最新人教版高中数学必修3第三章《古典概型》示范教案1

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最新人教版高中数学必修3第三章“古典概型的特征和概率计算公式”教案

最新人教版高中数学必修3第三章“古典概型的特征和概率计算公式”教案

古典概型的特征和概率计算公式一.教学目标:1.知识与技能:(1)通过实例,使学生理解古典概型的两个基本物征,掌握古典概型的概率计算公式;(2)会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及其发生的概率。

2.过程与方法:通过生活中的实例分析,使学生理解古典概型的特征,和掌握古典概型的概率计算公式及会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数与其发生的概率。

3.情感态度与价值观:通过生活中的实例分析,培养学生的分析、归纳概括等解决问题的能力。

同时,使学生认识到数学来源于生活,用于生活,从而培养学生学习数学的兴趣。

二.教学重、难点:1、重点:理解古典概型的两个基本特征,掌握古典概型的概率计算公式及其运用;2、难点:古典概型的概率计算公式及运用。

三.学法与教学用具:1.学法:学生在教师的引导下,分析问题,相互交流,归纳概括。

从而得出古典概型的两个特征和概率计算公式。

2.教学用具:多媒体四.教学设想1.创设情境,揭示课题:前面,我们可以通过大量重复试验,得到某个事件发生的频率,进而估计其发生的概率。

这一节课,我们不做大量的重复试验,就下列事件直接分析它的概率大小:(1)掷一枚均匀硬币出现“正面向上”的概率是多少?(2)掷一枚骰子,出现“正面是3”的概率是多少?出现正面是3的倍数的概率是多少?(3)本班有60名学生,其中女生24人,现任选1人,则被选中的是男生的概率是多少?被选中的是女生的概率是多少?由于抛硬币,掷骰子,选学生代表都是学生熟悉的事件,且前面我们已动手做过有关的试验,因此放手让学生根据上节课的试验及日常经验去分析,然后教师进行总结。

2.探索研究:请从前面的分析中回答以下两个问题;问题1:上面三个试验的每个试验的所有可能结果是否只有有限个?每次试验是否只出现其中的一个结果?问题2:每一个试验结果出现的可能性是否相同?(1)引导学生通过以上的的问题,归纳出古典概型的特征,并理解(注:先让学生归纳,老师再纠正、补充、总结)。

示范教案(3.2.1--古典概型)

示范教案(3.2.1--古典概型)

示范教案(3.2.1--古典概型)3.2 古典概型3.2.1 古典概型整体设计教学分析本节课是高中数学3(必修)第三章概率的第二节古典概型的第一课时,是在随机事件的概率之后,几何概型之前,尚未学习排列组合的情况下教学的.古典概型是一种特殊的数学模型,也是一种最基本的概率模型,在概率论中占有相当重要的地位.学好古典概型可以为其他概率的学习奠定基础,同时有利于理解概率的概念,有利于计算一些事件的概率,有利于解释生活中的一些问题.根据本节课的内容和学生的实际水平,通过模拟试验让学生理解古典概型的特征:试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性,观察类比各个试验,归纳总结出古典概型的概率计算公式,体现了化归的重要思想,掌握列举法,学会运用数形结合、分类讨论的思想解决概率的计算问题.概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义,加强与实际生活的联系,以科学的态度评价身边的一些随机现象.适当地增加学生合作学习交流的机会,尽量地让学生自己举出生活和学习中与古典概型有关的实例.使得学生在体会概率意义的同时,感受与他人合作的重要性以及初步形成实事求是的科学态度和锲而不舍的求学精神.三维目标1.根据本节课的内容和学生的实际水平,通过模拟试验让学生理解古典概型的特征:试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性,观察类比各个试验,正确理解古典概型的两大特点;树立从具体到抽象、从特殊到一般的辩证唯物主义观点,培养学生用随机的观点来理性地理解世界,使得学生在体会概率意义的同时,感受与他人合作的重要性以及初步形成实事求是的科学态度和锲而不舍的求学精神.2.鼓励学生通过观察、类比,提高发现问题、分析问题、解决问题的能力,归纳总结出古典概型的概率计算公式,掌握古典概型的概率计算公式;注意公式:P (A )=总的基本事件个数包含的基本事件个数A 的使用条件——古典概型,体现了化归的重要思想.掌握列举法,学会运用分类讨论的思想解决概率的计算问题,增强学生数学思维情趣,形成学习数学知识的积极态度.重点难点教学重点:理解古典概型的概念及利用古典概型求解随机事件的概率.教学难点:如何判断一个试验是否是古典概型,分清在一个古典概型中某随机事件包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数.课时安排1课时教学过程导入新课思路1(1)掷一枚质地均匀的硬币,结果只有2个,即“正面朝上”或“反面朝上”,它们都是随机事件. (2)一个盒子中有10个完全相同的球,分别标以号码1,2,3,...,10,从中任取一球,只有10种不同的结果,即标号为1,2,3, (10)思考讨论根据上述情况,你能发现它们有什么共同特点?为此我们学习古典概型,教师板书课题.思路2将扑克牌(52张)反扣在桌上,先从中任意抽取一张,那么抽到的牌为红心的概率有多大?是否一定要进行大量的重复试验,用“出现红心”这一事件的频率估计概率?这样工作量较大且不够准确.有更好的解决方法吗?把“抽到红心”记为事件B,那么事件B 相当于“抽到红心1”,“抽到红心2”,…,“抽到红心K”这13种情况,而同样抽到其他牌的共有39种情况;由于是任意抽取的,可以认为这52种情况的可能性是相等的.所以,当出现红心时“抽到红心1”,“抽到红心2”,…,“抽到红心K”这13种情形之一时,事件B就发生,于是P(B)=5213=41.为此我们学习古典概型. 推进新课新知探究提出问题试验一:抛掷一枚质地均匀的硬币,分别记录“正面朝上”和“反面朝上”的次数,要求每个数学小组至少完成20次(最好是整十数),最后由学科代表汇总;试验二:抛掷一枚质地均匀的骰子,分别记录“1点”“2点”“3点”“4点”“5点”和“6点”的次数,要求每个数学小组至少完成60次(最好是整十数),最后由学科代表汇总.(1)用模拟试验的方法来求某一随机事件的概率好不好?为什么?(2)根据以前的学习,上述两个模拟试验的每个结果之间都有什么特点?(3)什么是基本事件?基本事件具有什么特点?(4)什么是古典概型?它具有什么特点?(5)对于古典概型,应怎样计算事件的概率?活动:学生展示模拟试验的操作方法和试验结果,并与同学交流活动感受,讨论可能出现的情况,师生共同汇总方法、结果和感受.讨论结果:(1)用模拟试验的方法来求某一随机事件的概率不好,因为需要进行大量的试验,同时我们只是把随机事件出现的频率近似地认为随机事件的概率,存在一定的误差.(2)上述试验一的两个结果是“正面朝上”和“反面朝上”,它们都是随机事件,出现的概率是相等的,都是0.5.上述试验二的6个结果是“1点”“2点”“3点”“4点”“5点”和“6点”,它们也都是随机1.事件,出现的概率是相等的,都是6(3)根据以前的学习,上述试验一的两个结果“正面朝上”和“反面朝上”,它们都是随机事件;上述试验二的6个结果“1点”“2点”“3点”“4点”“5点”和“6点”,它们都是随机事件,像这类随机事件我们称为基本事件(elementary event);它是试验的每一个可能结果.基本事件具有如下的两个特点:①任何两个基本事件是互斥的;②任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.(4)在一个试验中如果①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;(有限性)②每个基本事件出现的可能性相等.(等可能性)我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型(classical models of probability),简称古典概型.向一个圆面内随机地投射一个点,如果该点落在圆内任意一点都是等可能的,你认为这是古典概型吗?为什么?因为试验的所有可能结果是圆面内所有的点,试验的所有可能结果数是无限的,虽然每一个试验结果出现的“可能性相同”,但这个试验不满足古典概型的第一个条件.如下图,某同学随机地向一靶心进行射击,这一试验的结果只有有限个:命中10环、命中9环……命中5环和不中环.你认为这是古典概型吗?为什么?不是古典概型,因为试验的所有可能结果只有7个,而命中10环、命中9环……命中5环和不中环的出现不是等可能的,即不满足古典概型的第二个条件.(5)古典概型,随机事件的概率计算对于实验一中,出现正面朝上的概率与反面朝上的概率相等,即P (“正面朝上”)=P (“反面朝上”) 由概率的加法公式,得P (“正面朝上”)+P (“反面朝上”)=P (必然事件)=1.因此P (“正面朝上”)=P (“反面朝上”)=21. 即P (“出现正面朝上”)=基本事件的总数数所包含的基本事件的个出现正面朝上""21 . 试验二中,出现各个点的概率相等,即P (“1点”)=P (“2点”)=P (“3点”)=P (“4点”)=P (“5点”)=P (“6点”).反复利用概率的加法公式,我们有P (“1点”)+P (“2点”)+P (“3点”)+P (“4点”)+P (“5点”)+P (“6点”)=P (必然事件)=1.所以P (“1点”)=P (“2点”)=P (“3点”)=P (“4点”)=P (“5点”)=P (“6点”)=61. 进一步地,利用加法公式还可以计算这个试验中任何一个事件的概率,例如,P (“出现偶数点”)=P (“2点”)+P (“4点”)+P (“6点”)=61+61+61=63=21.即P (“出现偶数点”)=基本事件的总数数所包含的基本事件的个出现偶数点""63 . 因此根据上述两则模拟试验,可以概括总结出,古典概型计算任何事件的概率计算公式为:P (A )=基本事件的总数数所包含的基本事件的个A . 在使用古典概型的概率公式时,应该注意: ①要判断该概率模型是不是古典概型;②要找出随机事件A 包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数.下面我们看它们的应用.应用示例思路1例1 从字母a,b,c,d 中任意取出两个不同字母的试验中,有哪些基本事件?活动:师生交流或讨论,我们可以按照字典排序的顺序,把所有可能的结果都列出来.解:基本事件共有6个:A={a,b},B={a,c},C={a,d},D={b,c},E={b,d},F={c,d}.点评:一般用列举法列出所有基本事件的结果,画树状图是列举法的基本方法.分布完成的结果(两步以上)可以用树状图进行列举.变式训练用不同的颜色给下图中的3个矩形随机地涂色,每个矩形只涂一种颜色,求:(1)3个矩形颜色都相同的概率;(2)3个矩形颜色都不同的概率.分析:本题中基本事件比较多,为了更清楚地枚举出所有的基本事件,可以画图枚举如下:(树形图)解:基本事件共有27个.(1)记事件A=“3个矩形涂同一种颜色”,由上图可以知道事件A 包含的基本事件有1×3=3个,故P(A)=91273=. (2)记事件B=“3个矩形颜色都不同”,由上图可以知道事件B 包含的基本事件有2×3=6个,故P(B)=92276=.答:3个矩形颜色都相同的概率为91;3个矩形颜色都不同的概率为92.例 2 单选题是标准化考试中常用的题型,一般是从A,B,C,D 四个选项中选择一个正确答案.如果考生掌握了考查的内容,他可以选择唯一正确的答案.假设考生不会做,他随机地选择一个答案,问他答对的概率是多少?活动:学生阅读题目,搜集信息,交流讨论,教师引导,解决这个问题的关键,即讨论这个问题什么情况下可以看成古典概型.如果学生掌握或者掌握了部分考查内容,这都不满足古典概型的第2个条件——等可能性,因此,只有在假定学生不会做,随机地选择了一个答案的情况下,才可以化为古典概型.解:这是一个古典概型,因为试验的可能结果只有4个:选择A 、选择B 、选择C 、选择D,即基本事件共有4个,考生随机地选择一个答案是选择A,B,C,D 的可能性是相等的.从而由古典概型的概率计算公式得:P (“答对”)=41"" 基本事件的总数数所包含的基本事件的个答对=0.25.点评:古典概型解题步骤:(1)阅读题目,搜集信息;(2)判断是否是等可能事件,并用字母表示事件;(3)求出基本事件总数n和事件A所包含的结果数m;m求出概率并下结论.(4)用公式P(A)=n变式训练1.两枚均匀硬币,求出现两个正面的概率.解:样本空间:{甲正乙正,甲正乙反,甲反乙正,甲反乙反}.这里四个基本事件是等可能发生的,故属古典概型.1.n=4,m=1,P=42.一次投掷两颗骰子,求出现的点数之和为奇数的概率.解法一:设表示“出现点数之和为奇数”,用(i,j)记“第一颗骰子出现i点,第二颗骰子出现j点”,i,j=1,2,…6.显然出现的36个基本事件组成等概样本空间,其中A包含1. 的基本事件个数为k=3×3+3×3=18,故P(A)=2解法二:若把一次试验的所有可能结果取为:(奇,奇),(奇,偶),(偶,奇),(偶,偶),则它们也组成等概率样本空间.基本事件总数n=4,A 包含的基本事件个数k=2,故P(A)=21. 解法三:若把一次试验的所有可能结果取为:{点数和为奇数},{点数和为偶数},也组成等概率样本空间,基本事件总数n=2,A 所含基本事件数为1,故P(A)=21. 注:找出的基本事件组构成的样本空间,必须是等概率的.解法2中倘若解为:(两个奇),(一奇一偶),(两个偶)当作基本事件组成样本空间,则得出P(A)=31,错的原因就是它不是等概率的.例如P (两个奇)=41,而P (一奇一偶)=21.本例又告诉我们,同一问题可取不同的样本空间解答. 例3 同时掷两个骰子,计算:(1)一共有多少种不同的结果?(2)其中向上的点数之和是5的结果有多少种?(3)向上的点数之和是5的概率是多少?解:(1)掷一个骰子的结果有6种.我们把两个骰子标上记号1,2以便区分,由于1号骰子的每一个结果都可与2号骰子的任意一个结果配对,组成同时掷两个骰子的一个结果,因此同时掷两个骰子的结果共有36种.(2)在上面的所有结果中,向上的点数之和为5的结果有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),其中第一个数表示1号骰子的结果,第二个数表示2号骰子的结果.(3)由于所有36种结果是等可能的,其中向上点数之和为5的结果(记为事件A)有4种,因此,由古典概型的概率计算公式可得P(A)=91364 . 例4 假设储蓄卡的密码由4个数字组成,每个数字可以是0,1,2,…,9十个数字中的任意一个.假设一个人完全忘记了自己的储蓄卡密码,问他到自动取款机上随机试一次密码就能取到钱的概率是多少?解:一个密码相当于一个基本事件,总共有10 000个基本事件,它们分别是0000,0001,0002,…,9998,9999.随机地试密码,相当于试到任何一个密码的可能性都是相等的,所以这是一个古典概型.事件“试一次密码就能取到钱”由1个基本事件构成,即由正确的密码构成.1.所以P(“试一次密码就能取到钱”)=100001的事件是小概率事件,通常我们发生概率为10000认为这样的事件在一次试验中是几乎不可能发生的,也就是通过随机试验的方法取到储蓄卡中的钱的概率是很小的.但我们知道,如果试验很多次,比如100 000次,那么这个小概率事件是可能发生的.所以,为了安全,自动取款机一般允许取款人最多试3次密码,如果第4次键入的号码仍是错误的,那么取款机将“没收”储蓄卡.另外,为了使通过随机试验的方法取到储蓄卡中的钱的概率更小,现在储蓄卡可以使用6位数字作密码.人们为了方便记忆,通常用自己的生日作为储蓄卡的密码.当钱包里既有身份证又有储蓄卡时,密码泄密的概率很大.因此用身份证上的号码作密码是不安全的.例5 某种饮料每箱装6听,如果其中有2听不合格,问质检人员从中随机抽出2听,检测出不合格产品的概率有多大?解:我们把每听饮料标上号码,合格的4听分别记作:1,2,3,4,不合格的2听分别记作a,b,只要检测的2听中有1听不合格,就表示查出了不合格产品.依次不放回地从箱中取出2听饮料,得到的两个标记分别记为x 和y,则(x,y)表示一次抽取的结果,即基本事件.由于是随机抽取,所以抽取到任何基本事件的概率相等.用A 表示“抽出的2听饮料中有不合格产品”,A 1表示“仅第一次抽出的是不合格产品”,A 2表示“仅第二次抽出的是不合格产品”,A 12表示“两次抽出的都是不合格产品”,则A 1,A 2和A 12是互不相容的事件,且A=A 1∪A 2∪A 12,从而P(A)=P(A 1)+P(A 2)+P(A 12). 因为A 1中的基本事件的个数为8,A 2中的基本事件的个数为8,A 12中的基本事件的个数为2,全部基本事件的总数为30,所以P(A)=302308308++=0.6. 思路2例1 一个口袋内装有大小相同的5只球,其中3只白球,2只黑球,从中一次摸出两个球,(1)共有多少个基本事件?(2)摸出的两个都是白球的概率是多少?活动:可用枚举法找出所有的等可能基本事件. 解:(1)分别记白球为1,2,3号,黑球4,5号,从中摸出2只球,有如下基本事件(摸到1,2号球用(1,2)表示):(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4, 5).因此,共有10个基本事件.(2)上述10个基本事件发生的可能性是相同的,且只有3个基本事件是摸到两个白球(记为事件3.A),即(1,2),(1,3),(2,3),故P(A)=103. ∴共有10个基本事件,摸到两个白球的概率为10变式训练将一颗骰子先后抛掷两次,观察向上的点数,问:(1)共有多少种不同的结果?(2)两数的和是3的倍数的结果有多少种?(3)两数和是3的倍数的概率是多少?解析:(1)将骰子抛掷1次,它出现的点数有1,2,3,4,5,6这6种结果.先后抛掷两次骰子,第一次骰子向上的点数有6种结果,第2次又有6种可能的结果,于是一共有6×6=36种不同的结果;(2)第1次抛掷,向上的点数为1,2,3,4,5,6这6个数中的某一个,第2次抛掷时都可以有两种结果,使向上的点数和为3的倍数(例如:第一次向上的点数为4,则当第2次向上的点数为2或5时,两次的点数的和都为3的倍数),于是共有6×2=12种不同的结果;(3)记“向上点数和为3的倍数”为事件A,则事件A 的结果有12种,因为抛两次得到的36种结果是等可能出现的,所以所求的概率为P(A)=3612=31. 答:先后抛掷2次,共有36种不同的结果;点数的和是3的倍数的结果有12种;点数的和是3的倍数的概率为31. 说明:也可以利用图表来数基本事件的个数:例2 从含有两件正品a 1,a 2和一件次品b 1的三件产品中,每次任取一件,每次取出后不放回,连续取两次,求取出的两件产品中恰有一件次品的概率.活动:学生思考或交流,教师引导,每次取出一个,取后不放回,其一切可能的结果组成的基本事件是等可能发生的,因此可用古典概型解决.解:每次取出一个,取后不放回地连续取两次,其一切可能的结果组成的基本事件有6个,即(a 1,a 2)和(a 1,b 2),(a 2,a 1),(a 2,b 1),(b 1,a 1),(b 1,a 2).其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品,右边的字母表示第2次取出的产品用A 表示“取出的两种中,恰好有一件次品”这一事件,则A=[(a 1,b 1),(a 2,b 1),(b 1,a 1),(b 1,a 2)],事件A 由4个基本事件组成,因而,P (A )=64=32.思考在上例中,把“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”,其余条件不变,求取出的两件中恰好有一件次品的概率.有放回地连续取出两件,其一切可能的结果有:(a 1,a 1),(a 1,a 2),(a 1,b 1),(a 2,a 1),(a 2,a 2),(a 2,b 1),(b 1,a 2),(b 1,b 1),由9个基本事件组成,由于每一件产品被取到的机会均等,因此可以认为这些基本事件的出现是等可能的.用B表示“恰有一件次品”这一事件,则B=[(a1,b1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2)],4.事件B包含4个基本事件,因而,P(B)=9点评:(1)在连续两次取出过程中,(a1,b1)与(b1,a1)不是同一个基本事件,因为先后顺序不同.(2)无论是“不放回抽取”还是“有放回抽取”,每一件产品被取出的机会都是均等的.变式训练现有一批产品共有10件,其中8件为正品,2件为次品:(1)如果从中取出一件,然后放回,再取一件,求连续3次取出的都是正品的概率;(2)如果从中一次取3件,求3件都是正品的概率.分析:(1)为放回抽样;(2)为不放回抽样. 解:(1)有放回地抽取3次,按抽取顺序(x,y,z)记录结果,则x,y,z都有10种可能,所以试验结果有10×10×10=103种;设事件A为“连续3次都取正品”,则包含的基本事件共有8×8×8=83种,因此,P(A)=33108=0.512.(2)解法1:可以看作不放回抽样3次,顺序不同,基本事件不同,按抽取顺序记录(x,y,z ),则x 有10种可能,y 有9种可能,z 有8种可能,所以试验的所有结果为10×9×8=720种.设事件B 为“3件都是正品”,则事件B 包含的基本事件总数为8×7×6=336,所以P(B)=720336≈0.467. 解法2:可以看作不放回3次无顺序抽样,先按抽取顺序(x,y,z )记录结果,则x 有10种可能,y 有9种可能,z 有8种可能,但(x,y,z ),(x,z,y ),(y,x,z ),(y,z,x ),(z,x,y ),(z,y,x )是相同的,所以试验的所有结果有10×9×8÷6=120,按同样的方法,事件B 包含的基本事件个数为8×7×6÷6=56,因此P(B)=12056≈0.467.点评:关于不放回抽样,计算基本事件个数时,既可以看作是有顺序的,也可以看作是无顺序的,其结果是一样的,但不论选择哪一种方式,观察的角度必须一致,否则会导致错误.知能训练本节练习1、2、3.拓展提升一个各面都涂有色彩的正方体,被锯成1 000个同样大小的小正方体,将这些正方体混合后,从中任取一个小正方体,求:(1)有一面涂有色彩的概率;(2)有两面涂有色彩的概率;(3)有三面涂有色彩的概率.解:在1 000个小正方体中,一面涂有色彩的有82×6个,两面涂有色彩的有8×12个,三面涂有色彩的有8个,∴(1)有一面涂有色彩的概率为384=0.384;P1=100096=0.096;(2)有两面涂有色彩的概率为P2=10008=0.008. (3)有三面涂有色彩的概率为P3=1000答:(1)一面涂有色彩的概率为0.384;(2)有两面涂有色彩的概率为0.096;(3)有三面涂有色彩的概率为0.008.课堂小结1.古典概型我们将具有(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;(有限性)(2)每个基本事件出现的可能性相等.(等可能性)这样两个特点的概率模型称为古典概率概型,简称古典概型.2.古典概型计算任何事件的概率计算公式P(A)=基本事件的总数数所包含的基本事件的个A.3.求某个随机事件A包含的基本事件的个数和实验中基本事件的总数的常用方法是列举法(画树状图和列表),应做到不重不漏.作业习题3.2 A组1、2、3、4.设计感想本节课的教学通过提出问题,引导学生发现问题,经历思考交流概括归纳后得出古典概型的概念,由两个问题的提出进一步加深对古典概型的两个特点的理解;再通过学生观察类比推导出古典概型的概率计算公式.这一过程能够培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力.在解决概率的计算上,教师鼓励学生尝试列表和画出树状图,让学生感受求基本事件个数的一般方法,从而化解由于没有学习排列组合而学习概率这一教学困惑.由此,整个教学设计可以在教师的期盼中实施.。

