应力应变分析基础
地应力研究的理论基础-2
二．地应力研究的理论基础井眼不稳定性是全球范围内油田勘探、开发普遍存在的问题。
在钻井工程作业中，受各种因素的影响，井眼多发生垮塌、崩落、缩径、压裂、变形，甚至发生井涌、渗漏、卡钻等事故，这些问题在今天都被包含在井眼稳定的内容中。
因此，研究解决此类问题的办法对安全生产、提高作业效率、节约成本等具有非常重要的现实意义。
造成井眼不稳定的原因很多，包括自然的和人为的两个方面。
①在自然因素方面有：地质构造类型和原地应力、地层的岩性和产状、含粘土矿物的类型方面原因；同时，地层倾角、层面的胶结，以及地层强度、裂隙节理的发育情况、孔隙度、渗透性及孔隙中的流体压力等也会导致井壁不稳定。
②在人为方面有：钻井液的性能（失水、黏度、流变性、密度）、钻井液的成分与井壁岩石矿物的化学作用的强弱（水化、膨胀作用）、井周钻井液侵入带的深度和范围、井眼裸露的时间、钻井液的环空上返速度、对井壁的冲蚀作用、循环动压力和起下钻的波动压力、井眼轨迹的形状、钻柱对井壁的摩擦和碰撞等因素。
井眼的不稳定性问题，从广义上讲应包括脆性泥页岩井壁的坍塌剥落、塑性泥页岩井壁的缩径和井眼的粘弹塑性变形及地层在钻井液压力作用下的水力压破裂（多发生在砂岩层段）。
由于问题的复杂性，不可能对上述影响因素一一作出定量分析。
解决井眼不稳定壁问题主要从钻井液化学和岩石力学两个方面入手，抓住主要影响因素进行分析，才能获得较好的结果。
长期以来，由于种种原因，研究的焦点多集中于化学防塌机理方面（主要是研制钻井液体系），使得井眼不稳定现象大为减少，井眼不稳定技术研究取得了较大的进展。
但是，至今仍未能很好地解决水化程度弱的脆性泥页岩井壁的坍塌问题。
井眼岩石失稳坍塌，一般都可归结为井壁岩石所受的应力超过它在井眼状态下所能承受强度的结果，钻井液的侵蚀作用会减弱泥页岩的强度，同时产生的水化作用会改变泥页岩中的应力状态。
岩石的力学性质主要是指岩石的变形特征及岩石的强度。
为了研究井眼稳定性问题，有必要研究岩石的力学性质及其在物理环境下应力场中的反映。
地质构造之力学基础(应变分析)
§2 应变分析
（三） 岩石变形的阶段
有关岩石在应力作用下的变形行为的多数资料是通过岩石变形实验得来的, 岩石在 外力的作用下, 一般都会经历弹性变形、塑性变形、断裂变形等三个阶段。这三个阶段依 次发生, 但不是截然分开的, 而是彼此过度的。 1. 弹性变形:
(1) 弹性变形:岩石在外力作用下变形, 当外力解除后, 岩石又恢复到变形前的状态, 这种变形行为叫弹性变形
2.线应变:物体内某方向上单位长度的改变量叫线应变.
一杆件受纵向拉伸变形, 设杆件原长为l0, 拉伸变形后的长度为l, 那么, 杆件绝对
伸长为:
△l=l－l0 纵向线应变定义为: ε =(l－l0)/ l0 即 ε = △l / l0
实验证明, 杆件拉伸变形, 不但有纵向伸长变形, 同时还有横向缩短变形。设杆
韧性: 岩石在断裂前的 塑性变形量超过10%
§2 应变分析
（四） 剪裂角分析 在岩石变形实验中发现, 岩石受到挤压力的作用, 会在与挤压力方向成
一定交角的位置形成一对剪切破裂, 由于这一对剪切破裂是受同一作用力而形成 的, 构造地质学中称这一对剪切破裂为共轭剪切破裂。
当岩石发生共轭剪切破裂时, 包含最大主应力σ1象限的共轭剪切破裂 面中间的夹角称为共轭剪切破裂角（2θ）
最大主应力轴σ1作用方向与剪切破裂面的夹角称为 剪裂角（θ）.
