山东省淄博市高青一中2017-2018学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析

2017-2018学年山东省淄博市高青一中高一（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．已知集合U={1，3，5，7，9}，A={1，5，7}，则∁U A=（）
A．{1，3}B．{3，7，9}C．{3，5，9}D．{3，9}
2．下列各组函数是同一函数的是（）
A．y=﹣2 B．y=
C．D．
3．函数y=ln（1﹣x）的定义域为（）
A．（0，1）B．[0，1）C．（0，1]D．[0，1]
4．若函数f（x）=，则f（2）的值为（）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．函数f（x）=﹣x2+2（a﹣1）x+2在（﹣∞，4）上是增函数，则a的范围是（）A．a≥5 B．a≥3 C．a≤3 D．a≤﹣5
6．若102x=25，则10﹣x等于（）
A．B． C．D．
7．如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟漏完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则H 与下落时间t（分）的函数关系表示的图象只可能是（）
A．B．C．D．
8．设函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（）A．f（x）+|g（x）|是偶函数B．f（x）﹣|g（x）|是奇函数
C．|f（x）|+g（x）是偶函数D．|f（x）|﹣g（x）是奇函数
9．若f（x）满足关系式f（x）+2（）=3x，则f（2）的值为（）
A．1 B．﹣1 C．﹣D．
10．f（x）=是定义在（﹣∞，+∞）上是减函数，则a的取值范围是（）
A．[，）B．[0，]C．（0，）D．（﹣∞，]
11．f（x）满足对任意的实数a，b都有f（a+b）=f（a）•f（b），且f（1）=2，则
=（）
A．1006 B．2016 C．2013 D．1008
12．已知函数y=x2+2x在闭区间[a，b]上的值域为[﹣1，3]，则满足题意的有序实数对（a，b）在坐标平面内所对应点组成图形为（）
A．B． C．
D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知集合M={0，x}，N={1，2}，若M∩N={1}，则M∪N=．
14．若函数f（x）=是奇函数，则a+b=．
15．已知函数f（x）=x2+4mx+n在区间[2，6]上是减函数，求实数m的取值范围．16．如果函数f（x）=是奇函数，则a=．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知函数．
（1）在如图给定的直角坐标系内画出f（x）的图象；（直接画图，不需列表）
（2）写出f（x）的单调递增区间及值域．
18．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，．
（Ⅰ）求f（x）的表达式；
（Ⅱ）判断并证明函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性．
19．已知函数f（x）的定义域为[﹣2，2]，若对于任意的x，y∈[﹣2，2]，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，有f（x）＞0
（1）证明：f（x）为奇函数；
（2）若f（1）=3求f（x）在[﹣2，2]上的值域．
20．设定义域为R的函数（a，b为实数）．
（1）若f（x）是奇函数，求a，b的值；
（2）当f（x）是奇函数时，证明对任何实数x，c都有f（x）＜c2﹣3c+3成立．
21．据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v（km/h）与时间t（h）的函数图象如图所示，过线段OC上一点T（t，0）作横轴的垂线l，梯形OABC 在直线l左侧部分的面积即为t（h）内沙尘暴所经过的路程s（km）．
（1）当t=4时，求s的值；
（2）将s随t变化的规律用数学关系式表示出来．
22．已知a＞0且a≠1，函数f（x）=log a．
（1）求f（x）的定义域D及其零点；
（2）设g（x）=mx2﹣2mx+3，当a＞1时，若对任意x1∈（﹣∞，﹣1]，存在x2∈[3，4]，使得f（x1）≤g（x2），求实数m的取值范围．
2016-2017学年山东省淄博市高青一中高一（上）期中数
学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．已知集合U={1，3，5，7，9}，A={1，5，7}，则∁U A=（）
A．{1，3}B．{3，7，9}C．{3，5，9}D．{3，9}
【考点】补集及其运算．
【分析】从U中去掉A中的元素就可．
