内蒙古呼伦贝尔市牙克石林业一中高三数学第四次模拟考试试题 文

侧视图正视图俯视图内蒙古呼伦贝尔市牙克石林业一中高三数学第四次模拟考试试题 文 一．选择题（12⨯5分=60分）1.复数i z +=21，i z 212+=，则21z z z =在复平面内对应点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2.设集合}30|{<≤=x x M ，}043|{2<--=x x x N ，则集合N M 等于（ ） A ．}10|{<≤x x B ． }10|{≤≤x x C ． }30|{<≤x x D ．}30|{≤≤xx 3.渐近线是20x -=和20x +=且过点(6,6)，则双曲线的标准方程是（ ）A ．22134x y -= B ．22143y x -= C ．221912x y -=D ．2211612y x -= 4.某简单几何体的三视图如图所示，其正视图．侧视图．俯视图均为直角三角形，面积分别是1，2，4，则这个几何体的体积为（ ）A ．83B ．43C ．8D ．4 5. 幂函数)(x f y =的图象经过点)2(),21,4(f 则（ ）A ．41 B ．21-C ．22D ．26. 已知向量p ()2,3=-,q (),6x =,且//p q，则+p q 的值为（ ） A ．5 D ．137. 按如图所示的程序框图运算，若输出3=b ，则输入的a 的取值范围是 A ．6(，)∞+ B ．（6，19] C ．19(，)∞+ D ．（6，19） 8.设)(x f 表示2+x 与232++x x 中的较大者，则)(x f 的最小值为 A ．0 B ．2 C ．41-D ．不存在 9. x x x f cos sin )(=，下列结论中正确的是（ ）A ． 函数)(x f 为偶函数B ．函数)(x f 最小正周期为π2C ． 函数)(x f 的图象关于原点对称D ．函数)(x f 的最大值为1x10.有两个等差数列}{n a 、}{n b ，若3122121++=++++++n n b b b a a a n n ，则=33b aA.67 B.811 C. 913 D.9811. 已知某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图（如图所示），则甲、乙两人得分的中位数之和是（ ）A ．62B ．63C ．64D ．6512. 若关于x 的不等式2124x x a a +--<-有实数解，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(,1)(3,)-∞+∞UB ．(1,3)C ．(,3)(1,)-∞--+∞UD ．(3,1)--二．填空题（4⨯5分=20分）13. 双曲线224312x y -=-的渐近线方程为_______.14.已知点P (x ，y )的坐标满足条件1110x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩的最大值等于15. 某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品．产品数量之比依次为2∶3∶5，现用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本，已知A 种型号产品共抽取了16件，那么此样本的容量n ＝ ．16.函数d cx bx ax x f +++=23)(的图像如图，)(/x f 为函数)(x f 的导函数，则不等式0)/<⋅x f x （的解集为 。

三．解答题（共70分）17. （本小题共12分）设函数)(cos sin 322cos )(R x x x x x f ∈+=的最大值为M ,期为T .(Ⅰ)求M 、T ； (Ⅱ)若有10个互不相等的正数i x 满),10,,2,1(10,)( =<=i x M x f i i π且求1210x x x +++的值.18. （本小题共12分）将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求：（1）两数之和为5的概率；（2）两数中至少有一个奇数的概率；（3）以第一次向上点数为横坐标x ，第二次向上的点数为纵坐标y 的点(x,y)在圆x 2+y 2=15的内部的概率．