2018届高考数学二轮复习疯狂专练16导数及其应用文 Word版含答案

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2018高考文科数导数及应用专项100题(WORD版含答案)

2018高考文科数导数及应用专项100题（WORD版含答案）一、选择题（本题共22道小题）1.设函数f（x）=ln（1+|x|）﹣，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的取值范围是（）A．（﹣∞，）∪（1，+∞）B．（，1）C．（）D．（﹣∞，﹣，）2.曲线在x=e处的切线方程为（）A．y=x B．y=e C．y=ex D．y=ex+13.设函数f（x）=ax+sinx+cosx．若函数f（x）的图象上存在不同的两点A、B，使得曲线y=f（x）在点A、B处的切线互相垂直，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．[﹣1，1]4.已知4()(2)(0)1xf x a x xx=-+>+，若曲线()f x上存在不同两点A，B，使得曲线()f x在点A，B处的切线垂直，则实数a的取值范围是A. (B. (-2, 2)C. (2)D. (2-5.等差数列{a n}中，a1，a4025是函数的极值点，则log2a2013等于（）A．2 B．3 C．4 D．56.对任意x∈R*，不等式lnx≤ax恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（0，）B．[，+∞） C．（﹣∞，] D．[e，+∞）7.已知函数f（x）的定义域为R，且为可导函数，若对∀x∈R，总有2f（x）+xf′（x）＜0成立（其中f′（x）是f（x）的导函数），则（）A．f（x）＞0恒成立B．f（x）＜0恒成立C．f（x）的最大值为0 D．f（x）与0的大小关系不确定8.若存在两个正实数x，y，使得等式2x+a（y﹣2ex）（lny﹣lnx）=0成立，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．9.函数，则函数的导数的图象是（）A．B．C．D．10.已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f′(x)，若对于任意实数x有f′(x)+ f(x)＞0，且f(0)=1，则不等式e x f(x) ＞1的解集为（）A．(－∞，0) B．(0，+∞) C. (－∞，e) D．(e，+∞)11.已知函数f（x）=x2+cosx，f′（x）是函数f（x）的导函数，则f′（x）的图象大致是（）A． B．C． D．12.已知△ABC的面积为l，内切圆半径也为l，若△ABC的三边长分别为a，b，c，则的最小值为（）A．2 B．C．4 D．13.定义在R上的奇函数y=f（x）满足f（3）=0，且当x＞0时，不等式f（x）＞﹣xf′（x）恒成立，则函数g（x）=xf（x）+lg|x+1|的零点的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．414.已知函数f（x）的导函数为f'（x），且满足f（x）=2x2﹣f（﹣x）．当x∈（﹣∞，0）时，f'（x）＜2x；若f（m+2）﹣f（﹣m）≤4m+4，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣∞，﹣2] C．[﹣1，+∞）D．[﹣2，+∞）15.已知定义在（0，）上的函数f（x），f′（x）为其导函数，且f（x）＜f′（x）•tanx恒成立，则（）A． f（）＞f（）B． f（）＜f（）C． f（）＞f（）D．f（1）＜2f（）•sin116.设a∈R，函数f（x）=e x+a•e﹣x的导函数是f′（x），且f′（x）是奇函数．若曲线y=f（x）的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为（）A．ln2 B．﹣ln2 C．D．17.已知，f（x）在x=x0处取得最大值，以下各式中正确的序号为（）①f（x0）＜x0；②f（x0）=x0；③f（x0）＞x0；④；⑤．A．①④B．②④C．②⑤D．③⑤18.若函数在区间（1，2）上单调递减，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．[2，+∞）19.设直线l1，l2分别是函数f（x）=图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，2）C．（0，+∞）D．（1，+∞）20.已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）21.设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0） D．（0，1）∪（1，+∞）22.函数f（x）=x+的极值情况是（）A．既无极小值，也无极大值B．当x=﹣2时，极大值为﹣4，无极小值C．当x=2，极小值为4，无极大值D．当x=﹣2时，极大值为﹣4，当x=2时极小值为4二、填空题（本题共17道小题）23.若函数f（x）=lnx﹣f′（1）x2+3x+2，则f′（1）= ．24.函数y=x+lnx在点（1，1）处的切线方程为．25.已知曲线f（x）=e x﹣mx+1存在与直线y=ex垂直的切线，则实数m的取值范围为．26.已知函数f（x）满足xf′（x）=（x﹣1）f（x），且f（1）=1，则f（x）的值域为．27.点P（x0，y0）是曲线y=3lnx+x+k（k∈R）图象上一个定点，过点P的切线方程为4x﹣y﹣1=0，则实数k的值为．28.若函数f（x）=ae x﹣x有两个零点，则实数a的取值范围是．29.函数y=（x+a）e x在x=0处的切线与直线x+y+1=0垂直，则a的值为．30.结合所学知识，土地革命是指打土豪、分田地，题目中并未牵涉，故A项错误；根据题目中“建立革命平民的民权的城市政府”得出：此时中共还坚持以城市为中心的革命模式，故B项正确；结合所学知识，此时中共并未摆脱共产国际的影响，中共独立作出决策，摆脱共产国际的影响是在1935年遵义会议，故C项错误；主张走农村包围城市的革命道路是在秋收起义进攻长沙失败后，与题意不符，故D项错误。

导数及其应用高考题精选(含答案)(K12教育文档)

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导数及其应用高考题精选1.（2010 ·海南高考·理科T3）曲线2xy x =+在点()1,1--处的切线方程为（）（A ）21y x =+ （B)21y x =- (C ）23y x =-- (D)22y x =--【命题立意】本题主要考查导数的几何意义，以及熟练运用导数的运算法则进行求解.【思路点拨】先求出导函数，解出斜率,然后根据点斜式求出切线方程. 【规范解答】选A 。

因为22(2)y x '=+，所以，在点()1,1--处的切线斜率1222(12)x k y =-'===-+，所以，切线方程为12(1)y x +=+，即21y x =+，故选A.2.（2010·山东高考文科·Ｔ8)已知某生产厂家的年利润y （单位：万元)与年产量x (单位：万件）的函数关系式为31812343y x x =-+-，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为（）(A ） 13万件 (B) 11万件（C ） 9万件 (D) 7万件【命题立意】本题考查利用导数解决生活中的优化问题，考查了考生的分析问题解决问题能力和运算求解能力. 【思路点拨】利用导数求函数的最值。

【规范解答】选C ，2'81y x=-+,令0y '=得9x =或9x =-(舍去），当9x <时'0y >；当9x >时'0y <,故当9x =时函数有极大值，也是最大值，故选C 。

2018届高考数学二轮复习疯狂专练16导数及其应用定积分理 Word版含答案

2020届高考数学二轮复习疯狂专练16导数及其应用(理)

疯狂专练16 导数及其应用1．设函数2()(2)f x x x=-，则()f x的单调递增区间是（）A．4(0,)3B．4(,)3+∞C．(,0)-∞D．4(,0)(,)3-∞+∞2．函数22xy x e=，则y'=（）A．22xxe B．2212xx e C．2222x xxe x e+D．222122x xxe x e+3．()(ln22),[1,]f x x x x e=-∈，当()f x取到最小值时，x的值为（）A．1 B．e C．2eD．3e4．直线y x=是曲线lny a x=+的一条切线，则实数a的值为（）A．1-B．e C．ln2D．15．已知函数()f x的导数为3()44f x x x'=-，且()f x图像过点(0,5)-，则函数()f x的极大值为（）A．1-B．5-C．6-D．06．设()f x'是函数)(xf的导函数，()y f x'=的图像如图所示，则)(xfy=的图像最可能是（）7．设函数()f x、()g x在[,]a b上可导，且()()f xg x''>，则当a x b<<时，有（）A．()()f xg x>B．()()f xg x<C．()()()()f xg b g x f b+>+D．()()()()f xg a g x f a+>+8．设底为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为（）一、选择题ABCD．9．已知函数()sin cos f x x x x =+，则(3)f -与(2)f 的大小关系是（） A ．(3)(2)f f -<B ．(3)(2)f f ->C ．(3)(2)f f -=D ．不能确定10．函数1y x =+的最大值为（） A ．21 B ．1C ．33 D ．23 11．曲线1y x=，直线y x =，x a =，2(1)x a a =>所围成的图形的面积为6ln 2-，则a 等于（） AB ．2C ．3D ．412．当0x ≠时，有不等式（） A ．1x e x <+ B ．当0x >时，1x e x <+；当0x <时，1x e x >+ C ．1x e x >+ D ．当0x <时，1x e x <+；当0x >时，1x e x >+13．2(21)d x x --=⎰__________．14．如图，函数3()()1g x xf x x =+-的图像在点P 处的切线方程是122y x =--，且()f x 也是可导函数，则(2)(2)f f '-+-=__________．15．设有长为a ，宽为b 的矩形()a b >，其一边在半径为R 的半圆的直径上，另两个顶点在半圆的圆周上，则此矩形的周长最大时，ab=__________． 16．函数2()ln f x x =，则()f x '=________，xxy 2ln 2=的极大值是________．二、填空题1．【答案】A【解析】32()2f x x x =-+，则24()343()3f x x x x x '=-+=--，由()0f x '>，得403x <<，则()f x 的单调递增区间是4(0,)3． 2．【答案】D【解析】22222221()()22x x x xy x e x e xe x e '''=+=+．3．【答案】C【解析】()ln 22f x x x x =-，则1()ln 222ln 212f x x x x x'=+⋅⨯-=-，由()0f x '=，可得2e x =，当12e x ≤<时，()0f x '<；当2ex e <≤时，()0f x '>，则知()f x 取到最小值时，x 的值为2e．4．【答案】D【解析】ln y a x =+的导数1y x'=，由1y '=，则1x =，切点在直线y x =上，则切点为(1,1)，它也在曲线ln y a x =+上，则1a =． 5．【答案】B【解析】由3()44f x x x '=-，反过来则42()2f x x x c =-+，过点(0,5)-，则42()25f x x x =--，由3()440f x x x '=-=，得0x =，1x =±，当1x >时，()0f x '>；当01x <<时，()0f x '<；当10x -<<时，()0f x '>；当1x <-时，()0f x '<，则知(0)5f =-为()f x 的极大值．答案与解析一、选择题6．【答案】C【解析】由图知当0x <时，()0f x '>；02x <<时，()0f x '<；2x >时，()0f x '>，则()f x 的图像在0x <时递增，在02x <<时递减，在2x >时递增． 7．【答案】D【解析】记()()()F x f x g x =-，则可得()()()0F x f x g x '''=->，那么()F x 在[,]a b 上为增函数，则()()F x F a >，则()()()()f x g x f a g a ->-，则D 正确． 8．【答案】C【解析】设底面边长为a ，高为h，则2V h =，则h =，则表面积232S ah a =+，化为22S a a =+，则2S a '=-，由0S '=，得a =9．【答案】A【解析】()sin cos sin cos f x x x x x x x '=+-=，当ππ2x <<时，()0f x '<，知()f x 在ππ2x <<时为减函数，则(3)(2)f f <，而()f x 为偶函数，则(3)(2)f f -<． 10．【答案】C【解析】y '==知122x <<时，0y '>；当2x >时，0y '<，则当2x =时的值33就是y 的最大值． 11．【答案】B 【解析】1y x=与y x =的交点为(1,1)，那么所围成的图形的面积222213()d (ln )ln 222aaaax S x x x a x =-=-=-⎰，则23ln 26ln 22a -=-，得2a =． 12．【答案】C【解析】()x f x e x =-，则()1xf x e '=-，当0x >时，()0f x '>，知()f x 为增函数，则()(0)f x f >，得1x e x ->，有1x e x >+；同理得0x <时，1x e x >+．13．【答案】3【解析】画出21y x =--在[0,2]x ∈的图像，求面积即可．14．【答案】14【解析】知(2,1)P --，则312(2)(2)1f -=--+--，则(2)4f -=-，又可得2()()()3g x f x xf x x ''=++，知1(2)g '-=-，那么142(2)122f '-=---+，则17(2)4f '-= 15．【答案】4【解析】设在半圆的圆周上的一个顶点与圆心的连线与半圆的直径所成的角为απ(0)2α<<，则sin b R α=，2cos a R α=，则此矩形的周长l 为4cos 2sin l R R αα=+，则2cos 4sin l R R αα'=-，由0l '=，得cos 2sin αα=，此时周长l 最大，则4ab=． 16．【答案】2ln x x ，22e【解析】2ln ()(ln )ln ln (ln )xf x x x x x x'''=⋅+⋅=， 2222ln 22ln 2ln (2ln )44xx xx x x y x x ⨯--'==，当2x e >时，0y '<；当21x e <<时，0y '>；当01x <<时，0y '<，二、填空题则当2x e 时，y 取极大值，为22e ．。

2018届高考数学二轮导数及其应用专题卷理(全国通用)

