S_3到CP_4中的等变极小浸入
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n 1
设 X 1 , X 2 , X 3 为 1 , 2 , 3 的对偶标架。 那么
\{0} CP n 是自然投影。 且有复值左不
1 , 2 , 3 和 X 1 , X 2 , X 3 分 别 是 T * ( S 3 ) 和 T ( S 3 )
的整体定义的幺正标架。 在(1.1)中，可设
Key words: complex projective space; equivariant; Lagrangian submanifold; minimal immersion
1988 年，J. Bolton[1]等人在研究复射影空间 CP n
中的极小 2-球面， 证明了 CP2 中的 Lagrangian 极小
形的维数 m≥3 时， CP n 中的弱 Lagrangian 极小球面
S
m
未必是绝对实的。2003 年，在文献[6]中, 黎镇
3
2- 球 面 必 是 全 测 地 的 。 对 Kähler 流 形 中 的 Lagrangian 子流形（或称全实子流形） ，前人已有许
多研究，且早在 19 世纪 60 年代就已开始，并取得 了丰富的研究成果。陈邦彦 在研究 Kähler 流形中 的 Lagrangian 子流形，并对子流形的几何性质作了 很好的综述，Lagrangian 子流形的存在性和唯一性 已有了比较完美的结论。陈邦彦在这篇综述文章中 指出，CP n 中常曲率的 Lagrangian 极小球面 S n 一 定是全测地的。
3
n 1
id 0 A A , d A i 0 A B BA , d AB A B AC CB .
Leabharlann Baidu
(1.2)
由于 的诱导度量 ds 2 具有常曲率 c，在相差
S 3 的 一 个 等 距 的 情 况 下 ， 可 取 su(2) 的 一 组 基
[2]
琦和陶永芊研究了等变的极小 3 维球面 S 3 到 CP3 中的浸入，获得了 CP3 中等变 Lagrangian 极小 S 的完全分类和解析表达式。利用等变映射的性质， 作者还证明了除全测地的 RP3 外，只有唯一的一个 等变 Lagrangian 极小 S 3 ，陈邦彦称之为“怪球 面”(exotic sphere)。2005 年，黎镇琦和周燕飞在文
1 , 2 , 3 使得 ds 2 i i ，并且
d 1 2 c2 3 ， d 2 2 c3 1 ， d 3 2 c1 2
(1.3)
S C
3
n 1
整体定
义的酉标架 e0 , e1 , , en ，使得 e0 [e0 ] ，其 中 : C
22
井冈山大学学报(自然科学版)
影空间 CP4 中常曲率的等变极小 3 维球面 S 3， 文中 证明了这种浸入若不是弱 Lagrangian 浸入，则其截 面曲率 c≤1。
由 (1.1) 的 第 二 式 可 知 AA 是 纯 虚 的 ， 故 可 记
AA i A ，其中 i 1 ， A 是实值 1-形式。
第 34 卷第 1 期 2013 年 1 月
Vol.34 No.1 Jan. 2013
井冈山大学学报(自然科学版) Journal of Jinggangshan 井冈山大学学报 (自然科学版) University (Natural Science)
21 21
文章编号：1674-8085(2013)01-0021-06
是 Lagrangian 浸入， 2 / 2 时， 2 0 或 时，
是 CR 浸入。
将(1.4)，(1.5)代入(1.2)第 1 式，由(1.3)得
d 0 i A A J iji j 22 3
c d 1
其中 2 i3 ， 0 , A su(2) ，
DOI:10.3969/j.issn.1674-8085.2013.01.005
EQUIVARIANT MINIMAL IMMERSION FROM S3 INTO CP4
*
AI Xiao-mei, LIU Zhong-dong
(School of Mathematics and Physics, Jinggangshan University, Ji’an, Jiangxi 343009, China)
[9]中研究了等变弱 Lagrangian 极小 3 维球面 S 3 到 CP4 中的浸入，分别获得了 CP4 中常曲率和非常曲
率的等变弱 Lagrangian 极小 S 3 的完全分类和解析 表达式。2006 年，在文献[10]中，艾小梅和黎镇琦 证明 研究了 CP3 中常曲率的等变极小 3 维球面 S 3， 了这种浸入只存在 Lagrangian 浸入，从而是全测地 的，截面曲率 c=1。 本文在文献[3, 10]的基础和启发下，研究复射
2003 年， 黎镇琦在文[3]中研究了 CP n 中常曲
率的极小 3 维球面 S ，并巧妙地将 S 看成 SU(2)。 再利用 SU(2)的李群结构引入等变的定义，给出了
3 3
CP 中两类常曲率等变极小 S 的例子。分别是弱 Lagrangian 和 CR 的。在该文中，还说明了当子流
n
3
收稿日期：2012-06-12；修改日期：2012-07-28 作者简介：*艾小梅 1981-)，女，江西吉安人，讲师，硕士，主要从事微分几何研究(E-mail:xiaomeiai1014@163.com); 刘忠东(1962-)，男，江西吉安人，教授，主要从事数学与数学教育研究(E-mail:lzd8100488@126.com).
