泰勒公式word版

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常用十个泰勒展开公式

常用十个泰勒绽开公式常用bai泰勒绽开公式如下：1、due^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+……zhi+x^n/n!+……2、daoln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-……+(-1)^(k-1)*(x^k)/k(|x|<1)3、sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-……+(-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k-1)!+……。

(-∞<x<∞)4、cos x = 1-x^2/2!+x^4/4!-……+(-1)k*(x^(2k))/(2k)!+……(-∞<x<∞)5、arcsin x = x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + ……(|x|<1)6、arccos x = π- ( x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + ……) (|x|<1)7、arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 -……(x≤1)8、sinh x = x+x^3/3!+x^5/5!+……+(-1)^(k-1)*(x^2k-1)/(2k-1)!+……(-∞<x<∞)9、cosh x = 1+x^2/2!+x^4/4!+……+(-1)k*(x^2k)/(2k)!+……(-∞<x<∞)10、arcsinh x = x - 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 - ……(|x|<1)11、arctanh x = x + x^3/3 + x^5/5 + ……(|x|<1)扩展资料：数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其四周取值的公式。

假如函数足够平滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的状况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。

泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。

泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒。

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三、柯西中值定理上面已经指出，如果连续曲线AB 上除端点外处处具有不垂直于横轴的切线，那么这段弧上至少有一点C ，使曲线在点C 处的切线平行于弦AB ．设曲线AB 由参数方程⎩⎨⎧==)(),(x f Y x g X （b x a ≤≤）表示，其中x 为参数，那么点)(Y X ，处的切线斜率为)(')('x g x f dX dY =弦AB 的斜率为)()()()(a g b g a f b f --假定点C 对应于参数ξ=x ，曲线上点C 处的切线与弦AB 平行可表示为)(')(')()()()(ξξF f a F b F a f b f =-- 柯西中值定理如果函数)(x f ，)(x g 满足（１）在闭区间][b a ，上连续；（２）在开区间)(b a ，内可导，且0)('≠x g ．则在开区间)(b a ，内至少存在一点ξ，使得)(')(')()()()(ξξg f a g b g a f b f =-- 证根据结论，引进辅助函数)()]()([)()]()([)(x f a g b g x g a f b f x ---=ϕ)(x ϕ在][b a ，上连续，在)(b a ，内可导，且)()(b a ϕϕ=，由罗尔定理知，至少存在一点)(b a ，∈ξ，使得0)('=ξϕ，即)(')]()([)(')]()([ξξf a g b g g a f b f -=-由0)('≠x g ，可知0)()(0)('≠-≠a g b g g ，ξ，由上式可得)(')(')()()()(ξξg f a g b g a f b f =-- 显然，如取x x g =)(，柯西中值定理即为拉格朗日中值定理，拉格朗日中值定理中如果加上条件)()(b f a f =，则为罗尔定理．可见上面三个中值定理，柯西中值定理的结论最一般，拉格朗日中值定理次之，罗尔定理最特殊．例４设函数]1,0[)( C x f ∈，在)1,0( 内可导，证明至少存在一点)10( ，∈ξ，使得)]0()1([2)('f f f -=ξξ．证将上式改写为ξξ2)('01)0()1(f f f =-- 考虑到ξξ=x x 在是22处的导数，取2)(x x g =，且当)1,0( ∈x 时，0)('≠x g ，对)()(x g x f ，在]1,0[ 上应用柯西中值定理，有ξξ2)('01)0()1(f f f =-- 即 )]0()1([2)('f f f -=ξξ第六节泰勒公式不论是进行近似计算还是理论分析，我们总希望用一些简单的函数来逼近复杂函数，用简单函数逼近（近似表示）复杂函数是数学中的一种基本思想方法。

泰勒公式大全

泰勒公式大全泰勒公式是微积分中的重要概念，它可以将一个函数在某一点附近展开成无限项的多项式，从而方便我们进行计算和研究。

本文将按照不同的类别介绍泰勒公式的各种形式和应用。

一、泰勒公式的基本形式泰勒公式的基本形式是：$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$其中，$f(x)$是要展开的函数，$a$是展开点，$f^{(n)}(a)$表示$f(x)$在$a$处的$n$阶导数，$n!$表示$n$的阶乘。

二、泰勒公式的常用形式1. 麦克劳林公式当$a=0$时，泰勒公式就变成了麦克劳林公式：$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$$这个公式在计算中非常常用，因为它可以将很多函数展开成简单的多项式形式。

2. 带余项的泰勒公式在实际计算中，我们往往只需要保留泰勒公式的前几项，而不需要展开到无穷项。

这时，我们可以使用带余项的泰勒公式：$$f(x)=\sum_{n=0}^{m}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+R_m(x)$$其中，$m$表示展开的项数，$R_m(x)$表示余项，它的表达式为：$$R_m(x)=\frac{f^{(m+1)}(\xi)}{(m+1)!}(x-a)^{m+1}$$其中，$\xi$是$a$和$x$之间的某个值，$m+1$阶导数的值在$a$和$\xi$之间取值。

