离散数学谓词逻辑教程
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离散数学第2章 谓词逻辑
命题“凡人要死。”符号化为：(x)F (x) ⑵ 令G(x)：x是研究生。 命题“有的人是研究生。”符号化为：(x)G(x)
在命题函数前加上量词(x)和(x)分别叫做个体变元x 被全称量化和存在量化。一般地说，命题函数不是命题， 如果对命题函数中所有命题变元进行全称量化或存在量化， 该函数就变成了命题。这一结论在例2.3中得到验证。
为假。 ⑵ 如果5大于3，则2大于6。 解：设G(x,y)： x大于y a：5，b：3，c：2，d：6 该命题符号化为：G(a,b)→G(c,d) G(a,b)表示5大于3，它是真命题。G(c,d)表示2大于6，
ห้องสมุดไป่ตู้这是个假命题。所以G(a,b)→G(c,d)为假。
(3) 2 是无理数, 而 3 是有理数 解 ：设F(x): x是无理数, G(x): x是有理数 符号化为 F( 2) G( 3) 真值为 0 (4) 如果2>3，则3<4 解：设 F(x,y): x>y, G(x,y): x<y, 符号化为 F(2,3)G(3,4) 真值为1
谓词：刻划个体性质或个体之间相互关系的模式叫做谓词。谓 词常用大写英文字母表示，叫做谓词标识符。
例如可以用F，G，H表示上面三个命题中谓词： F：„是优秀共产党员。 G：„比„高。 H：„坐在„和„的中间。
第2章 谓词逻辑
一元谓词：与一个个体相关联的谓词。如上例中的F。 二元谓词：与两个个体相关联的谓词。如上例中的G。 三元谓词：与三个个体相关联的谓词。如上例中的H。
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第2章 谓词逻辑
课外作业
• 教材P59-60页: 练习题（需要做在练习本上） （1） （2） a)、c) 、d)、e)、 f)、i)、k)、l)
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在命题函数前加上量词(x)和(x)分别叫做个体变元x 被全称量化和存在量化。一般地说，命题函数不是命题， 如果对命题函数中所有命题变元进行全称量化或存在量化， 该函数就变成了命题。这一结论在例2.3中得到验证。
为假。 ⑵ 如果5大于3，则2大于6。 解：设G(x,y)： x大于y a：5，b：3，c：2，d：6 该命题符号化为：G(a,b)→G(c,d) G(a,b)表示5大于3，它是真命题。G(c,d)表示2大于6，
ห้องสมุดไป่ตู้这是个假命题。所以G(a,b)→G(c,d)为假。
(3) 2 是无理数, 而 3 是有理数 解 ：设F(x): x是无理数, G(x): x是有理数 符号化为 F( 2) G( 3) 真值为 0 (4) 如果2>3，则3<4 解：设 F(x,y): x>y, G(x,y): x<y, 符号化为 F(2,3)G(3,4) 真值为1
谓词：刻划个体性质或个体之间相互关系的模式叫做谓词。谓 词常用大写英文字母表示，叫做谓词标识符。
例如可以用F，G，H表示上面三个命题中谓词： F：„是优秀共产党员。 G：„比„高。 H：„坐在„和„的中间。
第2章 谓词逻辑
一元谓词：与一个个体相关联的谓词。如上例中的F。 二元谓词：与两个个体相关联的谓词。如上例中的G。 三元谓词：与三个个体相关联的谓词。如上例中的H。
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第2章 谓词逻辑
课外作业
• 教材P59-60页: 练习题（需要做在练习本上） （1） （2） a)、c) 、d)、e)、 f)、i)、k)、l)
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左孝凌离散数学课件第02章谓词逻辑
15
第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.2命题函数与量词(Propositional functions & Quantifiers)
例如: H(x,y)∧H(y ,z)H(x,z)
若H(x,y)解释为: x大于y,当x,y,z都在实数中取值时,则这个 式子表示“若x大于y 且y 大于z，则x大于z” 。这是一个永 真式。
其中(1)、(2)、 (3)为一元谓词， (4) 、 (6)为二元谓词，
第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.1谓词的概念与表示(Predicate and Its Expression)
注: (1)单独一个谓词并不是命题，在谓词字母后 填上客体所得到的式子称之为谓词填式。 (2)在谓词填式中，若客体确定，则A(a1， a2...an)就变成了命题 (3)在多元谓词表达式中，客体字母出现的先 后次序与事先约定有关,一般不可以随意交换 位置(如,上例中H(s,t) 与H(t, s)代表两个不同 的命题) 。
离散数学(Discrete Mathematics)
9
第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.1谓词的概念与表示 2.2命题函数与量词 2.3谓词公式与翻译 2.4变元的约束 2.5谓词演算的等价式与蕴含式 2.6前束范式 2.7谓词演算的推理理论
第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
17
第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.2命题函数与量词(Propoቤተ መጻሕፍቲ ባይዱitional functions & Quantifiers)
2.2.2 量词(Quantifiers)
《离散数学课件》谓词逻辑
A(a, H(b)) →F(a,b)
非一阶谓词 26/44
例3 符号化：我送他这本书。
解：令 A(e1，e2，e3)表示“e1送e3给e2”； B(e)表示“e为书”； a表示“我”； b表示“他”； c表示“这”；
则原句译为： A(a，b，c) B(c)
27/44
例4 符号化：这只大红书柜摆满了那些古书。
32/66
例 计算机学院的有些老师是青年教师
解： 设 C(e)表示e为计算机学院的人； T(e)表示e为教师; Y(e)表示e为青年.
