高等数学2第十一章答案

习题11-1 对弧长的曲线积分
1.计算下列对弧长的曲线积分： （1）22()n
L
x y ds +⎰Ñ，其中L 为圆周cos x a t =，sin y a t = (02)t π≤≤； （2）L
xds ⎰Ñ，其中L 为由直线y x =及抛物线2
y x
=所围成的区域的整个边界；
（3）L
⎰Ñ，其中L 为圆周222x y a +=，直线y x =及x 轴在第一象限内所围成的
扇形的整个边界；
（4）
2x yzds Γ
⎰
，其中Γ为折线ABCD ，这里A 、B 、C 、D 依次为点(0,0,0)、(0,0,2)、
(1,0,2)、(1,3,2)；
（5）2L
y ds ⎰
，其中L 为摆线的一拱(sin )x a t t =-，(1cos )y a t =-(02)t π≤≤.
2.有一段铁丝成半圆形y =，其上任一点处的线密度的大小等于该点的纵坐标，求其质量。

解 曲线L 的参数方程为()cos ,sin 0x a y a ϕϕϕπ==≤≤
ds ad ϕϕ=
=
依题意(),x y y ρ=，所求质量220
sin 2L
M yds a d a πϕϕ=
==⎰⎰
习题11-2 对坐标的曲线积分
1.计算下列对坐标的曲线积分： （1）22()L
x y dx -⎰
，其中L 是抛物线2y x =上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧；
（2）22
()()L
x y dx x y dy x y +--+⎰Ñ，其中L 为圆周222
x y a +=（按逆时针方向绕行）；
（3）(1)xdx ydy x y dz Γ
+++-⎰
，其中Γ是从点(1,1,1)到点(2,3,4)的一段直线；
（4）
dx dy ydz Γ
-+⎰Ñ，其中Γ为有向闭折线ABCA ，这里A 、B 、C 依次为点(1,0,0)、
(0,1,0)、(0,0,1)；
2.计算
()()L
x y dx y x dy ++-⎰，其中L 是：
（1）抛物线2
y x =上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧；
（2）从点(1,1)到点(4,2)的直线段；
（3）先沿直线从点(1,1)到点(1,2)，然后再沿直线到(4,2)的折线；
（4）曲线2
21x t t =++，2
1y t =+上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧。

3.把对坐标的曲线积分
(,)(,)L
P x y dx Q x y dy +⎰
化成对弧长的曲线积分，其中L 为：
（1）在xOy 面内沿直线从点(0,0)到点(1,1)；
（2）沿抛物线2
y x =从点(0,0)到点(1,1)；
（3）沿上半圆周2
22x y x +=从点(0,0)到点(1,1).
4.设Γ为曲线x t =，2
y t =，3
z t =上相应于t 从0变到1的曲线弧，把对坐标的曲线积分
L
Pdx Qdy Rdz ++⎰
化成对弧长的曲线积分。

习题11-3 格林公式及其应用
1. 利用曲线积分，求星形线3
cos x a t =，3
sin y a t =所围成的图形的面积。

2.计算曲线积分222()
L ydx xdy x y -+⎰Ñ，其中L 为圆周22
(1)2x y -+=，L 的方向为逆时针方向。

3. 证明曲线积分(2,1)
423(1,0)
(23)(4)xy y dx x xy dy -++-⎰
在整个xOy 面内与路径无关，并计
算积分值。

.
4.利用格林公式，计算下列曲线积分： （1）
(24)(536)L
x y dx y x dy -+++-⎰Ñ，其中L 为三顶点分别为(0,0)、(3,0)和(3,2)的
三角形正向边界；
（2）22
()(sin )L
x y dx x y dy --+⎰
，其中L 是在圆周y =上由点(0,0)到点(1,1)
的一段弧。

