地球物理学基础作业05

地球物理学基础（2011） 作业05

一、英汉互译

球振型spheroidal mode 扭振型torsional mode 参考椭球 reference ellipsoid 大地水准面geoid 地形校正topographic correction

自由空气异常 free air gravity anomaly 布格异常Bouguer anomaly

Potential Field 势场 Gravity Anomaly 重力异常 Geoid 大地水准面 Gravitational acceleration 重力加速度

翻译：英文教科书P223第一段

地球的重力与磁力都是能提供地球内部物质属性信息的势场。所谓的势场就是那些对于处在其中物体作用的强度及方向取决于物体所在位置的场，势场的强度随着远离源而降低。相比于磁力场，重力场较为简单。重力场中物体所受力的作用线指向地球中心，而磁力场中物体所受力的强度及方向取决于地球磁场的正负极。

二、简述球振型与环振型的异同

答：球振型与环振型的异同表现为以下：1）地球作球型振荡时，其质点位移既有径向分量，也有水平分量，是一种无旋转振动；地球作环型振荡时，各质点只在以地心为球心的同心球面上振动，位移无径向分量。2）重力仪、应变地震仪和长周期地震仪均可记录到球型振动，而重力仪记录不到环型振荡。

三、画出0

20S 型自由振荡及020T 型自由振荡并简述振动方式。

答：如下图

2

S 型自由振荡在纬度方向有两个节点，径向位移使得地球交替呈现长椭球和扁椭球；而020T 型自由振荡节面为赤道平面，上下两个半球以赤道为节面相互扭转振荡。

图1

2

S 型自由振荡（据课件修改）

2

S )图2：0

20T 型自由振荡（课件）

θ

θϕcos sin u ∝

四、判断是否成立，并简要说明理由： 1）环型振荡不能引起密度的变化

答：这种判断是正确的；因为地球作环型振荡时，各质点只在以地心为球心的同心球面上振动，位移无径向分量，地球介质只产生剪切形变，无体积变化，因此不会引起总体平均密度的变化，但是会引起局部密度的变化。

2）环型振荡与SH 型面波是一回事；球型振荡与P-SV 型面波是一回事

答：这种判断是错误；因为自由振荡可以看成长周期面波的推广，即球振型相当Rayleigh 波的推广，环振型相当于Love 波的推广，但是不能认为二者是一回事。

3）周期大于10分钟的自由振荡主要取决于地球整体的性质；周期在100s-10分的自由振荡显著依赖于地幔的结构。

答：这种判断是正确的；因为自由振动的周期与深度呈现一定的相关性，即周期大于10分钟的自由振荡主要取决于地球整体的性质；周期在100s-10分的自由振荡显著依赖于地幔的结构。

五、推导布格重力异常公式：BC=2πρGh

解：如图，假设观测点P 位于厚度为h 的无限水平板的面上，因此此时P 所受重力即为布格重力异常值。

将平板看作无穷大的圆柱体，其中x 2+y 2≤R 2， ∞→R ，高度为h

由圆柱体的对称性及质量分布的均匀性质，有Fx=Fy=0，对于所求引力沿z 轴的分量Fz 则有

()

⎰⎰⎰

Ω

++=2

3222

z

y x

d G Fz V

z ρ

()

⎰⎰

⎰≤+++=2

22R y x 2

3222

h 0

z

y x

dxdy

zdz

G ρ

()

⎰⎰

⎰

∞

+=0

2

322

h

z

r

r d r

z d z G

ρ

Gh 2dz z

1

z G

2h

πρπρ=∙=⎰

即得布格重力异常公式：BC=2πρGh

六、推导马古拉（MacCullagh ）公式和地球自转离心力所产生的位V 。 解：参考《固体地球物理学导论》

地球物质在地球外面所产生的引力位须满足拉普拉斯方程，即：

0sin 1)(sin sin 1)(1V 2

222222

=∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=∇λθθθθθV

r V r r V r r r （其中r 为与地心的距

离，θ为余纬，λ为经度。

解上式得：

{}

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+∙---

=∑∑∑∞

==∞=212)(cos sin cos )()(cos )(1V n n m m

n m n m n n n n n n P m S m C r a P r a J r

GM θλλθ

式中G 为万有引力常数，M 为地球质量，a 为地球赤道半径，)(cos θm

n P 为连带勒让德多项式，J n 为n 级带谐系数，m n C ，m n S 为n 级m 阶的田谐系数。

假如考虑旋转轴对称性，随着经度λ的变化可以忽略不计，则上式可以变成

⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡⋯⋯---

=)(cos )(1V 222θP r a J r

GM

如果只保留J 2项，而忽略高级项，并将2

1

cos 23)(cos 22-=

θθP 代入上式得， θπφφ-=-+-=2)1sin 3(2V 2

3

22，r

J GMa r GM 为地心纬度

J 2与地球形状有关，如图，质量dm 在P 点产

生的引力位为

2

122cos )(21G G ⎥

⎦

⎤⎢⎣⎡-+-=-

=φr s

r s r dm

l dm dV （1）

由于

1<

s

则有 ⋯+-++=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-+-φφφ2222

12

2

sin )(23)(cos 1cos )(21r

s

r s r s r s r s

将上式代入（1），并对整个地球的质量积分，得引力位为

⎰⎰⎰⎰+---

=dm s r G dm s r

G dm s r G dm r G φφ22

3232sin 23cos V （2） 第一项是质量集中于中心时所产生的位；如果取质量中心为坐标原点，由对称关系第二项为

零；第三项的积分可以改写为

)(2

1)(21)(21)(21)(2

222222222C B A dm z y dm z x dm y x dm z y x dm s ++=+++++=++=⎰⎰⎰⎰

⎰其中A ，B ，C 分别为相对于x ，y ，z 轴的转动惯量

第四项的积分为质量M 相对于OP 轴的转动惯量，以I 表示。 因此（2）可以改写为

)3(2GM V 3I C B A r

G

r -++--

=，该式通常称为马古拉（MacCullagh ）公式。

地球自转离心力所产生的位为

[])(cos 13

sin 21)(21V'2222

22222θωθωωP r r y x -=

=+= φ

[

]

2

1

2

cos 2φ

rs s r l -+=r