题. (20分)
1.若f(z)在z0解析，则f(z)在z0处满足柯西-黎曼条件.（）
2.若函数f(z)在z0可导，则f(z)在z0解析.（）
3.函数 与 在整个复平面有界.（）
4.若f(z)在区域D解析，则对D任一简单闭曲线C都有 .
7.方程 在单位圆的零点个数为________.
8.设 ，则 的孤立奇点有_________.
9.函数 的不解析点之集为________.
10. .
三.计算题. (40分)
1.求函数 的幂级数展开式.
2.在复平面上取上半虚轴作割线.试在所得的区域取定函数 在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点 处的值.
3.计算积分： ，积分路径为（1）单位圆（ ）的右半圆.
4.求 .
四.证明题. (20分)
1.设函数f(z)在区域D解析，试证：f(z)在D为常数的充要条件是 在D解析.
浙江大学2007C2008学年冬学期 《复变函数与积分变换》.
浙江大学2007–2008学年冬学期
《复变函数与积分变换》课程试卷 (B
开课学院：理学院，考试形式：闭卷，考试时间：月日,所需时间：120分钟考生姓名： __ _学号： _____ 专业： ___
题序一二三四五六总分得分
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一、（28分,每题7分）
（1）把复数用指数形式表示;
(2求解方程;
(3 已知为解析函数，且,求。
（4）找出函数的孤立奇点，并求出其留数
二、计算积分（每题7分，共21分）
1）其中C是从原点的直线段
（2），积分曲线正向
（3）
三、（15分）1.求的在处展开的台劳级数，并指出其收敛半径；
2.求函数在圆环内的罗朗级数(计算z到的系数。
四、 (16分(1 求将区域映为W平面上的上半平面的保角映射。
(2 求将单位圆映为W平面上的单位圆的保角映射，且，。
五、（14分）求下列函数的拉普拉斯变换:
1 ,求Laplace变换；
2 设，求Laplace逆变换。
六、（6分））设在上解析，证明：
(1.；
(2. 若有，则。
复变函数试题及标准答案
二．判断题（每题3分，共30分） 1．n z z(在0=z解析。
【】f=z)2．)(z f 在0z 点可微，则)(z f 在0z 解析。
【 】 3．z e z f =)(是周期函数。
【 】4． 每一个幂函数在它的收敛圆周上处处收敛。
【 】 5． 设级数∑∞=0n n c 收敛，而||0∑∞=n n c 发散，则∑∞=0n n n z c 的收敛半径为1。
【 】6． 1tan()z能在圆环域)0(||0+∞<<<<R R z 展开成洛朗级数。
【 】 7． n 为大于1的正整数, Ln Ln n z n z =成立。
【 】 8．如果函数)(z f =ω在0z 解析，那末映射)(z f =ω在0z 具有保角性。
【 】9．如果u 是D 内的调和函数,则yu i x u f ∂∂-∂∂=是D 内的解析函数。
【 】10．212233||||221112|2(1)1z z z z dz dz i i z z z z ππ======--⎰⎰。
【 】 三．（8分）y e v px sin =为调和函数，求p 的值，并求出解析函数iv u z f +=)(。
四．（8分） 求())2)(1(--=z z zz f 在圆环域21<<z 和+∞<-<21z 内的洛朗展开式。
五．（8分）计算积分dx x x x⎰∞+∞-++54cos 22。
六．（8分）设⎰-++=Cd zz f ξξξξ173)(2，其中C 为圆周3||=z 的正向，求(1)f i '+。
七．（8分）求将带形区域})Im(0|{a z z <<映射成单位圆的共形映射。
复变函数与积分变换(A)的参考答案与评分标准 (2007.7.5) 一.填空(各3分)1.3ln 2i k e +-π；2. 三级极点 ；3. 23z ；4. 0 ；5. 0 ；6. e1 ；7. 322)1(26+-s s ；8. 0；9. 0 ；10. )]2()2()2(1)2(1[21++-+++-ωπδωπδωωj j 。
复变函数题库(包含好多试卷,后面都有答案)
《复变函数论》试题库《复变函数》考试试题（一）一、 判断题（20分）：1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析. ( )2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( )3.若}{n z 收敛，则} {Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )4.若f(z)在区域D 内解析，且0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( )5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( )7.若)(lim 0z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( )8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈∀≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C0)(=⎰Cdz z f . ( )10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数.（ ）二.填空题（20分）1、 =-⎰=-1||00)(z z n z z dz__________.（n 为自然数） 2.=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8.=)0,(Re n zz e s ________，其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题（40分）：1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2. .cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数. 2. 试证: ()f z =在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题（二）一. 判断题.（20分）1. 若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续，则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续. ( )2. cos z 与sin z 在复平面内有界. ( )3. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 有界整函数必为常数. ( )5. 如z 0是函数f (z )的本性奇点，则)(lim 0z f z z →一定不存在. ( )6. 若函数f (z )在z 0可导，则f (z )在z 0解析. ( )7. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f .( )8. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析，则|f (z )|也在D 内解析. ( )10. 存在一个在零点解析的函数f (z )使0)11(=+n f 且,...2,1,21)21(==n nn f .( )二. 填空题. (20分)1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z2.设C iy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(lim 1z f iz ________.3.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数）4. 幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________. 8. 设211)(zz f +=，则)(z f 的孤立奇点有_________. 9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz . 三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z=处的值.3. 计算积分：⎰-=iiz z Id ||，积分路径为（1）单位圆（1||=z ）的右半圆.4. 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 内解析，试证：f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题（三）一. 判断题. (20分).1. cos z 与sin z 的周期均为πk2. ( ) 2. 若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件, 则f (z )在z 0解析. ( )3. 若函数f (z )在z 0处解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )5. 若函数f (z )是区域D 内解析且在D 内的某个圆内恒为常数，则数f (z )在区域D 内为常数. ( )6. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0的某个邻域内可导. ( )7. 如果函数f (z )在}1|:|{≤=z z D 上解析,且)1|(|1|)(|=≤z z f ,则)1|(|1|)(|≤≤z z f . （ ） 8. 若函数f (z )在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 9. 若z 0是)(z f 的m 阶零点, 则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 10. 若0z 是)(z f 的可去奇点，则0)),((Res 0=z z f . ( )二. 填空题. (20分)1. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的定义域为___________.2. 函数e z的周期为_________.3. 若n n n i n n z )11(12++-+=，则=∞→n z n lim __________. 4. =+z z 22cos sin ___________.5. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数） 6. 幂级数∑∞=0n n nx 的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=ze ，则___=z .9. 若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =n zze .三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn n z nn ∑+∞=!的收敛半径.3. 算下列积分：⎰-C z z z ze )9(d 22，其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z |<1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数. 2. 设)(z f 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R 及M ，使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤，证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。
