最新人教A版必修2高中数学 4.2.3直线与圆的方程的应用学案
高中数学 4.2.3直线与圆的方程的应用精品教案 新人教A版必修2
4.2.3 直线与圆的方程的应用（一）教学目标1．知识与技能（1）理解掌握，直线与圆的方程在实际生活中的应用.（2）会用“数形结合”的数学思想解决问题.2．过程与方法用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论.3．情态与价值观让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的方程的应用，培养学生分析问题与解决问题的能力.（二）教学重点、难点重点与难点：直线与圆的方程的应用.教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入你能说出两点间的距离公式直线方程的四种形式及圆的方程的两种形式吗？学生思考后作答教师再引入课题现在我们通过几个例子说明直线与圆的方程在实际生活以及平面几何中的应用.启发并引导学生回顾，从而引入新课.应用举例3．阅读并思考教科书上的例4，你将选择什么方法解决例4的问题？例4 图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.这师：指导学生观察教科书上的图形特征，利用平面坐标系求解.生：自学例4，并完成练习题1、2.师：分析例4并展示解题过程，启发学生利用坐标法求，注意指导学生从直观认识过渡到数学思想方法的选择.个圆的圆拱跨度AB = 20m ，拱高OP = 4m ，建造时每间隔4m 需要用一根支柱支撑，求支柱A 2P 2的高度(精确到0.01m).解析：建立图所示的直角坐标系，使圆心在y 轴上.设圆心的坐标是(0，b )，圆的半径是r ，那么圆的方程是x 2 + (y – b )2 = r 2. 下面确定b 和r 的值. 因为P 、B 都在圆上，所以它们的坐标(0，4)，(10，0)都满足方程x 2 + (y – b )2 = r 2.于是，得到方程组2222220(4),10(0)b r b r ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩解得b = –10.5，r 2 = 14.52所以，圆的方程是x 2 + (y + 10.5)2 = 14.52. 把点P 2的横坐标x = –2代入圆的方程，得(–2)2 + (y + 10.5)2= 14.52，取2210.514.5(2)y +=--(P 2的纵坐标y ＞0平方根取正值).所以2214.5(2)10.5y =---≈14.36 – 10.5 =3.86(m)给学生留有总结思考的时间.4．你能分析一下确定一个圆的方程的要点吗？教师引导学生分析圆的方程中，若横坐标确定，如何求出纵坐标的值.使学生加深对圆的方程的认识. 5．你能利用“坐标法”解决例5吗？师：引导学生建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示相应的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题.巩固“坐标法”，培养学生分析例 5 已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半.生：建立适当的直角坐标系，探求解决问题的方法. 证明：如图，以四边形ABCD 互直垂直的对角线CA ，DB 所在直线分别为x 轴，y 轴，建立直角坐标系.设A (a ，0)，B (0，b )，C (c ，0)，D (0，d ).过四边形ABCD 外接圆的圆心O ′分别作AC 、BD 、AD 的垂线，垂足分别为M 、N 、E 分别是线段AC 、BD 、AD 的中点.由线段的中点坐标公式，得2O M a cx x '+== 2O N b dy y '+== ,22E E a d x y == 所以2222||()()22222212a c ab d dO E b c '=+-++-=+又22||BC b c =+ 所以1||||2O E BC '=. 问题与解决问题的能力. 6．完成教科书第140页的练习题2、3、4.练习2 赵州桥的跨度是37.4m ，圆拱高约为7.2m.求这座圆拱桥的拱圆的方程.练习3 某圆拱桥的水面跨度20m ，拱高4m.现有一船，宽10m ，水面以上高3m ，这条船能否从桥下通过？练习4 等边△ABC 中，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，且1||||3BD BC =，教师指导学生阅读教材，并解决课本第140页的练习题2、3、4，教师要注意引导学生思考平面几何问题与代数问题相互转化的依据.练习2解：建立如图所示的直角坐标系.|OP | = 7.2m ，|AB | = 37.4m.即有A (–18.7，0)，B (18.7，0)，C(0，7.2) .设所求圆的方程是(x – a )2 +(y – b )2 = r 2.于是有使学生熟悉平面几何问题与代数问题的转化，加深“坐标法”的解题步骤.|CE | = 13|CA|，AD、BE相交于点P.求证AP⊥CP.222222222(18.7),(18.7),(7.2)a b ra b ra b r⎧++=⎪-+=⎨⎪+-=⎩解此方程组，得a= 0，b= –20.7，r= 27.9.所以这这圆拱桥的拱圆的方程是x2 + (y + 20.7)2 = 27.92 (0≤y ≤7.2)练习3解：建立如图所示的坐标系.依题意，有A(–10，0)，B(10，0)，P(0，4)，D(–5，0)，E(5，0).设所求圆的方程是(x–a)2+ (y–b)2 = r2.于是有222222222(10),(10),(4)a b ra b ra b r⎧++=⎪-+=⎨⎪+-=⎩解此方程组，得a= 0，b= –10.5，r= 14.5.所以这座圆拱桥的拱圆的方程是x2 + (y + 10.5)2 = 14.52 (0≤y ≤4).把点D的横坐标x= –5代入上式，得y = 3.1.由于船在水面以上高3m，3＜3.1，所以该船可以从桥下穿过.练习4解：以B为原点，BC边所在直线为x轴，线段BC长的16为单位长，建立如图所示的坐标系.则(3,3),(0,0),(6,0)A B C.由已知，得D(2,0)，(5,3)E.直线AD的方程为33(2)y x=-.直线BE 的方程为 3(5)35y x =-+. 解以上两方程联立成的方程组，得53,377x y ==. 所以，点P 的坐标是153(,3)77.直线PC 的斜率39pc k =-. 因为333()19AD pc k k =⨯-=-， 所以，AP ⊥CP .练习题 直角△ABC 的斜边为定长m ，以斜边的中点O 为圆心作半径为长定长n 的圆，BC 的延长线交此圆于P 、Q 两点，求证|AP |2 + |AQ |2 + |PQ |2为定值.7．你能说出练习题蕴含了什么思想方法吗？学生独立解决练习题，教师组织学生讨论交流.证明：如图， 以O 为原点，分别以直线PQ 为x 轴，建立直角坐标系.于是有(,0),(,0)22m mB C -，(,0)2n P -，(,0)2nQ设A (x ，y )，由已知，点A 在圆2224m x y +=上.AP 2 + AQ 2 + PQ 2= 22222()()22n n x y x y n +++-++ =222223322222m x y n n ++=+(定值)反馈学生掌握“坐标法”解决问题的情况，巩固所学知识.归纳总结 8．小结：（1）利用“坐标法”解决问题的需要准备什么工作？（2）如何建立直角坐标系，才能易于解决平面几何问题？（3）你认为学好“坐标法”解决问题的关键是什么？（4）建立不同的平面直角坐标系，对解决问题有什么直接的影响呢？师：指导学生完成练习题. 生：阅读教科书的例3，并完成.教师引导学生自己归纳总结所学过的知识，组织学生讨论、交流、探究.对知识进行归纳概括，体会利用“坐标法”解决实际问题的作用.课后作业布置作业习案4.2第2课时学生独立完成巩固所学知识备选例题例1 一圆形拱桥，现时的水面宽为22米，拱高为9米，一艘船高7.5米，船顶宽4米的船，能从桥下通过吗？【解析】建立坐标系如图所示：C (–11，0 )，D (11，0)，M (0，9)可求得过C 、D 、M 三点的圆的方程是22220101()()99x y ++= 故A 点坐标是(2，y 1)，则22120101()()499y +=- 得y 1≈8.82，(取y 1＞0)∴y 1＞7.5，因此船不能从桥下通过.例2 设半径为3km 的圆形村落，A 、B 两人同时从村落中心出发，A 向东，B 向北，A 出村后不久改变前进方向，斜着沿切于村落圆周的方向前进，后来恰好与B 相遇，设A 、B 两人的速度一定，其比为3:1，问A 、B 两人在何处相遇.【解析】由题意以村中心为原点，正东方向为x 轴的正方向，正北为y 轴的正方向，建立直角坐标系，设A 、B 两人的速度分别的为3v km/h ，v km/h ，设A 出发a h ，在P 处改变方向，又经过b h 到达相遇点Q ，则P (3av ，0)Q (0，(a + b )v )，则|PQ | = 3bv ，|OP | = 3av ，|OQ | = （a + b ）v 在Rt △OPQ 中|PQ |2= |OP |2+ |OQ |2得5a = 4b ∴34PQ k =-设直线PQ 方程为34y x b =-+ 由PQ 与圆x 2+ y 2= 9相切，22|4|343b =+解得154b =故A 、B 两人相遇在正北方离村落中心154km. 例3 有一种商品，A 、B 两地均有售且价格相同，但某居住地的居民从两地往回运时，每单位距离A 地的运费是B 地运费的3倍.已知A 、B 相距10km ，问这个居民应如何选择A 地或B 地购买此种商品最合算？(仅从运费的多少来考虑)【解析】以AB 所在的直线为x 轴，AB 的中点为原点建立直角坐标系.|AB | = 10，所以A (–5，0)，B (5，0)设P (x ，y )是区域分界线上的任一点，并设从B 地运往P 地的单位距离运费为a ，即从B 地运往P 地的运费为|PB |·a ，则运住A 地的运费|PA |·3a当运费相等时，就是|PB |·a = 3a ·|PA | ， 即22223(5)(5)x y x y ++=-+ 整理得2222515()()44x y ++= ① 所以在①表示的圆周上的居民可任意选择在A 或B 地购买，在圆内的居民应选择在A 地购买，在圆外的居民应选择在B 地购买.。
