2005年北京卷高考理科数学试题

2005年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷 1至2页，第II 卷3至9页，共150分.考试时间120分钟.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回.第I 卷（选择题 共40分）注意事项：1.答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上.2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

不能答在试卷上.一、选择题：本大题共8小题．每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.设全集U R =，集合{|1}M x x =>，2{|1}P x x =>，则下列关系中正确的是A.M P =B.P ⫋MC.M ⫋PD.U M P =∅ ð 2．“12m =”是“直线(2)310m x my +++=与直线(2)(2)30m x m y -++-=相互垂直”的A.充分必要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件3.若||1,||2,a b c a b ===+，且c a ⊥ ，则向量a 与b 的夹角为A.30°B.60°C.120°D.150°4.从原点向圆2212270x y y +-+=作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为A.πB.2πC.4πD.6π 5.对任意的锐角,αβ，下列不等关系中正确的是A.sin()sin sin αβαβ+>+B.sin()cos cos αβαβ+>+C.cos()sin sin αβαβ+<+D.cos()cos cos αβαβ+<+6.在正四面体P ABC -中，D E F 、、分别是AB BC CA 、、的中点，下面四个结论中不成立．．．的是 A.//BC PDF 平面 B.DF PAE ⊥平面 C.PDF ABC ⊥平面平面 D.PAE ABC ⊥平面平面7.北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为A.124414128C C CB.124414128C A AC.12441412833C C C A D.12443141283C C C A 8.函数()cos f x x=A.在[0,),(,]22πππ上递增，在33[,),(,2]22ππππ上递减 B.在3[0,),[,)22πππ上递增，在3(,],(,2]22ππππ上递减 C.在3(,],(,2]22ππππ上递增，在3[0,),[,)22πππ上递减 D.在33[,),(,2]22ππππ上递增，在[0,),(,]22πππ上递减 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9.若12z a i =+，234z i =-，且12z z 为纯虚数，则实数a 的值为 ． 10.已知tan 22α=，则tan α的值为 ，tan()4πα+的值为 .11.6(x -的展开式中的常数项是 （用数字作答） 12.过原点作曲线xy e =的切线，则切点的坐标为 ，切线的斜率为 ． 13.对于函数()f x 定义域中任意的1212,()x x x x ≠，有如下结论： ①1212()()()f x x f x f x +=⋅；②1212()()()f x x f x f x ⋅=+；③1212()()0f x f x x x ->-；④1212()()()22x x f x f x f ++<. 当()lg f x x =时，上述结论中正确结论的序号是 .14.已知n 次多项式1011()n n n n n P x a x a xa x a --=++++ . 如果在一种算法中，计算0(2,3,4,...,)k x k n =的值需要1k -乘法，计算30()P x 的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算0()n P x 的值共需要 次运算． 下面给出一种减少运算次数的算法：0011(),()()k k k P x a P x xP x a ++==+(0,1,2,...,1)k n =-．利用该算法，计算30()P x 的值共需要6次运算，计算0()n P x 的值共需要 次运算．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题共13分）已知函数32()39f x x x x a =-+++， ⑴求()f x 的单调递减区间；⑵若()f x 在区间[2,2]-上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．16．（本小题共14分）如图，在直四棱柱1111ABCD A BC D -中，2AB AD ==，DC =1AA AD DC ⊥，AC BD ⊥，垂足为E .⑴求证：1BD AC ⊥；⑵求二面角11A BD C --的大小； ⑶求异面直线AD 与1BC 所成角的大小．17.（本小题共13分）甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为21，乙每次击中目标的概率32. ⑴记甲击中目标的次数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望E ξ； ⑵求乙至多击中目标2次的概率； ⑶求甲恰好比乙多击中目标2次的概率． 