三、泰勒公式的应用1. 近似计算泰勒公式可以将一个复杂的函数近似成一个简单的多项式，从而方便我们进行计算。

比如，我们可以使用麦克劳林公式将$\sin x$和$\cos x$展开成多项式形式，从而计算它们的值。

2. 函数的性质研究泰勒公式可以帮助我们研究函数的性质，比如函数的最值、极值、拐点等。

通过对泰勒公式的各项系数进行分析，我们可以得到函数在展开点附近的一些性质。

3. 数值逼近泰勒公式可以用来进行数值逼近，比如我们可以使用带余项的泰勒公式来逼近函数的值。

常见函数泰勒公式展开式大全

常见函数泰勒公式展开式大全常见函数的泰勒公式展开式大全在数学中，泰勒公式是将一个函数在某一点附近展开成无穷级数的方法，它是微积分中的重要工具之一。

泰勒公式的展开可以帮助我们近似计算函数在某一点的值，进而研究函数的性质和行为。

下面是一些常见函数的泰勒公式展开式大全。

1.指数函数的泰勒公式展开式指数函数的泰勒公式展开式是：$$e^x = 1 + x + %frac{x^2}{2!} + %frac{x^3}{3!}+ %frac{x^4}{4!} + Íots$$这个展开式在$x=0$附近是收敛的，并且对于任意实数$x$都成立。

2.三角函数的泰勒公式展开式正弦函数的泰勒公式展开式是：$$%sin(x) = x - %frac{x^3}{3!} + %frac{x^5}{5!} -%frac{x^7}{7!} + Íots$$余弦函数的泰勒公式展开式是：$$%cos(x) = 1 - %frac{x^2}{2!} + %frac{x^4}{4!} -%frac{x^6}{6!} + Íots$$这两个展开式在$x=0$附近是收敛的，并且对于任意实数$x$都成立。

3.对数函数的泰勒公式展开式自然对数函数的泰勒公式展开式是：$$%ln(1+x) = x - %frac{x^2}{2} + %frac{x^3}{3} -%frac{x^4}{4} + Íots$$这个展开式在$x=0$附近是收敛的，并且对于$-1<x%leq 1$都成立。

4.幂函数的泰勒公式展开式幂函数的泰勒公式展开式是：$$(1+x)^a = 1 + ax + %frac{a(a-1)}{2!}x^2 + %frac{a(a-1)(a-2)}{3!}x^3 + Íots$$这个展开式在$x=0$附近是收敛的，并且对于任意实数$a$和$-1<x%leq 1$都成立。

5.反正弦函数的泰勒公式展开式反正弦函数的泰勒公式展开式是：$$%arcsin(x) = x + %frac{x^3}{3}+ %frac{1}{2}Íot%frac{3}{4}Íot%frac{x^5}{5}+ %frac{1Íot3}{2Íot4}Íot%frac{3Íot5}{4Íot6}Íot%frac{x^7}{7} + Íots$$这个展开式在$x=-1$到$x=1$之间是收敛的，并且对于任意实数$x$都成立。

常见的泰勒公式

常见的泰勒公式泰勒公式是一种在数学、物理学和工程领域中广泛使用的分析方法。

它可以用来计算函数的近似值，其中某些函数是不可积分的。

它也可以用来近似解决复杂的微积分问题。

它是1815年由英国数学家威廉·泰勒所提出的。

泰勒公式为f(x)在x=a处的某个小区间内的展开式表达，它可以将复杂的函数表达为一系列简单的有限项。

该公式可以将函数表达成一个无穷级数，泰勒公式是一种极限形式，它表明f (x)在x = a处的无穷级数近似值。

泰勒公式的一般形式为：f (x) = f (a) + f'(a)(x-a) + f''(a) ( (x-a)^2 )/2! + f'''(a) ( (x-a)^3 )/3! + … +f^(n) (x-a)^n / n! +……其中，f(x) 是要进行展开的函数；a 是函数的某个取值，即展开的中心点；n 表示要展开的次数；f'(a),f''(a),f'''(a),…,f^(n) (x) 分别代表函数 f(x) 在 x=a 处的一阶导数、二阶导数、三阶导数，…，n 阶导数。

根据泰勒公式，可知，函数f (x) 的小区间[a,x]内的展开式，可以根据函数f (x) 在x = a处的n 阶导数来计算，而这些n 阶导数都可以根据f (x) 的初始函数来求得。

