必修二点线面之间的位置关系测试题附含答案解析

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高中数学人教版必修二第二章《点、直线、平面之间的位置关系》(含答案)

高中数学人教版必修二第二章《点、直线、平面之前的位置关系》（含答案）一、选择题1．下列说法正确的个数是()①若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交；②若a∥b，则a，b与c所成的角相等；③若a⊥b，b⊥c，则a∥c.A．3B．2C．1 D．0【解析】①中a与c也可能异面，③中a与c也可能相交或异面，②正确．【答案】C2．a、b为异面直线是指①a∩b＝∅，且a不平行于b；②a⊂平面α，b⊄平面α，且a∩b ＝∅；③a⊂平面α，b⊂平面β，且α∩β＝∅；④不存在平面α能使a ⊂α，且b⊂α成立．()A．①②③B．①③④C．②③ D．①④【解析】②③中的a，b有可能平行，①④符合异面直线的定义．【答案】D3．下列选项中，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是()【解析】易知选项A，B中PQ∥RS，选项D中RS与PQ相交，只有选项C中RS与PQ是异面直线．【答案】C4．如图2119所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H 分别为AA1、AB、B1B、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于()图2119A．45°B．60°C．90°D．120°【解析】连接A1B，BC1，因为E、F、G、H分别是AA1、AB、BB1、B1C1的中点．A1B∥EF，BC1∥GH.∴A1B和BC1所成角为异面直线EF与GH所成角，连接A1C1知，△A1BC1为正三角形，故∠A1BC1＝60°.【答案】B5．如图2120，三棱柱ABCA1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是()图2120A．CC1与B1E是异面直线B．C1C与AE共面C．AE与B1C1是异面直线D．AE与B1C1所成的角为60°【解析】由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内，故C1C与B1E 是共面的，所以A错误；由于C1C在平面C1B1BC内，而AE与平面C1B1BC相交于E点，点E不在C1C上，故C1C与AE是异面直线，B错误；同理AE与B1C1是异面直线，C正确；而AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，E为BC中点，△ABC为正三角形，所以AE⊥BC，D错误．【答案】C二、填空题6．下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形序号)．图229【解析】①设MP中点为O，连接NO.易得AB∥NO，又AB⊄平面MNP，所以AB∥平面MNP.②若下底面中心为O，易知NO∥AB，NO⊄平面MNP，所以AB与平面MNP不平行．③易知AB∥MP，所以AB∥平面MNP.④易知存在一直线MC∥AB，且MC⊄平面MNP，所以AB与平面MNP不平行．【答案】①③7．在如图2210所示的几何体中，三个侧面AA1B1B，BB1C1C，CC1A1A都是平行四边形，则平面ABC与平面A1B1C1平行吗？______(填“是”或“否”)．图2210【解析】因为侧面AA1B1B是平行四边形，所以AB∥A1B1，因为AB⊄平面A1B1C1，A1B1⊂平面A1B1C1，所以AB∥平面A1B1C1，同理可证：BC∥平面A1B1C1.又因为AB∩BC＝B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，所以平面ABC∥平面A1B1C1.【答案】是三、解答题8．如图2224，在三棱柱ABCA1B1C1中，M是A1C1的中点，平面AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N.求证：N为AC的中点．图2224【证明】因为平面AB1M∥平面BC1N，平面ACC1A1∩平面AB1M＝AM，平面BC1N∩平面ACC1A1＝C1N，所以C1N∥AM，又AC∥A1C1，所以四边形ANC1M为平行四边形，所以AN＝C1M＝21A1C1＝21AC，所以N为AC的中点．9．如图2225，平面EFGH分别平行于CD，AB，E，F，G，H 分别在BD，BC，AC，AD上，且CD＝a，AB＝b，CD⊥AB.(1)求证：EFGH是矩形．(2)设DE＝m，EB＝n，求矩形EFGH的面积．图2225【解】(1)证明：因为CD∥平面EFGH，而平面EFGH∩平面BCD＝EF，所以CD∥EF.同理HG∥CD，所以EF∥HG.同理HE∥GF，所以四边形EFGH是平行四边形．由CD∥EF，HE∥AB，所以∠HEF为CD和AB所成的角．又因为CD⊥AB，所以HE⊥EF.所以四边形EFGH是矩形．(2)由(1)可知在△BCD中，EF∥CD，DE＝m，EB＝n，所以CD EF ＝DB BE .又CD ＝a ，所以EF ＝m ＋n n a . 由HE ∥AB ，所以AB HE ＝DB DE .又因为AB ＝b ，所以HE ＝m ＋n mb .又因为四边形EFGH 为矩形，所以S 矩形EFGH ＝HE ·EF ＝m ＋n m b ·m ＋n n a ＝(m ＋n2mn ab .10．对于直线m 、n 和平面α，下列命题中正确的是( )A ．如果m ⊂α，n ⊄α，m 、n 是异面直线，那么n ∥αB ．如果m ⊂α，n ⊄α，m 、n 是异面直线，那么n 与α相交C ．如果m ⊂α，n ∥α，m 、n 共面，那么m ∥nD ．如果m ∥α，n ∥α，m 、n 共面，那么m ∥n【解析】对于A ，如图(1)所示，此时n 与α相交，故A 不正确；对于B ，如图(2)所示，此时m ，n 是异面直线，而n 与α平行，故B 不正确；对于D ，如图(3)所示，m 与n 相交，故D 不正确．故选C.图(1) 图(2) 图(3)【答案】 C11．如图2226，三棱柱ABCA 1B 1C 1中，底面是边长为2的正三角形，点E ，F 分别是棱CC 1，BB 1上的点，点M 是线段AC 上的动点，EC ＝2FB ＝2，当点M 在何位置时，BM ∥平面AEF .图2226【解】如图，取EC的中点P，AC的中点Q，连接PQ，PB，BQ，则PQ∥AE.因为EC＝2FB＝2，所以PE＝BF.所以四边形BFEP为平行四边形，所以PB∥EF.又AE，EF⊂平面AEF，PQ，PB⊄平面AEF，所以PQ∥平面AEF，PB∥平面AEF.又PQ∩PB＝P，所以平面PBQ∥平面AEF.又BQ⊂平面PBQ，所以BQ∥平面AEF.故点Q即为所求的点M，即点M为AC的中点时，BM∥平面AEF.。

数学必修二点线面之间的位置关系习题打印版(含答案)z

点、直线、平面之间的位置关系1.如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，点E、F分别是AB、BD的中点．求证：(1)直线EF∥面ACD.(2)平面EFC⊥平面BCD.2.如图所示，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝22，M为BC的中点．(1)证明：AM⊥PM；(2)求二面角P－AM－D的大小．3．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC与△A1B1C1都为正三角形且AA1⊥面ABC，F、F1分别是AC，A1C1的中点．求证：(1)平面AB1F1∥平面C1BF；(2)平面AB1F1⊥平面ACC1A1.4．如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC＝BC＝EB＝2DC＝2，∠ACB＝120°，P，Q分别为AE，AB的中点．(1)证明：PQ∥平面ACD；(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值．5．如图，△ABC中，AC＝BC＝22AB，ABED是边长为1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，若G，F分别是EC，BD的中点．(1)求证：GF∥底面ABC；(2)求证：AC⊥平面EBC；(3)求几何体ADEBC的体积V.答案1.证明：(1)∵E、F分别是AB、BD的中点，∴EF∥AD.又AD⊂平面ACD，EF⊄平面ACD，∴直线EF∥面ACD.(2)在△ABD中，∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD.在△BCD中，∵CD＝CB，F为BD的中点，∴CF⊥BD.∵CF∩EF＝F，∴BD⊥平面EFC，又∵BD⊂平面BCD，∴平面EFC⊥平面BCD.2. (1)证明：如图所示，取CD的中点E，连接PE，EM，EA，∵△PCD为正三角形，∴PE⊥CD，PE＝PD sin∠PDE＝2sin60°＝ 3.∵平面PCD⊥平面ABCD，∴PE⊥平面ABCD，而AM⊂平面ABCD，∴PE⊥AM.∵四边形ABCD是矩形，∴△ADE，△ECM，△ABM均为直角三角形，由勾股定理可求得EM＝3，AM＝6，AE＝3，∴EM2＋AM2＝AE2.∴AM⊥EM.又PE∩EM＝E，∴AM⊥平面PEM，∴AM⊥PM.(2)解：由(1)可知EM⊥AM，PM⊥AM，∴∠PME是二面角P－AM－D的平面角．∴tan ∠PME ＝PE EM ＝33＝1，∴∠PME ＝45°.∴二面角P －AM －D 的大小为45°.3. 本题可以根据面面平行和面面垂直的判定定理和性质定理，寻找使结论成立的充分条件．[证明] (1)在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中， ∵F 、F 1分别是AC 、A 1C 1的中点， ∴B 1F 1∥BF ，AF 1∥C 1F .又∵B 1F 1∩AF 1＝F 1，C 1F ∩BF ＝F ， ∴平面AB 1F 1∥平面C 1BF .(2)在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面A 1B 1C 1，∴B 1F 1⊥AA 1. 又B 1F 1⊥A 1C 1，A 1C 1∩AA 1＝A 1，∴B 1F 1⊥平面ACC 1A 1，而B 1F 1⊂平面AB 1F 1， ∴平面AB 1F 1⊥平面ACC 1A 1.4. 因为P ，Q 分别为AE ，AB 的中点，所以PQ ∥EB .又DC ∥EB ，因此PQ ∥DC ，又PQ ⊄平面ACD ，从而PQ ∥平面ACD .(2)如图，连接CQ ，DP ，因为Q 为AB 的中点，且AC ＝BC ，所以CQ ⊥AB .因为DC ⊥平面ABC ，EB ∥DC ，所以EB ⊥平面ABC ，因此CQ ⊥EB . 故CQ ⊥平面ABE .由(1)有PQ ∥DC ，又PQ ＝12EB ＝DC ，所以四边形CQPD 为平行四边形，故DP ∥CQ ，因此DP ⊥平面ABE ，∠DAP 为AD 和平面ABE 所成的角，在Rt △DP A 中，AD ＝5，DP ＝1，sin ∠DAP ＝55，因此AD 和平面ABE 所成角的正弦值为55. 5. (1)转化为证明GF 平行于平面ABC 内的直线AC ；(2)转化为证明AC 垂直于平面EBC 内的两条相交直线BC 和BE ；(3)几何体ADEBC 是四棱锥C －ABED .[解] (1)证明：连接AE ，如下图所示． ∵ADEB 为正方形，∴AE ∩BD ＝F ，且F 是AE 的中点，又G 是EC 的中点，∴GF ∥AC ，又AC ⊂平面ABC ，GF ⊄平面ABC ， ∴GF ∥平面ABC .(2)证明：∵ADEB 为正方形，∴EB ⊥AB ，又∵平面ABED ⊥平面ABC ，平面ABED ∩平面ABC ＝AB ，EB ⊂平面ABED ，∴BE ⊥平面ABC ，∴BE ⊥AC . 又∵AC ＝BC ＝22AB ，∴CA 2＋CB 2＝AB 2，∴AC ⊥BC . 又∵BC ∩BE ＝B ，∴AC ⊥平面BCE .(3)取AB 的中点H ，连GH ，∵BC ＝AC ＝22AB ＝22，∴CH ⊥AB ，且CH ＝12，又平面ABED ⊥平面ABC∴G H ⊥平面ABCD ，∴V ＝13×1×12＝16.。

【名师点睛】2017-2018学年高中数学必修二 2.1点、线、面之间的位置关系练习题(含答案详解)