《复变函数》考试试题与答案各种总结.docx
---《复变函数》考试试题（一）一、判断题（ 20 分）：1. 若 f(z) 在 z 0 的某个邻域内可导，则函数f(z) 在 z 0 解析 .2. 有界整函数必在整个复平面为常数.3. 若{ z n }收敛，则{Re z n } 与{Im z n }都收敛 .4. 若 f(z) 在区域 D 内解析，且f '( z)，则f ( z) C（常数） 5. 若函数 f(z) 在 z 0 处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数6. 若 z 0 是 f ( z)的 m 阶零点，则 z 0 是 1/f (z)的 m 阶极点 .lim f ( z)7. 若 zz 0存在且有限，则 z 0 是函数 f(z) 的可去奇点 .( ) ( ) ( ). ( ).( )()()8. 若函数 f(z) 在是区域 D 内的单叶函数，则f ' (z) 0( zD ).()9. 若 f(z)在区域 D 内解析 , 则对 D 内任一简单闭曲线Cf z dz.( )C( )10. 若函数 f(z) 在区域 D 内的某个圆内恒等于常数，则 f(z)在区域 D 内恒等于常数 . （）二. 填空题（ 20 分）1、|z z 0 |dz__________. （ n 为自然数）1 ( z z )n2.sin 2zcos 2z_________.3. 函数sin z的周期为 ___________.f (z)z 2 11，则f ( z)的孤立奇点有 __________.4.设5. 幂级数nz n 的收敛半径为 __________.n 06. 若函数 f(z) 在整个平面上处处解析，则称它是__________.lim z nlimz 1z 2 ...z n7. 若 n，则 nn______________.Res(e z8.n,0)________，其中 n 为自然数 .z---9.sin z的孤立奇点为 ________ .z若z 0 是 f (z)lim f (z)___10. 的极点，则z z.三. 计算题（ 40 分）：f (z)11. 设(z 1)( z 2) ，求 f ( z) 在 D { z : 0 | z | 1} 内的罗朗展式 .1dz.|z| 1cos z2.3. 设f ( z)3 271d{ z :| z | 3} ，试求 f ' (1 i ).Cz，其中 Cz 1w1 的实部与虚部 .4.求复数z四 . 证明题 .(20 分 )1. 函数f (z)在区域 D 内解析 . 证明：如果 | f ( z) |在 D 内为常数，那么它在D 内为常数 .2. 试证 : f ( z) z(1 z) 在割去线段 0Re z 1 的 z 平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0 Re z 1上岸取正值的那支在 z 1的值 .《复变函数》考试试题（一）参考答案一． 判断题1．× 2．√ ３．√ ４．√５．√6．√ ７．×８．×９．× 10．×二．填空题2 in1 2.1 ；3. 2k ， ( k z) ；4.z i ； 5.11.n；16. 整函数；7. ； 1 ； 9. 0； 10..8.(n 1)!三．计算题 .1. 解因为 0 z 1, 所以 0 z 1f ( z)1 1 1 z zn1 ( z )n.( z 1)(z 2) 1 z 2(1 )n 02 n 0 22---2.解因为z21Re s f (z)lim lim,cosz sin z1 z z z222Re s f (z)lim z2lim1 1 . cosz sin zz z z2 22所以1dz2i(Re s f (z)Re s f (z)0. z2 cosz z2z23.解令 ()3271,则它在 z 平面解析,由柯西公式有在z 3内,f (z)c ()dz2i(z) . z所以 f (1i )2i( z) z 1 i2i (136i )2(613i ) .4.解令 z a bi ,则w z 11212( a1bi )12( a1)2b2. z 1z 1222b22b( a 1) b( a 1)(a 1)z12(a1)z12bb2 .故 Re( z1)1( a1)2b2,Im(z1)(a1)2四. 证明题 .1.证明设在 D 内 f (z) C .令 f ( z) u iv ,2u2v2c2.则 f ( z)两边分别对 x, y 求偏导数,得uu x vv x0(1) uu y vv y0(2)因为函数在 D 内解析,所以 u x v y ,u y v x.代入 (2)则上述方程组变为uu x vv x0 .消去 u x得,(u2v2 )v x0 .vu x uv x01)若 u2v20 ,则 f (z)0 为常数.2)若 v x0,由方程(1) (2) 及C.R.方程有u x0,u y0 , v y0 .所以 u c1, v c2. ( c1 ,c2为常数).---所以 f ( z) c 1 ic 2 为常数 .2. 证明 f ( z)z(1 z) 的支点为 z 0,1 . 于是割去线段 0 Re z 1 的 z 平面内变点就不可能单绕 0 或 1 转一周 , 故能分出两个单值解析分支 .由于当 z 从支割线上岸一点出发 ,连续变动到 z0,1 时 , 只有 z 的幅角增加. 所以f ( z)z(1 z) 的幅角共增加. 由已知所取分支在支割线上岸取正值 , 于是可认为该分2z1的幅角为, 故 f ( 1)i2i .支在上岸之幅角为 0,因而此分支在2e22《复变函数》考试试题（二）一. 判断题 . （20 分）1. 若函数 f ( z)u( x, y) iv ( x, y) 在 D 内连续，则 u(x,y)与 v(x,y)都在 D 内连续 .( ) 2. cos z 与 sin z 在复平面内有界 .()3.若函数 f(z)在 z 解析，则 f(z)在 z 连续 .()0 04. 有界整函数必为常数 .一定不存在 .()5. 如 0是函数f(z)的本性奇点，则 lim f ( z) ()zz z 06. 若函数 f(z)在 z 0 可导，则 f(z)在 z 0 解析 .()7.若 f(z)在区域 D 内解析 , 则对 D 内任一简单闭曲线 Cf (z)dz0 .C( ) 8. 若数列 { z n } 收敛，则 {Re z n } 与 {Im z n } 都收敛 .() 9. 若 f(z)在区域 D 内解析，则 |f(z)|也在 D 内解析 .()10. 存在一个在零点解析的函数1 ) 0 1 1 1,2,... .f(z) 使 f (且 f ( ) ,nn 1 2n 2n( )二 . 填空题 . (20 分)1. 设 zi ，则 | z | __,arg z__, z __2.设 f (z) ( x 22xy) i(1 sin( x 2y 2 ), z x iy C ，则 limf ( z) ________.z 1i3.|z z 0| 1(zdz_________.z )n（ n 为自然数）---4.幂级数 nz n的收敛半径为__________ .n05.若 z0是 f(z)的 m 阶零点且 m>0，则 z0是f '( z)的 _____零点 .6.函数 e z的周期为 __________.7.方程 2z5z33z 8 0 在单位圆内的零点个数为________.8.设 f ( z)1，则 f (z) 的孤立奇点有_________.21z9.函数 f ( z) | z | 的不解析点之集为________.10. Res(z41,1) ____ . z三. 计算题 . (40 分)1.求函数sin( 2z3)的幂级数展开式 .2.在复平面上取上半虚轴作割线 . 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点 z i 处的值.i3.计算积分： I| z | dz，积分路径为（1）单位圆（ | z | 1）i的右半圆 .sin z dzz 2(z) 24.求2.四. 证明题 . (20 分)1. 设函数 f(z)在区域 D 内解析，试证： f(z)在 D 内为常数的充要条件是 f (z) 在D内解析 .2.试用儒歇定理证明代数基本定理 .《复变函数》考试试题（二）参考答案一.判断题 .1．√２．×３．√４．√ ５．× 6．×７．×８．√９．× 10．× .二.填空题---1.1 ，， i ；2. 3(1sin 2)i ；3.2 i n14. 1；5. m 1 . 0n；216.2k i ，( k z) .7. 0；8. i；9.R ；10. 0.三.计算题1.解 sin(2 z3 )( 1)n (2 z3 )2 n 1(1)n 22n 1 z6n3.n 0(2 n1)!n 0(2n1)!2.解令 z re i.2 ki则 f ( z)z re2,(k0,1).又因为在正实轴去正实值，所以k0 .所以 f (i)ie 4.3.单位圆的右半圆周为z e i,ide i e i 所以 zdz22i22 4.解.2 2 2i .即 u, v 满足 C.R.,且u x , v y , u y ,v x连续 , 故f ( z)在D内解析 .( 充分性 ) 令f ( z)u iv, 则 f ( z)u iv ,因为 f ( z) 与 f ( z) 在D内解析,所以u x v y , u y v x,且 u x ( v) y v y , u y( v x )v x.比较等式两边得u x v y u y v x0 .从而在 D 内 u, v 均为常数,故f ( z)在 D 内为常数.2. 即要证“任一n次方程a0 z n a1z n1a n 1z a n0(a00) 有且只有n 个根”.证明令 f (z)a0 z n a1z n 1a n1za n0 ,取 R max a1a n,1 ,当 za0在 C : z R 上时,有(z)a1 R n 1an 1R a n( a1a n )R n 1a0R n.f ( z) .由儒歇定理知在圆z R 内,方程 a0 z n a1z n 1a n 1z a n0与 a0 z n0有相---同个数的根 . 而 a 0 z n 0 在 z R 内有一个 n 重根 z 0 . 因此 n 次方程在 z R 内有 n 个根 .《复变函数》考试试题（三）一 . 判断题 . (20 分).1. cos z 与 sin z 的周期均为 2k .( )2. 若 f ( z) 在 z 0 处满足柯西 - 黎曼条件 , 则 f ( z) 在 z 0 解析 . ( )3. 若函数 f ( z) 在 z 0 处解析，则 f ( z) 在 z 0 连续 . ( )4. 若数列 { z n } 收敛，则 {Re z n } 与 {Im z n } 都收敛 .( )5.若函数 f ( z) 是区域 D 内解析且在 D 内的某个圆内恒为常数，则数 f ( z) 在区域 D 内为常数 . ( )6. 若函数 f ( z) 在 z 0 解析，则 f ( z) 在 z 0 的某个邻域内可导 . ()7.如果函数 f ( z) 在 D{ z :| z | 1} 上解析 , 且 | f (z) | 1(| z | 1) , 则| f ( z) | 1(| z | 1) .（ ）8.若函数 f ( z) 在 z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.( ) 9. 若 z 0 是 f ( z) 的 m 阶零点 , 则 z 0 是 1/ f ( z) 的 m 阶极点 . ( )10.若z 0 是 f (z)的可去奇点，则 Res( f ( z), z 0 ) 0. ( )二 . 填空题 . (20 分)1. 设 f ( z)1 ，则 f ( z) 的定义域为 ___________.2 z 12. 函数 e z 的周期为 _________.3. 若 z nn 2 i (1 1) n ，则 lim z n__________.1 nnn4. sin 2 z cos 2 z___________.dz5.|z z 0 | 1(z z )n（ n 为自然数）_________.6. 幂级数nx n 的收敛半径为 __________.n设 f (z) 1f z 的孤立奇点有z 2 1，则7.( ) __________.ez---9.若 z 是 f (z)的极点，则 lim f (z) ___ .z z 0z10.Res(en ,0) ____ .z三 . 计算题 . (40 分)11. 将函数 f ( z) z 2e z 在圆环域 0 z内展为 Laurent 级数 .2. 试求幂级数n!z n的收敛半径 .n nn3. 算下列积分：e zdz，其中 C是| z |1.Cz 2 (z29)4. 求 z92z6z 28z 2 0 在| z|<1内根的个数 .四 . 证明题 . (20 分)1.函数 f (z) 在区域 D 内解析 . 证明：如果 | f ( z) |在 D 内为常数，那么它在D 内为常数 .2.设 f (z) 是一整函数，并且假定存在着一个正整数 n ，以及两个正数 R 及 M ，使得当 | z|R 时| f ( z) |M | z |n，证明 f (z) 是一个至多 n 次的多项式或一常数。
