椭圆的定义2.2.1(2)与标准方程(公开课)课件
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DL教育 最新高考 高中数学课件(可改)选修课件2.2.1 椭圆及其标准方程(共34张ppt)
y
P
a a2 c2
F1
O c F2
x
所以椭圆的方程为
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0).
类似的也可以得到椭圆的方程
为 y2 a2
x2 b2
1(a
b
0).
1.我们把形如
x2 a2
y2 b2
1a
b
0的方程叫做椭圆的标准方程，
yM
它表示焦点在x轴上的椭圆.
F1 o F2 x
2.也把形如
y2 a2
x2 b2
比数列，还要验证a1≠0. • (2)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意
对q=1与q≠1分类讨论，防止因忽略q=1这一特 殊情形导致解题失误. • 三种方法 • 等比数列的判断方法有： • (1)定义法：若an+1/an=q(q为非零常数)或
• 6.满足二元一次不等式(组)的整数x和y的取值构成的有序数对(x，y)，称 为这个二元一次不等式(组)的一个解。所有整数解对应的点称为整点(也
• 高三数学复习知识点2 • 一、充分条件和必要条件 • 当命题“若A则B”为真时，A称为B的充分条件，B称为A的必要条件。 • 二、充分条件、必要条件的常用判断法 • 1.定义法：判断B是A的条件，实际上就是判断B=>A或者A=>B是否成立，只要把
2
所以 a 1 0 .
又因为 c ,所2 以
b2 a2 c2 10 4 6.
因此, 所求椭圆的标准方程为
x2 y2 1.
10 6
能用其他方 法求它的方
程吗？
另解:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它
的标准方程为:
x2 y2 a2 b2 1 (a b 0).
高中数学2.2.1椭圆及其标准方程(一)优秀课件
（2）两个焦点的坐标分别是 (0 ， -2)、(0 ， 2)，并且椭圆经 过点(- 3 ，5) .
22
解： x2 y2 1.
25 9
（2）两个焦点的坐标分别是 (0 ， -2)、(0 ， 2)，并且椭圆经 过点(- 3 ，5) .
22
解：
y2 x2 1.
10 6
(还有其他方法吗？)
跟踪训练
1.a＝4，b＝3，焦点在x轴上；
思考：观察图，你能从中找出表示 a, b, c 的线段吗？
y
P
F1
O
F2
x
由图可知，| PF1 || PF2 | a, | OF1 || OF2 | 用类似的方法， 可得出它的方程为：
y2 x2 a2 b2 1
(a b 0)
②
由上述过程可知，椭圆上任一点的坐标都满足方程②，以方程②的
解(x, y)为坐标的点到椭圆两焦点F1(-c,0), F2(c,0)的距离之和为2a， 即以方程②的解为坐标的点都在椭圆上. 由曲线与方程的关系可知， 方程②是椭圆的方程.
这个方程叫做椭圆的标准方程，它所表示的椭圆的焦点在x轴 上，焦点是F1(-c ，0)、F2(c ，0)，这里 c2=a2-b2 .
( ) ( ) a2 - c2 x2 a2 y2 a2 a2 - c2
x2
y2
a2 a2 - c2 1
①
y
M(x, y)
F1
O
F2
x
由椭圆定义知：2a 2c,即a c, a2 - c2 0.
方程形式能否更简单？
设a2 - c2 b2 (b 0)
得:
x2 a2
y2 b2
1
(a
b
0)
22
解： x2 y2 1.
25 9
（2）两个焦点的坐标分别是 (0 ， -2)、(0 ， 2)，并且椭圆经 过点(- 3 ，5) .
22
解：
y2 x2 1.
