教学设计和教学反思之参数方程和普通方程的互化

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参数方程与普通方程互化

参数方程与普通方程互化参数方程与普通方程是数学中的两种表达形式。

参数方程使用参数来表示变量之间的关系，而普通方程则以变量直接表示变量之间的关系。

参数方程与普通方程可以进行互化，即从参数方程导出普通方程，或者从普通方程导出参数方程。

首先，我们来探讨从参数方程导出普通方程的方法。

假设我们有以下参数方程：x=f(t)y=g(t)我们的目标是找到一个普通方程，将x和y之间的关系用该方程表示出来。

为了达到这个目标，我们可以通过以下步骤：1.将第一个参数方程中的t表示为x的函数，即t=h1(x)。

这里的h1(x)是反函数，用来表示x的函数与t的关系。

2.将第二个参数方程中的t表示为y的函数，即t=h2(y)。

这里的h2(y)是反函数，用来表示y的函数与t的关系。

3.将上述两个方程联立，得到h1(x)=h2(y)。

4.最后将h1(x)=h2(y)代入第一个参数方程，得到x=f(h1(x))。

5.将x=f(h1(x))代入第二个参数方程，得到y=g(h2(y))。

最终，我们得到普通方程x=f(h1(x))和y=g(h2(y))。

接下来，我们来探讨从普通方程导出参数方程的方法。

假设我们有以下普通方程：F(x,y)=0我们的目标是找到一对参数方程，将x和y之间的关系用这对方程表示出来。

为了达到这个目标，我们可以通过以下步骤：1.假设x=f(t)，其中f(t)是x关于一些参数t的函数。

2.将上面的假设代入普通方程，得到F(f(t),y)=0。

3.将上述方程进行整理，解出y关于t的函数，即y=g(t)。

4.最终得到参数方程x=f(t)和y=g(t)。

需要注意的是，从普通方程导出参数方程的过程中，参数t的选择是自由的，并不唯一、不同的参数选择会导致不同的参数方程，但它们的图形表达的是同一个曲线。

参数方程与普通方程的互化在数学中有非常广泛的应用，尤其在几何学和物理学中经常会用到。

例如，在解决曲线的问题时，参数方程能够更直观地描述曲线的性质，而普通方程则更方便计算。

参数方程和普通方程的互化

参数方程和普通方程的互化首先，我们来了解一下参数方程的定义。

参数方程是指使用单一变量来表示曲线上的点的坐标，其中变量通常表示为 t。

对于平面上的曲线，参数方程可以表示为 x=f(t)，y=g(t)，其中 f(t) 和 g(t) 是 t 的函数。

参数方程通常用来表示曲线上每一个点的坐标，在数学中有着广泛的应用。

例如，圆的参数方程可以表示为 x=rcos(t)，y=rsin(t)，其中 r 表示圆的半径，t 表示角度。

与之相对应的，普通方程是用一个或多个变量的代数方程来表示曲线的方程。

对于平面上的曲线，普通方程可以表示为F(x,y)=0，其中F(x,y)是二元函数。

普通方程常常用来表达曲线的性质和方程，例如直线的普通方程可以表示为Ax+By+C=0，其中A、B和C是常数。

1.由参数方程到普通方程：要将参数方程转换为普通方程，可以将参数方程中的参数表示为普通方程中的变量，并解出其他变量的表达式。

具体步骤如下：a.将x=f(t)，y=g(t)中的t表示为普通方程中的变量，如令t=x。

b.将t的表达式代入f(t)和g(t)中，得到x=f(x)，y=g(x)。

c.将得到的方程进行整理，化为普通方程的形式。

2.由普通方程到参数方程：要将普通方程转换为参数方程，可以选取一个合适的参数来表示曲线上每一点的坐标，并构造对应的参数方程。

具体步骤如下：a.选择一个变量作为参数，通常可以选择x或y。

b.将选取的参数代入普通方程中，得到一条关于参数的方程。

c.将方程整理，化为参数方程的形式。

值得注意的是，参数方程和普通方程在表示曲线时的优势和劣势不同。

参数方程可以方便地描绘复杂的曲线，如椭圆、双曲线等，而普通方程可以方便地计算曲线的性质和方程。

因此，在不同的问题和计算需求中，我们可以选择合适的方程形式。

除了上述的基本转换方法，还有一些特殊的曲线可以通过参数方程和普通方程的互化来简化求解。

例如，对于一些特殊的曲线，我们可以通过参数方程的方法来求解它的曲率和切线方程，然后转换为普通方程表示的形式。

参数方程与普通方程的互化

参数方程与普通方程的互化一、参数方程转换为普通方程对于一个平面曲线，通常可以用参数方程表示，如x=f(t)，y=g(t)。

将其转换为普通方程的方法是将参数t消去，得到y=f(x)的形式。

以直线为例，设直线的参数方程为x=x0+a*t，y=y0+b*t，其中x0和y0为直线上其中一点的坐标，a和b为向量(a,b)的分量。

我们可以通过消去参数t，得到直线的普通方程。

首先，我们可以通过两个参数方程消去参数t，得到x-x0/a=y-y0/b。

然后，通过变形化简得到b*(x-x0)=a*(y-y0)，即b*x-a*y=b*x0-a*y0。

因此，我们可以得到直线的普通方程为b*x-a*y=b*x0-a*y0。

同样的方法可以应用于其他类型的曲线，如圆形、抛物线、椭圆等。

通过将参数方程中的参数消去，我们可以得到这些曲线的普通方程。

二、普通方程转换为参数方程对于给定的普通方程f(x,y)=0，要将其转换为参数方程x=f(t)，y=g(t)，可以通过替换变量的方法实现。

以圆为例，设圆的普通方程为(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径。

要将其转换为参数方程，可以设x-a=r*cos(t)，y-b=r*sin(t)。

通过替换变量，我们可以得到参数方程x=a+r*cos(t)，y=b+r*sin(t)。

类似地，对于其他类型的曲线，如椭圆、抛物线、双曲线等，也可以通过替换变量的方法得到参数方程。

根据曲线的性质和普通方程的形式，选择适当的替换变量可以简化参数方程的形式。

三、参数方程于普通方程的优缺点参数方程和普通方程各有优缺点，根据具体的应用场景选择合适的表达形式。

参数方程的优点在于可以直接描述几何图形的轨迹，可以用简洁的数学形式表示出曲线的特点。

参数方程也更适合于描述复杂的曲线，如螺旋线、双曲螺线等。

此外，参数方程也更适合于计算机图形学和动画设计等领域，可以通过改变参数值来控制图形的形态和运动。

参数方程与普通方程的互化

参数方程与普通方程的互化参数方程与普通方程是数学中常用的表达方式，它们在不同的问题中有着不同的应用。

参数方程是将一个图形的点表示为一个或多个参数的函数，而普通方程则是将一个图形表示为变量之间的关系式。

接下来，我将详细介绍参数方程与普通方程的互化。

1.参数方程转换为普通方程：将参数方程转换为普通方程的主要思想是通过消除参数化表示中的参数。

下面以一个简单的例子来说明这个过程。

考虑一个简单的参数方程：$x=2t$$y=t^2$要将它转换为普通方程，我们需要通过消除参数t来获得$x$和$y$之间的关系。

观察参数方程可以发现，$t$在$x$和$y$的表示中都存在。

我们可以利用第一个参数方程来消除$t$，得到$x=2t$。

然后将这个$x$的表达式代入第二个参数方程中，得到$y=(x/2)^2$，再对其进行化简，得到普通方程$y=x^2/4$。

2.普通方程转换为参数方程：将普通方程转换为参数方程的主要思想是引入一个新的参数，让普通方程的变量都表示为这个参数的函数。

下面同样以一个例子来说明。

考虑一个简单的普通方程：$y=x^2$要将它转换为参数方程，我们需要引入一个新的参数$t$，让$x$和$y$都表示为$t$的函数。

我们可以让$x=t$，然后将这个$x$的表达式代入到普通方程中，得到$y=t^2$。

通过这样的转换，我们可以得到参数方程$x=t$，$y=t^2$。

3.参数方程与普通方程的应用：参数方程和普通方程在不同的情况下有着不同的应用。

参数方程的主要优势是可以描述一些较复杂的曲线，尤其是含有角度或弧度的曲线。

在物理学和工程学中，参数方程常被用来描述物体在空间中的运动轨迹，例如质点在直角坐标系中的坐标随时间的变化情况。

普通方程则更适合描述一些简单的几何图形，尤其是直线和圆形。

在几何学和代数学中，普通方程常被用来解决直线和圆的性质问题，例如确定直线的斜率、直线与曲线的交点等。

4.参数方程与普通方程的优缺点分析：从以上的讨论可以看出，参数方程和普通方程各有优缺点。

参数方程和普通方程的互化

参数方程和普通方程的互化曲线的参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是在同一平面直角坐标系中表示曲线的方程的两种不同形式，两种方程是等价的可以互相转化．(2)将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线的类型．参数方程通过消去参数就可得到普通方程．(3)普通方程化为参数方程，首先确定变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，其次将x ＝f (t )代入普通方程解出y ＝g (t )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )y ＝g (t )(t 为参数)就是曲线的参数方程．(4)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致．1．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θy ＝sin 2θ，(θ为参数)表示的曲线是( ) A ．直线 B ．圆 C ．线段D ．射线解析：选C.x ＝cos 2θ∈[0，1]，y ＝sin 2θ∈[0，1]，所以x ＋y ＝1，(x ，y ∈[0，1])为线段．2．能化为普通方程x 2＋y －1＝0的参数方程为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin t y ＝cos 2tB.