5.验证下列(,)(,)P x y dx Q x y dy +在整个xOy 平面内是某一函数(,)u x y 的全微分，并求这样的一个(,)u x y ： （1）2
2xydx x dy +；
（2）2
2
(2cos cos )(2sin sin )x y y x dx y x x y dy ++-
6.计算
224(2)()L
x xy dx x y dy +++⎰
，其中L 为由点()0,0O 到点()1,1B 的曲线弧
sin
2
x
y π=
解
2,2P Q P Q x x y x y x
∂∂∂∂==⇒=∂∂∂∂ 原积分与路径无关，()1,0A 故原式()()2
242OA AB
x
xy dx x y dy +=+++⎰r r
()11
2400
23115
x dx y dy =
++=
⎰
⎰
习题11-4 对面积的曲面积分
1. 计算曲面积分3∑
⎰⎰
zdS ，其中∑为抛物面22
2()z x y =-+在xOy 面上方的部分。

3=zdS ∑
⎰⎰2
2
3[2(xy
D x
y -+⎰⎰22
32d d πθρρ=-⎰
()()()1
2222
01614]141432d πρρρ=⨯-+++
()()35
222232[61414165
πρρ=+-+ ()()3532111[63131]16510
ππ=
---=
2. 计算
22
()x y dS ∑
+⎰⎰
，其中∑是锥面2223()z x y =+被平面0z =和3z =所截得的部分。

3.计算下列对面积的曲面积分： （1）4(2)3z x y dS ∑
++
⎰⎰，其中∑为平面1234
x y z
++=在第一卦限中的部分； （2）()x y z dS ∑
++⎰⎰
，其中∑为球面2222x y z a ++=上z h ≥(0)h a <<的部分；
4.求抛物面壳2
21()2
z x y =+(01)z ≤≤的质量，此壳的面密度为z μ=.
5.计算
22()x y dS ∑
+⎰⎰，其中∑为锥面z =及平面1z =所围成的区域的整个边界曲面。

解 12∑=∑+∑， 1:z ∑=
1∑上，
ds =，1∑在xoy 面的投影为22:1xy D x y +≤
在2∑上，ds dxdy =，2∑在xoy 面的投影为22:1xy D x y +≤
())()
222222xy
xy
D D x y ds x y dxdy x y dxdy ∑
∴+=
+++⎰⎰⎰⎰
⎰⎰
)
21
20
1
12
d r rdr πθπ=
⋅⋅=
⎰
⎰ 习题11-5 对坐标的曲面积分
1.计算下列对坐标的曲面积分： （1）22
x y zdxdy ∑
⎰⎰
，其中∑为球面2222x y z R ++=的下半部分的下侧：
（2）[(,,)][2(,,)][(,,)]f x y z x dydz f x y z y dzdx f x y z z dxdy ∑
+++++⎰⎰
，其中(,,)
f x y z 为连续函数，∑是平面1x y z -+=在第四卦限部分的上侧；
2.把对坐标的曲面积分(,,)(,,)(,,)P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy ∑
++⎰⎰化成对面积的
曲面积分，其中
（1）∑是平面326x y ++=在第一卦限的部分的上侧；
（2）∑是抛物面2
2
8()z x y =-+在xOy 面上方的部分的上侧； 3.计算
222
x dydz y dzdx z dxdy ∑
++⎰⎰
，其中∑为球面2222x y z R ++=在第一挂限部分曲面块的上侧，R 为正数。