10 6
(还有其他方法吗？)
跟踪训练
1.a＝4，b＝3，焦点在x轴上；
思考：观察图，你能从中找出表示 a, b, c 的线段吗？
y
P
F1
O
F2
x
由图可知，| PF1 || PF2 | a, | OF1 || OF2 | 用类似的方法， 可得出它的方程为：
y2 x2 a2 b2 1
(a b 0)
②
由上述过程可知，椭圆上任一点的坐标都满足方程②，以方程②的
解(x, y)为坐标的点到椭圆两焦点F1(-c,0), F2(c,0)的距离之和为2a， 即以方程②的解为坐标的点都在椭圆上. 由曲线与方程的关系可知， 方程②是椭圆的方程.
这个方程叫做椭圆的标准方程，它所表示的椭圆的焦点在x轴 上，焦点是F1(-c ，0)、F2(c ，0)，这里 c2=a2-b2 .
( ) ( ) a2 - c2 x2 a2 y2 a2 a2 - c2
x2
y2
a2 a2 - c2 1
①
y
M(x, y)
F1
O
F2
x
由椭圆定义知：2a 2c,即a c, a2 - c2 0.
方程形式能否更简单？
设a2 - c2 b2 (b 0)
得:
x2 a2
y2 b2
1
(a
b
0)
椭圆的几何性质优秀课件公开课
切线斜率与法线斜率互为相反数的倒数。
3
切线、法线与椭圆关系
切线、法线都与椭圆在切点处有且仅有一个公共 点。
应用举例：求解相关问题
求给定点的切线方程
给定椭圆上一点，求该点的切线方程。
求给定斜率的切线方程
给定椭圆的方程和切线的斜率，求切线的 方程。
求椭圆与直线的交点
利用切线、法线解决最值问题
给定椭圆和直线的方程，求它们的交点坐 标。
加空间的变化和美感。
椭圆在物理学中的应用
天体运动轨道
椭圆是描述天体运动轨道的重要几何形状之一， 如行星绕太阳的轨道就是椭圆形的。
光学性质
椭圆的光学性质也被广泛应用于物理学中，如椭 圆形的透镜、反射镜等。
电磁学
在电磁学中，椭圆也被用于描述电场和磁场的分 布。
椭圆在工程学中的应用
机械工程
01
椭圆在机械工程中应用广泛，如椭圆形的齿轮、轴承等机械零
工程学
在工程学中，椭圆也经常被用来描述一些物体的形状或运动轨迹。例如，一些机械零件的 截面形状就是椭圆形的；在航空航天领域，飞行器的轨道也可能是椭圆形的。
数学及其他领域
在数学领域，椭圆作为一种重要的几何图形，经常被用来研究一些数学问题。此外，在物 理学、经济学等其他领域，椭圆也有着广泛的应用。
02
从椭圆外一点向椭圆引切线，切线长 相等。这个定理在解决与椭圆切线有 关的问题时非常有用。
03
椭圆上点与焦点关系
点到两焦点距离之和为定值
椭圆上任意一点到两 个焦点的距离之和等 于椭圆的长轴长。
通过该性质，可以推 导出椭圆的其他几何 性质。
这是椭圆定义的基础 ，也是椭圆最基本的 几何性质之一。
点到两焦点距离差与长轴关系
3
切线、法线与椭圆关系
切线、法线都与椭圆在切点处有且仅有一个公共 点。
应用举例：求解相关问题
求给定点的切线方程
给定椭圆上一点，求该点的切线方程。
求给定斜率的切线方程
给定椭圆的方程和切线的斜率，求切线的 方程。
求椭圆与直线的交点
利用切线、法线解决最值问题
给定椭圆和直线的方程，求它们的交点坐 标。
加空间的变化和美感。
椭圆在物理学中的应用
天体运动轨道
椭圆是描述天体运动轨道的重要几何形状之一， 如行星绕太阳的轨道就是椭圆形的。
光学性质
椭圆的光学性质也被广泛应用于物理学中，如椭 圆形的透镜、反射镜等。
电磁学
在电磁学中，椭圆也被用于描述电场和磁场的分 布。
椭圆在工程学中的应用
机械工程
01
椭圆在机械工程中应用广泛，如椭圆形的齿轮、轴承等机械零
工程学
在工程学中，椭圆也经常被用来描述一些物体的形状或运动轨迹。例如，一些机械零件的 截面形状就是椭圆形的；在航空航天领域，飞行器的轨道也可能是椭圆形的。
数学及其他领域
在数学领域，椭圆作为一种重要的几何图形，经常被用来研究一些数学问题。此外，在物 理学、经济学等其他领域，椭圆也有着广泛的应用。
02
