一元二次方程的解法----因式分解法

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一元二次方程的解法—因式分解法

一元二次方程的解法——因式分解法1.因式分解法：将一元二次方程先因式分解为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次。

这种解法叫做因式分解。

2.因式分解法的一般步骤：（1）将方程的右边化为0；（2）将方程的左边化成两个一次因式的积；（3）令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解。

同步练习用因式分解法解下列方程：(1)x2＋12x＝0；(2)4x2－1＝0；(3)x2＝7x； (4)x2－4x－21＝0；(5)(x－1)(x＋3)＝12；(6)3x2＋2x－1＝0；(7)10x2－x－3＝0；(8)(x－1)2－4(x－1)－21＝0．1．选择题(1)方程(x －16)(x ＋8)＝0的根是( )A ．x 1＝－16，x 2＝8B ．x 1＝16，x 2＝－8C ．x 1＝16，x 2＝8D ．x 1＝－16，x 2＝－8 (2)下列方程4x 2－3x －1＝0，5x 2－7x ＋2＝0，13x 2－15x ＋2＝0中，有一个公共解是( )A ．x ＝21 B ．x ＝2 C ．x ＝1 D ．x ＝－1 (3)方程5x (x ＋3)＝3(x ＋3)解为( ) A ．x 1＝53，x 2＝3 B ．x ＝53 C ．x 1＝－53，x 2＝－3 D ．x 1＝53，x 2＝－3 (4)方程(y －5)(y ＋2)＝1的根为( )A ．y 1＝5，y 2＝－2B ．y ＝5C ．y ＝－2D ．以上答案都不对 (5)方程(x －1)2－4(x ＋2)2＝0的根为( )A ．x 1＝1，x 2＝－5B ．x 1＝－1，x 2＝－5C ．x 1＝1，x 2＝5D ．x 1＝－1，x 2＝5 (6)一元二次方程x 2＋5x ＝0的较大的一个根设为m ，x 2－3x ＋2＝0较小的根设为n ，则m ＋n的值为( )A ．1B ．2C ．－4D ．4 (7)已知三角形两边长为4和7，第三边的长是方程x 2－16x ＋55＝0的一个根，则第三边长是( )A ．5B ．5或11C ．6D ．11 (8)方程x 2－3|x －1|＝1的不同解的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．32．填空题(1)方程t (t ＋3)＝28的解为_______．(2)方程(2x ＋1)2＋3(2x ＋1)＝0的解为__________．(3)方程(2y ＋1)2＋3(2y ＋1)＋2＝0的解为__________．(4)关于x 的方程x 2＋(m ＋n )x ＋mn ＝0的解为__________．(5)方程x (x －5)＝5 －x 的解为__________．。

17.2一元二次方程的解法----- 因式分解

（2）x2＝x.
解：将原方程化为标准形式得 x2－x=0 方程左边因式分解得
∴ x=0或x+3=0－1=0
解方程得
x1=0，x2=－3
x1=0，x2=1
问：如果把上述两个方程像下面这样解，对吗? （1）x2+3x＝0；
解：（1）把方程两边同除以x，得 x+3＝0 移项，得：x＝－3 故方程的解为x＝－3.
问：还有其它方法可解吗？
若将方程的左边进行因式分解，得： (x+6)(x-6)＝0
分析：
如果两个因式的积等于0，那么这两个因式中至少有一个等于0；反过来，如果两个因式中有一个等于0，那么它们的积就等于0.
所以，x+6=0或x-6=0 解这两个一次方程，得： x1＝－6，x2＝6
想一想：这里用到了什么数学思想方法？
17.2
一元二次方程的解法（三） —因式分解法
问题1：解一元二次方程的方法有哪些？
直接开平方法配方法公式法问题2：还记得解一元二次方程的求根公式吗？
对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）
b b2 4ac x 2a
（b2－4ac≥0）
问题3：对于一些特殊的一元二次方程除可用学过的方法求解外，还可采用其它的方法？如：x2-36＝0
（ 2 ） x 2＝ x .
把方程两边同除以x，得：x＝1，故方程的解为:x＝1.
以上解法不正确，为什么？
因为不能确定x是否等于0，当x=0时，两边就不能同时除以x.
练一练
1.解方程：x2－5x+6＝0. 解：把方程左边分解因式，得： (x－2)(x－3)＝0 ∴ x－ 2＝ 0或 x－ 3＝ 0 解方程得 x1＝2，x2＝3.

一元二次方程的解法—因式分解

∴x+6=0，或x-4=0． ∴x1=-6， x2=4．
请运用完全平方公式把下列各式分解因式：
1 x2 4x 4 原式 x 22 2 a2 6a 9 原式 x 32 3 4a2 4a 1 原式 2a 12
4 9m2 6mn n2 原式 3m n2
5 x2 1 x
注意： 1．用分解因式法的条件是：方程左边易于分解，而右边等于零; 2．关键是熟练掌握因式分解的知识; 3．理论依旧是“如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零．”
我思我进步
分解因式的方法有那些？
（1）提取公因式法： am+bm+cm=m（a+b+c）．
（2）公式法：平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）
小亮是这样解的:
解 :由方程x2 3x,得 x2 3x 0.
xx 3 0.
x 0,或x 3 0. x1 0来自 x2 3. 这个数是0或3.
小亮做得对吗？
我思我进步
分解因式法
把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做分解因式．
当一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以用分解因式的方法求解．这种用分解因式解一元二次方程的方法称为分解因式法．
解一元二次方程的方法：
直接开平方法配方法公式法因式分解法
例题欣赏 ☞
例3 解下列方程：
（1）x（x-2）+x-2=0；（2）5x2 2x 1 x2 2x 3 .
4
4
解：x(x 2) x 2 0，解：移项，合并同类项，得：
x 2 x 1 0.
x 2 0，或x 1 0.
小颖，小明，小亮都设这个数为x，根据题意得 x2 3x.