§2 应变分析
二维应力状态的应力分析可知, 两组最大剪应力作用面与最大主应力轴σ1或最小主 应力轴的夹角均为45°, 二剪裂面之间的夹角为90°, 二剪裂面的交线是中间应力轴s2的作 用方向。
但从野外实地观察和室内岩石实验来看, 岩石内两组共轭剪裂面的交角常以锐角指 向最大主应力σ1方向, 即包含σ1的共轭剪切破裂角常常小于90°, 通常在60°左右, 而共轭 剪切破裂的剪裂角则小于45°, 也就是说, 两组共轭剪裂面并不沿理论分析的最大剪应力 作用面的方位发育, 这个现象可用库伦、莫尔强度理论来解释。
机械设计基础应力和应变的关系
机械设计基础应力和应变的关系应力和应变是机械设计中的重要概念，理解和分析应力和应变的关系对于工程师在机械设计过程中具有重要意义。
本文将介绍机械设计基础中应力和应变的概念，并探讨它们之间的关系。
一、应力的定义和分类应力是指物体内部由于外力作用而引起的单位面积上的力。
在机械设计中，常常根据作用点的不同方向和应力分布特点将应力分类。
主要有以下几种类型的应力：1. 拉应力（张应力）：作用于物体的力使物体内部发生拉伸的应力。
2. 压应力：作用于物体的力使物体内部发生压缩的应力。
3. 剪应力：作用于物体平面内的力使物体内部发生切变的应力。
4. 弯曲应力：作用于物体梁状结构上的力使物体内部产生弯曲变形的应力。
二、应变的定义和分类应变是物体在受力作用下产生的形变量。
根据物体的不同变形方式和变形量的方向分，应变也可以进行分类。
主要有以下几种类型的应变：1. 纵向应变：在物体长度方向上的形变量。
2. 横向应变：在物体宽度或厚度方向上的形变量。
3. 剪应变：在物体平面内的形变量。
三、应力和应变的关系应力和应变之间存在一定的关系，即胡克定律。
胡克定律表明了应力和应变之间的线性关系，可以用以下公式表示：应力 = 弹性模量 ×应变其中，弹性模量是材料特性参数，被用来描述材料抵抗弹性变形的能力。
通过实验测试可以得到材料的弹性模量。
应力和应变的关系可以有两种形式，分别是拉伸形式和剪切形式。
1. 拉伸形式的应力和应变关系：拉伸形式下，材料在拉伸力作用下发生变形，初始长度增加，发生纵向应变，由此产生拉应力。
根据胡克定律，拉应力与纵向应变之间的关系是线性的，即应力和应变成正比。
这种关系可通过拉伸试验获得。
拉伸试验是一种常用的材料力学测试方法，通过加载不同的拉应力，测量相应的纵向应变，即可得到应力和应变之间的关系曲线。
从曲线上可以得到材料的拉伸强度和杨氏模量等重要机械性能参数。
2. 剪切形式的应力和应变关系：剪切形式下，材料受到切变力作用从而产生平面内形变，产生剪应变。
材料力学应力与应变分析
在复杂应力状态下，物体内部某一点处的主应力表示该点处最主要 的应力，次应力则表示其他较小的应力。
应力表示方法
应力矢量
应力矢量表示应力的方向和大小，通常用箭头表示。
应力张量
在三维空间中，应力可以用一个二阶对称张量表示，包括三个主应力和三个剪切 应力分量。
主应力和剪切应力
主应力
在任意一点处，三个主应力通常是不相等的，其中最大和最小的主应力决定了材料在该点的安全程度 。
采用有限元分析方法，建立高 层建筑的三维模型，模拟不同 工况下的应力与应变分布。
结果
通过分析发现高层建筑的关键 部位存在较高的应力集中，需
要进行优化设计。
结论
优化后的高层建筑结构能够更 好地承受各种载荷，提高了安
全性和稳定性。
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不同受力状态下的变形行为。
06 实际应用与案例分析
实际应用场景
航空航天
飞机和航天器的结构需要承受高速、高海拔和极端温度下 的应力与应变，材料力学分析是确保安全的关键。
汽车工业
汽车的结构和零部件在行驶过程中会受到各种应力和应变 ，材料力学分析有助于优化设计，提高安全性和耐久性。
土木工程
桥梁、大坝、高层建筑等大型基础设施的建设需要精确的 应力与应变分析，以确保结构的稳定性和安全性。
剪切应力
剪切应力是使物体产生剪切变形的力，其大小和方向与剪切面的法线方向有关。剪切应力的作用可以 导致材料产生剪切破坏。
04 应变分析
应变定义
定义
应变是描述材料形状和尺寸变化的物理量， 表示材料在外力作用下发生的形变程度。
单位
应变的单位是1，没有量纲，常用的单位还有微应变 （με）和工程应变（%）。
工程力学中的应力和应变分析
工程力学中的应力和应变分析工程力学是应用力学原理解决工程问题的学科，它研究物体受外力作用下的力学性质。
应力和应变是工程力学中的重要概念，它们对于分析材料的强度和变形特性具有重要意义。
本文将就工程力学中的应力和应变进行详细分析。
一、应力分析应力是指物体单位面积上的内部分子间相互作用力。
根据作用平面的不同，可以分为法向应力和剪切应力两种。
1. 法向应力法向应力是指力作用垂直于物体某一截面上的应力。
根据物体受力状态的不同，可以分为拉应力和压应力两种。
- 拉应力拉应力是指作用于物体截面上的拉力与截面面积的比值。
拉应力的计算公式为：σ = F/A其中，σ表示拉应力，F表示作用力，A表示截面面积。
- 压应力压应力是指作用于物体截面上的压力与截面面积的比值。
压应力的计算公式与拉应力类似。
2. 剪切应力剪切应力是指作用在物体截面上切向方向上的力与截面面积的比值。
剪切应力的计算公式为：τ = F/A其中，τ表示剪切应力，F表示作用力，A表示截面面积。
二、应变分析应变是指物体由于外力的作用而产生的形变程度。
