新湘教版八年级数学下册第一章《角平分线的性质》精品课件
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湘教版八年级下册数学：1.4-角平分线的性质-课件(共15张PPT)
6
例1、如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分 ∠CAB，DE⊥AB于E，F 在AC上，BE＝FC， 求证：BD＝DF.
证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB于E， ∠C＝90°，∴DE＝DC. 在△BDE和△FDC中， DE=CD ,
∠DEB=∠C,
BE=FC, ∴ △BDE ≌ △FDC （SAS） ∴ BD=DF (全等三角形中对应边相等).
7
合作探究
思 考
分
逆命题
析
到一个角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.
它是真命题吗? 如果是.请你证明它.
′ 已知:如图, ∠AOB,
PD⊥OA, PE⊥OB,且PD=PE,垂足分O
A D
P C
别是D,E.
求证:点P在∠AOB的平分线上.
E
分析:要证明点P在∠AOB的平分线上,可
B
以先作出过点P的射线OC,然后证明
11
例2、 如图，BE＝CF，DF⊥AC于点F，DE⊥AB于 点E，
BF和CE相交于点D.求证：AD平分∠BAC.
证明：∵DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°.
在△BDE和△CDF中，
∠BDE＝∠CDF
∠DEB＝∠DFC
BE＝CF
∴△BDE≌△CDF(AAS)，
∴DE＝DF.
C P FB
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分 线上.∵ PF⊥OB，PE⊥OA
且PE＝PF.
∴点P在∠AOB的平分线上.
14
自我检测
1、已知:如图,P是∠AOB平分线上的一点，
PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别C,D.
求证:(1)OC=OD;
例1、如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分 ∠CAB，DE⊥AB于E，F 在AC上，BE＝FC， 求证：BD＝DF.
证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB于E， ∠C＝90°，∴DE＝DC. 在△BDE和△FDC中， DE=CD ,
∠DEB=∠C,
BE=FC, ∴ △BDE ≌ △FDC （SAS） ∴ BD=DF (全等三角形中对应边相等).
7
合作探究
思 考
分
逆命题
析
到一个角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.
它是真命题吗? 如果是.请你证明它.
′ 已知:如图, ∠AOB,
PD⊥OA, PE⊥OB,且PD=PE,垂足分O
A D
P C
别是D,E.
求证:点P在∠AOB的平分线上.
E
分析:要证明点P在∠AOB的平分线上,可
B
以先作出过点P的射线OC,然后证明
11
例2、 如图，BE＝CF，DF⊥AC于点F，DE⊥AB于 点E，
BF和CE相交于点D.求证：AD平分∠BAC.
证明：∵DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°.
在△BDE和△CDF中，
∠BDE＝∠CDF
∠DEB＝∠DFC
BE＝CF
∴△BDE≌△CDF(AAS)，
∴DE＝DF.
C P FB
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分 线上.∵ PF⊥OB，PE⊥OA
且PE＝PF.
∴点P在∠AOB的平分线上.
14
自我检测
1、已知:如图,P是∠AOB平分线上的一点，
PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别C,D.
求证:(1)OC=OD;
湘教版八年级下册1.4角平分线的性质课件(共27张PPT)
1.4 角平分线的性质
例题2 如图1-4-9, BD是∠ABC的平分线, AB=BC, 点P在BD上, PM⊥AD, PN⊥CD, 垂足分别是 M, N．试说明PM=PN.
1.4 角平分线的性质
分析 根据角平分线的定义, 可得∠ABD= ∠CBD, 然后利用“SAS” 证明
△ABD 和△CBD全 等, 再根据全等三角形的对应角相等, 可得∠ADB= ∠CDB, 然后根据角平分线上的点到角的两边的距离 相等即可证明.
第1章 直角三角形
1.4 角平分线的性质
第1章 直角三角形
1.4 角平分线的性质
考场对接
1.4 角平分线的性质
考场对接
题型一 运用角平分线的性质定理证明线段相等
例题1 如 图 1 - 4 - 8 所 示 , AD是△ABC的角平分线, DE, DF 分别是 △ ABD和 △ A C D 的 高 . 求证：AE=AF.
1.4 角平分线的性质
题型四 运用角平分线的性质定理解决其他几何问题
例题5 如图1-4-13所示, 在Rt△ABC中, ∠C=90°, AC=BC, AD平分 ∠CAB, 交BC于点D, DE⊥AB于点E, 且AB=6 cm, 求△BDE的周长.