2007级《复变函数期》期中试题D答案
班级 学号 姓名长治学院2009-2010学年 第一学期期中考试D 卷答案课程 复变函数 适用专业年级 数学系2007级各专业一、 单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设z =1-i ,则Im(1/z 2)=（ C ） A ．-1B ．-21C ．21 D ．12．复数z =ii-+23的幅角主值是（ B ） A ．0B ．4π C ．2π D ．43π3(3)(2)3(1)255i i i i z i ++++===- 3．设n 为整数，则Ln （-ie ）=（ C ） A ．1-2πi B ．)22(πn π-i C ．1+(2)2πn πi -D ．1+(2)2πn πi+长治学院2007级《复变函数》期中试题(D)答案4．设12,22iz i z ==+，则ln z 2z （ln z 表示主值） A ．>B ．=C ．<D ．不能确定1212ln ln ,ln ln |ln |||||ln 22626i z i i z i z z ππππ⎫====⇒=>=⎪⎪⎝⎭5．函数)Im()(2z z z f =在z =0处的导数( A )A. 等于0B.等于1C.等于1-D.不存在2Im()(0)lim lim Im()0z z z z f z z z→∞→∞'===6．2()f z x iy =-,直线1:2L x =-，则()f z 在( B ) A. z 平面上解析 B. L 上可微C.L 上解析D.z 平面上可微2()2,0,0,1x y x y f z x iy u x u v v =-⇒====-C-R 成立211/2x x ⇔=-⇔=-7．设z =x +iy .若f (z )=my 3+nx 2y +i (x 3-3xy 2)为解析函数，则（C ）A ．m =-3,n =-3B ．m =-3,n =1C ．m =1,n =-3D ．m =1,n =18．如果)(z f '在单位圆1<z 内处处为零，且1)0(-=f ，那么在1<z 内≡)(z f ( C )A.0B.1C.-1D.任意常数长治学院2007级《复变函数》期中试题(D)答案()f z 在单位圆1<z 为常数, 1)0(-=f () 1 ||1f z z ⇒≡-<9．积分⎰=2i iπz dz e （ A ）A ．)1(1i +πB ．1+iC ．πi2 D ．π210．设C 是正向圆周3=z ，则⎰-Cdz z z 3)2(sin π=（ B ）A ．i π2-B ．i π-C ．i πD ．2i π3sin 2sin 2!2()2Czi dz i z ππππ⎛⎫''==-⎪⎝⎭-⎰二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
复变函数试题及标准答案
二．判断题（每题3分，共30分） 1．n z z z f =)(在0=z 解读。
【 】2．)(z f 在0z 点可微，则)(z f 在0z 解读。
【 】 3．z e z f =)(是周期函数。
【 】4． 每一个幂函数在它的收敛圆周上处处收敛。
【 】 5． 设级数∑∞=0n n c 收敛，而||0∑∞=n n c 发散，则∑∞=0n n n z c 的收敛半径为1。
【 】6． 1tan()z能在圆环域)0(||0+∞<<<<R R z 展开成洛朗级数。
【 】 7． n 为大于1的正整数, Ln Ln n z n z =成立。
【 】 8．如果函数)(z f =ω在0z 解读，那末映射)(z f =ω在0z 具有保角性。
【 】9．如果u 是D 内的调和函数,则yu i x u f ∂∂-∂∂=是D 内的解读函数。
【 】10．212233||||221112|2(1)1z z z z dz dz i i z z z z ππ======--⎰⎰。
【 】 三．（8分）y e v px sin =为调和函数，求p 的值，并求出解读函数iv u z f +=)(。
四．（8分） 求())2)(1(--=z z zz f 在圆环域21<<z 和+∞<-<21z 内的洛朗展开式。
五．（8分）计算积分dx x x x ⎰∞+∞-++54cos 22。
六．（8分）设⎰-++=Cd zz f ξξξξ173)(2，其中C 为圆周3||=z 的正向，求(1)f i '+。
七．（8分）求将带形区域})Im(0|{a z z <<映射成单位圆的共形映射。
复变函数与积分变换(A)的参考答案与评分标准 (2007.7.5) 一.填空(各3分)1.3ln 2i k e +-π；2. 三级极点 ；3. 23z ；4. 0 ；5. 0 ；6.e1 ；7.322)1(26+-s s ；8. 0；9. 0 ；10. )]2()2()2(1)2(1[21++-+++-ωπδωπδωωj j 。
2007-2008-2-《复变函数与积分变换A》期末考试题-b-参考答案
北 京 交 通 大 学2007-2008-2-《复变函数与积分变换A 》期末考试试卷(B)参考答案一．填空题（本题满分14分，每空1分），请将合适的答案填在空中.1．复数i i i z +-=2184，则=)Re(z _______；=)Im(z _______；=||z _______ =)arg(z ________________，复数z 的三角表达式为_____________________ 指数表达式为_______________________________________________________ 解：因为i i i i i i z 31414218-=+-=+-=所以，1)Re(=z ；3)Im(-=z ；10||=z ；3arctan )arg(-=z ， 复数z 的三角表达式为)]sin(arg )[cos(arg 10z i z +， 指数表达式为)arg(10z i e.2．方程083=+z 的所有根是2,1,0,28323==-=+k ez k iππ3．.,2,1,0,)1()]24(2[ln )1( ±±===++++k e ei k i i i iLn i ππ4．函数z ln 在复平面上的连续性为在除去原点和负实轴的平面上连续. 5．若幂级数∑∞=+1)(n nn i z c 在i z =处发散，则该级数在1=z 的敛敛性为发散6．映射ze w =将带形域43)Im(0π<<z 映照成角形域43)arg(0π<<z . 7．幂函数3z w =，把扇形域2||,3)arg(0<<<z z π映照为w 平面上的扇形域8||,)arg(0<<<z z π.8．在傅氏变换意义下，函数)(1t f 和)(2t f 的卷积)(*)(21t f t f 定义⎰+∞∞--τττd t ff )()(21.9．设)()(0t t t f -=δ，则)]([t f F =0t i eω-.二．判断下列命题的真假（本题满分10分，共有10道小题，每道小题1分），对的填“∨”，错的填“⨯”.（∨）1．指数函数ze 是以i π2为周期的周期函数. （⨯）2．正弦函数z sin 一定是有界函数. （⨯）3．奇点一定是孤立奇点.（⨯）4．)(z f 在0z 可导是)(z f 在0z 解析的充分条件.（∨）5．若u 和v 都是D 内的调和函数，且满足柯西-黎曼方程，则 iv u z f +=)(在区域D 内是解析函数.（⨯）6．若积分⎰=Cdz z f 0)(，C 是一条简单闭曲线，则)(z f 在C 内无奇点.（⨯）7．幂级数∑∞=1n nn z 的收敛半径为1，则在1||=z 上的点一定处处收敛.（⨯）8．函数y x v +=是y x u +=的共轭调和函数.（⨯）9．如果无穷远点∞是)(z f 的一阶极点，则0=z 是)1(zf 的一阶极点，并且)1(lim ]),([Re 0zzf z f s z →=∞.（⨯）10．映射2z w =在z 平面上每一点都具有伸缩率和旋转角的不变性.三．讨论函数33)1()(y i x z f -+=的可导性、解析性（8分）.解：设3x u =，3)1(y v -=，则v u ,处处可微且22)1(3,0,0,3y yvx v yu x x u --=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂但1,00)1()1(332222==⇒=-+⇒--=⇒∂∂=∂∂y x y x y x yv x u即仅在点)1,0(处满足柯西-黎曼方程，因此，33)1()(y i x z f -+=在点)1,0(处可导，但在整个复平面上不解析.四．在扩充复平面上找出函数23)(23+-+=z z iz z f 的孤立奇点并加以分类，若是极点，指出其阶（或级）数，最后分别计算在每个孤立奇点的留数（8分）.解：)2)(1(23)(323--+=+-+=z z iz z z i z z f所以，)(z f 共有两个一阶极点2,121==z z 和一个无穷远点∞.i i z i z z f z z f s z z --=-+=-+=-=→→1112lim )()1(lim ],[Re 3111i i z i z z f z z f s z z +=+=-+=-=→→8181lim )()2(lim ],[Re 32227)2311(lim 21]0,)21)(1(1[Re ]0,1)1([Re ],[Re ''230332-=+-+-=--+-=-=∞→z z iz z z z iz s zz f s f s z五．1.证明: 当C 为任何不通过原点的闭曲线时，⎰=Cdz z012；（3分）. 2. 沿怎样的简单闭曲线有⎰=++Cdz z z 0112；（3分）.3. 计算⎰--Cdz z z )3)(1(15，2|:|=z C .（3分）； 1. 证明：当C 不包含0=z 时，由柯西定理得，⎰=Cdz z 012； 当C 包含0=z 时，由高阶导数的柯西积分公式得，0)1(!121'2==⎰Ci dz z π 2. 当i z 23212,1±-=均不被简单曲线C 包围或全部被包围时，⎰=++Cdz z z 0112. 3.]]),[Re ]3,[([Re 2)3)(1(15∞+-=--⎰f s f s i dz z z Cπ121)02421(2])0,)31)(11(1[Re 2421(252ii z z z s i πππ-=+-=----=六．计算⎰Cdz z __，这里曲线C 为)11(12≤≤--+=x x i x z ，方向分别取逆时针和顺时针方向 （6分）.解：⎪⎩⎪⎨⎧-==⎰⎰-，顺时针逆时针i ,__ππθθθi d e ie dz z C i i C七．将函数)(1)(i z z z f -=分别在圆环1||0<<z 与+∞<-<||1i z 内展成罗朗级数（8分）.