高二海淀解析几何复习(11年12年期末题集)
北京市海淀区2023-2024学年高二下学期期末数学试卷(含答案)
北京市海淀区2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷本试卷共6页，共两部分。
19道题，共100分。
考试时长90分钟。
试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，请将答题卡交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.5(1)x -的展开式中，所有二项式的系数和为A.0B.52C.1D.622.已知函数sin (),cos xf x x=则(0)f '的值为A.0B.1C.1- D.π3.若等比数列{}n a 的前n 项和21n n S =-，则公比q =A.12B.12-C.2D.2-4.下列函数中，在区间[]1,0-上的平均变化率最大的时A.2y x = B.3y x = C.12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D.2xy =5.将分别写有2,0,2,4的四章卡片，按一定次序排成一行组成一个四位数（首位不为0），则组成的不同四位数的个数为A.9B.12C.18D.246.小明投篮3次，每次投中的概率为0.8，且每次投篮互不影响，若投中一次的2分，没投中得0分，总得分为X ，则A.() 2.4E X = B.() 4.8E X = C.()0.48D X = D.()0.96D X =7.已知一批产品中，A 项指标合格的比例为80%，B 项指标合格的比例为90%，A 、B 两项指标都合格的比例为60%，从这批产品中随机抽取一个产品，若A 项指标合格，则该产品的B 项指标也合格的概率是A.37B.23C.34D.568.已知等差数列n a 的前n 项和为n S ，若10a <、则“n S 有最大值”是“公差0d <”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9.设函数()()ln 1sin f x x a x =-+.若()()0f x f ≤在()1,1-上恒成立，则A.0a =B.1a ≥C.01a <≤ D.1a =10.在经济学中，将产品销量为x 件时的总收益称为收益函数，记为()R x ，相应地把()R x '称为边际收益函数，它可以帮助企业决定最优的生产或销售水平.假设一个企业的边际收益函数()1000R x x '=-(注:经济学中涉及的函数有时是离散型函数，但仍将其看成连续函数来分析).给出下列三个结论:①当销量为1000件时，总收益最大;②若销量为800件时，总收益为T ，则当销量增加400件时，总收益仍为T ;③当销量从500件增加到501件时，总收益改变量的近似值为500.其中正确结论的个数为A.0B.1C.2D.3第二部分（非选择题共60分）二、填空题共5小题，每小题4分，共20分。
北京市西城区(北区)2011--2012学年度高二第二学期(文)期末考试试题答案
北京市西城区（北区）2011 — 2012学年度第二学期学业测试高二数学（文科）参考答案及评分标准 2012.7一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. C ；2. D ；3. B ；4. A ；5. C ；6. D ；7. B ；8. D . 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. x ∃∈R ，20x≤； 10. 9-； 11. c a b <<； 12. 24； 13.1,0e； 14. ①、③. 注：第13题第一个空2分，第二个空3分；第14题少选得2分，多选和错选均不得分. 三、解答题：本大题共6小题，共80分.（如有其他方法，仿此给分） 15.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为集合{|||2}{|2,A x x x x =≥=≥或2}x ≤-， ………………………… 2分集合{|(6)(3)0}{|36}B x x x x x =-+<=-<<， ………………………… 4分 所以 {|32,AB x x =-<≤-或26}x ≤<. ………………………… 7分（Ⅱ）解：因为 A B =R ，所以 22a ≥， ………………………… 11分解得 1a ≥. ………………………… 13分 注：第（Ⅱ）问中没有等号扣2分. 16.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意，得2214a a a =，即2111()(3)a d a a d +=+， ………………………… 2分所以2(2)2(23)d d +=+，解得 2d =，或0d =（舍）， ………………………… 4分所以 1(1)2n a a n d n =+-=. ………………………… 6分 （Ⅱ）解：由（Ⅰ），得21(1)2(1)2n n n S na d n n n n n -=+=+-=+， ………………………… 8分 所以2111(1)n S n n n n ==++.则12111n nT S S S =+++1111223(1)n n =+++⨯⨯+ ………………………… 9分11111(1)()()2231n n =-+-++-+ ………………………… 11分 111n =-+ 1nn =+， 所以数列1{}n S 的前n 项和1n n T n =+. ………………………… 13分 17.（本小题满分13分） （Ⅰ）解：因为2()af x x x=+是奇函数． 所以()()f x f x -=-，其中x ∈R 且0x ≠. ………………………… 2分 即22a ax x x x -+=--, 其中x ∈R 且0x ≠. 所以0a =. ………………………… 6分 （Ⅱ）解：32()1af x x '=-. ………………………… 8分 因为()f x 在区间[2,)+∞上单调递增, 所以 32()10af x x '=-≥在[2,)+∞上恒成立，………………………… 9分 即312a x ≤在[2,)+∞上恒成立， 因为312y x =在[2,)+∞上的最小值min 4y =， 所以 4a ≤．验证知当4a ≤时，()f x 在区间[2,)+∞上单调递增. ………………………… 13分 18.（本小题满分13分）解：设仓库地面的长为(0) m x x >，宽为(0)m y y >，则有375xy =，所以25y x=． ………………………… 2分则仓库屋顶的面积为2m xy ，墙壁的面积为26()m x y +．所以仓库的总造价5004006()W xy x y =+⨯+， ………………………… 5分 将25y x =代入上式，整理得25125002400()W x x=++． ………………………… 7分 因为0x >，所以25125002400()12500240036500W x x =++≥+⨯=， ………………… 10分 且当25x x =，即5x =时，W 取得最小值36500． 此时255y x==． ………………………… 12分答：当仓库地面的长为5 m ，宽为5 m 时，仓库的总造价最低，最低造价为36500元. ………… 13分 19.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：函数()f x 的定义域是{|0}x x >. ………………………… 1分对()f x 求导数，得22(2)()2(2)a x a x af x x a x x-++'=-++=. ………………………… 3分由题意，得0a >，且()1f a '=，解得2a =. ………………………… 5分 （Ⅱ）解：由()0f x '=，得方程22(2)0x a x a -++=，一元二次方程22(2)0x a x a -++=存在两解11x =，22ax =， ………………………… 6分 当20x ≤时，即当0a ≤时，随着x 的变化，()f x 与()f x '的变化情况如下表：即函数()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增.所以函数()f x 在1x =存在极小值(1)1f a =--； ………………………… 8分当201x <<时，即当02a <<时，随着x 的变化，()f x 与()f x '的变化情况如下表：即函数()f x 在(0,)2，(1,)+∞上单调递增，在(,1)2上单调递减.所以函数()f x 在1x =存在极小值(1)1f a =--，在2ax =存在极大值2()ln 224a a a f a a =--；………………………… 10分 当21x =时，即当2a =时，因为22(1)()0x f x x-'=≥（当且仅当1x =时等号成立）， 所以()f x 在(0,)+∞上为增函数，故不存在极值； …………………………12分当21x >时，即当2a >时，随着x 的变化，()f x 与()f x '的变化情况如下表：即函数()f x 在(0,1)，(,)2+∞上单调递增，在(1,)2上单调递减.所以函数()f x 在1x =存在极大值(1)1f a =--，在2ax =存在极小值2()ln 224a a a f a a =--；综上，当0a ≤时，函数()f x 存在极小值(1)1f a =--，不存在极大值；当02a <<时，函数()f x 存在极小值(1)1f a =--，存在极大值 2()ln 224a a a f a a =--；当2a =时，函数()f x 不存在极值；当2a >时，函数()f x 存在极大值(1)1f a =--，存在极小值2()ln 224a a a f a a =--.…………………………14分20.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：因为21123+222(221)n n n n a a a a n b -+++=⋅-+，所以111(221)a b =-+，2212+2(2221)a a b =⋅-+，解得 1a b =，22a b =. ………………………… 3分（Ⅱ）证明：当2n ≥时，由21123+222(221)n n n n a a a a n b -+++=⋅-+， ○1得22111231+222[(1)221]n n n n a a a a n b ----+++=-⋅-+， ○2将○1，○2两式相减，得 1112(221)[(1)221]n n n n n n a n b n b ---=⋅-+--⋅-+,化简，得n a nb =，其中2n ≥. ………………………… 5分因为1a b =，所以 n a nb =，其中*n ∈N . ………………………… 6分因为 11222(2)2n n n n a a a ba n ---==≥为常数，所以数列{2}n a 为等比数列. ………………………… 8分（Ⅲ）解：由（Ⅱ），得22n na b =， ………………………… 9分所以248211(1)111111111122(1)1242212n n n na a a ab bb b b -++++=+++=⨯=--， ……… 11分 又因为111a b=， 所以不等式24821111n a a a a ++++1c a >化简为11(1)2n c b b ->，当0b >时，考察不等式11(1)2n cb b ->的解， 由题意，知不等式112nc ->的解集为*{|3,}n n n ≥∈N ，因为函数11()2xy =-在R 上单调递增，所以只要求 3112c ->且2112c -≤即可，解得3748c ≤<； ………………………… 13分当0b <时，考察不等式11(1)2n cb b->的解，由题意，要求不等式112n c -<的解集为*{|3,}n n n ≥∈N ，因为23111122-<-，所以如果3n =时不等式成立，那么2n =时不等式也成立， 这与题意不符，舍去. 所以0b >，3748c ≤<. ………………………… 14分。
北京市海淀区2023-2024学年高二上学期期末练习数学试卷含答案
海淀区高二年级练习数学（答案在最后）2024.01考生须知1．本试卷共7页，共3道大题，19道小题．满分100分．考试时间90分钟．2．在试卷上准确填写学校名称、班级名称、姓名．3．答案一律填涂或书写在试卷上，用黑色字迹签字笔作答．4．考试结束，请将本试卷交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.椭圆C ：2222x y +=的焦点坐标为（）A.(1,0)-，(1,0) B.(0,1)-，(0,1)C.()，)D.(0,，(【答案】B 【解析】【分析】先化为标准方程2212y x +=，求得222,1,1a b c ====，判断焦点位置，写焦点坐标.【详解】因为椭圆C ：2222x y +=，所以标准方程为2212y x +=，解得222,1,1a b c ===，因为焦点在y 轴上，所以焦点坐标为(0,1)-，(0,1).故选：B【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.2.抛物线2y x =的准线方程是（）A.12x =-B.14x =-C.12y =-D.14y =-【答案】B 【解析】【分析】由抛物线的标准方程及性质，直接求解.【详解】由抛物线方程2y x =可知1212p p ==，，故准线方程为：124p x =-=-.故选：B.3.直线310x ++=的倾斜角是（）A.30°B.60°C.120°D.150°【答案】C 【解析】【分析】先求解出直线的斜率，然后根据倾斜角与斜率的关系求解出倾斜角的大小.【详解】因为直线方程为310x +=，所以斜率k ==设倾斜角为θ，所以tan θ=，所以120θ=°，故选：C.4.已知点P 与(0,2),(1,0)A B -共线，则点P 的坐标可以为（）A.(1,1)- B.(1,4)C.1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭D.(2,1)-【答案】B 【解析】【分析】三点共线转化为向量共线，利用共线条件逐个判断即可.【详解】设(,)P x y ，则(,2),(1,2)AP x y AB =-=--，由,,P A B 三点共线，则//AP AB，所以2(2)0x y -+-=，则220x y -+=.选项A ，21(1)250⨯--+=≠，不满足220x y -+=，故A 错误；选项B ，21420⨯-+=，满足220x y -+=，故B 正确；选项C ，12(1)2202⎛⎫⨯---+=≠ ⎪⎝⎭，不满足220x y -+=，故C 错误；选项D ，2(2)1230⨯--+=-≠，不满足220x y -+=，故D 错误.故选：B.5.已知P 为椭圆222:14x y C b+=上的动点．(1,0),(1,0)A B -，且||||4PA PB +=，则2b =（）A.1B.2C.3D.4【答案】C 【解析】【分析】根据题意，结合椭圆的定义，得到点P 的轨迹表示以,A B 为焦点的椭圆，进而求得2b 的值.【详解】因为(1,0),(1,0)A B -，可得2AB =，则||||42A PA PB B +>==，由椭圆的定义，可得点P 的轨迹表示以,A B 为焦点的椭圆，其中24,21a c ==，可得2,1a c ==，所以2223b a c =-=，又因为点P 在椭圆222:14x y C b+=，所以23b =.故选：C.6.已知三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A ⊥底面ABC ，则“1CB BB ⊥”是“CB AB ⊥”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】由面面垂直的性质定理可证明“1CB BB ⊥”是“CB AB ⊥”的必要条件，由底面为正三角形的直三棱柱模型，可知“1CB BB ⊥”不是“CB AB ⊥”的充分条件.【详解】①已知侧面11ABB A ⊥底面ABC ，且侧面11ABB A 底面ABC AB =，又BC ⊂平面ABC ，若BC AB ⊥，则由面面垂直的性质定理可得BC ⊥平面11ABB A ，1BB ⊂平面11ABB A ，则1CB BB ⊥，所以则“1CB BB ⊥”是“CB AB ⊥”的必要条件；②若三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，底面ABC 是正三角形，则1BB ⊥底面ABC ，1BB ⊂平面11ABB A ，则满足条件侧面11ABB A ⊥底面ABC .又BC ⊂平面ABC ，则1CB BB ⊥，但BC 与AB 不垂直.所以“1CB BB ⊥”不是“CB AB ⊥”的充分条件.综上所述，“1CB BB ⊥”是“CB AB ⊥”的必要不充分条件.故选：B.7.在空间直角坐标系O xyz -中，点(2,3,1)-P 到x 轴的距离为（）A.2B.3C.D.【答案】D 【解析】【分析】结合空间直角坐标系，数形结合利用勾股定理求解点(2,3,1)-P 到x 轴的距离.【详解】在空间直角坐标系O xyz -中，过P 作PH ⊥平面xOy ，垂足为H ，则PH x ⊥轴，在坐标平面xOy 内，过H 作1HP x ⊥轴，与x 轴交于1P ，由(2,3,1)-P ，则1(2,0,0)P -，(2,3,0)H -，由1PH HP H = ，PH ⊂平面1PHP ，1HP ⊂平面1PHP ，则x 轴⊥平面1PHP ，1PP ⊂平面1PHP ，则x 轴1PP ⊥，故1PP即点(2,3,1)-P 到x 轴的距离，则1PP ==故选：D.8.已知双曲线222:1y C x b-=的左右顶点分别为12,A A ，右焦点为F ，以1A F 为直径作圆，与双曲线C 的右支交于两点,P Q ．若线段PF 的垂直平分线过2A ，则2b 的数值为（）A.3B.4C.8D.9【答案】C 【解析】【分析】由双曲线方程得1a =，结合圆的性质及线段垂直平分线的性质得2A 是1A F 的中点，得到,a c 关系求c ，进而求出2b .【详解】由双曲线222:1y C x b-=，得1a =，12(1,0),(1,0),(,0)A A F c -，由题意，点P 在以1A F 为直径的圆上，则1A P PF ⊥，取PF 的中点M ,由线段PF 的垂直平分线过2A ，则2A M PF ⊥，则12//A P A M ，故2A 是1A F 的中点，122A A A F=且12222,1A A a A F c a c ===-=-，所以12c -=，解得3c =，故222918b c a =-=-=.故选：C.9.设动直线l 与()22:15C x y ++= 交于,A B 两点．若弦长AB 既存在最大值又存在最小值，则在下列所给的方程中，直线l 的方程可以是（）A.2x y a +=B.2ax y a +=C.2ax y +=D.x ay a+=【答案】D 【解析】【分析】由动直线恒与圆相交得直线过圆内一定点，再验证弦长取最值即可.【详解】()22:15C x y ++= ，圆心(1,0)C -，半径5r =，选项A ，由直线2x y a +=斜率为12-，可得动直线为为平行直线系，圆心(1,0)C -到直线20x y a +-=的距离15a d --=当6a ≤-或4a ≥时，5d ≥A 错误；选项B ，由直线2ax y a +=可化为(2)0a x y -+=，则直线恒过(2,0)，因为()2215+>，点(2,0)在圆外，故直线不一定与圆相交，故B 错误；选项C ，由直线2ax y +=恒过(0,2)，点(0,2)在圆上，当12a =时，直线方程可化为240x y +-=，此时圆心(1,0)C -到直线240x y +-=的距离1455d r --===，圆与直线相切，不满足题意，故C 错误；选项D ，由直线方程x ay a +=可化为(1)0x a y +-=，则直线恒过(0,1)M ，且点M 在圆C 内，故直线恒与圆C 相交，当直线过圆心C 时，弦长最长，由(1,0)-在直线(1)0x a y +-=上，可得1a =-，AB 取到最大值；如图，取AB 中点T ，则CT AB ⊥，圆心到直线的距离d CT CM=≤AB ==，当d 取最大值CM 时，弦长最短，即当直线与CM 垂直时，弦长最短，由CM 的斜率为01110CM k -==--此时直线斜率为11k a==，即当1a =时，AB 取到最小值.故D 正确.故选：D.10.如图，已知菱形ABCD 的边长为2，且60,,A E F ∠=︒分别为棱,AB DC 中点．将BCF △和ADE V 分别沿,BF DE 折叠，若满足//AC 平面DEBF ，则线段AC 的取值范围为（）A. B. C.2,⎡⎣ D.2,⎡⎣【答案】A 【解析】【分析】借助空间直观想象，折叠前在平面图形中求出AC 的长度，折叠过程中证明平面//EAB 平面FDC ，面面距离即为AC 的最小值，由此得到AC 的范围.【详解】折叠前，连接,AC BD .由题意，在菱形ABCD 中，2AB BC ==，18060120ABC ∠=-= ，则由余弦定理得，22212cos 44222122AC AB BC AB BC ABC ⎛⎫=+-⋅∠=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以，AC =，故在折叠过程中，AC ≤.折叠后，若//AC 平面DEBF ，则AC ⊄平面DEBF ，则AC <BD 项错误；折叠前，在菱形ABCD 中，2BA BD ==，60DAB ∠= ，则ABD △是正三角形，由,E F 分别为棱,AB DC 中点，则,,//DE AB BF DC AB DC ⊥⊥，所以//DE BF .折叠后，,,DE AE DE EB AE EB E ⊥⊥= ，又AE ⊂平面EAB ，且EB ⊂平面EAB ，则DE ⊥平面EAB ，同理BF ⊥平面FDC ，所以平面//EAB 平面FDC ，则平面EAB 与平面FDC 的距离即为22DE =⨯=，由点A ∈平面EAB ，点C ∈平面FDC ，则AC ≥.在折叠过程中，当60DFC AEB ∠=∠= 时，由,AE EB DF FC ==，则,EBA DFC 均为正三角形，可构成如图所示的正三棱柱DFC EBA -，满足//AC 平面DEBF ，此时AC DE ==.所以AC A 正确，C 项错误.故选：A.第二部分（非选择题共60分）二、填空题共5小题，每小题4分，共20分．11.双曲线22:14y C x -=的渐近线方程为_________．【答案】2y x =±【解析】【分析】利用双曲线的性质即可求得渐近线方程.【详解】由双曲线的相关知识可知：1a =，2b =所以焦点在x 轴双曲线的渐近线方程为：2by x x a=±=±故答案为：2y x=±12.如图，已知E ，F 分别为三棱锥D ABC -的棱,AB DC 的中点，则直线DE 与BF 的位置关系是__________（填“平行”，“异面”，“相交”）．【答案】异面【解析】【分析】假设共面推出矛盾.【详解】假设直线,DE BF 共面，EB ⊂平面DEBF ，由A EB ∈，则AB ⊂平面DEBF ，同理，DC ⊂平面DEBF ，故,AB CD 共面，这与D ABC -是三棱锥矛盾，故假设错误，故直线,DE BF 异面.故答案为：异面.13.经过点(0,1)A 且与直线:210l x y +-=垂直的直线方程为_______________．【答案】210x y -+=【解析】【分析】求出所求直线的斜率，利用点斜式方程可得出所求直线的方程.【详解】直线:210l x y +-=的斜率为12-，则与直线:210l x y +-=垂直的直线的斜率为2，则直线方程为12(0)y x -=-，即210x y -+=.故答案为：210x y -+=14.作为我国古代称量粮食的量器，米斗有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征，带有浓郁的民间文化韵味．右图是一件清代老木米斗，可以近似看作正四棱台，测量得其内高为12cm ，两个底面内棱长分别为18cm 和9cm ，则估计该米斗的容积为__________3cm ．【答案】2268【解析】【分析】先画出正四棱台的直观图，再利用台体的体积公式即可求解.【详解】根据题意，正四棱台的直观图如下：由题意可知，高112cm OO h ==，下底面正方形的变长9cm AB =，其面积()219981cmS =⨯=，上底面正方形的变长18cm AB =，其面积()221818324cm S =⨯=，由台体的体积公式可得，该正四面体的体积:()()()3121181324122268cm 33V S S h =++=⨯++⨯=.故该米斗的容积为32268cm .故答案为：2268.15.已知四边形ABCD 是椭圆22:12x M y +=的内接四边形，其对角线AC 和BD 交于原点O ，且斜率之积为13-．给出下列四个结论：①四边形ABCD 是平行四边形；②存在四边形ABCD 是菱形；③存在四边形ABCD 使得91AOD ∠=︒；④存在四边形ABCD 使得2264||||5AC BD +=．其中所有正确结论的序号为__________．【答案】①③④【解析】【分析】利用椭圆的对称性判断①；利用菱形的对角线互相垂直可判断②；利用正切函数的和差公式与性质判断③；利用斜率关系得到22||||OA OB +的表达式，然后利用基本不等式求22||||AC BD +的最大值，可判断④.