2013-2014年四川省资阳市高一下学期期末数学试卷及答案

2013-2014学年四川省资阳市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）sin15°cos15°的值是（）A．B．C．D．2．（5分）直线+=1与两坐标轴围成的三角形的周长为（）A．6 B．7 C．12 D．143．（5分）下列向量中，与向量=（2，3）不共线的一个向量=（）A．（3，2） B．（1，）C．（，1）D．（，）4．（5分）若a＞b＞0，则下列不等式成立的是（）A．＞B．＜C．＞D．＜5．（5分）已知等差数列{a n}的首项a1=﹣1，公差d=，则{a n}的第一个正数项是（）A．a4B．a5C．a6D．a76．（5分）若直线l1：y=kx+1与l2：x﹣y﹣1=0的交点在第一象限内，则k的取值范围是（）A．k＞1 B．﹣1＜k＜1 C．k＜﹣1或k＞1 D．k＜﹣17．（5分）如图，△ABC的AB边长为2，P，Q分别是AC，BC中点，记•+•=m，•+•=n，则（）A．m=2，n=4 B．m=3，n=1C．m=2，n=6 D．m=3n，但m，n的值不确定8．（5分）如图，在5个并排的正方形图案中作出一个∠AO n B=135°（n=1，2，3，4，5，6），则n=（）A．1，6 B．2，5 C．3，4 D．2，3，4，59．（5分）设0＜x＜1，函数y=+的最小值为（）A．10 B．9 C．8 D．10．（5分）已知{a n}，{b n}都是等比数列，它们的前n项和分别为S n，T n，且=对n∈N*恒成立，则=（）A．3n B．4n C．3n或4n D．（）n二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）不等式x2+3＜4x的解集为．12．（5分）等比数列{a n}中，a22=a3，a4=8，则S n=．13．（5分）若||=||=|﹣|=1，则|+|=．14．（5分）若实数x，y满足线性约束条件，则z=2x+y的最大值为．15．（5分）给出以下结论：①直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2，若l1⊥l2，则|α1﹣α2|=90°；②对任意角θ，向量=（cosθ，sinθ）与=（cosθ﹣sinθ，cosθ+sinθ）的夹角都为；③若△ABC满足=，则△ABC一定是等腰三角形；④对任意的正数a，b，都有1＜≤．其中所有正确结论的编号是．三．解答题：本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）如图，矩形OABC的顶点O为原点，AB边所在直线的方程为3x+4y ﹣25=0，顶点B的纵坐标为10．（Ⅰ）求OA，OC边所在直线的方程；（Ⅱ）求矩形OABC的面积．17．（12分）已知向量=（1，2），=（﹣3，4）．（Ⅰ）求+与﹣的夹角；（Ⅱ）若⊥（+λ），求实数λ的值．18．（12分）已知函数f（x）=2sinxcos（x﹣）﹣．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）设α∈（0，），且f（+）=，求tan（α+）．19．（12分）已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，它们的对边分别为a，b，c，且满足a：b=：，c=2．（Ⅰ）求A，B，C；（Ⅱ）求△ABC的面积S．20．（13分）等差数列{a n}中，a1=1，a2n=2a n+1（n∈N*），S n是数列{a n}的前n 项和．（Ⅰ）求a n，S n；（Ⅱ）设数列{b n}满足++…+=1﹣（n∈N*），求{b n}的前n项和T n．21．（14分）已知f（x）=x2﹣px+q，其中p＞0，q＞0．（Ⅰ）当p＞q时，证明＜；（Ⅱ）若f（x）=0在区间（0，1]，（1，2]内各有一个根，求p+q的取值范围；（Ⅲ）设数列{a n}的首项a1=1，前n项和S n=f（n），n∈N*，求a n，并判断{a n}是否为等差数列？2013-2014学年四川省资阳市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）sin15°cos15°的值是（）A．B．C．D．【解答】解：sin15°cos15°=sin30°=，故选：B．2．（5分）直线+=1与两坐标轴围成的三角形的周长为（）A．6 B．7 C．12 D．14【解答】解：由直线方程+=1可知直线过点A（3，0），B（0，4），∴由勾股定理可得AB==5，∴所围成的三角形的周长为3+4+5=12故选：C．