也就是说，只要知道函数f (x) 的表达式，就可以通过求函数f (x) 的n 阶导数，然后通过泰勒公式求出f (x) 在[a,x]小区间内的展开式。

虽然泰勒公式是一种比较常用的分析方法，但它的应用也存在一定的局限性：1. 无法精确给出函数的展开式，只能求出函数的近似值。

2. 对于函数的极值点，泰勒公式可能会出现极大的偏差。

3. 泰勒公式只能对可积分的函数求解，不可积分的函数将无法求解。

4. 对于函数的复杂度较大的情况，泰勒公式需要计算更高阶的导数，这会增加计算的难度。

20泰勒公式-11页word资料

三、柯西中值定理上面已经指出，如果连续曲线AB 上除端点外处处具有不垂直于横轴的切线，那么这段弧上至少有一点C ，使曲线在点C 处的切线平行于弦AB ．设曲线AB 由参数方程⎩⎨⎧==)(),(x f Y x g X （b x a ≤≤）表示，其中x 为参数，那么点)(Y X ，处的切线斜率为)(')('x g x f dX dY =弦AB 的斜率为)()()()(a g b g a f b f --假定点C 对应于参数ξ=x ，曲线上点C 处的切线与弦AB 平行可表示为)(')(')()()()(ξξF f a F b F a f b f =-- 柯西中值定理如果函数)(x f ，)(x g 满足（１）在闭区间][b a ，上连续；（２）在开区间)(b a ，内可导，且0)('≠x g ．则在开区间)(b a ，内至少存在一点ξ，使得)(')(')()()()(ξξg f a g b g a f b f =-- 证根据结论，引进辅助函数)()]()([)()]()([)(x f a g b g x g a f b f x ---=ϕ)(x ϕ在][b a ，上连续，在)(b a ，内可导，且)()(b a ϕϕ=，由罗尔定理知，至少存在一点)(b a ，∈ξ，使得0)('=ξϕ，即)(')]()([)(')]()([ξξf a g b g g a f b f -=-由0)('≠x g ，可知0)()(0)('≠-≠a g b g g ，ξ，由上式可得)(')(')()()()(ξξg f a g b g a f b f =-- 显然，如取x x g =)(，柯西中值定理即为拉格朗日中值定理，拉格朗日中值定理中如果加上条件)()(b f a f =，则为罗尔定理．可见上面三个中值定理，柯西中值定理的结论最一般，拉格朗日中值定理次之，罗尔定理最特殊．例４设函数]1,0[)( C x f ∈，在)1,0( 内可导，证明至少存在一点)10( ，∈ξ，使得)]0()1([2)('f f f -=ξξ．证将上式改写为ξξ2)('01)0()1(f f f =-- 考虑到ξξ=x x 在是22处的导数，取2)(x x g =，且当)1,0( ∈x 时，0)('≠x g ，对)()(x g x f ，在]1,0[ 上应用柯西中值定理，有ξξ2)('01)0()1(f f f =-- 即)]0()1([2)('f f f -=ξξ第六节泰勒公式不论是进行近似计算还是理论分析，我们总希望用一些简单的函数来逼近复杂函数，用简单函数逼近（近似表示）复杂函数是数学中的一种基本思想方法。

常用的泰勒公式

常用的泰勒公式泰勒公式是数学中经常使用的一种近似计算方法。

它可以将一个函数在某个点附近用其在该点的导数值来表示，从而简化计算。

泰勒公式由英国数学家布鲁赛尔·泰勒于18世纪提出，至今在科学和工程领域中广泛应用。

泰勒公式的一般形式如下：设函数f(x)在x=a处具有n阶导数，那么在x=a附近的点x，函数f(x)可以通过泰勒展开式来近似表示：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)²/2! +f'''(a)(x-a)³/3! + ... + fⁿ(a)(x-a)ⁿ/n! + Rⁿ(x)其中，f'(a)，f''(a)，f'''(a)，...，fⁿ(a)分别表示函数f(x)在x=a处的一阶、二阶、三阶，...，n阶导数的值，Rⁿ(x)为拉格朗日余项。