一元二次方程的解法

一元二次方程的解法一元二次方程（Quadratic Equation）是指只含有一个未知量的二次方程，通常具有如下一般形式：ax^2 + bx + c = 0其中，a、b、c为实数且a不等于0，x为未知数。

解一元二次方程的过程被称为解方程或求根，下面将介绍三种常见的解法。

一、因式分解法如果一元二次方程可被因式分解为两个一次因式的乘积形式，即方程左边可以被写成两个因式的乘积，那么可以通过令每个因式等于零并求解来得到方程的解。

具体步骤如下：1. 将方程写成标准形式：ax^2 + bx + c = 0。

2. 对方程左侧进行因式分解：(px + q)(rx + s) = 0，其中p、q、r、s 为实数。

3. 令每个因式等于零进行求解：px + q = 0 以及 rx + s = 0。

4. 求解得到每个因式的解：x = -q/p 以及 x = -s/r。

通过以上步骤，我们可以得到方程的解。

二、配方法有些一元二次方程无法直接进行因式分解，但可通过配方法（Completing the Square）将其转化为完全平方形式来求解。

具体步骤如下：1. 将方程写成标准形式：ax^2 + bx + c = 0。

2. 将方程左侧组成一个完全平方形式：(x + d)^2 = e，其中d为实数，e为某个表达式。

3. 展开完全平方形式，得到新的方程形式：x^2 + 2dx + d^2 = e。

4. 对比原方程与新方程，列出两边的对应系数，解出d和e。

5. 将新方程移到原方程中，得到ax^2 + bx + c = 0形式的新方程。

6. 利用一次项系数可配出的完全平方形式，将新方程化简为(a'(x +d')^2 = e')形式。

7. 可得到方程的解：x = (-d' ± √e') / a'，其中±表示两个解。

通过配方法，我们可以将一元二次方程转化为完全平方形式，进而求得方程的解。

一元二次方程的解法因式分解法知识点总结

一元二次方程的解法--公式法，因式分解法—知识讲解（基础）【学习目标】1.理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程；2.正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；3.通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想．【要点梳理】要点一、公式法解一元二次方程1.一元二次方程的求根公式一元二次方程，当时，.2.一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式：． ①当时，原方程有两个不等的实数根；②当时，原方程有两个相等的实数根；③当时，原方程没有实数根.3.用公式法解一元二次方程的步骤用公式法解关于x 的一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一般形式； ②确定a 、b 、c 的值（要注意符号）； ③求出的值；④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.要点诠释：（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选择.（2）一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a -+=.①当240b ac ∆=->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：21,242b b acx a -±-=.②当240b ac ∆=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22b x a =-.③当240b ac ∆=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根.要点二、因式分解法解一元二次方程 1.用因式分解法解一元二次方程的步骤（1）将方程右边化为0；（2）将方程左边分解为两个一次式的积；（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 2.常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 要点诠释：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式. 【典型例题】类型一、公式法解一元二次方程1.用公式法解下列方程．(1)x 2+3x+1=0；(2)2241x x =-； (3)2x 2+3x-1=0．【答案与解析】(1)a=1，b=3，c=1∴x==．∴x 1=，x 2=．(2)原方程化为一般形式，得22410x x -+=．∵2a =，4b =-，1c =，∴224(4)42180b ac -=--⨯⨯=>．∴42221222x ±==±⨯，即1212x =+，2212x =-．(3)∵a=2，b=3，c=﹣1∴b 2﹣4ac=17＞0∴x=∴x 1=，x 2=．【总结升华】用公式法解一元二次方程的关键是对a 、b 、c 的确定．用这种方法解一元二次方程的步骤是：(1)把方程化为一元二次方程的一般形式；(2)确定a ，b ，c 的值并计算24b ac -的值；(3)若24b ac -是非负数，用公式法求解．举一反三：【变式】用公式法解方程：（2014•武汉模拟）x 2﹣3x ﹣2=0．【答案】解：∵a=1，b=﹣3，c=﹣2；∴b 2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×（﹣2）=9+8=17；∴x==， ∴x 1=，x 2=．2．用公式法解下列方程： (1)（2014•武汉模拟）2x 2+x=2；(2)（2014秋•开县期末）3x 2﹣6x ﹣2=0 ；（3）（2015•黄陂区校级模拟）x 2﹣3x ﹣7=0．【思路点拨】针对具体的试题具体分析，不是一般式的先化成一般式，再写出a,b,c 的值，代入求值即可.【答案与解析】解：(1)∵2x 2+x ﹣2=0，∴a=2，b=1，c=﹣2，∴x===，∴x 1=，x 2=．(2)∵a=3，b=﹣6，c=﹣2，∴b 2﹣4ac=36+24=60＞0，∴x=， ∴x 1=，x 2=（3）∵a=1，b=﹣3，b=﹣7．∴b 2﹣4ac=9+28=37.x==，解得 x 1=，x 2=．【总结升华】首先把每个方程化成一般形式，确定出a 、b 、c 的值，在240b ac -≥的前提下，代入求根公式可求出方程的根．举一反三：【变式】用公式法解下列方程： 2221x x +=；【答案】解：移项，得22210x x +-=．∵ 2a =，2b =，1c =-，224242(1)120b ac -=-⨯⨯-=>，∴ 21213222x -±-±==⨯， ∴ 1132x --=，2132x -+=．类型二、因式分解法解一元二次方程3．用因式分解法解下列方程：(1)3(x+2)2＝2(x+2)； (2)(2x+3)2-25＝0；（3）x （2x+1）=8x ﹣3．【思路点拨】用因式分解法解方程，一定要注意第1小题，等号的两边都含有（x+2）这一项，切不可在方程的两边同除以（x+2）,化简成3（x+2）=2,因为你不知道（x-2）是否等于零.第2小题，运用平方差公式可以，用直接开方也可以.第3小题化成一般式之后，再运用分解因式法解方程. 【答案与解析】(1)移项．得3(x+2)2-2(x+2)＝0，(x+2)(3x+6-2)＝0．∴ x+2＝0或3x+4＝0，∴ x 1＝-2，243x =-． (2)(2x+3-5)(2x+3+5)＝0，∴ 2x-2＝0或2x+8＝0， ∴ x 1＝1，x 2＝-4．