有约束条件的完全四边形与数学竞赛题
安徽省蚌埠市2024-2025学年四上数学第五单元《平行四边形和梯形》人教版基础掌握测试卷
安徽省蚌埠市2024-2025学年四上数学第五单元《平行四边形和梯形》人教版基础掌握测试卷学校：_______ 班级：__________姓名：_______ 考号：__________（考试分数：100分时间：90分钟）注意事项：1.答题前，填写好自己的姓名、班级、考号等信息，请写在答题卡规定的位置上。
2.所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上作答无效。
3.考试结束后将试卷和答题卡一并交回。
总分栏题号一二三四五六七总分得分评卷人得分一、选择题(共16分)1.如图：小明从A点出发，沿线段AB过马路，这样走线路最短。
这是因为（）。
A．路线上没有障碍物B．这条路线最直的C．直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短2.下图的交通示意图，下列说法错误的是（）。
①线路a与线路d互相垂直②线路c与线路a互相平行③线路b与线路d互相平行④线路b与线路c互相垂直A．②④B．①②C．①③④D．①②④3.判断两条直线是否垂直可以使用（）．A．三角板B．量角器C．直尺D．以上都可以4.下面说法错误的是（ ）A．从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短B．任意一个四边形的四个内角的度数和都是360°C．有一组对边平行的四边形叫梯形5.下列关系图中，表示错误的是（）。
A．B．C．D．6.下面的说法中，正确的有（）个。
①用铅笔盒的单价乘个数，可以求总价。
②角的两条边越长，角的度数就越大。
③要求汽车每小时行多少千米，需知道汽车行驶的路程和速度。
④在一张梯形纸上剪一刀，剪下的两个图形中有一个是平行四边形，则另一个图形不可能是梯形。
A．4B．3C．2D．17.下面每组中的四根小棒能摆成平行四边形的是（）。
A．5cm、6cm、7cm、8cm B．5cm、5cm、7cm、8cmC．5cm、6cm、5cm、6cm D．5cm、6cm、7cm、7cm8.下图中共有（）组垂线。
A．1B．2C．3D．4评卷人得分二、填空题(共16分)1.如图，( )和( )互相平行，( )和( )互相垂直。
【高中数学竞赛专题大全】竞赛专题9平面几何(50题竞赛真题强化训练)原卷版
【高中数学竞赛专题大全】竞赛专题9 平面几何（50题竞赛真题强化训练）一、填空题1．（2018·天津·高三竞赛）凸六边形ABCDEF 的6条边长相等，内角A 、B 、C 分别为134°、106°、134°.则内角E 是___________（用度数作答）.2．（2020·江苏·高三竞赛）在平面直角坐标系xOy 中，直线y kx =与圆C ：()()2227365x y -+-=交于A ，B ，则OA OB ⋅=__________．3．（2021·全国·高三竞赛）在ABC 中，ABC ∠所对的旁切圆与边AC 相切于点D ，ACB ∠所对的旁切圆与边AB 相切于点E ．若||1,||2AB AC ==，则ADE 面积的最大值为_______．4．（2021·浙江·高三竞赛）在ABC 中，AB AC BC >>，在M ，N 为AB 上两点，且AN AC =，BM BC =，点P 为ABC 的内心.若75MPN ∠=°，则ACB =∠______. 5．（2021·全国·高三竞赛）设三个不同的正整数a b c 、、成等差数列，且以555a b c 、、为三边长可以构成一个三角形，则a 的最小可能值为________.6．（2019·贵州·高三竞赛）如图，在△ABC 中，AB =30，AC =20，S △ABC =210，D 、E 分别为边AB 、AC 的中点，△BAC 的平分线分别与DE 、BC 交于点F 、G ，则四边形BGFD 的面积为________.7．（2018·山东·高三竞赛）若直线65280x y --=交椭圆22221x y a b+=（0a b >>，且2a 、b 为整数）于点A 、C ．设()0,B b 为椭圆的上顶点，而ABC 的重心为椭圆的右焦点2F ，则椭圆的方程为______．8．（2018·河北·高三竞赛）在△ABC 中，3AC =，sin sin (k 2)C k A =≥，则△ABC 的面积最大值为_____.9．（2021·全国·高三竞赛）已知直角梯形ABCD 中，//AB CD ，对角线AC 、BD 相交于O ，90DAB ∠=︒，P 、Q 分别是腰AD 、BC 上的点，且,BPA DPC AQB DQC ∠=∠∠=∠，若23AB CD =，则OP OQ=_________．10．（2019·山东·高三竞赛）△ABC 中，16,9AB BC CA ===.在△ABC 外部，到点B 、C 的距离小于6的点组成的集合，所覆盖平面区域的面积是______ .二、解答题11．（2021·全国·高三竞赛）已知ABC 满足60A ∠=︒，E 、F 分别为AB AC 、延长线上的点，且,BE CF BC ACE ==的外接圆与EF 交于不同于E 的点K ．证明：点K 在BAC ∠的角平分线上．12．（2021·全国·高三竞赛）如图，在平行四边形ABCD 中，1A ､1C 分别是边AB BC 、上的点，线段1AC ､1CA 交于点P ，1AA P 和1CC P △的外接圆的第二个交点Q 位于ACD △的内部.证明：PDA QBA ∠=∠.13．（2021·全国·高三竞赛）如图，设O 、H 分别为ABC 的外心与垂心，M 、N 分别为BH 、CH 的中点．BB '是ABC 的外接圆的一条直径，如果HONM 是一个圆的内接四边形，证明：12B N AC '=． 14．（2021·全国·高三竞赛）如图，已知锐角ABC 的外接圆为Γ，过B 、C 分别作圆Γ的切线交于点P ，P 在直线BC 、AC 、AB 上的投影分别为D 、E 、F ，DEF 的外接圆与BC 交于点N （不同于点D ），A 在BC 上的投影为M ．求证：BN CM =． 15．（2021·全国·高三竞赛）如图，已知等腰三角形ABC 中，AB AC =，M 为BC 的中点．D 为线段BM 上一点，E 、F 分别为AC AB 、上的点，且四边形AEDF 为平行四边形.BO 交DE 于点P ，CO 的延长线交DF 的延长线于点Q ，ABC 的外接圆O 交ADM △的外接圆于A 、K 两点．求证：K 、Q 、P 、O 四点共圆．16．（2021·全国·高三竞赛）如图，AE 、AF 为圆的两切线，ABC 为圆的一条割线，EF 为切点连线，D 为过C 、B 关于圆的切线的交点，证明：D 、E 、F 共线． 17．（2021·全国·高三竞赛）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，G 为重心，P 为射线AG 上一点，满足CPA CAB ∠=∠，Q 为射线BG 上一点，满足CQB ABC ∠=∠，证明：AQG 、BPG 的外接圆的另一个交点在AB 上．18．（2021·全国·高三竞赛）如图，设圆内接四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点P ，并且DA 与CB 交于Q ．若PQ AC ⊥，且E 是AB 的中点．求证：PE BC ⊥． 19．（2021·全国·高三竞赛）如图，在ABC 中，BC 最短，D 、E 分别在AB AC 、上满足BD CE BC ==，设I 是ABC 内心，O 是ADE 外心，求证：OI BC ⊥. 20．（2021·全国·高三竞赛）如图，锐角ABC 中，D 为边BC 中点，ABD △内切圆与边AB 切一点,E ACD 的内切圆与边AC 切于点F ，若四边形EDFG 为平行四边形，求证：G 在BAC ∠的平分线上.21．（2021·全国·高三竞赛）如图，已知圆O 是ABC 的外接圆，切线、BP CP 交于点P ，D 是BC 的中点，K 、L 分别在线段AB AC 、上，且满足KD LD ⊥，连结KP LP 、，求证：2BPC KPL ∠=∠．22．（2021·全国·高三竞赛）点P 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>外一点，过P 作椭圆两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，连结AB ，点M 、N 分别为PA 、AB 中点，连结MN 并延长交椭圆于点C ，连结PC 交椭圆于另一点D ，连结ND 并延长交PB 于Q ，证明：Q 为PB 的中点．23．（2021·全国·高三竞赛）如图，在锐角ABC 中，AB AC >，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，ADE 的外接圆与BCE 的外接圆交于点P （异于E ），ADE 的外接圆与BCD △的外接圆交于点Q （异于D ），证明：AP AQ =．24．（2019·江西·高三竞赛）如图所示，BE 、CF 分别是锐角三角形△ABC 的两条高，以AB 为直径的圆与直线CF 相交于点M 、N ，以AC 为直径的圆与直线BE 相交于点P 、Q .证明：M 、N 、P 、Q 四点共圆.25．（2019·山东·高三竞赛）已知：正方形ABCD 的边长为1点M 是边AD 的中点以M 为圆心AD 为直径作圆，点E 在线段AB 上，且直线CE 与圆相切.求△CBE 的面积. 26．（2018·江西·高三竞赛）如图，ABC 的内心为I ，D 、E 、F 分别是边BC 、CA 、AB 的中点，证明：直线DI 平分DEF 的周长．27．（2018·福建·高三竞赛）如图，在锐角ABC 中，E 、E 是边BC 上的点，ABC 、ABD △、ADC 的外心分别为O 、P 、Q ．证明：（1）APQ △ABC ；（2）若EO PQ ⊥，则QO PE ⊥．28．（2019·全国·高三竞赛）在ABC ∆中，设△C=90°，CD AB ⊥，垂足为D ，P 、Q 分别为ADC ∆、BDC ∆的内心，PQ 与CD 交于点K ，记ABC ∆的面积为S.证明：22111CK CD S-=. 29．（2018·全国·高三竞赛）如图，1O 与2O 的半径相等，交于X 、Y 两点. ABC ∆内接于1O ，且其垂心H 在2O 上，点Z 使得四边形CXZY 为平行四边形.证明：AB 、XY 、HZ 三线共点.30．（2021·全国·高三竞赛）如图，以AB 为直径的圆上有C 、D 两点，AC 、BD 两点的中点为E 、F ，直线EF 与直线AD 、BC 分别交于G 、H ，求证：以FG 为直径的圆和以EH 为直径的圆有一交点在CD 上．31．（2021·全国·高三竞赛）如图所示，在等腰ABC 中，AB AC =，设点D 是边AC 上一点，点E 是线段BD 的中点，延长AE 与底边BC 交于点F ，证明：若BF EF =，求证：2AE AB AD =⋅.32．（2021·全国·高三竞赛）如图，在锐角ABC 中，已知点D ､E ､F 分别是点A ､B ､C在边BC ､CA ､AB 上的投影，AEF ､BDF 的内心分别为1I ､2I ，1ACI ､2BCI 的外心分别为1O ､2O ，证明：1212//I I O O .33．（2021·全国·高三竞赛）如图，AB 是O 的一条弦，AB 的垂直平分线交O 于M N 、两点，交AB 于点D ．P 为O 内一点，DMP 外接圆交PN 于点,E ABE 的外接圆交MP 于点F ，且点M P E F 、、、在直线AB 同侧．证明：EF PN ⊥． 34．（2021·全国·高三竞赛）如图，锐角ABC 的外接圆为Γ，D 是A 在BC 上的射影，假设AD BC =，点M 为DC 中点，ADC ∠的角平分线与AC 交于点N ，Γ上一点P 满足//BP AC ．直线DN 与AM 交于点F ，直线PF 与圆Γ再交于点Q ．直线AC 与PNQ 的外接圆再交于点E ．证明：90DQE ∠=︒．35．（2021·浙江·高三竞赛）如图，O 是ABC 的外接圆，D 是弧BC （不含A ）上一点，S 为弧BAC 的中点.P 为线段SD 上一点，过P 作DB 的平行线交AB 于点E ，过P 作DC 的平行线交AC 于点F ，过O 作SD 的平行线交弧BDC 于点T .已知O 上的点Q 满足QAP ∠被AT 平分.证明：QE QF =.36．（2021·全国·高三竞赛）在锐角ABC 中，D 为边BC 上一定点，P 为AD 边上一动点，直线CP 交AB 于点Q ，DQ 交BP 于点X ．BCX 、CAX 、ABX 的三个外接圆分别交DQ 于X 外的另三点1Y 、2Y 、3Y ，过1Y 、2Y 、3Y 分别作DQ 垂线1l 、2l 、3l ，证明：1l 、2l 、3l 均过定点．37．（2021·全国·高三竞赛）在ABC 中，点P 、Q 、R 分别位于边BC 、CA 、AB 上，A ω、B ω、C ω分别是AQR 、BRP △、CPQ 的外接圆，线段AP 与A ω、B ω、C ω分别相交于点X 、Y 、Z .证明：YX BP XZ PC=． 38．（2021·全国·高三竞赛）点O 是ABC 的外接圆圆心，含点A 的BC 的中点为S ，点T 在不包含点A 的BC 上.点M 在圆O 上且//SM OT .点P 在线段SM 上.过点P 作MB 的平行线交AB 于点F ，过点P 作MC 的平行线交AC 于点E .点Q 在圆O 上，使得AT 是PAQ ∠的角平分线.证明：QE QF =.39．（2021·全国·高三竞赛）如图，在ABC 中，A B C ∠≥∠≥∠，且AD 为BC 边上的高，BE 为AC 边上的中线，CF 为C ∠的平分线，AD 与CF BE 、分别交于P R 、两点，BE 与CF 交于Q 点，令PQR ABC Sx S =．求证：16x <，且16是最好的界（即可以无限接近于16）． 40．（2021·全国·高三竞赛）设ABC 的内心为点I ，内切圆分别切BC CA AB 、、于D E F 、、．直线DF 与EI 交于点N ．连结并延长BN ，交AC 于点M ．求证：M 是AC 中点．41．（2021·全国·高三竞赛）已知O 上依次四点A ､B ､C ､D ，射线AB DC 、交于点P .射线AD BC 、交于点Q ，弦AC BD 、交于点R ，点M 为线段PQ 的中点.过点O 作MR 的垂线，分别PQ MR 、于点U ､V .过点U 作O 的切线UK ，与O 切于点K . 证明：（1）P ､Q ､V ､O 四点共圆；（2）K ､M ､R 三点共线.42．（2020·全国·高三竞赛）如图，在等腰ABC 中，AB BC =，I 为内心，M 为BI 的中点，P 为边AC 上一点，满足3AP PC =，PI 延长线上一点H 满足MH PH ⊥，Q 为ABC 的外接圆上劣弧AB 的中点．证明：BH QH ⊥．43．（2020·全国·高三竞赛）如图，在锐角△ABC 中，M 是BC 边的中点点P 在△ABC 内，使得AP 平分△BAC .直线MP 与△ABP 、△ACP 的外接圆分别相交于不同于点P 的两点D 、E .证明：若DE =MP ，则BC =2BP .44．（2019·江苏·高三竞赛）如图所示，D 是△ABC 中，边BC 的中点，K 为AC 与△ABD 的外接圆O 的交点，EK 平行于AB 且与圆O 交于E ，若AD =DE ，求证：AB AK KC +=.45．（2019·广西·高三竞赛）如图所示，AD 、AH 分别是△ABC （其中AB >AC ）的角平分线、高线，点M 是AD 的中点，△MDH 的外接圆交CM 于点E .求证：△AEB =90°. 46．（2019·福建·高三竞赛）如图，O ､H 分别为锐角△ABC 的外心垂心，AD △BC 于D ，G 为AH 的中点点K 在线段GH 上，且满足GK =HD ，连结KO 并延长交AB 于点E .（1） 证明：//EK BC ；（2） 证明：GE GC ⊥.47．（2019·全国·高三竞赛）如图，点A ､B ､C ､D ､E 在一条直线上顺次排列，满足BC =CD P 在该直线外，满足PB =PD .点K ､L 分别在线段PB ､PD 上，满足KC 平分△BKE ，LC 平分△ALD .证明：A ､K ､L ､E 四点共圆.48．（2021·全国·高三竞赛）如图，给定两个相交的圆1O 与2O ，A 、B 为1O 、2O 的交点，一动直线经过B 与1O 交于点C ，与2O 交于点D ，且B 在线段CD 内，过C的1O 的切线与过D 的2O 的切线相交于点M ，连结AM 交CD 于点E ，过点E 作DM 的平行线交AD 于点K ，求点K 的轨迹.（2021·全国·高三竞赛）ABC 的外接圆与内切圆分别为Γ、Ω，ΩA 为A -旁切圆． 49．证明：存在唯一圆1ω，1ω与Ω内切、与ΩA 外切，并且与Γ内切于点A ． 50．设圆1ω与ΩA 、Ω的切点分别为P 、Q ．如果BAQ CAP ∠=∠，求证：AB AC =．。
初中数学竞赛专题-第九章完全四边形的性质及应用1
第九章完全四边形的性质及应用【基础知识】我们把两两相交又没有三线共点的四条直线及它们的六个交点所构成的图形,叫做完全四边形．六个点可分成三对相对的顶点,它们的连线是三条对角线．如图91-,直线ABC 、BDE 、CDF 、AFE 两两相交于A 、B 、C 、D 、E 、F 六点,即为完全四边形ABCDEF ．线段AD 、BF 、CE 为其三条对角线．完全四边形中既有凸四边形、凹四边形,还有折四边形以及四个三角形．如图91-中有凸四形ABDF ,凹四边形ACDE ,折四边形BCFE ,四个三角形ACF △、BCD △、DEF △、ABE △．在完全四边形ABCDEF 中,对四个三角可以写出梅涅劳斯定理的4个式子（见图11-后说明）；若直线AD 交BF 于H ,交CE 于G ,则可以写出塞瓦定理的7个式子（见图23-）；利用空全四边形及其对角线的相交可以讨论梅涅劳斯定理与塞瓦定理的互推（图22-）；完全四边形的四个三角形的外接圆共点（即完全四边形的密克尔点及西姆松线（见图67-））等．这是我们已介绍的完全四边形的性质,完全四边形还有一系列有趣的性质,下面我们介绍其中的几条： 性质1设M 为完全四边形ABCDEF 的密克尔点．（1）若B 、C 、E 、F 四点共圆于O ,则M 点在对角线AD 所在直线上,且OM AD ⊥； （2）若A 、B 、D 、F 四点共圆于O ,则M 点在对角线CE 上,且OM CE ⊥． 注此性质还可参见例10（9）,例11（3）、（5）．O B KC(a)MD FEOBMC F 图9-2(b)D证明（1）如图92- （a ）．设过B 、C 、D 三点的圆交直线于点M ',则AD AM AB AC AE AF '⋅=⋅=⋅,即知点M '在DEF △的外接圆上,亦即知点M '就是完全四边形ABCDEF 的密克尔点M ．设K 为AM 延长线上一点,由2CME CMK KME CBE CFE CFE COE ∠=∠+∠=∠+∠=∠=∠,知C 、E 、O 、M 四点共圆．于是1902OMK OME EMK OCE COE ∠=∠+∠=∠+∠=︒,即证．（2）如图92- （b ）．同（1）可证过B 、C 、D 三点的圆与CE 的交点即为完全四边形ABCDEF 的密克尔点M ．由圆幂定理（即点对O 的幂）有 222CO CD CF R CM CE R =⋅+=⋅+,222ED ED ED R EM EC R =⋅+=⋅+（其中R 为O 半径）．上述两式相减,有()2222CO EO CE CM ME CM ME -=-=-．由定差幂线定理,知OM CE ⊥．推论1在完全四边形ABCDEF 中,凸四边形ABDF 内接于O ,AD 与BF 交于点G ,则CDB 、CFA 、EFD 、EAB 、OAD 、OBF 六圆共点；CFB 、CDA 、GAB 、GDF 、OBD 、 OFA 六圆共点；EFB 、EAD 、GBD 、GFA 、OAB 、ODF 六圆共点．事实上,可设M 为完全四边形ABCDEF 的密克尔点,则由性质1（2）,知M 在CE 上,且OM CE ⊥．于是,知C 、M 、D 、B 及M 、E 、F 、D 分别四点共圆,有9090BMO BMC BDC ∠=︒-∠=︒-∠()9018090BDF BDF =︒-︒-∠=∠-︒=11(180)909022BOF BOF BFO ︒-∠-︒=︒-∠=∠．从而知,点M 在OBF 上．同理,知点M 在OAD 上．由密克尔点的性质知,CDB 、CFA 、EFD 、EAB 四圆共点于M ．故以上六圆共点M ．同理,设N 为完全四边形CDFGAB 的密克尔点,则CFB 、CDA 、GAB 、GDF 、OBD ,OFA 六圆共点于N ．设L 为完全四边形EFAGBD 的密克尔点,则EFB 、EAD 、GBD 、GFA 、OAB 、ODF 六圆共点于L ．图9-3l 6l 5l 4l 1BDCGMFE N L推论2如图93-,在完全四边形ABCDEF 中,凸四边形ABDF 内接于O ,AD 与BF 交于点G ．CDB 与CFA 、CDA 与CFB 、OBD 与OFA 、ODA 与OBF 、EAB 与EFD 、EAD 与EFB 、OAB 与ODF 、GAB 与GDF 、GBD 与GFA 共九对圆的连心线分别记为1l ,2l ,3l ,⋯,9l ,则1l 、2l 、3l 、4l 、OC 五线共点于OC 的中点；4l 、5l 、6l 、7l 、OE 五线共点于OE 的中点；3l 、7l 、 8l 、9l 、OG 五线共点于OG 的中点．事实上,可设M 、L 、N 分别为完全四边形ABCDEF 、EFAGBD 、CDFGAB 的密克尔点,则OM CE ⊥于M ,OL EG ⊥于L ,ON CG ⊥于N ．注意到OM 是ODA 与OBF 的公共弦,则4l 是OM 的中垂线,从而知4l 过OC 的中点,4l 也过OE 的中点．因CN 是CDA 与CFB 的公共弦,则2l 是CN 的中垂线,而ON CN ⊥,从而2l 过OC 的中点；又注意到CM 是CDB 与CFA 的公共弦,则1l 是CM 的中垂线,又OM CM ⊥,则1l 过OC 的中点,ON 是OBD与OFA 的公共弦,则3l 是ON 的中垂线．而ON CN ⊥,3l 过OC 的中点．故1l 、2l ,3l 、4l 、OC 五线共点于OC 的中点．同理,注意到LE 、ME 、OL 分别是EAD 与EFB ．EFD 与EAB 、OAB 与ODF 的公共弦,推知4l 、5l 、6l 、7l 、OE 五线共点于OE 的中点．注意到GN 、LG 、OL 、ON 分别是GAB 与GDF 、GBD 与GFA 、OAB 与ODF 、OBD 与OFA 的公共弦,推知,3l 、7l 、8l 、9l 、OG 五线共点于OG 的中点．注 由上述推论,即知下列竞赛题即为其特殊情形： （1）（1990年全国高中联赛题）四边形ABCD 内接于圆,对角线AC 与BD 交于点P ,PAB △、PBC △、PCD △、PDA △的外心分别为1O 、2O 、3O 、4O ．求证：13O O 、24O O 与OP 三线共点．（2）（2006年国家集训队测试题）四边形ABCD 内接于O ,且圆心O 不在四边形的边上,对角线AC 与BD 交于点P ,OAB △、DBC △、OCD △、ODA △的外心分别为1O 、2O 、3O 、4O ．求证：13O O 、24O O 与OP 三线共点．性质2完全四边形ABCDEF 的三条对角线AD 、BF 、CE 的中点M 、N 、P 共线（即牛顿线）．图9-4证明如图94-,分别取CD 、BD 、BC 的中点Q 、R 、S ,于是,在ACD △中,M 、R 、Q 三点共线；在BCF △中,S 、R 、N 三点共线；在BCE △中,S 、Q 、P 三点共线．由平行线性质,有MQ AC MR AB =,HR FD NS FC =,PS EBPQ ED =． 对BCD △及截线AFE 应用梅涅劳斯定理,有1CA BE DEAB ED EC⋅⋅=,即有1QM RN SP MR NS PQ ⋅⋅=． 再对QRS △应用梅涅劳斯定理的逆定理,知M 、N 、P 三点共线．注此性质中的线称为牛顿线,其证明还有10多种．性质3完全四边形的一条对角线被其他两条对角线调和分割（两点内分与外分同一线段成同一比值,称这两点调和分割这一线段）． 证明如图95- （a ）、（b ）,在完全四边形ABCDEF 中,对角线AD 所在直线交BF 于M ,交CE 于N ,需证AM MDAN ND=（此式表明点M 、N 调和分割AD ）． NPBDCFAEBDCFANE (b)(a)图9-5MM若BF CE ∥,如图95- （a ）,则由AM BF MDAN CE ND==,即证． 若BF CE ≠,可设直线BF 与CE 交于点P ． 对ADF △及点B 应用塞瓦定理,有1AM DC FEMD CF EA⋅⋅=． 对ADF △及截线CNE 应用梅涅劳斯定理,有1AN DC FEND CF EA⋅⋅=． 上述两式相除,即得AM MDAN ND=． 对于图95- （b ）,类似地可证明有BM MF BP NF =（M 、P 调和分割BF ）,CN NECP PE=（N 、P 调和分割CE ）；对于图95- （a ）,也可看作直线BF 、CE 相交于无穷远点,也有这两式．性质4完全四边形的三条对角线为直径的圆共轴,且完全四边形的四个三角形的垂心在这条轴上．C图9-6证明如图96-,在完全四边形ABCDEF 中,分别以对角线AD 、BF 、CE 为直径作圆,这三个圆 的圆心就是三条对角线的中点M 、N 、P ．设1H 、2H 、3H 、4H 分别为DEF △、ACF △、ABE △、BCD △的垂心,注意到三角形垂心的性质：三角形的垂心是所有过任一条高的两个端点的圆的根心（见根轴的性质3及垂心的性质4）． 在完全四边形ABCDEF 中,显然1H 、2H 、3H 、4H 不重合,由于DEF △的垂心1H 是三个圆两 两根轴的根心,而对于DEF △,在它的边所在直线上的高C 、B 、A ,点1H 关于以CE 、BF 、AD 为直径的圆的幂相等,即点1H 在这三个圆两两的根轴上．同样,对于ACF △,在它的边所在直线上的点B 、D 、E ,其垂心2H 关于以CE 、BF 、AD 为直径的圆的幂相等,以及点3H 、4H 均关于以CE 、BF 、AD 为直径的圆的幂相等．故1H 、2H 、3H 、4H 均在这三个圆的两两的根轴上,即这三个圆两两的根轴重合,亦即共轴,且四个三角形的垂心在这条根轴上．注 证明1H 、2H 、3H 、4H 四点共线,也可以这样证：由于完全四边形ABCDEF 的四个DEF △、ACF △、ABE △、BCD △的外接圆交于一点M ,且点M 关于这四个三角形的西姆松线为同一条直线l ,根据西姆松线的性质：点P 的西姆松线平分点P 与三角形垂心的连线（西姆松定理及应用中例5）,则知l 过1MH 、2MH 、3MH 、4MH 的中点,从而点1H 、2H 、3H 、4H 共线．推论3完全四边形的垂足线与牛顿线垂直（两圆连心线垂直于公共弦）．性质5完全四边形的四个三角形的外接圆圆心共圆,这四个圆心每三个构成的三角形的垂心分别在构成完全四边形的四条直线上,且这四个垂心为顶点构成的四边形与四个圆心为顶点构成的四边形全等． 上述性质即指在完全四边形ABCDEF 中,1O 、2O 、3O 、4O 分别为ACF △、BCD △、DEF △、ABE △的外心,1H 、2H 、3H 、4H 分别为423O O O △、413O O O △、241O O O △、123O O O △的垂心,则 （1）1O 、2O 、3O 、4O 四点共圆（斯坦纳圆）；（2）423O O O ACF △∽△,123O O O ABE △∽△,241O O O DEF △∽△,413O O O BCD △∽△；（3）1H 、2H 、3H 、4H 分别在BE 、AE 、AC 、CF 上,且四边形1234H H H H ≌四边形2143O O O O ． 证明设M 为完全四边形ABCDEF 的密克尔点,连接BM 、2CO 、2O M 、3MO 、DM ,则（l ）12211801802O O M CO M CDM ∠=︒-∠=︒-∠．同理,13180O O M FDM ∠=︒-∠．从而()1213360180O O M O O M CDM FDM ∠+∠=︒-∠+∠=︒．因此,1O 、2O 、3O 、M 四点共圆．同理,3O 、4O 、2O 、M 四点共圆．故1O 、2O 、3O 、4O 四点共圆．图9-7(a)（2）由BM 为2O 与4O 的公共弦,则知24O O BM ⊥．同理23O O DM ⊥． 于是423O O O BMD BCD ACF ∠=∠=∠=∠．同理,24323180O O O O MO BAF CAF ∠=︒-∠=∠=∠,故423O O O ACF △∽△． 同理,123O O O ABE △△∽． 于是241O O O BEA DEF ∠=∠=∠．又214213314213324O O O O O O O O O O O O O O O ∠=∠+∠=∠+∠ CAF ACF DFE =∠+∠=∠．从而241O O O DEF △∽△． 同理,413O O O BCD △∽△．（3）自2O 作34O O 的垂线交BE 于1H '点,连4BO 、2BO 、41O H ',由4O 为ABE △的外心,有1490H BO BAE '=︒-∠及1242439090H O O O O O BAE '∠=︒-∠=︒-∠,知14124H BO H O O ''∠=∠,从而1H '、2O 、B 、4O 四点共圆,于是14212H O O H BO ''∠=∠．又2O 为BCD △的外心,知12290H BO O BE BCD '∠=∠=︒-∠． 于是1424239090H O O BCD O O O '∠=︒-∠=︒-∠,即14242390H O O O O O '∠+∠=︒．这表明41O H '也垂直于23O O ,即知1H '为423O O O △的垂心,故1H '与1H 重合．过3O 过14O O 的垂线交AE 于2H ',连4O E 、3O E 、42O H ',则4290O EF ABE '∠=︒-∠,()4321431439018090=18090=90O O H OO O OO O CBD ABE ABE '∠=︒-︒-∠=∠-︒=∠-90︒︒-∠-︒︒-∠,从而2H '、4O 、3O 、E 四点共圆,则有42343O H O O EO '∠=∠．又132134432429090OO H OO O O O H BDC O EH BDC ABE ACF '''∠=∠+∠=∠+∠=∠+︒-∠=︒-∠, ()()42343334290O H O O FO DEO DEO DEF DEF O EH ''∠=∠=∠+∠=∠-︒+∠-∠()()9090180180DEF DEF ABE ABE EDF ACF =∠-︒+∠-︒-∠=∠+︒-∠-︒=∠,即13242390OO H O H O ''∠+∠=︒,这说明2H '为134O O O △的垂心,故2H '与2H 重合． 过点2O 作14O O 的垂线交AC 与点3H ',连1CO 、2CO 、31H O ',则()32121432132118018090H O O O OO H O O DEF H O O AFC '''∠+︒-∠=∠+︒-∠=∠+∠=︒,3190H CO AFC '∠=︒-∠．于是32131H O O H CO ''∠=∠,即知3H '、C 、2O 、1O 四点共圆,有23121O H O O CO '∠=∠．