泰勒公式的应用有很多，下面将介绍几个常见的应用场景：1. 函数的近似计算：通过泰勒公式，可以将函数在某一点的值通过导数值的近似表示来计算。

这在科学计算中经常使用，特别是在计算机程序中，可以通过泰勒公式来实现复杂函数的近似计算。

2. 极限计算：通过泰勒公式，可以将复杂的极限计算转化为对函数在某一点的导数值的计算。

这样可以简化极限计算过程，提高计算效率。

3. 误差分析：在实际应用中，我们常常需要对测量数据进行处理和分析。

泰勒公式可以用于对测量数据进行近似处理，计算近似值与真实值之间的误差范围。

4. 函数图像的绘制：通过泰勒公式，可以对函数的局部形态进行描述，从而更好地理解函数的性质和行为。

这对于绘制函数图像有很大的帮助。

总之，泰勒公式是数学中一种重要的近似计算方法，广泛应用于科学和工程领域。

它简化了复杂函数的计算和分析过程，提高了计算效率和准确性。

在实际应用中，我们可以根据具体问题选择适合的泰勒展开项，以满足计算的需求。

8个泰勒公式常用公式

8个泰勒公式常用公式泰勒公式是一种在微积分中非常重要的工具，它可以利用函数在其中一点的导数来近似地表示函数在该点附近的取值。

在数学和物理等领域，泰勒公式广泛应用于函数的近似计算和数值求解等问题。

下面我们介绍一些常用的泰勒公式及其应用。

1.一阶泰勒公式一阶泰勒公式也称为泰勒展开式，用于近似地表示函数在其中一点附近的取值。

设函数$f(x)$在$x=a$处可导，则函数$f(x)$在$x=a$处的一阶泰勒公式为$$f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)$$其中$f'(a)$表示函数$f(x)$在$x=a$处的导数。

一阶泰勒公式常用于近似计算和数值求解等问题中。

2.二阶泰勒公式二阶泰勒公式是泰勒展开式的推广，用于更精确地近似表示函数在其中一点附近的取值。

设函数$f(x)$在$x=a$处二阶可导，则函数$f(x)$在$x=a$处的二阶泰勒公式为$$f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2$$其中$f''(a)$表示函数$f(x)$在$x=a$处的二阶导数。

二阶泰勒公式在高精度数值求解和近似计算等问题中广泛应用。

3.泰勒级数泰勒级数是将一个函数在其中一点处展开成无穷级数的形式，用于表示函数在该点附近的取值。

设函数$f(x)$在$x=a$处具有无限阶导数，则函数$f(x)$在$x=a$处的泰勒级数为$$f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3+...$$泰勒级数是一种非常重要的数学工具，能够用无穷阶导数展开的形式表示函数，具有广泛的应用价值。

4.泰勒多项式泰勒多项式是将函数在其中一点处展开成有限项多项式的形式，用于近似地表示函数在该点附近的取值。

泰勒公式和运用范文

泰勒公式和运用范文泰勒公式（Taylor series）是数学中一个非常重要的工具，它被用于在给定函数的其中一点附近近似展开这个函数。

泰勒公式的运用广泛，既用于数学推导，还用于物理、工程等领域中的问题求解。

本文将介绍泰勒公式的原理，并给出一些常见的应用例子。

一、泰勒公式的原理泰勒公式可以用来近似表示一些函数在其中一点附近的值。

公式的具体形式如下所示：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)²/2!+f'''(a)(x-a)³/3!+...其中，f(x)代表原函数在点x处的值，f(a)代表原函数在点a处的值，f'(a)、f''(a)、f'''(a)分别代表原函数在点a处的一阶、二阶、三阶导数的值。

x-a表示x相对于点a的偏移量。

泰勒公式可以通过不断添加高阶导数项来提高近似的精度。

当阶数无限逼近时，就得到了原函数的精确表达。

大多数情况下，我们只需要保留前几项就能够得到足够精确的近似结果。

二、泰勒公式的应用举例1.正弦函数的泰勒展开正弦函数是一个周期为2π的函数，我们可以将其在其中一点进行泰勒展开。

假设我们要在点a附近展开正弦函数，那么泰勒公式的表达式为：sin(x) = sin(a) + cos(a)(x-a) - sin(a)(x-a)²/2! - cos(a)(x-a)³/3! + ...当a=0时，泰勒展开简化为：sin(x) = x - x³/3! + x⁵/5! - x⁷/7! + ...这个公式可以用来计算比较小角度范围内的正弦值，由于幂函数和阶乘函数的增长速度很快，展开后的结果准确度相对较高。

2.自然指数函数的泰勒展开自然指数函数e^x是一个在整个实数域上定义的函数，我们可以将其在点0附近进行泰勒展开。

泰勒公式的表达式为：e^x=1+x+x²/2!+x³/3!+...这个公式可以用来计算自然指数函数的近似值，只需要保留前几项即可得到足够精确的结果。

常见函数泰勒公式展开式大全

常见函数泰勒公式展开式大全函数的泰勒公式是数学中非常重要的工具之一。

它可以将一个函数在某一点附近展开成一列无穷级数，从而方便我们进行更深入的研究和计算。

在数学中，常见的函数泰勒公式展开式包括：1. 指数函数的泰勒展开式：e^x = 1 + x + (x^2)/2! + (x^3)/3! + (x^4)/4! + ...2. 正余弦函数的泰勒展开式：cos(x) = 1 - (x^2)/2! + (x^4)/4! - (x^6)/6! + ...sin(x) = x - (x^3)/3! + (x^5)/5! - (x^7)/7! + ...3. 自然对数函数的泰勒展开式：ln(1+x) = x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4 + ...4. 幂函数的泰勒展开式：(1+x)^n = 1 + nx + (n(n-1)x^2)/2! + (n(n-1)(n-2)x^3)/3! + ...5. 反正切函数的泰勒展开式：arctan(x) = x - (x^3)/3 + (x^5)/5 - (x^7)/7 + ...这些展开式在数学和工程领域中被广泛应用。

