目标规划数学模型与图解法

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第1节 目标规划的数学模型

用图解法求得最优决策方案为：x1*=4, x2*=3, z*=62(元)。
目标函数： max z 8 x1 10 x2 2 x1 x2 11 满足约束条件： x1 2 x2 10 x , x 0 1 2
(4,3)
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第1节 目标规划的数学模型
第5章 线性目标规划
第1节 第2节
目标规划的数学模型
解目标规划的图解法 第3节 解目标规划的单纯形法 第4节 应用举例
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第1节 目标规划的数学模型

为了说明目标规划与线性规划在处理问题方法上的区 别，先通过例子来介绍目标规划的有关概念及数学模 型。
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第1节 目标规划的数学模型

例1 某工厂生产Ⅰ，Ⅱ两种产品，已知有关数据见下 表。试求获利最大的生产方案。
原材料(kg) 设备(hr) 利润(元/件) Ⅰ 2 1 8 Ⅱ 1 2 10 拥有量 11 10

解：这是求获利最大的单目标的规划问题，用x1，x2分 别表示Ⅰ，Ⅱ产品的产量，其线性规划模型表述为：
目标函数： max z 8 x1 10 x2 2 x1 x2 11 满足约束条件： x1 2 x2 10 x , x 0 1 2

实际上，工厂在作决策时，需要考虑包括市场因素 在内等一系列条件。例如: (1)根据市场信息，产品Ⅰ的销售量有下降的趋 势，因而希望产品Ⅰ的产量不应大于产品Ⅱ。 (2) 当超过计划供应原材料时，需用高价采购， 会使成本大幅度增加。 (3) 应尽可能充分利用设备台时，但不希望加班。 (4)应尽可能达到并超过计划利润指标：56元。
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第1节 目标规划的数学模型
3.优先因子(优先等级)与权系数 一个规划问题常常有若干目标。但决策者在要求达到 这些目标时，会赋予不同的优先因子，并规定 Pk>>Pk+1 k=1,2,…，K 表示Pk比Pk+1有更大的优先权。 即首先保证P1级目标的实现，这时可不考虑次级目标； 而P2级目标仅在实现P1级目标的基础上才会考虑；依此 类推。若要区别具有相同优先因子的两个目标的差别， 可分别赋予它们不同的权系数wj，这些都由决策者按具 体情况而定。
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第1节 目标规划的数学模型

这样的产品决策问题便构成了一个多目标决策问题， 目标规划方法正是解这类决策问题的方法之一。下面 引入与目标规划模型有关的概念。 1.正、负偏差变量d+，d− 设 x 1 ， x 2 为决策变量，正偏差变量 d ＋ 表示决策值超过 目标值的部分；负偏差变量 d−表示决策值未达到目标 值的部分。因决策值不可能既超过目标值同时又未达 到目标值，即恒有 d+×d− = 0。
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第2节 解目标规划的图解法

对只有两个决策变量的目标规划问题，可以用图解法来 求解，以例2说明之（图5-1）。
min z P d P ( d d ) P d 1 1 2 2 3 3 2
2 x1 x2 11 x x d d 1 0 1 2 1 x 2 x d d 1 2 2 2 10 8 x 10 x d d 2 3 3 56 1 x , x , d , d 0, i 1,2,3 1 2 i i

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第1节 目标规划的数学模型

4.目标规划的目标函数

目标规划的目标函数(准则函数)是按各目标约 束的正、负偏差变量和赋予的优先因子及权系 数而构造的。当每一目标值确定后，决策者的 要求是尽可能缩小和目标值的偏差。因此目标 规划的目标函数的形式通常是 min z=f(d+,d−)
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第1节 目标规划的数学模型
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第1节 目标规划的数学模型
线性规划问题的目标函数，在给定目标值和加入正、 负偏差变量后可变换为目标约束。也可根据问题的需要 将绝对约束变换为目标约束，如可将例1的 目标函数 变换为目标约束 约束条件 变换为目标约束 z=8x1+10x 8x1+10x2+d1−−d1+=56 2x1+x2≤11 2x1+x2+d2−−d2+=11
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第1节 目标规划的数学模型