（3）去括号，得：2x 2+x=8x ﹣3，移项，得：2x 2+x ﹣8x+3=0合并同类项，得：2x 2﹣7x+3=0， ∴（2x ﹣1）（x ﹣3）=0， ∴2x﹣1=0或 x ﹣3=0，∴，x 2=3．【总结升华】(1)中方程求解时，不能两边同时除以(x+2)，否则要漏解．用因式分解法解一元二次方程必须将方程右边化为零，左边用多项式因式分解的方法进行因式分解．因式分解的方法有提公因式法、公式法、二次三项式法及分组分解法．(2)可用平方差公式分解．4．解下列一元二次方程： (1)(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0； (2)(31)(1)(41)(1)x x x x --=+-．【答案与解析】(1)(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0，(2x+1+2)2＝0．即2(23)0x +=， ∴ 1232x x ==-． (2)移项，得(3x-1)(x-1)-(4x+1)(x-1)＝0，即(x-1)(x+2)＝0，所以11x =，22x =-．【总结升华】解一元二次方程时，一定要先从整体上分析，选择适当的解法．如 (1)可以用完全平方公式．用含未知数的整式去除方程两边时，很可能导致方程丢根，（2）容易丢掉x ＝1这个根．举一反三：【变式】（1）（x+8）2-5(x+8)+6=0 （2）3(21)42x x x +=+【答案】（1）（x+8-2）(x+8-3)=0(x+6)(x+5)=0 X 1=-6,x 2=-5. (2)3x(2x+1)-2(2x+1)=0(2x+1)(3x-2)=01212,23x x =-=.5．探究下表中的奥秘，并完成填空：一元二次方程两个根二次三项式因式分解 x 2﹣2x+1=0 x 1=1，x 2=1 x 2﹣2x+1=（x ﹣1）（x ﹣1） x 2﹣3x+2=0 x 1=1，x 2=2 x 2﹣3x+2=（x ﹣1）（x ﹣2） 3x 2+x ﹣2=0 x 1=，x 2=﹣1 3x 2+x ﹣2=3（x ﹣）（x+1） 2x 2+5x+2=0x 1=﹣，x 2=﹣2 2x 2+5x+2=2（x+）（x+2）4x 2+13x+3=0 x 1= ，x 2= 4x 2+13x+3=4（x+ ）（x+ ）将你发现的结论一般化，并写出来．【思路点拨】利用因式分解法，分别求出表中方程的解，总结规律，得出结论．【答案与解析】填空：﹣，﹣3；4x 2+13x+3=4（x+）（x+3）．发现的一般结论为：若一元二次方程 ax 2+bx+c=0的两个根为x 1、x 2，则 ax 2+bx+c=a （x ﹣x 1）（x ﹣x 2）．【总结升华】考查学生综合分析能力，要根据求解的过程，得出一般的结论，解一元二次方程——因式分解法．一元二次方程的解法--公式法，因式分解法—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题 1．（2014•泗县校级模拟）下列方程适合用因式方程解法解的是（） A ．x 2﹣3x+2=0 B ．2x 2=x+4 C ．（x ﹣1）（x+2）=72 D ．x 2﹣11x ﹣10=02．方程(1)2x x -=的解是( )A ．1x =-B ．2x =-C ．11x =-，22x =D ．11x =，22x =-3．一元二次方程2340x x +-=的解是( ) A ．11x =；24x =- B ．11x =-；24x = C ．11x =-；24x =- D ．11x =；24x =4.方程x 2-5x-6＝0的两根为( )A ．6和1B ．6和-1C ．2和3D ．-2和3 5．方程(x-5)(x-6)＝x-5的解是 ( )A ．x ＝5B ．x ＝5或x ＝6C ．x ＝7D ．x ＝5或x ＝7 6．已知210x x --=，则3222012x x -++的值为 ( )A ． 2011B ．2012C ． 2013D ．2014 二、填空题7．（2015•厦门）方程x 2+x ＝0的解是___ _____； 8．方程(x-1)(x+2)(x-3)＝0的根是_____ ___．9．请写一个两根分别是1和2的一元二次方程___ _____．10．若方程x 2-m ＝0的根为整数，则m 的值可以是_____ ___．(只填符合条件的一个即可) 11．已知实数x 、y 满足2222()(1)2x y x y ++-=，则22x y +=________．12．已知y ＝(x-5)(x+2)．(1)当x 为值时，y 的值为0； (2)当x 为值时，y 的值为5.三、解答题 13．（2014秋•宝坻区校级期末）解方程（1）2（x ﹣3）2=8（直接开平方法）（2）4x 2﹣6x ﹣3=0（运用公式法）（3）（2x ﹣3）2=5（2x ﹣3）（运用分解因式法）（4）（x+8）（x+1）=﹣12（运用适当的方法）14.用因式分解法解方程（1）x 2-6x-16＝0．（2）(2x+1)2+3(2x+1)+2＝0．15(2)请观察上表，结合24b ac -的符号，归纳出一元二次方程的根的情况． (3)利用上面的结论解答下题．当m 取什么值时，关于x 的一元二次方程(m-2)x 2+(2m+1)x+m-2＝0， ①有两个不相等的实数根； ②有两个相等的实数根； ③没有实数根．【答案与解析】一、选择题 1.【答案】C ；【解析】解：根据分析可知A 、B 、D 适用公式法．而C 可化简为x 2+x ﹣72=0，即（x+9）（x ﹣8）=0，所以C 适合用因式分解法来解题．故选C ．2.【答案】C ；【解析】整理得x 2-x-2＝0，∴ (x-2)(x+1)＝0.3.【答案】A ；【解析】可分解为(x-1)(x+4)＝04.【答案】B ；【解析】要设法找到两个数a ，b ，使它们的和a+b ＝-5，积ab ＝-6，∴ (x+1)(x-6)＝0，∴ x+1＝0或x-6＝0． ∴ x 1＝-1，x 2＝6． 5.【答案】D ；【解析】此方程左右两边含有相同的因式(x-5)，应移项后用因式分解法求解．即(x-5)(x-6)-(x-5)0．∴ (x-5)(x-6-1)＝0，∴ 15x =，27x =6.【答案】C ；【解析】由已知得x 2-x ＝1，∴ 322222012()20122012120122013x x x x x x x x 2-++=--++=-++=+=．二、填空题 7．【答案】x 1＝0，x 2＝-1．【解析】可提公因式x ，得x(x+1)＝0．∴ x ＝0或x+1＝0，∴ x 1＝0，x 2＝-1． 8．【答案】x 1＝1，x 2＝-2，x 3＝3.【解析】由x-1＝0或x+2＝0或x-3＝0求解． 9．【答案】2320x x -+=；【解析】逆用因式分解解方程的方法，两根为1、2的方程就是(x-1)(x-2)＝0，然后整理可得答案． 10．【答案】4；【解析】 m 应是一个整数的平方，此题可填的数字很多． 11．【答案】2；【解析】由(x 2+y 2)2-(x 2+y 2)-2＝0得(x 2+y 2+1)(x 2+y 2-2)＝0又由x ，y 为实数，∴ x 2+y 2＞0，∴ x 2+y 2＝2． 12．【答案】 (1) x ＝5或x ＝-2；(2) 3692x +=或3692x -=．【解析】(1)当y ＝0时(x-5)(x+2)＝0，∴ x-5＝0或x+2＝0，∴ x ＝5或x ＝-2．(2)当y ＝5时(x-5)(x+2)＝5，∴ 23150x x --=，3941(15)369212x ±-⨯⨯-±==⨯，∴ 3692x +=或3692x -=．三、解答题13.