它们可以用于近似计算，求解微分方程，以及研究函数的性质和行为。

泰勒公式展开式的精确性取决于展开点的选择和展开的级数项的截断。

一般来说，如果函数在展开点附近具有光滑的性质，那么展开式的精度会更高。

但是，需要注意的是，展开式并不一定在整个定义域都收敛，所以在具体应用中需要注意选择合适的展开点和级数项截断。

总之，泰勒公式展开式是一种非常有用的数学工具，可以帮助我们更好地理解和研究各种函数。

熟练掌握这些常见函数的泰勒展开式，将有助于我们在数学和科学领域中进行更精确的计算和分析。

【泰勒展开】常见泰勒公式大全

【泰勒展开】常见泰勒公式大全几个常见的泰勒公式(x\rightarrow0) ：sinx = x -\frac{x^3}{6} +o(x^3)\qquad \qquad \quad \ \ arcsinx=x+\frac{x^3}{6}+o(x^3)cosx=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+o(x^4)\qquad \quad arccosx=? [1]tanx = x +\frac{x^3}{3}+o(x^3)\qquad \qquad \quad \ arctanx=x-\frac{x^3}{3}+o(x^3)e^x = 1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+o(x^3) \qquad ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)(1+x)^{\alpha}=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2+o(x^2)另外\begin{align} &对于 (1+x)^{\alpha}=1+\alphax+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2+o(x^2) \\&\text{当}\alpha =\frac{1}{2}\text{，则}\sqrt{1+x}=1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}x^2+o\left( x^2 \right) \\ &\text{当}\alpha =\frac{1}{3}\text{，则}\sqrt[3]{1+x}=1+\frac{1}{3}x-\frac{1}{9}x^2+o\left( x^2 \right) \end{align}习题中常见(x \rightarrow 0) ：\begin{align} tanx - sinx &= \frac{1}{2}x^3+o(x^3)\\ x - sinx &= \frac{1}{6}x^3+o(x^3)\\ arcsinx - x &=\frac{1}{6}x^3+o(x^3)\\ tanx - x &=\frac{1}{3}x^3+o(x^3)\\ x-arctanx&=\frac{1}{3}x^3+o(x^3) \end{align}即有\begin{align*} tanx - sinx &\sim \frac{1}{2}x^3\\ x - sinx &\sim \frac{1}{6}x^3\\ arcsinx - x &\sim\frac{1}{6}x^3\\ tanx - x &\sim \frac{1}{3}x^3\\ x-arctanx &\sim\frac{1}{3}x^3 \end{align*}还可以得到(x\rightarrow0) ：\begin{align} x-\ln \left( 1+x \right) \,&\sim\frac{x^2}{2} \\ e^x-1-x\,&\sim \frac{x^2}{2} \\ 1-\cos ^ax\ &\sim \frac{ax^2}{2} \\ f\left( x \right)^{g\left( x \right)}-1 &\sim g\left( x \right)\left[ f\left( x \right) -1 \right] \qquad \left( 当f\left( x \right) \rightarrow 1\text{且}f\left( x\right) ^{g\left( x \right)}\rightarrow 1 \right)\end{align}注：上述四结论来自：有时还会用到\left( 1+x \right) ^{\frac{1}{x}}=e-\frac{e}{2}x+\frac{11e}{24}{x^2}+o\left( x^2 \right) [2]一般地\begin{align} e^{x}&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!} =1+x+\frac{x^{2}}{2 !}+\cdots+\frac{x^{n}}{n!} x^{n}+\cdots \\ \ sinx&=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2 n+1) !} x^{2 n+1}=x-\frac{x^{3}}{3 !} +\frac{x^{5}}{5!} -\cdots+\frac{(-1)^{n}}{(2 n+1) !} x^{2 n+1}+\cdots\\ \ cos x&=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2 n) !}x^{2 n}=1-\frac{x^{2}}{2!} +\frac{x^{4}}{4!} -\cdots+\frac{(-1)^{n}}{(2n)!} x^{2n}+\cdots \\ \ ln(1+x)&=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n+1}x^{n+1}=x-\frac{1}{2} x^{2}+\frac{1}{3} x^{3}-\cdots+\frac{(-1)^{n}}{n+1} x^{n+1}+\cdots, x \in(-1,1] \\ \frac{1}{1-x}&=\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots+x^{n}+\cdots, x \in(-1,1) \\ \frac{1}{1+x} &= \sum_{n = 0}^{\infty}(-1)^{n} x^{n} = 1-x+x^{2}-x^{3}+\cdots+(-1)^{n} x^{n}+\cdots, x\in(-1,1) \\ (1+x)^{\alpha} &= 1+\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{\alpha(\alpha-1) \cdots(\alpha-n+1)}{n !} x^{n} = 1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2 !}x^{2}+\cdots+\frac{\alpha(\alpha-1) \ldots(\alpha-n+1)}{n !} x^{n}+\cdots, x \in(-1,1) \\ \arctan x &=\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2 n+1} x^{2\pi+1} = x-\frac{1}{3} x^{3}+\frac{1}{5}x^{5}+\cdots+\frac{(-1)^{n}}{2 n+1} x^{2 n+1}+\cdots, x \in[-1,1] \\ \end{align}{\LARGE \begin{align} \arcsin x &= \sum_{n =0}^{\infty} \frac{(2 n!)x^{2n+1}}{4^{n}(n !)^{2}(2n+1)} = x+\frac{1}{6} x^{3}+\frac{3}{40}x^{5}+\frac{5}{112} x^{7}+\frac{35}{1152}x^{2}+\cdots+\frac{(2 n) !}{4^{n}(n !)^{2}(2 n+1)}x^{2 n+1}+\cdots, x \in(-1,1) \\ \tan x &= \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{B_{2n}4^{n}(4^{n}-1)}{(2 n) !} x^{2n-1} = x+\frac{1}{3} x^{3}+\frac{2}{15}x^{5}+\frac{17}{315} x^{7}+\frac{62}{2835}x^{9}+\frac{1382}{155925} x^{11}+\frac{21844}{6081075} x^{13}+\frac{929569}{} x^{15}+\cdots ,x \in(-1,1) \\ \sec x &= \sum_{\pi = 0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}E_{2n} x^{2 n}}{(2 n) !} = 1+\frac{1}{2} x^{2}+\frac{5}{24} x^{4}+\frac{61}{720} x^{6}+\cdots, x \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)\\ \csc x &=\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} 2\left(2^{2\mathrm{n}-1}-1\right) B_{2n}}{(2 n) !} x^{2 x-1} =\frac{1}{x}+\frac{1}{6} x+\frac{7}{360}x^{3}+\frac{31}{15120} x^{5}+\frac{127}{604800}x^{7}+\frac{73}{3421440} x^{2}+\frac{1414477}{}x^{11}+\cdots, x \in(0, \pi)\\ \cot x &= \sum_{n =0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} 2^{2n} B_{2n}}{(2 n) !}x^{2 n-1} = \frac{1}{x}-\frac{1}{3} x-\frac{1}{45}x^{3}-\frac{2}{945} x^{5}-\cdots, x \in(0, \pi)\end{align}}相关链接：1.^利用arccosx = pi/2 - arcsinx即可得出。

