MATLAB 回归分析
用MATLAB求解回归分析
估
F值、与F对应的概率p
计
相关系数 r2 越接近 1，说明回归方程越显著；
.
（
缺
省显
时著
为性
0
水 平
05
）
F > F1-α（k，n-k-1）时拒绝 H0，F 越大，说明回归方程越显著；
与 F 对应的概率 p 时拒绝 H0，回归模型成立.
3、画出残差及其置信区间： rcoplot（r，rint）
例1 解：1、输入数据：
stats = 0.9702 40.6656
0.0005
1、回归：
非线性回 归
是事先用m-文件定 义的非线性函数
（1）确定回归系数的命令： [beta，r，J]=nlinfit（x，y，’model’, beta0）
估计出的 回归系数
残差 Jacobian矩阵
输入数据x、y分别为 n m矩阵和n维列向 量，对一元非线性回 归，x为n维列向量。
r2=0.9282, F=180.9531, p=0.0000
p<0.05, 可知回归模型 y=-16.073+0.7194x 成立.
3、残差分析，作残差图： rcoplot(r,rint)
从残差图可以看出，除第二个数据外，其余数据的残
差离零点均较近，且残差的置信区间均包含零点，这说明 回归模型 y=-16.073+0.7194x能较好的符合原始数据，而第 二个数据可视为异常点.
2、预测和预测误差估计：
（1）Y=polyval（p，x）求polyfit所得的回归多项式在 x处 的预测值Y； （2）[Y，DELTA]=polyconf（p，x，S，alpha）求 polyfit所得的回归多项式在x处的预测值Y及预测值的 显著性为 1-alpha的置信区间Y DELTA；alpha缺省时为0.5
使用Matlab技术进行回归分析的基本步骤
使用Matlab技术进行回归分析的基本步骤回归分析是统计学中一种用于研究变量间关系的方法，可以用来预测和解释变量之间的相关性。
在实际应用中，使用计算工具进行回归分析可以提高分析效率和准确性。
本文将介绍使用Matlab技术进行回归分析的基本步骤，并探讨其中的一些关键概念和技巧。
一、数据准备在进行回归分析之前，首先需要收集和整理相关的数据。
这些数据通常包括自变量和因变量。
自变量是用来解释或预测因变量的变量，而因变量是需要解释或预测的变量。
在Matlab中，可以将数据保存为数据矩阵，其中每一列代表一个变量。
二、模型建立在回归分析中，需要建立一个数学模型来描述自变量和因变量之间的关系。
最简单的线性回归模型可以表示为：Y = βX + ε，其中Y是因变量，X是自变量，β是回归系数，ε是误差项。
在Matlab中，可以使用regress函数来进行线性回归分析。
三、模型拟合模型拟合是回归分析的核心步骤，它的目标是找到最佳的回归系数，使得预测值与实际观测值之间的差异最小。
在Matlab中，可以使用OLS（Ordinary Least Squares）方法来进行最小二乘法回归分析。
该方法通过最小化残差平方和来估计回归系数。
四、模型诊断模型诊断是回归分析中非常重要的一步，它可以帮助我们评估模型的合理性和有效性。
在Matlab中，可以使用多种诊断方法来检验回归模型是否满足统计假设，例如残差分析、方差分析和假设检验等。
这些诊断方法可以帮助我们检测模型是否存在多重共线性、异方差性和离群值等问题。
五、模型应用完成模型拟合和诊断之后，我们可以使用回归模型进行一些实际应用。
例如，可以使用模型进行因变量的预测，或者对自变量的影响进行解释和分析。
在Matlab中，可以使用该模型计算新的观测值和预测值，并进行相关性分析。
六、模型改进回归分析并不是一次性的过程，我们经常需要不断改进模型以提高预测的准确性和解释的可靠性。
在Matlab中，可以使用变量选择算法和模型改进技术来优化回归模型。
matlab回归拟合
matlab回归拟合摘要：一、引言1.回归分析的背景与意义2.MATLAB 软件在回归分析中的应用二、回归分析的基本概念1.回归分析的定义2.回归模型的类型3.回归分析的基本步骤三、MATLAB 回归拟合函数1.fitlm 函数2.fitregression 函数3.fitrgp 函数4.fitcgp 函数四、MATLAB 回归拟合实例1.线性回归实例2.多项式回归实例3.非线性回归实例五、MATLAB 回归分析可视化1.散点图2.回归直线图3.残差图4.R值显示六、结论1.MATLAB 在回归分析中的应用优势2.回归分析在实际问题中的应用正文：一、引言回归分析是一种研究变量之间关系的统计方法。
通过建立自变量与因变量之间的数学模型，可以揭示变量之间的内在规律，为预测和决策提供依据。
MATLAB 是一款功能强大的数学软件，广泛应用于科学计算、数据分析等领域。
在回归分析中，MATLAB 提供了丰富的函数和工具，可以方便地进行数据处理和模型拟合。
二、回归分析的基本概念回归分析是一种研究变量之间关系的统计方法。
通过建立自变量与因变量之间的数学模型，可以揭示变量之间的内在规律，为预测和决策提供依据。
回归分析的基本概念包括：1.回归分析的定义：回归分析是一种研究两个或多个变量之间关系的统计方法。
通过建立自变量与因变量之间的数学模型，可以揭示变量之间的内在规律，为预测和决策提供依据。
2.回归模型的类型：回归模型分为线性回归、多项式回归、非线性回归等。
线性回归是最简单的一种回归模型，其自变量与因变量之间的关系可以用线性方程表示；多项式回归是在线性回归的基础上，对自变量进行多项式变换；非线性回归则涉及到更为复杂的数学关系。
3.回归分析的基本步骤：回归分析的基本步骤包括数据收集、数据处理、模型建立、模型检验和应用。
在数据收集阶段，需要收集与研究问题相关的数据；数据处理阶段是对收集到的数据进行预处理，如缺失值处理、异常值处理等；在模型建立阶段，根据研究目的选择合适的回归模型；模型检验阶段是对建立的模型进行检验，以确定模型是否符合实际情况；在应用阶段，利用拟合好的模型进行预测和决策。
MATLAB回归分析
MATLAB回归分析回归分析是统计学中常用的一种方法，用于建立一个依赖于自变量（独立变量）的因变量（依赖变量）的关系模型。
在MATLAB环境下，回归分析可以实现简单线性回归、多元线性回归以及非线性回归等。
简单线性回归是一种最简单的回归分析方法，它假设自变量和因变量之间存在线性关系。