曲面的 Kähler 角的几何量：
cos 2 J 23 ds 2 ( FX 2 , X 3 ) g ( J * X 2 , * X 3 )
它 与 V2 的 定 向 幺 正 标 架 X 2 , X 3 的 选 取 无 关 ；
诱导度量 ds 2 i i ，且有
de0 i 0 e0 1 e1 a e2 b e3 , de e i e e e e , 1 0 1 1 12 2 13 3 14 4 1 de a e e i e e e , 0 12 1 2 2 23 3 24 4 2 de b e e e i e e , 0 13 1 23 2 3 3 34 4 3 de4 14 e1 24 e2 34 e3 i 4 e4 .
SU (2) 上的左不变向量场全
F J ij i X j : T ( S 3 ) T ( S 3 ) 具有常数秩。
若 不是弱 Lagrangian 浸入，则 F 的秩为 2， 从而 T ( S 3 ) 可分解成 F - 不变子丛的正交直和 ： 其中 V1 KerF ， T ( S 3 ) (KerF ) (KerF ) V1 V2 ，
de0 i 0 e0 A eA , deA A e0 AB eB , AB BA 0. (1.1)
井冈山大学学报(自然科学版)
23
(1.6)知 0 | | 1 。由引理 2，不存在常曲率的 S 到
3
诱导度量 ds 2 的截面曲率为常数 c 。若 不是弱
体的集合，su(2) 表示 S 3 上的左不变 1-形式全体的 集合。并约定指标的取值范围为
A, B, C , 1, 2,3, 4, i, j, k , 1, 2, 3
由引理 1，有 S 3 上平凡丛 C 4 S 3 C 4 的整体 使得 e0 : [e0 ] ， 定义的酉标架 e0 , e1 , e2 , e3 ， 其中 : C 5 \{0} CP 4 是自然投影。且有实值 1-形 式 0 su(2) 和复值 1-形式 A , AB su(2) C ， 使得
外微分(1.1)可得
1 预备知识
黎镇琦在文[3]中研究了 CP n 中常曲率的极小 3 维球面 S 3 ，这篇文献的研究方法十分巧妙，研究内 容也极为丰富，为本文研究的方便，我们把文 [3] 中用到的两个引理列出。 引理 1 设 : S 3 CP n 为一个浸入，则下列两 种叙述是相互等价的。 （1） 为一个等变的浸入； （2）存在 S 上平凡丛 C
变 1-形式 su (2) C ， A11 A22 A33 ， 其中 A1 , A2 , A3 是复常数， 1 , 2 , 3 是 su(2) 的一
A a Aj j ，
Kähler 形式和复结构。由[3]的结果，有
(1.4)
组基。 引理 2 设 : S 3 CP n 为具有常曲率 c 的等变
S3 到 CP4 中的等变极小浸入
*
艾小梅，刘忠东
(井冈山大学数理学院，江西，吉安 343009)
摘
要：研究复射影空间 CP4 中常曲率的等变极小 3 维球面 S3 = SU(2)，结果表明这种浸入若不是弱 Lagrangian
浸入，则其截面曲率 C≤1。 关键词：复射影空间；等变；Lagrangian 子流形；极小浸入 中图分类号：O186 文献标识码：A
CP 4 中的等变 CR 极小浸入，故 0 | | 1 。可设
4 cos 2 ，其中 2 (0, ) 是相当于 CP 中极小
Lagrangian 浸入，则在相差 S 3 , ds2 的一个等距的
意义下，存在 su ( 2) 的一组满足 (1.3) 的基 i 和
4 C 的整体酉标架 e0 , e1 , e2 , e3 , e4 ，使得 [e0 ] ，