【详解】因为四边形ABCD 是椭圆22:12x M y +=的内接四边形，AC 和BD 交于原点O ，由椭圆的对称性可知OA OC =且OB OD =，所以四边形ABCD 是平行四边形，故①正确；假设对角线AC 和BD 的斜率分别为12,k k ，若四边形ABCD 是菱形，则其对角线互相垂直，即121k k ×=-，而这与1213k k ⋅=-矛盾，所以不存在四边形ABCD 是菱形，故②错误；不妨设直线AC 的倾斜角为α，直线BD 的倾斜角为β，且αβ>，则12tan ,tan 0k k αβ==>，又1213k k ⋅=-，则1213k k =-，则()122122tan tan 31tan tan 1tan tan 123k k AOD k k k k αβαβαβ⎛⎫--∠=-===-- ⎪++⎝⎭3tan1202≤-⨯=︒，又0180AOD ︒<∠<︒，则90120AOD ︒<∠<︒，所以存在四边形ABCD 使得91AOD ∠=︒，故③正确；直线AC 的方程1y k x =，直线BD 的方程2y k x =，由12212y k xx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()22122x k x +=，即122122k x =+，可得1222212A C x k x =+=，同理可得2222212B D x k x =+=，则()()22122222221212212111||221212121k kOA OB k k k k +++=+=++++++，由1213k k ⋅=-，得222119k k =，令()22121,09k t k t t==>，则22211119||||222221199t t t ttOA OB +=+++++=+++()()()92221123321922192t t t t t t +-+-=++=+++++2552181321813116333355t t t t t ++++=+=+≤++=，当且仅当218t t =，即221211,33t k k ===时，等号成立；于是()()()22222264||224||5AC BD OA OB OA OB +=+=+≤，当且仅当221213k k ==，即四边形ABCD 矩形时，等号成立，所以存在四边形ABCD 使得2264||||5AC BD +=，故④正确.故答案为：①③④.【点睛】关键点睛：本题结论④的解决关键是利用弦长公式得到22||||AC BD +关于t 的表达式，从而利用基本不等式即可得解.三、解答题共4小题，共40分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．16.已知圆222:(2)(0)C x y r r -+=>与y 轴相切．（1）直接写出圆心C 的坐标及r 的值；（2）直线:3410l x y --=与圆C 交于两点,A B ，求||AB ．【答案】（1）圆心(2,0)C ，2r =（2）【解析】【分析】（1）由圆的方程得圆心坐标，结合图形，圆与y 轴相切得半径；（2）法一由弦长公式求解；法二利用几何法勾股定理求解.【小问1详解】圆222:(2)(0)C x y r r -+=>，则圆心(2,0)C ，因为圆222:(2)(0)C x y r r -+=>与y 轴相切，则半径2r =.【小问2详解】由（1）知，圆的方程为22:(2)4C x y -+=，圆心(2,0)C ，半径为2.法一：设()()1122,,,A x y B x y ，联立()22341024x y x y --=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，得2257010x x -+=，2(70)42548000∆=--⨯=>，则1212141,525x x x x +==，所以12AB x=-===法二：圆心(2,0)C到直线:3410l x y--=的距离12d==<，则AB===故AB=.17.已知直线:1l y kx=+经过抛物线2:2C x py=的焦点F，且与C的两个交点为P，Q．（1）求C的方程；（2）将l向上平移5个单位得到,l l''与C交于两点M，N．若24MN=，求k值．【答案】（1）24x y=（2）k=【解析】【分析】（1）由直线l与y轴交点得焦点F，待定p可得方程；（2）联立直线l'与抛物线C的方程，由已知弦长利用弦长公式建立关于k的方程，求解可得.【小问1详解】抛物线2:2C x py=的焦点F在y轴上，直线:1l y kx=+，令0x=，得1y=，则焦点(1,0)F，所以12p=，即2p=，所以抛物线C的方程为24x y=；【小问2详解】直线:1l y kx=+向上平移5个单位得到:6l y kx'=+，由246x y y kx ⎧=⎨=+⎩，消y 得24240x kx --=，设直线l '与C 交于两点1122(,),(,)M x y N x y ，则216960k ∆=+>，且12124,24x x k x x +==-，MN =====，由24MN =，化简整理得427300k k +-=，解得210k =-（舍）或23k =，所以k =.18.如图，四棱锥E ABCD -中，⊥AE 平面,,,2,1ABCD AD AB AD BC AE AB BC AD ⊥====∥，过AD 的平面分别与棱,EB EC 交于点M ，N ．（1）求证：AD MN ∥;（2）记二面角A DN E --的大小为θ，求cos θ的最大值．【答案】（1）证明见解析（2）33【解析】【分析】（1）由线面平行判定定理与性质定理可证；（2）建立空间直角坐标系，设[],0,1BM BE λλ=∈，利用法向量方法，用λ表示两平面法向量夹角的余弦，再由向量夹角与二面角大小关系求cos θ最大值.【小问1详解】因为//AD BC ，AD ⊄平面BCE ，BC ⊂平面BCE ，所以//AD 平面BCE .因为过AD 的平面分别与棱,EB EC 交于,M N ，所以//AD MN ；【小问2详解】因为⊥AE 平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以,AE AB AE AD ⊥⊥，又因为AB AD ⊥，如图，建立空间直角坐标系A xyz -，则(2,0,0),(2,0,2),(0,2,0),(0,0,1)B C E D ，所以(0,2,1),(2,2,2),(2,2,0),(0,0,1)ED EC BE AD =-=-=-=，设[],0,1BM BE λλ=∈，则(2,0,0)(2,2,0)(22,2,0)AM AB BM λλλ=+=+-=-，设平面AND 即平面AMND 的法向量为111(,,)m x y z =，则1110(22)20m AD z m AM x y λλ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令1x λ=，则11y λ=-，于是(,1,0)m λλ=-；设平面END 即平面ECD 的法向量为222(,,)n x y z =，则22222202220n ED y z n EC x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令21y =，则222,1z x ==-，于是(1,1,2)n =-，所以cos ,m nm n m n ⋅===⋅，因为[]0,1λ∈，所以cos ,,36m n ⎡∈--⎢⎣⎦，由二面角A DN E --的大小为θ，根据(,1,0),(1,1,2)m n λλ=-=- 的方向判断可得π,m n θ=-，所以，当12λ=时，cos θ的最大值为33.19.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的两个顶点分别为(2,0),(2,0)A B -，离心率()()0001,,02e P x y y =≠为椭圆上的动点，直线,PA PB 分别交动直线x t =于点C ，D ，过点C 作PB 的垂线交x 轴于点H ．（1）求椭圆E 的方程；（2）HC HD ⋅是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由．【答案】19.22143x y +=20.存在；12【解析】【分析】（1）由离心率及顶点坐标结合222b c a +=即可求解；（2）结合两点式得直线,PA PB 方程，进而得到点,C D 坐标，由直线CH 与直线PB 垂直得到直线CH 的斜率，结合点斜式得直线CH 的方程，进而的到点H 坐标，结合数量积的坐标运算及二次函数的最值即可求解.【小问1详解】由12ce a==，又两个顶点分别为(2,0),(2,0)A B -，则2,1a c ==，2223b a c =-=，故椭圆E 的方程为22143x y +=；【小问2详解】()()000,0P x y y ≠为椭圆上的动点，则02x ≠±，故直线,PA PB 的斜率存在且不为0，则直线PA ：0022y x y x +=+，即00(2)2y y x x =++，则点00(,(2))2y C t t x ++，则直线PB ：0022y x y x -=-，即00(2)2y y x x =--，则点00(,(2))2y D t t x --，则直线CH 的斜率为002x y -，故直线CH ：00002(2)()2y x y t x t x y --+=-+，令0y =,得2020(2)4H t y x t x +=+-，又()00,P x y 在椭圆上，则2200143x y +=，整理得()2020344x y -=，所以36(2)44H t x t t -=-+=，则6,04t H -⎛⎫⎪⎝⎭，所以()22200020004(2)(2)3636(36),,4242164t y t y t y t t t HC HD x x x -⎛⎫⎛⎫+-+++⋅=⋅=+ ⎪ ⎪+--⎝⎭⎝⎭ ()22234(36)3(6)1216416t t t -+-=-=-+综上，存在6t =，使得HC HD ⋅有最大值12.确，运算要细心，是中档题.。
北京市西城区(北区)2011-2012学年高二下学期期末考试 数学(理科)试题
北京市西城区（北区）2011 — 2012学年度第二学期学业测试高二数学（理科）试卷满分：150分 考试时间：120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. i 是虚数单位，复数2i1i-+等于（ ） A. 13i +B. 13i -C.13i 22+ D.13i 22- 2. 甲、乙两个气象台同时做天气预报，如果它们预报准确的概率分别为0.8与0.7，且预报准确与否相互独立. 那么在一次预报中这两个气象台的预报都不准确的概率是（ ）A. 0.06B. 0.24C. 0.56D. 0.943. 函数()f x =4x =处的切线方程是（ ）A. 20x y -=B. 20x y --=C. 440x y -+=D. 440x y +-=4. 用0,1,2,3组成没有重复数字的四位数，其中奇数有（ ） A.8个B. 10个C. 18个D. 24个5. 如图，阴影区域是由函数sin y x =的一段图象与x 轴围成的封闭图形，那么这个阴影区域的面积是（ ）A.1B. 2C.π2D.π6. 已知函数2()()af x x a x=+∈R 在区间[2,)+∞上单调递增，那么实数a 的取值范围是（ ）A. (,4)-∞B. (,4]-∞C. (,8)-∞D. (,8]-∞7. 乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制（即先胜4局者获胜，比赛结束），假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同，那么甲以4比2获胜的概率为（ ）A.564B.1564C.532D.5168. 设函数)(x f 的定义域为R ，如果存在函数()(g x ax a =为常数），使得)()(x g x f ≥对于一切实数x 都成立，那么称)(x g 为函数)(x f 的一个承托函数. 已知对于任意(0,1)k ∈，()g x ax =是函数()e xkf x =的一个承托函数，记实数a 的取值范围为集合M ，则有（ ）A. 1e ,e M M -∉∉ B. 1e ,e M M -∉∈ C. 1e ,e M M -∈∉ D. 1e ,e M M -∈∈二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 在5(12)x +的展开式中，2x 的系数等于________。
2022-2023学年北京市第十二中学高二上学期期末数学试题(解析版)
2022-2023学年北京市第十二中学高二上学期期末数学试题一、单选题1．一个袋中装有大小、质地相同的3个红球和3个黑球，从中随机摸出3个球，设事件A =“至少有2个黑球”，下列事件中，与事件A 互斥而不互为对立的是（ ） A ．都是黑球 B ．恰好有1个黑球 C ．恰好有1个红球 D ．至少有2个红球【答案】B【分析】利用对立事件、互斥事件的定义直接求解即可．【详解】解：从装有大小和质地完全相同的3个红球和3个黑球的口袋内任取3个球， 在A 中，至少有2个黑球和都是黑球能同时发生，不是互斥事件，故A 错误，在B 中，至少有2个黑球和恰有1个黑球不能同时发生，是互斥而不对立事件，故B 正确， 在C 中，至少有2个黑球和恰有1个红球能同时发生，不是互斥事件，故C 错误， 在D 中，至少有2个黑球和至少有2个红球事件不能同时发生，是对立事件，故D 错误． 故选：B ．2．若向量(1,1,),(1,2,1),(1,1,1)a b c λ=-=-=，满足条件()1c a b -⋅=-，则λ=（ ） A ．1- B ．2- C ．1 D ．2【答案】B【分析】首先通过向量的减法的坐标运算可得()(0,2,1)c a λ-=-，再通过数量积运算即可得解. 【详解】根据向量的运算可得： ()(0,2,1)c a λ-=-，所以()012(2)(1)1c a b λ-⋅=⨯+⨯-+-⨯4131λλ=-+-=--=-，所以2λ=-， 故选：B3．椭圆2221x y +=的焦点坐标为（ ） A ．12(1,0),(1,0)F F - B ．12(0,1),(0,1)F F -C ．12,F F ⎛⎫⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭D ．120,,F F ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭【答案】D【分析】根据题意可得22112x y +=，故该椭圆焦点在y 轴上，2211,2a b ==，求得22212c a b =-=即可得解.【详解】由2221x y +=可得22112x y +=，故该椭圆焦点在y 轴上，2211,2a b ==， 所以22212c a b =-=，22c =， 故焦点坐标为12220,,0,22F F ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：D4．为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ） A ．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6% B ．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10% C ．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D ．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间 【答案】C【分析】根据直方图的意义直接计算相应范围内的频率，即可判定ABD,以各组的中间值作为代表乘以相应的频率，然后求和即得到样本的平均数的估计值，也就是总体平均值的估计值，计算后即可判定C.【详解】因为频率直方图中的组距为1，所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为0.020.040.066%+==,故A 正确； 该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为0.040.0230.1010%+⨯==,故B 正确； 该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为0.100.140.2020.6464%50%++⨯==>,故D 正确；该地农户家庭年收入的平均值的估计值为30.0240.0450.1060.1470.2080.2090.10100.10110.04120.02130.02140.027.6⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(万元)，超过6.5万元，故C 错误. 综上，给出结论中不正确的是C. 故选：C.【点睛】本题考查利用样本频率直方图估计总体频率和平均值，属基础题，样本的频率可作为总体的频率的估计值，样本的平均值的估计值是各组的中间值乘以其相应频率然后求和所得值，可以作为总体的平均值的估计值.注意各组的频率等于⨯频率组距组距. 5．已知12,F F 是双曲线22146x y-=的两个焦点，点P 在双曲线上，若15PF =，则2PF =（ ）A ．1或9B ．3或7C ．9D ．7【答案】C【分析】由题知点P 在双曲线左支上，进而根据双曲线的定义求解即可；【详解】解：由题知，2,a b c ===因为P 在双曲线上，且152PF a c =<+=所以，点P 在双曲线左支上，由双曲线定义知2124PF PF a -==，故29PF =； 所以，29PF = 故选：C6．在空间直角坐标系中，已知三点(0,0,0),(1,2,1),(1,1,0)O A B -，若点C 在平面OAB 内，则点C 的坐标可能是（ ） A ．(1,1,3)-- B ．(3,0,1)C ．(1,1,2)D ．(1,1,2)-【答案】B【分析】根据向量的运算可得(1,2,1)OA =，(1,1,0)OB =-，由OA ，OB 不共线，结合向量基本定理可得(,2,)OC OA OB λμλμλμλ=+=+-，求得C 点坐标为(,2,)λμλμλ+-，代入验算即可得解. 【详解】由(1,2,1)OA =，(1,1,0)OB =-，显然OA ，OB 不共线，根据向量基本定理可得(,2,)OC OA OB λμλμλμλ=+=+-， 故C 点坐标为(,2,)λμλμλ+-， 经验算只有B 选项符合条件， 此时1,2λμ==， 故选：B7．2||12x y y -=-表示的曲线为（ ） A ．两个半圆 B ．一个圆 C ．半个圆 D ．两个圆【答案】A【分析】去方程中的绝对值符号，平方整理，再分类讨论方程表示的曲线即可得解. 【详解】依题意，||10x -≥，则有1x ≤-或1x ≥，当1x ≤-时，2222||1211(1)(1)(1)1x y y x y x y -=-⇔--=--⇔++-=， 此时方程表示以点O 2(-1，1)为圆心，1为半径的圆在直线x =-1及左侧的半圆， 当1x ≥时，2222||1211(1)(1)(1)1x y y x y x y -=-⇔-=--⇔-+-=， 此时方程表示以点O 1(1，1)为圆心，1为半径的圆在直线x =1及右侧的半圆， 如图，2||12x y y -=-.故选：A8．已知点A ，B 是椭圆2222:1(0)x y W a b a b+=>>长轴上的两个顶点，点P 在椭圆上（异于A ，B 两点），若直线,PA PB 斜率之积为43a ca -，则椭圆的离心率为（ ） A ．13B ．14C ．23D ．34【答案】C【分析】根据题意可设P 点坐标为(,)m n ，则22221m n a b +=，即22222a n m a b-=-，由(,0),(,0)A a B a -，则2222243PA PBn n n b a ck k m a m a m a a a-⋅=⋅==-=+--，整理解方程即可. 【详解】设P 点坐标为(,)m n ，则22221m n a b +=，22222a n m a b-=-，不妨设(,0),(,0)A a B a -， 则22222222243PA PBn n n n b a ck k a n m a m a m a a a b-⋅=⋅===-=+---， 整理可得223440c ac a +-=，即23e 4e 40+-=，23e =或2e =-（舍）， 故选：C9．已知圆22:(7)(1)2C x y -+-=和两点(0,),(0,)(0)A a B a a ->，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，则a 的最大值为（ ）A．B．C．D．【答案】C【分析】以AB 为直径的圆与圆C 有公共点，进而根据圆与圆的位置关系求解即可. 【详解】解：因为圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=， 所以，以AB 为直径的圆与圆C 有公共点，因为以AB 为直径的圆的方程为222:O x y a +=，圆心为()0,0O ，r a = 因为圆C 的圆心为()7,1C，半径为R =所以r R OC r R -≤=+，即r R r R -≤+，所以，R r R ≤≤，即a ≤≤所以，a的最大值为故选：C10．如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是11D C 的中点，F 是侧面11ADD A 的中心，则F 到平面1EB C 的距离为（ ）A 26B 10C ．32D 3【答案】A【分析】连接1A D ，证明1//A D 平面1CEB ，进而将其转化为D 到平面1EB C 的距离，再根据等体积法求解即可.【详解】解：连接1A D ，因为F 是侧面11ADD A 的中心， 所以1F A D ∈，因为，由正方体的性质知1111//,A B CD A B CD =， 所以，11A B CD 是平行四边形， 所以11//A D CB ，因为1A D ⊄平面1CEB ，1CB ⊂平面1CEB 所以1//A D 平面1CEB ，所以，F 到平面1EB C 的距离与D 到平面1EB C 的距离相等， 设D 到平面1EB C 的距离为h1CEB 中，115,22EB CE BC ==11225262CEB S =⨯-△ 因为111111133D EB C B E CEB C CED D V V S h S B C --==⋅⋅=△△，1136111423323CED S B C ⨯⨯===⋅△，解得266h =所以，F 到平面1EB C 26故选：A11．已知椭圆22:14x E y +=，直线l 与两个坐标轴分别交于点M ，N ．且与椭圆E 有且只有个公共点，O 是坐标原点，则OMN 面积的最小值是（ ） A ．2B ．4C ．2D ．2【答案】D【分析】根据题意首先设直线l 方程为y kx b =+，和椭圆方程联立结合韦达定理求得参数k 和b 之间的关系，利用面积公式结合基本不等式求最值即可得解. 【详解】若要直线l 与两个坐标轴分别交于点M ，N ， 则直线l 的斜率存在，故设直线l 方程为y kx b =+， 代入到椭圆方程2214x y +=可得222(41)8440k x kbx b +++-=，根据提意可得222222644(41)(44)6416160k b k b k b ∆=-+-=-+=， 所以2241k b +=，根据题意对方程y kx b =+，0,0k b ≠≠， 所以令0x =得y b =，令0y =得bx k=-，所以2211114111422222OMNb b k SOM ON b k k k k k+=⋅=⋅-===+ 111(4)422k k k k=+⋅=， 当且仅当14k k=时取等，所以OMN 面积的最小值是2. 故选：D12．设圆22:2O x y +=，直线:40l x y +-=，P 为l 上的动点．过点P 作圆O 的两条切线,PA PB ，切点为,A B ，给出下列四个结论：①当四边形OAPB 为正方形时，点P 的坐标为(2,2)②||PA 的取值范围为)+∞③当PAB 为等边三角形时，点P 坐标为(1,3) ④直线AB 恒过定点11,22⎛⎫⎪⎝⎭其中正确结论的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【分析】对于①，当四边形OAPB 为正方形时，利用||||||||OA OB AP BP ===，求出||2PO =，再设00(,)P x y ，利用004y x =-，解方程||2PO =，可知①不正确；对于②，设00(,)P x y ，利用004y x =-， ||AP ==||AP ≥②正确对于③，根据PAB 为等边三角形，可得30APO BPO ∠=∠=，||OP =P 的坐标，利用||OP =对于④，设出点P 的坐标，求出以||PO 为直径的圆的方程，利用两圆的方程相减得到公共弦AB 的方程，将12x y ==代入直线AB 的方程恒成立，可得答案. 【详解】对于①，当四边形OAPB 为正方形时，||||||||OA OB AP BP ===，又圆22:2O x y +=的圆心(0,0)O ，半径r =所以||2PO ==， 设点00(,)P x y ，则004y x =-，所以||PO ===2=，化简得200460x x -+=，该方程的判别式16240∆=-<，该方程无解，所以不存在点P 使得四边形OAPB 为正方形，故①不正确；对于②，由①可知，||AP ==≥PA 的取值范围为)+∞，故②正确； 对于③，设点00(,)P x y ，则004y x =-， 当PAB 为等边三角形时，可知60APB ∠=，又OP 平分APB ∠，所以30APO BPO ∠=∠=，在直角三角形PAO 中，由于||OA =所以||sin ||OA APO OP ∠=，即2sin30||OP =，所以||OP =又点00(,4)P x x -=化简得20(2)0x -=，解得02x =，所以0042y x =-=，则(2,2)P ，故③不正确；对于④，设点00(,)P x y ，则004y x =-，00(,4)P x x -，以||PO 为直径的圆的圆心为004(,)22x x -，半径为||2PO =所以以||PO 为直径的圆的方程为222200004(4)()()224x x x x x y -+--+-=， 化简得2200(4)0x y x x x y +---=，联立220022(4)02x y x x x y x y ⎧+---=⎨+=⎩，得00(4)2x x x y +-=， 所以直线AB 的方程为：00(4)2x x x y +-=，将12x y ==代入直线AB 的方程恒成立， 故直线AB 恒过定点11,22⎛⎫⎪⎝⎭，故④正确.所以正确的答案有2个， 故选：B.二、填空题13．一组数据按从小到大的顺序排列为1，4，4，x ，7，8（其中7x ≠），若该组数据的中位数是众数的54倍，则该组数据的第60百分位数是__________.【答案】6【分析】先求出众数，进而求得中位数，解出6x =，再由百分位数的求法求解即可. 【详解】由题意知，众数是4，则中位数为5454⨯=，则452x+=，解得6x =，又660% 3.6⨯=，则第60百分位数是6. 故答案为：6.14．