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan φy ＝1－tan 2φC.⎩⎨⎧x ＝1－t y ＝tD.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝sin 2θ 解析：选B.对A ，可化为x 2＋y ＝1(y ∈[0，1])；对B ，可化为x 2＋y －1＝0；对C ，可化为x 2＋y －1＝0(x ≥0)；对D ，可化为y 2＝4x 2－4x 4.(x ∈[－1，1])．3．(1)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t y ＝t (t 为参数)化为普通方程为____________．(2)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θy ＝1－sin θ，(θ为参数)化为普通方程为____________．解析：(1)把t ＝12x 代入y ＝t 得y ＝12x .(2)参数方程变形为⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝cos θ，y －1＝－sin θ，两式平方相加，得(x －1)2＋(y －1)2＝1. 答案：(1)y ＝12x (2)(x －1)2＋(y －1)2＝14．(1)若x ＝cos θ，θ为参数，则曲线x 2＋(y ＋1)2＝1的参数方程为____________． (2)若y ＝2t (t 为参数)，则抛物线y 2＝4x 的参数方程为____________．解析：(1)把x ＝cos θ代入曲线x 2＋(y ＋1)2＝1，得cos 2θ＋(y ＋1)2＝1，于是(y ＋1)2＝1－cos 2θ＝sin 2θ，即y ＝－1±sin θ，由于参数θ的任意性，可取y ＝－1＋sin θ，因此，曲线x2＋(y ＋1)2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝－1＋sin θ，(θ为参数)．(2)把y ＝2t 代入y 2＝4x ，解得x ＝t 2，所以抛物线y2＝4x 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2y ＝2t (t 为参数)．答案：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ(θ为参数)(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t2y ＝2t (t 为参数)参数方程化普通方程将下列参数方程化为普通方程：(1)⎩⎨⎧x ＝t ＋1y ＝1－2t，(t 为参数)； (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θy ＝4sin θ－1，(θ为参数)；(3)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t y ＝2－12t，(t 为参数)； (4)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 1＋t 2y ＝1－t 21＋t 2，(t 为参数)．[解] (1)由x ＝t ＋1≥1，有t ＝x －1，代入y ＝1－2t ，得y ＝－2x ＋3(x ≥1)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θy ＝4sin θ－1得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x5sin θ＝y ＋14， ① ②①2＋②2得x 225＋(y ＋1)216＝1.(3)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t y ＝2－12t 得⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝32t y －2＝－12t ， ① ②②÷①得y －2x －1＝－33，所以y －2＝－33(x －1)(x ≠1)，所以3x ＋3y －6－3＝0，又当t ＝0时x ＝1，y ＝2也适合，故普通方程为3x ＋3y －6－3＝0. (4)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 1＋t 2y ＝1－t 21＋t 2，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4t 2(1＋t 2)2y 2＝1＋t 4－2t 2(1＋t 2)2，① ② ①＋②得x 2＋y 2＝1.(1)消参的三种方法①利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后运用代入消元法或加减消元法消去参数； ②利用三角恒等式借助sin 2θ＋cos 2θ＝1等消去参数；③根据参数方程本身的结构特征，选用一些灵活的方法(例如借助⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 1＋t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 21＋t 22＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t 2＝4等)从整体上消去参数． (2)化参数方程为普通方程应注意的问题将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x 和y 的取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f (t )和g (t )的值域，即x 和y 的取值范围.1．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θy ＝－1＋cos 2θ，(θ为参数)化为普通方程是( )A ．2x －y ＋4＝0B ．2x ＋y －4＝0C ．2x －y ＋4＝0，x ∈[2，3]D ．2x ＋y －4＝0，x ∈[2，3]解析：选D.由x ＝2＋sin 2θ，则x ∈[2，3]，sin 2θ＝x －2，y ＝－1＋1－2sin 2θ＝－2sin 2θ＝－2x ＋4，即2x ＋y －4＝0，故化为普通方程为2x ＋y －4＝0，x ∈[2，3]．2．化参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t y ＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t ，(a ，b 为大于0的常数，t 为参数)为普通方程．解：因为x ＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t ，当t >0时，x ∈[a ，＋∞)，当t <0时，x ∈(－∞，－a ]．由x ＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t 两边平方可得x 2＝a 24⎝⎛⎭⎪⎫t 2＋2＋1t 2，①由y ＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t 两边平方可得y 2＝b 24⎝⎛⎭⎪⎫t 2－2＋1t 2，②①×1a 2－②×1b 2并化简，得x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b 为大于0的常数)．所以普通方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．普通方程化参数方程根据所给条件，把曲线的普通方程化为参数方程． (1)(x －1)23＋(y －2)25＝1，x ＝3cos θ＋1.(θ为参数)(2)x 2－y ＋x －1＝0，x ＝t ＋1.(t 为参数)[解] (1)将x ＝3cos θ＋1代入(x －1)23＋(y －2)25＝1得y ＝2＋5sin θ.所以⎩⎨⎧x ＝3cos θ＋1，y ＝5sin θ＋2.(θ为参数)这就是所求的参数方程．(2)将x ＝t ＋1代入x 2－y ＋x －1＝0得：y ＝x 2＋x －1＝(t ＋1)2＋t ＋1－1＝t 2＋3t ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t 2＋3t ＋1.(t 为参数)这就是所求的参数方程．化普通方程为参数方程的方法及注意事项(1)选取参数后，要特别注意参数的取值范围，它将决定参数方程是否与普通方程等价． (2)参数的选取不同，得到的参数方程是不同的．根据所给条件，求方程4x 2＋y 2＝16的参数方程．(1)设y ＝4sin θ，θ为参数；(2)若令y ＝t (t 为参数)，如何求曲线的参数方程？若令x ＝2t (t 为参数)，如何求曲线的参数方程？解：(1)把y ＝4sin θ代入方程，得到4x 2＋16sin 2 θ＝16，于是4x 2＝16－16sin 2θ＝16cos 2θ，所以x ＝±2cos θ.所以4x 2＋y 2＝16的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．(2)将y ＝t 代入椭圆方程4x 2＋y 2＝16，得4x 2＋t 2＝16，则x 2＝16－t24.所以x ＝±16－t 22.因此，椭圆4x 2＋y 2＝16的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝16－t 22y ＝t ，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－16－t 22y ＝t，(t 为参数)．同理将x ＝2t 代入椭圆4x 2＋y 2＝16，得椭圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2t y ＝41－t 2，或⎩⎨⎧x ＝2t ，y ＝－41－t2(t 为参数)．