3.2《古典概型》教案1(新人教必修3)

3.2《古典概型》教案1(新人教必修3)

§3.2 古典概型(1)教学目标(1)理解基本事件、等可能事件等概念;(2)会用枚举法求解简单的古典概型问题;教学重点、难点古典概型的特征和用枚举法解决古典概型的概率问题.教学过程一、问题情境1.情境:将扑克牌(52张)反扣在桌上,先从中任意抽取一张,那么抽到的牌为红心的概率有多大?2.问题:是否一定要进行大量的重复试验,用“出现红心”这一事件的频率估计概率?这样工作量较大且不够准确.有更好的解决方法吗?二、学生活动把“抽到红心”记为事件B,那么事件B相当于“抽到红心1”,“抽到红心2”,…,“抽到红心K”这13中情况,而同样抽到其他牌的共有39种情况;由于是任意抽取的,可以认为这52中情况的可能性是相等的。

所以,当出现红心是“抽到红心1”,“抽到红心2”,…,“抽到红心K”这13中情形之一时,事件B就发生,于是131 ()524P B==;三、建构数学1.基本事件:在一次试验中可能出现的每一个基本结果称为基本事件;2.等可能基本事件:若在一次试验中,每个基本事件发生的可能性都相同,则称这些基本事件为等可能基本事件;3.古典概型:满足以下两个条件的随机试验的概率模型称为古典概型①所有的基本事件只有有限个;②每个基本事件的发生都是等可能的;4.古典概型的概率:如果一次试验的等可能基本事件共有n个,那么每一个等可能基本事件发生的概率都是1n,如果某个事件A包含了其中m个等可能基本事件,那么事件A发生的概率为()mP An=.四、数学运用1.例题:例1.一个口袋内装有大小相同的5只球,其中3只白球,2只黑球,从中一次摸出两个球,(1)共有多少个基本事件?(2)摸出的两个都是白球的概率是多少?分析:可用枚举法找出所有的等可能基本事件.解:(1)分别记白球为1,2,3号,黑球4,5号,从中摸出2只球,有如下基本事件(摸到1,2号球用(1,2)表示):(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3)(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)因此,共有10个基本事件.(2)上述10个基本事件法上的可能性是相同的,且只有3个基本事件是摸到两个白球(记为事件A),即(1,2),(1,3),(2,3,),故3()10P A=∴共有10个基本事件,摸到两个白球的概率为3 10;例2.豌豆的高矮性状的遗传由其一对基因决定,其中决定高的基因记为D,决定矮的基因记为d,则杂交所得第一子代的一对基因为Dd,若第二子代的,D d基因的遗传是等可能的,求第二子代为高茎的概率(只要有基因D则其就是高茎,只有两个基因全是d时,才显现矮茎).分析:由于第二子代的,D d基因的遗传是等可能的,可以将各种可能的遗传情形都枚举出来.解:Dd与Dd的搭配方式共有4中:,,,DD Dd dD dd,其中只有第四种表现为矮茎,故第二子代为高茎的概率为30.75 4=答:第二子代为高茎的概率为0.75.思考:第三代高茎的概率呢?2.练习:课本97页练习1,2,3五、回顾小结:1.古典概型、等可能事件的概念;2.古典概型求解――枚举法(枚举要按一定的规律);六、课外作业:课本第97页习题3.2第1、2、5、6题.§3.2 古典概型(2)教学目标(1)进一步掌握古典概型的计算公式;(2)能运用古典概型的知识解决一些实际问题;教学重点、难点古典概型中计算比较复杂的背景问题.教学过程一、问题情境问题:等可能事件的概念和古典概型的特征?二、数学运用例1.将一颗骰子先后抛掷两次,观察向上的点数,问:(1)共有多少种不同的结果?(2)两数的和是3的倍数的结果有多少种?(3)两数和是3的倍数的概率是多少?解:(1)将骰子抛掷1次,它出现的点数有1,2,3,4,5,6这6中结果。

高中数学(32古典概型)教案 新人教A版必修3 教案

高中数学(32古典概型)教案 新人教A版必修3 教案

古典概型一、教学内容解析1.本节课时高中数学(必修3)第三章概率的第二节古典概型的第一课时,是在学习了随机事件的概率、概率的加法公式之后,学习几何概型之前,尚未学习排列组合的情况下进行教学的.这节课的学习任务所包括的知识类型主要有:事实性知识:基本事件及古典概型的特点;概念性知识:基本事件及古典概型的概念,古典概型概率计算公式;元认知知识:根据古典概型的研究分析,解释和预测生活中的古典概率模型问题.2.古典概型在概率的学习中承上启下,不仅有利于进一步理解概率的有关概念,而且有助于几何概型的学习,也可以为以后概率的学习奠定基础.3.古典概型是一种特殊的数学模型,能培养学生建模的思想,同时其与生活联系密切,便于解释生活中的一些问题,增加学生学习数学的兴趣.二、教学目标设置1.知识与技能理解基本事件、等可能事件等概念;正确理解古典概型的特点;会用列举法求解简单的古典概型问题;掌握古典概型的概率计算公式.2.过程与方法通过对现实生活中具体的概率问题的探究,感受应用数学解决问题的方式,体会数学知识与现实世界的联系,培养学生的逻辑推理能力;通过模拟试验,感知应用数学解决问题的方法,自觉养成多动手、勤动脑的良好习惯.3.情感、态度与价值观在教师指导、学生参与的过程中培养学生的自主学习能力;同时,使其获得数学源于生活服务于生活的体验,培养学生应用数学的意识.三、学生学情分析我校是湖南省著名的示范性中学,学生学习基础较好.从课前的微视频自学反馈中,了解到学生在以下3个方面仍需加强.1.学生已经学习了概率的加法,能够比较熟练的应用互斥事件的概率运算法则进行计算.2.通过预习,学生能够初步了解基本事件及古典概型的概念,但对其深入的理解和应用还需加强.3.学生对古典概型及其概率计算公式含义的认识上并不能直击本质,因此在教学过程中,将采用自主探究、小组讨论等环节强调其本质含义,突破难点.四、教学策略分析1.有效开发、合理利用教材资源.以教材中两个试验的其中之一作为实验探究,将第二个试验进行适当改编,引导学生认识基本事件及其两大特点和古典概型的定义及特征.让学生自己动手体会在试验、合作中得到的新知,同时通过归纳总结对知识有更为深刻的理解和认识.2.学生已经学习了概率的相关基础知识,通过试验后,对古典概型也有了较初步的印象.为加深学生对古典概型两个特征的认识和理解,在例题中加强对有限性和等可能性的区分和辨别,使学生深刻领会”有限”和”等可能”的含义.五、教学过程(一)复习回顾引入课题分析掷硬币试验和抛掷骰子试验的试验结果,引出基本事件的定义及特点:一次试验中可能出现的每一个结果称为基本事件.(1)任何两个基本事件是互斥的;(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.引导学生进一步分析以上两个试验中基本事件的共同点,发现两个试验中的基本事件只有有限个,并得到关于“古典概型中每个基本事件出现的可能性相等”的猜想.【设计意图】课堂开始阶段,引导学生由之前课堂中曾完成过的掷硬币试验进行分析,让学生在熟悉的情景下、了解的知识中温故知新,得到基本事件的定义和特点.同时鼓励学生大胆猜想古典概型中基本事件的等可能性,培养学生的发散思维和研究精神.(二)试验探究概念形成实验目的:验证古典概型中基本事件的等可能性.实验内容:抛掷一颗骰子,统计实验中向上点数出现的次数.实验用具:质地均匀的骰子1个、空量杯一个、数据统计表1份.实验步骤:(1)3位同学为1个小组,3个小组为1个大组进行实验.(2)每小组中,第一位同学负责抛掷骰子,每次实验将骰子置于同一高度在(量杯口处)向下掷,待骰子静止后,观察实验结果;第二位同学负责记录实验结果;第三位同学负责监督实验过程,并检验统计数据.(3)小组实验结束后,将数据汇总至所在大组的实验数据统计表中.由学生展示每小组的统计结果,进行比较分析,然后师生合作将每小组的实验数据累加,并综合继续分析.最后运用EXCEL软件模拟掷骰子试验,得到1000次、10000次及100000次的试验结果,说明在大量的试验下,掷骰子试验中的六个基本事件出现的频率基本相等,也就验证了对于“古典概型中每个基本事件出现的可能性相等”的猜想.从而,通过掷一颗骰子的试验得到古典概型的概念:(1)试验中所有可能出现的基本事件的个数只有有限个;(2)每个基本事件出现的可能性相等.我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型.【设计意图】以抛掷骰子的数学实验作为切入点,在学生动手实践、动脑思考、数据分析的学习活动中,验证”每个基本事件出现的可能性相等”的猜想,并抽象出古典概型的概念.在实验过程中,突出了本节课的重点,培养了学生合作探究的能力,并进一步加深了学生对古典概型中基本事件的认识.1.下列概型是否为古典概型?(1)在长度为3厘米的线段AB上随机取一点C,求点A到点C的距离小于1的概率.你认为这是古典概型吗?为什么?分析:不是.具有等可能性,不具有有限性.(2)一颗质地均匀的骰子,在其一个面上标记1点,两个面上标记2点,三个面上标记3点,现掷这颗骰子,试验结果有:”出现1点”、”出现2点”、”出现3点”.你认为这是古典概型吗?为什么?分析:不是.具有有限性,不具有等可能性.2.你能举出生活中的古典概型例子吗?学生例举生活实例.【设计意图】通过2个问题,加深学生对有限性及等可能性的认识.让学生自己举例,即可加深学生对古典概型特征的理解,又可以将数学练习生活,提升学生的学习兴趣.通过学生对生活中实例的分析,进一步提出问题:既然生活中有如此多的古典概型,那么我们能否找到其概率计算的通法呢?再次回到刚刚的试验中,你能否求出“出现偶数点”这个随机事件的概率呢?学生以小组为单位进行讨论,引导学生应用古典概型特点及互斥事件概率加法公式得到问题答案,并归纳总结出古典概型的概率计算公式:()AP A包含的基本事件个数基本事件总数【设计意图】由学生小组讨论,得到事件“出现偶数点”的概率,进而归纳出古典概型的概率计算公式.在学习新知识的同时培养学生的沟通交流能力,也加深了学生对概率公式的理解.(三)例题精讲感悟本质例1 从一个装有4颗巧克力(形状大小均相同)的布袋中随机取出2颗巧克力.(1)若4颗巧克力中,红色、黄色、蓝色、绿色各1颗,写出所有的基本事件.(2)若4颗巧克力中,红色、黄色各2颗,写出所有的基本事件.(3)在(2)的条件下,计算取出的2颗均为黄色的概率.在第(1)问的解题过程中引入树状图法进行列举,使学生熟悉掌握列举的重要方法之一——树状图法.学生在对比(1)完成(2)时,往往容易忽视古典概型的两个特点,预计学生在求解时可能会有以下两种情况:①将黄色巧克力标号为1、2,红色巧克力标号为3、4,试验结果共6种:②不对巧克力进行编号,试验结果包含(黄,黄)(红,红)(红,黄)3种.针对学生出现的典型错误,引导学生独立思考、合作交流,并提出问题:上述两种计数方法是否符合古典概型的特点?你能解释其中的原因吗?待学生充分讨论后,由学生代表发言,引导学生认识到在第二种情况下得到的事件不是等可能发生,不具备古典概型的特点,故不能用古典概型的概率计算公式进行计算.【设计意图】例1是基于教科书中第125页例1创新改编而成,将原例题中的a b c d,,,四个字母换为不同颜色的巧克力,以“抽取巧克力”试验作为背景,让学生在轻松的氛围中通过观察分析掌握古典概型的两个特点.这样既培养了学生观察、分析问题和解决问题的能力,又有效地突破了本节课的教学难点.练习题:同时掷两枚硬币,出现”1个正面朝上、1个反面朝上”的概率是多少?由学生独立完成练习【设计意图】例题1中的(2)(3)问是本节课的难点,这里设计一道与之类似的习题,使学生在多次练习的过程中,突破这一难点.例2 同时掷两个骰子,求:(1)向上的点数均为3的概率.(2)向上的点数和为5的概率.(3)向上的点数和为偶数的概率.由学生自主解答,小组交流,学生代表向全班进行展示,同时在学生展示中,进一步强调古典概型的两个重要特点,并针对学生解答过程中可能出现的问题适当加以引导,【设计意图】为了固化古典概型的概念及其概率计算公式,我将教科书中例3的设问作了变式与创新,使学生能够熟练地运用列表法列出所有的基本事件,掌握古典概型的概率计算公式,加深对古典概型概念的理解.进一步突出本节课的教学重点.(四)回顾总结提炼要点这节课我们学习了哪些知识和方法?【设计意图】学生总结反思,进一步强调本节课内容的重点和难点和方法,培养学生提炼、总结、概括的能力.(五)课后拓展探究提升1、课后练习教科书130页,第2题、第 3题.2、思考提升下面有三个游戏规则,袋子中分别装有球,从袋中无放回的取球,分别计算甲获胜的概率,则游戏是公平的是()游戏1 游戏2 游戏31个红球和1个白球2个红球和2个白球3个红球和1个白球取1个球取1个球,再取1个球取1个球,再取1个球取出的球是红球,则甲胜取出的两个球同色,则甲胜取出的两个球同色,则甲胜取出的球是白球,则乙胜取出的两个球不同色,则乙胜取出的两个球不同色,则乙胜A.游戏1 B.游戏1和3 C.游戏2 D.游戏2和33、实践应用近年来,国家越来越重视商品的质量问题,经常组织质检部门对其进行抽样检测.请你收集相关的新闻材料、数据或进行实际的市场调查,从古典概型角度针对检测产品的数量和检测出不合格产品的概率进行分析研究,说明质量抽检的科学性或提出你的建议.【设计意图】在作业的布置中,注意将双基训练与能力发展相结合.创新性地设计探究问题,有意识地将数学与生活结合,使学生能够学以致用,既巩固了基本知识,同时又提升了学生运用知识分析问题和解决问题的能力.。

人教版高中数学必修三 第三章 概率 “古典概型”的教学设计

人教版高中数学必修三  第三章 概率 “古典概型”的教学设计

“古典概型”的教学设计一、内容和内容解析本节课是高中数学3(必修)第三章概率的第二节古典概型的第一课时,是在随机事件的概率之后,几何概型之前,尚未学习排列组合的情况下教学的。

古典概型是一种特殊的数学模型,也是一种最基本的概率模型,在概率论中占有相当重要的地位。

学好古典概型可以为其它概率的学习奠定基础,同时有利于理解概率的概念,有利于计算一些简单事件的概率,有利于解释生活中的一些现象与问题。

主要内容有:1.基本事件的概念及特点:(1)任何两个基本事件是互斥的;(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和。

2.古典概型的特征:(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;(2)每个基本事件出现的可能性相等。

3.古典概型的概率计算公式,用列举法计算一些随机事件所含的基本事件的个数及事件发生的概率。

本节课的重点是理解古典概型的概念及利用古典概型求解随机事件的概率。

二、目标和目标解析1.通过“掷一枚质地均匀的硬币的试验”和“掷一枚质地均匀的骰子的试验”了解基本事件的概念和特点2.通过实例,理解古典概型及其概率计算公式。

根据本节课的内容和学生的实际水平,通过模拟试验让学生理解古典概型的特征:试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性。