专题能力训练5 导数及其应用(时间:60分钟满分:100分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.已知曲线y=在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a=()A.-2B.2C.-D.2.已知函数f(x)=ln x+ln(2-x),则()A.f(x)在(0,2)单调递增B.f(x)在(0,2)单调递减C.y=f(x)的图象关于直线x=1对称D.y=f(x)的图象关于点(1,0)对称3.已知a≥0,函数f(x)=(x2-2ax)e x.若f(x)在[-1,1]上是单调递减函数,则a的取值范围是()A.0<a<B.<a<C.a≥D.0<a<4.已知函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任意x∈R,f'(x)>2,则f(x)>2x+4的解集为()A.(-1,1)B.(-1,+∞)C.(-∞,-1)D.(-∞,+∞)5.(2017浙江金丽衢十二校模拟)如图,已知直线y=kx+m与曲线y=f(x)相切于两点,则F(x)=f(x)-kx有()A.1个极大值点,2个极小值点B.2个极大值点,1个极小值点C.3个极大值点,无极小值点D.3个极小值点,无极大值点6.将函数y=ln(x+1)(x≥0)的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角θ(θ∈(0,α]),得到曲线C,若对于每一个旋转角,曲线C都仍然是一个函数的图象,则α的最大值为()A.πB.C.D.7.已知函数f(x)=x+e x-a,g(x)=ln(x+2)-4e a-x,其中e为自然对数的底数,若存在实数x0,使f(x0)-g(x0)=3成立,则实数a的值为()A.-ln 2-1B.ln 2-1C.-ln 2D.ln 28.若函数f(x)=ln x与函数g(x)=x2+2x+a(x<0)有公切线,则实数a的取值范围是()A. B.(-1,+∞)C.(1,+∞)D.(-ln 2,+∞)二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)9.若f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1有极大值和极小值,则a的取值范围为.10.(2017浙江诸暨肇庆三模)已知函数f(x)=x3+ax2+3x-9,若x=-3是函数f(x)的一个极值点,则实数a=.11.设f'(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-2)=0,当x>0时,xf'(x)-f(x)>0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是.12.已知函数f(x)=x3-2x+e x-,其中e是自然对数的底数.若f(a-1)+f(2a2)≤0,则实数a的取值范围是.13.已知函数f(x)=若对于∀t∈R,f(t)≤kt恒成立,则实数k的取值范围是.14.设函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)满足f(1)+f(3)=2f(2),现给出如下结论:①若f(x)是区间(0,1)上的增函数,则f(x)是区间(3,4)上的增函数;②若a·f(1)≥a·f(3),则f(x)有极值;③对任意实数x0,直线y=(c-12a)(x-x0)+f(x0)与曲线y=f(x)有唯一公共点.其中正确的结论为.(填序号)三、解答题(本大题共2小题,共30分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分15分)已知函数f(x)=x3+|x-a|(a∈R).(1)当a=1时,求f(x)在(0,f(0))处的切线方程;(2)当a∈(0,1)时,求f(x)在区间[-1,1]上的最小值(用a表示).16.(本小题满分15分)已知函数f(x)=ax(ln x-1)(a≠0).(1)求函数y=f(x)的单调递增区间;(2)当a>0时,设函数g(x)=x3-f(x),函数h(x)=g'(x),①若h(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围;②证明:ln(1×2×3×…×n)2e<12+22+32+…+n2(n∈N*).参考答案专题能力训练5导数及其应用1.A解析由y'=得曲线y=在点(3,2)处的切线斜率为-,又切线与直线ax+y+1=0垂直,则a=-2.故选A.2.C解析f(x)=ln x+ln(2-x)=ln(-x2+2x),x∈(0,2).当x∈(0,1)时,x增大,-x2+2x增大,ln(-x2+2x)增大,当x∈(1,2)时,x增大,-x2+2x减小,ln(-x2+2x)减小,即f(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,2)上单调递减,故排除选项A,B;因为f(2-x)=ln(2-x)+ln[2-(2-x)]=ln(2-x)+ln x=f(x),所以函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,故排除选项D.故选C.3.C解析f'(x)=e x[x2+2(1-a)x-2a],∵f(x)在[-1,1]上单调递减,∴f'(x)≤0在[-1,1]上恒成立.令g(x)=x2+2(1-a)x-2a,则解得a≥.4.B解析由f(x)>2x+4,得f(x)-2x-4>0,设F(x)=f(x)-2x-4,则F'(x)=f'(x)-2,因为f'(x)>2,所以F'(x)>0在R上恒成立,所以F(x)在R上单调递增.而F(-1)=f(-1)-2×(-1)-4=2+2-4=0,故不等式f(x)-2x-4>0等价于F(x)>F(-1),所以x>-1.故选B.5.A解析F'(x)=f'(x)-k,如下图所示,从而可知函数y=F'(x)共有三个零点x1,x2,x3,因此函数F(x)在(-∞,x1)上单调递减,在(x1,x2)上单调递增,在(x2,x3)上单调递减,在(x3,+∞)上单调递增,故x1,x3为极小值点,x2为极大值点,即F(x)有1个极大值点,2个极小值点,应选A.6.D解析函数y=ln(x+1)(x≥0)的图象绕坐标原点逆时针方向连续旋转时,当且仅当其任意切线的倾斜角小于等于90°时,其图象都仍然是一个函数的图象,因为x≥0时y'=是减函数,且0<y'≤1,当且仅当x=0时等号成立,故在函数y=ln(x+1)(x≥0)的图象的切线中,x=0处的切线倾斜角最大,其值为,由此可知αmax=.故选D.7.A解析由题意得f(x)-g(x)=x+e x-a-ln(x+2)+4e a-x,令h(x)=x-ln(x+2),x>-2,则h'(x)=1-,∴h(x)在区间(-2,-1)上单调递减,在区间(-1,+∞)上单调递增,∴h(x)min=h(-1)=-1,又∵e x-a+4e a-x≥2=4,∴f(x)-g(x)≥3,当且仅当时等号成立.故选A.8.A解析设公切线与函数f(x)=ln x切于点A(x1,ln x1)(x1>0),则切线方程为y-ln x1=(x-x1),设公切线与函数g(x)=x2+2x+a切于点B(x2,+2x2+a)(x2<0),则切线方程为y-(+2x2+a)=2(x2+1)(x-x2),所以有因为x2<0<x1,所以0<<2.又a=ln x1+-1=-ln-1,令t=,所以0<t<2,a=t2-t-ln t.设h(t)=t2-t-ln t(0<t<2),则h'(t)=t-1-<0,所以h(t)在区间(0,2)上为减函数,则h(t)>h(2)=-ln 2-1=ln,所以a∈.故选A.9.(-∞,-1)∪(2,+∞)解析f'(x)=3x2+6ax+3(a+2),由题意知f'(x)=0有两个不相等的实根,则Δ=(6a)2-4×3×3(a+2)>0,即a2-a-2>0,解得a>2或a<-1.10.5解析f'(x)=3x2+2ax+3,由题意知x=-3为方程3x2+2ax+3=0的根,则3×(-3)2+2a×(-3)+3=0,解得a=5.11.(-2,0)∪(2,+∞)解析令g(x)=,则g'(x)=>0,x∈(0,+∞),所以函数g(x)在(0,+∞)上单调递增.又g(-x)==g(x),则g(x)是偶函数,g(-2)=0=g(2),则f(x)=xg(x)>0⇔解得x>2或-2<x<0.故不等式f(x)>0的解集为(-2,0)∪(2,+∞).12.解析因为f(-x)=(-x)3-2(-x)+e-x-=-f(x),所以f(x)为奇函数.因为f'(x)=3x2-2+e x+e-x≥3x2-2+2≥0(当且仅当x=0时等号成立),所以f(x)在R上单调递增,因为f(a-1)+f(2a2)≤0可化为f(2a2)≤-f(a-1),即f(2a2)≤f(1-a),所以2a2≤1-a,2a2+a-1≤0,解得-1≤a≤,故实数a的取值范围是.13.14.①②③解析由f(1)+f(3)=2f(2)化简得b=-6a.f'(x)=3ax2+2bx+c=3ax2-12ax+c,其对称轴为x=2,如果f(x)在区间(0,1)上递增,其关于x=2对称的区间为(3,4),故区间(3,4)也是其增区间,①正确.a[f(1)-f(3)]≥0,即2a(11a-c)≥0,导函数f'(x)=3ax2-12ax+c的判别式144a2-12ac=12a(12a-c),当a>0时,12a-c>11a-c≥0,判别式为正数,当a<0时,11a-c≤0,12a-c≤a<0,其判别式为正数,即导函数有零点,根据二次函数的性质可知原函数有极值,②正确.注意到f'(2)=c-12a,则③转化为f'(2)=,即函数图象上任意两点连线的斜率和函数在x=2处的切线的斜率相等的有且仅有一个点.由于x=2是导函数f'(x)=3ax2-12ax+c的最小值点,即有且仅有一个最小值点,故③正确.15.解 (1)因为当a=1,x<1时,f(x)=x3+1-x,f'(x)=3x2-1,所以f(0)=1,f'(0)=-1,所以f(x)在(0,f(0))处的切线方程为y=-x+1.(2)当a∈(0,1)时,由已知得f(x)=当a<x<1时,由f'(x)=3x2+1>0,知f(x)在(a,1)上单调递增.当-1<x<a时,由f'(x)=3x2-1,知①当a∈时,f(x)在上递增,在上递减,在上递增,所以f(x)min=min=min=a-.②当a∈时,f(x)在上递增,在上递增,在(a,1)上递增,所以f(x)min=min{f(-1),f(a)}=min{a,a3}=a3.综上所述,f(x)min=16.解 (1)∵f'(x)=a=a ln x,令f'(x)>0,当a>0时,解得x>1;当a<0时,解得0<x<1,∴当a>0时,函数y=f(x)的单调递增区间是(1,+∞);当a<0时,函数y=f(x)的单调递增区间是(0,1).(2)①∵h(x)=g'(x)=x2-f'(x)=x2-a ln x,∴由题意得h(x)min≥0.∵h'(x)=x-,∴当x∈(0,)时,h'(x)<0,h(x)单调递减;当x∈(,+∞)时,h'(x)>0,h(x)单调递增.∴h(x)min=h()=a-a ln,由a-a ln≥0,得ln a≤1,解得0<a≤e.∴实数a的取值范围是(0,e].②由(1)知a=e时,h(x)=x2-eln x≥0在x∈(0,+∞)上恒成立,当x=时等号成立,∴x∈N*时,2eln x<x2,令x=1,2,3,…,n,累加可得2e(ln 1+ln 2+ln 3+…+ln n)<12+22+32+…+n2,即ln(1×2×3×…×n)2e<12+22+32+…+n2(n∈N*).。

2018届高考数学(文)大一轮复习检测：第二章函数、导数及其应用课时作业16 Word版含答案

课时作业16 导数的综合应用1．已知f (x )＝(1－x )e x－1. (1)求函数f (x )的最大值； (2)设g (x )＝f xx，x >－1，且x ≠0，证明：g (x )<1. 解：(1)f ′(x )＝－x e x.当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．所以f (x )的最大值为f (0)＝0.(2)证明：由(1)知，当x >0时，f (x )<0，g (x )<0<1. 当－1<x <0时，g (x )<1等价于f (x )>x . 设h (x )＝f (x )－x ，则h ′(x )＝－x e x－1.当x ∈(－1,0)时，0<－x <1,0<e x <1，则0<－x e x<1，从而当x ∈(－1,0)时，h ′(x )<0，h (x )在(－1,0)上单调递减．当－1<x <0时，h (x )>h (0)＝0，即g (x )<1.综上，x >－1且x ≠0时，总有g (x )<1.2．设函数f (x )＝x 2＋a ln(x ＋1)有两个极值点x 1，x 2，且x 1<x 2. (1)求实数a 的取值范围；(2)当a ＝38时，判断方程f (x )＝－14的实数根的个数，并说明理由．解：(1)由f (x )＝x 2＋a ln(x ＋1)，可得f ′(x )＝2x ＋ax ＋1＝2x 2＋2x ＋ax ＋1(x >－1)．令g (x )＝2x 2＋2x ＋a (x ≥－1)，则其对称轴为x ＝－12，由题意可知x 1，x 2是方程g (x )＝0的两个均大于－1的不相等的实数根，所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－8a >0，g －＝a >0，解得0<a <12.(2)由a ＝38可知x 1＝－34，x 2＝－14，从而易知函数f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，－34，⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，＋∞上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，－14上单调递减．①由f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，－34上单调递增，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－342＋38×ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋1＝916－34ln2>－14，可知方程f (x )＝－14在⎝⎛⎦⎥⎤－1，－34上有且只有一个实根．②由于f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，－14上单调递减，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，＋∞上单调递增，因此f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，＋∞上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－142＋38×ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＋1＝116＋38ln 34>－14，故方程f (x )＝－14在⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，＋∞上没有实数根．综上可知，方程f (x )＝－14有且只有一个实数根．3．(2017·河北石家庄一模)已知函数f (x )＝e x－3x ＋3a (e 为自然对数的底数，a ∈R )． (1)求f (x )的单调区间与极值；(2)求证：当a >ln 3e ，且x >0时，e xx >32x ＋1x－3a .解：(1)由f (x )＝e x－3x ＋3a ，x ∈R ，知f ′(x )＝e x－3，x ∈R ，令f ′(x )＝0，得x ＝ln3，于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：单调递增区间是[ln3，＋∞)，f (x )在x ＝ln3处取得极小值，极小值为f (ln3)＝e ln3－3ln3＋3a ＝3(1－ln3＋a )．(2)证明：待证不等式等价于e x >32x 2－3ax ＋1，设g (x )＝e x－32x 2＋3ax －1，x ∈R ，于是g ′(x )＝e x －3x ＋3a ，x ∈R .由(1)及a >ln 3e＝ln3－1知，g ′(x )的最小值为g ′(ln3)＝3(1－ln3＋a )>0.于是对任意x ∈R ，都有g ′(x )>0，所以g (x )在R 内单调递增．于是当a >ln 3e ＝ln3－1时，对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )>g (0)．而g (0)＝0，从而对任意x ∈(0，＋∞)，g (x )>0.即e x>32x 2－3ax ＋1，故e xx >32x ＋1x－3a .4．(2017·河南郑州一模)已知函数f (x )＝exx －m .(1)讨论函数y ＝f (x )在x ∈(m ，＋∞)上的单调性；(2)若m ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，则当x ∈[m ，m ＋1]时，函数y ＝f (x )的图象是否总在函数g (x )＝x2＋x 图象上方？请写出判断过程．解：(1)f ′(x )＝exx －m －e xx －m 2＝exx －m －x －m 2，当x ∈(m ，m ＋1)时，f ′(x )<0，当x ∈(m ＋1，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )在(m ，m ＋1)上单调递减，在(m ＋1，＋∞)上单调递增．(2)由(1)知f (x )在[m ，m ＋1]上单调递减，所以其最小值为f (m ＋1)＝em ＋1.因为m ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，g (x )在[m ，m ＋1]上的最大值为(m ＋1)2＋m ＋1，所以下面判断f (m ＋1)与(m ＋1)2＋m ＋1的大小，即判断e x与(1＋x )x 的大小，其中x＝m ＋1∈⎝ ⎛⎦⎥⎤1，32. 令m (x )＝e x－(1＋x )x ，m ′(x )＝e x－2x －1，令h (x )＝m ′(x )，则h ′(x )＝e x－2，因为x ＝m ＋1∈⎝ ⎛⎦⎥⎤1，32，所以h ′(x )＝e x－2>0，m ′(x )单调递增．又m ′(1)＝e －3<0，m ′⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝e 32 －4>0，故存在x 0∈⎝ ⎛⎦⎥⎤1，32，使得m ′(x 0)＝e x 0－2x 0－1＝0.所以m (x )在(1，x 0)上单调递减，在⎝⎛⎦⎥⎤x 0，32上单调递增，所以m (x )≥m (x 0)＝e x 0－x 20－x 0＝2x 0＋1－x 20－x 0＝－x 20＋x 0＋1，所以当x 0∈⎝⎛⎦⎥⎤1，32时，m (x 0)＝－x 20＋x 0＋1>0，即e x>(1＋x )x ，即f (m ＋1)>(m ＋1)2＋m ＋1，所以函数y ＝f (x )的图象总在函数g (x )＝x 2＋x 图象上方．1．(2016·新课标全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝ln x －x ＋1. (Ⅰ)讨论f (x )的单调性； (Ⅱ)证明当x ∈(1，＋∞)时，1<x －1ln x<x ； (Ⅲ)设c >1，证明当x ∈(0,1)时，1＋(c －1)x >c x.解：(Ⅰ)由题设，f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－1，令f ′(x )＝0，解得x＝1.当0<x <1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x >1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减． (Ⅱ)证明：由(Ⅰ)知f (x )在x ＝1处取得最大值，最大值为f (1)＝0. 所以当x ≠1时，ln x <x －1.故当x ∈(1，＋∞)时，ln x <x －1，ln 1x <1x －1，即1<x －1ln x<x .(Ⅲ)证明：由题设c >1，设g (x )＝1＋(c －1)x －c x，则g ′(x )＝c －1－c xln c ，令g ′(x )＝0.解得x 0＝ln c －1ln cln c.当x <x 0时，g ′(x )>0，g (x )单调递增；当x >x 0时，g ′(x )<0，g (x )单调递减．由(Ⅱ)知1<c －1ln c<c ，故0<x 0<1.又g (0)＝g (1)＝0，故当0<x <1时，g (x )>0. 所以当x ∈(0,1)时，1＋(c －1)x >c x.2．(2017·河南郑州质检)设函数f (x )＝12x 2－m ln x ，g (x )＝x 2－(m ＋1)x .(1)求函数f (x )的单调区间；(2)当m ≥0时，讨论函数f (x )与g (x )图象的交点个数．解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x 2－mx，当m ≤0时，f ′(x )>0，所以函数f (x )的单调递增区间是(0，＋∞)，无单调递减区间．当m >0时，f ′(x )＝x ＋mx －mx，当0<x <m 时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；当x >m 时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增．综上：当m ≤0时，函数f (x )的单调递增区间是(0，＋∞)，无单调递减区间；当m >0时，函数f (x )的单调递增区间是(m ，＋∞)，单调递减区间是(0，m )．(2)令F (x )＝f (x )－g (x )＝－12x 2＋(m ＋1)x －m ln x ，x >0，问题等价于求函数F (x )的零点个数．当m ＝0时，F (x )＝－12x 2＋x ，x >0，有唯一零点；当m ≠0时，F ′(x )＝－x －x －mx，当m ＝1时，F ′(x )≤0，函数F (x )为减函数，注意到F (1)＝32>0，F (4)＝－ln4<0，所以F (x )有唯一零点．当m >1时，0<x <1或x >m 时，F ′(x )<0；1<x <m 时，F ′(x )>0，所以函数F (x )在(0,1)和(m ，＋∞)上单调递减，在(1，m )上单调递增，注意到F (1)＝m ＋12>0，F (2m ＋2)＝－m ln(2m＋2)<0，所以F (x )有唯一零点．当0<m <1时，0<x <m 或x >1时，F ′(x )<0；m <x <1时，F ′(x )>0，所以函数F (x )在(0，m )和(1，＋∞)上单调递减，在(m,1)上单调递增，易得ln m <0，所以F (m )＝m2(m ＋2－2ln m )>0，而F (2m ＋2)＝－m ln(2m ＋2)<0，所以F (x )有唯一零点．综上，函数F (x )有唯一零点，即两函数图象有一个交点．。