点、线、面之间的位置关系基础题一、选择题：1.分别和两条异面直线都相交的两条直线一定( ).A.异面B.相交C.不相交D.不平行2.如果直线a⊂平面α,直线b⊂平面α,M∈a,N∈b,M∈l,N∈l,则( ).A.l⊂αB.l⊄αC.l∩α=MD.l∩α=N3.长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有( ).A.2对B.3对C.6对D.12对4.如果直线a//平面α,那么直线a与平面α内的( ).A.一条直线不相交B.两条相交直线不相交C.无数条直线不相交D.任意一条直线不相交5.下列说法正确的是( ).①一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行,则这两个平面平行；②一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行,则这两个平面平行；③一个平面内任何直线都与另外一个平面平行,则这两个平面平行；④一个平面内有两条相交直线与另外一个平面平行,则这两个平面平行.A.①③B.②④C.②③④D.③④6.六棱柱的表面中,互相平行的面最多有几对( ).A.2B.3C.4D.57.如图,在下列四个正方体图形中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,P分别为其所在棱的中点,能得出AB//平面MNP的图形的序号是( ).A.①③B.①④C.②③D.②④二、填空题：8.下列语句是对平面的描述：①平面是绝对平的且是无限延展的；②一个平面将无限的空间分成两部分；③平面可以看作空间的点的集合,它当然是一个无限集；④四边形确定一个平面.其中正确的序号是________.9.设平面α与平面β相交于l,直线a ⊂α,直线b ⊂β,a ∩b=M,则M________l.10.已知直线m,n,平面βα,,给出下列命题：①若βαβα⊥⊥⊥则,,m m ；②若βαβα//,//,//则m m ；③若βαβα⊥⊥则,//,m m ；④若异面直线m,n 互相垂直,则存在过m 的平面与n 垂直. 其中正确的命题的题号为：11.设l m n 、、是三条不同的直线,αβγ、、是三个不同的平面,下面有四个命题：①,l l βαβα若∥∥,则∥； ②,l n m n l m 若∥∥,则∥；③,l l αβαβ⊥⊥若∥,则； ④,,l m αβ⊥⊥若,.l m αβ⊥⊥则其中假命题的题号为：12.已知点S 是正三角形ABC 所在平面外一点,D,E,F 分别是SA,SB,SC 的中点,则平面DEF 与平面ABC 的位置关系是________.13.已知a 和b 是异面直线,且a ⊂平面α,b ⊂平面β,a//β,b//α,则平面α与β的位置关系是________.14.如图是正方体的平面展开图.在这个正方体中,①BM//平面DE ； ②CN//平面AF ；③平面BDM//平面AFN ； ④平面BDE//平面NCF.以上四个命题中,正确命题的序号是________.15.如图所示,a//α,A 是α的另一侧的点,B 、C 、D ∈a,线段AB 、AC 、AD 交α于E 、F 、G,若BD=4,CF=4,AF=5,则EG=______.16.若空间四边形ABCD 的两条对角线AC,BD 的长分别是8、12,过AB 的中点E 且平行于BD,AC 的截面四边形的周长为________.三、解答题：17.已知底面是平行四边形的四棱锥PABCD,点E在PD上,且PE∶ED=2∶1,在棱PC上是否存在一点F,使BF//面AEC？证明你的结论,并说出点F的位置.18.已知M、N分别是底面为平行四边形的四棱锥P—ABCD棱AB、PC的中点,平面CMN与平面PAD交于PE,求证：(1)MN//平面PAD；(2)MN//PE.提高题一、选择题：1.如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,O为DB的中点,直线A1C交平面C1BD于点M,则下列结论错误的是( ).A.C1,M,O三点共线B.C1,M,O,C四点共面C.C1,O,A,M四点共面D.D1,D,O,M四点共面2.a是平面α外的一条直线,过a作平面β,使β//α,这样的β有( ).A.只能作一个B.至少一个C.不存在D.至多一个3.设α//β,A∈α,B∈β,C是AB的中点,当A,B分别在平面α,β内运动时,那么所有的动点C( ).A.不共面B.当且仅当A,B分别在两条直线上移动时才共面C.当且仅当A,B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D.不论A,B如何移动,都共面4.下列命题中正确的个数为( ).①若△ABC在平面α外,它的三条边所在的直线分别交α于P、Q、R则P、Q、R三点共线.②若三条直线a,b,c互相平行且分别交直线l于A,B,C三点则这四条直线共面.③空间中不共面的五个点一定能确定10个平面A.0B.1C.2D.35.过空间一点作与两条异面直线都平行的平面,这样的平面( ).A.不存在B.至多有一个C.有且只有一个D.有无数个6.平面α截一个三棱锥,如果截面是梯形,那么平面α必定和这个三棱锥的 ( ).A.一个侧面平行B.底面平行C.仅一条棱平行D.某两条相对的棱都平行二、填空题：7.给出下列三个命题：①空间四点共面,则其中必有三点共线；②空间四点中有三点共线,则此四点必共面；③空间四点中任何三点不共线,则此四点不共面. 其中正确命题的序号是________.8.已知平面α∩平面β=l,点M ∈α,N ∈α,P ∈β,P ∉l 且MN ∩l=R,过M,N,P 三点所确定的平面记为γ,则β∩γ等于________.9.已知平面α//β//γ,两条直线l,m 分别与平面α,β,γ相交于点A,B,C 和D,E,F,已知AB=6,DE DF =25,则AC=________.三、解答题：10.如图,已知ABCD 是平行四边形,点P 是平面ABCD 外一点,M 是PC 的中点,在DM 上取一点G,过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH.求证：AP//GH.11.在空间四边形ABCD 中,H 、G 分别是AD 、CD 的中点,E,F 分别是边AB,BC 上的点,且31==EB AE FB CF . 求证：直线EH 、BD 、FG 相交于一点.12.如图所示的几何体中,△ABC 是任意三角形,AE//CD,且AE=AB=2a,CD=a,F 为BE 的中点.求证：DF//平面ABC.13.如图,正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长的3,侧棱AA 1=,233D 是CB 延长线上一点,且BD=BC. （Ⅰ）求证：直线BC 1//平面AB 1D ；（Ⅱ）求二面角B 1—AD —B 的大小；（Ⅲ）求三棱锥C 1—ABB 1的体积.14.如图,已知四棱锥S －ABCD 的底面ABCD 是正方形,SA ⊥底面ABCD,E 是SC 上的一点.(1)求证：平面EBD ⊥平面SAC ；(2)设SA=4,AB=2,求点A 到平面SBD 的距离；(3)当ABSA 的值为多少时,二面角B －SC －D 的大小为120º.15.如图①,在直角梯形ABCP 中,AP//BC,AP ⊥AB,AB=BC=0.5AP,D 为AP 的中点,E 、F 、G 分别为PC 、PD 、CB 的中点,将△PCD 沿CD 折起,得到四棱锥PABCD,如图②.求证：在四棱锥PABCD 中,AP//平面EFG.参考答案基础题1.答案:D;解析:和两条异面直线都相交的两条直线可能相交,也可能异面,但一定不平行.2.答案:A;解析:据公理1可知：直线l 上两点M 、N 都在平面α内,所以l 在平面α内,故选A.3.答案:C;解析:如图所示,在长方体AC 1中,与对角线AC 1成异面直线位置关系的是：A 1D 1、BC 、BB 1、DD 1、A 1B 1、DC,所以组成6对异面直线.4.答案:D;解析:线面平行,则线面无公共点,所以选D,对于C,要注意“无数”并不代表所有.5.答案:D;解析由两平面平行的判定定理知③④正确.6.答案:C;解析:当底面是正六边形时,共有4对面互相平行.7.答案:B;解析 ①中,取NP 中点O,连MO,则MO//AB,AB ⊄平面MNP.MO ⊂平面MNP ∴AB//平面MNP ； ②中,在平面MNP 内找不到与AB 平行的直线,故②不能得出；③中,AB 与平面MNP 相交； ④中,∵AB//NP,AB ⊄平面MNP.NP ⊂平面MNP.∴AB//平面MNP.8.答案:①②③;解析:根据平面的概念和特征,①②③都是从不同的角度对平面的描述,因此,都是正确的.④是错误的.如图所示的四边形ABCD 四个顶点是不在一个平面内的.9.答案:∈;解析因为a ∩b=M,a ⊂α,b ⊂β,所以M ∈α,M ∈β.又因为α∩β=l,所以M ∈l.10.答案为：③④；11.答案为：①③；12.答案：平行；解析：由D,E,F 分别是SA,SB,SC 的中点知EF 是△SBC 的中位线,∴EF//BC.又∵BC ⊂平面ABC,EF ⊄平面ABC,∴EF//平面ABC.同理DE//平面ABC.∵EF ∩DE=E,∴平面DEF//平面ABC.13.答案：平行；解析：在b 上任取一点O,则直线a 与点O 确定一个平面γ,设γ∩β=l,则l ⊂β, ∵a//β,∴a 与l 无公共点,∴a//l,∴l//α.又b//α,根据面面平行的判定定理可得α//β.14.答案：①②③④;解析：以ABCD 为下底面还原正方体,如图：则易判定四个命题都是正确的.15.答案:20/9;解析：由已知EG//BD,∴EG BD =AF AC ,∴EG=209. 16.答案:20;解析:取BC 中点F,CD 中点G,AD 中点H,得▱EFGH,平面EFGH 就是过E 且与AC,BD 平行的平面,且EF=GH=12AC=4,EH=FG=12BD=6,所以▱EFGH 的周长为20. 17.解:如图,连接BD 交AC 于O 点,连接OE,过B 点作OE 的平行线交PD 于点G,过点G 作GF//CE,交PC 于点F,连接BF.∵BG//OE,BG ⊄平面AEC,OE ⊂平面AEC,∴BG//平面AEC.同理,GF//平面AEC,又BG ∩GF=G.∴平面BGF//平面AEC,∴BF//平面AEC.∵ BG//OE,O 是BD 中点,∴E 是GD 中点.又∵PE ∶ED=2∶1,∴G 是PE 中点.而GF//CE,∴F 为PC 中点.综上,当点F 是PC 中点时,BF//平面AEC.18.证明:(1)如图,取DC中点Q,连接MQ、NQ.∵NQ是△PDC的中位线,∴NQ//PD.∵NQ⊄平面PAD,PD⊂平面PAD,∴NQ//平面PAD.∵M是AB中点,ABCD是平行四边形,∴MQ//AD,MQ⊄平面PAD,AD⊂平面PAD.从而MQ//平面PAD.∵MQ∩NQ=Q,∴平面MNQ//平面PAD.∵MN⊂平面MNQ,∴MN//平面PAD.(2)∵平面MNQ//平面PAD,平面PEC∩平面MNQ=MN,平面PEC∩平面PAD=PE.∴MN//PE.提高题1.答案:D;解析:连接A1C1,AC,则AC∩BD=O,A1C∩平面C1BD=M.∴三点C1,M,O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上,即C1,M,O三点共线,∴选项A,B,C均正确,D不正确.2.答案:D;解析:∵a是平面α外的一条直线,∴a//α或a与α相交.当a//α时,β只有一个,当a与α相交时,β不存在.3.答案:D;解析:由面面平行的性质定理,点C应在过AB中点且平行于α(或β)的平面内.故选D.4.答案:C;解析:在①中,∵P、Q、R三点现在平面ABC上,又在平面α上.∴这三点必在平面ABC与α的交线上,即P、Q、R三点共线,故①正确,在②中,∵a//b,∴a与b确定一个平面α,而l上有A、B两点在该平面上,∴l⊂α,即a,b,l三线共面于α；同理,a,c,e三线边共面,不妨设为β,而α,β有两条公共直线a,l,∴α与β重合,故这些直线共面,故②正确.在③中,不妨设其中四点共面,故它们最多能确定7个平面故③错.5.答案:B;解析:设a,b为两异面直线,当所取点在过b(或过a)与a(或与b)平行的平面α内时,此时过该点不能作出与a,b都平行的平面,除上述点之外符合要求的平面只有一个.6.答案:C;解析:当平面α//某一平面时,截面为三角形,故A、B错.当平面α//SA时,如图截面是四边形DEFG,又SA⊂平面SAB,平面SAB∩α=DG,∴SA//DG,同理SA//EF,∴DG//EF,同理当α//BC时,GF//DE,∵截面是梯形,则四边形DEFG中仅有一组对边平行,故α仅与一条棱平行.故选C.7.答案:②;解析:对于命题①③,可用平行四边形的四个顶点来排除.8.答案:直线PR;解析:如图,MN⊂γ,R∈MN,∴R∈γ.又R∈l,∴R∈β.又P∈r,P∈β,∴β∩γ=PR.9.10.11.12.证明:如图所示,取AB 的中点G,连接FG,CG,∵F,G 分别是BE,AB 的中点,∴FG//AE,FG=12AE, 又AE=2a,CD=a,∴CD=12AE,而AE//CD,∴CD//FG,CD=FG ∴四边形CDFG 为平行四边形,∴DF//CG,又CG ⊂平面ABC,DF ⊄平面ABC,∴DF//平面ABC.13.14.15.证明在四棱锥PABCD中,E,F分别为PC,PD的中点,∴EF//CD. ∵AB//CD,∴EF//AB.∵EF⊄平面PAB,AB⊂平面PAB,∴EF//平面PAB. 同理EG//平面PAB.又EF∩EG=E,∴平面EFG//平面PAB.∵AP⊂平面PAB,AP⊄平面EFG,∴AP//平面EFG.。

【优质文档】必修二第二章点、直线、平面之间的位置关系全章练习题(含答案)