18.（本小题共14分）如图，直线1:(0)l y kx k =>与直线2:l y kx =-之间的阴影区域（不含边界）记为W ，其左半部分记为1W ，右半部分记为2W ．⑴分别用不等式组表示1W 和2W ；⑵若区域W 中的动点(,)P x y 到1l ，2l 的距离之积等于2d ，求点P 的轨迹C 的方程；⑶设不过原点O 的直线l 与⑵中的曲线C 相交于12,M M 两点，且与1l ，2l 分别交于34,M M 两点.求证12OM M ∆的重心与34OM M ∆的重心重合．19.（本小题共12分）设数列{}n a 的首项114a a =≠，且11214nn n a n a a n +⎧⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩为偶数为奇数，记2114n n b a -=-，1,2,3,...n =.⑴求23,a a ；⑵判断数列{}n b 是否为等比数列，并证明你的结论；⑶求123lim()n n b b b b →∞++++ ．20.（本小题共14分）设()f x 是定义在[0,1]上的函数，若存在(0,1)x *∈，使得()f x 在[0,]x *上单调递增，在[,1]x *上单调递减，则称()f x 为[0,1]上的单峰函数，x *为峰点，包含峰点的区间为含峰区间．对任意的[0,1]上的单峰函数()f x ，下面研究缩短其含峰区间长度的方法．⑴证明：对任意的1212,(0,1),x x x x ∈<，若12()()f x f x ≥，则2(0,)x 为含峰区间；若12()()f x f x ≤，则1(,1)x 为含峰区间；⑵对给定的(00.5)r r <<，证明：存在12,(0,1)x x ∈，满足212x x r -≥，使得由⑴所确定的含峰区间的长度不大于0.5r +；⑶选取1212,(0,1),x x x x ∈<，由⑴可确定含峰区间为2(0,)x 或1(,1)x ，在所得的含峰区间内选取3x ，由3x 与1x 或3x 与2x 类似地可确定一个新的含峰区间．在第一次确定的含峰区间为2(0,)x 的情况下，试确定1x ，2x ，3x 的值，满足两两之差的绝对值不小于0.02，且使得新的含峰区间的长度缩短到0.34.（区间长度等于区间的右端点与左端点之差）2005年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（北京卷）参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）（1） C （2）B （3）C （4）B （5）D （6）C （7）A （8）A 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9）38 （10）－34；－71（11）15 （12）(1, e )；e （13）②③ （14）21n (n ＋3)；2n三、解答题（本大题共6小题，共80分） （15）（共13分）解：（I ） f ’(x )＝－3x 2＋6x ＋9．令f ‘(x )<0，解得x <－1或x >3， 所以函数f (x )的单调递减区间为（－∞，－1），（3，＋∞）．（II ）因为f (－2)＝8＋12－18＋a =2＋a ，f (2)＝－8＋12＋18＋a ＝22＋a ，所以f (2)>f (－2)．因为在（－1，3）上f ‘(x )>0，所以f (x )在[－1, 2]上单调递增，又由于f (x )在[－2，－1]上单调递减，因此f (2)和f (－1)分别是f (x )在区间[－2，2]上的最大值和最小值，于是有 22＋a ＝20，解得 a ＝－2．故f (x )=－x 3＋3x 2＋9x －2，因此f (－1)＝1＋3－9－2＝－7， 即函数f (x )在区间[－2，2]上的最小值为－7．（16）（共14分）（I ）在直四棱柱ABCD －AB 1C 1D 1中，∵AA 1⊥底面ABCD ．∴ AC 是A 1C 在平面ABCD 上的射影．∵BD ⊥AC ．∴ BD ⊥A 1C ； （II ）连结A 1E ，C 1E ，A 1 C 1．与（I ）同理可证BD ⊥A 1E ，BD ⊥C 1E ，∴ ∠A 1EC 1为二面角A 1－BD －C 1的平面角． ∵ AD ⊥DC ，∴ ∠A 1D 1C 1=∠ADC ＝90°，又A 1D 1=AD ＝2，D 1C 1= DC ＝23，AA 1=3且 AC ⊥BD ， ∴ A 1C 1＝4，AE ＝1，EC ＝3，∴ A 1E ＝2，C 1E ＝23， 在△A 1EC 1中，A 1C 12＝A 1E 2＋C 1E 2， ∴ ∠A 1EC 1＝90°， 即二面角A 1－BD －C 1的大小为90°． （III ）过B 作 BF //AD 交 AC 于 F ，连结FC 1，则∠C 1BF 就是AD 与BC 1所成的角． ∵ AB ＝AD ＝2， BD ⊥AC ，AE ＝1， ∴BF =2，EF ＝1，FC ＝2，BC ＝DC ，∴ FC 1=7，BC 1在△BFC 1 中，1cos C BF ∠==∴ ∠C 1BF =即异面直线AD 与BC 1所成角的大小为arccos5．