观察类比各个试验,归纳总结出古典概型的概率计算公式。

鼓励学生通过观察类比提高发现问题、分析问题、解决问题的能力,增强学生数学思维情趣,形成学习数学知识的积极态度。

同时适当地增加学生合作学习交流的机会,尽量地让学生自己举出生活和学习中与古典概型有关的实例。

使得学生在体会概率意义的同时,感受与他人合作的重要性以初步形成实事求是地科学态度和锲而不舍的求学精神。

3.会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。

掌握列举法,学会运用数形结合、分类讨论的思想解决概率的计算问题。

4.会初步应用概率计算公式解决简单的古典概型问题。

用有现实意义的实例,激发学生的学习兴趣,培养学生勇于探索,善于发现的创新思想。

最新人教版高中数学必修3第三章《古典概型》教学设计1

最新人教版高中数学必修3第三章《古典概型》教学设计1

教学设计3.2.2 (整数值)随机数(random numbers)的产生整体设计教学分析产生随机数的方法有两种:(1)由试验产生的随机数:例如我们要产生1—25之间的随机整数,我们把25个大小形状等均相同的小球分别标上1,2,3,…,24,25,放入一个袋中,把它们充分搅拌.然后从中摸出一个球,这个球上的数就是随机数.一般当需要的随机数个数不是太多时,可以用这种方法产生随机数.如果需要随机数的量很大,这种方法就不是很方便,因为速度太慢.(2)用计算器或计算机产生随机数:由于计算机或计算器产生的随机数是根据确定的算法产生的,具有周期性(周期很长),具有类似随机数的性质,但并不是真正的随机数,称为伪随机数.在随机模拟中,往往需要大量的随机数,这时会选择用计算机产生随机数.这部分内容是新增加的内容,是随机模拟中最简单、易操作的部分,所以要求每个学生会操作.具体教学时,教师可以在课堂上带着学生用计算器操作一遍,然后让学生模拟掷硬币的试验或掷骰子的试验,并统计试验的结果.根据试验结果,教师可以设计一些与上一章统计部分相联系的问题,通过知识的相互联系,可以帮助学生更好地理解概率的意义和一些统计思想.例如:①每个学生模拟掷一个硬币的试验20次,统计出现正面的频数与频率,并可用频率估计概率,在此基础上进一步提出问题:这个估计的精度如何?误差大吗?②如果全班有50人,每人得到一个频率,那么有50个观测数据,计算这50个数据的平均数和标准差,并根据统计中的平均数和标准差的含义和计算的具体数值,解释这个模拟结果,通过这个过程,可以使学生进一步理解频率是概率的估计值,以及平均数和标准差的含义等.不同的计算器产生随机数的操作步骤可能不同,教科书中仅是以一种计算器为例给出产生随机数的步骤.教学中,可以让学生自己看计算器的说明书,按说明书的提示进行操作.很多软件都能产生随机数,教科书中以Excel软件为例,主要考虑到这个软件比较普遍,多数教师对它比较熟悉.教师在讲授这部分内容之前应该熟悉一下Excel软件,特别是产生随机数的函数、画统计图的功能及对统计数据结果的处理功能.用随机模拟的方法模拟随机现象称为统计试验.这里必须明确随机模拟方法得到的结果只能是概率的近似值或估计值,每次试验得到的结果可能是不同的.三维目标1.通过对现实生活中具体的概率问题的探究,感知应用数学解决问题的方法,了解随机数的概念;体会数学知识与现实世界的联系,培养逻辑推理能力.2.通过模拟试验,感知应用数字解决问题的方法,自觉养成动手、动脑的良好习惯.利用计算机产生随机数,并能直接统计出频数与频率.通过数学与探究活动,体会理论来源于实践并应用于实践的辩证唯物主义观点.重点难点教学重点:学会利用随机数实验来求简单事件的概率.教学难点:学会利用计算器、计算机求随机数的方法.课时安排1课时教学过程导入新课思路1复习上一节课的内容:(1)古典概型.我们将具有①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;(有限性) ②每 个基本事件出现的可能性相等.(等可能性)这样两个特点的概率模型称为古典概率概型,简称古典概型.(2)古典概型计算任何事件的概率计算公式:P(A)=基本事件的总数数所包含的基本事件的个A.本节课我们学习(整数值)随机数的产生,教师板书课题.思路2在第一节中,同学们做了大量重复试验,有的同学可能觉得这样做试验花费的时间太多了,那么,有没有其他方法可以代替试验呢?答案是肯定的,这就是我们将要学习的内容(整数值)随机数的产生.推进新课新知探究提出问题(1)在掷一枚均匀的硬币的试验中,如果没有硬币,你会怎么办?(2)在掷一枚均匀的骰子的试验中,如果没有骰子,你会怎么办?(3)随机数的产生有几种方法,请予以说明.(4)用计算机或计算器(特别是TI图形计算器)如何产生随机数?活动:学生思考或讨论,并与同学交流活动感受,讨论可能出现的情况,师生共同最后汇总方法、结果和感受.讨论结果:(1)我们可以用0表示反面朝上,1表示正面朝上,用计算器做模拟掷硬币试验.(2)我们可以分别用数字1、2、3、4、5、6表示出现“1点”“2点”“3点”“4点”“5点”和“6点”,用计算器做模拟掷骰子试验.(3)可以由试验产生随机数,也可用计算机或计算器来产生随机数.①由试验产生的随机数:例如我们要产生1—10之间的随机数,可以把大小形状均相同的十张纸片的背后分别标上:1,2,3,…,8,9,10,然后任意地抽出其中一张,这张纸上的数就是随机数.这种产生随机数的方法比较直观,不过当随机数的量比较大时,就不方便,因为速度太慢.②用计算机或计算器(特别是 TI 图形计算器)产生随机数:利用计算机程序算法产生,具有周期性(周期很长),具有类似随机数性质,称为伪随机数.在随机模拟时利用计算机产生随机数比较方便.(4)介绍各种随机数的产生.①计算器产生随机数下面我们介绍一种如何用计算器产生你指定的两个整数之间的取整数值的随机数.例如,要产生1—25之间的取整数值的随机数,按键过程如下:以后反复按键,就可以不断产生你需要的随机数.同样地,我们可以用0表示反面朝上,1表示正面朝上,利用计算器不断地产生0,1两个随机数,以代替掷硬币的试验.按键过程如下:②利用TI图形计算器产生随机数的方法只要输入RAND(N)(其中N为任意整数,如图:RAND(20)表示1到20的随机数.)利用TI图形计算器产生随机数的速度很快而且很方便.③介绍利用计算机产生随机数(主要利用Excel软件)先让学生熟悉Excel软件特别是产生随机数的函数,画统计图的功能,以及了解Excel软件对统计数据进行处理的功能.我们也可以用计算机产生随机数,而且可以直接统计出频数和频率.下面以掷硬币为例给出计算机产生随机数的方法.每个具有统计功能的软件都有随机函数.以Excel软件为例,打开Excel软件,执行下面的步骤:(1)选定A1格,键入“=RANDBETWEEN(0,1)”,按Enter键,则在此格中的数是随机产生的0或1.(2)选定A1格,按Ctrl+C快捷键,然后选定要随机产生0,1的格,比如A2至A100,按Ctrl+V 快捷键,则在A2至A100的数均为随机产生的0或1,这样我们很快就得到了100个随机产生的0,1,相当于做了100次随机试验.(3)选定C1格,键入频数函数“=FREQUENCY(A1∶A100,0.5)”,按Enter键,则此格中的数是统计A1至A100中,比0.5小的数的个数,即0出现的频数,也就是反面朝上的频数.(4)选定D1格,键入“=1-C1/100”,按Enter键,在此格中的数是这100次试验中出现1的频率,即正面朝上的频率.同时可以画频率折线图,它更直观地告诉我们:频率在概率附近波动.上面我们用计算机或计算器模拟了掷硬币的试验,我们称用计算机或计算器模拟试验的方法为随机模拟方法或蒙特卡罗(Monte Carlo)方法.应用示例思路1例1 利用计算器产生10个1—100之间的取整数值的随机数.解:具体操作如下:键入反复操作10次即可得之.点评:利用计算器产生随机数,可以做随机模拟试验,在日常生活中有着广泛的应用.变式训练利用计算器生产10个1到20之间的取整数值的随机数.解:具体操作如下:键入反复按键10次即可得到.例2 天气预报说,在今后的三天中,每一天下雨的概率均为40%,这三天中恰有两天下雨的概率是多少?活动:这里试验出现的可能结果是有限个,但是每个结果的出现不是等可能的,所以不能用古典概型求概率的公式.用计算器或计算机做模拟试验可以模拟下雨出现的概率是40%.解:我们通过设计模拟试验的方法来解决问题.利用计算器或计算机可以产生0到9之间取整数值的随机数,我们用1,2,3,4表示下雨,用5,6,7,8,9,0表示不下雨,这样可以体现下雨的概率是40%.因为是3天,所以每三个随机数作为一组.例如,产生20组随机数907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989就相当于做了20次实验.在这组数中,如果恰有两个数在1,2,3,4中,则表示恰有两天下雨,它们分别是191,271,932,812,393,即共有5个数.我们得到三天中恰有两天下雨的概率近似为205=25%. 本例题的目的是要让学生体会如何利用模拟的方法估算概率.解决步骤:(1)建立概率模型:模拟每一天下雨的概率为40%,有很多方法,例如用计算机产生0—9的随机数,可用0,1,2,3表示下雨,其余表示不下雨(当然,也可以用5,6,7,9表示下雨,其余表示不下雨),这样可以体现下雨的概率为40%.(2)进行模拟实验,可以用Excel 软件模拟的结果(模拟20个):可用函数“RANDBETWEEN (1,20)”.(3)验证统计结果(略).注意:用随机数模拟的方法得到的仅仅是20次的模拟结果,是概率的近似值,而不是概率.随着模拟的数量不断地增加(相当于增加样本的容量),模拟的结果就越接近概率.关于例2的实际操作,有条件的可以让学生自己上机动手或利用计数器来演算. 点评:掌握产生随机数的方法,特别是用计算机模拟的方法,还要建立适当的模型.思路2例1 某篮球爱好者,做投篮练习,假设其每次投篮命中的概率是40%,那么在连续三次投篮中,恰有两次投中的概率是多少?活动:学生审题,教师提示指导,其投篮的可能结果有有限个,但是每个结果的出现不是等可能的,所以不能用古典概型的概率公式计算,我们用计算机或计算器做模拟试验可以模拟投篮命中的概率为40%.解:我们通过设计模拟试验的方法来解决问题,利用计算机或计算器可以产生0到9之间的取整数值的随机数.我们用1,2,3,4表示投中,用5,6,7,8,9,0表示未投中,这样可以体现投中的概率是40%.因为是投篮三次,所以每三个随机数作为一组.例如:产生20组随机数:812,932,569,683,271,989,730,537,925,907,113,966,191,431,257,393,027,556.这就相当于做了20次试验,在这组数中,如果恰有两个数在1,2,3,4中,则表示恰有两次投中,它们分别是812,932,271,191,393,即共有5个数,我们得到了三次投篮中恰有两次投中的概率近似为205=25%. 点评:(1)利用计算机或计算器做随机模拟试验,可以解决非古典概型的概率的求解问题.(2)对于上述试验,如果亲手做大量重复试验的话,花费的时间太多,因此利用计算机或计算器做随机模拟试验可以大大节省时间.(3)随机函数RANDBETWEEN (a,b )产生从整数a 到整数b 的取整数值的随机数. 例2 你还知道哪些产生随机数的函数?请列举出来.解:(1)每次按SHIFT RNA#键都会产生一个0—1之间的随机数,而且出现0—1内任何一个数的可能性是相同的.(2)还可以使用计算机软件来产生随机数,如Scilab 中产生随机数的方法.Scilab 中用rand ()函数来产生0—1之间的随机数,每使用一次rand ()函数,就产生一个随机数,如果要产生a —b 之间的随机数,可以使用变换rand ()*(b-a )+a 得到.知能训练1.本节练习4.答案:(1)61. (2)略.(3)应该相差不大,但会有差异.存在差异的主要原因是随机事件在每次试验中是否发生是随机的,但在200次试验中,该事件发生的次数又是有规律的,所以一般情况下所得的频率与概率相差不大.2.0表示反面朝上,1表示正面朝上,请用计算器做模拟掷硬币试验.解:具体操作如下:键入拓展提升某班有45个人,现要选出1人去检查其他班的卫生,若每个人被选到的机会均等,则恰好选中学生甲的机会有多大?解:本题应用计算器产生随机数进行模拟试验,请按照下面的步骤独立完成.(1)用1—45的45个数来替代45个人;(2)用计算器产生1—45之间的随机数,并记录;Array(3)整理数据并填入下表:(4)利用稳定后1出现的频率估计恰好选中学生甲的机会.课堂小结随机数具有广泛的应用,可以帮助我们安排和模拟一些试验,这样可以代替我们自己做大量重复试验,比如现在很多城市的中考中都采用产生随机数的方法把考生分配到各个考场中. 作业习题3.2A组5、6,B组1、2、3.设计感想本堂课首先复习古典概型及其概率计算,接着设计了试验不能实现的问题,指出可以用随机数来替代试验,举出了三种随机数的产生方法,同学们要切实领会,用事例说明了模拟试验的作用,真实感受到随机数模拟试验带来的好处,在日常和实际生活中,充分利用随机数模拟试验,达到最快最准的效果.备课资料1.蒙特卡罗方法(Monte Carlo method)蒙特卡罗(Monte Carlo)方法,或称计算机随机模拟方法,是一种基于“随机数”的计算方法.这一方法源于美国在第一次世界大战研制原子弹的“曼哈顿计划”.该计划的主持人之一、数学家冯·诺伊曼用驰名世界的赌城——摩纳哥的Monte Carlo——来命名这种方法,为它蒙上了一层神秘色彩.Monte Carlo方法的基本思想很早以前就被人们所发现和利用.早在17世纪,人们就知道用事件发生的“频率”来决定事件的“概率”.19世纪人们用投针试验的方法来决定圆周率π.本世纪40年代电子计算机的出现,特别是近年来高速电子计算机的出现,使得用数学方法在计算机上大量、快速地模拟这样的试验成为可能.考虑平面上的一个边长为1的正方形及其内部的一个形状不规则的“图形”,如何求出这个“图形”的面积呢?Monte Carlo方法是这样一种“随机化”的方法:向该正方形“随机地”投掷N个点落于“图形”内,则该“图形”的面积近似为M/N.可用民意测验来作一个不严格的比喻.民意测验的人不是征询每一个登记选民的意见,而是通过对选民进行小规模的抽样调查来确定可能的优胜者.其基本思想是一样的.科技计算中的问题比这要复杂得多.比如金融衍生产品(期权、期货、掉期等)的定价及交易风险估算,问题的维数(即变量的个数)可能高达数百甚至数千.对这类问题,难度随维数的增加呈指数增长,这就是所谓的“维数的灾难”(Course Dimensionality),传统的数值方法难以对付(即使使用速度最快的计算机).Monte Carlo方法能很好地用来对付维数的灾难,因为该方法的计算复杂性不再依赖于维数.以前那些本来是无法计算的问题现在也能够计算了.为提高方法的效率,科学家们提出了许多所谓的“方差缩减”技巧.另一类形式与Monte Carlo方法相似,但理论基础不同的方法——“拟蒙特卡罗方法”(Quasi-Monte Carlo方法)——近年来也获得迅速发展.我国数学家华罗庚、王元提出的“华—王”方法即是其中的一例.这种方法的基本思想是“用确定性的超均匀分布序列(数学上称为Low Discrepancy Sequences)代替Monte Carlo方法中的随机数序列.对某些问题该方法的实际速度一般可比Monte Carlo 方法提出高数百倍,并可计算精确度.蒙特卡罗方法在金融工程学、宏观经济学、计算物理学(如粒子输运计算、量子热力学计算、空气动力学计算)等领域应用广泛.2.蒙特卡罗方法的基本原理由概率定义知,某事件的概率可以用大量试验中该事件发生的频率来估算,当样本容量足够大时,可以认为该事件的发生频率即为其概率.因此,可以先对影响其可靠度的随机变量进行大量的随机抽样,然后把这些抽样值一组一组地代入功能函数式,确定结构是否失效,最后从中求得结构的失效概率.蒙特卡罗法正是基于此思路进行分析的.设有统计独立的随机变量Xi(i=1,2,3,…,k),其对应的概率密度函数分别为fx1,fx2,…,fxk,功能函数式为Z=g(x1,x2,…,xk).各随机变量的相应分布,产生N组随机数x1,x2,…,xk值,计算功能函数值Zi=g(x1,x2,…,xk)(i=1,2,…,N),若其中有L组随机数对应的功能函数值Zi≤0,则当N→∞时,根据伯努利大数定理及正态随机变量的特性有:结构失效概率,可靠指标.从蒙特卡罗方法的思路可看出,该方法回避了结构可靠度分析中的数学困难,不管状态函数是否非线性、随机变量是否非正态,只要模拟的次数足够多,就可得到一个比较精确的失效概率和可靠度指标.特别在岩土体分析中,变异系数往往较大,与JC法计算的可靠指标相比,结果更为精确,并且由于思路简单易于编制程序.3.蒙特卡罗方法的工作过程在解决实际问题的时候应用蒙特·卡罗方法主要有两部分工作:·用蒙特卡罗方法模拟某一过程时,需要产生各种概率分布的随机变量.·用统计方法把模型的数字特征估计出来,从而得到实际问题的数值解.4.蒙特卡罗方法分子模拟计算的步骤使用蒙特卡罗方法进行分子模拟计算是按照以下步骤进行的:★使用随机数发生器产生一个随机的分子构型.对此分子构型的其中粒子坐标作无规则的改变,产生一个新的分子构型.计算新的分子构型的能量.★比较新的分子构型与改变前的分子构型的能量,判断是否接受该构型.★若新的分子构型能量低于原分子构型的能量,则接受新的构型,使用这个构型重复再做下一次迭代.★若新的分子构型能量高于原分子构型的能量,则计算玻尔兹曼常数,同时产生一个随机数. ★若这个随机数大于所计算出的玻尔兹曼因子,则放弃这个构型,重新计算.★若这个随机数小于所计算出的玻尔兹曼因子,则接受这个构型,使用这个构型重复再做下一次迭代.★如此进行迭代计算,直至最后搜索出低于所给能量条件的分子构型结束.5.蒙特卡罗方法在数学中的应用通常蒙特卡罗方法通过构造符合一定规则的随机数来解决数学上的各种问题.对于那些由于计算过于复杂而难以得到解析解或者根本没有解析解的问题,蒙特卡罗方法是一种有效地求出数值解的方法.一般蒙特卡罗方法在数学中最常见的应用就是蒙特·卡罗积分.(设计者:刘玉亭)。