1.4 角平分线的性质
解： ∵AD平分∠CAB, ∴∠1=∠2. ∵DC⊥AC, DE⊥AB, ∴DE=DC, ∴BD+DE=BD+DC=BC. 由已知易证△ADE≌△ADC, ∴AE=AC. 又∵BC=AC, ∴BC=AE, ∴BD+DE=AE, ∴BD+DE+BE=AE+BE=AB. ∵AB=6 cm, ∴BD+DE+BE=6 cm, 即△BDE的周长为6 cm.
最新湘教初中数学八年级下册《1.4角平分线的性质》精品PPT课件 (2)
［教学内容3］ 把简易平分角的仪器放在角的 两边时，平分角的仪器两边AB 与AD相等，从几何作图角度怎 么画？BC=DC，从几何作图角度 怎么画？
A·
B·
·D
C·
最新初中数学精品课件设计
探究体验
［教学内容3］角平分线的画法： (１)以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于 N．
（２）分别以M，N为圆心．大于MN一半的长为半径作
（SSS）
∴∠MOC=∠NOC 即：OC平分∠AOB
B
N
O
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探究体验
［教学内容4］
C
操作：
（1）作一个平角∠AOB的
平分线OC，
（2）反向延长OC得到直线 CD.
A
.
O
B
思考1：请说出直线CD与AB
的位置关系.
D
思考2：作出一个45º的角.
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探究体验
［教学内容5］ 操作：用纸剪一个角，把纸片对折，使角的两边叠合在 一起，把对折后的纸片继续折一次，折出一个直三角形 （使第一次的折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠 形成的三条折痕. 问题1：第一次的折痕和角有什么关系？为什么？ 问题2：第二次折叠形成的两条折痕与角的两边有何关系， 它们的长度有何关系？
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探究体验
2．探究体验［教学内容6］ 如图：按照折纸的顺序画出角及折纸形成的三条 折痕.分组讨论、交流，再利用几何画板软件验 证结论，并用文字语言阐述得到的性质. 结合图形写出已知，求证，分析后写出证明过程.
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探究体验
［教学内容6］ 结论：角平分线上的点到角的两边的距离相等 题设：一个点在一个角的平分线上 结论：它到角的两边的距离相等
A·
B·
·D
C·
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探究体验
［教学内容3］角平分线的画法： (１)以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于 N．
（２）分别以M，N为圆心．大于MN一半的长为半径作
（SSS）
∴∠MOC=∠NOC 即：OC平分∠AOB
B
N
O
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［教学内容4］
C
操作：
（1）作一个平角∠AOB的
平分线OC，
（2）反向延长OC得到直线 CD.
A
.
O
B
思考1：请说出直线CD与AB
的位置关系.
D
思考2：作出一个45º的角.
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［教学内容5］ 操作：用纸剪一个角，把纸片对折，使角的两边叠合在 一起，把对折后的纸片继续折一次，折出一个直三角形 （使第一次的折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠 形成的三条折痕. 问题1：第一次的折痕和角有什么关系？为什么？ 问题2：第二次折叠形成的两条折痕与角的两边有何关系， 它们的长度有何关系？
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2．探究体验［教学内容6］ 如图：按照折纸的顺序画出角及折纸形成的三条 折痕.分组讨论、交流，再利用几何画板软件验 证结论，并用文字语言阐述得到的性质. 结合图形写出已知，求证，分析后写出证明过程.
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探究体验
［教学内容6］ 结论：角平分线上的点到角的两边的距离相等 题设：一个点在一个角的平分线上 结论：它到角的两边的距离相等
八年级数学下册1.4角的平分线的性质课件2(新版)湘教版
—— 华罗庚
第十一页，共11页。
A
∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上,Байду номын сангаас
ND
M
PF
∴PD=PE
B
E
C
(角平分线上的点到这个(zhè ge)角的两边距离相等).
同理,PE=PF.
∴PD＝PE=PF.
即点P到三边(sān biān)AB、BC、CA的距离相 等
第七页，共11页。
1、如图，在△ABC中，D是BC的中点(zhōnɡ diǎn)，
解：∵AP是∠DAC的平分线
E
D
又PE⊥DB，PF⊥AC ∴PE=PF
在△EBP中，BE+PE＞PB
A
P
∴BE+PF＞PB。
B
FC
第五页，共11页。
1、如图，为了促进当地旅游发展， 某地要在三条公路围成的一块平地上 修建一个度假村.要使这个(zhè ge)度 假村到三条公路的距离相等,应在何处 修建?
N
MN=MF）
∵ME⊥CD，MN⊥CA
∴M在∠ACD的平分线上，
即CM是∠ACD的平分线
A
同理可得AM是∠CAB的平分线。
M
F
B
第四页，共11页。
例2， 如图，在△ABC的外角∠DAC的平分线上任(shàng
rèn)取一点
P，作PE⊥DB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F。试探索
BE+PF与PB的大小关系。
分析:由于没有限制(xiànzhì) 在何处选址,故要求的地址共 有四处。
第九页，共11页。
3、已知:BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点 E,BD,CE交点(jiāodiǎn)F,CF=BF,求证:点F在 ∠A的平分线上.