高中数学《4.2.3直线与圆的方程的应用》导学案 新人教A版必修
高中数学《4.2.3直线与圆的方程的应用》导学案新人教A版必修4、2、3直线与圆的方程的应用》导学案新人教A版必修2一、学习目标(1)知识目标：理解直线与圆的方程在实际生活中的应用；理解用坐标法研究几何问题的基本思想及解题过程；会用“数形结合”的数学思想解决问题。
（2）能力目标：通过坐标法的运用提高分析问题解决问题的能力。
（3）情感目标：通过自主学习，合作交流，体验探究新知的过程，培养团队意识增进同学之间的友情。
二、学习重点、难点：重点：直线与圆的方程的应用难点：坐标法的灵活运用三、学习方法：自主探究合作交流四、学习思路：通过创设情景由实际问题引入五、知识链接:直线和圆的知识六、预习学情分析：知识点自学已解决的问题共性问题个别问题七、学习过程（一）、课前准备（预习教材 P130~ P132，找出疑惑之处）1、圆与圆的位置关系有2、圆和的位置关系为、3、过两圆和的交点的直线方程（二）、新课导学※ 学习探究1、直线方程有几种形式? 分别是什么？2、圆的方程有几种形式?分别是哪些?3、求圆的方程时,什么条件下,用标准方程?什么条件下用一般方程?4、直线与圆的方程在生产生活实践中有广泛的应用、想想身边有哪些呢?※ 典型例题例1 已知某圆拱形桥、这个圆拱跨度,拱高,建造时每间隔4需要用一根支柱支撑,求支柱的高度(精确0、01)变式：赵州桥的跨度是37、4、圆拱高约为7、2、求这座圆拱桥的拱圆的方程例2 已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直求证圆心到一边距离等于这条边所对这条边长的一半、※ 动手试试练1、求出以曲线与的交点为顶点的多边形的面积、练2、讨论直线与曲线的交点个数、（三）、总结提升※ 学习小结1、用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆，然后通过对坐标和方程的代数运算，把代数结果“翻译”成几何关系，得到几何问题的结论，这就是用坐标法解决几何问题的“三部曲”、2、用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论、3、解实际问题的步骤：审题解决—反馈、八、学习评价※ 自我评价你完成本节导学案的情况为（）、A、很好B、较好C、一般D、较差※ 自我检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1、一动点到的距离是到的距离的2倍，则动点的轨迹方程（）、A、B、C、D、2、如果实数满足，则的最大值为（）A、1B、C、D、3、圆上到直线的距离为的点共有（）、A、1 个B、2 个C、3 个D、4 个4、圆关于直线对称的圆的方程为、5、圆关于点对称的圆的方程、九、课后作业1、坐标法证明:三角形的三条高线交于一点、2、设有半径为3公里的圆形村落，A、B两人同时从村落中心出发，A向东而B向北前进，A离开村后不久，改变前进方向，斜着沿切于村落周界的方向前进，后来恰好与B相遇，设A、B两人的速度都一定，其比为3:1，问A、B两人在何处相遇？、学后反思。
新人教A版必修2高中数学学案教案： §4.2.3 直线与圆的方程的应用
§4.2.3 直线与圆的方程的应用一、教材分析直线与圆的方程在生产、生活实践以及数学中有着广泛的应用.本小节设置了一些例题,分别说明直线与圆的方程在实际生活中的应用,以及用坐标法研究几何问题的基本思想及其解题过程.二、教学目标1．知识与技能（1）理解掌握，直线与圆的方程在实际生活中的应用.（2）会用“数形结合”的数学思想解决问题.2．过程与方法用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论.3．情态与价值观让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的方程的应用，培养学生分析问题与解决问题的能力.三、教学重点与难点教学重点：求圆的应用性问题.教学难点：直线与圆的方程的应用.四、课时安排1课时五、教学设计（一）导入新课思路1.如图1,某城市中的高空观览车的高度是100 m,图1在离观览车约150 m处有一建筑物,某人在离建筑物100 m的地方刚好可以看到观览车,你根据上述数据,如何求出该建筑物的高度？要解决这个问题,我们继续研究直线与圆的方程的应用,教师板书课题:直线与圆的方程的应用.思路2.同学们,前面我们学习了圆的方程、直线与圆的位置关系、圆和圆的位置关系,那么如何利用这些关系来解决一些问题,怎样解决?带着这些问题我们学习直线与圆的方程的应用.教师板书课题:直线与圆的方程的应用.（二）推进新课、新知探究、提出问题①你能说出直线与圆的位置关系吗？②解决直线与圆的位置关系,你将采用什么方法？③阅读并思考教科书上的例4,你将选择什么方法解决例4的问题？④你能分析一下确定一个圆的方程的要点吗？⑤你能利用“坐标法”解决例5吗？活动：学生回忆,教师引导,教师提问,学生回答,学生之间可以相互交流讨论,学生有困难教师点拨.教师引导学生考虑解决问题的思路,要全面考虑,发散思维.①学生回顾学习的直线与圆的位置关系的种类；②解决直线与圆的位置关系,可以采取两种方法；③首先考虑问题的实际意义,如果本题出在初中,我们没有考虑的余地,只有几何法,在这里当然可以考虑用坐标法,两种方法比较可知哪个简单；④回顾圆的定义可知确定一个圆的方程的条件；⑤利用“坐标法”解决问题的关键是建立适当的坐标系,再利用代数与几何元素的相互转化得到结论.讨论结果：①直线与圆的位置关系有三类:相交、相切、相离.②解决直线与圆的位置关系,将采用代数和几何两种方法,多数情况下采用圆心到直线的距离与半径的关系来解决.③阅读并思考教科书上的例4,先用代数方法及坐标法,再用几何法,作一比较. ④你能分析一下确定一个圆的方程的要点,圆心坐标和半径,有时关于D 、E 、F 的三个独立的条件也可. ⑤建立适当的坐标系,具体解法我们在例题中展开.（三）应用示例思路1例1 讲解课本4.2节例4,解法一见课本.图2解法二：如图2,过P 2作P 2H⊥OP.由已知,|OP|=4,|OA|=10.在Rt△AOC 中,有|CA|2=|CO|2+|OA|2设拱圆所在的圆的半径为r,则有r 2=(r-4)2+102. 解得r=14.5.在Rt△CP 2H 中,有|CP 2|2=|CH|2+|P 2H|2.因为|P 2H|=|OA 2|=2,于是有|CH|2=r 2-|OA 2|2=14.52-4=206.25.又|OC|=14.5-4=10.5,于是有|OH|=|CH|-|CO|=25.206-10.5≈14.36-10.5=3.86.所以支柱A 2P 2的长度约为3.86 cm.点评：通过课本解法我们总结利用坐标法解决几何问题的步骤是：第一步：建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算,解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论.把两种解法比较可以看出坐标法通俗易懂,几何法较难想,繁琐,因此解题时要有所选择. 变式训练已知圆内接四边形的对角线互相垂直,求证：圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半.图3解:如图3,以四边形ABCD 互相垂直的对角线CA 、DB 所在直线分别为x 轴、y 轴,建立适当的平面直角坐标系,设A(a,0),B(0,b),C(c,0),D(0,d).过四边形ABCD 的外接圆的圆心O 1分别作AC 、BD 、AD 的垂线,垂足分别为M 、N 、E,则M 、N 、E 分别为线段AC 、BD 、AD 的中点,由线段的中点坐标公式,得1O x =x m =2c a +,1O y =y n =2d b +,x E =2a ,y E =2d.所以|O 1E|=222221)222()222(c bd d b a c a +=-++-+. 又|BC|=22c b +,所以|O 1E|=21|BC|. 点评:用坐标法解决几何问题时,先用坐标和方程表示相应的几何元素、点、直线、圆.将几何问题转化为代数问题,然后通过代数运算解决代数问题,最后解释代数运算结果的几何意义,得到几何问题的结论.例2 有一种大型商品,A 、B 两地都有出售,且价格相同,某地居民从两地之一购得商品后回运的运费是：每单位距离A 地的运费是B 地运费的3倍,已知A 、B 两地相距10 km,居民选择A 或B 地购买这种商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低.