则原句译为：
x(C(x)T(x) Y(x))
此例中：x就取值于全总个体域U， 谓词C(x)限定x取值范围。
33/66
例 个体域I为人类集合,将下列命题符号化:
(1) 凡人都呼吸。 (2) 有的人用左手写字。
21/44
一元谓词变元
A(x)
其中x为变量符号项、A为谓词变元。 此式表示x具有性质A。 注意：x，A分别在两个域上变化。
22/44
二元谓词变元
A(x，y)
其中x, y为变量符号项、A为谓词变元。 此式表示x和y具有关系A。 注意：x，y，A分别在三个域上变化。
23/44
二、谓词语句的符号化
例1 将命题符号化 要求：先将它们在命题逻辑中符号化，再在一阶
1A(e)如下图所示: e A1 A2 a TF
2 谓词数目：
14/44
个体域{a，b}上的一元谓词
A(e)如下图所示: e A1 A2 A3 A4 a TFTF b TTFF
22
谓词数目：
15/44
个体域{a，b，c}上的一元谓词
A(e)如下图所示:
e A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8
计算机科学与技术 离散数学 第3章 谓词逻辑
10
例 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 人都爱美; (2) 有人用左手写字 分别取(a) D为人类集合，(b) D为全总个体域。
解：(a) (1) 设G(x): x爱美，符号化为 x G(x) (2) 设G(x): x用左手写字，符号化为 x G(x)
(b) 设F(x): x为人，G(x): 同(a)中
如 F(x,y)：x与y有关系F P(x,y,z)：xy<z；…
0元谓词：不含个体变项的谓词 如 L(a,b)，0元谓词常项都是命题
注：单独的个体或谓词不能构成命题。
5
例 ①“苏格拉底是人”
个体a“苏格拉底”，谓词F“是人” F(x)，x=a
②“北京是中国的首都”
个体a“北京”、b“中国” 谓词F“…是…的首都”
及相应的指导变项，替换成公式中没有出现过的个体 变项符号，其余部分不变，所得公式与原来的公式等值。 3.代替规则：
将公式中某个自由出现的个体变项的所有出现用 公式中未出现过的个体变项符号代替，其余部分不变， 所得公式与原来的公式等值。
18
例 将xF ( x, y, z) yG( x, y, z) 化成与之等值的公式， 使其没有既是约束出现又是自由出现的个体变项。
解：个体变项x,y,z中，x,y都是既约束出现又自由出现 的个体变项，只有z仅自由出现。 原式 tF (t, y, z) yG( x, y, z) (换名规则) tF (t, y, z) wG( x, w, z) (换名规则)
还可以如下演算，也可以达到要求。 原式 xF ( x,t, z) yG( x, y, z) (代替规则)
(3) x F(f (x,y),g(x,z)) x(x+1=2x) (真命题)
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例 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 人都爱美; (2) 有人用左手写字 分别取(a) D为人类集合，(b) D为全总个体域。
解：(a) (1) 设G(x): x爱美，符号化为 x G(x) (2) 设G(x): x用左手写字，符号化为 x G(x)
(b) 设F(x): x为人，G(x): 同(a)中
如 F(x,y)：x与y有关系F P(x,y,z)：xy<z；…
0元谓词：不含个体变项的谓词 如 L(a,b)，0元谓词常项都是命题
注：单独的个体或谓词不能构成命题。
5
例 ①“苏格拉底是人”
个体a“苏格拉底”，谓词F“是人” F(x)，x=a
②“北京是中国的首都”
个体a“北京”、b“中国” 谓词F“…是…的首都”
及相应的指导变项，替换成公式中没有出现过的个体 变项符号，其余部分不变，所得公式与原来的公式等值。 3.代替规则：
将公式中某个自由出现的个体变项的所有出现用 公式中未出现过的个体变项符号代替，其余部分不变， 所得公式与原来的公式等值。
18
例 将xF ( x, y, z) yG( x, y, z) 化成与之等值的公式， 使其没有既是约束出现又是自由出现的个体变项。
解：个体变项x,y,z中，x,y都是既约束出现又自由出现 的个体变项，只有z仅自由出现。 原式 tF (t, y, z) yG( x, y, z) (换名规则) tF (t, y, z) wG( x, w, z) (换名规则)
还可以如下演算，也可以达到要求。 原式 xF ( x,t, z) yG( x, y, z) (代替规则)
(3) x F(f (x,y),g(x,z)) x(x+1=2x) (真命题)
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离散数学第2章 谓词逻辑
例4：某些人对某些食物过敏。 设F(x,y)：x对y过敏。 M(x)：x是人。 G(y)：y是食物。 (x) (y) (M(x) ∧ G(y) ∧ F(x,y))
33
§3 谓词公式与翻译
例5：凡是实数不是大于0，就是等于0或者小于0。 设R(x)：x是实数。 P(x,0)：x大于0。 Q(x,0)：x等于0。 S(x,0)：x小于0。 (x) (R(x) → ( P(x,0) Q(x,0) S(x,0) ) )
例：所有的人都是会死的。
设M(x)：x是人。S(x)：x是会死的。
个体域约定为{人类}：(x) (S(x))
全总个体域：
(x) ( M(x) → S(x) )
例：有一些人是不怕死的。
设M(x)：x是人。F(x)：x是不怕死的。
个体域约定为{人类}：(x) (F(x))
全总个体域：
(x) ( M(x) ∧ F(x) )
定义：在反映判断的句子中，用以刻划客体的性质或 关系的即是谓词。
5
§1 谓词的概念与表示法
客体，是指可以独立存在的事物，它可以是具体 的，也可以是抽象的，如张明，计算机，精神等。
表示特定的个体，称为客体常元，以a，b，c… 或带下标的ai，bi，ci…表示；
表示不确定的个体，称为客体变元，以x，y， z…或xi，yi，zi…表示。
4. 谓词中通常只写客体变元，因此不是命题，仅当 所有客体变元做出具体指定时，谓词才成为命题， 才有真值。
12
第二章 谓词逻辑
§1 谓词的概念与表示法 §2 命题函数与量词 §3 谓词公式与翻译 §4 变元的约束 §5 谓词演算的等价式与蕴含式 §6 前束范式 §7 谓词演算的推理理论
13
§2 命题函数与量词
33
§3 谓词公式与翻译
例5：凡是实数不是大于0，就是等于0或者小于0。 设R(x)：x是实数。 P(x,0)：x大于0。 Q(x,0)：x等于0。 S(x,0)：x小于0。 (x) (R(x) → ( P(x,0) Q(x,0) S(x,0) ) )