参数方程与普通方程互化的应用已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos t y ＝3＋sin t，(t 为参数)，C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θy ＝3sin θ，(θ为参数)．(1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线？ (2)若C 1上的点P 对应的参数t ＝π2，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线C 3：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2t ，y ＝－2＋t(t 为参数)距离的最小值及此时Q 点的坐标．[解] (1)由C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos ty ＝3＋sin t ，(t 为参数)，则⎩⎪⎨⎪⎧cos t ＝x ＋4，sin t ＝y －3，由sin 2t ＋cos 2t ＝1得(x ＋4)2＋(y －3)2＝1，即曲线C 1的普通方程．C 1表示的是圆心为(－4，3)，半径为1的圆．由C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，则⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x 8，sin θ＝y3，由cos 2θ＋sin 2θ＝1得x 264＋y 29＝1，即曲线C 2的普通方程．C 2表示的是中心在坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长为8，短半轴长为3的椭圆．(2)当t ＝π2时，P (－4，4)，Q (8cos θ，3sin θ)，故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋4cos θ，2＋32sin θ， C 3为直线x －2y －7＝0.则点M 到直线C 3的距离d ＝55|4cos θ－3sin θ－13|＝55|5cos(θ＋φ)－13|，其中cos φ＝45，sin φ＝35，所以当cos(θ＋φ)＝1时，d 取得最小值855.此时cos θ＝45，sin θ＝－35，所以Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫325，－95.(1)在利用参数方程与普通方程互化的过程中，若化参数方程为普通方程，则既要掌握几种常见的消参方法，又要注明未知数的取值范围；若化普通方程为参数方程，则既要根据选取参数的条件，把变量x ，y 表示为关于参数的函数，又要注明参数及其取值范围，做到规范答题．(2)在解题过程中，当一种方程形式不利于解题时就应设法转化为另一种形式，这是解决此类问题的基本思想在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t(t 为参数)．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ.(1)写出⊙C 的直角坐标方程；(2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．解：(1)由ρ＝23sin θ，得ρ2＝23ρsin θ，从而有x 2＋y 2＝23y ，所以x 2＋(y －3)2＝3. (2)设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12t ，32t ，又C (0，3)，则|PC |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32t －32＝t 2＋12，故当t ＝0时，|PC |取得最小值，此时，点P 的直角坐标为(3，0)．1．参数方程和普通方程的互化参数方程化为普通方程，可通过代入消元法和三角恒等式消参法消去参数方程中的参数，通过曲线的普通方程来判断曲线的类型．由普通方程化为参数方程要选定恰当的参数，寻求曲线上任一点M 的坐标x ，y 和参数的关系，根据实际问题的要求，我们可以选择时间、角度、线段长度、直线的斜率、截距等作为参数．2．同一道题参数的选择往往不是唯一的，适当地选择参数，可以简化解题的过程，降低计算量，提高准确率．求轨迹方程与求轨迹有所不同，求轨迹方程只需求出方程即可，而求轨迹往往是先求出轨迹方程，然后根据轨迹方程指明轨迹是什么图形．3．参数方程与普通方程的等价性把参数方程化为普通方程后，很容易改变了变量的取值范围，从而使得两种方程所表示的曲线不一致，因此我们要注意参数方程与普通方程的等价性．1．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝|sin θ|，y ＝cos θ(θ为参数)的方程等价于( )A ．x ＝1－y 2B ．y ＝1－x 2C ．y ＝±1－x 2D ．x 2＋y 2＝1解析：选A.由x ＝|sin θ|得0≤x ≤1；由y ＝cos θ得－1≤y ≤1.故选A. 2．方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t y ＝2表示的曲线是( ) A ．一条直线 B ．两条射线 C ．一条线段D ．抛物线的一部分解析：选B.因为t >0时x ≥2，t <0时x ≤－2. 所以普通方程为y ＝2，x ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，它表示的图形是两条射线．3．若y ＝tx (t 为参数)，则圆x 2＋y 2－4y ＝0的参数方程为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t1＋t2y ＝4t 21＋t2(t 为参数)B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t1＋t2y ＝4t 21＋t2(t 为参数)C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 1＋t 2y ＝8t 1＋t2(t 为参数)D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t1＋t 2y ＝4t 1＋t2(t 为参数)解析：选A.因为y ＝tx ，代入x 2＋y 2－4y ＝0，得x 2＋(tx )2－4tx ＝0. 当t ＝0时，x ＝0，且y ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0.当t ≠0时，x ＝4t1＋t2.而y ＝tx ，即y ＝4t21＋t 2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 1＋t 2y ＝4t21＋t2(t 为参数)．综上知，所求圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 1＋t2y ＝4t 21＋t2(t 为参数)．4．已知某条曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝at 2(其中t 是参数，a ∈R)，点M (5，4)在该曲线上．(1)求常数a ；(2)求曲线C 的普通方程．解：(1)由题意，可知⎩⎪⎨⎪⎧1＋2t ＝5，at 2＝4，故⎩⎪⎨⎪⎧t ＝2，a ＝1，所以a ＝1.(2)由已知及(1)可得，曲线C 的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝t2，由第一个方程，得t ＝x －12，代入第二个方程，得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122，即(x －1)2＝4y 为所求．[A 基础达标]1．与参数方程⎩⎨⎧x ＝ty ＝21－t，(t 为参数)等价的普通方程为( )A ．x 2＋y 24＝1B ．x 2＋y 24＝1(0≤x ≤1)C ．x 2＋y 24＝1(0≤y ≤2)D ．x 2＋y 24＝1(0≤x ≤1，0≤y ≤2)解析：选D.方程⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝21－t ，变形为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t y 2＝1－t ，两式平方相加，得x 2＋y 24＝1，由式子t ，21－t 有意义，得0≤t ≤1，所以0≤x ≤1，0≤y ≤2，故选D.2．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( )A ．在直线y ＝2x 上B ．在直线y ＝－2x 上C ．在直线y ＝x －1上D ．在直线y ＝x ＋1上解析：选B.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)化为普通方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝1，其表示以(－1，2)为圆心，1为半径的圆，其对称中心即圆心，显然(－1，2)在直线y ＝－2x 上，故选B.3．已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝－2－t (t 为参数)与圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ＋1，y ＝2sin θ(θ为参数)，则直线l 的倾斜角及圆心C 的直角坐标分别是( )A.π4，(1，0) B ．π4，(－1，0) C.3π4，(1，0) D ．3π4，(－1，0) 解析：选C.