在MATLAB中，可以通过`polyfit`函数进行简单线性回归分析。
该函数可以拟合一元数据点集和一维多项式，返回回归系数和截距。
例如：```matlabx=[1,2,3,4,5];y=[2,3,4,5,6];p = polyfit(x, y, 1);slope = p(1);intercept = p(2);```上述代码中，`x`是自变量的数据点，`y`是因变量的数据点。
函数`polyfit`的第三个参数指定了回归的阶数，这里是1，即一次线性回归。
返回的`p(1)`和`p(2)`分别是回归系数和截距。
返回的`p`可以通过`polyval`函数进行预测。
例如：```matlabx_new = 6;y_pred = polyval(p, x_new);```多元线性回归是在有多个自变量的情况下进行的回归分析。
在MATLAB中，可以使用`fitlm`函数进行多元线性回归分析。
例如：```matlabx1=[1,2,3,4,5];x2=[2,4,6,8,10];y=[2,5,7,8,10];X=[x1',x2'];model = fitlm(X, y);coefficients = model.Coefficients.Estimate;```上述代码中，`x1`和`x2`是两个自变量的数据点，`y`是因变量的数据点。
通过将两个自变量放在`X`矩阵中，可以利用`fitlm`函数进行多元线性回归分析。
返回值`model`是回归模型对象，可以通过`model.Coefficients.Estimate`获得回归系数。
Matlab统计回归详解
统计回归一、一元线性回归回归分析中最简单的形式是x y 10ββ+=，y x ,均为标量，10,ββ为回归系数，称一元线性回归。
这里不多做介绍，在线性回归中以介绍多元线性回归分析为主。
二、多元线性回归（regress ）多元线性回归是由一元线性回归推广而来的，把x 自然推广为多元变量。
m m x x y βββ+++= 110 （1）2≥m ，或者更一般地)()(110x f x f y m m βββ+++= （2）其中),,(1m x x x =，),,1(m j f j =是已知函数。
这里y 对回归系数),,,(10m ββββ =是线性的，称为多元线性回归。
不难看出，对自变量x 作变量代换，就可将（2）化为（1）的形式，所以下面以（1）为多元线性回归的标准型。
1.1 模型在回归分析中自变量),,,(21m x x x x =是影响因变量y 的主要因素，是人们能控制或能观察的，而y 还受到随机因素的干扰，可以合理地假设这种干扰服从零均值的正态分布，于是模型记作⎩⎨⎧++++=),0(~2110σεεβββN x x y m m （3） 其中σ未知。
现得到n 个独立观测数据),,,(1im i i x x y ，m n n i >=,,,1 ，由（3）得⎩⎨⎧=++++=ni N x x y i i im m i i ,,1),,0(~2110 σεεβββ （4） 记⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=nm n m x x x x X 111111， ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=n y y Y 1 （5） T n ][1εεε =，T m ][10ββββ =（4）表示为 ⎩⎨⎧+=),0(~2σεεβN X Y （6） 1.2 参数估计用最小二乘法估计模型（3）中的参数β。
由（4）式这组数据的误差平方和为∑=--==ni T i X Y X Y Q 12)()()(ββεβ （7）求β使)(βQ 最小，得到β的最小二乘估计，记作βˆ，可以推出 Y X X X T T 1)(ˆ-=β（8） 将βˆ代回原模型得到y 的估计值mm x x y βββˆˆˆˆ110+++= （9） 而这组数据的拟合值为βˆˆX Y =，拟合误差Y Y e ˆ-=称为残差，可作为随机误差ε的估计，而∑∑==-==n i ni i i iy y e Q 1122)ˆ( （10） 为残差平方和（或剩余平方和），即)ˆ(βQ 。
matlab回归分析
1、 regress命令用于一元及多元线性回归，本质上是最小二乘法。
在Matlab 2014a中，输入help regress ，会弹出和regress的相关信息，一一整理。
调用格式：B = regress(Y,X)[B,BINT] = regress(Y,X)[B,BINT,R] = regress(Y,X)[B,BINT,R,RINT] = regress(Y,X)B,BINT,R,RINT,STATS] = regress(Y,X)[...] = regress(Y,X,ALPHA)参数解释：B：回归系数，是个向量（“the vector B of regression coefficients in the linear model Y = X*B”）。
BINT：回归系数的区间估计（“a matrix BINT of 95% confidence intervals for B”）。
R：残差（“a vector R of residuals”）。
RINT：置信区间（“a matrix RINT of intervals that can be used to diagnose outliers”）。
STATS：用于检验回归模型的统计量。
有4个数值：●判定系数R^2: 指回归直线对观测值的拟合程度。
R^2的取值范围是[0，1]。
R^2的值越接近1，说明回归直线对观测值的拟合程度越好；反之，R^2的值越接近0，说明回归直线对观测值的拟合程度越差。
●F统计量观测值: F值越大通过检验的可能性就越大F值表示回归模型的方差与残差的比值（残差就是总方差减去回归模型的方差）,可以想象F越大表示残差越小,模拟的精度越高（从方差方面考虑）.不过只要F的值大于你所需要的显著性检验的临界值就可以了.●检验的p的值: 就是当原假设为真时所得到的样本观察结果或更极端结果出现的概率。
如果P值很小，说明原假设情况的发生的概率很小，而如果出现了，根据小概率原理，我们就有理由拒绝原假设，P值越小，我们拒绝原假设的理由越充分。
Matlab技术回归分析方法