解：（1）当1||0<<z 时，++++++=+++++=--•=-=--112221])()(1[)1(11)(1)(n n n iz i z i z z i i zi z i z zi iz i zi z z z f（2）当+∞<-<||0i z 时，+--+--+---=+--+--+---=-+•-=+-•-=•-=-=+24232222)()1()()()(1])()1()(1[)(111)(1)(1)(11)(1)(1)(n n nn ni z i i z i i z i i z i z i i z i i z i i z iz i i z i i z i z z i z i z z z f+--+--+--=-++--+--+--=-+nn nn i z i i z i i z i iz i iz i i z i i z i iz i )()1()(1)11()()1()(1112'2八．计算dz z z z ⎰=+2||651 （8分）. 解：原式=∑=+6165],1[Re 2k k z z z s i π iz z s i z z z s i z z s i ππππ2]0,)1(1[Re 2]0,1111[Re 2],1[Re 2626565=+=•+=∞+-= 九．计算θθθπd ⎰+202cos 45sin （8分）.解：设θi e z =，则izdzd =θ，iz z 21sin 2-=θ，z z 21cos 2+=θ原式dz z z z z i z ⎰=++-=1||2222)4104()1(2 dz z z z z i z ⎰=++-=1||2222)4104()1(2 在1||<z 内，有一个二阶极点01=z 和一个一阶极点512-=z ， 85]0),([Re -=z f s83]51),([Re =-z f s所以，原式4]}51,[Re ]0,[{Re 22ππ=-+=f s f s i i十．讨论将半径为1，圆心分别在0=z 和1=z 处的两圆的公共部分在分式线性映照)2321()2321(i z i z --+-=ω下的图形 （8分）. 解：两圆1||=z 和1|1|=-z 的交点为i z 23212,1±=，两圆在2,1z 的夹角分别为32π， 该分式线性映照将1z 映成原点，而把2z 映成∞，且0|1'≠z ω，因此，分式线性映照在1z 是共形映照，所给的区域经映照后映照成以原点为顶点的角形区域，张角等于32π. 另外，为了确定角形域的位置，取1|21-==z ω，所以，所得的角形域如右图所示：十一. 求函数0,)(||>=-ββt e t f 的傅氏变换 （6分）.解：dt e e F t i t ⎰+∞∞---=ωβω||)(22)(0)(211ωββωβωβωβωβ+=++-=+=⎰⎰+∞+-∞--i i dte dt et i ti十二.用拉普拉斯变换和它的逆变换求下列一阶常系数非齐次常微分方程的解： 0)0(,2'=+=-y t e y y t （6分）.解：作Laplace 变换，记Y(s)=L[y(t)], 则 2121)()(ss s Y s sY +-=- 1)(112111111121)1(1)2)(1(1)(2222--=---=---+---=-+--=t e t y ss s s s s s s s s s s s Y t。
复变函数题库(包含好多试卷,后面都有答案)
《复变函数论》试题库《复变函数》考试试题（一）一、 判断题（20分）：1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析. ( )2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( )3.若}{n z 收敛，则} {Re n z 与} {Im n z 都收敛. ( )4.若f(z)在区域D 内解析，且0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( )5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( )7.若)(lim 0z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( )8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈∀≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C0)(=⎰Cdz z f . ( )10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数.（ ）二.填空题（20分）1、 =-⎰=-1||00)(z z nz z dz__________.（n 为自然数）2.=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8.=)0,(Re n zz e s ________，其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题（40分）：1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2. .cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数. 2. 试证: ()(1)f z z z =-在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题（二）一. 判断题.（20分）1. 若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续，则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续. ( )2. cos z 与sin z 在复平面内有界. ( )3. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 有界整函数必为常数. ( )5. 如z 0是函数f (z )的本性奇点，则)(lim 0z f z z →一定不存在. ( )6. 若函数f (z )在z 0可导，则f (z )在z 0解析. ( )7. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f .( )8. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )9. 若f (z )在区域D 内解析，则|f (z )|也在D 内解析. ( )10. 存在一个在零点解析的函数f (z )使0)11(=+n f 且,...2,1,21)21(==n nn f . ( )二. 填空题. (20分)1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z2.设C iy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(lim 1z f i z ________.3.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数）4. 幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________. 8. 设211)(z z f +=，则)(z f 的孤立奇点有_________. 9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz .三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z=处的值.3. 计算积分：⎰-=iiz z Id ||，积分路径为（1）单位圆（1||=z ）的右半圆.4. 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 内解析，试证：f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题（三）一. 判断题. (20分).1. cos z 与sin z 的周期均为πk2. ( ) 2. 若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件, 则f (z )在z 0解析. ( )3. 若函数f (z )在z 0处解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )5. 若函数f (z )是区域D 内解析且在D 内的某个圆内恒为常数，则数f (z )在区域D 内为常数. ( )6. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0的某个邻域内可导. ( )7. 如果函数f (z )在}1|:|{≤=z z D 上解析,且)1|(|1|)(|=≤z z f ,则)1|(|1|)(|≤≤z z f . （ ）8. 若函数f (z )在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.( ) 9. 若z 0是)(z f 的m 阶零点, 则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 10. 若0z 是)(z f 的可去奇点，则0)),((Res 0=z z f . ( )二. 填空题. (20分)1. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的定义域为___________.2. 函数e z的周期为_________.3. 若n n n i n n z )11(12++-+=，则=∞→n z n lim __________. 4. =+z z 22cos sin ___________.5. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数） 6. 幂级数∑∞=0n n nx 的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=ze ，则___=z .9. 若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =nzze . 三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn n z nn ∑+∞=!的收敛半径.3. 算下列积分：⎰-C z z z ze )9(d 22，其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z |<1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数. 2. 设)(z f 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R 及M ，使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤，证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。
复变函数历年考试真题试卷
复变函数历年考试真题试卷一、选择题1. 下列哪个函数不是复变函数？A. f(z) = e^zB. f(z) = z^2C. f(z) = |z|D. f(z) = ln(z+1)2. 设f(z) = u(x,y) + iv(x,y)是一个复变函数，下面哪个等式成立？A. ∂u/∂x = ∂v/∂yB. ∂u/∂y = ∂v/∂xC. ∂u/∂x = -∂v/∂yD. ∂u/∂y = -∂v/∂x3. 对于复变函数f(z) = x^3 + 3ix^2y - 3xy^2 - iy^3，下列哪个等式成立？A. ∂u/∂x = 3x^2 + 6ixy - 3y^2B. ∂u/∂y = 3x^2 + 6ixy - 3y^2C. ∂v/∂x = -3x^2 + 3y^2 - 6ixyD. ∂v/∂y = -3x^2 + 3y^2 - 6ixy二、填空题1. 设f(z) = z^2 + 2iz - 1，则f(z)的共轭函数是________。