过椭圆22143x y +=的焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得线段的长度为________．【答案】3【分析】根据题意即求通径大小，先求1c =，令1x =代入椭圆方程求得32y =±即可得解.【详解】由2221c a b =-=，故1c =， 不妨令1x =，代入22143x y +=可得294y =， 所以32y =±，故弦长为3.故答案为：315．已知直线12:210,:(1)10l x my l m x y --=--+=，若12l l //，则m =________． 【答案】2【分析】由题知()210m m -+-=，进而解方程并检验即可得答案. 【详解】解：因为直线12:210,:(1)10l x my l m x y --=--+=平行， 所以，()210m m -+-=，即220m m --=，解得：1m =-或2m = 当1m =-时，12:210,:210l x y l x y +-=--+=，显然重合，舍； 当2m =时，121:0,:102l x y l x y --=-+=，满足12l l //. 所以，2m = 故答案为：2 16．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>经过点P ⎫⎪⎝⎭，双曲线C 的离心率为53，则双曲线C 的焦点到其渐近线的距离为_______． 【答案】4【分析】利用已知条件先求出双曲线的标准方程，找出一个焦点和一条渐近线， 利用点到直线距离公式求解即可.【详解】由双曲线经过点P ⎫⎪⎝⎭，则222221a b ⎝⎭-=，① 双曲线离心率为：53c e a ==，②又222+=a b c ，③联立①②③解得：2229,16,25a b c ===， 所以双曲线标准方程为：221916x y -= 所以双曲线的一个焦点为()5,0， 一条渐近线为430x y -=，所以双曲线C 的焦点到其渐近线的距离为：4d ==，故答案为：4.17．已知椭圆22195x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆上的一点，且1260F PF ︒∠=，则21PF F 的面积是________． 【解析】根据椭圆的定义，得到12PF PF +的值，再由1260F PF ︒∠=，在21PF F 中，用余弦定理，求出12PF PF ，根据三角形面积公式，即可得出结果.【详解】根据椭圆定义，可得1226PF PF a +==，且椭圆的焦距为124F F ==，又1260F PF ︒∠=，在21PF F 中，由余弦定理，可得222121212121cos 22PF PF F F F PF PF PF +-∠==， 所以()22221121212122PF PF PF PF F F PF PF +--=， 即211236162122PF PF PF PF --=，所以21203PF PF =， 因此21PFF的面积是1221211120sin 223PF F S PF PF F PF =∠=⨯=. . 18．如图，在直三棱柱111ABC A BC 中，11AB BB ==，BC =90ABC ∠=︒，CH xCB =，1(01,01)CP yCB x y =<≤≤≤．记(,)f x y AH HP =+，给出下列四个结论：①对于任意点H ，都存在点P ，使得平面AHP ⊥平面11A B P ； ②(,)f x y 的最小值为3；③满足(,)3f x y =的点P 有无数个；④当(,)f x y 取最小时，过点A ，H ，P 作三棱柱的截面，则截面面积为154．其中所有正确结论的序号是________．【答案】①②③④【分析】过点H 作01HP B C ⊥，根据线面垂直判定定理，面面垂直判定定理证明平面0AHP ⊥平面110A B P ，由此判断①；作展开图，利用平面几何结论判断②，③；确定过点A ，H ，P 作三棱柱的截面，解三角形计算截面面积，判断命题④.【详解】因为三棱锥111ABC A B C 为直三棱锥，所以1BB ⊥平面111A B C ，又11A B ⊂平面111A B C ，所以111BB A B ⊥，又90ABC ∠=︒，所以11190A B C ∠=︒，所以1111A B B C ⊥， 1111BB B C B =，111,BB B C ⊂平面11BB C C ，所以11A B ⊥平面11BB C C ，对于任意点H ，过点H 作01HP B C ⊥，垂足为0P ，因为11A B ⊥平面11BB C C ，0HP ⊂平面11BB C C ，所以110A B HP ⊥，又1111B CA B B =，111,B C A B ⊂平面110A B P ，所以0HP ⊥平面110A B P ，又0HP ⊂平面0AHP ，所以平面0AHP ⊥平面110A B P ； 所以对于任意点H ，都存在点P ，使得平面AHP ⊥平面11A B P ；命题①正确；将ABC 绕BC 翻折到平面1BB C 内，则AH HP +的最小值为点A 到直线1B C 的距离，又11AB BB ==，3BC =，90ABC ∠=︒，190B BC ∠=，所以112AC CB AB ===，所以点A 到直线1B C 的距离为3，所以(,)f x y 的最小值为3；②正确；当(,)f x y 取最小时，P 为1B C 的中点，因为1AB C 为等边三角形，点B 为线段1AB 的中点，所以H 为1AB C 的重心，故13BH BC =，在平面11BCC B 中，延长HP 交11B C 于点M ，因为1PC PB =，11,PB M PCH B PM HPC ∠=∠∠=∠，所以1PB M PCH ≅，故123B M CH ==，取1B M 的中点Q ，N 为11A C 的中点，则1//MN AQ ，因为1//BH B Q ，1=BH B Q ，所以四边形1BB QH 为平行四边形，所以11//,HQ BB HQ BB =，又1111,//AA BB AA BB =，所以1//A Q AH ，所以//MN AH ，故过点A ，H ，P 的三棱柱的截面为梯形AHMN ，又2323133AH ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭，11323MN A Q ==， 22233MH MQ HQ =+=， 22112AN AA A N =+=，在下图中过点M 作MG AH ⊥，设,HG x AG y ==， 因为222MH HG AG =+，()222AN AG MN NG =-+， 所以22243x y MH +==，22323x y ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭， 所以36x =，52y =， 所以四边形AHNM 的面积35152224MN AH S AG +=⋅=⨯=， 故过点A ，H ，P 的截面面积为154．命题④正确；当52HB ≥时，32AH ≥，则12AH HP AH HB AH +≤+≤，在下图中过点H 作HR BC ⊥，垂足为R ，则AH HP AH HR +≥+， 又2AH HR AH HC +<+<，23AH ≥，故对于任意的点H ，当52HB ≥时，都存在对应的点P ，满足3AH HP +=，故满足(,)3f x y =的点P 有无数个；命题③正确；故答案为：①②③④.【点睛】对于求空间中的线段和的距离最小值的问题，一般通过转化为平面图形中的线段和问题加以解决.三、解答题19．为贯彻十九大报告中“要提供更多优质生态产品以满足人民日益增长的优美生态环境需要”的要求，某生物小组通过抽样检测植物高度的方法来检测培育的某种植物的生长情况，现分别从,,A B C 三块试验田中各随机抽取7株植物测量高度，数据如下表（单位：厘米）：假设所有植株的生产情况相互独立．从,,A B C 三组各随机选1株，A 组选出的植株记为甲，B 组选出的植株记为乙，C 组选出的植株记为丙． (1)求丙的高度小于15厘米的概率； (2)求甲的高度大于乙的高度的概率；(3)表格中所有数据的平均数记0μ．从,,A B C 三块试验田中分别再随机抽取1株该种植物，它们的高度依次14，16，15（单位：厘米）．这3个新数据与表格中的所有数据构成的新样本的平均数记为1μ，试比较0μ和1μ的大小．（结论不要求证明） 【答案】(1)27(2)1049(3)01μμ<【分析】（1）设事件i A 为“甲是A 组的第i 株植物”，事件i B 为“乙是B 组的第i 株植物”， 事件i C 为“甲是C 组的第i 株植物”，其中1,2,3,,7i =，设事件D 为“丙的高度小于15厘米”，利用互斥事件求出概率即可；（2）由（1）中的事件分析直接求出“甲的高度大于乙的高度” 的概率， （3）依题意分别计算出0μ和1μ比较即可.【详解】（1）设事件i A 为“甲是A 组的第i 株植物”，事件i B 为“乙是B 组的第i 株植物”，事件i C 为“甲是C 组的第i 株植物”，其中1,2,3,,7i =，由题意得：1()()(),1,2,3,,77i i i P A P B P C i ====，设事件D 为“丙的高度小于15厘米”， 由题知12D C C =⋃，且12,C C 互斥， 所以丙的高度小于15厘米的概率为： ()()()()1212112777P D P C C P C P C ==+=+=. （2）设事件E 为“甲的高度大于乙的高度”， 所以甲的高度大于乙的高度的概率为：()()()()()()()415161115262P E P A B P A B P A B P A B P A B P A B =+++++ ()()()()72637374P A B P A B P A B P A B ++++11111111117777777777=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 11111111117777777777+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 1110107749=⨯⨯=.（3）由题意得：01(1011121314151612131421μ=⨯+++++++++ 1516171813141516171819)14.67+++++++++++≈，11(1011121314151612131421μ=⨯+++++++++ 1516171813141516171819141615)14.71++++++++++++++≈，所以01μμ<.20．已知圆C 的圆心在直线30x y -=上，且经过点(1,3),(1,5)A B -． (1)求圆C 的标准方程；(2)过点(2,1)P 的直线l 与圆C 相交于,M N 两点，且||MN =l 的方程． 【答案】(1)()()22134x y -+-= (2)34100x y +-=或2x =【分析】（1）由已知设出圆心的坐标(),3a a ，再求出AB 的中点M ，利用AB CM ⊥求出a的值，进而可以求出圆心和半径，即可解决问题；（2）先判断直线的斜率是否存在，存在的话根据点斜式方程设出直线方程，求出圆心到直线的距离，然后利用2222MN R d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭求出直线的斜率即可解决问题.【详解】（1）因为圆C 的圆心在直线30x y -=上， 所以设圆C 的圆心为：(),3a a ， 由(1,3),(1,5)A B -， 所以AB 的中点()0,4M ， 由题知：AB CM ⊥， 所以1AB CM k k ⋅=-， 即()53341110a a --⋅=----，解得1a =，所以圆心为()1,3C ，半径2R AC ===所以圆C 的标准方程为：()()22134x y -+-=.（2）①当直线l 的斜率不存在时，因为直线l 过点(2,1)P ， 所以方程为：2x =，代入()()22134x y -+-=中解得：3y =±(()||33MN =-=满足题意；②当直线l 的斜率存在时，设直线l 方程为：1(2)210y k x kx y k -=-⇔--+=， 由圆心()1,3C 到直线l 的距离为：d ==由2222MN R d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以2222=+⎝⎭，解得：34k =-，所以直线l 的方程为：34100x y +-=， 综上，直线l 的方程为：34100x y +-=或2x =.21．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，60BCD ∠=︒，2PA PD ==，E 为BC 的中点，点Q 在侧棱PC 上.（1）求证：AD PB ⊥；.（2）若Q 是PC 的中点，求二面角E DQ C --的余弦值； （3）若PQPCλ=，当//PA 平面DEQ 时，求λ的值.【答案】（1）见解析；（221；（3）23λ=.【详解】分析：（1）先利用等腰三角形的“三线合一”和面面垂直的性质得到线面垂直，再利用菱形的对角线垂直得到线线垂直，进而建立空间直角坐标系，利用两直线的方向向量数量积为0进行求解；（2）先求出两平面的法向量，再利用法向量的夹角公式进行证明；（3）利用三点共线设出Q 的坐标，分别求出平面的法向量和直线的方向向量，利用两向量数量积为0进行求解. 详解：（1）取AD 的中点O ，连结OP ，OB ，BD ， ∵ PA PD =， ∴ PO AD ⊥，∵ 侧面PAD ⊥底面ABCD ， 平面PAD ⋂平面ABCD AD =， ∴ PO ⊥底面ABCD ，∵ 底面ABCD 是菱形，60BCD ∠=︒， ∴ BA BD =，BO AD ⊥，以O 为原点，分别以OA ，OB ，OP 方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系O xyz -， 由题意可得()0,0,0O ，()1,0,0A ，()3,0B ，()3,0C -，()1,0,0D -，()3,0E -，()0,0,1P ，()2,0,0AD =-，()0,3,1PB -，∵ ·0AD PB =，∴ AD PB ⊥.（2）由题意，12Q ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 设平面DQC 的一个法向量()1,,n x y z =，()DC =-，12DQ ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，由11·0·0n DC n DQ ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即0102x z ⎧-=+=，令x =1y =，z =(13,1,n =，又平面EDQ 的一个法向量()21,0,0n =， 由121212·21cos ,7n n n n nn ==⋅， 右图可知，二面角E DQ C --. （3）∵ PQ PC λ=，01λ<<， 易得()2,1Q λλ--，设平面DEQ 的一个法向量()3,,n xy z =， ()0,DE =，()2,1DQ λλ=-+-，由33·0·0n DE n DQ ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即()()02110x y z λλ⎧=⎪⎨-++-=⎪⎩，取21z λ=-，得()31,0,21n λλ=--， 又()1,0,1PA =-，∵ //PA 平面DEQ ，∴ 3·0PAn =， 即()()()11210λλ-+--=，得23λ=， 所以当23λ=时，//PA 平面DEQ . 点睛：本题考查空间中垂直的转化、空间向量在立体几何中的应用等知识，意在考查学生的空间想象能力和基本计算能力.22．已知椭圆W 以坐标轴为对称轴，且经过两点3(2,0),1,2A B ⎛⎫⎪⎝⎭．(1)求椭圆W 的方程；(2)设过点(2,1)P 的直线l 交椭圆W 于C D 、两点，过点D 作垂直于x 轴的直线，与线段AB 交于点M ，与AC 交于点E ，再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知．求||||MD ME 的值． 条件①：直线l 的斜率为1；条件②：直线l 过点B 关于y 轴的对称点； 条件③：直线l 过坐标原点O ． 【答案】(1)22143x y += (2)1【分析】（1）由题设()221,0,mx ny m o n m n +=>>≠，进而待定系数求解即可；（2）条件①：由题知直线l 的方程为1y x =-，进而联立方程221143y x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，设()()1122,,,C x y D x y 得121288,77x x x x +==-，再根据AB 方程为()322y x =--，AC 方程为()1122y y x x =--得()223,22M x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，()12212,2y x E x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，再计算2852x MD -=，()()()12158222x x ME x --=-，再结合韦达定理求比值即可；条件②：由题知，点B 关于y 轴的对称点为31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线l 的方程为1463y x =-+，进而结合①的方法求解即可；条件③：由题知直线l 的方程为12y x =，进而联立方程2212143y x x y ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得,D C ⎛⎭⎝⎭，再求得3M ⎫⎪⎭，E ，再求距离，比值即可. 【详解】（1）解：因为椭圆W 以坐标轴为对称轴，且经过两点3(2,0),1,2A B ⎛⎫⎪⎝⎭所以，设椭圆W 的方程为()2210,0,mx ny m n m n +=>>≠，所以41914m m n =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得11,43m n == 所以，椭圆W 的方程为22143x y += （2）解：条件①：直线l 的斜率为1；因为过点(2,1)P 的直线l 交椭圆W 于C D 、两点，所以，直线l 的方程为12y x -=-，即1y x =-， 联立方程221143y x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得27880x x --=，设()()1122,,,C x y D x y 所以121288,77x x x x +==-， 因为AB 方程为()322y x =--，AC 方程为()1122y y x x =-- 所以()223,22M x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，()12212,2y x E x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭所以()2222853524222x MD x y x -=---=-+=， ()()()()()12122112582322222y x x x ME x x x ---=+-=--， 所以()()()()()()()221112212121212185852816510258251081658222x x x MD x x x x ME x x x x x x x x x -----+===----+---()()221212212122228888165228165277718885102162510162777x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⨯--⨯-+-+ ⎪+--+⎝⎭====-+++⎛⎫-+⨯--⨯++ ⎪⎝⎭所以1MDME =条件②：直线l 过点B 关于y 轴的对称点；由题知，点B 关于y 轴的对称点为31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以直线l 的方程为()11421663y x x =--+=-+， 所以联立方程221463143y x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得274110x x --=，设()()1122,,,C x y D x y 所以1212411,77x x x x +==-， 因为AB 方程为()322y x =--，AC 方程为()1122y y x x =-- 所以()223,22M x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，()12212,2y x E x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭所以()()2222233144522226333MD x y x x x =---=--+-=-+， ()()()()()()()1212212211114222810336322222262x x y x x x ME x x x x x ⎛⎫-+- ⎪---⎝⎭=+-=+-=---， 所以()()()212121221211451016820338101620281062x MD x x x x ME x x x x x x x -++--==--+---()()221221212122224111210682061068207771121148166206816610777x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⨯+-⨯--- ⎪++--⎝⎭====-+++⎛⎫-⨯--⨯++ ⎪⎝⎭所以1MDME =条件③：直线l 过坐标原点O ．由题知直线l 的方程为12y x =， 所以联立方程2212143y x x y ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得23x =，解得x=所以，交点坐标为,⎛ ⎭⎝⎭因为过点D 作垂直于x 轴的直线，与线段AB 交于点M ，与AC交于点E ，所以,D C ⎛ ⎭⎝⎭因为AB 方程为()322y x =--，AC方程为))22y x x -=-所以3M ⎫⎪⎭，)2E ⎫=⎪⎪⎭所以33MD ==-，633ME ==-，所以1MDME =23．对于集合A ，定义函数1,()1,A x A f x x A ∉⎧=⎨-∈⎩，对于两个集合A ，B ，定义运算A *B ＝{x |fA (x )fB (x )＝﹣1}．(1)若A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4,5}，写出fA (1)与fB (1)的值，并求出A *B ；(2)证明：*运算具有交换律和结合律，即A *B ＝B *A ，(A *B )*C ＝A *(B *C )．【答案】(1)fA (1)＝﹣1，fB (1)＝1，A *B ＝{1,4,5}；(2)证明见详解.【分析】（1）由新定义的元素即可求出fA (1)与fB (1)的值，再分情况求出A *B ；（2）先证明fA *B (x )＝fA (x )fB (x )即可证明出*运算具有交换律和结合律．【详解】（1）∵A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4,5}，∴fA (1)＝﹣1，fB (1)＝1，由运算定义知：只需保证元素属于集合A ∪B ，不属于集合A ∩B ，即有A *B ＝{1,4,5}；（2）先证明fA *B (x )＝fA (x )fB (x )：①当x ∈A 且x ∈B 时，fA (x )＝fB (x )＝﹣1，所以x ∉A *B ．所以fA *B (x )＝1，所以fA *B (x )＝fA (x )fB (x )，②当x ∈A 且x ∉B 时，fA (x )＝﹣1，fB (x )＝1，所以x ∈A *B ．所以fA *B (x )＝﹣1，所以fA *B (x )＝fA (x )fB (x )，③当x ∉A 且x ∈B 时，fA (x )＝1，fB (x )＝﹣1．所以x ∈A *B ．所以fA *B (x )＝﹣1．所以fA *B (x )＝fA (x )fB (x )．④当x ∉A 且x ∉B 时，fA (x )＝fB (x )＝1．所以x ∉A *B ．所以fA *B (x )＝1．所以fA *B (x )＝fA (x )fB (x )．从而可得fA *B (x )＝fA (x )fB (x )；因为A *B ＝{x |fA (x )fB (x )＝﹣1}，B *A ＝{x |fB (x )fA (x )＝﹣1}＝{x |fA (x )fB (x )＝﹣1}，所以A*B＝B*A．因为(A*B)*C＝{x|fA*B(x)fC(x)＝﹣1}＝{x|fA(x)fB(x)fC(x)＝﹣1}，A*(B*C)＝{x|fA(x)fB*C(x)＝﹣1}＝{x|fA(x)fB(x)fC(x)＝﹣1}，所以(A*B)*C＝A*(B*C)．。
2012北京高考模拟数学试题汇总-解析几何(理)
x y 1 0, 2 2 则 x y 的最小值是 x 0,
二、极坐标、参数方程
【 2012 西城一模理】 12. _____． 2 【2012 东城一模理】 （10）在极坐标系中，圆 2 的圆心到直线 cos sin 2 的 距离为 ． 2
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C． (0, 2)
）
A． (0, 2)
B． (2, 0)
D． (2, 0)
x 1 t, 【2012 丰台一模理】11．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程是 2 （t 为 y 1 t 2
3
参数） 。以 O 为极点， x 轴正方向为极轴的极坐标系中，圆 C 的极坐标方程是
1 的圆在△ ABC 内， 沿着△ ABC 的边滚动一周回到原位. 在滚动过程中， 圆M 至 4 少与△ ABC 的一边相切，则点 M 到△ ABC 顶点的最短距离是 ，点 M 的运
半径为 动轨迹的周长是 .