备考高考数学二轮复习选择填空狂练十六导数及其应用理

2．【答案】B
【解析】对于①，由于
æ çè
1 x
ö÷ø¢=
-
1 x2
，∴①不正确；对于②，由于
(cosx)¢=
- sin
x ，∴②正确；
( ) 对于③，由于
2x
¢= 2x ln 2 ，∴③正确；对于④，由于 (lg x)¢=
1 xln10
2
，若
a
=
1 3
f
æ1 çè3
ö÷ø，
b
=
-3
f (-3)，
c
=
ln
1 3
f æçèln
1 3
ö ÷ø
，则
a
，
b，Βιβλιοθήκη c的大小关系正确的是（
）
A． a < b < c
B． b < c < a
C． a < c < b
D． c < a < b
12．[2018·闽侯二中]设函数 f(x)= ex (2x - 1)- 2ax + 2a ，其中 a < 1 ，若存在唯一的整数 x0 ，使得 f(x0 )< 0 ，
其中正确结论的序号是_________．（写出所有正确结论的序号）
3
一、选择题
答案与解析
1．【答案】D
【解析】把点的坐标 (1,- 2)代入函数的解析式得 -2 = 1 + 2a - 3 ，∴ a = 0 ，∴ f (x)= x4 - 3x2 ， ∴ f¢(x)= 4x3 - 6x ， k = f¢(1)= 4 - 6 = -2 ，∴切线的斜率为 -2 ．故选 D．
则 a 的取值范围是（）
A．
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版高考数学二轮复习第1部分重点强化专题限时集训16导数的应用文

专题限时集训(十六) 导数的应用[建议A、B组各用时：45分钟][A组高考达标]一、选择题1.函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图161所示，则函数y＝f(x)的图象可能是( )图161D[观察导函数f′(x)的图象可知，f′(x)的函数值从左到右依次为小于0，大于0，小于0，大于0，∴对应函数f(x)的增减性从左到右依次为减、增、减、增．观察选项可知，排除A、C.如图所示，f′(x)有3个零点，从左到右依次设为x1，x2，x3，且x1，x3是极小值点，x2是极大值点，且x2>0，故选项D正确．故选D.]2．已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝( )A．－4 B．－2C．4 D．2D[由题意得f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0得x＝±2，∴当x<－2或x>2时，f′(x)>0；当－2<x<2时，f′(x)<0，∴f(x)在(－∞，－2)上为增函数，在(－2,2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数． ∴f (x )在x ＝2处取得极小值，∴a ＝2.] 3．(2017·黄山二模)已知f (x )＝ln xx，则( )A ．f (2)＞f (e)＞f (3)B ．f (3)＞f (e)＞f (2)C ．f (3)＞f (2)＞f (e)D ．f (e)＞f (3)＞f (2)D [f (x )的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝1－ln xx2，令f ′(x )＝0，得x ＝e. ∴当x ∈(0，e)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，故x ＝e 时，f (x )max ＝f (e)＝1e ，而f (2)＝ln 22＝ln 86，f (3)＝ln 33＝ln 96，所以f (e)＞f (3)＞f (2)，故选D.]4．(2017·西安一模)设函数f (x )＝x sin x 在x ＝x 0处取得极值，则(1＋x 20)·(1＋cos 2x 0)的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．－2D ．2D [由f (x )＝x sin x 得f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，令f ′(x )＝0，则x 0＝－tan x 0，所以x 20＝tan 2x 0，则(1＋x 20)(1＋cos 2x 0)＝2(1＋x 20)·cos 2x 0＝2(1＋tan 2x 0)cos 2x 0＝2x 0＋sin 2x 0cos 2x 0·cos 2x 0＝2，故选D.] 5．(2017·长江五校联考)定义在(0，＋∞)上的函数f (x )满足x 2f ′(x )＋1＞0，f (1)＝6，则不等式f (lg x )＜1lg x ＋5的解集为( )A ．(10，10)B ．(0,10)C ．(10，＋∞)D ．(1,10)D [由题意得f ′(x )＋1x 2＞0，设g (x )＝f (x )－1x －5，则g ′(x )＝f ′(x )＋1x2，故g (x )在(0，＋∞)上单调递增，又g (1)＝0，故g (x )＜0的解集为(0,1)，即f (x )＜1x＋5的解集为(0,1)，由0＜lg x ＜1，解得1＜x ＜10，则所求不等式的解集为(1,10)，故选D.] 二、填空题6．(2017·武汉一模)已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在(t ，t ＋1)上存在极值点，则实数t 的取值范围为________.(0,1)∪(2,3) [由题意得f ′(x )＝－x ＋4－3x ＝－x 2－4x ＋3x＝－x －x －x(x ＞0)．由f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝3，所以要使函数f (x )在(t ，t ＋1)上存在极值点，则t ＜1＜t ＋1或t ＜3＜t ＋1，即0＜t ＜1或2＜t ＜3，所以实数t 的取值范围为(0,1)∪(2,3)．]7．(2017·郴州三模)已知奇函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e xx－x ＞，h x x ＜，则函数h (x )的最大值为________．1－e [当x ＞0时，f ′(x )＝exx －x 2，∴x ∈(0,1)时，f ′(x )＜0，函数单调递减，x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，函数单调递增，∴x ＝1时，函数取得极小值即最小值，为e －1，∴由已知条件得h (x )的最大值为1－e.]8．已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ，其中e 是自然对数的底数．若f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12 [因为f (－x )＝(－x )3－2(－x )＋e －x －1e －x＝－x 3＋2x －e x＋1e x ＝－f (x )，所以f (x )＝x 3－2x ＋e x－1e x 是奇函数．因为f (a －1)＋f (2a 2)≤0，所以f (2a 2)≤－f (a －1)，即f (2a 2)≤f (1－a )．因为f ′(x )＝3x 2－2＋e x ＋e －x ≥3x 2－2＋2e x ·e －x ＝3x 2≥0，所以f (x )在R 上单调递增，所以2a 2≤1－a ，即2a 2＋a －1≤0，所以－1≤a ≤12.]三、解答题9．(2016·潍坊二模)已知函数f (x )＝ax＋b ln x ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝x .(1)求函数f (x )的单调区间及极值；(2)若∀x ≥1，f (x )≤kx 恒成立，求k 的取值范围． [解] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝bx －ax2，2分故f ′(1)＝b －a ＝1，又f (1)＝a ，点(1，a )在直线y ＝x 上， ∴a ＝1，则b ＝2.∴f (x )＝1x ＋2ln x 且f ′(x )＝2x －1x2，当0＜x ＜12时，f ′(x )＜0，当x ＞12时，f ′(x )＞0，故函数f (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，f (x )极小值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2－2ln 2，无极大值．6分(2)由题意知，k ≥f x x ＝2ln x x ＋1x(x ≥1)恒成立，令g (x )＝2ln x x ＋1x2(x ≥1)，则g ′(x )＝2－2ln x x 2－2x3＝x －x ln x －x 3(x ≥1)，8分令h (x )＝x －x ln x －1(x ≥1)，则h ′(x )＝－ln x (x ≥1)，当x ≥1时，h ′(x )≤0，h (x )在[1，＋∞)上为减函数，故h (x )≤h (1)＝0，故g ′(x )≤0， ∴g (x )在[1，＋∞)上为减函数，故g (x )的最大值为g (1)＝1，∴k ≥1． 12分10．设函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c .(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)设a ＝b ＝4，若函数f (x )有三个不同零点，求c 的取值范围； (3)求证：a 2－3b >0是f (x )有三个不同零点的必要而不充分条件.[解] (1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .因为f (0)＝c ，f ′(0)＝b ，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝bx ＋c ． 2分(2)当a ＝b ＝4时，f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＋c ，所以f ′(x )＝3x 2＋8x ＋4.令f ′(x )＝0，得3x 2＋8x ＋4＝0，解得x ＝－2或x ＝－23.f (x )与f ′(x )在区间(－∞，＋∞)上的情况如下：所以，当c ＞0且c －27＜0时，存在x 1∈(－4，－2)，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－3，x 3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，0，使得f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝0.由f (x )的单调性知，当且仅当c ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3227时，函数f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＋c 有三个不同零点．8分(3)证明：当Δ＝4a 2－12b ＜0时，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ＞0，x ∈(－∞，＋∞)，此时函数f (x )在区间(－∞，＋∞)上单调递增，所以f (x )不可能有三个不同零点．当Δ＝4a 2－12b ＝0时，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b 只有一个零点，记作x 0. 当x ∈(－∞，x 0)时，f ′(x )＞0，f (x )在区间(－∞，x 0)上单调递增；当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )在区间(x 0，＋∞)上单调递增．所以f (x )不可能有三个不同零点．10分综上所述，若函数f (x )有三个不同零点，则必有Δ＝4a 2－12b ＞0. 故a 2－3b >0是f (x )有三个不同零点的必要条件．当a ＝b ＝4，c ＝0时，a 2－3b ＞0，f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＝x (x ＋2)2只有两个不同零点，所以a 2－3b >0不是f (x )有三个不同零点的充分条件．因此a 2－3b >0是f (x )有三个不同零点的必要而不充分条件．12分[B 组名校冲刺]一、选择题1．(2017·江淮十校联考)设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值范围是( ) A ．1＜a ≤2B ．a ≥4C ．a ≤2D ．0＜a ≤3A [易知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x －9x ，由f ′(x )＝x －9x ＜0，解得0＜x ＜3.因为函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －1＞0，a ＋1≤3，解得1＜a ≤2，选A.]2．(2017·广州一模)设函数f (x )＝x 3＋ax 2，若曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋y ＝0，则点P 的坐标为( ) A ．(0,0) B ．(1，－1)C ．(－1,1)D ．(1，－1)或(－1,1)D [由题易知，f ′(x )＝3x 2＋2ax ，所以曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率为f ′(x 0)＝3x 2＋2ax 0，又切线方程为x ＋y ＝0，所以x 0≠0，且⎩⎪⎨⎪⎧3x 20＋2ax 0＝－1，x 0＋x 30＋ax 20＝0，解得a ＝±2，x 0＝－a2.所以当⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1a ＝－2时，点P的坐标为(1，－1)，当⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1a ＝2时，点P 的坐标为(－1,1)，故选D.]3．已知函数y ＝f (x )对任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2满足f ′(x )cos x ＋f (x )sin x ＞0(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，则下列不等式成立的是( )A.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4 B ．2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4 C ．f (0)＞2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3 D ．f (0)＞2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4 A [令g (x )＝f xcos x，则g ′(x )＝fxx －f xxcos 2x＝f xx ＋f x xcos 2x，由对任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2满足f ′(x )cos x ＋f (x )sin x ＞0，可得g ′(x )＞0，即函数g (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－π2，π2上为增函数，则g ⎝⎛⎭⎪⎫－π3＜g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，即2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4. 故选A.]4．(2016·南昌模拟)已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12C ．(0,1)D ．(0，＋∞)B [∵f (x )＝x (ln x －ax )， ∴f ′(x )＝ln x －2ax ＋1，由题意可知f ′(x )在(0，＋∞)上有两个不同的零点，令f ′(x )＝0，则2a ＝ln x ＋1x，令g (x )＝ln x ＋1x，则g ′(x )＝－ln x x2， ∴g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．又∵当x →0时，g (x )→－∞，当x →＋∞时，g (x )→0，而g (x )max ＝g (1)＝1， ∴只需0＜2a ＜1⇒0＜a ＜12.]二、填空题5．设函数f (x )＝ln x －12ax 2－bx ，若x ＝1是f (x )的极大值点，则a 的取值范围是________．(－1，＋∞) [f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－ax －b ，由f ′(1)＝0，得b ＝1－a ，∴f ′(x )＝1x －ax ＋a －1＝－ax 2＋1＋ax －xx＝－ax ＋x －x.①若a ≥0，由f ′(x )＝0，得x ＝1，当0＜x ＜1时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；当x ＞1时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；所以x ＝1是f (x )的极大值点．②若a ＜0，由f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝－1a.因为x ＝1是f (x )的极大值点，所以－1a＞1，解得－1＜a ＜0.综合①②得a 的取值范围是(－1，＋∞)．]6．(2016·皖南八校联考)已知x ∈(0,2)，若关于x 的不等式x e x ＜1k ＋2x －x 2恒成立，则实数k 的取值范围为________．[0，e －1) [依题意，知k ＋2x －x 2＞0，即k ＞x 2－2x 对任意x ∈(0,2)恒成立，从而k ≥0，所以由xe x ＜1k ＋2x －x 2可得k ＜e x x ＋x 2－2x .令f (x )＝e xx ＋x 2－2x ，则f ′(x )＝exx －x 2＋2(x －1)＝(x －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫e xx 2＋2. 令f ′(x )＝0，得x ＝1，当x ∈(1,2)时，f ′(x )＞0，函数f (x )在(1,2)上单调递增，当x ∈(0,1)时，f ′(x )＜0，函数f (x )在(0,1)上单调递减，所以k ＜f (x )min ＝f (1)＝e －1，故实数k 的取值范围是[0，e －1)．] 三、解答题7．已知函数f (x )＝(x ＋1)ln x －a (x －1)．(1)当a ＝4时，求曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程； (2)若当x ∈(1，＋∞)时，f (x )>0，求a 的取值范围． [解] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)．当a ＝4时，f (x )＝(x ＋1)ln x －4(x －1)，f (1)＝0，f ′(x )＝ln x ＋1x－3，f ′(1)＝－2. 故曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为2x ＋y －2＝0． 4分(2)当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＞0等价于ln x －a x －x ＋1＞0.设g (x )＝ln x －a x －x ＋1，则g ′(x )＝1x－2a x ＋2＝x 2＋－a x ＋1x x ＋2，g (1)＝0． 8分①当a ≤2，x ∈(1，＋∞)时，x 2＋2(1－a )x ＋1≥x 2－2x ＋1＞0，故g ′(x )＞0，g (x )在(1，＋∞)单调递增，因此g (x )＞0； ②当a ＞2时，令g ′(x )＝0得x 1＝a －1－a －2－1，x 2＝a －1＋a －2－1.由x 2＞1和x 1x 2＝1得x 1＜1，故当x ∈(1，x 2)时，g ′(x )＜0，g (x )在(1，x 2)单调递减，因此g (x )＜0.综上，a 的取值范围是(－∞，2]．12分8．设函数f (x )＝ax 2－a －ln x ，g (x )＝1x －e ex ，其中a ∈R ，e ＝2.718…为自然对数的底数．(1)讨论f (x )的单调性； (2)证明：当x >1时，g (x )>0；(3)确定a 的所有可能取值，使得f (x )>g (x )在区间(1，＋∞)内恒成立.【导学号：04024143】[解] (1)由题意得f ′(x )＝2ax －1x ＝2ax 2－1x(x >0)．当a ≤0时，f ′(x )<0，f (x )在(0，＋∞)内单调递减．当a >0时，由f ′(x )＝0有x ＝12a ，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，12a 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．4分(2)证明：令s (x )＝e x －1－x ，则s ′(x )＝ex －1－1.当x >1时，s ′(x )>0，所以e x －1>x ，从而g (x )＝1x －1ex －1>0．8分(3)由(2)知，当x >1时，g (x )>0.当a ≤0，x >1时，f (x )＝a (x 2－1)－ln x <0.故当f (x )>g (x )在区间(1，＋∞)内恒成立时，必有a >0. 当0<a <12时，12a>1.由(1)有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <f (1)＝0，而g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a >0，所以此时f (x )>g (x )在区间(1，＋∞)内不恒成立. 11分当a ≥12时，令h (x )＝f (x )－g (x )(x ≥1)．当x >1时，h ′(x )＝2ax －1x ＋1x 2－e 1－x>x －1x ＋1x 2－1x ＝x 3－2x ＋1x 2>x 2－2x ＋1x2>0. 因此，h (x )在区间(1，＋∞)上单调递增．又因为h (1)＝0，所以当x >1时，h (x )＝f (x )－g (x )>0，即f (x )>g (x )恒成立．综上，a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 12分。