直线消去参数得直线方程为y ＝－x ，所以斜率k ＝－1即倾斜角为3π4.圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝4，圆心坐标为(1，0)．4．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t 21＋t2，y ＝2t1＋t2(t 为参数)化为普通方程为( )A ．x 2＋y 2＝1B ．x 2＋y 2＝1去掉(0，1)点 C ．x 2＋y 2＝1去掉(1，0)点 D ．x 2＋y 2＝1去掉(－1，0)点解：选D.x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 21＋t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 1＋t 22＝1，又因为x ＝－1时，1－t 2＝－(1＋t 2)不成立，故去掉点(－1，0)．5．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＋sin θ2，y ＝12(1＋sin θ).(0≤θ<2π)表示的是( )A ．双曲线的一支，这支过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12B ．抛物线的一部分，这部分过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12 C ．双曲线的一支，这支过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12 D ．抛物线的一部分，这部分过点⎝⎛⎭⎪⎫1，－12解析：选B.因为x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π4，故x ∈[0，2]，又y ＝12(1＋sin θ)，故y ∈[0，1]．因为x 2＝1＋sin θ，所以sin θ＝x 2－1，代入y ＝12(1＋sin θ)中得y ＝12x 2，即x 2＝2y ，(0≤x ≤2，0≤y ≤1)表示抛物线的一部分，又2×12＝1，故过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12. 6．圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3sin θ＋4cos θy ＝4sin θ－3cos θ，(θ为参数)，则此圆的半径为________．解析：两式平方相加，得x 2＋y 2＝9sin 2θ＋16cos 2θ＋24sin θcos θ＋16sin 2θ＋9cos 2θ－24sin θcos θ＝9＋16＝25.所以圆的半径r ＝5. 答案：57．过原点作倾斜角为θ的直线与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos α，y ＝2sin α相切，则θ＝________．解析：直线为y ＝x tan θ，圆为(x －4)2＋y 2＝4，直线与圆相切时，易知tan θ＝±33，所以θ＝π6或5π6.答案：π6或5π68．在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t (t 为参数)与曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θy ＝3cos θ(θ为参数，a >0)有一个公共点在x 轴上，则a ＝________．解析：曲线C 1的普通方程为2x ＋y ＝3，曲线C 2的普通方程为x 2a 2＋y 29＝1，直线2x ＋y ＝3与x 轴的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，故曲线x 2a 2＋y 29＝1也经过这个点，代入解得a ＝32(舍去－32)．答案：329．在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 上两点M ，N 的极坐标分别为(2，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝－3＋2sin θ(θ为参数)． (1)设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程； (2)判断直线l 与圆C 的位置关系．解：(1)由题意知，M ，N 的平面直角坐标分别为(2，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233.又P 为线段MN 的中点，从而点P 的平面直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，故直线OP 的平面直角坐标方程为y ＝33x . (2)因为直线l 上两点M ，N 的平面直角坐标分别为(2，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，所以直线l 的平面直角坐标方程为x ＋3y －2＝0.又圆C 的圆心坐标为(2，－3)，半径为r ＝2，圆心到直线l 的距离d ＝|2－3－2|2＝32<r ，故直线l 与圆C 相交．10．已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0，0≤θ＜2π)．解：(1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得 ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2. 所以C 1与C 2交点的极坐标分别为(2，π4)，(2，π2)．[B 能力提升]11．已知在平面直角坐标系xOy 中圆C 的参数方程为：⎩⎨⎧x ＝3＋3cos θ，y ＝1＋3sin θ(θ为参数)，以Ox 为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为：ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝0，则圆C 截直线所得弦长为( )A. 2 B ．2 2 C ．3 2D ．4 2解析：选D.圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋3cos θy ＝1＋3sin θ，圆心为(3，1)，半径为3，直线普通方程为32x －12y ＝0，即3x －y ＝0，圆心C (3，1)到直线3x －y ＝0的距离为d ＝|(3)2－1|3＋1＝1，所以圆C 截直线所得弦长|AB |＝2r 2－d 2＝232－12＝4 2.12．在极坐标系中，圆C 1的方程为ρ＝42cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C 2的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋a cos θ，y ＝－1＋a sin θ(θ为参数)，若圆C 1与C 2相切，则实数a ＝________．解析：圆C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x ＋4y ，其标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝8，圆心为(2，2)，半径长为22，圆C 2的圆心坐标为(－1，－1)，半径长为|a |，由于圆C 1与圆C 2相切，则|C 1C 2|＝22＋|a |＝32或|C 1C 2| ＝|a |－22＝32⇒a ＝±2或a ＝±5 2.答案：±2或±5 213．化参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1ty ＝t －1t (t 为参数)为普通方程，并求出该曲线上一点P ，使它到y ＝2x ＋1的距离为最小，并求此最小距离．解：化参数方程为普通方程为x 2－y 2＝4.设P (t ＋1t ，t －1t )，则点P 到直线2x －y ＋1＝0的距离d ＝|t ＋3t ＋1|5.(1)当t >0时，d ≥23＋15.(2)当t <0时，因为－t －3t≥23，所以t ＋3t＋1≤－23＋1.所以|t ＋3t ＋1|≥23－1，所以d ≥23－15.因为23＋15>23－15，所以d 的最小值为23－15，即215－55，此时点P 的坐标为(－433，－233)．14．(选做题)已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t －2，y ＝22t (t为参数)．(1)指出C 1，C 2各是什么曲线，并说明C 1与C 2的公共点的个数；(2)若把C 1，C 2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C 1′，C 2′，写出C 1′，C 2′的参数方程．C 1′与C 2′公共点的个数和C 1与C 2公共点的个数是否相同？说明你的理由．解：(1)C 1是圆，C 2是直线．C 1的普通方程为x 2＋y 2＝1，圆心C 1(0，0)，半径r ＝1.C 2的普通方程为x －y ＋2＝0.因为圆心C 1到直线x －y ＋2＝0的距离为1，所以C 1与C 2只有一个公共点．(2)压缩后的参数方程分别为C 1′：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝12sin θ(θ为参数)，C 2′：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t －2，y ＝24t(t 为参数)，化为普通方程为C 1′：x 2＋4y 2＝1，C 2′：y ＝12x ＋22，联立消元得2x 2＋22x ＋1＝0，其判别式Δ＝(22)2－4×2×1＝0，所以压缩后的直线C2′与椭圆C1′仍然只有一个公共点，和C1与C2公共点的个数相同．。