2 9 4 ，
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在极坐标系中，极点到直线 l : sin( )
π 4
2 的距离是
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【2012 海淀一模理】 （3）在极坐标系中，过点 (2, （A） sin
3 ) 且平行于极轴的直线的极坐标方程是 2
（C） sin
2 （B） cos
【2012 朝阳二模理】12.如图， AB 是圆 O 的直径，CD AB 于 D ，且 AD 2BD ， E 为 AD 的中点，连接 CE 并延长交圆 O 于 F ． 若 CD EF _________． 则 AB _______， 2， C
高中数学解析几何解答题(有答案)
高中数学解析几何解答题（有答案）解析几何解答题1、椭圆G：的两个焦点为F1、F2，短轴两端点B1、B2，已知F1、F2、B1、B2四点共圆，且点N（0，3）到椭圆上的点最远距离为（1）求此时椭圆G的方程；（2）设斜率为k（k0）的直线m与椭圆G相交于不同的两点E、F，Q为EF的中点，问E、F两点能否关于过点P（0，）、Q的直线对称？若能，求出k的取值范围；若不能，请说明理由．解：（1）根据椭圆的几何性质，线段F1F2与线段B1B2互相垂直平分，故椭圆中心即为该四点外接圆的圆心…………………1分故该椭圆中即椭圆方程可为………3分设H（x,y）为椭圆上一点，则…………… 4分若，则有最大值…………………5分由（舍去）(或b2+3b+927,故无解)…………… 6分若…………………7分由所求椭圆方程为………………… 8分（1）设，则由两式相减得……③又直线PQ直线m直线PQ方程为将点Q（）代入上式得，……④…………………11分由③④得Q（）…………………12分而Q点必在椭圆内部，由此得 ,故当时，E、F两点关于点P、Q的直线对称14分2、已知双曲线的左、右顶点分别为，动直线与圆相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为 .（Ⅰ）求的取值范围，并求的最小值；（Ⅱ）记直线的斜率为，直线的斜率为，那么，是定值吗？证明你的结论.解：（Ⅰ）与圆相切, ……①由 ,得 ,,故的取值范围为 .由于，当时，取最小值 .6分（Ⅱ）由已知可得的坐标分别为，由①，得，为定值.12分3、已知抛物线的焦点为F，点为直线与抛物线准线的交点，直线与抛物线相交于、两点，点A关于轴的对称点为D．（1）求抛物线的方程。
（2）证明：点在直线上；（3）设，求的面积。
．解：（1）设，，，的方程为．（2）将代人并整理得，从而直线的方程为，即令所以点在直线上（3）由①知，因为，故，解得所以的方程为又由①知故4、已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率为，点（2，3）、在该椭圆上，线段的中点在直线上，且三点不共线．(I)求椭圆的方程及直线的斜率；(Ⅱ)求面积的最大值．解：（I）设椭圆的方程为，则，得， .所以椭圆的方程为.…………………3分设直线AB的方程为 (依题意可知直线的斜率存在)，设，则由，得,由，得，，设,易知，由OT与OP斜率相等可得，即，所以椭圆的方程为，直线AB的斜率为 (6)分（II）设直线AB的方程为，即，由得，，.………………8分点P到直线AB的距离为 .于是的面积为……………………10分设，，其中 .在区间内，，是减函数；在区间内，，是增函数.所以的最大值为 .于是的最大值为18.…………………12分5、设椭圆的焦点分别为、，直线：交轴于点，且．（Ⅰ）试求椭圆的方程；（Ⅱ）过、分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于、、、四点（如图所示），若四边形的面积为，求的直线方程．解：（Ⅰ）由题意， -------1分为的中点------------2分即：椭圆方程为 ------------3分（Ⅱ）当直线与轴垂直时，，此时，四边形的面积不符合题意故舍掉；------------4分同理当与轴垂直时，也有四边形的面积不符合题意故舍掉；------------5分当直线，均与轴不垂直时，设 : ，代入消去得： ------------6分设 ------------7分所以，------------8分所以，------------9分同理 ------------11分所以四边形的面积由，------------12分所以直线或或或 ---------13分6、已知抛物线P：x2=2py(p0)．（Ⅰ）若抛物线上点到焦点F的距离为．（ⅰ）求抛物线的方程；（ⅱ）设抛物线的准线与y轴的交点为E，过E作抛物线的切线，求此切线方程；（Ⅱ）设过焦点F的动直线l交抛物线于A，B两点，连接，并延长分别交抛物线的准线于C，D两点，求证：以CD为直径的圆过焦点F．解：（Ⅰ）（ⅰ）由抛物线定义可知，抛物线上点到焦点F的距离与到准线距离相等，即到的距离为3；，解得．抛物线的方程为．4分（ⅱ）抛物线焦点，抛物线准线与y轴交点为，显然过点的抛物线的切线斜率存在，设为，切线方程为．由，消y得，6分，解得．7分切线方程为．8分（Ⅱ）直线的斜率显然存在，设：，设，，由消y得．且．∵ ，直线：，与联立可得，同理得．10分∵焦点，，，12分以为直径的圆过焦点．14分7、在平面直角坐标系中，设点，以线段为直径的圆经过（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；（Ⅱ）过点的直线与轨迹交于两点，点关于轴的对称点为，试判断直线是否恒过一定点，并证明你的结论. 解：（I）由题意可得，2分所以，即 4分即，即动点的轨迹的方程为 5分（II）设直线的方程为 , ，则 .由消整理得，6分则，即 .7分.9分直线12分即所以，直线恒过定点 .13分8、已知椭圆的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点，且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求面积的最大值．解：（Ⅰ）因为椭圆上一点和它的两个焦点构成的三角形周所以，1分又椭圆的离心率为，即，所以，2分所以， .4分所以，椭圆的方程为 .5分（Ⅱ）方法一：不妨设的方程，则的方程为 . 由得，6分设，，因为，所以，7分同理可得，8分所以，，10分，12分设，则，13分当且仅当时取等号，所以面积的最大值为 .14分方法二：不妨设直线的方程 .由消去得，6分设，，则有，.①7分因为以为直径的圆过点，所以 .由，得 .8分将代入上式，得 .将①代入上式，解得或（舍）.10分所以（此时直线经过定点，与椭圆有两个交点），所以.12分设，则 .所以当时，取得最大值 .14分9、过抛物线C: 上一点作倾斜角互补的两条直线,分别与抛物线交于A、B两点。
2023-2024学年北京市海淀区高三上学期期末练习数学试题+答案解析
2023-2024学年北京市海淀区高三上学期期末练习数学试题一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，，则()A. B. C. D.2.如图，在复平面内，复数，对应的点分别为，，则复数的虚部为()A. B. C. D.3.已知直线，直线，且，则()A.1B.C.4D.4.已知抛物线的焦点为F，点M在C上，，O为坐标原点，则()A. B.4 C.5 D.5.在正四棱锥中，，二面角的大小为，则该四棱锥的体积为()A.4B.2C.D.6.已知圆，直线与圆C交于A，B两点.若为直角三角形，则()A. B. C. D.7.若关于x的方程且有实数解，则a的值可以为()A.10B.eC.2D.8.已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，，则“”是“”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9.已知是公比为的等比数列，为其前n项和.若对任意的，恒成立，则()A.是递增数列B.是递减数列C.是递增数列D.是递减数列10.蜜蜂被誉为“天才的建筑师”.蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材面积最小的结构.如图是一个蜂房的立体模型，底面ABCDEF是正六边形，棱AG，BH，CI，DJ，EK，FL均垂直于底面ABCDEF，上顶由三个全等的菱形PGHI，PIJK，PKLG构成.设，，则上顶的面积为()参考数据：，A. B. C. D.二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.在的展开式中，x的系数为__________.12.已知双曲线的一条渐近线为，则该双曲线的离心率为__________.13.已知点A，B，C在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则__________；点C到直线AB的距离为__________.14.已知无穷等差数列的各项均为正数，公差为d，则能使得为某一个等差数列的前n项和的一组，d的值为__________，__________.15.已知函数给出下列四个结论：①任意，函数的最大值与最小值的差为2；②存在，使得对任意，；③当时，对任意非零实数x，；④当时，存在，，使得对任意，都有其中所有正确结论的序号是__________.三、解答题：本题共6小题，共72分。
2011-2012学年北京市海淀区高二(上)期末数学试卷(理科)(附答案解析)
2011-2012学年北京市海淀区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 双曲线x 22−y 22=1的渐近线方程为（ ） A.y ＝±x B.y ＝±√2xC.y ＝±2xD.y ＝±4x2. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 33−S 1=1，则数列{a n }的公差是（ ） A.12 B.1C.2D.33. 空间向量a →=(1, 1, 1)，b →=(0, 1, −1)，则a →，b →的夹角为（ ） A.30∘B.60∘C.90∘D.120∘4. 已知p ：1x <1，q:x >1，则p 是q 的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5. 命题p:∀x ∈R ，ax 2+ax +1≥0，若p 是假命题，则实数a 的取值范围是（ ） A.(0, 4) B.[0, 4]C.(−∞, 0)∪(4, +∞)D.(−∞, 0]∪[4, +∞)6. 点P(2, t)在不等式组{x −y −4≤0x +y −3≤0表示的平面区域内，则点P(2, t)到原点距离的取值范围是（ ）A.[2, 3]B.[2,2√2]C.[2,3√2]D.[2, 4]7. 已知定点A(−1, 0)，B(1, 0)，P 是动点且直线PA ，PB 的斜率之积为λ，λ≠0，则动点P 的轨迹不可能是（ ） A.圆的一部分 B.椭圆的一部分 C.双曲线的一部分 D.抛物线的一部分8. 在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)中，F 1，F 2为其左、右焦点，以F 1F 2为直径的圆与椭圆交于A ，B ，C ，D 四个点，若F 1，F 2，A ，B ，C ，D 恰好为一个正六边形的六个顶点，则椭圆的离心率为（ ） A.√2−1B.√22C.√3−1D.√32二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.抛物线y 2=2x 上横坐标为2的点到其焦点的距离为________．在△ABC 中，a =3，b =5，C =120∘，则c =________，sin A =________．空间向量a →=(2, −1, 0)，b ¯=(1, 0, −1)，n →=(1, y, z)，若n →⊥a →，n →⊥b →，则y +z =________．若直线y =x +t 与抛物线y 2=4x 交于两个不同的点A 、B ，且弦AB 中点的横坐标为3，则t =________．数列{a n }的前n 项和为S n =n 2+n ，n ∈N ∗，则a n =________，数列{ann 2+9}中最大项的值为________．若椭圆C 1:x 2a 12+y 2b 12=1(a 1>b 1>0)和椭圆C 2:x 2a 22+y 2b 22=1(a 2>b 2>0)的离心率相同，且a 1>a 2．给出如下四个结论：①椭圆C 1和椭圆C 2一定没有公共点； ②a 1a 2=b1b 2；③a 12−a 22<b 12−b 22； ④a 1−a 2<b 1−b 2．则所有结论正确的序号是________．三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.已知椭圆C ：x 28+y 24=1的左焦点为F 1，直线l:y =x −2与椭圆C 交于A 、B 两点．（1）求线段AB 的长；（2）求△ABF 1的面积．数列{a n }的前n 项和为S n ．若a 1=1，且2S n =(n +1)a n ，n ∈N ∗． （1） 求{a n }的通项公式和S n ；（2）设b n=a2n，求{b n}的前n项和．四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，其中AD // BC，O为AD中点，PO⊥底面ABCD．又AB=2√2，BC=8，AD=4，PO=4．（1）求直线PA和CD所成角的余弦值；（2）求B−PA−D的平面角的余弦值．椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，直线y=k(x−1)经过椭圆C的一个焦点与其相交于点M，N，且点A(1,32)在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）若线段MN的垂直平分线与x轴相交于点P，问：在x轴上是否存在一个定点Q，使得|PQ||MN|为定值？若存在，求出点Q的坐标和|PQ||MN|的值；若不存在，说明理由．参考答案与试题解析2011-2012学年北京市海淀区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.【答案】 A【考点】双曲线的离心率 【解析】 由x 22−y 22=1，可得x 22−y 22=0，化简可得双曲线的渐近线方程．【解答】 由x 22−y 22=1，可得x 22−y 22=0，即y ＝±x∴ 双曲线x 22−y 22=1的渐近线方程为y ＝±x2. 【答案】 B【考点】等差数列的前n 项和 【解析】由等差数列的性质可得a 1+a 3=2a 2，结合条件化简可得公差的值． 【解答】解：由等差数列的性质可得a 1+a 3=2a 2， 而原条件可化为：a 1+a 2+a 33−a 1=1，代入可得3a 23−a 1=1，即a 2−a 1=1故数列{a n }的公差是1， 故选B 3. 【答案】 C【考点】空间向量的夹角与距离求解公式 【解析】利用向量a →⋅b →=0⇔a →⊥b →即可得出． 【解答】解：∵ a →⋅b →=0+1−1=0，∴ a →⊥b →，∴ a →，b →的夹角为90∘． 故选C ． 4. 【答案】 B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【解析】解分式不等式1x <1，可得x >1或x <0，由集合{x|x >1}，{x|x >1或x <0}的包含关系可得答案． 【解答】解：解分式不等式1x <1，可得x >1或x <0， 因为集合{x|x >1}是集合{x|x >1或x <0}的真子集， 故“x >1或x <0”是“1x <1”的必要不充分条件，故选B 5.【答案】 C【考点】命题的真假判断与应用 【解析】先求出命题p 为真时对应的取值范围，然后利用p 是假命题，求出非p 的范围． 【解答】解：当a =0时，不等式等价为1≥0，所以成立．当a ≠0时，要使不等式ax 2+ax +1≥0恒成立，则有{a >0△≤0，即{a >0a 2−4a ≤0，解得0<a ≤4． 综上0≤a ≤4，即p 为真命题时，p:0≤a ≤4． 因为p 是假命题，所以￢p:a <0或a >4． 即实数a 的取值范围是(−∞, 0)∪(4, +∞)． 故选C ． 6.【答案】 B【考点】二元一次不等式（组）与平面区域 【解析】作出不等式组 {x −y −4≤0x +y −3≤0表示的平面区域与x =2的直线，由图形判断出其上到原点距离的最大最小的点的位置求出其坐标算出最大最小值即可． 【解答】解：先作出不等式组 {x −y −4≤0x +y −3≤0表示的平面区域与x =2的直线，如图由图知点P(2, t)到原点距离最小的点的坐标是A(2, 0) 到原点的距离，最大值为2；点P(2, t)到原点距离最大的点的坐标是B(2, −2)的点到原点的距离，最大值为2√2．故选B ．7. 【答案】 D【考点】 抛物线的定义 【解析】根据题意可分别表示出动点P 与两定点的连线的斜率，根据其之积为常数，求得x 和y 的关系式，对λ的范围进行分类讨论，分别看λ>0，λ<0且λ≠−1和λ=−1时，根据圆锥曲线的标准方程可推断出点P 的轨迹． 【解答】解：已知定点A(−1, 0)，B(1, 0)，设P(x, y) 依题意可知y x+1⋅yx−1=λ，整理得y 2−λx 2=−λ，当λ>0时，方程的轨迹为双曲线．当λ<0时，且λ≠−1方程的轨迹为椭圆． 当λ=−1时，点P 的轨迹为圆∴ 抛物线的标准方程中，x 或y 的指数必有一个是1，故P 点的轨迹一定不可能是抛物线． 故选D ． 8.【答案】 C【考点】 椭圆的定义 【解析】如图，连接AF 2，结合正六边形的性质得∠F 1AF 2=90∘．Rt △AF 1F 2中，|F 1F 2|=2c ，|AF 1|=c ，可得|AF 2|=√3c ，结合椭圆的定义得：|AF 1|+|AF 2|=(1+√3)c =2a ，再结合离心率公式即可算出该椭圆的离心率．【解答】解：如图，连接AF 2，可得等腰△ABF 2中，∠B =120∘ ∴ ∠BAF 2=∠AF 2B =30∘因此∠F 1AF 2=120∘−30∘=90∘Rt △AF 1F 2中，|F 1F 2|=2c ，|AF 1|=c∴ |AF 2|=√3c ，得|AF 1|+|AF 2|=(1+√3)c =2a 因此，椭圆的离心率e =ca =2c2a =2c (1+√3)c=√3−1故选：C二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.【答案】52【考点】 抛物线的求解 【解析】直接利用抛物线的定义，求解即可． 【解答】解：抛物线y 2=2x 上横坐标为2的点到其焦点的距离， 就是这点到抛物线的准线的距离． 抛物线的准线方程为：x =−12，所以抛物线y 2=2x 上横坐标为2的点到其焦点的距离为12+2=52． 故答案为：52．【答案】 7,3√314【考点】 余弦定理 【解析】利用余弦定理，可求c ，利用正弦定理，可求sin A ． 【解答】解：∵ a =3，b =5，C =120∘，∴ c 2=a 2+b 2−2ab cos C =9+25−2⋅3⋅5⋅(−12)=49， ∴ c =7，∵ asin A =csin C ， ∴ sin A =a sin C c=3√314． 故答案为：7，3√314【答案】3【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直 【解析】利用n →⊥a →，n →⊥b →，⇔{n →⋅b →=0˙，解出即可． 【解答】解：∵ n →⊥a →，n →⊥b →，∴ {n →⋅b →=0˙，即{2−y =01−z =0，解得{y =2z =1，∴ y +z =3．故答案为3．【答案】 −1【考点】圆锥曲线的综合问题 【解析】设A(x 1, y 1)，B(x 1, y 2)，线段AB 的中点为M(3, m)．利用“点差法”即可得到m ，代入直线方程即可得到t ． 【解答】解：设A(x 1, y 1)，B(x 1, y 2)，线段AB 的中点为M(3, m)，把A ，B 的坐标代入抛物线方程得y 12=4x 1，y 22=4x 2，两式相减得(y 1+y 2)(y 1−y 2)=4(x 1−x 2)，得2m ×1=4，解得m =2． ∴ 2=3+t ，解得t =−1． 故答案为−1． 【答案】 2n ,13【考点】等差数列的前n 项和 数列的函数特性 等差数列的通项公式【解析】由于a 1=S 1=2；当n ≥2时，a n =S n −S n−1=2n ，可得数列的通项公式为 a n =2n ．数列{a nn 2+9}的通项公式为 2n n 2+9=2n+9n，利用基本不等式求得数列{ann 2+9}中最大项的值．【解答】解：∵ 数列{a n }的前n 项和为S n =n 2+n ，n ∈N ∗，则 a 1=S 1=2；当n ≥2时，a n =S n −S n−1=(n 2+n)−[(n −1)2+(n −1)]=2n ，故数列的通项公式为 a n =2n ．数列{a nn 2+9}的通项公式为 2n n 2+9=2n+9n≤2√9=13，当且仅当n =3时，取等号，故数列{a nn 2+9}中最大项的值为13， 故答案为 2n ，13．【答案】①② 【考点】命题的真假判断与应用 【解析】利用两椭圆有相同的离心率，可知两个椭圆a ，b ，c 之间的关系，进而分别判断各结论是否正确． 【解答】解：因为两椭圆有相同的离心率，所以a 12−b 12a 12=a 22−b 22a 22，①因为a 12−b 12a 12=a 22−b 22a 22，即1−(b 1a 1)2=1−(b2a 2)2，所以b1a 1=b2a 2，即a1a 2=b1b 2成立，因为a 1>a 2，所以b 1>b 2．即椭圆C 1和椭圆C 2一定没有公共点，所以①正确． ②由①知即a 1a 2=b1b 2成立，所以②正确．③因为a 12−b 12a 12=a 22−b 22a 22，且a 1>a 2，所以a 12−b 12>a 22−b 22，即a 12−a 22>b 12−b 22，所以③错误．④由②知a 2=a 1b 2b 1，所以a 1−a 2=a 1−a 1b 2b 1=a 1(b 1−b 2b 1)=a1b 1(b 1−b 2)>b 1−b 2，所以④错误．故所有结论正确的序号是①②．故答案为：①②．三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 【答案】 解：（1）设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)． 因为x 28+y 24=1和y =x −2相交，把两个方程联立，得{x 2+2y 2−8=0y =x −2代入得到x 2+2(x −2)2−8=0，即3x 2−8x =0，解得x 1=0，x 2=83 所以y 1=−2，y 2=23，所以|AB|=√(0−83)2+(−2−23)2=83√2（2）法一：因为点F 1(−2, 0)到直线y =x −2的距离为d =√1+1=2√2所以S △ABF 1=12|AB|⋅d =12⋅8√23⋅2√2=163法二：直线y =x −2通过椭圆的右焦点F 2(2, 0)，则△ABF 2的面积为S △ABF 1=12|F 1F 2|(|y 1|+|y 2|)=12×4×(2+23)=163【考点】直线与椭圆结合的最值问题【解析】（1）把直线方程代入椭圆方程，求得交点坐标，可求线段AB 的长；（2）法一：求出点F 1(−2, 0)到直线y =x −2的距离，可求△ABF 1的面积；法二：直线y =x −2通过椭圆的右焦点，利用S △ABF 1=12|F 1F 2|(|y 1|+|y 2|)，可得结论． 【解答】 解：（1）设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)． 因为x 28+y 24=1和y =x −2相交，把两个方程联立，得{x 2+2y 2−8=0y =x −2代入得到x 2+2(x −2)2−8=0，即3x 2−8x =0，解得x 1=0，x 2=83 所以y 1=−2，y 2=23，所以|AB|=√(0−83)2+(−2−23)2=83√2（2）法一：因为点F 1(−2, 0)到直线y =x −2的距离为d =√1+1=2√2所以S △ABF 1=12|AB|⋅d =12⋅8√23⋅2√2=163法二：直线y =x −2通过椭圆的右焦点F 2(2, 0)，则△ABF 2的面积为S △ABF 1=12|F 1F 2|(|y 1|+|y 2|)=12×4×(2+23)=163【答案】 解：（1）∵ 2S n =(n +1)a n ， ∴ n ≥2时，2S n−1=n ⋅a n−1，∴ 两式相减，可得2a n =(n +1)a n −n ⋅a n−1， ∴ a nan−1=nn−1∴ a n =a na n−1⋅a n−1a n−2•…•a 2a 1⋅a 1=n ，∴ S n =n(n+1)2；（2）由（1）知，b n =a 2n =2n ∴ T n =2(1−2n )1−2=2n+1−2【考点】数列的应用 数列的求和【解析】（1）利用数列递推式，在写一式，两式相减，可得数列的通项，从而可求{a n }的通项公式和S n ； （2）利用等比数列的求和公式，即可得到结论． 【解答】 解：（1）∵ 2S n =(n +1)a n ， ∴ n ≥2时，2S n−1=n ⋅a n−1，∴ 两式相减，可得2a n =(n +1)a n −n ⋅a n−1， ∴ a nan−1=nn−1∴ a n =a n a n−1⋅a n−1a n−2•…•a 2a 1⋅a 1=n ，∴ S n =n(n+1)2；（2）由（1）知，b n =a 2n =2n ∴ T n =2(1−2n )1−2=2n+1−2【答案】 解：（1）取BC 中点E ，连接AE ，OE ，则 ∵ AD =4，BC =8， ∴ AE // DC∴ ∠PAE （或其补角）即为直线PA 和CD 所成角 ∵ PO ⊥底面ABCD ， ∴ PO ⊥AO ，PO ⊥OE ∵ 底面ABCD 为等腰梯形， ∴ OE =2，AE =2√2，PE =√20 ∵ PO =4，AO =2∴ PA =√20∴ cos ∠PAE =PA 2+AE 2−PE 22PA⋅AE=2⋅√20⋅2√2=√1010；（2）设B −PA −D 的平面角为α，则∵ 底面ABCD 为等腰梯形，AD =4，BC =8，∴ ∠ABC =45∘，∴ ∠BAD =135∘， 在△BAO 中，AB =2√2，AO =2，∴ BO =√8+4−2⋅2√2⋅2⋅(−√22)=√20∴ PB =√20+16=6在△PAB 中，PB =6，PA =√20，AB =2√2，∴ cos ∠PAB =2⋅2√2⋅√20=−√1010∴ sin ∠PAB =3√1010∴ S △PAB =12⋅√20⋅2√2⋅3√1010=6∵ S △PAD =12⋅4⋅4=8 ∴ cos α=S△PAB S △PAD =68=34．【考点】二面角的平面角及求法异面直线及其所成的角【解析】（1）取BC中点E，连接AE，OE，则∠PAE（或其补角）即为直线PA和CD所成角，利用余弦定理可求；（2）设B−PA−D的平面角为α，利用cosα=S△PABS△PAD可求．【解答】解：（1）取BC中点E，连接AE，OE，则∵AD=4，BC=8，∴AE // DC∴∠PAE（或其补角）即为直线PA和CD所成角∵PO⊥底面ABCD，∴PO⊥AO，PO⊥OE∵底面ABCD为等腰梯形，∴OE=2，AE=2√2，PE=√20∵PO=4，AO=2∴PA=√20∴cos∠PAE=PA2+AE2−PE22PA⋅AE =2⋅√20⋅2√2=√1010；（2）设B−PA−D的平面角为α，则∵底面ABCD为等腰梯形，AD=4，BC=8，∴∠ABC=45∘，∴∠BAD=135∘，在△BAO中，AB=2√2，AO=2，∴BO=√8+4−2⋅2√2⋅2⋅(−√22)=√20∴PB=√20+16=6在△PAB中，PB=6，PA=√20，AB=2√2，∴cos∠PAB=2⋅2√2⋅√20=−√1010∴sin∠PAB=3√1010∴S△PAB=12⋅√20⋅2√2⋅3√1010=6∵S△PAD=12⋅4⋅4=8∴cosα=S△PABS△PAD =68=34．【答案】解：（1）由题意，椭圆的一个焦点为(1, 0)，又∵点A(1,32)在椭圆C上，∴{a2−b2=11a+94b=1∴a2=4，b2=3∴椭圆C的方程为x24+y23=1；（2）存在，直线y=k(x−1)与椭圆方程联立可得(3+4k2)x2−8k2x+4k2−12=0，设M(x1, y1)，N(x2, y2)，则x1+x2=8k23+4k2，x1x2=4k2−123+4k2，∴y1+y2=−6k3+4k2∴MN垂直平分线方程为y−−3k3+4k2=−1k(x−4k23+4k2)令y=0，可得x=k23+4k2∴P(k23+4k2, 0)，设Q(a, 0)，则|PQ|=|k23+4k2−a|∵|MN|=√1+k2⋅|x1−x2|=12(1+k2)3+4k2，∴a=1时，|PQ||MN|=|k2−a(3+4k2)|12(1+k2)=14∴Q(1, 0)．【考点】直线与椭圆结合的最值问题椭圆的标准方程【解析】（1）确定椭圆的焦点，利用点A(1,32)在椭圆C上，建立方程，求出几何量，即可得到椭圆的方程；（2）直线y=k(x−1)与椭圆方程联立，利用韦达定理，确定MN垂直平分线方程，|MN|，可得P的坐标，从而可得结论．【解答】解：（1）由题意，椭圆的一个焦点为(1, 0)，又∵点A(1,32)在椭圆C上，∴{a2−b2=11a2+94b2=1∴a2=4，b2=3∴椭圆C的方程为x24+y23=1；（2）存在，直线y=k(x−1)与椭圆方程联立可得(3+4k2)x2−8k2x+4k2−12=0，设M(x1, y1)，N(x2, y2)，则x1+x2=8k23+4k2，x1x2=4k2−123+4k2，∴y1+y2=−6k3+4k2∴MN垂直平分线方程为y−−3k3+4k2=−1k(x−4k23+4k2)令y=0，可得x=k 23+4k2∴P(k23+4k2, 0)，设Q(a, 0)，则|PQ|=|k 23+4k2−a|∵|MN|=√1+k2⋅|x1−x2|=12(1+k2)3+4k2，∴a=1时，|PQ||MN|=|k2−a(3+4k2)|12(1+k2)=14∴Q(1, 0)．。