常见泰勒公式展开式大全

常见泰勒公式展开式大全泰勒公式，又称为克里拉耶泰勒公式，是一种非常有用的数学公式，可以用于求解一元函数的极限问题。

更具体点，可以用它对函数进行无穷多次展开，从而求出其展开式及其对应的前几项的值。

几何意义上，它可以表示为点（极限）的切线，表达的是最接近极限的线段。

那么，什么是泰勒公式展开式呢？它可以定义为代数多项式，可以用一般形式来表达：P(x) = f(x) + f'(x)*x + f''(x)*x^2/2 + f'''(x)*x^3/6 + ...其中，f(x)为指定函数，f'(x)表示函数的一阶导数，f''(x)表示函数的二阶导数，以此类推。

所以，泰勒公式展开式可以由指定函数的各个阶数导数及其乘以相应阶数的次幂组合而成。

下面，我们就常见的泰勒公式展开式进行分类总结：1、erf(x)的展开式：erf(x) = 2x*sqrt(pi) / (2x*sqrt(pi) + e^(-x^2)).2、sin(x)的展开式：sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...3、cos(x)的展开式：cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! + ...4、exp(x)的展开式：exp(x) = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + x^4/4! + ...5、ctan(x)的展开式：ctan(x) = x + x^3/3 + 2*x^5/15 + 17*x^7/315 + ...以上为常见泰勒公式展开式大全，也可以对各种复杂的函数采用泰勒公式来进行展开，但此时的展开式往往会出现非常复杂且准确度较低的情况，因此多采用数值计算，比如欧拉法、拉格朗日法等方法来求解。