Matlab技术回归分析方法简介：回归分析是一种常用的数据分析方法，用于建立变量之间的关系模型。
Matlab是一种功能强大的数值计算软件，提供了丰富的函数和工具包，用于实现回归分析。
本文将介绍几种常见的Matlab技术回归分析方法，并探讨其应用场景和优缺点。
一、线性回归分析：线性回归分析是回归分析的经典方法之一，用于研究变量之间的线性关系。
在Matlab中，可以使用`fitlm`函数来实现线性回归分析。
该函数通过最小二乘法拟合出最优的线性模型，并提供了各种统计指标和图形展示功能。
线性回归分析的应用场景广泛，例如预测销售额、研究市场需求等。
然而，线性回归假设自变量和因变量之间存在线性关系，当数据呈现非线性关系时，线性回归会失效。
为了解决非线性关系的问题，Matlab提供了多种非线性回归分析方法，如多项式回归、指数回归等。
二、多项式回归分析：多项式回归分析是一种常见的非线性回归方法，用于建立多项式模型来描述变量之间的关系。
在Matlab中，可以使用`fitlm`函数中的`polyfit`选项来实现多项式回归分析。
多项式回归在处理非线性关系时具有很好的灵活性。
通过选择不同的多项式次数，可以适应不同程度的非线性关系。
然而，多项式回归容易过拟合，导致模型过于复杂，对新数据的拟合效果不佳。
为了解决过拟合问题，Matlab提供了正则化技术，如岭回归和Lasso回归，可以有效控制模型复杂度。
三、岭回归分析：岭回归是一种正则化技术，通过添加L2正则项来控制模型的复杂度。
在Matlab中，可以使用`fitlm`函数的`Regularization`选项来实现岭回归分析。
岭回归通过限制系数的大小，减少模型的方差，并改善模型的拟合效果。
然而，岭回归不能自动选择最优的正则化参数，需要通过交叉验证等方法进行调优。
四、Lasso回归分析：Lasso回归是另一种常用的正则化技术，通过添加L1正则项来控制模型的复杂度。
在Matlab中，可以使用`fitlm`函数的`Regularization`选项来实现Lasso回归分析。
数学建模回归分析matlab版
案例一：股票价格预测
总结词
基于历史销售数据，建立回归模型预测未来销售量。
详细描述
收集公司或产品的历史销售数据，包括销售额、销售量、客户数量等，利用Matlab进行多元线性回归分析，建立销售量与时间、促销活动、市场环境等因素之间的回归模型，并利用模型预测未来销售量。
案例二：销售预测
基于历史人口数据，建立回归模型预测未来人口增长趋势。
非线性模型的评估和检验
非线性回归模型是指因变量和自变量之间的关系不是线性的，需要通过非线性函数来拟合数据。
非线性回归模型
Matlab提供了非线性最小二乘法算法，可以用于估计非线性回归模型的参数。
非线性最小二乘法
03
CHAPTER
线性回归分析
一元线性回归分析是用来研究一个因变量和一个自变量之间的线性关系的统计方法。
回归分析在许多领域都有广泛的应用，如经济学、生物学、医学、工程学等。
它可以帮助我们理解变量之间的关系，预测未来的趋势，优化决策，以及评估模型的性能和可靠性。
回归分析的重要性
模型评估指标
用于评估模型性能的统计量，如均方误差（MSE）、均方根误差（RMSE）等。
误差项
实际观测值与模型预测值之间的差异，通常用 ε 表示。
总结词
对数回归模型的一般形式为 (y = a + blnx) 或 (y = a + bln(x))，其中 (y) 是因变量，(x) 是自变量，(a) 和 (b) 是待估计的参数。在Matlab中，可以使用 `log` 函数进行对数转换，并使用 `fitlm` 或 `fitnlm` 函数进行线性化处理，然后进行线性回归分析。
详细描述
多项式回归模型是一种非线性回归模型，适用于因变量和自变量之间存在多项式关系的情况。
Matlab中的回归分析技术实践
Matlab中的回归分析技术实践引言回归分析是统计学中常用的一种分析方法，用于研究因变量和一个或多个自变量之间的关系。
Matlab是一种强大的数值计算软件，具有丰富的统计分析工具和函数。
通过Matlab中的回归分析技术，我们可以深入理解数据背后的规律，并预测未来的趋势。
本文将介绍Matlab中常用的回归分析方法和技巧，并通过实例演示其实践应用。
一、简单线性回归分析简单线性回归是回归分析的最基本形式，用于研究一个自变量和一个因变量之间的线性关系。
在Matlab中，可以使用`fitlm`函数进行简单线性回归分析。
以下是一个示例代码：```Matlabx = [1, 2, 3, 4, 5]';y = [2, 4, 6, 8, 10]';lm = fitlm(x, y);```这段代码中，我们定义了两个向量x和y作为自变量和因变量的观测值。
使用`fitlm`函数可以得到一个线性回归模型lm。
通过这个模型，我们可以获取回归系数、拟合优度、显著性检验等信息。
二、多元线性回归分析多元线性回归分析允许我们研究多个自变量与一个因变量的关系。
在Matlab中，可以使用`fitlm`函数进行多元线性回归分析。
以下是一个示例代码：```Matlabx1 = [1, 2, 3, 4, 5]';x2 = [0, 1, 0, 1, 0]';y = [2, 4, 6, 8, 10]';X = [ones(size(x1)), x1, x2];lm = fitlm(X, y);```这段代码中，我们定义了两个自变量x1和x2，以及一个因变量y的观测值。
通过将常数项和自变量组合成一个设计矩阵X，使用`fitlm`函数可以得到一个多元线性回归模型lm。
通过这个模型，我们可以获取回归系数、拟合优度、显著性检验等信息。
三、非线性回归分析在实际问题中，很多情况下变量之间的关系并不是线性的。
非线性回归分析可以更准确地建模非线性关系。
如何在MATLAB中进行统计回归分析
如何在MATLAB中进行统计回归分析统计回归分析是一种被广泛应用于数据科学和统计学领域的技术。
它被用来分析变量之间的关系，并预测一个或多个自变量对因变量的影响。
在MATLAB中，有许多强大的工具和函数可以帮助我们进行统计回归分析。
本文将讨论如何在MATLAB中使用这些功能进行统计回归分析。
1. 数据导入与预处理在进行回归分析之前，首先需要将数据导入到MATLAB中。
MATLAB支持多种数据格式，如CSV、Excel、文本文件等。
可以使用readmatrix或readtable等函数读取数据，根据数据的特点选择合适的函数。