求A 、B 两地的售货区域的分界线的曲线形状,并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点.活动：学生先审题,然后思考或讨论,学生有困难教师可以提示引导,建立适当的坐标系,这里以AB 所在直线为x 轴,线段AB 的中点为原点建立直角坐标系较简单,假设一点距A 地近,且费用低,列方程或不等式.解:以AB 所在直线为x 轴,线段AB 的中点为原点建立直角坐标系,则A(－5,0),B(5,0).设某地P 的坐标为(x,y),且P 地居民选择A 地购买商品的费用较低,并设A 地的运费为3a 元/km,则B 地运费为a 元/km.由于P 地居民购买商品的总费用满足条件：价格+A 地运费≤价格+B 地运费, 即3a 22)5(y x ++≤a 22)5(y x +-,整理得(x+425)2+y 2≤(415)2. 所以以点C(-425,0)为圆心,415为半径的圆就是两地居民购货的分界线.圆内的居民从A 地购货费用较低,圆外的居民从B 地购货费用较低,圆上的居民从A 、B 两地购货的总费用相等,因此可以随意从A 、B两地之一购货.点评:在学习中要注意联系实际,重视数学在生产、生活和相关学科中的应用,解决有关实际问题时,关键要明确题意,掌握建立数学模型的基本方法.思路2例1 求通过直线2x-y+3=0与圆x 2+y 2+2x-4y+1=0的交点,且面积最小的圆的方程.活动:学生思考或交流,教师提示引导,求圆的方程无非有两种方法:代数法和几何法. 解法一:利用过两曲线交点的曲线系,设圆的方程为x 2+y 2+2x-4y+1+λ(2x-y+3)=0,配方得标准式(x+1+λ)2+(y-2-2λ)2=(1+λ)2+(2+2λ)2-3λ-1, ∵r 2=45λ2+λ+4=45(λ+52)2+519,∴当λ=-52时,半径r=519最小. ∴所求面积最小的圆的方程为5x 2+5y 2+6x-18y-1=0.解法二:利用平面几何知识,以直线与圆的交点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)连线为直径的圆符合要求. 由⎩⎨⎧=+-++=+-,0142,03222y x y x y x 消去y,得5x 2+6x-2=0.∴判别式Δ＞0,AB 中点横坐标x 0=221x x +=-53,纵坐标y 0=2x 0+3=59, 即圆心O′(-53,59). 又半径r=21|x 1-x 2|·221+=519, ∴所求面积最小的圆的方程是(x+53)2+(y-59)2=519. 点评:要熟练地进行圆的一般式与标准式之间的互化,这里配方法十分重要,方法二用到求弦长的公式|AB|=|x 1-x 2|·21k +;对于圆的弦长,还可以利用勾股定理求得,即|AB|=22d r -,其中r 为圆半径,d 为圆心到弦的距离.变式训练设圆满足①截y 轴所得弦长为2,②被x 轴分成两段弧,弧长之比为3∶1,在满足条件①②的所有圆中,求圆心到直线l:x-2y=0的距离最小的圆的方程.图4解:关键确定圆心坐标和半径.如图4. 设圆心A(a,b),则半径r=2|b|. 由截y 轴的弦长为2,知a 2+1=r 2=2b 2, 又圆心A 到l 的距离d=51|a-2b|,∴5d 2=a 2+4b 2-4ab≥a 2+4b 2-2(a 2+b 2)=2b 2-a 2=1,当且仅当a=b 时等号成立.这里由⎪⎩⎪⎨⎧==+=,2,1,2222r b r a b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=⎪⎩⎪⎨⎧===.2,1,12,1,1r b a r b a 或∴圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2.例2 已知x,y 是实数,且x 2+y 2-4x-6y+12=0,求(1)xy 的最值;(2)x 2+y 2的最值;(3)x+y 的最值;(4)x-y 的最值.活动：学生思考或交流,教师引导,数形结合,将代数式或方程赋予几何意义.解:(x-2)2+(y-3)2=1表示以点C(2,3)为圆心,1为半径的圆. (1)xy表示圆C 上的点P(x,y)与坐标原点O(0,0)连线的斜率k, 故当y=kx 为圆C 的切线时,k 得最值. ∵21|32|kk +-=1,∴k=2±323.∴xy 的最大值为2+323,最小值为2-323.(2)设x 2+y 2表示圆C 上的点P(x,y)与坐标原点O(0,0)连结的线段长的平方,故由平面几何知识,知当P为直线OC 与圆C 的两交点P 1、P 2时,OP 12与OP 22分别为OP 2的最大值、最小值.∴x 2+y 2的最大值为(2232++1)2=14+213,最小值为(2232+-1)2=14-213.(3)令x+y=m,当直线l:x+y=m 与圆C 相切时,l 在y 轴上截距m 取得最值. ∵2|32|m -+=1,∴m=5±2.∴x+y 的最大值为5+2,最小值为5-2.(4)令x-y=n,当直线l′:x -y=n 与圆C 相切时,l′在y 轴上截距的相反数n 取得最值. ∵2|32|n --=1,∴n=-1±2.∴x -y 的最大值为-1+2,最小值为-1-2.点评:从“数”中认识“形”,从“形”中认识“数”,数形结合相互转化是数学思维的基本方法之一.“数学是一个有机的统一体,它的生命力的一个必要条件是所有的各个部分不可分离地结合.”(希尔伯特)数形结合的思维能力不仅是中学生的数学能力、数学素养的主要标志之一,而且也是学习高等数学和现代数学的基本能力.本题是利用直线和圆的知识求最值的典型题目.例3 已知圆O 的方程为x 2+y 2=9,求过点A(1,2)所作的弦的中点的轨迹.活动：学生回想求轨迹方程的方法与步骤,思考讨论,教师适时点拨提示,本题可利用平面几何的知识. 解法一:参数法(常规方法)设过A 的弦所在的直线方程为y-2=k(x-1)(k 存在时),P(x,y),则⎩⎨⎧-+==+),2(,922k kx y y x 消y,得(1+k 2)x 2+2k(2-k)x+k 2-4k-5=0.∴x 1+x 2=1)2(22+-k k k .利用中点坐标公式及中点在直线上,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=+-=12,1)2(22k k y k k k x (k 为参数).∴消去k 得P 点的轨迹方程为x 2+y 2-x-2y=0,当k 不存在时,中点P(1,0)的坐标也适合方程. ∴P 的轨迹是以点(21,1)为圆心,25为半径的圆.解法二:代点法(涉及中点问题可考虑此法)设过点A 的弦MN,M(x 1,y 1),N(x 2,y 2).∵M、N 在圆O 上,∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=+.9,922222121y x y x .∴相减得(x 1+x 2)+2121x x y y --·(y 1+y 2)=0(x 1≠x 2).设P(x,y),则x=221x x +,y=221y y +. ∴M、N 、P 、A 四点共线,2121x x y y --=12--x y (x≠1).∴2x+12--x y ·2y=0. ∴中点P 的轨迹方程是x 2+y 2-x-2y=0(x=1时亦正确). ∴点P 的轨迹是以点(21,1)为圆心,25为半径的圆.解法三:数形结合(利用平面几何知识)由垂径定理知OP⊥PA,故P 点的轨迹是以AO 为直径的圆.(下略)点评:本题涉及求轨迹方程的三种间接方法.思路一,代表了解析几何的基本思路和基本方法,即⎩⎨⎧==,0),(,0),(y x g y x f 消y(或x)得关于x(或y)的一元二次方程Ax 2+Bx+C=0,再利用求根公式、判别式、韦达定理等得解.思路二,又叫平方差法,要求弦的中点的轨迹方程时,用此法比较简便.基本思路是利用弦的两个端点M(x 1,y 1)、N(x 2,y 2)在已知曲线上,将点的坐标代入已知方程然后相减,利用平方差公式可得x 1+x 2、y 1+y 2、x 1-x 2、y 1-y 2等.再由弦MN 的中点P(x,y)的坐标满足x=221x x +,y=221y y +,以及直线MN 的斜率k=2121x x y y --(x 1≠x 2)等,设法消去x 1、x 2、y 1、y 2,即可得弦MN 的中点P 的轨迹方程.用此法对斜率不存在的情况,要单独讨论.思路三,数形结合,利用平面几何知识等,有时能使求解过程变得非常简洁.学好解析几何,要掌握特点,注意四个结合:①数形结合:形不离数,数不离形,依形判断,就数论形;②动静结合:动中有静,静中有动,几何条件——曲线方程——图形性质;③特殊与一般结合:一般性寓于特殊性之中,特殊化与一般化是重要的数学思维方法; ④理论与实际结合:学以致用,创造开拓.（四）知能训练课本本节练习1、2、3、4.（五）拓展提升某种体育比赛的规则是:进攻队员与防守队员均在安全线l 的垂线AC 上(C 为垂足),且距C 分别为2a 和a(a ＞0)的点A 和B,进攻队员沿直线AD 向安全线跑动,防守队员沿直线方向向前拦截,设AD 和BM 交于M,若在M 点,防守队员比进攻队员先到或同时到,则进攻队员失败,已知进攻队员的速度是防守队员速度的两倍,且他们双方速度不变,问进攻队员的路线AD 应为什么方向才能取胜?图5解:如图5,以l 为x 轴,C 为原点建立直角坐标系,设防守队员速度为v,则进攻队员速度为2v,设点M 坐标为(x,y),进攻队员与防守队员跑到点M 所需时间分别为t 1=v AM 2||,t 2=vBM ||. 