【解析】解：（1）（x ﹣3）2=4x ﹣3=2或x ﹣3=﹣2，解得，x 1=1或x 2=5；（2）a=4，b=﹣6，c=﹣3，b 2﹣4ac=（﹣6）2﹣4×4×（﹣3）=84，x==，，；（3）移项得，（2x ﹣3）2﹣5（2x ﹣3）=0，因式分解得，（2x ﹣3）（2x ﹣3﹣5）=0，，x 2=4；（4）化简得，x 2+9x+20=0，（x+4）（x+5）=0，解得，x 1=﹣4，x 2=﹣5．14.【解析】（1）(x-8)(x+2)＝0，∴ x-8＝0或x+2＝0，∴ 18x =，22x =-．（2）设y ＝2x+1，则原方程化为y2+3y+2＝0，∴ (y+1)(y+2)＝0，∴ y+1＝0或y+2＝0， ∴ y ＝-1或y ＝-2．当1y =-时，211x +=-，1x =-；当2y =-时，212x +=-，32x =-． ∴ 原方程的解为11x =-，232x =-．15.【解析】(2)①当240b ac ->时，方程有两个不相等的实数根； ②当240b ac -=时，方程有两个相等的实数根；③当240b ac -<时，方程没有实数根． (3)242015b ac m -=-，①当原方程有两个不相等的实数根时，2420150b ac m -=->，即34m >且m ≠2； ②当原方程有两个相等的实数根时，b 2 -4ac =20m -15=0，即34m =； ③当原方程没有实数根时， 2420150b ac m -=-<，即34m <．一元二次方程的解法--公式法，因式分解法—知识讲解（提高）【学习目标】1.理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程；2.正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；3.通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想．【要点梳理】要点一、公式法解一元二次方程 1.一元二次方程的求根公式一元二次方程，当时，.2.一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式：． ①当时，原方程有两个不等的实数根；②当时，原方程有两个相等的实数根；③当时，原方程没有实数根.3.用公式法解一元二次方程的步骤用公式法解关于x 的一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一般形式； ②确定a 、b 、c 的值（要注意符号）； ③求出的值；④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.要点诠释：（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用.（2）一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a -+= ①当240b ac ∆=->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：21,242b b acx a--=②当240b ac ∆=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22b x a=-③当240b ac ∆=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根. 要点二、因式分解法解一元二次方程1.用因式分解法解一元二次方程的步骤（1）将方程右边化为0；（2）将方程左边分解为两个一次式的积；（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.2.常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要点诠释：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.【典型例题】类型一、公式法解一元二次方程1．解关于x 的方程2()(42)50m n x m n x n m ++-+-=．【答案与解析】(1)当m+n ＝0且m ≠0，n ≠0时，原方程可化为(42)50m m x m m +--=．∵ m ≠0，解得x ＝1．(2)当m+n ≠0时，∵ a m n =+，42b m n =-，5c n m =-，∴ 2224(42)4()(5)360b ac m n m n n m m -=--+-=≥，∴ 2243624|6|2()2()n m m n m m x m n m n -±-±==++， ∴ 11x =，25n m x m n-=+．【总结升华】解关于字母系数的方程时，应该对各种可能出现的情况进行讨论．举一反三：【高清ID 号：388515关联的位置名称（播放点名称）：用公式法解含有字母系数的一元二次方程---例2练习】【变式】解关于x 的方程2223(1)x mx mx x m ++=+≠；【答案】原方程可化为2(1)(3)20,m x m x -+-+= ∵1,3,2,a m b m c =-=-=∴ 2224(3)8(1)(1)0b ac m m m -=---=+≥，∴ 23(1)3(1),2(1)2(1)m m m m x m m -±+-±+==-- ∴ 122, 1.1x x m==- 2．用公式法解下列方程： (m-7)(m+3)+(m-1)(m+5)＝4m ；【答案与解析】方程整理为224214540m m m m m --++--=，∴ 22130m m --=，∴ a ＝1，b ＝-2，c ＝-13，∴ 224(2)41(13)56b ac -=--⨯⨯-=，∴ 24(2)56221b b ac m a -±---±==⨯22141142±==±， ∴ 1114m =+，2114m =-．【总结升华】先将原方程化为一般式，再按照公式法的步骤去解.举一反三：【高清ID 号：388515关联的位置名称（播放点名称）：用因式分解法解含字母系数的一元二次方程---例5（3）】【变式】用公式法解下列方程：【答案】∵21,3,2,a b m c m ==-= ∴22224(3)4120b ac m m m -=--⨯⨯=≥ ∴23322m m m m x ±±== ∴122,.x m x m ==类型二、因式分解法解一元二次方程3．（2015•东西湖区校级模拟）解方程：x 2﹣1=2（x+1）．【答案与解析】解：∵x 2﹣1=2（x+1），∴（x+1）（x ﹣1）=2（x+1），∴（x+1）（x ﹣3）=0，∴x 1=﹣1，x 2=3．【总结升华】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程的知识，左边先平方差公式分解，然后提取公因式（x+1），注意不要两边同除（x+1），这样会漏解.举一反三：【变式】解方程（2015·茂名校级一模）（1）x 2-2x-3=0；（2）（x-1）2+2x(x-1)=0．【答案】解：（1）分解因式得：（x-3）（x+1）=0∴x-3=0，x+1=0∴x 1=3,x 2=-1.（2）分解因式得：（x-1）（x-1+2x ）=0∴x-1=0，3x-1=0∴x 1=1,x 2=13.4．如果2222()(2)3x y x y ++-=，请你求出22x y +的值．【答案与解析】设22x y z +=，∴ z(z-2)＝3．整理得：2230z z --=，∴ (z-3)(z+1)＝0．∴ z 1＝3，z 2＝-1．∵ 220z x y =+>，∴ z ＝-1(不合题意，舍去)∴ z ＝3．即22x y +的值为3．【总结升华】如果把22x y +视为一个整体，则已知条件可以转化成一个一元二次方程的形式，用因式分解法可以解这个一元二次方程．此题看似求x 、y 的值，然后计算22x y +，但实际上如果把22x y +看成一个整体，那么原方程便可化简求解。