第十一页，共11页。
A
∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上,Байду номын сангаас
ND
M
PF
∴PD=PE
B
E
C
(角平分线上的点到这个(zhè ge)角的两边距离相等).
同理,PE=PF.
∴PD＝PE=PF.
即点P到三边(sān biān)AB、BC、CA的距离相 等
第七页，共11页。
1、如图，在△ABC中，D是BC的中点(zhōnɡ diǎn)，
解：∵AP是∠DAC的平分线
E
D
又PE⊥DB，PF⊥AC ∴PE=PF
在△EBP中，BE+PE＞PB
A
P
∴BE+PF＞PB。
B
FC
第五页，共11页。
1、如图，为了促进当地旅游发展， 某地要在三条公路围成的一块平地上 修建一个度假村.要使这个(zhè ge)度 假村到三条公路的距离相等,应在何处 修建?
N
MN=MF）
∵ME⊥CD，MN⊥CA
∴M在∠ACD的平分线上，
即CM是∠ACD的平分线
A
同理可得AM是∠CAB的平分线。
M
F
B
第四页，共11页。
例2， 如图，在△ABC的外角∠DAC的平分线上任(shàng
rèn)取一点
P，作PE⊥DB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F。试探索
BE+PF与PB的大小关系。
分析:由于没有限制(xiànzhì) 在何处选址,故要求的地址共 有四处。
第九页，共11页。
3、已知:BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点 E,BD,CE交点(jiāodiǎn)F,CF=BF,求证:点F在 ∠A的平分线上.
八年级数学下册直角三角形角平分线的性质角平分线的性质课件湘教版
1.4 角平分线的性质
解：填表略，PD＝PE. 证明：∵OC是∠AOB的平分线， ∴∠DOP＝∠EOP. ∵PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDO＝∠PEO＝90°. 在△ODP与△OEP中， ∵∠DOP＝∠EOP，∠PDO＝∠PEO， OP＝OP, ∴△ODP≌△OEP，∴PD＝PE.
1.4 角平：如图，过点C作CG⊥OA于点G，CF⊥OB于点F. 在△MOE和△NOD中， ∵OM＝ON，∠MOE＝∠NOD，OE＝OD， ∴△MOE≌△NOD(SAS)， ∴S△MOE＝S△NOD. 同时减去S四边形ODCE，得S△MDC＝S△NEC. ∵OM＝ON，OD＝OE， ∴MD＝NE，∴CG＝CF. 又∵CG⊥OA，CF⊥OB， ∴点C在∠AOB的平分线上．
角的平分线上的点到角的两边的距离___相__等___．
1.4 角平分线的性质
知识点二 角平分线性质定理的逆定理
角的内部到角的两边距离相等的点在__角_的__平_分__线__上．
1.4 角平分线的性质
反思
D是△ABC中AB边上的一点，在△ABC内有一点O，使OC＝OD，则 AO平分∠CAB吗？ 解：AO平分∠CAB.理由如下： 因为点O到∠CAB两边的距离相等，所以点O在∠CAB的平分线上， 所以AO平分∠CAB. 以上解法是否正确？若不正确，请说明理由，并写出正确的结 论．
1.4 角平分线的性质
PD PE 第一次 第二次 第三次
图1－4－1
1.4 角平分线的性质
[解析] ∠1，∠2分别是△ABD和△ACD的内角，要证明∠1＝∠2，只需证 明这两个三角形全等即可，而这两个三角形均是直角三角形，且AB＝AC， AD＝AD，故得证．
证明：∵AD⊥BC 于点 D， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°. 在 Rt△ABD 和 Rt△ACD 中，∵AABD＝ ＝AACD， ， ∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL)， ∴∠1＝∠2.
1.4 角平分线的性质 课件(共23张PPT)湘教版八年级数学下册
分线，DE，DF分别是△ ABD和△ ACD的高，
60
AE = 12，DF = 5，则点E到直线AD的距离为__1_3.
图1.4-12 图1.4-13
13.（2023·乐山）如图1.4-14，点O在直线AB上， OD是∠BO C的平分线，若∠AOC = 140∘ ，则∠BOD 的度数为_2_0_∘_.
A.2: 1
B.1: 1
C.3: 2
D.2: 3
6.如图1.4-7，点O是Rt △ ABC的内角平分线的交点，
OD//AC，AC = 5，BC = 12，AB = 13，则OD等于
( A )．
A.2
B.3
C.1
D.4
图1.4-6 图1.4-7
7.如图1.4-8，已知在△ ABC中，∠C = 90∘ ， ∠A = 36∘ ，ED ⊥ AB于点D，且EC = ED，则 ∠CEB =_6_3__∘ .
