2014届高三数学辅导精讲精练42

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2014年高考理科数学总复习试卷第42卷题目及其答案

2014年高考理科数学总复习试卷第42卷题目及其答案试卷分选择题和非选择题两部分，共10页，满分为150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上，用2B 铅笔将自己的学号填涂在答题卡上。

2、选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上。

3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4、考生必须保持答题卡的整洁和平整。

第一部分选择题(共 40 分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、设全集U 是实数集,R {}22,M x x x =><-或,{}2430N x x x =-+> ,则图中阴影部分所表示的集合是（ ※ ）A. {|21}x x -≤<B. {|22}x x -≤≤C. {|12}x x <≤D. {|2}x x <2、若复数(2)z i i =-的虚部是（ ※ ） A. 1B. 2iC. 2D. 2-3、某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们每场比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员的中位数分别是（ ※ ） A ．19、13 B ．13、19 C ．20、18 D ．18、204、已知直线m ，n 和平面α，那么m ∥n的一个必要但非充分条件是（ ※ ） A . m ∥α，n ∥α B. m ⊥α，n ⊥α C. m ∥α且n ⊂α D. m ，n 与α成等角5、设直线过点(0，a )，其斜率为1，且与圆x 2+y 2=2相切，则a 的值为（ ※ ）A.±4B.±22C.±2D.±2（第1题图）甲乙 7 9 8 0 7 8 5 5 7 9 1 1 1 33 4 6 2 2 02311 4 06、在公差不为零的等差数列{}n a 中，23711220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则68b b = （ ※ ）A ．2 B.4 C.8 D.167．已知双曲线2213x y -=，以右焦点为圆心的圆与渐近线相切切，则圆的方程是（ ※ ）A ．22(2)3x y -+=B ．22(2)1x y -+=C ．22(2)3x y -+=D ．22(2)1x y -+=8.若函数2()2ln f x x x =-在其定义域内的一个子区间(1,1)k k -+内不是．．单调函数，则实数k 的取值范围是（ ※ ）A ．[1,)+∞B ．3(1,)2C ．(1,2)D ． 3[1,)2第二部分非选择题(共 110 分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分9．已知向量a =(1，2，3)，b =(3，0，2)，c =(4，2，X )共面，则X = 10．若5)1(-ax 的展开式中3x 的系数是80，则实数a 的值是 11．体积为8的正方体，其全面积是球表面积的两倍，则球的体积是12．旅游公司为3个旅游团提供甲、乙、丙、丁共4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条，则选择甲线路的旅游团数的期望是 13．观察下列等式: 212(1)1x x x x ++=++,22234(1)1232x x x x x x ++=++++,2323456(1)136763x x x x x x x x ++=++++++,242345678(1)1410161916104x x x x x x x x x x ++=++++++++,由以上等式推测:对于n N *∈,若2220122(1)n n n x x a a x a x a x ++=++++,则2a = .选做题（14～15题，考生只能从中选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分） 14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线1C 的参数方程为2sin cos x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），曲线2C的参数方程为⎩⎨⎧+==12t y tx （t 为参数），则两条曲线的交点是15．（几何证明选讲选做题）如图, ⊙O 和⊙'O 都经过A 、B 两点，AC 是⊙'O 的切线，交⊙O 于点C ，AD 是⊙O 的切线，交⊙'O 于点D ，若BC= 2，BD=6，则AB 的长为三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答题须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．（本小题满分12分）已知函数2()32sin 2cos()cos (02)2f x x x x πωωωω=--+<≤的图象过点(,22)16π+（Ⅰ）求)(x f 的解析式；（Ⅱ）写出函数)(x f 的图象是由函数)(4sin 2R x x y ∈=的图象经过怎样的变换得到的。

2014届江苏高考数学最后一讲及实战演练(含答案)