【解答】解：从全集U中，去掉1，5，7，剩下的元素构成C U A．
故选D．
2．下列各组函数是同一函数的是（）
A．y=﹣2 B．y=
C．D．
【考点】判断两个函数是否为同一函数．
【分析】根据函数的定义域相同，对应关系也相同的两个函数是同一函数，对每一个选项进行判断即可．
【解答】解：对于A，y==1﹣，y=﹣2，它们的对应关系不同，∴不是同
一函数；
对于B，y=•=（x≥1），y=（x≥1，或x≤﹣1），它们的定义
域不同，∴不是同一函数；
对于C，y=x（x∈R），y==x（x∈R），它们的定义域相同，对应关系也相同，∴是同
一函数；
对于D，y=|x|（x∈R），y=（x≥0），它们的定义域不同，∴不是同一函数．
故答案为：C．
3．函数y=ln（1﹣x）的定义域为（）
A．（0，1）B．[0，1）C．（0，1]D．[0，1]
【考点】函数的定义域及其求法．
【分析】由函数的解析式可直接得到不等式组，解出其解集即为所求的定义域，
从而选出正确选项
【解答】解：由题意，自变量满足，解得0≤x＜1，即函数y=的定
义域为[0，1）
故选B
4．若函数f（x）=，则f（2）的值为（）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】函数的值．
【分析】利用函数在不同的定义域内满足的函数关系式求出函数的值．
【解答】解：已知函数f（x）=
①当x=2时，函数f（2）=f（2+2）=f（4）
②当x=4时，函数f（4）=f（4+2）=f（6）
③当x=6时，函数f（6）=6﹣3=3
故选：B
5．函数f（x）=﹣x2+2（a﹣1）x+2在（﹣∞，4）上是增函数，则a的范围是（）A．a≥5 B．a≥3 C．a≤3 D．a≤﹣5
【考点】函数单调性的性质．
【分析】先将函数f（x）=﹣x2+2（a﹣1）x+2转化为：y=﹣（x﹣a+1）2﹣2a+3+a2明确其对称轴，再由函数在（﹣∞，4）上单调递增，则对称轴在区间的右侧求解．
【解答】解：函数f（x）=﹣x2+2（a﹣1）x+2
∴其对称轴为：x=a﹣1
又∵函数在（﹣∞，4）上单调递增
∴a﹣1≥4即a≥5
故选A
6．若102x=25，则10﹣x等于（）
A．B． C．D．
【考点】有理数指数幂的运算性质．
【分析】通过有理指数幂的运算，102x=25求出10x=5，然后再求10﹣x的值．
【解答】解：102x=25可得10x=5，
所以10﹣x=
故选A．
7．如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟漏完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则H 与下落时间t（分）的函数关系表示的图象只可能是（）
A．B．C．D．
【考点】函数的图象．
【分析】利用特殊值法，圆柱液面上升速度是常量，表示圆锥漏斗中液体单位时间内落下的
体积相同，当时间取1.5分钟时，液面下降高度与漏斗高度的比较．
【解答】解：由于所给的圆锥形漏斗上口大于下口，
当时间取t时，漏斗中液面下落的高度不会达到漏斗高度的，
对比四个选项的图象可得结果．
故选A．
8．设函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（）A．f（x）+|g（x）|是偶函数B．f（x）﹣|g（x）|是奇函数
C．|f（x）|+g（x）是偶函数D．|f（x）|﹣g（x）是奇函数
【考点】函数奇偶性的判断．
【分析】由设函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，我们易得到|f（x）|、|g（x）|也为偶函数，进而根据奇+奇=奇，偶+偶=偶，逐一对四个结论进行判断，即可得到答案．
【解答】解：∵函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，
则|g（x）|也为偶函数，
则f（x）+|g（x）|是偶函数，故A满足条件；
f（x）﹣|g（x）|是偶函数，故B不满足条件；
|f（x）|也为偶函数，
则|f（x）|+g（x）与|f（x）|﹣g（x）的奇偶性均不能确定
故选A
9．若f（x）满足关系式f（x）+2（）=3x，则f（2）的值为（）
A．1 B．﹣1 C．﹣D．
【考点】函数的值．
【分析】分别令x=2和代入f（x）+2f（）=3x，列出方程联立方程后即可求出f（2）的值．
【解答】解：由题意得，f（x）+2f（）=3x，
令x=2得，f（2）+2f（）=6，①
令x=得，f（）+2f（2）=，②，
联立①②，解得f（2）=﹣1，
故选：B．
10．f（x）=是定义在（﹣∞，+∞）上是减函数，则a的取值范围是（）
A．[，）B．[0，]C．（0，）D．（﹣∞，]
【考点】函数单调性的性质．
【分析】由题意可得3a﹣1＜0、﹣a＜0、且﹣a≤3a﹣1+4a，解由这几个不等式组成的不等式组，求得a的范围．
【解答】解：由题意可得，求得≤a＜，
故选：A．
11．f（x）满足对任意的实数a，b都有f（a+b）=f（a）•f（b），且f（1）=2，则