又3243211243112490H O O H O O OO O H CO OO O AFC FDE '''∠=∠+∠=∠+∠=︒-∠-∠ ()9090FDE FED FDE FED=︒-∠++∠=︒-∠,()231121290O H O OCO ACF ACO FCO ACF AFC '∠=∠=∠-∠+∠=∠-︒-∠()90180180CBD CAF CBD CAF FED CAF FED +∠-︒=︒-∠+∠-︒=∠+∠-∠=∠．即32423190H O O O H O ''∠+∠=︒,由此知3H '为124O O O △的垂心,故3H '与3H 重合．OMH 1H 2H 3H 4O 4O 1O 3O 2图9-8过点3O 作12O O 的垂线交CF 于点4H ',连1O F 、14O H '、3O F ,由1O 为ACF △的外心,有490H FQ FAC '∠=︒-∠及4312139090H O O O OO FAC '∠=︒-∠=︒-∠,知41431H FO H O O ''∠=∠,从而4H '、3O 、F 、1O 四点共圆,于是41343H O O H FO ''∠=∠．又3O 为DEF △的外心,知43390H FO DFO FED '∠=∠=︒-∠ 于是4131329090H OO FED OO O '∠=︒-∠=︒-∠,即41313290H O O O O O '∠+∠=︒．这表明14O H '也垂直于23O O ,即知4H '为123O O O △的垂心,故4H '与4H 重合． 综上可知,1H 、2H 、3H 、4H 分别在BE 、AE 、AC 、CF 上． 下面,我们证明四边形1234H H H H ≌四边形2143O O O O ．由于1O 、2O ．3O ．4O 共圆,设该圆圆心为O ,设M 为23O O 的中点．由垂心的性质（即Servois 定理）：三角形任一顶点至该三角形垂心的距离,等于外心至其对边的距离的两倍．于是412O H OM =且41O H OM ∥,142O H OM =且14O H OM ∥,故1441O H O H ∥,即1414O H H O 为平行四边形,从而有4114H H O O ∥．同理1221H H O O ∥,2332H H O O ∥,3443H H O O ∥． 从而四边形12342143H H H H O O O O ≌．推论4在完全四边形ABCDEF 中,A 、B 、D 、F 四点共圆于O ,1O 、2O ．3O ．4O 分别为BCD △、DEF △、ABE △、ACF △的外心,1H 、2H 、3H 、4H 分别为234O O O △、134O O O △、124O O O △、123O O O △的垂心,M 为完全四边形ABCDEF 的密克尔点,1K ,2K ,3K ,4K ,5K ,6K 分别34AO O △、13BO O △、14CO O △、12DO O △、23EO O △、24FO O △的外心,24O O 与13O O 所在直线交于点1P ,直线21O O 与43O O 交于点2P ,1J 、2J 分别为14O O 、23O O 的中点,直线12I H 与34H H 交于点1Q ,直线13H H 与24H H 交于点2Q ,直线12O O 与34H H 交于点L ,直线43O O 与12H H 交于点N ,124O O O △的外心为X ,123H H H △的外心为Y ,X 与Y 交于点S 、T 则（1）O 在X ,且12ACE OO O △∽△；（2）14231423O O O O OM ST H H H H ∥∥∥∥∥； （3）14231423H O H O O H O H XY CE ∥∥∥∥∥；（4）1243OO O MO O △△≌；（5）点1J 、2J 、1P 、2P 、1Q 、2Q 在直线XY 上,N 、L 在直线ST 上；（6）点1K 、2K 、4K 、6K 在直线ST 上,3K 、5K 在直线XY 上且它们关于直线XY 对称； （7）1J 、2J 分别OMC △、OME △的外心； （8）1P 、2P 分别BOF △、AOD △的外心．证明如图99-,（1）联结1OO 、2OO 、1O M 、2O M 、AD 、MD 、DO 、OB 、OF 、1O D 、2O D ,则()1111180902O MD O DM DO M DCM ∠=∠=︒-∠=︒-∠． P 2K 5L J 2J 1Q 2Q 1P 1XY K K 1K 2K 3K 4N H 1H 2H 3H 4S OO 4O 1O 3O 2B D M F AT图9-9同理,290O MD DEM ∠=︒-∠．从而()12180180180O MO DCM DEM BDC BAF ∠=︒-∠+∠=︒-∠=︒-∠．① 又1O 为BDC △的外心,知1OO 为BD 的中垂线,于是,112O OD BOD BAD ∠=∠=∠,212O OD FOD FAD ∠=∠=∠,则1212O OO O OD O OD BAD FAD BAF ∠=∠+∠=∠+∠=∠．② 由①、②知,点O 在X 上,注意到12121OO O OO D O O D BCD MCD BCE ∠=∠+∠=∠+∠=∠．③ 由②、③知,12OO O ACE △∽△．（2）注意到14O O 是公共弦CM 的中垂线,23O O 是EK 的中垂线,以及OM CE ⊥,则知1423O O O O OM ∥∥．设此三线段的中垂线为l ,则知点X 在l 上．由性质5（3）知,1414H H O O ∥,2323H H O O ∥,故1423H H H H OM ∥∥．又注意到四边形1414H H O O 为平行四边形,则由1H 为234O O O △的垂心,知四边形1414H H O O 为矩形,即知14H H 与14O O 的中垂线共线,即知点Y 也在直线l 上,亦即知l 为ST 的中垂线,故为ST OM ∥．（3）由性知5（3）知,X 与Y 为等圆,知ST 垂直平分XY ,且41XO YH =,即知四边形14XYH O 为等腰梯形,亦知ST 为14H O 的中垂线,同理ST 为23O H 的中垂线．于是14231423H O H O O H O H XY CE ∥∥∥∥∥,且其前五条线段的中垂线为ST ．（4）由上即知1243OO O MO O △≌．（5）由（2）、（3）即知,1J ．2J 、1P 、2P 、1Q 、2Q 均在直线XY 上,N 、L 在直线ST 上．（6）由性质5（3）知,12H H 在1K 上,即知1K 在14H O 的中垂线ST 上,同理,2K 、4K 、6K 亦在ST 所在的直线上．又3K 在14O O 的中垂线上,则3K 在XY 所在的直线上． 同理,5K 也在直线XY 上．注意到1K X 垂直平分34O O ,4K Y 垂直平分34H H ,则有14K X K Y ∥． 同理41K X K Y ∥由此知1K 与4K 关于XY 对称． 同理5K 与3K 、2K 与6K 也关于XY 对称．（7）注意到四边形14O O OM 为等腰梯形,1J 为14O O 的中点,14O O 为CM 的中垂线,则111OJ J M J C ==,即1J ,为OMC △的外心,由此知1J 在OC 上,且1J 为OC 的中点．同理,2J 在OE 上,且2J 为OE 的中点．（8）注意到1802180BMF BAF BOF ∠=︒-∠=︒-∠,知M 在OBF △的外接圆上,又1O 、3O 分别是四边形BCMD 、ABM E 的外接圆圆心,知13O O 为公共弦BM 的中垂线,同理,42O O 为FM 的中垂线．于是13O O 与42O O 的交点1P 为BOF △的外心． 同理,43O O 与12O O 的交点2P 为AOD △的外心 注以上推论由山东济南刘世军给出．性质6在完全四边形ABCDEF 中,点G 是对角线AD 所在直线上异于点A 的任意一点,则cot cot cot cot AGC AGF AGB AGE ∠+∠=∠+∠证明如图910-,点G 可以在对角线AD 上或其延长线上,连CE 与直线AD 相交于点K ．在ACE △及点D 应用塞瓦定理,有1AB CK EF BC KE FA⋅⋅=．① AED KBCGAFE D KBCGBDCFAK GE图9-10(c)(b)(a)注意到sin sin GAB GBC S AB AG AGBBC S CG BGC⋅∠==⋅∠△△, sin sin GCK GKE S CK CG AGCKE S EG AGE ⋅∠==⋅∠△△, sin sin GEF GFA S EF EG EGAFA S AG AGF⋅∠==⋅∠△△ 将上述三式代入①式,得sin sin sin sin sin sin BGC EGFAGC AGB AEG AGF∠∠=∠⋅∠∠⋅∠．② 而()sin sin ?sin cos cos sin BGC AGC AGB AGC AGB AGC AGB ∠=∠-∠=∠⋅∠-∠⋅∠, ()sin sin cos EGF AGE AGF ∠=∠-∠=sin cos cos sin AGE AGF AGE AGF ∠⋅∠-∠⋅∠．将上述两式代入②式,得cot cot cot cot AGB AGC AGF AGE ∠-∠=∠-∠．故cot cot cot cot AGC AGF AGB AGE ∠+∠=∠+∠．性质7在完全四边形ABCDEF 中,过B 、F 作与对角线AD 平行的直线分别交对角线CE 于G 、H ,连结BH 、FG 相交于点P ,则点P 在直线AD 上．GQHBDCFAPE图9-11证明延长AD 交CE 于点Q ．对ACE △及点D 应用塞瓦定理,有1CQ EF ABQE FA BC⋅⋅=．()* 由BG AD FH ∥∥,有AB GQ BC CG =,AQCQ CG BG=⋅,FH EF EA AQ =⋅． 将上述三式代入()*式得1GQ EA EHQE AF BG⋅⋅= 又由BG FH ∥,有FH FPBG PG=．于是上式变为1GQ EA EP QE AF PG ⋅⋅=． 对EFG △应用梅涅劳斯定理的逆定理,知A 、P 、Q 共线,故点P 在直线AD 上．性质8在完全四边形ABCDEF 中,四边形ABDF 有内切圆的充分必要条件是下述三条件之一：（1）BC BE FC FE +=+；（2）AC DE AE CD +=+: （3）AB DF BD AF +=+．证明（1）充分性：如图912-,在CF 上截取CG CB =,在EA 上截取EH EB =,连BG 、GH 、BH ,则FH EH EF EB EF =-==．又BC BE FC FE +=+,则BE FE FC BC -=-． 故FH FC BC FC CG GF =-=-=．分别作BCG ∠、BEH ∠、GFH ∠的平分线．由CB CG =、EB EH =、FG FH =,知上述三个角的平分线所在直线是BGH △三边的垂直平分线,从而这三个角平分线交于一点．设该点为I ,由角平分线的性质,知I 到CB 与CF 、到EB 与EF ,到FC 与EA 的距离均相等,即I 到四边形ABDF 四边的距离相等,所以,四边形ABDF 有内切圆．必要性：设内切圆分别交AB 、BD 、DF 、FA 于点P 、Q 、R 、S ,则CP CR =、BP BQ =, EQ ES =,RF FS =．于是()()BC BE CP BP BQ QE +=-++=CP QE CR ES CR +=+=+()()RF FS ES CR RF ES FS FC FE -+=++-=+．（2）充分性：在AC 上截取CM CD =,在AE 上截取EN ED =,则AM AC CM AC CD AE D E =-=-=- （已知条件）AE EN AN =-=,则DCM ∠、DEN ∠、MAN ∠的平分线就是MDN △的三边的中垂线,由此即知四边形ABDF 有内切圆． 必要性：同（1）可证（略）． （3）由切线长定理即证．性质9在完全四边形ABCDEF 中,四边形ABDF （在BAF ∠内）有旁切圆（或折四边形BCFE 有下切圆）的充分必要条件是下述三条件之一：图9-13A（1）AB BD AF FD +=+；（2）AC CD AE ED +=+；（3）BC CF BE EF +=+．证明（1）充分性：在射线AB 上取点K ,使BK BD =,在射线AF 上取点L ,使得FL FD =,连DK 、DL 、KL ．由AB BK AB BD AF FD AF FL AL +=+=+=+=,知BDK △、FDL △、DLK △均为等腰三角形,设点A I 为DKL △的外心,易知A I B 、A I F 、A I A 分别为DKL △的三边DK 、DL 、KL 的中垂线,即它们分别是DBC ∠、DFE ∠、EAC ∠的平分线,则点A I 到四边形ABDF 各边的距离相等,即知四边形ABDF （在BAF ∠内）有旁切圆,圆心即为A I ．必要性：（略）．（2）必要性：设旁切圆与四边形分别相切于点M 、P 、Q 、N ,则AM AN =、CP CM =、EQ EN =、DP DQ =,从而AC CD AC CP PD AM PD AN DQ AE EN +=++=+=+=++ DQ AE EQ QD AE ED =++=+．充分性：（略）．（3）类似（2）而证．【典型例题与基本方法】例1在凸四边形ABCD 中,对角线AC 平分BAD ∠,E 是CD 边上一点,BE 交AC 于G ,DG 交BC 于F ．求证FAC EAC ∠=∠．（1999年全国高中联赛题）证明如图914-,在完全四边形CFBGDE 中,点A 为对角线CG 所在直线上一点,由题设知BAC CAD ∠=∠．由性质6,即知FAC EAC ∠=∠．例2已知圆1S 与圆2S 交于P 、Q 两点,1A 、1B 为圆1S 上不同于P 、Q 的两个点,直线1A P 、1B P 分别交圆2S 于2A 、2B ,直线11A B 和22A B 交于点C ．证明：当点1A 和1B 变化时,12A A C △的外心总在一个定圆上．（IMO 43-预选题,2003年国家队集训测试题）B S 2S 1QO 1O 2PA 2B 1CA 1O 图9-15证明如图915-,当点1A 和1B 变化时,点C 、1B 、1A 、P 、2B 、2A 组成完全四边形的六个顶点．由性质5知点Q 恰为全四边形的密克尔点,由此即知12A A C △的外心O 在完全四边形四个三角形的外接圆圆心所在的圆（即斯坦纳圆）上,例3如图916-,四边形ABCD 的两条对角线交于点O ,两组对边的延长线分别相交于E 、F ,过O 作EF 的平行线交BC 、AD 于I 、J ．求证：OI OJ =．（《数学教学》2006年第10期问题681号）IOB DMCFANGEJ 图9-16证明延长AC 交EF 于点G ,在完全四边形ABECFD 中,由性质3,有AO OCAG GC=． 又IJ EF ∥,则OI OC AO OJAG GC AG GF===． 故OI OJ =．注类似地,在完全四边形ABECFD 中,直线IJ 交AE 于M ,交直线ED 于N ,则有ON OC AO OMEG GC AG EG ===,故OM ON =． 由此,我们可推证得：过完全四边形对角线的交点作另一条对角线的平行线,所作直线与平行对角线的同一端点所在边（或延长线）相交,所得线段被对角线交点平分． 【解题思维策略分析】1．灵活应用完全四边形的优美性质解题例4以ABC △的边BC 为直径作半圆,与AB 、AC 分别交于点D 、E ．过D 、E 作BC 的垂线,垂足分别是F 、G ．线段DE 、EF 交于点M ．求证：AM BC ⊥．（1996年第37届IMO 中国国家队选拔赛试题）A 图9-17证明如图917-,连结BE 与CD ,设它们相交于点O ,因BE AC ⊥,CD AB ⊥, 则O 为ABC △的垂心,于是AO BC ⊥．又DF BC ⊥,EG BC ⊥,则DF AO EG ∥∥． 由性质7,得点M 在AO 上,于是AM BC ⊥．例5如图918-,在ABC △中,90BAC ∠=︒,G 为AB 上给定的一点(G 不是线段AB 的中点),设D 为直线CG 上与C 、G 都不相同的任意一点,并且直线AD 、BC 交于E ,直线BD 、AC 交于F ,直线EF 、AB 交于H ．试证明交点H 与D 在直线CG 上的位置无关．（1990年苏州市高中竞赛题）GP N BDMCFAHE图9-18证明作BM CG AN ∥∥,点M 、N 均在直线EF 上．连结AM 、BN ．对CEF △,由性质7,知AM 与BN的交点P 在CG 上．则HB BM PB GBHA AN PN GA===． 这说明点H 由G 唯一确定．即点H 与D 在直线CG 上的位置无关． 注 例5中条件90BAC ∠=︒是多余的．例6如图919-,任意五角星形12345A A A A A 12345C C C C C 的五个小三角形的外接圆分别交于星形外的五个点1B 、2B 、3B 、4B 、5B ．求证：1B 、2B 、3B 、4B 、5B 五点共圆．DA 5A 1A 2A 3A 4B 5B 1B 2B 3B 4C 5C 1C 2C 3C 4图9-19证明由于五角星可看做是由五个完全四边形所组成,由密克尔性质知每一个完全四边形有一个密克尔点,此题即证五个密克尔点1B 、2B 、3B 、4B 、5B 共圆． 设22B A 的延长线与14C B 的延长线交于点D ,令141B B D ∠=∠,1432B C A ∠=∠,1253B B A ∠=∠,4D ∠=∠,2335B B A ∠=∠,3346A B B ∠=∠,523 7A A A ∠=∠,314 8A C B ∠=∠．注意到对完全四边形124135C A C AC A 及完全四边形452413C A C A C A 分别应用密克尔点性质知514A C C △的外接圆要过1B 及4B ,因此1B 、4B 、1C 、4C 四点共圆．又2A 、2B 、4C 、1B 共圆,则123∠=∠=∠,从而1B 、2B 、4B 、D 共圆．再由2A 、2B 、3A 、3B 共圆,知57∠=∠．又由3A 、3B 、1C 、4B 共圆,知68∠=∠．因此3456478180D B ∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠+∠=︒,故2B 、3B 、4B 、D 共圆,即1B 、2B 、3B 、4B 、D 五点共圆．同样可证2B 、3B 、4B 、5B 共圆,故五个密克尔点共圆．例7如图920-,设H 是锐角ABC △的高线CP 上的任一点,直线AH 、BH 分别交BC 、AC 于点M 、N ,MN 与CP 交点O ,过O 的直线交CM 于D ,交NH 于点E ．求证：EPC DPC ∠=∠．(2003年保加利亚奥林匹克试题)EHG O BD CLAM NPQ 图9-20证明如图917-,连结PM 、PN ,则由完全四边形的性质5,知MPC NPC ∠=,并令其大小为ϕ,再令EPC x ∠=,DPC y ∠=．欲证x y =,只须证明cot cot cos sin sin cos sin cos sin sin sin cos x y x y x y x y x y ϕϕ=⇔=⇔=⇔ ()()sin sin sin cos sin cos sin sin sin sin cos cos sin sin sin sin x y x y x y x y x y xyϕϕϕϕϕϕ---=-⇔=．由()sin sin NEP EHP NP x S NE EH S PH x ϕ+==△△, 有()sin sin x NE PHxEH NPϕ-=⋅． 同理()sin sin y DM CPyCD PMϕ-=⋅． 注意到PM MO PN NO =,只须证1NE CD PH MOEH DM CP NO⋅⋅⋅=．设MOD δ∠=,EOP ϕ∠=,又因sin sin NEO EHO S NE HO EH S OH δϕ==△,sin sin CDO DMO S CD CO DM S OM ϕδ==△△． 于是,又只须证1OC PHOH PC⋅=, 即OC PCOH PH=． 而此式,由完全四边形CNAHBM 应用其对角线调和分割性质即证,故EPC DPC ∠=∠． 2．发掘有约束条件的完全四边形问题制作竞赛题的背景 例8如图921-,在完全四边形ABCDEF 中,AB AE =．图9-21(1)若BC EF =,则CD DF =,反之若CD DF =,则BC EF =．(2)若BC EF = (或CD DF =),M 为完全四边形的密克尔点,则MD CF ⊥或ACF △的外心1O ,在直线MD 上．(3)若BC EF = (或CD DF =),点A 在CF 上的射影为H ,ABE △的外心为2O ,则2O 为AM 的中点,且22O D O H =．(4)若BC EF =（或CD DF =）,M 为完全四边形的密克尔点,则MB ME =,且MB AC ⊥,ME AE ⊥． 证明(1)可由完全四边形中含有的比例乘积式（或对ACF △及截线BDE 应用梅涅劳斯定理）有1AB CD FE BC DF EA⋅⋅= 因AB AE =,则由上式,知CD DF BC EF =⇔=．(2)由(1)知,BCD △和DEF △的外接圆是等圆（或由正弦定理计算推证得）．又由A 、B 、M 、E 四点共圆,有CBM AEM FEM ∠=∠=∠,从而CM MF =,于是DCM DFM △△≌,有CDM FDM ∠=∠．故MD CF ⊥．由于DM 是CF 的中垂线,而1O 在CF 的中垂线上,故ACF △的外心1O 在直线MD 上．(3)由(2)知,BCD △和DEF △外接圆是等圆,从而BCM EFM △△≌,即有BM EM =,即知点M 在BAE ∠的平分线上,亦即A 、2O 、M 共线,从而知2O 为AM 的中点． 或者直接计算得2O 为AM 的中点,在ABE △中,由正弦定理,知 22211sin 2cos 2sin 9022ABAB AC AEAO AEBAA +⋅===∠⎛⎫︒- ⎪⎝⎭． 设圆1O 的半径为1R ,流意到1O 、D 、M 共线,则 11112cos 2sin 2sin 2A AM R O MA R MCA R C ⎛⎫=∠=∠=+ ⎪⎝⎭．于是122cos 2sin cos2222sin sin 2cos2A A A R C C AM AC AE AO AFC CA ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==+⋅∠+ 而22sin cos 2sin cos cos sin cos sin 2cos 222222A A A A A A C C C C ⎛⎫⎛⎫+=+=⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()cos sin sin 1cos cos sin sin sin cos cos sin sin sin C A C A C A C C A C A C AFC =++=++=+∠．故22AM AO =,即2O 为AM 的中点．注意到MD CF ⊥,AH CF ⊥,所以2O 在线段DH 的中垂线上,故22O D O H =．(4)由(3)知,BE EM =．又2O 为AM 的中点,而2O 为圆心即AM 为直径,则MB AC ⊥,ME AE ⊥．或注意到AB AE =,从而MB ME =．以例8为背景,则可得到如下竞赛题．试题1已知锐角ABC △,CD 是过点C 的高线,M 是边AB 的中点,过M 的直线分别交射线CA 、CB 于点K 、L ,且CK CL =．若CKL △的外心为S ．证明：SD SM =．（2003年第54届波兰奥林匹克题）证明事实上,如图922-,此题即为在完全四边形CKAMLB 中,C ∠为锐角,顶点在边AB 上的射影为D ,且CK CL =,AM M B =,S 为CKL △的外心,此即为例8中的(3),过M 与AB 垂直的线与CS 延长线交为M ．图9-22BDMCAGEKS试题2设AM 、AN 分别是ABC △的中线和内角平分线,过点N 作AN 的垂线分别交AM 、AB 于点Q 、P ,过P 作AB 的垂线交AN 于O ．求证：QO BC ⊥．（2000年亚太地区奥林匹克题）O 'P'N 'BO CMAQ N EP图9-23证明事实上,如图923-,过M 作PQ 的平行线交AB 于P ',交AN 于N ',过P '与AB 垂直的直线交直线AN 于O ',则由Rt P O N '''△与Rt PON △是以A 为位似中心的位似形,知MO QO '∥．设P N ''的延长线与AC 的延长线交于点E ,则为完全四边形AP BMEC '的密克尔点,于是由例8中的(2),知O M BC '⊥．从而OQ BC ⊥．以具有相等的边（含边上的线段）的完全四边形为背景的竞赛题还有如下的2003年日本奥林匹克题． 试题3 P 是ABC △内的一点,直线AC 、BP 相交于Q ,直线AB 、CP 相交于R ,已知 AR RB CP ==,CQ PQ =．求BRC ∠．事实上,可在CR 上取点S ,使RS CP =,则由ACS QPC BPR ∠=∠=∠,可推证得SC RP =．由完全四边形中的比例乘积式（即对ABQ △及截线RPC 应用梅涅劳斯定理）知AC BP =． 又由ACS BRP △△≌,得AD BR =．由此推得AS AR RS ==,即60ARS ∠=︒,从而120BRC ∠=︒． 例9如图924-,完全四边形ABCDEF 中,AC BE ⊥,AE CF ⊥．图9-24A(1)若顶点C 、E 在对角线BF 所在直线上的射影分别为G 、H ,则GB FH =．(2)若对角线AD 的延长线交对角线CE 于P ,BPF △的外接圆交AD 于1A ,交CD 于1C ,交DE 于1E ,则111=2ACE A BC PE F S S △,且4ACE BPF S S △△≥．证明(1)由题设知C 、E 、F 、B 、四点共圆,且CE 的中点为其圆心,过O 作OM BF ⊥于M ,则由弦心距性质知BM M F =．又CG OM EH ∥∥,CO OE =,从而GM MH =．故 GB GM BM MH MF FH =-=-=．(2)在ACE △中,由题设知BPF △的外接圆为ACE △的九点圆,从而知1A 、1C 、1E 分别为AD 、CD 、ED 的中点．于是1112BCC PCC BCPD S S S +=△△1112PEE FEE DPEF S S s +=△△1112BAA FAA ABDF S S S +=△△从而1112ACE A BC PE F S S =．由完全四边形的性质,即知4ACE BPE S S △△≥．以例9为背景,则可得到如下竞赛题．试题4锐角ABC △中,BD 和CE 是其相应边上的高．分别过顶点B 和C 引直线ED 的垂线BF 和CG ,垂足为F 、G ．求证：EF DG =． （1998年第22届独联体奥林匹克题） 试题5锐角ABC △中,A ∠的平分线与三角形外接圆交于另一点1A ．点1B 、1C 与此类似．直线1AA 与B ∠、C ∠两角的外角平分线相交于点0A ,点0B 、0C 与此类似,求证：(1)000A B C △的面积是六边形111AC BACB 面积的两倍．(2) 000A B C △的面积至少是ABC △面积的四倍．（1989年第30届IMO 试题）试题6已知圆1O 与圆2O 交于A 、B 两点,过点A 作12O O 的平行线,分别与圆1O 、圆2O 交于C 、D 两点,以CD 为直径的圆3O 分别与圆1O 、圆2O 交于P 、Q 两点．证明：CP 、DQ 、AB 三线共点．（2004年第54届白俄罗斯奥林匹克题）事实上,由12CD O O ∥,且12AB O O ⊥,知CD AB ⊥．又可推得CP 、DQ 、AB 是BCD △的三条高线,故共点．例10在完全四边形ABCDEF 中,顶点A 、B 、D 、F 四点共圆O ,其对角线AD 与BF 交于点G ．A图9-25(1)若顶点角C ∠、E ∠的平分线相交于点K ,则CK EK ⊥．(2)BGD ∠的角平分线与CK 平行,DGF ∠的角平分线与EK 平行．(3)从C 、E 分别引圆O 的切线,若记切点分别为P 、Q ．则222CE CP EQ =+；此题设条件下的完全四边形ABCDEF 的密克尔点在对角线CE 上；若分别以C 、E 为圆心,以CP 、EQ 为半径作圆弧交于点T ,则CT ET ⊥．(4)若从C (或E )引圆O 的两条切线,切点为R 、Q ,则E (或C )、R 、G 、Q 四点共圆． (5)过C 、E 、G 三点中任意两点的直线,分别是另一点关于圆O 的极线． (6)点O 是GCE △的垂心．(7)过对角线BF (或BF ∥CE 时的AD )两端点处的圆O 的切线的交点在对角线CE 所在直线上． (8)设1O 、2O 分别是ACF △、ABE △的外心,则12OO O DCE △△∽．(9)设点M 是完全四边形ABCDEF 的密克尔点,则OM CE ⊥,且O 、G 、M 共线,OM 平分AMD ∠,OM 平分BMF ∠．(10)过点E (或C )的圆的割线交圆O 于R 、P ,直线PC (或PE )交圆O 于点S ,则R 、G , S 三点共线． (ii)设对角线AD 的延长线交对角线CE 于W ,则WC WE =的充要条件是2WA WD WC ⋅=．(12)设对角线CF 的中点为Z ,连结AZ 交圆O 于N ,则C 、D 、N 、E 四点共圆． 证明(1)如图925-,连结CE ,令1DEC ∠=∠,2DCE ∠=∠,则 ()1221)180BCD DEF ABD AFD ∠+∠+∠+∠+∠+∠=∠+∠=︒（, 即知1()12902BCD DEF ∠+∠+∠+∠=︒,从而()1180[12]902CKE BCD DEF ∠=︒-∠+∠+∠+∠=︒, 故CK EK ⊥．(2)设DGF ∠的平分线交DE 于X ,KE 交GF 于l ,则()1122FGX DGF GFA GAF ∠=∠=∠+∠,()111()222FIE GFA AED GFA ADB GAF GFA GAF ∠=∠-∠=∠-∠-∠=∠+∠．故CX KE∥．同理,BGD ∠的平分线与CK 平行．(3)设过点B 、C 、D 的圆交CE 于点M ,连结DM ,则AFD CBD DME ∠=∠=∠,从而D 、M 、E 、F 四点共圆,于是CM CE CD CF ⋅=⋅,EM EC ED EB ⋅=⋅． 此两式相加,得2CE CD CF ED EB =⋅+⋅．又CP 、EQ 分别是圆O 的切线,有2CD CF CP ⋅=,2ED EB EQ ⋅=． 放223CE CP EQ =+．显然,M 是圆BCD 与圆DEF 的另一个交点,此即为密克尔点,即题设条件下的完全四边形的密克尔点在CE 上．由于CT CP =,ET EQ =,故222CT ET CE +=,即CT ET ⊥． (4)如图926-,连结CQ 交圆O 于R ',过E 作EH CQ ⊥于H ,X DR'R YZ H C MEAP QO B FG图9-26过点C 作圆的切线CP ,切点为P ,则()222CE EQ CP CR CQ CH HR CQ ''-===-． 又()()222222CE EQ CH HE HE HQ -=+-+()()22CH HQ CH HQ CH QH =-=-+ ()CH Ho CO =-．从而HR HQ '=,由此即可证 Rt Rt EHR EHQ '△△≌．于是EQ ER '=,而EQ ER =,则ER ER '=．又R '、R 均在圆O 上,故R '与R 重合,即C 、R 、Q 三点共线． 或者,设CE 上的点M 是密克尔点,则2EQ ED EB EM EC =⋅=⋅． 从而222CE EQ CE EM EC CE CM CD CF -=-⋅=⋅=⋅()()22CO OQ CO OQ CO OQ =-+=-由此,知CQ OE ⊥．而RQ OE ⊥,故C 、R 、Q 三点共线．为证R 、G 、Q 共线,连结AR 交BF 于点X ,连结RF 交AD 于点Y ,设RQ 与AF 交于点Z ,连结AQ 、QF ．于是sin sin QAZ QZF S AZ QA AQZZF S QF ZQF∠==∠△△． 同理sin sin FY DF FDY YR DR YDR ∠=∠,sin sin RX BR RBXXA BA XBA∠=∠． 由EAQ EQF △△≌,有RX EBQF ER =． 同理,有DF DE DR DB =,RX EBXA ER=． 而AQZ YDR ∠=∠,ZQF RBX ∠=∠,FDY XBA ∠=∠,EQ ER =． 于是1AZ FY RX ZF YE XA⋅⋅=对ARF △应用塞瓦定理的逆定理,知AY 、FX 、RZ 共点于G ,故R 、G 、Q 共线． 综上可知,C 、R 、G 、Q 四点共线．(5)由(4)即证．(6)由于OE RQ ⊥,即OE CG ⊥．同样OC EG ⊥．由此即知,O 为GCE △的垂心,亦可知OG CE ⊥． (7)由(5)知,直线CE 是点G 关于圆O 的极线,从而过点G 的弦的两端点处的切线的交点在直线CE 上． (8)若点O 在AD 上,则1O 、2O 分别为AC 、AE 的中点,此时,显然12OO O DCE △∽△． 若点O 不在AD 上,如图927-所示,则1O 、2O 不在AC 、AE 上．O O 1O 2BDCFAE图9-27连结1AO 、1CO 、AD 、AO 、OD 、2AO 、2O E 、BF ． 由22(180)2AO E ABE AFD AOD ∠=︒-∠=∠=∠, 及22O A O E =．OA OD =, 知2AO E AOD △△∽． 即有2AO AEAO AD=． 又2O AE OAD ∠=∠, 则2AOO ADE △△≌．同理1AO C AOD △∽△,1AOO ACD △△≌． 于是12O O OO AO CD AD DE==． 由12AO C AO E △∽△,知12O O AC AOCE AE AD==, 从而12OO O DCE △∽△．(9)如图928-,过点D 和M 作圆O 的割线MD 交圆O 于点T ,连结AM 、AO 、TO ．由A 、B 、D 、F及A 、B 、M 、E 分别共圆,知EFD ABE AM E ∠=∠=∠．TOBD C FAME图9-28又由D 、F 、A 、T 共圆,知EFD ATD ATM ∠=∠=∠,因AE 、TM 是过两相交圆交点F 、D 的割线,从而EM AT ∥．于是TAM AM E ATM ∠=∠=∠,即知MA MT =．又OA OT =,从而MO AT ⊥,故OM ME ⊥．而M 在CE 上,故OM CE ⊥,又由(6)知,OG CM ⊥,故O 、G 、M 三点共线． (此题为2002年中国国家队选拔赛题的特殊情形,故OM 平分AMD ∠,OM 平分BMF ∠) (10)如图929-,连结PA 、PB 、SD 、DR 、RF 、PF ．S BDCFARG EP 图9-29由EFR FPA △∽△,CPA CSB △∽△,有FR FE PA PE =,AP CPSB CB=． 从而FR FE CPSB PE CB=⋅． 由ERD EBP △∽△,CBP CSA △∽△,亦有 RD ED CPAS EP CA=⋅． 由上述两式相除,得 ER AS FE CASB RD ED CB ⋅=⋅． 用BDAF乘上式两边,应用完全四边形性质1中式①（即对ABE △及截线CDF 应用梅涅劳斯定理）．知 1EF AC BDFA CB DE ⋅⋅= 从而1FR DB SARD BS AF⋅⋅=．。