第二章点、直线、平面之间的位置关系
§2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.1 平面
一、基础过关
1．下列命题： ①书桌面是平面；
②有一个平面的长是 50m，宽是 20m；
③平面是绝对的平、无厚度，可以无限延展的抽象数学概念．
其中正确命题的个数为
()
A．1 个
B．2 个
C． 3 个
D．0 个
2．下列图形中，不一定是平面图形的是 A ．三角形
B．菱形
()
C ．梯形
D ．四边相等的四边形
3．空间中，可以确定一个平面的条件是
()
A ．两条直线
B ．一点和一条直线
C ．一个三角形
D ．三个点
4．已知平面 α与平面 β、 γ都相交，则这三个平面可能的交线有
()
A ． 1 条或 2 条
B． 2 条或 3 条
即点 S 在交线上，由于 AB>CD ，则分别延长 AC 和 BD 交于点 E，如图所示． ∵E∈ AC， AC? 平面 SAC， ∴E∈ 平面 SAC. 同理，可证 E∈ 平面 SBD. ∴ 点 E 在平面 SBD 和平面 SAC 的交线上，连接 SE，直线 SE 是平面 SBD 和平面 SAC 的交线． 8．证明 ∵ l 1? β， l2? β， l1D ∥ l 2， ∴ l 1、 l 2 交于一点，记交点为 P. ∵ P∈ l 1? α， P∈ l2? γ， ∴P∈ α∩ γ＝ l3， ∴ l 1， l 2， l3 交于一点． 9． C 10.C 11．③ 12．证明因为 AB∥ CD，所以 AB，CD 确定平面 AC，AD∩ α＝ H，因为 H ∈ 平面 AC，H ∈α，由公理 3 可知， H 必在平面 AC 与平面 α的交线上．同理 F、G、E 都在平面 AC 与平面 α 的交线上，因此 E， F ， G， H 必在同一直线上． 13．证明 (1)∵ C1、 O、 M ∈平面 BDC1，又 C1、 O、 M ∈ 平面 A1ACC1，由公理 3 知，点 C1、 O、 M 在平面 BDC 1 与平面 A1ACC1 的交线上， ∴ C1、 O、 M 三点共线． (2) ∵ E， F 分别是 AB， A1A 的中点， ∴ EF∥ A1B.∵ A1B∥CD 1， ∴ EF∥ CD 1. ∴ E、 C、 D1、 F 四点共面．

高中数学必修二《2.1空间点、直线、平面之间的位置关系》测试卷及答案解析

2019-2020学年高中数学必修二《2.1空间点、直线、平面之间的位置关系》参考答案与试题解析一．选择题（共37小题）1．如图所示，用符号语言可表达为（）A．α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝A B．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝AC．α∩β＝m，n⊂α，A⊂m，A⊂n D．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n【分析】结合图形考查两个平面的位置关系、两条直线的位置关系，以及点与线、线与面的位置关系．【解答】解：如图所示，两个平面α与β相交于直线m，直线n在平面α内，直线m和直线n相交于点A，故用符号语言可表达为α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝A，故选：A．【点评】本题考查平面的画法及表示，点、线、面之间的位置关系的符号表示．2．两个平面能把空间分成几个部分（）A．2或3B．3或4C．3D．2或4【分析】根据平面之间的关系，即可得到结论．【解答】解：若两个平面平行，此时两个平面把空间分成3个平面，若两个平面相交，此时两个平面把空间分成4个平面，故两个平面能把空间分成3个或4个部分，故选：B．【点评】本题主要考查平面的概念以及平面的基本性质的应用．3．如果A点在直线a上，而直线a在平面α内，点B在α内，可以表示为（）A．A⊂a，a⊂α，B∈αB．A∈a，a⊂α，B∈αC．A⊂a，a∈α，B⊂αD．A∈a，a∈α，B∈α【分析】直接按照平面内点、线、面的位置关系，写出结果即可．【解答】解：A点在直线a上，而直线a在平面α内，点B在α内，表示为：A∈a，a⊂α，B∈α．故选：B．【点评】本题考查空间中，点、线、面的符号表示方法，基本知识的考查．4．若点B在直线b上，b在平面β内，则B、b、β之间的关系可记作（）A．B∈b∈βB．B∈b⊂βC．B⊂b⊂βD．B⊂b∈β【分析】由题意，点B在直线b上，b在平面β内，点与面之间的关系是属于关系，线与面之间的关系是包含关系，由此三者之间的关系易得【解答】解：由题意，点B在直线b上，b在平面β内，则B、b、β之间的关系可记作B∈b⊂β故选：B．【点评】本题考查平面的概念及表示，解题的关键是理解平面的概念及平面中点线面之间表示的符号，本题是基础概念考查题，对点线面间关系规范书写是解题的重点5．若A，B表示点，a表示直线，α表示平面，则下列叙述中正确的是（）A．若A⊂α，B⊂α，则AB⊂αB．若A∈α，B∈α，则AB∈αC．若A∉a，a⊂α，则AB∉αD．若A∈a，a⊂α，则A∈α【分析】本题要正确应用点，线，面之间的关系和符号表示，利用公理一判断即可．【解答】解：点与面的关系用符号∈，而不是⊂，所以答案A错误；直线与平面的关系用⊂表示，则AB∈α表示错误；点A不在直线a上，但只要A，B都在平面α内，也存在AB⊂α，答案C错误；而A∈a，a⊂α，则A∈α，所以答案D正确．故选：D．【点评】立体几何图形语言、符号语言、文字语言之间三者之间相互转化，对公理一要准确理解到位．6．经过空间不共线的四点，可确定的平面个数是（）A．1B．4C．1或4D．1或3【分析】分四个点在一个面和三个点在一个面，另一个点在平面外三种情况讨论．【解答】解：当这四个点在一个平面内时候，确定一个平面；当三个点在一个平面上，另一个点在平面外时候，确定四个平面，可想象一些三棱锥的样子．故选：C．。

《必修2》第二章“点、直线、平面之间的位置关系”测试题(含答案)

《必修2》第二章“点、直线、平面之间的位置关系”测试题一、选择题：(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的)1.若直线l 不平行于平面α，则下列结论成立的是（）A.α内所有的直线都与l 异面B.α内不存在与l 平行的直线C.α内所有的直线都与l 相交D.直线l 与平面α有公共点 2. 给出下列命题：（1）和直线a 都相交的两条直线在同一个平面内；（2）三条两两相交的直线在同一平面内；（3）有三个不同公共点的两个平面重合；（4）两两平行的三条直线确定三个平面．其中正确命题的个数是（） A ．0B ．1C ．2D ．33.空间四边形ABCD 中，若AB AD AC CB CD BD =====，则AC 与BD 所成角为( )A.030B.045C.060D.090 4.给出下列命题：（1）直线l 与平面α不平行，则l 与平面α内的所有直线都不平行；（2）直线l 与平面α不垂直，则l 与平面α内的所有直线都不垂直；（3）异面直线,a b 不垂直，则过直线a 的任何平面与直线b 都不垂直；（4）若直线a 和b 共面，直线b 和c 共面，则a 和c 共面其中错误命题的个数为（）A.0B.1C.2D.35．正方体1111ABCD A B C D -中，与对角线1AC 异面的棱有（）条 A.3 B.4 C.6 D.86. 点P 为ABC ∆所在平面外一点，PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，若PA PB PC ==，则点O 是ABC ∆的（）BA.内心B.外心C.重心D.垂心 7.如图长方体中，AB AD ==1CC =，则二面角 1C BD C --的大小为（）A ．300B.450C.600D.900AB CD A 1B 11D 18.已知直线,,a b c 及平面,αβ，下列命题正确的是（）A.若,,,a b c a c b αα⊂⊂⊥⊥，则c α⊥B.若,//b a b α⊂ ，则//a αC.若//,a b ααβ=，则//a b D.若,a b αα⊥⊥，则//a b9.平面α与平面β平行的条件可以是（）A.α内有无穷多条直线与β平行；B.直线l //α,l //βC.直线m α⊂,直线n β⊂,且m //β,n //αD.α内的任何直线都与β平行 10. 如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：①BM 与ED 平行． ②CN 与BE 是异面直线．③CN 与BM 成60˚角． ④DM 与BN 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是（）Ａ．①②③ Ｂ．②④ Ｃ．③④Ｄ．②③④二、填空题：(本大题共5个小题，每小题5分，共25分)11．已知两条相交直线a ，b ，a α平面∥则b 与α的位置关系是．12．空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，若AC BD a ==，且AC 与BD 所成的角为90，则四边形EFGH 的面积是． 13．如图，ABC 是直角三角形，90ABC ∠=，P A ⊥平面ABC ，此图形中有个直角三角形.14．已知a b ，是一对异面直线，且a b ，成70角，P 为空间一定点，则在过P 点的直线中与a b ，所成的角都为70的直线有条．15．已知平面αβ//，P 是平面αβ，外的一点，过点P 的直线m 与平面αβ，分别交于A C ，两点，过点P 的直线n 与平面αβ，分别交于B D ，两点，若698PA AC PD ===，，，则BD 的长为。