参数方程与普通方程互化教案

参数方程与普通方程互化教案一、教学目标1. 让学生理解参数方程与普通方程的概念及其关系。

2. 培养学生掌握参数方程与普通方程的互化方法。

3. 提高学生运用参数方程与普通方程解决实际问题的能力。

二、教学内容1. 参数方程与普通方程的定义。

2. 参数方程与普通方程的互化方法。

3. 典型例题解析。

三、教学重点与难点1. 重点：参数方程与普通方程的概念、互化方法。

2. 难点：参数方程与普通方程互化过程中的计算。

四、教学方法1. 采用讲解、演示、练习、讨论相结合的方法。

2. 利用多媒体课件辅助教学，提高学生的学习兴趣。

3. 引导学生通过合作、探究、交流，提高解决问题的能力。

五、教学过程1. 引入新课：通过实例介绍参数方程与普通方程的概念，引导学生理解二者之间的关系。

2. 讲解与演示：讲解参数方程与普通方程的互化方法，并通过演示让学生直观地感受互化过程。

3. 练习与讨论：布置一些典型例题，让学生独立完成，进行讨论，分析解题思路和方法。

5. 布置作业：布置一些有关参数方程与普通方程互化的练习题，巩固所学知识。

六、教学评价1. 课后收集学生的练习成果，评价学生的掌握程度。

2. 在下一节课开始时，进行课堂测试，检验学生对参数方程与普通方程互化的掌握情况。

3. 关注学生在解决问题时的创新意识和运用能力，给予鼓励和指导。

七、课时安排本节课计划用2课时完成。

八、教学资源1. 多媒体课件。

2. 练习题及答案。

3. 课堂测试题及答案。

九、教学建议1. 在教学过程中，注意让学生多动手、动脑，提高学生的实践能力。

2. 针对不同学生的学习情况，给予个别辅导，提高学生的学习兴趣。

3. 课后积极与学生沟通，了解学生的学习需求，不断调整教学方法。

十、课后反思本节课结束后，教师应认真反思教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高教学质量。

关注学生的学习兴趣和个性发展，为下一节课的教学做好准备。

六、教学目标1. 让学生掌握将参数方程转化为普通方程的基本步骤。

参数方程与普通方程的互化

参数方程与普通方程的互化【例1】在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2tan 2θy ＝2tan θ(θ为参数)．试求直线l 和曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．【解】因为直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，由x＝t ＋1得t ＝x －1，代入y ＝2t ，得到直线l 的普通方程为2x －y －2＝0.因为曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2tan 2θ ①y ＝2tan θ ②，由y ＝2tan θ，得tan θ＝y 2，代入①得y 2＝2x .解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2(x －1)，y 2＝2x ，得公共点的坐标为(2,2)，12，－1.(1)曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( )A ．在直线y ＝2x 上B ．在直线y ＝－2x 上C ．在直线y ＝x －1上D ．在直线y ＝x ＋1上(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12(e t＋e －t)y ＝12(e t－e－t)(t 为参数)的普通方程是________．解析：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x ＋1，sin θ＝y －2，消参得(x ＋1)2＋(y －2)2＝1.所以其对称中心为(－1,2)．显然该点在直线y ＝－2x 上．故选B.(2)由参数方程得e t ＝x ＋y ，e －t ＝x －y ， ∴(x ＋y )(x －y )＝1，即x 2－y 2＝1. 答案：(1)B (2)x 2－y 2＝1 热点二直线的参数方程的应用【例2】已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4cos θ，y ＝2＋4sin θ(θ为参数)，直线l 经过定点P (3,5)，倾斜角为π3. (1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的标准方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|P A |·|PB |的值．【解】 (1)曲线C ：(x －1)2＋(y －2)2＝16，直线l ：⎩⎨⎧x ＝3＋12t ，y ＝5＋32t(t 为参数)．(2)将直线l 的参数方程代入圆C 的方程可得t 2＋(2＋33)t －3＝0，设t 1，t 2是方程的两个根，则t 1t 2＝－3，所以|P A ||PB |＝|t 1||t 2|＝|t 1t 2|＝3.(2016·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解：椭圆C 的普通方程为x 2＋y24＝1.将直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t代入x 2＋y 24＝1，得(1＋12t)2＋(32t )24＝1，即7t 2＋16t＝0，解得t 1＝0，t 2＝－167.所以AB ＝|t 1－t 2|＝167.。