初中数学竞赛试题_1
2021 年“新知杯〞初中数学竞赛一、填空题〔第1～5小题，每一小题8分，第6～10小题，每一小题10分，一共90分〕1. −1<2x −1<1，那么12 x的取值范围为 . 2. 在面积为1 的△ABC 中，P 为边BC 的中点，点Q 在边AC 上，且AQ=2QC 。
连接AP 、BQ 交于点R ，那么△ABR 的面积是 .3. 在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边顺次为a 、b 、c 。
假设关于x 的方程 c(x 2 +1)-22bx-a(x 2-1) = 0的两根平方和为10，那么ab 的值是 . 4. 数x 1 ，x 2 ，…， x 100 满足如下条件：对于k = 1，2，…，100，x k 比其余99个数的和小k 。
那么x 25的值是 .5. 实数a 、b 、c ，且b ≠ 0。
假设实数x 1 ，x 2， y 1 ，y 2满足x 12+ax 22=b ，x 2y 1-x 1y 2=a ， x 1y 1+ax 2y 2=c ，那么y 12+ay 22的值是 .6.如图，设P 是凸四边形ABCD 内一点，过P 分别作AB 、BC 、CD 、DA 的垂线，垂足分别为E 、F 、G 、H.AH=3，HD=4，DG=1，GC=5，CF=6，FB=4，且BE-AE=1。
那么四边形ABCD 的周长为 .第6题图 第7题图7. 如图，△ABC 的面积为1，点D 、G 、E 和F 分别在边AB 、AC 、BC 上，BD ＜DA ，DG ∥BC ， DE ∥AC ，GF ∥AB.那么梯形DEFG 面积的最大可能值为 .8. 不超过1000 的正整数x ，使得x 和x+1 两者的数字和都是奇数。
那么满足条件的正整数x 有 个.9. k 为不超过50 的正整数，使得对任意正整数n ，2×36n+k×23n+1-1 都能被7 整除。
那么这样的正整数k 有 个.10. 使得22)1(++p p 是完全平方数的所有质数p 为 .二、〔20 分〕如图，在 Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=2，AC=x ，点F 在边AB 上，点G 、H 在边BC 上，四边形EFGH 是一个边长为y 的正方形，且AE=AC.〔1〕求y 关于x 的函数解析式.〔2〕当x 为何值时，y 取到最大值？并求出y 的最大值.三、〔20 分〕求满足以下条件的正整数 n 的所有可能值：对这样的n ，能找到实数a 、b ，使得函数 b ax x nx f ++=21)(对任意整数x ，f 〔x 〕都是整数.四、〔20 分〕在一个盒子里有红、黄、黑三种颜色的小球一共88 个.从中任意取出24 个，就可以保证至少有10个小球是同色的.问在满足上述条件下，无论各种颜色的小球如何分配，至少要从盒子中任意取出多少个小球，才能保证至少有20 个小球是同色的？励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
山西省太原市高中数学竞赛解题策略-几何分册第14章 完全四边形
第14章 完全四边形我们把两两相交又没有三线共点的四条直线及它们的六个交点所构成的图形，叫做完全四边形．六个交点可分成三对相对的顶点，它们的连线是三条对角线．如图14-1，直线ABC ，BDE ，CDF ，AFE 两两相交于A 、B 、C 、D 、E 、F 六点，即为完全四边形ABCDEF ．线段AD 、BF 、CE 为其三条对角线．设AD 与BF 交于点G ，则GCE △称其为对角三角形．完全四边形中，既有凸四边形，凹四边形，还有折四边形以及四个三角形．即凸四边形ABDF ，凹四边形ACDE ，折四边形BCFE ，四个三角形是ACF △，BCD △，DEF △，ABE △．每个四边形的对边称为完全四边形的对节，一个完全四边形共有六对对节． 完全四边形有一系列有趣的性质①②③④⑤．性质1 完全四边形的三条对角线的中点共线，此线称为牛顿线．此即完全四边形ABCDEF 的三条对角线AD ，BF ，CE 的中点M ，N ，P 共线．证明 如图14-1，分别取CD ，BD ，BC 的中点Q ，R ，S ． 于是，在ACD △中，M ，R ，Q 三点共线；在BCF △中，S ，R ，N 三点共线；在BCE △中，S ，Q ，P 三点共线．SQN A B CDEFM R图14-1由平行线性质，有,,MQ AC NR FD PS EBMR AB NS FC PQ ED===． 对BCD △及截线AFE 应用梅涅劳斯定理，有1AC FD EBAB FC ED⋅⋅=，即有1MQ NR PS MR NS PQ ⋅⋅=． 再对QRS △应用梅内劳斯定理的逆定理，知M ，N ，P 三点共线． 注：此性质还可有10余种证法⑥⑦．性质2 完全四边形的一条对角线被其他两条对角线调和分割．如图14-2，在完全四边形ABCDEF 中，若对角线AD 所在直线分别与对角线BF ，CE 所在直线交于点M ，N ，则AM ND AN MD ⋅=⋅．①①沈文选．完全四边形的有没性质[J]．中等数学，2006（8）：17-20．②沈文选．完全四边形的性质应用举例[J]．中等数学，2006（10）：16-20． ③沈文选．有约束条件的完全四边形的有没性质与竞赛命题[J]．中等数学，2007（2）：17-22． ④沈文选．完全四边形的Miquel 点及其应用[J]．中学教学，2006（4）：36-39．⑤沈文选．走向国际教学奥林匹克的平面结合试题诠释（下）[]M ．哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2007：204-217．⑥沈文选．完全四边形的有没性质[J]．中等数学，2006（8）：17-20． ⑦沈文选．完全四边形的性质应用举例[J]．中等数学，2006（10）：16-20．（1）（2）PNABC DEFMNABCDEF M图14-2若BF CE ∥，则由AM BF MDAN CE ND==，即证． （此时，也可看做直线BF ，CE 相交于无穷远点P ，也有下面的②，③两式）若BF 不平行于CE ，则可设两直线相交于点P ，此时，还有BM MFBP PF=， ② CN NECP PE=． ③ 下面仅证明当BF 不平行于CE 时，有AM MDAN ND=，其余两式可类似证明． 证明 对ADF △及点B 应用赛瓦定理，有1AM DC FEMD CF EA⋅⋅=．④ 对ADF △及截线CNE 应用梅涅劳斯定理，有1AN DC FEND CF EA⋅⋅=．⑤ 上述两式相除（即④÷⑤），可得AM MDAN ND=． 注：对ABF △及点D 和截线CEP 分别应用赛瓦定理和梅涅劳斯定理可得BM MFBP PF=．对ACE △及点D 和截线BFP 分别应用赛瓦定理和梅涅劳斯定理可得CN NECP PE=． 性质3 完全四边形ABCDEF 的四个三角形ACF △，BCD △，DEF △，ABE △的外接圆共点M ，点M 称为它的密克尔点．证明如图14-3，设B C D △与DEF △的外接圆交于点D 外，还交于点M ．设点M 在直线CB ．CD ，BD上的射影分别为P ，Q ，R ，则对BCD △应用西姆松定理，知P ，Q ，R 共线． 图14-3P MQR SAB CD EF又设点M 在AE 上的射影为S ，则对DEF △应用西姆松定理，知Q ，R ，S 共线，故P ，Q ，R ，S 四点共线．对ACF △和ABE △分别应用西姆松定理的逆定理，知M 在ACF △，ABE △的外接圆上，故四个三角形的外接圆共点．注：直线PQRS 又称为完全四边形的西姆松线．此性质也称为完全四边形的密克尔定理．性质4 过完全四边形对角线所在直线的交点作另一条对角线的平行线，所作直线与平行对角线的同一端点所在的边（或其延长线）相交，所得线段被此对角线所在直线的交点平分．（可参见第15章线段的调和分割定理2的推论3）．证明如图14-4，设O ，G ，H 分别为完全四边形ABCDEF 的三条对角线所在直线的交点．（i ）过O 作与CE 平行的直线交EB 于I ，交EA 于J ，交AC 于M ，与CF 的延长线交于点N ，则须证OI OJ =，OM ON =．图14-4QL'N 'M 'I TGD S L H NEF JO CM B A P事实上，由完全四边形对角线调和分割定理有AO DOAG DG=． 又IJ CE ∥，则OI DO AO OJGE DG AG GE===． 从而OI OJ =．由MN CE ∥，则ON DO AO OMCG DG AG CG===． 从而OM ON =．(ii)过G 作与BF 平行的直线，交FC 于S ，交FE 的延长线于点T ，交BE 的延长线于L ，变BC 于M '．同（1）的证明一样，可得,GS GT GM GL '==．（iii ）过点H 作与AD 平行的直线，交CA 的延长线于P ，交AE 的延长线于Q ，交DF 的延长线于N '，交DE 的延长线于L '．同（1）的证明，可得,HN HL HP HQ ''==． 综上，我们便完成了结论的证明．注：由上述优美的性质，容易想到蝴蝶定理，在这里，我们不妨也把它称为完全四边形的蝴蝶定理． 性质5 如图14-5，完全四边形ABCDEF 中，图14-5（1）四个三角形BCC △，DEF △，ABE △，ACF △的垂心四点共线．（2）四个三角形BCD △，DEF △，ABE △，ACF △的外心四点共圆（施坦纳圆）． （3）以三角对角线为直径的圆共轴，且与四个三角形的垂心乎共线．证明 （1）由密克尔定理，设其密克尔点为M ，即BCD △，DEF △，ABE △，ACF △的外接圆的公共点为M ，则点M 关于四个三角形的西姆松线为同一条直线l ． 由施坦纳定理（设ABE △的垂心为H ，其外接圆上任一点P ．则P 关于ABE △的西姆松线通过线段PH 的中点）．l 通过点M 分别与BCD △，DEF △，ABE △，ACF △的垂心的连线段的中点，从而这四个三角形的垂心共线．注：该线称为完全四边形的垂心线，它平行于完全四边形的西姆松线．（2）设其密克尔点为M ，四个三角形BCD △，DEF △，ABE △，ACF △的外心分别为1O ，2O ，3O ，4O ．由于ME 与圆2O 和圆3O 的公共弦，则23O O ME ⊥． 设23O O 交ME 于H ，则2MO H MDE ∠=∠．同理13MO O MCB ∠=∠．又B ，D ，M ，C 四点共圆，则MDE MCB ∠=∠． 故213MO H MO O ∠=∠，即1O ，2O ，3O ，M 四点共圆．同理，1O ，2O ，4O ，M 四点共圆，故1O ， 2O ，3O ，4O ，M 五点圆．（3）我们证明以完全四边形的三条对角线为直径的圆共轴，且完全四边形的四个三角形的垂心在这条根轴上．如图14-6，在完全四边形ABCDEF 中，以对角线AD ，BF ，CE 为直径作圆．图14-6EC这三个圆的圆心就是三条对角线的中点M ，N ，P ．设1H ，2H ，3H ，4H 分别为FDE △，ACF △，ABE △，BCD △的垂心，注意到三角形垂心的性质：三角形的垂线是所有过任一条高的两个端点的圆的根心．在完全四边形ABCDEF 中，显然FDE △，ACF △，ABE △，BCD △的垂心不重合． 由于DEF △的垂心1H 是三个圆的根心，而对于DEF △，在它的边所在直线上的点，C ，B ，A ，DEF △的垂心1H 关于以CE ，BF ，AD 为直径的远的幂相等，即1H 在这三个圆两两的根轴上．同样，对于ACF △，在它的边所在直线上的点B ，D ，E ，其垂心2H 关于以CE ，BF ，AD 为直径的圆的相等，以及3H ，4H 均关于以CE ，BF ，AD 为直径的圆的幂相等．故1H ，2H ，3H ，4H 均在这三个圆两两的根轴上，即这三个圆两两的根轴重合，亦即共轴，且四个三角形的垂心在这条根轴上．注：此结论又称为高斯定理：分别以一完全四边形的对角线为直径所作的三圆共轴，它们的等幂轴就是完全四边形的垂心线．性质6 如图14-7，在完全四边形ABCDEF 中，点G 是对角线AD 所在直线上的一点，联结BG ，CG ，FG ． 若AGC AGE ∠=∠，则AGB AGF ∠=∠． 证明 如图14-7所示的各种情形，过点G 作直线a AD ⊥，过B ，F 分别作直线BM a ⊥于M ，交CD 于1M ，交CG 于2M ；作直线FN a ⊥于N ，交DE 于1N ，交GD 于2N ，则BM AG FN ∥∥．图14-7（5）（3）（4）（1）（2）aaM1M2N 1N 2N MD GECF B A M2N 2M 1N 1M NGCDF E BA a（M 2）N 2N 1M1DE N MGC FBA aaN 1M1G F BEDCAMN N 2M2N 2N 1M1M2F BDEENG M A于是由AGC AGE ∠=∠，知22Rt Rt GMM GNN △∽△．从而21122211122MM M B M B M B M BMG BD DA GA NN NG DN N F DA N F GA N F N F======⋅=． （*） 由等比性质，得2222M B MM MG BMNG N F NN FN±==±， 所以Rt Rt MBG NFG △∽△． 即有BGM FGN ∠=∠． 故AGB AGF ∠=∠．注：当2M 与M 重合，2N 与N 重合时，式（*）变为11111M B M B MG BD DA MB GA MBNG DN N F DA N F GA NF NF===⋅=⋅=． 由此，即知Rt Rt MBG NFG △∽△．性质7 在完全四边形ABCDEF 中，点G 是对角线AD 所在直线上异于A 的任意一点，则 cot cot cot cot AGC AGF AGB AGE ∠+∠=∠+∠．⑧ 证明 联结CE 与直线AD 交于点K ．在ACE △中及点D 应用塞瓦定理，有1AB CK EFBC KE FA⋅⋅=．① 注意到sin sin GAB GBC S AB AG AGBBC S AG BGC ⋅∠==⋅∠△△． sin sin GCK GKE S CK CG AGCKE S EG AGE ⋅∠==⋅∠△△． sin sin GEF GFA S EF EG EGFFA S AG AGF⋅∠==⋅∠△△． 将以上三式代入式（*）得sin sin sin sin sin sin BGC EGFAGC AGB AGE AGF∠∠=∠⋅∠∠⋅∠ ② 又sin sin()sin cos cos sin BGC AGC AGB AGC AGB AGC AGB ∠=∠-∠=∠⋅∠-∠⋅∠ sin sin()sin cos cos sin EGF AGE AGF AGE AGF AGE AGF ∠=∠-∠=∠⋅∠-∠⋅∠． 将上两式代入式②，得cot cot cot cot AGB AGC AGF AGE ∠-∠=∠-∠． 故cot cot cot cot AGC AGF AGB AGE ∠+∠=∠+∠．注：显然性质7是性质6的推广．性质7的前部分证明也可对ACF △及截线BDE 或对ABE △及截线CDF 应用梅涅劳斯定理得到类似于①的式子．⑧沈文选．善用平台，揭示性质[J]．中学生数学，2009（5）：45-46．性质8在完全四边形ABCDEF 中，1234,,,O O O O 分别为ACF △，BCD △，DEF △，ABE △的外心，1234H H H H 、、、分别为423O O O △，413O O O △，241O O O △，123O O O △的垂心，则（1）423O O O ACF △∽△，123O O O ABE △∽△，241O O O DEF △∽，413O O O BCD △∽△．（2）1234H H H H 、、、分别在BE ，AE ，AC ，CF 上，且四边形12342143H H H H O O O O ≌四边形 ． 证明如图14-8所示．图14-8O 2O 3O 1H'H 2H 3'H 1H 1'H 2'DO F EMCBA（1）设M 为其密克尔点，则BM 为圆2O 与圆4O 的公共弦，即知24O O BM ⊥． 同理，23O O DM ⊥．于是，423O O O BMD BCD ACF ∠=∠=∠=∠．又24323180180O O O O MO BME BAF CAF ∠=︒-∠=︒-∠=∠=∠，故423O O O ACF △∽△． 或者，考虑4O ，2O 在边AC 上的射影分别为AB ，BC 的中点，即42O O 在边AC 上的射影为AC 的12．同理，23O O 在CF 上的射影为CF 的12． 又43O O 在AE 上的射影为11()22AE EF AF -=，即为AF 的12，故423O O O ACF ∽△．同理123O O O ABE △∽△．此时241231O O O O O O BEA DEF ∠=∠=∠=∠．又214213314213324O O O O O O O O O O O O O O O CAF ACF DFE ∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠=∠， 从而241O O O DEF △∽△． 413O O O BCD △∽△．（2）自2O 作34O O 的垂线交BE 于点1H '，联结4BO ，2BO ，41O H '，由ABE △的外心，知1490H BO BAE '∠=︒-∠及1242439090H O O O O O BAE '∠=︒-∠=︒-∠，则14124H BO H O O ''∠=∠，从而1H '，2O ，B ，4O 四点共圆，于是14212H O O H BO ''∠=∠．又2O 为BCD △的外心，知12290H BO O BE BCD '∠=∠=︒-∠． 于是1424290903H O O BCD O O O '∠=︒-∠=︒-∠．即14242390H O O O O O '∠+∠=︒．这说明41O H '也垂直于23O O ，即知1H '为423O O O △的垂心，即1H '与1H 重合，从而1H 在BE 上．过3O 作14O O 的垂线交AE 于2H '，联结4O E ，3O E ，42O H '，则4290O EH ABE '∠=︒-∠， 43214314390(180)90(180)9090O O H O O O O O O ABE ABE '∠=︒-︒-∠=∠-︒=︒-∠-︒=︒-∠． 从而2H '，4O ，E 四点共圆，即有42343O H O O EO '∠=∠． 又132134432429090O O H O O O O O H BDC O EH BDC ABE ACF '''∠=∠+∠=∠+∠=∠+︒-∠=︒-∠． 423433442(90)()O H O O EO DEO DEO DFE DEF O EH ''∠=∠=∠+∠=∠-︒+∠+∠ 90(90)(180)180DFE DEF ABE ABE EDF ACF =∠-︒+∠-︒-∠=∠+︒-∠-︒=∠，即13242390O O H O H O ''∠+∠=︒． 这说明2H '为134O O O △的垂心，即2H '与2H 重合，故2H 在AE 上．过点2O 作14O O 的垂线交AC 于3H '，联结1CO ，2CO ，31H O '，则321214(180)H O O O O O '∠+︒-∠ 321180H O O DFE '=∠+︒-∠32190H O O AFC '=∠+∠=︒， 3190H CO AFC '∠=︒-∠． 于是32131H O O H CO ''∠=∠． 从而3H '，C ，2O ，1O 四点共圆，有23121O H O O CO '∠=∠． 又3243211243112490H O O H O O O O O H CO O O O AFC FDE '''∠=∠+∠=∠+∠=︒-∠-∠ 90()90FDE FED FDE FED =︒-∠+∠+∠=︒-∠，2311212O H O O CO ACF ACO FCO '∠=∠=∠-∠+∠ (90)(90)ACF AFC CBD ∠-︒-∠+∠-︒ 180180CAF CBD =︒-∠+∠-︒CAF FED CAF FED =∠+∠-∠=∠，即32423190H O O O H O ''∠+∠=︒，即知3H '为124O O O △的垂心． 从而3H '与3H 重合，故3H 在AC 上． 过点3O 作12O O 的垂线交CF 于点4H '，联结1O F ，14O H '，3O F ．由1O 为ACF △的外心，有4190H FO FAC '∠=︒-及4312139090H O O O O O FAC '∠=︒-∠=︒-∠，知41431HF O HO O ''∠=∠，从而4H '，3O ，F ，1O 四点共圆，于是41343H O O H FO ''∠=∠． 又3O 为DEF △的外心，知43390H FO DFO FED '∠=∠=︒-∠，于是41390H O O FED '∠=︒-∠=， 13290O O O ︒-∠，即41313290H O O O O O '∠+∠=︒． 这表明14O H '也垂直于23O O ，即知4H '为123O O O △的垂心，即4H '与4H 重合，故4H 在CF 上． 综上知，点1H ，2H ，3H ，4H 分别在BE ，AE ，AC ，CF 上．下面证四边形12342143H H H H O O O O ≌四边形．由于1O ，2O ，3O ，4O 共圆，该圆圆心记为O ，设K 为23O O 的中点，如图14-9所示．图14-9注意到卡诺定理：三角形任一顶点至该三角形垂心的距离，等于外心至其对边的距离的2倍，则知412O H OK =，且41O H OK ∥；12O H OK =，且14O H OK ∥，从而1441O H O H ∥，即知1414O H H O 为平行四边形，于是4114H H O O ∥．同理，1221H H O O ∥，2332H H O O ∥，3443H H O O ∥．故四边形12342143H H H H O O O O ≌．性质9 在完全四边形ABCDEF 中，四边形ABDF 有内切圆的充要条件是下列有两条件之一： （1）BC BE FC FE +=+． （2）AC DE AE CD +=+．证明（1）充分性． 如图14-10，在CF 上截取CG CB =，在EA 上截取EH EB =． 联结BG ，GH ，BH ，则FH EH EF EB EF =-=-．图14-10DG CFBHA又BC BE FC FE +=+， 则BE FE FC BC -=-，故FH FC BC FC CG GF =-=-=．分别作BCG ∠，BEH ∠，GFH ∠的平分线．因为CB CG =，EB EH =，FG FH =，所以这三个角的平分线所在的直线就是BGH △三边的垂直平分线，从而，这三个角的平分线交于一点，设为I ．由角平分线的性质知，I 到CB 与CF ，EB 与EF ，FC 与FA 的距离均相等，即I 到四边形ABDF 的四边距离相等，所以，四边形ABDF 有内切圆． 且I 为其内切圆的圆心． 必要性． 略．（2）充分性． 在AC 上截取CG CD =，在AE 上截取EH ED =，则AG AC CG AC CD =-=-= AE DE AE EH AH -=-=，则DCG ∠，DEH ∠，GAH ∠的平分线就是DGH △的三边的中垂线，同（1）知四边形ABDF 有内切圆． 必要性． 略．性质10 在完全四边形ABCDEF 中，四边形ABDF 有内切圆的充要条件是ACD △与ADE △的内切圆相处切．证明 如图14-11，必要性． 当四边形ABDF 有内切圆圆I 时，设圆I 分别切BD ，DF 于点M ，N ，设ACD △的内切圆圆1I 切CD 于点P ，ADE △的内切圆圆2I 切DE 于点Q ，则PN CN CP =-图14-11A111()()()222AC CF AF AC CD AD AD DF AF =+--+-=+-． 同理1()2QM AD DB AB =+-．由四边形ABDF 有内切圆，知DF AF DB AB -=-，于是PN QM =．再由DN DM =，可知DP DQ =． 从而圆1I 与圆2I 外切于AD 上某一点．充分性． 设ACD △的内切圆圆1I 与ADE △的内切圆圆2I 外切于AD 上一点，作AEB △的内切圆圆I ，过D 作圆I 的另一条切线分别交直线AB 于C '，交直线AE 于F '，作A CD'△的内切圆圆1I '，则由前面的证明可知圆1I '与圆2I 外切于AD 上一点，再由圆1I '与圆1I 的圆心同在CAD ∠的平分线上，知圆1I '与圆1I 重合． 从而C '与C 重合，F '与F 重合． 因此，四边形ABDF 有内切圆．性质11 在完全四边形ABCDEF 中，四边形ABDF （在BAF ∠内）有旁切圆的充要条件是下列有两条件之一：（1）AB BD AF FD +=+． （2）AC CD AE ED +=+． 证明（1）必要性． 略．充分性． 如图14-12，在射线AB 上取点K ，使得BK BD =，在射线AF 上取点L ，使得FL FD =． 联结DK ，DL ，KL ，由AB BD AF FD +=+．图14-12A则AK AB BK AB BD AF FD AF FL AL =+=+=+=+=从而BDK △，FDL △，AKL △均为等腰三角形． 设点O 为DLK △的外心，易知OB ，OF ，OA 分别为DLK △的三边DK ，DL ，KL 的中垂线，即它们分别是DBC ∠，DFE ∠，EAC ∠的平分线，则点O 到四边形ABDF 各边的距离相等，即知四边形ABDF （在BAF ∠内）有旁切圆，圆心为O ． （2）必要性． 设旁切圆与四边形分别相切于点M ，P ，Q ，N ，如图14-12所示。
专题45平面解析几何第五缉(原卷版)-备战2025年高中数学联赛之历年真题分类汇编