例：所有的人都是会死的。
设M(x)：x是人。S(x)：x是会死的。
个体域约定为{人类}：(x) (S(x))
全总个体域：
(x) ( M(x) → S(x) )
例：有一些人是不怕死的。
设M(x)：x是人。F(x)：x是不怕死的。
个体域约定为{人类}：(x) (F(x))
全总个体域：
(x) ( M(x) ∧ F(x) )
定义：在反映判断的句子中，用以刻划客体的性质或 关系的即是谓词。
5
§1 谓词的概念与表示法
客体，是指可以独立存在的事物，它可以是具体 的，也可以是抽象的，如张明，计算机，精神等。
表示特定的个体，称为客体常元，以a，b，c… 或带下标的ai，bi，ci…表示；
表示不确定的个体，称为客体变元，以x，y， z…或xi，yi，zi…表示。
4. 谓词中通常只写客体变元，因此不是命题，仅当 所有客体变元做出具体指定时，谓词才成为命题， 才有真值。
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第二章 谓词逻辑
§1 谓词的概念与表示法 §2 命题函数与量词 §3 谓词公式与翻译 §4 变元的约束 §5 谓词演算的等价式与蕴含式 §6 前束范式 §7 谓词演算的推理理论
13
§2 命题函数与量词
《离散数学》第2章 谓词逻辑PPT课件
xy 1且 x y0，该命题真值为 0．
第二节 一阶逻辑合式公式及解释
内容： 合式公式，解释，逻辑有效式，矛盾式，可满足式。 重点： (1) 掌握合式公式的概念，
(2) 掌握量词的辖域，约束变项，自由变项的概念，
(3) 掌握逻辑有效式，矛盾式，可满足式的概念。
一般： (1) 换名规则，代替规则， (2) 解释的概念， (3) 代换实例。
若用 p, q, r 分别表示以上3个命题， 推理形式为 (pq)r ，不是重言式。
二、个体词，谓词，量词。 1、个体词，谓词 。 例如：陈景润是数学家．。 2 是无理数。 小王比小李高2厘米 。 (1) 个体词——简单命题中表示主体或客体的词 (由名词组成)。
个体常项 用 a,b, c 表示 个体词
三、命题符号化。 例1、在一阶逻辑中将下面命题符号化。
(1) 所有的有理数均可表成分数。 解：因无指定个体域，则以全总个体域为个体域。
Q ( x ) ：x 为有理数， F ( x ) ：x 可表成分数，
xQ(x)F(x)
(2) 有的有理数是整数。
解： Q ( x ) ：x 为有理数，Z ( x ) ：x 为整数，
h ( x ,y ) x y ,f a ,g ( x ,y ) a ( 2 x y 1 )
例3 设个体域为实数集，令 I(x) : x是整数． Q(x): x是有理数． A(x,y):xy1． B(x,y):xy0．
试用日常语言叙述下列命题，并指出其真值．
（1）xyA (x,y) （2）yxA (x,y) （3） x y(A (x,y) B (x,y)) （4） x y(A (x ,y) B (x ,y))
命题符号化的形式可能不一样， (2) 一般，除非有特别说明，
第二节 一阶逻辑合式公式及解释
内容： 合式公式，解释，逻辑有效式，矛盾式，可满足式。 重点： (1) 掌握合式公式的概念，
(2) 掌握量词的辖域，约束变项，自由变项的概念，
(3) 掌握逻辑有效式，矛盾式，可满足式的概念。
一般： (1) 换名规则，代替规则， (2) 解释的概念， (3) 代换实例。
若用 p, q, r 分别表示以上3个命题， 推理形式为 (pq)r ，不是重言式。
二、个体词，谓词，量词。 1、个体词，谓词 。 例如：陈景润是数学家．。 2 是无理数。 小王比小李高2厘米 。 (1) 个体词——简单命题中表示主体或客体的词 (由名词组成)。
个体常项 用 a,b, c 表示 个体词
三、命题符号化。 例1、在一阶逻辑中将下面命题符号化。
(1) 所有的有理数均可表成分数。 解：因无指定个体域，则以全总个体域为个体域。
Q ( x ) ：x 为有理数， F ( x ) ：x 可表成分数，
xQ(x)F(x)
(2) 有的有理数是整数。
解： Q ( x ) ：x 为有理数，Z ( x ) ：x 为整数，
h ( x ,y ) x y ,f a ,g ( x ,y ) a ( 2 x y 1 )
例3 设个体域为实数集，令 I(x) : x是整数． Q(x): x是有理数． A(x,y):xy1． B(x,y):xy0．
试用日常语言叙述下列命题，并指出其真值．
（1）xyA (x,y) （2）yxA (x,y) （3） x y(A (x,y) B (x,y)) （4） x y(A (x ,y) B (x ,y))
命题符号化的形式可能不一样， (2) 一般，除非有特别说明，
离散数学 第7章 谓词逻辑
[2000年1月化简解答题12] 通过等值演算说明下列等值式成立： (x)(P( x) Q( x)) (x) P( x) (x)Q( x) 解： x))(P( x) Q( x)) (x)P( x) (x)Q( x) (x) P( x) (x)Q( x) (x) P( x) (x)Q( x)
(x) A( x) A(a1 ) A(a2 ) A(an ) (x) A( x) A(a1 ) A(a2 ) A(an )
[2001年1月填空题6] 设个体域 D {a, b, c} ,公式 (x) F ( x) (y)G( y) 消
去量词可化为 ( F (a) F (b) F (c)) (G(a) G(b) G(c))。 [2003年1月填空题8] 设个体域D＝{1,2},那么谓词公式 xA( x) yB ( y ) 消去量词后的等值式 A(1) A(2) ( B(1) B(2)) 。 [2005年1月填空题7] 设个体域 D {a, b} ，公式x(G( x) yH ( x, y))
7.3 谓词公式的翻译与解释
一、谓词公式
1。原子公式 若P( x1 , x2 ,, xn ) 是n元函数，x1 , x2 ,, xn 是个体 变元，则 P( x1 , x2 ,, xn ) 是原子命题公式。 2。合式公式 ⑴原子公式是合式公式， ⑵若A、B是合式公式，则 (A), ( A B), ( A B) ( A B), ( A B) 也是合式公式， ⑶若A是合式公式，x是A中出现的变元，则 (x) A, (x) A也是合式公式， ⑷有限次地使用⑴⑵⑶构成的公式是合式公式。
二、换名规则和代入规则 在同一个合式公式中，一个变元既可能约束出现， 又可能自由出现。为避免混淆，可采用换名的办法 使约束情况更加清楚。 1。换名规则——对约束变元换名 把公式中量词的指导变元及其辖域中的该变元换 成公式中没有出现的新变元，其它部分不变。 2。代入规则——对自由变元换名 把公式中的自由变元，用公式中没有出现的新变 元替代，并且处处替代。 公式经换名和代入后，公式的意义不应当改变。
L4谓词逻辑1 离散数学
L4谓词逻辑1 离散数学
为什么需要谓词逻辑?