根据变形情况，可以分为线性弹性应变和非线性应变。
1. 线性弹性应变线性弹性应变是指物体在小应力下，应变与应力成正比，且随应力消失而恢复原状的应变现象。
线性弹性应变的计算公式为：ε = ΔL/L其中，ε表示线性弹性应变，ΔL表示物体的长度变化，L表示物体的原始长度。
2. 非线性应变非线性应变是指物体在较大应力下，应变与应力不再呈线性关系的应变现象。
非线性应变的计算公式较为复杂，需要根据具体情况进行分析。
三、应力和应变的关系应力和应变之间存在一定的关系，常用的关系模型有胡克定律和杨氏模量。
1. 胡克定律胡克定律是描述线性弹性材料的应力和应变之间关系的基本模型。
根据胡克定律，拉应力和拉应变之间的关系可以表示为：σ = Eε其中，σ表示拉应力，E表示弹性模量，ε表示拉应变。
2. 杨氏模量杨氏模量是描述材料抵抗拉伸或压缩变形能力的物理量。
局部应力应变法
局部应力应变法局部应力应变法传统的局部应力应变法以Manson 一Coffin 公式为材料疲劳性能曲线.以应力集中处的局部点应力作为衡量结构受载严重程度的参数.这一方法在大应变低寿命时与实际情况符合很好.但进人高周疲劳，由于Manson 一Coffin 公式与实验结果的差距逐渐增大，由于缺口根部塑性的消失而使应力梯度变大，致使传统的局部应力应变法过低地估计了结构的疲劳寿命.就实际工程结构而育，通常受到随机载荷的作用，在大多数情况下，载荷谱中的高载处于低周疲劳阶段，大多数的中低级载荷处于高周疲劳阶段，所以寻找一个同时适用于高周和低周疲劳寿命估算的方法是其有很大实际意义的。
( ε-f N ) 曲线是是重要的材料疲劳性能曲线，在局部应力应变法中，它是结构疲劳寿命估算的基本性能数据。
传统的局部应力应变法采用Manson-Coffin 公式来描述''(2)(2)f b c a f f f N N E σεε=+ (1)Manson-Coffin 公式虽然在工程上得到了广泛的应用，但也存在着一些严重的不足：①大多数金属材料按Manson-Coffin 分解后的塑性线不能很好地用直线来拟合，而是向下弯曲的曲线；②Manson-Coffin 公式仅适用于解决低周疲劳寿命的计算，而在高周疲劳时计算出的寿命与实验结果相差较大；③当（1）式中的f N 趋于无穷时，ε趋于零，即Manson-Coffin 公式没有反映出的疲劳极限，这与实际情况不符。
文献[1]针对传统的局部应力应变法存在的这两个缺陷，提出解决这一问题的方法:用等效应变一寿命曲线或四参数应变一寿命曲线替换Manson 一Coffin 公式，用更合适的缺口疲劳系数或缺口场强度来描述缺口受载的严重程度，希望将传统的局部应力应变法推广到高周疲劳寿命的估算。
四参数（ε-f N ）曲线：在中高疲劳区（1）式已不太适用，文献[2]提出了一个四参数的（ε-f N ）曲线拟合公式2013lg(/)lg *ln{}lg(/)t f t A N A A A εε?=+? (2) 式中：为四个回归参数。
experimental stress analysis
experimental stress analysis
Experimental stress analysis（实验应力分析）是工程学中的一个领域，旨在通过实验来测量材料或结构的应力和应变分布。
这种方法是通过应用外部载荷或压力到材料或结构上，并使用传感器、仪器或测量设备来获取其应力和应变信息。
方法和技术：
1.应变计：使用应变计（strain gauge）是实验应力分析中常用的方法之一。
应
变计可以附着在材料表面，测量材料的微小变形，从而推断出应变。
通过将应变计安装在结构的关键点上，可以获取应力和应变的分布情况。
2.光学方法：光学方法如光栅法、激光干涉法（例如激光多普勒测振法）等，
利用光学原理来测量物体的形变和应变。
这些方法可以提供全场面的应变信息。
3.压电传感器：压电传感器可以将机械应力转换为电信号，用于测量或监测应
变的变化。
4.试验装置：实验应力分析可能需要定制的试验装置或加载设备，以施加所需
的载荷并记录数据。
应用领域：
●结构工程学：在建筑、桥梁、航空航天等领域中，通过实验应力分析来评估
结构的强度和稳定性。
●材料科学：用于评估材料的性能和行为，如金属、复合材料等。
●机械工程：用于设计和评估机械部件的强度和耐久性。
实验应力分析通常与计算分析相结合，以验证模型或预测的结果，并为工程设计和优化提供有价值的实验数据。
材料力学基础
材料力学基础材料力学是研究材料在外力作用下的变形、破坏和性能的一门学科。
它是材料科学的重要组成部分，对于材料的设计、制备和应用具有重要的指导意义。
本文将介绍材料力学的基础知识，包括应力、应变、弹性模量、屈服强度等内容。
首先，我们来介绍应力和应变的概念。
应力是单位面积上的力，通常用σ表示，其计算公式为F/A，其中F为受力，A为受力面积。
应变是物体长度相对于初始长度的变化量，通常用ε表示，其计算公式为ΔL/L，其中ΔL为长度变化量，L为初始长度。
应力和应变是描述材料在外力作用下的变形情况的重要物理量。
接下来，我们将介绍材料的弹性模量。
弹性模量是描述材料抵抗变形的能力的物理量，通常用E表示。
对于线弹性材料，弹性模量可以通过应力-应变关系来计算，即E=σ/ε。
弹性模量是衡量材料刚度和变形能力的重要参数，不同材料的弹性模量具有很大差异，对于材料的选择和设计具有重要意义。
除了弹性模量，材料的屈服强度也是一个重要的力学性能参数。
屈服强度是材料在受力过程中开始发生塑性变形的应力值，通常用σy表示。