备战2025年高中数学联赛之历年真题分类汇编专题45平面解析几何第五缉1．【2021年江西预赛】给定圆P:x2+y2=2x及抛物线S:y2=4x,过圆心P作直线l,此直线与上述两曲线的四个交点,自上而下顺次记为A,B,C,D,如果线段AB,BC,CD的长按此顺序构成一个等差数列,求直线l的方程.2．【2021年福建预赛】已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为23,A1、A2分别为椭圆C的左、右顶点，B为椭圆C的上顶点，F1为椭圆C的左焦点，且△A1F1B的面积为√52.(1)求椭圆C的方程；(2)设过点D(1,0)的动直线l交椭圆C于E、F两点(点E在x轴上方),M、N分别为直线A1E,A2F与y轴的交点，求|OM||ON|的值.3．【2021年福建预赛】如图，△ABC的内切圆I与三边分别相切于点D,E,F,连接AD与内切圆I的另一个交点为P,过点P分别作AC,AB的平行线,与圆I的另一个交点分别为R,Q,△DPQ和△DPR和的内心分别为I1和I2,求证:I1I2//EF.4．【2021年重庆预赛】如图，在平面直角坐标系，已知F1,F2分别:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左，右焦点.设点D(1,0)为线段OF2的中点，直线MN（不与x轴重合）过点F1且与椭圆C交于M，N两点，延长MD，ND与椭圆C交于P,Q两点，设直线MN,PQ的斜率存在且分删为k1,k2,请将k2k1表示成关于a的函数，即f(a)=k2k1,求f(a)的值域.5．【2021年四川预赛】已知椭圆Γ:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) 的两顶点为A(−2,0),B(2,0) ,离心率为12. 点P (不同于 A,B ) 在椭圆Γ 上，点D 的坐标为(−4,0),DE ⃑⃑⃑⃑⃑ =35DP ⃑⃑⃑⃑⃑ ,直线AP 与BE 交于点Q .求点Q 的轨迹方程. 6．【2021年浙江预赛】设C 为椭圆x 28+y 24=1 的左焦点，直线y =kx +1 与椭圆交于A,B 两点.(1)求|CA|+|CB| 的最大值;（2）若直线y =kx +1 与x 轴、y 轴分别交于M,N,且以MN 为直径的圆与线段MN 的垂直平分线的交点在椭圆内部（包括在边界上），求实数k 的取值范围.7．【2021年新疆预赛】在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1:(x +1)2+y 2=16 ，曲线C 2:x 24+y 22=1 ,过M(−1,0) 斜率不为零的直线与C 1 交于A,B 两点,N(1,0),AN,BN 的垂直平分线分别为l 1,l 2 ,求证:(1)l 1,l 2 均与C 2 相切;(2)l 1,l 2 的交点P 在一条定直线上.8．【2021年全国高中数学联赛A 卷一试】在平面直角坐标系中，函数y =x+1|x|+1的图像上有三个不同的点位于直线l 上,且这三点的横坐标之和为0.求l 的斜率的取值范围.9．【2021年全国高中数学联赛B 卷一试】在平面直角坐标系中,函数y =1|x |的图像为Γ.设Γ上的两点P,Q 满足：P 在第一象限,Q 在第二象限,且直线PQ 与Γ位于第二象限的部分相切于点Q .求|PQ |的最小值.10．【2020高中数学联赛A 卷（第01试）】在平面直角坐标系中,点A ,B ,C 在双曲线xy =1上,满足△ABC 为等腰直角三角形.求△ABC 的面积的最小值.11．【2020高中数学联赛B 卷（第01试）】在椭圆Γ中,A 为长轴的一个端点,B 为短轴的一个端点, F 1,F 2为两个焦点.若AF 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AF 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +BF 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BF 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0,求tan∠ABF 1⋅tan∠ABF 2的值.12．【2024年福建预赛】已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) 的离心率为12 ,右焦点F 到直线x −y +2=0 的距离为2√2,A 1,A 2 分别为柏圆C 的左、右顶点. (1)求椭圆C 的方程.(2)过点F 的直线l 与相圆C 交于A 、B 两点(A 在x 轴上方),T 为直线A 1A,A 2B 的交点.当点T 的纵坐标为6√3 时,求直线l 的方程.13．【2024年甘肃预赛】已知椭圆E:x 2a2+y 2b 2=1(a > b >0) ,短轴长为2√3 ,离心率为e 1; 双曲线x 2m−y 2n=1(m ,n >0) 的渐近线为y =±√3x ,离心率为e 2;e 1e 2=1. (1)求椭圆E 的方程;(2)若A 为椭圆E 的右顶点,P (−1,32) ,直线AP 与y 轴交于点H ,过点H 的另一直线与椭圆E 交于M 、N 两点,设△HMA 的面积为S 1,△PHN 的面积为S 2 ,且S 1=6S 2 ,求直线MN 的方程.14．【2024年吉林预赛】已知椭圆的中心为坐标原点O ,焦点在x 轴上,斜率为12 且过瑚圆的右焦点F 的直线与糊圆交于A 、B 两点,OA ⃑⃑⃑⃑⃑ +OB ⃑⃑⃑⃑⃑ 与a = (−3,1) 共线. (1)求椭圆的离心率;(2)设M 为椭圆上的一点,且OM⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =λOA ⃑⃑⃑⃑⃑ +μOB ⃑⃑⃑⃑⃑ (λ,μ∈R) ，证明:λ2+μ2 为定值. 15．【2024年四川预赛】过点P(0,1) 作一直线l,l 与抛物线y =x 2 交于两个不同点A 、B,过点A,B 分别作抛物线y =x 2 的切线,两条切线交于点Q.求点Q 到直线AB 的距离的最小值.16．【2024年浙江预赛】已知椭圆C 的中心在原点,焦点在x 轴上,离心率为√32 ,且椭圆C 的任意三个顶点构成的三角形面积为12 .(1)求椭圆C 的方程;(2)若过点P(λ,0) 的直线l 与椭圆交于相异两点A 、B,且AP⃑⃑⃑⃑⃑ =2PB ⃑⃑⃑⃑⃑ ,求实数λ 的取值范围. 17．【2024年重庆预赛】已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1 (a >b >0) 与直线x =−√2b 有且只有一个交点,P 为椭圆C 上任一点,P 1(−1,0) ,P 2(1,0) ,且PP 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PP 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的最小值为a2 .(1)求椭圆C 的方程;(2)设直线l:y =kx +m 与椭圆C 交于点A,B,O 为坐标原点,且OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =12(OA ⃑⃑⃑⃑⃑ +OB ⃑⃑⃑⃑⃑ ) ,当△AOB 的面积最大时,求T =1|MP 1|2−2|MP 2| 的取值范围.18．【2024年新疆预赛】设椭圆x 22+y 26=1 有一个内接△PAB ，射线OP 与X 轴正向成π3角，直线AP ，BP的斜率适合条件k AP +k BP =0.(I)求证：过A ，B 的直线的斜率k 是定值； (II)求△PAB 面积的最大值.19．【2024年全国】在平面直角坐标系xOy 中，圆Ω与抛物线Γ:y 2=4x 恰有一个公共点，且圆Ω与x 轴相切于Γ的焦点F.求圆Ω的半径.20．【2024年江苏预赛】在平面直角坐标系xOy中，设椭圆C:x2a2+y2a2−9=1(a>3).(1)过椭圆C的左焦点，且垂直于x轴的直线与椭圆C交于M,N两点，若MN=9，求实数a的值;(2)若直线l:xa +ya−3=1与椭圆C交于A,B两点，求证:对任意大于3的实数a，以AB为直径的圆过定点，并求定点坐标.21．【2024年江苏预赛】如图，P k(k=1,2,3,⋯,100)是边长为1的正方形ABCD内部的点.E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点，记d1=∑100k=1EP k,d2=∑100k=1FP k,d3=∑100k=1GP k,d4=∑100k=1HP k.证明:d1,d2,d3,d4中至少有两个小于81.22．【2024年江西预赛】设椭圆C的两焦点为F1,F2,两准线为l1,l2,过椭圆上的一点P,作平行于F1F2的直线,分别交l1,l2于M1,M2,直线M1F1与M2F2交于点Q.证明:P,F1,Q,F2四点共圆.23．【2024年新疆预赛】设F是椭圆E:x23+y2=1的左焦点，过点F斜率为正的直线l与E相交于A,B两点，过点A,B分别作直线AM和BN满足AM⊥l,BN⊥l.且直线AM,BN分别与x轴相交于M和N.试求|MN|的最小值｡24．【2024年浙江预赛】如图，椭圆C1:x24+y2=1，抛物线C2:x2=2py(p>0)，设C1,C2相交于A,B两点，O为坐标原点.(1)若△ABO的外心在椭圆上，求实数p的值;(2)若△ABO的外接圆经过点N(0,132)，求实数p的值.25．【2024年重庆预赛】已知过点P(3,0)斜率为k的直线l交双曲线C：x2−y23=1右支于A、B两点，F为双曲线C的右焦点，且|AF|+|BF|=16，求k的值.26．【2024年福建预赛】已知F为椭圆C:x24+y23=1的右焦点，点P为直线x=4上动点，过点P作椭圆C的切线P A、PB，A、B为切点.(1)求证:A、F、B三点共线;(2)求△P AB面积的最小值.27．【2024年广西预赛】设k>0且k≠1,直线l:y=kx+1与l1:y=k1x+1关直线y=x+1对称,直线l与l1分别交椭E:x 24+y2=1于点A、M和A、N.(1)求k⋅k1的值；(2)求证:对任意的k,直线MN恒过定点.28．【2024年贵州预赛】已知定长为4的线段AB的两端点分别在两条相交直线x±2y=0上移动.(1)设线段AB的中点为G,求点G的轨迹C的方程;(2)若由点P 向曲线C 作出的两条切线互相垂直.求证:动点P 在定圆上. 29．【2024年吉林预赛】已知椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1, F 2,右顶点为A,P 为椭圆C 上任意一点.已知PF 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PF 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的最大值为3,最小值为2 (1)求椭圆C 的方程(2)若直线l:y=kx+m 与椭圆C 相交于M 、N 两点(M 、N 不是左右顶点)，且以MN 为直径的圆过点A.求证:直线l 过定点,并求出该定点的坐标.30．【2019高中数学联赛A 卷（第01试）】在平面直角坐标系xOy 中，圆Ω与抛物线Γ:y 2=4x 恰有一个公共点，且圆Ω与x 轴相切于Γ的焦点F .求圆Ω的半径.。
2022年沪科版八年级数学下册第19章 四边形综合测评练习题(含详解)
沪科版八年级数学下册第19章四边形综合测评考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图是用若干个全等的等腰梯形拼成的图形，下列说法错误的是（）A．梯形的下底是上底的两倍B．梯形最大角是120︒C．梯形的腰与上底相等D．梯形的底角是60︒2、如图所示，公路AC、BC互相垂直，点M为公路AB的中点，为测量湖泊两侧C、M两点间的距离，若测得AB的长为6km，则M、C两点间的距离为（）A．2.5km B．4.5km C．5km D．3km∠+∠+∠+∠=（）3、如图，在六边形ABCDEF中，若1290∠+∠=︒，则3456A．180°B．240°C．270°D．360°4、如图，矩形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（）A．2.5 B．C D5、四边形四条边长分别是a，b，c，d，其中a，b为对边，且满足222222+，则这++=+a b c d ab cd个四边形是（）A．任意四边形B．平行四边形C．对角线相等的四边形D．对角线垂直的四边形6、如图，四边形ABCD中，∠A=60°，AD=2，AB=3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为（）A B C D7、绿丝带是颜色丝带的一种，被用来象征许多事物，例如环境保护、大麻和解放农业等，同时绿丝带也代表健康，使人对健康的人生与生命的活力充满无限希望．某班同学在“做环保护航者”的主题班会课上制作象征“健康快乐”的绿丝带（丝带的对边平行且宽度相同），如图所示，丝带重叠部分形成的图形是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．等腰梯形8、在Rt△ABC中，∠C＝90°，若D为斜边AB上的中点，AB的长为10，则DC的长为（）A．5 B．4 C．3 D．29、下列测量方案中，能确定四边形门框为矩形的是（）A．测量对角线是否互相平分B．测量两组对边是否分别相等C．测量对角线是否相等D．测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等10、如图，已知正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AB，BC上，BE＝CF＝2，CE与DF交于点H，点G为DE的中点，连接GH，则GH的长为（）A B C．4.5 D．4.3第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，∠B＝50°．现将△ADE沿DE折叠点A落在三角形所在平面内的点为A1，则∠BDA1的度数为 _____．2、在平行四边形ABCD 中，BF 平分∠ABC ，交AD 于点F ，CE 平分∠BCD ，交AD 于点E ，AB =6，EF =2，则BC 的长为_____．3、如图，在四边形ABCD 中，90ABC DCB ∠+∠=︒，,E F 分别是,AD BC 的中点，分别以,AB CD 为直径作半圆，这两个半圆面积的和为8π，则EF 的长为_______．4、七边形内角和的度数是__________．5、在边长为4dm 的正方形纸片（厚度不计）上，按如图的实线裁剪，将阴影部分按虚线折叠成一个有盖的正方体盒子，则这个盒子的容积为______3dm ．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、已知矩形ABCD ，AB =6，BC =10，以BC 所在直线为x 轴，AB 所在直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，在CD 边上取一点E ，将△ADE 沿AE 翻折，点D 恰好落在BC 边上的点F 处．（1）求线段EF 长；（2）在平面内找一点G ，①使得以A、B、F、G为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点G的坐标；②如图2，将图1翻折后的矩形沿y轴正半轴向上平移m(m＞0)个单位，若以A、O、F、G为顶点的四边形为菱形，请求出m的值并写出点G的坐标．2、如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，点E是AD的中点，过A点作AF∥BC，且交CE的延长线于点F，联结BF．（1）求证：四边形AFBD是平行四边形；（2）当AB=AC时，求证：四边形AFBD是矩形．3、如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE＝BF，EF与BC交于点G．（1）求证：AE＝CF；（2）若∠ABE＝62°，求∠GFC+∠BCF的值．4、如图1，ABC 在平面直角坐标系中，且::2:3:4BO AO CO =；（1）试说明ABC 是等腰三角形；（2）已知2160cm ABC S =△．写出各点的坐标：A ( ， )，B ( ， )，C ( ， )．（3）在（2）的条件下，若一动点M 从点B 出发沿线段BA 向点A 运动，同时动点N 从点A 出发以相同速度沿线段AC 向点C 运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．①若OMN 的一条边与BC 平行，求此时点M 的坐标；②若点E 是边AC 的中点，在点M 运动的过程中，MOE △能否成为等腰三角形？若能，求出此时点Ｍ的坐标；若不能，请说明理由．5、如图，矩形ABCD 中，8AB =，4BC =，过对角线BD 中点O 的直线分别交AB ，CD 边于点E ，F ．（1）求证：四边形BEDF 是平行四边形．（2）当四边形BEDF 是菱形时，求EF 的长．-参考答案-一、单选题1、D【分析】如图（见解析），先根据平角的定义可得123180∠+∠+∠=︒，再根据123∠=∠=∠可求出12360∠=∠=∠=︒，由此可判断选项,B D ；先根据等边三角形的判定与性质可得,60DE CD CDE =∠=︒，再根据平行四边形的判定可得四边形ABCE 是平行四边形，根据平行四边形的性质可得AE BC =，然后根据菱形的判定可得四边形DEFG 是菱形，根据菱形的性质可得DE EF AD ==，最后根据线段的和差、等量代换可得,2CD AD BC AD ==，由此可判断选项,A C ．【详解】解：如图，123180,123∠+∠+∠=︒∠=∠=∠，12360∴∠=∠=∠=︒，AD BC ，1801120ADC ∴∠=︒-∠=︒，梯形ABCD 是等腰梯形，160,120,ABC BAD ADC CD CE ∴∠=∠=︒∠=∠=︒=，则梯形最大角是120︒，选项B 正确；没有指明哪个角是底角，∴梯形的底角是60︒或120︒，选项D错误；如图，连接DE，=∠=︒，,260CD CE∴是等边三角形，CDE∴=∠=︒，DE CD CDE,60∴∠+∠=︒，180ADC CDEA D E共线，∴点,,∠=∠=︒，ABC360∴，AB CE=，AB CE∴四边形ABCE是平行四边形，∴=，AE BC∠=∠=︒，CGF CDE60∴，DE FGEF DG，EF FG=，∴四边形DEFG是菱形，∴==，DE EF AD==+=，选项A、C正确；BC AE AD DE AD∴=，2CD AD故选：D．【点睛】本题考查了等腰梯形、菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握各判定与性质是解题关键．2、D【详解】AB，即可求出CM．根据直角三角形斜边上的中线性质得出CM＝12【解答】解：∵公路AC，BC互相垂直，∴∠ACB＝90°，∵M为AB的中点，AB，∴CM＝12∵AB＝6km，∴CM＝3km，即M，C两点间的距离为3km，故选：D．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，解题关键是掌握直角三角形斜边上的中线的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．3、C【分析】根据多边形外角和360 求解即可．【详解】解：123456360∠+∠+∠+∠+∠+∠=︒ ，1290∠+∠=︒()345636012270∴∠+∠+∠+∠=︒-∠+∠=︒，故选：C【点睛】本题考查了多边形的外角和定理，掌握多边形外角和360︒是解题的关键．4、D【分析】利用矩形的性质，求证明90OAB ∠=︒，进而在Rt AOB ∆中利用勾股定理求出OB 的长度，弧长就是OB 的长度，利用数轴上的点表示，求出弧与数轴交点表示的实数即可．【详解】 解：四边形OABC 是矩形，∴90OAB ∠=︒，在Rt AOB ∆中，由勾股定理可知：222OB OA AB =+，OB ∴==∴故选：D ．【点睛】本题主要是考查了矩形的性质、勾股定理解三角形以及数轴上的点的表示，熟练利用矩形性质，得到直角三角形，然后通过勾股定理求边长，是解决该类问题的关键．5、B【分析】根据完全平方公式分解因式得到a=b ，c=d ，利用边的位置关系得到该四边形的形状．【详解】解：222222+，++=+a b c d ab cd22220a ab bc cd d-++-+=，2222-=a b+-（，c d()0)--=a b=，0,0c d∴a=b，c=d，∵四边形四条边长分别是a，b，c，d，其中a，b为对边，∴c、d是对边，∴该四边形是平行四边形，故选：B．【点睛】此题考查了完全平方公式分解因式，平行四边形的判定方法，熟练掌握完全平方公式分解因式是解题的关键．6、A【分析】DN，从而可知DN最大时，EF最大，因为N与B重合时DN最大，根据三角形的中位线定理得出EF=12此时根据勾股定理求得DN，从而求得EF的最大值．连接DB，过点D作DH⊥AB交AB于点H，再利用直角三角形的性质和勾股定理求解即可；【详解】解：∵ED=EM，MF=FN，DN，∴EF=12∴DN最大时，EF最大，∴N与B重合时DN=DB最大，在R t△ADH中，∵∠A=60°ADH∴∠=︒30∴AH=2×1=1，DH=2∴BH=AB﹣AH=3﹣1=2，∴DBDB，∴EF max=12∴EF故选A【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，利用中位线求得EF=1DN是解题的关键．27、B【分析】首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条丝带宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形．【详解】解：过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，因为两条彩带宽度相同，所以AB∥CD，AD∥BC，AE=AF．∴四边形ABCD是平行四边形．∵S▱ABCD=BC•AE=CD•AF．又AE=AF．∴BC=CD，∴四边形ABCD是菱形．故选：B【点睛】此题考查了菱形的判定，平行四边形的面积公式以及平行四边形的判定与性质，利用了数形结合的数学思想，其中菱形的判定方法有：一组邻边相等的平行四边形为菱形；对角线互相垂直的平行四边形为菱形；四条边相等的四边形为菱形，根据题意作出两条高AE和AF，熟练掌握菱形的判定方法是解本题的关键8、A【分析】利用直角三角形斜边的中线的性质可得答案．【详解】解：∵∠C=90°，若D为斜边AB上的中点，AB，∴CD=12∵AB的长为10，∴DC=5，故选：A．【点睛】此题主要考查了直角三角形斜边的中线，关键是掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．9、D【分析】由平行四边形的判定与性质、矩形的判定分别对各个选项进行判断即可．【详解】解：A、∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，∴对角线互相平分且相等的四边形才是矩形，∴选项A不符合题意；B、∵两组对边分别相等是平行四边形，∴选项B不符合题意；C、∵对角线互相平分且相等的四边形才是矩形，∴对角线相等的四边形不是矩形，∴选项C不符合题意；D、∵对角线交点到四个顶点的距离都相等，∴对角线互相平分且相等，∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，∴选项D符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、解题的关键是熟记矩形的判定定理．【分析】根据正方形的四条边都相等可得BC ＝DC ，每一个角都是直角可得∠B ＝∠DCF ＝90°，然后利用“边角边”证明△CBE ≌△DCF ，得∠BCE ＝∠CDF ，进一步得∠DHC ＝∠DHE ＝90°，从而知GH ＝12DE ，利用勾股定理求出DE 的长即可得出答案．【详解】解：∵四边形ABCD 为正方形，∴∠B ＝∠DCF ＝90°，BC ＝DC ，在△CBE 和△DCF 中，BC CC B DCF BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△CBE ≌△DCF （SAS ），∴∠BCE ＝∠CDF ，∵∠BCE +∠DCH ＝90°，∴∠CDF +∠DCH ＝90°，∴∠DHC ＝∠DHE ＝90°，∵点G 为DE 的中点，∴GH ＝12DE ，∵AD ＝AB ＝6，AE ＝AB ﹣BE ＝6﹣2＝4，∴DE == ∴GH【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，直角三角形斜边上的中线，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．二、填空题1、80°【分析】由翻折的性质得∠ADE＝∠A1DE，由中位线的性质得DE//BC，由平行线的性质得∠ADE＝∠B＝50°，即可解决问题．【详解】解：由题意得：∠ADE＝∠A1DE；∵D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE//BC，∴∠ADE＝∠B＝∠A1DE＝50°，∴∠A1DA＝100°，∴∠BDA1＝180°−100°＝80°．故答案为：80°．【点睛】本题主要考查了翻折变换及其应用问题；同时还考查了三角形的中位线定理等几何知识点．熟练掌握各性质是解题的关键．2、10或14或10【分析】=，通过BF和CE 利用BF平分∠ABC， CE平分∠BCD，以及平行关系，分别求出AB AF=、DE DC是否相交，分两类情况讨论，最后通过边之间的关系，求出BC的长即可．解：四边形ABCD是平行四边形，∥，==，AD BCAB CDAD BC∴=，6∠=∠，AFE FBC∴∠=∠，DEC ECBBF平分∠ABC， CE平分∠BCD，∠=∠，ABF FBC∴∠=∠，DCE ECB∠=∠，AFE ABF∴∠=∠，DCE DEC∴由等角对等边可知：6==，DE DCAF AB==，6情况1：当BF与CE相交时，如下图所示：AD AF DE EF=+-，AD∴=，10∴=，BC10情况2：当BF与CE不相交时，如下图所示：=++AD AF DE EF∴=AD，14∴=，BC14故答案为：10或14．【点睛】本题主要是考查了平行四边形的性质，熟练运用平行关系+角平分线证边相等，是解决本题的关键，还要注意根据BF和CE是否相交，本题分两类情况，如果没考虑仔细，会漏掉一种情况．3、4【分析】根据题意连接BD，取BD的中点M，连接EM、FM，EM交BC于N，根据三角形的中位线定理推出EM=12 CD，EM∥AB，FM∥CD，推出∠ABC=∠ENC，∠MFN=∠C，求出∠EMF=90°，根据勾股定理求AB，FM=12出ME2+FM2=EF2，根据圆的面积公式求出阴影部分的面积即可．【详解】解：连接BD，取BD的中点M，连接EM、FM，延长EM交BC于N，∵∠ABC+∠DCB=90°，∵E、F、M分别是AD、BC、BD的中点，∴EM=12AB，FM=12CD，EM∥AB，FM∥CD，∴∠ABC=∠ENC，∠MFN=∠C，∴∠MNF+∠MFN=90°，∴∠NMF=180°-90°=90°，∴∠EMF=90°，由勾股定理得：ME2+FM2=EF2，∴阴影部分的面积是：12π（ME2+FM2）=12EF2π=8π，∴EF=4.故答案为：4．【点睛】本题主要考查对勾股定理，三角形的内角和定理，多边形的内角和定理，三角形的中位线定理，圆的面积，平行线的性质，面积与等积变形等知识点的理解和掌握，能正确作辅助线并求出ME2+FM2的值是解答此题的关键．4、900°900度【分析】根据多边形内角和公式计算即可．【详解】解：七边形内角和的度数是(72)180900-⨯︒=︒，故答案为：900°．【点睛】本题考查了多边形内角和公式，解题关键是熟记n 边形内角和公式：2180()n -⨯︒．5、【分析】根据题意可得，设正方体的棱长为a dm ，则减去的部分为2个边长为a dm 的正方形，将阴影部分按虚线折叠成一个有盖的正方体盒子，则四个角折叠后刚好凑成1个边长为a dm 的正方形，据此列一元二次方程求解，进而即可求得正方体的容积【详解】解：设正方体的棱长为a dm ()0a >，则222426a a -=解得a∴这个盒子的容积为3dm故答案为：【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，立方体展开图，正方形的性质，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．三、解答题1、（1）103；（2）①点G 的坐标为（﹣8，6）或（8，6）或（8，﹣6）；②4,8,6m G 或6,8,6.m G 或732,8,33m G ⎛⎫= ⎪⎝⎭． 【分析】（1）由矩形的性质得AD ＝BC ＝OC ＝10，CD ＝AB ＝OA ＝6，∠AOC ＝∠ECF ＝90°，由折叠性质得EF ＝DE ，AF ＝AD ＝10，则CE ＝6﹣EF ，由勾股定理求出BF ＝OF ＝8，则FC ＝OC ﹣OF ＝2，在Rt △ECF 中，由勾股定理得出方程，解方程即可；（2）①分三种情况，当AB 为平行四边形的对角线时；当AF 为平行四边形的对角线时；当BF 为平行四边形的对角线时，分别求解点G 的坐标即可；②分三种情况讨论，当OF 为对角线时，由菱形的性质得OA ＝AF ＝10，则矩形ABCD 平移距离m ＝OA ﹣AB＝4，即OB＝4，设FG交x轴于H，证出四边形OBFH是矩形，得FH＝OB＝4，OH＝BF＝8，则HG＝6，如图，当AO为菱形的对角线时，当AF为菱形的对角线时，结合矩形与菱形的性质同理可得出答案．【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝OC＝10，CD＝AB＝OA＝6，∠AOC＝∠ECF＝90°，由折叠性质得：EF＝DE，AF＝AD＝10，∴CE＝CD﹣DE＝CD﹣EF＝6﹣EF，由勾股定理得：BF＝OF22221068AF OA，∴FC＝OC﹣OF＝10﹣8＝2，在Rt△ECF中，由勾股定理得：EF2＝CE2+FC2，即：EF2＝（6﹣EF）2+22，解得：EF＝103；（2）①如图所示：当AB为平行四边形的对角线时，AG＝BF＝8，AG BF∥，∴点G的坐标为：（﹣8，6）；当AF为平行四边形的对角线时，AG'＝BF＝8，'AG BF，∴点G'的坐标为：（8，6）；FG AB，当BF为平行四边形的对角线时，FG''＝AB＝6，''∴点G''的坐标为：（8，﹣6）；综上所述，点G的坐标为（﹣8，6）或（8，6）或（8，﹣6）；②如图，当OF为菱形的对角线时，∵四边形AOGF为菱形，∴OA＝AF＝10，∴矩形ABCD平移距离m＝OA﹣AB＝10﹣6＝4，即OB＝4，设FG交x轴于H，如图所示：∵OA FG∥轴，∥，BC x∴∠FBO＝∠BOH＝∠OHF＝90°，∴四边形OBFH是矩形，∴FH＝OB＝4，OH＝BF＝8，∴HG＝10﹣4＝6，∴点G的坐标为：（8，﹣6）．如图，当AO 为菱形的对角线时，则6,8,,AB OB GB BF AO GF6,8,6.m G 如图，当AF 为菱形的对角线时，同理可得：,6,OA OF OA m 且,,GF OA GF BC ∥0,6,8,,A m F m 22268,m m 解得：7,3m2570,,8,,33A F 所以7258,33G 即328,.3G 综上：平移距离m 与G 的坐标分别为：4,8,6m G 或()6,8,6m G =-或732,8,.33mG ． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的判定与性质、菱形的判定与性质，坐标与图形性质、平行四边形的性质、勾股定理、折叠变换的性质、平移的性质等知识；熟练掌握矩形的性质和折叠的性质是解题的关键．2、（1）见解析（2）见解析【分析】（1）首先证明△AEF ≌△DEC （AAS ），得出AF =DC ，进而利用AF ∥B D 、AF =BD 得出答案；（2）利用等腰三角形的性质，结合矩形的判定方法得出答案．【小题1】解：证明：（1）∵AF ∥BC ，∴∠AFC =∠FC D ．在△AFE 和△DCE 中，AEF DEC AFE DCE AE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△AEF ≌△DEC （AAS ）．∴AF =DC ，∵BD =DC ，∴AF =BD ，∴四边形AFBD 是平行四边形；【小题2】∵AB =AC ，BD =DC ，∴AD ⊥B C ．∴∠ADB =90°．∵四边形AFBD 是平行四边形，∴四边形AFBD 是矩形．【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定以及矩形的判定方法、全等三角形的判定与性质，正确掌握平行四边形的判定方法是解题关键．3、（1）证明见解析；（2）73°．