高中数学必修二单元测试：空间点、线、面之间的位置关系word版含答案

空间点、线、面之间的位置关系单元测试一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．“点P在直线m上，m在平面α内”可表示为( )A．P∈m，m∈αB．P∈m，m⊂αC．P⊂m，m∈αD．P⊂m，m⊂α解析：选B 点在直线上用“∈”，直线在平面上用“⊂”，故选B.2．(2018·平阳期末)已知a，b是异面直线，直线c∥直线a，那么c与b( )A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线解析：选C 由平行直线公理可知，若c∥b，则a∥b，与a，b是异面直线矛盾．所以c与b不可能是平行直线．3．空间四边形两对角线的长分别为6和8，所成的角为45°，连接各边中点所得四边形的面积是( ) A．6 2 B．12C．12 2 D．24 2解析：选A 如图，已知空间四边形ABCD，设对角线AC＝6，BD＝8，易证四边形EFGH为平行四边形，∠EFG或∠FGH为AC与BD所成的45°角，故S四边形EFGH＝3×4·sin 45°＝62，故选A.4.如图所示，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，既与AB共面又与CC1共面的棱有________条；与AB异面的棱有________条．解析：依题意，与AB和CC1都相交的棱有BC；与AB相交且与CC1平行有棱AA1，BB1；与AB平行且与CC1相交的棱有CD，C1D1.故符合条件的有5条．与AB异面的棱有CC1，DD1，B1C1，A1D1，共4条．答案：5 45.如图，在三棱锥ABCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点M，N分别为AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是________．解析：如图所示，连接DN，取线段DN的中点，连接M ，C .∵M 为AD 的中点，∴M ∥AN ，∴∠ MC 为异面直线AN ，CM 所成的角．∵AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝3，AD ＝BC ＝2，N 为BC 的中点，由勾股定理易求得AN ＝DN ＝CM ＝22，∴M ＝ 2.在Rt △C N 中，C ＝ 2 2＋12＝ 3.在△C M 中，由余弦定理，得cos ∠ MC ＝2 2＋ 22 2－3 22×2×22＝78. 答案：78二保高考，全练题型做到高考达标1．已知A ，B ，C ，D 是空间四点，命题甲：A ，B ，C ，D 四点不共面，命题乙：直线AC 和BD 不相交，则甲是乙成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 若A ，B ，C ，D 四点不共面，则直线AC 和BD 不共面，所以AC 和BD 不相交；若直线AC 和BD 不相交，若直线AC 和BD 平行时，A ，B ，C ，D 四点共面，所以甲是乙成立的充分不必要条件．2．(2018·宁波模拟)如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是BC 1，CD 1的中点，则下列说法错误的是( )A ．MN 与CC 1垂直B ．MN 与AC 垂直 C ．MN 与BD 平行D ．MN 与A 1B 1平行解析：选D 如图，连接C 1D ，在△C 1DB 中，MN ∥BD ，故C 正确；因为CC 1⊥平面ABCD ，所以CC 1⊥BD ，所以MN 与CC 1垂直，故A 正确；因为AC ⊥BD ，MN ∥BD ，所以MN 与AC 垂直，故B 正确；因为A 1B 1与BD 异面，MN ∥BD ，所以MN 与A 1B 1不可能平行，故D 错误．3．下列命题中，真命题的个数为( )①如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点，那么这两个平面重合；②两条直线可以确定一个平面；③空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内；④若M ∈α，M ∈β，α∩β＝l ，则M ∈l .A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 根据公理2，可判断①是真命题；两条异面直线不能确定一个平面，故②是假命题；在空间，相交于同一点的三条直线不一定共面(如墙角)，故③是假命题；根据平面的性质可知④是真命题．综上，真命题的个数为2.4.如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M 为棱D 1C 1的中点．设AM 与平面BB 1D 1D 的交点为O ，则( )A ．三点D1，O ，B 共线，且OB ＝2OD 1B ．三点D 1，O ，B 不共线，且OB ＝2OD 1C ．三点D 1，O ，B 共线，且OB ＝OD 1D ．三点D 1，O ，B 不共线，且OB ＝OD 1解析：选A 连接A 1M 与B 1D 1交于点H ，连接OH .因为△MD 1H 与△A 1B 1H 相似，所以D 1HHB 1＝D 1M A 1B 1＝MH A 1H ＝12.因为OH ∥A 1A ，所以OH AA 1＝MH MA 1＝13，所以OH ＝13AA 1，所以OH ＝13B 1B ，且OH ∥BB 1，所以由三角形相似可知，D 1，O ，B 三点共线，且OB ＝2OD 1.5．已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是A 1D 1，A 1C 1的中点，则异面直线AE 和CF 所成的角的余弦值为() A.32 B ．33010C.3010 D.12解析：选C 如图，设正方体的棱长为a ，取线段AB 的中点M ，连接CM ，MF ，EF .则MF綊AE，所以∠CFM即为所求角或所求角的补角．在△CFM中，MF＝CM＝52a，CF＝62a，根据余弦定理可得cos∠CFM＝30 10，所以可得异面直线AE与CF所成的角的余弦值为3010.故选C.6．如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面直线的对数为________对．解析：平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，CD，EF和GH在原正方体中，显然AB 与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行．故互为异面的直线有且只有3对．答案：37．(2018·福建六校联考)设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；④若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线．上述命题中正确的命题是_______(写出所有正确命题的序号)．解析：由公理4知①正确；当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行或异面，故②错；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故③错；a⊂α，b⊂β，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故④错．答案：①8.如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________．解析：取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD，因为C是圆柱下底面弧AB的中点，所以AD∥BC，所以直线AC 1与AD 所成角等于异面直线AC 1与BC 所成角，因为C 1是圆柱上底面弧A 1B 1的中点，所以C 1D ⊥圆柱下底面，所以C 1D ⊥AD ，因为圆柱的轴截面ABB 1A 1是正方形，所以C 1D ＝2AD ，所以直线AC 1与AD 所成角的正切值为2，所以异面直线AC 1与BC 所成角的正切值为 2. 答案： 29．(2018·舟山模拟)在空间四边形ABCD 中，已知AD ＝1，BC ＝3，且AD ⊥BC ，对角线BD ＝132，AC ＝32，求AC 和BD 所成的角．解：如图，分别取AD ，CD ，AB ，BD 的中点E ，F ，G ，H ，连接EF ，FH ，HG ，GE ，GF .由三角形的中位线定理知，EF ∥AC ，且EF ＝34， GE ∥BD ，且GE ＝134，GE 和EF 所成的锐角(或直角)就是AC 和BD 所成的角．同理，GH ∥AD ，HF ∥BC ，GH ＝12，HF ＝32. 又AD ⊥BC ，所以∠GHF ＝90°，所以GF 2＝GH 2＋HF 2＝1.在△EFG 中，GE 2＋EF 2＝1＝GF 2，所以∠GEF ＝90°，即AC 和BD 所成的角为90°.10.如图所示，在三棱锥P ABC 中，PA ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点．已知∠BAC ＝90°，AB ＝2，AC ＝23，PA ＝2.求：(1)三棱锥P ABC 的体积；(2)异面直线BC 与AD 所成角的余弦值．解：(1)S △ABC ＝12×2×23＝23，故三棱锥P ABC 的体积为V ＝13·S △ABC ·PA ＝13×23×2＝433. (2)如图所示，取PB 的中点E ，连接DE ，AE ，则DE ∥BC ，所以∠ADE (或其补角)是异面直线BC 与AD 所成的角．在△ADE 中，DE ＝2，AE ＝2，AD ＝2，则cos ∠ADE ＝DE 2＋AD 2－AE 22DE ·AD ＝22＋22－22×2×2＝34. 即异面直线BC 与AD 所成角的余弦值为34. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．如图是三棱锥D ABC 的三视图，点O 在三个视图中都是所在边的中点，则异面直线DO 和AB 所成角的余弦值等于( )A.33 B ．12C. 3D.22 解析：选A 由三视图及题意得如图所示的直观图，从A 出发的三条线段AB ，AC ，AD 两两垂直且AB ＝AC ＝2，AD ＝1，O 是BC 中点，取AC 中点E ，连接DE ，DO ，OE ，则OE ＝1，又可知AE ＝1，由于OE ∥AB ，故 ∠DOE 即为所求两异面直线所成的角或其补角．在直角三角形DAE 中，DE ＝2，由于O 是中点，在直角三角形ABC 中可以求得AO ＝2，在直角三角形DAO 中可以求得DO ＝ 3.在三角形DOE 中，由余弦定理得cos ∠DOE ＝1＋3－22×1×3＝33，故所求余弦值为33. 2．如图所示，三棱柱ABC A 1B 1C 1，底面是边长为2的正三角形，侧棱A 1A ⊥底面ABC ，点E ，F 分别是棱CC 1，BB 1上的点，点M 是线段AC 上的动点，EC ＝2FB ＝2.(1)当点M 在何位置时，BM ∥平面AEF?(2)若BM ∥平面AEF ，判断BM 与EF 的位置关系，说明理由；并求BM 与EF 所成的角的余弦值．解：(1)法一：如图所示，取AE的中点O，连接OF，过点O作OM⊥AC于点M.因为侧棱A1A⊥底面ABC，所以侧面A1ACC1⊥底面ABC.又因为EC＝2FB＝2，所以OM∥FB∥EC且OM＝12EC＝FB，所以四边形OMBF为矩形，BM∥OF.因为OF⊂平面AEF，BM⊄平面AEF，故BM∥平面AEF，此时点M为AC的中点．法二：如图所示，取EC的中点P，AC的中点Q，连接PQ，PB，BQ.因为EC＝2FB＝2，所以PE綊BF，所以PQ∥AE，PB∥EF，所以PQ∥平面AFE，PB∥平面AEF，因为PB∩PQ＝P，PB，PQ⊂平面PBQ，所以平面PBQ∥平面AEF.又因为BQ⊂平面PBQ，所以BQ∥平面AEF.故点Q即为所求的点M，此时点M为AC的中点．(2)由(1)知，BM与EF异面，∠OFE(或∠MBP)就是异面直线BM与EF所成的角或其补角．易求AF＝EF＝5，MB＝OF＝3，OF⊥AE，所以cos∠OFE＝OFEF＝35＝155，所以BM与EF所成的角的余弦值为155.。

高中数学必修二点线面间的位置关系检测题及参考答案

高中数学必修二阶段质量检测（二）点、直线、平面之间的位置关系(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．分别在两个平行平面内的两条直线间的位置关系不可能为()A．平行B．相交C．异面D．垂直【答案】B。

【解析】因为两平行平面没有公共点，所以两直线没有公共点，所以两直线不可能相交．2．设BD1是正方体ABCD-A1B1C1D1的一条对角线，则这个正方体中面对角线与BD1异面的有()A．0条B．4条C．6条D．12条【答案】C。

【解析】每个面中各有一条对角线与BD1异面，它们是：AC，A1C1，B1C，A1D，AB1，DC1.3．下列说法不正确的是()A．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B．同一平面的两条垂线一定共面C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一平面内D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直【答案】D。

【解析】如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AD⊥平面DCC1D1，因此平面ABCD、平面AA1D1D均与平面DCC1D1垂直，而且平面AA1D1D∩平面ABCD＝AD，显然选项D不正确，故选D.4．已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是() A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面【答案】D。

【解析】A项，α，β可能相交，故错误；B项，直线m，n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；C项，若m⊂α，α∩β＝n，m∥n，则m∥β，故错误；D项，假设m，n垂直于同一平面，则必有m∥n，所以原命题正确，故正确．5．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于()A．AC B．BD C．A1D D．A1D1【答案】选B【解析】CE⊂平面ACC1A1，而BD⊥AC，BD⊥AA1，∴BD⊥平面ACC1A1，∴BD⊥CE.6．已知在四面体ABCD中，E，F分别是AC，BD的中点，若AB＝2，CD＝4，EF ⊥AB，则EF与CD所成的角的度数为()A．90°B．45°C．60°D．30°【答案】D【解析】取BC的中点G，连接EG，FG，则EG＝1，FG＝2，EF⊥EG，则EF与CD所成的角等于∠EFG，为30°.7.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，D，E分别是棱BC，AB的中点，点F在棱CC1上，AB＝BC＝CA＝CF＝2，AA1＝3，则下列说法正确的是() A．设平面ADF与平面BEC1的交线为l，则直线EC1与l相交B．在棱A1C1上存在点N，使得三棱锥N-ADF的体积为3 7C．设点M在BB1上，当BM＝1时，平面CAM⊥平面ADFD．在棱A1B1上存在点P，使得C1P⊥AF【答案】C【解析】连接CE交AD于点O，则O为△ABC的重心，连接OF.由已知得OF∥EC1，则EC1∥l，故A错；若在A1C1上存在点N，则V N-ADF＝V D-AFN，当N与C1重合时，V D-AFN取最小值为36，故B错；当BM＝1时，可证得△CBM≌△FCD，则∠BCM＋∠CDF＝90°，即CM⊥DF.又∵AD⊥平面CBB1C1，CM⊂平面CBB1C1，∴AD⊥CM.∵DF∩AD＝D，∴CM⊥平面ADF.∵CM⊂平面CAM，∴平面CAM⊥平面ADF，故C正确；过C1作C1G∥FA交AA1于点G.若在A1B1上存在点P，使得C1P⊥AF，则C1P⊥C1G.又∵C1P⊥GA1，C1G∩GA1＝G，∴C1P⊥平面A1C1G.∵A1C1⊂平面A1GC1，∴C1P⊥A1C1，矛盾，故D错．故选C.8．在四面体ABCD 中，已知棱AC 的长为 2 ，其余各棱长都为1，则二面角A -CD -B 的余弦值为( ) A.12 B.13 C.33 D.23【答案】C【解析】取AC 的中点E ，CD 的中点F ，则EF ＝12，BE ＝22，BF ＝32， ∴△BEF 为直角三角形，cos θ＝EF BF ＝33. 9.如图，平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AB 与平面α，β所成的角分别为45°和30°，过A ，B 分别作两平面交线的垂线，垂足分别为A ′，B ′，若AB ＝12，则A ′B ′等于( )A ．4B ．6C ．8D ．9【答案】B【解析】连接AB ′，BA ′，则∠BAB ′＝45°，∠ABA ′＝30°.在Rt △ABB ′中，AB ＝12，可得BB ′＝6 2.在Rt △ABA ′中，可得BA ′＝6 3.故在Rt △BA ′B ′中，可得A ′B ′＝6.10．矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B -AC -D ，则四面体ABCD 的外接球的体积为( )A.125π12B.125π9C.125π6D.125π3【答案】C【解析】球心O 为AC 中点，半径为R ＝12AC ＝52，V ＝43πR 3＝125π6. 11．如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，∠BCD ＝45°，∠BAD ＝90°，将△ABD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成四面体ABCD ，则在四面体ABCD 中，下列结论正确的是( )A ．平面ABD ⊥平面ABCB ．平面ADC ⊥平面BDCC ．平面ABC ⊥平面BDCD ．平面ADC ⊥平面ABC【答案】D【解析】易知△BCD中，∠DBC＝45°，∴∠BDC＝90°，又平面ABD⊥平面BCD，而CD⊥BD，∴CD⊥平面ABD，∴AB⊥CD，而AB⊥AD，CD∩AD＝D，∴AB⊥平面ACD，∴平面ABC⊥平面ACD.12．(2019·全国卷Ⅲ)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则()A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线【答案】B【解析】如图，取CD的中点F，DF的中点G，连接EF，FN，MG，GB.∵△ECD是正三角形，∴EF⊥CD.∵平面ECD⊥平面ABCD，平面ECD∩平面ABCD＝CD，EF⊂平面ECD，∴EF⊥平面ABCD.∴EF⊥FN.不妨设AB＝2，则FN＝1，EF＝3，∴EN＝FN2＋EF2＝2.∵EM＝MD，DG＝GF，∴MG∥EF且MG＝12EF，∴MG⊥平面ABCD，∴MG⊥BG.∵MG＝12EF＝32，BG＝CG2＋BC2＝2235222⎛⎫+=⎪⎝⎭，∴BM＝MG2＋BG2＝7，∴BM≠EN.连接BD，BE，∵点N是正方形ABCD的中心，∴点N在BD上，且BN＝DN，∴BM，EN是△DBE的中线，∴BM，EN必相交．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．设正三角形ABC的边长为a，PA⊥平面ABC，PA＝AB，则A到平面PBC的距离为________．【答案】217a 【解析】如图所示，取BC 中点E ，连接AE ，PE ，则AE ⊥BC ，又BC ⊥PA ，∴BC ⊥平面PAE .∴平面PAE ⊥平面PBC .在平面PAE 内过A 作AF ⊥PE ，垂足为F ，则AF ⊥平面PBC .则AF ＝PA ·AE PE ＝217a . 14．如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱AA 1和AB 上的点，若∠B 1MN 是直角，则∠C 1MN 等于________．【答案】90°【解析】∵B 1C 1⊥平面A 1ABB 1，MN ⊂平面A 1ABB 1，∴B 1C 1⊥MN ，又∠B 1MN 为直角．∴B 1M ⊥MN ，而B 1M ∩B 1C 1＝B 1.∴MN ⊥平面MB 1C 1，又MC 1⊂平面MB 1C 1，∴MN ⊥MC 1，∴∠C 1MN ＝90°.15．如图，圆锥SO 中，AB 、CD 为底面圆的两条直径，AB ∩CD ＝O ，且AB ⊥CD ，SO ＝OB ＝2，P 为SB 的中点，则异面直线SA 与PD 所成角的正切值为________．【答案】 2【解析】连接PO ，则PO ∥SA ，∴∠OPD 即为异面直线SA 与PD 所成的角，且△OPD 为直角三角形，∠POD 为直角，∴tan ∠OPD ＝OD OP ＝22＝ 2. 16．(2019·全国卷Ⅰ)已知∠ACB ＝90°，P 为平面ABC 外一点，PC ＝2，点P 到∠ACB 两边AC ，BC 的距离均为3，那么P 到平面ABC 的距离为________．【答案】 2【解析】如图，过点P 作PO ⊥平面ABC 于O ，则PO 为P 到平面ABC 的距离．再过O 作OE ⊥AC 于E ，OF ⊥BC 于F ，连接PC，PE，PF，则PE⊥AC，PF⊥BC.又PE＝PF＝3，所以OE＝OF，所以CO为∠ACB的平分线，即∠ACO＝45°.在Rt△PEC中，PC＝2，PE＝3，所以CE＝1，所以OE＝1，所以PO＝PE2－OE2＝(3)2－12＝ 2.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，且E、F分别是AB、BD的中点．求证：(1)EF∥平面ACD；(2)平面EFC⊥平面BCD.证明：(1)∵E，F分别是AB，BD的中点，∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD，∵EF⊄平面ACD，AD⊂平面ACD，∴EF∥平面ACD.(2)∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD.∵CB＝CD，F是BD的中点，∴CF⊥BD.又EF∩CF＝F，∴BD⊥平面EFC.∵BD⊂平面BCD，∴平面EFC⊥平面BCD.18．(本小题满分12分)(2019·全国卷Ⅰ)如图，直四棱柱ABCD -A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．(1)证明：MN∥平面C1DE；(2)求点C到平面C1DE的距离．解：(1)证明：连接B1C，ME.因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以ME∥B1C，且ME＝12B1C.又因为N为A1D的中点，所以ND＝12A1D.由题设知A1B1綊DC，可得B1C綊A1D，故ME綊ND，因此四边形MNDE为平行四边形，所以MN∥ED.又MN⊄平面C1DE，所以MN∥平面C1DE.(2)过点C作C1E的垂线，垂足为H.由已知可得DE⊥BC，DE⊥C1C，所以DE⊥平面C1CE，故DE⊥CH.从而CH⊥平面C1DE，故CH的长即为点C到平面C1DE的距离．由已知可得CE＝1，C1C＝4，所以C1E＝17，故CH＝41717.从而点C到平面C1DE的距离为41717.19．(本小题满分12分)矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为CD的中点，沿AE将△DAE折起到△D1AE的位置，使平面D1AE⊥平面ABCE.(1)若F为线段D1A的中点，求证：EF∥平面D1BC；(2)求证：BE⊥D1A.证明：(1)取AB的中点G，连接EG、FG，则EG∥BC，FG∥D1B，且EG∩FG＝G，EG、FG⊂平面EFG；D1B∩BC＝B，D1B、BC⊂平面D1BC.∴平面EFG∥平面D1BC，注意到EF⊂平面EFG，∴EF∥平面D1BC.(2)易证BE⊥EA，平面D1AE⊥平面ABCE，平面D1AE∩平面ABCE＝AE，∴BE⊥平面D1AE，且D1A⊂平面D1AE，∴BE⊥D1A.20．(本小题满分12分)在三棱锥S-ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC且分别交AC、SC于D、E，又SA＝AB，SB＝BC.(1)求证：BD⊥平面SAC；(2)求二面角E-BD-C的大小．解：(1)证明：如图，∵DE⊥SC，且E为SC的中点，又SB＝BC，∴BE⊥S C.又DE∩BE＝E，根据直线与平面垂直的判定定理知SC⊥平面BDE，BD⊂平面BDE，∴SC⊥BD.又SA⊥平面ABC，BD⊂平面ABC，∴SA⊥BD.又SA∩SC＝S，∴BD⊥平面SAC.(2)由(1)知∠EDC为二面角E-BD-C的平面角，又△SAC∽△DEC，∴∠EDC＝∠ASC.在Rt△SAB中，∠SAB＝90°，设SA＝AB＝1，则SB＝ 2.由SA⊥BC，AB⊥BC，AB∩SA＝A，∴BC⊥平面SAB，SB⊂平面SAB，∴BC⊥SB.在Rt△SBC中，SB＝BC＝2，∠SBC＝90°，则SC＝2.在Rt△SAC中，∠SAC＝90°，SA＝1，SC＝2.∴cos∠ASC＝SASC＝12.∴∠ASC＝60°，即二面角E-BD-C的大小为60°.21．(本小题满分12分)如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF ∥AC，AB＝2，CE＝EF＝1.(1)求证：AF∥平面BDE；(2)求证：CF⊥平面BDE.证明：(1)设AC与BD交于点O，连接EO，∵EF∥AC，且EF＝1，AO＝12AC＝1，∴四边形AOEF为平行四边形，∴AF∥OE.∵OE⊂平面BDE，AF⊄平面BDE，∴AF∥平面BDE.(2)连接FO，∵EF∥CO，EF＝CO＝1，且CE＝1，∴四边形CEFO为菱形，∴CF⊥EO.∵四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC.又平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，∴BD⊥平面ACEF，∴CF⊥BD. 又BD∩EO＝O，∴CF⊥平面BDE.22．(本小题满分12分)如图，已知空间几何体ABCDE中，△BCD与△CDE均为边长为2的等边三角形，△ABC为腰长为3的等腰三角形，平面CDE⊥平面BCD，平面ABC ⊥平面BCD.(1)试在平面BCD内作一条直线，使得直线上任意一点F与E的连线EF均与平面ABC平行，并给出详细证明；(2)求三棱锥E-ABC的体积．解：(1)取DC的中点N，取BD的中点M，连接MN，EN，EM，则直线MN即为所求．取BC的中点H，连接AH，∵△ABC为腰长为3的等腰三角形，H为BC的中点，∴AH⊥BC.又平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，AH⊂平面ABC，∴AH⊥平面BCD，同理，可证EN⊥平面BCD，∴EN∥AH.∵EN⊄平面ABC，AH⊂平面ABC，∴EN∥平面ABC.又M，N分别为BD，DC的中点，∴MN∥BC.∵MN⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，∴MN∥平面ABC.又MN∩EN＝N，MN⊂平面EMN，EN⊂平面EMN，∴平面EMN∥平面ABC.又EF⊂平面EMN，∴EF∥平面ABC.(2)连接DH，取CH的中点G，连接NG，则NG∥DH，NG＝12DH，由(1)可知，EN∥平面ABC，∴点E到平面ABC的距离与点N到平面ABC的距离相等．又△BCD是边长为2的等边三角形，∴DH⊥BC，又平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，DH⊂平面BCD，∴DH⊥平面ABC，∴NG⊥平面ABC.又DH＝3，∴NG＝3 2.又AC＝AB＝3，BC＝2，∴AH＝22，∴S△ABC＝12·BC·AH＝22，∴V E-ABC＝V N-ABC＝13·S△ABC·NG＝63.。