从椭圆外一点向椭圆引切线，切线长 相等。这个定理在解决与椭圆切线有 关的问题时非常有用。
03
椭圆上点与焦点关系
点到两焦点距离之和为定值
椭圆上任意一点到两 个焦点的距离之和等 于椭圆的长轴长。
通过该性质，可以推 导出椭圆的其他几何 性质。
这是椭圆定义的基础 ，也是椭圆最基本的 几何性质之一。
点到两焦点距离差与长轴关系
椭圆复习 公开课PPT
椭圆的定义 和标准方程
班级：高复（2）班
执教者：张旭梅
2003年10月15日是全中国人感到骄傲和自豪的日子： 中国“神舟五号”载人飞船成功发射，标志中国进入太空新时代。
生 活 中 的 椭 圆
如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的物件呢？
复习回顾
椭圆的定义
M
椭圆的标准方程
F F2 椭圆基本量1 a、b、c 的关系 M
20 则∆F2CD的周长为______；
∆F1CF2的周长为______. D 16
F1
F2
【练习】已知椭圆的方程为：
2 1 5 则 a=_____，b=_____，c=_____，
(0,-1)、(0,1) 焦点坐标为：______________________， 2 焦距等于______;若点M是曲线上
x y ( 2) 1 (5) 9 x 2 25y 2 225 0 16 16
x y x2 y2 (3) 2 1(6) 1 2 m m 1 24 k 16 k ( m 0)
2 2
2
2
?
【例3】已知方程:
x2 y2 1 24 k 16 k
分别求方程满足下列条件的 k 的取值范围： ① 表示一个圆； ② 表示一个椭圆； ③ 表示焦点在 x 轴上的椭圆。
x y 1 4 5
y F2
O
2
2
,
M x
F1
2 5 2 任一点，则∆F1MF2的周长为_________；
【思考】 若点M到焦点F1的距离为3，则 2 5 3 点M到另一个焦点F2的距离方程哪些表示椭圆？
若是，则判定其焦点在何轴，求出焦点坐标。
班级：高复（2）班
执教者：张旭梅
2003年10月15日是全中国人感到骄傲和自豪的日子： 中国“神舟五号”载人飞船成功发射，标志中国进入太空新时代。
生 活 中 的 椭 圆
如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的物件呢？
复习回顾
椭圆的定义
M
椭圆的标准方程
F F2 椭圆基本量1 a、b、c 的关系 M
20 则∆F2CD的周长为______；
∆F1CF2的周长为______. D 16
F1
F2
【练习】已知椭圆的方程为：
2 1 5 则 a=_____，b=_____，c=_____，
(0,-1)、(0,1) 焦点坐标为：______________________， 2 焦距等于______;若点M是曲线上
x y ( 2) 1 (5) 9 x 2 25y 2 225 0 16 16
x y x2 y2 (3) 2 1(6) 1 2 m m 1 24 k 16 k ( m 0)
2 2
2
2
?
【例3】已知方程:
x2 y2 1 24 k 16 k
分别求方程满足下列条件的 k 的取值范围： ① 表示一个圆； ② 表示一个椭圆； ③ 表示焦点在 x 轴上的椭圆。
x y 1 4 5
y F2
O
2
2
,
M x
F1
2 5 2 任一点，则∆F1MF2的周长为_________；
【思考】 若点M到焦点F1的距离为3，则 2 5 3 点M到另一个焦点F2的距离方程哪些表示椭圆？
若是，则判定其焦点在何轴，求出焦点坐标。
椭圆的定义及与标准方程PPT
人教版普通高级中学教科书（选修二） §2.2 椭圆的定义与标准方程
重庆师范大学
龙婷婷
说课构思
教材分析
教学目标
教学过程
学情分析 教法学法
教材分析
椭圆的定义与标准方程是研究椭圆几何 性质的基础，为进一步研究双曲线、抛物线 提供了基本模式，它的学习方法对这一章具 有导向和引领作用。因此本节课具有承前启
点拨:怎样建系可以使 方程尽可能简单?