在导入数据之后，通常需要对数据进行预处理。
这包括处理缺失值、异常值以及数据的标准化。
MATLAB提供了一系列函数来处理这些问题，如isnan、isoutlier和zscore等。
2. 单变量回归分析单变量回归分析是最基本的回归分析方法。
它用于分析一个自变量对一个因变量的影响。
在MATLAB中，可以使用fitlm函数进行单变量回归分析。
fitlm函数需要输入自变量和因变量的数据，然后可以对回归模型进行拟合，并得到回归系数、残差等统计信息。
使用plot函数可以绘制回归模型的拟合曲线，以及残差的散点图。
通过观察残差的分布，可以评估拟合模型的合理性。
3. 多变量回归分析多变量回归分析是在一个或多个自变量对一个因变量的影响进行分析。
在MATLAB中，可以使用fitlm函数或者fitlmulti函数实现多变量回归分析。
fitlm函数可以处理多个自变量，但是需要手动选择自变量，并提供自变量和因变量的数据。
fitlmulti函数则可以自动选择最佳的自变量组合，并进行回归拟合。
它需要提供自变量和因变量的数据矩阵。
多变量回归分析的结果可以通过查看回归系数和残差来解释。
还可以使用plot函数绘制回归模型的拟合曲面或曲线，以便更好地理解自变量对因变量的影响。
4. 方差分析方差分析是一种常用的统计方法，用于比较两个或多个因素对因变量的影响。
MATLAB回归分析工具箱使用方法
MATLAB回归分析工具箱使用方法下面将详细介绍如何使用MATLAB中的回归分析工具箱进行回归分析。
1.数据准备回归分析需要一组自变量和一个因变量。
首先，你需要将数据准备好，并确保自变量和因变量是数值型数据。
你可以将数据存储在MATLAB工作区中的变量中，也可以从外部文件中读取数据。
2.导入回归分析工具箱在MATLAB命令窗口中输入"regstats"命令来导入回归分析工具箱。
这将使得回归分析工具箱中的函数和工具可用于你的分析。
3.线性回归分析线性回归分析是回归分析的最基本形式。
你可以使用"regstats"函数进行线性回归分析。
以下是一个简单的例子：```matlabdata = load('data.mat'); % 从外部文件加载数据X = data.X; % 自变量y = data.y; % 因变量stats = regstats(y, X); % 执行线性回归分析beta = stats.beta; % 提取回归系数rsquare = stats.rsquare; % 提取判定系数R^2```在上面的例子中，"regstats"函数将自变量X和因变量y作为参数，并返回一个包含回归系数beta和判定系数R^2的结构体stats。
4.非线性回归分析如果你的数据不适合线性回归模型，你可以尝试非线性回归分析。
回归分析工具箱提供了用于非线性回归分析的函数，如"nonlinearmodel.fit"。
以下是一个非线性回归分析的例子：```matlabx=[0.10.20.5125]';%自变量y=[0.92.22.83.66.58.9]';%因变量f = fittype('a*exp(b*x)'); % 定义非线性模型model = fit(x, y, f); % 执行非线性回归分析coeffs = model.coefficients; % 提取模型系数```在上面的例子中，"fittype"函数定义了一个指数型的非线性模型，并且"fit"函数将自变量x和因变量y与该模型拟合，返回包含模型系数的结构体model。
MATLAB程序设计 第6章 回归分析和方差分析
参数估计和假设检验
（1）区间估计 ❖例：有一大批糖果，现从中随机地取16袋,称得质量(单位:g)如下: 506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496
参数估计和假设检验
❖计算的MATLAB程序如下：
x0 = [506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496]; x0 = x0( : ); alpha = 0.05; mu = mean( x0); sig = std( x0 ); n =length(x0 ); t =[mu -sig/sqrt(n)*tinv(1-alpha /2,n-1),mu+ sig/sqrt(n)*tinv(1 -alpha/2,n-1)]; %以下命令ttest的返回值ci就直接给出了置信区间估计 [h,p,ci] =ttest(x0, mu,0.05)%通过假设检验也可求得置信区间
记
多元线性回归
（2）参数估计 理论模型中的参数 β0 ，β1，…，βm用最小二乘法估计，即应选取估计值
， j=0，1，…，m 时，误差平方和达到最小。
，使当
令
得
整理化为正规方程组
多元线性回归
正规方程组的矩阵形式为
，
当矩阵 X列满秩时，XT X 为可逆方阵，
将 代回原模型得到 y 的估计值，
而这组数据的拟合值为，
非线性回归
非线性回归是指因变量 y对回归系数 β1 ,…, βm (而不是自变量)是非线性的。 MATLAB统计工具箱中的命令 nlinfit、nlparci、nlpredci、nlintool，不仅可以给出 拟合的回归系数及其置信 区间，而且可以给出预测值及其置信区间等。
MATLAB回归分析工具箱使用方法
MATLAB回归分析工具箱使用方法回归分析是一种用于探索变量之间关系的统计方法。
它可以通过分析一个或多个自变量（也称为预测变量或解释变量）与一个因变量（也称为响应变量或预测变量）之间的关系来进行预测和解释。
在MATLAB中，进行回归分析需要使用统计和机器学习工具箱。
下面是使用MATLAB回归分析工具箱的一般步骤：1.准备数据：首先，你需要准备你要进行回归分析的数据。
数据应包括自变量和因变量。
你可以将数据存储在MATLAB的工作空间中。
2. 导入数据：如果你的数据存储在外部文件中，如Excel文件或CSV文件，你可以使用MATLAB的导入工具将数据导入到MATLAB中。
3.拟合模型：在回归分析中，你需要选择适当的模型来拟合你的数据。
MATLAB提供了多种回归模型，如线性回归、多项式回归、广义线性模型等。
你可以根据你的数据类型和需求选择适当的模型。
4. 拟合模型参数：一旦你选择了合适的模型，你需要拟合模型参数。