人教版高中数学必修二第二章《点、直线、平面之间的位置关系》(含答案)

人教版高中数学必修二第二章《点、直线、平面之前的位置关系》（含答案）一、选择题1．下列说法：①两个相交平面所组成的图形叫做二面角；②二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角；③二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置有关系．其中正确的个数是()A．0B．1C．2 D．3【解析】根据二面角的定义知①②③都不正确．【答案】A2．如图2326，P A垂直于矩形ABCD所在的平面，则图中与平面PCD垂直的平面是()图2326A．平面ABCDB．平面PBCC．平面P ADD．平面PBC【解析】由P A⊥平面ABCD得P A⊥CD，由四边形ABCD为矩形得CD⊥AD，从而有CD⊥平面P AD，所以平面PCD⊥平面P AD.故选C.【答案】C3．在四面体ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，ABDC为直二面角，E是CD的中点，则∠AED的度数为() A．45°B．30°C．60°D．90°【解析】如图，设AB＝BC＝CD＝AD＝a，取BD的中点为F，连接AF，CF，则由题意可得AF＝CF＝22a.在Rt△AFC中，易得AC＝a，∴△ACD为正三角形．又∵E是CD的中点，∴AE⊥CD，即∠AED＝90°.【答案】D4．如图2327，AB是圆的直径，P A垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A、B)且P A＝AC，则二面角PBCA的大小为()图2327A．60°B．30°C．45°D．15°【解析】由条件得：P A⊥BC，AC⊥BC，又P A∩AC＝A，∴BC⊥平面P AC，∴∠PCA为二面角PBCA的平面角．在Rt△P AC 中，由P A＝AC得∠PCA＝45°，∴C对．【答案】C5．如图2328，在三棱锥P ABC中，已知PC⊥BC，PC⊥AC，点E，F，G分别是所在棱的中点，则下面结论中错误的是()图2328A．平面EFG∥平面PBCB．平面EFG⊥平面ABCC．∠BPC是直线EF与直线PC所成的角D．∠FEG是平面P AB与平面ABC所成二面角的平面角【解析】A正确，∵GF∥PC，GE∥CB，GF∩GE＝G，PC∩CB＝C，∴平面EFG∥平面PBC；B正确，∵PC⊥BC，PC⊥AC，PC∥GF，∴GF⊥BC，GF⊥AC，又BC∩AC＝C，∴GF⊥平面ABC，∴平面EFG⊥平面ABC；C正确，易知EF∥BP，∴∠BPC是直线EF与直线PC所成的角；D错误，∵GE与AB不垂直，∴∠FEG不是平面P AB与平面ABC 所成二面角的平面角．【答案】D二、填空题6．如图239，平面α∩β＝CD ，EA ⊥α，垂足为A ，EB ⊥β，垂足为B ，则CD 与AB 的位置关系是________．图239【解析】 ∵EA ⊥α，CD ⊂α，根据直线和平面垂直的定义，则有CD ⊥EA .同样，∵EB ⊥β，CD ⊂β，则有EB ⊥CD .又EA ∩EB ＝E ，∴CD ⊥平面AEB .又∵AB ⊂平面AEB ，∴CD ⊥AB .【答案】 CD ⊥AB7．如图2310所示，P A ⊥平面ABC ，在△ABC 中，BC ⊥AC ，则图中直角三角形的个数有________．图2310【解析】 BC ⊂平面ABC PA ⊥平面ABC ⇒PA ∩AC ＝A AC ⊥BC ⇒BC ⊥平面P AC ⇒BC ⊥PC ，∴直角三角形有△P AB 、△P AC 、△ABC 、△PBC .【答案】 4三、解答题8．如图2211所示的几何体中，△ABC 是任意三角形，AE ∥CD ，且AE＝AB＝2a，CD＝a，F为BE的中点，求证：DF∥平面ABC.图2211【证明】如图所示，取AB的中点G，连接FG，CG，∵F，G分别是BE，AB的中点，∴FG∥AE，FG＝21AE.又∵AE＝2a，CD＝a，∴CD＝21AE.又AE∥CD，∴CD∥FG，CD＝FG，∴四边形CDFG为平行四边形，∴DF∥CG.又CG⊂平面ABC，DF⊄平面ABC，∴DF∥平面ABC.9．如图2212所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，点D，E分别是BC与B1C1的中点．求证：平面A1EB∥平面ADC1.图2212【证明】由棱柱性质知，B1C1∥BC，B1C1＝BC，又D，E分别为BC，B1C1的中点，所以C1E═∥DB，则四边形C1DBE为平行四边形，因此EB∥C1D，又C1D⊂平面ADC1，EB⊄平面ADC1，所以EB∥平面ADC1.连接DE，同理，EB1═∥BD，所以四边形EDBB1为平行四边形，则ED═∥B1B.因为B1B═∥A1A(棱柱的性质)，所以ED═∥A1A，则四边形EDAA1为平行四边形，所以A1E∥AD，又A1E⊄平面ADC1，AD⊂平面ADC1，所以A1E∥平面ADC1.由A1E∥平面ADC1，EB∥平面ADC1.A1E⊂平面A1EB，EB⊂平面A1EB，且A1E∩EB＝E，所以平面A1EB∥平面ADC1.10．如图2213，正方体EFGHE1F1G1H1中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是()图2213A．平面E1FG1与平面EGH1B．平面FHG1与平面F1H1GC．平面F1H1H与平面FHE1D．平面E1HG1与平面EH1G【解析】正方体中E1F∥H1G，E1G1∥EG，从而可得E1F∥平面EGH1，E1G1∥平面EGH1，所以平面E1FG1∥平面EGH1.【答案】A11．如图2214所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，若D是棱CC1的中点，E是棱BB1的中点，问在棱AB上是否存在一点F，使平面DEF ∥平面AB1C1？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由．图2214【解】存在点F，且F为AB的中点．理由如下：如图，取AB的中点F，连接DF，EF，因为四边形BCC1B1是平行四边形，所以BB1∥CC1，且BB1＝CC1，因为D，E分别是CC1和BB1的中点，所以C1D∥B1E且C1D＝B1E，所以四边形B1C1DE是平行四边形，所以DE∥B1C1，又DE⊄平面AB1C1，B1C1⊂平面AB1C1.所以DE∥平面AB1C1.因为E，F分别是BB1，AB的中点，所以EF∥AB1.又EF⊄平面AB1C1，AB1⊂平面AB1C1.所以EF∥平面AB1C1.又DE⊂平面DEF，EF⊂平面DEF，且DE∩EF＝E，所以平面DEF∥平面AB1C1.。