人教版数学必修3第三章3.2.1 古典概型 教案

人教版数学必修3第三章3.2.1 古典概型  教案

§3.2.1 古典概型教学内容 本节教材主要是学习人教A 版必修3 §3.2.1 古典概型。

教学安排是2课时,本节是第一课时.教学中让学生通过生活中的实例与数学模型理解基本事件的概念和古典概型的两个特征,通过具体的实例来推导古典概型下的概率公式,并通过三个典型例题加以引申,让学生初步学会把一些实际问题转化为古典概型问题.这节课在解决概率的计算上,教师通过鼓励学生尝试列表和画出树状图等方法,让学生感受求基本事件个数的一般方法,从而化解由于没有学习排列组合而学习概率这一教学困惑,也符合培养学生的数学应用意识的新课程理念.教学目标知识目标:正确理解基本事件的概念,准确求出基本事件及其个数;在数学建模的过程中,正确理解古典概型的两个特征;推导和掌握古典概型的概率计算公式,体现了化归的重要思想,会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及其事件发生的概率,学会运用数形结合、分类讨论的思想解决概率的计算问题.能力目标:进一步发展学生类比、归纳、猜想等合情推理能力;通过对各种不同的实际情况的分析、判断、探索,培养学生的应用能力.情感目标:通过各种有趣的,贴近学生生活的素材,激发学生学习数学的热情和兴趣,培养学生勇于探索,善于发现的创新思想;通过参与探究活动,领会理论与实践对立统一的辨证思想;结合问题的现实意义,培养学生的合作精神.学情分析认知分析:学生已经了解了概率的意义,掌握了概率的基本性质,知道了互斥事件概率加法公式,这三者形成了学生思维的“最近发展区”.能力分析:学生已经具备了一定的归纳、猜想能力,但在数学的应用意识与应用能力方面尚需进一步培养.情感分析:多数学生对数学学习有一定的兴趣,能够积极参与研究,但在合作交流意识方面,发展不够均衡,有待加强.教学的重点和难点重点:理解古典概型的含义及其概率的计算公式 n m A P =)(. 难点:应用古典概型计算公式 nm A P =)( 时, 用枚举和列表法正确求出m,n . 教学方法 为了充分调动学生的积极性和主动性, 在教学中借鉴布鲁纳的发现学习理论,采取引导发现法,结合问题式教学, 构建数学模型,引导学生进行观察讨论、归纳总结,鼓励学生自做自评.为了培养学生的逻辑思维能力,在公式的推导过程中给学生充分思考、分析的空间,猜想并归纳出公式,形成了实事求是的科学态度;同时还培养学生观察、类比,探究,从特殊到一般的数学思维能力.鼓励学生提出问题,引导学生通过分析、探索、尝试找到问题的答案,培养学生发现问题,提出问题,解决问题和应用的能力.采用多媒体电教手段,增强直观性和增大教学容量,提高课堂教学效率和教学质量.教学过程一、创设情景引出新课模拟试验(多媒体演示):(1) (计算机模拟)抛掷一枚质地均匀的硬币,观察哪个面朝上的试验.(2)抛掷一枚质地均匀的骰子的试验,观察出现点数的试验.问题1:用模拟试验的方法求某一随机事件的概率好不好?为什么?问题2:分别说出上述两试验的所有可能的实验结果是什么?每两个结果之间都有什么关系?二、通过类比引出概念问题研究一:基本事件及其特征教师引导:提出两个试验结果的的问题及发现它们的联系?学习方式:先小组讨论,然后全班交流明确概念:一次随机试验连同其可能发生的某一个结果称为基本事件.(elementary event)基本事件的特点:(1)任何两个基本事件是互斥的;(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.练习(多媒体演示):(1)在掷骰子的试验中,事件“出现偶数点”是哪些基本事件的和事件?(2)从字母a,b,c,d中任意选出两个不同字母的试验中,有哪些基本事件?(3)先后抛掷两枚均匀的硬币的试验中,有哪些基本事件?.(4)两人在玩“剪子、包袱、锤”这个游戏时,有哪些基本事件?教师引导:在上述4个练习中,从基本事件这一角度去探究发现它们共同的特点.学习方式:先小组讨论,然后全班交流.问题研究二:古典概型及其特征上述的试验具有以下的共同特征:(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;(2)每个基本事件出现的可能性相等.(没有理由说明一个基本事件比另一个基本事件发生的可能性大.)我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型(classical probability model),简称古典概型.三、开放课堂自主探究问题研究三:古典概型概率计算公式问题思考:1、在古典概型下,基本事件出现的概率是多少?2、在古典概型下,随机事件出现的概率如何计算?例1 (1)求在抛掷一枚硬币观察哪个面向上的试验证“正面朝上”和“反面朝上”这2个基本事件的概率?(2)在抛掷一枚骰子的试验中,出现“1点”、“2点”、“3点”、“4点”、“5点”、“6点”这6个基本事件的概率?(3)在掷一枚质地均匀骰子的试验中,事件“出现偶数点”发生的概率是多少?归纳总结1:对于古典概型(有限等可能),任何事件A 发生的概率为:2:把一次试验出现的全部结果组成集合I ,其中每个基本事件的结果都是I 的元素;把包含m 个结果的事件A 看作含有m 个元素的集合,则A ⊆I,所以)()()(I card A card n m A P == 注:从感性、理性两方面认识古典概型的计算公式,体会它与nm A f n =)( 本质的区别. 四、分析例题 加深理解例2. 单选题是标准化考试中常用的题型,一般是从A 、 B 、C 、D 四个选项中选择一个正确答案,如果考生掌握了考察的内容,它可以选择唯一正确的答案,假设考生不会做,他随机的选择一个答案,问他答对的概率是多少?(培养学生学以致用的能力,直接使用公式,注意前提,培养学生严谨的思维习惯.) 解:略问题研究四(多媒体演示):(1)假设有20道单选题,如果有一个考生答对了 17道题,他是随机选择的可能性大,还是他掌握了一定的知识的可能性大?(2)在标准化的考试中既有单选题又有不定项选择题,不定项选择题从A 、B 、C 、D 四个选项中选出所有正确 答案,同学们可能有一种感觉,如果不知道正确答案,多选题更难猜对,这是为什么?注:1、让学生用枚举法列出基本事件,明确解决问题的关键.2、培养学生解决实际问题的能力,把概率思想运用于生活,解释有关现象.例3 . 同时掷两个骰子,计算:(1)一共有多少种不同的结果?(2)其中向上的点数之和是5的结果有多少种?(3)向上的点数之和是5的概率是多少?错解:(1) 所有结果共有21种,如下所示:(1,1)(2,1) (2,2)(3,1) (3,2) (3,3)(4,1) (4,2) (4,3) (4,4)(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5)(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)(2)其中向上的点数之和是5的结果有2种.(3)向上的点数之和是5的概率是2/21)基本事件总数()包含的基本事件数(n m A A P =)(思考:错在什么地方?正确解答:(1)掷一个骰子的结果有6种,我们把两个骰子标上记号1,2以便区分,由于1号骰子的结果都可以与2号骰子的任意一个结果配对,我们用一个“有序实数对”来表示组成同时掷两个骰子的一个结果(如表),其中第一个数表示1号骰子的结果,第二个数表示2号骰子的结果.(可由列表法得到)(2)在上面的结果中,向上的点数之和为5的结果有4种,分别为:(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)(3)由于所有36种结果是等可能的,其中向上点数之和为5的结果(记为事件A )有4种,因此,由古典概型的概率计算公式可得91364)(===数试验包含的基本事件总数所包含的基本事件的个A A p 解后:我们通过对错题的研究,培养学生观察、对比的能力,理解公式使用的两个前提,突出本节课的教学重点.教学中学生的分析讨论体现了学生的主体地位,逐渐养成自主探究的能力.掌握枚举法,培养学生运用数形结合的思想解决问题的能力,突破本节课的教学难点.五、循序渐进 知识延伸探究:下面两例试验是不是古典概型(多媒体演示)1、向一个圆面内随机地投射一个点,如果该点落在圆内任意一点都是等可能的,你认为这是古典概型吗?为什么?答:不是古典概型,因为试验的所有可能结果是圆面内所有的点,试验的所有可能结果数是无限的,虽然每一个试验结果出现的“可能性相同”,但这个试验不满足古典概型的第一个条件.2、如图,某同学随机地向一靶心进行射击,这一试验的结果只有有限个:命中10环、命中9环……命中5环和不中环.你认为这是古典概型吗?为什么?答:不是古典概型,因为试验的所有可能结果只有7个,而命中10环、命中9环……命中5环和不中环的出现不是等可能的,即不满足古典概型的第二个条件.通过对问题的探究,拓展学生的思维空间,进一步正确理解古典概型概念中的“有限等可能”这一教学重点,讨论也使本节课将达到学生思维的高潮.六、反思小结,培养能力1、求事件A的概率可以不通过大量的重复试验,而只需对一次试验中的可能出现的结果进行分析计算即可.2、事件A概率计算,关键在于根据“有限等可能”来判断是否为古典概型.如果是,用枚举法或列表法来求出基本事件总数n,事件A包含的基本事件个数m.应特别注意:严防遗漏,绝不重复.3、解题步骤(1)符号化(2) 理论分析(3) 求解作答七、课后作业,自主学习(多媒体演示)1、阅读本节教材内容2、书面作业: 教材P139习题§3.2 1,2,33、弹性作业:口袋里有2个白球和2个黑球,这4个球除颜色外完全相同,4个人按顺序依次从中摸出一球,试计算第二个人摸到白球的概率?附:课堂结构流程图高中数学人教A版必修3§3.2.1 古典概型(第一课时)。

古典概型的教案

古典概型的教案

古典概型的教案【篇一:古典概型教学设计】一、教学背景分析(一)本课时教学内容的功能和地位本节课内容是普通高中课程标准实验教科书人教a版必修3第三章概率第2节古典概型的第一课时,主要内容是古典概型的定义及其概率计算公式。

从教材知识编排角度看,学生已经学习完随机事件的概念,概率的定义,会利用随机事件的频率估计概率,学习了古典概型之后,学生还要学习几何概型,古典概型的知识在课本当中起到承前启后的作用。

古典概型是一种特殊的概率模型。

由于它在概率论发展初期曾是主要的研究对象,许多概率的最初结果也是由它得到的,因此,古典概型在概率论中占有重要地位,是学习概率必不可少的。

学习古典概型,有利于理解概率的概念,有利于计算事件的概率;为后续进一步学习几何概型,随机变量的分布等知识打下基础;它使学生进一步体会随机思想和研究概率的方法,能够解决生活中的实际问题,培养学生应用数学的意识。

(二)学生情况分析(所授对象接受知识情况和对本教学内容已知的可能情况)1、学生的认知基础:学生在初中已经对随机事件有了初步了解,并会用列表法和树状图求等可能事件的概率。

在前面的随机事件的概率一节中,已经掌握了用频率估计概率的方法,即概率的统计定义。

了解了事件的关系与运算,尤其是互斥事件的概念,以及概率的性质和概率的加法公式。

这些知识上的储备为本节课的基本事件的概念理解和古典概型的概率公式的推导打下了基础。

学生在前面的学习中熟悉了大量生活中的随机事件的实例,对于掷硬币,掷骰子这类简单的随机事件的概率可以求得。

2、学生的认知困难:我调查了初中的数学老师,和高一的学生对这部分知识的理解,发现学生初中学习了等可能事件的概率,对简单的等可能事件可计算其概率,但没有模型化,所以造成学生只知其然,不知其所以然。