（17）（共13分）解：（I ）P (ξ＝0)＝03311()28C =，P (ξ＝1)＝13313()28C =，P (ξ＝2)＝23313()28C =，P (ξ＝3)＝33311()28C =，ξ的概率分布如下表：E ξ＝13310123 1.58888⋅+⋅+⋅+⋅=, （或E ξ=3·21=1.5）； （II ）乙至多击中目标2次的概率为1－3332()3C =1927； （III ）设甲恰比乙多击中目标2次为事件A ，甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次为事件B 1，甲恰击中目标 3次且乙恰击中目标 1次为事件B 2，则A ＝B 1＋B 2， B 1，B 2为互斥事件．1231121()()()8278924P A P B P B =+=⋅+⋅=所以，甲恰好比乙多击中目标2次的概率为124.（18）（共14分）解：（I ）W 1={(x , y )| k x <y <－k x , x <0}，W 2={(x , y )| －k x <y <k x , x >0}， （II ）直线l 1：k x －y ＝0，直线l 2：k x ＋y ＝0，由题意得2d =, 即22222||1k x y d k -=+， 由P (x , y )∈W ，知k 2x 2－y 2>0，所以 222221k x y d k -=+，即22222(1)0k x y k d --+=, 所以动点P 的轨迹C 的方程为22222(1)0k x y k d --+=；（III ）当直线l 与x 轴垂直时，可设直线l 的方程为x ＝a （a ≠0）．由于直线l ，曲线C 关于x 轴对称，且l 1与l 2关于x 轴对称，于是M 1M 2，M 3M 4的中点坐标都为（a ，0），所以△OM 1M 2，△OM 3M 4的重心坐标都为（32a ，0），即它们的重心重合， 当直线l 1与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y =mx +n （n ≠0）．由22222(1)0k x y k d y mx n ⎧--+=⎨=+⎩，得2222222()20k m x mnx n k d d -----=由直线l 与曲线C 有两个不同交点，可知k 2－m 2≠0且△=2222222(2)4()()mn k m n k d d +-⨯++>0 设M 1，M 2的坐标分别为(x 1, y 1)，(x 2, y 2)， 则12222mnx x k m+=-, 1212()2y y m x x n +=++, 设M 3，M 4的坐标分别为(x 3, y 3)，(x 4, y 4)， 由及y kxy kx y mx n y mx n⎧==-⎧⎨⎨=+=+⎩⎩得34,n nx x k m k m -==-+ 从而3412222mnx x x x k m+==+-， 所以y 3+y 4=m (x 3+x 4)+2n ＝m (x 1+x 2)+2n ＝y 1+y 2, 于是△OM 1M 2的重心与△OM 3M 4的重心也重合． （19）（共12分） 解：（I ）a 2＝a 1+41=a +41，a 3=21a 2=21a +81； （II ）∵ a 4=a 3+41=21a +83, 所以a 5=21a 4=41a +316,所以b 1=a 1－41=a －41, b 2=a 3－41=21(a －41), b 3=a 5－41=41(a －41),猜想：{b n }是公比为21的等比数列·证明如下：因为b n +1＝a 2n +1－41=21a 2n －41=21(a 2n －1－41)=21b n , (n ∈N *) 所以{b n }是首项为a －41, 公比为21的等比数列·（III ）11121(1)12lim()lim 2()41122n n n n b b b b b a →∞→∞-+++===--- . （20）（共14分）（I ）证明：设x *为f (x ) 的峰点，则由单峰函数定义可知，f (x )在[0, x *]上单调递增，在[x *, 1]上单调递减．当f (x 1)≥f (x 2)时，假设x *∉(0, x 2)，则x 1<x 2<x *，从而f (x *)≥f (x 2)>f (x 1)， 这与f (x 1)≥f (x 2)矛盾，所以x *∈(0, x 2)，即(0, x 2)是含峰区间.当f (x 1)≤f (x 2)时，假设x *∉( x 2, 1)，则x *<≤x 1<x 2，从而f (x *)≥f (x 1)>f (x 2)， 这与f (x 1)≤f (x 2)矛盾，所以x *∈(x 1, 1)，即(x 1, 1)是含峰区间.（II ）证明：由（I ）的结论可知：当f (x 1)≥f (x 2)时，含峰区间的长度为l 1＝x 2；当f (x 1)≤f (x 2)时，含峰区间的长度为l 2=1－x 1；对于上述两种情况，由题意得210.510.5x r x r +⎧⎨-+⎩≤≤ ① 由①得 1＋x 2－x 1≤1+2r ，即x 1－x 1≤2r.又因为x 2－x 1≥2r ，所以x 2－x 1=2r, ②将②代入①得x 1≤0.5－r, x 2≥0.5－r ， ③由①和③解得 x 1＝0.5－r ， x 2＝0.5＋r ．所以这时含峰区间的长度l 1＝l 1＝0.5＋r ，即存在x 1，x 2使得所确定的含峰区间的长度不大于0.5＋r ．（III ）解：对先选择的x 1；x 2，x 1<x 2，由（II ）可知x 1＋x 2＝l ， ④在第一次确定的含峰区间为(0, x 2)的情况下，x 3的取值应满足x 3＋x 1＝x 2， ⑤ 由④与⑤可得2131112x x x x =-⎧⎨=-⎩, 当x 1>x 3时，含峰区间的长度为x 1．由条件x 1－x 3≥0.02，得x 1－(1－2x 1)≥0.02，从而x 1≥0.34． 因此，为了将含峰区间的长度缩短到0.34，只要取x 1＝0.34，x 2＝0.66，x 3=0.32．。