高二数学点线面的位置关系试题答案及解析

高二数学点线面的位置关系试题答案及解析1.如图，在直三棱柱中，，，分别为和的中点.（1）求证：平面；（5分）（2）求三棱锥的体积.（7分）【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】（1）这是常规题，只要在平面寻找到一条直线与平行即可，通常是通过再取中点构造中位线和平行四边形来达到证题目的，这题就是如此；（2）经常是通过体积计算来考查等积变换思想，三棱锥的体积，关键是三棱椎的高，直接求有难度，可通过变换顶点达到有利于求高的目的，这里就是转化为求三棱锥的体积来实现的.试题解析：（1）取边中点，连、，则，且，所以四边形是平行四边形，，且平面，平面. 5分（2）在等腰三角形中，易知⊥，又，∴平面由（1），平面又，，. 12分【考点】1.立体几何中线面位置关系的证明；2.几何体的体积计算，3.等积变换的思想.2.如图，斜三棱柱的底面是直角三角形，,点在底面内的射影恰好是的中点，且(1)求证:平面平面;(2)若，求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】解题思路：（1）作出辅助线，利用线面垂直的判定定理证明即可；（2）合理转化三棱锥的顶点和底面，利用体积法求所求的点到平面的距离.规律总结：对于空间几何体中的垂直、平行关系的判定，要牢牢记住并灵活进行转化，线线关系是关键；涉及点到平面的距离问题，往往转化三棱锥的顶点，利用体积法求距离.试题解析：(1)取中点，连接，则面，，（2）设点到平面的距离，,【考点】1.空间中垂直的判定；2.点到平面的距离.3.如图所示，正三棱锥中，分别是的中点，为上任意一点，则直线与所成的角的大小是 ( )A．B．C．D．随点的变化而变化.【答案】B【解析】连接,因为为正三棱锥，所以，则有,所以，即直线与所成的角的大小是.【考点】（1）线面垂直的判定与性质应用；（2）线线角.4.设m，n是两条不同的直线，、、是三个不同的平面，给出下列命题，正确的是（）. A．若，，则B．若，，则C．若，，则D．若，，，则【答案】B.【解析】对于A选项，可能m与相交或平行，对于选项B，由于，则在内一定有一直线设为与平行，又，则，又，根据面面垂直的判定定理，可知，故B选项正确，对于C选项，可能有，对于D选项，可能与相交.【考点】线面间的位置关系5.如图,在四棱锥中,⊥底面,四边形是直角梯形,⊥,∥,,.(1)求证:平面⊥平面；(2)求点C到平面的距离；(3)求PC与平面PAD所成的角的正弦值。

2必修二点线面之间的位置关系测试题含答案1130

第二章点、直线、平面之间的位置关系一、选择题1.设，为两个不同的平面，I, m为两条不同的直线，且I ，m?，有如下的两个命题：①若// ，则I // m;②若I丄m，贝y 丄.那么（A. ①是真命题，②是假命题命题C.①②都是真命题2 .如图，ABCD- A i B i C i D i ）.B. ①是假命题，②是真D.①②都是假命题为正方体，下面结论错误的是( ).A. BD//平面CBiD iB. AC i± BDC. AC i丄平面CBD iD.异面直线AD与CB角为604．给出下列四个命题：① 垂直于同一直线的两条直线互相平行 ② 垂直于同一平面的两个平面互相平行③ 若直线 l 1，l 2 与同一平面所成的角相等，则 l 1，l 2 互相平行 ④ 若直线l i , 12是异面直线，则与11 , 12都相交的两条直线是异面直线其中假．命题的个数是 ( ) ． A ． 1B ．2C ． 3D ． 45．下列命题中正确的个数是 ( ) ． ① 若直线1上有无数个点不在平面内，则I //② 若直线 1 与平面平行，则 1 与平面内的任意一条直线都平行③ 如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行3 .关于直线m , n 与平面 ① m // , n // 且 // 丄，贝» m 丄n ; ③m 丄 ,n // 且 // 丄，贝 U m // n. 其中真命题的序号是（ A .①②B .③④D. ②③,，有下列四个命题：② m 丄 ,n 丄且④m // , n 丄且C.①④④若直线1 与平面平行，则1 与平面内的任意一条直线都没有公共点A . 0 个B . 1 个C. 2 个 D . 3 个6．两直线11与12异面，过11作平面与12平行，这样的平面()．A .不存在B .有唯一的一个C.有无数个D ．只有两个7.把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A, B, C, D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为( ) ．A．90°B．60°C．45°D．30°8．下列说法中不正．确．的．．是( ) ．♦♦♦♦A. 空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B. 同一平面的两条垂线一定共面C. 过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线在同一个平面内D. 过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直9. 给出以下四个命题：①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么些两个平面互相垂直其中真命题的个数是( ) .A. 4B. 3D. 110. 异面直线a, b所成的角60°直线a丄c,则直线b与c 所成的角的范围为().A. [30° 90°B. [60° 90°C. [30° 60°D. [30° ° 120°二、填空题11. 已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA, PB, PC两两相互垂直，且三个侧面的面积分别为§ , S2 , S3，则这个三棱锥的体积为12. P是厶ABC所在平面外一点，过P作PO丄平面，垂足是O,连PA PB, PC.(1) 若PA= PB= PC 贝》O ABC 的 ____________________ 心；(2) PA X PB , PA丄PC , PC 丄PB ,贝» O 是厶ABC 的心；(3) 若点P到三边AB , BC , CA的距离相等，贝》O是厶ABC 的 ___________ 心;（4）若PA = PB = PC , / C = 90o ,贝》O 是AB 边的占；八、、7(5) 若PA = PB= PC , AB= AC ,则点O 在厶ABC 的线上.13. 如图，在正三角形ABC中，D , E , F分别为各(3)设二面角A - BC - D 的大小为时，四面体 A - BCD 的体积最大.，猜想为何值 (不要求证明)18. 如图，在长方体 ABCD — A 1B 1C 1D 1中，边的中点，G , H , I , J 分别为AF , AD , BE , DE 的中点，将厶ABC 沿DE , EF , DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 所成角的度数为 ___________ . 14.直线I 与平面所成角为30° l n = A ，直线m € ,则m 与I 所成角的取值范围是 ________ .15 .棱长为1的正四面体内有一点 P ,由点P 向各面引垂线，垂线段长度分别为 d i , d 2, d a , d 4,贝» d i + d 2+ d 3+ d q 的值为 . 16 .直二面角一I - 的棱上有一点 A ，在平面，内各有一条射线 AB , AC 与I 成45° AB , AC ，贝U/ BAC三、解答题17.在四面体 ABCD 中，△ ABC 与厶DBC 都是边长为 4的正三角形.(1) 求证：BC 丄AD ;BC - D 的正弦值;(2)若点D 到平面ABC 的距离等于 3,求二面角A -BB i = BC= 1, E 为D i C i 的中点，连结ED , EC, EB 和DB .(1) 求证：平面EDB丄平面EBC;(2) 求二面角E - DB - C的正切值.(第18题)19* .如图，在底面是直角梯形的四棱锥S - ABCD中，AD II BC,Z ABC = 90°SA丄面ABCD , SA= AB = BC=1, AD = 1.2(1)求四棱锥S—ABCD的体积;(2) 求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值.(提示：延长BA, CD相交于点E,则直线SE是所求二面角的棱.20* .斜三棱柱的一个侧面的面积为10,这个侧面与它所对棱的距离等于6,求这个棱柱的体积.(提示：在AA1上取一点P,过P作棱柱的截面，使AA1垂直于这个截面.)(第20题)A答案：DDDDB BCDBA11. 1咎举. 12 .外，垂，内，中，BC边的垂直平3分.13. 60°14 . [30° 90°.15 .孕. 16 . 60°或120°三、解答题17 .证明：（1）取BC中点O,连结AO, DO.•••△ ABC,A BCD都是边长为4的正三角形,..°••• AO丄BC, DO丄BC,且AOn DO= O,••• BC丄平面AOD .又AD 平面AOD,• BC 丄AD . （第17题）解：（2）由（1）知/ AOD为二面角A- BC- D的平面角，设/AOD=，则过点D作DE丄AD,垂足为E .••• BC丄平面ADO,且BC 平面ABC,•••平面ADO丄平面ABC.又平面ADO n平面ABC= AO, •••DE丄平面ABC.•••线段DE的长为点D到平面ABC的距离，即DE= 3. 又DO= £BD= 2 3 ,在Rt A DEO 中，sin =匹=-2 ,DO 2故二面角A- BC- D的正弦值为兰.2(3) 当 =90°寸，四面体ABCD的体积最大.18 .证明：(1)在长方体ABCD- A i B i C i D i 中，AB= 2 , BB i =BC= 1, E为D i C i的中点.•••△ DD i E为等腰直角三角形，/D i ED= 45° 同理/ C i EC= 45 ° • DEC 90，即DE丄EC. 在长方体ABCD—A i B i C i D i中，BC丄平面D i DcC i，又DE平面D i DCC i ,• BC丄DE.又EC BC C, • DE丄平面EBC〔•平面DEB过DE, •平面DEB丄平面EBC(2)解：如图，过E在平面D i DcC i中作EO丄DC于”O .在长方体ABCD- A i B i C i D i中，•••面ABCD丄面D i DCC i, • EO丄面ABCD.过O在平面DBC中作OF丄DB 于F,连结EF,「. EF± BD . / EFO为二面角E—DB- C的平面角.利用平面几何知识可得OF= i(第I8题)又OE= i，所以，tan EFO= 5 .i9* .解：⑴直角梯形 ABCD 的面积是 M 底面=i BC + AD) ABi +13 2i =324 '四棱锥S —ABCD 的体积是 V = 1 • SA - M 底面=! xi x 2 = 1 .3344E ,连结SE ,则SE 是所求二面角的棱.•/ AD II BC, BC = 2AD , EA = AB = SA ,「. SE X SB又BC 丄EB ,. BC 丄面SEB , 故 SB 是SC 在面SEB上的射影，••• CS X SE ,Z BSC 是所求二面角的平面角. SB =、SA 2+ AB 2 = 2 , BC = i , BC 丄 SB , ••• tan / BSC =匹=2 ,SB 2即所求二面角的正切值为丄.220* .解：如图，设斜三棱柱 ABC — A i B i C i 的侧面BB i C i C 的面积为10, A i A 和面BB i C i C 的距离为6,在AA i 上取一点P 作截面 PQR ,使 AA I X 截面 PQR ? AA i II CC i ,.截面 PQR X 侧面BB i C i C ,过P 作PO 丄QR 于0,贝U PO 丄侧面BB i C i C , 且 P0 = 6. • V 斜=S A PQRPO AA i2=i PO QR BB i2(2)如图，延长BA , CD 相交于点 ••• SA X 面 ABCD ，得面 SEB 丄面 E BC , EB 是交线. B____(第19题)D=1 x 10X 62=30.（第20题）第二章点、直线、平面之间的位置关系参考答案及解析 A 组一、选择题1. D 解析：命题②有反例，如图中平面 I ? , m ?,且I // n , m 丄n ，贝U m 丄I ，显然平面（第1题）故②是假命题；命题①显然也是假命题， 2. D 解析：异面直线AD 与CB 角为45 3. D 解析：在①、④的条件下，m , n 的位置关系不确定.4. D 解析：利用特殊图形正方体我们不难发现①②③④均不正确，故选择答案 D .5. B解析：学会用长方体模型分析问题，.-1|D\Ci......A i A 有无数点C在平面ABCD 夕卜，但AA i 与平面ABCD 相交，①不正确；A i B i //平面 ABCD ，显然 A i B i 不平行于 BD ，②不正确；A i B i // AB , A i B i //平面 ABCD ，但 AB ?平面 ABCD 内，③不正确；I 与平面a 平行，则I 与无公共点，I 与平面内的所有直线都没有公共点，④正确，应选Q 平面=直线不垂直平面6. B解析：设平面过l i,且b// ，贝U l i上一定点P与12确定一平面,与的交线13 // 12,且13过点P.又过点P与12平行的直线只有一条，即13有唯一性，所以经过l i和13的平面是唯一的，即过l i且平行于12的平面是唯一的.7. C解析：当三棱锥D—ABC体积最大时，平面DAC丄ABC, 取AC的中点0,则厶DBO是等腰直角三角形，即/ DBO= 45°& D解析：A.一组对边平行就决定了共面；B.同一平面的两条垂线互相平行，因而共面；C.这些直线都在同一个平面内即直线的垂面；D.把书本的书脊垂直放在桌上就明确了.9. B解析：因为①②④正确，故选B.10. A解析：异面直线a , b所成的角为60 °直线C丄a，过空间任一点P,作直线a'/ a, b'/ b, c'/ c.若a' b' c' 共面则b与c‘成30。