3．（5分）下列向量中，与向量=（2，3）不共线的一个向量=（）A．（3，2） B．（1，）C．（，1）D．（，）【解答】解：∵向量=（2，3），对于A，2×2﹣3×3=﹣5≠0，∴A中向量与不共线．故选：A．4．（5分）若a＞b＞0，则下列不等式成立的是（）A．＞B．＜C．＞D．＜【解答】解：∵a＞b＞0，不妨取a=4，b=1，可得=＜=4，故A错误；=2＞=，故B错误；=＜=4，故C错误；=＜=16，故D正确．故选：D．5．（5分）已知等差数列{a n}的首项a1=﹣1，公差d=，则{a n}的第一个正数项是（）A．a4B．a5C．a6D．a7【解答】解：依题意知a n=﹣1+（n﹣1）•=﹣，令a n＞0，求得n＞6，∴数列中第7项为第一个正数项．故选：D．6．（5分）若直线l1：y=kx+1与l2：x﹣y﹣1=0的交点在第一象限内，则k的取值范围是（）A．k＞1 B．﹣1＜k＜1 C．k＜﹣1或k＞1 D．k＜﹣1【解答】解：联立直线方程，解得，∵直线的交点在第一象限，∴，解不等式组可得﹣1＜k＜1，故选：B．7．（5分）如图，△ABC的AB边长为2，P，Q分别是AC，BC中点，记•+•=m，•+•=n，则（）A．m=2，n=4 B．m=3，n=1C．m=2，n=6 D．m=3n，但m，n的值不确定【解答】解：∵P，Q分别是AC，BC中点，∴m=•+•=====2；∵P，Q分别是AC，BC中点，∴，，∴n=•+•=+=== 6．故选：C．8．（5分）如图，在5个并排的正方形图案中作出一个∠AO n B=135°（n=1，2，3，4，5，6），则n=（）A．1，6 B．2，5 C．3，4 D．2，3，4，5【解答】解：设O n（x，1），∠O n AB=θ，∠O n BA=φ，则tanθ=，tanφ=，∵∠AO n B=135°，∴θ+φ=，∴tan（θ+φ）====1，解得：x=3或x=4，依题意，n=x，即n=3或n=4．故选：C．9．（5分）设0＜x＜1，函数y=+的最小值为（）A．10 B．9 C．8 D．【解答】解：y=+=（+）（x+1﹣x）=4+++1，∵0＜x＜1，∴1﹣x＞0，∴+≥4，=时，即x=时取等号．∴y≥9，故选：B．10．（5分）已知{a n}，{b n}都是等比数列，它们的前n项和分别为S n，T n，且=对n∈N*恒成立，则=（）A．3n B．4n C．3n或4n D．（）n【解答】解：设{a n}，{b n}的公比分别为q，q′，则∵=，∴n=1时，a1=b1，n=2时，=2.5，n=3时，=7∴2q﹣5q′=3，7q′2+7q′﹣q2﹣q+6=0，∴q=9，q′=3，∴=3∴=3n．故选：A．二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）不等式x2+3＜4x的解集为（1，3）．【解答】解：不等式x2+3＜4x可化为x2﹣4x+3＜0，解得1＜x＜3；∴不等式的解集为（1，3）．故答案为：（1，3）．12．（5分）等比数列{a n}中，a22=a3，a4=8，则S n=2n﹣1．【解答】解：由等比数列的性质，得a22=a3=a3a1，∴a1=1，又a4=8，∴=8，q=2，∴S n==2n﹣1，故答案为：2n﹣1．13．（5分）若||=||=|﹣|=1，则|+|=．【解答】解：∵||=||=|﹣|=1，∴，∴|+|=，∴|+|=，故答案为：．14．（5分）若实数x，y满足线性约束条件，则z=2x+y的最大值为5．【解答】解：作出约束条件对应的可行域，（如图阴影），变形目标函数可得y=﹣2x+z，经平移直线可知，当斜率为﹣2的直线（红色虚线）经过点A（2，1）时，目标函数取最大值z=2×2+1=5故答案为：515．（5分）给出以下结论：①直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2，若l1⊥l2，则|α1﹣α2|=90°；②对任意角θ，向量=（cosθ，sinθ）与=（cosθ﹣sinθ，cosθ+sinθ）的夹角都为；③若△ABC满足=，则△ABC一定是等腰三角形；④对任意的正数a，b，都有1＜≤．其中所有正确结论的编号是①②④．【解答】解：①直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2，l1⊥l2，根据倾斜角的范围，可得|α1﹣α2|=90°；②对任意角θ，向量=（cosθ，sinθ）与=（cosθ﹣sinθ，cosθ+sinθ）的夹角的余弦值为=，故夹角为，正确；③若△ABC满足=，则，∴sin2A=sin2B，∴A=B或A+B=，∴△ABC是等腰三角形或直角三角形，故不正确；④对任意的正数a，b，都有1＜≤，即证明＞，且≤•，即证明2＞0且2≤a+b，成立，故正确．