当材料受到的应力超过屈服强度时，材料会发生塑性变形，这对于材料的加工和使用具有重要的影响。
屈服强度是衡量材料抗拉伸能力的重要指标，对于材料的工程应用具有重要意义。
此外，材料的断裂行为也是材料力学研究的重要内容。
材料的断裂行为通常可以通过拉伸试验来研究，通过拉伸试验可以得到材料的断裂应力和断裂应变。
断裂应力和断裂应变是描述材料断裂性能的重要参数，对于材料的设计和评价具有重要意义。
综上所述，材料力学是研究材料在外力作用下的变形、破坏和性能的重要学科，其基础知识包括应力、应变、弹性模量、屈服强度等内容。
这些基础知识对于材料的设计、制备和应用具有重要的指导意义，是材料科学不可或缺的重要组成部分。
希望本文的介绍能够对读者对材料力学有所了解，并对材料科学的学习和研究有所帮助。
应力应变公式曲线方程
应力应变公式曲线方程应力应变公式是描述材料在受力作用下产生的变形的数学表达式。
它是材料力学中最基本且重要的方程之一，可以用来研究材料的力学性质和预测材料的变形行为。
应力应变公式的研究在工程设计、材料科学、结构力学等领域具有重要的理论和应用价值。
首先，我们来了解应力应变公式的基本概念和意义。
应力是指材料单位面积上承受的力，通常用σ表示，单位是帕斯卡（Pa）。
而应变是指材料在受力作用下的变形程度，通常用ε表示，它是一个无量纲的比值。
应力和应变之间的关系可以通过应力应变公式来表达。
应力应变公式一般可以表示为σ=Eε，其中E是材料的弹性模量，代表材料的刚度和弹性性能。
弹性模量越大，材料的刚度越高，变形程度越小；弹性模量越小，材料的变形程度越大。
这个公式告诉我们应力和应变之间的关系是线性的，材料在弹性范围内可以按照线性关系变形。
然而，事实上，材料在受力作用下，并不总是按照线性关系变形。
很多材料在受力后会出现变形的非线性现象，这时候就需要引入非线性应力应变公式来描述材料的变形行为。
一般来说，非线性应力应变关系可以表示为σ=σ0+Kε^n，其中σ0代表应力偏移量，K代表应力与应变之间的系数，n代表非线性指数。
在实际应用中，根据不同材料的力学性质和应变特点，可以选择不同的应力应变公式来描述材料的变形行为。
例如，对于弹性材料来说，可以选择线性应力应变公式；对于塑性材料来说，可以选择非线性应力应变公式。
在材料设计和结构分析中，正确选择并应用适合的应力应变公式，可以更准确地预测和分析材料的变形行为，为工程设计提供可靠的依据。
除了应力应变公式，还有一些与之相关的概念和重要参数需要考虑。
例如，屈服强度是指材料在允许的变形范围内承受的最大应力；断裂强度是指材料在断裂前能承受的最大应力；刚度是指材料在受力下的抵抗能力；蠕变是指材料长时间作用下的变形现象等等。
这些概念和参数可以从不同角度对材料的力学性能进行研究和评价。
在工程实践中，应力应变公式的研究和应用可以用于材料的选取、结构的设计和分析以及性能的评估等方面。
地质构造分析的力学基础
拉伸、压缩、剪切、弯曲和扭转。
有关应变的几个基本概念
线应变：变形前后物体内线段的相对伸长 或缩短
1）伸长度（线应变）：变形前后单位线段长 度的改变量
L0
L1
e = (L1 - L0 )/ L0 _
e — 伸长为正；缩短为负
在拉伸或压缩情况下，变形物体不仅会 在拉伸或压缩方向上（纵向上）产生变 形，而且在与之垂直的方向上（横向上） 产生应变（e0）。 e0 =b/b0
5）外力作用方式：拉伸与压缩 6）快速施力与缓慢施力 7）重复施力
注意：岩石自身力学性质也是影响其变形 方式的重要因素！
常温常压下一些岩石的强度极限表
岩石的破坏
岩石破裂的两种主要方式 —张裂和剪裂
岩石破裂理论：
按照应力分析，在与挤压或拉伸方向呈45 交角的截面上剪应力最大。称为最大剪切面。 因此，剪切破裂面应该发生在这个方向上， 成对出现，称为共轭剪切破裂面。
顺时针为正，逆时针为
负。
体积应变：变形前 后体积的变化量。
=（V-V0）/V0
应变椭球：变形 物体内一点上变 形前的一个圆球 体在变形后变成 一个椭球体—应 变椭球。
应变椭球体内有三 个互相垂直的主轴， 沿主轴方向只有线 应变而没有剪应变， 称之为应变主轴 （应变主方向）。 分别以1，2，3 （或X, Y, Z）表 示。椭球体的三个 主轴的半径分别为
A0 τ s
P
当=45时， sin 2=1， <45时，sin 2<1
=1/2s1；当 >45或
结论3：在与挤压或拉伸方向呈45交角的截面上剪 应力最大。称为最大剪切面。
当=90时， =0，s=0
（整理）弹性力学第四章应力和应变关系
（整理）弹性⼒学第四章应⼒和应变关系第四章应⼒和应变关系知识点应变能原理应⼒应变关系的⼀般表达式完全各向异性弹性体正交各向异性弹性体本构关系弹性常数各向同性弹性体应变能格林公式⼴义胡克定理⼀个弹性对称⾯的弹性体本构关系各向同性弹性体的应⼒和应变关系应变表⽰的各向同性本构关系⼀、内容介绍前两章分别从静⼒学和运动学的⾓度推导了静⼒平衡⽅程，⼏何⽅程和变形协调⽅程。
由于弹性体的静⼒平衡和⼏何变形是通过具体物体的材料性质相联系的，因此，必须建⽴了材料的应⼒和应变的内在联系。
应⼒和应变是相辅相成的，有应⼒就有应变；反之，有应变则必有应⼒。
对于每⼀种材料，在⼀定的温度下，应⼒和应变之间有着完全确定的关系。
这是材料的固有特性，因此称为物理⽅程或者本构关系。
对于复杂应⼒状态，应⼒应变关系的实验测试是有困难的，因此本章⾸先通过能量法讨论本构关系的⼀般形式。
分别讨论⼴义胡克定理；具有⼀个和两个弹性对称⾯的本构关系⼀般表达式；各向同性材料的本构关系等。