【分析】（1）根据正方形的性质及各角之间的关系可得：ABE CBF ∠=∠，由全等三角形的判定定理可得AEB CFB ≌，再根据其性质即可得证；（2）根据垂直及等腰三角形的性质可得45BEF EFB ∠=∠=︒，再由三角形的外角的性质可得EGC GFC BCF EBG BEF ∠=∠+∠=∠+∠，由此计算即可．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴90ABC ∠=︒，AB BC =，∵BE BF ⊥，∴90FBE ∠=︒，∵90ABE EBC ∠+∠=°，90CBF EBC ∠+∠=︒，∴ABE CBF ∠=∠，在AEB 和CFB 中，AB BC ABE CBF BE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴AEB CFB ≌，∴AE CF =；（2）解：∵BE ⊥BF ，∴90FBE ∠=︒，又∵BE BF =，∴45BEF EFB ∠=∠=︒，∵四边形ABCD 是正方形，∴90ABC ∠=︒，∵62ABE ∠=︒，∴906228EBG ∠=︒-︒=︒，∴452873EGC GFC BCF EBG BEF ∠=∠+∠=∠+∠=︒+︒=︒．∴GFC BCF ∠+∠的值为73︒．【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，正方形的性质，三角形的外角性质，理解题意，熟练运用各个定理性质是解题关键．4、（1）见解析；（2）12，0；-8，0；0，16；（3）①当M 的坐标为（2，0）或（4，0）时，△OMN 的一条边与BC 平行；②当M 的坐标为（0，10）或（12，0）或（253，0）时，，△MOE 是等腰三角形．【分析】（1）设2BO m =，3AO m =，4CO m =，则5AB AO BO m =+=，由勾股定理求出AC ，即可得出结论；（2）由ABC 的面积求出m 的值，从而得到OB 、OA 、OC 的长，即可得到A 、B 、C 的坐标；（3）①分当//BC MN 时，AM AN =；当//ON BC 时，AO AN =；得出方程，解方程即可； ②由直角三角形的性质得出10cm OE =，根据题意得出MOE △为等腰三角形，有3种可能：如果OE OM =；如果EO EM =；如果MO ME =；分别得出方程，解方程即可．【详解】解：（1）证明：设2BO m =，3AO m =，4CO m =，则5AB AO BO m =+=，在Rt ACO 中，5AC m ==，AB AC ∴=，∴ABC 是等腰三角形；（2）∵115416022ABC S AB OC m m =⋅=⨯⋅=，0m >，∴4m =，∴8cm BO =，12cm AO =，16cm CO =，20cm AC =．∴A 点坐标为（12，0），B 点坐标为（-8，0），C 点坐标为（0，16），故答案为：12，0；-8，0；0，16；（3）①如图3-1所示，当MN ∥BC 时，∵AB =AC ，∴∠ABC =∠ACB ，∵MN ∥BC ，∴∠AMN =∠ABC ，∠ANM =∠ACB ，∴∠AMN=∠ANM，∴AM=AN，∴AM=BM，∴M为AB的中点，AB=，∵20cm∴10cmAM=，∴2cmOM=，∴点M的坐标为（2，0）；如图3-2所示，当ON∥BC时，同理可得12cm===，OA AN BM∴4cm=-=，OM BM OB∴M点的坐标为（4，0）；∴综上所述，当M的坐标为（2，0）或（4，0）时，△OMN的一条边与BC平行；②如图3-3所示，当OM=OE时，∵E是AC的中点，∠AOC=90°，20cmAC=，∴110cm2OM OE AE AC====，∴此时M的坐标为（0，10）；如图3-4所示，当=10cmOE ME=时，∴此时M点与A点重合，∴M点的坐标为（12，0）；如图3-5所示，当OM=ME时，过点E作EF⊥x轴于F，∵OE=AE，EF⊥OA，∴1=6cm2OF OA=，∴8cm EF，设cm OM ME n ==，则()6cm MF OM OF n =-=-，∵222ME EF FM =+，∴()22286n n =+-， 解得253n =， ∴M 点的坐标为（253，0）； 综上所述，当M 的坐标为（0，10）或（12，0）或（253，0）时，，△MOE 是等腰三角形．【点睛】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的直线，三角形面积等等，解题的关键在于能够利用数形结合和分类讨论的思想求解．5、（1）证明见解析；（2）EF=【分析】（1）由题意知BE DF ∥，OD OB =，通过BOE DOF ≌得到BE DF =，证明四边形BEDF 平行四边形．（2）四边形BEDF 为菱形，DB EF ⊥，DB =BE BF x ==，8CF AE x ==-；在Rt BCF 中用勾股定理，解出BF 的长，在Rt BOF 中用勾股定理，得到OF 的长，由2EF OF =得到EF 的值．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，O 是BD 的中点∴BE DF ∥，OD OB =OBE ODF ∴∠=∠在BOE △和DOF △中OBE ODF OB ODBOE DOF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴BOE DOF △△≌（ASA ） ∴BE DF =∴四边形BEDF 是平行四边形．（2）解：∵四边形BEDF 为菱形，∴BE BF =，DB EF ⊥又∵8AB =，4BC =∴BD ==BO =设BE BF x ==，则8CF AE x ==-在Rt BCF 中，()22248x x +-=∴5x =在Rt BOF中，OE =∴2EF OE ==【点睛】本题考察了平行四边形的判定，三角形全等，菱形的性质，勾股定理．解题的关键与难点在于对平行四边形的性质的灵活运用．。
全国六年级小学数学竞赛测试带答案解析
全国六年级小学数学竞赛测试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、计算题1.用一条线段把一个长方形平均分割成两块，一共有多少种不同的分割法？2.用“四连块”拼成一个正方形，按编号画入右边图中．3.有6个完全相同的，你能将它们拼成下面的形状吗？二、解答题1.把任意一个三角形分成面积相等的4个小三角形，有许多种分法．请你画出4种不同的分法．2.把任意一个三角形分成面积相等的2个小三角形，有许多种分法．请你画出3种不同的分法．3.怎样把一个等边三角形分别分成8块和9块形状、大小都一样的三角形．4.下图是一个直角梯形，请你画一条线段，把它分成两个形状相同并且面积相等的四边形．5.在一块长方形的地里有一正方形的水池(如下图)．试画一条直线把除开水池外的这块地平分成两块．6.把下图四等分，要求剪成的每个小图形形状、大小都一样．除了剪正方形外，你还有别的方法吗？7.下图是一个的方格纸，请用四种不同的方法将它分割成完全相同的两部分，但要保持每个小方格的完整．8.右图是一个的方格纸，请用六种不同的方法将它分割成完全相同的两部分，但要保持每个小方格的完整．9.下图是一个被挖去了为总面积四分之一小正方形的大正方形，请你将它分成大小形状完全一样的四部分．10.下图是一个被挖去了为总面积四分之一小正方形的大正方形，请你将它分成大小形状完全一样的两部分．如果分三部分呢？11.图中是由三个正三角形组成的梯形．你能把它分割成4个形状相同、面积相等的梯形吗？12.下图是由五个正方形组成的图形．把它分成形状、大小都相同的四个图形，应怎样分？13.已知左下图是由同样大小的5个正方形组成的．试将图形分割成4块形状、大小都一样的图形．14.把右图剪成形状、大小相等的8个小图形，怎么剪？作出分出的小图形．15.下图是由18个小正方形组成的图形，请你把它分成6个完全相同的图形．16.一个正三角形形状的土地上有四棵大树(如下图所示)，现要把这块正三角形的土地分成和它形状相同的四小块，并且要求每块地中都要有一棵大树．应怎样分？17.将下图分割成大小、形状相同的三块，使每一小块中都含有一个○．18.请把下面这个长方形沿方格线剪成形状、大小都相同的4块，使每一块内都含有“奥数读本”这四个字中的一个，该怎么剪？19.请把下面的图形分成形状、大小都相同的块，使每一块里面都有“春蕾杯赛”个字．20.学习与思考对小学生的发展是很重要的，学习改变命运，思考成就未来，请你将下图分成形状和大小都相同的四个图形，并且使其中每个图形都含有“学习思考”这四个字．应怎样分？21.如下图所示，请将这个正方形分切成两块，使得两块的形状、大小都相同，并且每一块都含有学而思奥数五个字．22.如下图所示的正方形是由36个小正方格组成的．如图那样放着4颗黑子，4颗白子，现在要把它切割成形状、大小都相同的四块，并使每一块中都有一颗黑子和一颗白子．试问如何切割？23.如图，甲、乙是两个大小一样的正方形．要求把每一个正方形分成四块，两个正方形共分为八块，使每块的大小和形状都相同，而且都带一个○．甲乙24.正三角形的面积是1平方米，将三条边分别向两端各延长一倍，连结六个端点得到一个六边形(如图)，求六边形的面积．25.正六边形的面积是1平方米，将六条边分别向两端各延长一倍，交于六个点，组成如下图的图形，求这个图形的面积．26.如图，它是由个边长为厘米的小正方形组成的．⑴请在原图中沿正方形的边线，把它划分为个大小形状完全相同的图形，分割线用笔描粗．⑵分割后每个小图形的周长是厘米．⑶分割后个小图形的周长总和与原来大图形的周长相差厘米．27.如何把下图中的三个图形分割成两个相同的部分(除了沿正方形的边进行分割外，还可沿正方形的对角线进行分割)．28.如图，将一个等边三角形分割成互相不重叠的23个较小的等边三角形(这些较小的等边三角形的大小不一定都相同)，请在图中画出分割的结果．29.如图，将一个正方形分割成互相不重叠的21个小正方形，这些小正方形的大小不一定相同，请画图表示．30.用两块大小一样的等腰直角三角形能拼成几种常见的图形？31.用3个等腰直角三角形拼图，要求边与边完全重合，能拼出几种图形？32.用同样大小的四块等腰直角三角板，能否拼出一个三角形、一个正方形、一个长方形、一个梯形、一个平行四边形五种图形？若能，画出示意图．33.下面哪些图形自身用4次就能拼成一个正方形？34.用下面的3个图形，拼成右边的大正方形．35.三种塑料板的型号如图：() () ()已有型板30块，要购买、两种型号板若干，拼成正方形10个，型板每块价格5元，型板每块价格为4元．请你考虑要各买多少块，使所花的总钱数尽可能少，那么购买、两种板要花多少元？36.试用图a中的8个相等的直角三角形，拼成图b中的空心正八边形和图c中的空心正八角星．37.试将一个正方形分成相同的四块，然后用这四块分别拼成三角形、平行四边形和梯形．38.把两个小正方形剪开以后拼成一个大正方形．39.将下图分成4个形状、大小都相同的图形，然后拼成一个正方形．40.试将一个的长方形分割成两个大小相等、形状相同的图形，然后拼成一个正方形．41.长方形的长和宽各是9厘米和4厘米，要把它剪成大小、形状都相同的两块，并使它们拼成一个正方形．42.将下图分成两块，然后拼成一个正方形．43.将图分成4个形状、大小都相同的图形，然后拼成一个正方形．44.小龙的妈妈在街上卖边角布料的地摊上，买回了一块形状是等腰直角三角形的绸布，想用它来做长方形的窗帘，为了不把布剪的太碎，裁剪的块数就要尽可能的少，请问小龙的妈妈应该怎样剪拼呢？45.试将任意一个三角形分成三块，然后拼成一个长方形．46.试将任意一个矩形分成两块，然后拼成一个三角形．47.试将任意一个矩形分成三块，然后拼成一个三角形．48.把一个正方形分成8块，再把它们拼成一个正方形和一个长方形，使这个正方形和长方形的面积相等．49.有一块长8米、宽3米的长方形地毯，现在要把它移到长6米、宽4米的新房间里．请找出一种剪裁方法，使剪后的各块拼合后正好能铺满房间的地面，为了使剪后的地毯尽量完整，就要使剪裁的块数尽可能地少，应怎样剪拼？50.如何把一个长20厘米、宽12厘米的长方形切成两块，拼成一个长16厘米、宽15厘米的新长方形．51.长方形长24厘米，宽15厘米．把它剪成两块，使它们拼成一个长20厘米，宽18厘米的长方形．52.如下图长方形的长、宽分别为120厘米、90厘米，正中央开有小长方形孔，长为80厘米，宽为10厘米，要拼成面积为100平方厘米的正方形．问如何切分，能使划分的块数最少．53.把下图中两个图形中的某一个分成三块，最后都拼在一起，使它们成为一个正方形．54.如下图两个正方形的边长分别是和()，将边长为的正方形切成四块大小、形状都相同的图形，与另一个正方形拼在一起组成一个正方形．55.如下图所示，这是一张十字形纸片，它是由五个全等正方形组成，试沿一直线将它剪成两片，然后再沿另一直线将其中一片剪成两片，使得最后得到的三片拼成两个并列的正方形．全国六年级小学数学竞赛测试答案及解析一、计算题1.用一条线段把一个长方形平均分割成两块，一共有多少种不同的分割法？【答案】无穷多【解析】怎样把一个图形按照规定的要求分割成若干部分呢？这就是图形的分割问题．按照规定的要求合理分割图形，是很讲究技巧的，多做这种有趣的训练，可以培养学生的创造性思维，发展空间观念，丰富想象，提高观察能力．这道题要求把长方形平均分割成两块，过长方形中心的任意一条直线都可以把长方形平均分割成两块，根据这点给出如下分法(如右图)：⑴做长方形的两条对角线，设交点为⑵过点任作一条直线，直线将长方形平均分割成两块．可见用线段平分长方形的分法是无穷多的．2.用“四连块”拼成一个正方形，按编号画入右边图中．【答案】→→→【解析】首先数一数所有的空格数，一共只有16个，只能组成的正方形，目标倒推，在右边的大正方形中拼图，仍然使用染色法，相当于把已知图形往右边的大正方形中放，这样就很容易拼成了，注意标号的位置，具体如下图所示：3.有6个完全相同的，你能将它们拼成下面的形状吗？【答案】→→【解析】利用染色法以及图形的对称性，对称轴两侧都有三个小图形，按照上面的顺序标号即可完成．二、解答题1.把任意一个三角形分成面积相等的4个小三角形，有许多种分法．请你画出4种不同的分法．【答案】【解析】根据等底等高的三角形面积相等这一结论，只要把原三角形分成4个等底等高的小三角形，它们的面积必定相等．而要得到这4个等底等高的小三角形，只需把原三角形的某条边四等分，再将各分点与这边相对的顶点连接起来就行了．根据上面的分析，可得如左下图所示的三种分法．又因为，所以，如果我们把每一个小三角形的面积看做1，那么就可以视为把三角形的面积直接分成4等份，即分成4个面积为1的小三角形；而可以视为先把原三角形分成两等份，再把每一份分别分成两等份．根据前面的分析，在每次等分时，都要想办法找等底等高的三角形．根据上面的分析，又可以得到如右下图的另两种分法．2.把任意一个三角形分成面积相等的2个小三角形，有许多种分法．请你画出3种不同的分法．【答案】【解析】根据等底等高的三角形面积相等这一结论，只要把原三角形分成2个等底等高的小三角形，它们的面积必定相等．而要得到这2个等底等高的小三角形，只需找出原三角形的某条边的中点与这边相对的顶点连接起来就行了．3.怎样把一个等边三角形分别分成8块和9块形状、大小都一样的三角形．【答案】→【解析】⑴分成8块的方法是：先取各边的中点并把它们连接起来，得到4个大小、形状相同的三角形，然后再把每一个三角形分成两部分，得到如左上图所示的图形．⑵分成9块的方法是：先把每边三等分，然后再把分点彼此连接起来，得到加上右上图所示的符合条件的图形．4.下图是一个直角梯形，请你画一条线段，把它分成两个形状相同并且面积相等的四边形．【答案】【解析】直角梯形的上底为1，下底为2，要分成两个相同的四边形，需要一条边可以分成1和2，边长正好为3，所以边分成两段，找到的三等分点，现在，，，，所以还要找到的中点，连接，就把梯形分成完全相同的两部分．如右上图．5.在一块长方形的地里有一正方形的水池(如下图)．试画一条直线把除开水池外的这块地平分成两块．【答案】【解析】用连对角线的办法找出这块长方形地的中心O和正方形水池的中心A．过O、A画一条直线，这条直线正好能把除开水池外的这块地平分为两块(如右上图)．6.把下图四等分，要求剪成的每个小图形形状、大小都一样．除了剪正方形外，你还有别的方法吗？【答案】【解析】先把图形分成相等的两块，每一块中再分成相等的两份，这样就不难分成四块了，如右上图．7.下图是一个的方格纸，请用四种不同的方法将它分割成完全相同的两部分，但要保持每个小方格的完整．【答案】【解析】分成的两块每块有(个)小格，并且这两块要关于中心点对称，大小和形状完全一样，我们从对称线入手，介绍一种分割技巧——染色法，先选中一个小格，找它关于中心点或中心线的对称位置，标上相应的符号．当找它关于中心线的对称位置时是一种情况，关于中心点的对称位置是另一种情况。
四边形竞赛题)
第一节四边形的分类与判定【知识点拨】1、四边形的性质：四边形的内角和等于360°。
2、四边形的的分类：（1）对边平行；（2）对边不平行。
本节研究是对边不平行的四边形，常用方法是转化为三角形进行研究。
【赛题精选】【例1】如图，四边形ABCD有4个直角三角形拼凑而成，它们的公共顶点为O，已知△AOB、△BOC、△COD的面积分别为20、10、16，求△AOD的面积。
（1992年北京市“迎春杯”竞赛题）【注释】求三角形的面积，通常需要求出底和高，当这两个值不易求出时，常把它们的积作为一个整体，设法求出它们的积。
【例2】如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数。
（1999年重庆市竞赛题）【注释】求凹多边形的内角和，常利用四边形和三角形的内角和进行计算，有事需要添加辅助线，将其转化为求一个凸多边形的和或一个凸多边形和一个三角形的内角和，如本题连接BF、CE，则所求的值等于四边形ABFG的内角和加上△DCE的内角和。
BC的值。
（1993【例3】如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，AD=5，求CD年“祖冲之杯”邀请赛试题）【注释】有些几何题，按原有的图形很难求解，可根据图形的特点，将原图形补成特殊图形，利用特殊图形的性质进行求解。
【例4】（1）是否存在这样的四边形，它的4条边依次是1、2、4、7？（2）是否存在这样的四边形，它的一组对角是直角，其中一个直角的两条边分别为3、4，另一个直角的边为6？【注释】探索存在型问题是指在一定条件下，判断是否存在某个结论。
解答这类问题，先假设结论存在，从假设出发，根据题设条件及有关性质进行推理论证，若推出矛盾，则不定假设，若推出合理的结果，则说明假设正确。
这种方法叫“假设法”。
【例5】如图，在四边形ABCD中，AB=AD=8，∠A=60°，∠D=150°，四边形ABCD的周长为32，求BC和CD的长。
初中数学 第十九章《四边形》单元总复习题(含答案)
第十九章《四边形》提要：本章重点是四边形的有关概念及内角和定理.因为四边形的有关概念及内角和定理是本章的基础知识，对后继知识的学习起着重要的作用.本章难点在于四边形的概念及四边形不稳定性的理解和应用.在前面学习三角形的概念时，因为三角形的三个顶点确定一个平面，所以三个顶点总是共面的，也就是说，三角形肯定是平面图形，而四边形就不是这样，它的四个顶点有不共面的情况，又限于我们现在研究的是平面图形，所以在四边形的定义中加上“在同一平面内”这个条件，这几个字的意思不容易理解，所以是难点.习题一、填空题1．如图19-1，一个矩形推拉窗，窗高1.5米，则活动窗扇的通风面积A（平方米）与拉开长度b（米）的关系式是：．2．用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图19-2所示的规律，拼成若干个图形：（1）第4个图形中有白色地面砖块；（2）第n个图形中有白色地面砖块．3．黑板上画有一个图形，学生甲说它是多边形，学生乙说它是平行四边形，学生丙说它是菱形，学生丁说它是矩形，老师说这四名同学的答案都正确，则黑板上画的图形是___________________．4．在正方形ABCD所在的平面内,到正方形三边所在直线距离相等的点有__个．5．四边形ABCD为菱形,∠A=60°, 对角线BD长度为10c m，则此菱形的周长c m．6．已知正方形的一条对角线长为8c m，则其面积是__________c m2．7．平行四边形ABCD中，AB=6c m，AC+BD=14c m，则∠AOC的周长为_______．8．在平行四边形ABCD中，∠A=70°，∠D=_________, ∠B=__________．9．等腰梯形ABCD中，AD∠BC，∠A=120°，两底分别是15c m和49c m，则等腰梯形的腰长为______．10．用一块面积为450c m2的等腰梯形彩纸做风筝，为了牢固起见，用竹条做梯形的对角线，对角线恰好互相垂直，那么至少需要竹条c m．11．已知在平行四边形ABCE中,AB=14cm,BC=16cm,则此平行四边形的周长为cm. 12．要说明一个四边形是菱形,可以先说明这个四边形是形,再说明图19-2图19-1ABCDO图19-3（只需填写一种方法）13．如图19-3,正方形ABCD 的对线AC 、BD 相交于点O .那么图中共有 个等腰直角三角形.14．把“直角三角形、等腰三角形、等腰直角三角形”填入下列相应的空格上.（1）正方形可以由两个能够完全重合的 拼合而成; （2）菱形可以由两个能够完全重合的 拼合而成; （3）矩形可以由两个能够完全重合的 拼合而成. 15．矩形的两条对角线的夹角为 60,较短的边长为12cm ,则对角线长为 cm . 16．若直角梯形被一条对角线分成两个等腰直角三角形，那么这个梯形中除两个直角外，其余两个内角的度数分别为 和 .17．平行四边形的周长为24cm ,相邻两边长的比为3:1,那么这个平行四边形较短的边长为___________cm .18．如图19-4，根据图中所给的尺寸和比例,可知这个“十”字标志的周长为 m .19．已知菱形的两条对角线长为12cm 和6cm ,那么这个菱形的面积为 2cm . 20．如图19-5,l 是四边形ABCD 的对称轴,如果AD ∥BC ,有下列结论: （1）AB ∥CD ;（2）AB=CD ;（3）AB BC ;（4）AO=OC .其中正确的结论是 . （把你认为正确的结论的序号都填上）二、选择题21．给出五种图形：∠矩形； ∠菱形； ∠等腰三角形（腰与底边不相等）； ∠等边三角形； ∠平行四边形（不含矩形、菱形）．其中，能用完全重合的含有300角的两块三角板拼成的图形是（ ）A ．∠∠B ．∠∠∠C ．∠∠∠∠D ．∠∠∠∠∠22．如图19-6,设将一张正方形纸片沿右图中虚线剪开后，能拼成下列四个图形，则其中是中心对称图形的是（ ）AB C D图19-611图19-4 A BCO图19-523．四边形ABCD 中，∠A ︰∠B ︰∠C ︰∠D =2︰2︰1︰3，则这个四边形是（ ） A ．梯形 B ．等腰梯形C ．直角梯形D ．任意四边形24．要从一张长40c m ，宽20c m 的矩形纸片中剪出长为18c m ，宽为12c m 的矩形纸片则最多能剪出（ ） A ．1张 B ．2张 C ．3张 D ．4张25．如图19-7，在平行四边形ABCD 中，CE 是∠DCB 的平分线，F 是AB 的中点，AB ＝6，BC ＝4，则AE ︰EF ︰FB 为（ ）A ．1︰2︰3B ． 2︰1︰3C ． 3︰2︰1D ． 3︰1︰2 26．下列说法中错误的是（ ）A ．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；B ．两条对角线相等的四边形是矩形；C ．两条对角线互相垂直的矩形是正方形；D ．两条对角线相等的菱形是正方形． 27．下列说法正确的是（ ）A ．任何一个具有对称中心的四边形一定是正方形或矩形；B ．角既是轴对称图形又是中心对称图形；C ．线段、圆、矩形、菱形、正方形都是中心对称图形；D ．正三角形、矩形、菱形、正方形是轴对称图形，且对称轴都有四条．28．点A 、B 、C 、D 在同一平面内，从∠AB //CD ；∠AB ＝CD ；∠BC //AD ；∠BC ＝AD 四个条件中任意选两个，能使四边形ABCD 是平行四边形的选法有（ ） A ．∠∠ B ．∠∠ C ． ∠∠ D ． ∠∠29．已知ABCD 是平行四边形，下列结论中不一定正确的是（ ）A ．AB =CD B ．AC =BDC ．当AC ∠BD 时，它是菱形 D ．当∠ABC =90°时，它是矩形 30．平行四边形的两邻边分别为6和8，那么其对角线应（ ）A ．大于2，B ．小于14C ．大于2且小于14D ．大于2或小于1231．在线段、角、等边三角形、等腰三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆、等腰梯形这十种图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的共有 （ ） A ．4种 B ．5种 C ．7种 D ．8种32．下列说法中,错误的是 （ ） A ．平行四边形的对角线互相平分 B ．对角线互相平分的四边形是平行四边形 C ．菱形的对角线互相垂直 D ．对角线互相垂直的四边形是菱形33．给出四个特征（1）两条对角线相等;（2）任一组对角互补;（3）任一组邻角互补;（4）是轴对称图形但不是中心对称图形,其中属于矩形和等腰梯形共同具有的特征的共有 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个34．如果一个四边形的两条对角线互相平分,互相垂直且相等,那么这个四边形是 （ ）A D CB F E 图19-7 ·A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．菱形、矩形或正方形 35．如图19-8,直线a ∠b ,A 是直线a 上的一个定点,线段BC 在直线b 上移动,那么在移动过程中ABC ∆的面积 （ ） A ．变大 B ．变小 C ．不变 D ．无法确定36．如图19-10,矩形ABCD 沿着AE 折叠,使D 点落在BC 边上的F 点处,如果 60=∠BAF ,则DAE ∠ 等于 （ ）A ． 15B ． 30C ． 45D ． 6037．如图19-11,在ABC ∆中,AB=AC =5,D 是BC 上的点,DE ∠AB 交AC 于点E ,DF ∠AC 交AB于点F ,那么四边形AFDE 的周长是 （ ） A ．5 B ．10 C ．15 D ．2038．已知四边形ABCD 中,AC 交BD 于点O ,如果只给条件“AB ∠CD ”,那么还不能判定四边形ABCD 为平行四边形,给出以下四种说法:（1）如果再加上条件“BC=AD ”,那么四边形ABCD 一定是平行四边形;（2）如果再加上条件“BCD BAD ∠=∠”,那么四边形ABCD 一定是平行四边形; （3）如果再加上条件“AO=OC ”,那么四边形ABCD 一定是平行四边形;（4）如果再加上条件“CAB DBA ∠=∠”,那么四边形ABCD 一定是平行四边形其中正确的说法是 （ ） A ．（1）（2） B ．（1）（3）（4） C ．（2）（3） D ．（2）（3）（4） 三、解答题39．如图19-12，已知四边形ABCD 是等腰梯形， CD //BA ,四边形AEBC 是平行四边形．请说明：∠ABD ＝∠ABE ．40．如图19-13，在∠ABC 中，点O 是AC 边上的一动点， 过点O 作直线MN //BC , 设MNA BC D EF图19-9 图19-10 图19-11 D A EBC图19-12交∠BCA 的平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于点F ． （1）说明EO ＝FO ；（2）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？说明你的结论．41．如图19-14，AD 是∠ABC 的角平分线，DE ∠AC 交AB 于点E ，DF ∠AB 交AC 于F ． 试确定AD 与EF 的位置关系，并说明理由．42．如图19-15，在正方形ABCD 的边BC 上任取一点M ，过点C 作CN ∠DM 交AB 于N ，设正方形对角线交点为O ，试确定OM 与ON 之间的关系，并说明理由．43．如图19-16，等腰梯形ABCD 中，E 为CD 的中点，EF ∠AB 于F ，如果AB =6，EF =5，AE B CF O N M D图19-13 A EB DC F1图19-142O图19-15 A BN M C D O AD求梯形ABCD 的面积．44．如图19-17，有一长方形餐厅，长10米，宽7米，现只摆放两套同样大小的圆桌和椅子，一套圆桌和椅子占据的地面部分可看成半径为1.5米的圆形（如左下图所示）．在保证通道最狭窄处的宽度不小于0.5米的前提下，此餐厅内能否摆下三套或四套同样大小的圆桌和椅子呢？请在摆放三套或四套的两种方案中选取一种，在右下方 14×20方格纸内画出设计示意图．（提示：∠画出的圆应符合比例要求； ∠为了保证示意图的清晰，请你在有把握后才将设计方案正式画在方格纸上．说明：正确地画出了符合要求的三个圆得5分，正确地画出了符合要求的四个圆得8分．）45．如图19-18, 在正方形ABCD 中, M 为AB 的中点，MN ∠MD ，BN 平分∠CBE 并交MN 于N ．试说明：MD =MN ．46．如图19-19, 中,DB=CD , 70=∠C ,AE ∠BD 于E .试求DAE ∠的度数.D A B C ME N图19-18图19-17ABCD47．如图19-20, 中,G 是CD 上一点,BG 交AD 延长线于E ,AF=CG ,100=∠DGE . （1）试说明DF=BG ; （2）试求AFD ∠的度数.48．.工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行:（1）先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图19-21∠）,使AB=CD,EF=GH ;（2）摆放成如图∠的四边形,则这时窗框的形状是 形,根据的数学道理是: ;（3）将直角尺靠紧窗框的一个角（如图∠）,调整窗框的边框,当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图∠）,说明窗框合格,这时窗框是 形,根据的数学道理是: .（图∠） （图∠） （图∠） （图∠）49．如图19-22，已知平行四边形ABCD ，AE 平分∠DAB 交DC 于E ，BF 平分∠ABC 交DC于F ，DC =6c m ，AD =2c m ，求DE 、EF 、FC 的长．图19-19图19-20图19-21ABCD图19-2250．如图19-23，已知矩形ABCD中，AC与BD相交于O，DE平分∠ADC交BC于E，∠BDE ＝15°，试求∠COE的度数。
平面几何选讲—利用塞瓦定理解决完全四边形问题
广州大学 唐松锦 2011.1.26
一、试题展示：2010年全国高中数学联合竞赛试题（A卷）二试（题一）
如图1，锐角三角形ABC的外心为O，K是边BC上一点（不是边BC的中点），D是线段AK延长线上一点，直线
BD与AC交于点N，直线CD与AB交于点M．求证：若OK⊥MN，则A、B、D、C
G
H
M
②
在△APQ 和△AMN 中，分别应用塞瓦定理得
AB PG QC 1,
③
BP GQ CA
AB MH NC 1.