=（）
A．1006 B．2016 C．2013 D．1008
【考点】函数的值．
【分析】在f（a+b）=f（a）•f（b）中令b=1得，f（a+1）=f（a）•f（1），变形为=f
（1）=2．以此可以答案可求．
【解答】解：∵f（x）满足对任意的实数a，b都有f（a+b）=f（a）•f（b），∴令b=1得，f
（a+1）=f（a）•f（1），∴=f（1）=2．
∴=2（共有1008项），
=1008×2=2016．
故选：B．
12．已知函数y=x2+2x在闭区间[a，b]上的值域为[﹣1，3]，则满足题意的有序实数对（a，b）在坐标平面内所对应点组成图形为（）
A．B． C．
D．
【考点】二次函数的性质；函数的值域．
【分析】由二次函数的图象和性质，我们易构造出满足条件函数y=x2+2x在闭区间[a，b]上的值域为[﹣1，3]的不等式组，画出函数的图象后与答案进行比照，即可得到答案．【解答】解：∵函数y=x2+2x的图象为开口方向朝上，以x=﹣1为对称轴的抛物线
当x=﹣1时，函数取最小时﹣1
若y=x2+2x=3，则x=﹣3，或x=1
而函数y=x2+2x在闭区间[a，b]上的值域为[﹣1，3]，
则或
则有序实数对（a，b）在坐标平面内所对应点组成图形为
故选C
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知集合M={0，x}，N={1，2}，若M∩N={1}，则M∪N={0，1，2} ．
【考点】并集及其运算；交集及其运算．
【分析】由M，N，以及两集合的交集确定出x的值，进而确定出M，求出M与N的并集即可．
【解答】解：∵M={0，x}，N={1，2}，且M∩N={1}，
∴x=1，即M={0，1}，
则M∪N={0，1，2}，
故答案为：{0，1，2}
14．若函数f（x）=是奇函数，则a+b=1．
【考点】函数奇偶性的性质．
【分析】由题意，a=f（0）=0，f（﹣1）=﹣f（1），求出a，b，即可得出结论．
【解答】解：由题意，a=f（0）=0．
f（﹣1）=﹣f（1），∴﹣1+b=﹣（1﹣1），∴b=1，
∴a+b=1．
故答案为：1．
15．已知函数f（x）=x2+4mx+n在区间[2，6]上是减函数，求实数m的取值范围（﹣∞，﹣3] ．
【考点】二次函数的性质．
【分析】根据二次函数的对称轴与单调性的关系判断出[2，6]在对称轴左侧，列出不等式即可解出m的范围．
【解答】解：f（x）=x2+4mx+n=（x+2m）2+n﹣4m2．
∴f（x）的图象开口向上，对称轴为x=﹣2m，
∴f（x）在（﹣∞，﹣2m]上单调递减，在[2m，+∞）上单调递增，
∵f（x）在区间[2，6]上是减函数，
∴6≤﹣2m，解的m≤﹣3．
故答案为（﹣∞，﹣3]．
16．如果函数f（x）=是奇函数，则a=2．
【考点】函数奇偶性的判断．
【分析】由奇函数的定义可得，f（﹣x）+f（x）=0，再化简整理，即可得到a．
【解答】解：函数f（x）=是奇函数，
则f（﹣x）+f（x）=0，
即有+=0，
则=0，
化简得到，=0，
即=1，
故a=2．
故答案为：2
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知函数．
（1）在如图给定的直角坐标系内画出f（x）的图象；（直接画图，不需列表）
（2）写出f（x）的单调递增区间及值域．
【考点】函数图象的作法；函数的值域；函数单调性的判断与证明．
【分析】（1）利用函数的解析式直接求出函数的图象；
（2）通过函数的图象直接写出函数的单调区间以及函数的值域．
【解答】解：（1）图象如下图所示；…
（2）由图可知f（x）的单调递增区间[﹣1，0]，[2，5]， (8)
值域为[﹣1，3]；…
18．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，．
（Ⅰ）求f（x）的表达式；
（Ⅱ）判断并证明函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性．
【考点】函数单调性的判断与证明；函数解析式的求解及常用方法．
【分析】（Ⅰ）易得f（0）=0，令x＞0，则﹣x＜0，代入已知结合函数的奇偶性可得解析式；
（Ⅱ）函数f（x）在区间（0，+∞）上是减函数，可用定义法证明．
【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）是奇函数，
∴对定义域R内任意的x，都有f（﹣x）=﹣f（x）﹣﹣
令x=0得，f（0）=﹣f（0），即f（0）=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
又当x＞0时，﹣x＜0，此时﹣﹣﹣
综合可得：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（Ⅱ）函数f（x）在区间（0，+∞）上是减函数，下面给予证明．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