• 可描述更丰富的推理形式.
– 例如下面这个推理用命题逻辑无法描述.
人皆有死.
a
苏格拉底是人. b
苏格拉底会死. c
– 用谓词逻辑可以很好地描述.
• 我们介绍的是一阶谓词逻辑(FOL),它基本
上覆盖了人们在数学和日常生活中用到
的推理.
L4谓词逻辑1 离散数学
注:公式的真假依赖于论域.
L4谓词逻辑1 离散数学
23
例:自然语句形式表示(续)
(4)设论域是自然数集:令Eq(x,y)表示=,s(x)表 示x的后继x+1,p(x)表示x的前驱x-1.
i.对每个数,有且仅有一个后继
(x)(y)(Eq(y,s(x)) (z)(Eq(z,s(x)) Eq(y,z)))
• 谓词逻辑(predicate logic):深入到简单命题的内 部进行更精细的分析,即其主谓结构.
– 例如用谓词Man(x)表示“x是人”,则上述命题a和b 可表示为Man(Plato)和Man(Aristotle).这样能看出两 命题有联系.
L4谓词逻辑1 离散数学
对命题的进一步分析
• 日常语言的陈述句包含主语和谓语.
Lu4谓Ch词ao逻ju辑n, 1SJ离TU散数学
14
主要内容
✓谓词与量词 • 谓词公式 • 等值演算 • 范式 • 谓词逻辑推理 • 归结法推理
Lu4谓Ch词ao逻ju辑n, 1SJ离TU散数学
一阶谓词逻辑
• 一阶(first-order)谓词 逻辑:量词仅作用于 个体变元.
– 简称一阶逻辑,记作
L4谓词逻辑1 离散数学
谓词的变目个数
• 用一元谓词描述个体的属性.
为什么需要谓词逻辑?
• 可描述更丰富的推理形式.
– 例如下面这个推理用命题逻辑无法描述.
人皆有死.
a
苏格拉底是人. b
苏格拉底会死. c
– 用谓词逻辑可以很好地描述.
• 我们介绍的是一阶谓词逻辑(FOL),它基本
上覆盖了人们在数学和日常生活中用到
的推理.
L4谓词逻辑1 离散数学
注:公式的真假依赖于论域.
L4谓词逻辑1 离散数学
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例:自然语句形式表示(续)
(4)设论域是自然数集:令Eq(x,y)表示=,s(x)表 示x的后继x+1,p(x)表示x的前驱x-1.
i.对每个数,有且仅有一个后继
(x)(y)(Eq(y,s(x)) (z)(Eq(z,s(x)) Eq(y,z)))
• 谓词逻辑(predicate logic):深入到简单命题的内 部进行更精细的分析,即其主谓结构.
– 例如用谓词Man(x)表示“x是人”,则上述命题a和b 可表示为Man(Plato)和Man(Aristotle).这样能看出两 命题有联系.
L4谓词逻辑1 离散数学
对命题的进一步分析
• 日常语言的陈述句包含主语和谓语.
Lu4谓Ch词ao逻ju辑n, 1SJ离TU散数学
14
主要内容
✓谓词与量词 • 谓词公式 • 等值演算 • 范式 • 谓词逻辑推理 • 归结法推理
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一阶谓词逻辑
• 一阶(first-order)谓词 逻辑:量词仅作用于 个体变元.
– 简称一阶逻辑,记作
L4谓词逻辑1 离散数学
谓词的变目个数
• 用一元谓词描述个体的属性.
离散件3-谓词逻辑
离散件3-谓词逻辑离散数学全部课件第二章谓词逻辑首先看看著名的“苏格拉底三段论式”:Everymanimortal.Socrateiaman.Socrateimortal.按命题形式化方法，可翻译为P,QR这个形式化结果无法利用命题逻辑推理证明。
离散数学全部课件又如某+y>6不是命题，但是对任何具体的实数某和y,它都有确定的真值。
命题逻辑的局限性离散数学全部课件第一节量词化逻辑一、谓词：描述客观对象的性质或客观对象之间关系的断语。
例：梨花是白的，桃花是红的。
小张长得比小刘更结实。
1。
谓词的形式化1)个体域：又叫论域，由客体构成的集合，可表示为={a1,a2,,an}。
离散数学全部课件2)客体：一般用某,y,z等表示客体变元，用a,b,c或具体的客体符号等表示客体常元。
3)谓词标识符：表达谓语的符号串，常用大写字母串表示，如A,B等表示。
4)谓词：由谓词标识符和客体等构成的符号串。
如A(a,某,f(某))离散数学全部课件例：令W(某):某是白的；p:梨花，则“梨花是白的”的谓词表示为：W(p)。
令H(某,y):某比y结实，a:小张，b:小刘，则“小张长得比小刘更结实”的谓词表示为：H(a,b)。
离散数学全部课件2。
注意事项：1)谓词中客体的位置不能随意交换。
一般，A(某,y)不等价于A(y,某)。
2)谓词的真值与论域相关。
例如用谓词A(某,0)表示某>0,在由正数构成的论域中，其值为真;而在由0或负数构成的论域中，其值为假。
3)一般情况下，使用全总个体域构造谓词，而用特性谓词来限制或说明客体。
4)谓词中客体变元的个数称为谓词的元数。
如H(某,y)是一个二元谓词。
A(某,y,z)是一个三元谓词。
把命题作为谓词的特殊形式，即0元谓词。
例如P,H(a,b)等等。
离散数学全部课件二、量词1。
全称量词：表达“任意的”、“一切的”等限定概念。
用符号“”表示。
常用法:(某)A(某)2。
存在量词：表达“存在”、“有”、“某个”等限定概念。
离散数学及应用 第3版 第2章 谓词逻辑
2.1个体词、谓词与量词
（3）∃x∀yP(x,y)，其中D = {1,2,3}，谓词P(x,y) : x = y 解：∃x∀yP(x,y)=∀yP(1,y)∨∀yP(2,y)∨∀yP(3,y)
=(P(1,1)∧P(1,2)∧P(1,3))∨(P(2,1)∧P(2,2)∧P(2,3)) ∨(P(3,1)∧P(3,2)∧P(3,3)) =(1∧0∧0)∨(0∧1∧0)∨(0∧0∧1) =0
2.1个体词、谓词与量词
存在量词: 表示存在, 有的, 至少有一个等 x 表示在个体域中存在x 设P (x)是以D为个体域的一元谓词， xP(x) = 0 :对任意的x ∈ D,P(x)取值0 xP(x) = 1 :存在a ∈ D,P(a)取值1
➢ 设D = {a1,···,an}是有限个体域， ∃xP(x) = P(a1)∨P(a2)∨···∨P(an)
所以，∃x∀yP(x,y)与∀y∃xP(x,y)值不相同。
2.1个体词、谓词与量词
例2.3 在谓词逻辑中将下列命题符号化 (1) 人人都爱美; (2) 有人用左手写字 分别取二个不同的个体域 (a) D为人类集合, (b) D为全总个体域 .