在MATLAB中，你可以使用"fitlm"函数来拟合线性模型，使用"fitrgp"函数来拟合高斯过程回归模型。
这些函数将返回一个拟合模型的对象。
5.模型评估：拟合模型后，你可以对模型进行评估。
MATLAB提供了一些工具来评估模型的好坏，如决定系数（R²）、均方根误差（RMSE）等。
你可以使用这些指标来判断你的模型是否满足你的需求。
6. 预测：一旦你拟合了你的模型并评估了模型的好坏，你可以使用模型来进行预测。
你可以使用"predict"函数来预测新的自变量对应的因变量。
除了上述步骤外，MATLAB还提供了一些其他的回归分析工具箱的功能，如特征选择、模型比较、交叉验证等。
你可以根据你的需求来选择适当的功能和方法。
总结起来，使用MATLAB回归分析工具箱进行回归分析的一般步骤包括数据准备、数据导入、选择模型、拟合模型参数、模型评估和预测。
(完整word版)matlab回归分析方法
第八章回归分析方法当人们对研究对象的内在特性和各因素间的关系有比较充分的认识时，一般用机理分析方法建立数学模型.如果由于客观事物内部规律的复杂性及人们认识程度的限制，无法分析实际对象内在的因果关系，建立合乎机理规律的数学模型，那么通常的办法是搜集大量数据，基于对数据的统计分析去建立模型。
本章讨论其中用途非常广泛的一类模型——统计回归模型。
回归模型常用来解决预测、控制、生产工艺优化等问题。
变量之间的关系可以分为两类：一类叫确定性关系，也叫函数关系，其特征是:一个变量随着其它变量的确定而确定。
另一类关系叫相关关系,变量之间的关系很难用一种精确的方法表示出来.例如，通常人的年龄越大血压越高，但人的年龄和血压之间没有确定的数量关系,人的年龄和血压之间的关系就是相关关系。
回归分析就是处理变量之间的相关关系的一种数学方法。
其解决问题的大致方法、步骤如下：（1）收集一组包含因变量和自变量的数据;（2)选定因变量和自变量之间的模型，即一个数学式子，利用数据按照最小二乘准则计算模型中的系数；（3）利用统计分析方法对不同的模型进行比较，找出与数据拟合得最好的模型;(4)判断得到的模型是否适合于这组数据；(5）利用模型对因变量作出预测或解释。
应用统计分析特别是多元统计分析方法一般都要处理大量数据,工作量非常大，所以在计算机普及以前，这些方法大都是停留在理论研究上.运用一般计算语言编程也要占用大量时间，而对于经济管理及社会学等对高级编程语言了解不深的人来说要应用这些统计方法更是不可能.MATLAB等软件的开发和普及大大减少了对计算机编程的要求，使数据分析方法的广泛应用成为可能。
MATLAB统计工具箱几乎包括了数理统计方面主要的概念、理论、方法和算法。
运用MATLAB统计工具箱，我们可以十分方便地在计算机上进行计算，从而进一步加深理解，同时,其强大的图形功能使得概念、过程和结果可以直观地展现在我们面前。
本章内容通常先介绍有关回归分析的数学原理,主要说明建模过程中要做的工作及理由，如模型的假设检验、参数估计等，为了把主要精力集中在应用上，我们略去详细而繁杂的理论。
Matlab中的回归分析与多元统计分析
Matlab中的回归分析与多元统计分析Matlab是一种功能强大的数值计算和科学编程软件，广泛应用于各个领域中数据处理和分析的任务。
在统计学中，回归分析和多元统计分析是常见的方法，它们能够帮助我们揭示数据之间的隐藏关系和趋势。
本文将探讨在Matlab环境下如何进行回归分析和多元统计分析。
一、回归分析回归分析是一种用于研究变量之间关系的统计方法。
它可以分析自变量（或称预测变量）与因变量之间的相关性，并通过建立数学模型来预测未知的观测值。
在Matlab中，我们可以使用regress函数进行简单回归分析。
假设我们有两个变量X和Y，我们想要探索它们之间是否存在线性关系。
首先，我们需要导入数据，并绘制散点图以观察数据分布的趋势：```matlabdata = [X, Y]; % 导入数据scatter(X, Y); % 绘制散点图```接下来，我们可以使用regress函数进行回归分析：```matlabmdl = regress(Y, [ones(size(X)), X]); % 进行简单线性回归```regress函数将返回一个线性模型对象mdl，我们可以使用该对象提取回归系数、残差等信息：```matlabcoef = mdl(1:end-1); % 提取回归系数residuals = mdl(end); % 提取残差```此外，我们还可以使用mdl对象进行预测：```matlaby_pred = [ones(size(X)), X] * coef; % 根据模型预测Y的值```二、多元统计分析多元统计分析是指研究多个变量之间关系的统计方法。
与简单回归分析不同，多元统计分析考虑了多个自变量对因变量的影响。
在Matlab中，我们可以使用fitlm函数进行多元线性回归分析。
假设我们有三个自变量X1、X2和X3，一个因变量Y，我们想要研究它们之间的关系。
首先，我们同样需要导入数据，并绘制散点图以观察数据分布：```matlabdata = [X1, X2, X3, Y]; % 导入数据scatter3(X1, X2, X3, Y); % 绘制散点图```接下来，我们可以使用fitlm函数进行多元线性回归分析：```matlabmdl = fitlm([X1, X2, X3], Y); % 进行多元线性回归```fitlm函数将返回一个线性模型对象mdl，我们可以使用该对象提取回归系数、残差等信息：```matlabcoef = mdl.Coefficients.Estimate; % 提取回归系数residuals = mdl.Residuals.Raw; % 提取残差```同样，我们可以使用mdl对象进行预测：```matlaby_pred = predict(mdl, [X1, X2, X3]); % 根据模型预测Y的值```除了多元线性回归，Matlab还提供了其他多元统计分析的方法，如主成分分析（PCA）和因子分析。
MATLAB 回归分析regress,nlinfit,stepwise函数