本章的任务就是建⽴弹性变形阶段的应⼒应变关系。
⼆、重点1、应变能函数和格林公式；2、⼴义胡克定律的⼀般表达式；3、具有⼀个和两个弹性对称⾯的本构关系；4、各向同性材料的本构关系；5、材料的弹性常数。
§4.1 弹性体的应变能原理学习思路:弹性体在外⼒作⽤下产⽣变形，因此外⼒在变形过程中作功。
同时，弹性体内部的能量也要相应的发⽣变化。
借助于能量关系，可以使得弹性⼒学问题的求解⽅法和思路简化，因此能量原理是⼀个有效的分析⼯具。
本节根据热⼒学概念推导弹性体的应变能函数表达式，并且建⽴应变能函数表达的材料本构⽅程。
根据能量关系，容易得到由于变形⽽存储于物体内的单位体积的弹性势能，即应变能函数。
探讨应变能的全微分，可以得到格林公式，格林公式是以能量形式表达的本构关系。
如果材料的应⼒应变关系是线性弹性的，则单位体积的应变能必为应变分量的齐⼆次函数。
因此由齐次函数的欧拉定理，可以得到⽤应变或者应⼒表⽰的应变能函数。
应变和应力的关系公式
应变和应力的关系公式应变和应力是力学中非常重要的概念，它们描述了物体在外力作用下的变形和反抗变形的能力。
应变是物体在外力作用下发生变形的程度，而应力是物体对外力的反抗程度。
应变和应力之间存在着一定的关系，下面将通过分析和解释来阐述这一关系。
我们来看一下应变的定义。
应变通常用来描述物体的形变程度。
当物体受到外力作用时，它的形状会发生改变，这种形变程度就是应变。
应变可以分为线性应变和非线性应变。
线性应变是指物体的形变与受力成正比，比如拉伸或压缩后物体的长度或体积的变化。
非线性应变则是指物体的形变与受力不成正比，比如物体的弯曲或扭转。
而应力则是物体对外力的反抗程度。
当物体受到外力作用时，它会产生内部的应力，以抵抗外力的作用。
应力可以分为正应力和剪应力。
正应力是指物体内部的应力沿着受力方向的成分，比如拉伸或压缩时物体内部的张力或压力。
剪应力则是指物体内部的应力与受力方向垂直的成分，比如物体发生弯曲或扭转时的切向应力。
应变和应力之间的关系可以通过胡克定律来描述。
胡克定律是力学中一个重要的定律，它描述了弹性体的应力和应变之间的线性关系。
根据胡克定律，当外力作用于弹性体时，弹性体产生的应变与外力成正比，且比例常数为弹性模量。
弹性模量是描述物体抵抗形变能力的物理量，通常用符号E表示。
胡克定律的数学表达式为：应力=弹性模量×应变。
这个关系可以简洁地表示了应变和应力之间的关系。
根据这个关系，我们可以推导出应变和应力之间的其他关系。
比如，如果已知应变和弹性模量，可以通过应变乘以弹性模量来计算应力。
同样地，如果已知应力和弹性模量，可以通过应力除以弹性模量来计算应变。
除了胡克定律，还有其他的应变与应力之间的关系，比如柯西应变与柯西应力之间的关系、拉梅应变与拉梅应力之间的关系等。
这些关系都是通过实验和理论推导得到的，它们描述了不同应变与应力之间的关系，适用于不同的物体和力学问题。
总结起来，应变和应力之间存在着一定的关系，可以通过胡克定律或其他相关定律来描述。
第四章 应变分析基础
近似地看成是一个无限微小的正六面体单元
体。
一 点 的 应 力 状 态
剪应力互等定理－两个正交截面上的剪应力，其 数值大小相等、方向共同指向截面交线或背离两截 面交线．即数值相等，符号相反．
——此又称为剪应力成对定理。
应力分量－１８个→９个 可写成矩阵形式：
主应力
弹性力学可以证明：对于给定的一个单元
２ ＞
３
应力反应了作用在截面上内力的密集程度．对形状不 规则的物体，在外力作用下，沿截面最小处易于破坏．
点应力状态
应力矢量（Ｐ）是与截面联系在一起 的．通过地壳岩石中的任何一点（m），可 作出无数个截面，因而存在无数个应力矢 量．故地块中某一点的应力状态是不能用一
个简单的矢量来表示的．
一点的应力状态，在直角坐标系中可以
－非均匀应力场 由于岩块或地块内部的局部不均
匀性和不连续性等，可造成应力场的局部变化．即
称为应力场的扰动．
圆孔附近的应力场扰动－
断裂尖端的应力场扰动－ 等等
分之间的相互作用力。
内力－外力，是个相对概念
内力
← → 外力。
视研究对象而定．
内力可能是均匀分布的，也可能不是，为了 便于度量和研究，提出了“应力”的概念。其分 析方法— 截面法。
应力－单位面积上的内力。一般用 “公斤／平方厘米”表示 内力 / 面积 dP / dA P/Ｆ
A
第四章 应变分析基础
一、变形与变位
1. 变形（strain）：
岩石体受到应力作用后，其内部各质点经受了 一系列的位移，使岩石体的初始形状、方位或位置 发生了改变。 2. 位移： 物体内各质点的位置在变形前后的相对变化。 （平移、旋转、体变、形变） 平移、旋转：改变坐标，不改变形态 （内部各质点相对位置不变） 体变、形变：改变形态和体积 （内部各质点相对位置改变）
应变分析基础
第九章 变形岩石应变分析基础
1.位移和变形 2.应变的度量：长度应变、角应变 3.均匀变形与非均匀变形 4.二维应变的坐标变换方程 5.应变椭圆的概念 6.线的长度和角度变化 7.应变椭球体的概念 8.应变椭球体类型与Flinn图解 9.旋转变形和非旋转变形 10.递进变形
应变分析基础
二、应力场的图示
主应力迹线、主应力等值线、最大剪应力迹线、 最大剪应力等值线
主应力迹线（表示应力主方向在场内的变化规 律，主应力迹线上任一点的切线方向，代表该 点的一个主应力方向）。
最大剪应力迹线:与主应力迹线相似. 最大主(剪)应力等值线:反应应力强度的变化.