2. 当z → ∞ 时，f(z) = z^2 + 3z + 1的极限是________。
3. 若f(z) = u(x,y) + iv(x,y) 是全纯函数，则满足柯西-黎曼方程的条件是∂u/∂x = ________。
三、计算题1. 计算复变函数f(z) = z^3 - 4z的积分，其中C为以原点为圆心、半径为2的圆周。
2. 当z = -i 时，计算复变函数f(z) = 2z^2 + 3iz的导数。
四、证明题证明：若复变函数f(z) = u(x,y) + iv(x,y) 在单连通域D上解析，则f(z) 在D 上也是调和函数。
（请自行根据题目要求增减字数，使得文章达到合适的长度。
）（文章正文）选择题：1. 下列哪个函数不是复变函数？2. 设f(z) = u(x,y) + iv(x,y)是一个复变函数，下面哪个等式成立？3. 对于复变函数f(z) = x^3 + 3ix^2y - 3xy^2 - iy^3，下列哪个等式成立？填空题：1. 设f(z) = z^2 + 2iz - 1，则f(z)的共轭函数是________。
复变(07.12统)A(B)复变函数
说明：以下是2007考卷(A 、B)，考试范围$1.1-$6.1, 考试范围是：第一章到第五章，有星号诚信应考,考试作弊将带来严重后果！华南理工大学考试2007《复变函数-A 》试卷1. 考前请将密封线内填写清楚；所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)； ．考试形式：闭卷；. 填空题（每空4分，共20分） 1. 设复数21=z , 则.___________=z 2. 设函数)(z f 在单连通区域D 内解析，C 是D 内任意一条简单正向闭曲线，则积分()__________.Cf z dz =⎰3. 设C 为沿原点0=z 到点i z +=1的直线段, 则2______________.Czdz =⎰4. 幂级数∑∞=+012)2(n n n z i 的收敛半径为__________.R =5．函数zz f 1cos1)(=在孤立奇点2211ππ+=z 处的留数Res 1[(),]_______.f z z =二. 选择题（每题4分，共20分）1. 设y x ,为实数,yi x z yi x z +-=++=11,1121且有,12||||21=+z z 则动点),(y x 的轨迹是 ( ).(A) 圆 (B) 椭圆 (C) 双曲线 (D) 抛物线2．若曲线20082007:=Z C ，则积分34(1)(1)C dzz z -+⎰ 的值是( )．(A) 2007 (B) 2008 (C) 0 (D) 13. 设),(),()(y x iv y x u z f +=在区域D 内解析,下列函数为D 内解析函数的是( )．(A) ),(),(y x iu y x v + (B) ),(),(y x iu y x v -(C) ),(),(y x iv y x u - (D) xv i x u ∂∂-∂∂4. 设函数)4)(1(1)(++=z z z z f 在以原点为中心的圆环内的罗朗展开式有m 个,那么 )(=m ．(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 45．设)(z f w =在0z 解析，且0)(0≠'z f ，则映射)(z f w =具有( )． (A) 只把0z 的一个邻域内某一小三角形映成含)(00z f w =的一个三角形； (B) 把0z 的一个邻域内任一小三角形映成含)(00z f w =的一个曲边三角形,二者近似相似；(C) 把充分小的圆周r z z =-0映成三角形；(D) 把含0z 的充分小的三角形映成圆周．三. (10分) 求解方程083=+z .四. (10分) 计算复数 Ln (34)i -+．五.(10分) 计算积分221(1)(4)Cdz z z ++⎰， 3:2C z =，C 为正向曲线．六.(10分) 将函数)1()2ln(--z z z 在110<-<z 内展开成罗朗级数.七. (10分) 计算积分⎰+πθθ20cos 35d ．八. (5分) 计算2()1ze f z z =-在∞处的留数．. (5分) 计算积分152243(1)(2)Cz dz z z ++⎰ ，:3C z =，C 为正向曲线． ,考试作弊将带来严重后果！华南理工大学考试2007《复变函数-B 》试卷1. 考前请将密封线内填写清楚；所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)； ．考试形式：闭卷；. 填空题（每小题4分，共20分） 设z=(1+i)100，则Imz= . 设C 为正向圆周|ξ|=2，f(z)=sinπζζζ3-⎰zd C，其中|z|<2，则'=f ()1 . 罗朗级数∑∑∞=∞=--+-10)21()1()2(1n n n nnz z 的收敛圆环为__________, 和函数为__________． 积分||71______________1cos z zdz z =+=-⎰ ．5. 函数)(z f w =在区域D 内解析，D z ∈0且0)(0≠'z f ，则)(z f w =在0z 具有两个性质______________，______________，此时称)(z f w =在0z 是保形的.二. 单项选择题（每小题4分，共20分）1. 方程2Re 1z =所表示的平面曲线为（ ）．A. 圆B. 直线C. 椭圆D. 双曲线2. 若函数()f z 在正向简单闭曲线C 所包围的区域D 内解析，在C 上连续，且z a =为D 内任一点，n 为正整数，则积分1()()n C f z dz z a +-⎰ 等于（ ）．A.(1)2()(1)!n if a n π++ B. 2()!i f a n π C. ()2()n if a π D. ()2()!n i f a n π3. 1-=z 是函数4cot (1)zz π+的（ ）．A. 3阶极点B. 4阶极点C. 5阶极点D. 6阶极点4. 设()Q z 在点z=0处解析，)1()()(-=z z z Q z f ，则Res [(),0]f z 等于（ ）．A. (0)QB. (0)Q -C. (0)Q 'D. (0)Q '-5. 设)(z f w =在0z 解析，且0)(0≠'z f ，则映射)(z f w =具有( )．A. 只把0z 的一个邻域内某一小三角形映成含)(00z f w =的一个三角形；B. 把0z 的一个邻域内任一小三角形映成含)(00z f w =的一个曲边三角形，二者近似相似；C. 把充分小的圆周r z z =-0映成三角形；D. 把含0z 的充分小的三角形映成圆周． 三. (10分) 将zzz f sin )(=在圆环 ∞<<||0:z D 内展开成罗朗级数．四. (10分) 计算留数Res 6,0shz z ⎛⎫⎪⎝⎭的值．五.（10分）设()cos f z z z =，计算积分0()if z dz ⎰．六. (10分) 计算积分34(1)(1)Cdzz z -+⎰，其中C ：|1|1z -=的正向．七. (10分) 在指定区域，把函数()f z 展开为洛朗级数． 2ln ()(1)zf z z =-，0|1|1z <-<八. （5分）设1()sinf z z i=-， （1）求)(z f 在0||z i <-<+∞的洛朗级数；（2）在扩充复平面求)(z f 所有孤立奇点处的留数．九. （5分）设33(1)(3)()(sin )z z f z z π+-=， （1）求()f z 的所有孤立奇点并判断其类型；（2）求Res [](),3f z ．A 卷参考答案：一．（20分）（1）1 （2）0 （3）2 （4）2 （5）2214125(2)2πππ=+二．（10分）（1）B （2）C （3）B （4）C （5）B 三（10分）解：因为388(cos sin ),z i ππ=-=+所以，222(cos sin ),0,1,2.33k k z i k ππππ++=+=（6分）即方程有三个解：11z =，22z =-，31z =-10四．（10分）解：根据对函数的定义有 (34)ln 34(34)Ln i i iArg i -+=-++-+（6分） 4l n 5(a r c t a n 2)3i k ππ=+-+ 0,1,2k =±± （10分）五．（10分） 解：令221()(1)(4)f z z z =++ ，则()f z 在Ｃ内有两个一阶极点,i i -，由留数定理得 ()2(Re [(),]Re [(),])cf z dz i s f z i s f z i π==-⎰ （6分） 2(()()()())lim lim z i z i i z i f z z i f z π→→-=-++＝０ （10分）六．（10分）解：七.（10分）23232221ln(2)ln[1(1)][(1)0.5(1)(1)...]3111(1)(1)(1)...1(1)(2)ln(2)1.(1)11[10.5(1)(1)...][1(1)(1)...]3510.5(1)(1) (6)z z z z z z z z z z ln z z z z z zz z z z z z -=--=--+-+-+==--+---++---=--=-+-+-+--+--=-+---+所以令1211,,cos 0.5(),21053cos [5 1.5()]231032(31)(3)i i i i z z z z e dz e id e e d dz iz z z i dzz z i dz z z θθθθθθπθθ-======+=+++-=++-++⎰⎰⎰⎰ 则从而有在1z =内被积函数只有一个奇点13-，且为一阶级点，所以132212Re [,]053cos (31)(3)3223(3)2z d i i s z z iiz πθπθππ=--=-+++-=+=⎰ 八．（10）分解：()f z 在复平面内有两个奇点1,-1,根据留数定理有11Re [(),](Re [(),1]Re [(),1]22122z zz z s f z s f z s f z e e z ze e ==-∞=-+-=--=-+九．（10分） 解：设152243()(1)(2)z f z z z =++，则()f z 得所有有限奇点均在3z =内部，由留数定理得： 1()2Re [(),]2Re [(),]nkk f z i s f z z i s f z ππ===-∞∑⎰ 另一方面：2152232422430224311Re [(),]Re [(),0]21()1Re [.,0]11(1)(2)1Re [,0](1)(12)1(1)(12)1z s f z s f z z s z z z s z z z z z =-∞==++=++=++=所以所求积分为：2i π。
复变函数论试卷和答案.
若函数 f(z)是区域 D 内解析且在 D 内的某个圆内恒为常数，则数 f(z)在区 ( ) 域 D 内为常数. 6. 若函数 f(z)在 z0 解析，则 f(z)在 z0 的某个邻域内可导. ( ) 7. 如果函数 f(z)在 D = {z :| z |≤ 1} 上解析,且 | f ( z ) |≤ 1(| z |= 1) ,则
f '( z ) ≡ 0 ，则 f ( z ) ≡ C （常数）.
4.若 f(z)在区域 D 内解析，且
5.若函数 f(z)在 z0 处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. 6.若 z0 是 f ( z ) 的 m 阶零点，则 z0 是 1/ f ( z ) 的 m 阶极点. 7.若 z → z 0
三. 计算题. (40 分) 1.
2.
试求幂级数
n! n z 的收敛半径. ∑ n n= n
+∞
3.
e z dz 算下列积分： ∫C z 2 ( z 2 − 9) ，其中 C 是| z |= 1.
求z
9
4. 四. 1.
− 2 z 6 + z 2 − 8 z − 2 = 0 在|z|<1 内根的个数.
3.
= i 处的值.
计算积分： I
= ∫ | z | dz ，积分路径为（1）单位圆（ | z |= 1）
−i
i
的右半圆.
∫
4. 求
sin z
z =2
(z −
π
2
dz )
2
.