泰勒公式展开式大全

泰勒公式展开式大全泰勒公式是微积分中的一个重要概念，它可以将一个函数在某一点附近展开成无穷级数的形式，从而可以用多项式来逼近原函数。

泰勒公式的应用非常广泛，涉及到物理、工程、经济等各个领域。

在本文中，我们将介绍泰勒公式的基本概念和展开式的计算方法，并列举一些常见函数的泰勒展开式，希望能对读者有所帮助。

首先，我们来看泰勒公式的基本形式。

对于一个充分光滑的函数f(x)，在点x=a处的泰勒展开式可以表示为：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ... 。

其中，f'(a)表示f(x)在x=a处的一阶导数，f''(a)表示f(x)在x=a处的二阶导数，以此类推。

展开式中的每一项都可以由原函数在点x=a处的导数来确定，这就是泰勒展开式的基本思想。

接下来，我们将列举一些常见函数的泰勒展开式。

首先是指数函数e^x，在点x=0处的泰勒展开式为：e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...这个展开式实际上就是指数函数的麦克劳林展开式，它在数学分析和物理计算中有着广泛的应用。

另一个常见的函数是三角函数sin(x)，在点x=0处的泰勒展开式为：sin(x) = x x^3/3! + x^5/5! x^7/7! + ...这个展开式可以用来近似计算sin(x)的值，尤其是在计算机程序中经常会用到。

除了指数函数和三角函数，对数函数ln(1+x)的泰勒展开式也是非常重要的。

在点x=0处的展开式为：ln(1+x) = x x^2/2 + x^3/3 x^4/4 + ...这个展开式在微积分和数学分析中有着重要的应用，可以用来近似计算对数函数的值。

除了这些常见的函数，泰勒展开式还可以用于其他各种函数的近似计算。

通过计算函数在某一点处的导数，我们可以得到它的泰勒展开式，从而可以用多项式来逼近原函数。

常用泰勒公式

常用泰勒公式泰勒公式是微积分中非常重要且常用的数学工具，它可以将一个光滑函数在一些点附近展开成一个幂级数。

这个级数可以用来近似计算函数的值或者研究函数的性质，对于数学分析和物理学等领域都有广泛的应用。

本文将讨论常用的泰勒公式，以及它们的推导和应用。

在数学中，给定一个函数f(x)，我们希望在一些点a附近用一个多项式来近似表示它，那么泰勒公式就是这个多项式的展开式。

它的一般形式可以表示为：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+f'''(a)(x-a)^3/3!+...这里f'(x)表示函数f(x)的一阶导数，f''(x)表示函数f(x)的二阶导数，依此类推。

上式中的a表示展开点。

泰勒公式的推导需要使用泰勒定理，即函数在展开点a附近满足若干阶导数连续的条件。

根据泰勒定理，我们可以得到泰勒公式的不同形式。

接下来，我们将讨论常用的几种泰勒公式及其推导与应用。

1.麦克劳林级数：当展开点a=0时，泰勒公式就变成了麦克兰林级数。

对于一个在原点附近光滑的函数f(x)，它的麦克兰林级数可以表示为：f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)x^2/2!+f'''(0)x^3/3!+...例如，可以使用麦克兰林级数来近似计算指数函数e^x的值：e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+...通过不断增加级数的项数，我们可以得到越来越精确的近似值。

这在计算机科学和工程学中经常用到。

2.海涅级数：当展开点a不等于零时，泰勒公式变成了海涅级数。

它可以表示为：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+f'''(a)(x-a)^3/3!+...通过选择合适的展开点，海涅级数可以用来近似计算函数在该点附近的值。

3-3泰勒公式7页word

两函数及在以及为端点的区间上满足柯西中值定理的条件,得
如此下去,经过次后,得
( ,也在与之间)
则由上式得
称为按的幂展开的n次近似多项式
称为按的幂展开的n阶泰勒公式
拉格朗日形式的余值公式
2.取 ,
在与之间,令则余项
麦克劳林(Maclaurin)公式
一、问题的提出
1.设在处连续,则有
[ ]
2.设在处可导,则有
例如,当很小时, ,
（如下图）
不足:1、精确度不高；2、误差不能估计。
问题:寻找函数 ,使得
误差可估计
设函数在含有的开区间内具有直到阶导数, 为多项式函数
误差
二、和的确定
分析:1.若在点相交
2.若有相同的切线
3.若弯曲方向相同
四、简单的应用
例1求的阶麦克劳林公式.
解：
，代入公式,得
由公式可知
估计误差
其误差
常用函数的麦克劳林公式
例2计算 .
解：
五、小结
1.Taylor公式在近似计算中的应用;
2.Taylor公式的数学思想---局部逼近.
思考题
利用泰勒公式求极限
思考题解答
，
章节题目
第三节泰勒（Tylor）公式
内容提要
泰勒(Taylor)公式
麦克劳林(Maclaurin)公式
泰勒中值定理与拉格朗日中值定理的联系
函数的展开
利用泰勒公式求极限
重点分析
泰勒(Taylor)公式、麦克劳林(Maclaurin)公式的应用
难点分析
求函数的n阶泰勒公式、麦克劳林公式
习题布置