MATLAB 回归分析regress,nlinfit,stepwise函数matlab回归分析regress,nlinfit,stepwise函数回归分析1．多元线性重回在matlab统计工具箱中使用命令regress()实现多元线性回归，调用格式为b=regress(y，x)或[b，bint，r，rint，statsl=regess(y，x，alpha)其中因变量数据向量y和自变量数据矩阵x按以下排列方式输入对一元线性重回，挑k=1即可。
alpha为显著性水平(缺省时预设为0.05)，输入向量b，bint为回归系数估计值和它们的置信区间，r，rint为残差及其置信区间，stats就是用作检验重回模型的统计数据量，存有三个数值，第一个就是r2，其中r就是相关系数，第二个就是f统计数据量值，第三个就是与统计数据量f对应的概率p，当p拒绝h0，回归模型成立。
图画出来残差及其置信区间，用命令rcoplot(r，rint)实例1：已知某湖八年来湖水中cod浓度实测值(y)与影响因素湖区工业产值(x1)、总人口数(x2)、捕鱼量(x3)、降水量(x4)资料，建立污染物y的水质分析模型。
(1)输出数据x1=[1.376,1.375,1.387,1.401,1.412,1.428,1.445,1.477]x2=[0.450,0.475,0.485,0.50 0,0.535,0.545,0.550,0.575]x3=[2.170,2.554,2.676,2.713,2.823,3.088,3.122,3.262]x4=[0.8922,1.1610,0.5346,0.9589,1.0239,1.0499,1.1065,1.1387]y=[5.19,5.30,5.60，5.82，6.00,6.06，6.45，6.95](2)留存数据(以数据文件.mat形式留存，易于以后调用)savedatax1x2x3x4yloaddata(抽出数据)(3)继续执行重回命令x=[ones(8,1)，]；[b，bint，r，rint，stats]=regress得结果：b=(-16.5283，15.7206，2.0327，-0.2106，-0.1991)’stats=(0.9908，80.9530，0.0022)即为=-16.5283+15.7206xl+2.0327x2-0.2106x3+0.1991x4r2=0.9908，f=80.9530，p=0.00222．非线性重回非线性回归可由命令nlinfit来实现，调用格式为[beta,r,j]=nlinfit(x，y，'model’，beta0)其中，输人数据x，y分别为n×m矩阵和n维列向量，对一元非线性回归，x为n维列向量model是事先用m-文件定义的非线性函数，beta0是回归系数的初值，beta是估计出的回归系数，r是残差，j是jacobian矩阵，它们是估计预测误差需要的数据。
MATLAB 回归分析regress,nlinfit,stepwise函数
回归分析1．多元线性回归在Matlab统计工具箱中使用命令regress()实现多元线性回归，调用格式为b=regress(y，x)或[b，bint，r，rint，statsl = regess(y，x，alpha)其中因变量数据向量y和自变量数据矩阵x按以下排列方式输入对一元线性回归，取k=1即可。
alpha为显著性水平(缺省时设定为0.05)，输出向量b，bint为回归系数估计值和它们的置信区间，r，rint为残差及其置信区间，stats是用于检验回归模型的统计量，有三个数值，第一个是R2，其中R是相关系数，第二个是F统计量值，第三个是与统计量F对应的概率P，当P<α时拒绝H0，回归模型成立。
画出残差及其置信区间，用命令rcoplot(r，rint)实例1：已知某湖八年来湖水中COD浓度实测值(y)与影响因素湖区工业产值(x1)、总人口数(x2)、捕鱼量(x3)、降水量(x4)资料，建立污染物y的水质分析模型。
(1)输入数据x1=[1.376, 1.375, 1.387, 1.401, 1.412, 1.428, 1.445, 1.477]x2=[0.450, 0.475, 0.485, 0.500, 0.535, 0.545, 0.550, 0.575]x3=[2.170 ,2.554, 2.676, 2.713, 2.823, 3.088, 3.122, 3.262]x4=[0.8922, 1.1610 ,0.5346, 0.9589, 1.0239, 1.0499, 1.1065, 1.1387]y=[5.19, 5.30, 5.60，5.82，6.00, 6.06，6.45，6.95](2)保存数据(以数据文件.mat形式保存，便于以后调用)save data x1 x2 x3 x4 yload data (取出数据)(3)执行回归命令x =[ones(8,1)，]；[b，bint，r，rint，stats] = regress得结果：b = (-16.5283，15.7206，2.0327，-0.2106，-0.1991)’stats = (0.9908，80.9530，0.0022)即= -16.5283 + 15.7206xl + 2.0327x2 - 0.2106x3 + 0.1991x4R2 = 0.9908，F = 80.9530，P = 0.00222．非线性回归非线性回归可由命令nlinfit来实现，调用格式为[beta,r,j] = nlinfit(x，y，'model’，beta0)其中，输人数据x，y分别为n×m矩阵和n维列向量，对一元非线性回归，x 为n维列向量model是事先用m-文件定义的非线性函数，beta0是回归系数的初值，beta是估计出的回归系数，r是残差，j是Jacobian矩阵，它们是估计预测误差需要的数据。
在MATLAB中使用高斯过程进行回归分析
在MATLAB中使用高斯过程进行回归分析随着数据科学和机器学习的发展，回归分析成为了一种非常常见和有用的数据分析工具。
而高斯过程作为一种统计建模工具，在回归分析中具有广泛的应用。
在本文中，我们将介绍如何在MATLAB中使用高斯过程进行回归分析。
高斯过程，也被称为基于核函数的回归（Kriging）或者高斯过程回归（Gaussian Process Regression，简称GPR），是一种概率模型，广泛应用于回归分析中。
它通过对数据进行建模，将数据与潜在函数之间的关系进行学习和预测。
在MATLAB中，可以使用Statistics and Machine Learning Toolbox来进行高斯过程回归分析。
