对称性、奇偶性和周期性的综合运用

函数的对称性、奇偶性和周期性的综合运用

一．函数的对称性

（一）函数)(x f y = 的图象自身对称 1、轴对称

对于函数f(x)的定义域内任意一个x ，

)

()(x b f x a f -=+ ⇔

)

(x f y =图象关于直线22)()(b

a x

b x a x +=

-++=

对

称.

推论1：)()(x a f x a f -=+ ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称.

推论2：)2()(x a f x f -= ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称.

推论3：)2()(x a f x f +=-

⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称.

求对称轴方法：22)()(b

a x

b x a x +=

-++=

2、中心对称

对于函数f(x)的定义域内任意一个x ，

c x b f x a f 2)()(=-++ ⇔)(x f y =的图象关于点),2

(

c b

a +对称. 推论：

b x a f x a f 2)()(=-++ ⇔)(x f y =的图象关于点

),(b a 对称.

推论：b x a f x f 2)2()(=-+ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称. 推论：b x a f x f 2)2()(=++- ⇔

)(x f y =的图象关于点

),(b a 对称.

求对称中心方法：.2

2,2)()(c c y x b x a x ==-++=纵坐标横坐标

小结: 轴对称与中心对称的区别

轴对称：f(a+x)= f(b-x)中，自变量系数互为相反数（内反），函数值相等(差为零)；

中心对称：f(a+x)= - f(b-x)+2c 中，自变量系数互为相反数（内反），函数值和为定值.

（二）两个函数的图象相互对称 1、函数

)(x a f y +=与函数)(x b f y -=图象关于直线2a

b x

-=

对称；

特别地，函数y ＝f(a ＋x)与y ＝f(a －x)关于直线x=0(y 轴)轴对称；

函数)(x f y

=与函数)(x f y -=图象关于

y 轴对称；

求对称轴方法：令a+x=b-x,得 2a b x -=

.

2、函数y ＝f(a ＋x)+c 与y ＝－f(b －x)+d 关于点)2

,2(d c a b +-中心对称；

特别地，函数y ＝f(a ＋x)与y ＝－f(a －x)关于点（0,0）（原点）中心对称.

函数)(x f y

=与函数)(x f y --=图象关于原点对称函数.

求对称中心方法：横坐标令a+x=b-x,得

2a

b x -=

，纵坐标y=

.2

d c +

二． 函数的奇偶性

1. 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x ，都有f(－x)＝f(x) （f(x) －f(－x)＝0），那么函数f(x)叫做偶函数．偶函数的图象关于y 轴（x=0）对称．

推论：若y ＝f(x ＋a)为偶函数，则f(x ＋a)＝f(－x ＋a)，即y ＝f(x)的图像关于直线

x ＝a 轴对称.

2. 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x ，都有f(－x)＝－f(x) （f(x) +f(－x)＝0），那么函数f(x)叫做奇函数．奇函数的图象关于原点(0,0)对称.

推论：若y ＝f(x ＋a)为奇函数，则f(－x ＋a)＝－f(a ＋x)，即y ＝f(x) 的图像关于点

（a ，0）中心对称.

三．函数的周期性 1. 定义：对于()

f

x 定义域内的任意一个x ，都存在非零常数T ，使得

()()

f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做

()

f x 的一个周期，

则kT （,0k Z k ∈≠）也是()

f x 的周期，所有周期中的最小正数叫

()

f x 的最小正周期.

2. 推论：

①()()f x T f x ±=( 0T ≠) ⇔)(x f y =的周期为

T.

②

()()f x a f x b +=+ ⇔)(x f y =的周期为a b T

-=

③)()(x f a x f -=+ ⇔)(x f y =的周期为a T

2=

④)

(1)(x f a x f =

+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2= ⑤)

(1)(x f a x f -

=+

⇔)(x f y =的周期为a T 2= ⑥)

(1)(1)(x f x f a x f +-=+

⇔)(x f y =的周期为.2a T

=

⑦1

)(1)(+-

=+x f a x f ⇔)(x f y =的周期为a T 2= ⑧)

(1)

(1)(x f x f a x f -+=+

⇔)(x f y =的周期为a T 4=

⑨)()()2(x f a x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T

6=

⑩若.

),()(,0p a T a px f px f p =+=>则

⑾若函数y ＝f(x)同时关于直线x ＝a 与x ＝b 轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T ＝2|a －b|. 推论：偶函数

)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y = 周期a

T 2=

⑿若函数y ＝f(x)同时关于点（a ，0）与点（b ，0）中心对称，则函数f(x)必为周期函数，且T ＝2|a －b|. 推论：奇函数

)(x f y =满足

0)()(=-++x a f x a f ⇔)(x f y =周期a

T 4=

⒀)(x f y =有一条对称轴a x =和一个对称中心)0,(b ⇔

()

f x 的周期T ＝4|a －b|.

小结：①函数对称性、奇偶性和周期性定义共同点：“对于函数f(x)定义域内任意一个x ”；

②对称性、周期性定义中条件，“内反表示对称性，内同表示周期性”；