(a) (1) 设G(x): x爱美, 符号化为 x G(x) (2) 设T(x): x用左手写字, 符号化为 xT(x)
(b) 设F(x): x为人，G(x): x爱美 T(x): x用左手写字 (1) x (F(x)G(x)) (2) x (F(x)T(x))
这是两个基本公式, 注意它们的使用
2.1个体词、谓词与量词
例2.4 在谓词逻辑中将下列命题符号化
(1) 正数都大于负数
(2) 有的无理数大于有的有理数
注意: 题目中没给个体域, 使用全总个体域
离散数学第2章 谓词逻辑
2-2 命题函数与量词
这里有一些人，Exist x,用反写 — 存在变量词， 用于表示个体域中的某些客体 （1）（x）（N（x） P（x））
（2）（x）（M（x） R（x）） （3）（x）（M（x） E（x）） 全称量词与存在量词统称为量词，每个由量词确定的表达式， 都与个体域有关，如： （x）（M（x） H（x）） M（x）是用于限定H（x）中的个体域， M (x）称为特性谓词，限定客体变元变化范围的谓词 当限定范围为M（x）中时，可简写为：（x）（H（x）） 此命题对于论域为人类时，是正确的，而对于自然数则是FALSE， 因为我们是讨论带有量词的命题函数时，必须确定其个体域，把 特性谓词写出来。并且，为了方便，我们将所有命题函数的个体域 全都统一，使用全总个体域。对变化范围用特性谓词加以限制。 一般地，对全称量词，将特性谓词作为前提条件，命题通常写成 条件式，对存在量词，常将之作为合取项。
定义：H是n元谓词，a1,a2,a3……an是n个客体，H(a1,a2……an)所代 表的式子是一个命题，称为谓词填式。（当ai是客体时，A(a1…an) 才是命题。）
3 除了谓词，我们今后还要用到函数这一概念 例：老张是小张的父亲。 小张的父亲=老张
f:….的父亲； a:小张； b:老张； 则b=f(a)
所以 (x)(M (x) F(x))也就是(x)(M (x) F(x))
(5)肖阳的爸爸到北京去了。 “…到…去了”是谓词。F(x,y): x到y去了。a:肖阳, f(x):x的爸爸， b:北京 所以F(f(a),b) (6)谢世平和他的父亲及祖父三人一起去看演出。
F(x,y,z): x,y和z一起去看演出
H(1,c) H(c,1) :张三、李四一样高
例3：P(x): x是大学生 x的个体域：某大学中某班 P(x)永真 x的个体域：某中学中某班 P(x)永假 x的个体域：某剧场中观众 P(x)有真有假
离散数学第二章谓词逻辑23节
P(x) x∈ {老虎}
•Q(x)：x会说英语 •则有：每一个x，
（2）每一个大学生都会说英语； Q(x) x∈{大学生}
(x)Q(x) x∈{大学生} （3）所有的人都长着黑头发；
•R(x)：x长着黑头发 •则有：所有的x， R(x) x∈{人}
(x)R(x) x∈{人} （4）有一些人登上过月球；
(2) 如 果 A 、 B 是 合 式 公 式 ， 则 A 、 (A∧B) 、 (A∨B)、 (A→B)、(AB)都是合式公式。
(3)如果A是合式公式，x是客体变元， 则(x)Ａ和(x)A也是合式公式。
(4)只有有限次地按规则(1)-(3)求得的公式才是合式 公式。
谓词合式公式也叫谓词公式，简称公式。
河南工业大学离散数学课程组
谓词逻辑的翻译
把一个文字叙述的命题，用谓词公式表示出来，称为谓词逻 辑的翻译或符号化。符号化的步骤如下： (1)正确理解给定命题：
必要时把命题改叙，使每个原子命题及原子命题之间 的关系能明显表达出来。
(2)分析原子命题： 把每个原子命题分解成客体、谓词和量词，在全总论 域中讨论时，要给出特性谓词。 注意全称量词(x)后跟条件式，存在量词(x)后跟合 取式。 多个量词出现时，顺序不可随意调换。
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合式公式判断
下面都是合式公式： P、(P→Q)、(Q(x)∧P)、(x)(A(x)→B(x))、 (x)C(x)
而下面都不是合式公式： x(y)P(x) 、P(x)∧Q(x)(x)
为了方便，最外层括号可以省略，但是若量词后边 有括号，则此括号不能省。
注意：公式(x)(A(x)→B(x))中(x)后边的括号 不是最外层括号，所以不可以省略。
老虎集合 全总个体域
离散数学谓词逻辑
2021/4/14
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符号化:谓词F(x)表示是要死的。
当个体域为人类集合时,上述两命题可分别符号化为
① ∀ x F(x)
② ∃x F(x)。
(所有的人都是要死的。 有些人是要死的。)
引入新的谓词M(x),将人类分离出来。在全总个体域 下,以上两命题可分别叙述为：
∀ x(M(x)→F(x))
∃ x (M(x)∧F(x))
★从以上两命题的符号化可以看出,同一命题在不同个体域下符 号化的形式可能不同。
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这里,M(x)称为特性谓词。应该注意 的是,全称量词和存在量词符号化时,引入 特性谓词时的形式是不同的。
用全称量词 符号化时,特性谓词作为条 件式的前件；
用存在量词符号化时则作为合取式的一 项。
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定义2.3.2 谓词演算的合式公式定义如下： (1)原子公式是合式公式； (2)若A是合式公式,则(ㄱA)是合式公式； (3)若A、B是合式公式,则(A∧B)、(A∨B)、(A→B)、
(A↔B)是合式公式； (4)若A是合式公式,则(∀x) A、(∃x)A是合式公式； (5)只要有限次地应用(1)～(4)构成的符号串才是
蕴含式P∧Q→R不是重言式,虽然凭我们的直觉这 个论断正确,在内部逻辑中却无法证明。
谓词逻辑的任务就是对原子命题作进一步的分析, 研究其内部的逻辑结构,并在此基础上更深入地刻画 推理。
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2
2.1谓词的概念与表示
谓词逻辑：原子命题＝客体词＋谓词
命题所陈述的对象称为客体词。它可以是一个具体的事物,也 可以是一个抽象的概念。例如,李明、自然数、思想等都可
离散数学---谓词逻辑推理
证明: (1). (x(P(x)S(x)))
(2). (3). 西 华 (4). 大 (5). 学 (6). (7). (8). (9). (10). (11). (12). (13). (14). (15). (16).