应变分析基础
应变分析基础
图示方法
应变分析基础
非均匀变形：物体内各点的应变特
征随其位置而发生变化的变形。
又可分为：
连续变形：物体内从 一点到另一点的应变 状态是逐渐改变的。
不连续变形：是突变 的，如断裂。
其特征与均匀变形相 反。
应变分析基础
均匀变形与非均匀变形的关系
应变分析基础
四、二维应变的位移矢量和坐标变换方程
ψ
Shear strain 剪应变 γ =tan ψ
应变分析基础
左图中的单位圆变成了右图中的椭圆，其长、短轴 的应变为：
剪应变 γ =tan ψ = t应a变n分4析5基=础1
三、 均匀变形homogeneous deformation和 非均匀变形heterogeneous deformation
应变分析基础
砾岩的变形
应变分析基础
泥岩变形和变质成板岩，退色斑圆形变椭圆形
应变分析基础
二、应变的度量
应力stress状态: 是指某一瞬间作用于物体上 的应力分布情况，应力场是随时间而变化的。
第6章局部应力应变分析法
第6章局部应力应变分析法局部应力应变分析法是一种常用于研究材料力学行为的方法。
它通过对材料局部区域的应力应变分布进行分析，可以揭示材料的应力集中、强化、局部损伤等性质。
在材料力学行为中，通过施加外力，材料会产生应力和应变。
当外力作用在材料的其中一个局部区域时，这个局部区域会发生应力集中现象。
应力集中会导致局部应变的增大，进而可能引起材料的局部破坏。
因此，研究局部应力应变分布对于了解局部区域的强度和稳定性至关重要。
局部应力应变分析法首先需要确定所研究的局部区域。
可以通过实验和数值模拟等方法，对材料在不同应力条件下的局部区域进行观测和测量。
在实验中，可以利用光学、电子显微镜等仪器对材料进行观察；在数值模拟中，可以利用有限元分析等方法进行模拟计算。
在确定了局部区域后，局部应力应变分析法可以通过测量和计算的方法来分析局部区域的应力应变分布。
在实验中，可以使用应力计、应变计等仪器来测量应力和应变的大小；在数值模拟中，可以通过有限元分析等方法来计算应力和应变的数值。
通过对局部应力应变分布的分析，可以得到一些重要的结论。
首先，可以了解材料在局部区域的应力集中程度。
应力集中的程度越大，材料的强度和稳定性越低，可能会发生局部破坏。
其次，可以了解材料在局部区域的应力强化情况。
材料的局部区域在受力作用下，可能会发生应力强化，增加材料的强度和稳定性。
最后，可以了解材料在局部区域的局部损伤情况。
材料在受到外力作用时，可能会发生局部破坏，通过分析应力应变分布可以得到这些破坏的位置和形态。
总之，局部应力应变分析法是一种重要的研究材料力学行为的方法。
通过对材料局部区域的应力应变分布进行分析，可以揭示材料的应力集中、强化、局部损伤等性质。
这些研究结果对于材料的设计和应用具有重要的指导意义。
材料力学的基本计算定律公式
材料力学的基本计算定律公式材料力学是研究材料在外力作用下的力学性质和变形规律的科学，其中包含了许多基本的计算定律和公式。
以下是材料力学中一些重要的计算定律和公式。
1. 胡克定律（Hooke's Law）：胡克定律是描述弹性固体在小变形范围内的应力-应变关系的一种基本定律。
根据胡克定律，弹性固体在弹性变形时应变与应力是线性相关的。
数学表达式为：σ=Eε其中，σ是材料的应力，E是材料的弹性模量，ε是材料的应变。
2.应力-应变关系：除了胡克定律之外，还有一些其他的应力-应变关系，如材料的压缩应力-应变关系、材料的剪切应力-应变关系等。
这些关系可以用不同的数学公式表示，例如材料的体积弹性模量、剪切弹性模量、泊松比等参数。
3.应力：应力是指单位面积内的力，通常用σ表示。
常见的应力有拉应力、压应力和剪应力等。
数学表达式为：σ=F/A其中，F是作用在材料上的力，A是力作用的面积。
4.应变：应变是材料单位长度变化的量，可表示为物体的变形程度。
应变分为线性应变和非线性应变两种情况。
线性应变通常用ε表示。
数学表达式为：ε=δL/L其中，δL是材料长度的变化量，L是材料的初始长度。
5.材料的延性和脆性：材料的延性和脆性是表示材料的破坏形式的两个概念。
延性材料在受力作用下会发生一定程度的塑性变形，能够吸收较大的能量，如钢材。
脆性材料在受力作用下会发生突然的断裂，能量吸收能力较差，如陶瓷材料。
6.餘弦定律：余弦定律是描述力的分解情况的定律之一，适用于平面力系统。
根据余弦定律，力的合力可以通过分解成两个分力在水平和垂直方向上来计算。
数学表达式为：F² = F₁² + F₂² - 2F₁F₂cosθ其中，F₁和F₂是力的分力，θ是两个力之间的夹角。
7.力的平衡：力的平衡是指在静止状态下，物体上的合力和合力矩均为零的状态。
根据力的平衡，我们可以得到一些重要的公式，如受力条件和杆件的力平衡等。
工程力学基础第8章 应力、应变和应力应变关系
第8章 应力、应变和应力-应变关系
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节
一点处的应力状态 平面应力状态分析 应变状态分析 广义胡克定律 材料失效和失效判据
第一节 一点处的应力状态
一、引言 在本章中，将应用微元体法，从力、变形、力与变形的关系三 方面研究变形固体内一点处的性态。本章的内容覆盖了固体力 学的三大理论基础：应力理论、应变理论和本构关系(主要是对 理想弹性体)。在此基础上建立复杂受载条件下，材料的失效判 据和构件的强度设计准则，从而为解决杆件在复杂受载条件下 的强度、刚度和稳定性问题创造条件。
（1）一点处的应变状态由六个应变分量εx、εy、εz、γxy、γyz、 γzx完全决定，即由它们可以确定该点处任一方向的线应变和任