根据以往的教学经验,如果不对概念进行深入的理解,学生学完古典概型之后,还停留在原有的认知水平上,那么,由于概念的模糊,会导致其对复杂问题的计算错误。

最新人教版高中数学必修3第三章古典概型1

最新人教版高中数学必修3第三章古典概型1

古典概型一、教学目标1.通过实例,使学生理解古典概型的两个基本特征,掌握古典概型的概率计算公式,会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及其发生的概率.2.使学生能建立概率模型来解决简单的实际问题.3.通过实例,使学生了解两个互斥事件的概率加法公式及对立事件的概率计算公式.二、设计思路与教学建议2.1古典概型的特征和概率计算公式【问题提出】 P159提出本节要解决的主要问题.教科书指出:对于某一类特殊的随机试验,可以根据试验结果的对称性来确定随机事件发生的概率.教科书举了掷硬币、掷骰子、转动转盘这三个例子来说明,并由这三个例子归纳出古典概型的两个基本特征:(1)试验的所有可能结果只有有限个;(2)每一个试验结果出现的可能性相同.教师可让学生举出一些古典概型的例子.【思考交流】 P160主要是加深学生对古典概型两个基本特征的理解,这里应先让学生思考并讨论,教师再归纳概括.对第(1)个问题,试验的所有可能结果是圆面内的所有点,试验的所有可能结果数是无限的,因此,尽管每一个试验结果出现的“可能性相同”,这个试验也不是古典概型.对第(2)个问题,试验的所有可能结果只有11个,但是命中10环、命中9环……命中1环和命中0环(即不命中)的出现不是等可能的,这个试验也不是古典概型.【抽象概括】 P161通过分析骰子落地时向上的点数是偶数的概率,引出古典概率的计算公式P(A)=nm ,其中n 是试验的所有可能结果(基本事件)数,m 是随机事件A 包含的基本事件数.教师应强调:计算P(A)实际上就是计算n 和m .【例1】 P161这是古典概率计算公式的基本运用.因为没有学习排列组合的知识,当试验的所有可能结果数不是很大时,为了计算试验的所有可能结果数和随机事件A 包含的基本事件数,我们一般用列举法列出所有可能结果.列举的基本方法是画树状图和列表.分步完成的结果都可以用树状图进行列举,列表的方法一般适用于分两步完成的结果的列举.本例用的是列表的方法.例1中给出了两个表格,第一个表格列出了随机地从2个箱子中各取1个重量盘的所有可能结果,第二个表格列出了随机地从2个箱子中各取1个重量盘,总重量的所有可能结果.如何列举对刚开始学习古典概型的学生来说有一定难度,教师可先复习画树状图和列表.在教学时可先让学生尝试列出表格;表格列出后,在这里还可以让学生用画树状图的方法进行列举.【练习】 P1631. 出现“2次正面”和“2次反面”的可能性相同,都为41,出现“1次正面,1次反面”的可能性为21,是它们的2倍. 2. (1) 81;(2)41 ;(3)87;(4)21 ;(5) 21;(6)43;(7)41;(8)43 . 3. (1)41;(2) 83;(3) 163;(4) 41. 4. (1)21;(2) 21;(3) 167;(4) 169.2.2建立概率模型【抽象概括】 P164让学生认识到对于同一个随机试验,可以根据需要来建立概率模型.教师应强调:在建立概率模型时,把什么看作是一个基本事件(即一个试验结果)是人为规定的,只要求每次试验有一个并且只有一个基本事件出现即可;只要基本事件的个数是有限的,并且它们的发生是等可能的,就是古典概型.学生对于把什么看作是一个基本事件来建立概率模型会感到困难,教师在这里还可以举一些例子.比如,在上节课练习的第1题中,一枚均匀的硬币连续抛掷2次,有(正,正)、(正,反)、(反,正)、(反,反)4种等可能结果,这是一个古典概型;如果只考虑两次抛掷向上的面是否相同,那么可以认为试验只有两个结果:“向上的面相同”“向上的面一正一反”,这两个结果也是等可能的,模型也是古典概型;而把出现“2次正面”“2次反面”“1次正面、1次反面”当作基本事件时,模型就不是古典概型.【例2】 P164通过这个例子,一方面解决了本节开始提出的问题,并与学生上节课所做模拟活动的结果呼应;另一方面让学生体会:从不同的角度考虑,可以建立不同的概率模型来解决一个实际问题,古典概型的所有可能结果数越少,问题的解决就变得越简单.这是本节的难点,难在学生不知道应从哪个角度入手来建立古典概型,教师可以在讲解法2,3,4之前先让学生思考,适当给出提示,再让学生来建立模型. 在这节课的教学中,四种模型的所有可能结果数越来越少,可以调动起学生思考探究的兴趣;教师在教学中要注意通过引导学生体会不同模型的特点以及对各种方法进行比较,提高学生分析和解决问题的能力.画树状图进行列举是列举的基本方法之一,解法1利用树状图列出了4个人依次从袋中摸出一球的所有可能结果,共有24种,其中第二个人摸到白球的结果有12种,因此算得“第二个人摸到白球”的概率为21. 解法2利用试验结果的对称性,只考虑前两人摸球的情况,所有可能结果减少为12种,简化了模型.解法3只考虑球的颜色,对2个白球不加区别,对2个黑球也不加区别,所有可能结果只有6种.解法4只考虑第二个人摸出的球的情况,所有可能结果变为4种,这个模型最简单.教师在这里可以问学生第三个人和第四个人摸到白球的概率是多少.利用这个模型,很容易算得第三个人和第四个人摸到白球的概率都为21,因此4个人顺次抓阄决定两件奖品的归属,每个人的中奖率都是21. 【抽象概括】 P167说明对于一个实际问题,有时从不同的角度考虑,可以建立不同的古典概型来解决,并对四种解法进行比较.尽管解法2,3,4建立的模型在解决该问题时比解法1简便,但解法1也有它的优势,利用解法1可以计算出4个人顺次摸球的任何一个事件的概率,而解法2,3,4却不能做到.教师要提醒学生,本章古典概率的计算,解法1是最基本的方法.教师在这里还可以说明一下,对于一个实际问题,建立不同的概率模型来解决,一般来说,是有一定难度的.【思考交流】 P167加深学生对解法4中建立的模型的理解.这两个问题利用别的模型来解决就非常困难,在习题中也配有用解法4建立的模型来解决的题目,如习题3-2的B 组第1题.对于一个实际问题,我们有时可以通过建立不同的模型来解决;另一方面,有很多不同的问题,我们还可以把它们归为同一个模型来解决.这一点教师在讲课时可以简单提一下,让学生有一个了解即可.这方面的一些相关内容可参见备用课程资源.【练习】 P1671. (1) 解法1:“这张牌是A”有4种结果,因此P(这张牌是A)=524=131≈0.077;解法2:可以只考虑牌的点数,共有A ,2,3,4,5,6,7,8,9,10,J ,Q ,K 这13个可能结果,每一个结果的出现是等可能的,因此P(这张牌是A)=131≈0.077; (2) 133≈0.231,同(1),可考虑两种解法; (3) 261≈0.038; (4) 解法1:“这张牌是梅花”有13种结果,因此 P(这张牌是梅花)=5213=41; 解法2:可以只考虑牌的花色,共有梅花,方块,红心,黑桃这4个结果,每一个结果的出现是等可能的,因此P(这张牌是梅花)=41; (5) 21,同(4),可考虑两种解法. 2. (1) 解法1:如图,用画树状图的方法列出所有可能结果,共有6种可能结果,“小燕比小明先到校”的结果有3种,因此P(小燕比小明先到校)=63 =21; 解法2:只考虑小燕和小明的顺序,则只有2种可能结果:小燕比小明先到校和小明比小燕先到校,这2种结果的出现是等可能的,故“小燕比小明先到校”的概率为21.(2) 61. 2.3互斥事件【问题提出】 P168引出互斥事件的概念.主要是抓住互斥事件不能同时发生这个特点,教师还可以让学生举出身边的一些互斥事件的例子.【例3】 P169加深对互斥事件概念的理解.例3(4)中的事件A 和事件B 能够同时发生,因此它们不是互斥事件. 同一个随机试验中的事件之间能进行某些运算.教科书先通过具体例子引出记号A+B ,再指出事件A+B 的意义:对同一个随机试验中的事件A ,B ,我们规定A+B 为一个事件,称为事件A 与事件B 的和,事件A+B 发生是指事件A 和B 至少有一个发生.教科书中没有出现“事件A 与事件B 的和”这个名称.【思考交流】 P169(1) 对于例3(2)中的事件A 和事件B,A+B 是指“总质量为7.5 kg 或超过10 kg”;对于例3(3)中的事件A 和事件B,A+B 是指“总质量不超过10 kg 或超过10 kg”,这是一个必然事件.教科书在这一节主要是针对A ,B 是互斥事件时,研究A+B 的概率,因此没有让学生对不是互斥事件的两个事件A ,B ,说出它们的和事件A+B 的意义,为了不让学生认为只有互斥事件才规定和事件,对于例3(4)中的事件A 和事件B,教师在这里可让学生说出A+B 的意义,A+B 是指“总质量为20 kg 或超过10 kg”,也就是事件B :“总质量超过10 kg”.在这里教师可以多给出一些随机事件A ,B,让学生指出A+B 的意义.在计算随机事件A 的概率时,常常需要把A 化成几个彼此互斥的事件之和,再利用互斥事件的概率加法公式来计算.教师可以在这里举一些例子,让学生把它化为两个互斥事件之和,为后面的学习打下基础.比如,在例1中,随机地从2个箱子中各取1个质量盘,A :“总质量不超过7.5 kg”是哪两个互斥事件之和;B :“总质量至少30 kg”是哪两个互斥事件之和等等.(2) 让学生通过计算发现P(A+B)与P(A)+P(B)的关系.【抽象概括】 P170归纳出互斥事件的概率加法公式.实际上,对于古典概型可以证明这一公式.设一个古典概型的所有可能结果数为n ,随机事件A 包含m1种可能结果,随机事件B 包含m2种可能结果,因为A ,B 是互斥事件,A 包含的m1种可能结果和B 包含的m2种可能结果互不相同,又因为A+B 发生是指事件A 和B 至少有一个发生,因此A+B 包含这m1+m2种可能结果,于是P(A+B)=n m m 21 ,又因为P(A)=n m 1,P(B)=nm 2,所以 P(A+B)=P(A)+P(B).在这节课的最后,我们给出了这个公式的推广.给定事件A1,A2,…,An ,我们规定A1+A2+…+An 为一个事件,事件A1+A2+…+An 发生是指A1,A2,…,An 中至少有一个发生.如果随机事件A1,A2,…,An 中任意两个是互斥事件,那么有 P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An). 教师要强调公式P(A+B)=P(A)+P(B)适用的条件:A ,B 是互斥事件.【例4】 P170这是互斥事件的概率加法公式的直接应用.在讲解时,要强调两点:(1) A ,B ,C 中任意两个是互斥事件;(2) 事件D 即事件A+C ,事件E 即事件B+C .【思考交流】 P170主要加深学生对公式P(A+B)=P(A)+P(B)适用的条件的理解:如果A ,B 不是互斥事件,那么P(A+B)≠P(A)+P(B).教师可以让学生思考并发表自己的看法,学生容易看出事件D 和事件E 不是互斥事件,得出P(D+E)≠P(D)+P(E).事件D +E 表示“抽到的产品是一等品或二等品或三等品”,即为事件A+B+C ,由A,B,C中任意两个是互斥事件,P(D+E)=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C),教科书这里直接写P(D+E)=P(A)+P(B)+P(C),避开了用互斥事件的概率加法公式的推广,学生容易理解,教师讲解时可作一下说明;教科书再由P(D)+P(E)=(P(A)+P(C))+(P(B)+P(C))说明P(C)在P(D)和P(E)中各算了一次,让学生直观地得出P(D+E)≠P(D)+P(E).【例5】 P170也要强调:(1)事件“对这次调整表示反对或不发表看法”即A+B;(2)A,B 是互斥事件.讲完例4与例5后,教师应引导学生总结:在计算随机事件A的概率时,常常把A化成几个彼此互斥的事件之和,再利用互斥事件的概率加法公式来计算.教科书通过一个具体的例子引出事件A的对立事件的概念.“在每一次试验中,事件A和不会同时发生,并且一定有一个发生”说明了两层意思:(1)A和是互斥事件;(2)A+是必然事件.教师应结合例子说明这两层意思,并可以多举一些例子,让学生说出它们各自的对立事件.对立事件是针对两个事件而言,A的对立事件是,那么的对立事件就是A,即A 和互为对立事件.如果两个事件互为对立事件,那么这两个事件一定是互斥事件;但是,如果两个事件是互斥事件,那么这两个事件不一定互为对立事件.这一点教师可结合例子给予说明.教师可以让学生结合例子归纳出P()=1-P(A).实际上,因为P(A+)=P(A)+P(),而P(A+)=1,因此有P()=1-P(A).这个公式给了我们求事件A的概率的另一个方法:可以通过计算的概率P()来求得A的概率P(A).【例6】 P172这是对立事件的概率计算公式的基本应用.在教学时,可先让学生说出“选取的成员至少参加2个小组”“选取的成员参加不超过2个小组”的对立事件,学生对“至少”“不超过”之类的表达会感到不习惯,在说出它们的对立事件时可能有一些困难,教师可以多举一些类似的例子进行强化.对这道例题,还可以把每个事件化成几个彼此互斥的事件之和,再利用互斥事件的概率加法公式来计算.比如,用A1表示“选取的成员恰好参加2个小组”,A2表示“选取的成员参加3个小组”,则A1与A2是互斥事件,A1+A2就表示“选取的成员至少参加2个小组”,利用P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)就可求出“选取的成员至少参加2个小组”的概率.教师可让学生比较两种方法.【练习1】 P1731. (1) “向上的点数小于5”;(2) 事件A :“向上的点数至少为5”.2. (1) 是互斥事件,但不是互为对立事件,=“这张牌不是红心”,=“这张牌不是方块”;(2) 不是互斥事件;(3) 是互为对立事件;(4) 不是互斥事件;(5) 是互为对立事件;(6) 是互斥事件,但不是互为对立事件,=“这张牌不是牌面为2,3,4,5,6,7之一的一张方块”,=“这张牌不是牌面为8,9,10,J ,Q ,K ,A 之一的一张方块”.3. 0.006.4. 用A 表示事件“选取的成员只属于1个协会”,则就表示“选取的成员属于不止1个协会”,因此P()=1-P(A)=1-87201016++=8741≈0.47. 【例7】 P174让学生了解当事件A 比较复杂而比较简单时,通过计算P()来求得P(A)比较简便.在教学时,教师可说明:“输入由2,4,6,8组成的一个四位数,不能打开锁”即事件A :“输入由2,4,6,8组成的一个四位数,不是密码”,由于A 比较复杂,因此考虑.【抽象概括】 P174教师可通过例题和一些生活中的实例引导学生归纳得出.【例8】 P174例题是古典概率计算的综合应用.教师在讲解时应先让学生了解有放回地抽取和不放回地抽取.有放回地抽取是指被取出的卡片观察后仍放回原处,再进行下一次抽取;不放回地抽取是指被取出的卡片不再放回,在剩下的卡片中进行下一次抽取.因为双人舞必须是两个人表演,因此抽取时应采取不放回地抽取.教科书给出了3种解法.用树状图列出所有可能结果后,第1种解法是用互斥事件的概率加法公式,讲解时要讲清“连续抽取2张卡片,取出的2人不全是男生”可化为哪两个互斥事件之和;第2种解法是用对立事件的概率计算公式P()=1-P(A);第3种解法是不考虑抽取的顺序建立模型来求解,与前面所学的建立不同的概率模型来解决实际问题的内容呼应,这里教师可说明是如何列举的,树图中的所有结果若不考虑顺序,就得到了这里列出的所有结果.为了取出2人分别表演独唱和朗诵,抽取并观察第一张卡片后,又放回箱子中,充分混合后再从中抽取第二张卡片,这实际上是有放回地抽取.教师在这里可以让学生选择适当的方法来进行列举.教科书用列表的方法列出了所有可能结果,教师还可以让学生用画树状图的方法进行列举.计算“有放回地连续抽取2张卡片,取出的2人不全是男生”的概率时,也利用互斥事件的概率加法公式和对立事件的概率计算公式给出了两种解法.【思考交流】 P177加深学生对古典概型的特征的理解.可先让学生进行讨论并得出结论,教师再归纳总结.从表中可以看出,“取出的都是1号”和“取出的是2号和4号”出现的可能性是不相同的,因此把它们看作基本事件建立的模型不是古典概型.【练习2】 P1771. (1) 51=0.2;(2) 52=0.4;(3) 54=0.8.2. (1) 31≈0.33.(提示:把2个白球编上序号1,2;2个黑球也编上序号1,2,树状图见教科书中图3-12)(2) 解法1:用A 表示事件“取出的2球颜色不同”,A 共有8种结果,P(A)=128=32≈0.67;解法2:用A 表示事件“取出的2球颜色不同”,则表示事件“取出的2球颜色相同”,P(A)=1-P()=1-121=32≈0.67;解法3:不考虑抽取的顺序,用[白1,黑2]表示抽取的是第1号白球和第2号黑球,因此共有[白1,白2],[白1,黑1],[白1,黑2],[白2,黑1],[白2,黑2],[黑1,黑2]这6种结果,事件A :“取出的2球颜色不同”包含4种结果,因此 P(A)=32≈0.67. (3)用B 表示“取出的2球全是黑球”,则表示“取出的2球中至少有1个白球”, P()=1-P(B)=1-122=65≈0.83. 也可不考虑抽取的顺序来建立模型. 【习题3-2】 P177A 组 1. 假设箱子中白球的个数为m ,因为红球质量为3 kg ,白球质量为1 kg ,并且每个球除颜色外完全相同,因此红球的个数为3m .从箱子中任取一球,取到红球的概率P(红球)=m m m 33=43=0.75.2. (1) 所有可能结果数为85,用A 表示事件“选取的学生是不超过20岁的男生”,A 的结果有15种,因此 P(A)=8515=173≈0.18; (2) 用B 表示事件“选取的学生是男生”,则B 的结果有45种,因此 P(B)=8545=179≈0.53; (3) 用C 表示事件“选取的学生不超过20岁”,则C 的结果有35种,因此P(C)=8535=177≈0.41; (4) 用D 表示事件“选取的学生是女生或超过20岁的男生”,选取的学生是女生的结果有40种,选取的学生是年龄超过20岁的男生的结果有30种,因此D 的结果有70种, P(D)=8570=1714≈0.82. 3. (1)从表中可以看出,掷一对均匀的骰子的所有可能结果有36种.(2) 两个骰子向上的点数之和可以是2,3,4,…,12中的任何一个整数,共有11种可能结果.从表中可以看出,点数和为2,12的结果只有1种,点数和为3,11的结果各有2种,点数和为4,10的结果各有3种,点数和为5,9的结果各有4种,点数和为6,8的结果各有5种,点数和为7的结果有6种.因此出现“点数和为7”的可能性最大,其概率 P(点数和为7)=366=61≈0.167; (3) (i )“点数和不大于7”即点数和为2,3,4,5,6,7之一,其所有结果共有1+2+3+4+5+6即21种,因此 P(点数和不大于7)=3621=127≈0.583; (ii )“点数和大于7”即点数和为8,9,10,11,12之一,从表中可以看出“点数和大于7”的所有结果共有5+4+3+2+1即15种,因此P(点数和大于7)=3615=125≈0.417;(iii ) “点数和为6或7”的所有结果共有5+6即11种,因此P(点数和为6或7)=3611≈0.306;(iv )“点数和不小于6”即点数和为6,7,8,9,10,11,12之一,从表中可以看出“点数和不小于6”的所有结果共有5+6+5+4+3+2+1即26种,因此P(点数和不小于6)=3626=1813≈0.722,学了对立事件以后,可利用P(点数和不小于6)=1-P(点数和小于6) 来计算;(v )“点数和是奇数”即点数和为3,5,7,9,11之一,其结果共有2+4+6+4+2即18种,因此 P(点数和是奇数)=3618 =21; (vi )“点数和是偶数”即点数和为2,4,6,8,10,12之一,其结果共有1+3+5+5+3+1即18种,因此P(点数和是偶数)= 3618 =21; 学了对立事件以后,可利用P(点数和是偶数)=1-P(点数和是奇数)来计算;(vii )“点数和等于3的倍数”即点数和为3,6,9,12之一,其结果共有2+5+4+1即12种,因此 P(点数和等于3的倍数)=3612=31≈0.33. 4. (1) 所有可能结果数为15,用A 表示事件“取到第二小组的一个成员”,A 的结果有5种,因此 P(A)=155=31≈0.33; (2) 用B 表示事件“取到一个男生”,B 的结果有9种,因此P(B)=159=53=0.6;(3) 解法1:用C 表示事件“取到的不是第三小组的成员”,C 的结果有10种,因此P(C)=1510=32≈0.67;解法2:用C 表示事件“取到的不是第三小组的成员”,则就表示“取到的是第三小组的成员”,的结果有5种,P(C)=1-P()=1-155=32≈0.67.5. 若一年是365天,则1月、3月、5月、7月、8月、10月、12月是31天,4月、6月、9月、11月是30天,2月是28天. (1)3651≈0.002 7; (2) 11月有30天,“他的生日是在11月”有30种结果,因此P(他的生日是在11月)=36530 =736≈0.082;(3) 1月15号和2月15号之间(不包括1月15号和2月15号)有30天,他的生日是在1月15号和2月15号之间的概率是36530,约为0.082; (4) 这一年的前3个月有90天,他的生日在这一年的前3个月的概率是36590,约为0.247;(5) 他的生日不是4月15号,则他的生日有364种可能结果,因此他的生日不是4月15号的概率是365364,约为0.997;也可利用 P(他的生日不是4月15号)=1-P(他的生日是4月15号) 来计算;(6) 解法1:他的生日不在7月,则他的生日有334种可能结果,因此他的生日不在7月的概率是365334,约为0.915;解法2:用A 表示事件“他的生日在7月”,则就表示“他的生日不在7月”, P()=1-P(A)=1-36531=365334≈0.915. 6.通过列表可以列举出从两个盒子中各随机地取出1张卡片的所有结果,共有15种可能结果,“2张卡片上的数字之和能被3整除”的结果有4种,其概率是154,约为0.27.7. (1) 所有可能结果有8种;(2) (i )“所有的形状都被涂上红色”只有1种结果,因此其概率为81=0.125; (ii )解法1:“圆被涂上红色”的结果有4种,因此P(圆被涂上红色)= 84=21;解法2:只考虑圆着色的情况,有两种可能结果:圆被涂上红色和圆被涂上蓝色,这两种结果出现的可能性是相同的,因此P(圆被涂上红色)= 21;(iii )解法1:用A 表示事件“三角形和长方形被涂上不同的颜色”,从树状图可以看出,A 的结果有4种,因此 P(A)=84=21 ; 解法2:只考虑三角形和长方形着色的情况,有4种可能结果:并且这4种结果出现的可能性是相同的,A 有2种结果,因此 P(A)=42=21 . (iv )用B 表示事件“三个形状颜色都相同”,则就表示“三个形状颜色不全相同”.B 有2种结果,因此P()=1-P(B)=1-82=43=0.75.8.(1) 解法1:红色牌共有26张,因此 P(这张牌是红色)=5226=21; 解法2:只考虑牌的颜色,有两种结果:牌是红色和牌是黑色,这两种结果的出现是等可能的,因此随机选取的一张牌是红色的概率为21; (2) “这张牌是黑色A”有2种可能结果,因此 P(这张牌是黑色A)=522=261≈0.04; (3) “这张牌是黑色K ,黑色Q 或黑色J”有6种可能结果,因此P(这张牌是黑色K ,黑色Q 或黑色J)= 526=263≈0.12;(4) 用A 表示事件“这张牌牌面是5的倍数且是红色”,A 有4种可能结果,因此P(A)= 524=131≈0.077;(5) 解法1:“这张牌不是方块”有39种可能结果,因此 P(这张牌不是方块)=5239=43=0.75; 解法2:用B 表示事件“这张牌是方块”,则就表示“这张牌不是方块”,B 有13种可能结果,因此P()=1-P(B)=1-5213=43=0.75;解法3:只考虑牌的花色,有4种可能结果:梅花,方块,红心,黑桃.这4种结果出现的可能性是相等的,这张牌不是方块的结果有3种,因此P(这张牌不是方块)= 43=0.75;解法4:用B 表示事件“这张牌是方块”,则就表示“这张牌不是方块”,只考虑牌的花色,有4种可能结果:梅花,方块,红心,黑桃.这4种结果出现的可能性是相等的, P()=1-P(B)=1-41=43=0.75. 9.(1) 用A 表示年降水量在[200,250)(mm )范围内,B 表示年降水量在[250,300](mm )范围内,则A ,B 是互斥事件,并且A+B 就表示年降水量在[200,300](mm )范围内,由互斥事件的概率加法公式, P(A+B)=P(A)+P(B)=0.13+0.12=0.25;(2) 用C 表示年降水量在[100,150)(mm )范围内,D 表示年降水量在[150,200)(mm )范围内,E 表示年降水量在[200,250)(mm )范围内,则C,D,E 中任意两个都是互斥事件,并且C+D+E 就表示年降水量在[100,250)(mm )范围内,由互斥事件的概率加法公式,P(C+D+E)=P(C)+P(D)+P(E)=0.21+0.16+0.13=0.50;10. (1) 总人数为49,随机选取的1个成员属于不止1个球队的概率是49322++,约为0.14; (2) 用A 表示事件“选取的成员属于3个球队”,则就表示“选取的成员属于不超过2个球队”,因此P()=1-P(A)=1-492=4947≈0.96.11.所有可能结果共有9种.(1) “取出的2球都是白球”的结果有4种,取出的2球都是白球的概率是94,约为0.44;(2) “第一次取出白球,第二次取出红球”的结果有2种,第一次取出白球,第二次取出红球的概率是92,约为0.22; (3) “取出的2个球是一红一白”的结果有4种,取出的2个球是一红一白的概率是94,约为0.44;(4) 用A 表示“取出的2个球都是红球”,则就表示“取出的2个球中至少有1个白球”,A 的结果只有1种,因此P()=1-P(A)=1-91=98≈0.89. B 组1. (1) 只考虑第k 个人摸球的情况,他可能摸到这m+n 个球中的任何一个,这m+n 种结果出现的可能性是相同的.第k 个人摸到白球的结果有m 种,因此“第k 个人摸到白球”的概率为nm m+; (2)nm m+.(提示:利用(1)的结果). 2. (1) 只考虑小燕和小明到校的顺序,则只有2种可能结果:小燕比小明先到校和小明比小燕先到校,这2种结果的出现是等可能的,故“小燕比小明先到校”的概率为0.5;(2) 同理,只考虑小军、小燕和小明到校的顺序,用树状图列出三人到校先后的所有可能结果,共有6种可能结果.小燕比小明先到校,小明又比小军先到校的结果只有1种,因此“小燕比小明先到校,小明又比小军先到校”的概率是61,约为0.167. 3. 把5把钥匙分别编号为1,2,3,4,5,因为没有打开时允许交换两把钥匙的顺序再试一次,所以不考虑两把钥匙的顺序,用记号[2,4]表示“取出的是2号和4号钥匙”,则所有可能结果可列举如下: [1,2][1,3][1,4][1,5][2,3] [2,4][2,5][3,4][3,5][4,5]共有10种可能结果.用A 表示事件“取出的两把钥匙恰好能打开房门”,则就表示“取出的两把钥匙不能打开房门”,A 只有1种结果,因此他不能打开房门的概率。

高中数学必修3《古典概型》教案

高中数学必修3《古典概型》教案

课题:古典概型教材:新课标人教版《数学》必修3一. 教学目标1.知识与技能(1)通过试验结果的分析理解基本事件的概念及特点。

(2)理解古典概型及其概率计算公式。

(3)学会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。

2.过程与方法(1)探究分析试验结果,掌握基本事件的两个特点。

(2)通过试验对比让学生理解古典概型的特征:试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性。

(3)观察类比各个试验,归纳总结出古典概型的概率计算公式,体现了化归的重要思想。

(4)掌握列举法,学会运用数形结合、分类讨论的思想解决概率的计算问题。

3.情感态度与价值观(1) 适当地增加学生合作学习交流的机会,培养学生感受与他人合作精神。

(2) 经历公式的推导过程,体验由特殊到一般的数学思想方法,在探究活动中形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。

(3)用现实意义的实例,培养学生以科学的观点评价身边的一些随机现象的能力,激发其学习兴趣,培养勇于探索、善于发现的创新精神。

二. 教学重点、难点1.教学重点理解古典概型的概念及利用古典概型求解随机事件的概率。

2.教学难点如何判断一个试验是否是古典概型,分清在一个古典概型中某随机事件包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数。

三. 教学方法和手段1.教学方法:引导发现和归纳概括相结合根据本节课的特点,通过提出问题、思考问题、解决问题等教学过程,观察对比、概括归纳古典概型的概念及其概率公式,再通过具体问题的提出和解决,来激发学生的学习兴趣,调动学生的主体能动性,让每一个学生充分地参与到学习活动中来。

2.教学手段:多媒体辅助教学高一数学“古典概型”教案说明古典概型是高中数学人教A版必修3第三章概率第2节的内容。

古典概型是在学习随机事件的概率之后,几何概型之前,尚未学习排列组合的情况下教学的。

古典概型是一种理想的数学模型,也是一种最基本的概率模型。

它的引入避免了大量的重复试验,而且得到的是概率准确值,同时它也是后面学习其它概率的基础,起到承前启后的作用。

古典概型教案7篇

古典概型教案7篇

古典概型教案7篇古典概型教案篇1一、教学目标:1、知识与技能:(1)正确理解古典概型的两大特点:1)试验中全部可能涌现的基本领件只有有限个;2)每个基本领件涌现的可能性相等;(2)掌控古典概型的概率计算公式:p(a)=2、过程与方法:(1)通过对现实生活中详细的概率问题的探究,感知应用数学解决问题的方法,体会数学知识与现实世界的联系,培育规律推理技能;(2)通过模拟试验,感知应用数字解决问题的方法,自觉养成动手、动脑的良好习惯。

3、情感立场与价值观:通过数学与探究活动,体会理论来源于实践并应用于实践的辩证唯物主义观点.二、重点与难点:重点是掌控古典概型的概念及利用古典概型求解随机事项的概率;难点是如何判断一个试验是否是古典概型,分清一个古典概型中某随机事项包含的基本领件的个数和试验中基本领件的总数。

三、教法与学法指导:依据本节课的特点,可以采纳问题探究式学案导学教学法,通过问题导入、问题探究、问题解决和问题评价等教学过程,与同学共同探讨、合作争论;应用所学数学知识解决现实问题。

四、教学过程:1、创设情境:(1)掷一枚质地匀称的硬币的试验;(2)掷一枚质地匀称的骰子的试验。

师生共同探讨:依据上述状况,你能发觉它们有什么共同特点?同学分组争论试验,每人写出试验结果。

依据结果探究这种试验所求概率的特点,尝试归纳古典概型的定义。

在试验(1)中结果只有2个,即正面朝上或反面朝上,它们都是随机事项。

在试验(2)中,全部可能的试验结果只有6个,即涌现1点2点3点4点5点和6点,它们也都是随机事项。

2、基本概念:(看书130页至132页)(1)基本领件、古典概率模型。

(2)古典概型的概率计算公式:p(a)= .3、例题分析:(呈现例题,深刻体会古典概型的两个特征依据每个例题的不同条件,让每个同学找出并回答每个试验中的基本领件数和基本领件总数,分析是否满意古典概型的特征,然后利用古典概型的`计算方法求得概率。