P规则
(1)E P(c)S(c) 全称量词消除规则 P(c) (3)I S(c) (3)I x(P(x)(Q(x)R(x))) P规则 P(c)(Q(c)R(c)) (6)全称量词消除规则，使用(3)中个体c Q(c)R(c) (4) (7)I x(P(x)(Q(x)S(x))) P规则 P(c)(Q(c)S(c)) 全称量词消除规则，使用(3)中个体c Q(c)S(c) (4) (11)I Q(c)S(c) (11)I Q(c) (12) (5)I R(c) (13) (8)I P(c) R(c) (4)和(14)的合取 x(P(x)R(x)) (15) 存在量词的引入
// 前提
(2). P(a)Q(a) // 全称量词消除规则
举例：全称量词消除规则
西 华 B 大 学
指出下列推导中的错误，并加以改正： (1). x P(x)Q(x) // 前提 (2). P(y)Q(y) // 全称量词消除规则
量词 x 的辖域为 P(x) ，而非 P(x)Q(x) ，所以不 能直接使用全称量词消除规则。
x(P(x)S(x))
前提：x(P(x)(Q(x)R(x)))、 x(P(x)(Q(x)S(x)))、 x(P(x)S(x))、 (x(P(x)S(x))) 结论：x(P(x)R(x))
一阶逻辑的永真蕴涵式
西 华 大 学
推理定律是一阶逻辑的一些永真蕴涵式，重要 的推理定律有： [1]. 附加律：A(AB) // 或称为析取的引入 [2]. 化简律： (AB)A, (AB)B // 或称为合取的消除 [3]. 假言推理： (AB)AB // 或称为分离规则 [4]. 拒取式： (AB)BA [5]. 析取三段论：(AB)BA [6]. 假言三段论：(AB)(BC)(AC) // 或称为传递规则
离散数学____第二章_谓词逻辑(很清晰)
系的谓词。 如：x与y具有关系L。
x，y都是客体变元，谓词为L。 这里仅讨论谓词常量。
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n元谓词(wèi cí)
元数：在谓词中所包含的客体变元的数量。
定义4.2.3 n元谓词：含n个客体变元的谓词。 用P(x1,x2,…,xn)表示。
P(x1, x2, …, xn)的值为0或1。 一元谓词：n=1时，——表示x1具有性质P。 多元(duō yuán)谓词：n≥2时，——表示x1,x2,…,xn具有
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命题(mìng tí)函数
命题函数分为简单命题函数与复合命题函数。 定义2-2.1：简单命题函数： 一 个 谓 词 ， 一 些 客 体 变 元 组 成 的 表 达 式 ， 实 质 是 n 元 谓 词 P(x1,x2,…,xn)。 0元谓词：命题函数P(x1,x2,…,xn)中n=0，表示不含有客体变元 的谓词，它本身就是一个命题变元。 规定：若用任何具体客体去取代客体变元之后，则命题函数就 变为命题。 复合命题函数。将若干个简单命题函数用逻辑联结词联结起来， 构成的表达式，称之为复合命题函数。 逻辑联结词┐、∧、∨、→、 的意义(yìyì)与命题演算中的 解释完全类似。 n元谓词就是有n个客体变元的命题函数。
关系P。 0元谓词：不含客体变元的谓词。如F(x) 为一元谓词、
P(x,y)为二元谓词，而F(a)、G(a,b)为0元谓词，即一 般的命题。
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例
设有如下命题，并用谓词进行表示(biǎoshì)。 P：王童是一个三好学生； Q：李新华是李兰的父亲；
SR：：是张一强个与(谢yī莉是ɡè好)三朋好友学；生 aFS：：：王武是童汉的位父于亲北京和广州之间。 命 Tb：题：李P新可与华表示是为好：朋S友(a)
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x，y都是客体变元，谓词为L。 这里仅讨论谓词常量。
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n元谓词(wèi cí)
元数：在谓词中所包含的客体变元的数量。
定义4.2.3 n元谓词：含n个客体变元的谓词。 用P(x1,x2,…,xn)表示。
P(x1, x2, …, xn)的值为0或1。 一元谓词：n=1时，——表示x1具有性质P。 多元(duō yuán)谓词：n≥2时，——表示x1,x2,…,xn具有
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命题(mìng tí)函数
命题函数分为简单命题函数与复合命题函数。 定义2-2.1：简单命题函数： 一 个 谓 词 ， 一 些 客 体 变 元 组 成 的 表 达 式 ， 实 质 是 n 元 谓 词 P(x1,x2,…,xn)。 0元谓词：命题函数P(x1,x2,…,xn)中n=0，表示不含有客体变元 的谓词，它本身就是一个命题变元。 规定：若用任何具体客体去取代客体变元之后，则命题函数就 变为命题。 复合命题函数。将若干个简单命题函数用逻辑联结词联结起来， 构成的表达式，称之为复合命题函数。 逻辑联结词┐、∧、∨、→、 的意义(yìyì)与命题演算中的 解释完全类似。 n元谓词就是有n个客体变元的命题函数。
关系P。 0元谓词：不含客体变元的谓词。如F(x) 为一元谓词、
P(x,y)为二元谓词，而F(a)、G(a,b)为0元谓词，即一 般的命题。
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例
设有如下命题，并用谓词进行表示(biǎoshì)。 P：王童是一个三好学生； Q：李新华是李兰的父亲；
SR：：是张一强个与(谢yī莉是ɡè好)三朋好友学；生 aFS：：：王武是童汉的位父于亲北京和广州之间。 命 Tb：题：李P新可与华表示是为好：朋S友(a)
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2-1 谓词(Predicate)的概念与表示
原子命题 谓词表示式 F(z) F(l) G(c)
(1) 张明是个劳动模范。
(2) 李华是个劳动模范。 (3) 王红是个大学生。 (4) 小董比小佟高2cm。 (5) 点a在b与c之间。
H(d,t)
R(a,b,c) S(a,b)
(6) 张明与李华同岁。
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12
2-2 命题函数与量词
(Propositional functions & Quantifiers)