解 由对称性，
222
x dydz y dzdx z dxdy ∑
∑
∑
==⎰⎰⎰⎰⎰⎰
∑在xoy 面上的投影域为2
2
2
:0,0,D x y x y R ≥≥+≤ 所以
222x dydz y dzdx z dxdy ∑
++⎰⎰()2222
33z dxdy R x y dxdy ∑
∑
==--⎰⎰⎰⎰ ()22420
338
R d R r rdr R π
πθ=-=
⎰⎰
习题11-6 高斯公式
1.利用高斯公式计算曲面积分： （1）
222
x dydz y dzdx z dxdy ∑
++⎰⎰Ò，其中∑为平面0x =，0y =，0z =，x a =，y a =，
z a =所围成的立体的表面的外侧；
（2）
xdydz ydzdx zdxdy ∑
++⎰⎰
Ò，其中∑是界于0z =和3z =之间的圆柱体22
9x y +≤的整个表面的外侧； （3）
2
4xzdydz y dzdx yzdxdy ∑
-+⎰⎰Ò，其中∑为平面0x =，0y =，0z =，1x =，1y =，1z =所围成的立方体的全表面的外侧；
2.计算曲面积分()2I z x dydz zdxdy ∑
=++⎰⎰，其中∑是曲面()2
201z x
y z =+≤≤的外
侧.
解 添加平面()
221:11z x y ∑=+≤，取上侧，使1∑+∑构成封闭，应用高斯公式地
()21
1
211
2132
xy
r
D I dv dxdy d rdr dz ππ
θπ∑+∑∑Ω
=
-=+-=-=
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰⎰Ò
习题11-7 斯托克斯公式
1.利用斯托克公式，计算下列曲线积分： （1）
ydx zdy xdz Γ
++⎰
Ñ，其中Γ为圆周2222
x y z a ++=，0x y z ++=，若从x 轴的正向看去，这圆周是取逆时针方向；
（2）
23ydx xzdy yz dz Γ
-+⎰Ñ，其中Γ为圆周2
22x
y z +=，2z =，若从z 轴正向看去，
这圆周是取逆时针方向； （3）
2
23ydx xdy z dz Γ
+-⎰
Ñ，其中Γ为圆周2229x y z ++=，0z =，若从z 轴正向看去，
这圆周是取逆时针方向；
复习题十一
1.计算下列曲线积分： （1
）⎰
，其中L 为圆周22x y ax +=；
（2）
(2)L
a y dx xdy -+⎰，其中L 为摆线(sin )x a t t =-，(1cos )y a t =-上对应t 从0到
2π的一段弧；
（3）(sin 2)(cos 2)x x
L
e y y dx e y dy -+-⎰
，其中L 为上半圆周222
()x a y a -+=，0
y ≥沿逆时针方向；
2.计算下列曲面积分： （1）222dS x y z ∑
++⎰⎰，其中∑是界于平面0z =及z H =之间的圆柱面222
x y R +=； （2）
2
22()()()y
z dydz z x dzdx x y dxdy ∑
-+-+-⎰⎰，其中∑
为锥面z =
(0)z h ≤≤的外侧；
（3）xdydz ydzdx zdxdy ∑
++⎰⎰，其中∑
为半球面z =
上侧；
3.证明：
22
xdx ydy
x y ++在整个xOy 平面除去y 的负半轴及原点的区域G 内是某个二元函数的
全微分，并求出一个这样的二元函数。

4. 计算曲线积分
22()()L
x y dx x y dy
x y -+++⎰Ñ，其中L 是边长为4，原点为中心的正方形边界，
方向为逆时针方向。

解法一
2222
,x y x y
P Q x y x y -+=
=++
22222
2()Q P y x xy
x y x y ∂∂--==∂∂+ 在L 内作一圆Γ：2
2
1x y +=，方向逆时针 由格林公式有
22L xdy ydx x y -+⎰Ñ=22xdy ydx
x y Γ
-+⎰Ñ Γ：cos sin x t y t
=⎧⎨
=⎩
22222220
()()cos sin 2cos sin L
x y dx x y dy
t t
dt x y t t
π
π-+++==++⎰⎰
Ñ
法二: 由参数法将得积分代入四部分之和 5．计算 222I x dydz y dzdx z dxdy ∑
=
++⎰⎰，其中∑为锥面2
222x
y z +=介于平面0z =及
1z =之间部分的上侧。

解 添加:1∑1=z ，22
2
≤+y x 取下侧
由高斯公式得
⎰⎰∑+∑++1
222
dxdy z dzdx y dydz x
⎰⎰⎰Ω
++-=dxdydz z y x )(2
⎰⎰⎰Ω
-=zdxdydz 2（由对称性知0=⎰⎰⎰Ω
xdxdydz ，0=⎰⎰⎰Ω
ydxdydz ）
ππ-=-=-=⎰⎰⎰⎰1
310
42dz z dxdy zdz z
D
而 π21
222-=-=++⎰⎰⎰⎰∑xy
D dxdy dxdy z dzdx y dydz x
π=I。