点拨:化简的目的是什 么?有怎样的方法?
直接 平方
x c2 y 2 x c2 y 2
2a
移项平方
x c2 y 2 4a 2 4a x c2 y 2 x c2 y 2
a cx a
后的作用，也是本章的重点内容。
重点
关键点
难点
理解椭圆的定义
教学重点
求椭圆的标准方程
椭圆标准方程的推导
教学难点
椭圆标准方程性质的运用
如何建立坐标系
教学关键点
如何化简方程
能力目标 知识目标
1、理解椭圆的 定义 2、椭圆的标准 方程 3、几何、代数 相互转化 4、数学建模
1、提高动手 能力 2、合作学习 能力 3、运用知识 解决实际问题 的能力
1 2 1 2
1
2
1 2
怎么得到椭圆 的方程呢？
二、椭圆的标准方程
例：已知点F1,F2为椭圆上两个焦点,P为椭圆上任 ac0 ， | PF 意一点,且 | F F | 2c ， 1 | | PF 2 | 2a ,其中 求椭圆方程？
1 2
一般步骤: (1) (2) (3) (4)
建系设点 写出点的集合 写出代数方程 化简方程
y x 2 1a b 0 2 a b
重庆师范大学
龙婷婷
说课构思
教材分析
教学目标
教学过程
学情分析 教法学法
教材分析
椭圆的定义与标准方程是研究椭圆几何 性质的基础，为进一步研究双曲线、抛物线 提供了基本模式，它的学习方法对这一章具 有导向和引领作用。因此本节课具有承前启
点拨:怎样建系可以使 方程尽可能简单?
点拨:化简的目的是什 么?有怎样的方法?
直接 平方
x c2 y 2 x c2 y 2
2a
移项平方
x c2 y 2 4a 2 4a x c2 y 2 x c2 y 2
a cx a
后的作用，也是本章的重点内容。
重点
关键点
难点
理解椭圆的定义
教学重点
求椭圆的标准方程
椭圆标准方程的推导
教学难点
椭圆标准方程性质的运用
如何建立坐标系
教学关键点
如何化简方程
能力目标 知识目标
1、理解椭圆的 定义 2、椭圆的标准 方程 3、几何、代数 相互转化 4、数学建模
1、提高动手 能力 2、合作学习 能力 3、运用知识 解决实际问题 的能力
1 2 1 2
1
2
1 2
怎么得到椭圆 的方程呢？
二、椭圆的标准方程
例：已知点F1,F2为椭圆上两个焦点,P为椭圆上任 ac0 ， | PF 意一点,且 | F F | 2c ， 1 | | PF 2 | 2a ,其中 求椭圆方程？
1 2
一般步骤: (1) (2) (3) (4)
建系设点 写出点的集合 写出代数方程 化简方程
y x 2 1a b 0 2 a b
2.2.1椭圆的标准方程 (2)
（2）已知a 10，b 6；
（3）两个焦点坐标分别是（0，-2）、（0，2），且经过点（-
3 2
，5 ）； 2
椭圆标准方程的识别
已知方程： x2 y2 1
25 k k 9
（1）表示椭圆时实数k 的取值范围是______ （2）表示焦点在x 轴上的椭圆时实数的取值范围是_______ （3）表示焦点在y 轴上的椭圆时实数的取值范围是________ （4）椭圆的焦距长为6，则实数的值是_____
1．椭圆标准方程形式：左边是“平方＋平方”，分母不等， 右边为“1”．
2．焦点在 x 轴上⇔标准方程中 x2 项的分母较大，焦点在 y 轴上⇔标准方程中 y2 项的分母较大，因此由椭圆的标准方程判 断焦点位置时要根据方程中分母的大小来判断，简记为“焦点位 置看大小，焦点随着大的跑”．
1．椭圆的标准方程（分类），根据条件求椭圆标准 方程 2．椭圆标准方程中字母的含义及三者之间的关系 3．椭圆方程本质特征的认识
2.2 椭圆 2.2.1 椭圆的标准方程
1．椭圆的定义：
平面内到两个定点 F1，F2的距离的和等于常数（ 大于F1F2 )的点的轨迹
注意点：
1平面内
2到两个定点之和为定值 2a
32a F1F2
PF1 PF2 2a(2a 2c 0)
以F1，F2所在直线为 x轴，线段F1F2的垂直平分线为 y轴，建立直角坐标系 xOy
F1，F2的坐标分别为 - c，0，c，0
设Px，y为椭圆上任意一点，根 据椭圆定义知
PF1 PF2 2a
x c2 y2 (x c)2 y2 2a
将这个方程移项后两边平方，得
y
▪o F1
椭圆的定义与标准方程(公开课)课件
2 2 2 2
（3）用待定系数法确定a、b的值， 又因为c = 2,所以b = a - c =10 - 4 = 6.