数学教案 (参数方程与普通方程互化)

课题：参数方程与普通方程互化教学过程：一、复习引入：问题：观察下列两组集合，说出集合A 与集合B 的关系（共性）二、讲解新课：1、参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种：（1）代入法：利用解方程的技巧求出参数t ，然后代入消去参数（2）三角法：利用三角恒等式消去参数（3）整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去。

化参数方程为普通方程为0),(=y x F ：在消参过程中注意变量x 、y 取值范围的一致性，必须根据参数的取值范围，确定)(t f 和)(t g 值域得x 、y 的取值范围。

2、常见曲线的参数方程（1）圆222r y x =+参数方程⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x （θ为参数）（2）圆22020)\()(r y y x x =+-参数方程为：⎩⎨⎧+=+=θθsin cos 00r y y r x x （θ为参数）（3）椭圆12222=+b y a x 参数方程 ⎩⎨⎧==θθs i n c o s b y a x （θ为参数）（4）双曲线12222=-by a x 参数方程 ⎩⎨⎧==θθt a n s e c b y a x （θ为参数）（5）抛物线Px y 22=参数方程⎩⎨⎧==Pt y Pt x 222（t 为参数）（6）过定点),(00y x P 倾斜角为α的直线的参数方程⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）典型例题1、将下列参数方程化为普通方程（1）⎪⎩⎪⎨⎧+=-=2222t y t t x （2）⎩⎨⎧=+=θθθ2sin cos sin y x（3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++=2221t ty t t x （4）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=221212t t y t x （5）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=)1(3)1(222t t y t t x变式训练12、（1）方程⎪⎩⎪⎨⎧=+=21y t t x 表示的曲线A 、一条直线B 、两条射线C 、一条线段D 、抛物线的一部分（2）下列方程中，当方程x y =2表示同一曲线的点A 、⎩⎨⎧==2t y t xB 、⎪⎩⎪⎨⎧==t y t x sin sin 2C 、⎩⎨⎧=+=t y x 11D 、⎪⎩⎪⎨⎧=+-=ty t t xos x tan 2cos 121 例2化下列曲线的参数方程为普通方程，并指出它是什么曲线。

参数方程与普通方程互化

参数方程与普通方程互化传统的数学学科中，方程是一种非常重要的概念。

一般而言，我们所看到的方程都属于普通方程，比如抛物线的方程或是直线的方程等等。

然而，除了普通方程之外，还有一种非常重要的方程，那就是参数方程。

参数方程是一种用参数的形式来表示曲线的方程，其主要特点是可以直观地描述出曲线的走向和形状，因此在实际计算和理论研究中具有非常重要的价值。

对于普通方程和参数方程的互化，我们可以通过以下几个步骤来实现。

一、将普通方程转化为参数方程对于普通方程 y = f(x)，我们可以将其转化为参数方程 x = t，y = f(t)。

这里的 t 是一个参数，我们可以将其看作是一个自变量，它的变化将会影响到函数图像的形态和走向。

以直线 y = 2x + 1 为例，我们可以将其转化为参数方程 x = t，y = 2t + 1。

在这个参数方程中，当 t 取 0 时，我们可以得到直线的一个点 (0,1)，而当 t 取 1 时，我们可以得到直线的另一个点(1,3)，以此类推。

通过这样的转化，我们不仅可以更加直观地描述出曲线的走向和形态，还能够对曲线进行更加细致的研究和计算。

二、将参数方程转化为普通方程对于参数方程 x = f(t)，y = g(t)，我们可以通过消除参数 t 来得到普通方程 y = g(x)。

这个过程需要用到高中阶段学习的基本代数技能，具体步骤如下：1. 由第一个参数方程得到 x = f(t)，即 t = f^{-1}(x)。

2. 将第二个参数方程中的 t 用上一步得到的代数式代替，得到y = g(f^{-1}(x))。

3. 对上一步得到的式子进行合并和化简，即可得到普通方程形式的表达式 y = g(x)。

以圆为例，我们可以将其参数方程 x = rcos(t)，y = rsin(t) 转化为普通方程：1. t = arccos(\frac{x}{r}) 或 t = arcsin(\frac{x}{r})。

(完整word版)导学案：参数方程与普通方程的互化

课题：参数方程与普通方程的互化【学习目标】1．进一步理解参数方程的概念及参数的意义。

2．能通过消去参数将参数方程化为普通方程，由普通方程识别曲线的类型3．能选择适当的参数将普通方程化成参数方程【重点、难点】参数方程和普通方程的等价互化。

自主学习案【问题导学】阅读课本P24—P26，然后完成下列问题：1．参数方程的概念(1)在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数)()()(D t t g y t f x ∈⎩⎨⎧==, 并且对于t 的每一个允许值，由方程组所确定的点M （x,y ）都在这条曲线上，那么方程就叫这条曲线的_________，联系变数x 、y 的变数t 叫做______，简称______。

相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程0),(=y x F 叫做___________。

(2)______是联系变数x,y 的桥梁，可以是一个有_____意义或_____意义的变数，也可以是_____________________________的变数。