高考数学二轮复习选择填空狂练十六导数及其应用理

16导数及其应用一、选择题1． [2018 ·珠海摸底 ]函数 f x x42a3x2，则 f x在其图像上的点1,2处的切线的斜率为（）A ． 1 B ．1C． 2 D ．22． [2018 ·安丘联考 ]以下运算正确的个数是（）①11；② cos x sin x ；③2x2x ln 2；④1．x x2lg xxln10A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个3． [2018 ·拉萨实验 ]已知函数 f x 2x32在 x1处获得极值，则实数a（）3axA ．2B ． 1C． 0 D ．14． [2018 ·遵义中学 ]函数 f x 1x34x4在0,3上的最小值为（）3A ． 4B ． 1C．4D ．8 335．[2018 静·宁县一中 ] 已知函数 f x x2a，若函数 f x在 x 2,上是单一递加的，则实数 a 的取值范x围为（）A ．,8B．,16C．,8U8,D．,16U 16,6． [2018 ·武邑中学 ]已知函数 f x 2 x x2e x，则（）A ． f2是f x 的极大值也是最大值B． f2是f x 的极大值但不是最大值C． f2是f x 的极小值也是最小值D． f x没有最大值也没有最小值7．[2018 ·远中学定 ]已知定义在R 上的函数 f x ，其导函数 f x 的大概图象如下图，则以下表达正确的选项是（）① f b f a f c ；②函数 f x 在x c 处获得极小值，在x e 处获得极大值；③函数 f x 在x c 处获得极大值，在x e 处获得极小值；④函数 f x 的最小值为 f d．A ．③B ．①②C．③④ D ．④8．[2018 江·油中学 ]已知函数 f x ax24ax ln x ，则 f x在 1,3 上不但一的一个充足不用要条件是（）A ． a,1B ． a1C． a1,11 6,2D ． a,2269．[2018 银·川一中 ]设 f x ， g x分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数， f ' x， g 'x为导函数，当 x0 时，f x g x f x g x0 且 g30，则不等式f x g x0 的解集是（）A ．3,0U3,B．3,0U0,3C．,3U3,D．,3U0,310．[2018綦·江中学 ] 已知函数 f x 是定义在R上的可导函数，且关于x R ，均有f x f x ，则有（）A ． e2017 f2017f0， f2017e2017 f0B． e2017 f2017f0， f2017e2017 f0C． e2017 f2017f0， f2017e2017 f0D． e2017 f2017f0， f2017e2017 f011．[2018 大·庆中学 ]已知定义域为R的奇函数 y f x的导函数为 y f x ，当 x0 时， ff x0 ，xx若 a1f1， b 3 f 3 ， c ln1f ln1，则 a ，b， c 的大小关系正确的选项是（）3333A ． a b cB ． b c a C． a c b D ． c a b12． [2018 闽·侯二中 ]设函数 f x e x2x12ax2a，此中 a1，若存在独一的整数x0，使得 f x00 ，则 a 的取值范围是（）A ．3133C．31D ．3 4e, B ．,4,2,1 22e4e2e二、填空题13．[2018 ·州二调惠 ]已知函数 f x x R 的导函数为 f x ，且 f 37 ， f x 2 ，则 f x2x 1 的解集为 _______．14． [2018上·饶二中 ]已知方程 x312x 1 2 a 0 有 3 个不一样的实数根，则实数 a 的取值范围是___________．15．[2018 皖·中名校 ]若直线 y kx b 是曲线 y ln x 2 的切线，也是曲线 y e x的切线，则 b ___________ ．16． [2018东·师附中 ]已知函数 f x e x a ln x ，①当 a 1 时， f x有最大值；②关于随意的 a 0 ，函数 f x是0,上的增函数；③关于随意的 a 0 ，函数 f x必定存在最小值；④关于随意的 a 0 ，都有 f x0 ．此中正确结论的序号是_________．（写出全部正确结论的序号）答案与分析一、选择题1．【答案】 D【分析】把点的坐标1,2代入函数的分析式得2 12a 3 ，∴ a0 ，∴ f x x43x2，∴ f x 4 x36x ， k f 1 462 ，∴切线的斜率为 2 ．应选D．2．【答案】 B【分析】关于①，因为11，∴①不正确；关于②，因为cos x sin x ，∴②正确；x x2关于③，因为2x2x ln 2，∴③正确；关于④，因为lg x1，∴④不正确．xln10综上可得②③正确．应选B．3．【答案】 D【分析】 f ' x 2 x22ax ，∵在 x 1 处获得极值，∴ f ' 1 0 ，即 f ' 1 2 2a 0 ，∴a1 应选 D．4．【答案】 C【分析】∵ f x 1 x34x 4 ，∴ f ' x x24x2x2，在 0,2上递减，在2,3 上递加，3所以可知函数在给定区间的最大值为x 2 时获得，且为4，应选 C．35．【答案】 B【分析】函数 f x 在 x2,上单一递加，则f xa2x3a0 在 x2,上恒建立．2x2x2x则 a2x3在 x2,上恒建立．∴ a16 ．应选 B．6．【答案】 A【分析】函数 f x2x x2e x的导数为 f x 2 2x e x 2 x x2e x2x2e x，当2x 2 时， f x0 ， f x递加；当 x2或 x 2 时， f x0 ， f x递减；则 f2获得极大值，f 2 获得极小值，因为x2时，且无量大，f x 趋势无量小，则 f2获得最大值，无最小值．应选 A ．7．【答案】 A【分析】由 f x 的图象可得，当x c 时， f x0 ， f x 单一递加；当 c x e 时， f x0 ， f x单一递减；当 x e 时， f x0 ， f x单一递加．关于①，由题意可得 f a f b f c，∴①不正确．关于②，由题意得函数f x 在x c 处获得极大值，在x e 处获得极小值，故②不正确．关于③，由②的剖析可得正确．关于④，由题意可得f d不是最小值，故④不正确．综上可得③正确．应选 A ．8．【答案】 C【分析】 f x2ax4a12ax24ax 1 ，f x 在 1,3 上不但一，x x令 g x2ax24ax 1 ，则函数 g x2ax24ax 1 与x轴在1,3有交点，a 0时，明显不建立， a0时，只要16a28a 0，解得 a1，应选 C．g 1 g 3＜029．【答案】 D【分析】设 F x f x g x，当 x0 时，∵ F x f x g x f x g x0．∴ F x在当 x0 时为增函数．∵ F x f x g x f x g x F x ．故 F x为,0U 0,上的奇函数．∴ F x在 0,上亦为增函数．已知g30，必有 F3F30 ．结构如图的 F x的图象，可知F x0的解集为 x,3U0,3．应选D．10．【答案】 D【分析】结构函数g x f x，则 g 'xf ' x e x e x ' f x f ' x f xe x e x 2e x，∵ x R，均有 f x f x ，而且 e x0，∴ g 'x0 ，故函数 g x f x在 R 上单一递减，∴g2017g 0， g2017g 0，e x即 f 2017f0，f2017 f 0 ，即 e2017 f2017f0 ， f 2017e2017 f 0 ，应选 D．e 2017e2017 11．【答案】 C【分析】定义域为 R 的奇函数 y f x ，设 F xxf x ，∴ F x 为 R 上的偶函数，∴ F xf xxf x ，∵当 x0 时， fxf x0 ．∴当 x 0 时， xfxf x 0 ，x当 x 0 时， xfx f x0 ，即 F x 在 0,单一递加，在 ,0 单一递减．F1a1 f 1F ln 3e， F 3 b3 f 3F 3 ， F ln1c ln 1 f ln1F ln 3 ，33 3333∵ ln 3 e ln3 3 ，∴ F ln 3 eF ln3F 3 ．即 ac b ，应选 C ．12．【答案】 C【分析】设g xe x2 1， h x2ax 2a ，x 由题意知存在独一的整数 x 0 使得 g x 0 在直线 y 2ax 2a 的下方，∵ g ' xe x 2x 1 2e xe x 2 x 1 ， g ' x0 可得 x1 ，2由 g ' x0 可得 x1 ，2∴ g x 在, 1 递减，在1 , 递加，221时， g1∴当 xx 取最小值2e 2，当 x1 时， g 1 e0 h 1 ，2当 x 0 时， g 0 1 ， h 02a ，由 h 0g 0 可得 2a1 ， a1 ，由 g 1 h 1 可得3e 12a 2 a ，可得 a3 ，24e解得3a1，即 a 的取值范围是3 , 1，应选 C ．4e24e 2二、填空题13．【答案】 3, 【分析】设 g x f x 2 x 1 ，∵ f 3 7 ， fx2 ，∴ g 3f 32 3 10 ， g xf x2 0 ，∴ g x 在 R 上是减函数，且 g3 0 ．∴ f x 2x 1的解集即是 g x0 g3 的解集．∴ x 3 ．故答案为3,．14．【答案】15 172 ,2【分析】方程 x 3 12x 12a 0 有三个不一样的实数根，也即方程x 312 x 2a 1 有三个不一样的实数根，令 f xx 312x ， g x 2a 1，则 f x 与 g x 有 3 个不一样交点，∴ 2a 1 应介于 f x 的最小值与最大值之间对 f x 求导，得 f x3x 2 12 ，令 fx 0 ，得 x 2 或 2 ． f2 16 ， f 2 16 ，∴ fx 的最小值为16 ，最大值为 16，∴ 162a 1 16 ，∴ 15a17．故答案为15 , 17 ．2 22 215．【答案】 0 或 1【分析】直线 ykx b 与曲线 y ln x 2 的切点为 x 1 , y 1 ，与 ye x 的切点 x 2 , y 2 ．故1 e x2 且e x 2ln x 1 2 1 ，消去 x 2 获得 1 ln x 111 0 ，x 1x 2x 1x 1 x 11x 11 x 1 1故 x 1 或 x 1 1 ，故 ee 或，y 1 1y 1 2故切线为 y ex 或 y x 1 ，∴ b 0 或许 b 1．填 0或 1．16．【答案】 ②③【分析】由函数的分析式可得f ' xe xa ，x当 a 1 时， f ' xex1， f '' xex12 ， f '' x 单一递加，且f 1e 10 ，xx据此可知当 x 1 时， f ' x 0 ， f x 单一递加，函数没有最大值，说法①错误；当 a 0 时，函数 y e x ， y a ln x 均为单一递加函数，则函数 f x 是 0,上的增函数，说法②正确；当 a0 时， f ' xexa单一递加，且 f 'ae a1 0 ，且当 lim e xa0 ，据此可知存在 x 0 0, a ，xx 0x在区间 0, x 上， f ' x 0 ， f x单一递减；在区间 x , 上， f ' x0 ， f x 单一递加；函数 fx 在 x x 0 处获得最小值，说法③正确；当 a 1 时， fxe xln x ，因为 e 5 0,1 ，故 e e 5 1,e ， f e 5e e 5 ln e 5e e 55 0 ，说法④错误；综上可得：正确结论的序号是②③．。

2018年高考数学(理)二轮复习教师用书第1部分重点强化专题专题6 第16讲导数的应用 Word版含答案

第讲导数的应用题型利用导数研究函数的单调性(对应学生用书第页)■核心知识储备………………………………………………………………………·．′()>是()为增函数的充分不必要条件，如函数()＝在(－∞，＋∞)上单调递增，但′()≥.．′()≥是()为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有′()＝时，则()为常函数，函数不具有单调性．．利用导数研究函数单调性的一般步骤：()确定函数的定义域；()求导函数′()；()①若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式′()>或′()<.②若已知函数的单调性，则转化为不等式′()≥或′()≤在单调区间上恒成立问题来求解．■典题试解寻法………………………………………………………………………·【典题】已知函数()＝－＋(∈)．()求函数()的单调区间；()∀>>，>恒成立，求实数的取值范围.【导学号：】[思路分析]()求′()―→结合的取值讨论()的单调区间；()>()－>()－由′()≥求的取值范围．[解]()函数()的定义域为(，＋∞)，′()＝－＋＝.①当＝时，′()＝.显然，当∈()时，′()>，函数()单调递增；当∈(，＋∞)时，′()<，函数()单调递减．②当≠时，对于－＋＝，Δ＝(－)－××＝－.当Δ≤，即≥，因为>，所以－＋≥恒成立，即′()≥恒成立，所以函数()在(，＋∞)上单调递增．若Δ>，即<<或<，方程－＋＝的两根为＝，＝.当<时，>，<.当∈时，－＋>，′()>，函数()单调递增；当∈时，－＋<，′()<，函数()单调递减．当<<时，>>.当∈时，－＋>，′()>，函数()单调递增；当∈时，－＋<，′()<，函数()单调递减；当∈时，－＋>，′()>，函数()单调递增．综上，当＝时，()的单调递减区间为()，单调递增区间为(，＋∞)；当≥时，函数()的单调递增区间为(，＋∞)，无单调递减区间；当<<时，函数()的单调递增区间为，，单调递减区间为；当<时，函数()的单调递增区间为，单调递减区间为.()因为>，且>，故()－>()－.记()＝()－，则函数()＝()－在(，＋∞)上单调递增．由()＝()－＝－＋，可得′()＝－＋≥.因为>，所以≥＝－.记()＝－(>)，则′()＝－－×(－)×＝.显然，当∈()时，′()>，函数()单调递增；当∈(，＋∞)时，′()<，函数()单调递减．所以()的最大值为()＝－＝，所以≥.故实数的取值范围为.[类题通法]求单调区间或判断单调性的方法不含参数：解不等式或，把不等式解集与定义域取交集，就是对应的增区间或减区间.含有参数：针对参数进行分类讨论，引起讨论的因素包含：参数的正负性，导数有无极值点，极值点的大小关系，极值点与定义域的关系.■对点即时训练………………………………………………………………………·已知函数()＝(＋－)＋′()．()讨论函数()的单调性；()若()＝－()＋，()＝，过点()分别作曲线＝()与＝()的切线，，且与关于轴对称，求证：<<－.[解]由已知得′()＝[＋(＋)]，′()＝，所以()＝(＋－).。