2 2 2
写出椭圆的标准方程. 因此，所求椭圆的标准方程为 x y + =1. 10 6
2 2 2 2
1 1 1 变式引申：求焦点在y轴上，且经过点A( , )、B(0,- )的 3 3 2 椭圆的标准方程.
2 2 2 2 2 2
？思考一个问题:把“焦点在y轴上”这句话去掉，怎么办？
x y 例3.若 + = 1,表示焦点在x轴上的椭圆，则 m n m,n满足什么条件，并指出焦点坐标.
2 2
x y 解：若 + =1表示焦点在x轴上的椭圆，则 m n m > n > 0, 且c = m - n,
2 2
所以，焦点坐标为( m - n,0),(- m - n,0).
王新敞
奎屯 新疆
则有
5 3 2 ( ) ( )2 2 2 1 n m ( 3) 2 ( 5 ) 2 1 n m
，解得 m 6, n 10
所以，所求椭圆的标准方程为
x2 y 2 1 6 10
例4.在圆x + y = 4上任取一个点P，过点P作
2 2
y P
x2 y2 + 2 = 1 a > b > 0 2 b a y
F2 P
不 同 点
图
形
F1
O
F2
x
O
x
F1
焦点坐标 相 同 点 定 义
F1 -c , 0，F2 c , 0
F1 0,- c ，F2 0,c
平面内到两个定点F1，F2的距离的和等 于常数（大于F1F2）的点的轨迹
（3）用待定系数法确定a、b的值， 又因为c = 2,所以b = a - c =10 - 4 = 6.
2 2 2
写出椭圆的标准方程. 因此，所求椭圆的标准方程为 x y + =1. 10 6
2 2 2 2
1 1 1 变式引申：求焦点在y轴上，且经过点A( , )、B(0,- )的 3 3 2 椭圆的标准方程.
2 2 2 2 2 2
？思考一个问题:把“焦点在y轴上”这句话去掉，怎么办？
x y 例3.若 + = 1,表示焦点在x轴上的椭圆，则 m n m,n满足什么条件，并指出焦点坐标.
2 2
x y 解：若 + =1表示焦点在x轴上的椭圆，则 m n m > n > 0, 且c = m - n,
2 2
所以，焦点坐标为( m - n,0),(- m - n,0).