若t 1＜t 2,则|AM|＜2|BM|,即2222)(2)2(a y x a y x -+<-+. 整理,得x 2+(y-32a)2＞(32a)2,这说明点M 应在圆E:x 2+(y-32a)2=(32a)2以外,进攻队员方能取胜.设AN 为圆E 的切线,N 为切点,在Rt△AEN 中,容易求出∠EAN=30°,所以进攻队员的路线AD 与AC 所成角大于30°即可.（六）课堂小结1.用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算,解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论.2.对于直线和圆,熟记各种定义、基本公式、法则固然重要,但要做到迅速、准确地解题,还必须掌握一些方法和技巧.常用的有：(1)利用可再化简、对称、直交、平行等特点适当地选择坐标系；(2)善于根据图形的已知条件和论证的目标,恰当地使用曲线的方程；(3)掌握直线和圆的基本定义、基本概念、基本性质,有效运用它们来解题；(4)注意“平几”知识在简洁、直观表达问题中的作用；(5)借助数形结合进行等价转化,减少思维量、运算量；(6)灵活使用曲线系方程,方便快捷地解题；(7)根据背景的特点,巧用字母的替换法则；(8)充分运用韦达定理进行转化与化归；(9)留心引参消参、设而不求等在优化解题思路方面上的作用.3.直线和圆在现实生活中有着十分广泛的应用,主要包括两大块：一是直线与圆的直接应用,它涉及到质量、重心、气象预报、购物选址、光的折射、直线型经验公式的选用等问题,这部分涉及的知识内容比较简单,要熟练掌握直线和圆的方程形式；可以使我们更好地了解近代数学的发展,从而有利于学生应用数学意识的培养.（七）作业习题4.2 B 组2、3、5.。
人教A版数学必修二4.2.3《直线与圆的方程》的应用学案
高中数学必修二学案：4.2.3 直线与圆的方程的应用一、预习目标利用直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系解决一些实际问题二、预习内容（预习教材P 130~ P 132，回答下列问题）1.直线与圆的位置关系有三种,分别为: , , .2.圆的半径为r ，圆心到直线的距离为d ，⑴当r d >时，直线l 与圆C __________；⑵当r d =时，直线l 与圆C __________；⑶当r d <时，直线l 与圆C __________；3.圆与圆的位置关系有五种,分别为: , , ， ， .4.设圆两圆的圆心距设为 d.当d R r >+时，两圆 ;当d R r =+时，两圆 ;当||R r d R r -<<+ 时，两圆 ;当||d R r =-时，两圆 ;当||d R r <-时，两圆 .三、小试牛刀1. 一动点到(4,0)A -的距离是到(2,0)B 的距离的2倍，则动点的轨迹方程（ ）.A ．()2244x y -+=B ．()22416x y -+= C ．22(4)4x y +-= D ．22(4)16x y +-=2.圆222210x y x y +--+=上的点到直线2x y -=的距离最大值是（ ）.A ．2B ．1．2+ D ．1+3. 圆222430x y x y +++-=上到直线10x y ++= ）.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4. 求直线l ：022=--y x 被圆9)3(22=+-y x C ：所截得的弦长为5.求圆()()22114x y -+-=关于直线:220l x y --=对称的圆的方程。
四、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请写下来：课内学习案一、 学习目标1.理解直线与圆的位置关系的几何性质；2.利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；3.会用“数形结合”的数学思想解决问题．学习重难点：直线的知识以及圆的知识二、 学习过程学习探究问题1.直线方程有几种形式? 分别是?问题2.圆的方程有几种形式?分别是哪些?问题3.求圆的方程时,什么条件下,用标准方程?什么条件下用一般方程?问题4.直线与圆的方程在生产.生活实践中有广泛的应用.想想身边有哪些呢?典型例题例1如图是一桥圆拱的示意图，根据提供信息完成以下计算：圆拱跨度AB ＝84米，拱高A 6P 6=15米，在建造时每隔7米需用一个支柱支撑，求：支柱A 3P 3的长度（精确到0.01米）．反思：例2实数y x ,满足014222=+-++y x y x ，求下列各式的最大值和最小值。
人教A版高中数学必修2学案 4.2.3直线与圆的方程的应用
第四章圆与方程4.2直线、圆的位置关系4.2.3直线与圆的方程的应用学习目标1.理解直线与圆的位置关系的几何性质;2.利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系;3.会用“数形结合”的数学思想解决问题.教学重点难点重点:直线与圆的方程的应用.难点:直线与圆的方程的应用.学习过程一、设计问题,创设情境直线与圆的方程在生产、生活实践以及数学中有着广泛的应用.直线与圆的方程在实际生活以及平面几何中的应用.圆的标准方程是什么?一般方程是什么?点到直线的距离公式是什么?直线与圆的方程在生产、生活实践以及数学中有着广泛的应用,本节通过几个例子说明直线与圆的方程在实际生活以及平面几何中的应用.①直线与圆的位置关系有三类:相交、相切、相离.②解决直线与圆的位置关系,将采用代数和几何两种方法,多数情况下采用圆心到直线的距离与半径的关系来解决.例如:某圆拱形桥一孔圆拱的示意图(如图),这个圆的圆拱跨度AB=20 m,拱高OP=4 m,建造时每间隔4 m需要用一根支柱支撑,求支柱A2P2的高度(精确到0.01 m).二、学生探索,尝试解决对于以上实例应该考虑建立直角坐标系,确定圆的方程进而求解.如何用坐标法解决几何问题呢?三、信息交流,揭示规律1.用坐标法解决几何问题时,先用表示相应的几何元素:点、直线、圆,将几何问题转化为问题;然后通过代数运算解决代数问题;2.最后解释代数运算结果的,得到几何问题的结论.这就是用解决几何问题的“三步曲”:第一步:;第二步:;第三步:.四、运用规律,解决问题3.对于以上实例解析如下:分析:建立如图所示的直角坐标系,只需求出P2的纵坐标,就可得出支柱A2P2的高度.总结规律:(试总结如何把几何问题转化为代数问题进行求解?)4.已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直,求证:圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半.证明:总结规律:(试总结如何把几何问题转化为代数问题进行求解?)五、变练演编,深化提高本节的问题主要围绕直线和圆的位置关系来设计,例如求圆的方程中条件的设计:直线与圆相切,直线与圆相交产生的弦长问题——垂径定理的运用等.5.例如:求以C(1,3)为圆心,并且和直线3x-4y-7=0相切的圆的标准方程.同学们可以仿照例题和所考查的知识点来进行编写.(设计意图:通过学生的自主编题,掌握确定用坐标法解决几何问题的关键所在和具体步骤,使学生进一步提高分析问题、解决问题的能力.)六、信息交流,教学相长几何问题可以转化为代数计算来解决,转化的思想和具体步骤是什么?和纯粹的几何证明相比有什么优点?5.例如:求以C(1,3)为圆心,并且和直线3x-4y-7=0相切的圆的标准方程.=16,解:圆心到直线的距离为r=√3+(-4).所以所求圆的方程为(x-1)2+(y-3)2=25625七、反思小结,观点提炼用坐标法解决几何问题时,先用坐标和方程表示相应的几何元素:点、直线、圆将几何问题转化为代数问题;然后通过代数运算解决代数问题;最后解释代数运算结果的几何含义,得到几何问题的结论,这就是用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”:第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题.第二步:通过代数运算,解决代数问题;第三步:把代数运算结果“翻译”成几何结论.布置作业课本P 132练习第2,3,4题.参考答案三、1.坐标和方程 代数2.几何含义,坐标方法,建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题;通过代数运算,解决代数问题;把代数运算结果“翻译”成几何结论.四、3.建立如图所示的直角坐标系,使圆心在y 轴上,设圆心的坐标是(0,b),圆的半径为r,那么圆的方程为:x 2+(y -b)2=r 2,因为点P(0,4),B(10,0)在圆上,所以,有{02+(4-b )2=r 2,102+b 2=r 2,解得{b =-10.5,r 2=14.52, 所以,圆的方程为:x 2+(y+10.5)2=14.52把P 2的横坐标x=-2代入圆的方程,得(-2)2+(y+10.5)2=14.52,由题意可知y>0,解得:y=3.86答:支柱A 2P 2的高度约为3.86米.4.以四边形ABCD 互相垂直的对角线CA,BD 所在直线分别为x 轴、y 轴,建立如图所示的直角坐标系,设A(a,0),B(0,b),C(c,0),D(0,d),过四边形外接圆的圆心O'分别作AC 、BD 、AD 的垂线,垂足为M,N,E,则M 、N 、E 分别为AC 、BD 、AD 的中点,由中点坐标公式,有:x O'=x M =a+c 2,y O'=y N =b+d 2,x E =a 2,y E =d 2, 由两点间的距离公式,有:|O'E|=√(d 2-b+d 2)2+(a 2-a+c 2)2=12√b 2+c 2, 又|BC|=2+c 2,所以,|O'E|=12|BC|.即圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半.5.解:圆心到直线的距离为r=√3+(-4)=165,所以所求圆的方程为(x -1)2+(y -3)2=25625.。