V2 (KerF ) 都是 F - 不变子丛。
因为 F 是左不变的，所以 V1 和 V2 都是左不变
i 的，故可重新选取 su(2) 的基 X
u
ij
X j 使得
1 是 V1 的整体单位标架， i 且 det uij 1 ， 从而 X X
的对偶标架 i u ji j 仍满足(1.3)。 不妨设在原来的标架 X 1 , X 2 , X 3 中， X 1 是 V1 的标架。则 J 12 J 13 0 ， J 23 0 。记 J 23 。由
其中 a Aj 是复常数。令 g , , J 分别为 CP 3 的度量，
CR 极 小 浸 入 , 如 果
是线性完满的，则
其中
a
Ai
a Aj ij i J ij ，
(1.5)
c 2 (n 1) ，其中 n 2m2 3 ， m 是整数。
设 : S CP 是等变的浸入，其诱导度量具
3 4
J ij g ( J X i , X j ) ( )( X i , X j )
(1.6)
有常曲率 c 。由 Cartan-Hadamard 定理可知 c 0 。 采用与[3]中相同的记号和定义，将 S 3 看成 SU (2) 。 用 su (2) 表示 S
3
由于 J ij 是实常数，反对称矩阵 J ij 的秩为 0 或 2 ，张量场 J iji j 定义的丛同态
Abstract: We study the equivariant minimal immersion from the Euclidean sphere s3 with constant curvature c
into the complex projective space cp4. Research results show that if the immersion is not weakly Lagrangian, the sectional curvature c 1 .
设 X 1 , X 2 , X 3 为 1 , 2 , 3 的对偶标架。 那么
\{0} CP n 是自然投影。 且有复值左不
1 , 2 , 3 和 X 1 , X 2 , X 3 分 别 是 T * ( S 3 ) 和 T ( S 3 )
的整体定义的幺正标架。 在(1.1)中，可设
Key words: complex projective space; equivariant; Lagrangian submanifold; minimal immersion
1988 年，J. Bolton[1]等人在研究复射影空间 CP n
中的极小 2-球面， 证明了 CP2 中的 Lagrangian 极小
形的维数 m≥3 时， CP n 中的弱 Lagrangian 极小球面
S
m
未必是绝对实的。2003 年，在文献[6]中, 黎镇
3
2- 球 面 必 是 全 测 地 的 。 对 Kähler 流 形 中 的 Lagrangian 子流形（或称全实子流形） ，前人已有许
多研究，且早在 19 世纪 60 年代就已开始，并取得 了丰富的研究成果。陈邦彦 在研究 Kähler 流形中 的 Lagrangian 子流形，并对子流形的几何性质作了 很好的综述，Lagrangian 子流形的存在性和唯一性 已有了比较完美的结论。陈邦彦在这篇综述文章中 指出，CP n 中常曲率的 Lagrangian 极小球面 S n 一 定是全测地的。
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n 1
id 0 A A , d A i 0 A B BA , d AB A B AC CB .