高二数学解析几何试题
高二数学解析几何试题1.已知点为圆周的动点，过点作轴，垂足为，设线段的中点为，记点的轨迹方程为，点(1)求动点的轨迹方程;(2)若斜率为的另一个交点为，求面积的最大值及此时直线的方程；(3)是否存在方向向量的直线交与两个不同的点，且有？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。
【答案】(1)设，则，而点在圆上所以，即(2)而，故当时，面积的最大值为1此时，直线的方程为：(3)假设存在符合题设条件的直线，设其方程为：，的中点于是 (1)而故从而而故可得： (2)由1和2得：故【解析】略2.（本题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），它与曲线C：（y－2）2－x2＝1交于A、B两点．（1）求|AB|的长；（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P的极坐标为（2，），求点P到线段AB中点M的距离．【答案】（1）（2）【解析】（1）由直线参数方程几何意义得|AB|＝|t1－t2|＝，因此将直线l参数方程（t为参数）代入（y－2）2－x2＝1，得t2＋t－5＝0．从而由韦达定理得t1＋t2＝－，t 1t2＝－．代入可得|AB|＝．（2）由直线参数方程几何意义得点P到线段AB中点M的距离为．试题解析：（1）将直线l参数方程（t为参数）代入（y－2）2－x2＝1，得t2＋t－5＝0．∴t1＋t2＝－，t1t2＝－．∴|AB|＝|t1－t2|＝＝．（2）P点直角坐标为（－2,2），线段AB中点对应的参数值为，∴点P到线段AB中点M距离为【考点】直线参数方程几何意义3.（2014•大武口区校级一模）已知直线的极坐标方程为，圆M的参数方程为（其中θ为参数）．（Ⅰ）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）求圆M上的点到直线的距离的最小值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；【解析】（Ⅰ）以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，利用和角的正弦函数，即可求得该直线的直角坐标方程；（Ⅱ）圆M的普通方程为，求出圆心M（0，﹣2）到直线的距离，即可得到圆M上的点到直线的距离的最小值．试题解析：（Ⅰ）以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系．（1分）因为，，于是（2分）故该直线的直角坐标方程为．（3分）（Ⅱ）圆M的普通方程为（4分）圆心M（0，﹣2）到直线的距离．（5分）所以圆M上的点到直线的距离的最小值为．（7分）【考点】•圆的参数方程 直线与圆的位置关系 简单曲线的极坐标方程4.设椭圆的两个焦点分别为，过作椭圆长轴的垂线与椭圆相交，其中的一个交点为P，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是A．B．C．D．【答案】B【解析】已知，所以,解得【考点】求椭圆离心率．5.将直线绕点沿逆时针方向旋转得到直线，则直线与圆的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．相交或相切【答案】B【解析】直线的倾斜角为，因此直线倾斜角为，因此直线方程为，圆心到直线的距离为，所以直线与圆相切【考点】1．直线方程；2．直线与圆的位置关系6.（本小题满分10分）已知两点，求（1）直线的斜率和直线的方程；（2）已知，求直线的倾斜角的范围．【答案】（1）的斜率不存在，方程为，，方程为；（2）【解析】（1）由两点坐标求直线的斜率主要利用公式求解，代入坐标时要注意分两种情况讨论；（2）由参数的取值范围代入斜率公式得到斜率的范围，结合斜率与倾斜角间的关系可得倾斜角范围试题解析：（1）当时，直线的斜率不存在，直线的，方程为当时，直线的斜率，直线的方程为（2）当时，当时，由所以直线的倾斜角的范围是【考点】直线的倾斜角与斜率7.（本小题满分10分）设命题p：函数的定义域为R，命题q：双曲线的离心率，（1）如果p是真命题，求实数的取值范围；（2）如果命题“p或q”为真命题，且“p且q”为假命题，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】（1）命题P为真等价于恒成立，所以由左边二次函数开口向上，判别式小于零求解即可；（2）求出命题q为真时的参数a的范围．由已知可得，两个命题一真一假，所以分两种情况求解，然后两种情况求并集．试题解析：（1）若命题p为真命题，则恒成立（2）若命题q为真命题，则，p真q假时，；p假q真，则，综上【考点】由命题真假性求参数范围．8.两圆0与0的公切线有（）A．1条B．2条C．4条D．3条【答案】D【解析】圆0的圆心为（2，-1），半径为2，圆0的圆心为（-2，2）．半径为3，故两圆外切，因此它们有一条内公切线，两条外公切线．故选D．【考点】求两圆的公切线．9.已知直线与椭圆相交于A、B两点，若椭圆的离心率为，焦距为2，则线段AB的长是（）A． B． C． D．2【答案】B【解析】由离心率及焦距知，所以，从而椭圆的方程：，联立直线与椭圆方程，得A、B两点坐标分别为，所以，故选B．【考点】1、椭圆的几何性质；2、直线与圆锥曲线的位置关系．10.抛物线上的两点到焦点的距离之和为，则线段的中点到轴的距离是．【答案】【解析】设为抛物线的焦点，则，抛物线的准线方程为设即线段的中点得横坐标为则线段的中点到轴的距离是【考点】抛物线的定义11.已知直线与抛物线相交于两点，为的焦点，若，则A．B．C．D．【答案】B【解析】设抛物线的准线为l：x=-2，直线y=k（x+2）（k＞0）恒过定点P（-2，0）如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，由|FA|=2|FB|，则|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，则|OB|=|AF|，∴|OB|=|BF|，点B的横坐标为1，∴点B的坐标为（1，），∴【考点】直线与抛物线相交的位置关系12.已知是双曲线上一点，是双曲线的两个焦点，若，则的值为．【答案】33【解析】由双曲线方程可知，，则，因为是双曲线上一点，所以，又，所以或．又，所以．【考点】双曲线定义、标准方程及简单的几何性质．【方法点晴】本题主要考查了双曲线的定义、标准方程及简单的几何性质的应用，属于基础题，解答本题的关键在于熟记双曲线的标准方程及简单的几何性质，牢记双曲线的定义中的转化与化归的数学思想．本题解答中利用双曲线的定义可求解或，其中根据双曲线的简单几何性质，确定的范围，是解答本题的一个易错点和难点．13.已知椭圆的焦点分别为，是椭圆上一点，若连接，三点恰好能构成直角三角形，则点到轴的距离是（）A．3B．C．或D．【答案】B【解析】当或时，点的纵坐标为，代入椭圆方程得，解得，所以点到轴的距离为；当时，①且②，由①②，得．设点到轴的距离为，则由三角形面积公式，得，即，所以不满足条件，故选B．【考点】椭圆的定义．【思路点睛】椭圆焦点三角形的应用思路：椭圆上一点与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，主要考虑利用椭圆定义可求其周长；利用椭圆定义和余弦定理（勾股定理）可求，或通过整体代入可求其面积等．14.已知椭圆C：的焦距为4，且与椭圆有相同的离心率，斜率为的直线经过点M（0，1），与椭圆C交于不同的两点A ，B．（1）求椭圆C的标准方程；（2）当椭圆C的右焦点F在以AB为直径的圆内时，求的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由两椭圆离心率相同得，又进而求得椭圆方程；（2）设直线方程直线方程与椭圆方程联立，根据在以为直径的园内，所以可得再由韦达定理解得．试题解析：（1）因为椭圆的焦点为，所以，因为椭圆的离心率为，所以椭圆的离心率为，所以椭圆的标准方程为．（2）因为斜率为可设设直线的方程为，由消去得，，由知，由因为在以为直径的圆内，所以即，解得．【考点】1、待定系数法求椭圆的方程；2、韦达定理、圆的性质及平面向量的数量积公式．【方法点睛】本题主要考查待定系数法求椭圆的方程以及求参数范围问题，属于难题．求范围问题的常见方法有两种：一是建立求解参数关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标函数的范围亦即是参数的范围；二是根据题设列出关于求解参数的不等式，然后通过解不等式求出参数的范围，本题（2）的求解过程就是利用这种思路，通过数量积的范围列出关于的不等式，进而得出的范围的．15.已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的长半轴这半径的圆与直线相切．（1）求椭圆标准方程；（2）已知点为动直线与椭圆的两个交点，问：在轴上是否存在点，使为定值？若存在，试求出点的坐标和定值，若不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）根据离心率，求得，再根据直线与圆相切，可得，代入，求解的值，从而得到椭圆的方程；（2）利用直线方程与椭圆方程联立，得得，利用韦达定理得，假设存在点，化简与无关，得，代入可得，从确定定值．试题解析：（1）由得，即①又以原点O为圆心，椭圆C的长轴长为半径的圆为且与直线相切，所以代入①得c=2，所以．所以椭圆C的标准方程为（2）由得设，所以根据题意，假设轴上存在定点E（m，0），使得为定值．则=要使上式为定值，即与k无关，，得．此时，，所以在轴上存在定点E（，0）使得为定值，且定值为．【考点】椭圆的标准方程及简单的几何性质；直线与圆锥的综合问题，【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程、椭圆的简单的几何性质及其应用及直线与圆锥曲线的综合问题，属于中档试题，本题的解答中，根据椭圆的离心率，确定的关系，再根据直线与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，求解，从而求解椭圆的标准方程，第2问中，利用直线与椭圆方程联立，得到，假设存在点，化简，根据题设条件求解的值，代入确定向量的值，其中转化为利用韦达定理的应用是解答此类问题的关键．16.直线与抛物线交于两点，为坐标原点，且，则（）A．2B．-2C．1D．-1【答案】A【解析】先设，联立方程，得到有两个不同于原点的解，因此有，由于，因此有，，即【考点】直线与抛物线的位置关系；17.椭圆：内有一点（1）求经过并且以为中点的弦所在直线方程；（2）如果直线：与椭圆相交于、两点，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】（1）设出，代入椭圆方程，两式相减，再由中点坐标公式和斜率公式，可得直线的斜率，进而得到所求直线方程；（2）设直线l：x=my+4与椭圆E相交于两点，代入椭圆方程，运用韦达定理，再由斜率向量的数量积的坐标表示，化简整理，即可得到所求范围试题解析：（1）设以为中点的弦的直线与椭圆相交于,两式相减得所求直线方程为即（2）设直线：与椭圆相交于两点，【考点】直线与圆锥曲线的关系18.已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为．【答案】【解析】由题意可知【考点】双曲线方程及性质19.如图，点分别是椭圆的左、右焦点．点是椭圆上一点，点是直线与椭圆的另一交点，且满足轴，．（1）求椭圆的离心率；（2）若的周长为，求椭圆的标准方程；（3）若的面积为，求椭圆的标准方程．【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）通过求解直角三角形得到A的坐标，代入椭圆方程整理，结合隐含条件求得椭圆C的离心率e；（2）通过椭圆定义结合三角形的周长及隐含条件求得答案；（3）由（1）得到a与c，b与c的关系，设直线的方程为，代入化简整理，求得B的坐标，再由点到直线的距离公式结合三角形面积求得答案试题解析：（1）解法1：在中，．解法2：中，则，代入并利用化简整理得，即，，，．（2）由椭圆定义知，∴的周长为，∴则，故椭圆的标准方程为．（3）解法1：由（1）知则，于是椭圆方程可化为，即，设直线的方程为，代入化简整理得，或，则点的横坐标为，∴点到直线的距离为，∴的面积为解得，故椭圆的标准方程为．解法2：设，则，在中由余弦定理得：，即，化简整理得，∴又∵轴，，∴点到直线的距离为，∴的面积为解得，故椭圆的标准方程为．【考点】椭圆方程及性质20.已知圆().（Ⅰ）若，求直线被圆所截得的弦长；（Ⅱ）若，如图，圆与轴相交于两点（点在点的左侧）．过点的动直线l与圆相交于两点．问：是否存在实数，使得对任意的直线l均有？若存在，求出实数的值，若不存在，请说明理由.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）存在【解析】（Ⅰ）当a=1时，求出圆心，半径，求出圆心C到直线y=x的距离，由此利用勾股定理能求出直线y=x被圆C所截得的弦长；（Ⅱ）先求出所以M（1，0），N（a，0），假设存在实数a，当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=k（x-1），代入，利用韦达定理，根据NA、NB的斜率之和等于零求得a的值．经过检验，当直线AB与x轴垂直时，这个a值仍然满足∠ANM=∠BNM，从而得出结论试题解析（Ⅰ）当，圆的标准方程为：，圆心到直线的距离，所以，所得弦的长为．（Ⅱ）令得：，即，所以.假设存在实数，使得.当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立消去y得：，设，则因为，所以因为，所以，又因为，所以，解得．当直线的斜率不存在时也成立．故存在，使得. 12分【考点】圆方程的综合应用21.如图，M、N是焦点为F的抛物线y2=2px（p＞0）上两个不同的点，且线段MN中点A的横坐标为，（1）求|MF|+|NF|的值；（2）若p=2，直线MN与x轴交于点B点，求点B横坐标的取值范围．【答案】（1）8（2）（﹣3，3）【解析】试题分析:（1）利用抛物线的定义，求|MF|+|NF|的值；（2）分类讨论，利用差法，即可求点B横坐标的取值范围．解：（1）设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=8﹣p，|MF|=x1+，|NF|=x2+，∴|MF|+|NF|=x1+x2+p=8；（2）p=2时，y2=4x，若直线MN斜率不存在，则B（3，0）；若直线MN斜率存在，设A（3，t）（t≠0），M（x1，y1），N（x2，y2），则代入利用点差法，可得y12﹣y22=4（x1﹣x2）∴kMN=，∴直线MN的方程为y﹣t=（x﹣3），∴B的横坐标为x=3﹣，直线MN代入y2=4x，可得y2﹣2ty+2t2﹣12=0 △＞0可得0＜t2＜12，∴x=3﹣∈（﹣3，3），∴点B横坐标的取值范围是（﹣3，3）．【考点】抛物线的简单性质．22.已知椭圆的左顶点为A1，右焦点为F2，过点F2作垂直于x轴的直线交该椭圆于M、N两点，直线A1M的斜率为．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）若△A1MN的外接圆在M处的切线与椭圆相交所得弦长为，求椭圆方程．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）由已知得点坐标，由，得，解得；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，又外心在轴上，设为，则由，解得，故，所以经过点的切线方程为，联立椭圆方程，消去，得，则由弦长公式可得弦长为，解得，故所求方程为.试题解析：（Ⅰ）由题意因为A1（﹣a，0），所以将b2=a2﹣c2代入上式并整理得（或a=2c）所以（Ⅱ）由（Ⅰ）得a=2c，（或）所以A1（﹣2c，0），外接圆圆心设为P（x，0）由|PA1|=|PM|，得解得：所以所以△A1MN外接圆在M处切线斜率为，设该切线与椭圆另一交点为C则切线MC方程为，即与椭圆方程3x2+4y2=12c2联立得7x2﹣18cx+11c2=0解得由弦长公式得解得c=1所以椭圆方程为【考点】1、椭圆离心率；2、直线与椭圆的位置关系.23.已知两条直线，。
高二数学解析几何训练题精选(带答案)
高二数学解析几何训练题精选（带答案）高中数学习题精选第三部分•解析几何一、选择题：1、直线的倾斜角是＿＿＿＿＿＿。
A．B．C．D．2、直线m、l关于直线x=y对称，若l的方程为，则m的方程为＿＿＿＿＿。
A．B．C．D．3、已知平面内有一长为4的定线段AB，动点P满足|PA|—|PB|=3，O 为AB中点，则|OP|的最小值为＿＿＿＿＿＿。
A．1B．C．2D．34、点P分有向线段成定比λ，若λ∈，则λ所对应的点P的集合是＿＿＿。
A．线段B．线段的延长线C．射线D．线段的反向延长线5、已知直线L经过点A与点B，则该直线的倾斜角为＿＿＿＿＿＿。
A．150°B．135°C．75°D．45°6、经过点A且与直线垂直的直线为＿＿＿＿＿＿。
A．B．C．D．7、经过点且与直线所成角为30°的直线方程为＿＿＿＿＿＿。
A．B．或C．D．或8、已知点A和点B，直线m过点P且与线段AB相交，则直线m的斜率k的取值范围是＿＿＿＿＿＿。
A．B．C．D．9、两不重合直线和相互平行的条件是＿＿＿＿＿＿。
A．B．或C．D．10、过且倾斜角为15°的直线方程为＿＿＿＿＿＿。
A．B．C．D．11、a=1是直线和互相垂直的＿＿＿。
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也非必要条件12、与曲线关于直线对称的曲线方程是＿＿＿＿＿＿。
A．B．C．D．13、曲线关于点对称的曲线的方程是＿＿＿＿＿＿。
A．B．C．D．14、实数a=0是和平行的＿＿＿＿＿＿A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也非必要条件15、已知m和n的斜率分别是方程的两根，则m和n所成角为＿＿＿＿＿＿。
A．15°B．30°C．45°D．60°16、直线的倾斜角为＿＿＿＿＿＿。
A．B．C．D．17、a为非负实数，直线不通过的象限是＿＿＿＿＿＿。
2011-2012学年北京市海淀区高三年级期末数学练习(理科)试题及参考答案
海淀区高三年级第一学期期末练习数 学（理科）2012.01一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）复数52i=+ ( )（A ）2i - （B ）21i 55+ （C ）105i - （D ）105i 33-（2）如图，正方形ABC D 中，点E 是D C 的中点，点F 是B C 的一个三等分点.那么=EF（A ）1123A B A D-（B ）1142A B A D+（C ）1132A B D A+（D ）1223A B A D- （3）若数列{}n a 满足：119a =，13(*)n n a a n +=-∈N ，则数列{}n a 的前n 项和数值最大时，n 的值是（A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）9（4）已知平面α，β，直线l ，若αβ^，l αβ= ，则（A ）垂直于平面β的平面一定平行于平面α （B ）垂直于直线l 的直线一定垂直于平面α （C ）垂直于平面β的平面一定平行于直线l （D ）垂直于直线l 的平面一定与平面α,β都垂直（5）函数()sin(2)(,)f x A x A ϕϕ=+ R 的部分图象如图所示，那么(0)f = （ ）（A ）12- （B）2-（C ）1- （D）-F（6）执行如图所示的程序框图，输出的i 值为（ ）（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8（7）已知函数2()cos sin f x x x =+，那么下列命题中假命题．．．是 （ ） （A ）()f x 既不是奇函数也不是偶函数 （B ）()f x 在[,0]π-上恰有一个零点 （C ）()f x 是周期函数 （D ）()f x 在(,2π5π)6上是增函数（8）点P 到图形C 上每一个点的距离的最小值称为点P 到图形C 的距离，那么平面内到定圆C 的距离与到定点A 的距离相等的点的轨迹不可能．．．是 （ ）（A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线的一支 （D ）直线二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上.（9）51)的展开式中2x 的系数是 . （用数字作答）（10）若实数,x y 满足40,20,250,x y x y x y ì+- ïïïï-- íïï+- ïïî则2z x y =+的最大值为 .（11）抛物线2x ay =过点1(1,)4A ，则点A 到此抛物线的焦点的距离为 .（12）甲和乙两个城市去年上半年每月的平均气温（单位：C °）用茎叶图记录如下，根据茎叶图可知，两城市中平均温度较高的城市是____________，气温波动较大的城市是____________.（13）已知圆C ：22(1)2x y -+=，过点(1,0)A -的直线l 将圆C 分成弧长之比为1:3的两段圆弧，则直线l 的方程为 . （14）已知正三棱柱'''A B C A B C -的正（主）视图和侧（左）视图如图所示. 设,'''ABC A B C ∆∆的中心分别是,'O O ，现将此三棱柱绕直线'O O 旋转，射线O A 旋转所成的角为x 弧度（x 可以取到任意一个实数），对应的俯视图的面积为()S x ，则函数()S x 的最大值为 ；最小正周期为 .8,3π说明：“三棱柱绕直线'O O 旋转”包括逆时针方向和顺时针方向，逆时针方向旋转时，O A 旋转所成的角为正角，顺时针方向旋转时，O A 旋转所成的角为负角.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）在A B C ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， 2A B =，sin 3B =.（Ⅰ）求cos A 及sin C 的值； （Ⅱ）若2b =，求A B C ∆的面积.甲城市 乙城市9 087 7 3 1 2 4 72 2 0 4 7侧（左）视图正（主）视图为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛. 该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序.通过预赛，选拔出甲、乙等五支队伍参加决赛.（Ⅰ）求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率；（Ⅱ）若决赛中甲队和乙队之间间隔的队伍数记为X，求X的分布列和数学期望.(17)（本小题满分14分）在四棱锥P A B C D-中，底面A B C D是直角梯形，A B∥C D，90A B C?，2A B P B P C B C C D====，平面P B C^平面A B C D.（Ⅰ）求证：A B^平面PBC；（Ⅱ）求平面PAD和平面B C P所成二面角（小于90°）的大小；（Ⅲ）在棱P B上是否存在点M使得C M∥平面PAD？若存在，求P MP B的值；若不存在，请说明理由.PABC D已知函数2()e ()x f x x ax a =+-，其中a 是常数.(Ⅰ)当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）若存在实数k ，使得关于x 的方程()f x k =在[0,)+∞上有两个不相等的实数根，求k 的取值范围.(19)（本小题满分14分）已知焦点在x 轴上的椭圆C 过点(0,1)，且离心率为2,Q 为椭圆C 的左顶点.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程； （Ⅱ）已知过点6(,0)5-的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点.（ⅰ）若直线l 垂直于x 轴，求AQB ∠的大小;（ⅱ）若直线l 与x 轴不垂直，是否存在直线l 使得QAB ∆为等腰三角形？如果存在，求出直线l 的方程；如果不存在，请说明理由.已知集合{1,2,3,,}(*)M n n = N ，若集合12{,,,}(*)m A a a a M m =臀N ，且对任意的b M Î，存在,(1)i j a a A i jm危＃，使得12i j b a a λλ=+（其中12,{1,0,1}λλ?），则称集合A 为集合M 的一个m 元基底. （Ⅰ）分别判断下列集合A 是否为集合M 的一个二元基底，并说明理由； ①{1,5}A =，{1,2,3,4,5}M =；②{2,3}A =，{1,2,3,4,5,6}M =.（Ⅱ）若集合A 是集合M 的一个m 元基底，证明：(1)m m n + ；（Ⅲ）若集合A 为集合{1,2,3,,19}M = 的一个m 元基底，求出m 的最小可能值，并写出当m 取最小值时M 的一个基底A .海淀区高三年级第一学期期末练习数 学（理科）参考答案及评分标准 2012．01一. 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. （9）5 （10）7 （11）54（12）乙，乙（13）(1)3y x =+或(1)3y x =-+ （14）8；3π注：（13）题正确答出一种情况给3分，全对给5分；（12）、（14）题第一空3分；第二空2分.