一元二次方程的解法汇总

一元二次方程的解法汇总一元二次方程是一个常见的数学问题，它的解法有多种方法。

在本文中，我将汇总一些常用的解法，并对其进行详细介绍。

一、因式分解法一元二次方程的一种解法是因式分解法。

通过将方程进行因式分解，可以得到方程的解。

首先，将一元二次方程转化为标准形式ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为常数。

然后，通过因式分解的方法将方程进行分解，得到方程的解。

二、配方法配方法是解一元二次方程的另一种常用方法。

通过将方程进行配方，可以得到一个完全平方。

首先，将一元二次方程转化为标准形式ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为常数。

然后，通过配方的方法将方程进行变形，得到一个完全平方。

最后，通过求解完全平方，可以得到方程的解。

三、求根公式求根公式是解一元二次方程的一种常用方法。

通过求根公式，可以直接计算出方程的解。

一元二次方程的求根公式为x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)。

其中，a、b、c为方程的系数。

将方程的系数代入求根公式中，即可得到方程的解。

四、图像法图像法是解一元二次方程的一种直观方法。

通过绘制方程的图像，可以直观地找到方程的解。

首先，将一元二次方程转化为标准形式ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为常数。

然后，通过绘制方程的图像，可以观察到方程的解在坐标系中的位置。

最后，根据图像的形状和位置，可以确定方程的解。

五、完全平方公式完全平方公式是解一元二次方程的一种简便方法。

通过将方程转化为完全平方的形式，可以直接得到方程的解。

一元二次方程的完全平方公式为(a±√b)^2=a^2±2a√b+b。

将方程进行变形，使其符合完全平方的形式，然后根据完全平方公式，可以直接得到方程的解。

六、求解方法的选择在解一元二次方程时，根据具体的情况选择合适的解法非常重要。

因式分解法适用于方程可以进行因式分解的情况；配方法适用于方程可以通过配方得到完全平方的情况；求根公式适用于一般的一元二次方程；图像法适用于通过观察图像找到方程解的情况；完全平方公式适用于方程可以转化为完全平方的情况。