命题函数 (Propositional functions) 量词(Quantifiers) 小结
07:29
13
2-2 命题函数与量词
(Propositional functions & Quantifiers)
07:29 6
2-1 谓词(Predicate)的概念与表示
客体 / 个体 (Individuals) ： 可以独立存在的具体 事物的或抽象的概念。 例如，张明、李华、王红、，其他如计算机、 玫瑰花、黑板、实数、中国、思想、唯物主义等， 客体也可称之为主语。 谓词： 用来刻划客体的性质或客体之间的相互 关系的词。 例如上例中，“是个劳动模范”、“是个大学 生”、“…比…高2cm”、 “…在…与…之间”、 “…与…同岁”都是谓词。
07:29 7
2-1 谓词(Predicate)的概念与表示
一般来说， 一元谓词 刻划了一个客体性质的词， 如“是个劳动模范”、“是个大学生” 等。 “ n 元谓词 刻划了 n 个客体之间关系，如”、 “ … 比 … 高 2cm” 、 “ … 在 … 与 … 之 间 ” 、 “…与…同岁” 等。 一般我们用大写英文字母表示谓词，用小写英 文字母表示客体名称。 例如，在上例中，将“是个劳动模范”、“是个 大学生”、“…比…高2cm”、 “…在…与…之 间”、 “…与…同岁” 分别记作大写字母F、G、 H、R、S，而z、l、w、d、t分别表示张明、李华、 王红、小董、小佟，则上述各命题可分别表示为：
其中F、G为一元谓词， H、S为二元谓词，R为三 元谓词。
07:29 9
2-1 谓词(Predicate)的概念与表示
说明 单独一个谓词并不是命题，在谓词字母后填上 客体所得到的式子称之为 谓词填式， 简称 谓词 。 在谓词填式 A(a1,a2,...,an) 中，若客体 a1,a2,...,an 确定，则A(a1,a2,...,an)就变成了命题。 在多元谓词表达式中，客体字母出现的先后次 序与事先约定有关 , 一般不可以随意交换位置 (如,上例中H(d,t)与H(t,d)代表两个不同的命题) 。
一、命题函数 (sitional functions)
设谓词H表示“是劳动模范”，a表示客体名称张 明，b表示客体名称李华，c表示客体名称这只老虎， 那么H(a) 、H(b)、H(c)表示三个不同的命题，但它 们有一个共同的形式，即H(x)。 客/个体变元：一般地， H(x)表示客体x具有性质 H 。这里 x 表示抽象的或泛指的客体，称为客体 变元，常用小写英文字母x,y,z, …表示。 客体常元 / 项： 表示具体或特定的客体的词称为 客体常元/项，常用小写英文字母a,b,c, …表示。
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2-2 命题函数与量词
(Propositional functions & Quantifiers)
客体变元 x ， y 具有关系 L ，记作 L(x,y) ；客体变 元x,y,z具有关系A，记作A(x,y,z). H(x)、L(x,y) 、A(x,y,z)本身并不是一个命题。只 有用特定的客体取代客体变元 x,y,z后，它们才成 为命题。称H(x)、L(x,y) 、A(x,y,z)为命题函数。
(Discrete Mathematics)
离散数学
07:29
1
第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2-1 谓词的概念与表示 2-2 命题函数与量词
(Predicate and its expression)
(Propositional functions & Quantifiers) 2-3 谓词公式与翻译(Predicate formula) 2-4 变元的约束(Bound of variable)
07:29
4
2-1 谓词(Predicate)的概念与表示
众所周知，这是真命题。但在命题逻辑中,如果用P、 Q、R表示以上三个命题，则上述推理过程为： （P∧Q）R。借助命题演算的推理理论不能证明 其为重言式。 原因：命题逻辑不能将命题之间的内在联系和 数量关系反映出来。 解决办法：将命题进行分解。
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5
2-1 谓词(Predicate)的概念与表示
二、谓词的概念与表示
在谓词逻辑中，可将原子命题划分为客体和谓词 两部分。考察下列原子命题：
(1) 张明是个劳动模范。
(2) 李华是个劳动模范。 (3) 王红是个大学生。
(4) 小董比小佟高2cm。
(5) 点a在b与c之间。
(6) 张明与李华同岁。
2-5 谓词演算的等价式与蕴含式 2-7 谓词演算的推理理论
07:29
(Equivalences & implications of predicate calculus) 2-6 前束范式(Prenex normal form) (Inference theory of predicate calculus)
07:29
10
2-1 谓词(Predicate)的概念与表示
三、小结
本节将原子命题进行分解 , 分为客体和谓词两部 分.进而介绍了客体和谓词、一元谓词和n元谓词 的概念。 重点掌握一元谓词和n元谓词的概念。
作业：P59 (1)
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11
(Discrete Mathematics)
离散数学
2
2-1 谓词(Predicate)的概念与表示
命题逻辑的局限性 谓词的概念与表示
小结
07:29
3
2-1 谓词(Predicate)的概念与表示
一、命题逻辑的局限性
在命题逻辑中，命题是命题演算的基本单位，不 再对原子命题进行分解，因而无法研究命题的内 部结构、成分及命题之间的内在联系，甚至无法 处理一些简单而又常见的推理过程。例如，下列 推理： 所有的人都是要死的。 苏格拉底是人。 所以，苏格拉底是要死的。
2-1 谓词(Predicate)的概念与表示
原子命题 谓词表示式 F(z) F(l) G(c)
(1) 张明是个劳动模范。
(2) 李华是个劳动模范。 (3) 王红是个大学生。 (4) 小董比小佟高2cm。 (5) 点a在b与c之间。
H(d,t)
R(a,b,c) S(a,b)
(6) 张明与李华同岁。
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2-2 命题函数与量词
(Propositional functions & Quantifiers)
命题函数 (Propositional functions) 量词(Quantifiers) 小结