高三数学导数及其应用多选题知识点及练习题含答案

高三数学导数及其应用多选题知识点及练习题含答案一、导数及其应用多选题1．若函数()f x 满足对于任意1x ，2(0,1)x ∈，()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤⎪⎝⎭，则称函数()f x 为“中点凸函数”．则下列函数中为“中点凸函数”的是（）A ．2()2f x x x =-B ．()tan f x x =C ．()sin cos f x x x =-D ．()e ln x f x x =-【答案】ABD 【分析】用计算()()121222f x f x x x f ++⎛⎫-⎪⎝⎭的正负值来解，运算量大，比较复杂.我们可分析“中点凸函数”的几何特征，结合图像作答.由已知“中点凸函数”的定义，可得“中点凸函数”的图象形状可能为：【详解】由“中点凸函数”定义知：定义域内12,x x 对应函数值的平均值大于或等于122x x +处的函数值，∴下凸函数：任意连接函数图象上不同的两点所得直线一定在图象上方或与图象重合. 设()()11,Ax f x ，()()22,B x f x 为曲线()f x 在(0,1)上任意两点A 、B 、C 、D 选项对应的函数图象分别如下图示： ①2()2f x x x =-符合题意 ②()tan f x x =符合题意③()sin cos 24f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭放大局部图像可见，在,14段，并不满足12,x x 对应函数值的平均值大于或等于122x x +处的函数值.不合题意④()e ln x f x x =-'1()e x f x x =-，''21()e 0x f x x+=>根据导函数作出图像如下符合题意. 故选：ABD 【点睛】本题主要考查了函数的新定义及其应用，其中解答中正确理解函数的新定义，以及结合函数的图象求解是解答的关键，学生可利用数形结合求解，需要较强的推理与运算能力.2．设函数()()()1f x x x x a =--，则下列结论正确的是（） A ．当4a =-时，()f x 在11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的平均变化率为194B ．当1a =时，函数()f x 的图像与直线427y =有2个交点 C ．当2a =时，()f x 的图像关于点()1,0中心对称D ．若函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，则当2a ≥时，()()120f x f x +≤ 【答案】BCD 【分析】运用平均变化率的定义可分析A ，利用导数研究()f x 的单调性和极值，可分析B 选项，证明()()20f x f x +-=可分析C 选项，先得出1x ，2x 为方程()23210x a x a -++=的两个实数根，结合韦达定理可分析D 选项．【详解】对于A ，当4a =-时，()()()14f x x x x =-+，则()f x 在11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的平均变化率为()()()119123192221412⎛⎫⨯-⨯--⨯-⨯ ⎪⎝⎭=---，故A 错误；对于B ，当1a =时，()()23212f x x x x x x =-=-+，()()()2341311f x x x x x '=-+=--，可得下表：因为327f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()10f =，()2227f =>，结合()f x 的单调性可知，方程()427f x =有两个实数解，一个解为13，另一个解在()1,2上，故B 正确；对于C ，当2a =时，()()()()()()()231211111f x x x x x x x x ⎡⎤=--=---=---⎣⎦，则有()()()()()()33211110f x f x x x x x +-=---+---=，故C 正确；对于D ，()()()1f x x x x a =--，()()()()()2121321f x x x a x x a x a x a '=--+--=-++，令()0f x '=，可得方程()23210x a x a -++=，因为()()22412130a a a ∆=-+=-+>，且函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，所以1x ，2x 为方程()23210x a x a -++=的两个实数根，则有()12122132x x a a x x ⎧+=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则()()()()()()1211122211f x f x x x x a x x x a +=--+--()()()()33221212121x x a x x a x x =+-++++()()()()()22212112212121212x x x x x x a x x x x a x x ⎡⎤=+-++++-++⎣⎦()()()22211221212221233a x x x x x x x x a ⎡⎤=+-+-+++⎢⎥⎣⎦ ()()()()()21242212113327a a a x x a a --⎡⎤=+-++=-+⋅⎢⎥⎣⎦因为2a ≥，所以()()120f x f x +≤，故D 正确；故选：BCD ．【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，平均变化率，极值等问题，本题的关键是选项D ，利用根与系数的关系，转化为关于a 的函数，证明不等式.3．阿基米德是伟大的物理学家，更是伟大的数学家，他曾经对高中教材中的抛物线做过系统而深入的研究，定义了抛物线阿基米德三角形：抛物线的弦与弦的端点处的两条切线围成的三角形称为抛物线阿基米德三角形.设抛物线C ：2yx 上两个不同点,A B 横坐标分别为1x ，2x ，以,A B 为切点的切线交于P 点.则关于阿基米德三角形PAB 的说法正确的有（）A ．若AB 过抛物线的焦点，则P 点一定在抛物线的准线上B ．若阿基米德三角形PAB 为正三角形，则其面积为4C ．若阿基米德三角形PAB 为直角三角形，则其面积有最小值14D ．一般情况下，阿基米德三角形PAB 的面积212||4x x S -=【答案】ABC 【分析】设出直线AB 的斜截式方程、点,A B 的坐标，根据导数的几何意义求出切线,PA PB 的方程，进而求出点P 的坐标，将直线AB 的方程和抛物线方程联立，得到一元二次方程以及该方程两根的和、积的关系.A ：把抛物线焦点的坐标代入直线AB 的斜截式方程中，根据抛物线的准线方程进行判断即可；B ：根据正三角形的性质，结合正三角形的面积公式进行判断即可；C ：根据直角三角形的性质，结合直角三角形的面积公式进行判断即可；D ：根据点到直线距离公式、两点间距离公式进行求解判断即可.. 【详解】由题意可知：直线AB 一定存在斜率，所以设直线AB 的方程为：y kx m =+，由题意可知：点221122(,),(,)A x x B x x ，不妨设120x x <<，由2'2yx y x ，所以直线切线,PA PB 的方程分别为：221112222(),2()y x x x x y x x x x -=--=-，两方程联立得：211122222()2()y x x x x y x x x x ⎧-=-⎨-=-⎩，解得：12122x x x y x x +⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以P 点坐标为：1212(,)2x x x x +，直线AB 的方程与抛物线方程联立得：2121220,y kx mx kx m x x k x x m y x=+⎧⇒--=⇒+==-⎨=⎩. A ：抛物线C ：2y x 的焦点坐标为1(0,)4，准线方程为 14y =-，因为AB 过抛物线的焦点，所以14m =，而1214x x m =-=-，显然P 点一定在抛物线的准线上，故本选项说法正确；B ：因为阿基米德三角形PAB 为正三角形，所以有||||PA PB =，= 因为 12x x ≠，所以化简得：12x x =-，此时221111(,),(,)A x x B x x -， P 点坐标为：21(0,)x -，因为阿基米德三角形PAB 为正三角形，所以有||||PA AB =，112x x =-⇒=，因此正三角形PAB，所以正三角形PAB的面积为11sin 6022︒==，故本选项说法正确；C ：阿基米德三角形PAB 为直角三角形，当PA PB ⊥时，所以1212121222121122122114PAPBx x x xx x kk x x x x x x x x ++--⋅=-⇒⋅=-⇒=---，直线AB 的方程为：14y kx =+所以P 点坐标为：1(,)24k -，点 P 到直线AB 的距离为：=||AB ===，因为12121,4x x k x x +==-，所以21AB k =+，因此直角PAB的面积为：2111(1)224k ⨯+=≥，当且仅当0k =时，取等号，显然其面积有最小值14，故本说法正确； D ：因为1212,x x k x x m +==-，所以1||AB x x ===-，点P 到直线AB 的距离为：212== 所以阿基米德三角形PAB的面积32121211224x x S x x -=⋅-=，故本选项说法不正确. 故选：ABC 【点睛】关键点睛：解决本题的关键就是一元二次方程根与系数关系的整体代换应用，本题重点考查了数学运算核心素养的应用.4．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹布劳威尔（L.E.Brouwer ）简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数()f x ，存在一个点0x ，使得()00f x x =，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称0x 为该函数的一个不动点，依据不动点理论，下列说法正确的是（） A ．函数()sin f x x =有3个不动点B ．函数2()(0)f x ax bx c a =++≠至多有两个不动点C ．若定义在R 上的奇函数()f x ，其图像上存在有限个不动点，则不动点个数是奇数 D．若函数()f x =[0,1]上存在不动点，则实数a 满足l a e ≤≤（e 为自然对数的底数）【答案】BCD 【分析】根据题目中的定义，结合导数、一元二次方程的性质、奇函数的性质进行判断即可. 【详解】令()sin g x x x =-，()1cos 0g x x '=-≥，因此()g x 在R 上单调递增，而(0)0g =，所以()g x 在R 有且仅有一个零点，即()f x 有且仅有一个“不动点”，A 错误；0a ≠，20ax bx c x ∴++-=至多有两个实数根，所以()f x 至多有两个“不动点”，B 正确；()f x 为定义在R 上的奇函数，所以(0)0f =，函数()-y f x x =为定义在R 上的奇函数，显然0x =是()f x 的一个“不动点”，其它的“不动点”都关于原点对称，个数和为偶数，因此()f x 一定有奇数个“不动点”，C 正确；因为()f x 在[0,1]存在“不动点”，则()f x x =在[0,1]有解，x =⇒2x a e x x =+-在[0,1]有解，令2()xm x e x x =+-，()12x m x e x '=+-，令()12x n x e x '=+-，()20x n x e '=-=，ln 2x =，()n x 在(0,ln 2)单调递减，在(ln 2,1)单调递增，∴min ()(ln 2)212ln 232ln 20n x n ==+-=->， ∴()0m x '>在[0,1]恒成立，∴()m x 在[0,1]单调递增，min ()(0)1m x m ==，max ()(1)m x m e ==，∴1a e ≤≤，D 正确，. 故选：BCD 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.5．经研究发现：任意一个三次多项式函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠的图象都只有一个对称中心点()()00,x f x ，其中0x 是()0f x ''=的根，()'f x 是()f x 的导数，()f x ''是()'f x 的导数.若函数32()f x x ax x b =+++图象的对称点为(1,2)-，且不等式(ln 1)x e e mx x -+32()3ef x x x e x ⎡⎤≥--+⎣⎦对任意(1,)x ∈+∞恒成立，则（）A ．3a =B ．1b =C ．m 的值可能是e -D ．m 的值可能是1e-【答案】ABC 【分析】求导得()62f x x a ''=+，故由题意得()1620f a ''=-+=-，()1112f a b -=-+-+=，即3,1a b ==，故()3231f x x x x =+++.进而将问题转化为()1ln 1e x x e x e m x --++<+，由于1x e x >+，故ln ln 1ee x x x x e e x e x --+=≥-+，进而得()1ln ln 1ln 1e x x e x e e x ee x x --++--≥=-++，即m e ≤-，进而得ABC 满足条件.【详解】由题意可得()1112f a b -=-+-+=，因为()2321x ax f x =++'，所以()62f x x a ''=+，所以()1620f a ''=-+=-，解得3,1a b ==，故()3231f x x x x =+++.因为1x >，所以()()32ln []13xeee mx xf x x x e x -+≥--+等价于()1ln 1e x x e x e m x --++≤+. 设()()10xg x e x x =-->，则()10xg x e '=->，从而()g x 在()0,∞+上单调递增.因为()00g =，所以()0g x >，即1x e x >+，则ln ln 1ee x xxx e e x e x --+=≥-+（当且仅当x e =时，等号成立），从而()1ln ln 1ln 1e x x e x e e x e e x x --++--≥=-++，故m e ≤-.故选：ABC. 【点睛】本题解题的关键在于根据题意得()3231f x x x x =+++，进而将不等式恒成立问题转化为()1ln 1e x x e x e m x --++≤+恒成立问题，再结合1x e x >+得ln ln 1ee x xxx e e x e x --+=≥-+，进而得m e ≤-.考查运算求解能力与化归转化思想，是难题.6．已知函数()21ln 2f x ax ax x =-+的图象在点()()11,x f x 处与点()()22,x f x 处的切线均平行于x 轴，则（） A ．()f x 在1,上单调递增B ．122x x +=C ．()()121212x x x x f x f x ++++的取值范围是7,2ln 24⎛⎫-∞--⎪⎝⎭ D ．若163a =，则()f x 只有一个零点【答案】ACD 【分析】求导，根据题意进行等价转化，得到a 的取值范围；对于A ，利用导数即可得到()f x 在()1,+∞上的单调性；对于B ，利用根与系数的关系可得121x x =+；对于C ，化简()()121212x x x x f x f x ++++，构造函数，利用函数的单调性可得解；对于D ，将163a =代入()f x '，令()0f x '=，可得()f x 的单调性，进而求得()f x 的极大值小于0，再利用零点存在定理可得解. 【详解】由题意可知，函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()211ax ax ax a x x xf -+=-+='，则1x ，2x 是方程210ax ax -+=的两个不等正根，则212401a a x x a ⎧∆=->⎪⎨=>⎪⎩，解得4a >，当()1,x ∈+∞时，函数210y ax ax =-+>，此时()0f x '>，所以()f x 在()1,+∞上单调递增，故A 正确；因为1x ，2x 是方程210ax ax -+=的两个不等正根，所以121x x =+，故B 错误；因为()()221212121112221111ln ln 22x x x x f x f x x ax ax x ax ax a ++++=+++-++- 1112111ln 1ln 22a a a a a a a a⎛⎫=+++--=--+ ⎪⎝⎭，易知函数()11ln 2h a a a a=--+在()4,+∞上是减函数，则当4a >时，()()742ln 24h a h <=--，所以()()121212x x x x f x f x ++++的取值范围是7,2ln 24⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭，故C 正确；当163a =时，()1616133f x x x '=-+，令()0f x '=，得14x =或34，则()f x 在10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在13,44⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()f x 在14x =取得极大值，且104f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，()2ln 20f =>，所以()f x 只有一个零点，故D 正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：导数几何意义的应用主要抓住切点的三个特点： ①切点坐标满足原曲线方程； ②切点坐标满足切线方程；③切点的横坐标代入导函数可得切线的斜率.7．已知函数()1ln f x x x x=-+，给出下列四个结论，其中正确的是（） A ．曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为10x y ++= B ．()f x 恰有2个零点C ．()f x 既有最大值，又有最小值D ．若120x x >且()()120f x f x +=，则121=x x 【答案】BD 【分析】本题首先可根据()10f -=以及13f判断出A 错误，然后根据当0x >时的函数单调性、当0x <时的函数单调性、()10f -=以及()10f =判断出B 正确和C 错误，最后根据()()120f x f x +=得出()121f x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，根据函数单调性即可证得121=x x ，D 正确.【详解】函数()1ln f x x x x=-+的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，当0x >时，()1ln f x x x x=-+，()2221111x x f x x x x -+-'=--=；当0x <时，1ln f x x x x，()2221111x x f x x x x -+-'=--=，A 项：1ln 1110f，22111131f，则曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为031y x ，即33y x =--，A 错误；B 项：当0x >时，222215124x x x f xx x ，函数()f x 是减函数，当0x <时，222215124x x x f xx x ，函数()f x 是减函数，因为()10f -=，()10f =，所以函数()f x 恰有2个零点，B 正确； C 项：由函数()f x 的单调性易知，C 错误； D 项：当1>0x 、20x >时，因为()()120f x f x +=，所以1222222221111ln lnf x f x x x x fx x x x ，因为()f x 在()0,∞+上为减函数，所以121x x =，120x x >，同理可证得当10x <、20x <时命题也成立，D 正确，故选：BD. 【点睛】本题考查函数在某点处的切线求法以及函数单调性的应用，考查根据导函数求函数在某点处的切线以及函数单调性，导函数值即切线斜率，若导函数值大于0，则函数是增函数，若导函数值小于0，则函数是减函数，考查函数方程思想，考查运算能力，是难题.8．（多选题）已知函数31()1x x xe x f x e x x⎧<⎪=⎨≥⎪⎩，，，函数()()g x xf x =，下列选项正确的是（）A ．点(0,0)是函数()f x 的零点B ．12(0,1),(1,3)x x ∃∈∈，使12()()f x f x >C ．函数()f x 的值域为)1e ,-⎡-+∞⎣D ．若关于x 的方程[]2()2()0-=g x ag x 有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是222e e,(,)e 82⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦ 【答案】BC 【分析】根据零点的定义可判断A ；利用导数判断出函数在()0,1、()1,3上的单调性性，求出各段上的值域即可判断B ；利用导数求出函数的最值即可判断C ；利用导数求出函数的最值即可判断D. 【详解】对于选项A ，0是函数()f x 的零点，零点不是一个点，所以A 错误. 对于选项B ，当1x <时，()(1)xf x x e '=+，可得，当1x <-时，()f x 单调递减；当11x -<<时，()f x 单调递增；所以，当01x <<时， 0()<<f x e ，当1x >时，4(3)()x e x f x x-'=，当13x <<时，()f x 单调递减；当3x >时，()f x 单调递增；()y f x =图像所以，当13x <<时， 3()27e f x e << ，综上可得，选项B 正确；对于选项C ，min 1()(1)f x f e=-=-，选项C 正确. 对于选项D ，关于x 的方程[]2()2()0-=g x ag x 有两个不相等的实数根⇔关于x 的方程()[()2]0-=g x g x a 有两个不相等的实数根 ⇔关于x 的方程()20-=g x a 有一个非零的实数根⇔函数()y g x =与2y a =有一个交点，且0x ≠，22,1(),1x xx e x g x e x x⎧<⎪=⎨≥⎪⎩当1x <时，/2()(2)=+xg x e x x ，当x 变化时，'()g x ，()g x 的变化情况如下：x2x <-2-20x -<<0 01x <</()g x +-+()g x极大值极小值极大值2(2)g e -=，极小值(0)0g =，当1≥x 时，3(2)'()e x g x x-= 当x 变化时，'()g x ，()g x 的变化情况如下： x 112x <<2 2x >/()g x-+()g xe极小值极小值(2)4e g =，()y g x =图像综上可得，22424<<e a e 或2a e >，a 的取值范围是222e e,(,)e 82⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，D 不正确.故选：BC 【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值，利用导数研究方程的根，考查了转化与化归的思想，属于难题.。