四. 证明题. (20 分)
1. 设函数 f(z)在区域 D 内解析，试证：f(z)在 D 内为常数的充要条件是 f ( z ) 在
2
复变函数试题及答案
二．判断题（每题3分，共30分）1．n z z z f =)(在0=z 解析。
【 】2．)(z f 在0z 点可微，则)(z f 在0z 解析。
【 】 3．z e z f =)(是周期函数。
【 】4． 每一个幂函数在它的收敛圆周上处处收敛。
【 】 5． 设级数∑∞=0n nc收敛，而||0∑∞=n nc发散，则∑∞=0n n n z c 的收敛半径为1。
【 】 6． 1tan()z能在圆环域)0(||0+∞<<<<R R z 展开成洛朗级数。
【 】 7． n 为大于1的正整数, Ln Ln nz n z =成立。
【 】8．如果函数)(z f =ω在0z 解析，那末映射)(z f =ω在0z 具有保角性。
【 】 9．如果u 是D 内的调和函数,则yu i x u f ∂∂-∂∂=是D 内的解析函数。
【 】10．212233||||221112|2(1)1z z z z dz dz i i z z z z ππ======--⎰⎰。
【 】 三．（8分）y e v pxsin =为调和函数，求p 的值，并求出解析函数iv u z f +=)(。
四．（8分） 求())2)(1(--=z z zz f 在圆环域21<<z 和+∞<-<21z 内的洛朗展开式。
五．（8分）计算积分dx x x x⎰∞+∞-++54cos 22。
六．（8分）设⎰-++=Cd zz f ξξξξ173)(2，其中C 为圆周3||=z 的正向，求(1)f i '+。
七．（8分）求将带形区域})Im(0|{a z z <<映射成单位圆的共形映射。
复变函数与积分变换(A)的参考答案与评分标准 (2007.7.5)一.填空(各3分)1.3ln 2i k e +-π； 2. 三级极点 ；3. 23z ；4. 0 ；5. 0 ；6. e 1 ；7. 322)1(26+-s s ；8. 0； 9. 0 ；10. )]2()2()2(1)2(1[21++-+++-ωπδωπδωωj j 。
复变函数考试卷试题及答案
应用数理统计应用数理统计 试题试题第 1 页 共 4 页复变函数考试卷一、单项选择题（15分，每小题3分）分）1． 设()2,00,0z z f z zz ì¹ï=íï=î，则()f z 的连续点集合为（的连续点集合为（）。
（A ）单连通区域）单连通区域 （B ）多连通区域）多连通区域 （C ）开集非区域）开集非区域 （D ）闭集非闭区域）闭集非闭区域 2． 设()(,)(,)f z u x y iv x y =+，那么(,)u x y 与(,)v x y 在点()00,x y 可微是()f z 在点000z x i y =+可微的（可微的（）。
()()()()A B C D 充分但非必要条件必要但非充分条件充分必要条件既非充分也非必要条件3． 下列命题中，不正确的是（下列命题中，不正确的是（）。
()()()()()()()()()0R e s ,0I m 1.zz A f z f z B f z D z f z D C e i Dz e iwp w ¥¥=-=<<<+如果无穷远点是的可去奇点,那么若在区域内任一点的邻域内展开成泰勒级数,则在内解析.幂级数的和函数在收敛圆内是解析函数.函数将带形域0()映射为单位圆4． 设c 是()1z i t =+，t 从1到2的线段，则arg d cz z ò（ ）。
()()()()()11444AB iC iD i ppp ++5． 设()f z 在01z <<内解析且()0lim 1z zf z ®=，那么()()Res ,0f z =（ ）。
()()()()2211A iB iCD p p --二、填空题（15分，每空3分）分） 1．()Ln 1i -的主值为的主值为。
2．函数()()Re Im f z z z z ()=+仅在点z = 处可导。
复变函数期末试卷
南昌大学 2005～2006学年第一学期期末试卷一 . 填空 (每题2分，共10分)。
1. 设)2)(3()3)(2)(1(i i i i i z ++--+=，则=z .2.设c 为沿原点z =0到点z =1+i 的直线段,则=⎰cdz z 2 2 .3. 函数f(z)=]1)(z 11z 1[1z15+++++在点z=0处的留数为__________________4. 若幂级数i z z c n n n 210+=∑∞=在处收敛，则该级数在z =2处的敛散性为 .5. 设幂级数∑∞=0n nn z c 的收敛半径为R ，那么幂级数∑∞=-0)12(n n n n z c 的收敛半径为 .二. 单项选择题 (每题2分，共40分)。
1． 复数i 258-2516z=的辐角为 （B ）A ．arctan 21 B ．-arctan 21 C ．π-arctan 21 D ．π+arctan 212． 方程1Rez 2=所表示的平面曲线为 （ ）A ．圆B ．直线C ．椭圆D ．双曲线 3．复数)5isin -5-3(cos z ππ=的三角表示式为 （C ）A ．)54isin543(cos -ππ＋ B ．)54isin543(cos ππ－C ．)54isin 543(cosππ＋ D ．)54isin 543(cos -ππ－4．设z=cosi ，则 （ A ）A ．Imz=0B ．Rez=πC ．|z|=0D ．argz=π 5．复数i3e+对应的点在 （ A ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 6．设w=Ln(1-i),则Imw 等于（ B ） A ．4π－B ． 1,0,k ,42k ±=ππ－C ．4πD ． 1,0,k ,42k ±=+ππ7.设函数f(z)=u+iv 在点z 0处可导的充要条件是 ( D) A. u,v 在点z 0处有偏导数C. u,v 在点z 0处满足柯西—黎曼方程B. u,v 在点z 0处可微 D. u,v 在点z 0处可微，且满足柯西—黎曼方程8．若函数f(z)在正向简单闭曲线C 所包围的区域D 内解析，在C 上连续，且z=a 为D 内任一点，n 为正整数，则积分⎰+-cn a z z f 1)()(等于 （ D ）A ．)()!1(2)1(a fn i n ++π B ．)(!2a f n i π C ．)(2)(a ifn π D ．)(!2)(a fn i n π9．设C 为正向圆周｜z+1|=2,n 为正整数，则积分⎰+-cn i z dz 1)(等于 （C ）A.1 B ．2πi C ．0 D ．iπ2110．设C 为正向圆周|z|=2，则积分dz z c⎰-等于 （ A ）A ．0B ．2πiC ．4πiD ．8πi 11．设函数f(z)=⎰zd e 0ζζζ，则f （z ）等于 （ D ）A ．1++z z e zeB ．1-+z z e zeC ．1-+-z z e zeD ．1+-z z e ze 12．设积分路线C 为z=-1到z=1的上半单位圆周，则⎰+c2dz z1z 等于（D ）A ．i 2π+B ．i -2πC ．i -2-πD ．i 2-π+13．幂级数∑∞=1n 1-n n!z的收敛区域为（ B ）A ．+∞<<|z |0B ．+∞<|z |C ．1|z |0<<D ．1|z |<14． 3z π=是函数f(z)=ππ-3z )3-sin(z 的（ D ）A.一阶极点 B ．可去奇点 C ．一阶零点 D ．本性奇点 15．z=-1是函数41)(z z cot +π的 （ A ）A.3级极点 B ．4级极点 C ．5级极点 D ．6级极点 16．幂极数∑∞=+1n nz (2n)!1)!n （的收敛半径为（ D ）A.0 B ．1 C ．2 D ．＋∞ 17．设Q （z ）在点z=0处解析，1)-z(z Q(z)f(z)=,则Res[f(z),0]等于 （ B ）A ．Q （0）B ．－Q （0）C ．Q ′（0）D ．－Q ′（0） 18．下列积分中，积分值不为零的是（D ） A ．2|1-z C 3)dz,2z (z c3=++⎰为正向圆周｜其中 C ．1|z C dz,sinzz c=⎰为正向圆周｜其中B ．5|zC dz,e c z =⎰为正向圆周｜其中 D ．2|z C dz,1-z cosz c=⎰为正向圆周｜其中19.级数∑∞=1n in e 是 ( B )A. 收敛B. 发散C. 绝对收敛D. 条件收敛20.在|z|<1内解析且在（-1，1）内具有展开式∑∞=-0n n n x )1(的函数只能是（ A ）A. z11+ B.2z11- C.z11- D.2z11+三．计算及应用题（每题10分，共50分）。
《复变函数》考试试题与答案各种总结
《复变函数》考试试题（一）一、 判断题（20分）：1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析. ( )2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( )3.若}{n z 收敛，则} {Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )4.若f(z)在区域D 内解析，且0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( )5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( )7.若)(lim 0z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( )8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈∀≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C0)(=⎰Cdz z f .( )10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数.（ ） 二.填空题（20分）1、 =-⎰=-1||00)(z z nz z dz__________.（n 为自然数）2.=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8.=)0,(Re n zz e s ________，其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题（40分）：1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2. .cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数. 2. 试证: ()f z =在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题（一）参考答案一． 判断题1．×2．√ ３．√ ４．√ ５．√ 6．√ ７．×８．×９．×10．× 二．填空题 1. 2101i n n π=⎧⎨≠⎩； 2. 1； 3. 2k π，()k z ∈； 4. z i =±； 5. 16. 整函数；7. ξ；8. 1(1)!n -； 9. 0； 10. ∞.三．计算题.1. 解 因为01,z << 所以01z <<111()(1)(2)12(1)2f z z z z z ==-----001()22nn n n z z ∞∞===-∑∑.2. 解 因为22212Re ()limlim 1cos sin z z z z s f z z z ππππ→→=+===--, 22212Re ()limlim 1cos sin z z z z s f z z zππππ→-→-=--===-. 所以22212(Re ()Re ()0cos z z z dz i s f z s f z z πππ==-==+=⎰. 3. 解 令2()371ϕλλλ=++, 则它在z 平面解析, 由柯西公式有在3z <内, ()()2()c f z dz i z z ϕλπϕλ==-⎰.所以1(1)2()2(136)2(613)z i f i i z i i i πϕππ=+''+==+=-+. 4. 解 令z a bi =+, 则 222222122(1)2(1)211111(1)(1)(1)z a bi a bw z z a b a b a b -+-+==-=-=-+++++++++. 故 2212(1)Re()11(1)z a z a b -+=-+++, 2212Im()1(1)z bz a b -=+++. 四. 证明题.1. 证明 设在D 内()f z C =.令2222(),()f z u iv f z u v c =+=+=则.两边分别对,x y 求偏导数, 得 0(1)0(2)x x yy uu vv uu vv +=⎧⎨+=⎩因为函数在D 内解析, 所以,x y y x u v u v ==-. 代入 (2) 则上述方程组变为00x x x x uu vv vu uv +=⎧⎨-=⎩. 消去x u 得, 22()0x u v v +=. 1) 若220u v +=, 则 ()0f z = 为常数.2) 若0x v =, 由方程 (1) (2) 及 ..C R -方程有0,x u = 0y u =, 0y v =. 所以12,u c v c ==. (12,c c 为常数).所以12()f z c ic =+为常数. 2.证明()f z =0,1z =. 于是割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内变点就不可能单绕0或1转一周, 故能分出两个单值解析分支.由于当z 从支割线上岸一点出发,连续变动到0,1z = 时, 只有z 的幅角增加π. 所以()f z =2π. 由已知所取分支在支割线上岸取正值, 于是可认为该分支在上岸之幅角为0, 因而此分支在1z =-的幅角为2π,故2(1)i f e π-==.