人教版高中数学必修二点直线平面间位置关系(能力提高级)章末检测题附答案解析

必修二第二章点、直线、平面间位置关系检测试题(能力提升级)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下面给出了四个条件:①空间三个点;②一条直线和一个点;③和直线a 都相交的两条直线;④两两相交的三条直线.其中,能确定一个平面的条件有()A .3个B .2个C .1个D .0个2.对于直线m ,n 和平面α,下列结论正确的是()A .如果m ⊂α,n ⊄α,m ,n 是异面直线,那么n ∥αB .如果m ⊂α,n ⊄α,m ,n 是异面直线,那么n 与α相交C .如果m ⊂α,n ∥α,m ,n 共面,那么m ∥nD .如果m ∥α,n ∥α,m ,n 共面,那么m ∥n3.已知a ,b ,c 是直线,则下面四个命题:①若直线a ,b 异面,b ,c 异面,则a ,c 异面;②若直线a ,b 相交,b ,c 相交,则a ,c 相交;③若a ∥b ,则a ,b 与c 所成的角相等.其中真命题的个数为()A.0 B.3C.2D.14.下列命题错误的是()A .如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平行于平面βB .如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC .如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l ,那么l ⊥平面γD .如果平面α⊥平面β,那么平面α内的所有直线都垂直于平面β5.把正方形ABCD 沿对角线AC 折起,当以A ,B ,C ,D 四点为顶点的三棱锥体积最大时,直线BD 和平面ABC 所成的角的大小为()A .30°B .45°C .60°D .90°6.一个正方体的展开图如图所示,其中A ,B 为所在棱的中点,C ,D 为原正方体的顶点,则在原来的正方体中AB 与CD 所成角的大小是()A .30°B .45°C .60°D .90°7.如图,在多面体ACBDE 中,BD ∥AE ,且BD=2,AE=1,F 在CD 上,要使AC ∥平面EFB ,则DF FC 的值为()A .3B .2C .1D .128.在三棱锥P-ABC 中,∠ABC=90°,PA=PB=PC.则下列说法正确的是()A .平面PAC ⊥平面ABCB .平面PAB ⊥平面PBCC.PB⊥平面ABCD.BC⊥平面PAB9.如图,是长方体被一平面所截得到的几何体,四边形EFGH为截面,长方形ABCD为底面,则四边形EFGH的形状为()A.梯形B.平行四边形C.可能是梯形也可能是平行四边形D.不确定10.若m,n为两条不重合的直线,α,β为两个不重合的平面,则下列命题中的真命题的个数是()①若m,n都平行于平面α,则m,n一定不是相交直线;②若m,n都垂直于平面α,则m,n一定是平行直线;③已知α,β互相垂直,m,n互相垂直,若m⊥α,则n⊥β;④若m,n在平面α内的射影互相垂直,则m,n互相垂直.A.1B.2C.3D.4二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.已知平面α∩平面β=l,点A,B∈α,点C∈平面β,且C∉l,AB∩l=R.若过A,B,C三点的平面为平面γ,则β∩γ=.12.在矩形ABCD中,若AB=3,BC=4,PA⊥平面ABCD,且PA=1,则点P到对角线BD的距离为.13.如图,正方形ABEF和正方形ABCD有公共边AB,∠EBC=60°,AB=CB=BE=a,则DE=.14.如下左图,PA⊥平面ABC,∠ACB=90°,且PA=AC=BC=a,则异面直线PB与AC所成角的正切值等于.15.如上右图,是四棱锥的平面展开图,其中四边形ABCD为正方形,E,F,G,H分别为PA,PD,PC,PB 的中点,在此几何体中,给出下面四个结论:①平面EFGH∥平面ABCD;②BC∥平面PAD;③AB∥平面PCD;④平面PAD∥平面PAB.其中正确的有.(只填序号)三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(8分)如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是梯形,AB∥CD,且AB=2CD.试问在PC上能否找3到一点E,使得BE∥平面PAD?若能,请确定点E的位置,并给出证明;若不能,请说明理由.17.(8分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且B1D⊥A1F,A1C1⊥A1B1.求证:(1)直线DE∥平面A1C1F;(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.18.(9分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,P,Q,M,N分别是棱AB,AD,DD1,BB1,A1B1,A1D1的中点.求证:(1)直线BC1∥平面EFPQ;(2)直线AC1⊥平面PQMN.19.(10分)如图,在三棱锥S-ABC中,平面SAB⊥平面SBC,AB⊥BC,AS=AB.过点A作AF⊥SB,垂足为F,点E,G分别是棱SA,SC的中点.求证:(1)平面EFG∥平面ABC;(2)BC⊥SA.20.(10分)如图,在Rt△AOB中,∠OAB=30°,斜边AB=4,Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO 为轴旋转得到,且平面AOB⊥平面AOC.动点D在斜边AB上.(1)求证:平面COD⊥平面AOB;(2)当D为AB的中点时,求异面直线AO与CD所成角的正切值.参考答案当空间三点共线时不能确定一个平面;②点在直线上时不能确定一个平面;③两直线若不平行也不相交时不能确定一个平面;④三条直线交于一点且不共面时不能确定一个平面.故4个条件都不能确定一个平面.m ⊂α,n ⊄α,m ,n 是异面直线时,n 与α可以平行,也可以相交,故A,B 错误;对于C,由线面平行的性质定理可知C 正确;对于D,m 与n 还可以相交,故D 错误.,故①②错;根据等角定理,可知③正确.D-ABC 的体积最大时,平面DAC ⊥ABC ,取AC 的中点O ,连接OD ,OB ,则△DBO 是等腰直角三角形,即∠DBO=45°.(如图),其中EF ,FG ,EG 分别为所在面的对角线.因为A ,B 分别为相应棱的中点,所以EF ∥AB.易知CD ∥EG ,所以∠FEG 为AB 与CD 所成的角(或其补角).又因为EG=EF=FG ,所以∠FEG=60°,即AB 与CD 所成角的大小为60°.连接AD 交BE 于点O ,连接OF ,因为AC ∥平面EFB ,平面ACD ∩平面EFB=OF ,所以AC ∥OF.所以OD DF OA FC=.又因为BD ∥AE ,所以△EOA ∽△BOD ,所以2OD DB ==.故2DF =.,因为PA=PB=PC ,所以点P 在底面的射影是底面△ABC 的外心.又因为∠ABC=90°,所以射影O 为AC 的中点.则PO ⊥平面ABC ,所以平面PAC ⊥平面ABC.ABFE ∥平面CDHG ,又平面EFGH ∩平面ABFE=EF ,平面EFGH ∩平面CDHG=HG ,所以EF ∥HG.同理EH ∥FG ,所以四边形EFGH 的形状是平行四边形.中,m ,n 可能平行或相交或异面,所以①为假命题;②是直线与平面垂直的性质定理,所以②为真命题;③中,n 可以平行于β,也可以在β内,所以③为假命题;④中,m ,n 也可以不互相垂直,所以④为假命题.,如图,因为点C ∈β,且点C ∈γ,所以C ∈β∩γ.因为点R ∈AB ,所以点R ∈γ.又R ∈β,所以R ∈β∩γ,从而β∩γ=CR.A 作AE ⊥BD 于点E.因为PA ⊥平面ABCD ,所以PA ⊥BD.又PA ∩AE=A ,所以BD ⊥平面PAE ,所以BD ⊥PE.又因为ABCD 为矩形,且AB=3,BC=4,所以AE=125.所以13=.∠EBC=60°,连接EC.因为BE=BC=a ,所以EC=a ,又可证CD ⊥平面EBC ,所以CD ⊥EC.因为CD=a ,所以.,则PB 与AC 所成的角等于PB 与PQ 所成的角.设正方体的棱长为a ,连接BQ ,则在△BPQ 中,PQ=a ,,所以tan ∠,则EH ∥AB ,所以EH ∥平面ABCD.同理可证EF ∥平面ABCD ,所以平面EFGH ∥平面ABCD.由于平面PAD ,平面PBC ,平面PAB ,平面PDC 均是四棱锥的四个侧面,则它们两两相交.因为AB ∥CD ,所以AB ∥平面PCD.同理BC ∥平面PAD.。

北师大版必修2练习单元测试二点、线、面之间的位置关系 Word版含解析

单元测试二点、线、面之间的位置关系班级姓名考号分数本试卷满分分，考试时间分钟．一、选择题：本大题共小题，每小题分，共分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．．若点在直线上，在平面α内，则、、α间的关系可记为( )．∈，∈α．∈，⊂α．⊂，⊂α．⊂，∈α答案：．下列说法正确的是( )．经过空间三点有且只有一个平面．经过圆心和圆上两点有且只有一个平面．若三条直线两两相交，则这三条直线共面．经过两条平行直线有且只有一个平面答案：．、是异面直线，则( )．存在α⊥，α⊥．一定存在⊂α且⊥α．一定存在⊂α且α∥．一定存在α∥且α⊥答案：解析：与线面垂直性质定理矛盾；当与不垂直时不成立；不一定成立．．若平面α外有一条直线与α内的两条平行线都垂直，则( )．⊥α．∥α．与α斜交．以上都有可能答案：解析：因为平面外的直线与α内的两条平行线垂直，所以不能确定与α的具体位置关系，它们可能垂直，也可能斜交或平行．．下列说法不正确的是( )．同一平面内没有公共点的两条直线平行．已知，，，是四条直线，若∥，∥，∥，则∥．在正方体－中，是的中点，是的中点，则直线，异面．梯形一定是平面图形答案：．直线不垂直于α，则α内与垂直的直线有( )．条．条．无数条．α内所有直线答案：解析：不管与平面α关系如何，过一定可找到一平面β，在β内可做一直线′⊥，然后将′平行平移到α内，再在α内作′的平行线，由空间两直线垂直的定义可知，在α内有无数条直线与垂直．故选.．对于直线、和平面α、β，能得出α⊥β的一个条件是( )．⊥，∥α，∥β．⊥，α∩β＝，⊂α．∥，⊥β，⊂α．∥，⊥α，⊥β答案：解析：两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．．如右图所示，∈α，∈，∈，∈β，⊥，⊥，＝＝，＝，是棱上的一个动点，则＋的最小值为( )．．答案：解析：把α、β展开成一个平面，如图，作∥，延长交于，则＝＝，＝，∴在△中有＝＝.．已知三平面α、β、γ互相平行，两条直线，分别与平面α，β，γ相交于点，，和，，，若＝，＝，则等于( )．．．．答案：解析：连接交β于，连接，，，，在△中，由β∥γ得∥，∴＝，在△中，由α∥β得∥，∴＝，∴＝＝，又＝，∴＝.．在下列四个正方体中(如图所示)，能得出⊥的是( )答案：解析：由线面垂直可判定异面直线是否垂直．二、填空题：本大题共小题，每小题分，共分．把答案填在题中横线上．．在棱长都相等的三棱锥－中，相互垂直的棱的对数为．答案：．已知∠＝°，∠与∠的两边分别平行，则∠＝.答案：°或°．已知三条相交于一点的线段、、两两垂直，且、、在同一平面内，在平面外，⊥平面于，则垂足是△的．(填内心、外心、垂心、重心中的一个)答案：垂心解析：如图所示，∵⊥，⊥，∴⊥平面，⊂平面，∴⊥.又∵⊥∴⊥平面，⊂平面∴⊥，同理⊥，⊥.∴是△的垂心．三、解答题：本大题共小题，共分，其中第小题分，第～小题各分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．．如图所示，已知三角形中∠＝°，⊥面，⊥，求证：⊥面.。