2018高三数学全国二模汇编(理科)专题03导数与应用

【2018高三数学各地优质二模试题分项精品】一、选择题1．【2018河南郑州高三二模】已知(){}|0M f αα==, (){}|0N g ββ==,若存在,M N αβ∈∈,使得n αβ-<,则称函数()f x 与()g x 互为“n 度零点函数”.若()231x f x -=-与()2x g x x ae =-互为“1度零点函数”，则实数a 的取值范围为( ) A. 214(,e e ⎤⎥⎦ B. 214(, e e ⎤⎥⎦C. 242[, e e ⎫⎪⎭D. 3242[, e e ⎫⎪⎭ 【答案】B【点睛】要学会分析题中隐含的条件和信息，如本题先观察出f(x)的零点及单调性是解题的关键，进一步转化为函数()2xg x x ae =-在区间(1,3)上存在零点，再进行参变分离，应用导数解决。

2．【2018陕西咸阳高三一模】已知奇函数()f x 的导函数为()f x '，当0x ≠时， ()()0f x f x x+'>，若()11,a f b ef e e e ⎛⎫==- ⎪⎝⎭， ()1c f =，则,,a b c 的大小关系正确的是（） A. a b c << B. b c a << C. c a b << D. a c b << 【答案】D【解析】设()()h x xf x =，所以()()()h x f x xf x ='+'，因为()y f x =是定义域上的奇函数，所以()h x 是定义在实数集上的偶函数，当0x >时， ()()()0h x f x xf x =+'>'，此时()h x 为单调递增函数，又由11e e <<-，所以()()()111f f ef e ef e e e ⎛⎫<<--=-- ⎪⎝⎭，即a c b <<，故选D.点睛：本题主要考查了函数性质的基本应用问题，其中解答中利用题设条件，构造新函数()()h x xf x =，得出函数()h x 为单调递增函数和函数()h x 是定义在实数集上的偶函数是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力.3．【2018湖南衡阳高三二模】已知e 为自然对数的底数，设函数()21f ln 2x x ax b x =-+存在极大值点0x ，且对于a 的任意可能取值，恒有极大值()0f 0x <,则下列结论中正确的是( ) A. 存在0x b = ,使得()01f 2x e<-B. 存在0x b =，使得()20f x e >- C. b 的最大值为3e D. b 的最大值为22e 【答案】C分析得()f x 的极大值点为10x x =，()2222244422424a a b a a b a a b b ba a ba a b--+---==<=+-+-， (()0,x b f x ∴∈∴在()00,x 递增，在()02,x x 递减，当()0,x x f x =取得极大值()0f x ，又()200000'00bf x x a x b ax x =⇒-+=⇒+=，()()222000000011ln ln 22f x x ax b x x x b b x =-+=-++，即()20001ln 2f x x b b x =--+，令 ()()21ln ,0,2g x x b x b x b =-+-∈，原命题转化为()0g x <恒成立，()()22'000b x bg x x x b x b x x-+∴=-+=><<⇒<<， ()g x ∴在()0,b 上递增，()()()1ln2g x gb b b b b ∴<=-+- 1ln 02b b b b =-+-≤，3323ln 2bb b b e b e ∴≤⇒≤⇒≤，所以b 的最大值为3e ， C 对、D 错，又0x b <，即不存在极大值点0x b =，排除,A B ，故选C.【方法点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值，属于难题.求函数()f x 极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数()f x '；(3) 解方程()0,f x '=求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查()f x '在()0f x '=的根0x 左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么()f x 在0x 处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么()f x 在0x 处取极小值. 4．【2018河南商丘高三二模】记函数，若曲线上存在点使得，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法 (1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解. (2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.5．【2018四川德阳高三二诊】已知函数，若，使得成立，则实数的取值范围是（） A. B.C.D.【答案】A6．【2018重庆高三二诊】已知函数()ln f x x a =+， ()1g x ax b =++，若0x ∀>， ()()f x g x ≤，则ba的最小值是（） A. 1e + B. 1e - C. 1e - D. 12e - 【答案】B【解析】由题意()()0,x f x g x ∀>≤，即ln 1x a ax b +≤++，即ln 1x ax a b -+≤+，设()ln h x x ax a =-+，则()1h x a x'=-，若0a ≤时， ()10h x a x -'=>，函数()h x 单调递增，无最大值，不适合题意；当0a >时，令()10h x a x -'==，解得1x a=，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()0h x '>，函数()h x 单调递增，当1,x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时， ()0h x '<，函数()h x 单调递减，所以()max 1ln 1h x h a a a ⎛⎫==-+-⎪⎝⎭，即ln 11a a b -+-≤+，即ln 20a a b -+--≤点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力.导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、圆等知识联系； (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数； (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题．7．【2018甘肃兰州高三二模】已知()f x 是定义在R 上的可导函数，若在R 上()()3f x f x >'有恒成立，且()31(f e e =为自然对数的底数），则下列结论正确的是（） A. ()01f = B. ()01f < C. ()62f e < D. ()62f e >【答案】C 【解析】设()()3xf xg x e =，则()()()()()()()333223333x x x xxe f x f x e f x e f x g x e e ⎡⎤-'-⎣⎦=''=.∵在R 上()()3f x f x >'有恒成立∴()0g x '<在R 上恒成立，即()g x 在R 上为减函数. ∴()()()()()0301001f f g f g ee==>=∵()31f e =∴()01f >，故A ，B 不正确. ∵()()()62211f g g e =<=∴()62f e < 故选C.点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如()()f x f x '<构造()()xf xg x e =， ()()0f x f x '+<构造()()xg x e f x =，()()xf x f x '<构造()()f x g x x=， ()()0xf x f x +<'构造()()g x xf x =等8．【2018河北唐山高三二模】已知函数()f x 满足()()f x f x >'，在下列不等关系中，一定成立的是（） A. ()()12ef f > B. ()()12ef f < C. ()()12f ef > D. ()()12f ef < 【答案】A点睛：本题的关键在于通过()f x f >'（x ）能得到()'()0xf x e<，得到()xf x R e是上的减函数，问题就迎刃而解.所以在这里，观察和联想的数学能力很重要.9．【2018吉林四平高三质检】若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足： ()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”，已知函数()()2f x xx R =∈, ()()()10,2ln g x x h x e x x=<=,有下列命题：①()()()F x f x g x =-在32x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递增；②()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为-4；③()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是](40 -，； ④()f x 和()g x 之间存在唯一的“隔离直线”2y ex e =-. 其中真命题的个数有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C2424,1664,40b k k b k k ≤-≤≤--≤≤，同理421664,b k b ≤≤-可得40b -≤≤，故②正确，③错误，④函数()f x 和()h x 的图象在x e =()f x 和()h x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k ，则隔离直线方程为(y e k x e -=，即y kx e e =-，由()()f x kx e e x R ≥-∈，可得20x kx e e -+≥，当x R ∈恒成立，则(20k e∆=-≤，只有k e =，此时直线方程为2y ex e =-，下面证明()2h x ex e ≤-，令()()2G x ex e h x =-- 22ln ex e e x =--， ()2'e x eG x x=，当x e =()'0G x =；当0x e << ()'0G x <；当x e >()'0G x >；当x e = ()'G x 取到极小值，极小值是0，也是最小值，()()20G x ex e h x ∴=--≥，则()2h x ex e ≤-， ∴函数()f x 和()h x 存在唯一的隔离直线y ex e =-，故④正确，真命题的个数有三个，故选C.【方法点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与不等式恒成立问题、以及新定义问题，属于难题. 新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题定义“隔离直线”达到考查导数在研究函数性质的应用的目的. 10．【2018湖南郴州高三二诊】已知函数()212ln f x x x e e ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭， ()1g x mx =+，若()f x 与()g x 的图像上存在关于直线1y =对称的点，则实数m 的取值范围是（）A. 2,2e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 23,3e e -⎡⎤-⎣⎦C. 2,3e e -⎡⎤-⎣⎦D. 322,3e e -⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D若直线y=1﹣mx 经过点（1e，﹣2），则m=3e ，若直线y=1﹣mx 与y=2lnx 相切，设切点为（x ，y ）．则1{2 2y mxy lnx m x===-﹣，解得3232{3 2x ey m e-===-．∴322e--≤m≤3e．故选：D ．点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．11．【2018云南昆明高三质检二】已知函数()22ln xe f x k x kx x=+-，若2x =是函数()f x 的唯一极值点，则实数k 的取值范围是（）A. 2,4e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B. ,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C. (]0,2 D. [)2,+∞【答案】A【点睛】函数有唯一极值点x=2,即导函数只有唯一零点x=2,且在x=2两侧导号。