三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为2A B =，所以2cos cos 212sin A B B ==-. ………………………………………2分因为sin 3B =所以11cos 1233A =-?. ………………………………………3分由题意可知，(0,)2B πÎ.所以cos 3B =………………………………………5分因为sin sin 22sin cos 3A B B B ===.………………………………………6分所以sin sin[()]sin()C A B A B π=-+=+sin cos cos sin 9A B A B =+=. ………………………………………8分（Ⅱ）因为sin sin b a BA=，2b =， ………………………………………10分233a =.所以3a =. ………………………………………11分所以1sin 29ABC S ab C ∆==. ………………………………………13分(16)（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设“甲、乙两支队伍恰好排在前两位”为事件A ，则()23!15!10P A ⨯==. ………………………………………4分所以 甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率为110.………………………………………5分（Ⅱ）随机变量X 的可能取值为0, 1, 2, 3. ………………………………………6分()24!205!5P X ⨯===，()323!315!10P X ⨯⨯===，()22!32!125!5P X ⨯⨯⨯===，()23!135!10P X ⨯===. ………………………………………10分随机变量X 的分布列为：因为 231101231510510E X =⨯+⨯+⨯+⨯=，所以 随机变量X 的数学期望为1. ………………………………………13分(17)（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为 90A B C? ，所以 A B B C ⊥. ………………………………………1分因为 平面P B C ^平面A B C D ，平面PBC 平面ABC D BC =，A B Ì平面A B C D ，所以 A B ^平面PBC . ………………………………………3分 （Ⅱ）解：取B C 的中点O ，连接P O . 因为P B P C =， 所以 PO BC ⊥.因为 平面P B C ^平面A B C D ，平面PBC 平面ABC D BC =，P O Ì平面PBC ， 所以 P O ^平面A B C D . ………………………………………4分 如图，以O 为原点，O B 所在的直线为x 轴，在平面A B C D 内过O 垂直于B C 的直 线为y 轴，O P 所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系O xyz -．不妨设2BC =.由 直角梯形A B C D 中2A B P B P C B C C D ====可得(0,P ，(1,1,0)D -，(1,2,0)A . 所以(1,D P =-，(2,1,0)D A =.设平面PAD 的法向量(,,)=x y z m .因为 0,0.D P D A ìï?ïíï?ïîm m所以(,,)(1,0,(,,)(2,1,0)0,x y z x y z ìï?=ïíï?ïî即0,20.x y x y ìï-+=ïíï+=ïî令1x =，则2, y z =-=-所以(1,2,=--m . ………………………………………7分取平面B C P 的一个法向量n ()0,1,0=.所以cos ,2⋅==-m n m n m n.所以 平面AD P 和平面B C P 所成的二面角（小于90°）的大小为4π.………………………………………9分 （Ⅲ）解：在棱P B 上存在点M 使得C M ∥平面PAD ，此时12P M P B=. 理由如下： ………………………………………10分取A B 的中点N ，连接C M ，C N ，M N . 则 M N ∥P A ，12A N AB =.因为 2A B C D =， 所以 AN C D =.因为 A B ∥C D ，所以 四边形A N C D 是平行四边形. 所以 C N ∥A D .因为 , MN CN N PA AD A == ，所以 平面M N C ∥平面PAD . ………………………………………13分 因为 C M Ì平面M N C ，所以 C M ∥平面PAD . ………………………………………14分(18)（本小题满分13分）解：(Ⅰ)由2()e ()x f x x ax a =+-可得2'()e [(2)]x f x x a x =++. ………………………………………2分 当1a =时,(1)e f = ,'(1)4e f =. ………………………………………4分 所以 曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为()e 4e 1y x -=-，即4e 3e y x =-. ………………………………………5分 （Ⅱ） 令2'()e ((2))0xf x x a x =++=，解得(2)x a =-+或0x =. ………………………………………6分 当(2)0a -+≤，即2a ≥-时，在区间[0,)+∞上，'()0f x ≥，所以()f x 是[0,)+∞上的增函数.所以 方程()f x k =在[0,)+∞上不可能有两个不相等的实数根.………………………………………8分当(2)0a -+>，即2a <-时，()'(),f x f x 随x 的变化情况如下表NMPABCD由上表可知函数()f x 在[0,)+∞上的最小值为24((2))ea a f a ++-+=.………………………………………10分 因为 函数()f x 是(0,(2))a -+上的减函数，是((2),)a -++∞上的增函数， 且当x a ≥-时，有()f x e ()a a a -≥->-. ………………………………………11分 所以 要使方程()f x k =在[0,)+∞上有两个不相等的实数根，k 的取值范围必须是24(,]ea a a ++-. ……………………………………13分(19)（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设椭圆C 的标准方程为22221(0)x y a b ab+=>>，且222a b c =+.由题意可知：1b =，2c a=. ………………………………………2分所以24a =.所以，椭圆C 的标准方程为2214xy +=. ……………………………………3分（Ⅱ）由（Ⅰ）得(2,0)Q -.设1122(,),(,)A x y B x y . （ⅰ）当直线l 垂直于x 轴时，直线l 的方程为65x =-.由226,514x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 解得：6,545x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或6,54.5x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 即6464(,), (,)5555A B ---（不妨设点A 在x 轴上方）. ………………………………………5分则直线AQ 的斜率1A Q k =，直线BQ 的斜率1B Q k =-. 因为 1AQ BQ k k ⋅=-， 所以 AQ BQ ^. 所以 2A QB π∠=. ………………………………………6分（ⅱ）当直线l 与x 轴不垂直时，由题意可设直线A B 的方程为6()(0)5y k x k =+≠.由226(),514y k x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 得：2222(25100)2401441000k x k x k +++-=. 因为 点6(,0)5-在椭圆C 的内部，显然0∆>.21222122240,25100144100.25100kx x kk x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩………………………………………8分 因为 1122(2,), (2,)QA x y QB x y =+=+ ，116()5y k x =+，226()5y k x =+，所以 1212(2)(2)QA QB x x y y ⋅=+++121266(2)(2)()()55x x k x k x =++++⋅+2221212636(1)(2)()4525k x x k x x k =++++++2222222144100624036(1)(2)()402510052510025k kk k k kk-=+++-++=++.所以 Q A Q B ⊥.所以 QAB ∆为直角三角形. ………………………………………11分 假设存在直线l 使得QAB ∆为等腰三角形，则Q A Q=取A B 的中点M ，连接QM ，则QM AB ^. 记点6(,0)5-为N .另一方面，点M 的横坐标22122212024225100520M x x kkx kk+==-=-++，所以 点M 的纵坐标266()5520M M k y k x k=+=+.所以 222221016666(,)(,)520520520520k k k Q M N Mkkkk+? ++++222601320(520)kk +=+.所以 Q M与N M 不垂直，矛盾.所以 当直线l 与x 轴不垂直时，不存在直线l 使得QAB ∆为等腰三角形.………………………………………13分(20)（本小题满分14分）解：（Ⅰ）①{1,5}A =不是{1,2,3,4,5}M =的一个二元基底. 理由是 1212315(,{1,0,1})λλλλ棺+孜-；②{2,3}A =是{1,2,3,4,5,6}M =的一个二元基底. 理由是 11213,21203,30213=-????? ， 41212,51213,613=?????.………………………………………3分 （Ⅱ）不妨设12m a a a <<< ，则 形如10i j a a ? (1)ij m ＃ 的正整数共有m 个； 形如11i i a a ? (1)i m ＃的正整数共有m 个； 形如11ij a a ? (1)ij m ? 的正整数至多有2m C 个；形如(1)1i j a a -? (1)ij m ? 的正整数至多有2m C 个.又集合{1,2,3,,}M n = 含n 个不同的正整数，A 为集合M 的一个m 元基底.故22m m m m C C n +++ ，即(1)m m n + . ………………………………………8分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知(1)19m m + ，所以4m ³.当4m =时，(1)191m m +-=，即用基底中元素表示出的数最多重复一个. * 假设1234{,,,}A a a a a =为{1,2,3,,19}M = 的一个4元基底， 不妨设1234a a a a <<<，则410a ³.当410a =时，有39a =，这时28a =或7.如果28a =，则由1109,198,1899,18108=-=-=+=+，与结论*矛盾. 如果27a =，则16a =或5.易知{6,7,9,10A =和{5,7,9,10}A =都不是{1,2,3,,1M = 的4元基底，矛盾.当411a =时，有38a =，这时27a =，16a =，易知{6,7,8,11A =不是{1,2,3,,19M = 的4元基底，矛盾.当412a =时，有37a =，这时26a =，15a =，易知{5,6,7,12A =不是{1,2,3,,19M = 的4元基底，矛盾.当413a =时，有36a =，25a =，14a =，易知{4,5,6,1A =不是{1,2,3,,M = 的4元基底，矛盾.当414a =时，有35a =，24a =，13a =，易知{3,4,5,1A =不是{1,2,3,,M = 的4元基底，矛盾.当415a =时，有34a =，23a =，12a =，易知{2,3,4,1A =不是{1,2,3,,M = 的4元基底，矛盾.当416a =时，有33a =，22a =，11a =，易知{1,2,3,1A =不是{1,2,3,,M = 的4元基底，矛盾.当417a ³时，A 均不可能是M 的4元基底. 当5m =时，M 的一个基底{1,3,5,9,16}A =.综上，m 的最小可能值为5. ………………………………………14分。
高二数学解析几何试题答案及解析
高二数学解析几何试题答案及解析1.双曲线的虚轴长等于( )A．B．C．D．4【答案】C【解析】双曲线方程化为因为是双曲线方程，所以则标准方程为所以虚轴长故选C2.若直线的参数方程为，则直线的斜率为（）．A．B．C．D．【答案】D．【解析】消去参数，得直线的普通方程为，则直线的斜率为．【考点】直线的参数方程；2．直线的斜率．3.圆与的圆心距与曲线的长度的大小关系是（）．A．B．C．D．无法比较【答案】A．【解析】两圆的圆心分别为，则圆心距，曲线表示半径为2的圆心角为的圆弧，弧长为．；则【考点】圆的参数方程；2．弧长公式．4.已知中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆过点，且它的离心率．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）与圆相切的直线交椭圆于两点，若椭圆上一点满足，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）此问是待定系数法求椭圆的标准方程第一步先设椭圆的标准方程是，根据已知条件列3个关于的方程，求解；（Ⅱ）此题考查直线与椭圆相交的综合问题，总体思路是第一步，先将直线与椭圆联立，利用韦达定理得到和，，第二步，利用，表示点的坐标，第三步，将点的坐标代入椭圆方程，得到，第四步，根据直线与圆相切，得到与的关系，消参后求的范围．试题解析：解:（Ⅰ）设椭圆的标准方程为由已知得:解得所以椭圆的标准方程为:（Ⅱ）因为直线:与圆相切所以，把代入并整理得:设，则有因为，，所以，又因为点在椭圆上，所以，因为，所以所以，所以的取值范围为【考点】1．椭圆的标准方程；2．直线与椭圆相交的综合问题．5.如图，是圆的切线，切点为交圆于两点，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】连接，∵是圆的切线，切点为交圆于两点，，∴，∴，解得，∴，∴，故选B．【考点】1.与圆有关的比例线段的应用；2.计算.6.（本小题满分12分）已知椭圆经过点A（0，4），离心率为；（1）求椭圆C的方程；（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．【答案】（1）（2）【解析】（1）待定系数法求椭圆方程；（20先求出直线方程代入椭圆方程，然后由韦达定理求出两根之和，再求出中点横坐标，最后代入直线方程求出中点纵坐标即得结果．试题解析：（1）因为椭圆经过点A，所以b=4．又因离心率为，所以所以椭圆方程为：依题意可得，直线方程为，并将其代入椭圆方程，得．（2）设直线与椭圆的两个交点坐标为，则由韦达定理得，,所以中点横坐标为，并将其代入直线方程得，故所求中点坐标为．【考点】求椭圆方程、直线与椭圆相交求弦的中点坐标．7.（本小题满分12分）已知一条光线从点射出，经过轴反射后，反射光线与圆相切，求反射光线所在直线的方程．【答案】或【解析】根据对称性先求出点A关于x轴的对称点，然后设出反射光线所在的直线方程，利用直线与圆相切求出反射光线所在的直线的斜率，从而求出反射光线所在的直线方程．试题解析：A关于x轴的对称点．反射光线相当于是从点射出的光线．因为反射光线的斜率存在，所以反射光线所在的直线可设为即因为该直线与圆相切，所以…10分所以反射光线所在直线方程为或．【考点】求直线方程．8.已知是椭圆的左右焦点，P是椭圆上任意一点，过作的外角平分线的垂线，垂足为Q，则点Q的轨迹为（）A．直线B．圆C．椭圆D．四条线段【答案】B【解析】连接并延长交于M点，是外角的角平分线，所以是等腰三角形,所以,Q为中点，连接OQ，则OQ===，所以M表示以O为圆心为半径的圆，故选B【考点】椭圆定义及动点轨迹方程【方法点睛】求动点的轨迹方程的一般步骤：建立合适的坐标系，设出所求点及相关点坐标，代入动点满足的关系式并将其坐标化，整理化简并检验是否有不满足要求的点；本题中要充分结合等腰三角形的性质及椭圆定义得到动点到定点的距离为定值，结合三角形中位线的性质得到点到原点的距离为定值，因此得到其轨迹为圆9.（本题满分10分）已知椭圆，经过点，且两焦点与短轴的一个端点构成等腰直角三角形．（1）求椭圆方程；（2）过椭圆右顶点的两条斜率乘积为的直线分别交椭圆于，两点，试问：直线是否过定点？若过定点，请求出此定点，若不过，请说明理由．【答案】（1）；（2）详见解析．【解析】（1）根据椭圆经过点以及两焦点与短轴的一个端点构成等腰直角三角形可列得方程组，从而求解；（2）若直线斜率存在时，可设，再利用韦达定理以及条件斜率乘积为，可得到，满足的关系式，即可得证，再验证当斜率不存在也符合即可．试题解析：（1）根据题意；（2）当的斜率存在时，设，，∴，∴或（舍）∴过定点，当斜率不存在时也符合，即直线恒过定点．【考点】1．椭圆的标准方程；2．椭圆中定点问题．【思路点睛】定点问题的常见解法（1）假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；（2）从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意．10.已知直线与直线平行，则的值是（）A．B．C．－D．或0【答案】A【解析】由题意，解得，经检验时，两直线重合，时，两直线平行，故选A．【考点】11.过点的椭圆（）的离心率为，椭圆与轴交于两点、，过点的直线与椭圆交于另一点，并与轴交于点，直线与直线交于点．（1）当直线过椭圆右焦点时，求线段的长；（2）当点异于点时，求证：为定值．【答案】（1）；（2）见解析．【解析】（1）将点代入椭圆方程可求得，再由离心率求得，从而得到椭圆的方程，再将直线的方程供稿椭圆，求得交点坐标即可求得线段的长；（2）设直线的方程为（且），代入椭圆方程，求得点坐标，再联立直线的方程求得点坐标，然后结合点坐标，利用向量的数量积公式即可得出结论．试题解析：（1）由已知得，，解得，所以椭圆方程为．椭圆的右焦点为，此时直线的方程为，代入椭圆方程得，解得，，代入直线的方程得，，所以，故．（2）当直线与轴垂直时与题意不符．设直线的方程为（且）．代入椭圆方程得．解得，，代入直线的方程得，，所以点的坐标为．又直线的方程为，又直线的方程为，联立得．因此，又．所以．故为定值．【考点】1、椭圆的几何性质；2、直线与椭圆的位置关系；3、平面向量的数量积．12.以椭圆的焦点为顶点、顶点为焦点的的双曲线方程是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】椭圆的焦点为、双曲线顶点为，因此双曲线焦点为，双曲线方程是，选C．【考点】椭圆与双曲线方程【名师】用待定系数法求双曲线标准方程的四个步骤（1）作判断：根据条件判断双曲线的焦点在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能．（2）设方程：根据上述判断设出方程．（3）找关系：根据已知条件，建立关于a，b，c的方程组．（4）得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求．13.如图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降2米后，水面宽________米．【答案】．【解析】如下图所示，建立直角坐标系，设抛物线的方程为，将代入可得，，所以抛物线的方程为，于是将可得，，所以水面宽为，故应填．【考点】1、抛物线的实际应用．【思路点睛】本题主要考查了抛物线的应用，考查了学生利用抛物线的解决实际问题的能力，属中档题．其解题的一般思路为：首先根据已知条件建立适当的直角坐标系，并写出点的坐标，然后设出所求的抛物线的方程，将点的坐标代入抛物线的方程可求得，得到抛物线的方程，最后把代入抛物线的方程即可得出点的坐标，进而得出所求的答案．14.已知命题：点不在圆的内部，命题：“曲线表示焦点在轴上的椭圆”，命题“曲线表示双曲线”．（1）若“且”是真命题，求的取值范围；（2）若是的必要不充分条件，求的取值范围．【答案】（1）或；（2）或．【解析】（1）“且”是真命题，所以，得不等式组；（2）是的必要不充分条件得：或，从而求解．试题解析：（1）若为真：，解得或若为真：则，解得或，若“且”是真命题，则，解得或（2）若为真，则，即，由是的必要不充分条件，则可得或即或，解得或．【考点】1、复合命题的真假；2、充分条件、必要条件；3、不等式组．15.设是椭圆的左右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为是底角为的等腰三角形，所以，因为P在直线上一点，所以，所以椭圆的离心率为，故选C．【考点】椭圆简单的几何性质．16.直线的倾斜角为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】设直线的倾斜角为,由直线方程可知直线的斜率,即,,．故D正确．【考点】直线的斜率,倾斜角．17.如图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽米．【答案】【解析】建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式，其中a可通过代入A点坐标（-2，0），到抛物线解析式得出：a=-0．5，所以抛物线解析式为，当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y=-1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=-1与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y=-1代入抛物线解析式得出：，解得：，所以水面宽度增加到米，【考点】二次函数的应用18.已知椭圆：的右焦点，过的直线交椭圆于两点，且是线段的中点．（1）求椭圆的离心率；（2）已知是椭圆的左焦点，求的面积．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）设，，代入椭圆方程并作差，由中点坐标公式与直线的斜率得到的关系，从而求得椭圆的离心率；（2）联立直线与椭圆的方程，消去，利用韦达定理求得，从而求得求的面积．试题解析：（1）设，，则，，两式相减，得．∵线段的中点坐标为，∴．∵直线的斜率为，∴．∴，∴．（2）由（1）可知直线：，由，得，．又，所以．【考点】1、椭圆的方程及几何性质；2、直线与椭圆的位置关系．19.抛物线的准线方程为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】把抛物线转化为标准式方程为所以抛物线焦点在轴上，且即其准线方程为故选B．【考点】1、抛物线的简单性质；2、抛物线的标准式方程．20.已知抛物线上的任意一点P，记点P到轴的距离为，对于给定点，则的最小值为．【答案】【解析】过P作PB垂直于直线x=-1，垂足为B∵抛物线方程为y2=4x，∴2p=4，得可得焦点F（1，0），且直线x=-1是抛物线的准线，因此，|PA|+d+1=|PA|+|PB|=|PA|+|PF|,∵|PA|+|PF|≥|AF|∴当且仅当P、A、F三点共线时，|PA|+|PF|达到最小值,因此，|PA|+d+1的最小值为|AF|=,所以|PA|+d的最小值为．故答案为：．【考点】抛物线的几何性质和两点之间的距离公式等知识．【易错点睛】过P作PB垂直于直线x=-1，垂足为B，根据抛物线的定义得：|PA|+d+1=|PA|+|PB|=|PA|+|PF|．利用三角形两边之和大于第三边，可得当且仅当P、A、F三点共线时，|PA|+d+1达到最小值，因此可用两点的距离公式求出|PA|+d+1的最小值．本题给出定点A和抛物线上动点P，求P到A点与P到抛物线准线距离之和的最小值，学生易在P到轴的距离为，当成P到准线的距离为，忘记减1，造成失误．21.如图，直线与抛物线交于A、B两点，线段AB的垂直平分线与直线交于Q点．（1）求点Q的坐标；（2）当P为抛物线上位于线段AB下方（含A、B）的动点时，求面积的最大值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）把直线方程抛物线方程联立求得焦点的坐标，则中点的坐标可得，利用的斜率推断出垂直平分线的斜率，进而求得垂直平分线的方程，把代入求得的坐标．（2）设出的坐标，利用到直线的距离求得三角形的高，利用两点间的距离公式求得的长，最后利用三角形面积公式表示出三角形，利用的范围和二次函数的单调性求得三角形面积的最大值．试题解析：（1）解方程组得或即，从而AB的中点为．由，直线AB的垂直平分线方程令，得（2）直线OQ的方程为，设．∵点P到直线OQ的距离=，，∴==∵P为抛物线上位于线段AB下方的点，且P不在直线OQ上，∴或．∵函数在区间上单调递增，∴当时，的面积取到最大值．【考点】抛物线的应用；直线与圆锥曲线的综合问题．【方法点晴】本题主要考查了抛物线的标准方程及其应用及直线与圆锥曲线的综合应用和点直线的距离公式，着重考查了解析几何基础知识的灵活运用．本题解答中，设出的坐标，利用到直线的距离求得三角形的高，利用两点间的距离公式求得的长，最后利用三角形面积公式表示出三角形，利用的范围和二次函数的单调性求得三角形面积的最大值．22.已知圆经过椭圆的一个顶点和一个焦点，则此椭圆的离心率．【答案】【解析】由可知过点【考点】圆与椭圆的方程及性质23.已知：，不等式恒成立，：椭圆的焦点在轴上．若命题p∧q为真命题，求实数m的取值范围．【答案】【解析】首先由不等式恒成立和椭圆性质分别得到两命题中m的取值范围，由复合命题p∧q为真命题可知两命题都是真命题，由此求交集可得到m的取值范围试题解析：∵p：∀x∈R，不等式恒成立，即解得：；-q：椭圆的焦点在x轴上，∴m﹣1＞3﹣m＞0，解得：2＜m＜3，由p∧q为真可知，p，q都为真，解得．【考点】1．不等式，椭圆的性质；2．复合命题24.如图，抛物线和圆，其中，直线经过的焦点，依次交于四点，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设，由题意知抛物线的焦点，则设直线的方程为：，联立，消去，得：，根据抛物线的定义，得：，故选B．【考点】圆与圆锥曲线的综合．25.已知焦点在x轴上的椭圆过点A（﹣3，0），且离心率e=，则椭圆的标准方程是（）A．=1B．=1C．=1D．=1【答案】D【解析】设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），由题意可得a=3，由离心率公式和a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程．解：设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），由题意可得a=3，e==，可得c=，b===2，则椭圆方程为+=1．故选：D．【考点】椭圆的简单性质．26.（2012•赤坎区校级模拟）抛物线的顶点在原点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线x﹣y+2=0上，则此抛物线方程为．【答案】y2=﹣8x或x2=8y【解析】求出已知直线与坐标轴的交点A和B，在焦点分别为A和B的情况下设出抛物线标准方程，对照抛物线焦点坐标的公式求待定系数，即可得到相应抛物线的方程．