故答案为：①②④．三．解答题：本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）如图，矩形OABC的顶点O为原点，AB边所在直线的方程为3x+4y ﹣25=0，顶点B的纵坐标为10．（Ⅰ）求OA，OC边所在直线的方程；（Ⅱ）求矩形OABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵OABC是矩形，∴OA⊥AB，OC∥AB．由直线AB的方程3x+4y﹣25=0可知，∴，∴OA边所在直线的方程为，即4x﹣3y=0，OC边所在直线的方程为，即3x+4y=0．（Ⅱ）∵点B在直线AB上，且纵坐标为10，∴点B的横坐标由3x+4×10﹣25=0解得x为﹣5，即B（﹣5，10）．∴，∴，（11分）∴矩形OABC的面积S=|OA||AB|=5017．（12分）已知向量=（1，2），=（﹣3，4）．（Ⅰ）求+与﹣的夹角；（Ⅱ）若⊥（+λ），求实数λ的值．【解答】解：（Ⅰ）∵向量=（1，2），=（﹣3，4），∴+=（﹣2，6），﹣=（4，﹣2），∴=﹣8﹣12=﹣20，∴===﹣，∴+与﹣的夹角为．（Ⅱ）∵⊥（+λ），∴=0，∴（1，2）•（1﹣3λ，2+4λ）=0，化为1﹣3λ+4+8λ=0，解得λ=﹣1．18．（12分）已知函数f（x）=2sinxcos（x﹣）﹣．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）设α∈（0，），且f（+）=，求tan（α+）．【解答】解：（Ⅰ）===．∴f（x）的最小正周期为π．（Ⅱ），由可知，，．∴．19．（12分）已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，它们的对边分别为a，b，c，且满足a：b=：，c=2．（Ⅰ）求A，B，C；（Ⅱ）求△ABC的面积S．【解答】解：（Ⅰ）∵A，B，C成等差数列，∴A+C=2B，又A+B+C=180°，∴B=60°，A+C=120°，由正弦定理==可知，=，∵a：b=：，c=2，∴=，即sinA=，∵0°＜A＜120°，∴A=45°，C=120°﹣A=75°．综上，A=45°，B=60°，C=75°；（Ⅱ）∵sinC=sin75°=sin（30°+45°）=×+×=，c=2，sinA=，sinB=，∴由正弦定理得：===，即==，整理得：a=2﹣2，b=3﹣，∴S=acsinB=×2（﹣1）×2×=3﹣．△ABC20．（13分）等差数列{a n}中，a1=1，a2n=2a n+1（n∈N*），S n是数列{a n}的前n 项和．（Ⅰ）求a n，S n；（Ⅱ）设数列{b n}满足++…+=1﹣（n∈N*），求{b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）设{a n}的公差为d．由a2n=2a n+1知，a1+（2n﹣1）d=2a1+2（n﹣1）d+1，∴d=a1+1=2．（2分）∵a1=1，∴a n=2n﹣1，．（4分）（Ⅱ）由，知，∴；（5分）当n≥2时，．综上，（n∈N*）．（8分）∴（12分）=，∴．（13分）21．（14分）已知f（x）=x2﹣px+q，其中p＞0，q＞0．（Ⅰ）当p＞q时，证明＜；（Ⅱ）若f（x）=0在区间（0，1]，（1，2]内各有一个根，求p+q的取值范围；（Ⅲ）设数列{a n}的首项a1=1，前n项和S n=f（n），n∈N*，求a n，并判断{a n}是否为等差数列？【解答】解：（Ⅰ）∵，，∴．∵p＞q＞0，∴，即，∴．（Ⅱ）∵抛物线的图象开口向上，且f（x）=0在区间（0，1]，（1，2]内各有一个根，∴，∴点（p，q）（p＞0，q＞0）组成的可行域如图所示，设z=p+q，由线性规划知识可知，1＜z=p+q≤5，即p+q∈（1，5]．（Ⅲ）设数列{a n}的首项a1=1，前n项和S n=f（n）=n2﹣pn+q，n∈N*，当n=1时，a1=s1=1﹣p+q=1，∴p=q．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（n2﹣pn+q）﹣[（n﹣1）2﹣p（n﹣1）+q]=2n﹣p﹣1．∴a n=．再根据a1=1，a2=3﹣p，a n+1﹣a n=2 （n≥2），p＞0，q＞0，可得{a n}不是等差数列．。