图1.4-14
PE，垂足分别是点D，E，连接DE，那么图中全等的直
角三角形共有( A ) .
A.3对
B.2对
C.1对
D.0对
图1.4-4 图1.4-5
5.如图1.4-6，在△ ABC中，∠C = 90∘ ，
AB = 2BC，BD是∠ABC的平分线，设△ ABD，
△ BCD的面积分别为S1，S2，则S1: S2 =( A ) ．
A.20∘
B.25∘
C.30∘
D.50∘
图1.4-3
3.如图1.4-4，在△ ABC中，∠C = 90∘ ， AC = 8，D C = 1 AD，BD平分∠ABC，则点D到
3
AB的距离等于( C ) .
A.4
B.3
C.2
湘教版数学八年级下册1.4角平分线的性质课件
求证：三角形的三条角平分线交于一点。
例 已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相 交于点P. 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂直 于AB、BC、CA，垂足为D、E、F
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM
上（已知）
A
∴PD=PE
（在角平分线上的点到角的两边的距离D
E
∴__D_C__=_D_E____
(__在__角__平__分___线__上__的___点__到__角___的__两__边__的_C__距__离__相D___等__)
Hale Waihona Puke B. ∵DC⊥AC ,DE⊥AB ,DC=DE
∴_∠__1_=_∠__2___
(_到__一__个__角__的__两__边__的__距__离__相__等__的__点__，__在__这__个__角__平__分__线__上__。)
画一画
画∠AOB,将∠AOB对折,折痕 OC ,在OC上任取一点P,过P向角的 两边作垂线段PD、PE,并度量所 画PD、PE是否等长？
命题：在角平分线上的点到角的两边的距离相等
题设：一个点在一个角的平分线上 结论：它到角的两边的距离相等 已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上， PD ⊥OA ，PE ⊥OB，垂足分别是D、E. A
一个货物中转站,要求它到三条公路的距
离相等,则可供选择的地址有:( )
A.一处
B. 两处
C.三处
D.四处
分析:由于没有限制在 何处选址,故要求的地 址共有四处。
练习册P63P64
作业
用符号语言表示为： ∵PD=PE
PD ⊥OA ，PE ⊥OB
A
八年级下册数学课件(湘教版)角平分线的性质定理的逆定理
解：连接OC，过O作ON⊥BC，OE⊥AB，垂足分别 为N，E.
SABC SAOC SBOC SAOB
1 AC OM 1 BC ON 1 AB OE
2
2
2
1 OM ( AC BC AB) 2
1 4 32 64
A
2
B
O
P
DM
C
知识与方法
方法总结
由已知，O 到三角形三边的距离相等，得O是 三条内角平分线的交点，再利用三角形内角和定理 即可求出∠BOC的度数．
归纳总结 角的平分线的性质 角的平分线的判定
图形
C P
C P
已知 条件
结论
OP平分∠AOB PD⊥OA于D PE⊥OB于E
PD=PE
PD=PE PD⊥OA于D PE⊥OB于E
结论
三角形的内角平分线相交 于内部一点
得到什么命题，这个新命题正确吗？
角平分线的性质：
A
角的平分线上的点到角的两边的距离相等. D
几何语言：
C
∵ OC平分∠AOB，
O
且PD⊥OA， PE⊥OB
P
E
B
∴ PD= PE 猜想:
思考：这个命 题正确吗？
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
证明猜想
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E， PD=PE.求证：点P在∠AOB的平分线上.
CA，垂足分别为D，E，F.
∵BM是△ABC的角平分线，
点P在BM上，
B
∴PD=PE.同理PE=PF.
A
ND
F
P
M
C E
∴PD=PE=PF.
即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
八年级数学下册 1.4.1《角平分线的性质(一)》课件 (新版)湘教版
4、通过这节课的学习，觉得自己有什么收获吗？
一定要“悟”到点东西,纳入到自己的认知结构中去.
作业：p24 练习 p26 A 1、2
一点P，作PD⊥OA，垂足为D，PE⊥OB，垂足为
E，试问PD与PE相等吗？你能得出什么结论？
A
将∠AOB沿OC对折，发现PD与PE
D
重合，即：PD=PE.
P
已知：OC是∠AOB的平分线， O 点P在OC上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB，
EB
垂足分别是D、E. 求证：PD=PE.