④
BM HN CA
综合式①至④得
BP CQ BG CQ BC ∥MN BM CN BN CN
OK ⊥ BC K 是边 BC 的中点. 这与 K 不是边 BC 的中点矛盾。 所以，点 D 不能在⊙O 外。 同理，点 D 也不能在⊙O 内。 故点 D 一定在⊙O 上，即 A、B、D、C 四点共圆。 （刘才华 山东省宁阳第一中学，271400）
BK CN AM 1 BK BM AN .
KC NA MB
KC MA NC
设△AMN 底边 MN 上的高为 h.则
BB BB h BM AN BK BP . CC h CC MA NC KC CP
A
O
C
BK
D
所以，Rt△B B P∽Rt△CC′P.
ME NC AB 1，M1E1 N1C AB 1. EN CA BM E1N1 CA BM1
又因 ME = M1E1 ，所以 N1C BM 1 .
EN E1N1
NC BM
于是，BC∥MN.
或由
一个与完全四边形有关的命题
这正 是 ２０ ０ ２年 Ｉ 中国 国家 队选 拔 考 ＭＯ
试题 １的结 论 ． 例２ 设 Ａ Ｃ Ｅ Ｂ Ｄ Ｆ是 完全 四边 形 ， Ｃ与 Ａ
Ｂ Ｄ交 于 点 Ｐ， Ｐ作 Ｅ 的 平 行 线 分 别 与 过 Ｆ
Ｂ Ａ Ａ Ｃ Ｃ、Ｄ、Ｂ、Ｄ交 于点 、 、 ． 明 ： Ⅳ、 ｙ 证
证 明． 此处 不 赘．
Ｉｌ 冬 １
本文 介绍 笔 者关 于完 全 四边 形 的另一 个 命题．
再 由△ Ａ Ｆ被直 线 Ｂ Ｒ所 截得 Ｅ Ｄ
Ｅ Ｒ
…Ｆ Ｄ 一 １ 梅 涅 劳斯定 理 Ｒ Ａ・８ ＝－微 栅 ｉ础 ） Ｅ （ 、 ｔ ｌ “ … ， Ｆ ．
． ． ：
１ ４
中 等 数 学
一
个 与 完全 四 边 形 有关 的 命 题
黄 全 福
（ 安徽省怀 宁县江镇 中学 。４ ６２ ２ １４ ）
中图分类号 ： ２ ． ０１３ １
文献标识码 ：Ａ
文章编号 ：１０ ６ １ （０ ２ ０ ０ １ ０ ０ ５— ６ ２ １ ） ２— ０ ４— ２ ４
（） ２ 在△ Ａ Ｄ 中 ， Ａ Ｄ Ｂ Ｂ 由 Ｑ、 Ｅ、 Ｆ三 线共
点 得
ＢＰ ＤＦ ＡＥ １
一 ・ 一 ＝ ●．
ＰＤ ＦＡ ＥＢ
‘
（ 嚣 １ ； ） ＝ （篙＝ ２ ； ）
３＂ ＡＰ ｃ＝
．
由△ Ａ Ｄ被 直线 Ｅ Ｒ所截 得 Ｂ Ｆ
ＢＲ ＤＦ Ａ Ｅ １
一 ・ 一 ： Ｉ．
ＲＤ ＦＡ ＥＢ
～
比较 两式 得
ＢＰ
一
一
墼
‘
ＰＤ 一肋
证明
（ ） Ａ Ｅ １ 在 Ａ Ｆ中 ， Ａ Ｅ）Ｆ 由 Ｑ、 １、 Ｂ
数学竞赛讲义-第7讲完全四边形
创知路 竞赛数学讲义
平面几何第十讲 完全四边形
【例1】（西姆松定理）过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足点共线，此线称为西姆松线.西姆松线平分该点于三角形垂心的连线.其逆定理也成立，即如果一点P在三角形ABC三边上的射影共线，则P在三角形ABC的外接圆上.
【例2】完全四边形中四个三角形的外接圆交于一点，称为完全四边形的密克尔点.如图，当BCEF四点共圆于圆O时，密克尔点为O到直线AD的垂足M；当ABDF四点共圆于圆O时，密克尔点为O到直线CE的垂足M.
C
【例3】完全四边形的三条对角线的中点共线（牛顿线）
C
【例4】完全四边形的三条对角线为直径的圆共轴，且完全四边形的四个三角形的垂心在这条轴上
【例5】四边形ABCD内接于圆O，其边AB与DC的延长线交于点P，AD与BC的延长线交于点Q，过Q作圆O的两条切线，切点分别为E、F，求证：P、E、F三点共线.。
高中数学几何题竞赛试题
高中数学几何题竞赛试题一、选择题（每题3分，共15分）1. 在直角三角形ABC中，∠C=90°，若AB=5，AC=3，则BC的长度是：A. 4B. 3C. 2D. 无法确定2. 已知圆的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，若圆与直线l相切，则d与r的关系是：A. d = rB. d > rC. d < rD. d ≠ r3. 在正六边形ABCDEF中，若AB=2，则对角线AC的长度是：A. 2B. 2√3C. 4D. 4√34. 若一个正方体的表面积为S，棱长为a，则a与S的关系是：A. a = √SB. a = SC. a = S/6D. a = √(S/6)5. 已知椭圆的长轴为2a，短轴为2b，焦点到中心的距离为c，若a=5，b=3，则c的值是：A. 4B. 2C. √7D. √(25-9)二、填空题（每题4分，共20分）6. 在三角形ABC中，若∠A=60°，AB=AC=6，则BC的长度是______。
7. 已知圆柱的底面半径为r，高为h，若圆柱的体积为V，则V与r和h的关系是V=______。
8. 若一个圆锥的底面半径为r，高为h，且圆锥的体积为V，则圆锥的底面积是______。
9. 已知一个球的体积为V，半径为R，则R与V的关系是R=______。
10. 若一个正多边形的边数为n，且其内角为x，则x与n的关系是x=______。
三、解答题（每题10分，共30分）11. 已知三角形ABC的三个顶点坐标分别为A(2,3)，B(5,6)，C(1,1)，求三角形ABC的面积。
12. 已知圆的方程为(x-3)²+(y-4)²=25，求圆心到直线3x+4y-20=0的距离。
13. 已知一个正四面体的棱长为a，求其外接球的半径。
四、证明题（每题10分，共25分）14. 证明：在直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半。
15. 证明：对于任意一个三角形，其内角和为180°。
专题17静态几何之四边形问题(压轴题)-决胜2021中考数学压轴题全揭秘精品(解析版)
一、选择题1．（2016四川省凉山州）一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为（）A．7B．7或8C．8或9D．7或8或9【答案】D．【分析】首先求得内角和为1080°的多边形的边数，即可确定原多边形的边数．【解析】设内角和为1080°的多边形的边数是n，则（n﹣2）•180°=1080°，解得：n=8．则原多边形的边数为7或8或9．故选D．考点：多边形内角与外角．2．（2016四川省广安市）若一个正n边形的每个内角为144°，则这个正n边形的所有对角线的条数是（）A．7B．10C．35D．70【答案】C．【分析】由正n边形的每个内角为144°结合多边形内角和公式，即可得出关于n的一元一次方程，解方程即可求出n的值，将其代入(3)2n n-中即可得出结论．【解析】∵一个正n边形的每个内角为144°，∴144n=180×（n﹣2），解得：n=10．这个正n边形的所有对角线的条数是：(3)2n n-=1072⨯=35．故选C．考点：多边形内角与外角；多边形的对角线．3．（2016内蒙古包头市）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E是AB上一点，且DE⊥CE．若AD=1，BC=2，CD=3，则CE与DE的数量关系正确的是（）A．CE3B．CE2C．CE=3DE D．CE=2DE【答案】B．【分析】过点D 作DH ⊥BC ，利用勾股定理可得AB 的长，利用相似三角形的判定定理可得△ADE ∽△BEC ，设BE =x ，由相似三角形的性质可解得x ，易得CE ，DE 的关系．【解析】过点D 作DH ⊥BC ，∵AD =1，BC =2，∴CH =1，DH =AB =22CD CH -=2231-=22，∵AD ∥BC ，∠ABC =90°，∴∠A =90°，∵DE ⊥CE ，∴∠AED +∠BEC =90°，∵∠AED +∠ADE =90°，∴∠ADE =∠BEC ，∴△ADE ∽△BEC ，∴AD AE DE BE BC CE ==，设BE =x ，则AE =1222x x -=22x -，即，解得x =2，∴12AD DE BE CE ==，∴CE =2DE ，故选B ．考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的判定与性质．4．（2016四川省泸州市）如图，矩形ABCD 的边长AD =3，AB =2，E 为AB 的中点，F 在边BC 上，且BF =2FC ，AF 分别与DE 、DB 相交于点M ，N ，则MN 的长为（ ）A ．25B ．220C ．24D ．25【答案】B ．【分析】过F 作FH ⊥AD 于H ，交ED 于O ，于是得到FH =AB =2，根据勾股定理得到AF 22FH AH +2222+22OH =13AE =13，由相似三角形的性质得到153AM AE FM FO ===35，求得AM =38AF =324，根据相似三角形的性质得到AN AD FN BF ==32，求得AN =35AF =625，即可得到结论． 【解析】过F 作FH ⊥AD 于H ，交ED 于O ，则FH =AB =2．∵BF =2FC ，BC =AD =3，∴BF =AH =2，FC =HD =1，∴AF =22FH AH +=2222+=22，∵OH ∥AE ，∴HO DH AE AD ==13，∴OH =13AE =13，∴OF =FH ﹣OH =2﹣13=53，∵AE ∥FO ，∴△AME ∽FMO ，∴153AM AE FM FO ===35，∴AM =38AF =324，∵AD ∥BF ，∴△AND ∽△FNB ，∴AN AD FN BF ==32，∴AN =35AF =625，∴MN =AN ﹣AM =625﹣324=9220，故选B ．考点：相似三角形的判定与性质；矩形的性质．5．（2016四川省雅安市）如图，在矩形ABCD 中，AD =6，AE ⊥BD ，垂足为E ，ED =3BE ，点P 、Q 分别在BD ，AD 上，则AP +PQ 的最小值为（ ）A ．22B 2C ．23D ．33【答案】D ．【分析】在Rt △ABE 中，利用三角形相似可求得AE 、DE 的长，设A 点关于BD 的对称点A ′，连接A ′D ，可证明△ADA ′为等边三角形，当PQ ⊥AD 时，则PQ 最小，所以当A ′Q ⊥AD 时AP +PQ 最小，从而可求得AP +PQ 的最小值等于DE 的长，可得出答案．．考点：矩形的性质；轴对称-最短路线问题；最值问题．6．（2016四川省眉山市）如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连结BF交AC于点M，连结DE、BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：①FB垂直平分OC；②△EOB≌△CMB；③DE=EF；④S△AOE：S△BCM=2：3．其中正确结论的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】B．【分析】①利用线段垂直平分线的性质的逆定理可得结论；②证△OMB≌△OEB得△EOB≌△CMB；③先证△BEF是等边三角形得出BF=EF，再证▱DEBF得出DE=BF，所以得DE=EF；④由②可知△BCM≌△BEO，则面积相等，△AOE和△BEO属于等高的两个三角形，其面积比就等于两底的比，即S△AOE：S△BOE=AE：B E，由直角三角形30°角所对的直角边是斜边的一半得出BE=2OE=2A E，得出结论S△AOE：S△BOE=AE：B E=1：2．【解析】①∵矩形ABCD中，O为AC中点，∴OB=OC，∵∠COB=60°，∴△OBC是等边三角形，∴OB=BC，∵FO=FC，∴FB垂直平分OC，故①正确；②∵FB垂直平分OC，∴△CMB≌△OMB，∵OA=OC，∠FOC=∠EOA，∠DCO=∠BAO，∴△FOC≌△EOA，∴FO=EO，易得OB⊥EF，∴△OMB≌△OEB，∴△EOB≌△CMB，故②正确；③由△OMB≌△OEB≌△CMB得∠1=∠2=∠3=30°，BF=BE，∴△BEF是等边三角形，∴BF=EF，∵DF∥BE 且DF=BE，∴四边形DEBF是平行四边形，∴DE=BF，∴DE=EF，故③正确；④在直角△BOE中∵∠3=30°，∴BE=2OE，∵∠OAE=∠AOE=30°，∴AE=OE，∴BE=2AE，∴S△AOE：S△BCM=S△AOE：S△BOE=1：2，故④错误；所以其中正确结论的个数为3个；故选B．考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；综合题．7．（2016四川省资阳市）如图，矩形ABCD与菱形EFGH的对角线均交于点O，且EG∥BC，将矩形折叠，使点C与点O重合，折痕MN恰好过点G若AB=6，EF=2，∠H=120°，则DN的长为（）A 3B63+C63D．236【答案】C．【分析】延长EG交DC于P点，连接GC、FH，则△GCP为直角三角形，证明四边形OGCM为菱形，则可证OC=OM=CM=OG3GP的值，再由梯形的中位线定理CM+DN=2GP，即可得出答案．考点：矩形的性质；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）．8．（2016湖北省鄂州市）如图，菱形ABCD的边AB=8，∠B=60°，P是AB上一点，BP=3，Q是CD边上一动点，将梯形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点A′．当CA′的长度最小时，CQ的长为（）A．5B．7C．8D．13 2【答案】B．【分析】作CH⊥AB于H，如图，根据菱形的性质可判断△ABC为等边三角形，则CH 3=43AH=BH=4，再利用勾股定理计算出CP=7，再根据折叠的性质得点A′在以P点为圆心，P A为半径的弧上，利用点与圆的位置关系得到当点A′在PC上时，CA′的值最小，然后证明CQ=CP即可．【解析】作CH⊥AB于H，如图，∵菱形ABCD的边AB=8，∠B=60°，∴△ABC为等边三角形，∴CH=32AB=43，AH=BH=4，∵PB=3，∴HP=1，在Rt△CHP中，CP=22(43)1=7，∵梯形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点A′，∴点A′在以P点为圆心，P A为半径的弧上，∴当点A′在PC上时，CA′的值最小，∴∠APQ=∠CPQ，而CD∥AB，∴∠APQ=∠CQP，∴∠CQP=∠CPQ，∴CQ=CP=7．故选B．考点：菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；综合题；最值问题．9．（2016福建省龙岩市）如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】C．【分析】作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，由两点之间线段最短可知当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP有最小值，然后求得EF′的长度即可．【解析】作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，连接EF′交BD于点P，∴EP+FP=EP+F′P．由两点之间线段最短可知：当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP的值最小，此时EP+FP=EP+F′P=EF′．∵四边形ABCD为菱形，周长为12，∴AB=BC=CD=DA=3，AB∥CD，∵AF=2，AE=1，∴DF=AE=1，∴四边形AEF′D是平行四边形，∴EF′=AD=3，∴EP+FP的最小值为3．故选C．考点：菱形的性质；轴对称-最短路线问题；最值问题．10．（2016内蒙古呼和浩特市）如图，面积为24的正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中E、F、G分别在AB、BC、FD上．若BF =62，则小正方形的周长为（）A．568B．566C．562D．1063【答案】C．【分析】先利用勾股定理求出DF，再根据△BEF∽△CFD，得EF BFDF DC=求出EF即可解决问题．【解析】∵四边形ABCD是正方形，面积为24，∴BC=CD=2，∠B=∠C=90°，∵四边形EFGH是正方形，∴∠EFG=90°，∵∠EFB+∠DFC=90°，∠BEF+∠EFB=90°，∴∠BEF=∠DFC，∵∠EBF=∠C=90°，∴△BEF∽△CFD，∴EF BFDF DC=，∵BF=62，CF=362，DF=22CD CF+=562，∴6256262EF=，∴EF=568，∴正方形EFGH的周长为562．故选C．考点：正方形的性质；相似三角形的判定与性质．11．（2016贵州省铜仁市）如图，正方形ABCD 中，AB =6，点E 在边CD 上，且CE =2DE ．将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连结AG 、CF ．下列结论：①△ABG ≌△AFG ；②BG =GC ；③EG =DE +BG ；④AG ∥CF ；⑤S △FGC =3.6．其中正确结论的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D ．【分析】先计算出DE =2，EC =4，再根据折叠的性质AF =AD =6，EF =ED =2，∠AFE =∠D =90°，∠F AE =∠DAE ，然后根据“HL ”可证明Rt △ABG ≌Rt △AFG ，则GB =GF ，∠BAG =∠F AG ，所以∠GAE =12∠BAD =45°；GE =GF +EF =BG +DE ；设BG =x ，则GF =x ，CG =BC ﹣BG =6﹣x ，在Rt △CGE 中，根据勾股定理得222(6)4(2)x x -+=+，解得x =3，则BG =CG =3，则点G 为BC 的中点；同时得到GF =GC ，根据等腰三角形的性质得∠GFC =∠GCF ，再由Rt △ABG ≌Rt △AFG 得到∠AGB =∠AGF ，然后根据三角形外角性质得∠BGF =∠GFC +∠GCF ，易得∠AGB =∠GCF ，根据平行线的判定方法得到CF ∥AG ；过F 作FH ⊥DC ，则△EFH ∽△EGC ，△EFH ∽△EGC ，由相似比为25，可计算S △FGC ． 【解析】∵正方形ABCD 的边长为6，CE =2DE ，∴DE =2，EC =4，∵把△ADE 沿AE 折叠使△ADE 落在△AFE 的位置，∴AF =AD =6，EF =ED =2，∠AFE =∠D =90°，∠F AE =∠DAE ，在Rt △ABG 和Rt △AFG 中，∵AB =AF ，AG =AG ，∴Rt △ABG ≌Rt △AFG （HL ），∴GB =GF ，∠BAG =∠F AG ，∴∠GAE =∠F AE +∠F AG =12∠BAD =45°，所以①正确；设BG =x ，则GF =x ，C =BC ﹣BG =6﹣x ，在Rt △CGE 中，GE =x +2，EC =4，CG =6﹣x ，∵222CG CE GE +=，∴222(6)4(2)x x -+=+，解得x =3，∴BG =3，CG =6﹣3=3，∴BG =CG ，所以②正确；∵EF =ED ，GB =GF ，∴GE =GF +EF =BG +DE ，所以③正确；∵GF =GC ，∴∠GFC =∠GCF ，又∵Rt △ABG ≌Rt △AFG ，∴∠AGB =∠AGF ，而∠BGF =∠GFC +∠GCF ，∴∠AGB +∠AGF =∠GFC +∠GCF ，∴∠AGB =∠GCF ，∴CF ∥AG ，所以④正确；过F 作FH ⊥DC ．∵BC ⊥DH ，∴FH ∥GC ，∴△EFH ∽△EGC ，∴EH EF GC EG=，EF =DE =2，GF =3，∴EG =5，∴△EFH∽△EGC，∴相似比为：EH EFGC EG==25，∴S△FGC=S△GCE﹣S△FEC=12×3×4﹣12×4×（25×3）=3.6，所以⑤正确．故正确的有①②③④⑤，故选D．考点：翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．12．（2016四川省攀枝花市）如图，正方形纸片ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后折痕DE分别交AB、AC于点E、G，连结GF，给出下列结论：①∠ADG=22.5°；②tan∠AED=2；③S△AGD=S△OGD；④四边形AEFG是菱形；⑤BE=2OG；⑥若S△OGF=1，则正方形ABCD的面积是642+，其中正确的结论个数为（）A．2B．3C．4D．5【答案】B．【分析】①由四边形ABCD是正方形，可得∠GAD=∠ADO=45°，又由折叠的性质，可求得∠ADG的度数；②由AE=EF＜BE，可得AD＞2AE；③由AG=GF＞OG，可得△AGD的面积＞△OGD的面积；④由折叠的性质与平行线的性质，易得△EFG是等腰三角形，即可证得AE=GF；⑤易证得四边形AEFG是菱形，由等腰直角三角形的性质，即可得BE=2OG；⑥根据四边形AEFG是菱形可知AB∥GF，AB=GF，再由∠BAO=45°，∠GOF=90°可得出△OGF时等腰直角三角形，由S△OGF=1求出GF的长，进而可得出BE及AE的长，利用正方形的面积公式可得出结论．【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴∠GAD=∠ADO=45°，由折叠的性质可得：∠ADG=12∠ADO=22.5°，故①正确．∵由折叠的性质可得：A E =EF ，∠EFD =∠EAD =90°，∴AE =EF ＜BE ，∴AE ＜12AB ，∴AD AE＞2，故②错误．∵∠AOB =90°，∴AG =FG ＞OG ，△AGD 与△OGD 同高，∴S △AGD ＞S △OGD ，故③错误．∵∠EFD =∠AOF =90°，∴EF ∥AC ，∴∠FEG =∠AGE ，∵∠AGE =∠FGE ，∴∠FEG =∠FGE ，∴EF =GF ，∵AE =EF ，∴AE =GF ，故④正确．∵AE =EF =GF ，AG =GF ，∴AE =EF =GF =AG ，∴四边形AEFG 是菱形，∴∠OGF =∠OAB =45°，∴EF =GF =2OG ，∴BE =2EF =2×2OG =2OG ． 故⑤正确．∵四边形AEFG 是菱形，∴AB ∥GF ，AB =GF ．∵∠BAO =45°，∠GOF =90°，∴△OGF 时等腰直角三角形． ∵S △OGF =1，∴212OG =1，解得OG =2，∴BE =2OG =22，GF =22(2)(2)+=22+=2，∴AE =GF =2，∴AB =BE +AE =222+，∴S 正方形ABCD =2AB =2(222)+=1282+，故⑥错误，∴其中正确结论的序号是：①④⑤． 故选B ．考点：四边形综合题．13．（2016黑龙江省牡丹江市）如图，边长为2的正方形ABCD 中，AE 平分∠DAC ，AE 交CD 于点F ，CE ⊥AE ，垂足为点E ，EG ⊥CD ，垂足为点G ，点H 在边BC 上，BH =DF ，连接AH 、FH ，FH 与AC 交于点M ，以下结论：①FH =2BH ；②AC ⊥FH ；③S △ACF =1；④CE =12AF ；⑤2EG =FG •DG ，其中正确结论的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】C ．【分析】①②、证明△ABH ≌△ADF ，得AF =AH ，再得A C 平分∠F AH ，则AM 既是中线，又是高线，得AC ⊥FH ，证明BH =HM =MF =FD ，则FH =2BH ；所以①②都正确；③可以直接求出FC 的长，计算S △ACF ≠1，错误；④根据正方形边长为2，分别计算CE 和AF 的长得结论正确；⑤利用相似先得出2EG =FG •CG ，再根据同角的三角函数列式计算CG 的长为1，则DG =CG ，所以⑤也正确．【解析】①②如图1，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB =AD ，∠B =∠D =90°，∠BAD =90°，∵AE 平分∠DAC ，∴∠F AD =∠CAF =22.5°，∵BH =DF ，∴△ABH ≌△ADF ，∴AH =AF ，∠BAH =⊂F AD =22.5°，∴∠HAC =∠F AC ，∴HM =FM ，AC ⊥FH ，∵AE 平分∠DAC ，∴DF =FM ，∴FH =2DF =2BH ，故选项①②正确； ③在Rt △FMC 中，∠FCM =45°，∴△FMC 是等腰直角三角形，∵正方形的边长为2，∴AC =22，MC =DF =22﹣2，∴FC =2﹣DF =2﹣（22﹣2）=4﹣22，S △AFC =12CF •AD ≠1，所以选项③不正确； ④AF =22AD DF +=222(222)+-=2422-，∵△ADF ∽△CEF ，∴AD AF CE FC=，∴22422422CE -=-，∴CE =422-，∴CE =12AF ，故选项④正确； ⑤在Rt △FEC 中，EG ⊥FC ，∴2EG =FG •CG ，cos ∠FCE =CE CG FC CE =，∴CG =2CE CF =422422--=1，∴DG =CG ，∴2EG =FG •DG ，故选项⑤正确； 本题正确的结论有4个，故选C ．考点：四边形综合题；综合题．14．（2016黑龙江省龙东地区）如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别为BC 、CD 的中点，连接AE ，BF 交于点G ，将△BCF 沿BF 对折，得到△BPF ，延长FP 交BA 延长线于点Q ，下列结论正确的个数是（ ） ①AE =BF ；②AE ⊥BF ；③sin ∠BQP =45；④S 四边形ECFG =2S △BGE ．A ．4B ．3C ．2D ．1 【答案】B ．【分析】首先证明△ABE ≌△BCF ，再利用角的关系求得∠BGE =90°，即可得到①AE =BF ；②AE ⊥BF ；△BCF 沿BF 对折，得到△BPF ，利用角的关系求出QF =QB ，解出BP ，QB ，根据正弦的定义即可求解；根据AA 可证△BGE 与△BCF 相似，进一步得到相似比，再根据相似三角形的性质即可求解．【解析】∵E ，F 分别是正方形ABCD 边BC ，CD 的中点，∴CF =BE ，在△ABE 和△BCF 中，∵AB =BC ，∠ABE =∠BCF ，BE =CF ，∴Rt △ABE ≌Rt △BCF （SAS ），∴∠BAE =∠CBF ，AE =BF ，故①正确； 又∵∠BAE +∠BEA =90°，∴∠CBF +∠BEA =90°，∴∠BGE =90°，∴AE ⊥BF ，故②正确； 根据题意得，FP =FC ，∠PFB =∠BFC ，∠FPB =90°∵CD ∥AB ，∴∠CFB =∠ABF ，∴∠ABF =∠PFB ，∴QF =QB ，令PF =k （k ＞0），则PB =2k 在Rt △BPQ 中，设QB =x ，∴x 2=（x ﹣k ）2+4k 2，∴x =52k ，∴sin =∠BQP =BP QB =45，故③正确； ∵∠BGE =∠BCF ，∠GBE =∠CBF ，∴△BGE ∽△BCF ，∵BE =12BC ，BF =52BC ，∴BE ：B F =1：5，∴△BGE 的面积：△BCF 的面积=1：5，∴S 四边形ECFG =4S △BGE ，故④错误． 故选B ．考点：四边形综合题．15．（2015绥化）如图□ABCD 的对角线ACBD 交于点O ，平分∠BAD 交BC 于点E ，且∠ADC =600，AB =21BC ，连接OE ．下列结论：①∠CAD =30°，②S □ABCD =AB •AC ，③OB =AB ，④OE =41BC ，成立的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C．【解析】考点：1．平行四边形的性质；2．等腰三角形的判定与性质；3．等边三角形的判定与性质；4．含30度角的直角三角形；5．综合题．16．（2015抚顺）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF、GH过点O，且点E、H在边AB上，点G、F在边CD上，向▱ABCD内部投掷飞镖（每次均落在▱ABCD内，且落在▱ABCD内任何一点的机会均等）恰好落在阴影区域的概率为（）A．12B．13C．14D．18【答案】C．考点：1．几何概率；2．平行四边形的性质．17．（2015柳州）如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的点，且AG=CE，AE⊥EF，AE=EF，现有如下结论：①BE=12GE；②△AGE≌△ECF；③∠FCD=45°；④△GBE∽△ECH其中，正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．正方形的性质；3．相似三角形的判定与性质；4．综合题．18．（2015安徽省）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H 在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是（）A．25B．35C．5 D．6【答案】C．考点：1．菱形的性质；2．矩形的性质．19．（2015十堰）如图，正方形ABCD 的边长为6，点E 、F 分别在AB ，AD 上，若CE =53，且∠ECF =45°，则CF 的长为（ ）A ．102B ．53C ．5103D ．1053【答案】A ．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．勾股定理；3．正方形的性质；4．综合题；5．压轴题． 20．（2015鄂州）在平面直角坐标系中，正方形A 1B 1C 1D 1、D 1E 1E 2B 2、A 2B 2C 2D 2、D 2E 3E 4B 3、A 3B 3C 3D 3…按如图所示的方式放置，其中点B 1在y 轴上，点C 1、E 1、E 2、C 2、E 3、E 4、C 3…在x 轴上，已知正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O =60°，B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3…则正方形A 2015B 2015C 2015D 2015的边长是（ ）A ．201421）（ B ．201521）（ C ．201533）（ D ．201433）（【答案】D．考点：1．正方形的性质；2．规律型；3．综合题．