2、（1）圆心在原点O ，半径为r 的圆的一个参数方程是_____________________；（2）圆222)()(r b y a x =-+-的一个参数方程是______________________.3、指出下面的方程各表示什么样的曲线：（1）2x+y+1=0 表示______________(2) 2321y x x =++表示________________(3) 22194x y +=表示__________________ (4)cos 3()sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数表示________________【预习自测】把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线？1、112x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）2、2cos sin x y θθθ=⎧⎨=⎩（为参数）思考：1、通过什么样的途径，能从参数方程得到普通方程？2、在参数方程与普通方程互化中，要注意哪些方面？合作探究案考向一、参数方程化普通方程例1．把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线（1） ⎪⎩⎪⎨⎧-=+=t y t x 211（t 为参数）（2）⎩⎨⎧+=+=θθθ2sin 1cos sin y x （θ为参数）小结：参数方程化普通方程的步骤：练习：将下列参数方程化为普通方程（1）（2）（3）考向二、普通方程化参数方程例2：求椭圆22194x y +=的参数方程：（1）设3cos ,x ϕϕ=为参数；（2）设2,y t t =为参数思考：1.如果没有明确x 、y 与参数的关系，则参数方程是有限个还是无限个？2.为什么（1）的正负取一个，而（2）却要取两个？如何区分？知识归纳： 1、椭圆的标准方程: 的一个参数方程为：_______________________;2、椭圆的标准方程: 的一个参数方程为：______________________; 3214x t y t =-⎧⎨=--⎩sin cos2x y θθ=⎧⎨=⎩221(0)1x t t t y t t ⎧=+⎪⎪>⎨⎪=+⎪⎩22y 194x +=2222y 1x +=变式练习：动点P(x,y)在曲线22y 1169x +=上变化，求3x+4y 的最值。

参数方程与普通方程互化2

参数方程与普通方程互化2参数方程与普通方程互化21.参数方程转普通方程将参数方程转化为普通方程可以使问题更直观，易于理解和求解。

假设有一个参数方程：x=f(t),y=g(t).我们可以通过消去参数t，将参数方程转化为普通方程。

步骤如下：a.从第一个参数方程中解出t，得到t=f^-1(x).b.将t代入第二个参数方程中，得到y=g(f^-1(x)).例如，假设有一个参数方程：x=2t,我们可以先从第一个参数方程中解出t，得到t=x/2、然后将t代入第二个参数方程中，得到y=3(x/2)^2=3x^2/4、这样我们就得到了普通方程y=3x^2/4，将参数方程转化为了普通方程。

2.普通方程转参数方程将普通方程转化为参数方程可以使问题更灵活，特别是在求解曲线上的点坐标时非常有用。

步骤如下：a.假设有一个普通方程y=f(x).b.令t=x，求解上述方程关于t的逆函数t=f^-1(y).c.将t代入x=t，得到新的参数方程x=f^-1(y)，y=t=f^-1(y).例如，假设有一个普通方程y=x^2、我们可以令t=x，然后求解方程关于t的逆函数t=y^0.5、最后将t代入参数方程x=y^0.5，y=t，得到参数方程x=y^0.5，y=t。

3.参数方程与普通方程的优缺点参数方程的优点是在描述曲线上的点时更灵活，易于求解与计算。

特别是在求解曲线上的点坐标时，参数方程的形式非常方便。

同时，参数方程能够更准确地描述曲线的拐点、极值等性质。

普通方程的优点是更直观易懂，一眼就可以看出曲线的整体形状。

特别是在解析几何中，普通方程的形式更加常用。

然而，普通方程也具有一些局限性，例如在描述一些特殊曲线时可能会有困难，需要引入一些复杂的工具。

此外，普通方程在求解特定点的坐标时通常需要进行反函数运算，比较繁琐。

总的来说，参数方程与普通方程在使用上各有优劣，根据具体问题的需求选择使用哪一种形式更加合适。

参数方程与普通方程互化

参数方程与普通方程互化
参数方程与普通方程是一类多项式方程组，在一定条件下可以相互互化。

参数方程是把未知量以参数的形式表示，即在方程中以参数的形式出现，把直接求解出来的未知量的过程改为先求出参数大小，再根据参数给出的方程求解未知量，这样可以非常方便地解决一些复杂的问题，并且求解时更容易得到整体的解。

普通方程是指未知量出现在方程中，通过求解这些方程就可以求出未知量的值。

通过适当的替换，可以把参数方程转换为普通方程。

首先，可以用定义的参数来替换参数方程中的参数，然后对方程的每个自变量和参数进行分别求导，得到无关的普通方程，再利用分离变量法去除参数，最后求解得到未知量的值。

参数方程转换为普通方程步骤如下：
1.用定义的参数替换参数方程中的参数；
2.对每个自变量和参数分别求导，得到无关的普通方程；
3.利用分离变量法去除参数，得到普通方程；
4.将普通方程转化为一般形式，求解自变量的值；
通过上述步骤，可以将参数方程转换为普通方程，并获得解析函数，从而求出未知量的值。