高考数学二轮复习提高题专题复习导数及其应用多选题练习题含答案

高考数学二轮复习提高题专题复习导数及其应用多选题练习题含答案一、导数及其应用多选题1．函数ln ()xf x x=，则下列说法正确的是（）A ．(2)(3)f f >B ．ln π>C ．若()f x m =有两个不相等的实根12x x 、，则212x x e <D ．若25,x y x y =、均为正数，则25x y < 【答案】BD 【分析】求出导函数，由导数确定函数日单调性，极值，函数的变化趋势，然后根据函数的性质判断各选项．由对数函数的单调性及指数函数单调性判断A ，由函数()f x 性质判断BC ，设25xyk ==，且,x y 均为正数，求得252ln ,5ln ln 2ln 5x k y k ==，再由函数()f x 性质判断D ．【详解】由ln (),0x f x x x=>得：21ln ()xf x x -'=令()0f x '=得，x e =当x 变化时，(),()f x f x '变化如下表：故，()f x x=在(0,)e 上递增，在(,)e +∞上递减，()f e e =是极大值也是最大值，x e >时，x →+∞时，()0f x →，且x e >时()0f x >，01x <<时，()0f x <，(1)0f =，A ．1132ln 2(2)ln 2,(3)ln 32f f ===66111133223232(3)(2)f f ⎛⎫⎛⎫>∴>∴> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错B ．e e π<，且()f x 在(0,)e 单调递增lnf fπ∴<<<∴>，故：B正确C．()f x m=有两个不相等的零点()()1212,x x f x f x m∴==不妨设120x e x<<<要证：212x x e<，即要证：221222,()e ex x e e f xx x<>∴<在(0,)e单调递增，∴只需证：()212ef x fx⎛⎫< ⎪⎝⎭即：()222ef x fx⎛⎫< ⎪⎝⎭只需证：()222ef x fx⎛⎫-<⎪⎝⎭……①令2()(),()eg x f x f x ex⎛⎫=->⎪⎝⎭，则2211()(ln1)g x xe x'⎛⎫=--⎪⎝⎭当x e>时，2211ln1,()0()x g x g xe x'>>∴>∴在(,)e +∞单调递增()22()0x e g x g e>∴>=，即：()222ef x fx⎛⎫->⎪⎝⎭这与①矛盾，故C错D．设25x y k==，且,x y均为正数，则25ln lnlog,logln2ln5k kx k y k====252ln,5lnln2ln5x k y k∴==1152ln2ln5ln2,ln525==且1010111153222525⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪>> ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ln2ln52502525ln2ln5x y∴>>∴<∴<，故D正确．故选：BD．【点睛】关键点点睛：本题考查用导数研究函数的单调性、极值，函数零点等性质，解题关键是由导数确定函数()f x的性质．其中函数值的大小比较需利用单调性，函数的零点问题中有两个变量12,x x，关键是进行转化，利用零点的关系转化为一个变量，然后引入新函数进行证明．2．已知函数()f x对于任意x∈R，均满足()()2f x f x=-.当1x≤时()ln,01,0xx xf xe x<≤⎧=⎨≤⎩，若函数()()2g x m x f x=--，下列结论正确的为（）A．若0m<，则()g x恰有两个零点B．若32m e<<，则()g x有三个零点C．若3 02m<≤，则()g x恰有四个零点D．不存在m使得()g x恰有四个零点【答案】ABC【分析】设()2h x m x=-，作出函数()g x的图象，求出直线2y mx=-与曲线()ln01y x x=<<相切以及直线2y mx=-过点()2,1A时对应的实数m的值，数形结合可判断各选项的正误.【详解】由()()2f x f x=-可知函数()f x的图象关于直线1x=对称.令()0g x=，即()2m x f x-=，作出函数()f x的图象如下图所示：令()2h x m x=-，则函数()g x的零点个数为函数()f x、()h x的图象的交点个数，()h x的定义域为R，且()()22h x m x m x h x-=--=-=，则函数()h x为偶函数，且函数()h x的图象恒过定点()0,2-，当函数()h x的图象过点()2,1A时，有()2221h m=-=，解得32m=.过点()0,2-作函数()ln01y x x=<<的图象的切线，设切点为()00,lnx x，对函数lny x=求导得1yx'=，所以，函数lny x=的图象在点()00,lnx x处的切线方程为()001lny x x xx-=-，切线过点()0,2-，所以，2ln1x--=-，解得1xe=，则切线斜率为e，即当m e =时，函数()y h x =的图象与函数()ln 01y x x =<<的图象相切. 若函数()g x 恰有两个零点，由图可得0m ≤或m e =，A 选项正确；若函数()g x 恰有三个零点，由图可得32m e <<，B 选项正确；若函数()g x 恰有四个零点，由图可得302m <≤，C 选项正确，D 选项错误. 故选：ABC. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.3．对于函数()2ln 1f x x ax x a =+--+，其中a R ∈，下列4个命题中正确命题有（）A ．该函数定有2个极值B ．该函数的极小值一定不大于2C ．该函数一定存在零点D ．存在实数a ，使得该函数有2个零点【答案】BD 【分析】求出导函数，利用导数确定极值，结合零点存在定理确定零点个数．【详解】函数定义域是(0,)+∞，由已知2121()2x ax f x x a x x+-'=+-=，280a ∆=+>，2210x ax +-=有两个不等实根12,x x ，但12102x x =-<，12,x x 一正一负．由于定义域是(0,)+∞，因此()0f x '=只有一个实根，()f x 只有一个极值，A 错；不妨设120x x <<，则20x x <<时，()0f x '<，()f x 递减，2x x >时，()0f x '>，()f x 递增．所以2()f x 是函数的极小值．222210x ax +-=，22212x a x -=，22222()ln 1f x x ax x a =+--+＝222222222222212112ln 12ln 2x x x x x x x x x -+---+=-+--+，设21()2ln 2g x x x x x =-+--+，则22111()22(1)(2)g x x x x x x'=-+-+=-+， 01x <<时，()0g x '>，()g x 递增，1x >时，()0g x '<，()g x 递减，所以()g x 极大值＝(1)2g =，即()2g x ≤，所以2()2f x ≤，B 正确；由上可知当()f x 的极小值为正时，()f x 无零点．C 错；()f x 的极小值也是最小值为2222221()2ln 2f x x x x x =-+--+，例如当23x =时，173a =-，2()0f x <，0x →时，()f x →+∞，又2422217171714()21()03333f e e e e e =--++=-+>（217()3e >，所以()f x 在(0,3)和(3,)+∞上各有一个零点，D 正确．故选：BD ．【点睛】思路点睛：本题考查用导数研究函数的极值，零点，解题方法是利用导数确定函数的单调性，极值，但要注意在函数定义域内求解，对零点个数问题，注意结合零点存在定理，否则不能确定零点的存在性．4．若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：（i ）直线l 在点()00,P x y 处与曲线C 相切；（ii ）曲线C 在P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C . 下列命题正确的是（）A ．直线:0l y =在点()0,0P 处“切过”曲线3:C y x =B ．直线:1l x =-在点()1,0P -处“切过”曲线()2:1C y x =+C ．直线:l y x =在点()0,0P 处“切过”曲线:sin C y x =D ．直线:l y x =在点()0,0P 处“切过”曲线:tan C y x = 【答案】ACD 【分析】分别求出每个选项中命题中曲线C 对应函数的导数，求出曲线C 在点P 处的切线方程，再由曲线C 在点P 处两侧的函数值对应直线上的点的值的大小关系是否满足（ii ），由此可得出合适的选项. 【详解】对于A 选项，由3y x =，可得23y x '=，则00x y ='=，所以，曲线C 在点()0,0P 处的切线方程为0y =，当0x >时，0y >；当0x <时，0y <，满足曲线C 在点()0,0P 附近位于直线0y =两侧， A 选项正确；对于B 选项，由()21y x =+，可得()21y x '=+，则10x y =-'=，而直线:1l x =-的斜率不存在，所以，直线l 在点()1,0P -处不与曲线C 相切，B 选项错误；对于C 选项，由sin y x =，可得cos y x '=，则01x y ='=，所以，曲线C 在点()0,0P 处的切线方程为y x =，设()sin x x x f -=，则()1cos 0f x x '=-≥，所以，函数()f x 为R 上的增函数，当0x <时，()()00f x f <=，即sin x x <；当0x >时，()()00f x f >=，即sin x x >.满足曲线C 在点()0,0P 附近位于直线y x =两侧，C 选项正确；对于D 选项，由sin tan cos xy x x ==，可得21cos y x'=，01x y ='=，所以，曲线C 在点()0,0P 处的切线方程为y x =，当,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，设()tan g x x x =-，则()2221sin 10cos cos xg x x x=-=-≤'，所以，函数()g x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减.当02x π-<<时，()()00g x g >=，即tan x x >；当02x π<<时，()()00g x g <=，即tan x x <.满足曲线C 在点()0,0P 附近位于直线y x =两侧，D 选项正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题考查导数新定义，解题的关键就是理解新定义，并把新定义进行转化，一是求切线方程，二是判断在切点两侧函数值与切线对应的函数值的大小关系，从而得出结论.5．设函数()ln f x x x =，()212g x x =，给定下列命题，其中正确的是（） A ．若方程()f x k =有两个不同的实数根，则1,0k e⎛⎫∈- ⎪⎝⎭； B ．若方程()2kf x x =恰好只有一个实数根，则0k <；C ．若120x x >>，总有()()()()1212m g x g x f x f x ->-⎡⎤⎣⎦恒成立，则m 1≥；D ．若函数()()()2F x f x ag x =-有两个极值点，则实数10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．【答案】ACD 【分析】利用导数研究函数的单调性和极值，且将题意转化为()y f x =与y k =有两个不同的交点，即可判断A 选项；易知1x =不是该方程的根，当1x ≠时，将条件等价于y k =和ln xy x=只有一个交点，利用导数研究函数的单调性和极值，从而可推出结果，即可判断B 选项；当120x x >>时，将条件等价于1122()()()()mg x f x mg x f x ->-恒成立，即函数()()y mg x f x =-在(0,)+∞上为增函数，通过构造新函数以及利用导数求出单调区间，即可求出m 的范围，即可判断C 选项；2()ln (0)F x x x ax x =->有两个不同极值点，根据导数的符号列出不等式并求解，即可判断D 选项. 【详解】解：对于A ，()f x 的定义域(0,)+∞，()ln 1f x x '=+，令()0f x '>，有ln 1x >-，即1x e>，可知()f x 在1(0,)e 单调递减，在1+e∞（，）单调递增，所以极小值等于最小值， min 11()()f x f e e∴==-，且当0x →时()0f x →，又(1)0f =，从而要使得方程()f x k =有两个不同的实根，即()y f x =与y k =有两个不同的交点，所以1(,0)k e∈-，故A 正确；对于B ，易知1x =不是该方程的根，当1x ≠时，()0f x ≠，方程2()kf x x =有且只有一个实数根，等价于y k =和ln xy x=只有一个交点， 2ln 1(ln )-'=x y x ，又0x >且1x ≠，令0y '>，即ln 1x >，有x e >，知ln xy x=在0,1（）和1e （，）单减，在+e ∞（，）上单增， 1x =是一条渐近线，极小值为e ,由ln xy x=大致图像可知0k <或=k e ，故B 错误；对于C ，当120x x >>时，[]1212()()()()m g x g x f x f x ->-恒成立，等价于1122()()()()mg x f x mg x f x ->-恒成立，即函数()()y mg x f x =-在(0,)+∞上为增函数，即()()ln 10y mg x f x mx x =-''--'=≥恒成立，即ln 1+≥x m x在(0,)+∞上恒成立，令ln 1()x r x x +=，则2ln ()xr x x -'=，令()0r x '>得ln 0x <，有01x <<，从而()r x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，则max ()(1)1r x r ==，于是m 1≥，故C 正确；对于D ，2()ln (0)F x x x ax x =->有两个不同极值点，等价于()ln 120F x x ax +-'==有两个不同的正根，即方程ln 12x a x+=有两个不同的正根，由C 可知，021a <<，即102a <<，则D 正确. 故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性和极值，以及利用导数解决函数的零点问题和恒成立问题从而求参数范围，解题的关键在于将零点问题转化成两个函数的交点问题，解题时注意利用数形结合，考查转化思想和运算能力．6．已知函数()21ln 2f x ax ax x =-+的图象在点()()11,x f x 处与点()()22,x f x 处的切线均平行于x 轴，则（）A ．()f x 在1,上单调递增B ．122x x +=C ．()()121212x x x x f x f x ++++的取值范围是7,2ln 24⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭D ．若163a =，则()f x 只有一个零点【答案】ACD【分析】求导，根据题意进行等价转化，得到a 的取值范围；对于A ，利用导数即可得到()f x 在()1,+∞上的单调性；对于B ，利用根与系数的关系可得121x x =+；对于C ，化简()()121212x x x x f x f x ++++，构造函数，利用函数的单调性可得解；对于D ，将163a =代入()f x '，令()0f x '=，可得()f x 的单调性，进而求得()f x 的极大值小于0，再利用零点存在定理可得解. 【详解】由题意可知，函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()211ax ax ax a x x xf -+=-+='，则1x ，2x 是方程210ax ax -+=的两个不等正根，则212401a a x x a ⎧∆=->⎪⎨=>⎪⎩，解得4a >，当()1,x ∈+∞时，函数210y ax ax =-+>，此时()0f x '>，所以()f x 在()1,+∞上单调递增，故A 正确；因为1x ，2x 是方程210ax ax -+=的两个不等正根，所以121x x =+，故B 错误；因为()()221212121112221111ln ln 22x x x x f x f x x ax ax x ax ax a ++++=+++-++- 1112111ln 1ln 22a a a a a a a a⎛⎫=+++--=--+ ⎪⎝⎭，易知函数()11ln 2h a a a a=--+在()4,+∞上是减函数，则当4a >时，()()742ln 24h a h <=--，所以()()121212x x x x f x f x ++++的取值范围是7,2ln 24⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭，故C 正确；当163a =时，()1616133f x x x '=-+，令()0f x '=，得14x =或34，则()f x 在10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在13,44⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()f x 在14x =取得极大值，且104f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，()2ln 20f =>，所以()f x 只有一个零点，故D 正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：导数几何意义的应用主要抓住切点的三个特点：①切点坐标满足原曲线方程； ②切点坐标满足切线方程；③切点的横坐标代入导函数可得切线的斜率.7．（多选题）已知函数31()1x x xe x f x e x x⎧<⎪=⎨≥⎪⎩，，，函数()()g x xf x =，下列选项正确的是（）A ．点(0,0)是函数()f x 的零点B ．12(0,1),(1,3)x x ∃∈∈，使12()()f x f x >C ．函数()f x 的值域为)1e ,-⎡-+∞⎣D ．若关于x 的方程[]2()2()0-=g x ag x 有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是222e e,(,)e 82⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦ 【答案】BC 【分析】根据零点的定义可判断A ；利用导数判断出函数在()0,1、()1,3上的单调性性，求出各段上的值域即可判断B ；利用导数求出函数的最值即可判断C ；利用导数求出函数的最值即可判断D. 【详解】对于选项A ，0是函数()f x 的零点，零点不是一个点，所以A 错误. 对于选项B ，当1x <时，()(1)xf x x e '=+，可得，当1x <-时，()f x 单调递减；当11x -<<时，()f x 单调递增；所以，当01x <<时， 0()<<f x e ，当1x >时，4(3)()x e x f x x-'=，当13x <<时，()f x 单调递减；当3x >时，()f x 单调递增；()y f x =图像所以，当13x <<时， 3()27e f x e << ，综上可得，选项B 正确；对于选项C ，min 1()(1)f x f e=-=-，选项C 正确. 对于选项D ，关于x 的方程[]2()2()0-=g x ag x 有两个不相等的实数根⇔关于x 的方程()[()2]0-=g x g x a 有两个不相等的实数根 ⇔关于x 的方程()20-=g x a 有一个非零的实数根⇔函数()y g x =与2y a =有一个交点，且0x ≠，22,1(),1x xx e x g x e x x⎧<⎪=⎨≥⎪⎩当1x <时，/2()(2)=+xg x e x x ，当x 变化时，'()g x ，()g x 的变化情况如下：x2x <-2-20x -<<0 01x << /()g x +-+()g x极大值极小值极大值24(2)g e -=，极小值(0)0g =，当1≥x 时，3(2)'()e x g x x -=当x 变化时，'()g x ，()g x 的变化情况如下： x 112x <<2 2x >/()g x-+()g xe极小值极小值2(2)4e g =，()y g x =图像综上可得，22424<<e a e 或2a e >，a 的取值范围是222e e,(,)e 82⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，D 不正确.故选：BC 【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值，利用导数研究方程的根，考查了转化与化归的思想，属于难题.8．已知实数a ，b ，c ，d 满足2111a a e cb d --==-，其中e 是自然对数的底数，则()()22a cb d -+-的值可能是（） A ．7 B ．8C ．9D ．10【答案】BCD 【分析】由题中所给的等式，分别构造函数()2xf x x e =-和()2g x x =-+，则()()22a cb d -+-的表示()y f x =上一点(),M a b 与()y g x =上一点(),Ncd 的距离的平方，利用导数的几何意义可知当()01f x '=-时，切点到直线的距离最小，再比较选项.【详解】由212a a a e b a e b-=⇒=-，令()2xf x x e =-，()12x f x e '∴=-由1121cd c d -=⇒=-+-，令()2g x x =-+ 则()()22a cb d -+-的表示()y f x =上一点(),M a b 与()y g x =上一点(),Ncd 的距离的平方，设()y f x =上与()y g x =平行的切线的切点为()000,M x y 由()0001210xf x e x '=-=-⇒=，∴切点为()00,2M -所以切点为()00,2M -到()y g x =的距离的平方为28=的距离为(),M a b 与(),N c d 的距离的平方的最小值.故选：BCD. 【点睛】本题考查构造函数，利用导数的几何意义求两点间距离的最小值，重点考查转化思想，构造函数，利用几何意义求最值，属于偏难题型.。