王新敞
奎屯 新疆
则有
5 3 2 ( ) ( )2 2 2 1 n m ( 3) 2 ( 5 ) 2 1 n m
，解得 m 6, n 10
所以，所求椭圆的标准方程为
x2 y 2 1 6 10
例4.在圆x + y = 4上任取一个点P，过点P作
2 2
y P
x2 y2 + 2 = 1 a > b > 0 2 b a y
F2 P
不 同 点
图
形
F1
O
F2
x
O
x
F1
焦点坐标 相 同 点 定 义
F1 -c , 0，F2 c , 0
F1 0,- c ，F2 0,c
平面内到两个定点F1，F2的距离的和等 于常数（大于F1F2）的点的轨迹
2.1.1椭圆及其标准方程课件(公开课)
星系中的椭圆——仙女座星系∙∙2F 1F M∙一、椭圆的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点(F1、F2 )，两焦点的距离叫做椭圆的焦距|F1F2|.1、椭圆的定义：平面内到两个定点F 1、F 2的距离之和等于常数（大于|F 1F 2|）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。
1F 2FM 几点说明：1、F 1、F 2是两个不同的点；2、M 是椭圆上任意一点，且|MF 1| + |MF 2| = 常数；3、通常这个常数记为2a ，焦距记为2c ，且2a>2c ；4、如果2a = 2c ，则M 点的轨迹是线段F 1F 2.5、如果2a < 2c ，则M 点的轨迹不存在.（由三角形的性质知）随堂练习.用定义判断下列动点M 的轨迹是否为椭圆。
(1)到F 1(-2,0)、F 2(2,0)的距离之和为6的点的轨迹。
(2)到F 1(0,-2)、F 2(0,2)的距离之和为4的点的轨迹。
(4)到F 1(-2,0)、F 2(0,2)的距离之和为3的点的轨迹。
因|MF 1|+|MF 2|=6>|F 1F 2|=4，故点M 的轨迹为椭圆。
因|MF 1|+|MF 2|=4=|F 1F 2|=4，故点M 的轨迹不是椭圆 (是线段F 1F 2)。
，故点M的轨迹为椭圆22|F F |3|MF ||MF |因2121=>=+(3)到F 1(0,-2)、F 2(0,2)的距离之和为3的点的轨迹。
因|MF 1|+|MF 2|=4＜|F 1F 2|=4，故点M 的轨迹不存在。
讲授新课2. 椭圆标准方程的推导：如图，建立直角坐标系xOy，使x轴经过点F1、F2，并且点O与线段F1F2的中点重合.设点M(x, y)是椭圆上任一点，椭圆的焦距为2c(c＞0).焦点F1、F2的坐标分别是(－c, 0)、(c, 0)．又设M与F1和F2的距离的和等于常数2a．|MF1|＋|MF2|＝2aO X Y F 1F 2M 如图所示： F 1、F 2为两定点，且|F 1F 2|=2c ，求平面内到两定点F1、F2距离之和为定值2a （2a>2c)的动点M 的轨迹方程。
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| PF1 | | PF2 | 10, | F1 F2 | 8
解：椭圆具有标准方程 因此 c 4, a 5,
x2 y2 2 1 2 a b
其中
2c 8,2a 10
x2 y2 1 25 9
b2 a 2 c 2 25 16 9
所求方程为
课堂练习
1．椭圆
x2 y 2 因此点A的轨迹方程是 1 ( y 0) 25 9
例4．如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上 的椭圆，则k的取值范围是 。
x y 解：将方程整理成 2 1 2 k 2
2 2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
k 解得0<k<1，所以k的取值范围是(0，1).
根据题意得
2
x2 y2 例5．如图所示，已知经过椭圆 1 25 16
一、复习:
1.