GＢＡ Ｄ ＣＦＥ19. （本小题共12分）如图所示，矩形ABCD 中，AD ⊥平面ABE ，AE=EB=BC=2， F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE （1）求证：AE ⊥平面BCE ； （2）求证：AE ∥平面BFD ；20. （本小题共12分）已知曲线c 上任意一点P 到两个定点F 1(-3，0)和F 2(3，0)的距离之和为4． （1）求曲线c 的方程；（2）设过(0，-2)的直线l 与曲线c 交于C 、D 两点，且O OD OC (0=⋅为坐标原点），求直线l 的方程．21. （本小题共12分）已知函数32()(1)(5)f x x k x k x =+-++，其中k ∈R ． （I ）若函数()f x 有三个不同零点，求k 的取值范围； （II ）若函数()f x 在区间(0,3)上不是单调函数，求k 的取值范围.22.(本小题满分10分）注：考生可在下列三题中任选一题作答，多选者按先做题评分。

（1）. 几何证明选讲如图，AB 是⊙O 的直径，弦BD 、CA 的延长线相交于点E ，EF 垂直BA 的延长线于点F ． 求证：（1）DFA DEA ∠=∠；（2）AB 2=BE •BD-AE •AC.（2）.坐标系与参数方程已知直线l 的极坐标方程是cos sin 10ρθρθ+-=．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，在曲线1cos :sin x C y θθθ=-+⎧⎨=⎩（为参数）上求一点，使它到直线l 的距离最小，并求出该点坐标和最小距离．（3）.不等式选讲已知,,a b c 均为正实数，且1a b c ++=..牙克石林业一中2011---2012学年高三年级第四次模拟考试数学试卷(文)参考答案命题时间：2012.2 命题人：陈海忠一．选择题（12⨯5分=60分）二．填空题（4⨯5分=20分）13. x y 332±= 14. 2 15. 80 16. )3,0()3,(⋃--∞ 三．解答题（共70分）18. 解: 将一颗骰子先后抛掷2次，此问题中含有36个等可能基本事件 1分（1）记“两数之和为5”为事件A ，则事件A 中含有4个基本事件，所以P （A ）=41369=； 答：两数之和为5的概率为19． 4分 （2）记“两数中至少有一个奇数”为事件B ，则事件B 与“两数均为偶数”为对立事件，所以P （B ）=931364-=； 答：两数中至少有一个奇数的概率34． 8分 （3）基本事件总数为36，点（x ，y ）在圆x 2+y 2=15的内部记为事件C ，则C 包含8个事件，所以P （C ）=82369=． 答：点(x,y)在圆x 2+y 2=15的内部的概率29． 12分 19. 解：（1）证明：∵AD ⊥平面ABE ，//AD BC ，∴BC ⊥平面ABE ，则AE BC ⊥ ----------------3分又BF ⊥平面ACE ，则AE BF ⊥AE ∴⊥平面BCE ----------------6分（2）由题意可得G 是AC 的中点，连接FGBF ⊥平面ACE ，则CE BF ⊥，而BC BE =，F ∴是EC 中点 ---------9分 在AEC ∆中，//FG AE ，//AE ∴平面BFD --12分20. 解：（1）根据椭圆的定义，可知动点M 的轨迹为椭圆， ……………………1分 其中2a =，c =1b =． ……………………………2分所以动点M 的轨迹方程为2214x y +=．……………………………………4分（2）当直线l 的斜率不存在时，不满足题意．………………………………5分当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为2y kx =-，设11(,)C x y ，22(,)D x y ，∵0OC OD ⋅=，∴12120x x y y +=．………………6分∵112y kx =-，222y kx =-，∴21212122()4y y k x x k x x =⋅-++．∴ 21212(1)2()40k x x k x x +-++=．………… ① ……………7分由方程组221,4 2.x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得()221416120k x kx +-+=．则1221614kx x k +=+，1221214x x k⋅=+，………………………………9分 代入①，得()222121612401414kk k kk+⋅-⋅+=++． 即24k =，解得，2k =或2k =-．…………………………………11分 所以，直线l 的方程是22y x =-或22y x =--．…………………12分21. 