2.绝对约束和目标约束

绝对约束是指必须严格满足的等式约束和不等式 约束，如线性规划问题的所有约束条件，不能满 足这些约束条件的解称为非可行解，所以它们是 硬约束。 目标约束是目标规划特有的，可把约束右端项看 作要追求的目标值。在达到此目标值时允许发生 正或负偏差。因此在这些约束中加入正、负偏差 变量，它们是软约束。
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第2节 解目标规划的图解法

用图解法求解，见图5.2。
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第2节 解目标规划的图解法
从图5.2可看出：


在考虑具有优先因子P1、P2的目标实现后，x1、x2的 取值范围为ABCD。

当考虑P3级目标时，因d3−的权系数大于d4 − ，故先考 虑min d3 − 。这时x1、x2的取值范围缩小为区域ABEF。 然后考虑d4 − 。在区域ABEF中无法满足d4 − =0，因此 只能在ABEF中取一点，使d4 − 尽可能小，这就是E点。 故E点为满意解，其坐标为(24，26)。 即该厂每周应装配彩色电视机24台，黑白电视机26 台。

例3 某电视机厂装配黑白和彩色两种电视机，每装 配一台电视机需占用装配线1小时，装配线每周计划 开动40小时。预计市场每周彩色电视机的销量是24 台，每台可获利80元；黑白电视机的销量是30台， 每台可获利40元。该厂确定的目标为：



第一优先级：充分利用装配线每周计划开动40小时； 第二优先级：允许装配线加班；但加班时间每周尽量不 超过10小时； 第三优先级：装配电视机的数量尽量满足市场需要。因 彩色电视机的利润高，取其权系数为2。 试建立本问题的目标规划模型，并求解黑白和彩色电视 15 机的产量。
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第2节 解目标规划的图解法

Hale Waihona Puke 解：设x1，x2分别表示黑白和彩色电视机的产量，
本问题的目标规划模型为：
目标函数： min z P d P d P ( 2 d d 1 1 3 3 4) 2 2
x1 x2 d1 d1 40 d2 50 x1 x2 d 2 满足约束条件： x1 d3 d3 24 x d d 2 4 4 30 x , x , d , d 0, i 1,2,3,4 1 2 i i
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第1节 目标规划的数学模型

例2 例1的决策者在原材料供应受严格限制的基础上考虑：首先 是产品Ⅱ的产量不低于产品Ⅰ的产量；其次是充分利用设备有 效台时，不加班；再次是利润额不小于56元。求最佳决策方案 。 解：按决策者所的要求，分别赋予这三个目标优先因子P1，P2， P3，得到本问题的数学模型为：
目标函数： min z P d P ( d d ) P d 1 1 2 2 3 3 2
2 x1 x2 11 x x d d 1 0 1 2 1 满足约束条件： x1 2 x2 d 2 d2 10 8 x 10 x d d 2 3 3 56 1 x , x , d , d 0, i 1,2,3 1 2 i i
其具体形式大致有三种： (1) 若要求恰好达到目标值，则应要求正、负偏差 变量均尽可能地小，这时，目标函数的形式为 min z=f(d++d−) (2) 若要求不超过目标值，即允许达不到目标值， 但正偏差变量要尽可能地小，这时目标函数的 形式为 min z=f(d+) (3) 若要求超过目标值，即超过量不限，但负偏差 变量要尽可能地小，这时目标函数的形式为 min z=f(d−)
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第2节 解目标规划的图解法

注意：求解目标规划问题时，把绝对约束作为最 高优先级考虑。在本例中，能依先后次序都满足 d1+=0，d2++d2−=0，d3−=0，因而z*=0。但在大多 数问题中并非如此，会出现某些约束得不到满足， 故将目标规划问题的最优解称为满意解。
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第2节 解目标规划的图解法