2018年秋高中数学第一章三角函数阶段复习课第课任意角的三角函数及诱导公式学案新人教A版必修

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2018学年高一数学人教A版必修四课件：第一章三角函数1 章末高效整合精品

2．明确三角函数的定义，牢记三角函数值的符号 (1)定义：角 α 的顶点放在坐标原点，始边与 x 轴非负半轴重合，角 α 的终边与单位圆的交点为 P(x，y)，则 y＝sin α，x＝cos α，xy＝tan α(x≠0)．即①y 叫作 α 的正弦，记作 sin α； ②x 叫作 α 的余弦，记作 cos α； ③xy叫作 α 的正切，记作 tan α.
A．ω＝2π，φ＝π6 B．ω＝π，φ＝π6 C．ω＝π，φ＝π3 D．ω＝2π，φ＝π3
(2)经过怎样的变换由函数 y＝sin 2x 的图象可得到 y＝cos x＋π4的图象？解析： (1)由函数的图象可知 A＝2，T＝4×56－13＝2，所以 ω＝2Tπ＝π，因为函数的图象经过13，2，所以 2＝2sinπ3＋φ，得π3＋φ＝2kπ＋π2，k∈Z，因为|φ| ＜π2，所以取 k＝0，所以 φ＝π6，所以 ω＝π，φ＝π6.
(2)利用诱导公式，可以把任意角的正弦、余弦函数值化为锐角三角函数值，其一般步骤为：负化正(公式三或一)、大化小(公式一)、锐角求值(公式二或四)．
化简求值中注意利用角与角之间隐含的互余或互补关系，从而简化解题过程．
5．探究性质应用，对比周期公式 (1)函数 y＝sin x 和 y＝cos x 的周期是 2π，y＝tan x 的周期是 π；函数 y＝ Asin(ωx＋φ)和 y＝Acos(ωx＋φ)的周期是|2ωπ|，y＝Atan(ωx＋φ)的周期是|ωπ|. (2)函数 y＝sin x 和 y＝cos x 的有界性为－1≤sin x≤1，－1≤cos x≤1；函数 y＝ tan x 没有最值，其有界性可用来解决三角函数的最值问题． (3)利用函数的单调性比较同名三角函数值的大小时，注意利用诱导公式将角转化到同一单调区间内．求形如 f(ωx＋φ)(f 为 sin，cos，tan)的单调区间时，应采用整体代换的思想将 ωx＋φ 视为整体，求解时注意 x 的范围以及 ω，f 的符号对单调性的影响．

高三数学一轮复习任意角的三角函数及诱导公式教案

任意角的三角函数及诱导公式有cos OM x α==同理,当角α的终边不在x 轴上时,以M 为始点、P 为终点，规定：当线段MP 与y 轴同向时，MP 的方向为正向，且有正值y ；当线段MP 与y 轴反向时，MP 的方向为负向，且有正值y ；其中y 为P 点的横坐标。

这样,无论那种情况都有sin MP y α==。

像MP OM 、这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段。

如上图,过点(1,0)A 作单位圆的切线,这条切线必然平行于轴,设它与α的终边交于点T ,请根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段OA AT 、,我们有tan yAT xα==我们把这三条与单位圆有关的有向线段MP OM AT 、、,分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线。

6．同角三角函数关系式使用这组公式进行变形时，经常把“切”、“割”用“弦”表示，即化弦法，这是三角变换非常重要的方法。

几个常用关系式：sinα+cosα，sinα-cosα，sinα·cosα；(三式之间可以互相表示)同理可以由sinα－cosα或sinα·cosα推出其余两式。

②21sin 1sin 2αα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭． ③当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，有sin tan x x x <<。

7．诱导公式可用十个字概括为“奇变偶不变，符号看象限”。

诱导公式一：sin(2)sin k απα+=，cos(2)cos k απα+=，其中k Z ∈诱导公式二： sin(180)α+=sin α-； cos(180)α+=-cos α 诱导公式三： sin()sin αα-=-； cos()cos αα-= 诱导公式四：sin(180)sin αα-=； cos(180)cos αα-=- 诱导公式五：sin(360)sin αα-=-； cos(360)cos αα-=－ααπ-απ+απ-2()Z k k ∈+απ2απ-2sin－sin αsin α－sin α－sin αsinαcos αcoscos α －cos α －cos α cos αcosαsin α（1）要化的角的形式为180k α⋅±（k 为常整数）；（2）记忆方法：“函数名不变，符号看象限”；（3）sin(kπ+α)=(－1)k sinα；cos(kπ+α)=(－1)k cosα(k∈Z)；（4）sin cos cos 444x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；cos sin 44x x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