2019-2020学年高中数学《4.2.3直线与圆的方程的应用》学案 新人教A版必修2.doc
2019-2020学年高中数学《4.2.3直线与圆的方程的应用》学案 新人教A 版必修22．利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；3．会用“数形结合”的数学思想解决问题．138140，找出疑惑之处）1．圆与圆的位置关系有.2．圆224450x y x y ++--=和圆2284x y x y +-+70+=的位置关系为 .3．过两圆22640x y x +--=和22628x y y ++-0=的交点的直线方程 .二、新课导学※ 学习探究1．直线方程有几种形式? 分别是?2．圆的方程有几种形式?分别是哪些?3．求圆的方程时,什么条件下,用标准方程?什么条件下用一般方程?4．直线与圆的方程在生产.生活实践中有广泛的应用.想想身边有哪些呢?※典型例题例1 已知某圆拱形桥.这个圆拱跨度20OP m=,建造时每间隔4m需要用一根=,拱高4AB m支柱支撑,求支柱A B的高度(精确0.01m)22变式：赵州桥的跨度是37.4m.圆拱高约为7.2m.求这座圆拱桥的拱圆的方程例 2 已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直,求证圆心到一边距离等于这条边所对这条边长的一半.※ 动手试试练1. 求出以曲线2225x y +=与213y x =-的交点为顶点的多边形的面积.练2. 讨论直线2y x =+与曲线y =.三、总结提升※ 学习小结1．用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆，然后通过对坐标和方程的代数运算，把代数结果“翻译”成几何关系，得到几何问题的结论，这就是用坐标法解决几何问题的“三部曲”.2．用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论． .※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 一动点到(4,0)A -的距离是到(2,0)B 的距离的2倍，则动点的轨迹方程（ ）.A ．()2244x y -+=B ．()22416x y -+=C ．22(4)4x y +-=D ．22(4)16x y +-=2. 如果实数,x y 满足22410x y x +-+=，则y x的最大值为（ ）A ．3. 圆222430x y x y +++-=上到直线10x y ++=的距离为 ）.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4. 圆()()22114x y -+-=关于直线:22l x y --=对称的圆的方程 . 5. 求圆()()22114x y -++=关于点()2,2对称的圆的方程 ..2. 机械加工后的产品是否合格,要经过测量检验某车间的质量检测员利用三个同样的量球以及两块不同的长方体形状的块规检测一个圆弧形零件的半径.已知量球的直径为2厘米,并测出三个不同高度和三个相应的水平距离,求圆弧零件的半径.。
数学：4.2.3《直线与圆的方程的应用》教案(新课标必修2) 最新!!
练习2：P144练习1；
四．本节小结：
作业
P144/A组7；P145/B组3、4
后记
一．复习旧知：
1．直线与圆、圆与圆的位相交；
（2）求两圆公共弦所在直线方程；（ ）
（3）在平面上找一点P，使过P点引两圆的切线，它们的长都等于 ，并求此点的坐标。（ 或 ）
二．探索新知：
1．坐标系下直线与圆方程实际问题的解决：
例1：（P142例4）某圆拱形桥的圆拱跨度 m，拱高 m，建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑，求支柱 的高度。（图见课本P142）
主要内容及板书
练习1：P144练习2、3、4；
2．直线与圆位置关系的深入问题：
例2：（1）求与圆 关于直线 对称的圆的方程；
（2）一束光线从点A（－2，4）出发经x轴反射后，与圆 相切，试求
①入射光线所在直线的方程；
②光线在这一过程中所走的路程；
③若光线从点A（－2，4）出发经x轴反射后，与圆 有公共点，试求光线在该过程中所走路程的最小值及此时的公共点坐标。
教学内容：§4.2.3直线与圆的方程的应用总第5课时
教学目标
1．结合具体实例，让学生经历解答应用题的基本方法与过程；
2．会解决直线与圆位置关系的拓展问题，如对称、反射、最值等问题；
本节重点
直线与圆的方程在实际问题和平面几何等问题中的应用
本节难点
用坐标法解决实际问题
教学模式
教学过程
主要内容及板书
摘要与反思
例2：（P143例5）已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半。
高中数学人教A版必修2《4.2.3直线与圆的方程的应用》教学案3
必修二《4.2.3直线与圆的方程应用》教学案学习目标(1)理解直线与圆的位置关系的几何性质；(2)利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；(3)会用“数形结合”的数学思想解决问题．学习重点直线与圆的方程的应用．学习难点直线与圆的方程的应用．教学设计一、目标展示二、自主学习三、合作探究直线与圆的方程的应用非常广泛，对于生产、生活实践以及平面几何中与直线和圆有关的问题，我们可以建立直角坐标系，通过直线与圆的方程，将其转化为代数问题来解决．本节我们通过几个例子说明直线与圆的方程在实际生活以及平面几何中的应用．四、精讲点拨例1如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图．这个圆的圆拱跨度AB＝20m，拱高OP＝4 m，建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度(精确到0.01m)．跟踪训练1一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西60km处，受影响的范围是半径长为20km的圆形区域．已知港口位于台风中心正北30km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？例2已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证：圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半．跟踪训练2Rt△ABC的斜边BC为定长m，以斜边的中点O为圆心作半径为定长n的圆，BC所在直线交此圆于P、Q两点，求证：|AP|2＋|AQ|2＋|PQ|2为定值．例3．某圆拱桥的水面跨度20m，拱高4m．现有一船，宽10m，水面以上高3m，这条船能否从桥下通过？跟踪训练3设半径为3km的圆形村落，A、B两人同时从村落中心出发，A向东，B向北，A出村后不久改变前进方向，斜着沿切于村落圆周的方向前进，后来恰好与B相遇，设A、B两人的速度一定，其比为3∶1，问A、B两人在何处相遇？五、达标检测1．一辆卡车宽2.7米，要经过一个半径为4.5米的半圆形隧道(双车道，不得违章)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距离地面的高度不得超过 ( )A．1.4米B．3.0米C．3.6米D．4.5米2．方程y＝1－x2表示的图形是( )3．如图所示，A，B是直线l上的两点，且AB＝2.两个半径相等的动圆分别与l相切于A，B点，C是两个圆的公共点，则圆弧AC，CB与线段AB围成的图形面积S的取值范围是___________．六、课堂小结1．利用坐标法解决平面几何问题，是将几何中“形”的问题转化为代数中“数”的问题，应用的是数学中最基本的思想方法：转化与化归的思想方法，事实上，数学中一切问题的解决都离不开转化与化归．所谓转化与化归思想是指把待解决的问题(或未解决的问题)转化化归为已有知识范围内可解决的问题的一种数学意识．2．利用直线与圆的方程解决最值问题的关键是由某些代数式的结构特征联想其几何意义，然后利用直线与圆的方程及解析几何的有关知识并结合图形的直观性来分析解决问题．课后作业习题4．2B组：1、2．教后反思。
高中数学 必修二(4.2.3 直线与圆的方程的应用)示范教案 新人教A版必修2