解：直线x﹣y+2=0交x轴于点A（﹣2，0），与y轴交于点B（2，0）①当抛物线的焦点在A点时，设方程为y2=﹣2px，（p＞0），可得=2，所以2p=8，∴抛物线方程为y2=﹣8x②当抛物线的焦点在B点时，设方程为x2=2p'y，（p'＞0），可得=2，所以2p'=8，∴抛物线方程为x2=8y综上所述，得此抛物线方程为y2=﹣8x或x2=8y故答案为：y2=﹣8x或x2=8y【考点】抛物线的简单性质；抛物线的标准方程．27.设A（x1，y1）．B（x2，y2）两点在抛物线y=2x2上，l是AB的垂直平分线．（1）当且仅当x1+x2取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论；（2）当直线l的斜率为2时，求l在y轴上截距的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）（，+∞）．【解析】（1）先把抛物线方程整理成标准方程，进而求得抛物线的焦点坐标．先看直线l的斜率不存在时，显然x1+x2=0；看直线斜率存在时设斜率为k，截距为b，进而用A，B的坐标表示出线段AB的中点代入设的直线方程，及用A，B的坐标表示出直线的斜率，联立方程可分别求得x 1+x2和x21+x22的表达式进而求得b的范围，判断即l的斜率存在时，不可能经过焦点F．最后综合可得结论．（2）设直线l的方程为：y=2x+b，进而可得过直线AB的方程，代入抛物线方程，根据判别式大于0求得m的范围，进而根据AB的中点的坐标及b和m的关系求得b的范围．解：（1）∵抛物线y=2x2，即x2=，∴p=，∴焦点为F（0，）①直线l的斜率不存在时，显然有x1+x2=0②直线l的斜率存在时，设为k，截距为b 即直线l：y=kx+b由已知得：⇒⇒⇒x12+x22=﹣+b≥0⇒b≥．即l的斜率存在时，不可能经过焦点F（0，）所以当且仅当x1+x2=0时，直线l经过抛物线的焦点F（2）解：设直线l的方程为：y=2x+b′，故有过AB的直线的方程为y=﹣x+m，代入抛物线方程有2x2+x﹣m=0，得x1+x2=﹣．由A、B是抛物线上不同的两点，于是上述方程的判别式△=+8m＞0，也就是：m＞﹣．由直线AB的中点为（，）=（﹣，+m），则+m=﹣+b′，于是：b′=+m＞﹣=．即得l在y轴上的截距的取值范围是（，+∞）．【考点】抛物线的应用；直线的斜率；恒过定点的直线．28.已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的右支相交于两点，若，且，则双曲线的离心率（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设，则，因此，从而选D.【考点】双曲线定义，双曲线离心率29.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支相交于两点，若，且，则双曲线的离心率（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意，由余弦定理，可得【考点】双曲线方程及性质30.焦点在y轴的椭圆x2＋ky2＝1的长轴长是短轴长的2倍，那么k等于（）A．－4B．C．4D．【答案】D【解析】椭圆方程变形为【考点】椭圆方程及性质31.若直线被圆所截的的弦长为，则实数的值（）A．－2或6B．0或4C．－1 或D．－1或3【答案】D【解析】由圆的方程可知圆心为,半径为2.圆心到直线的距离.由题意可得,解得或.故D正确.【考点】圆的弦长问题.32.已知双曲线C1：（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，抛物线C2的顶点在原点，它的准线过双曲线C1的焦点，若双曲线C1与抛物线C2的交点P满足PF2⊥F1F2，则双曲线C1的离心率为．【答案】+1【解析】先设出抛物线方程，进而根据题意可得p与a和c的关系，把抛物线方程与双曲线方程联立，把x=c，y2=4cx，代入整理可得答案．解：设抛物线方程为y2=2px，依题意可知=c，∴p=2c，抛物线方程与双曲线方程联立得﹣=1，把x=c，代入整理得e4﹣6e2+1=0解得e=+1，故答案为：+1．【考点】双曲线的简单性质．33.如图，在圆x2+y2=4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足．当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是椭圆，那么这个椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】利用已知条件求出椭圆的方程，然后利用椭圆的离心率即可．解：设M（x，y），则P（x，2y），代入圆的方程并化简得：，解得a=2，b=1，c=．椭圆的离心率为：．故选：D．【考点】椭圆的简单性质；轨迹方程．34.椭圆上一点P到它的一个焦点的距离等于3，那么点P到另一个焦点的距离等于 .【答案】5【解析】由椭圆的方程可知,.由椭圆的定义可得点到另一个焦点的距离等于.【考点】椭圆的定义.35.若直线与直线平行，则的值为A．B．C．D．【答案】C【解析】由两直线平行可知系数满足【考点】两直线平行的判定36.已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点，若点到该抛物线的焦点距离为3，则（）A．B．C．3D． 4【答案】C【解析】根据题意，可设抛物线的标准方程为，由于点到该抛物线的焦点距离为3，故，解得，抛物线标准方程为，将点代入抛物线方程可得，因此；【考点】抛物线的焦半径；37.已知抛物线与直线相交于两点．（1）求证：；（2）当的面积等于时，求的值．【答案】（1）证明见解析；（2）；【解析】（1）要证，即证，联立直线与抛物线方程消去，得ky2＋y－k＝0，利用韦达定理可以证得；（2）设直线l与x轴的交点为N，求出点N的坐标为（－1,0），则，把（1）中的韦达定理代入可得的值；试题解析：（1）证明：联立，消去，得ky2＋y－k＝0.设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，.因为，所以，所以，所以，即，所以.（2）设直线l与x轴的交点为N，则N的坐标为（－1,0），所以，解得，所以【考点】直线与抛物线位置关系；38.直线与抛物线交于A、B两点，过A、B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P、Q，则梯形APQB的面积为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题如图所示：，代入得：，解得：。
2022-2023学年北京市海淀区高二(上)期末数学试卷(含答案解析)
2022-2023学年北京市海淀区高二（上）期末数学试卷1. 在复平面内，复数(2−i)(1+3i)对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限2. 经过点P(−1,0)且倾斜角为60∘的直线的方程是( )A. √3x −y −1=0B. √3x −y +√3=0C. √3x −y −√3=0D. x −√3y +1=0 3. 已知直线l 经过点A(1,1,2)，B(0,1,0)，平面α的一个法向量为n ⃗ =(−2,0,−4)，则( )A. l//αB. l ⊥αC. l ⊂αD. l 与α相交，但不垂直4. 已知抛物线y 2=ax 上的点M(12,y 0)到其焦点的距离是1，那么实数a 的值为( ) A. 14B. 12C. 1D. 25. 在平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点M 满足2AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ .若A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ，则下列向量中与B 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的是( )A. 12a ⃗ −12b ⃗ +c ⃗B. 12a ⃗ +12b ⃗ +c ⃗C. −12a ⃗ +12b ⃗ +c ⃗ D. −12a ⃗ −12b ⃗ +c ⃗ 6. 已知直线l ：y =kx +b ，⊙O ：x 2+y 2=1，则“|b|<1”是“直线l 与⊙O 相交”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，直线l 是底面ABCD 所在平面内的一条动直线，记直线A 1C与直线l 所成的角为α，则sinα的最小值是( )A. √33 B. 12C. √22D. √638. 已知A ，B(异于坐标原点)是圆(x −2)2+(y −1)2=5与坐标轴的两个交点，则下列点M中，使得△MAB 为钝角三角形的是( )A. M(0,0)B. M(4,3√22) C. M(2,1−√5) D. M(1,2√2)9. “天问一号”是执行中国首次火星探测任务的探测器，该名称源于屈原长诗《天问》，寓意探求科学真理征途漫漫，追求科技创新永无止境．图(1)是“天问一号”探测器环绕火星的椭圆轨道示意图，火星的球心是椭圆的一个焦点．过椭圆上的点P 向火星被椭圆轨道平面截得的大圆作两条切线PM ，PN ，则∠MPN 就是“天问一号”在点P 时对火星的观测角．图(2)所示的Q，R，S，T四个点处，对火星的观测角最大的是( )A. QB. RC. SD. T10. 如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别为BD1，B1C1的中点，P为正方体ABCD−A1B1C1D1表面上的动点．下列叙述正确的是( )A. 当点P在侧面AA1D1D上运动时，直线CN与平面BMP所成角的最大值为π2B. 当点P为棱A1B1的中点时，CN//平面BMPC. 当点P在棱BB1上时，点P到平面CNM的距离的最小值为√66D. 当点P∉NC时，满足MP⊥平面NCP的点P共有2个11. 若复数z满足(1+i)⋅z=i3，则|z|=______.12. 已知直线l1：ax−y+2=0，直线l2：x−(a+1)y−1=0.若l1⊥l2，则实数a=______.13. 已知双曲线x2a2−y2b2=1的渐近线为y=±√2x，则该双曲线的离心率为______.14. 已知椭圆M：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，A(0,b)，且△AF1F2是面积为√3的正三角形．过F1垂直于AF2的直线交椭圆M于B，C两点，则△ABC的周长为______.15. 古希腊数学家阿波罗尼斯在其著作《圆锥曲线论》中，系统地阐述了圆锥曲面的定义和利用圆锥曲面生成圆锥曲线的方法，并探究了许多圆锥曲线的性质．其研究的问题之一是“三线轨迹”问题：给定三条直线，若动点到其中两条直线的距离的乘积与到第三条直线距离的平方之比等于常数，求该点的轨迹．小明打算使用解析几何的方法重新研究此问题，他先将问题特殊化如下：给定三条直线l1：y=12x+12，l2：y=−12x−12，l3：x=1，动点P到直线l1，l2和l3的距离分别为d1，d2和d3，且满足d1d2d32=15，记动点P的轨迹为曲线C.给出下列四个结论：①曲线C关于x轴对称；②曲线C上的点到坐标原点的距离的最小值为√22；③平面内存在两个定点，曲线C上有无数个点P到这两个定点的距离之差为√2；④d1+d2的最小值为2√55.其中所有正确结论的序号是______.16. 已知直线l1：y=1与直线l2：y=kx−2交于点A，点A关于坐标原点的对称点为C，点B在直线l1上，点D在直线l2上．(Ⅰ)当k=1时，求C点的坐标；(Ⅰ)当四边形ABCD为菱形时，求k的值．17. 已知曲线M上的任意一点到点(1,0)的距离比它到直线x=−2的距离小1.(Ⅰ)求曲线M的方程；(Ⅰ)设点E(0,1)，若过点A(2,1)的直线与曲线M交于B、C两点，求△EBC的面积的最小值．18. 如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，点F为PD的中点．(Ⅰ)已知点G为线段BC的中点，求证：CF//平面PAG；(Ⅰ)若PA=AB=2，直线PC与平面ABCD所成的角为30∘，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择几个作为已知，使四棱锥P−ABCD唯一确定，求：(i)直线CD到平面ABF的距离；(ii)二面角B−AF−C的余弦值．条件①：PA⊥平面ABCD；条件②：AD=2√2；条件③：平面PAB⊥平面PAD.19. 已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为2，长轴长为4.(Ⅰ)求椭圆E的方程；(Ⅰ)过点M(−3,0)且与x轴不重合的直线l与椭圆E交于不同的两点B，C，点B关于x轴的对称点为B′.问：平面内是否存在定点P，使得B′恒在直线PC上？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．答案和解析1.【答案】A【解析】解：(2−i)(1+3i)=2+3+6i −i =5+5i ， 则复数(2−i)(1+3i)对应的点(5,5)位于第一象限． 故选：A.根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数的几何意义，即可求解． 本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：倾斜角为60∘的直线的方程的斜率k =tan60∘=√3，∴经过点P(−1,0)且倾斜角为60∘的直线的方程是y −0=√3(x +1)，即为√3x −y +√3=0. 故选：B.根据点斜式方程和一般式方程即可求出．本题考查了点斜式方程和一般式方程，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：根据题意，A(1,1,2)，B(0,1,0)，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,−2)， 而平面α的一个法向量为n ⃗ =(−2,0,−4)，则有n ⃗ =2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 即n ⃗ //AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，必有l ⊥α， 故选：B.根据题意，求出AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，分析可得n ⃗ //AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，由平面法向量的定义分析可得答案． 本题考查空间向量的应用，涉及向量平行的判断方法，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：由抛物线方程知：抛物线焦点为F(a4,0)(a >0)，准线为x =−a4， 由抛物线定义知：|MF|=12+a 4=1，解得：a =2， 故选：D.利用抛物线焦半径公式可直接构造方程求得结果． 本题主要考查抛物线的性质，属于中档题．5.【答案】C【解析】解：平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点M 满足2AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ .若A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ， 所以B 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ +12(−a ⃗ +b ⃗ )=−12a ⃗ +12b ⃗ +c ⃗ .故选：C.直接利用向量的线性运算求出结果．本题考查的知识要点：向量的线性运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题和易错题．6.【答案】A【解析】解：⊙O ：x 2+y 2=1， 则⊙O 的圆心为(0,0)，半径为1， 圆心到直线l 的距离为|b|√k 2+1，当|b|<1时，|b|√k 2+1<1，故直线l 与⊙O 相交，充分性成立，当直线l 与⊙O 相交，则|b|√k 2+1<1，即|b|<√k 2+1，必要性不成立，故“|b|<1”是“直线l 与⊙O 相交”的充分而不必要条件，故A 正确． 故选：A.根据已知条件，结合点到直线的距离公式，即可求解．本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化能力，属于中档题．7.【答案】A【解析】解：如图，过C 作l 的平行线，过A 1作该平行线的垂线，垂足为P ，则∠A 1CP =α，∴sinα=|A 1P||A 1C|，设正方体的棱长为1，则|A 1C|=√3，|A 1P|≥|A 1A|=1， ∴sinα=|A 1P||A 1C|≥√3=√33，当且仅当P 与A 重合时，取得等号，∴sinα的最小值为√33.故选：A.过点C作l的平行线，过A1作该平行线的垂线，垂足为P，则∠A1CP=α，则sinα=|A1P||A1C|，根据|A1P|≥|A1A|可求出结果．本题考查正方体结构特征、异面直线所成角的定义及正弦值求法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．8.【答案】D【解析】解：对于圆(x−2)2+(y−1)2=5，令x=0，解得y=0，2；令y=0，解得x=0，4.不妨取A(4,0)，B(0,2)，可得直线AB的方程：x4+y2=1，即x+2y−4=0.圆心C(2,1)满足直线BA的方程，下列点M中，使得△MAB为钝角三角形，则点M必须在⊙C的内部．经过验证(0,0)，(2,1−√5)在⊙C上，点(4,3√22)在⊙C的外部，只有点M(1,2√2)在圆的内部，故选：D.对于圆(x−2)2+(y−1)2=5，可得A(4,0)，B(0,2)，可得直线AB的方程x+2y−4=0.圆心C(2,1)满足直线BA的方程，下列点M中，使得△MAB为钝角三角形，点M必须在⊙C的内部，经过验证进而得出结论．本题考查了点及其直线与圆的位置关系、钝角三角形、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.【答案】A【解析】解：设火星半径为R，椭圆左焦点为F1，连接PF1，则∠MPN=2∠MPF1，因为sin∠MPF 1=RPF 1，所以PF 1越小，∠MPF 1越大，∠MPN 越大， 所以当点P 位于条件中点Q 处，对火星的观测角最大． 故选：A.连接点P 和椭圆的左焦点，由对称性和椭圆上点到焦点距离的特征得点P 位于条件中点Q 处，对火星的观测角最大．本题考查了椭圆的几何性质，属于中档题．10.【答案】C【解析】解：由于线面角的最大值为π2，因为NC 与MB 不可能垂直，故直线CN 与平面BMP 所成角的最大值达不到π2，故选项A 错误； 取DC 的中点为H ，A 1B 1的中点为P ，连接A 1C 1，B 1D 1相交于点O ，连接OH ，ON ，因为ON//HC 且ON =HC ，所以四边形ONCH 时平行四边形， 故OH//NC ，因为H ∈平面HBPD 1，OH ⊄平面HBPD 1，故CN 不能与平面BMP 平行，故B 错误； 因为V P−CNM =V M−PNC ，M 到平面PNC 的距离为12，故当点P 运动到点B 1时，△PNC 取最小值为12×12×1=14， 故V P−CNM =V M−PNC =13S △PNC ×12=124=13S △CNM ⋅ℎ，因为MC =√32，MN =√22，NC =√52，S △CNM =12×√32×√22=√68，故ℎ=√66，故C 正确；当点P ∉NC 时，满足MP ⊥平面NCP 的点P 共有1个，点当P 为平面BCC 1B 1的中心时满足，故D 错误． 故选：C.NC 与MB 不可能垂直，故选项A 错误；平移NC 与平面相交于一点H ，故选项B 错误；利用体积相等即可求出点P 到平面CNM 的距离的最小值为√66判断选项C ，当点P ∉NC 时，满足MP ⊥平面NCP 的点P 共有1个，当点P 为平面BCC 1B 1的中心时满足，故判断选项D.本题主要考查直线与平面所成的角，直线与平面的平行，直线与平面的垂直，点到平面的距离的求法，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题．11.【答案】√22【解析】解：∵(1+i)⋅z=i3，∴(1+i)z=−i，即z=−i1+i =−i(1−i)(1+i)(1−i)=−12−12i，∴|z|=√(−12)2+(−12)2=√22.故答案为：√22.根据已知条件你，结合复数的四则运算，以及复数模公式，即可求解．本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．12.【答案】−12【解析】解：∵直线l1：ax−y+2=0，直线l2：x−(a+1)y−1=0，且l1⊥l2，∴1×a+1×(a+1)=0，∴a=−12，故答案为：−12.直线的垂直关系可得a的方程，解方程可得a值．本题考查直线的一般式方程和垂直关系，属基础题．13.【答案】√3【解析】解：已知双曲线x 2a2−y2b2=1的渐近线为y=±bax，又双曲线x 2a2−y2b2=1的渐近线为y=±√2x，则ba=√2，则c 2−a2a2=2，即c 2a2=3，即ca=√3，即该双曲线的离心率为√3，故答案为：√3.由双曲线的性质，结合双曲线离心率的求法求解即可．本题考查了双曲线的性质，属基础题．14.【答案】8【解析】解：如图，设|OF2|=c，则a2=b2+c2，因△AF1F2面积为√3，且其为正三角形，又|OA|=b，则{b=√3c12⋅2c⋅b=√3⇒{b=√3c=1，则a=2，又直线BC过F1，与AF2垂直，△AF1F2为正三角形，则直线BC为AF2中垂线，则|AB|=|BF2|，|AC|=|CF2|，又|BC|=|BF1|+|F1C|，故△ABC的周长C=|BF2|+|BF1|+|F1C|+|F2C|，又C，B在椭圆上，则由椭圆定义有C=4a=8.故答案为：8.由△AF1F2面积为√3，且其为正三角形，可得a，然后由中垂线性质结合椭圆定义可得答案．本题考查了椭圆的性质，属于中档题．15.【答案】①③④【解析】解：直线l1的方程为x−2y+1=0，直线l2的方程为x+2y+1=0，设点P(x,y)，x≠1，则d1=√5，d2=√5，d3=|x−1|，所以d1d2d32=|x−2y+1|⋅|x+2y+1|5(x−1)2=15，化简可得|(x+1)2−4y2|=(x−1)2，对于①，在曲线C上任取一点P(x,y)，则点P关于x轴的对称点为P(x,−y)，所以|(x+1)2−4(−y)2|=|(x+1)2−4y2|=(x−1)2，故点P在曲线C上，故①对；对于②，设点P(x,y)，当(x+1)2≥4y2时，则曲线C的方程可化为(x+1)2−4y2=(x−1)2，可得y2=x，设坐标原点为O，则|OP|=√x2+y2==√x2+x≥0，且原点坐标满足方程|(x +1)2−4y 2|=(x −1)2，此时d 1d 2d 32=15有意义，故②错；对于③，当(x +1)2<4y 2，则曲线C 的方程可化为4y 2−(x +l)2=(x −1)2， 整理可得y 212−x 2=1，取双曲线y 212−x 2=1的焦点F 1(0,−√62)，F 2(0,√62)，根据双曲线的定义可知，曲线C 上有无数个点P ，使得||PF 1|−|PF 2||=2√12=√2，故③对； 对于④，当点P 在抛物线y 2=x 上，且x ≠1时， d 1+d 2=√5=22√5=2√5≥2√55，当且仅当y =0时，等号成立，当点P 在双曲线y 212−x 2=1的上支时，则y ≥√22，且y =√12(x 2+1)且x ≠1，此时d 1+d 2=√5=|x−√2(x 2+1)+1|+|x+√2(x 2+1)+1|√5，因为(√2(x 2+1))2−(x +l)2=(x −1)2>0， 所以√2(x 2+1)>x +1且√2(x 2+1)>−(x +1)， 故d 1+d 2=|x−√2(x 2+1)+1|+|x+√2(x 2+1)+1|√5=√2(x 2+1)−(x+1)+√2(x 2+1)+(x+1)√5=2√2(x 2+1)√5≥√2√5=2√105， 当且仅当x =0时，等号成立； 当点P 在y 212−x 2=1的下支时，同理可求得d 1+d 2的最小值为2√105，综上所述，d 1+d 2的最小值为2√55，故④对． 故答案为：①③④．设点P(x,y)，求出点P 的轨迹方程，根据曲线对称性的定义可判断①；化简曲线C 的方程，利用两点间的距离公式结合二次函数的基本性质可判断②；化简曲线C 的方程，根据双曲线的定义可判断③；对点P 的位置进行分类讨论，利用二次函数的基本性质可求得d 1+d 2的最小值可判断④． 本题主要考查曲线有关几何性质的应用，解题的关键在于根据题中的几何关系求出曲线的方程，并对曲线的方程进行化简，进而通过曲线的方程对曲线的几何性质进行分析求解，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于难题．16.【答案】解：(Ⅰ)当k =1时，直线l 2：y =x −2，又直线l 1：y =1，∴可得A 为(3,1)，∴C 为(−3,−1)； (Ⅰ)联立{y =1y =kx −2，可得A(3k ,1)，设D(t,kt −2)，又四边形ABCD 为菱形，∴B(−t,2−kt)，且k OA ⋅k OD =−1，又B 在直线l 1：y =1上，∴{2−kt =113k⋅kt−2t=−1，解得k =±√3， ∴k 的值为±√3.【解析】(Ⅰ)求出A 点坐标，从而可得C 点坐标； (Ⅰ)根据菱形的性质，建立方程即可求解．本题考查直线，点的对称性问题，菱形的性质，方程思想，属中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)曲线M 上的任意一点P 到点(1,0)的距离比它到直线x =−2的距离小1，所以P 到点(1,0)的距离等于它到直线x =−1的距离，根据抛物线的定义可知， M 为抛物线，且焦点为(1,0)，故p =2， 故M 的方程为：y 2=4x ； (Ⅰ)由题意设B(x 1,y 1)，C(x 2,y 2)，且BC 所在直线为x −2=m(y −1)，代入y 2=4x 整理得： y 2−4my +4m −8=0，易知Δ>0， 且y 1+y 2=4m ，y 1y 2=4m −8，故|y 1−y 2|=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=4√m 2−m +2=4√(m −12)2+74≥2√7，当m =12时取等号，故S △EBC =12|AE||y 1−y 2|≥12×2×2√7=2√7， 故当m =12时，△EBC 的面积的最小值为2√7.【解析】(Ⅰ)根据抛物线的定义，求出曲线M 的方程；(Ⅰ)把直线B(x 1,y 1)，C(x 2,y 2)的方程设成x −2=m(y −1)，代入曲线M 的方程消去x ，然后将|y 1−y 2|表示为m 的函数，求其最小值即可．