设0＜x1＜x2，则
=﹣﹣﹣﹣﹣
∵0＜x1＜x2，
∴，
∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）﹣﹣﹣
故函数f（x）在区间（0，+∞）上是减函数．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
19．已知函数f（x）的定义域为[﹣2，2]，若对于任意的x，y∈[﹣2，2]，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，有f（x）＞0
（1）证明：f（x）为奇函数；
（2）若f（1）=3求f（x）在[﹣2，2]上的值域．
【考点】抽象函数及其应用．
【分析】（I）令x=y=0，可得f（0）=0，再令y=﹣x，代入即可判断出奇偶性．
（Ⅱ）f（x）在[﹣2，2]上为单调递增函数．利用奇偶性与单调性的定义及其当x＞0时，有f（x）＞0，即可证明．
【解答】解：（Ⅰ）令x=y=0，∴f（0）=0，
令y=﹣x，∴f（x）+f（﹣x）=f（0）=0，∴f（﹣x）=﹣f（x）．
故f（x）为奇函数．
（Ⅱ）f（x）在[﹣2，2]上为单调递增函数．下面给出证明：
任取﹣2≤x1＜x2≤2，∴x2﹣x1＞0，∴f（x2﹣x1）＞0，
∵f（x）在[﹣2，2]上的奇函数，
∴f（x2）﹣f（x1）=f（x2）+f（﹣x1）=f（x2﹣x1）＞0，
∴f（x2）＞f（x1），
∴f（x）在[﹣2，2]上为单调递增函数．值域为[﹣6，6]
20．设定义域为R的函数（a，b为实数）．
（1）若f（x）是奇函数，求a，b的值；
（2）当f（x）是奇函数时，证明对任何实数x，c都有f（x）＜c2﹣3c+3成立．
【考点】函数奇偶性的性质；函数的最值及其几何意义．
【分析】（1）利用函数是奇函数，得到f（0）=0，从而建立方程可解a，b．
（2）利用函数的奇偶性和指数函数的单调性，求出f（x）的最大值，和函数y=c2﹣3c+3最小值之间的关系，进行证明即可．
【解答】解：（1）∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（0）=0，
即=0，
∴a=1，
∴，
∵f（1）=﹣f（﹣1），
∴，
∴b=2．
（2）f（x）===﹣+，
∵2x＞0，
∴2x+1＞1，0＜＜1，
从而﹣＜f（x）＜；
而c2﹣3c+3=（c﹣）2+≥对任何实数c成立，
∴对任何实数x、c都有f（x）＜c2﹣3c+3成立．
21．据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v（km/h）与时间t（h）的函数图象如图所示，过线段OC上一点T（t，0）作横轴的垂线l，梯形OABC 在直线l左侧部分的面积即为t（h）内沙尘暴所经过的路程s（km）．
（1）当t=4时，求s的值；
（2）将s随t变化的规律用数学关系式表示出来．
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【分析】（1）先求速度，再求s的值；
（2）根据图象可知，函数为分段函数，从而可得函数表达式．
【解答】解：（1）由图象可知：当t=4时，v=3×4=12，
∴s=×4×12=24．
（2）当0≤t≤10时，s=•t•3t=t2，
当10＜t≤20时，s=×10×30+30（t﹣10）=30t﹣150；
当20＜t≤35时，s=×10×30+10×30+（t﹣20）×30﹣×（t﹣20）×2（t﹣20）=﹣t2+70t
﹣550．
综上，可知s=
22．已知a＞0且a≠1，函数f（x）=log a．
（1）求f（x）的定义域D及其零点；
（2）设g（x）=mx2﹣2mx+3，当a＞1时，若对任意x1∈（﹣∞，﹣1]，存在x2∈[3，4]，使得f（x1）≤g（x2），求实数m的取值范围．
【考点】对数函数的图象与性质．
【分析】（1）根据对数函数的性质求出函数的定义域即可，令f（x）=0，求出函数的零点即可；
（2）要满足题意只需f（x）max≤g（x）max，易得f（x）max=f（﹣1）=0，由二次函数分类讨论可得g（x）max，解关于m的不等式可得．
【解答】解：（1）由题意知，＞0，1﹣x＞0，解得x＜1，
所以函数f（x）的定义域为：（﹣∞，1），
令f（x）=0，得=1，解得：x=﹣1，
故函数f（x）的零点为﹣1；
（2）若对于任意x1∈（﹣∞，﹣1]，存在x2∈[3，4]，使得f（x1）≤g（x2）成立，
只需f（x）max≤g（x）max，
当a＞1时，f（x）在（﹣∞，1]上单调递增，则f（x）max=f（﹣1）=0，
当m=0时，g（x）=3，f（x1）≤g（x2）成立，
当m＞0时，g（x）在[3，4]上单调递增，g（x）max=g（4）=8m+3，
由8m+3≥0，解得：m≥﹣，∴m＞0，
当m＜0时，g（x）在[3，4]上单调递减，g（x）max=g（3）=3m+3，
由3m+3≥0，解得：m≥﹣1，∴﹣1≤m＜0，
综上，满足条件的m的范围是：m≥﹣1．
2016年12月10日。