4.2.3 直线与圆的方程的应用教学过程导入新课思路1.如图1,某城市中的高空观览车的高度是100 m,图1在离观览车约150 m处有一建筑物,某人在离建筑物100 m的地方刚好可以看到观览车,你根据上述数据,如何求出该建筑物的高度？要解决这个问题,我们继续研究直线与圆的方程的应用,教师板书课题:直线与圆的方程的应用.思路2.同学们,前面我们学习了圆的方程、直线与圆的位置关系、圆和圆的位置关系,那么如何利用这些关系来解决一些问题,怎样解决?带着这些问题我们学习直线与圆的方程的应用.教师板书课题:直线与圆的方程的应用.推进新课新知探究提出问题①你能说出直线与圆的位置关系吗？②解决直线与圆的位置关系,你将采用什么方法？③阅读并思考教科书上的例4,你将选择什么方法解决例4的问题？④你能分析一下确定一个圆的方程的要点吗？⑤你能利用“坐标法”解决例5吗？活动：学生回忆,教师引导,教师提问,学生回答,学生之间可以相互交流讨论,学生有困难教师点拨.教师引导学生考虑解决问题的思路,要全面考虑,发散思维.①学生回顾学习的直线与圆的位置关系的种类；②解决直线与圆的位置关系,可以采取两种方法；③首先考虑问题的实际意义,如果本题出在初中,我们没有考虑的余地,只有几何法,在这里当然可以考虑用坐标法,两种方法比较可知哪个简单；④回顾圆的定义可知确定一个圆的方程的条件；⑤利用“坐标法”解决问题的关键是建立适当的坐标系,再利用代数与几何元素的相互转化得到结论.讨论结果：①直线与圆的位置关系有三类:相交、相切、相离.②解决直线与圆的位置关系,将采用代数和几何两种方法,多数情况下采用圆心到直线的距离与半径的关系来解决.③阅读并思考教科书上的例4,先用代数方法及坐标法,再用几何法,作一比较.④你能分析一下确定一个圆的方程的要点,圆心坐标和半径,有时关于D、E、F的三个独立的条件也可.⑤建立适当的坐标系,具体解法我们在例题中展开.应用示例思路1例1 讲解课本4.2节例4,解法一见课本.图2解法二：如图2,过P 2作P 2H⊥OP.由已知,|OP|=4,|OA|=10.在Rt△AOC 中,有|CA|2=|CO|2+|OA|2设拱圆所在的圆的半径为r,则有r 2=(r-4)2+102. 解得r=14.5.在Rt△CP 2H 中,有|CP 2|2=|CH|2+|P 2H|2.因为|P 2H|=|OA 2|=2,于是有|CH|2=r 2-|OA 2|2=14.52-4=206.25.又|OC|=14.5-4=10.5,于是有|OH|=|CH|-|CO|=25.206-10.5≈14.36-10.5=3.86. 所以支柱A 2P 2的长度约为3.86 cm.点评：通过课本解法我们总结利用坐标法解决几何问题的步骤是：第一步：建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算,解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论. 把两种解法比较可以看出坐标法通俗易懂,几何法较难想,繁琐,因此解题时要有所选择. 变式训练已知圆内接四边形的对角线互相垂直,求证：圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半.图3解:如图3,以四边形ABCD 互相垂直的对角线CA 、DB 所在直线分别为x 轴、y 轴,建立适当的平面直角坐标系,设A(a,0),B(0,b),C(c,0),D(0,d).过四边形ABCD 的外接圆的圆心O 1分别作AC 、BD 、AD 的垂线,垂足分别为M 、N 、E,则M 、N 、E 分别为线段AC 、BD 、AD 的中点,由线段的中点坐标公式,得1O x =x m =2c a +,1O y =y n =2d b +,x E =2a ,y E =2d.所以|O 1E|=222221)222()222(c bd d b a c a +=-++-+. 又|BC|=22c b +,所以|O 1E|=21|BC|. 点评:用坐标法解决几何问题时,先用坐标和方程表示相应的几何元素、点、直线、圆.将几何问题转化为代数问题,然后通过代数运算解决代数问题,最后解释代数运算结果的几何意义,得到几何问题的结论.例2 有一种大型商品,A 、B 两地都有出售,且价格相同,某地居民从两地之一购得商品后回运的运费是：每单位距离A 地的运费是B 地运费的3倍,已知A 、B 两地相距10 km,居民选择A 或B 地购买这种商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低.求A 、B 两地的售货区域的分界线的曲线形状,并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点. 活动：学生先审题,然后思考或讨论,学生有困难教师可以提示引导,建立适当的坐标系,这里以AB 所在直线为x 轴,线段AB 的中点为原点建立直角坐标系较简单,假设一点距A 地近,且费用低,列方程或不等式.解:以AB 所在直线为x 轴,线段AB 的中点为原点建立直角坐标系,则A(－5,0),B(5,0).设某地P 的坐标为(x,y),且P 地居民选择A 地购买商品的费用较低,并设A 地的运费为3a 元/km,则B 地运费为a 元/km.由于P 地居民购买商品的总费用满足条件：价格+A 地运费≤价格+B 地运费,即3a 22)5(y x ++≤a 22)5(y x +-,整理得(x+425)2+y 2≤(415)2. 所以以点C(-425,0)为圆心,415为半径的圆就是两地居民购货的分界线.圆内的居民从A 地购货费用较低,圆外的居民从B 地购货费用较低,圆上的居民从A 、B 两地购货的总费用相等,因此可以随意从A 、B 两地之一购货.点评:在学习中要注意联系实际,重视数学在生产、生活和相关学科中的应用,解决有关实际问题时,关键要明确题意,掌握建立数学模型的基本方法.思路2例1 求通过直线2x-y+3=0与圆x 2+y 2+2x-4y+1=0的交点,且面积最小的圆的方程. 活动:学生思考或交流,教师提示引导,求圆的方程无非有两种方法:代数法和几何法. 解法一:利用过两曲线交点的曲线系,设圆的方程为x 2+y 2+2x-4y+1+λ(2x-y+3)=0,配方得标准式(x+1+λ)2+(y-2-2λ)2=(1+λ)2+(2+2λ)2-3λ-1, ∵r 2=45λ2+λ+4=45(λ+52)2+519,∴当λ=-52时,半径r=519最小. ∴所求面积最小的圆的方程为5x 2+5y 2+6x-18y-1=0.解法二:利用平面几何知识,以直线与圆的交点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)连线为直径的圆符合要求. 由⎩⎨⎧=+-++=+-,0142,03222y x y x y x 消去y,得5x 2+6x-2=0.∴判别式Δ＞0,AB 中点横坐标x 0=221x x +=-53,纵坐标y 0=2x 0+3=59, 即圆心O′(-53,59). 又半径r=21|x 1-x 2|·221+=519,∴所求面积最小的圆的方程是(x+53)2+(y-59)2=519. 点评:要熟练地进行圆的一般式与标准式之间的互化,这里配方法十分重要,方法二用到求弦长的公式|AB|=|x 1-x 2|·21k +;对于圆的弦长,还可以利用勾股定理求得,即|AB|=22d r -,其中r 为圆半径,d 为圆心到弦的距离.变式训练设圆满足①截y 轴所得弦长为2,②被x 轴分成两段弧,弧长之比为3∶1,在满足条件①②的所有圆中,求圆心到直线l:x-2y=0的距离最小的圆的方程.图4解:关键确定圆心坐标和半径.如图4. 设圆心A(a,b),则半径r=2|b|. 由截y 轴的弦长为2,知a 2+1=r 2=2b 2, 又圆心A 到l 的距离d=51|a-2b|,∴5d 2=a 2+4b 2-4ab≥a 2+4b 2-2(a 2+b 2)=2b 2-a 2=1,当且仅当a=b 时等号成立.这里由⎪⎩⎪⎨⎧==+=,2,1,2222r b r a b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=⎪⎩⎪⎨⎧===.2,1,12,1,1r b a r b a 或∴圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2. 例2 已知x,y 是实数,且x 2+y 2-4x-6y+12=0,求(1)xy 的最值;(2)x 2+y 2的最值;(3)x+y 的最值;(4)x-y 的最值.活动：学生思考或交流,教师引导,数形结合,将代数式或方程赋予几何意义.解:(x-2)2+(y-3)2=1表示以点C(2,3)为圆心,1为半径的圆. (1)xy表示圆C 上的点P(x,y)与坐标原点O(0,0)连线的斜率k, 故当y=kx 为圆C 的切线时,k 得最值. ∵21|32|kk +-=1,∴k=2±323.∴x y 的最大值为2+323,最小值为2-323.(2)设x 2+y 2表示圆C 上的点P(x,y)与坐标原点O(0,0)连结的线段长的平方,故由平面几何知识,知当P 为直线OC 与圆C 的两交点P 1、P 2时,OP 12与OP 22分别为OP 2的最大值、最小值.∴x 2+y 2的最大值为(2232++1)2=14+213,最小值为(2232+-1)2=14-213.(3)令x+y=m,当直线l:x+y=m 与圆C 相切时,l 在y 轴上截距m 取得最值. ∵2|32|m -+=1,∴m=5±2.∴x+y 的最大值为5+2,最小值为5-2.(4)令x-y=n,当直线l′:x -y=n 与圆C 相切时,l′在y 轴上截距的相反数n 取得最值. ∵2|32|n --=1,∴n=-1±2.∴x -y 的最大值为-1+2,最小值为-1-2.点评:从“数”中认识“形”,从“形”中认识“数”,数形结合相互转化是数学思维的基本方法之一.“数学是一个有机的统一体,它的生命力的一个必要条件是所有的各个部分不可分离地结合.”(希尔伯特)数形结合的思维能力不仅是中学生的数学能力、数学素养的主要标志之一,而且也是学习高等数学和现代数学的基本能力.