第三节 应变状态分析
（2）在任一点处都存在三个互相垂直的方向，它们在变形过 程中保持垂直，即切应变为零，这三个方向称为应变主方向， 沿应变主方向的线应变称为主应变，记为ε1≥ε2≥ε3。主应变ε1 和ε3 试验证明，对于各向同性的线弹性材料的小变形问题，应变主 方向与应力主方向重合，即一对切应力为零的正交截面在变形 过程中保持垂直。应变和应力由材料的力学性能相联系。在工 程中除接触应力等少数情形外，直接测量应力是很困难的，而 变形则比较容易测量。通常是从测得的应变来确定应力。应变 分析的实际意义在于：通过测得的应变确定主方向和主应变，
第一节 一点处的应力状态 三、主应力和主方向 如果微元体某对截面上的切应力等于零，该对截面就称为主平 面，主平面的法向称为主方向，主平面上的正应力称为主应力。 按不等于零的主应力的个数分类，可以把一点处的应力状态分
（1）单向(单轴)应力状态，也称为简单应力状态，只有一个主 应力不为零，如受轴向拉压的直杆和纯弯曲直梁中各点处的应
第二节应变分析用解析
忽略高阶小量，得
uudxudyudz
x y z
14
同理，得
uudxudyudz
x y z
dxdydz
x y z
wwdxwdywdz
x y z
位移增量
d
u
u x
dx
u y
dy
u z
dz
dv
v x
dx
v y
dy
v z
dz
dw
w x
dx
w y
dy
表明对数应变具有可加性
38
3）对数应变能真实反映出拉、压变形的应变值，与实验结果较吻 合可比性
例：对数应变：
拉
l 2lln2ll ln26% 9
压
2 l l ln 2 ll l1 n 2 l2 n 6% 9 l 2 l
设受力物体内任一点M，其坐标为（x,y,z），小变形 后移至M1，其位移分量为ui（x,y,z ）。
与M点无限接近的一点Mˊ点 ，其坐标为（x+dx，y+dy， z+dz），小变形后移至M1ˊ， 其 位 移 分 量 为 uiˊ （ x+dx ， y+dy，z+dz）如图所示。
邻近的点
11
（1）各点的坐标值 M（x，y，z） Mˊ（x+dx，y+dy ，z+dz ）
单元体Q移至Q1的同时转动了一个角度，但没有变形。 a点坐标为（x，y，z），
线应变（或正应变）：单元体线尺寸的伸长或缩短
角应变（或切应变）：单元体角度的变化（即单元 体畸变）
纯变形
5
金
属 （2） 对于同一变形的质点，随着切取单元体的方向
第二章各向异性材料的应力应变关系(课堂使用)
基础教学
27
基础教学
28
基础教学
9
其应力-应变关系为：
基础教学
10
独立弹性常数只有５ 个
基础教学
11
具有无穷多个弹性对称面的材料称为各向同性材 料。这种材料对于三个相互垂直的弹性对称面 的弹性性能完全相同。刚度系数满足：
基础教学
12
其应力-应变关系：
基础教学
13
应变-应力关系：
只有２个独 立弹性常数
基础教学
14
用工程弹性常数（拉压模量、剪切模量、泊松比） 来表示各向异性材料应力-应变关系。
基础教学
5
则其应变-应力关系可以表示为：
基础教学
6
具有三个相互正交的弹性对称面的材料称为正交 各向异性材料。按单对称材料分析方法可得：
则应力-应变关系为：
基础教学
7
应变-应力关系为：
独立弹性常数只有９个， 正交各向异性材料三个 相互垂直的弹性对称面
的法线方向 称为该材料的主方向。
基础教学
8
三个相互垂直的弹性对称面中有一个是各向同 性的，如单向纤维增强复合材料。
i Cij j i Sij j
(i.j=1.2.3.4.5.6)
其中：[Cij]刚度矩阵，[Sij] 柔度矩阵，互为逆矩 阵，即[Cij]= [Sij]-1
基础教学
3
１Ｏ２ 平面是弹性对称面，沿 ３ 轴和 ３′ 轴方向上的应力和 应变有以下关系：
单对称材料的应力
基础教学
4
则单对称材料的应力应变关系就可以表示为：
➢ 柔度系数、刚度系数与工程弹性常数关系 由三个单向拉伸和三个纯剪切示意图来推导
基础教学
15
材料力学基础
材料力学基础
材料力学是研究材料在外力作用下的力学性质和力学行为的一门学科。
它是材料科学和工程学中的基础学科，对于研究材料的性能和设计结构具有重要的理论和应用意义。
材料力学的研究内容主要包括材料的受力分析、应力和应变、材料的力学性能等。
其中，受力分析是材料力学的基础，是研究材料应力和应变的基础。
应力是材料内部分子的相互作用力，通常用力除以单位面积来表示。
应变是材料在外力作用下发生的形变程度，是材料在受力时发生的力学变形。
在相同的应力作用下，不同材料的应变程度不同，这体现了材料的力学性能。
材料力学的研究还包括力学性能的测试和评价。
力学性能是指材料在受力时所表现出的力学特性，包括强度、刚度、韧性等。
强度是材料抵抗外力破坏的能力，是材料抗拉、抗压、抗弯等能力的综合体现。
刚度则是材料对力学变形的抵抗能力，通常用弹性模量来表示。
韧性是材料在破断前能够吸收外部能量的能力，也可以理解为材料的延展性和塑性。
材料力学的研究结果可以应用于材料设计和工程结构分析。
材料设计是指根据材料的力学性能要求和使用环境的要求，选择合适的材料和设计材料的形状和尺寸。
结构分析则是研究材料在受力时的力学行为和变形情况，以确定结构的稳定性和安全性。
总之，材料力学是研究材料力学性质和力学行为的一门学科，它的研究内容包括材料的受力分析、应力和应变、力学性能测
试和评价等。
材料力学的研究结果对材料设计和工程结构分析具有重要的理论和应用价值。
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yx
b、平行面上，应力相等。