高中数学第一章三角函数第3节三角函数的诱导公式第2课时诱导公式五六教案含解析新人教A版必修4

第2课时诱导公式五、六[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 26～P 27的内容，回答下列问题．如图所示，设α是任意角，其终边与单位圆交于点P 1(x ，y )，与角α的终边关于直线y ＝x 对称的角的终边与单位圆交于点P 2.(1)P 2点的坐标是什么？提示：P 2(y ，x )．(2)π2－α的终边与角α的终边关于直线y ＝x 对称吗？它们的正弦、余弦值有何关系？提示：对称．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α. 2．归纳总结，核心必记 (1)诱导公式五和公式六(2)诱导公式的记忆诱导公式一～六可归纳为k ·π2±α的形式，可概括为“奇变偶不变，符号看象限”：①“变”与“不变”是针对互余关系的函数而言的．②“奇”、“偶”是对诱导公式k ·π2±α中的整数k 来讲的．③“象限”指k ·π2±α中，将α看成锐角时，k ·π2±α所在的象限，根据“一全正，二正弦、三正切，四余弦”的符号规律确定原函数值的符号．[问题思考](1)诱导公式五、六中的α是任意角吗？提示：是．(2)在△ABC 中，角A 2与角B ＋C2的三角函数值满足哪些等量关系？提示：∵A ＋B ＋C ＝π，∴A 2＝π2－B ＋C2，∴sin A 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ＋C 2＝cos B ＋C 2，cos A 2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ＋C 2＝sin B ＋C 2.[课前反思](1)诱导公式五：；(2)诱导公式六： .知识点1化简求值讲一讲1．已知f (α)＝sin π－αcos 2π－αcos ⎝⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin ()－π－α.(1)化简f (α)；(2)若α为第三象限角，且cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值；(3)若α＝－31π3，求f (α)的值．[尝试解答] (1)f (α)＝sin αcos α()－sin αsin αsin α＝－cos α.(2)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝－sin α＝15，∴sin α＝－15，又∵α为第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－265，∴f (α)＝265.(3)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6×2π＋5π3 ＝－cos 5π3＝－cos π3＝－12.类题·通法三角函数式化简的方法和技巧(1)方法：三角函数式化简的关键是抓住函数名称之间的关系和角之间的关系，据此灵活应用相关的公式及变形，解决问题．(2)技巧：①异名化同名；②异角化同角；③切化弦．练一练1．已知f (x )＝sin 3π－x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －3π2tan x －2πsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x cos ⎝⎛⎭⎪⎫－x －π2tan x －5π.(1)化简f (x )；(2)当x ＝π3时，求f (x )的值；(3)若f (x )＝1，求sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －7π2的值．解：(1)f (x )＝sin x －sin x tan xcos x －sin x tan x ＝tan x .(2)当x ＝π3时，f (x )＝tan π3＝ 3.(3)若f (x )＝1，则tan x ＝1，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－x cos ⎝⎛⎭⎪⎫－x －7π2＝－cos x sin x ＝－1tan x ＝－1.知识点2条件求值问题讲一讲2．(1)已知cos 31°＝m ，则sin 239°tan 149°的值是( ) A.1－m2mB.1－m 2C ．－1－m 2mD ．－1－m 2(2)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α的值为________． [尝试解答] (1)sin 239°tan 149°＝sin(180°＋59°)·tan(180°－31°) ＝－sin 59°(－tan 31°)＝－sin(90°－31°)·(－tan 31°) ＝－cos 31°·(－tan 31°)＝sin 31°＝1－cos 231°＝1－m 2. (2)cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12. 答案：(1)B (2)12类题·通法解决条件求值问题的策略(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角，函数名称及有关运算之间的差异及联系．(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．练一练2．已知cos(π＋α)＝－12，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α的值．解：∵cos(π＋α)＝－cos α＝－12，∴cos α＝12，∴α为第一或第四象限角．①若α为第一象限角，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝－32； ②若α为第四象限角，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝32.知识点3三角恒等式的证明讲一讲3．求证：2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π2－11－2sin 2π＋θ＝tan 9π＋θ＋1tan π＋θ－1. [尝试解答] 左边＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ·－sin θ－11－2sin 2θ ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2cos θsin θ－1cos 2θ＋sin 2θ－2sin 2θ＝sin θ＋cos θ2sin 2θ－cos 2θ＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ，右边＝tan 9π＋θ＋1tan π＋θ－1＝tan θ＋1tan θ－1＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ，∴左边＝右边，原式得证．类题·通法三角恒等式的证明策略对于恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法，拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．练一练3．求证：sin2π－θcos π＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－θcos π－θsin 3π－θsin －π－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋θ＝－tan θ.证明：sin2π－θcos π＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－θcos π－θsin 3π－θsin －π－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋θ＝－sin θ·－cos θ·－sin θ·co s ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－θ－cos θ·sin θ·sin θ·si n ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝sin θ·cos θ·sin θ·sin θ－cos θ·sin θ·sin θ·cos θ＝－tan θ.[课堂归纳·感悟提升]1．本节课的重点是诱导公式五、六及其应用，难点是利用诱导公式解决条件求值问题． 2．要掌握诱导公式的三个应用(1)利用诱导公式解决化简求值问题，见讲1； (2)利用诱导公式解决条件求值问题，见讲2； (3)利用诱导公式解决三角恒等式的证明问题，见讲3. 3．本节课要掌握一些常见角的变换技巧π6＋α＝π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝π2，π4＋α＝π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝π2等．。

高三数学一轮复习第10讲任意角的三角函数及诱导公式教案

任意角的三角函数及诱导公式教学目标 1．任意角、弧度．任意角、弧度了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化；了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化；2．三角函数．三角函数（1）借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；）借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；（2）借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式（π/2±α, π±α的正弦、余弦、正切）。

命题走向从近几年的新课程高考考卷来看，试题内容主要考察三角函数的图形与性质，但解决这类问题的基础是任意角的三角函数及诱导公式，在处理一些复杂的三角问题时，同角的三角函数的基本关系式是解决问题的关键。

角的三角函数的基本关系式是解决问题的关键。

预测2017年高考对本讲的考察是：年高考对本讲的考察是：1．题型是1道选择题和解答题中小过程；道选择题和解答题中小过程；2．热点内容是三角函数知识的综合应用和实际应用，这也是新课标教材的热点内容。

教学准备多媒体课件多媒体课件1教学过程一．知识梳理：一．知识梳理：1．任意角的概念．任意角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。

一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到终止位置OB，就形成角a。

旋转开始时的射线OA叫做角的始边，OB叫终边，射线的端点O叫做叫a的顶点。

为了区别起见，我们规定为了区别起见，我们规定::按逆时针方向旋转所形成的角叫正角按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角。

如果一条射线没有做任何旋转所形成的角叫负角。

如果一条射线没有做任何旋转,,我们称它形成了一个零角。

我们称它形成了一个零角。

2．终边相同的角、区间角与象限角．终边相同的角、区间角与象限角角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合。

那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。

高中数学第一章三角函数1.2.3三角函数的诱导公式(2)课

答案
知识点三诱导公式的理解、记忆与灵活应用
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题型探究
重点难点个个击破
类型一利用诱导公式求值
例 1 (1)已知 cos(π＋α)＝－12，α 为第一象限角，求 cosπ2＋α的值. 解 ∵cos(π＋α)＝－cos α＝－12， ∴cos α＝12，又 α 为第一象限角.
＝－cosisnα2αsin α＝－csoins αα＝－tan α.
解析答案
类型三诱导公式的综合应用
例3
已知 f(x)＝csoisn3ππ－－xxcsoinsππ＋－xxcsoins23－π＋ π＋xxcossin7252ππ－＋xx .
(1)化简f(x)；
解析答案
(2)若 x 是第三象限角，且 cosx－32π＝15，求 f(x)的值；解 ∵cosx－32π＝－sin x， ∴sin x＝－15. ∵x是第三象限角，
∴cos x＝－ 1－sin2x＝－256，
∴f(x)＝tan
x＝csoins
xx＝2
解析答案
类型二利用诱导公式化简例 2 化简csoins[kπk＋＋1π2－π＋αsαi]ncokπs－kππ2＋－αα，其中 k∈Z.
解 k为偶数时，设k＝2m(m∈Z)，则
原式＝csoins[2m2mπ＋＋π21－π＋αsαi]nco2sm2πm－ππ2＋－αα＝cossπ2in－πα＋siαnc－osπ2α－α＝－－ssiinn
1 6＝
6 12 .
解析答案
(3)求 f －331π. 解 f －331π＝tan－331π ＝－tan10π＋3π＝－tan π3＝－ 3.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练 3 已知 sin α 是方程 5x2－7x－6＝0 的根，α 是第三象限角，求 sinc－osαπ2－－23απscinosπ2＋32πα－ α·tan2(π－α)的值.