本题是利用直线和圆的知识求最值的典型题目.例3 已知圆O 的方程为x 2+y 2=9,求过点A(1,2)所作的弦的中点的轨迹.活动：学生回想求轨迹方程的方法与步骤,思考讨论,教师适时点拨提示,本题可利用平面几何的知识.解法一:参数法(常规方法)设过A 的弦所在的直线方程为y-2=k(x-1)(k 存在时),P(x,y),则⎩⎨⎧-+==+),2(,922k kx y y x 消y,得(1+k 2)x 2+2k(2-k)x+k 2-4k-5=0. ∴x 1+x 2=1)2(22+-k k k . 利用中点坐标公式及中点在直线上,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=+-=12,1)2(22k k y k k k x (k 为参数).∴消去k 得P 点的轨迹方程为x 2+y 2-x-2y=0,当k 不存在时,中点P(1,0)的坐标也适合方程. ∴P 的轨迹是以点(21,1)为圆心,25为半径的圆.解法二:代点法(涉及中点问题可考虑此法)设过点A 的弦MN,M(x 1,y 1),N(x 2,y 2).∵M、N 在圆O 上,∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=+.9,922222121y x y x .∴相减得(x 1+x 2)+2121x x y y --·(y 1+y 2)=0(x 1≠x 2).设P(x,y),则x=221x x +,y=221y y +. ∴M、N 、P 、A 四点共线,2121x x y y --=12--x y (x≠1).∴2x+12--x y ·2y=0. ∴中点P 的轨迹方程是x 2+y 2-x-2y=0(x=1时亦正确). ∴点P 的轨迹是以点(21,1)为圆心,25为半径的圆.解法三:数形结合(利用平面几何知识)由垂径定理知OP⊥PA,故P 点的轨迹是以AO 为直径的圆.(下略)点评:本题涉及求轨迹方程的三种间接方法.思路一,代表了解析几何的基本思路和基本方法,即⎩⎨⎧==,0),(,0),(y x g y x f 消y(或x)得关于x(或y)的一元二次方程Ax 2+Bx+C=0,再利用求根公式、判别式、韦达定理等得解.思路二,又叫平方差法,要求弦的中点的轨迹方程时,用此法比较简便.基本思路是利用弦的两个端点M(x 1,y 1)、N(x 2,y 2)在已知曲线上,将点的坐标代入已知方程然后相减,利用平方差公式可得x 1+x 2、y 1+y 2、x 1-x 2、y 1-y 2等.再由弦MN 的中点P(x,y)的坐标满足x=221x x +,y=221y y +,以及直线MN 的斜率k=2121x x y y --(x 1≠x 2)等,设法消去x 1、x 2、y 1、y 2,即可得弦MN 的中点P 的轨迹方程.用此法对斜率不存在的情况,要单独讨论.思路三,数形结合,利用平面几何知识等,有时能使求解过程变得非常简洁. 学好解析几何,要掌握特点,注意四个结合:①数形结合:形不离数,数不离形,依形判断,就数论形;②动静结合:动中有静,静中有动,几何条件——曲线方程——图形性质;③特殊与一般结合:一般性寓于特殊性之中,特殊化与一般化是重要的数学思维方法; ④理论与实际结合:学以致用,创造开拓. 知能训练课本本节练习1、2、3、4. 拓展提升某种体育比赛的规则是:进攻队员与防守队员均在安全线l 的垂线AC 上(C 为垂足),且距C 分别为2a 和a(a ＞0)的点A 和B,进攻队员沿直线AD 向安全线跑动,防守队员沿直线方向向前拦截,设AD 和BM 交于M,若在M 点,防守队员比进攻队员先到或同时到,则进攻队员失败,已知进攻队员的速度是防守队员速度的两倍,且他们双方速度不变,问进攻队员的路线AD 应为什么方向才能取胜?图5解:如图5,以l 为x 轴,C 为原点建立直角坐标系,设防守队员速度为v,则进攻队员速度为2v,设点M 坐标为(x,y),进攻队员与防守队员跑到点M 所需时间分别为t 1=v AM 2||,t 2=vBM ||. 若t 1＜t 2,则|AM|＜2|BM|,即2222)(2)2(a y x a y x -+<-+. 整理,得x 2+(y-32a)2＞(32a)2,这说明点M 应在圆E:x 2+(y-32a)2=(32a)2以外,进攻队员方能取胜.设AN 为圆E 的切线,N 为切点,在Rt△AEN 中,容易求出∠EAN=30°,所以进攻队员的路线AD 与AC 所成角大于30°即可.。
高中数学 4.2.3直线与圆的方程的应用学案 新人教A版必修2
甘肃省永昌县第一中学高中数学 4.2.3直线与圆的方程的应用学案新人教A 版必修2学习目标：1、理解直线与圆的位置关系的几何性质；2、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；3、会用“数形结合”的数学思想解决问题．学习重点、难点重点：直线与圆的方程的应用．难点：直线与圆的方程的应用时，坐标系的建立、方程的确定。
学习过程一、展示目标二、自主学习习题，不会的先绕过，做好记号.2、把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律，及时整理在解题本，便于复习记忆.三、交流互动1．标准方程问题：例1:圆(x-2)2+(y+3)2=4上的点到x-y+2=0的最远距离 最近的距离 。
2.轨迹问题：例2:过点A(4,0)作直线L 交圆O:x 2+y 2=4于B, C 两点,求线段BC 的中点P 的轨迹方程3.弦长问题：例3: 直线L 经过点(5,5)，且和圆x 2+y 2=25相交，截得的弦长为54, 求直线L 的方程。
4.对称问题：例4:求圆()()22114x y -++=关于点()2,2对称的圆的方程.5.实际应用问题例5:下图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.这个圆的圆拱跨度AB ＝20cm ，拱高OP ＝4m ，建造时每间隔4m 需要用一根支柱支撑，求支柱A 2P 2的高度(精确到0.01m).6.用代数法证明几何问题例6. 已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半.四、达标检测1，求直线l:2x-y-2=0 被圆C:(x-3)2+y2=9 所截得的弦长2，圆(x-1)2+ (y-1)2=4关于直线L:x-2y-2=0对称的圆的方程3，赵州桥的跨度是37.4m,圆拱高约7.2m,求拱圆的方程4，某圆拱桥的水面跨度20m，拱高4m。
现有一船，宽10m，水面以上高3m，这条船能否从桥下通过？五、归纳总结利用直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系解决一些实际问题；用坐标法解决平面几何问题.六、作业布置P页习题8、9、10、11133七、课后反思第（1）课时课题：书法---写字基本知识课型：新授课教学目标：1、初步掌握书写的姿势，了解钢笔书写的特点。
高中数学 4.2.3直线与圆的方程的应用学案 新人教A版必修2
直线与圆的方程的应用（1）利用“坐标法”解决问题的需要准备什么工作？（2）如何建立直角坐标系，才能易于解决平面几何问题？（3）你认为学好“坐标法”解决问题的关键是什么？（4）建立不同的平面直角坐标系，对解决问题有什么直接的影响呢？例 图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.这个圆的圆拱跨度AB = 20m ，拱高OP = 4m ，建造时每间隔4m 需要用一根支柱支撑，求支柱A 2P 2的高度(精确到0.01m).解析：建立图所示的直角坐标系，使圆心在y 轴上.设圆心的坐标是(0，b )，圆的半径是r ，那么圆的方程是x 2 + (y –b )2 = r 2.下面确定b 和r 的值.因为P 、B 都在圆上，所以它们的坐标(0，4)，(10，0)都满足方程x 2 + (y – b )2 = r 2.于是，得到方程组2222220(4),10(0)b r b r ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩解得b = –10.5，r 2 = 14.52所以，圆的方程是x 2 + (y + 10.5)2 = 14.52.把点P 2的横坐标x = –2代入圆的方程，得 (–2)2 + (y + 10.5)2 = 14.52，取2210.514.5(2)y +=--(P 2的纵坐标y ＞0平方根取正值).所以2214.5(2)10.5y =---≈14.36 – 10.5=3.86(m)经典习题例1 一圆形拱桥，现时的水面宽为22米，拱高为9米，一艘船高7.5米，船顶宽4米的船，能从桥下通过吗？【解析】建立坐标系如图所示：C (–11，0 )，D (11，0)，M (0，9)可求得过C 、D 、M 三点的圆的方程是22220101()()99x y ++= 故A 点坐标是(2，y 1)，则22120101()()499y +=- 得y 1≈8.82，(取y 1＞0)∴y 1＞7.5，因此船不能从桥下通过. 例2 设半径为3km 的圆形村落，A 、B 两人同时从村落中心出发，A 向东，B 向北，A 出村后不久改变前进方向，斜着沿切于村落圆周的方向前进，后来恰好与B 相遇，设A 、B 两人的速度一定，其比为3:1，问A 、B 两人在何处相遇.