2014届江苏高考数学最后一讲及实战演练(含答案)2014届江苏高考数学最后一讲及实战演练一、主要考点：（一）、填空题1．复数，2．集合（简易逻辑），3．双曲线与抛物线，4．统计，5．概率，6．流程图，7．立体几何，8．导数，9．三角，10．向量，11．数列，12．解析几何，13．不等式，14．杂题（函数）填空题的能力题体现在考试说明中的C级（8个）以及B级（36个）中，近几年，主要体现在：导数，三角计算，解析几何（直线与圆），平面向量（基本定理与数量积），不等式（线性规划、基本不等式或函数），数列综合，函数综合等．（二）、解答题15．三角与向量，16．立体几何，17．应用题，18．解析几何，19．数列，20．函数综合二：时间安排（参考意见）填空题（用时35分钟左右）：1—6题防止犯低级错误，平均用时在2分钟左右。

7—12题防止犯运算错误，平均用时在2.5分钟左右。

13—14防止犯耗时错误，平均用时在4分钟左右。

解答题（用时在85分钟左右）：15—16题防止犯运算和表述错误，平均用时10分钟左右。

17—18题防止犯审题和建模错误，平均用时在15分钟左右。

19—20题防止犯第一问会而不做和以后的耗时错误，平均用时在17分钟左右。

三：题型分析（一）填空题：解题的基本方法一般有：①直接求解法；②数形结合法；③特殊化法(特殊值法、特殊函数法、特殊角法、特殊数列法、图形特殊位置法、特殊点法、特殊方程法、特殊模型法)；④整体代换法；⑤类比、归纳法；⑥图表法等．（二）解答题：是高考数学试卷中的一类重要题型，这些题涵盖了中学数学的主要内容，具有知识容量大、解题方法多、能力要求高、突显数学思想方法的运用以及要求考生具有一定的创新意识和创新能力等特点，解答题综合考查学生的运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力和分析问题、解决问题的能力，分值占90分，主要分六块：三角函数(或与平面向量交汇)、立体几何、应用问题、函数与导数(或与不等式交汇)、数列(或与不等式交汇)、解析几何(或与平面向量交汇)．从历年高考题看综合题这些题型的命制都呈现出显著的特点和解题规律，从阅卷中发现考生“会而得不全分”的现象大有人在，针对以上情况，最后几天时间里，能不断回顾之前做过的典型题目，从知识、方法等层面进行反思做到触类旁通，举一反三；考场上能将平时所掌握的知识、学到的方法体现在你的解题中，将你会做的做对，相信你的高考数学一定能取得满意成绩！！！四：特别提醒：(1)对会做的题目：要解决“会而不对，对而不全”这个老大难的问题，要特别注意表达准确，考虑周密，破性的进展．顺向推有困难就逆推，直接证有困难就间接证．考试过程力争做到：１．难易分明，决不耗时； 2．慎于审题，决不懊悔；３．必求规范，决不失分；４．细心运算，决不犯错；５．提防陷阱，决不上当；６．愿慢求对，决不快错；７．遇新不慌，决不急躁；８．奋力拼杀，决不落伍；2014届高考数学最后一讲-------实战演练（一）、填空题1．设集合A ＝{(x ，y )⎪⎪⎪⎪x 24＋y 216＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝3x }，则A ∩B 的子集的个数是________．2．如果复数2－b i 1＋2i(其中i 为虚数单位，b 为实数)的实部和虚部互为相反数，那么b 等于_____．3．某个容量为N 的样本频率分布直方图如右图所示，已知在区间[4,5)上频数为60，则N＝________.4．若将一颗质地均匀的骰子(各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷两次，向上的点数依次为m ，n ，则方程x 2＋2mx ＋n ＝0无实数根的概率是________．5．有四个关于三角函数的命题：p 1：∃x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x 2＝12；p 2：∃x ，y ∈R ，sin(x －y )＝sin x －sin y ；p 3：∀x ∈[0，π], 1－cos 2x 2＝sin x ；p 4：sin x ＝cos y ⇒x ＋y ＝π2.其中假命题的是________． 6．若cos αcos(α＋β)＋sin αsin(α＋β)＝－35，β是第二象限的角，则tan 2β＝________.7．若一个正方形的四个顶点都在双曲线C 上，且其一边经过C 的焦点，则双曲线C 的离心率是8．不等式228()a b b a b λ+≥+对于任意的,a b R ∈恒成立，则实数λ的取值范围为。