) 例1 从字母a,b,c,d中任意取出两个不同的试验中,有哪些基本领件?分析:为了得到基本领件,我们可以根据某种顺次,把全部可能的结果都列出来。

高中数学人教A版必修3《3.2.1古典概型》教案1

高中数学人教A版必修3《3.2.1古典概型》教案1

必修三3.2.1 古典概型一、【学习目标】1、理解基本事件的定义及其特点;2、理解古典概型及其概率计算公式.【教学效果】:教学目标的给出有利于学生从整体上把握课堂学习进度.二、【自学内容和要求及自学过程】1、阅读教材125页内容,回答问题(基本事件的定义和特点)<1>基本事件的定义是什么?应该怎样理解?结论:定义:实验的结果是有限个,且每个事件都是随机事件的事件称为基本事件.理解:基本事件是试验中不能再分的最简单的随机事件,其它事件可以用它们表示.<2>基本事件的特点是什么?结论:特点:①任何两个基本事件都是互斥的.一次试验中,只可能出现一种结果,即产生一个基本事件,如掷骰子实验,一次实验只能出现一个点数,任何两个点数不可能在一次试验中同时发生,即两个基本事件不可能同时发生,因而两个基本事件是互斥的.②任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.如掷硬币的试验中,必然事件由基本事件“正面朝上”和“反面朝上”组成;在掷骰子实验中,随机事件“出现偶数点”是由基本事件“出现2点”、“出现4点”、“出现6点”共同组成.相对于基本事件,由两个以上基本事件组成的随机事件称为复杂事件.小道理帮你理解大道理一次试验中的“可能结果”实际是针对待定的观察角度而言的.例如,甲、乙、丙三名同学站成一排,计算甲同学站在中间的概率时,若从三个同学的站位来看,共有“甲乙丙”、“甲丙乙”、“乙甲丙”、“乙丙甲”、“丙甲乙”、“丙乙甲”六种结果,若仅从甲的站位看,则可能结果只有三种,即站“1号位”、“2号位”、“3号位”.练习一:教材125页例1:从字母a、b、c、d中任意取出两个不同字母的试验中,有哪些基本事件?练习二:连续掷3枚硬币,观察落地后这三门硬币出现正面还是反面.<1>写出这个实验的基本事件空间;答案: ={(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(正,反,反),(反,正,正),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反)}.<2>求这个实验的基本事件的总数;答案:8个.<3>“恰有两枚正面朝上”这一事件包含哪几个基本事件?答案:3个,如下:((正,正,反),(正,反,正),(反,正,正).【教学效果】:理解基本事件及其特点.2、阅读教材126页及思考内容,回答问题(古典概型及其概率计算公式)<1>古典概型的定义是什么?结论:<1>①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;②每个基本事件出现的可能性相等.我们把具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型.<2>我们怎样理解古典概型?结论:一个实验是否为古典概型,在于这个实验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性.并不是所有的实验都是古典概型,如从规格直径为200mm±0.4mm的一批合格产品中任意抽出一根,测量其直径d,测量的值可能是从199.6mm到200.4之间的任何一个值,所有可能的结果有无限多个,这个实验不是古典概型.<3>在古典概型下,基本事件出现的概率是多少?需要注意什么问题?结论:①基本事件的概率:一般地,对于古典概型,如果实验的n个基本事件为A1,A2,…A n,由于基本事件是两两互斥的,所以有P(A1)+P(A2)+…P(A n)=P(A1∪A2∪…∪A n)=P(必然事件)=1.又因为每个基本事件发生的可能性相等,所以每个基本事件发生的概率为1/n②需要注意的是,在计算基本事件的概率时要明确基本事件与基本事件总数之间的关系,如掷骰子的试验中,P(“1点”)=P(“2点”)=…P(“6点”)=1/6.而如果将事件看成是偶数点或奇数点,则事件的总数就不再是6,而是2,P(偶数点)=P(奇数点)=1/2.<4>古典概型的概率公式是什么?结论:如果随机事件A包含的基本事件数是m,由互斥事件的概率加法公式可得:P(A)=1/n+1/n+…+1/n(m个)=m/n,所以古典概型中,P(A)=(A包含的基本事件的个数)/(基本事件的总数).<5>用集合的观点看古典概型的概率.结论:在一次试验中,等可能出现的n个结果组成一个集合I,这n个结果就是集合I的n个元素,各基本事件均对应于集合I含有的1个元素的子集,包含m个结果的事件A对应于I的含有m个元素的子集A.因此从集合的角度看,事件A的概率是子集A的元素个数(记作card(A))与集合I的元素个数(记作card(I))的比值.即P(A)= card(A)/ card(I)=m/n.(注意:这个式子只适合古典概型,古典概型中的等可能判断是很重要的.)练习三:P127页思考、探究;练习四:P127例2、3;练习五;P128思考、例4、5;练习六:P130练习.三、【作业】1、必做题:习题3.2A组1、2、3、4;2、选做题:总结本节内容,形成文字到笔记本上.【教学效果】:理解古典概型及其概率计算公式.四、【小结】本节主要讲解了基本事件及其特点、古典概型及其计算公式.五、【教学反思】一节课成功与否,不在于老师讲的多津津有味,而在于学生理解了多少.六、【课后小练】1、把一枚骰子抛6次,设正面出现的点数是x,<1>求x可能出现的取值情况.(1,2,3,4,5,6)<2>下列事件是由哪些基本事件组成:①x的取值为2的倍数,记为事件A;(2,4,6)②x的取值大于3,记为事件B(4,5,6);③x的取值不超过2,记为事件C;(1,2)④x的取值是质数,记为事件D.(2,3,5)<3>判断上述事件是否为古典概型,并求其概率(是,概率为:P(A)=0.5;P(B)=0.5;P(C)=1/3;P(D)=0.5.)2、判断下列实验是否是古典概型A、在适宜的条件下,种一粒种子,观察它是否发芽(不是,发芽与不发芽概率不同)B、口袋内有2个白球和2个黑球,这四个球除颜色外完全相同,从中任取一球(是,概率相同,基本事件是有限的)C、向一圆内随机地投一点,改点落在院圆内任意一点都是都可能的(不是,因为基本事件是无数个)D、射击运动员向一靶心进行射击,实验结果为命中10环、命中9环…命中0环(不是,基本事件的概率不等)3、袋中6个球,其中4个白球,2个红球,从袋中任意取出两球,求下列事件的概率:<1>A:取出的两球都是白球(2/5);<2>取出的两球一个是白球,一个是红球(8/15).4、一个骰子连续投2次,点数和为4的概率为多少(1/12).5、在五个数字1、2、3、4、5中,若随机的取出3个数字,则剩下两个数字都是奇数的概率是多少?(3/10)6、一次硬币连续掷2次,恰好出现一次正面的概率是多少?(0.5)7、从分别写有A、B、C、D、E的5张卡片中任意取出2张,这2张卡片上的字母恰好是按字母相邻顺序的概率是多少?(2/5)8、在40根纤维中,有12根的长度超过30mm,从中任取一根,取到长度超过30mm的纤维的概率是多少?(3/10).9、盒中有十个铁定,八个合格,2个不合格,从中任取一个恰为合格铁定的概率是多少?(4/5)10、在大小相同的5个球中,2个是红球,3个是白球,若从中任取2个,则所求2个球中至少有一个是红球的概率是(7/10).11、抛掷2颗2质地均匀的骰子,求点数和是8的概率(5/36).12、豆的高矮性状的遗传由其一对基因确定,其中决定高的基因记为D,决定矮的基因记为d,则子二代中高茎的概率是多少?(0.75).13、判断下列命题正确与否:①掷两枚硬币,基本事件有三个:两正,两反,一正一反(错,概率不相等,基本事件有4个)②某袋中装有大小均匀的三个红球,两个黑球、一个白球,任取一个球,那么每种颜色的球被摸到得可能性相同(错)③从-4、-3、-2、-1、0、1、2中任取一数,取到的数小于0与不小于0 的概率相同(错)④分别从3名男同学、4名女同学中各选一名代表,男、女同学当选的可能性相同(错)⑤5人抽签,甲先抽,乙后抽,那么乙与甲抽到某好号中奖签的可能性不同(错:甲概率为1/5,乙为:4/5×1/4=1/5,以此类推.)。

必修3《3.2古典概型》教学设计

必修3《3.2古典概型》教学设计

必修3《3.2古典概型》教学设计一、教学内容分析本节课的内容选自人民教育出版社《普通高中课程标准实验教科书数学必修3(A)版》第三章中的第3.2.节古典概型,它在本书中被安排在随机事件的概率之后,几何概型之前。

古典概型是一种最基本的概率模型,它引入前,通过实验和观察地方法可以得到一些事件的概率估计值,但这种做法耗时耗力,引入古典概型后避免了大量的重复试验,得到的是概率准确值。

古典概率在概率论中占有相当重要的地位,是学习概率必不可少的内容,还可以解释生活中的一些常见问题,在概率论中占有相当重要的地位。

本节主要是学习古典概型第一课时。

教学过程中让学生通过生活中的一些实例与数学模型理解基本事件的概念和古典概型的两个特征,通过具体的实例来推导古典概型下的概率公式,并通过当堂练习和典型例题加以引申,让学生初步学会把一些实际问题转化为古典概型问题。

二、学生情况分析能力:学生基础较差,只具备了很少的的归纳、猜想能力,数学的应用意识与应用能力方面也很差情感:多数学生对数学学习有一定的兴趣,但是实际学习中还有畏难情绪三、教学指导思想与理论依据:本节课以新课标基本理念为依据按照教学大纲进行设计的,针对学生目前学习情况,挖掘生活中相关的简单问题,想办法激发学生的学习热情,把学习的主动权交给学生,鼓励学生自主探究、合作交流,确实改变学生的学习方式。

在具体实施中,我根据学生数学学习的特点,联系学生的学习实际,从最基础讲起,鼓励学生举出生活中的一些实际问题,并进行探讨,使之更容易的理解基本事件的概念和古典概型的两个特征,并推导公式。

四、教学目标:知识目标:正确理解基本事件的概念,准确求出基本事件及其个数;能力目标:进一步发展学生类比、归纳、猜想等合情推理能力;情感目标:通过各种有趣的,贴近学生生活的素材,激发学生学习数学的热情和兴趣,教学重点:掌握古典概型的概念及利用古典概型求解随机事件的概率.教学难点:如何判断一个试验是否为古典概型,分清在一个古典概型中某随机事件包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数。