《复变函数》考试试题（二）一. 判断题.（20分）1. 若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续，则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续. ( )2. cos z 与sin z 在复平面内有界. ( )3. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 有界整函数必为常数. ( )5. 如z 0是函数f (z )的本性奇点，则)(lim 0z f z z →一定不存在. ( )6. 若函数f (z )在z 0可导，则f (z )在z 0解析. ( )7. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f .( )8. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析，则|f (z )|也在D 内解析. ( )10. 存在一个在零点解析的函数f (z )使0)11(=+n f 且,...2,1,21)21(==n nn f .( )二. 填空题. (20分)1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z2.设C iy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(lim 1z f iz ________.3.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数）4. 幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________. 8. 设211)(zz f +=，则)(z f 的孤立奇点有_________. 9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz . 三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z=处的值.3. 计算积分：⎰-=iiz z Id ||，积分路径为（1）单位圆（1||=z ）的右半圆.4. 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 内解析，试证：f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题（二）参考答案一. 判断题.1．√ ２．×３．√ ４．√ ５．×6．×７．×８．√ ９．×10．×. 二. 填空题1.1，2π-， i ； 2. 3(1sin 2)i +-； 3. 2101i n n π=⎧⎨≠⎩； 4. 1； 5. 1m -. 6. 2k i π，()k z ∈. 7. 0； 8. i ±； 9. R ； 10. 0. 三. 计算题1. 解 3212163300(1)(2)(1)2sin(2)(21)!(21)!n n n n n n n z z z n n +++∞∞==--==++∑∑.2. 解 令i z re θ=.则22(),(0,1)k if z k θπ+===.又因为在正实轴去正实值，所以0k =.所以4()if i eπ=.3. 单位圆的右半圆周为i z e θ=, 22ππθ-≤≤.所以22222ii i iz dz de ei ππθθππ---===⎰⎰.4. 解dz z zz ⎰=-22)2(sin π2)(sin 2ππ='=z z i 2cos 2ππ==z zi =0.四. 证明题.1. 证明 (必要性) 令12()f z c ic =+,则12()f z c ic =-. (12,c c 为实常数). 令12(,),(,)u x y c v x y c ==-. 则0x y y x u v u v ====. 即,u v 满足..C R -, 且,,,x y y x u v u v 连续, 故()f z 在D 内解析. (充分性) 令()f z u iv =+, 则 ()f z u iv =-, 因为()f z 与()f z 在D 内解析, 所以,x y y x u v u v ==-, 且(),()x y y y x x u v v u v v =-=-=--=-.比较等式两边得 0x y y x u v u v ====. 从而在D 内,u v 均为常数,故()f z 在D 内为常数.2. 即要证“任一 n 次方程 101100(0)n n n n a z a z a z a a --++⋅⋅⋅++=≠ 有且只有 n 个根”.证明 令1011()0nn n n f z a z a z a z a --=++⋅⋅⋅++=, 取10max ,1n a a R a ⎧⎫+⋅⋅⋅+⎪⎪>⎨⎬⎪⎪⎩⎭, 当z 在:C z R =上时, 有 111110()()n n nn n n z a R a R a a a R a R ϕ---≤+⋅⋅⋅++<+⋅⋅⋅+<.()f z =.由儒歇定理知在圆 z R < 内, 方程10110n n n n a z a z a z a --++⋅⋅⋅++= 与 00na z = 有相同个数的根. 而 00na z = 在 z R < 内有一个 n 重根 0z =. 因此n 次方程在z R <内有n 个根.《复变函数》考试试题（三）一. 判断题. (20分).1. cos z 与sin z 的周期均为πk2. ( ) 2. 若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件, 则f (z )在z 0解析. ( )3. 若函数f (z )在z 0处解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )5. 若函数f (z )是区域D 内解析且在D 内的某个圆内恒为常数，则数f (z )在区域D 内为常数. ( )6. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0的某个邻域内可导. ( )7. 如果函数f (z )在}1|:|{≤=z z D 上解析,且)1|(|1|)(|=≤z z f ,则)1|(|1|)(|≤≤z z f . （ ） 8. 若函数f (z )在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 9. 若z 0是)(z f 的m 阶零点, 则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 10. 若0z 是)(z f 的可去奇点，则0)),((Res 0=z z f . ( )二. 填空题. (20分)1. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的定义域为___________.2. 函数e z 的周期为_________.3. 若n n n i n n z )11(12++-+=，则=∞→n z n lim __________.4. =+z z 22cos sin ___________.5. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数） 6. 幂级数∑∞=0n n nx 的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=ze ，则___=z .9. 若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =n zze .三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn n z nn ∑+∞=!的收敛半径.3. 算下列积分：⎰-C z z z ze )9(d 22，其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z |<1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数. 2. 设)(z f 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R 及M ，使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤，证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。
《复变函数》考试试题与答案各种总结
《复变函数》考试试题（一）一、 判断题（20分）：1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析. ( )2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( )3.若}{n z 收敛，则} {Re n z 与} {Im n z 都收敛. ( )4.若f(z)在区域D 内解析，且0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( )5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( )7.若)(lim 0z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( )8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈∀≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C0)(=⎰Cdz z f .( )10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数.（ ） 二.填空题（20分）1、 =-⎰=-1||00)(z z nz z dz__________.（n 为自然数）2.=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8.=)0,(Re n zz e s ________，其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题（40分）：1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2. .cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数. 2. 试证: ()(1)f z z z =-在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题（一）参考答案一． 判断题1．×2．√ ３．√ ４．√ ５．√ 6．√ ７．×８．×９．×10．× 二．填空题 1. 2101i n n π=⎧⎨≠⎩； 2. 1； 3. 2k π，()k z ∈； 4. z i =±； 5. 16. 整函数；7. ξ；8. 1(1)!n -； 9. 0； 10. ∞.三．计算题.1. 解 因为01,z << 所以01z <<111()(1)(2)12(1)2f z z z z z ==-----001()22nn n n z z ∞∞===-∑∑.2. 解 因为22212Re ()limlim 1cos sin z z z z s f z z z ππππ→→=+===--, 22212Re ()limlim 1cos sin z z z z s f z z zππππ→-→-=--===-. 所以22212(Re ()Re ()0cos z z z dz i s f z s f z z πππ==-==+=⎰. 3. 解 令2()371ϕλλλ=++, 则它在z 平面解析, 由柯西公式有在3z <内, ()()2()c f z dz i z z ϕλπϕλ==-⎰.所以1(1)2()2(136)2(613)z i f i i z i i i πϕππ=+''+==+=-+. 4. 解 令z a bi =+, 则 222222122(1)2(1)211111(1)(1)(1)z a b i a b w z z a b a b a b -+-+==-=-=-+++++++++. 故 2212(1)Re()11(1)z a z a b -+=-+++, 2212Im()1(1)z bz a b -=+++. 四. 证明题.1. 证明 设在D 内()f z C =. 令2222(),()f z u iv f z u v c =+=+=则.两边分别对,x y 求偏导数, 得 0(1)0(2)x x y y uu vv uu vv +=⎧⎨+=⎩因为函数在D 内解析, 所以,x y y x u v u v ==-. 代入 (2) 则上述方程组变为x x x x uu vv vu uv +=⎧⎨-=⎩. 消去x u 得, 22()0x u v v +=. 1) 若220u v +=, 则 ()0f z = 为常数.2) 若0x v =, 由方程 (1) (2) 及 ..C R -方程有0,x u = 0y u =, 0y v =. 所以12,u c v c ==. (12,c c 为常数).所以12()f z c ic =+为常数. 2. 证明()(1)f z z z =-的支点为0,1z =. 于是割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内变点就不可能单绕0或1转一周, 故能分出两个单值解析分支.由于当z 从支割线上岸一点出发,连续变动到0,1z = 时, 只有z 的幅角增加π. 所以()(1)f z z z =-的幅角共增加2π. 