第一章§1.3三角函数的诱导公式

考点三证明三角恒等式
利用诱导公式、利用化简的方式，达到等号两边相同的目的．例3 求证：
3 π 2sinθ－ πcosθ＋－1 tan9π＋θ＋1 2 2 ＝ . 2 1－2sin θ tanπ＋θ－1
【思路点拨】简即可．
利用诱导公式将等式两边分别化
－2cosθ· sin θ－1 【证明】左边＝ cos2θ－sin2θ －sinθ＋cosθ2 ＝ cosθ－sinθcosθ＋sinθ sinθ＋cosθ tanθ＋1 ＝＝， sinθ－cosθ tanθ－1 tanθ＋1 右边＝，所以等式成立． tanθ－1
(3)tan(－945° )＝－tan945° ＝－tan(225° ＋2× 360° ) ＝－tan225° ＝－tan(180° ＋45° )＝－tan45° ＝－1. 1 1 (4)∵cos(π＋α)＝－cosα＝－，∴cosα＝， 2 2 ∴α 是第一或第四象限角． ①若 α 是第一象限角，则 3 2 sin(2π－α)＝－sinα＝－ 1－cos α＝－ . 2 ②若 α 是第四象限角， 3 2 则 sin(2π－α)＝－sinα＝ 1－cos α＝ . 2 3 综上，sin(2π－α)＝± . 2
角 )．
课堂互动讲练
考点一求任意角的函数值
例1 求下列各三角函数式的值：
(1)sin1320°；(2)cos(
(4)已知cos(π＋α)＝【分析】
1 2
31π 6
)；(3)tan(－945°)；
，求sin(2π－α)的值．
对于(1)(2)(3)可直接利用诱导公式转
化为特殊角求值．对于(4)先求出cosα的值并确定出角所在的象限，再求值．
【点评】

高中数学第一章三角函数 1.3 三角函数的诱导公式(一)知识素材新人教版必修4

2
6
2
2、若 cosα＝m，则 cos(－α)等于( A )
A．m
B．－m
C．|m|
D．m2
3、若 sin(π＋α)＝13，则 sinα 等于( B )
1 A.3
B．－13
C．3
D．－3
6、化简：sin(1 440 ) cos( 1 080) cos(180 ) sin( 180)
1
(2)公式一～四可以概括为： a＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面
加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.
1.3 三角函数的诱导公式（一）
利用公式求下列三角函数值：
1 cos 420
1 2
2sin( 7 )
6
1 2
3sin 1 320 3 4 cos( 79 ) 3
一切立体图形中最美的是球形，一切平面图形中最美的是圆形。
——— 毕达哥拉斯学派
1.三角函数诱导公式的推导过程,可以这样记忆和理解:
“函数名不变，符号看象限”.
2.作用: 将任意角的三角函数转化为锐角三角函数解决.
2．诱导公式
公式一 sin(α＋2kπ)＝sinα cos(α＋2kπ)＝cosα tan(α＋2kπ)＝tanα
公式二 sin(π＋α)＝－sinα cos(π＋α)＝－cosα tan(πα cos(－α)＝ cosα tan(－α)＝－tanα
公式四 sin(π－α)＝sinα
cos(π－α)＝－cosα tan(π－α)＝－tanα
说明：(1)公式一中k∈Z.

2018年高考数学辅导资料：三角函数诱导公式

2018年高考数学辅导资料：三角函数诱导公式2018年高考数学辅导资料：三角函数诱导公式公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：(2kπ+α)=sinα k∈(2kπ+α)=cosαk∈ztan(2kπ+α)=tanα k∈(2kπ+α)=cotα k∈z 公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：(π+α)=-sinα(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanα(π+α)=cotα公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：(-α)=-sinα(-α)=cosαtan(-α)=-tanα(-α)=-cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：(π-α)=sinα(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanα(π-α)=-cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：(2π-α)=-sinα(2π-α)=cosαtan(2π-α)=-tanα(2π-α)=-cotα公式六：π/2±α与α的三角函数值之间的关系：(π/2+α)=cosα(π/2+α)=-sinαtan(π/2+α)=-cotα(π/2+α)=-tanα(π/2-α)=cosα(π/2-α)=sinαtan(π/2-α)=cotα(π/2-α)=tanα高中数学三角函数的诱导公式学习方法二推算公式：3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：(3π/2+α)=-cosα(3π/2+α)=sinαtan(3π/2+α)=-cotα(3π/2+α)=-tanα(3π/2-α)=-cosα(3π/2-α)=-sinαtan(3π/2-α)=cotα(3π/2-α)=tanα诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”。