Leabharlann Baidu
(1.2)
由于 的诱导度量 ds 2 具有常曲率 c，在相差
S 3 的 一 个 等 距 的 情 况 下 ， 可 取 su(2) 的 一 组 基
[2]
琦和陶永芊研究了等变的极小 3 维球面 S 3 到 CP3 中的浸入，获得了 CP3 中等变 Lagrangian 极小 S 的完全分类和解析表达式。利用等变映射的性质， 作者还证明了除全测地的 RP3 外，只有唯一的一个 等变 Lagrangian 极小 S 3 ，陈邦彦称之为“怪球 面”(exotic sphere)。2005 年，黎镇琦和周燕飞在文
1 , 2 , 3 使得 ds 2 i i ，并且
d 1 2 c2 3 ， d 2 2 c3 1 ， d 3 2 c1 2
(1.3)
S C
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n 1
整体定
义的酉标架 e0 , e1 , , en ，使得 e0 [e0 ] ，其 中 : C
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井冈山大学学报(自然科学版)
影空间 CP4 中常曲率的等变极小 3 维球面 S 3， 文中 证明了这种浸入若不是弱 Lagrangian 浸入，则其截 面曲率 c≤1。
由 (1.1) 的 第 二 式 可 知 AA 是 纯 虚 的 ， 故 可 记
AA i A ，其中 i 1 ， A 是实值 1-形式。
第 34 卷第 1 期 2013 年 1 月
Vol.34 No.1 Jan. 2013
井冈山大学学报(自然科学版) Journal of Jinggangshan 井冈山大学学报 (自然科学版) University (Natural Science)
21 21
文章编号：1674-8085(2013)01-0021-06
是 Lagrangian 浸入， 2 / 2 时， 2 0 或 时，
是 CR 浸入。
将(1.4)，(1.5)代入(1.2)第 1 式，由(1.3)得
d 0 i A A J iji j 22 3
c d 1
其中 2 i3 ， 0 , A su(2) ，
DOI:10.3969/j.issn.1674-8085.2013.01.005
EQUIVARIANT MINIMAL IMMERSION FROM S3 INTO CP4
*
AI Xiao-mei, LIU Zhong-dong
(School of Mathematics and Physics, Jinggangshan University, Ji’an, Jiangxi 343009, China)
[9]中研究了等变弱 Lagrangian 极小 3 维球面 S 3 到 CP4 中的浸入，分别获得了 CP4 中常曲率和非常曲
率的等变弱 Lagrangian 极小 S 3 的完全分类和解析 表达式。2006 年，在文献[10]中，艾小梅和黎镇琦 证明 研究了 CP3 中常曲率的等变极小 3 维球面 S 3， 了这种浸入只存在 Lagrangian 浸入，从而是全测地 的，截面曲率 c=1。 本文在文献[3, 10]的基础和启发下，研究复射
2003 年， 黎镇琦在文[3]中研究了 CP n 中常曲
率的极小 3 维球面 S ，并巧妙地将 S 看成 SU(2)。 再利用 SU(2)的李群结构引入等变的定义，给出了
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CP 中两类常曲率等变极小 S 的例子。分别是弱 Lagrangian 和 CR 的。在该文中，还说明了当子流
n
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收稿日期：2012-06-12；修改日期：2012-07-28 作者简介：*艾小梅 1981-)，女，江西吉安人，讲师，硕士，主要从事微分几何研究(E-mail:xiaomeiai1014@163.com); 刘忠东(1962-)，男，江西吉安人，教授，主要从事数学与数学教育研究(E-mail:lzd8100488@126.com).
曲面的 Kähler 角的几何量：
cos 2 J 23 ds 2 ( FX 2 , X 3 ) g ( J * X 2 , * X 3 )
它 与 V2 的 定 向 幺 正 标 架 X 2 , X 3 的 选 取 无 关 ；
诱导度量 ds 2 i i ，且有
de0 i 0 e0 1 e1 a e2 b e3 , de e i e e e e , 1 0 1 1 12 2 13 3 14 4 1 de a e e i e e e , 0 12 1 2 2 23 3 24 4 2 de b e e e i e e , 0 13 1 23 2 3 3 34 4 3 de4 14 e1 24 e2 34 e3 i 4 e4 .