高中数学 古典概型教案 新人教版必修3

高中数学 古典概型教案 新人教版必修3

高中数学古典概型教案新人教版必修33.2.1 古典概型(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能(1)正确理解基本事件的概念,准确求出基本事件及其个数.(2)在数学建模的过程中,正确理解古典概型的两个特点.(3)推导和掌握古典概型的概率计算公式,会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率问题.2.过程与方法(1)进一步发展学生类比、归纳、猜想等合情推理能力.(2)通过对各种不同的实际情况的分析、判断、探索,培养学生的应用能力.3.情感、态度与价值观(1)激发学生学习数学的热情和兴趣,培养学生勇于探索,善于发现的创新思想.(2)通过参与探究活动,领会理论与实践对立统一的辨证思想,培养学生的合作精神.●重点难点重点:理解古典概型的含义及其概率的计算公式.难点:如何判断一个试验是否为古典概型.教学时,从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手,引导学生结合前面三节课所讲解的概率的有关知识,通过观察、分析课本中实例的特点概括归纳古典概型的概念及其概率公式,再通过具体问题的提出和解决,来激发学生的学习兴趣,调动学生的主体能动性,让每一个学生充分地参与到学习活动中来从而突出重点.通过提出问题,引导学生发现问题,经历思考、交流、概括归纳后得出古典概型的概念,由两个问题的提出进一步加深对古典概型的两个特点的理解.对于古典概型的判断,两个条件缺一不可,尤其是例题中等可能性的判断,教师通过实例模型的给出,帮助学生突破思维难点.(教师用书独具)●教学建议学生已经学习了随机事件的概率,经历了抛硬币、掷骰子等试验,初步从中体验到每个试验结果出现“机会均等”.这为学习古典概型奠定心理基础.但同时学生也会认识到通过试验的方法来得到一些事件的概率费时耗力,而得到的只是概率的近似值.那么寻找一种能得到精确的结果并且简便易行的操作方法成了学生内在的迫切需要.根据本节课的特点,采用引导发现和归纳概括相结合的教学方法,通过提出问题、思考问题、解决问题等教学过程,观察对比、概括归纳古典概型的概念及其概率公式,再通过具体问题的提出和解决,来激发学生的学习兴趣,调动学生的主体能动性,让每一个学生充分地参与到学习活动中来.最后在例题中加入模型的展示,帮助学生突破教学难点.●教学流程创设情境,引入新课:以掷硬币试验为例考查事件的基本特点⇒教师引导学生分析探究事件的构成及特点,引出古典概型的概念并分析特点⇒通过例1及变式训练使学生能掌握事件的构成,突出重点⇒通过例2及变式训练使学生掌握求简单古典概型概率的方法和技巧⇒完成当堂双基达标,巩固本节知识并进行反馈⇒引导学生完成例3及变式训练,使学生掌握较为复杂的古典概型的概率求法⇒归纳整理,进行课堂小结,整体把握本节知识⇒完成当堂双基达标,巩固所掌握的知识,并进行反馈矫正课标解读1.了解基本事件的特点.2.理解古典概型的定义.(重点)3.会应用古典概型的概率公式解决实际问题.(难点)基本事件【问题导思】掷两枚质地均匀的硬币,有哪几种可能结果?【提示】 (正,正),(正,反),(反,正),(反,反). 基本事件的特点1.任何两个基本事件是互斥的.2.任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.古典概型【问题导思】掷一枚质地均匀的骰子,有哪些基本事件?每个基本事件出现的可能性相等吗? 【提示】 这个试验的基本事件有六个,正面出现的点数为1,2,3,4,5,6,由于质地均匀,因此基本事件出现的可能性相等.1.古典概型的概念如果某类概率模型具有以下两个特点:(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个. (2)每个基本事件出现的可能性相等.我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型. 2.古典概型的概率公式对于任何事件A ,P (A )=A 包含的基本事件的个数基本事件的总数.基本事件的计数有两个正四面体的玩具,其四个面上分别标有数字1,2,3,4,下面做投掷这两个正四面体玩具的试验:用(x,y)表示结果,其中x表示第1个正四面体玩具朝下的点数,y表示第2个正四面体玩具朝下的点数.试写出:(1)试验的基本事件;(2)事件“朝下点数之和大于3”;(3)事件“朝下点数相等”;(4)事件“朝下点数之差的绝对值小于2”.【思路探究】根据事件的定义,按照一定的规则找到试验中所有可能发生的结果,列举出来即可.【自主解答】(1)这个试验的基本事件为:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4).(2)事件“朝下点数之和大于3”包含以下13个基本事件:(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4).(3)事件“朝下点数相等”包含以下4个基本事件:(1,1),(2,2),(3,3),(4,4).(4)事件“朝下点数之差的绝对值小于2”包含以下10个基本事件:(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),(3,4),(4,3),(4,4).1.求基本事件的基本方法是列举法.基本事件具有:①不能或不必分解为更小的随机事件;②不同的基本事件不可能同时发生.因此,求基本事件时,一定要从可能性入手,对照基本事件的含义及特征进行思考,并将所有可能的基本事件一一列举出来.2.对于较复杂问题中基本事件数的求解还可应用列表或树形图.一个不透明的口袋中装有大小形状相同的1个白球和3个编有不同号码的黑球,从中任意摸出2个球.(1)写出所有的基本事件;(2)求事件“摸出的2个球是黑球”包括多少个基本事件? 【解】 4个球的大小形状相同,摸出每个球的可能性是相等的.(1)从装有4个球的口袋中摸出2个球,基本事件共有6个:(白,黑1),(白,黑2),(白,黑3),(黑1,黑2),(黑1,黑3),(黑2,黑3).(2)事件“摸出的2个球是黑球”={(黑1,黑2),(黑1,黑3),(黑2,黑3)},包括3个基本事件.简单古典概型概率的求法先后抛掷两枚质地均匀的骰子,求:(1)点数之和是4的倍数的概率; (2)点数之和大于5且小于10的概率.【思路探究】 用坐标法找出基本事件总数n 和事件A 发生的基本事件数m ,用公式求解.【自主解答】 从图中容易看出,基本事件与所描点一一对应,共36种.(1)记“点数之和是4的倍数”的事件为A ,从图中可以看出,事件A 包含的基本事件共有9个:(1,3),(2,2),(2,6),(3,1),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),(6,6),所以P (A )=14.(2)记“点数之和大于5且小于10”的事件为B ,从图中可以看出,事件B 包含的基本事件共有20个(已用虚线圈出),所以P (B )=2036=59.1.借助坐标系求基本事件的方法:(1)将基本事件都表示成(i,j)的形式,其中第一次的试验结果记为i,第二次的试验结果记为j.(2)将(i,j)以点的形式在直角坐标系中标出,点所对应的位置填写i,j之和(差或积,看题目要求).(3)看图,找出符合条件的基本事件.2.求古典概型概率的计算步骤是:(1)求基本事件的总数n;(2)求事件A包含的基本事件的个数m;(3)求事件A的概率P(A)=m n .一个盒子中放有5个完全相同的小球,其上分别标有号码1,2,3,4,5.从中任取一个,记下号码后放回.再取出1个,记下号码后放回,按顺序记录为(x,y),(1)求所得两球的和为6的概率;(2)求所得两球的和是3的倍数的概率.【解】列出所有的基本事件,共25个,如图所示.(1)由图可直观地看出“所得两球的和为6”包含5个基本事件:(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),故所求概率为525=15.(2)“两球的和为3的倍数”包含(2,1),(1,2),(1,5),(2,4),(3,3),(5,1),(4,2),(1,8),(8,1)共9个基本事件.故所求概率为925.较复杂的古典概型的概率计算同时抛掷两枚相同的骰子(每个面上分别刻有1~6个点数,抛掷后,以向上一面的点数为准),试计算出现点数和为6或7的概率为多少?【思路探究】解答本题可先列出掷两枚骰子的基本事件,求出基本事件总数,然后求出点数和为6或7的基本事件数,进而根据计算公式求解.【自主解答】由于每个面向上的概率相等且试验结果有限可数,故该概型属于古典概型.法一由于“出现点数的和为6”与“出现点数的和为7”两个事件互斥,所以可利用互斥事件的和事件的概率加法公式.为了简单明了起见,可认为两只骰子是编号为1号、2号的不同的骰子,同时抛掷,如图所示,则可能出现的基本事件有36种.设出现点数和为6的事件为事件A,出现点数和为6的情况有(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3),共5种.∴P(A)=536.设出现点数和为7的事件为事件B,出现点数和为7的情况有(1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3),共6种.∴P(B)=636=1 6.∴P (A +B )=P (A )+P (B )=536+16=1136.即出现点数和为6或7的概率为1136.法二 将“出现点数和为6或7”看成单一的基本事件A ,则由于基本事件(1,1),(1,2),(1,3),…,(6,6)共36种,计n =36.其中事件A 包含的事件有(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(3,3),(3,4),(4,3),(4,2),(5,1),(5,2),(6,1)共11种,计m =11.故P (A )=m n =1136.使用古典概型概率公式应注意: 1.首先确定是否为古典概型;2.A 事件是什么,包含的基本事件有哪些.一个盒子里装有完全相同的十个小球,分别标上1,2,3,…,10这10个数字,今随机地抽取两个小球,如果:(1)小球是不放回的; (2)小球是有放回的.分别求两个小球上的数字为相邻整数的概率.【解】 随机选取两个小球,记事件A 为“两个小球上的数字为相邻整数”,可能结果为(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6),(6,7),(7,8),(8,9),(9,10),(2,1),(3,2),(4,3),(5,4),(6,5),(7,6),(8,7),(9,8),(10,9)共18种.(1)如果小球是不放回的,按抽取顺序记录结果(x ,y ),共有可能结果90种. 因此,事件A 的概率是1890=945=15.(2)如果小球是有放回的,按抽取顺序记录结果(x ,y ),则x 有10种可能,y 有10种可能,但(x ,y )与(y ,x )是一样的,共有可能结果100种.因此,事件A 的概率是18100=950.数形结合思想巧解古典概型概率(12分)先后抛掷两枚大小相同的骰子.(1)求点数之和出现7点的概率; (2)求出现两个4点的概率; (3)求点数之和能被3整除的概率.【思路点拨】 明确先后掷两枚骰子的基本事件总数,然后用古典概型概率计算公式求解,可借图来确定基本事件情况.【规范解答】 如图所示,从图中容易看出基本事件与所描点一一对应,共36种.(1)记“点数之和出现7点”为事件A ,从图中可以看出,事件A 包含的基本事件共6个:(6,1),(5,2),(4,3),(3,4),(2,5),(1,6).故P (A )=636=16.(2)记“出现两个4点”为事件B ,从图中可以看出,事件B 包含的基本事件只有1个,即(4,4).故P (B )=136.10分(3)记“点数之和能被3整除”为事件C ,则事件C 包含的基本事件共12个:(1,2),(2,1),(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3),(3,6),(6,3),(4,5),(5,4),(6,6).故P (C )=1236=13.12分1.在求概率时,若事件可以表示成有序数对的形式,则可以把全体基本事件用平面直角坐标系中的点表示,以便我们准确地找出某事件所包含的基本事件个数.2.数形结合能使解决问题的过程变得形象、直观,给问题的解决带来方便.1.基本事件是一次试验中所有可能出现的最小事件,且这些事件彼此互斥.试验中的事件A 可以是基本事件,也可以是由几个基本事件组合而成的.2.有限性和等可能性是古典概型的两个本质特点,概率计算公式P (A )=事件A 所包含的基本事件的个数基本事件的总数,只对古典概型适用.3.求某个随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数常用的方法是列举法(画树状图和列表),注意做到不重不漏.1.某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组,某学生只选报其中的2个,则基本事件共有( )A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】基本事件有(数学,计算机),(数学,航空模型),(计算机,航空模型)共3个.【答案】 C2.下列不是古典概型的是( )A.从6名同学中,选出4人参加数学竞赛,每人被选中的可能性的大小B.同时掷两颗骰子,点数和为7的概率C.近三天中有一天降雨的概率D.10个人站成一排,其中甲、乙相邻的概率【解析】由古典概型特征知C不是古典概型.【答案】 C3.在单词Probability(概率)任意选择一个字母,则该字母为i的概率为________.【解析】在单词中任选一个字母有11种选法,该字母为i的有两种情况,故概率为211.【答案】2 114.袋中有红、白色球各一个,每次任取一个,有放回地摸三次,求基本事件的个数,写出所有基本事件的全集,并计算下列事件的概率:(1)三次颜色恰有两次同色;(2)三次颜色全相同;(3)三次摸到的红球多于白球.【解】每个基本事件为(x,y,z),其中x,y,z分别取红、白球,故基本事件个数n=8个.全集I={(红,红,红),(红,红,白),(红,白,红),(白,红,红),(红,白,白),(白,红,白),(白,白,红),(白,白,白)}.(1)记事件A 为“三次颜色恰有两次同色”. ∵A 中含有基本事件个数为m =6,∴P (A )=m n =68=0.75;(2)记事件B 为“三次颜色全相同”. ∵B 中含基本事件个数为m =2,∴P (B )=m n =28=0.25;(3)记事件C 为“三次摸到的红球多于白球”. ∵C 中含有基本事件个数为m =4, ∴P (C )=48=0.5.一、选择题1.(2013·石家庄高一检测)一个家庭中有两个小孩,这两个小孩都为女孩的概率为( )A.13B.12C.14D.23【解析】 两个小孩共有四种情况:(男,女),(女,男),(女,女),(男,男),基本事件总数为4,两个小孩都为女孩的概率为14.【答案】 C2.甲、乙、丙三个人站成一排,甲站在中间的概率是( ) A.16 B.12 C.13 D.23【解析】 基本事件总数为(甲,乙,丙),(甲,丙,乙),(乙,丙,甲),(乙,甲,丙),(丙,甲,乙),(丙,乙,甲)6个,甲站在中间的事件有2个,故P (甲)=26=13.【答案】 C3.从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a ,从{1,2,3}中随机选取一个数为b ,则b >a的概率是( )A.45B.35C.25D.15【解析】 设Ω={(a ,b )|a ∈{1,2,3,4,5},b ∈{1,2,3}},包含的基本事件数为5×3=15,事件“b >a ”可表示为{(1,2),(1,3),(2,3)},包含的基本事件数m =3,∴P =315=15. 【答案】 D4.(2013·阜阳高一检测)设a 是抛掷一枚骰子得到的点数,则方程x 2+ax +2=0有两个不相等的实根的概率为( )A.23B.13C.12D.512【解析】 基本事件总数为6,若方程有实根则a 2-8>0,满足上述条件的a 为3,4,5,6,故P =46=23.【答案】 A5.(2012·安徽高考)袋中共有6个除了颜色外完全相同的球,其中有1个红球、2个白球和3个黑球.从袋中任取两球,两球颜色为一白一黑的概率等于( )A.15B.25C.35D.45【解析】 利用古典概型求解.设袋中红球用a 表示,2个白球分别用b 1,b 2表示,3个黑球分别用c 1,c 2,c 3表示,则从袋中任取两球所含基本事件为:(a ,b 1),(a ,b 2),(a ,c 1),(a ,c 2),(a ,c 3),(b 1,b 2),(b 1,c 1),(b 1,c 2),(b 1,c 3),(b 2,c 1),(b 2,c 2),(b 2,c 3),(c 1,c 2),(c 1,c 3),(c 2,c 3),共15个.两球颜色为一白一黑的基本事件有:(b 1,c 1),(b 1,c 2),(b 1,c 3),(b 2,c 1),(b 2,c 2),(b 2,c 3),共6个. ∴其概率为615=25.【答案】 B 二、填空题6.(2013·南京高一检测)从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数,则其中一个数是另一个的两倍的概率为________.【解析】 基本事件为(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)6个;其中一个数是另一个两倍的有(1,2),(2,4)两个事件,故概率为26=13.【答案】 137.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子,骰子朝上的面的点数分别为x ,y ,则log 2x y =1的概率为________.【解析】 满足log 2x y =1的x ,y ,有(1,2),(2,4),(3,6)这3种情况,而总的可能数为36种.所以P =336=112.【答案】1128.现有5根竹竿,它们的长度(单位:m)分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9.若从中一次抽取2根竹竿,则它们的长度恰好相差0.3 m 的概率为________.【解析】 基本事件共有(2.5,2.6),(2.5,2.7),(2.5,2.8),(2.5,2.9),(2.6,2.7),(2.6,2.8),(2.6,2.9),(2.7,2.8),(2.7,2.9),(2.8,2.9)10种情况.相差0.3 m 的共有(2.5,2.8),(2.6,2.9)两种情况,∴P =15.【答案】 15三、解答题9.任意投掷两枚质地均匀的骰子,计算: (1)出现的点数相同的概率; (2)出现的点数之和为奇数的概率; (3)出现的点数之和为偶数的概率.【解】 (1)任意投掷两枚骰子,由于骰子质地均匀,故可以看成等可能事件.其结果可表示为数组(i ,j )(i ,j =1,2,…,6),其中i ,j 分别表示两枚骰子出现的点数,共有6×6=36(种),其中点数相同的数组为(i ,i )(i =1,2,…,6),共有6种结果,故出现点数相同的概率为636=16.(2)法一 出现的点数之和为奇数由数组(奇,偶)、(偶,奇)组成(如(1,2),(2,3)等).又由于每枚骰子点数有3个偶数,3个奇数,所以出现的点数之和为奇数的数组有3×3+3×3=18(个).从而所求概率为1836=12.法二 由于每枚骰子点数分奇、偶数各3个,而按第1、第2枚骰子出现的点数顺次写时有(奇数,奇数)、(奇数,偶数)、(偶数,奇数)、(偶数,偶数)这四种等可能结果,所以出现的点数之和为奇数的概率为24=12.(3)由于每枚骰子点数各有3个偶数,3个奇数,因此“点数之和为偶数”、“点数之和为奇数”这两个结果等可能,且为对立事件.所以出现的点数之和为偶数的概率为1-12=12. 10.袋中有6个球,其中4个白球,2个红球,从袋中任意取出两个球,求下列事件的概率:(1)A :取出的两球都是白球;(2)B :取出的两球1个是白球,另1个是红球. (3)C :取出的两球中至少有一个白球.【解】 设4个白球的编号为1,2,3,4,2个红球的编号为5,6.从袋中的6个小球中任取2个球的取法有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共15种.(1)从袋中的6个球中任取两个,所取的两球全是白球的取法总数,即是从4个白球中任取两个的取法总数,共有6种,为(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4).∴取出的两个球全是白球的概率为P (A )=615=25.(2)从袋中的6个球中任取两个,其中一个是红球,而另一个是白球,其取法包括(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6)共8种.∴取出的两个球一个是白球,一个是红球的概率为P (B )=815.(3)法一 ∵C =A ∪B 且A ,B 为互斥事件, ∴P (C )=P (A )+P (B )=1415.法二 设C 的对立事件为D :取出的两球中没有白球(全为红球),而D 含有1个基本事件(5,6).∴P (C )=1-P (D )=1-115=1415.11.(2012·天津高考)某地区有小学21所,中学14所,大学7所,现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查.(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目.(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析, ①列出所有可能的抽取结果; ②求抽取的2所学校均为小学的概率.【解】 (1)由分层抽样定义知,从小学中抽取的学校数目为6×2121+14+7=3;从中学中抽取的学校数目为6×1421+14+7=2;从大学中抽取的学校数目为6×721+14+7=1.故从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1.(2)①在抽取到的6所学校中,3所小学分别记为A 1,A 2,A 3,2所中学分别记为A 4,A 5,大学记为A 6,则抽取2所学校的所有可能结果为{A 1,A 2},{A 1,A 3},{A 1,A 4},{A 1,A 5},{A 1,A 6},{A 2,A 3},{A 2,A 4},{A 2,A 5},{A 2,A 6},{A 3,A 4},{A 3,A 5},{A 3,A 6},{A 4,A 5},{A 4,A 6},{A 5,A 6},共15种.②从6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B )的所有可能结果为{A 1,A 2},{A 1,A 3},{A 2,A 3},共3种,所以P (B )=315=15.(教师用书独具)(1)从含有两件正品a 1,a 2和一件次品b 1的3件产品中每次任取1件,每次取出后不放回,连续取两次,求取出的两件产品中恰有一件次品的概率;(2)如果将“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”,其余不变,求取出的两件中恰有1件次品的概率.【思路探究】 列举出事件总数及事件A 包含的基本事件的个数,注意(1)(2)的区别. 【自主解答】 (1)每次取一件,取后不放回地连取两次,有以下6种取法(a 1,a 2),(a 1,b 1),(a 2,a 1),(a 2,b 1),(b 1,a 1),(b 1,a 2),设A ={两件中恰有一件次品},则A 事件含(a 1,b 1),(a 2,b 1),(b 1,a 1),(b 1,a 2)4个基本事件.∴P (A )=46=23.(2)有放回地连取两件,共有以下9个基本事件组成.即(a 1,a 1),(a 1,a 2),(a 1,b 1),(a 2,a 1),(a 2,a 2),(a 2,b 1),(b 1,a 1),(b 1,a 2),(b 1,b 1).设B ={两件中恰有一件次品},则B 由(a 1,b 1),(a 2,b 1),(b 1,a 1),(b 1,a 2)4个基本事件组成.∴P (B )=49.在添加剂的搭配使用中,为了找到最佳的搭配方案,需要对各种不同的搭配方案作比较,在试制某种牙膏新品种时,需要选用两种不同的添加剂.现有芳香度分别为0,1,2,3,4,5的六种添加剂可供选用.根据试验设计原理,通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验.(1)求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于4的概率; (2)求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于3的概率.【解】 设“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于4”为事件A ,“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于3”为事件B ,则基本事件为:(0,1),(0,2),(0,3),(0,4),(0,5),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共有15个.(1)芳香度之和等于4的取法有2种,即(0,4),(1,3),故P (A )=215,即所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于4的概率是215.(2)事件B 的对立事件是芳香之和等于1或2.芳香度之和等于1的取法有1种,即(0,1),芳香度之和等于2的取法有1种,即(0,2),故P (B )=1-(115+115)=1315,即所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于3的概率是1315.3.2.2 (整数值)随机数(random numbers)的产生(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能(1)了解随机数的概念.(2)利用计算机产生随机数,并能直接统计出频数与频率.2.过程与方法(1)通过对现实生活中具体的概率问题的探究,感知应用数学解决问题的方法,体会数学知识与现实世界的联系,培养逻辑推理能力.(2)通过模拟试验,感知应用数字解决问题的方法,自觉养成动手、动脑的良好习惯.3.情感、态度与价值观通过数学与探究活动,体会理论来源于实践并应用于实践的辩证唯物主义观点.●重点难点重点:正确理解随机数的概念,并能应用计算器或计算机产生随机数.难点:建立概率模型,应用计算器或计算机来模拟试验的方法近似计算概率,解决一些较简单的现实问题.在学习了随机事件、频率、概率的意义和性质及用概率解决实际问题和古典概型的概念后,进一步体会用频率估计概率思想.教学时要抓知识选择的切入点,从学生的认知水平和所需的知识特点入手,引导学生结合古典概型的求法,不断地观察、比较、分析,采取从特殊到一般以及合情推理的方法发现用随机模拟的方法求概率问题;引导学生进行解题方法的总结从而化解难点.引导学生回答所提问题,理解利用随机模拟的方法求古典概型的概率的类型;通过例题与练习让学生掌握随机模拟的步骤在解决问题的过程中更深入地理解随机模拟的思想和作用,以强化重点.(教师用书独具)●教学建议从教师这方面看,首先这部分内容操作性强,鉴于教学条件及学生的差异,高效的组织教学将是一个突出的问题;其次学生虽然已对随机事件、频率、概率的意义、古典概型等方面都有所认识,但不可能从根本上理解随机模拟方法,在完成操作任务的同时,还要结合一些典型案例的处理,使学生经历较完整的数据处理的全过程,在过程中让学生体会随机模拟的基本思想,学习数据处理的方法,把理性的认识和实际的操作结合起来,对教师驾驭课堂、灵活应变能力提出了较高的要求.●教学流程创设情境引入新课:在抛硬币和掷骰子的试验中,作 1 000次试验该怎么办?⇒引导学生讨论,分析探究,教师指出利用计算器和计算机产生随机数的必要性⇒教师向学生介绍计算器的操作,随机函数的原理,学生自己动手操作⇒通过例1及变式训练,使学生掌握用计算器或计算机产生随机数的方法通过例2,例3及互动探究的学习,学生掌握用随机模拟的方法求概率⇒课堂小结,归纳升华,整体把握本节知识分层布置作业⇒完成当堂双基达标,巩固所学知识并进行反馈矫正课标解读1.了解随机数的意义.2.会用模拟方法(包括计算器产生的随机数进行模拟)估计概率.(重点)3.理解用模拟方法估计概率的实质.(难点)随机数的产生【问题导思】种植某种树苗成活率为0.9,若种植这种树苗5棵,求恰好成活4棵的概率.1.每棵树苗成活的可能性相同吗?【提示】不相同.2.能用古典概率公式求解吗?【提示】不能.3.应如何求解呢?【提示】可用随机数的方法.1.随机数要产生1~n(n∈N*)之间的随机整数,把n个大小形状相同的小球分别标上1,2,3,…,n,放入一个袋中,把它们充分搅拌,然后从中摸出一个,这个球上的数就称为随机数.2.伪随机数计算机或计算器产生的随机数是依照确定算法产生的数,具有周期性(周期很长),它们具有类似随机数的性质.因此,计算机或计算器产生的并不是真正的随机数,我们称它们为伪随机数.3.产生随机数的常用方法①用计算器产生,②用计算机产生,③抽签法.随机数的产生方法产生10个在1~25之间的取整数值的随机数.【思路探究】用计算器的随机函数RAND(a,b)产生.【自主解答】方法如下:反复按ENTER键10次,就可以产生10个1~25之间的随机数.1.产生随机数的方法有抽签法、利用计算机或计算器产生随机数.抽签法产生的随机数能保证机会均等,而计算器或计算机产生的随机数是伪随机数,不能保证等可能性,但是后者较前者速度快,操作简单、省时、省力.2.用产生随机数的方法抽取样本要注意以下两点:(1)进行正确的编号,并且编号要连续;(2)正确把握抽取的范围和容量.某校高一全年级有20个班共1 200人,期末考试时如何把学生分配到40个考场中去?【解】(1)按班级、学号依次把学生档案输入计算机.(2)用随机函数RANDBETWEEN(1,1 200)按顺序给每个学生一个随机数(每人的都不同).(3)使用计算机排序功能按随机数从小到大排列,即可得到考试号从1到1 200的考试序号.(注:1号应用000 1,2号应为000 2,用0补足位数,前面再加上有关信息号码即可)用随机模拟估计概率某篮球爱好者做投篮练习,假设其每次投篮命中的概率是60%,那么在连续三次投篮中,三次都投中的概率是多少?【思路点拨】设计模拟试验―→产生随机数―→估算所求概率。

人教版高中数学必修三第三章概率古典概型教学设计.

人教版高中数学必修三第三章概率古典概型教学设计.