“奇、偶”指的是π/2的倍数的奇偶，“变与不变”指的是三角函数的名称的变化：“变”是指正弦变余弦，正切变余切。

2018版高中数学第一章三角函数13三角函数的诱导公式学案新人教A版

1.3 三角函数的诱导公式1.能借助单位圆中的三角函数线推导诱导公式二，并由此探究相关的其他诱导公式.(难点)2.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简与证明问题.(重点)3.各种诱导公式的特征.(易混点)[基础·初探]教材整理1 诱导公式二～公式四阅读教材P～P例1以上内容，完成下列问题. 24231.诱导公式二(1)对应角终边之间的对称关系在平面直角坐标系中，π＋α的终边与角α的终边关于原点对称.(2)诱导公式二sin(π＋α)＝－sin α；cos(π＋α)＝－cos α；tan(π＋α)＝tan α.2.诱导公式三(1)对应角终边之间的对称关系x轴对称. 的终边与角α的终边关于在平面直角坐标系中，－α(2)诱导公式三sin(－α)＝－sin α；cos(－α)＝cos α；tan(－α)＝－tan α.3.诱导公式四(1)对应角终边之间的对称关系y轴对称. 的终边与角α的终边关于在平面直角坐标系中，π－α(2)诱导公式四sin(π－α)＝sin α；cos(π－α)＝－cos α；tan(π－α)＝－tan α.公式一～四可以概括为：(3)．kk的同名函数值，前面加上一的三角函数值，等于αα，－，πα＋±·2π(α∈Z) .α看成锐角时原函数值的符号个把(正确的打“√”，错误的打“×”)判断3) .( (1)tan 210°＝3)一定是锐角.( (2)对于诱导公式中的角α) β).( ＝－cos(α－(3)由公式三知cos[－(α－β)]BAABC sin ＝中，sin()(4)在△＋)C.(3. (1)tan 210°＝tan 30°＝【解析】 3(2)诱导公式中的角α是任意角，不一定是锐角. (3)由公式三知cos[－(α－β)]＝cos(α－β)，故cos[－(α－β)]＝－cos(α－β)是不正确的.ABCABC，－＝＝π，所以π(4)因为＋＋＋ABC)＝π－＋sin )＝sin(所以sin(C.【答案】 (1)√ (2)× (3)× (4)√教材整理2 诱导公式五、六阅读教材P第七行以下至“例3”以上内容，完成下列问题.????????α－－α＝cos公式五：sinsin α. ＝cos α，1.????2226ππππ????????α＋α＋＝－sin α＝cos α，2.公式六：sincos. ????223.公式五和公式六可以概括为：π±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看2成锐角时原函数值的符号.公式一～六都叫做诱导公式.ππ1????????α＋－α________.cos＝＝，则cos若????223π1????α－＝sin α＝cos 【解析】∵，??23．π????α＋∴cos??21.＝－＝－sin α31 【答案】－3][小组合作型给角求值问题.求下列各三角函数值π1029????－(1)sinπ；(2)cos . ??36360°内的角，进而利360°的角化为0°到【精彩点拨】先化负角为正角，再将大于.用诱导公式求得结果π10????－(1)sin 【自主解答】??3π4π410π????＋2π＝－sin ＝－sinsin ＝－??333π3π????＋π.＝sin ＝－sin＝??323π5π529????＋π4 ＝cos (2)cos π＝cos??666π3π????－π.＝cos＝－＝－cos ??626已知角求值的问题主要是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值π????，0范围内的角的三.求解如果是负角，一般先将负角的三角函数化为正角后，再转化到??2角函数，同时，准确记忆特殊角的三角函数值.[再练一题].求下列各三角函数值1.17.π(1)tan(－855°)；(2)sin 6 －855°)＝－tan 855°＝－tan(2×360°＋135°)【解】(1)tan(1. ＝－tan 135°＝－tan(180°－45°)＝tan 45°＝5517????π2＋π (2)sin π＝sin＝sin π??666ππ????＋＝sin??321π.＝cos ＝23(式)求值问题给值πππ53??????2??????－α＋－αα【导学号：已知－sin 的值. ＝，求coscos??????6663 70512008】【精彩点拨】π5π????????????α－＋α cos－π＝【自主解答】因为cos??????66π3????α－ cos＝－，＝－??63πππππ52??????????2222??????????－－ααα＋α－α－sincos＝sin1－＝－＝sin，所以cos??????????6666633＋322. ＝－＝－－3331.解决条件求值问题的策略：(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系.(2)可以将已知式进行变形，向所求式转化，或将所求式进行变形，向已知式转化.ππππ2.常见的互余关系有：－α与＋α，＋α与－α等；3644π2ππ3π常见的互补关系有：＋θ与－θ，＋θ与－θ等.4433．[再练一题]π2π1????????α－－α________.＝2.已知cos，则＝sin????6332ππ????????????αα＋－sin ＝sin【解析】π－??????33πππ??????????－α??α－sinsin＝＝????63??2π1????α－＝.＝cos??631【答案】 3利用诱导公式证明三角恒等式απ－2－π－απ－α＝－求证：tan α. 【导学α－－ππα 00680012号：】【精彩点拨】观察被证式两端，左繁右简，可以从左端入手，利用诱导公式进行化简，逐步地推向右边.【自主解答】原式左边＝α－παα－－απ－αππ－α－αα－sin α－α－sin sin＝＝αcos αcos α－cos α＝－tan α＝右边.原式得证.关于三角恒等式的证明，常用方法：(1)从一边开始，证得它等于另一边，一般由繁到简.(2)左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子.无论用哪种方法都要针对题设与结论间的差异，有针对性地变形，以消除其差异.[再练一题]，2＝)α＋πtan(7已知3.απ－＋α－π＝求证：2.α－－＋απ【证明】∵tan(7π＋α)＝2，∴tan α＝2，α－2cos α＋3sin ＋α－2＋3tan απ－πα－＝＝∴＝α－tan α4－αα4cos ＋α－sin π－－2＋3×2＝2.24－[探究共研型]诱导公式中的分类讨论思想k π＋α)的值？探究1 利用诱导公式能否直接写出sin(k 是奇数还是偶数不确定.不能 .因为【提示】kknnk π＋α)＝sin(π＋α)＋1(＝－∈Z )，sin(sin 当α是奇数时，即；＝2kknnk π＋α)＝，sin(是偶数时，即sin ＝2α(.∈Z )当k ????απ＋如何化简2 tan 呢？探究 ??2nknk )＋1(【提示】当，为奇数时，即∈＝2Z π????α＋sin ??k 2ππcos 1α????????α＋＋α＝＝；tan ＝tan ＝????22α－sin πtan α－????α＋cos ??2nkkn∈Z 2)(当，为偶数时，即＝k π????α＋.tan αtan ＝??21??k 为奇数，，k π?? α－tan ???α＋＝所以tan??2??k .，为偶数tan αk 为整数，化简：设kk －π－απ－α].kk α＋＋π＋απ【精彩点拨】本题主要考查分类讨论的思想以及诱导公式.常用的解决方法有两种：①kk π－必须把α分成偶数和奇数两种情况讨论；②观察式子结构，为了便于运用诱导公式，kkkkkπ，可使用配角法＝2.－1)π－＝2(π，(＋1)π＋α＋α＋π＋αkkmm∈Z)，则设＝2原(式＝时法解【自主答】一：当为偶数，mmα＋α－π]－π－πα－α＝＝mmα＋πα＋π＋＋πααα－sin cos α－＝－1；αcos －sin αkkmm∈Z)，同理可得原式＝－＝21.＋当1(为奇数时，设kkkkkkk cos[(故π，π－α＝＋1)π＋α＋(2法二：由于－π－α＋απ＋＝21)π，(kkkkπ＋＝－sin(1)π＋cos(απ＋α)，sin[(]－－1)πα]＝cos[(＋＋1)π＋α]＝－kkπ＋α).α)＝－α)，sin(sin(π－kkπ＋－απ＋α－＝－1.所以原式＝kkα＋απ－＋πkk值，可能导致不同的结果，因而要加以分类讨论，Z由于的任意性，对于不同的∈正确的思维就是分为奇数与偶数加以分析.[再练一题]nnαπ＋α－πn∈Z)(化简4.的结果为________.n]＋απ－nkk∈Z)时，(1)当＝2 (【解析】kkαsin ααcos π－απ＋＝原式＝kαπ－αcos ]＋－.α＝－sinknk (2)当＝21(＋时，∈Z)kk＋π－＋αα]＋π原式＝k]α＋π－α－sin cos α－＝sin α.＝αcosn＋1所以化简所得的结果为(－1)·sin α.n1＋sin 1)α－【答案】(1.下列各式不正确的是( )A.sin(α＋180°)＝－sin αB.cos(－α＋β)＝－cos(α－β)C.sin(－α－360°)＝－sin αD.cos(－α－β)＝cos(α＋β).项错误B，故)β－αcos(＝)]β－α(－cos[＝)β＋α－cos( 【解析】．B【答案】) 2.sin 600°的值为(11 A. －B.2233 －D.C. 22 sin 600°＝sin(720°－120°)＝－sin 120°【解析】3.故选＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－ D. 2D【答案】) 3.cos 1 030°＝(B. －cos 50°A.cos 50°C.sin 50°D. －sin 50°【解析】 cos 1 030°＝cos(3×360°－50°)＝cos(－50°)＝cos 50°.【答案】 Aππ????????θ＋θ－>0，则θ<0，且cos是4.若sin( ) ????22A.第一象限角 B.第二象限角D. 第四象限角 C.第三角限角π????θ＋，cos θ<0【解析】由于sin＝??2π????θ－＝sin θ>0，所以角θ的终边落在第二象限，故选cosB. ??2【答案】 B11π6????φ＋ 00680013】的值. 【导学号：，求cos＋sin(3π－φ)5.已知sin φ＝??2116 ，sin ∵φ＝【解】1111ππ????????φ6π－＋＋φ cos∴cos＝????22π????φ－＋＝cos??2π6????φ－＝sin ＝cosφ＝，??21111π6????φ＋)－φπ＝cos∴)－sin(3＋πφ＋sin(??211．612＝＋sin φ＝. 1111．。

