一元二次方程根的分布情况归纳(完整版)

二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳

1、一元二次方程

02=++c bx ax 根的分布情况 设方程()2

00ax

bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方程的根

即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）

表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）

根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是

（1）0a >时，()()00f m f n <⎧⎪⎨

<⎪⎩； （2）0a <时，()()0

f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩

对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况：

若

()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n <不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出

另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值。如方程()2

220mx m x -++=在区间()1,3上

有一根，因为

()10f =，所以()()()22212mx m x x mx -++=--，另一根为

2

m

，由213m <<得223m <<即为所求；

方程有且只有一根，且这个根在区间()n m ,内，即0∆=，此时由0∆=可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。如方程2

4260x mx m -++=有且一根在

区间

()3,0-内，

求m 的取值范围。分析：①由()()300f f -<即()()141530m m ++<得出15

314

m -<<-；②由0∆=即()2

164260m m -+=得出1m =-或32m =，当1m =-时，根()23,0x =-∈-，即1m =-满足题意；当32

m =时，

根()33,0x =∉-，故32m =不满足题意；综上分析，得出15

314

m -<<-或1m =-

根的分布练习题

例1、已知二次方程()()221210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。

解：由

()()2100m f +< 即 ()()

2110m m +-<，从而得112

m -<<即为所求的范围。 例2、已知方程()2

210x m x m -++=有两个不等正实根，求实数m 的取值范围。

解：由

03m <<-3m >+

例3、已知二次函数()()()222433y m x m x m =+-+++与x 轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m 的

取值范围。 解：由

()()210m f +< 即 ()()2210m m ++< ⇒ 1

22

m -<<

即为所求的范围。 例4、已知二次方程()2

2340mx

m x +-+=只有一个正根且这个根小于1，求实数m 的取值范围。

解：由题意有方程在区间

()0,1上只有一个正根，则()()010f f < ⇒ ()

4310m +< ⇒ 1

3

m <-即为所求范围。 （注：本题对于可能出现的特殊情况方程有且只有一根且这个根在

()0,1内，由0∆=计算检验，均不复合题意，计算量

稍大）

例1、当关于x 的方程的根满足下列条件时，求实数a 的取值范围： （1）方程22

70x ax a -+-=的两个根一个大于2，另一个小于2；

（2）方程2

2

7(13)20x a x a a -++--=的一个根在区间(0,1)上，另一根在区间(1,2)上； （3）方程022

=++ax x 的两根都小于0； 变题：方程022

=++ax x 的两根都小于?1．

（4）方程2

2

(4)2530x a x a a -+-++=的两根都在区间[1,3]-上； （5）方程042=+-ax x 在区间（?1，1）上有且只有一解；

例2、已知方程042

=+-mx x 在区间[?1，1]上有解，求实数m 的取值范围．

例3、已知函数f (x )1)3(2

+-+=x m mx 的图像与x 轴的交点至少有一个在原点右侧，求实数m 的取值范围．

检测反馈：

1．若二次函数2

()(1)5f x x a x =--+在区间1

(

,1)2

上是增函数，则(2)f 的取值范围是___________． 2．若α、β是关于x 的方程06k kx 2x 2

=++-的两个实根, 则22)1()1(-β+-α的最小值为 ．

3．若关于x 的方程2

(2)210x m x m +-+-=只有一根在(0,1)内，则m ∈_ _．

4．对于关于x 的方程x 2+(2m ?1)x+4 ?2m=0 求满足下列条件的m 的取值范围： （1）有两个负根 （2） 两个根都小于?1 （3）一个根大于2，一个根小于2 （4） 两个根都在（0 ，2）内 （5）一个根在(?2，0)内，另一个根在(1，3)内 （6）一个根小于2，一个根大于4 （7） 在（0， 2）内 有根 （8） 一个正根，一个负根且正根绝对值较大

5．已知函数1)(2

-+=x mx x f 的图像与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m 的取值范围。

2、二次函数在闭区间[]n m ,上的最大、最小值问题探讨

设()()

002

>=++=a c bx ax x f ，则二次函数在闭区间[]n m ,上的最大、最小值有如下的分布情况：

对于开口向下的情况，讨论类似。其实无论开口向上还是向下，都只有以下两种结论：

（1）若[]n m a b ,2∈-

，则()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n f a b f m f x f ,2,max max ，()()()⎭

⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫

⎝⎛-=n f a b f m f x f ,2,min min ； （2）若[]n m a

b

,2∉-

，则()()(){}n f m f x f ,m ax max =，()()(){}n f m f x f ,m in min = 另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开x 轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数开口向下时，自变量的取值离开x 轴越远，则对应的函数值越小。

二次函数在闭区间上的最值练习

二次函数在闭区间上求最值，讨论的情况无非就是从三个方面入手：开口方向、对称轴以及闭区间，以下三个例题各代表一种情况。 例1、函数

()()2220f x ax ax b a =-++≠在[]2,3上有最大值5和最小值2，求,a b 的值。 解：对称轴[]0

12,3x =∉，故函数()f x 在区间[]2,3上单调。