∆PDO≌∆PEO(AAS) 在OP上再取一个P点试一试，结论成立吗？
证明：（1） ∵∠1= ∠2 ∴ BA=BC，
∵∠BAD= ∠BCD=900， BA ⊥AD，BC ⊥CD
∴点B在∠ADC的平分线上
A
（2）在Rt∆BAD和Rt∆BCD中，
1
∵ BA=BC BD=BD
B
D
∴ Rt∆BAD≌Rt∆BCD (HL)
2
∠ABD= ∠CBD
C
∴ BD是∠ABC的平分线
例2、如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，BD是 ∠AB C的平分线 ，DE⊥AB，垂足为E，图中相
如图：已知P点是∠AOB内一点，PD ⊥OA ， PE ⊥OB，垂足分别是D、E，且PD=PE. 求证： 点P在∠AOB的平分线上。
分析：如何量化表示结论？（连接OP，证明∠1= ∠2 . 则OP是角平分线，即点P在∠AOB的平分线上）
证明：Rt∆PDO≌Rt∆PEO(HL)即可
角平分线的判定定理：
A
1、填空：
12
(1). ∵∠1= ∠2，DC⊥AC， DE⊥AB
∴__D_C__=_D_E____
一定要“悟”到点东西,纳入到自己的认知结构中去.
作业：p24 练习 p26 A 1、2
一点P，作PD⊥OA，垂足为D，PE⊥OB，垂足为
E，试问PD与PE相等吗？你能得出什么结论？
A
将∠AOB沿OC对折，发现PD与PE
D
重合，即：PD=PE.
P
已知：OC是∠AOB的平分线， O 点P在OC上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB，
EB
垂足分别是D、E. 求证：PD=PE.
∆PDO≌∆PEO(AAS) 在OP上再取一个P点试一试，结论成立吗？
证明：（1） ∵∠1= ∠2 ∴ BA=BC，
∵∠BAD= ∠BCD=900， BA ⊥AD，BC ⊥CD
∴点B在∠ADC的平分线上
A
（2）在Rt∆BAD和Rt∆BCD中，
1
∵ BA=BC BD=BD
B
D
∴ Rt∆BAD≌Rt∆BCD (HL)
2
∠ABD= ∠CBD
C
∴ BD是∠ABC的平分线
例2、如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，BD是 ∠AB C的平分线 ，DE⊥AB，垂足为E，图中相
如图：已知P点是∠AOB内一点，PD ⊥OA ， PE ⊥OB，垂足分别是D、E，且PD=PE. 求证： 点P在∠AOB的平分线上。
分析：如何量化表示结论？（连接OP，证明∠1= ∠2 . 则OP是角平分线，即点P在∠AOB的平分线上）
证明：Rt∆PDO≌Rt∆PEO(HL)即可
角平分线的判定定理：
A
1、填空：
12
(1). ∵∠1= ∠2，DC⊥AC， DE⊥AB
∴__D_C__=_D_E____
湘教版数学八年级下册 1.4角平分线的性质课件
角平分线的性质
教学目的：
学习角平分线的性质定理
重点：
角平分线的性质定理
难点：
角平分线性质定理的应用
课前思考与回顾
如何用尺规作角的平分线？
作法：
A
１．以Ｏ为圆心，适当 长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，
Ｍ
交ＯＢＮ于．
Ｃ
２．分别以Ｍ，Ｎ为
圆心．大于 ＭＮ的长为
半径作弧．两弧在∠AOB
Ｂ
Ｎ
Ｏ
的内部交于Ｃ．
３．作射线OC．
10㎝，AC＝5㎝，求BE的长?
如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别是E，F，且BE＝CF。 求证：AD是△ABC的角平分线。
A
E
F
B
D
C
应用与提高
已知：如图，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC
的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上BD=DF，
求证：CF=EB。
O
E B
动脑筋
2.在Rt△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB 于E，则：
⑴图中相等的线段有哪些？相等的角呢？
⑵哪条线段与DE相等？为什么？
⑶若AB＝10，BC＝8，AC＝6，
求BE，AE的长和△AED的周长。
A
E
D
B
C
练一练
A E
C
B
D
在△ABC中，AC⊥BC，AD为
∠BAC的平分线，DE⊥AB，AB＝
证明:
∵PD⊥OA,PE⊥OB
∴∠PDO=∠PEO=90°
又∵∠AOC=∠BOC
OP=OP
O
∴△DOP≌△EOP
∴PD=PE
A
D
教学目的：
学习角平分线的性质定理
重点：
角平分线的性质定理
难点：
角平分线性质定理的应用
课前思考与回顾
如何用尺规作角的平分线？
作法：
A
１．以Ｏ为圆心，适当 长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，
Ｍ
交ＯＢＮ于．
Ｃ
２．分别以Ｍ，Ｎ为
圆心．大于 ＭＮ的长为
半径作弧．两弧在∠AOB
Ｂ
Ｎ
Ｏ
的内部交于Ｃ．
３．作射线OC．
10㎝，AC＝5㎝，求BE的长?