高中数学第一章三角函数1.3三角函数的诱导公式1.3.1诱导公式(1)课件新人教A版必修4

＝tan1t5a0n°1c2o0s°3s0i°nc3o0s°120°＝
33× －
32×3×12 12＝－
3 6.
第十一页，共25页。
方法归纳利用诱导公式解决给角求值问题的方法 (1)“负化正”； (2)“大化小”，用公式一将角化为 0°到 360°间的角； (3)“小化锐”，用公式二或四将大于 90°的角转化为锐角； (4)“锐求值”，得到锐角的三角函数后求值．
第二十二页，共25页。
|巩固提升| 1．tan(－1560°)＝( )
A．－
3 3
B.
3 3
C．－ 3 D. 3
解析：tan(－1560°)＝－tan1560°＝－tan(4×360°＋120°)＝－ tan120°＝－tan(180°－60°)＝tan60°＝ 3.
答案：D
第二十三页，共25页。
(2)原式＝sin260°＋(－1)＋1－cos230°＋sin30°＝
232－
232＋
12＝12.
答案：(1)C (2)12
第十三页，共25页。
类型二已知三角函数值求相关角的三角函数值
[例 2] 若 sin(π＋α)＝12，α∈－π2，0，则 tan(π－α)等于(
)
A．－12
B．－
3 2
C．－ 3
第十九页，共25页。
方法归纳利用诱导公式一～四化简应注意的问题 (1)利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的； (2)化简时函数名没有改变，但一定要注意函数的符号有没有改变； (3)同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简，一般采用切化弦，有时也将弦化切．
第二十页，共25页。
方法归纳解决条件求值问题的方法 (1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系． (2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．

北师大版高中数学必修4第一章《三角函数》任意角的三角函数及其诱导公式

1 1
0 1 0 1 0 1 0 0 0
6
2）同终边角的同名三角函数值相等. Sin(2kπ+α)= Sinα
cos(2kπ+α)= cosα
tan(2kπ+α)= tanα 2kπ是三角函数的周期诱导公式1
7
练习：确定下列函数值的符号
1）sin1900的符号是——？
2）cos(-3920)的符号是——？
16
Sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)= -Sinα Sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)= Sinα
=> tan(π/2+α)= -cotα => tan(π/2-α)=cotα
17
常用的正弦、余弦、正切诱导公式 1、同终边诱导公式 Sin(2kπ+α)=sin α cos(2kπ+α)=cosα tan(2kπ+α)=tan α 2、负角诱导公式 Sin(-α)=- sin α cos(-α)=cos α tan(-α)= - tan α 3、四象限诱导公式 Sin(2π-α)=-sin α cos(2π-α)=cos α tan(2π-α)= - tan α
y
P(a,b)
x
y
x
P(a,b)பைடு நூலகம்
Sin(2kπ+α)= Sinα
-π/4
-9π/4
4
小结：正弦函数是周期函数，周期是 2k 其中最小正周期为 2
余弦函数是周期函数，周期是 2k 其中最小正周期为 2
5
你记住了吗？
度弧度
0 0 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 2700 3600

2018版高中数学第一章三角函数1.3三角函数的诱导公式(一)课件新人教A版必修4

π π 3 ＝cos(π＋6)＝－cos 6＝－ 2 .
方法二
31π 5π －－ 6π ＋ cos ＝cos 6 6
π π ＝cosπ－6＝－cos6＝－
3 . 2
解答
(3)tan(－945°). 解 tan(－945°)＝－tan 945°＝－tan(225°＋2×360°) ＝－tan 225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan 45°＝－1.
(3)“角化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角. (4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值.
跟踪训练1 求下列各三角函数式的值.
(1)sin 1 320°；解方法一 sin 1 320°＝sin(3×360°＋240°)
3 ＝sin 240° ＝sin(180° ＋60° )＝－sin 60° ＝－ 2 .
它们的三角函数之间有什么关系？
答案
知识点三
诱导公式四
思考
角π－α的终边与角α的终边有什么关系？角π－α的终边与单位圆
的交点P3(cos(π－α)，sin(π－α))与点P(cos α，sin α)有怎样的关系？
它们的三角函之间有什么关系？
答案
梳理
公式一～四都叫做诱导公式，它们分别反映了 2kπ ＋ α(k∈Z) ， π ＋ α ，－α，π－α的三角函数与 α的三角函数之间的关系，这四组公式的共同
tan2π－αsin－2π－αcos6π－α (1) ； cosα－πsin5π－α
解
sin2π－α · sin－αcos－α cos2π－α 原式＝ cosπ－αsinπ－α
－sin α－sin αcos α sin α ＝＝－cos α＝－tan α. cos α－cos αsin α

三角函数图像与性质复习课

A．－1123 5
C.13
12 B.13 D．－153
2．(2015·四川，13，中)已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos2 α的值是________．
【解析】
由sin α＋2cos α＝0得tan α＝－2. 2sin αcos α－cos2 α
＝ 2sin a cos a cos2 a 2 tan a 1 5 1
sin2 a cos2 a
tan2 a 1 5
三角函数的性质的应用
考点梳理
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象
定义域值域周期性奇偶性
R
R
{x│x≠π/2+kπ,kϵZ}
[-1,1]
[-1,1]
R
最小正周期为2π 最小正周期为 2π 最小正周期为 π
奇
偶
奇
在 [-π/2+2kπ, π/2+2kπ ] （kϵZ）单调性上增，在 [π/2+2kπ, 3π/2+2kπ ]（kϵZ）
A
D
注意：关于此部分知识点的答题规范性
(2015·重庆，18 )
已知函数f(x)＝
1 2
sin
2x－
3cos2
x.
①求f(x)的最小正周期和最小值； ②将函数f(x)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象．
当x
2
,
时，求g(x)的值域。
解：(1) f (x) 1 sin 2x 3 (1 cos 2x)
1),或缩短（ ω＞1 ）
到原来的__1___
向左(φ＞0) 或向右(φ＜

苏教版必修4高中数学第1章《三角函数》三角函数的诱导公式(1)教学案

高中数学第1章《三角函数》三角函数的诱导公式(1)教学案
苏教版必修4
教学目标：能借助于单位圆，推导出正弦、余弦、正切的诱导公式，能正确利用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数，并解决有关三角函数求值等问题。