18届高考数学二轮复习疯狂专练16导数及其应用定积分理180108255

导数及其应用、定积分1．[2017·郑州一中]曲线()ln 23f x x x =-+在点()1,1处的切线方程是（） A ．20x y +-= B ．20x y -+= C．20x y ++=D ．20x y --=【答案】A【解析】∵()ln 23f x x x =-+，∴切线斜率()11k f ='=-，且()11f =，∴曲线()ln 23f x x x =-+在点()1,1处的切线方程是()11y x -=--，即20x y +-=，故选：A ．2．[2017·达州测验]已知函数()f x 在R 上可导，其部分图象如图所示，设）A ．()()24a f f <'<'B ．()()24f a f '<'< C．()()42f f a''<<D ．()()24f f a ''<<【答案】B【解析】由图象可知，函数的增长越来越快，故函数在该点的斜率越来越大，所以()()2,2f ，()()4,4f 大小，在点()()2,2f 处的切线斜率()2f '与点()()4,4f 的切线斜率()4f '之间，()()24f a f ''∴<<，故选B ．一、选择题（5分/题）3．[2017·福安一中]已知()e e x f x x -=+的导函数()f x '，则()1f '=（）A B C D ．0【答案】A 【解析】()e e x f x -=-'+，()111e e e ef -∴+='=--，选A ．4．[2017·宁夏一中]若函数()2f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则函数()f x '的图象是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】∵函数()2f x x bx c =++的图象开口向上且顶点在第四象限，∴021b->⨯，∴0b <，∵()2f x x b '=+，∴函数()f x '的图象经过一，三，四象限，∴本题选A ． 5．[2017·成都质检]在1x =处有极值则b =（） A ．1-B ．1C ．1或1-D ．1-或3【答案】A【解析】求导函数可得()22f x x bx c '=-++1x=，∴13b c =-=⎧⎨⎩或11b c =⎧⎨=-⎩， 1b =，1c =-时，()()222110f x x x x '=-+-=--≤，不满足题意；1b =-，3c =时，()()()22331f x x x x x '=--+=-+-，满足题意，∴1b =-，选A ．6．[2017·湖北联考]在区间()0,+∞单调递增，则实数k 的取值范围是（） A B ．()0,+∞ C ．D ．[)0,+∞【答案】C【解析】∴()e x f x k x '=-．在()0,+∞单调递增，∴()e 0x f x k x ='-≥在()0,+∞上恒成立，即在()0,+∞上恒成立．，∴当01x <<时，()0g x '>，()g x 单调递增；当1x >时，()0g x '<，()g xC ． 7．[2017·龙泉二中]若函数()312f x x x =-在区间()1,1k k -+上不是单调函数，则实数k 的取值范围是（）A ．3k -≤或11k -≤≤或3k ≥ B ．不存在这样的实数k C ．22k -<<D ．31k -<<-或13k <<【答案】D 【解析】()312f x x x =-，()2312f x x '∴=-，令()0f x '=，解得2x =-或2x =，即函数()312f x x x =-极值点为2±，若函数()312f x x x =-在区间()1,1k k -+上不是单调函数，则()21,1k k -∈-+或()21,1k k ∈-+，解得31k -<<-或13k <<，故选D ． 8．[2017·德州期中]函数()f x 在实数集R 上连续可导，且()()20f x f x '->在R 上恒成立，则以下不等式一定成立的是（）A B C ．()()32e 1f f ->D ．()()32e 1f f -<【答案】A【解析】()()20f x f x '->在R 上恒成立，∴()0g x '<在R 上恒成立，()g x 在R 上单调递减，∴()()12g g >，即A ．9．[2017·南平期中]两曲线sin y x =，cos y x =与两直线0x =，域的面积为（）A B C ．D 【答案】D【解析】做出曲线sin y x =，cos y x =与两直线0x =，根据对称性，可知曲线sin y x =，cos y x =与两直线0x =，面积为曲线sin y x =，cos y x =与直线0x =D ．10．[2017·宜春二模]n 的最小值为a ，则）A ．0BCD ．49π【答案】C【解析】展开式中含有常数项，有整数解，故n 的最小值a 为7，定积分：C ．11．[2017·昆明一中]已知函数()y f x =和函数()y F x =的图象关于y 轴对称，当函数()y f x =和()y F x =在区间[],a b 上同时递增或同时递减时，区间[],a b 叫做函数()y f x =的“不动区间”，若区间[]1,2为函数的“不动区间”，则实数t 的最大值为（）A B ．3 C ．2 D 【答案】C【解析】因为函数()y f x =与()y F x =的图象关于y 轴对称，所以t ，因为区间[]1,2在[]1,2上单调性相同，因为2x y t =-和函数2x y t -=-的单调性相反，所以()()220xxtt ---≤在[]1,2上恒成立，即()21220x x t t --++≤在[]1,2上恒成立，即22x x t -≤≤在[]1,2上恒成立，得；即实数t 的最大值为2，选C ．12．[2017·赣中南五校]设函数()f x 是R 上的奇函数，()()f x f x +π=-，当02x π≤≤时，()cos 1f x x =-，则22x -ππ≤≤时，()f x 的图象与x 轴所围成图形的面积为（） A ．48π- B ．24π- C．2π-D ．36π-【答案】A【解析】由题设()()()()2f x f x f x f x +π=-⇒+π=，则函数()y f x =是周期为2π的奇函数，画出函数()y f x =，[]0,2x ∈π的图像，结合函数的图像可知：只要求出该函数()y f x =，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的图像与x 轴所围成的面积即可．容易算得函数()y f x =，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的图像与x 轴所围成的面积是()200cos 1d 1122S x x πππ⎛⎫=--=--=- ⎪⎝⎭⎰，故借助函数图像的对称性求得函数()y f x =，[]2,2x ∈-ππ的图像与x 轴所围成的面积是848S =π-，应选A ．13．[2017·邢台二中]．14．[2017·铜梁一中]曲线ln 2y x =到直线210x y -+=距离的最小值为________．二、填空题（5分/题）【解析】曲线ln 2y x =到直线210x y -+=距离的最小值，就是与直线210x y -+=平行的直线与曲线ln 2y x =相切时的切点坐标与直线的距离，曲线ln 2y x =切点坐标为()(),a f a102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ln 2y x =到直线210x y -+=15．[2017·正定中学]如图，在边长为1的正方形OABC 内，阴影部分是由两曲线y =，()201x x y =≤≤围成，在正方形内随机取一点，且此点取自阴影部分的概率是a ，则函数()()()3log 13x x x a f x x a ⎧⎪=⎨⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎩≥的值域为____．【答案】[)1,-+∞【解析】设阴影部分的面积为S ，则)31232121211d 033333S x x x x ⎛⎫ ⎪==-=-⎝=⎭⎰，又正方形面积为1，13a ∴=，()31log ,31133,xx x f x x ⎧⎪⎪∴=⎨⎛⎫⎪< ⎪⎪⎝⎭⎩≥，()f x ∴的值域为[)1-+∞，． 16．[2017·赤峰二中]已知函数()22fx x x a=++，()ln 2g x x x =-，如果存在11,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得对任意的21,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()()12f x g x ≤成立，则实数a 的取值范围是__________．【答案】21ln 24⎛⎤-∞-⎥⎝⎦，【解析】求导函数，可得()1122x g x x x -'=-=，1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()0g x '<，∴()()min 2ln24g x g ==-，∵()()22211f x x x a x a =++=++-，∴()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴()min 1524f x f a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，∵如果存在11,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得对任意的21,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()()12f x g x ≤成立，∴5+ln244a -≤， ∴21ln 24a -≤，故答案为21,ln 24⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦．。

2020届高考数学二轮复习疯狂专练16导数及其应用文

疯狂专练16 导数及其应用1．已知()xaf x ex=+，且(2)0f'=，那么a等于（）A．2e B．24e-C．4 D．24e2．设函数2()(2)f x x x=-，则()f x的单调递增区间是（）A．4(0,)3B．4(,)3+∞C．(,0)-∞D．4(,0)(,)3-∞+∞3．函数5xy=在2x=时的导数为（）A．25ln5B．25C．ln25D．25ln24．函数xxycos=的导数是（）A．2sinxx-B．xsin-C．2cossinxxxx+-D．2coscosxxxx+-5．设lny x x=-，则此函数在区间(0,1)内为（）A．单调递增B．单调递减C．有增有减D．不确定6．曲线x exy-=在以下哪个点处的切线斜率等于0（）A．(1,0)-B．(1,0)C．(0,1)D．(0,1)-7．函数()f x的定义域为(0,)+∞，且()0f x>，()0f x'>，那么函数()y x f x=⋅（）A．存在极大值B．存在极小值C．是增函数D．是减函数8．已知函数)(xfy=的定义域为R，满足(1)2f=，其导函数()f x'的图像如图，则函数)(xfy=的图像是（）9．函数()ln22f x x x=-+的零点个数为（）一、选择题A ．0B ．1C ．2D ．多于两个10．设底为等边三角形的直棱柱的体积为V ，那么其表面积最小时，底面边长为（）ABCD．11．已知函数()sin cos f x x x x =+，则(3)f -与(2)f 的大小关系是（）A ．(3)(2)f f -<B ．(3)(2)f f ->C ．(3)(2)f f -=D ．不能确定12．函数14(01)1y x x x =+<<-的最小值是（） A ．1B ．9C ．4D ．不存在13．2x y x e =的单调递增区间是____________．14．曲线sin x y x=在点(π,0)M 处的切线方程为_________________． 15．设直线x t =与函数2()f x x =，()ln g x x =的图象分别交于点M ，N ，则当||MN 达到最小时t 的值为____________．16．如图，函数3()()1g x xf x x =+-的图像在点P 处的切线方程是122y x =--，且()f x 也是可导函数，则(2)(2)f f '-+-=__________．二、填空题1．【答案】D【解析】2()x af x e x '=-，则2(2)04a f e '=-=，则24a e =．2．【答案】A【解析】32()2f x x x =-+，则24()343()3f x x x x x '=-+=--，由()0f x '>，得403x <<，则()f x 的单调递增区间是4(0,)3．3．【答案】A【解析】5ln5x y '=，则2x =时的导数为25ln525ln5=．4．【答案】C【解析】22(sin )cos sin cos x x x x x x y x x -⋅-+'==-．5．【答案】B【解析】11y x '=-，则在区间(0,1)内，0y '<，则此函数在区间(0,1)内为减函数．6．【答案】D【解析】1x y e '=-，由0y '=，得0x =，则1y =-，故选D ．7．【答案】C【解析】()()0y f x x f x ''=+⋅>，则()y x f x =⋅在(0,)+∞上为增函数．8．【答案】C【解析】从()f x '的图像可知1x <时，()0f x '>；1x >时，()0f x '<，则)(x f y =在1x <时递增，在1x >时递减，且(1)2f =为()f x 的极大值，则选C ．9．【答案】C【解析】可知0x >，1()2f x x '=-，则102x <<时，()0f x '>；12x >时，()0f x '<，答案与解析一、选择题则max 11()()ln 121ln 2022f x f ==-+=->，结合简图知()f x 有两个零点．10．【答案】C【解析】设底面边长为a ，高为h，则2V h =，则h =，则表面积23S ah =+，化为2S =，则S '=，由0S '=，得a =11．【答案】A【解析】()sin cos sin cos f x x x x x x x '=+-=，当ππ2x <<时，()0f x '<，知()f x 在ππ2x <<时为减函数，则(3)(2)f f <，而()f x 为偶函数，则(3)(2)f f -<．12．【答案】B 【解析】2241(1)y x x '=--，由0y '=，得13x =，当103x <<时，0y '<，当113x <<时，0y '>，则13x =时，9y =为函数的最小值．13．【答案】(,2)-∞-和(0,)+∞【解析】22(2)x x x y xe x e e x x '=+=+，由0y '>，可得0x >或2x <-．14．【答案】ππ0x y +-=【解析】2cos sin x x xy x -'=，当πx =时，1πy '=-，则在点(π,0)M 处的切线方程为1(π)πy x =--，即ππ0x y +-=．二、填空题15．【答案】22 【解析】由题意知2||ln MN x x =-，(0)x >，不妨令2()ln h x x x =-，则1()2h x x x '=-，令()0h x '=，解得2x =，当2(0,)2x ∈时，()0h x '<，当2(,)2x ∈+∞时，()0h x '>，所以当22x =时，||MN 达到最小，即2t =．16．【答案】14【解析】知(2,1)P --，则312(2)(2)1f -=--+--，则(2)4f -=-，又可得2()()()3g x f x xf x x ''=++，知1(2)2g '-=-，那么142(2)122f '-=---+，则17(2)4f '-=，则1(2)(2)4f f '-+-=．。

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导数及其应用
1．[2017·郑州一中]曲线()ln 23f x x x =-+在点()1,1处的切线方程是（） A ．20x y +-= B ．20x y -+= C
．
20
x y ++=
D ．20x y --=
【答案】A
【解析】∵()ln 23f x x x =-+
，∴切线斜率()11k f ='=-，且()11f =，
∴曲线()ln 23f x x x =-+在点()1,1处的切线方程是()11y x -=--，即20x y +-=，故选：A ．
2．[2017·达州测验]已知函数()f x 在R 上可导，其部分图象如图所示，设
）
A ．()()24a f f <'<'
B ．()()24f a f '<'< C
．
()()42f f a
''<<
D ．()()24f f a ''<<
【答案】B
【解析】由图象可知，函数的增长越来越快，故函数在该点的斜率越来越大，所以()()
2,2f ，
()()4,4f 大小，在点()()
2,2f 处的切线斜率()2f '与点
()()4,4f 的切线斜率()4f '之间，()()24f a f ''∴<<，故选B ．
一、选择题（5分/题）
3．[2017·福安一中]已知()e e x f x x -=+的导函数()f x '，则()1f '=（）
A B C D ．0
【答案】A
【解析】()e
e x
f x -=-'+ ，()11
1e e e e
f -∴+='=--，选A ．
4．[2017·宁夏一中]若函数()2
f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则函数()f x '的图象是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【解析】∵函数()2
f x x bx c =++的图象开口向上且顶点在第四象限，∴021
b
-
>⨯，∴0b <，
∵()2f x x b '=+，∴函数()f x '的图象经过一，三，四象限，∴本题选A ． 5．[2017·成都质检]在1x =处有极值则b =（） A ．1-
B ．1
C ．1或1-
D ．
1-或3
【答案】A
【解析】求导函数可得()2
2f x x bx c '=-++
1x
=，∴13b c =-=⎧⎨⎩或11b c =⎧⎨=-⎩， 1b =，1c =-时，()()2
22110f x x x x '=-+-=--≤，不满足题意；
1b =-，3c =时，()()()22331f x x x x x '=--+=-+-，满足题意，∴1b =-，选A ．
6．[2017·湖北联考]在区间()0,+∞单调递增，则实数k 的取值范围是（
） A B ．()0,
+∞ C ．
D ．[
)0,+∞
【答案】
C
【解析】∴()e x f x k x '=-．在()0,+∞单调递增，
∴()e 0x f x k x ='-≥在()0,+∞上恒成立，即在()0,+∞上恒成立．
，∴当01x <<时，()0g x '>，()g x 单调递增；当1x >时，()0g x '<，()g x
C ． 7．[2017·龙泉二中]若函数()3
12f x x x =-在区间()1,1k k -+上不是单调函数，则实数
k 的取值范围是（）
A ．3k -≤或11k -≤≤
或3k ≥ B ．不存在这样的实数k C ．22k -<<
D ．31k -<<-或13k <<
【答案】D
【解析】()3
12f x x x =- ，()2
312f x x '∴=-，令()0f x '=，解得2x =-或2x =，
即函数()312f x x x =-极值点为2±，若函数()312f x x x =-在区间()1,1k k -+上不是单调函数，则()21,1k k -∈-+或()21,1k k ∈-+，解得31k -<<-或13k <<，故选D ． 8．[2017·菏泽期中]已知函数()f x '是函数()f x 的导函数，()()0f x f x -'>，设
） A ．(),1-∞ B ．()1,+∞ C
．
()
1,e
D ．()e,+∞
【答案】B
【解析】
，又()()0f x f x -'>，∴
()0F
x '<，即()F x 1x >，∴不等式的解集为()1,+∞，故选B ． 9．[2017·西安中学]已知函数3
21()3
f x x a x =
-，若对于任意的1x ，[]20,1x ∈，都有12()()1f x f x -
≤成立，则实数a 的取值范围是（）
A ．33⎡
-⎢⎣⎦
B ．33⎛-
⎝⎭
C ．⎡⎫⎛⎪ ⎢⎪
⎣⎭⎝⎦
D ．⎛⎫⎛ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭
【答案】A
【解析】利用排除法，当0a =时，()3
13
f x x =
，()20f x x '=≥，函数在定义域上单调递增，()()()()1211013f x f x f f -
-=≤≤，满足题意，排除C 、D ；当3
a =
时，。