2014高考数学理(真题讲练规律总结名师押题)热点专题突破：第一讲集合与常用逻辑用语

第一讲集合与常用逻辑用语集合元素与集合的关系集合的概念集合的表示方法集合与集合的关系包含关系子集真子集相等集合的运算交集补集并集常用逻辑用语四种命题及其相互关系逻辑联结词充分、必要条件全称量词与存在量词1．(集合的运算)设集合A ＝{x |1<x <4}，集合B ＝{x |x 2－2x －3≤0}，则A ∩(∁R B )＝( ) A ．(1,4) B ．(3,4) C ．(1,3)D ．(1,2)∪(3,4)【解析】由x 2－2x －3≤0，得－1≤x ≤3. ∴B ＝[－1,3]，则∁R B ＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)，因此A ∩(∁R B )＝(3,4)．【答案】 B2．(四种命题)命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是________．【解析】互换条件与结论，并进行否定．逆否命题为：若tan α≠1，则α≠π4.【答案】若tan α≠1，则α≠π43．(充要条件)已知p ：x 2>9，q ：x 2－56x ＋16>0，则p 是q 的__________条件．【解析】 ∵x 2>9⇒x >3或x <－3，x 2－56x ＋16>0⇒x <13或x >12.∴p ⇒q ，而q p ，故p 是q 的充分不必要条件．【答案】充分不必要4．(逻辑联结词)设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称．则命题p ∨(綈q )是________命题(填“真”、“假”)【解析】函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π，p 假．又x ＝π2不是函数y ＝cos x 的图象的对称轴，q 假，从而綈q 为真，故p ∨(綈q )是真命题．【答案】真5．(命题的否定)已知命题p：∃n∈N*,2n＞1 000，则綈p为________．【解析】由于特称命题的否定是全称命题，因而綈p为∀n∈N*,2n≤1 000.【答案】∀n∈N*,2n≤1 000(1)(2013·山东高考)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是()A．1B．3C．5D．9(2)(2013·宝鸡模拟)设集合M＝{y|y＝|cos2x－sin2x|，x∈R}，N＝{x||x－1i|<2，i为虚数单位，x∈R}，则M∩N为() A．(0,1) B．(0,1]C．[0,1) D．[0,1]【思路点拨】 1.弄清集合B中元素的构成，用列举法把集合B中的元素一一列举出来．2．求函数y＝|cos2x－sin2x|的值域得集合M，解不等式|x－1i|＜2，得集合N.【自主解答】(1)当x＝0，y＝0时，x－y＝0；当x＝0；y＝1时，x－y＝－1；当x＝0，y＝2时，x－y＝－2；当x＝1，y＝0时，x－y＝1；当x＝1，y＝1时，x－y＝0；当x＝1，y＝2时，x－y＝－1；当x＝2，y＝0时，x－y＝2；当x＝2，y＝1时，x－y＝1；当x＝2，y＝2时，x－y＝0.根据集合中元素的互异性知，B中元素有0，－1，－2,1,2，共5个．专题一集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数(2)∵y＝|cos2x－sin2x|＝|cos2x |，则M ＝[0,1]．又|x －1i |<2，得x 2＋1<2，∴－1<x <1，则N ＝(－1,1)，因此 M ∩N ＝[0,1)．【答案】 (1)C (2)C1．解答第(1)题一定要注意集合元素的互异性．2．进行集合运算，判定集合间关系，一定要重视数形结合思想方法的应用：(1)若给定集合涉及不等式的解集，要借助数轴；(2)若涉及抽象集合，要充分利用Venn 图；(3)若给定集合是点集，要注意借助函数图象．变式训练1 (1)(2013·济南模拟) 已知集合A ＝{x ||x －1|＜2}，B ＝{x |log 2x ＜2}，则A ∩B ＝( )A ．(－1,3)B ．(0,4)C ．(0,3)D ．(－1,4)(2)(2013·浙江高考)设集合S ＝{x |x ＞－2}，T ＝{x |x 2＋3x －4≤0}，则(∁R S )∪T ＝( ) A ．(－2,1]B ．(－∞，－4]C ．(－∞，1]D ．