17.2.4一元二次方程的解法---因式分解法

x2 3 x 0
4 x -9=0
2
x1 0,x2 3 3 3 x1 ,x2 2 2
解下列方程
(1) x 4 x 3 0
2
(2)0.1x 0.2 x 0.1 0 (3)( x 3)( x 2) 6
2
(4)3x( x 2) 5( x 2) (5)(2 x 1) x 0
回顾与复习 1
我们已经学过了几种解一元二次方程的方法? (1)直接开平方法: x2=a (a≥0)
(2)配方法:
(x+h)2=k (k≥0)
b b 2 4ac 2 (3)公式法: x . b 4ac 0 . 2a

我们学过因式分解的方法有哪些？
引导探究
分解因式的方法有那些? （1）提取公因式法: am+bm+cm=m(a+b+c).
布置作业：
1、未完成清学任务的同学晚自习完成清学稿上的选做题
2、《原创新课堂》17.2.4 一元二次方程的解法（因式分解法）
（2）公式法: a2-b2=(a+b)(a-b), a2+2ab+b2=(a+b)2.
（3）十字相乘法: x2+(a+b)x+ab= (x+a)(x+b的解法（因式分解法）
学习目标
1.掌握因式分解法解一元二次方程
独立自学
阅读课本P28-P29页内容，思考下列问题 1.若ab=0，则a，b的取值为多少？ 2.什么叫做因式分解法？因式分解法的条件是什么？ 3.因式分解法用到了怎样的数学思想方法？ 4.解方程：x2-x=0
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一元二次方程的解法(分解因式)

一元二次方程的解法
————————因式分解法
【跟踪训练】
1.你能用因式分解法解下列方程吗？
(1)x2-4=0;
【解析】(x+2)(x2)=0, ∴x+2=0或x-2=0. ∴x1=-2, x2=2.
(2)(x+1) 2-25=0.
【解析】[(x+1)+5][(x+1)-5]=0, ∴x+6=0或x-4=0. ∴x1=-6, x2=4.
2x 14x -3 0,
2 x 1 0或4 x 3 0.
1 3 x1 , x2 . 2 4
【例题】
【例2】一个数平方的2倍等于这个数的7倍,求这个数. 【解析】设这个数为x,根据题意,得 2x2=7x. 2x2-7x=0, x(2x-7) =0, ∴x=0或2x7=0. 7 x1 0, x2 . 2
（） 1 4 x 1 (5 x 7) 0
（2） 3x x 1 2 2 x
（ 3） (2 x 3) 2 4(2 x 3)
（ 4） 2( x 3) 2 x 2 9
（ 5） 5( x 2 x ) 3( x 2 x)
（6） ( x 2) 2 x 3
(1)化方程为一般形式.
(2)将方程左边因式分解.
(3)根据“至少有一个因式为零”,得到两个一元一次
方程. (4)两个一元一次方程的根就是原方程的根. 2.因式分解的方法,突出了转化的思想方法——“降次”，鲜明地显示了“二次”转化为“一次”的过程.
【跟踪训练】用因式分解法解下列方程
1.x 2 (5 2) x 5 2 0
2. x 2 ( 3 5 ) x 15 0

一元二次方程的解法

一元二次方程的解法一元二次方程是数学中非常重要的一个概念，它可以用来描述很多实际问题。

在解一元二次方程时，我们需要运用一些特定的方法和技巧。

本文将介绍一些常见的解一元二次方程的方法，并探讨它们的应用。

首先，我们来回顾一下一元二次方程的一般形式：ax^2 + bx + c = 0。

其中，a、b、c是已知的实数，且a不等于0。

解一元二次方程的关键在于求出方程的根，即方程的解。

下面将介绍几种常见的解法。

一、因式分解法当一元二次方程可以因式分解时，我们可以通过因式分解的方式求解。

例如，对于方程x^2 - 5x + 6 = 0，我们可以将其因式分解为(x - 2)(x - 3) = 0。

根据因式分解的性质，我们知道当两个因子中的任意一个为0时，方程成立。

因此，我们得到两个根x = 2和x = 3。

二、配方法当一元二次方程无法直接因式分解时，我们可以通过配方法求解。

配方法的基本思想是通过添加一个适当的常数，将方程转化为一个可以因式分解的形式。

例如，对于方程x^2 + 6x + 8 = 0，我们可以通过添加一个常数使其变为(x + 3)^2 - 1 = 0。

然后，我们可以将其分解为(x + 3 + 1)(x + 3 - 1) = 0，得到两个根x = -4和x = -2。

三、求根公式求根公式是解一元二次方程的一种常用方法。

根据求根公式，一元二次方程ax^2 + bx + c = 0的根可以通过以下公式计算：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。

例如，对于方程x^2 - 4x + 4 = 0，我们可以代入a = 1，b = -4，c = 4，然后使用求根公式计算得到两个根x = 2和x = 2。

需要注意的是，当方程的判别式b^2 - 4ac小于0时，方程没有实数根，只有复数根。

四、图像法图像法是一种直观的解一元二次方程的方法。

我们可以通过绘制方程的图像来观察方程的根。

当方程的图像与x轴相交时，对应的x值即为方程的根。

一元二次方程的五种解法

一元二次方程的五种解法一元二次方程是数学中的一种基本形式，解一元二次方程是数学学习的重要内容之一。

解一元二次方程的方法有很多种，下面将介绍其中的五种解法。

第一种解法是因式分解法。

对于形如ax^2+bx+c=0的一元二次方程，如果可以将其因式分解为(a1x+b1)(a2x+b2)=0的形式，那么方程的解就是x=-b1/a1和x=-b2/a2。