如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别是E，F，且BE＝CF。 求证：AD是△ABC的角平分线。
A
E
F
B
D
C
应用与提高
已知：如图，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC
的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上BD=DF，
求证：CF=EB。
O
E B
动脑筋
2.在Rt△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB 于E，则：
⑴图中相等的线段有哪些？相等的角呢？
⑵哪条线段与DE相等？为什么？
⑶若AB＝10，BC＝8，AC＝6，
求BE，AE的长和△AED的周长。
A
E
D
B
C
练一练
A E
C
B
D
在△ABC中，AC⊥BC，AD为
∠BAC的平分线，DE⊥AB，AB＝
证明:
∵PD⊥OA,PE⊥OB
∴∠PDO=∠PEO=90°
又∵∠AOC=∠BOC
OP=OP
O
∴△DOP≌△EOP
∴PD=PE
A
D
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A
C
D
B
在V型公路（∠AOB）内部，有两个村庄C、D。你 能选择一个纺织厂的厂址P，使P到V型公路的距离 相等，且使C、D两村的工人上下班的路程一样吗？
A P O
.C
B
.D
活动与探究:
已知：如图，∠1=∠2，P为BN上一点，且 PD⊥BC于D，AB+BC=2BD
求证：∠BAP+∠BCP=180°
证明: 在Rt⊿ODP和Rt⊿OEP中,
C P O E B
∠ODP=∠OEP=90°
OP=OP, PD=PE Rt⊿OPD≌Rt⊿OPE (HL)
定理 2 到一个角的两边的距离相等的点，
在这个角的平分线上。
定理 2的应用书写格式：
A D
∵
PC OA
PD OB
PD= PE
O
C P
\OP 是 AOB的平分线
问，理论上有几个地点可作为仓库的位置？
4个
2 如图，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足 分别是E，F， DE =DF， ∠EDB= 60°，则 ∠EBF= 60 度，
A E
C D
BE= BF。
B F C
3.如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB， ∠1=∠2，且AC=6cm，那么线段BE是△ABC 的 角平分线，AE+DE= 6 。 C
E A D
2 1
B
4.如图③，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC， AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E。求证： △DBE的周长等于AB的长。
A E C B
D
如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AD是 ∠BAC的平分线交BC于D，BC=15，且CD： DB=1：2，则点D到AB的距离为_________。
定理的作用： 证明线段相等。 应用定理的书写格式：
∵
OP 是 AOB 的平分线
PD OA
\
PE OB
PD = PE （在角的平分线上的点 到这个角的两边的距离相等。）
如果交换定理1的题设、结论，能得到怎样的命题，这是一个 真命题吗？
逆命题： 到一个角的两边距离相等的点，在这个 角的平分线上。 已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂 A 足分别是D，E， PD=PE。 D 求证：点P在∠AOB的平分线上。
北
比例尺1：20000
∵到公路的距离与到河岸的距离相等 ∴工厂在河岸与公路的角平分线上
（到一个角的两边的距离相等的点， 在这个角的平分线上）
以角的顶点为端点在角平分线上取一段等于2.5㎝ 则另一点就是工厂的位置。
例.已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P. 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
M
F
E
C
结论：三角形的角平分线的交点到三边的距离相等。
这个交点叫三角形的内心
做一做
已知：如图，△ABC的∠B的外角平分线BD和∠C的外角平分 线CE相交于点F。 求证：点F在∠DAE的平分线上。
C A B F
D E
那么点F到△ABC三边的距离相等吗？
如图，有三条交错的货运铁路，要在铁路附近造
一个货运仓库，要求仓库到三条铁路的距离相等，
C P E B
定理：在角的平分线上的点到这个角的
两边的距离相等。
该定理的题设和结论分别是什么？
角平分线的性质定理
定理 1 在角的平分线上的点到这个角的 两边的距离相等。
定理应用所具备的条件：
（1）角的平分线； （2）点在该平分线上； （3）垂直距离。 O D
A
P E B
推理的理由有三个， 必须写完全，不能少 了任何一个。