【解析】由题意以村中心为原点，正东方向为x 轴的正方向，正北为y 轴的正方向，建立直角坐标系，设A 、B 两人的速度分别的为3v km/h ，v km/h ，设A 出发a h ，在P 处改变方向，又经过b h 到达相遇点Q ，则P (3av ，0)Q (0，(a + b )v )，则|PQ | = 3bv ，|OP | = 3av ，|OQ | = （a + b ）v在Rt △OPQ 中|PQ |2 = |OP |2 + |OQ |2得5a = 4b 0()30PQ v a b k av -+=- ∴34PQ k =- 设直线PQ 方程为34y x b =-+ 由PQ 与圆x 2 + y 2 = 9相切，22|4|343b =+解得154b = 故A 、B 两人相遇在正北方离村落中心154km. 例3 有一种商品，A 、B 两地均有售且价格相同，但某居住地的居民从两地往回运时，每单位距离A 地的运费是B 地运费的3倍.已知A 、B 相距10km ，问这个居民应如何选择A 地或B 地购买此种商品最合算？(仅从运费的多少来考虑)【解析】以AB 所在的直线为x 轴，AB 的中点为原点建立直角坐标系.|AB | = 10，所以A (–5，0)，B (5，0)设P (x ，y )是区域分界线上的任一点，并设从B 地运往P 地的单位距离运费为a ，即从B 地运往P 地的运费为|PB |·a ，则运住A 地的运费|PA |·3a当运费相等时，就是|PB |·a = 3a ·|PA |，即=整理得2222515()()44x y ++= ① 所以在①表示的圆周上的居民可任意选择在A 或B 地购买，在圆内的居民应选择在A 地购买，在圆外的居民应选择在B 地购买.。
2020学年高中数学 4.2.3 直线与圆的方程的应用(二)学案 新人教A版必修2
4、2、3直线与圆的方程的应用 学案（二）课前预习学案一、预习目标：利用直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系解决一些实际问题二、预习内容：1．你能说出直线与圆的位置关系吗？2．解决直线与圆的位置关系，你将采用什么方法？三、提出疑惑1、 ；2、 ；3、 。
课内探究学案一、学习目标：（1）理解直线与圆的位置关系的几何性质；（2）利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；（3）会用“数形结合”的数学思想解决问题．学习重难点：直线的知识以及圆的知识二、学习过程：1、面积最小圆问题、中点弦轨迹问题例1、求通过直线032=+-y x 与圆014222=+-++y x y x 的交点，且面积最小的圆的方程.变式练习：求圆()()22234x y -++=上的点到20x y -+=的最远、最近的距离。
例2、已知圆O 的方程为922=+y x ，求过点)2,1(A 所作的弦的中点的轨迹.变式练习：已知直线134=+y xl ：，M 是上一动点，过M 作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为A 、B ，则在A 、B 连线上，且满足2=的点P 的轨迹方程。
反思总结：当堂检测:已知与曲线C ：012222=+--+y x y x 相切的直线交y x ,的正半轴与B A 、两点，O 为原点，OA =a ，b OB =，)2,2(>>b a ．（1）求线段AB 中点的轨迹方程；（2）求ab 的最小值．课后练习与提高1、M （),00y x 为圆)0(222>=+a a y x 内异于圆心的一点，则直线200a y y x x =+与该圆的位置关系为A 、相切B 、相交C 、相离D 、相切或相交 2.从直线：03=+-y x 上的点向圆1)2()2(22=+++y x 引切线，则切线长的最小值为A 、223B 、214C 、 423D 、1223- 3、已知),(),,(222111y x P y x P 分别是直线上和直线外的点，若直线的方程是0),(=y x f ，则方程0),(),(),(2211=--y x f y x f y x f 表示A 、与重合的直线B 、过P 2且与平行的直线C 、过P 1且与垂直的直线D 、不过P 2但与平行的直线4.如果实数的最大值那么满足等式x y y x y x ,3)2(,22=+- ．5、已知集合A ＝｛(x,y)｜13--x y ＝2,x 、y ∈R ｝，B ＝｛(x,y)｜4x+ay ＝16,x 、y ∈R ｝，若 A ∩B ＝φ，则实数a 的值为 ．6.等腰三角形ABC 的顶点)0,2(),0,1(的坐标为底边一端点B A -，求另一端点C 的轨迹方程.。
高中数学 4.2.31直线与圆的方程的应用学案 新人教A版必修2
4、2、3直线与圆的方程的应用（一）【教学目标】利用直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系解决一些实际问题【教学重难点】教学重点：直线的知识以及圆的知识教学难点：用坐标法解决平面几何.【教学过程】一、复习准备：(1) 直线方程有几种形式? 分别为什么?(2) 圆的方程有几种形式?分别是哪些?(3) 求圆的方程时,什么条件下,用标准方程?什么条件下用一般方程?(4) 直线与圆的方程在生产.生活实践中有广泛的应用.想想身边有哪些呢?(5) 如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？(6) 如何根据圆的方程，判断它们之间的位置关系?二、讲授新课：提出问题、自主探究例1、如图是一桥圆拱的示意图，根据提供信息完成以下计算：圆拱跨度AB ＝84米，拱高A 6P 6=15米，在建造时每隔7米需用一个支柱支撑，求：支柱A 3P 3的长度（精确到0.01米）．方法一：在O AA Rt 6∆中 R 2 =422 +(R-15)2 可求出半径R ，而在CO P Rt 3∆中222321-=R C P ，∴O A C P P A 6333-=，从而可求得33P A 长度。
能否用学过的圆方程的有关知识来尝试求解？方法二：先求圆的方程，再把求33P A 长度看成3P 的纵坐标。
首先应建立坐标系。
如何建系？四种不同的建系方案：分组解答，同学自选一种建系方案，同桌之间可以互相协作，相互探讨。
归纳总结、巩固步骤总结解决应用问题的步骤：(1)审题----分清条件和结论，将实际问题数学化；(2)建模----将文字语言转化成数学语言或图形语言，找到与此相联系的数学知识，建立数学模型；(3)解模----求解数学问题，得出数学结论；(4) 还原----根据实际意义检验结论，还原为实际问题．流程图：实际问题数学问题数学结论实际问题结论（审题）（建模）（解模）（还原）变式训练：某圆拱桥的水面跨度16米，拱高4米。
有一货船，装满货过桥，顶部宽4米，水面以上高3米，请问此船能否通过？当卸完货返航时，船水面以上高3.9米，此时能否通过？深入讨论、提炼思想在上面问题求解过程中，我们通过“建系”，利用直线和圆的方程来完成平面几何中的计算。
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高中数学 4.2.3直线与圆的方程的应用学案新人教A版必修2
学习目标：
1、理解直线与圆的位置关系的几何性质；
2、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；
3、会用“数形结合”的数学思想解决问题．
学习重点、难点
重点：直线与圆的方程的应用．
难点：直线与圆的方程的应用时，坐标系的建立、方程的确定。
学习过程
一、展示目标
二、自主学习
1、认真研读教材130---132页，认真思考、独立规范作答，认真完成每一个问题，每一道习题，不会的先绕过，做好记号.
2、把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律，及时整理在解题本，便于复习记忆.
三、交流互动
1．标准方程问题：
例1:圆(x-2)2+(y+3)2=4上的点到x-y+2=0的最远距离最近的距离。
2.轨迹问题：
例2:过点A(4,0)作直线L交圆O:x2+y2=4于B,C两点,求线段BC的中点P的轨迹方程
3.弦长问题：
例3: 直线L 经过点(5,5)，且和圆x 2+y 2
=25相交，截得的弦长为54, 求直线L 的方程。
4.对称问题：
例4:求圆()()22114x y -++=关于点()2,2对称的圆的方程.
5.实际应用问题
例5:下图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.这个圆的圆拱跨度AB ＝20cm ，拱高OP ＝4m ，建造时每间隔4m 需要用一根支柱支撑，求支柱A 2P 2的高度(精确到0.01m).
6.用代数法证明几何问题
例6. 已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半.
四、达标检测 A 1A 2A 3A 4A B 2P P O 4m A O D
C B
1，求直线l:2x-y-2=0 被圆C:(x-3)2+y2=9 所截得的弦长
2，圆(x-1)2+(y-1)2=4关于直线L:x-2y-2=0对称的圆的方程
3，赵州桥的跨度是37.4m,圆拱高约7.2m,求拱圆的方程
4，某圆拱桥的水面跨度20m，拱高4m。
现有一船，宽10m，水面以上高3m，这条船能否从桥下通过？
五、归纳总结
利用直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系解决一些实际问题；用坐标法解决平面几何问题.
六、作业布置
P页习题8、9、10、11
133
七、课后反思。