本题利用抛物线的定义求其标准方程，以及直线与抛物线的位置关系，属于中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，点F为PD 的中点，∴取PA 的中点E ，连接EF ，EG ，则易得EF//GC ，且EF =GC ， ∴四边形EFCG 为平行四边形，∴CF//GE ，又CF ⊄平面PAG ，GE ⊂平面PAG ， ∴CF//平面PAG ；(Ⅰ)根据题意可得：选条件①，②或选条件①，③才能使四棱锥P −ABCD 唯一确定， 当选条件①，②时，则PA ⊥平面ABCD ，AD =BC =2√2， 又PA =AB =2，且直线PC 与平面ABCD 所成的角为∠PCA =30∘， ∴AC =√3PA =2√3，∴AB 2+BC 2=AC 2，∴AB ⊥BC ，∴底面平行四边形ABCD 为矩形，当选条件①，③时，则PA ⊥平面ABCD ，平面PAB ⊥平面PAD ， ∴∠BAD =90∘，又PA =AB =2，且直线PC 与平面ABCD 所成的角为∠PCA =30∘， ∴AC =√3PA =2√3，∴BC =√12−4=2√2， 故选条件①，②或选条件①，③确定的四棱锥P −ABCD 相同，∴建系如图，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2√2,0)，D(0,2√2,0)，F(0,√2,1)，∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2√2,0)，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√2,1)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2√2,0)，(i)∵CD//BA ，CD ⊄平面ABF ，BA ⊂平面ABF ， ∴CD//平面ABF ，∴直线CD 到平面ABF 的距离等于D 到平面ABF 的距离， 又AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2√2,0)，设平面ABF 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y,z)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =√2y +z =0m ⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x =0，取m ⃗⃗⃗ =(0,1,−√2)，∴D 到平面ABF 的距离d =|AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ ||m⃗⃗⃗ |=2√2√3=2√63； (ii)设平面AFC 的法向量为n ⃗ =(a,b,c)，则{n ⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =√2b +c =0n ⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a +2√2b =0，取n ⃗ =(√2,−1,√2)，又由(i)知平面ABF 的法向量m ⃗⃗⃗ =(0,1,−√2)，设二面角B −AF −C 的平面角为θ，由图可知θ为锐角， ∴cosθ=|cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=|m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ||m ⃗⃗⃗ ||n ⃗ |=3√5×√3=√155，故二面角B −AF −C 的余弦值为√155.【解析】(Ⅰ)根据线面平行的判定定理即可证明；(Ⅰ)选条件①，②或选条件①，③都可以确定四棱锥P −ABCD ，再利用向量法即可分别求解(i)与(ii).本题考查线面平行的判定定理，向量法求解点面距问题，向量法求解二面角问题，属中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)∵椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的焦距为2，长轴长为4，∴c =1，a =2，∴b 2=4−1=3，∴椭圆E 的方程为x 24+y 23=1；(Ⅰ)存在定点P(−43,0)，使得B′恒在直线PC 上，理由如下：设直线l ：x =my −3，设B(x 1,y 1)，C(x 2,y 2)，B′(x 1,−y 1)， ∴PC⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2+43,y 2)，PB′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+43,−y 1)，由{x 24+y 23=1x =my −3，得(3m 2+4)y 2−18my +15=0，∴Δ=8(3m 2−5)>0，y 1+y 2=18m3m 2+4，y 1y 2=153m 2+4， ∵x 1=my 1−3，x 2=my 2−3，∴(x 2+43)y 1+(x 1+43)y 2=2my 1y 2−53(y 1+y 2)=2m ×153m 2+4−53×18m3m 2+4=0，∴PC ⃗⃗⃗⃗⃗ //PB′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴B′，P ，C 三点共线．【解析】(Ⅰ)由已知易得c ，a ，进而可求椭圆E 的方程；(Ⅰ)存在定点P(−43,0)，使得B′恒在直线PC 上，设直线l ：x =my −3，设B(x 1,y 1)，C(x 2,y 2)，B′(x 1,−y 1)，可得PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2+43,y 2)，PB′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+43,−y 1)，可证PC ⃗⃗⃗⃗⃗ //PB′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，从而可得B′，P ，C 三点共线．本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，属中档题．。
解析几何大题精选四套(答案)
解析几何大题精选四套（答案）解析几何大题训练（一）1. （2011年高考江西卷) (本小题满分12分）已知过抛物线()022>=p px y 的焦点，斜率为22的直线交抛物线于()12,,A x y ()22,B x y （12x x <）两点，且9=AB ．（1）求该抛物线的方程；（2）O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OB OA OC λ+=，求λ的值．2. （2011年高考福建卷)（本小题满分12分）如图，直线l ：y=x+b 与抛物线C ：x 2=4y 相切于点A 。
（1） 求实数b 的值；（11） 求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程.3. (2011年高考天津卷)（本小题满分13分） 设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ,点(,)P a b 满足212||||PF F F =. （Ⅰ）求椭圆的离心率e ;(Ⅱ)设直线2PF 与椭圆相交于A,B 两点.若直线2PF 与圆22(1)(16x y ++-=相交于M,N 两点,且|MN|=58|AB|,求椭圆的方程.4.（2010辽宁）（本小题满分12分）设1F ，2F 分别为椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点，过2F 的直线l 与椭圆C 相交于A ,B两点，直线l 的倾斜角为60，1F 到直线l 的距离为（Ⅰ）求椭圆C 的焦距；（Ⅱ）如果222AF F B =,求椭圆C 的方程.解析几何大题训练（二）1.（2010辽宁）（本小题满分12分）设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60o ,2AF FB =.(I)求椭圆C 的离心率； (II)如果|AB|=154，求椭圆C 的方程.2.（2010北京）（本小题共14分）已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是(，y=t 椭圆C 交与不同的两点M ，N ，以线段为直径作圆P,圆心为P 。
2011海淀高二理科-2-2
海淀区高二年级第二学期期中练习数学（理科）2011.04学校 班级 姓名 成绩一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）复数()i i 2z =+在复平面上对应的点位于 ( ) （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 （2）计算20cos xdx π⎰的结果是（ ）（A ）2π-（B ）2π（C ）1- （D ）1 （3）已知函数()f x 的导函数'()f x 的图象如图所示，那么( ) （A ）-1是函数()f x 的极小值点（B ）1是函数()f x 的极大值点 （C ）2是函数()f x 的极大值点 （D ）函数()f x 有两个极值点（4）已知2i ()2i 1ia b -=-++（i 为虚数单位），那么实数,a b 的值分别为 （ ） （A ）2,5 （B ）3,1- （C ）1,1- （D ）32,2-（5）下面是一段“三段论”推理过程：对于定义域为R 的可导函数()f x ，如果()0f x '<，那么对于M "?R ，0x $?R 使得0()f x M <. 因为函数()2x f x -=的导函数()0f x '<，所以，对于1-，0x $?R 使得0()1f x <-.以上推理中 （ ）（A ）大前提错误（B ）小前提错误（C ）推理形式错误 （D ）结论正确（6）函数3()1f x ax x =++有极值的一个充分而不必要条件是 （ ） （A ）0<a （B ）0a > （C ）1a <- （D ）1a <（7）函数[](),5,5y f x x =∈-的图象如图所示，该曲线在原点处的切线方程为y x =，且导函数()'f x 是减函数. 给出下列四个命题：①A ，B 是该图象上的任意两点，那么直线AB 的斜率()0,1AB k Î； ②点P 是该图象在第一象限内的部分上的点，那么直线OP 的斜率()0,1OP k Î；③对于[]12,5,5x x "?，()()121222x x f x f x f 骣+÷ç+?÷ç÷ç桫恒成立； ④对于[]5,5x "?，()f x x £.其中所有真命题的序号是 （ ） （A ）①②③（B ）②③④ （C ）②④ （D ）①③ （8）若函数ln ()xf x x=的图象恰与直线y b =有两个公共点，则实数b 的取值范围是（ ） （A ）1(0,)e（B ）1(,)e∞- （C ）(0,e) （D ）(e,)+∞ 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上.（9）已知质点按规律23s t t =+（距离单位：米；时间单位：秒）运动，那么质点在3秒时的瞬时速度为 米/秒.（10）在复平面内，点A 对应的复数为43i +，点B 对应的复数为2i -+，那么线段AB 的中点C 到原点的距离为 .（11）如图，由曲线()20y x x =≥和直线0x =，2x =，1y =所围成的图形（阴影部分）的面积为 ．（12）已知123,,,...,(0,)n x x x x ∈+∞.若121x x +=，则y =若1231x x x ++=，则y =若12341x x x x +++=，则y =；……若1231...1n n x x x x x -+++++=，猜测y =...+_______________.（13）根据圆22122:1x y C R R+=的面积为2R π，椭圆()22222:10x y C a b a b +=>>的面积为ab π，圆1C 绕x 轴旋转得到的球的体积为343R π，可推知椭圆2C 绕x 轴旋转得到的椭球的体积为 .（14）定义：设函数()y f x =的导函数是'()y f x =，称()'yx x f x yε=?为函数()f x 的弹性函数.函数()32e x f x =的弹性函数为 ；若函数()1f x 与()2f x 的弹性函数分别为1f x ε与2f x ε，则12()()y f x f x =+（12()()0f x f x +?）的弹性函数为 .（用1f x ε，2f x ε，()1f x 与()2f x 表示）三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题共10分）如图，在三棱锥P －ABC 中，D 、E 分别是棱PB ，PC 的中点，PA ^平面ABC ，BC AC ^.（Ⅰ）求证：BC ∥平面AED ； （Ⅱ）求证：平面PBC ^平面PAC .E DCBAP(16)（本小题共11分）已知函数()3221f x x x =-+.（Ⅰ）求函数()f x 在[1,2]-上的最大值和最小值；（Ⅱ）曲线()y f x =上是否存在一点P ，使得在点P 处的切线平行于直线230x y ++=？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.(17)（本小题共11分）已知函数2()(21)ln (0)f x x a x a x a =-++>. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 在[1,2]上总存在12,x x ，使得()()()12120x x f x f x 轾-->臌成立，求实数a 的取值范围．(18)（本小题共12分）已知数列}{n a 满足：,3,2321===a a a ).2()1(212≥-+=++n a a a nnn n（Ⅰ）求54,a a ；（Ⅱ）是否存在实数λ，使得数列}{1n n a a λ-+（n *ÎN ）是等差数列？若存在，求出所有满足条件的λ的值；若不存在，说明理由； （Ⅲ）设21n n n b a a μ++=-（n *ÎN ），若数列}{n b 是等比数列，求实数μ的值.。
2011-2012年高考数学 真题分类汇编 第二章空间中点线面的位置关系（含解析）新人教版必修2
必修2空间中点线面的位置关系1.（2012·陕西高考卷·T5·5分）如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱111ABC A B C -，12CA CC CB ==，则直线1BC 与直线1AB 夹角的余弦值为（ ）A .5B.5C.25D.35【答案】A 【解析】11111112222(0,2,0),(0,2,1),(2,2,1),(0,2,1),cos ,5A.(2)212(1)B AB BC AB BC ∴=-=-==-++⨯+-设CB=1，则CC =CA=2，A(2,0,0),B(0,0,1),C 故选【点评】本题主要考查用空间向量求异面直线夹角的余弦值，是向量在空间几何中的应用. 2.（2012·四川高考卷·T10·5分）如图，半径为R 的半球O 的底面圆O 在平面α内，过点O 作平面α的垂线交半球面于点A ，过圆O 的直径CD 作平面α成45角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为B ，该交线上的一点P 满足60BOP ∠=，则A 、P 两点间的球面距离为（ ）A 、2R 、4R π C 、3R 、3R π[答案]A[解析] 以O 为原点，分别以OB 、OC 、OA 所在直线为x 、y 、z 轴，则A )0,23,21(),22,0,22(R R P R RαCAO DBP 2•42arccos=∠∴AOP42arccos ⋅=∴R P A[点评]本题综合性较强，考查知识点较为全面，题设很自然的把向量、立体几何、三角函数等基础知识结合到了一起.是一道知识点考查较为全面的好题.要做好本题需要有扎实的数学基本功.3.（2011年重庆）高为的四棱锥S-ABCD 的底面是边长为1的正方形，点S 、A 、B 、C 、D 均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离为A．4 B．2C ．1D【答案】C4.（2011年浙江）下列命题中错误的是A ．如果平面αβ⊥平面，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC ．如果平面αγ⊥平面，平面βγ⊥平面，=l αβ⋂，那么l γ⊥平面D ．如果平面αβ⊥平面，那么平面α内所有直线都垂直于平面β【答案】D5.（2011年四川）1l ，2l ，3l是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是 A ．12l l ⊥，23l l ⊥13//l l ⇒ B ．12l l ⊥，23//l l ⇒13l l ⊥C ．233////l l l ⇒1l ，2l ，3l 共面D ．1l，2l，3l共点⇒1l，2l，3l共面【答案】B【解析】A 答案还有异面或者相交，C 、D 不一定6.（2011年全国大纲）已知直二面角α− ι−β，点A∈α，AC⊥ι，C 为垂足，B∈β，BD⊥ι，D 为垂足．若AB=2，AC=BD=1，则D 到平面ABC 的距离等于A ．23B ．33 C ．63 D ．1【答案】C7.（2011年全国大纲）已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成060二面角的平面β截该球面得圆N ．若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为A ．7πB ．9πC ．11πD ．13π【答案】D8.（2011年江西）已知1a ，2a ，3a 是三个相互平行的平面．平面1a ，2a 之间的距离为1d ，平面2a ，3a 之间的距离为2d ．直线l 与1a ，2a ，3a 分别相交于1p ，2p ，3p ，那么“12PP =23P P ”是“12d d =”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C9.（2012·浙江高考卷·T11·4分）已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，则该三棱锥的体积等于___________cm 3．【解析】观察三视图知该三棱锥的底面为一直角三角形，右侧面也是一直角三角形．故体积等于11312123⨯⨯⨯⨯=．【答案】1【点评】该题主要考察空间几何体的三视图以及多面体体积 的计算，抓住其直观图的形状特点是关键.10.（2012·天津高考卷·T10·5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为_________m 3.1363223【答案】)2(9+π【命题透析】本题考查了三视图，空间几何体的体积..【思路点拨】先由三视图还原几何体，后求其体积.由题可知此几何体为两球相切，上面放一柱体，其体积为)2(9136)23(3423+=⨯⨯+⨯⨯⨯ππ. 11.（2012·四川高考卷·T14·4分）如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，M 、N 分别是CD 、1CC 的中点，则异面直线1A M 与DN 所成角的大小是____________。
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2011.01 1. 椭圆1162522=+yx的焦点坐标为A. (3±，0)B. (4±，0)C. (0， 3±)D. (0， 4±)3.已知双曲线经过点（6，3） ，且它的两条渐近线的方程是x y 31±=，那么此双曲线的方程是A.193622=-yxB.198122=-yxC.1922=-yxD.131822=-yx4.命题“Q a ∈∀，a a≥2”的否定是 A. Q a ∉∀，a a≥2B. Q a ∈∃，a a<2C. Q a ∈∃，a a≥2D. Q a ∉∀，a a<25.如图，已知10||=AB ，图中的一系列圆是圆心分别A ，B 的两组同心圆，每组同心圆的半径分别是1，2，3，…，n ，利用这两组同心圆可以画出以A ，B 为焦点的椭圆，设其中经过点M ，N ，P 的椭圆的离心率分别是M e ，N e ，P e ，则A. M e =N e =P eB. P e <M e =N eC. M e <N e <P eD. P e <M e <N e6.已知点M 是平面α内的动点，1F ，2F 是平面α内的两个定点，则“点M 到点1F ，2F 的距离之和为定值”是“点M 的轨迹是以1F ，2F 为焦点的椭圆”的A.充分必要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 即不充分也不必要条件8.如图，点A ，B ，C 是椭圆M ：12222=+by a x 的三个顶点，1F ，2F 是它的左、右焦点，P 是M 上一点，且OB PF ⊥2。
则下列命题：①存在a ，b 使得P AF 2∆为等腰直角三角形②存在a ，b 使得P F F 21∆为等腰直角三角形 ③存在a ，b 使得P OF 2∆为等腰直角三角形 ④存在a ，b 使得P BF 2∆为等腰直角三角形 其中真命题的个数是 A.1 B. 2 C. 3 D. 411．已知抛物线x y 42=，P 是抛物线上一点，F 为焦点，若5||=PF ，则点P 的坐标是________.14. 定义：在平面直角坐标系xOy 中，任意两点A （1x ，1y ），B （2x ，2y ）之间的“直角距离”为A d (，||||)2121y y x xB -+-=；平面内一点C 到一条直线l 的“直角距离”为点C 与直线l 上的每一点的“直角距离”最小值.已知点A （1，1），那么A d (，=)O _______；若动点M （x ，y ）与点C （1-，0），D （1，0）的“直角距离”之和为4，记点M 到直线33++=k kx y （k 大于零的常数）的“直角距离”的最小值为)(k f ，则=)(k f ___________.15．在平面直角坐标系xOy 中，已知动点M （x ，y ）和N （4-，y ）满足→→⊥ON OM .（1）求动点M 的轨迹C 的方程；（2）若过点D （1，1-）的直线与轨迹交C 于A 、B 两点，且D 为线段AB 的中点，求此直线的方程。
18．已知椭圆1C 的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上.（1）若椭圆1C 过点（2，0）和（0，2），求椭圆1C 的标准方程；（2）试判断命题“若圆1:222=+y x C （在椭圆1C 内）任意一条切线都与椭圆1C 交于两点，且这两点总与坐标原点构成直角三角形，则满足条件的椭圆1C 恒过定点”的真假。
若命题为真命题，求出定点坐标，若为假命题，说明理由。
1、A3、B4、B5、D6、C8、B10、(44)±，;14、2，3+1,1()=2k+2,0<<1k f k kk ⎧≥⎪⎨⎪⎩15、（1）2=4y x （2）2+-1=0x y ；18、(1)12422=+xy(2)①当切线斜率不存在时，切线方程为1±=x ，与椭圆交点的纵坐标，12-±=a ab y ，又三角形为直角三角形，∴112=-a ab ，∴1222-=a ab ，∴椭圆方程为1)1(22222=-+axa ay ，整理得0)1(2222=-+-y a y x ，∴⎩⎨⎧=-=-001222y x y ，∴⎩⎨⎧±=±=11y x ∴过定点)1,1(±± ②设切线方程为n kx y +=，与122=+y x 相切得122+=k n ，由⎪⎩⎪⎨⎧=++=12222b yax nkx y 消去y 得02)(222222222=-+++b a n a knx a x k a b ，2222122ka b kn a x x +-=+，222222212ka b b a n a x x +-=，2222222221ka b b a k n b y y +-=，∵2121=+y y x x ，∴0))(1(22222=-++b a a b k ∴02222=-+b a a b ，∴11122=+ba，∴点)1,1(±±也适合椭圆方程。
2012.01 1.双曲线22122xy-=的渐近线方程为（ ）A. y x =±B. y =C. 2y x =±D. 4y x =± 2. 已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若1313=-S S ，则数列}{n a 的公差是（ ）A ．21 B ．1 C ．2 D ．34.已知1:1p x<，:1q x >，则p 是q 的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 5.命题p ：R ,x ∀∈210ax ax ++≥，若p 是假命题，则实数a 的取值范围是（ ） A.(0,4) B.[0,4] C.(,0)(4,)-∞+∞ D. (,0][4,)-∞+∞6. 点(2,)P t 在不等式组4030x y x y --≤⎧⎨+-≤⎩表示的平面区域内，则点(2,)P t 到原点距离的取值范围是（ ）A.[2,3]B. [2,C. [2,D. [2,4]7. 已知定点(1,0),(1,0)A B -, P 是动点且直线,PA PB 的斜率之积为λ，0λ≠，则动点P 的轨迹不可能．．．是（ ） A. 圆的一部分 B. 椭圆的一部分 C. 双曲线的一部分 D. 抛物线的一部分 8.在椭圆22221(0)x y a b ab+=>>中, 12,F F 为其左、右焦点，以21F F 为直径的圆与椭圆交于D C B A ,,,四个点，若21,F F ,D C B A ,,,恰好为一个正六边形的六个顶点，则椭圆的离心率为( ) 9. 抛物线22y x =上横坐标为2的点到其焦点的距离为________.10.在A B C ∆中，3,5,120a b C === ，则_______,sin _______.c A ==11.空间向量a )0,1,2(-=,b )1,0,1(-=,n ),,1(z y =，若n ⊥a ，n ⊥b ，则z y +=_____.12.若直线y x t =+与抛物线24y x =交于两个不同的点A B 、，且弦AB 中点的横坐标为3，则____t =.13.数列{}n a 的前n 项和为2*,N n S n n n =+∈，则______,n a = 数列2{}9n a n +中最大项的值为________.14.若椭圆1C ：1212212=+b ya x（011>>b a ）和椭圆2C ：1222222=+b ya x（022>>b a ）的离心率相同，且12a a >.给出如下四个结论：①椭圆1C 和椭圆2C 一定没有公共点； ②1122a b a b =；③22221212a a b b -<-； ④1212a a b b -<-.则所有结论正确的序号是________.15.已知椭圆22:184xyC +=的左焦点为1F ，直线2:-=x y l 与椭圆C 交于B A 、两点.(I) 求线段A B 的长； (II)求1ABF ∆的面积.16. （本小题共12分）数列{}n a 的前n 项和为n S . 若11=a ,且2(1)n n S n a =+，*N n ∈.(I) 求{}n a 的通项公式和n S ;(II) 设n a b n 2=, 求}{n b 的前n 项和.18.（本小题共10分）椭圆2222:1x y C ab+=(0)a b >>, 直线(1)y k x =-经过椭圆C 的一个焦点与其相交于点,M N ，且点3(1,)2A 在椭圆C 上 .( I ) 求椭圆C 的方程；( II ) 若线段M N 的垂直平分线与x 轴相交于点P ，问：在x 轴上是否存在一个定点Q ，使得||||P Q M N 为定值？若存在，求出点Q 的坐标和||||P Q M N 的值；若不存在，说明理由.1、A2、B4、B5、C6、B7、D8、C9、52;10、7，14;11、3;12、52-;13、2n ，13；14、①，④； 15、(I)；16、(I)=n a n ，(-1)=2n n n S ；(II)2-1nn T =；18、(I)22143xy+= (II)存在， 2222(3+4)-8+4-12=0k x k x k ， 12228+=3+4kx x k，12224-12=3+4k x x k，122-6+=3+4k y y kP(2273+4k k,0)，Q(a ,0),|MN|=2212(1)3+4k k+,=7a。