解: （I ）因为(0)0f =，所以函数2()(1)(5)f x x x k x k ⎡⎤=+-++⎣⎦有三个不同零点的充要条件是关于x 的方程2(1)(5)0x k x k +-++=有两个不相等的非零实根，…………1分 即2250,5,113(3)(11)0(1)4(5)0k k k k k k k +≠≠-⎧⎧⇔⇔-<<-⎨⎨++<--+>⎩⎩，且5k ≠-. 故k 的取值范围是()11,5(5,3).----…………5分（II ）解法一：()232(1)(5)f x x k x k '=+-++，函数()f x 在区间(0,3)上不是单调函数的充要条件是关于x 的方程()232(1)(5)0f x x k x k '=+-++=有两个不相等的实数根，且至少有一个实数根在区间(0,3)内. …………7分（2）若()050f k '=+=，则5,k =-()23123(4)f x x x x x '=-=-.方程()0f x '=的两个实根0,4均不在区间(0,3)内，所以 5.k ≠-…………8分（3）若()37260f k '=+=，则26,7k =-()13(3)()7f x x x '=--. 方程()0f x '=在区间(0,3)内有实根17，所以k 可以为26.7-…………9分（4）若方程()0f x '=有一个实根在区间(0,3)内，另一个实根在区间[]0,3外，则()()030f f ''<，即26(5)(726)0,5.7k k k ++<-<<-…………10分 （5）若方程()0f x '=在区间(0,3)内有两个不相等的实根，则2(3)7260267(0)50265 2.1037813(2)(7)04(1)12(5)0f k k f k k k k k k k k k '=+>⎧⎧>-⎪⎪'=+>⎪⎪⎪⎪>-⇔⇔-<<--⎨⎨<-<⎪⎪-<<⎪⎪+->∆=--+>⎪⎪⎩⎩………11分 综合①②③④得k 的取值范围是()5,2.--…………12分（II ）解法二：()232(1)(5)f x x k x k '=+-++，函数()f x 在区间(0,3)上不是单调函数的充要条件是关于x 的方程232(1)(5)0x k x k +-++=在区间(0,3)上有实根且24(1)12(5)0.k k ∆=--+≠…………7分关于x 的方程232(1)(5)0x k x k +-++=在区间(0,3)上有实根的充要条件是()0,3,x ∃∈使得2(21)(325)k x x x +=--+…………8分()0,3,x ⇔∃∈使得()2(325)391021214213x x k x x x -+⎡⎤=-=-++-⎢⎥++⎣⎦令21,t x =+有()1,7t ∈，记2299(3)(3)(),()1t t h t t h t t t t+-'=+=-= ()013;()037.h t t h t t ''<⇔<<>⇔<<…………10分则函数()h t 在(]1,3上单调递减，在[)3,7上单调递增，所以有()[)6,10,h t ∈即(]310()5,243k h t ⎡⎤=--∈--⎢⎥⎣⎦.…………11分 又由 24(1)12(5)0,k k ∆=--+≠得2,k ≠-且7.k ≠故k 的取值范围是()5,2.--…………12分（II ）解法三：记函数()232(1)(5)f x x k x k '=+-++在区间[]0,3上的最大值为max ()'f x ，最小值为min ().'f x函数f (x )在区间(0,3)上不单调⇔函数f (x )在区间[]0,3上不单调⇔min ()0'<<f x max ().'f x …………7分因为函数()f x '的图像是开口向上、对称轴为13k x -=-的抛物线，所以max137(3),726,322()137(0),5,322k f k k f x k f k k -⎧⎧'-≤+≥-⎪⎪⎪⎪'==⎨⎨-⎪⎪'->+<-⎪⎪⎩⎩， max ()0 5.f x k '>⇔>-…………9分当5k >-时，123k --<，min 111(),02(7)(2),5133(),31(0),05,13k k f k k k f x k f k k --⎧'⎧-≤-<⎪--+-<≤⎪⎪'==⎨⎨-⎪⎪'-<+>⎩⎪⎩……11分min ()05 2.f x k '<⇔-<<-故k 的取值范围是()5,2.--……12分（3）解：由柯西不等式得()222141141141(111)(414141)a b c a b c +++++≤+++++++3[4()3]21a b c =+++= …当且仅当a=b=c=13时等号成立 故414141a b c +++21…。