注重渗透
数形结合及化归转化的数学思想。

教学重点：诱导公式的推导和应用
教学难点：诱导公式的应用
教学过程：
一、问题情境：
问题1：终边相同角的同一三角函数值是否相等，由此你能得到什么结论？
问题2：如果角α的终边与角β的终边关于x轴对称，那么α与β的三角函数值之间有什么关系？
问题3：如果角α的终边与角β的终边关于y轴对称，那么α与β的三角函数值之间有什么关系？
问题4：如果角α的终边与角β的终边关于原点对称，那么α与β的三角函数值之间有什么关系？
二、学生活动：
1、角α与-α的终边关于_______对称，所以______________________________.
-的终边关于_______对称，所以___________________________.
2、角α与πα
+的终边关于_______对称，所以___________________________.
3、角α与πα
三、知识建构：
1、公式1：
2、公式2：
3、公式3：
4、公式4：
四、知识运用：
例1、求值：
（1）sin 7
6
π（2）cos
11
4
π（3）tan(-1560°)
小结：
练习：书P20 1-4
五、回顾反思：
知识：思想方法：
六、作业布置：
书P23 15(1)(3)、16。

高一数学人必修件阶段复习课三角函数的概念和诱导公式

三角函数在几何问题中应用
三角函数在解三角形中的应用
在解三角形时，可以利用正弦定理、余弦定理等三角函数性质求解三角形的边长和角度。例如，已知三角形的两边长和夹角，可以利用余弦定理求解第三边长。
三角函数在平面几何中的应用
在平面几何中，可以利用三角函数的性质求解一些与角度、边长相关的问题。例如，利用正弦、余弦函数的性质可以求解一些与直角三角形相关的问题。
易错点剖析与避免策略
混淆三角函数定义域
01
在解题过程中，要注意三角函数的定义域，避免出现定义域错
误的情况。
忽视诱导公式的使用条件
02
在使用诱导公式时，要注意公式的使用条件，如角度的范围等
，避免出现错误。
计算失误
03
在解题过程中，要认真计算，避免出现计算错误的情况。
提高解题效率的技巧分享
熟练掌握基本公式
04
三角函数在实际问题中应用
角度制与弧度制转换方法
角度制与弧度制的定义及关系
角度制是用度作为单位来度量角的制度，弧度制是用弧长与半径之比来度量角的制度。两者之间可以通过公式进行转换，1度等于π/180弧度，1弧度等于180/π度。
角度制与弧度制的互化方法
在实际计算中，需要将角度制与弧度制进行互化。例如，将角度化为弧度时，需要将角度乘以π/180；将弧度化为角度时，需要将弧度乘以180/π。
熟练掌握三角函数的基本公式，能够加快解题速度，提高解题效
率。
灵活运用诱导公式
在解题过程中，要灵活运用诱导公式，将所求表达式转化为基本三角函数的形式，从而简化计算过程。
掌握一些常用结论
掌握一些常用的三角函数结论，如特殊角的三角函数值等，能够加快解题速度。

18版高中数学第一章三角函数1.3三角函数的诱导公式(一)导学案

18版高中数学第一章三角函数1.3三角函数的诱导公式（一）导学案。

内部文件，版权追溯内部文件，版权追溯1.3三角函数的诱导公式（一）学习目标1了解三角函数归纳公式的意义和功能。

2了解归纳公式的推导过程。

3能够通过使用相关的归纳公式解决一些三角函数的求值、简化和证明问题设角α的终边与单位圆的交点为p，由三角函数定义知p点坐标为(cosα，sinα).知识点一诱导公式二思考角度π+α端点的棱角，它与端点有什么关系？角π+α——圆的最终边缘与单位圆的交点p1(cos(π＋α)，sin(π＋α))与点p(cosα，sinα)呢？它们的三角函数之间有什么关部门答案角π＋α的终边与角α的终边关于原点对称，p1与p也关于原点对称，它们的三角函数关系如下：诱导公式二罪π＋α?＝－sinα，因为？π＋α?＝－你呢，谭？π＋α?＝tanα。

知识点2归纳公式3思考角－α的终边与角α的终边有什么关系？角－α的终边与单位圆的交点p2(cos(－α)，sin(－α))与点p(cosα，sinα)有怎样的关系？它们的三角函数之间有什么关系？答案角－α的终边与角α的终边关于x轴对称，p2与p也关于x轴对称，它们的三角函数关系如下：诱导公式三罪？－α?＝－sinα，cos？－α?＝cosα，tan？－α?＝－tanα。

一知识点三诱导公式四思考角度π-α，端点的棱角，它和端点有什么关系？角π-α——圆的最终边缘与单位圆的交点p3(cos(π－α)，sin(π－α))与点p(cosα，sinα)有怎样的关系？它们的三角函之间这有什么关系？答案角π－α的终边与角α的终边关于y轴对称，p3与p也关于y轴对称，它们的三角函数关系如下：诱导公式四sin（π－α）＝sinα，cos（π－α）＝cosα，tan（π－α）＝tanα。

梳理公式1~4称为诱导公式，分别反映2Kπ+α（k∈z），π＋α，－α，π－α三角函数和α这四组公式的共同特点是：2kπ＋α(k∈z)，π＋α，－α，π－α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.简记为“函数名不变，符号看象限”.类型一使用归纳公式计算命题角度1角度计算问题的示例1，以找到以下三角函数的值11π43π(1)cos210°；(2)sin；(3)sin(－)；(4)cos(－1920°).46溶液（1）cos210°=cos（180°+30°）=-cos30°=-3.211π3π（2）sin＝sin（2π＋）443ππ＝sin＝sin(π－)44π2＝sin＝.4243π7π（3）sin（－）＝sin（6π＋）662＝-sin7π6＝sin（π＋π6）＝sinπ16＝2.（4） cos（－1920°）＝COS120°＝cos（5×360°＋120°）＝cos120°＝cos(180°－60°)＝－cos60°＝－12.反射和感知：使用归纳公式计算任意角度的三角函数值的步骤：（1）“负到正”：使用公式1或3进行变换(2)“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角.(3)“角化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角.(4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值.跟踪训练1求下列各三角函数式的值.（1）sin1320°；（2）cos？？31π?－6；(3)tan(－945°).解决方案（1）方法1 sin1320°=sin（3）×360°＋240°＝sin240°＝sin（180°＋60°）＝－sin60°＝－32方法二sin1320°=sin（4）×360°－120°＝sin（－120°）＝sin（180°－60°）＝sin60°＝32.(2)方法一cos??31π?－6＝cos31π＝cos??4π＋7π?6?6??＝cos（π＋π6）＝－cosπ6＝32.方法二cos??31π?－?＝cos?－6π＋5π66.＝cosπ－π6＝－cosπ36＝2。