由已知所取分支在支割线上岸取正值, 于是可认为该分支在上岸之幅角为0, 因而此分支在1z =-的幅角为2π, 故2(1)22i f e i π-==.《复变函数》考试试题（二）一. 判断题.（20分）1. 若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续，则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续. ( )2. cos z 与sin z 在复平面内有界. ( )3. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 有界整函数必为常数. ( )5. 如z 0是函数f (z )的本性奇点，则)(lim 0z f z z →一定不存在. ( )6. 若函数f (z )在z 0可导，则f (z )在z 0解析. ( )7. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f .( )8. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析，则|f (z )|也在D 内解析. ( )10. 存在一个在零点解析的函数f (z )使0)11(=+n f 且,...2,1,21)21(==n nn f . ( )二. 填空题. (20分)1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z2.设C iy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(lim 1z f i z ________.3.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数）4. 幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________. 8. 设211)(zz f +=，则)(z f 的孤立奇点有_________. 9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz .三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z=处的值.3. 计算积分：⎰-=iiz z Id ||，积分路径为（1）单位圆（1||=z ）的右半圆.4. 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 内解析，试证：f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题（二）参考答案一. 判断题.1．√ ２．×３．√ ４．√ ５．×6．×７．×８．√ ９．×10．×. 二. 填空题1.1，2π-， i ； 2. 3(1sin 2)i +-； 3. 2101i n n π=⎧⎨≠⎩； 4. 1； 5. 1m -.6. 2k i π，()k z ∈.7. 0；8. i ±；9. R ； 10. 0. 三. 计算题1. 解 3212163300(1)(2)(1)2sin(2)(21)!(21)!n n n n n n n z z z n n +++∞∞==--==++∑∑. 2. 解 令i z re θ=. 则22(),(0,1)k if z z rek θπ+===.又因为在正实轴去正实值，所以0k =.所以4()if i eπ=.3. 单位圆的右半圆周为i z e θ=, 22ππθ-≤≤.所以22222ii i iz dz de ei ππθθππ---===⎰⎰.4. 解dz z zz ⎰=-22)2(sin π2)(sin 2ππ='=z z i 2cos 2ππ==z zi =0.四. 证明题.1. 证明 (必要性) 令12()f z c ic =+,则12()f z c ic =-. (12,c c 为实常数). 令12(,),(,)u x y c v x y c ==-. 则0x y y x u v u v ====. 即,u v 满足..C R -, 且,,,x y y x u v u v 连续, 故()f z 在D 内解析. (充分性) 令()f z u iv =+, 则 ()f z u iv =-, 因为()f z 与()f z 在D 内解析, 所以,x y y x u v u v ==-, 且(),()x y y y x x u v v u v v =-=-=--=-.比较等式两边得 0x y y x u v u v ====. 从而在D 内,u v 均为常数,故()f z 在D 内为常数. 2. 即要证“任一 n 次方程 101100(0)nn n n a z a z a z a a --++⋅⋅⋅++=≠ 有且只有 n 个根”.证明 令1011()0nn n n f z a z a z a z a --=++⋅⋅⋅++=, 取10max ,1n a a R a ⎧⎫+⋅⋅⋅+⎪⎪>⎨⎬⎪⎪⎩⎭, 当z 在:C z R =上时, 有 111110()()n n nn n n z a R a R a a a R a R ϕ---≤+⋅⋅⋅++<+⋅⋅⋅+<.()f z =.由儒歇定理知在圆 z R < 内, 方程10110n n n n a z a z a z a --++⋅⋅⋅++= 与 00n a z = 有相同个数的根. 而 00n a z = 在 z R < 内有一个 n 重根 0z =. 因此n 次方程在z R < 内有n 个根.《复变函数》考试试题（三）一. 判断题. (20分).1. cos z 与sin z 的周期均为πk2. ( ) 2. 若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件, 则f (z )在z 0解析. ( )3. 若函数f (z )在z 0处解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )5. 若函数f (z )是区域D 内解析且在D 内的某个圆内恒为常数，则数f (z )在区域D 内为常数. ( )6. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0的某个邻域内可导. ( )7. 如果函数f (z )在}1|:|{≤=z z D 上解析,且)1|(|1|)(|=≤z z f ,则)1|(|1|)(|≤≤z z f . （ ）8. 若函数f (z )在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.( ) 9. 若z 0是)(z f 的m 阶零点, 则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 10. 若0z 是)(z f 的可去奇点，则0)),((Res 0=z z f . ( )二. 填空题. (20分)1. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的定义域为___________.2. 函数e z 的周期为_________.3. 若n n n i n n z )11(12++-+=，则=∞→n z n lim __________. 4. =+z z 22cos sin ___________.5. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数） 6. 幂级数∑∞=0n n nx 的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=ze，则___=z .9. 若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =nzze . 三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn n z nn ∑+∞=!的收敛半径.3. 算下列积分：⎰-C z z z ze )9(d 22，其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z |<1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数. 2. 设)(z f 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R 及M ，使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤，证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。
2007年1月复变函数试题及解答
2007年1⽉复变函数试题及解答上海交通⼤学2006～2007学年第⼀学期复变函数B 试题(2006/12/31) （A 卷）学号___________ 姓名 ___成绩__________________ EMAIL ：______________________TEL ： ________ ___ ⼀、填空题（每空3分，共24分）1. 设 ?=-++=3||2d 173)(ξζζζζzz f ，求 )1('-i f ＝ 2πi －12π .2. 在下列函数中Res ()[]f z ,0= 0 的是 ( C ) A 、()()f z z zez z=--sin 12B 、2sin ()zf z z =C 、f z z z z z ()sin cos =-2D 、f z e z z ()=-123. W z iz i=-+-++213213 将区域{}D z z z =+><; B 、ππ323<<arg W ;C 、-<<233ππarg W ；D 、043<。
4. 函数11()1zzef z e -=- 的奇点有 z=2k πi,z=1,z=∞ ，它们的奇点类型分别是 z=2k πi 1阶极点z=1，本性奇点z=∞ ⾮孤⽴奇点（极点要指出其级, ⽆穷远点也要讨论）.6. 根据儒歇定理，⽅程（1）014258=-+-z z z ;（2）0154=+-z z 在|z|<1内根的个数分别为___5______; ___1______.7. 幂级数 ∑∞=+012)2(n n nz i的收敛半径=R⼆、证明与计算（1～4任选2题, 每题8分，共16分）1. 叙述并证明唯⼀性定理. 解答：唯⼀性定理：设f 1(z)和f 2(z)在区域D 内解析。
D 内有⼀收敛于a ∈D 的点列{zn}，在其上f 1(z)=f 2(z),则在D 内f 1(z)≡f 2(z)证明：先设F(x)＝f 1(z)－f 2(z)，，并设其不恒为0，，取其⼀零点，则由零点的孤⽴性可得到⽭盾，从⽽假设不成⽴。
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2007-2008学年第一学期《复变函数与积分变换》试题
一. 单选题(每小题3分，共15分)
1. y=f(z)在点z 解析是f(z)在z 可导的（ ）
A. 充分必要条件
B. 充分条件
C. 必要条件
D. 非充分非必要条件 2. z z
z lim 0→=( )
A. 1
B. i
C. –i
D. 不存在
3. 设f(z)在单连域D 内解析且不为零，C 是D 内任一条简单闭曲线，则
dz z f z f z f C ⎰+'+'')(1
)(2)(=（ ）
A. 0
B. i π2
C. -i π2
D. 不确定
4．下列函数中以∞为非孤立奇点的是（ ） A. )1(1
+z z B. 3sin z z C. z z )1ln(+ D. z sin 1
5. 对于级数 ∑∞
=+1
)21
(n n n i ，下列说法正确的是（ ）
A. 发散
B. 条件收敛
C. 绝对收敛
D. 不确定
二．填空题(每小题3分，共15分)
1. 设点z=-1+3i, 则其副角主值为( )
2. =+i i 1( )
3. Z=0是3sin z z
的几阶极点( )
4. z z z f sin 1
)(=在z=0处的留数( )
5. 将z z
e -1展开为z 的幂级数,则此幂级数的收敛区域为( )
三．计算题（若没做说明,涉及到的闭曲线取正的方向）（每小题5分, 共25分)
1. dz z z C ⎰-2
)2
(cos π C: |z|=2 2. dz z z z C ⎰-)
1(sin 2 (其中C 为z 平面上任意一条包含z=0, z=1的正向简单闭曲线) 3. dz z
e C z
⎰3 (其中C 由正向圆周|z|=3与负向圆周|z|=1组成) 4. dz e z z z z ⎰=-21
||)1(sin 5. dx x x ⎰∞
+∞-+222
)1(
四．把函数展开为z 的幂级数，并指出收敛半径 （每小题6分, 共12分)
1. f(z)=cos 2 z
2. 2
1)1(1)(2++-=z z z f 五．将函数f(z)按要求展开成洛朗级数（每小题6分, 共12分）
1. 将 3
41)(2+-=z z z f 在0<|z-1|<2内展开成洛朗级数
2. 将
211)(z z f += 在 +∞<-<||2i z 内展开成洛朗级数
六．(10分)证明 xy y x v +-=22 为调和函数, 并求u(x,y)使得
),(),()(y x iv y x u z f +=是解析函数,且 i f =)0(
七. 求下列函数的傅氏变换，并证明所列的积分等式（6分）
⎩⎨⎧>≤=1 t
01 t 1)(t f ，证明 ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧><⎰∞ 1t 0 1t 4,1t 2d t cos sin 0，＝，，＝＋ππωωωω 八．解下列微分方程 （5分）
133-=-'+''-'''y y y y 1)0()0(,2)0(='=''=y y y。