泰勒公式的证明及应用(1)word资料14页

一．摘要 (3)前言 (3)二、泰勒公式极其极其证明........................ (3)（一）带有皮亚诺型余项的泰勒公式 (3)（二）带有拉格朗日型余项的泰勒公式 (4)（三）带有柯西型余项的泰勒公式 (5)（四）积分型泰勒公式 (6)（五）二元函数的泰勒公式 (7)三、泰勒公式的若干应用 (8)（一）利用泰勒公式求极限 (8)（二）利用泰勒公式求高阶导数 (9)（三）利用泰勒公式判断敛散性 (10)（四）利用泰勒公式证明中值定理 (12)（五）利用泰勒公式证明不等式 (13)（六）利用泰勒公式求近似和值误差估计 (15)（七）利用泰勒公式研究函数的极值 (16)四、我对泰勒公式的认识 (16)参考文献 (17)英文翻译 (17)Taylor公式的证明及应用【摘要】数学中的著名的公式都是一古典的数学问题，它们在数学，化学与物理领域都有很广泛的运用。

在现代数学中Taylor公式有着重要地位，它对计算极限，敛散性的判断，不等式的证明、中值问题及高阶导的计算以及近似值的计算等方面都有很大的作用。

在本文中，我将谈到关于公式的几种形式及其证明方法并对以上几个方面进一步的运用，和我对几者之间的一些联系和差异的看法。

并通过具体事例进行具体的说明相关运用方法【关键词】泰勒公式佩亚诺余项拉格朗日余项极限级数1、常见Taylor 公式定义及其证明我们通常所见的Taylor 公式有皮亚诺型、拉格朗日型、柯西型与积分型，还有常用的二元函数的Taylor 公式和高阶函数的Taylor 公式。

定义：设函数存在n 阶导数，由这些导数构成n 次多项式，称为函数在该点处的泰勒多项式各项系数称为泰勒系数。

1.1首先是带皮亚诺型余项的Taylor 公式：若函数f 在点0x 存在且有n 阶导数，则有0()()(())n n f x T x x x =+ο-即"'200000()()()()()()2!f x f x f x f x x x x x =+-+-+⋯()00()()!n n f x x x n +-0(())n x x +ο-. (2) 其中()n T x 是由这些导数构造的一个n 次多项式，"()'20000000()()()()()()()()2!!n n n f x f x T x f x f x x x x x x x n =+-+-+⋯+- （3）称为函数f 在点0x 处的Taylor 多项式，()n T x 的各项系数()0()!k f x k (1,2,,)k n =⋯称为Taylor 系数。

泰勒公式概述范文

泰勒公式概述范文泰勒公式是一种用于近似函数在特定点附近的展开式的数学工具。

它由格奥尔格·泰勒在18世纪提出，是微积分中的重要概念，常用于物理学、工程学和计算机科学等领域。

泰勒公式可以将任意可导函数在其中一点的附近表示为一个无限级数，从而将原始函数近似为多项式。

这种近似可以提供有关原函数在给定点附近的性质的信息，例如函数值、导数、曲率等等。

泰勒公式的一般形式如下：\[f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{{f''(a)}}{{2!}}(x -a)^2 + \frac{{f'''(a)}}{{3!}}(x - a)^3 + \cdots\]其中，$f(x)$是要近似的函数，$a$是近似点，$f(a)$是函数在$a$处的值，$f'(a)$是函数在$a$处的导数，$f''(a)$是函数在$a$处的二阶导数，以此类推。

这一级数被称为泰勒级数。

式中的$x-a$是$x$相对于近似点$a$的偏差。

它以一次方的形式出现在展开式中。

每个附加项都是偏差的高阶幂次的乘积，乘以函数在$a$处的对应导数。

这种形式的展开式使得我们可以通过不断增加级数项来逐渐增加近似的精确度。

泰勒级数的级数收敛性和收敛半径取决于原始函数在展开点附近的性质。

函数越光滑、越接近线性，泰勒展开越快收敛。

在一些情况下，级数可以收敛到整个定义域内。

泰勒公式的应用非常广泛。

它可以用于解决函数近似、优化问题、数值计算和物理问题。

通过截断级数，我们可以得到多项式近似函数，这对于计算机科学中的函数求值和近似问题非常有用。

泰勒公式的一个重要推广形式是麦克劳林级数展开。

麦克劳林级数是泰勒级数的一个特殊情况，其中展开点$a=0$。

麦克劳林级数展开常用于计算机科学中的近似函数和数值计算问题。

总之，泰勒公式是微积分中的重要工具，它可以将函数在其中一点的附近用级数展开，从而提供了函数在该点附近的近似值和性质的信息。