第1页共6页古典概型教学设计.
一、教材分析
(一)教材地位、作用
《古典概型》是高中数学人教A 版必修3第三章概率 3.2的内容,教学安排是2课时,本节是第一课时。

是在随机事件的概率之后,几何概型之前,尚未学习排列组合的情况下教学的。

古典概型是一种特殊的数学模型,也是一种最基本的概率模型,它的引入避免了大量的重复试验,而且得到的是概率精确值,同时古典概型也是后面学习条件概率的基础,它有利于理解概率的概念,有利于计算一些事件的概率,有利于解释生活中的一些问题,起到承前启后的作用,所以在概率论中占有相当重要的地位。

(二)教材处理:
学情分析:学生基础一般,但师生之间,学生之间情感融洽,上课互动氛围良好。

他们具备一定的观察,类比,分析,归纳能力,但对知识的理解和方法的掌握在一些细节上不完备,反映在解题中就是思维不慎密,过程不完整。

教学内容组织和安排:根据上面的学情分析,学生思维不严密,意志力薄弱,故而整个教学环节总是创设恰当的问题情境,引导学生积极思考,培养他们的逻辑思维能力。

通过对问题情境的分析,引出基本事件的概念,古典概型中基本事件的特点,以及古典概型的计算公式。

对典型例题进行分析,以巩固概念,掌握解题方法。

二、三维目标
知识与技能目标:
(1)正确理解古典概型的两大特点:1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;2)每个基本事件出现的可能性相等;
(2)理解古典概型的概率计算公式:P (A )=总的基本事件个数
包含的基本事件个数
A (3)会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。

过程与方法目标:根据本节课的内容和学生的实际水平,通过模拟试验让学生理解古典。

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3.2 古典概型3.2.1 古典概型整体设计教学分析本节课是高中数学3(必修)第三章概率的第二节古典概型的第一课时,是在随机事件的概率之后,几何概型之前,尚未学习排列组合的情况下教学的.古典概型是一种特殊的数学模型,也是一种最基本的概率模型,在概率论中占有相当重要的地位.学好古典概型可以为其他概率的学习奠定基础,同时有利于理解概率的概念,有利于计算一些事件的概率,有利于解释生活中的一些问题.根据本节课的内容和学生的实际水平,通过模拟试验让学生理解古典概型的特征:试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性,观察类比各个试验,归纳总结出古典概型的概率计算公式,体现了化归的重要思想,掌握列举法,学会运用数形结合、分类讨论的思想解决概率的计算问题.概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义,加强与实际生活的联系,以科学的态度评价身边的一些随机现象.适当地增加学生合作学习交流的机会,尽量地让学生自己举出生活和学习中与古典概型有关的实例.使得学生在体会概率意义的同时,感受与他人合作的重要性以及初步形成实事求是的科学态度和锲而不舍的求学精神.三维目标1.根据本节课的内容和学生的实际水平,通过模拟试验让学生理解古典概型的特征:试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性,观察类比各个试验,正确理解古典概型的两大特点;树立从具体到抽象、从特殊到一般的辩证唯物主义观点,培养学生用随机的观点来理性地理解世界,使得学生在体会概率意义的同时,感受与他人合作的重要性以及初步形成实事求是的科学态度和锲而不舍的求学精神.2.鼓励学生通过观察、类比,提高发现问题、分析问题、解决问题的能力,归纳总结出古典概型的概率计算公式,掌握古典概型的概率计算公式;注意公式:P (A )=总的基本事件个数包含的基本事件个数A 的使用条件——古典概型,体现了化归的重要思想.掌握列举法,学会运用分类讨论的思想解决概率的计算问题,增强学生数学思维情趣,形成学习数学知识的积极态度.重点难点教学重点:理解古典概型的概念及利用古典概型求解随机事件的概率.教学难点:如何判断一个试验是否是古典概型,分清在一个古典概型中某随机事件包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数.课时安排1课时教学过程导入新课思路1(1)掷一枚质地均匀的硬币,结果只有2个,即“正面朝上”或“反面朝上”,它们都是随机事件.(2)一个盒子中有10个完全相同的球,分别标以号码1,2,3,...,10,从中任取一球,只有10种不同的结果,即标号为1,2,3, (10)思考讨论根据上述情况,你能发现它们有什么共同特点?为此我们学习古典概型,教师板书课题.思路2将扑克牌(52张)反扣在桌上,先从中任意抽取一张,那么抽到的牌为红心的概率有多大?是否一定要进行大量的重复试验,用“出现红心”这一事件的频率估计概率?这样工作量较大且不够准确.有更好的解决方法吗?把“抽到红心”记为事件B,那么事件B 相当于“抽到红心1”,“抽到红心2”,…,“抽到红心K”这13种情况,而同样抽到其他牌的共有39种情况;由于是任意抽取的,可以认为这52种情况的可能性是相等的.所以,当出现红心时“抽到红心1”,“抽到红心2”,…,“抽到红心K”这13种情形之一时,事件B 就发生,于是P(B)=5213=41.为此我们学习古典概型.推进新课新知探究提出问题试验一:抛掷一枚质地均匀的硬币,分别记录“正面朝上”和“反面朝上”的次数,要求每个数学小组至少完成20次(最好是整十数),最后由学科代表汇总;试验二:抛掷一枚质地均匀的骰子,分别记录“1点”“2点”“3点”“4点”“5点”和“6点”的次数,要求每个数学小组至少完成60次(最好是整十数),最后由学科代表汇总.(1)用模拟试验的方法来求某一随机事件的概率好不好?为什么?(2)根据以前的学习,上述两个模拟试验的每个结果之间都有什么特点?(3)什么是基本事件?基本事件具有什么特点?(4)什么是古典概型?它具有什么特点?(5)对于古典概型,应怎样计算事件的概率?活动:学生展示模拟试验的操作方法和试验结果,并与同学交流活动感受,讨论可能出现的情况,师生共同汇总方法、结果和感受.讨论结果:(1)用模拟试验的方法来求某一随机事件的概率不好,因为需要进行大量的试验,同时我们只是把随机事件出现的频率近似地认为随机事件的概率,存在一定的误差.(2)上述试验一的两个结果是“正面朝上”和“反面朝上”,它们都是随机事件,出现的概率是相等的,都是0.5.上述试验二的6个结果是“1点”“2点”“3点”“4点”“5点”和“6点”,它们也都是随机事件,出现的概率是相等的,都是61. (3)根据以前的学习,上述试验一的两个结果“正面朝上”和“反面朝上”,它们都是随机事件;上述试验二的6个结果“1点”“2点”“3点”“4点”“5点”和“6点”,它们都是随机事件,像这类随机事件我们称为基本事件(elementary event );它是试验的每一个可能结果.基本事件具有如下的两个特点:①任何两个基本事件是互斥的;②任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.(4)在一个试验中如果①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;(有限性)②每个基本事件出现的可能性相等.(等可能性)我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型(classical models of probability ),简称古典概型.向一个圆面内随机地投射一个点,如果该点落在圆内任意一点都是等可能的,你认为这是古典概型吗?为什么?因为试验的所有可能结果是圆面内所有的点,试验的所有可能结果数是无限的,虽然每一个试验结果出现的“可能性相同”,但这个试验不满足古典概型的第一个条件.如下图,某同学随机地向一靶心进行射击,这一试验的结果只有有限个:命中10环、命中9环……命中5环和不中环.你认为这是古典概型吗?为什么?不是古典概型,因为试验的所有可能结果只有7个,而命中10环、命中9环……命中5环和不中环的出现不是等可能的,即不满足古典概型的第二个条件.(5)古典概型,随机事件的概率计算对于实验一中,出现正面朝上的概率与反面朝上的概率相等,即P (“正面朝上”)=P (“反面朝上”)由概率的加法公式,得P (“正面朝上”)+P (“反面朝上”)=P (必然事件)=1.因此P (“正面朝上”)=P (“反面朝上”)=21. 即P (“出现正面朝上”)=基本事件的总数数所包含的基本事件的个出现正面朝上""21=. 试验二中,出现各个点的概率相等,即P (“1点”)=P (“2点”)=P (“3点”)=P (“4点”)=P (“5点”)=P (“6点”).反复利用概率的加法公式,我们有P (“1点”)+P (“2点”)+P (“3点”)+P (“4点”)+P (“5点”)+P (“6点”)=P (必然事件)=1.所以P (“1点”)=P (“2点”)=P (“3点”)=P (“4点”)=P (“5点”)=P (“6点”)=61. 进一步地,利用加法公式还可以计算这个试验中任何一个事件的概率,例如,P (“出现偶数点”)=P (“2点”)+P (“4点”)+P (“6点”)=61+61+61=63=21. 即P (“出现偶数点”)=基本事件的总数数所包含的基本事件的个出现偶数点""63=. 因此根据上述两则模拟试验,可以概括总结出,古典概型计算任何事件的概率计算公式为:P (A )=基本事件的总数数所包含的基本事件的个A . 在使用古典概型的概率公式时,应该注意:①要判断该概率模型是不是古典概型;②要找出随机事件A 包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数.下面我们看它们的应用.应用示例思路1例1 从字母a,b,c,d 中任意取出两个不同字母的试验中,有哪些基本事件?活动:师生交流或讨论,我们可以按照字典排序的顺序,把所有可能的结果都列出来.解:基本事件共有6个:A={a,b},B={a,c},C={a,d},D={b,c},E={b,d},F={c,d}.点评:一般用列举法列出所有基本事件的结果,画树状图是列举法的基本方法.分布完成的结果(两步以上)可以用树状图进行列举.变式训练用不同的颜色给下图中的3个矩形随机地涂色,每个矩形只涂一种颜色,求:(1)3个矩形颜色都相同的概率;(2)3个矩形颜色都不同的概率.分析:本题中基本事件比较多,为了更清楚地枚举出所有的基本事件,可以画图枚举如下:(树形图)解:基本事件共有27个.(1)记事件A=“3个矩形涂同一种颜色”,由上图可以知道事件A 包含的基本事件有1×3=3个,故P(A)=91273=. (2)记事件B=“3个矩形颜色都不同”,由上图可以知道事件B 包含的基本事件有2×3=6个,故P(B)=92276=. 答:3个矩形颜色都相同的概率为91;3个矩形颜色都不同的概率为92. 例2 单选题是标准化考试中常用的题型,一般是从A,B,C,D 四个选项中选择一个正确答案.如果考生掌握了考查的内容,他可以选择唯一正确的答案.假设考生不会做,他随机地选择一个答案,问他答对的概率是多少?活动:学生阅读题目,搜集信息,交流讨论,教师引导,解决这个问题的关键,即讨论这个问题什么情况下可以看成古典概型.如果学生掌握或者掌握了部分考查内容,这都不满足古典概型的第2个条件——等可能性,因此,只有在假定学生不会做,随机地选择了一个答案的情况下,才可以化为古典概型.解:这是一个古典概型,因为试验的可能结果只有4个:选择A 、选择B 、选择C 、选择D,即基本事件共有4个,考生随机地选择一个答案是选择A,B,C,D 的可能性是相等的.从而由古典概型的概率计算公式得:P (“答对”)=41"" 基本事件的总数数所包含的基本事件的个答对=0.25. 点评:古典概型解题步骤:(1)阅读题目,搜集信息;(2)判断是否是等可能事件,并用字母表示事件;(3)求出基本事件总数n 和事件A 所包含的结果数m ;(4)用公式P(A)=nm 求出概率并下结论. 变式训练1.两枚均匀硬币,求出现两个正面的概率.解:样本空间:{甲正乙正,甲正乙反,甲反乙正,甲反乙反}.这里四个基本事件是等可能发生的,故属古典概型. n=4,m=1,P=41. 2.一次投掷两颗骰子,求出现的点数之和为奇数的概率.解法一:设表示“出现点数之和为奇数”,用(i,j)记“第一颗骰子出现i 点,第二颗骰子出现j 点”,i,j=1,2,…6.显然出现的36个基本事件组成等概样本空间,其中A 包含的基本事件个数为k=3×3+3×3=18,故P(A)=21. 解法二:若把一次试验的所有可能结果取为:(奇,奇),(奇,偶),(偶,奇),(偶,偶),则它们也组成等概率样本空间.基本事件总数n=4,A 包含的基本事件个数k=2,故P(A)=21. 解法三:若把一次试验的所有可能结果取为:{点数和为奇数},{点数和为偶数},也组成等概率样本空间,基本事件总数n=2,A 所含基本事件数为1,故P(A)=21. 注:找出的基本事件组构成的样本空间,必须是等概率的.解法2中倘若解为:(两个奇),(一奇一偶),(两个偶)当作基本事件组成样本空间,则得出P(A)=31,错的原因就是它不是等概率的.例如P (两个奇)=41,而P (一奇一偶)=21.本例又告诉我们,同一问题可取不同的样本空间解答.例3 同时掷两个骰子,计算:(1)一共有多少种不同的结果?(2)其中向上的点数之和是5的结果有多少种?(3)向上的点数之和是5的概率是多少?解:(1)掷一个骰子的结果有6种.我们把两个骰子标上记号1,2以便区分,由于1号骰子的每一个结果都可与2号骰子的任意一个结果配对,组成同时掷两个骰子的一个结果,因此同时掷两个骰子的结果共有36种.(2)在上面的所有结果中,向上的点数之和为5的结果有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),其中第一个数表示1号骰子的结果,第二个数表示2号骰子的结果.(3)由于所有36种结果是等可能的,其中向上点数之和为5的结果(记为事件A)有4种,因此,由古典概型的概率计算公式可得P(A)=91364=. 例4 假设储蓄卡的密码由4个数字组成,每个数字可以是0,1,2,…,9十个数字中的任意一个.假设一个人完全忘记了自己的储蓄卡密码,问他到自动取款机上随机试一次密码就能取到钱的概率是多少?解:一个密码相当于一个基本事件,总共有10 000个基本事件,它们分别是0000,0001,0002,…,9998,9999.随机地试密码,相当于试到任何一个密码的可能性都是相等的,所以这是一个古典概型.事件“试一次密码就能取到钱”由1个基本事件构成,即由正确的密码构成.所以P(“试一次密码就能取到钱”)=100001. 发生概率为100001的事件是小概率事件,通常我们认为这样的事件在一次试验中是几乎不可能发生的,也就是通过随机试验的方法取到储蓄卡中的钱的概率是很小的.但我们知道,如果试验很多次,比如100 000次,那么这个小概率事件是可能发生的.所以,为了安全,自动取款机一般允许取款人最多试3次密码,如果第4次键入的号码仍是错误的,那么取款机将“没收”储蓄卡.另外,为了使通过随机试验的方法取到储蓄卡中的钱的概率更小,现在储蓄卡可以使用6位数字作密码.人们为了方便记忆,通常用自己的生日作为储蓄卡的密码.当钱包里既有身份证又有储蓄卡时,密码泄密的概率很大.因此用身份证上的号码作密码是不安全的.例5 某种饮料每箱装6听,如果其中有2听不合格,问质检人员从中随机抽出2听,检测出不合格产品的概率有多大?解:我们把每听饮料标上号码,合格的4听分别记作:1,2,3,4,不合格的2听分别记作a,b,只要检测的2听中有1听不合格,就表示查出了不合格产品.依次不放回地从箱中取出2听饮料,得到的两个标记分别记为x 和y,则(x,y)表示一次抽取的结果,即基本事件.由于是随机抽取,所以抽取到任何基本事件的概率相等.用A 表示“抽出的2听饮料中有不合格产品”,A 1表示“仅第一次抽出的是不合格产品”,A 2表示“仅第二次抽出的是不合格产品”,A 12表示“两次抽出的都是不合格产品”,则A 1,A 2和A 12是互不相容的事件,且A=A 1∪A 2∪A 12,从而P(A)=P(A 1)+P(A 2)+P(A 12).因为A 1中的基本事件的个数为8,A 2中的基本事件的个数为8,A 12中的基本事件的个数为2,全部基本事件的总数为30,所以P(A)=302308308++=0.6. 思路2例1 一个口袋内装有大小相同的5只球,其中3只白球,2只黑球,从中一次摸出两个球,(1)共有多少个基本事件?(2)摸出的两个都是白球的概率是多少?活动:可用枚举法找出所有的等可能基本事件.解:(1)分别记白球为1,2,3号,黑球4,5号,从中摸出2只球,有如下基本事件(摸到1,2号球用(1,2)表示):(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5).因此,共有10个基本事件.(2)上述10个基本事件发生的可能性是相同的,且只有3个基本事件是摸到两个白球(记为事件A ),即(1,2),(1,3),(2,3),故P(A)=103. ∴共有10个基本事件,摸到两个白球的概率为103. 变式训练将一颗骰子先后抛掷两次,观察向上的点数,问:(1)共有多少种不同的结果?(2)两数的和是3的倍数的结果有多少种?(3)两数和是3的倍数的概率是多少?解析:(1)将骰子抛掷1次,它出现的点数有1,2,3,4,5,6这6种结果.先后抛掷两次骰子,第一次骰子向上的点数有6种结果,第2次又有6种可能的结果,于是一共有6×6=36种不同的结果;(2)第1次抛掷,向上的点数为1,2,3,4,5,6这6个数中的某一个,第2次抛掷时都可以有两种结果,使向上的点数和为3的倍数(例如:第一次向上的点数为4,则当第2次向上的点数为2或5时,两次的点数的和都为3的倍数),于是共有6×2=12种不同的结果;(3)记“向上点数和为3的倍数”为事件A,则事件A 的结果有12种,因为抛两次得到的36种结果是等可能出现的,所以所求的概率为P(A)=3612=31. 答:先后抛掷2次,共有36种不同的结果;点数的和是3的倍数的结果有12种;点数的和是3的倍数的概率为31. 说明:也可以利用图表来数基本事件的个数:例2 从含有两件正品a 1,a 2和一件次品b 1的三件产品中,每次任取一件,每次取出后不放回,连续取两次,求取出的两件产品中恰有一件次品的概率.活动:学生思考或交流,教师引导,每次取出一个,取后不放回,其一切可能的结果组成的基本事件是等可能发生的,因此可用古典概型解决.解:每次取出一个,取后不放回地连续取两次,其一切可能的结果组成的基本事件有6个,即(a 1,a 2)和(a 1,b 2),(a 2,a 1),(a 2,b 1),(b 1,a 1),(b 1,a 2).其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品,右边的字母表示第2次取出的产品用A 表示“取出的两种中,恰好有一件次品”这一事件,则A=[(a 1,b 1),(a 2,b 1),(b 1,a 1),(b 1,a 2)],事件A 由4个基本事件组成,因而,P (A )=64=32. 思考在上例中,把“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”,其余条件不变,求取出的两件中恰好有一件次品的概率.有放回地连续取出两件,其一切可能的结果有:(a 1,a 1),(a 1,a 2),(a 1,b 1),(a 2,a 1),(a 2,a 2),(a 2,b 1),(b 1,a 2),(b 1,b 1),由9个基本事件组成,由于每一件产品被取到的机会均等,因此可以认为这些基本事件的出现是等可能的.用B 表示“恰有一件次品”这一事件,则B=[(a 1,b 1),(a 2,b 1),(b 1,a 1),(b 1,a 2)],事件B 包含4个基本事件,因而,P (B )=94. 点评:(1)在连续两次取出过程中,(a 1,b 1)与(b 1,a 1)不是同一个基本事件,因为先后顺序不同.(2)无论是“不放回抽取”还是“有放回抽取”,每一件产品被取出的机会都是均等的. 变式训练现有一批产品共有10件,其中8件为正品,2件为次品:(1)如果从中取出一件,然后放回,再取一件,求连续3次取出的都是正品的概率;(2)如果从中一次取3件,求3件都是正品的概率.分析:(1)为放回抽样;(2)为不放回抽样.解:(1)有放回地抽取3次,按抽取顺序(x,y,z )记录结果,则x,y,z 都有10种可能,所以试验结果有10×10×10=103种;设事件A 为“连续3次都取正品”,则包含的基本事件共有8×8×8=83种,因此,P(A)=33108=0.512. (2)解法1:可以看作不放回抽样3次,顺序不同,基本事件不同,按抽取顺序记录(x,y,z ),则x 有10种可能,y 有9种可能,z 有8种可能,所以试验的所有结果为10×9×8=720种.设事件B 为“3件都是正品”,则事件B 包含的基本事件总数为8×7×6=336,所以P(B)=720336≈0.467. 解法2:可以看作不放回3次无顺序抽样,先按抽取顺序(x,y,z )记录结果,则x 有10种可能,y 有9种可能,z 有8种可能,但(x,y,z ),(x,z,y ),(y,x,z ),(y,z,x ),(z,x,y ),(z,y,x )是相同的,所以试验的所有结果有10×9×8÷6=120,按同样的方法,事件B 包含的基本事件个数为8×7×6÷6=56,因此P(B)=12056≈0.467. 点评:关于不放回抽样,计算基本事件个数时,既可以看作是有顺序的,也可以看作是无顺序的,其结果是一样的,但不论选择哪一种方式,观察的角度必须一致,否则会导致错误.知能训练本节练习1、2、3.拓展提升一个各面都涂有色彩的正方体,被锯成1 000个同样大小的小正方体,将这些正方体混合后,从中任取一个小正方体,求:(1)有一面涂有色彩的概率;(2)有两面涂有色彩的概率;(3)有三面涂有色彩的概率.解:在1 000个小正方体中,一面涂有色彩的有82×6个,两面涂有色彩的有8×12个,三面涂有色彩的有8个,∴(1)有一面涂有色彩的概率为P 1=1000384=0.384; (2)有两面涂有色彩的概率为P 2=100096=0.096; (3)有三面涂有色彩的概率为P 3=10008=0.008. 答:(1)一面涂有色彩的概率为0.384;(2)有两面涂有色彩的概率为0.096;(3)有三面涂有色彩的概率为0.008.课堂小结1.古典概型我们将具有(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;(有限性)(2)每个基本事件出现的可能性相等.(等可能性)这样两个特点的概率模型称为古典概率概型,简称古典概型.2.古典概型计算任何事件的概率计算公式P (A )=基本事件的总数数所包含的基本事件的个A . 3.求某个随机事件A 包含的基本事件的个数和实验中基本事件的总数的常用方法是列举法(画树状图和列表),应做到不重不漏.作业习题3.2 A 组1、2、3、4.设计感想本节课的教学通过提出问题,引导学生发现问题,经历思考交流概括归纳后得出古典概型的概念,由两个问题的提出进一步加深对古典概型的两个特点的理解;再通过学生观察类比推导出古典概型的概率计算公式.这一过程能够培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力.在解决概率的计算上,教师鼓励学生尝试列表和画出树状图,让学生感受求基本事件个数的一般方法,从而化解由于没有学习排列组合而学习概率这一教学困惑.由此,整个教学设计可以在教师的期盼中实施.。

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