SU (2) 上的左不变向量场全
F J ij i X j : T ( S 3 ) T ( S 3 ) 具有常数秩。
若 不是弱 Lagrangian 浸入，则 F 的秩为 2， 从而 T ( S 3 ) 可分解成 F - 不变子丛的正交直和 ： 其中 V1 KerF ， T ( S 3 ) (KerF ) (KerF ) V1 V2 ，
de0 i 0 e0 A eA , deA A e0 AB eB , AB BA 0. (1.1)
井冈山大学学报(自然科学版)
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(1.6)知 0 | | 1 。由引理 2，不存在常曲率的 S 到
3
诱导度量 ds 2 的截面曲率为常数 c 。若 不是弱
体的集合，su(2) 表示 S 3 上的左不变 1-形式全体的 集合。并约定指标的取值范围为
A, B, C , 1, 2,3, 4, i, j, k , 1, 2, 3
由引理 1，有 S 3 上平凡丛 C 4 S 3 C 4 的整体 使得 e0 : [e0 ] ， 定义的酉标架 e0 , e1 , e2 , e3 ， 其中 : C 5 \{0} CP 4 是自然投影。且有实值 1-形 式 0 su(2) 和复值 1-形式 A , AB su(2) C ， 使得
外微分(1.1)可得
1 预备知识
黎镇琦在文[3]中研究了 CP n 中常曲率的极小 3 维球面 S 3 ，这篇文献的研究方法十分巧妙，研究内 容也极为丰富，为本文研究的方便，我们把文 [3] 中用到的两个引理列出。 引理 1 设 : S 3 CP n 为一个浸入，则下列两 种叙述是相互等价的。 （1） 为一个等变的浸入； （2）存在 S 上平凡丛 C
变 1-形式 su (2) C ， A11 A22 A33 ， 其中 A1 , A2 , A3 是复常数， 1 , 2 , 3 是 su(2) 的一
A a Aj j ，
Kähler 形式和复结构。由[3]的结果，有
(1.4)
组基。 引理 2 设 : S 3 CP n 为具有常曲率 c 的等变
S3 到 CP4 中的等变极小浸入
*
艾小梅，刘忠东
(井冈山大学数理学院，江西，吉安 343009)
摘
要：研究复射影空间 CP4 中常曲率的等变极小 3 维球面 S3 = SU(2)，结果表明这种浸入若不是弱 Lagrangian
浸入，则其截面曲率 C≤1。 关键词：复射影空间；等变；Lagrangian 子流形；极小浸入 中图分类号：O186 文献标识码：A
CP 4 中的等变 CR 极小浸入，故 0 | | 1 。可设
4 cos 2 ，其中 2 (0, ) 是相当于 CP 中极小
Lagrangian 浸入，则在相差 S 3 , ds2 的一个等距的
意义下，存在 su ( 2) 的一组满足 (1.3) 的基 i 和
4 C 的整体酉标架 e0 , e1 , e2 , e3 , e4 ，使得 [e0 ] ，
V2 (KerF ) 都是 F - 不变子丛。
因为 F 是左不变的，所以 V1 和 V2 都是左不变
i 的，故可重新选取 su(2) 的基 X
u
ij
X j 使得
1 是 V1 的整体单位标架， i 且 det uij 1 ， 从而 X X
的对偶标架 i u ji j 仍满足(1.3)。 不妨设在原来的标架 X 1 , X 2 , X 3 中， X 1 是 V1 的标架。则 J 12 J 13 0 ， J 23 0 。记 J 23 。由
其中 a Aj 是复常数。令 g , , J 分别为 CP 3 的度量，
CR 极 小 浸 入 , 如 果
是线性完满的，则
其中
a
Ai
a Aj ij i J ij ，
(1.5)
c 2 (n 1) ，其中 n 2m2 3 ， m 是整数。
设 : S CP 是等变的浸入，其诱导度量具
3 4
J ij g ( J X i , X j ) ( )( X i , X j )
(1.6)
有常曲率 c 。由 Cartan-Hadamard 定理可知 c 0 。 采用与[3]中相同的记号和定义，将 S 3 看成 SU (2) 。 用 su (2) 表示 S
3
由于 J ij 是实常数，反对称矩阵 J ij 的秩为 0 或 2 ，张量场 J iji j 定义的丛同态
Abstract: We study the equivariant minimal immersion from the Euclidean sphere s3 with constant curvature c
into the complex projective space cp4. Research results show that if the immersion is not weakly Lagrangian, the sectional curvature c 1 .