x2 y2 + 2 = 1 a > b > 0 2 a b
y P
标准方程
x2 y2 + 2 = 1 a > b > 0 2 b a y
F2 P
不 同 点
图
形
F1
O
F2
x
O
x
F1
焦点坐标 相 同 点 定 义
F1 -c , 0 ，F2 c , 0
F1 0,- c ，F2 0,c
①
因为点( 3 ，－ 5 )在椭圆上，所以
( 5) ( 3) 2 1 2 a b
5 3 2 1 将①代入②得， 2 b 16 b
解得b2=4 (b2=－12舍去)，则a2=4+16=20,
y 2 x2 因此椭圆的标准方程是 1 20 4
5 3 即 2 2 1 a b
②
2 2
2
2
小结：
求椭圆标准方程的方法 一种方法：
x2 y2 y2 x2 二类方程: 2 2 1 2 2 1 a b 0 a b a b
三个意识： 求美意识， 求简意识，前瞻意识
作业： 活页Ｐ72
平面内到两个定点F1，F2的距离的和等 于常数（大于F1F2）的点的轨迹
a 2 = b2 + c2
a、b、c 的关系
焦点位置的判断
分母哪个大，焦点就在哪个轴上
2.椭圆的标准方程的特点：
Y
M M F1 (-c,0)
2 2
Y F2(0 , c)
O
O
F2 (c,0) X
2
X
F1(0,-c)
x y 2 1(a b 0) 2 a b
（2）8x2+3y2=24. 解：（2）把已知方程化为标准方程，
由8>3可知这个椭圆的解得在y轴上，
且a2=8，b2=3，得c2=a2－b2=5，
c= 5
所以椭圆的焦点坐标是 (0，－ 5 )，(0， 5 ).
例3. 已知B，C是两个定点，|BC|=8，且 △ABC的周长等于18，求这个三角形的顶 点A的轨迹方程。
的右焦点F2的直线AB垂直于x轴，交椭圆 于A、B两点，F1是椭圆的左焦点， （1）求△AF1B的周长； （2）如果AB不垂直于x轴，△AF1B的周 长有变化吗？为什么？ y
A
(1) |AF1|+|AB|+|BF1|=20.
x
(2)周长不变
F1
O
F2
B
例6. 求出刚才在实验中画出的椭圆的标准方程 如图:求满足下列条件的椭圆方程
x2 y2 1 16 7
（2）两个焦点的坐标分别是(0，－4)，(0， 4)，并且椭圆经过点( ，－ ). 5 3
解：（2）椭圆的焦点在y轴上，设它的标 准方程是
y 2 x2 2 1 (a b 0) 2 a b
由已知，得c=4，因为c2=a2－b2， 所以a2=b2+16
2 2
y x 2 1(a b 0) 2 a b
2
（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1 （2）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。 （3）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。
（4）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在哪一个 轴上。
（D）4
3．若△ABC的两个顶点坐标为A(－4，0)， B(4，0)，△ABC的周长为18，则顶点C的
轨迹方程为（ D ）
y x x y （A） 1 （B） 1( y 0) 25 9 25 9 2 2 2 x2 y x y （C） 1 （D） 1( y 0) 25 9 16 9
解：以过B，C两点的直线为x轴，线段BC 的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy, 由|BC|=8，可知B(－4，0)，C(4，0)，
由|AB|+|AC|+|BC|=18，得|AB|+|AC|=10， 因此点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，
这个椭圆上的点与两焦点的距离的和
2a=10，但A点不在x轴上， 由a=5，c=4，解得b2=9，
二、例题与练习
例1. 求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）两个焦点的坐标分别是(－3，0)，(3， 0)，椭圆上任意一点与两焦点的距离的和 等于8； 解：（1）椭圆的焦点在x轴上，设它的标 准方程是
x2 y 2 2 1 (a b 0) 2 a b
由已知，得2a=8，即a=4，又因为c=3， 所以b2=a2－c2=7，因此椭圆的标准方程是
例2. 求下列方程表示的椭圆的焦点坐标：
（1）
x y 1 36 24
2
2
；
（2）8x2+3y2=24.
解：（1）已知方程就是椭圆的标准方程， 由36>24，可知这个椭圆的焦点在x轴上， 且a2=36，b2=24，所以c2=a2－b2=12,
c2 3
因此椭圆的焦点坐标为 (－2 3 ，0)，(2 3，0).
x y 1 上一点P到一个焦点的 25 9
2
2
距离为5，则P点到另一个焦点的距离是 （ A ）
（A）5 （B）6 （C）4 （D）12
x y 2．椭圆 1 的左、右焦点为F1， 16 7
2
2
F2，一直线过F1交椭圆于A、B两点，则 △ABF2的周长为（ B ）
（A）32
（C）8
（B）16