首先，我们需要准备一些数据来进行回归分析。
假设我们想要预测一个物体的重量，我们可以将物体的尺寸作为输入变量，将物体的重量作为输出变量。
我们可以通过测量一系列物体的尺寸和重量来获得这些数据。
在MATLAB中，我们可以使用`fitrgp`函数来进行高斯过程回归的建模和预测。
首先，我们需要将数据拆分成输入变量和输出变量。
假设我们的输入变量存储在一个名为`X`的矩阵中，输出变量存储在一个名为`Y`的向量中。
我们可以使用以下代码进行拆分：```matlabX = [尺寸1; 尺寸2; 尺寸3; ...; 尺寸n];Y = [重量1; 重量2; 重量3; ...; 重量n];```接下来，我们可以使用`fitrgp`函数来建立高斯过程回归模型：```matlabmodel = fitrgp(X, Y);```在这个过程中，`fitrgp`函数将自动选择核函数和其他参数，来对输入变量和输出变量之间的关系进行建模。
但是，我们也可以通过指定自定义的核函数和参数来调整建模的过程。
建立了模型之后，我们可以使用`predict`函数来对新的数据进行预测。
假设我们想要预测一个新物体的重量，我们可以将其尺寸作为输入变量传递给`predict`函数：```matlabnew_size = [新物体的尺寸];predicted_weight = predict(model, new_size);````predict`函数将返回一个预测的重量值，这个值可以帮助我们了解新物体的重量。
MATLAB回归分析
MATLAB回归分析回归分析是一种通过建立数学模型来研究变量之间的关系的统计方法。
在MATLAB中，我们可以使用回归分析工具箱来进行回归分析。
回归分析的目标是找到一个能够最好地描述自变量和因变量之间关系的数学模型。
在这篇文章中，我们将介绍回归分析的基本原理、MATLAB中的回归分析工具箱的使用以及如何解释回归分析的结果。
回归分析的基本原理回归分析建立在线性回归的基础上。
线性回归假设因变量与自变量之间存在一个线性关系。
回归分析通过找到最佳拟合线来描述这种关系。
最常用的回归方程是一元线性回归方程，它可以表示为：y=β0+β1x+ε，其中y是因变量，x是自变量，β0和β1是回归系数，ε是误差项。
- regress函数：用于计算多元线性回归模型，并返回回归系数、截距和残差。
例如，[B, BINT, R]=regress(y, X)用于计算因变量y和自变量矩阵X之间的回归模型。
- fitlm函数：用于拟合线性回归模型并返回拟合对象。
例如，mdl= fitlm(X, y)用于拟合因变量y和自变量矩阵X之间的线性回归模型，并返回mdl拟合对象。
- plot函数：用于绘制回归分析的结果。
例如，plot(mdl)用于绘制fitlm函数返回的拟合对象mdl的结果。
- coefCI函数：用于计算回归系数的置信区间。
例如，CI =coefCI(mdl)用于计算拟合对象mdl中回归系数的置信区间。
解释回归分析的结果回归分析的结果通常包括拟合曲线、回归系数以及模型的可靠性指标。
拟合曲线描述了自变量和因变量之间的关系。
回归系数可以用来解释自变量对因变量的影响。
模型的可靠性指标包括截距、回归系数的显著性检验以及相关系数等。
拟合曲线可以通过调用plot函数来绘制。
回归系数可以通过调用coef函数来获取。
对回归系数的显著性检验可以利用置信区间来判断，如果置信区间包含0，则说明回归系数不显著。
相关系数可以通过调用corrcoef函数来计算。
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二、分布函数的近似求法
画直方图： 画直方图：hist(data,k)
几个在统计中常用的概率分布 三、几个在统计中常用的概率分布
1 正态分布 N ( , σ 2 ) 密度函数： 密度函数：normpdf(x,0,1); 概率函数： 概率函数：normcdf(x0,0,1) => p(x<xo)=Φ(x0)
y = β 0 + β1 x + ε
作图命令： 作图命令： x=[143 145 146 147 149 150 153 154 155 156 157 158 159 160 162 164]; y=[88 85 88 91 92 93 93 95 96 98 97 96 98 99 100 102];
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命令： 命令：rstool（x，y，’model’, alpha） （ ， ， ）
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非线性回归 1、回归： 、回归： （1）确定回归系数的命令： ）确定回归系数的命令： [beta，r，J]=nlinfit（x，y，’model’, beta0） ） ， ， （ ， ， （2）非线性回归命令：nlintool（x，y，’model’, beta0，alpha） ）非线性回归命令： （ ， ， ， ） 2、预测和预测误差估计： 、预测和预测误差估计： [Y，DELTA]=nlpredci（’model’, x，beta，r，J） ， （ ， ， ， ） 逐步回归 命令： 命令：
Y = β 0 + β 1 x ，称为 y 对 x 的回归直线方程.
一元线性回归分析的主要任务是： 一元线性回归分析的主要任务是：
1、用试验值（样本值）对 β 0 、 β 1 和 σ 作点估计； 用试验值（样本值） 作点估计； 作假设检验； 2、对回归系数 β 0 、 β 1 作假设检验；
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散点图
plot(x,y,'+')
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一般地， 确定的模型为一元线性回归模型 一元线性回归模型， 一般地，称由 y = β 0 + β 1 x + ε 确定的模型为一元线性回归模型， 记为
y = β 0 + β1 x + ε Eε = 0, Dε = σ 2
固定的未知参数 β 0 、 β 1 称为回归系数，自变量 x 也称为回归变量. 称为回归系数， 也称为回归变量.