参数方程在一定条件下可以转换为普通方程。

高中数学_参数方程和普通方程的互化教学设计学情分析教材分析课后反思

参数方程和普通方程的互化学习目标1.了解参数方程化为普通方程的意义.2.掌握参数方程化为普通方程的基本方法.3.能根据参数方程与普通方程的互化灵活解决问题．一、新知探究思考1 要判断一个点是否在曲线上，你觉得用参数方程方便还是用普通方程方便？思考2 把参数方程化为普通方程的关键是什么？知识梳理(1)曲线的普通方程和参数方程的互相转化①曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过____________而从参数方程得到普通方程；②如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如________，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系________，那么⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝f t ，y ＝g t 就是曲线的参数方程．二、精讲点拨类型一参数方程化为普通方程例1 将下列参数方程化为普通方程，并判断曲线的形状． (1)为参数）；t ty t x (211⎪⎩⎪⎨⎧-=+=(2)⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝5cos θ，y ＝4sin θ－1(θ为参数)；(3)⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1－t 1＋t ，y ＝2t 1＋t (t ≠－1，t 为参数)．跟踪训练1 将下列参数方程化为普通方程．(1)⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋cos θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝sin θ－cos θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)．类型二普通方程化为参数方程例2 根据所给条件，把曲线的普通方程化为参数方程．(1)x －123＋y －225＝1，x ＝3cos θ＋1；(θ为参数)(2)x 2－y ＋x －1＝0，x ＝t ＋1.(t 为参数)跟踪训练2 已知曲线的普通方程为4x 2＋y 2＝16.(1)若令y ＝4sin θ(θ为参数)，如何求曲线的参数方程？(2)若令y ＝t (t 为参数)，如何求曲线的参数方程？若令x ＝2t (t 为参数)，如何求曲线的参数方程？类型三参数方程与普通方程互化的应用例3 已知x ，y 满足圆C ：x 2＋(y －1)2＝1的方程，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝33t ，y ＝－t ＋5.(1)求3x ＋4y 的最大值和最小值；(2)若P (x ，y )是圆C 上的点，求P 到直线l 的最小距离，并求此时点P 的坐标．三、当堂达标1．若点P 在曲线ρcos θ＋2ρsin θ＝3上，其中0≤θ≤π4，ρ>0，则点P 的轨迹是( )A ．直线x ＋2y ＝3B ．以(3,0)为端点的射线C ．圆(x －1)2＋y 2＝1D ．以(1,1)，(3,0)为端点的线段2．将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2＋sin 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)化成普通方程为( )A ．y ＝x －2B ．y ＝x ＋2C ．y ＝x －2(2≤x ≤3)D ．y ＝x ＋2(0≤y ≤1)3．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝sin 2θ，y ＝sin θ＋cos θ(θ为参数)表示的曲线的普通方程是________________．4．将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ＋1t ，y ＝t 2＋1t 2(t 为参数)化成普通方程为________．5．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3cos φ＋4sin φ，y ＝4cos φ－3sin φ表示的图形是________．四、小结参数方程和普通方程的互化参数方程化为普通方程，可通过代入消元法、三角恒等式消参法和整体消参法消去参数方程中的参数. 由普通方程化为参数方程要选定恰当的参数.五、作业课本26页 4题、5题学情分析在学习了参数方程的概念和圆的参数方程后，学生对参数方程有了初步了解. 有时候因为由参数方程直接判断曲线的类型不太容易，而化为普通方程后，曲线的类型就比较容易识别.因此考虑将参数方程化为普通方程时非常自然的.需要注意的是，并不是所有参数方程都能化为普通方程.在化参数方程为普通方程时，坐标x，y的变化范围不能扩大或缩小，要注意由参数方程讨论x，y的变化范围.效果分析学习了参数方程和普通方程的互化，学生掌握了化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有：代入消元法、三角函数消元法和整体消元法.需要注意参数方程化普通方程时要保证转化过程的等价性。

高中数学_参数方程与普通方程的互化教学设计学情分析教材分析课后反思

2.3参数方程和普通方程的互化一、教学目标(一)知识目标了解参数方程与普通方程之间的联系与区别，掌握它们之间的互化法则．(二)能力目标掌握消去参数的基本方法，能熟练地将常见参数方程化为普通方程并正确解决其等价性问题(即x、y的范围)．(三)情感目标方法论在研究和解决问题中的作用．培养学生观察、猜想和灵活地进行公式的恒等变形的能力．即在“互化”训练中，提高学生解决数学问题的转化能力．二、教学重点难点：1．教学重点：参数方程与普通方程的互化法则，常见问题的消参方法．2．教学难点：整体元消参的方法，参数方程与普通方程的等价性(即x、y的范围)．三、教学方法：引导启发式四、教学手段：多媒体辅助教学五．教学过程（一）．思考探究（引入）：下面的方程各表示什么样的曲线？149)3(3)2(012)1(222=+==++y x x y y x为参数）t t y t x (21)4(⎪⎩⎪⎨⎧-==【设计意图：前3个小题学生一下就可以看出来，第4个是一个参数方程，不能直观得到其所表示的曲线，通过与普通方程的类比，引出本节课参数方程与普通方程的互化主题。

】（二）探究（一）参数方程转化为普通方程例1、将下面参数方程化为普通方程,并说明是什么样的曲线？为参数）t t y t x (21⎪⎩⎪⎨⎧-==问题1.1、如何消去参数？1. 代入消元法：利用解方程的技巧求出参数t,然后代入消去参数2. 加减消元法步骤归纳：(1).求x(y)的范围(2).消参数(3).结论，曲线形状问题1.2：在参数方程与普通方程互化中，要注意哪些方面？注：在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致。

否则，互化就是不等价的.跟踪训练：将下列参数方程化为普通方程为参数）t t y t x (121⎪⎩⎪⎨⎧+==例2、把下列参数方程化为普通方程，并说明表示什么曲线？)(2sin 1cos sin 为参数θθθθ+=+=⎩⎨⎧y x3.三角法：利用三角恒等式消去参数跟踪训练：把下列参数方程化为普通方程，并说明表示什么曲线？为参数）θθθ(12cos cos ⎩⎨⎧+==y x合作探究：将参数方程化为普通方程为参数）t t t y t t x (11⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=4.整体消元法：根据参数方程本身的结构特征,从整体上消去。

参数方程与普通方程的互化

1.3 参数方程与普通方程的互化班级姓名一、学习目标：1.了解参数方程与普通方程之间的联系与区别，掌握它们之间的互化方法；2. 掌握圆的参数方程的简单的应用.重点：参数方程与普通方程的互化法则；难点：整体元消参的方法，参数方程与普通方程的等价性(即x 、y 的范围)．二、教学过程（一）、提出问题（看教材p24-26，标出自己的困惑点）曲线的普通方程反映了坐标变量x 、y 之间的直接关系，而参数方程是通过参数反映坐标变量x 、y 之间的间接关系。

普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同的表达形式。

方便解决问题，有时需进行参数方程与普通方程的互化,如何互化？问题一：上节课例2中点M 的轨迹的参数方程()cos 3sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数，判断点M 的轨迹是什么曲线？(二)、数学应用例题1、把下列参数方程化为普通方程，并说明各方程表示什么曲线。

（1）()3214x t t y t =-⎧⎨=--⎩为参数（2）)11x t y ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩为参数（3）()2cos 2sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数（4）()sin cos 1sin2x y θθθθ=+⎧⎨=+⎩为参数变式1：已知曲线的参数方程是⎪⎩⎪⎨⎧=+=θθθsin 2cos 2sin y x ，则曲线的普通方程是（）A . )2|x (|,y 1x 2≤-=B . )1|x (|,y 1x 2≤+=C . )2|x (|,y 1x 2≤+=D . y 1x 2+=例题2、求椭圆22194x y += 的参数方程：（1）设3cos ,x θθ=为参数；（2）设2,y t t =为参数变式2、曲线的普通方程为224x y -= ，若设1x t t=+ ，t 为参数。

求曲线的参数方程（三）课堂检测1、下列可以作为直线2x －y ＋1＝0的参数方程的是（）A . ⎩⎨⎧+=+=t y t x 3,1（t 为参数） B . ⎩⎨⎧-=+=t y t x 25,2（t 为参数） C . ⎩⎨⎧-=-=t y t x 23,1（t 为参数） D . ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 555,5522（t 为参数）2、把下列参数方程化为普通方程，并说明各方程表示什么曲线。