这种方法适用于方程具有特殊形式的情况，例如完全平方和差的形式。

第二种解法是配方法。

对于一般形式的一元二次方程，可以通过配方法将其转化为一个完全平方的形式。

具体做法是将方程的常数项c分解为两个数的乘积，使得一元二次方程可以写成(x+p)^2=q的形式，然后通过开方得到方程的解。

这种方法适用于方程的系数较为复杂的情况。

第三种解法是求根公式法。

一元二次方程的求根公式是x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)，其中a、b、c分别是方程的系数。

通过代入系数的值，可以得到方程的解。

这种方法是一元二次方程求解的基本方法，适用于一般情况。

第四种解法是图像法。

一元二次方程的解对应于抛物线的顶点和交点。

通过绘制方程对应的抛物线，并观察抛物线与x轴的交点和顶点的坐标，可以得到方程的解。

这种方法可以直观地理解方程的解的性质，并可以通过图像来验证解的正确性。

第五种解法是因式分解与配方法的结合。

对于一元二次方程，如果既可以进行因式分解，又可以进行配方法，那么可以结合两种方法来求解方程。

具体做法是先进行因式分解，然后再进行配方法，最终得到方程的解。

这种方法可以利用因式分解和配方法的优势，适用于复杂方程的求解。

解一元二次方程的方法有很多种，包括因式分解法、配方法、求根公式法、图像法和因式分解与配方法的结合。

不同的方法适用于不同的方程形式和解的要求。

在实际应用中，可以根据具体情况选择合适的解法，来求解一元二次方程。

掌握这些解法，有助于提高数学问题的解决能力，培养逻辑思维和分析问题的能力。

17.2(2)一元二次方程的解法—因式分解法

你还有其他方法解这个方程吗？
新知
观察这个方程 (1 x) 16
2
移项，得 (1 x) 16 0
2
利用公式 a 2 b2 (a b)(a b) 即
(1 x) 4 0
2 2
(1 x) 4(1 x) 4 0
( x 5)( x - 3) 0 x5 0 或 x30
而右边等于零
关键是熟练掌握因式分解的知识
理论依据是“如果两个因式的积等于零 , 那
么至少有一个因式等于零.”
解得 x 5 或 x 3 所以，原方程的根是 x1 5, x2 3
心动不如行动
例1：解下列方程
(1) x 8x 0
2
(212 0 解（1）原方程可变行为
x( x 8) 0 得 x 0 或 x 8 0 解得 x 0 或 x 8
x 5
2
强化训练
1. (1)3x(2 x 1) 4 x 2
(2)4 x 121 0
2
2.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地,场地面积增加了一倍,求小圆形场地的半径.
小结
因式分解法的概念？分解因式有哪些的方法？用分解因式法的条件是:方程左边易于分解 ,
2
分解因式法解一元二次方程的步骤是: 1.化方程为一般形式; 2. 将方程左边因式分解; 即：（1）右化零 3. 根据“至少有一个因式为零”,转化为两个（2）左分解一元一次方程. （3）两方程 4. 分别解两个一元一次方程，它们的根就是（4）各求解原方程的根.
1 3 2 (2) 5 x 2 x x 2 x 4 4
一元二次方程的解法

掌握一元二次方程的解法因式分解法

掌握一元二次方程的解法因式分解法一元二次方程是数学中常见的一种二次方程形式，它的通用表示为ax² + bx + c = 0，其中a、b、c均为已知常数，而x是未知数。

解一元二次方程的方法有多种，其中因式分解法是常用的一种简单而易懂的解法。

下面将详细介绍一元二次方程的解法——因式分解法。

一、因式分解法的基本思路因式分解法是通过将一元二次方程展开，将其转化为一个等式的乘积形式，通过乘法的零因子性质来确定方程的解。

具体而言，我们需要找到两个括号形式的因式，使得当这两个因式相乘时等于零。

这样一来，方程就可以转化为两个因式相乘等于零的等式，我们只需分别令这两个因式等于零，解得的解即为原方程的解。

二、一元二次方程的因式分解法示例以解一元二次方程 x² + 5x + 6 = 0 为例，我们来演示因式分解法的具体步骤。

步骤1：观察方程，确定系数a、b、c的值根据方程 x² + 5x + 6 = 0 的系数，我们可以确定a = 1, b = 5, c = 6。

步骤2：找到两个因式使其相乘等于零我们需要找到两个括号形式的因式，使得它们相乘等于零。

考虑因为1x²的形式，我们可以将方程拆分为(x + ?)(x + ?)的形式。

我们需要找到两个数，使得它们的和等于b，乘积等于c。

在本例中，我们寻找的两个数是2和3，因为2 + 3 = 5，2 × 3 = 6。

步骤3：写出因式分解形式将找到的两个数填入括号，我们得到(x + 2)(x + 3) = 0。

步骤4：根据乘法的零因子性质解方程由于(x + 2)(x + 3) = 0，根据乘法的零因子性质，我们可以得到两个方程x + 2 = 0和x + 3 = 0。

分别解这两个方程可以得到x的值。

解方程x + 2 = 0，得到x = -2。

解方程x + 3 = 0，得到x = -3。

所以，方程x² + 5x + 6 = 0的解为x = -2和x = -3。

一元二次方程的解法——因式分解法

一元二次方程的解法——因式分解法
第二十四章一元二次方程与二次函数
一一元二次方程
24．2（1）一元二次方程的解法--因式分解法
教学目标：
1．明确具备什幺条件的一元二次方程可适用因式分解法；
2．熟练正确地运用因式分解法解一元二次方程；
3．掌握用因式分解法解一元二次方程的依据：AB = 0 可得A = 0 或B = 0；
4．能把已知两数作为方程的两根来求作一个一元二次方程。