2018年秋高中数学第一章三角函数阶段复习课第1课任意角的三角函数及诱导公式学案新人教A

第一课任意角的三角函数及诱导公式[核心速填]1．与角α终边相同的角的集合为S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }．2．角度制与弧度制的换算3．弧度制下扇形的弧长和面积公式 (1)弧长公式：l ＝|α|r . (2)面积公式：S ＝12lr ＝12|α|r 2.4．任意角的三角函数(1)定义1：设任意角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x(x ≠0)．(2)定义2：设任意角α的终边上任意一点P 的坐标为(x ，y )，r ＝|OP |＝x 2＋y 2，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x(x ≠0)．5．同角三角函数基本关系式sin 2α＋cos 2α＝1；sin αcos α＝tan α.6．诱导公式记忆口诀奇变偶不变，符号看象限．[体系构建][题型探究](1)把α改写成β＋2k π(k ∈Z,0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限角；(2)求γ，使γ与α的终边相同，且γ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2. [解] (1)∵－800°＝－3×360°＋280°，280°＝149π，∴α＝－800°＝14π9＋(－3)×2π.∵α与角14π9终边相同，∴α是第四象限角．(2)∵与α终边相同的角可写为2k π＋14π9，k ∈Z 的形式，而γ与α的终边相同，∴γ＝2k π＋14π9，k ∈Z .又γ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴－π2＜2k π＋14π9＜π2，k ∈Z ，解得k ＝－1，∴γ＝－2π＋14π9＝－4π9.[规律方法] 1.灵活应用角度制或弧度制表示角 (1)注意同一表达式中角度与弧度不能混用． (2)角度制与弧度制的换算设一个角的弧度数为α，角度数为n ，则αrad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α·180π°，n °＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n ·π180rad. 2．象限角的判定方法(1)根据图象判定．利用图象实际操作时，依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系．(2)将角转化到0°～360°范围内．在直角坐标平面内，0°～360°范围内没有两个角终边是相同的．[跟踪训练]1．若α角与8π5角终边相同，则在[0,2π]内终边与α4角终边相同的角是________.【导学号：84352139】2π5，9π10，7π5，19π10 [由题意，得α＝8π5＋2k π(k ∈Z )，α4＝2π5＋k π2(k ∈Z )．又α4∈[0,2π]，所以k ＝0,1,2,3，α4＝2π5，9π10，7π5，19π10.]、弧、弧的圆心依次是A 、B 、C ，如果AB ＝1，那么曲线CDEF 的长是________．图11(2)一扇形的圆心角为2弧度，记此扇形的周长为c ，面积为S ，则c －1S的最大值为________．(1)4π (2)4 [(1)弧的长是120π×1180＝2π3，弧的长是：120π×2180＝4π3，弧的长是：120π×3180＝2π，则曲线CDEF 的长是：2π3＋4π3＋2π＝4π.(2)设扇形的弧长为l ，半径为r ，圆心角大小为2弧度，则l ＝2r ，可求：c ＝l ＋2r ＝2r ＋2r ＝4r ，扇形的面积为S ＝12lr ＝12r 2×2＝r 2，所以c －1S ＝4r －1r 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1r 2＋4r＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1r－22＋4≤4.r ＝12时等号成立，所以c －1S的最大值为4.] [规律方法] 弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略明确弧度制下弧长公式l ＝|α|r ，扇形的面积公式是S ＝12lr ＝12|α|r 2其中l是扇形的弧长，α是扇形的圆心角；涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程组求解.[跟踪训练]2．如图12，已知扇形AOB 的圆心角为120°，半径长为6，求弓形ACB 的面积.【导学号：84352140】图12[解] ∵120°＝120180π＝23π，∴l ＝6×23π＝4π，∴的长为4π.∵S 扇形OAB ＝12lr ＝12×4π×6＝12π，如图所示，作OD ⊥AB ，有S △OAB ＝12×AB ×OD ＝12×2×6cos 30°×3＝9 3.∴S 弓形ACB ＝S 扇形OAB －S △OAB ＝12π－9 3. ∴弓形ACB 的面积为12π－9 3.(1)若一个α角的终边上有一点P (－4，a )，且sin α·cos α＝34，则a 的值为( )A ．4 3B ．±4 3C ．－43或－433D. 3(2)已知角α的终边经过点P (12m ，－5m )(m ≠0)，求sin α，cos α，tan α的值.【导学号：84352141】(1)C [(1)因为α角的终边上有一点P (－4，a )，所以tan α＝－a4，所以sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝－a4⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 42＋1＝34，整理得3a 2＋16a ＋163＝0，(a ＋43)(3a ＋4)＝0，所以a ＝－43或－433.](2)r ＝m2＋－5m2＝13|m |，若m ＞0，则r ＝13m ，α为第四象限角， sin α＝y r ＝－5m 13m ＝－513，cos α＝x r ＝12m 13m ＝1213，tan α＝y x ＝－5m 12m ＝－512.若m ＜0，则r ＝－13m ，α为第二象限角， sin α＝y r ＝－5m －13m ＝513，cos α＝x r ＝12m －13m ＝－1213，tan α＝y x ＝－5m 12m ＝－512.[规律方法] 利用定义求三角函数值的两种方法先由直线与单位圆相交求出交点坐标，再利用正弦、余弦、正切函数的定义，求出相应的三角函数值.取角α的终边上任意一点P a ，b原点除外，则对应的角α的正弦值sinα＝b a 2＋b2，余弦值cos α＝aa 2＋b2，正切值tan α＝ba.当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.[跟踪训练]3．如果点P (sin θ·cos θ，2cos θ)位于第三象限，试判断角θ所在的象限.【导学号：84352142】[解] 因为点P (sin θ·cos θ，2cos θ)位于第三象限，所以sin θ·cos θ＜0,2cos θ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＞0，cos θ＜0，所以角θ在第二象限.(1)已知sin(－π＋θ)＋2cos(3π－θ)＝0，则sin θ－cos θ＝________.(2)已知f (α)＝sin2π－απ－α－π＋α－π＋α－α＋3π.①化简f (α)；②若f (α)＝18，且π4＜α＜π2，求cos α－sin α的值；③若α＝－47π4，求f (α)的值. 【导学号：84352143】[思路探究] 先用诱导公式化简，再用同角三角函数基本关系求值． (1)13 [(1)由已知得－sin θ－2cos θ＝0，故tan θ＝－2，则sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝tan θ＋1tan θ－1＝－2＋1－2－1＝13.](2)①f (α)＝sin 2α·cos α·tan α－sin α－tan α＝sin α·cos α.②由f (α)＝sin α·cos α＝18可知，(cos α－sin α)2＝cos 2α－2sin α·cos α＋sin 2α ＝1－2sin α·cos α＝1－2×18＝34，又∵π4＜α＜π2，∴cos α＜sin α，即cos α－sin α＜0， ∴cos α－sin α＝－32.③∵α＝－474π＝－6×2π＋π4，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－474π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－474π·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－474π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6×2π＋π4·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6×2π＋π4＝cos π4·sin π4＝22×22＝12.母题探究：1.将本例(2)中“18”改为“－8”“π4＜α＜π2”改为“－π4＜α＜0”求cos α＋sin α.[解] 因为－π4＜α＜0，所以cos α＞0，sin α＜0且|cos α|＞|sin α|，所以cos α＋sin α＞0，又(cos α＋sin α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－18＝34，所以cos α＋sin α＝32. 2．将本例(2)中的用tan α表示1f α＋cos 2α. [解]1f α＋cos 2α＝1sin αcos α＋cos 2α＝sin 2α＋cos 2αsin αcos α＋cos 2α＝tan 2α＋1tan α＋1. [规律方法] 1.牢记两个基本关系式sin 2α＋cos 2α＝1及sin αcos α＝tan α，并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明．在应用中，要注意掌握解题的技巧．比如：已知sin α±cos α的值，可求cos αsin α.注意应用(cos α±sin α)2＝1±2sin αcos α.2．诱导公式可概括为k ·π2±α(k ∈Z )的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限．。