x、 y、 z、 xy、 yx、 yz、 zy、 zx、 xz
xy xy yx
6
剪应力互等定理:
在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力必然 成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交 线，其方向则共同指向或共同背离该交线。
yx
xy
cos 2
17
Ⅱ 二向应力状态下主单元体、主平面、主应力的确定
令
x
y
2
sin 2
xy
cos 2
0
得：tan
20
2 xy x
y
即-900 20 900时，0 0
*共有三个主平面(即切应力为零的方向面），分别是：
1）
=
的方向面为一个主平面；
x A x 4）主应力排列：按代数值大小，
1 2 3 9
5）三向应力状态（ state of triaxial
stress ）：三个主应力都不为零的应
力状态。
B
zx
xz
6）二向应力状态（state of biaxial
stress ）：只有一个主应力为零，
另两个主应力不为零。 x
x
2
y
2
2 xy
和0
思考：根据
x
2
y
2
2
x
2
y
2
2，
xy
所有与Z轴
平行的截面中， 何时取得极值？最大值和最小值分别是多少？ 呢？
7）单向应力状态(state of one
dimensional stress ）：只有一
个主应力不为零，另两个主应力
x A x
为零。
10
4、本章学习的目的
研究杆件受力后各点处，特别是危险点处的应 力状态可以：
（1）了解材料发生破坏的力学上的原因，例如 低碳钢拉伸时的屈服(yield)现象是由于在切应力最 大的45˚ 斜截面上材料发生滑移所致；又如铸铁圆 截面杆的扭转破坏是由于在45˚ 方向拉应力最大从 而使材料发生断裂(fracture)所致。
0
2）与
=
方向面垂直的方向面也是一个主平面；
0
3）前后面（与z轴垂直的方向面）。
18
*二向应力状态下的三个主应力(主平面上的正应力）为：
由
x
2
y
2
2
x
2
y
2
2 xy
三个主应力1，2，3
Hale Waihona Puke xy2
按代数值从大到小排列
xy yx, xz zx ,
yz zy
xy
应力状态的九个应力分量中，独立
的只有六个，即：
x、 y、 z、 xy、 yz、 zx
7
[例8-1-1] 画出表示下列图中的A、B、C点处应力状态
的单元体。
P
A
P
x
A x σx A σx
y
yx
B
16
考虑切应力互等和三角变换，得：
x
2
y
x
2
y
cos 2
xy
sin 2
同理：
F 0
dA xdAcos sin xydAcos2 ydAsin cos yxdAsin2 0
n
x
2
y
sin 2
11
第8章 应力状态
（2）在不可能总是通过实验测定材料极限应力， 建立复杂应力状态下的强度条件，如图所示。应力 状态分析是建立关于材料破坏规律的假设(称为强 度理论) (theory of strength, failure criterion)的 基础。
12
第8章 应力状态
本章将研究 Ⅰ. 平面应力状态下不同方位截面上的应力和关于三 向应力状态(空间应力状态) 的概念； Ⅱ. 平面应力状态和三向应力状态下的应力－应变关系— —广义胡克定律(generalized Hooke’s law)，以及这类应力状 态下的应变能密度(strain energy density)；
第八章 应力、应变
分析基础
第八章 应力、应变分析基础
§8.1 §8.2 §8.3 §8.4 §8.5 §8.6
应力状态的概念 二向应力状态分析 三向应力状态的最大应力 平面应力状态下的应变分析 广义胡克定律 三向应力状态下的应变能密度
§8-1 概 述
1、应力的三个重要概念 应力的点的概念; 应力的面的概念; 应力状态的概念.
15
1、 与截面外法线同向为正； 2、τa 绕研究对象顺时针转动为正； 3、α由x逆时针转向截面外法线为正。
图1 设：斜截面面积为dA，由脱离体平衡得：
Fn 0
dA xdAcos 2 xydAcos sin
n
ydAsin2 yxdAsin cos 0
13
§8－2 二向应力状态分析
平面应力状态：
单元体上有一组面上的应力分量都为零。一 般取应力分量为零的面的外法线为z。这时有：
z zy zx 0， x 0， y 0， xy 0
14
Ⅰ. 斜截面上的应力
现先分析与已知应力所在平面xy垂直的任意斜截面 (图b)上的应力。
C z
Ｍ
x
B
zx
xz
x
C xy
yx
yx
x
x
xy
xy
3、主单元体、主平面、主应力：
1）主平面(Principal Plane)： 切应力为零的截面。
2） 主应力(Principal Stress ）： 主平面上的正应力。
3）主单元体(Principal Element)： 各侧面上切应力均为零的单元体。
5
2、一点处应力状态的表示方法—单元体 (element)
由于一点处任何方位截面上的应力均可根据从该点处取出 的微小正六面体── 单元体的三对相互垂直面上的应力来确 定，故受力物体内一点处的应力状态(state of stress)可用一个 单元体(element)及其上的应力来表示。
特点：a、每一面上，应力均布；
3
Q
N Mz
横截面上正应力分析和剪应力分析 的结果表明：同一面上不同点的应力各
不相同，此即应力的点的概念。
4
即使同一点不同方向面上的应力也是 各不相同的，此即应力的面的概念。
过一点不同方向面上应力的集合， 称之为这一点的应力状态（State of the
Stresses of a Given Point）。