证明：过点 P 作 PD 、 PE 、 PF 分别垂 直于AB、BC、CA，垂足为D、E、 F ∵BM 是 △ABC 的 角 平 分 线 ， 点 P 在 BM上（已知） ∴PD=PE （在角平分线上的点到角的 两边的距离相等） B 同理 PE=PF. ∴ PD=PE=PF. 即点P到边AB、BC、CA的距离相等 A D N P
如图，是一个平分角的仪器，其中 AB=AD，CB=CD,将点A放在角的 顶点，AB和AD沿着角的两边放下， 沿AC画一条射线AE,AE就是角的平 分线。你能说明它的道理吗？ 根据SSS, 可知两个三角形全等 ∴∠1=∠2
A
1 2
D
B
C
从上面的探究你能得出作一个角的 角平分线的方法吗？
E
已知：∠AOB 求作：∠AOB的平分线 作法：（1）以O为圆心，适当长为 半径作弧，交OA于M,交OB于N; （2）分别以M、N为圆心，大于 1 MN的长为半径作弧，两弧在 2 O ∠AOB的内部交于点C. (3)作射线OC.射线OC即为所求。 N B A M C
∴∠EBC＝∠ECB （在一个三角形中，等边对等角） B 1 2 3 4 E C
想一想：题中BC 被AE垂直平分吗？ ∵∠ABE＝∠ACE＝Rt∠
∠1＝∠ 2
∴∠3＝∠4 ∴ AE垂直平分BC
A
又∵EB=EC
如图，开发区一个工 厂，在公路西侧，到公路 的距离与到河岸的距离相 等，并且与河上公路桥较 近桥头的距离为500米。 你能尝试确定工厂的位置 吗？并说明理由。
你能说明其中的道理吗？ 做P108页的练习，并回答问题。
做一做
1。你能用折叠的办法折出一个角的平分线吗？ 将∠AOB对折 2。再折出一个直角三角形，（使角平分线为斜 边，OA与OB为直角边）
观察两次折出的三条折痕，你能得出 A D 什么结论？
第二次折出的两条折痕的长度相等。
AAS O 你能说明其中的道理吗？ A A B C P P E B B
（到一个角的两边的距离相等的点， 在这个角的平分线上） 用途：判定一条射线是角平分线
E
B
例1 已知：如图、E是∠BAC平分线上的一点，EB⊥AB，
EC⊥AC，B，C分别是垂足。求证：∠EBC＝∠ECB
证明： ∵ E是∠BAC平分线上的一点，EB⊥AB，EC⊥AC ∴EB=EC
（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ）
M
E
A
1 2
P
N
B
E'
D
C
E ''
耐心地想一想
如图， EG ， FG 分别∠MEF 的∠NFE 的平分线，交 点是 G 。 PB ， PC 分别是∠MBC 和∠NCB 的平分线， 交 点 是 P ， F ， C 在 AN 上 ， B ， E 在 AM 上 ， 如 果 ∠G=68°，求∠P的度数。
从上面的实验中，你能得到什么结论？
已知：如图，OP是∠AOB的平分线，点P在OC上， PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E 求证：PD=PE A D 证明: ∵∠1=∠2 , OP=OP
∠PDO=∠PEO=90°
∴⊿PDO≌⊿PEO (AAS) ∴PD=PE (全等三角形的对应 边相等) O
1 2
C
D
B
在V型公路（∠AOB）内部，有两个村庄C、D。你 能选择一个纺织厂的厂址P，使P到V型公路的距离 相等，且使C、D两村的工人上下班的路程一样吗？
A P O
.C
B
.D
活动与探究:
已知：如图，∠1=∠2，P为BN上一点，且 PD⊥BC于D，AB+BC=2BD
求证：∠BAP+∠BCP=180°
证明: 在Rt⊿ODP和Rt⊿OEP中,
C P O E B
∠ODP=∠OEP=90°
OP=OP, PD=PE Rt⊿OPD≌Rt⊿OPE (HL)
定理 2 到一个角的两边的距离相等的点，
在这个角的平分线上。
定理 2的应用书写格式：
A D
∵
PC OA
PD OB
PD= PE
O
C P
\OP 是 AOB的平分线
问，理论上有几个地点可作为仓库的位置？
4个
2 如图，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足 分别是E，F， DE =DF， ∠EDB= 60°，则 ∠EBF= 60 度，
A E
C D
BE= BF。
B F C
3.如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB， ∠1=∠2，且AC=6cm，那么线段BE是△ABC 的 角平分线，AE+DE= 6 。 C
E A D
2 1
B
4.如图③，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC， AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E。求证： △DBE的周长等于AB的长。
A E C B
D
如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AD是 ∠BAC的平分线交BC于D，BC=15，且CD： DB=1：2，则点D到AB的距离为_________。