21．（2014年广东广州3分）如图，四边形ABCD、CEFG都是正方形，点G在线段CD上，连接BG、DE，DE和FG相交于点O，设AB=a，CG=b（a＞b）．下列结论：①△BCG≌△DCE；②BG⊥DE；③DG GO；GC CE④（a﹣b）2•S△EFO=b2•S△DGO．其中结论正确的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】B．【考点】1．正方形的性质；2．全等三角形的判定和性质；3．相似三角形的判定和性质．【分析】①∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，∴BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°．∴∠BCG=∠DCE．在△BCG和△DCE中，∵BC DCBCG DCECG CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCG≌△DCE（SAS）．故①正确．②∵△BCG≌△DCE，∴∠CBG=∠CDE．又∵∠CBG+∠BGC=90°，∴∠CDE+∠DGH=90°．∴∠DHG=90°．∴BH⊥DE．故②正确．③∵四边形GCEF是正方形，∴GF∥CE．∴△DGO∽△DCE．∴DG GO DC CE=．∵DC=GC不一定成立，∴DG GOGC CE=不一定成立．故③错误．④∵DC∥EF，∴∠GDO=∠OEF．∵∠GOD=∠FOE，∴△OGD∽△OFE．∴()222DGO2 EFOa bS DG a bS EF b b∆∆--⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．∴（a﹣b）2•S△EFO=b2•S△DGO．故应选B．故④正确．综上所述，结论正确的个数是3个．故选B．22．（2014年广东深圳3分）如图，已知四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AB=CD，AD=2，E为CD 中点，连接AE，且AE=23，∠DAE=30°，作AE⊥AF交BC于F，则BF=（）A．1B．33C．51D．422-【答案】D．【考点】1．等腰梯形的性质；2．平行的性质；3．全等三角形的判定和性质；4．锐角三角函数定义；5．特殊角的三角函数值．【分析】如答图，延长AE交BC的延长线于G，∵E为CD中点，∴CE=DE．∵AD∥BC，∴∠DAE=∠G=30°．∵在△ADE 和△GCE 中，∠DAE =∠G ，∠AED =∠GEC ，CE =DE ， ∴△ADE ≌△GCE （AAS ）．∴CG =AD =2，AE =EG =23． ∴AG =AE +EG =23+23=43． ∵AE ⊥AF ，∴AF =AGtan 30°=34343⨯=，GF =AG ÷cos 30°=34382÷=．过点A 作AM ⊥BC 于M ，过点D 作DN ⊥BC 于N ，则MN =AD =2， ∵四边形ABCD 为等腰梯形，∴BM =CN ．∵MG =AG •cos 30°=34362⨯=，∴CN =MG ﹣MN ﹣CG =6﹣2﹣2=6﹣22． ∵AF ⊥AE ，AM ⊥BC ，∴∠F AM =∠G =30°． ∴FM =AF •sin 30°=1422⨯=．∴BF =BM ﹣MF =6﹣22﹣2=4﹣22． 故选D ．23．（2014年贵州铜仁4分）如图所示，在矩形ABCD 中，F 是DC 上一点，AE 平分∠BAF 交BC 于点E ，且DE ⊥AF ，垂足为点M ，BE =3，AE =26，则MF 的长是（ ）A ． 15B ． 15C ． 1D ． 15【答案】D ．【考点】1．矩形的性质；2．角平分线的性质；3． 勾股定理；4． 相似三角形的判定和性质；5．方程思想的应用．【分析】∵AE 平分∠BAF 交BC 于点E ，且DE ⊥AF ，∠B =90°，∴AB =AM ，BE =EM =3， 又∵AE =2622AM AE EM 24915--∴AB =CD 15．设MD =a ，MF =x ，在△AMD 和△DMF 中，∵∠AMD =∠DMF ，∠DAM =∠FDM ， ∴△AMD ∽△DMF ． ∴AM DMDM FM =．∴DM 2=AM •FM ． ∴2a 15x =． 在△DMF 和△DCE 中，∵∠DMF =∠C ，∠MDF =∠CDE ， ∴△DMF ∽△DCE ． ∴MD MFCD CE =．∴()()22a x15x a 3a 15153a 15=⇒=+-+-．联立()22a 1a 15x15x 15x a 3a 1515=⎧⎧=⎪⎪⇒⎨⎨==+-⎪⎪⎩⎩．故选D ．24．（2014年黑龙江牡丹江3分）如图，矩形ABCD 中，O 为AC 中点，过点O 的直线分别与AB ，CD 交于点E ，F ，连接BF 交AC 于点M ，连接DE ，BO ．若∠COB =60°，FO =FC ，则下列结论： ①FB ⊥OC ，OM =CM ； ②△EOB ≌△CMB ； ③四边形EBFD 是菱形； ④MB ：OE =3：2．其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C ．【考点】1． 矩形的性质；2．菱形的判定和性质；3．全等三角形的判定和性质； 4．锐角三角函数定义；5．特殊角的三角函数值． 【分析】如答图，连接OD ，∵四边形ABCD 是矩形，O 为AC 中点， ∴B ，O ，D 三点共线． ∴OB =OC ．又∵∠COB=60°∴△OBC是等边三角形．∴OB=BC=OC，∠OBC=60°．又∵FO=FC，BF=BF．∴△OBF≌△CBF（SSS）．∴△OBF与△CBF关于直线BF对称．∴FB⊥OC，OM=CM．∴①正确．∵∠OBC=60°，∴∠ABO=30°．∵△OBF≌△CBF，∴∠OBM=∠CBM=30°．∴∠ABO=∠OBF．∵AB∥CD，∴∠OCF=∠OAE．∵OA=OC，∴易证△AOE≌△COF．∴OE=OF．∴OB⊥EF．∴四边形EBFD是菱形．∴③正确．∴△EOB≌△FOB≌△FCB，∴△EOB≌△CMB不成立．∴②错误．∵∠OMB=∠BOF=90°，∠OBF=30°，∴MB=OM33，OF=OM32．∵OE=OF，∴MB：OE=3：2．∴④正确．综上所述，正确结论的个数是3．故选C．25．（2014年黑龙江绥化3分）如图，在矩形ABCD中，AD=2AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE 于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①∠AED=∠CED；②OE=OD；③BH=HF；④BC﹣CF=2HE；⑤AB=HF，其中正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】B．【考点】1．矩形的性质；2．全等三角形的判定和性质；3．角平分线的性质；4．等腰三角形的判定和性质．【分析】∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE=45°．∴△ABE是等腰直角三角形．∴AE AB．∵AD，∴AE=AD．在△ABE和△AHD中，∵∠BAE=∠DAH，∠ABE=∠AHD=90°，AE=AD，∴△ABE≌△AHD（AAS）．∴BE=DH．∴AB=BE=AH=HD．∴∠ADE=∠AED=12（180°﹣45°）=67.5°．∴∠CED=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°．∴∠AED=∠CED．故①正确．∵∠AHB=12（180°﹣45°）=67.5°，∠OHE=∠AHB（对顶角相等），∴∠OHE=∠AED．∴OE=OH．∵∠DOH=90°﹣67.5°=22.5°，∠ODH=67.5°﹣45°=22.5°，∴∠DOH=∠ODH．∴OH=OD．∴OE=OD=OH．故②正确．∵∠EBH=90°﹣67.5°=22.5°，∴∠EBH=∠OHD．在△BEH和△HDF中，∵∠EBH=∠OHD=22.5°，BE=DH，∠AEB=∠HDF=45°，∴△BEH≌△HDF（ASA）．∴BH=HF，HE=DF．故③正确．∵DF=DC﹣CF﹣CF﹣2CF=2DF﹣2CF=2HE．故④错误．∵AB=AH，∠BAE=45°，∴△ABH不是等边三角形．∴AB≠BH，即AB≠HF．故⑤错误；综上所述，结论正确的是①②③共3个．故选B．26．（2014年湖南衡阳3分）下列命题是真命题的是（）A．四条边都相等的四边形是矩形B．菱形的对角线相等C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形D．对角线相等的梯形是等腰梯形【答案】D．【考点】1命题与定理；2．特殊四边形的判定和性质．【分析】根据特殊四边形的判定和性质定理逐一判断：A、四条边都相等的是菱形，故错误，是假命题；B、菱形的对角线互相垂直但不相等，故错误，是假命题；C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形但不一定是正方形，故错误，是假命题；D、正确，是真命题．故选D．27．（2014年山东东营3分）如图，四边形ABCD为菱形，AB=BD，点B、C、D、G四个点在同一个圆⊙O 上，连接BG并延长交AD于点F，连接DG并延长交AB于点E，BD与CG交于点H，连接FH，下列结论：①AE=DF；②FH∥AB；③△DGH∽△BGE；④当CG为⊙O的直径时，DF=AF．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】D．【考点】1．菱形的性质；2．等边三角形的判定和性质；3．圆周勾股定理；4．全等三角形的判定和性质；5．三角形内角和定理；6．平行的判定；7．相似三角形的判定；8．含30度直角三角形的性质．【分析】①∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=DC=AD．又∵AB=BD，∴△ABD和△BCD是等边三角形．∴∠A=∠ABD=∠DBC=∠BCD=∠CDB=∠BDA=60°．又∵B、C、D、G四个点在同一个圆上，∴∠DCH=∠DBF，∠GDH=∠BCH．∴∠ADE=∠ADB﹣∠GDH=60°﹣∠EDB，∠DCH=∠BCD﹣∠BCH=60°﹣∠BCH．∴∠ADE=∠DCH．∴∠ADE=∠DBF．在△ADE和△DBF中，∵∠EAD=∠FDB，AD=DB，∠ADE=∠DBF，∴△ADE≌△DBF（ASA）．∴AE=DF．故①正确．②如答图1，由①中证得∠ADE=∠DBF，∴∠EDB=∠FBA．∵B、C、D、G四个点在同一个圆上，∠BDC=60°，∠DBC=60°，∴∠BGC=∠BDC=60°，∠DGC=∠DBC=60°．∴∠BGE=180°﹣∠BGC﹣∠DGC=180°﹣60°﹣60°=60°．∴FGD=60°，∴FGH=120°．又∵∠ADB=60°，∴F、G、H、D四个点在同一个圆上，∴∠EDB=∠HFB．∴∠FBA=∠HFB．∴FH∥AB．故②正确．③∵B、C、D、G四个点在同一个圆上，∠DBC=60°，∴∠DGH=∠DBC=60°．∵∠EGB=60°，∴∠DGH=∠EGB．由①中证得∠ADE=∠DBF，∴∠EDB=∠FBA．∴△DGH∽△BGE．故③正确．④如答图2，∵CG为⊙O的直径，点B、C、D、G四个点在同一个圆⊙O上，∴∠GBC=∠GDC=90°．∴∠ABF=120°﹣90°=30°．∵∠A=60°，∴∠AFB=90°．∴AF=12 AB．又∵∠DBF=60°﹣30°=30°，∠ADB=60°，∴∠DFB=90°．∴FD=12 BD．∵AB=BD，∴DF=AF．故④正确．综上所述，正确结论有①②③④4个．故选D．28．（2014年四川攀枝花3分）如图，正方形ABCD的边CD与正方形CGEF的边CE重合，O是EG的中点，∠EGC的评分项GH过点D，交BE于H，连接OH、FH、EG与FH交于M，对于下面四个结论：①GH⊥BE；②HO 12BG；③点H不在正方形CGFE的外接圆上；④△GBE∽△GMF．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C．【考点】1．正方形的性质；2．全等三角形的判定和性质；3．三角形中位线的判定和性质；4．直角三角形斜边上中线的性质；5．圆周角定理；6．相似三角形的判定．【分析】①∵四边形ABCD和四边形CGFE是正方形，∴BC=CD，CE=CG，∠BCE=∠DCG，在△BCE和△DCG中，∵BC CDBCE DCGCE CG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCE≌△DCG（SAS）．∴∠BEC=∠BGH．∵∠BGH+∠CDG=90°，∠CDG=∠HDE，∴∠BEC+∠HDE=90°．∴GH⊥BE．故①正确．②∵GH是∠EGC的平分线，∴∠BGH=∠EGH．在△BGH和△EGH中，∵BGH EGHGH GHGHB GHE∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BGH≌△EGH（ASA）．∴BH=EH．∵O是EG的中点，∴HO是△EBG的中位线．∴HO 12BG．故②正确．③由①得△EHG是直角三角形，∵O为FG的中点，∴OH=OG=OE．∴点H在正方形CGFE的外接圆上．故③错误．④如答图，连接CF，由③可得点H在正方形CGFE的外接圆上，∴∠HFC=∠CGH．.∵∠HFC+∠FMG=90°，∠CGH+∠GBE=90°，∴∠FMG=∠GBE．又∵∠EGB=∠FGM=45°，∴△GBE∽△GMF．故④正确．综上所述，正确的结论有①②④3个．故选C．29．（2014年四川雅安3分）如图，ABCD为正方形，O为AC、BD的交点，△DCE为Rt△，∠CED=90°，∠DCE=30°，若OE=622+，则正方形的面积为（）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】B ．【考点】1．正方形的判定和性质；2．全等三角形的判定和性质；3．勾股定理；4．含30度直角三角形的性质；5．待定系数法的应用．【分析】如答图，过点O 作OM ⊥CE 于M ，作ON ⊥DE 交ED 的延长线于N ，∵∠CED =90°，∴四边形OMEN 是矩形． ∴∠MON =90°．∵∠COM +∠DOM =∠DON +∠DOM ，∴∠COM =∠DON ．∵四边形ABCD 是正方形，∴OC =OD ．在△COM 和△DON 中，∵COM DON N CMO 90OC OD ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△COM ≌△DON （AAS ）．∴OM =ON ．∴四边形OMEN 是正方形．设正方形ABCD 的边长为2a ，则OC =OD =22×2a =2a ． ∵∠CED =90°，∠DCE =30°，∴DE =CD =a ．由勾股定理得，得()2222CE CD DE 2a a 3a =-=-=，∴四边形OCED 的面积=211162a 3a 2a 2a 2222⎛⎫+=⋅⋅+⋅⋅=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭a ，解得a 2=1． ∴正方形ABCD 的面积=()222a 4a 414==⨯=．故选B ．30．（2014年安徽省4分）如图，正方形ABCD 的对角线BD 长为22，若直线l 满足：（1）点D 到直线l 的距离为3，（2）A 、C 两点到直线l 的距离相等，则符合题意的直线l 的条数为（ ）A 、1B 、2C 、3D 、4【答案】B ．【考点】1．正方形的性质；2．分类思想的应用．【分析】连接AC 与BD 相交于O ，根据正方形的性质求出OD =2，然后根据点到直线的距离和平行线间的距离相等解答：如图，连接AC 与BD 相交于O ，∵正方形ABCD 的对角线BD 长为22，∴OD =2.∴直线l ∥AC 并且到D 的距离为3.同理，在点D 的另一侧还有一条直线满足条件，故共有2条直线l ．故选B ．31．（2014年山西省3分）如图，点E 在正方形ABCD 的对角线AC 上，且EC =2AE ，直角三角形FEG 的两直角边EF 、EG 分别交BC 、DC 于点M 、N ．若正方形ABCD 的变长为a ，则重叠部分四边形EMCN 的面积为（ ）A ． 22a 3B ． 21a 4C ． 25a 9D ． 24a 9【答案】D ．【考点】1．正方形的判定和性质；2．全等三角形的判定和性质；3．转换思想的应用．【分析】如答图，过点E 作EM ⊥BC 于点M ，EQ ⊥CD 于点Q ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BCD =90°．∴∠PEM+∠MEQ=90°．∵△FEG是直角三角形，∴∠NEF=∠NEQ+∠MEQ=90°．∴∠PEM=∠NEQ，∵AC是∠BCD的角平分线，∠EPC=∠EQC=90°．∴EP=EN，四边形MCQE是正方形．在△EPM和△EQN中，∵PEM NEQEP EQEPM EQN∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△EPM≌△EQN（ASA）．∴S△EQN=S△EPM．∴四边形EMCN的面积等于正方形MCQE的面积．∵正方形ABCD的边长为a，∴AC=2a．∵EC =2AE，∴EC=223a．∴EP=PC=23a，∴正方形MCQE的面积=224a a a339⋅=.∴四边形EMCN的面积=4a 9.故选D．32．（2014年上海市4分）如图，已知AC、BD是菱形ABCD的对角线，那么下列结论一定正确的是（）．（A）△ABD与△ABC的周长相等；（B）△ABD与△ABC的面积相等；（C）菱形的周长等于两条对角线之和的两倍；（D）菱形的面积等于两条对角线之积的两倍．【答案】B．【考点】菱形的性质．【分析】根据菱形的性质作答即可：∵菱形的四边相等，对角线不一定相等，∴△ABD与△ABC的周长不一定相等；∵△ABD与△ABC的面积都是菱形ABCD面积的一半，∴△ABD与△ABC的面积相等；菱形的周长不一定等于两条对角线之和的两倍；菱形的面积等于两条对角线之积的一半．故选B ．二、填空题33．（2016吉林省长春市）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的顶点A 在x 轴正半轴上，顶点C 的坐标为（4，3）．D 是抛物线26y x x =-+上一点，且在x 轴上方．则△BCD 面积的最大值为 ． 【答案】15．【分析】设D （x ，26x x -+），根据勾股定理求得OC ，根据菱形的性质得出BC ，然后根据三角形面积公式得出∴S △BCD =215(63)2x x ⨯⨯-+-=25(3)152x --+，根据二次函数的性质即可求得最大值． 【解析】∵D 是抛物线26y x x =-+上一点，∴设D （x ，26x x -+），∵顶点C 的坐标为（4，3），∴OC =2243+=5，∵四边形OABC 是菱形，∴BC =OC =5，BC ∥x 轴，∴S △BCD =215(63)2x x ⨯⨯-+-=25(3)152x --+，∵52-＜0，∴S △BCD 有最大值，最大值为15，故答案为：15．考点：菱形的性质；二次函数的性质；最值问题．34．（2016江苏省盐城市）如图，已知菱形ABCD 的边长2，∠A =60°，点E 、F 分别在边AB 、AD 上，若将△AEF 沿直线EF 折叠，使得点A 恰好落在CD 边的中点G 处，则EF = ．【答案】72120． 【分析】延长CD ，过点F 作FM ⊥CD 于点M ，连接GB 、BD ，作FH ⊥AE 交于点H ，由菱形的性质和已知条件得出∠MFD =30°，设MD =x ，则DF =2x ，FM =3x ，得出MG =x +1，由勾股定理得出222(1)(3)(22)x x x ++=-，解方程得出DF =0.6，AF =1.4，求出AH =12AF =0.7，FH =7310，证明△DCB 是等边三角形，得出BG ⊥CD ，由勾股定理求出BG =3，设BE =y ，则GE =2﹣y ，由勾股定理得出222(3)(2)y y +=-，解方程求出y =0.25，得出AE 、EH ，再由勾股定理求出EF 即可．【解析】延长CD ，过点F 作FM ⊥CD 于点M ，连接GB 、BD ，作FH ⊥AE 交于点H ，如图所示：∵∠A =60°，四边形ABCD 是菱形，∴∠MDF =60°，∴∠MFD =30°，设MD =x ，则DF =2x ，FM =3x ，∵DG =1，∴MG =x +1，∴222(1)(3)(22)x x x ++=-，解得：x =0.3，∴DF =0.6，AF =1.4，∴AH =12AF =0.7，FH =AF •sin ∠A =1.4×32=7310，∵CD =BC ，∠C =60°，∴△DCB 是等边三角形，∵G 是CD 的中点，∴BG ⊥CD ，∵BC =2，GC =1，∴BG =，设BE =y ，则GE =2﹣y ，∴222(3)(2)y y +=-，解得：y =0.25，∴AE =1.75，∴EH =AE ﹣AH =1.75﹣0.7=1.05，∴EF =22EH FH +=22731.05()10+=72120．故答案为：72120．考点：菱形的性质；翻折变换（折叠问题）．35．（2016浙江省丽水市）如图，在菱形ABCD 中，过点B 作BE ⊥AD ，BF ⊥CD ，垂足分别为点E ，F ，延长BD 至G ，使得DG =BD ，连结EG ，FG ，若AE =DE ，则EG AB = ．【答案】72． 【分析】连接AC 、EF ，根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC ⊥BD ，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AB =BD ，然后判断出△ABD 是等边三角形，再根据等边三角形的三个角都是60°求出∠ADB =60°，设EF 与BD 相交于点H ，AB =4x ，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EH ，再求出DH ，从而得到GH ，利用勾股定理列式求出EG ，最后求出比值即可．【解析】如图，连接AC 、EF ，在菱形ABCD 中，AC ⊥BD ，∵BE ⊥AD ，AE =DE ，∴AB =BD ，又∵菱形的边AB =AD ，∴△ABD 是等边三角形，∴∠ADB =60°，设EF 与BD 相交于点H ，AB =4x ，∵AE =DE ，∴由菱形的对称性，CF =DF ，∴EF 是△ACD 的中位线，∴DH =12DO =14BD =x ，在Rt △EDH 中，EH =3DH =3x ，∵DG =BD ，∴GH =BD +DH =4x +x =5x ，在Rt △EGH 中，由勾股定理得，EG =22EH GH +=22(3)(5)x x +=27x ，所以，EG AB =274x x =72．故答案为：72．考点：菱形的性质．36．（2016浙江省台州市）如图，把一个菱形绕着它的对角线的交点旋转90°，旋转前后的两个菱形构成一个“星形”（阴影部分），若菱形的一个内角为60°，边长为2，则该“星形”的面积是 ．【答案】636-．【分析】根据菱形的性质以及AB=2，∠BAD=60°，可得出线段AO和BO的长度，同理找出A′O、D′O 的长度，结合线段间的关系可得出AD′的长度，通过角的计算得出∠AED′=30°=∠EAD′，即找出D′E=AD′，再通过解直角三角形得出线段EF的长度，利用分割图形法结合三角形的面积公式以及菱形的面积公式即可求出阴影部分的面积．【解析】在图中标上字母，令AB与A′D′的交点为点E，过E作EF⊥AC于点F，如图所示．∵四边形ABCD为菱形，AB=2，∠BAD=60°，∴∠BAO=30°，∠AOB=90°，∴AO=AB•cos∠BAO3 BO=AB•sin∠BAO=1．同理可知：A′O3D′O=1，∴AD′=AO﹣D′O31．∵∠A′D′O=90°﹣30°=60°，∠BAO=30°，∴∠AED′=30°=∠EAD′，∴D′E=AD31．在Rt△ED′F中，ED31，∠ED′F=60°，∴EF=ED′•sin∠ED′F 33-S阴影=S菱形ABCD +4S△AD′E=12×2AO×2BO+4×12AD′•EF=636．故答案为：636．考点：旋转的性质；菱形的性质．37．（2016黑龙江省齐齐哈尔市）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，点M是AD边的中点，连接MC ，将菱形ABCD 翻折，使点A 落在线段CM 上的点E 处，折痕交AB 于点N ，则线段EC 的长为 ． 【答案】71-．【分析】过点M 作MF ⊥DC 于点F ，根据在边长为2的菱形ABCD 中，∠A =60°，M 为AD 中点，得到2MD =AD =CD =2，从而得到∠FDM =60°，∠FMD =30°，进而利用锐角三角函数关系求出EC 的长即可．【解析】如图所示：过点M 作MF ⊥DC 于点F ，∵在边长为2的菱形ABCD 中，∠A =60°，M 为AD 中点，∴2MD =AD =CD =2，∠FDM =60°，∴∠FMD =30°，∴FD =12MD =12，∴FM =DM ×cos 30°=32，∴MC =22FM CF +=7，∴EC =MC ﹣ME =71-．故答案为：71-．考点：翻折变换（折叠问题）；菱形的性质．38．（2016内蒙古赤峰市）如图，正方形ABCD 的面积为3cm 2，E 为BC 边上一点，∠BAE =30°，F 为AE 的中点，过点F 作直线分别与AB ，DC 相交于点M ，N ．若MN =AE ，则AM 的长等于 cm ．【答案】33或33． 【分析】如图，作DH ∥MN ，先证明△ADH ≌△BAE 推出MN ⊥AE ，在RT △AFM 中求出AM 即可，再根据对称性求出AM ′，由此即可解决问题．。
欧几里得数学竞赛试题
欧几里得数学竞赛试题数学竞赛一直是评价学生数学能力的重要指标之一，其中欧几里得数学竞赛更是备受青睐。
欧几里得数学竞赛试题通常涉及数论、几何、代数等多个数学领域，要求学生在有限的时间内解决一系列复杂而富有挑战性的问题。
下面我们来看几个典型的欧几里得数学竞赛试题。
1. 问题一已知正整数a、b、c满足条件：a>b>c>1，且ab=bc+1。
求证：abc不可能是完全平方数。
解：假设abc是完全平方数，即存在正整数d，使得abc=d^2。
展开等式ab=bc+1，得到ab-bc=1。
可进一步得到b(a-c)=1，由于a、b、c均为正整数，所以a与c的差值只能是1。
设a=c+1，则上述等式变为b=1/(c+1)。
显然，b不可能是整数，因此矛盾。
由此可证明abc不可能是完全平方数。
2. 问题二已知正整数a、b、c满足条件：a+b+c=1000，且abc为最大的正整数。
求abc的值。
解：首先，根据给定条件可得 a = 1000 - b - c。
设函数 f(b, c) = b * c * (1000 - b - c)，要求abc的最大值，即需要求f(b, c) 的最大值。
对 f(b, c) 进行求导，得到 f'(b, c) = c - 2b + 1000 - c = -2b + 1000，令其等于0，可以得到 b = 500。
将 b = 500 代入 a = 1000 - b - c，可以得到 a + c = 500。
因此，满足条件 a + c = 500 的值对应的 b 为最大值的情况。
由于 a、b、c 均为正整数，不妨设 a = 499, c = 1，则 b = 500。
因此，abc的最大值为 499 * 500 * 1 = 249500。
3. 问题三已知正整数 n 的平方是一个五位数，且满足 n^2 % 10000 = n。
求 n的值。
解：设 n = 100a + 10b + c（其中 a、b、c 均为整数）。
2023年imo试题及参考解答(三)第4题
2023年imo试题及参考解答(三)第4题2023年IMO试题及参考解答(三)第4题问题描述：在一个封闭的几何图形中，有n个点，其中m个点被连接成一条边。
每个点至少与另外一个点相连，且不存在三个点共线。
证明：在这个图形中，存在一个点，使得至少有m/2条边连接该点。
解答：为了证明在给定的几何图形中存在一个点，使得至少有m/2条边连接该点，我们可以采用数学归纳法来证明。
首先，我们先考虑n=3的情况。
在只有3个点的图形中，我们可以将这3个点排列成一个等边三角形，每个点都与另外两个点相连。
在这种情况下，有3/2条边连接每个点，且不存在其他点使得连接它的边数大于3/2。
因此，结论在n=3时成立。
接下来，我们假设对于任意k个点，其中k≥3，都能得到结论成立。
即在任意k个点的图形中，存在一个点，使得至少有m/2条边连接该点。
现在我们考虑k+1个点的情况。
假设我们在k个点的图形中再添加一个点P，且P与k个点中的一个点A相连。
我们可以将这k+1个点的图形看作是一个多边形，其中P和A是相邻的两个顶点。
根据题目条件，每个点至少与另外一个点相连，且不存在三个点共线。
因此，多边形中的边数至少为k+1。
此外，由于P和A相连，边PA也是多边形的一条边。
我们可以将多边形中的其他边按照连接的点分成两个部分，一部分是与P相连的边，另一部分是与A相连的边。
假设与P相连的边的条数为s，与A相连的边的条数为t，那么整个多边形的边数可以表示为s+t+1。
根据数学归纳假设，对于k个点的图形，存在一个点，使得至少有m/2条边与该点相连。
对于这k个点中的任意一个点而言，至少有m/2条边与其相连。
在添加了点P后，P至少与m/2条边相连，而这些边中的一部分是与其他k个点的边重合的（即与A相连的边）。
假设与P相连的边的条数大于等于m/2-s，即至少有m/2-s条边与其他k个点的边重合。
我们知道，k+1个点的图形中的边数为s+t+1。
根据引理“在一个图形中，边数等于顶点数减一与顶点的度数之和的一半”，我们有s+t+1 = k+1。
(黄金题型)冀教版八年级下册数学第二十二章 四边形含答案