教学重点：熟练掌握用因式分解法解一元二次方程。

教学难点：能灵活地应用因式分解法解一元二次方程。

教学过程：
一、引入新课：
你能解决这个问题吗？
一个数的平方与这个数的3 倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？
小明是这样解的：
解设这个数是x.
依题意得：x2 = 3x
两边同时约去x，得x = 3
∴这个数是3
这个解法正确吗？答：不正确。

解设这个数是x.。

17.2一元二次方程的解法--因式分解法

转化为“一次”的过程.
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小结：
1.用因式分解法解一元二次方程的步骤：
1o方程右边化为零。 2o将方程左边分解成两个一次因式的乘积。
3o至少
因式为零，得到两个一元一
次方程。有一个
4o两个
就是原方程的解
一元一次方程的解
缺少一次项常用开平方法,缺少常数项常用因式分解法,当一边为零另一边易因式分解时也常用
x 3y 0或2x 5y 0,
x 3y或2x 5y.
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用因式分解法解关于 x的方程
(：a b)x2 2bx a b 0(a b 0）
解：原方程变形为
1
1
a b (a b)
(x 1)[(a b)x (a b)] 0
x 1 0或(a b)x (a b) 0
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9x2－25=0
解：原方程可变形为
(3x+5)(3x－5)=0
3X+5=0 或 3x－5=0
x1
5 3 , x2
5. 3
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快速回答：下列各方程的根分别是多少？
(1)x(x 2) 0 x1 0, x2 2
(2)( y 2)( y 3) 0 y1 2, y2 3
17.2 因式分解法解一元二次方程
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回顾与复习 1
1.一元二次方程的解. 满足方程，有根就是两个
2、我们已经学过了几种解一元二次方程的方法?
直接开平方法、配方法、公式法
3、什么叫分解因式? 把一个多项式分解成几个整式乘积的形
式叫做分解因式.
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通过比较，你得到了什么规律?请与同伴交流并完成下表

一元二次方程的解法--因式分解法

初三数学教案课题：4.2一元二次方程的解法—因式分解法主备：审核：教学目标: 1、会用因式分解法解一元二次方程，体会“降次”化归的思想方法2、能根据一元二次方程的特征，选择适当的求解方法，体会解决问题的灵活性和多样性。

教学重点：用因式分解法解某些一元二次方程教学难点：选择适当的方法解一元二次方程教学过程：一.情景创设1、我们已经学习了一元二次方程的哪些解法？2、解下列一元二次方程：（1）2x2=8 （2）(x-2)2-16=0 （3）t2+4t=-1（4）x2+2x-9=03、式子ab=0说明了什么？4、把下列各式因式分解.（1）x2－x （2） x2－4x （3）x＋3－x（x＋3）（4）（2x－1）2－x2二、探索与实践活动1．尝试：若在上面的多项式后面添上=0，你怎样来解这些方程？（1）x2－x =0 （2） x2－4x=0（3）x＋3－x（x＋3）=0 （4）（2x－1）2－x2=0活动2．概括总结：1、你能用几种方法解方程x2－x = 0？另解：x2-x＝0，x(x-1)＝0，于是x＝0或x-3＝0．∴x1=0，x2=3这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法可见，能用因式分解法解的一元二次方程须满足什么样的条件？（1）方程的一边为0（2）另一边能分解成两个一次因式的积活动3.典型例题：例1 、用因式分解法解下列方程：（1）x2=-4x（2）（x+3）2-x（x+3）=0（3）6x2-1=0 （4） 9x2+6x+1=0例2、用因式分解法解下列方程（1）（2x－1）2=x2（2）（2x-5）2-2x+5=0用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：（1）通过移项把一元二次方程右边化为0（2）将方程左边分解为两个一次因式的积（3）令每个因式分别为0，得到两个一元一次方程（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解例3、用适当方法解下列方程（1）4（2x-1）2-9（x+4）2=0（2）x2-4x-5=0(3)(x-1)2=3 (4)x2-2x=4（5）（x－1）2－6（x－1）+9=0 （6）4y（y－5）+25=0如何选用解一元二次方程的方法？（学生总结）活动4.探究：思考：在解方程（x＋2）2 = 4（x＋2）时，在方程两边都除以（x＋2），得x＋2=4，于是解得x=2，这样解正确吗？为什么？活动5.巩固练习：练习1.用因式分解法解下列方程：（1）(2y+1)(y-3)=0 (2) 3x2=x(3) 2(x-1)+x(x-1)=0 (4) 4x(2x-1)=3(2x-1)（5）（x+1）2-9=0 （6）（2x-2）2-x2=0练习2.用适当方法解下列方程（1）（3x-1）2=1；（2）2（x+1）2=x2-1；（3）(2x-1)2+2(2x-1)=3；（4）(y+3)（1-3y）=1+2y2.练习3.已知一个数的平方等于这个数的5倍。