β 0 , β1
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解得
β 0 = y β1 x xy x y β1 = 2 x x2
或 β1 =
∑ (x
i =1 n
n
i
x )( y i y )
( x i x )2 ∑
i =1
1 n 1 n 1 n 2 1 n 其中 x = ∑ xi , y = ∑ y i ， x 2 = ∑ xi , xy = ∑ xi y i n i =1 n i =1 n i =1 n i =1
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（Ⅰ）F检验法 检验法 成立时， 当 H 0 成立时，
n
U F= ~F（1，n-2） （ ， ） Qe /( n 2)
* * * *
*
*
本讲命令 多元线性回归 1、确定回归系数的点估计值：b=regress( Y, X ) 、确定回归系数的点估计值： 2、求回归系数的点估计和区间估计、并检验回归模型： 、求回归系数的点估计和区间估计、并检验回归模型： [b, bint,r,rint,stats]=regress(Y,X,alpha) 3、画出残差及其置信区间：rcoplot（r，rint） 、画出残差及其置信区间： （ ， ）
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教学目的
1、直观了解回归分析基本内容。 、直观了解回归分析基本内容。 2、掌握用数学软件求解回归分析问题。 、掌握用数学软件求解回归分析问题。
教学内容
1、回归分析的基本理论。 、回归分析的基本理论。 2、用数学软件求解回归分析问题。 、用数学软件求解回归分析问题。 3、实验作业。 、实验作业。
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以身高x为横坐标，以腿长 为纵坐标将这些数据点 为纵坐标将这些数据点（ 以身高 为横坐标，以腿长y为纵坐标将这些数据点（xI，yi） 为横坐标 在平面直角坐标系上标出. 在平面直角坐标系上标出
102 100 98 96 94 92 90 88 86 84 140 145 150 155 160 165
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多项式回归 （一）一元多项式回归 y=a1xm+a2xm-1+…+amx+am+1 1、回归： 、回归： （1）确定多项式系数的命令：[p，S]=polyfit（x，y，m） ）确定多项式系数的命令： ， （ ， ， ） （2）一元多项式回归命令：polytool（x，y，m） ）一元多项式回归命令： （ ， ， ） 2、预测和预测误差估计： 2、预测和预测误差估计： 所得的回归多项式在x （1）Y=polyval（p，x）求polyfit所得的回归多项式在 ） （ ， ） 所得的回归多项式在 的预测值Y； 处 的预测值 ； （2）[Y，DELTA]=polyconf（p，x，S，alpha）求polyfit所 ） ， （ ， ， ， ） 所 得的回归多项式在x处的预测值 及预测值的显著性为1-alpha 处的预测值Y及预测值的显著性为 得的回归多项式在 处的预测值 及预测值的显著性为 的置信区间Y± 缺省时为0.5. 的置信区间 ±DELTA；alpha缺省时为 ； 缺省时为 （二）多元二项式回归
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四、参数估计
1、 [muhat,sigmahat,muci,sigmaci] = normfit(X,alpha) ----- 在 显著性水平alpha下，求正态分布的数据 的均值的点估计及 分布的数据X的 显著性水平 下 求正态分布的数据 其区间估计. 其区间估计 2、[muhat, muci] = expfit(X,alpha)----- 在显著性水平 、 在显著性水平alpha下， 下 指数分布的数据X的均值的点估计及其区间估计. 求指数分布的数据X的均值的点估计及其区间估计. 3、[lambdahat, lambdaci] = poissfit(X,alpha)----- 在显著性水 、 泊松分布的数据X 平alpha下，求泊松分布的数据 的参数的点估计及其区间估 下 计. 4、[phat, pci] = weibfit(X,alpha)----- 在显著性水平 、 在显著性水平alpha下， 下 分布的数据X 分布的数据 的参数的点估计及其区间估计. 求Weibull分布的数据 的参数的点估计及其区间估计
2、 χ 分布 χ （n） 、
2 2
密度函数： 密度函数：chi2pdf(x,n)
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概率函数： 概率函数：chi2cdf(x,n)
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3、t分布 、 分布 分布t(n) 概率密度： 概率函数： 概率密度：tpdf(x,n); 概率函数：tcdf(x,n) 4、F分布 、 分布 分布F(n1,n2) 概率密度： 概率函数： 概率密度：fpdf(x,n1,n2); 概率函数：fcdf(x,n1,n2) 5、随机数生成：rnd 、随机数生成： 生成标准正态分布数据： 例 生成标准正态分布数据：normrnd(m) 生成(0,1)上均匀分布数据：unitrnd(m) 上均匀分布数据： 生成 上均匀分布数据
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stepwise（x，y，inmodel，alpha） （ ， ， ， ）
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一、数学模型
名成年女子的身高与腿长所得数据如下： 例1 测16名成年女子的身高与腿长所得数据如下： 名成年女子的身高与腿长所得数据如下
身高 腿长 143 88 145 85 146 88 147 91 149 92 150 93 153 93 154 95 155 96 156 98 157 97 158 96 159 98 160 99 162 100 164 102
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5、 … … 、
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五、假设检验
1、总体方差sigma2已知时，总体均值的检验使用 z-检验 、总体方差 已知时， 检验 [h,sig,ci] = ztest(x,m,sigma,alpha,tail) 2、总体方差sigma2未知时，总体均值的检验使用 检验 、总体方差 未知时，总体均值的检验使用t-检验 [h,sig,ci] = ttest(x,m,alpha,tail) 3、两总体均值的假设检验使用 t-检验 、 检验 [h,sig,ci] = ttest2(x,y,alpha,tail) 4、非参数检验：总体分布的检验 、非参数检验： （1）h = normplot(x,α) 正态分布的检验 ） （ ） 威布尔分布的检验 2010-10-20 2）h = weibplot(x,α) （3）[p,h] = ranksum(x,y,α) wilcoxon秩和检验 ） 秩和检验
（经验）回归方程为: 经验）回归方程为
y = β 0 + β1 x = y + β1 ( x x )
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2、 σ 2 的无偏估计
记 Qe = Q( β 0 , β1 ) =
∑ (y β
n i =1 i
0 β1 xi
) = ∑( y y )
2 n i =1 i i
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三、检验、预测与控制 检验、
Hale Waihona Puke 1、回归方程的显著性检验的显著性检验， 对回归方程 Y = β 0 + β 1 x 的显著性检验，归结为对假设
H 0 : β 1 = 0; H 1 : β 1 ≠ 0
进行检验. 进行检验.
被拒绝，则回归显著， 假设 H 0 : β 1 = 0 被拒绝，则回归显著，认为 y 与 x 存在线性关 所求的线性回归方程有意义；否则回归不显著， 系，所求的线性回归方程有意义；否则回归不显著，y 与 x 的关系 不能用一元线性回归模型来描述，所得的回归方程也无意义. 不能用一元线性回归模型来描述，所得的回归方程也无意义.