冀教版八年级下册数学第二十二章四边形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、正五边形各内角的度数为（）A.72°B.108°C.120°D.144°2、一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数为（）A.5B.5或6C.5或7D.5或6或73、如图，把△ABC 纸片沿 DE 折叠，当点 A 落在四边形 BCDE 内部时，则∠A 与∠1+∠2 之有一种数量关系始终保持不变请试着找一找这个规律，你发现的规律是（）A.∠A=∠1+∠2B.3∠A=2（∠1+∠2） C.3∠A=2∠1+∠2C D.2∠A=∠1+∠24、已知一个多边形的内角和等于这个多边形外角和的2倍，则这个多边形的边数是（）A.4B.5C.6D.85、如图，六边形ABCDEF的内角都相等，，则下列结论成立的个数是① ；② ；③AF=CD；④四边形ACDF是平行四边形；⑤六边形ABCDEF即是中心对称图形，又是轴对称图形（）A.2B.3C.4D.56、正八边形的每-个内角的度数为( )A.120°B.60°C.135°D.45°7、（n+1)边形的内角和比n边形的内角和多（）A.180°B.360°C.n×180°D.n×360°8、如图，将一张圆形纸片对折三次后，沿图④中的虚线AB剪下(点A和点B均为半径的中点)，得到两部分，去掉有圆弧的部分，剩余部分展开后得到的正多边形的每个内角是（）A.90°B.120°C.135°D.150°9、如果一个多边形的每一个外角都是60°，则这个多边形的边数是（）A.3B.4C.5D.610、从某多边形的一个顶点引出的所有对角线把这个多边形分成了6个三角形，则此多边形的形状是（）A.六边形B.七边形C.八边形D.九边形11、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=56°．以BC为直径的⊙O交AB 于点D．E是⊙O上一点，且= ，连接OE．过点E作EF⊥OE，交AC的延长线于点F，则∠F的度数为（）A.92°B.108°C.112°D.124°12、不能作为正多边形的内角的度数的是( )A.120°B.C.144°D.145°13、n边形的边每增加1条，它的内角和就增加（）A.90°B.180°C.360°D.14、如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=300°，DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，则∠P的度数是（）A.60°B.65°C.55°D.50°15、正六边形的内角和为（）A.1080°B.900°C.720°D.540°二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，在菱形ABCD中，AB＝BD，点E、F分别是线段AB、AD上的动点（不与端点重合），且AE＝DF，BF与DE相交于点G．给出如下几个结论：①△AED≌△DFB；②∠BGE大小会发生变化；③CG平分∠BGD；④若AF＝2DF，则BG＝6GF；．其中正确的结论有________（填序号）．17、如图所示，四边形OABC为正方形，边长为6，点A、C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D在OA上，且D点的坐标为（2，0），P是OB上的一个动点，试求PD+PA和的最小值是________18、如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E．F分别在边AB．BC上，且AE=BF=1，CE．DF交于点O．下列结论：①∠DOC=90°，②OC=OE，③tan∠OCD=，④S△ODC =S四边形BEOF中，正确的有________．19、在平行四边形ABCD中，∠B+∠D=200°，则∠A的度数为________.20、已知一个多边形的每一个内角都是，则这个多边形是________边形.21、小林从P点向西直走12米后，向左转，转动的角度为α，再走12米，如此反复，小林共走了108米回到点P，则角α的度数为________．22、如图，E是直线CD上的一点．已知□ABCD的面积为52cm2，则△ABE的面积为________cm2。
专题44平面解析几何第四缉(解析版)-备战2025年高中数学联赛之历年真题分类汇编
备战2025年高中数学联赛之历年真题分类汇编专题44平面解析几何第四缉1．【2024年贵州预赛】设椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,其焦距为2c,点N (3c 2,√2c2)在椭圆的内部,点M 是椭圆C 上的动点,且|MF 1|+|MN|<2√3|F 1F 2|恒成立,则椭圆C 的离心率的取值范围是( )A ．(0,√33)B ．(√33,1)C ．(4√321,1)D ．(4√321,√33) 【答案】D 【解析】解法1:由N (3c 2,√2c 2)在椭圆的内部得9c 24a2+c 22b 2<1.即9b 2c 2+2a 2c 2<4a 2b 2.⇒4a 4−15a 2c 2+9c 4>0⇒9e 4−15e 2+4>0⇒(3e 2−1)(3e 2−4)>0， 因为0<e<1,所以3e 2-4<0,故3e 2<1⇒0<e <√33. 又由|MF 1|+|MN|<2√3|F 1F 2|恒成立,即2a +|MN|−|MF 2|<4√3c 恒成立⇔(2a +|MN|−|MF 2|)max <4√3c ⇔2a +|NF 2|<4√3c⇔2a +√(3c 2−c)2+c 22<4√3c ⇔2a <7√3c 2⇔e >4√321.综上,得4√321<e <√33. 解法2:因为N (3c 2,√2c2)在椭圆的内部,所以NF 1+NF 2<2a ,即3√32c +√32c <2a .得√3c <a, e =c a<√33,因为还有一个条件未用,故不可能是A 所以选D.2．【2024年福建预赛】若直线l 与两直线l 1：x －y －l =0，l 2：13x －3y －11=0分别交于A 、B 两点，且线段AB 中点为P (1，2)，则直线l 的斜率为（ ） A ．－2 B ．－3 C ．2 D ．3 【答案】B 【解析】由点A 在直线l 1：x －y －7=0上，设A (t ，t －7). 由AB 中点为P (1，2)，知B (2－t ，11－t ). ∵点B 在直线l 2：13x +3y －11=0上， ∴13(2－t )+3(11－t )－11=0.解得，t =3.∴A(3，－4)，k l=k PA=2−(−4)1−3=−3,选B.3．【2024年福建预赛】已知点A(－2，0)，B(2，0)，C(0，2)，直线y=kx+b(k>0)交线段CA于点D，交线段CB于点E.若△CDE的面积为2，则b的取值范围为（）A．(√2−1，1)B．(2−√2，23]C．(2−√2，34]D．(√2−1，23]【答案】B【解析】如图，设|CD|=m，|CE|=n.由条件知，△ABC为等腰直角形，CA=CB=2√2，CA⊥CB.由△CDE的面积为2，得12mn=2，mn=4.由k>0，得m>n.因此，2<m≤2√2.设DE交y轴于点F，点F到CA、CB的距离相等，设为t.则SΔCDE=12mt+12nt=2，t=4m+n.∴b=OF=2−CF=2−√2t=2−4√2m+n.∴b=2−4√2m+n 的取值范围为(2−√2，23]. 选B.4．【2024年贵州预赛】已知一双曲线的两条渐近线方程为x−√3y=0和√3x+y=0，则它的离心率是（）．A．√2B．√3C．2√2D．√3+1【答案】A【解析】解：由于两渐近线相互垂直，故此双曲线的离心率与渐近线为y=±x的双曲线的离心率相同，而以y=±x为渐近线的双曲线方程为x2−y2=λ(λ≠0)，它的离心率为√2，故答案为：A．5．【2024年北京预赛】如图，平面直角坐标系x−O−y中，A,B是函数y=1x在第I象限的图象上两点，满足∠AOB=60°且OA=OB，则ΔOAB的面积等于A．2√3. B．32√3. C．√3. D．√32.【答案】C【解析】依题意，ΔOAB是正三角形.又A,B是函数y=1x在第I象限的图象上两点，所以A,B关于直线y=x轴对称.设点A(a,1a )，则点B(1a,a).OA2=a2+1a2，AB2=(a−1a)2+(1a−a)2=2(a−1a)2由OA=AB得a2+1a2=2(a−1a)2，化简得a2+1a2−4=0.因此OA2=4.所以，正ΔOAB的面积=√34×OA2=√34×4=√3. 选C.6．【2024年贵州预赛】已知一双曲线的两条渐近线方程为x−√3y=0和√3x+y=0，则它的离心率是（）．A．√2B．√3C．2√2D．√3+1【答案】A【解析】解：由于两渐近线相互垂直，故此双曲线的离心率与渐近线为y=±x的双曲线的离心率相同，而以y=±x为渐近线的双曲线方程为x2−y2=λ(λ≠0)，它的离心率为√2，故答案为：A．7．【2024年四川预赛】设F1、F2分别是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，P为该椭圆上一点，满足∠F1PF2=90°.若ΔPF1F2的面积为2，则b的值为（）.A．1B．√2C．√3D．2【答案】B【解析】设|PF1|=m,|PF2|=n，则m+n=2a,①m2+n2=4c2=4(a2−b2),②12mn=2.③由①②③得b2=2,即b=√2.故答案为：B8．【2017年天津预赛】将曲线y=log2x沿x轴正方向移动1个单位,再沿y轴负方向移动2个单位,得到曲线C.在下列曲线中,与C关于直线x+y=0对称的是( )(A)y=2x+2−1(B)y=−2x+2−1(C)y=−22−x−1(D)y=22−x−1【答案】C【解析】提示：任取曲线y=log2x上一点(2t,t),平移后得到曲线C上的点(2t+1,t−2).它关于x+y=0的对称点是(2−t,−2t−1).令x=2−t,y=−2t−1,消去t得y=−22−x−1,故选C.9．【2017年四川预赛】已知F1,F2为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,该椭圆上存在两点A、B,使得F1A=3F2B⃐ ,则该椭圆的离心率的取值范围是( )(A)(0,12)(B)(0,13)(C)(12,1)(D)(13,1)【答案】C【解析】提示:如图,由F1A=3F2B,可得F2B∥F1A,且|F2B|=13|F1A|,所以直线AB与x轴交于点P(2c,0). 设M为已知椭圆上一动点,分PM为1：2的三等分点形成的轨迹为C,则曲线C与已知椭圆的交点即为点B. 显然,当P点在椭圆内,则曲线C也在椭圆内,与椭圆无公共点;而当P点在橢圆外,则曲线C与椭圆有公共点. 所以在椭圆上存在两点A,B,使得F1A=3F2B的充要条件是点P在椭圆外.故2c>a.所以离心率e=ca >12.10．【2017年陕西预赛】如图,已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0),圆O:x2+y2=a2与y轴正半轴交于点B,过点B的直线与椭圆E相切,且与圆O交于另一点A.若∠AOB=60∘,则椭圆E的离心率为( )(A)12(B)13(C)√22(D)√33【答案】D【解析】提示：因为|OA|=|OB|,∠AOB=60∘,所以△AOB为正三角形,则直线AB的斜率为±√33.于是,直线AB的方程为y=±√33x+a,代入x 2a2+y2b2=1,得(a2+3b2)x2±2√3a3x+3a2(a2−b2)=0.Δ=12a6+12a2(a2+3b2)(a2−b2)=0,得2a2=3b2,即2a2=3(a2−c2).以a2=3c2,即e=ca =√33.11．【2017年黑龙江预赛】方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)的棛圆左顶点为A,左,右焦点分别为F1,F2,D是它的短轴上的一个顶点,若3DF1=DA+2DF2,则该椭圆的离心率为( )(A)12(B)13(C)14(D)15【答案】D【解析】提示:因为D(0,b),A(−a,0),F1(−c,0),F2(c,0), 所以3(−c,−b)=(−a,−b)+2(c,−b),所以−3c=−a+2c,所以ca =15.12．【2017年黑龙江预赛】已知F1,F2分别是双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,以F1F2为直径的圆与双曲线C在第二象限的交点为P,若双曲线的离心率为5,则cos∠PF2F1等于( )(A)35(B)34(C)45(D)56【答案】C【解析】提示:设PF1=x,因为P在双曲线上,所以PF2=2a+x. 因为P在圆上,所以PF12+PF22=F1F22,所以x=−a+√b2+c2, 所以PF2=−a+√b2+c2.又因为ca =5,所以cos∠PF2F1=45.13．【2017年湖南预赛】已知椭圆C:x28+y24=1,对于任意实数k,椭圆C被下列直线中所截得的弦长,与被直线l:y=kx+1所截得的弦长不可能相等的是( ) (A)kx+y+k=0(B)kx−y−1=0(C)kx+y−k=0(D)kx+y−2=0【答案】D【解析】提示:对于A,当k=1时,椭圆C被直线kx+y+k=0所截得的弦长,与被l:y=kx+1所截得的弦长相等;对于B,当k=0时,椭圆C被直线kx−y−1=0所截得的弦长,与被l:y=kx+1所截得的弦长相等;对于C,当k=−1时,椭圆C被直线kx+y−k=0所截得的弦长,与被l:y=kx+1所截得的弦长相等.因此,正确的选项为D.14．【2024年陕西预赛】已知A、B为抛物线y=3-x2上关于直线x+y=0对称的相异两点.则|AB|等于（）. A．3 B．4 C．3√2D．4√2【答案】C【解析】因为点A、B关于直线x+y=0对称，所以，设点A(a，b)，B(-b，-a).又点A、B在抛物线y=3-x2上，则{b=3−a2，−a=3−b2⇒{a=−2，b=−1或{a=1，b=2.不妨设点A(-2，-1)，B(1，2).则|AB|=3√2. 选C.15．【2024年吉林预赛】已知椭圆E：2214x ym+=，对于任意实数k，下列直线被椭圆E截得的弦长与l：y＝kx＋1被椭圆E截得的弦长不可能相等的是()A．kx＋y＋k＝0 B．kx－y－1＝0C．kx＋y－k＝0 D．kx＋y－2＝0【答案】D【解析】试题分析：解：由数形结合可知，当l过点（-1，0）时，直线l和选项A中的直线重合，故不能选A．当l过点（1，0）时，直线l和选项D中的直线关于y轴对称，被椭圆E所截得的弦长相同，故不能选C．当k=0时，直线l和选项B中的直线关于x轴对称，被椭圆E所截得的弦长相同，故不能选B．直线l 斜率为k，在y轴上的截距为1；选项D中的直线kx+y-2="0" 斜率为-k，在y轴上的截距为2，这两直线不关于x轴、y轴、原点对称，故被椭圆E所截得的弦长不可能相等．故选D考点：直线和椭圆的位置关系点评：本题考查直线和椭圆的位置关系，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法16．【2024年吉林预赛】已知椭圆E：2214x ym+=，对于任意实数k，下列直线被椭圆E截得的弦长与l：y＝kx＋1被椭圆E截得的弦长不可能相等的是()A．kx＋y＋k＝0 B．kx－y－1＝0C．kx＋y－k＝0 D．kx＋y－2＝0【答案】D【解析】试题分析：解：由数形结合可知，当l过点（-1，0）时，直线l和选项A中的直线重合，故不能选A．当l过点（1，0）时，直线l和选项D中的直线关于y轴对称，被椭圆E所截得的弦长相同，故不能选C．当k=0时，直线l和选项B中的直线关于x轴对称，被椭圆E所截得的弦长相同，故不能选B．直线l 斜率为k，在y轴上的截距为1；选项D中的直线kx+y-2="0" 斜率为-k，在y轴上的截距为2，这两直线不关于x轴、y轴、原点对称，故被椭圆E所截得的弦长不可能相等．故选D考点：直线和椭圆的位置关系点评：本题考查直线和椭圆的位置关系，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法17．【2024年浙江预赛】曲线为平面上交于一点的三条直线的充分必要条件为（）。
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有约束条件的完全四边形与数学竞赛题1 具有相等的边的完全四边形例1 在完全四边形ABCDEF中,AB=AE.(1)若BC=EF,则CD=DF,反之,若CD=DF,则BC=EF;(2)若BC=EF(或CD=DF),M为完全四边形的Miquel点,则MD⊥CF,且△ACF的外心O1在直线MD上;(3)若BC=EF(或CD=DF),点A在CF上的射影为H,△ABE的外心为O2,则O2为AM的中点,且O2D=O2H;(4)若BC=EF(或CD=DF),M为完全四边形的Miquel点,则MB=ME,且MB⊥AC,ME⊥AE. 证明:辅助线如图1.(1)由完全四边形的性质1[1]中式②(或对△ACF及截线BDE应用梅涅劳斯定理),有AB/BC・CD/DF・FE/EA=1.因AB=AE,由上式CD=DF<=>BC=EF.(2)由(1)知,△BCD和△DEF的外接圆是等圆(或由正弦定理计算得).又由A、B、M、E四点共圆有∠CBM=∠AEM=∠FEM.从而,CM=FM.于是,△DCM≌△DFM.所以,∠CDM=∠FDM.故MD⊥CF.由于MD是CF的中垂线,而点O1在CF的中垂线上,故△ACF的外心O1在直线MD上.(3)由(2)知,△BCD和△DEF的外接圆是等圆.从而,△BCM≌△EFM.所以,BM=EM,即知点M在∠BAE的平分线上,亦即A、O2、M三点共线.因此,O2为AM的中点.注意到MD⊥CF,AH⊥CF,所以,O2在线段DH的中垂线上.故O2D=O2H(4)由(3)知,BM=EM又O2为AM的中点,而O2为圆心,故AM为直径.所以,MB⊥AC,ME⊥AE.不妨将例1记作性质16.以性质16为背景,可得到如下数学竞赛题.题1(第54届波兰数学奥林匹克) 已知锐角△ABC,CD是过点C的高线,M是边AB的中点,过M的直线分别交射线CA、CB于点K、L,且CK=CL.若△CKL的外心为S,证明:SD=SM.如图2,事实上,此题为在完全四边形CKAMLB中,∠C为锐角,顶点C在边AB上的射影为D,且CK=CL,AM=MB,S为△CKL的外心.此即为例1中的(3).过点M与AB垂直的直线与CS延长线交点E即为Miquel点.题2 (2000,亚太地区数学奥林匹克)设AM、AN分别是△ABC的中线、内角平分线,过点N 作AN的垂线分别交AM、AB于点Q、P,过点P作AB的垂线交AN于点O.求证:OQ⊥BC. 以具有相等的边(含边上的线段)的完全四边形为背景的竞赛题还有:题3 (2003,日本数学奥林匹克)P是△ABC内的一点,直线AC、BP相交于点Q,直线AB、CP 相交于点R.已知AR=RB=CP,CQ=PQ.求∠BRC.2 两组对边相互垂直的完全四边形两组对边相互垂直的完全四边形常存在于含有两条高线的三角形中.这类问题比较多,这里仅举一例.例2 在完全四边形ABCDEF中,AC⊥BE,AE⊥CF.(1)若点C、E在对角线BF所在直线上的射影分别为G、H,则GB=FH;(2)若对角线AD的延长线交对角线CE于点P,△BPF的外接圆交AD于点A1,交CD于点C1,交DE于点E1,则S△ACE=2S六边形A1BC1PE1F,S△ACE≥4S△BPF.证明:(1)如图3,由题设知C、E、F、B四点共圆,且CE的中点O为其圆心,过点O作OM⊥BF于点M.由弦心距性质知BM=MF.又CG∥OM∥EH,CO=OE,所以,GM=MH.故GB=GM-BM=MH-MF=FH.(2)在△ACE中,由题设知,△BPF的外接圆即为△ACE的九点圆.从而,知A1、C1、E1分别为AD、CD、ED的中点.于是,S△BCC1+S△PCC1=12S四边形BC1PD,S△PEE1+S△FEE1=12S四边形DPEF,S△BAA1+S△FAA1=12S四边形ABDF.从而,S△ACE=2S六边形A1BC1PE1F.由完全四边形的性质12[2]即知S△ACE≥4S△BPF.不妨将例2记作性质17.以性质17为背景,可得到如下数学竞赛题:题1(第22届全苏数学奥林匹克) 锐角△ABC中,BD、CE是其相应边上的高.分别过顶点B、C引直线ED的垂线BF、CG,垂足为F、G.求证:EF=DG.题2 在锐角△ABC中,∠A的平分线与三角形外接圆交于另一点A1,点B1、C1与此类似.直线AA1与∠B、∠C的外角平分线相交于点A0,点B0、C0与此类似.求证:(1)S△A0B0C0=2S六边形AC1BA1CB1;(2)S△A0B0C0≥4S△ABC.(第30届IMO)题3 (第54届白俄罗斯数学奥林匹克)已知⊙O1、⊙O2交于A、B两点.过点A作O1O2的平行线,分别与⊙O1、⊙O2交于C、D两点.以CD为直径的⊙O3分别与⊙O1、⊙O2交于P、Q两点.证明:CP、DQ、AB三线共点.3 相交两对角线为圆中相交弦的完全四边形这类完全四边形就是图中的凸四边形内接于圆.例3 在完全四边形ABCDEF中,A、B、D、F四点共圆(⊙O),其对角线AD、BF交于点G.(1)若∠C、∠E的平分线相交于点K,则CK⊥EK;(2)∠BGD的平分线与CK平行,∠DGF的平分线与EK平行;(3)从点C、E分别引⊙O的切线,切点为P、Q,则CE2=CP2+EQ2此题设条件下的完全四边形ABCDEF的Miquel点在对角线CE上;若分别以点C和E为圆心、以CP和EQ为半径作圆弧交于点T,则CT⊥ET;(4)若从点E(或C)引⊙O的两条切线,切点为R、Q,则C(或E)、R、G、Q四点共线;(5)过C、E、G三点中任意两点的直线,分别是另一点关于⊙O的极线(6)点O是△GCE的垂心;(7)过对角线BF(或BF与CE不平行时的AD)两端点处的⊙O的切线的交点在对角线CE所在的直线上[3](8)设O1、O2分别是△ACF、△ABE的外心,则△OO1O2∽△DCE(9)设点M是完全四边形ABCDEF的Miquel点,则OM⊥CE且O、G、M三点共线;OM平分∠AMD,OM平分∠BMF;(10)过点E(或C)的圆的割线交⊙O于点R、P,直线CP(或EP)交⊙O于点S,则R、G、S三点共线(11)设对角线AD的延长线交对角线CE于点W,则WC=WE的充要条件是W A・WD=WC2(12)设Z是对角线CE的中点,联结AZ交⊙O于点N,则C、D、N、E四点共圆.证明:. (1)如图4联结CE,令∠DCE=∠1,∠DEC=∠2.则(∠BCD+∠1+∠2)+(∠DEF+∠2+∠1)=∠ABD+∠AFD=180°,即 1/ 2(∠BCD+∠DEF)+∠1+∠2=90°故∠CKE=180°－1/ 2 (∠BCD+∠DEF)+∠1+∠2=90°. 因此,CK⊥EK.(2)设∠DGF的平分线交DE于点X,EK与FG交于点I.则∠FGX=1/ 2∠DGF=1/ 2 (∠GFA+∠GAF),∠FIE=∠GFA－1/ 2∠AED=∠GFA－1/ 2 (∠ADB-∠GAF)= 1/ 2 (∠GFA+∠GAF)因此,GX∥EK. 同理,∠BGD的平分线与CK平行.(3)设过点B、C、D的圆交CE于点M,联结DM.则∠AFD=∠CBD=∠DME.从而,D、M、E、F四点共圆.于是,CM・CE=CD・CF, EM・EC=ED・EB.以上两式相加得CE²=CD・CF+ED・EB.又CP、EQ分别是⊙O的切线,有CD・CF=CP2, ED・EB=EQ²故CE2=CP2+EQ2显然,M是△BCD外接圆与△DEF外接圆的另一个交点,此即为Miquel点.因此,题设条件下的完全四边形的Miquel点在CE上.由于CT=CP,ET=EQ,故CT²+ET²=CE²,即CT⊥ET.(4)如图5,联结CQ交⊙O于点R′,过点E作EH⊥CQ于点H,过点C作圆的切线CP,切点为P. 则CE²-EQ²=CP²=CR′・CQ=(CH-HR′)・CQ.又CE²-EQ²=(CH²+EH²)-(EH²+HQ²)=CH²-HQ²=(CH-HQ)(CH+HQ)=(CH-HQ)・CQ,故HR′=HQ.由此即可证得Rt△EHR′≌Rt△EHQ.于是,EQ=ER′.而EQ=ER,则ER′=ER.又点R′、R均在⊙O上,故点R′与点R重合,即C、R、Q三点共线.为证R、G、Q三点共线,联结AR交BF于点X,联结FR交AD于点Y,联结AQ、FQ,设QR 与AF交于点Z.于是,AZ/FZ=S△QAZ/S△QZF=AQsin∠AQZ/FQsin∠ZQF同理,FY/RY=DFsin∠FDY/DRsin∠YDR RX/AX=BRsin∠RBX/ABsin∠XBA.由△EQF∽△EAQ,有AQ/FQ=EQ/EF同理,DF/AB=EF/BE,BR/DR=BE/ER.而∠AQZ=∠YDR,∠ZQF=∠RBX,∠FDY=∠XBA,EQ=ER,于是,AZ/ZF・FY/YR・RX/XA=1.对△ARF应用塞瓦定理的逆定理,知AY、FX、RZ三线共点于G.故R、G、Q三点共线. 综上可知,C、R、G、Q四点共线.(5)由(4)即证.(6)注意到OE⊥QR,即OE⊥CG. 同理,OC⊥EG.由此即知,O为△GCE的垂心,即OG⊥CE.(7)由(5)知,直线CE是点G关于⊙O的极线.从而,过点G的弦的两端点处的切线的交点在直线CE上.(8)若点O在AD上,则O1、O2分别为AC、AE的中点.此时,有△OO1O2∽△DCE.若点O不在AD上,则点O1、O2不在AC、AE上.如图6,联结O1A、O1C、AD、OA、OD、O2A、O2E.因∠AO2E=2(180°－∠ABE)=2∠AFD=∠AOD, O2A=O2E,OA=OD.所以,△AO2E∽△AOD.故O2A/OA=AE/AD又∠O2AE=∠OAC,则△AOO2∽△ADE.同理,△AO1C∽△AOD,△AOO1∽△ADC.于是,O1O/CD=AO/AD=OO2/DE由△AO1C∽△AO2E,知O1O2CE=AO2AE=AOAD .从而,△OO1O2∽△DCE.(9)如图7,过点D、M作⊙O的割线MD交⊙O于点T,联结AT、OA、OT.由A、B、D、F,A、B、M、E分别四点共圆知∠EFD=∠ABE=∠AME.又由D、F、A、T四点共圆知∠EFD=∠ATD=∠ATM.因AE、MT是过两相交圆交点F、D的割线,所以,EM∥A T.于是,∠TAM=∠AME=∠A TM, 即MA=MT.因为OA=OT,所以,OM⊥A T.故OM⊥ME.而点M在CE上,因此,OM⊥CE.由(6)知,OG⊥CM.故O、G、M三点共线.由性质13[2]知,此时即为2002年中国国家队选拔赛题的特殊情形.故OM平分∠AMD,OM平分∠BMF.(10)如图8,联结PA、PB、SA、SB、DR、RF、PF.由△EFR∽△EPA,△CBS∽△CPA,有FR/PA=EF/EP,PA/BS=CP/CB从而,FR/SB=EF/EP・CP/CB由△ERD∽△EBP,△CBP∽△CSA,有RD/SA=ED/EP・CP/CA以上两式相除得FR/SB・SA/RD=EF/ED・CA/CB用BD、AF乘上式两边,应用完全四边形性质1中的式①(即对△ABE及截线CDF应用梅涅劳斯定理)知EF/FA・AC/CB・BD/DE=1.从而,FR/RD・DB/BS・SA/AF=1.对上式应用塞瓦定理角元形式的推论(或同(4)的证明中证R、G、Q三点共线),即证得SR、BF、AD三线共点. 故S、G、R三点共线.(11)如图9,由完全四边形性质2中的式①(即对△ACE及点D应用塞瓦定理)有AB/BC・CW/WE・EF/FA=1. ①AW・DW=CW²<=>CW＝DW＝AW/CW <=>△DWC∽△CW A<=>∠DCW=∠CAW=∠BFD <=>BF∥CE <=>AB/BC=AF/FE<=>AB/BC・EF/FA=1<=>CW=EW(由式①).(12)设AZ不过点D(否则点D与点N重合,△DCE的外接圆即为所求).延长AZ到点Y,使ZY=AZ,则四边形AZYE为平行四边形.注意到∠CDE=∠BDF=180°－∠BAF=180°－∠CYE,所以,C、Y、E、D四点共圆.又∠YND=180°-∠AND=∠ABD=∠YED,于是,D、N、E、Y四点共圆.故C、Y、E、N、D五点共圆,即知C、D、N、E四点共圆.不妨将例3记作性质18.以性质18为背景,可得到如下数学竞赛题.题1 (1950,波兰数学奥林匹克 2004,斯洛文尼亚国家队选拔赛)四边形ABCD内接于圆,直线AB、DC交于点E,直线AD、BC交于点F,∠AEC的平分线交BC于点M,交AD于点N,∠BFD的平分线交AB于点P,交CD于点Q.求证:四边形MPNQ是菱形.事实上,由例3(1)即得.题2 (1997,中国数学奥林匹克)四边形ABCD内接于圆,边AB、DC的延长线交于点M,边AD、BC的延长线交于点N.由点N作该圆的两条切线NQ、NR,切点分别为Q、R.求证:M、Q、R三点共线. 事实上,由例3(4)即得.题3(第26届IMO)在△ABC中,一个以O为圆心的圆经过顶点A、C,又和线段AB、BC分别交于点K、N,K与N不同.△ABC的外接圆和△BNK的外接圆恰相交于点B和另一点M.求证:∠BMO=90°. 事实上,由例3(9)即得.题4(第32届美国数学奥林匹克) 一个圆通过△ABC的顶点A、B,分别交线段AC、BC于点D、E,直线BA、ED交于点F,直线BD、CF交于点M.证明:MF=MC的充要条件为MB・MD=MC²事实上,由例3(11)即得.4 不相交两条对角线为圆中不相交弦的完全四边形例4 在完全四边形ABCDEF中,B、C、E、F四点共圆(⊙O),点M为完全四边形的Miquel点.(1)从点A向⊙O引切线AP、AQ,切点分别为P、Q,则P、D、Q三点共线;(2)⊙O的两段弧调和分割对角线AD所在的直线;(3)点M在对角线AD所在的直线上;(4)AM平分∠CME,AM平分∠BMF,且C、O、M、E,B、O、M、F分别四点共圆;(5)OM⊥AD;(6)A、P、O、M、Q五点共圆;(7)直线OM、BF、CE三线共点或相互平行.证明:(1)如图10,同例3中(4),由证R、G、Q三点共线而证得P、D、Q三点共线.(2)如图10,设直线AD交⊙O于点G、H.过点A作AK⊥PQ于点K,则PK=QK.注意到AP²=AG・AH=AK²+PK²AD²=AK²+KD²,两式相减有AG・AH-AD²=PK²-KD²=(PK+KD)(PK-KD)=PD・DQ=DG・DH=(AD-AG)(AH-AD)=AD・AH-AD²+AD・AG-AH・AG.故2AG・AH=AD(AH+AG),即AD/AG+AD/AH=2=AG/AG+AH/AH.从而,（AD-AG）/AG=（AH-AD）/AH.因此,DG/AG=DH/AH上式表明,⊙O的两段弧调和分割AD所在的直线.(3)在直线AD上取点M′,使AD・AM′=AP²=AB・AC=AF・AE.则B、C、M′、D,E、F、D、M′分别四点共圆, 即M′为△BCD外接圆与△DEF外接圆的交点.从而,M′为完全四边形ABCDEF的Miquel点,即点M′与M重合.故点M在直线AD上.(4)联结OC、OE,则∠CMH=∠CBD=∠EFD=∠EMH.故∠CME=2∠CBE=∠COE.从而,AM平分∠CME,且C、O、M、E四点共圆.同理,AM平分∠BMF,且B、O、M、F四。