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2-2 命题函数与量词
(Propositional functions & Quantifiers)
07:29 6
2-1 谓词(Predicate)的概念与表示
客体 / 个体 (Individuals) ： 可以独立存在的具体 事物的或抽象的概念。 例如，张明、李华、王红、，其他如计算机、 玫瑰花、黑板、实数、中国、思想、唯物主义等， 客体也可称之为主语。 谓词： 用来刻划客体的性质或客体之间的相互 关系的词。 例如上例中，“是个劳动模范”、“是个大学 生”、“…比…高2cm”、 “…在…与…之间”、 “…与…同岁”都是谓词。
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2-1 谓词(Predicate)的概念与表示
一般来说， 一元谓词 刻划了一个客体性质的词， 如“是个劳动模范”、“是个大学生” 等。 “ n 元谓词 刻划了 n 个客体之间关系，如”、 “ … 比 … 高 2cm” 、 “ … 在 … 与 … 之 间 ” 、 “…与…同岁” 等。 一般我们用大写英文字母表示谓词，用小写英 文字母表示客体名称。 例如，在上例中，将“是个劳动模范”、“是个 大学生”、“…比…高2cm”、 “…在…与…之 间”、 “…与…同岁” 分别记作大写字母F、G、 H、R、S，而z、l、w、d、t分别表示张明、李华、 王红、小董、小佟，则上述各命题可分别表示为：
其中F、G为一元谓词， H、S为二元谓词，R为三 元谓词。
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2-1 谓词(Predicate)的概念与表示
说明 单独一个谓词并不是命题，在谓词字母后填上 客体所得到的式子称之为 谓词填式， 简称 谓词 。 在谓词填式 A(a1,a2,...,an) 中，若客体 a1,a2,...,an 确定，则A(a1,a2,...,an)就变成了命题。 在多元谓词表达式中，客体字母出现的先后次 序与事先约定有关 , 一般不可以随意交换位置 (如,上例中H(d,t)与H(t,d)代表两个不同的命题) 。
一、命题函数 (sitional functions)
设谓词H表示“是劳动模范”，a表示客体名称张 明，b表示客体名称李华，c表示客体名称这只老虎， 那么H(a) 、H(b)、H(c)表示三个不同的命题，但它 们有一个共同的形式，即H(x)。 客/个体变元：一般地， H(x)表示客体x具有性质 H 。这里 x 表示抽象的或泛指的客体，称为客体 变元，常用小写英文字母x,y,z, …表示。 客体常元 / 项： 表示具体或特定的客体的词称为 客体常元/项，常用小写英文字母a,b,c, …表示。
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2-2 命题函数与量词
(Propositional functions & Quantifiers)
客体变元 x ， y 具有关系 L ，记作 L(x,y) ；客体变 元x,y,z具有关系A，记作A(x,y,z). H(x)、L(x,y) 、A(x,y,z)本身并不是一个命题。只 有用特定的客体取代客体变元 x,y,z后，它们才成 为命题。称H(x)、L(x,y) 、A(x,y,z)为命题函数。
(Discrete Mathematics)
离散数学
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第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2-1 谓词的概念与表示 2-2 命题函数与量词
(Predicate and its expression)
(Propositional functions & Quantifiers) 2-3 谓词公式与翻译(Predicate formula) 2-4 变元的约束(Bound of variable)
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2-1 谓词(Predicate)的概念与表示
众所周知，这是真命题。但在命题逻辑中,如果用P、 Q、R表示以上三个命题，则上述推理过程为： （P∧Q）R。借助命题演算的推理理论不能证明 其为重言式。 原因：命题逻辑不能将命题之间的内在联系和 数量关系反映出来。 解决办法：将命题进行分解。
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2-1 谓词(Predicate)的概念与表示
二、谓词的概念与表示
在谓词逻辑中，可将原子命题划分为客体和谓词 两部分。考察下列原子命题：
(1) 张明是个劳动模范。
(2) 李华是个劳动模范。 (3) 王红是个大学生。
(4) 小董比小佟高2cm。
(5) 点a在b与c之间。
(6) 张明与李华同岁。
2-5 谓词演算的等价式与蕴含式 2-7 谓词演算的推理理论
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(Equivalences & implications of predicate calculus) 2-6 前束范式(Prenex normal form) (Inference theory of predicate calculus)
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2-1 谓词(Predicate)的概念与表示
三、小结
本节将原子命题进行分解 , 分为客体和谓词两部 分.进而介绍了客体和谓词、一元谓词和n元谓词 的概念。 重点掌握一元谓词和n元谓词的概念。
作业：P59 (1)
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(Discrete Mathematics)
离散数学
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2-1 谓词(Predicate)的概念与表示
命题逻辑的局限性 谓词的概念与表示
小结
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2-1 谓词(Predicate)的概念与表示
一、命题逻辑的局限性
在命题逻辑中，命题是命题演算的基本单位，不 再对原子命题进行分解，因而无法研究命题的内 部结构、成分及命题之间的内在联系，甚至无法 处理一些简单而又常见的推理过程。例如，下列 推理： 所有的人都是要死的。 苏格拉底是人。 所以，苏格拉底是要死的。