第九章 拉普拉斯变换

构造函数：
⎧2π f (t)e−st ,
g(t) = ⎨ ⎩ 0,
t > 0, s > s0 t<0
拉氏变换：
p = s + iσ
傅氏变换：
∫ ∫ ∞
F (s + iσ ) = e− pt f (t)dt =
1
∞
g (t )e−iσ t dt
0
2π −∞
∞
∫ g(t) = g(k)eiktdk
−∞
∫ g(k) =
∫t f (τ )dτ → F ( p)
0
p
例1：
f (t) = A
∫∞
F ( p) = Ae− ptdt =
A,
Re p > 0
0
p
例2：
f (t) = Aeαt
∫∞
F ( p) = e− pt Aeαt dt =
A , Re p > Reα.
0
p −α
例3：
f (t) = sin ωt
sin ωt = eiωt − e−iωt
2π i R→∞
t>0
例1：
F ( p) = 1 e−α p , α > 0
p
解：
∑ f (t) = res{F ( p)e pt} = res{ 1 e(−α +t) p} = θ (t − α )
p
p=0
∫ lim 1 e(−α +t) pdp = 0, t < α
p R→∞ CR
1
p3( p +α)
=
A p3
+
B p2
+
C p
+
D
p +α
=1 1 − 1 1 + 1 1 − 1 1
α p3 α 2 p2 α 3 p α 3 p +α
F( p) =
1
p3( p +α)
→
1
2α
t3
−1
α2
t
+
1
α3
−1
α3
e−αt
2. 像函数积分的反演
F ( p) → f (t)
∫ 如果G( p) = ∞ F (q)dq存在，且当t → 0时，|f(t)/t|有界，则 p
2. 存在常数M>0和s0 ≥ 0,使对于任何t值(0 ≤ t < ∞)有
| f (t) |< Mes0t
min s = s0收敛横标
9.2 拉普拉斯变换的基本性质
性质1：拉普拉斯变换是线性变换。 性质2：拉普拉斯变换的像函数是一解析函数。 性质3：原函数满足拉普拉斯变换存在的充分条件，则
F ( p) → 0, 当 Re p = s → +∞.
第九章 拉普拉斯变换
9.1 拉普拉斯变换
像函数
f (t) → F ( p)
∞
∫ F ( p) = e− pt f (t)dt 0
t 实变量，p = s + iσ 复变量。
原函数
核
实变函数变换成一个复变函数
拉氏变换的各种记号
拉氏变换存在的充分条件：
1. f (t) 在区间 0 ≤ t < ∞ 中除了第一类间断点外是连续的，而且有连续导数； 在任何有限区间内这种间断点的数目是有限的.
2π i s−∞i
t>0
s+iR cosα
∫ ∫ ∫ F ( p)eptdp =
F ( p)e ptdp + F ( p)e ptdp
s−iR cosα
CR
∫ lim F ( p)e ptdp = 0, t > 0
R→∞ CR
∫ ∑ f (t) = 1 lim F ( p)e ptdp = res{F ( p)e pt}
1
∞
g(t)e−ikt dt
Hale Waihona Puke 2π −∞t>0
∞
∫ g(t) = F (s + iσ )eiσtdσ −∞
傅氏积分的收敛条件
∫ ∫ f (t) =
1
∞
F (s + iσ )e(s+iσ )t dσ =
1
s + ∞i
F ( p)e ptdp
2π −∞
2π i s−∞i
∫ f (t) =
1
s+∞i
F ( p)e ptdp,
∞
∞
∫ ∫ e− pt f (t −τ )dt = e− pt f (t −τ )dt = e− pτ F ( p)
0
τ
例5： 解：
m&x&+ kx = 0, x(0) = x0 , x′(0) = v0
X ( p) =
px0
+ v0
=
1 2
(
x0
− iv0
/ ω)
+
1 2
(
x0
+ iv0
/ ω)
∫∞ F (q)dq →
f (t)
p
t
∫ ∫ 有用的公式：
∞
F (q)dq =
∞
f
(t) dt
0
0t
∫ 例1：
sin ωt
t
→
∞ p
q2
ω + ω2 dq
=
π
2
−
arctan
p
ω
例2：
∫ ∫ ∞ sin tdt = ∞ 1 dp = π
0t
0 p2 +1
2
∫ ∫ ∞ cos at − cos btdt = ∞ ( p − p )dp = ln b − ln a
i(t) = q0 sin t LC LC
9.3 拉普拉斯变换的反演 假定原函数连续
1. 像函数导数的反演
F (n) ( p) → (−t)n f (t)
1 =− d 1 →t p2 dp p
1 p3
=
1 2
d2 dp2
1 p
→
1 t2 2
例1： 解：
F( p) =
1
p3( p +α)
F( p) =
i(0) = 0
I( p) = 1 V ( p) Lp + R
∫ i(t)
=
t
V (τ )
0
1e−R(t−τ )/Ldτ
L
=
⎧V0 ⎪⎪⎨⎪VR0 ⎪⎩ R
(1− e−Rt/L ), (eRT /L −1)e−Rt/L ,
0≤t ≤T t >T
9.4 拉普拉斯变换的普遍反演
设f (t)的拉氏变换的收敛横标是s0.
2i
∫∞ e− pteiωt dt =
1
, Re p > 0
0
p − iω
∫∞ e− pte−iωt dt =
1
, Re p > 0
0
p + iω
∫∞
e− pt sin ωtdt =
0
ω p2 +ω2 ,
Re p > 0
∫∞
e− pt cosωtdt =
0
p
p2 +ω2 ,
Re p > 0
例4：
F (t) = f (t −τ ), τ > 0
0
t
0 p2 + a2 p2 + b2
t
∫ 3. 卷积定理： F1( p)F2 ( p) → f1(τ ) f2 (t −τ )dτ 0
例：在LR电路中加以方形脉冲电压
V (t) = ⎧⎨⎩V0,0 ,
0≤t ≤T t >T
求电路中的电流 i(t) ，设 i(0) = 0 。
解：
L di + Ri = V (t), dt
性质4：原函数的导数的拉普拉斯变换由下式给出
f (t) → F ( p) f ′(t) → pF ( p) − f (0) f (n) (t) → pn F ( p) − pn−1 f (0) − pn−2 f ′(0) − ⋅⋅⋅ − pf (n−2) (0) − f (n−1) (0)
性质5：
p2 +ω2
p + iω
p − iω
x(t)
=
x0
cos ωt
+
v0
ω
sin ωt
例6： LC 串联电路
解：
q = L di , C dt
∫ dq
dt
=
−i(t)
→
q(t)
=
t
−
0
i(τ
)dτ
+
q0
∫ L di + 1 t i(τ )dτ = q0
dt C 0
C
i(0) = 0
I ( p) = q0 LCp2 +1