高中数学第一章三角函数 1.3 三角函数的诱导公式(第

第1课时诱导公式二、三、四1.掌握π±α，－α，π2－α的终边与α的终边的对称性.2.理解和掌握诱导公式二、三、四的内涵及结构特征，掌握这三个诱导公式的推导方法和记忆方法.3.会初步运用诱导公式二、三、四求三角函数的值，并会进行一般的三角关系式的化简和证明.1.特殊角的终边对称性(1)π＋α的终边与角α的终边关于对称，如图①； (2)－α的终边与角α的终边关于对称，如图②； (3)π－α的终边与角α的终边关于对称，如图③； (4)π2－α的终边与角α的终边关于直线对称，如图④.【做一做1】已知α的终边与单位圆的交点为PA. P 11,22⎛- ⎝⎭B.P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32C.P 3⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32D.P 4⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12诱导公式一～四可用口诀“函数名不变，符号看象限”记忆，其中“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名，“符号”是指等号右边是正号还是负号，“看象限”是指把α看成锐角时等式左边三角函数值的符号.【做一做2－1】若cos α＝m ，则cos(－α)等于( )A.mB.－mC.|m |D.m 2【做一做2－2】若sin(π＋α)＝13，则sin α等于( )A.13B.－13C.3D.－3 【做一做2－3】已知tan α＝4，则tan(π－α)等于( )A.π－4B.4C.－4D.4－π 3.公式一～四的应用【做一做3】若cos 61°＝m ，则cos(－2 041°)＝( ) A.m B.－m C.0 D.与m 无关答案：1．(1)原点 (2)x 轴 (3)y 轴 (4)y ＝x【做一做1】 C 由于π＋α，－α，π－α，π2－α的终边与α的终边分别关于原点、x 轴、y 轴、直线y ＝x 对称，则P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32，P 3⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，P 4⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12. 2．tan α －sin α cos α －cos α －tan α 同名函数值【做一做2－1】 A 【做一做2－2】 B 【做一做2－3】 C【做一做3】 B cos(－2 041°)＝cos 2 041°＝cos(5×360°＋241°)＝cos 241°＝cos(180°＋61°)＝－cos 61°＝－m .对诱导公式一～四的理解剖析：(1)在角度制和弧度制下，公式都成立.(2)公式中的角α可以是任意角.但对于正切函数而言，公式成立是以正切函数有意义为前提条件的.(3)公式一～公式四，等式两边的“函数名”不变，是对三角函数名称而言.(4)利用公式求三角函数.“符号看象限”看的应该是诱导公式中，把α看成锐角时原函数值的符号，而不是α的三角函数值的符号，例如sin(2π－α)＝－sin α，当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，易错误地认为sin(2π－α)＝sin α.题型一求任意角的三角函数值【例1】求值：(1)sin 1 320°；(2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－316π. 反思：求任意角的三角函数值的步骤是：先用诱导公式三化为正角的三角函数值，再用诱导公式一化为0～2π的三角函数值，再用公式二或四化为锐角的三角函数值.这实质上也是将任意角的三角函数值化为锐角的三角函数值的过程，即负→正→［0，2π)→锐角.题型二化简三角函数式【例2】化简：cos(α＋π)sin 2(α＋3π)tan(α＋π)cos 3(－α－π). 分析：先用诱导公式化为α的三角函数，使角统一，再切化弦或弦化切，以保证三角函数名最少.反思：利用诱导公式主要是进行角的转化，可以达到统一角的目的. 题型三求三角函数式的值【例3】已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π6的值.分析：注意到⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝π，可以把5π6＋α化成π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α，又α－π6＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α，利用诱导公式即可. 反思：此类题目要灵活运用诱导公式，在做题时要注意观察角与角之间的关系，例如5π6＋α＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α，从而利用诱导公式把未知三角函数值用已知三角函数值表示出来. 题型四易错辨析易错点在化简求值中，往往对n π＋α(n ∈Z )与2k π＋α(k ∈Z )混淆而忽略对n 的讨论【例4】化简：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4n ＋14π＋x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4n －14π－x (n ∈Z ).错解：原式＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π＋π4＋x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π－π4－x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＋cos 4x π⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x .错因分析：错在没有对n 进行分类讨论，关键是对公式一没有理解透.反思：化简sin(k π＋α)，cos(k π＋α)(k ∈Z )时，需对k 是奇数还是偶数分类讨论，可以证明tan(k π＋α)＝tan α(k ∈Z )是成立的.答案：【例1】解：(1)sin 1 320°＝sin(3×360°＋240°)＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－32； (2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－316π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π＋5π6＝cos 5π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π－π6＝－cos π6＝－32.【例2】解：原式＝－cos α－sin α2tan α－cos α3＝sin 2αtan α·cos 2α＝tan 2αtan α＝tan α. 【例3】解：∵cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－33，sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝sin 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝23，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝－33－23＝－2＋33.【例4】正解：原式＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π＋π4＋x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π－π4－x .(1)当n 为奇数时，即n ＝2k ＋1(k ∈Z )时，原式＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k ＋1π＋π4＋x ＋cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k ＋π－π4－x ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4－x ＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ；(2)当n 为偶数时，即n ＝2k (k ∈Z )时，原式＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π4＋x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π4－x＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4－x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x .故原式＝⎩⎪⎨⎪⎧－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ，n 为奇数，2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ，n 为偶数.1．20cos 3π⎛⎫- ⎪⎝⎭等于( )A.12C.12-D.2．sin 600°＋tan 240°的值是( )A.2-B.2 C.12- D.12+3．已知sin(45°＋α)＝513，则sin(135°－α)＝________.4．已知α∈0,2π⎛⎫⎪⎝⎭，tan(π－α)＝34-，则sin α＝________.5．化简tan(2)sin(2)cos(6)cos()sin(5)πθπθπθθππθ-----+.答案：1．C 20πcos 3⎛⎫-⎪⎝⎭＝20πcos 3＝2πcos 6π3⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝2πcos 3＝12-. 2．B sin 600°＋tan 240°＝sin(360°＋240°)＋tan(180°＋60°)＝sin 240°＋tan 60°＝sin(180°＋60°)＋tan 60°＝－sin 60°＋tan 60°＝-. 3.513 sin(135°－α)＝sin [180°－(45°＋α)]＝sin(45°＋α)＝513. 4.35 由于tan(π－α)＝－tan α＝34-，则tan α＝34.解方程组2sin 3,cos 4sin cos 1,αααα2⎧=⎪⎨⎪+=⎩得sin α＝±35，又α∈π0,2⎛⎫⎪⎝⎭，所以sin α＞0.所以sin α＝35. 5．解：原式＝tan()sin()cos()(cos )(sin )θθθθθ-----＝(tan )(sin )cos cos sin θθθθθ--＝tan θ.。