定理的作用： 证明线段相等。 应用定理的书写格式：
∵
OP 是 AOB 的平分线
PD OA
\
PE OB
PD = PE （在角的平分线上的点 到这个角的两边的距离相等。）
如果交换定理1的题设、结论，能得到怎样的命题，这是一个 真命题吗？
逆命题： 到一个角的两边距离相等的点，在这个 角的平分线上。 已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂 A 足分别是D，E， PD=PE。 D 求证：点P在∠AOB的平分线上。
北
比例尺1：20000
∵到公路的距离与到河岸的距离相等 ∴工厂在河岸与公路的角平分线上
（到一个角的两边的距离相等的点， 在这个角的平分线上）
以角的顶点为端点在角平分线上取一段等于2.5㎝ 则另一点就是工厂的位置。
例.已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P. 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
M
F
E
C
结论：三角形的角平分线的交点到三边的距离相等。
这个交点叫三角形的内心
做一做
已知：如图，△ABC的∠B的外角平分线BD和∠C的外角平分 线CE相交于点F。 求证：点F在∠DAE的平分线上。
C A B F
D E
那么点F到△ABC三边的距离相等吗？
如图，有三条交错的货运铁路，要在铁路附近造
一个货运仓库，要求仓库到三条铁路的距离相等，
C P E B
定理：在角的平分线上的点到这个角的
两边的距离相等。
该定理的题设和结论分别是什么？
角平分线的性质定理
定理 1 在角的平分线上的点到这个角的 两边的距离相等。
定理应用所具备的条件：
（1）角的平分线； （2）点在该平分线上； （3）垂直距离。 O D
A
P E B
推理的理由有三个， 必须写完全，不能少 了任何一个。
证明：过点 P 作 PD 、 PE 、 PF 分别垂 直于AB、BC、CA，垂足为D、E、 F ∵BM 是 △ABC 的 角 平 分 线 ， 点 P 在 BM上（已知） ∴PD=PE （在角平分线上的点到角的 两边的距离相等） B 同理 PE=PF. ∴ PD=PE=PF. 即点P到边AB、BC、CA的距离相等 A D N P
如图，是一个平分角的仪器，其中 AB=AD，CB=CD,将点A放在角的 顶点，AB和AD沿着角的两边放下， 沿AC画一条射线AE,AE就是角的平 分线。你能说明它的道理吗？ 根据SSS, 可知两个三角形全等 ∴∠1=∠2
A
1 2
D
B
C
从上面的探究你能得出作一个角的 角平分线的方法吗？
E
已知：∠AOB 求作：∠AOB的平分线 作法：（1）以O为圆心，适当长为 半径作弧，交OA于M,交OB于N; （2）分别以M、N为圆心，大于 1 MN的长为半径作弧，两弧在 2 O ∠AOB的内部交于点C. (3)作射线OC.射线OC即为所求。 N B A M C
∴∠EBC＝∠ECB （在一个三角形中，等边对等角） B 1 2 3 4 E C
想一想：题中BC 被AE垂直平分吗？ ∵∠ABE＝∠ACE＝Rt∠
∠1＝∠ 2
∴∠3＝∠4 ∴ AE垂直平分BC
A
又∵EB=EC
如图，开发区一个工 厂，在公路西侧，到公路 的距离与到河岸的距离相 等，并且与河上公路桥较 近桥头的距离为500米。 你能尝试确定工厂的位置 吗？并说明理由。
你能说明其中的道理吗？ 做P108页的练习，并回答问题。
做一做
1。你能用折叠的办法折出一个角的平分线吗？ 将∠AOB对折 2。再折出一个直角三角形，（使角平分线为斜 边，OA与OB为直角边）
观察两次折出的三条折痕，你能得出 A D 什么结论？
第二次折出的两条折痕的长度相等。
AAS O 你能说明其中的道理吗？ A A B C P P E B B
（到一个角的两边的距离相等的点， 在这个角的平分线上） 用途：判定一条射线是角平分线
E
B
例1 已知：如图、E是∠BAC平分线上的一点，EB⊥AB，
EC⊥AC，B，C分别是垂足。求证：∠EBC＝∠ECB
证明： ∵ E是∠BAC平分线上的一点，EB⊥AB，EC⊥AC ∴EB=EC
（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ）
M
E
A
1 2
P
N
B
E'
D
C
E ''
耐心地想一想
如图， EG ， FG 分别∠MEF 的∠NFE 的平分线，交 点是 G 。 PB ， PC 分别是∠MBC 和∠NCB 的平分线， 交 点 是 P ， F ， C 在 AN 上 ， B ， E 在 AM 上 ， 如 果 ∠G=68°，求∠P的度数。
从上面的实验中，你能得到什么结论？
已知：如图，OP是∠AOB的平分线，点P在OC上， PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E 求证：PD=PE A D 证明: ∵∠1=∠2 , OP=OP
∠PDO=∠PEO=90°
∴⊿PDO≌⊿PEO (AAS) ∴PD=PE (全等三角形的对应 边相等) O
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