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第二章点、直线、平面之间的位置关系一、选择题 1．设，为两个不同的平面，l ，m 为两条不同的直线，且l ⊂，m ⊂β，有如下的两个命题：①若，则l ∥m ；②若l ⊥m ，则．那么( )．A ．①是真命题，②是假命题B ．①是假命题，②是真命题C ．①②都是真命题D ．①②都是假命题2．如图，ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误．．的是( )． A ．BD ∥平面CB 1D 1 B ．AC 1⊥BD C ．AC 1⊥平面CB 1D 1D ．异面直线AD 与CB 1角为60° 3．关于直线m ，n 与平面，，有下列四个命题：①m ∥，n ∥且∥，则m ∥n ； ②m ⊥，n ⊥且⊥，则m ⊥n ； ③m ⊥，n ∥且∥，则m ⊥n ； ④m ∥，n ⊥且⊥，则m ∥n ．其中真命题的序号是( )．A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③(第2题)4．给出下列四个命题：①垂直于同一直线的两条直线互相平行②垂直于同一平面的两个平面互相平行③若直线l1，l2与同一平面所成的角相等，则l1，l2互相平行④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线其中假．命题的个数是( )．A．1 B．2 C．3 D．45．下列命题中正确的个数是( )．①若直线l上有无数个点不在平面内，则l②若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都平行③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行④若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都没有公共点A．0个B．1个C．2个D．3个6．两直线l1与l2异面，过l1作平面与l2平行，这样的平面( )．A．不存在B．有唯一的一个C．有无数个D．只有两个7．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为( )．A．90°B．60°C．45°D．30°8．下列说法中不正确的．．．．是( )．A．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B．同一平面的两条垂线一定共面C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线在同一个平面内D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直9．给出以下四个命题：①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么些两个平面互相垂直其中真命题的个数是( )．A．4 B．3 C．2 D．110．异面直线a，b所成的角60°，直线a⊥c，则直线b与c所成的角的范围为( )．A．[30°，90°] B．[60°，90°] C．[30°，60°] D．[30°，120°]二、填空题11．已知三棱锥P－ABC的三条侧棱PA，PB，PC两两相互垂直，且三个侧面的面积分别为S1，S2，S3，则这个三棱锥的体积为．12．P是△ABC所在平面外一点，过P作PO⊥平面，垂足是O，连PA，PB，PC．(1)若PA＝PB＝PC，则O为△ABC的心；(2)PA⊥PB，PA⊥PC，PC⊥PB，则O是△ABC的心；(3)若点P到三边AB，BC，CA的距离相等，则O是△ABC的心；(4)若PA＝PB＝PC，∠C＝90º，则O是AB边的点；(5)若PA＝PB＝PC，AB＝AC，则点O在△ABC的线上．J13．如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点，将△ABC 沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为．14．直线l与平面所成角为30°，l＝A，直线m ∈，则m与l所成角的取值范围是．15．棱长为1的正四面体内有一点P，由点P向各面引垂线，垂线段长度分别为d1，d2，d3，d4，则d1＋d2＋d3＋d4的值为．16．直二面角－l －的棱上有一点A，在平面，内各有一条射线AB，AC与l成45°，AB ⊂，AC ⊂，则∠BAC＝．三、解答题17．在四面体ABCD中，△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形．(1)求证：BC⊥AD；(2)若点D到平面ABC的距离等于3，求二面角A－BC－D的正弦值；(3)设二面角A－BC－D的大小为，猜想为何值时，四面体A－BCD的体积最大．(不要求证明) (第17题)18．如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BB 1＝BC ＝1，E 为D 1C 1的中点，连结ED ，EC ，EB 和DB ． (1)求证：平面EDB ⊥平面EBC ； (2)求二面角E －DB －C 的正切值.19*．如图，在底面是直角梯形的四棱锥Ｓ－ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，SA ⊥面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝１，AD ＝21．(1)求四棱锥S —ABCD的体积；(2)求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值． (提示：延长 BA ，CD 相交于点 E ，则直线 SE 是所求二面角的棱.20*．斜三棱柱的一个侧面的面积为10，这个侧面与它所对棱的距离等于6，求这个棱柱的体积．(提示：在 AA 1 上取一点 P ，过 P 作棱柱的截面，使 AA 1 垂直于这个截面.)(第20题)(第18题)答案：DDDDB BCDBA 11．313212S S S ． 12．外，垂，内，中，BC 边的垂直平分． 13．60°．14．[30°，90°]． 15．36． 16．60°或120°．三、解答题17．证明：(1)取BC 中点O ，连结AO ，DO ． ∵△ABC ，△BCD 都是边长为4的正三角形， ∴AO ⊥BC ，DO ⊥BC ，且AO ∩DO ＝O ， ∴BC ⊥平面AOD ．又AD 平面AOD ， ∴BC⊥AD ． (第17题)解：(2)由(1)知∠AOD 为二面角A －BC －D 的平面角，设∠AOD＝，则过点D 作DE ⊥AD ，垂足为E ．∵BC ⊥平面ADO ，且BC ⊂平面ABC ，∴平面ADO ⊥平面ABC ．又平面ADO ∩平面ABC ＝AO ， ∴DE ⊥平面ABC ．∴线段DE 的长为点D 到平面ABC 的距离，即DE ＝3．又DO ＝23BD ＝23，在Rt △DEO 中，sin ＝DODE ＝23，故二面角A －BC －D 的正弦值为23．(3)当＝90°时，四面体ABCD 的体积最大．18．证明：(1)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BB 1＝BC ＝1，E 为D 1C 1的中点．∴△DD 1E 为等腰直角三角形，∠D 1ED ＝45°．同理∠C 1EC ＝45°．∴︒=∠90DEC ，即DE ⊥EC ．在长方体ABCD －1111D C B A 中，BC ⊥平面11DCC D ，又DE ⊂平面11DCC D ，∴BC ⊥DE ．又C BC EC = ，∴DE ⊥平面EBC ．∵平面DEB 过DE ，∴平面DEB ⊥平面EBC ．(2)解：如图，过E 在平面11DCC D 中作EO ⊥DC 于O ．在长方体ABCD －1111D C B A 中，∵面ABCD⊥面11DCC D ，∴EO ⊥面ABCD ．过O 在平面DBC 中作OF ⊥DB 于F ，连结EF ，∴EF ⊥BD ．∠EFO 为二面角E －DB －C 的平面角．利用平面几何知识可得OF ＝51， (第18题)又OE ＝1，所以，tan ∠EFO ＝5．19*．解：(1)直角梯形ABCD 的面积是M底面＝AB AD BC ⋅)(＋21＝43＝1221＋1 ，∴四棱锥S —ABCD 的体积是V ＝31·SA ·M 底面＝31×1×43＝41． (2)如图，延长BA ，CD 相交于点E ，连结SE ，则SE 是所求二面角的棱． ∵AD ∥BC ，BC ＝2AD ， ∴EA ＝AB ＝SA ，∴SE ⊥SB∵SA ⊥面ABCD ，得面SEB ⊥面EBC ，EB 是交线．又BC ⊥EB ，∴BC ⊥面SEB ，故SB 是SC 在面SEB上的射影，∴CS ⊥SE ，∠BSC 是所求二面角的平面角． ∵SB ＝22＋AB SA ＝2，BC ＝1，BC ⊥SB ，∴tan∠BSC ＝22＝SBBC ， (第19题)即所求二面角的正切值为22．20*．解：如图，设斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧面BB 1C 1C 的面积为10，A 1A 和面BB 1C 1C 的距离为6，在AA 1上取一点P 作截面PQR ，使AA 1⊥截面PQR ，AA 1∥CC 1，∴截面PQR ⊥侧面BB 1C 1C ，过P 作PO ⊥QR 于O ，则PO ⊥侧面BB 1C 1C ，且PO ＝6．∴V斜＝S △PQR ·AA 1＝21·QR ·PO ·AA 1＝21·PO ·QR ·BB 1＝21×10×6 ＝30．(第20题)第二章点、直线、平面之间的位置关系参考答案及解析A组一、选择题1．D 解析：命题②有反例，如图中平面∩平面＝直线n，l ⊂，m⊂，且l∥n，m⊥n，则m⊥l，显然平面不垂直平面，(第1题)故②是假命题；命题①显然也是假命题，2．D解析：异面直线AD与CB1角为45°．3．D解析：在①、④的条件下，m，n的位置关系不确定．4．D解析：利用特殊图形正方体我们不难发现①②③④均不正确，故选择答案D．5．B解析：学会用长方体模型分析问题，A1A有无数点在平面ABCD外，但AA1与平面ABCD相交，①不正确；A1B1∥平面ABCD，显然A1B1不平行于BD，②不正确；A1B1∥AB，A1B1∥平面ABCD，但AB⊂平面ABCD内，③不正确；l与平面α平行，则l与无公共点，l与平面内的所有直线都没有公共点，④正确，应选B ． (第5题) 6．B 解析：设平面过l 1，且 l 2，则 l 1上一定点 P 与 l 2 确定一平面，与的交线l 3∥l 2，且l 3 过点 P . 又过点 P 与 l 2 平行的直线只有一条，即 l 3有唯一性，所以经过 l 1 和 l 3 的平面是唯一的，即过 l 1 且平行于 l 2 的平面是唯一的.7．C 解析：当三棱锥D －ABC 体积最大时，平面DAC ⊥ABC ，取AC 的中点O ，则△DBO 是等腰直角三角形，即∠DBO ＝45°． 8．D 解析：A ．一组对边平行就决定了共面；B ．同一平面的两条垂线互相平行，因而共面；C ．这些直线都在同一个平面内即直线的垂面；D ．把书本的书脊垂直放在桌上就明确了．9．B 解析：因为①②④正确，故选B ．10．A 解析：异面直线a ，b 所成的角为60°，直线c ⊥a ，过空间任一点 P ，作直线 a ’∥a ， b ’∥b ， c ’∥c . 若a ’，b ’，c ’ 共面则 b ’ 与 c ’ 成 30° 角，否则 b ’ 与 c ’所成的角的范围为(30°，90°]，所以直线b 与c 所成角的范围为[30°，90°] ．二、填空题 11．313212S S S ．解析：设三条侧棱长为 a ，b ，c ．则 21ab ＝S 1，21bc ＝S 2，21ca ＝S 3 三式相乘：∴ 81a 2b 2c 2＝S 1S 2S 3，∴ abc ＝23212S S S ．∵ 三侧棱两两垂直， ∴ V ＝31abc ·21＝313212S S S ．12．外，垂，内，中，BC 边的垂直平分．解析：(1)由三角形全等可证得 O 为△ABC 的外心； (2)由直线和平面垂直的判定定理可证得，O 为△ABC 的垂心；(3)由直线和平面垂直的判定定理可证得，O 为△ABC 的内心；(4)由三角形全等可证得，O 为 AB 边的中点；(5)由(1)知，O 在 BC 边的垂直平分线上，或说 O 在∠BAC 的平分线上． 13．60°．解析：将△ABC 沿DE ，EF ，DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 所成角的度数为60°． 14．[30°，90°]．解析：直线l 与平面所成的30°的角为m 与l 所成角的最小值，当m 在内适当旋转就可以得到l ⊥m ，即m与l 所成角的的最大值为90°． 15．36．解析：作等积变换：4331⨯×(d 1＋d 2＋d 3＋d 4)＝4331⨯·h ，而h ＝36．16．60°或120°．解析：不妨固定AB ，则AC 有两种可能．三、解答题17．证明：(1)取BC 中点O ，连结AO ，DO ． ∵△ABC ，△BCD 都是边长为4的正三角形， ∴AO ⊥BC ，DO ⊥BC ，且AO ∩DO ＝O ， ∴BC ⊥平面AOD ．又AD ⊂平面AOD ， ∴BC⊥AD ． (第17题)解：(2)由(1)知∠AOD 为二面角A －BC －D 的平面角，设∠AOD ＝，则过点D 作DE ⊥AD ，垂足为E ．∵BC ⊥平面ADO ，且BC ⊂平面ABC ，∴平面ADO ⊥平面ABC ．又平面ADO ∩平面ABC ＝AO ， ∴DE ⊥平面ABC ．∴线段DE 的长为点D 到平面ABC 的距离，即DE ＝3．又DO ＝23BD ＝23，在Rt △DEO 中，sin ＝DODE ＝23，故二面角A －BC －D 的正弦值为23．(3)当＝90°时，四面体ABCD 的体积最大．18．证明：(1)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BB 1＝BC＝1，E 为D 1C 1的中点．∴△DD 1E 为等腰直角三角形，∠D 1ED ＝45°．同理∠C 1EC ＝45°．∴︒=∠90DEC ，即DE ⊥EC ．在长方体ABCD －1111D C B A 中，BC ⊥平面11DCC D ，又DE ⊂平面11DCC D ，∴BC ⊥DE ．又C BC EC = ，∴DE ⊥平面EBC ．∵平面DEB 过DE ，∴平面DEB ⊥平面EBC ．(2)解：如图，过E 在平面11DCC D 中作EO ⊥DC 于O ．在长方体ABCD －1111D C B A 中，∵面ABCD⊥面11DCC D ，∴EO ⊥面ABCD ．过O 在平面DBC 中作OF ⊥DB 于F ，连结EF ，∴EF ⊥BD ．∠EFO 为二面角E －DB －C 的平面角．利用平面几何知识可得OF ＝51， (第18题)又OE ＝1，所以，tan ∠EFO ＝5．19*．解：(1)直角梯形ABCD 的面积是M底面＝AB AD BC ⋅)(＋21＝43＝1221＋1⨯，∴四棱锥S —ABCD 的体积是V ＝31·SA ·M 底面＝31×1×43＝41． (2)如图，延长BA ，CD 相交于点E ，连结SE ，则SE 是所求二面角的棱． ∵AD ∥BC ，BC ＝2AD ， ∴EA ＝AB ＝SA ，∴SE ⊥SB∵SA ⊥面ABCD ，得面SEB ⊥面EBC ，EB 是交线．又BC ⊥EB ，∴BC ⊥面SEB ，故SB 是SC 在面SEB上的射影，∴CS ⊥SE ，∠BSC 是所求二面角的平面角．∵SB ＝22＋AB SA ＝2，BC ＝1，BC ⊥SB ，∴tan∠BSC ＝22＝SBBC ， (第19题)即所求二面角的正切值为22．20*．解：如图，设斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧面BB 1C 1C 的面积为10，A 1A 和面BB 1C 1C 的距离为6，在AA 1上取一点P 作截面PQR ，使AA 1⊥截面PQR ，AA 1∥CC 1，∴截面PQR ⊥侧面BB 1C 1C ，过P 作PO ⊥QR 于O，则PO ⊥侧面BB 1C 1C ，且PO ＝6．∴V 斜＝S △PQR ·AA 1＝21·QR ·PO ·AA 1＝21·PO ·QR ·BB 1＝21×10×6 ＝30．(第20题)。