[1，＋∞)【解析】 (1)由|x －1|＜2得－1＜x ＜3，∴A ＝(－1,3)．由log 2x ＜2得0＜x ＜4，∴B ＝(0,4) ∴A ∩B ＝(0,3)．(2)因为S ＝{x |x ＞－2}，所以∁R S ＝{x |x ≤－2}．而T ＝{x |－4≤x ≤1}，所以(∁R S )∪T ＝{x |x ≤－2}∪{x |－4≤x ≤1}＝{x |x ≤1}．【答案】 (1)C (2)C错误!(1)(2013·武汉模拟)设m ，n 是空间两条直线，α，β是空间两个平面，则下列选项中不正确．．．的是( ) A ．当m ⊂α时，“n ∥α”是“m ∥n ”的必要不充分条件 B ．当m ⊂α时，“m ⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件 C ．当n ⊥α时，“n ⊥β”是“α∥β”成立的充要条件 D ．当m ⊂α时，“n ⊥α”是“m ⊥n ”的充分不必要条件(2)(2013·安徽高考)“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)内单调递增”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【思路点拨】(1)利用线面、面面平行与垂直的判定、性质定理逐一判定p⇒q与q⇒p 是否成立．(2)利用函数的图象确定字母的取值范围，再利用充要条件的定义进行判断．【自主解答】(1)对于选项A，当m⊂α时，n∥αm∥n，且m∥n n∥α.故A 错；对于选项B，当m⊂α时，m⊥β⇒α⊥β，但α⊥βm⊥β.故B正确；对于选项C，当n⊥α时，n⊥β⇒α∥β，且α∥β⇒n⊥β.故C正确；对于选项D，当m⊂α时，n⊥α⇒m⊥n，但m⊥n n⊥α.故D正确．(2)当a＝0时，f(x)＝|(ax－1)x|＝|x|在区间(0，＋∞)上单调递增；当a＜0时，结合函数f(x)＝|(ax－1)x|＝|ax2－x|的图象知函数在(0，＋∞)上单调递增，如图(1)所示：当a＞0时，结合函数f(x)＝|(ax－1)x|＝|ax2－x|的图象知函数在(0，＋∞)上先增后减再增，不符合条件，如图(2)所示．所以，要使函数f(x)＝|(ax－1)x|在(0，＋∞)上单调递增只需a≤0.即“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在(0，＋∞)上单调递增”的充要条件．【答案】(1)A(2)C1．判定充要条件应注意：(1)首先弄清条件p和结论q分别是什么，然后再判断“p⇒q”及“q⇒p”的真假；(2)要善于举反例．2．判定p⇔q常用的方法：(1)定义；(2)等价的逆否命题的判定；(3)运用集合的包含关系．变式训练2 若实数a ，b 满足a ≥0，b ≥0，且ab ＝0，则称a 与b 互补，记φ(a ，b )＝a 2＋b 2－a －b ，那么φ(a ，b )＝0是a 与b 互补的( )A ．必要而不充分的条件B ．充分而不必要的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件【解析】若φ(a ，b )＝0，则a 2＋b 2＝a ＋b ，两边平方整理，得ab ＝0，且a ≥0，b ≥0，∴a ，b 互补．若a ，b 互补，则a ≥0，b ≥0，且ab ＝0，即a ＝0，b ≥0或b ＝0，a ≥0，此时都有φ(a ，b )＝0，∴φ(a ，b )＝0是a 与b 互补的充要条件．【答案】 C(1)(2013·湖北高考)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )A ．(綈p )∨(綈q )B ．p ∨(綈q )C ．(綈p )∧(綈q )D ．p ∨q(2)(2013·济宁模拟)已知命题“∀x ∈R,2x 2＋(a －1)x ＋12＞0”是假命题，则实数a 的取值范围是________．【思路点拨】 (1)根据逻辑联结词“或”“且”“非”的含义判断． (2)命题的否定是真命题，由此可求a 的取值范围．【自主解答】 (1)依题意得綈p ：“甲没有降落在指定范围”，綈q ：“乙没有降落在指定范围”，因此“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(綈p )∨(綈q )．(2)由题意知命题“∃x ∈R,2x 2＋(a －1)x ＋12≤0”是真命题．从而Δ＝(a －1)2－4≥0，∴a ≥3或a ≤－1. 【答案】 (1)A (2)(－∞，－1]∪[3，＋∞)1．命题真假的判断主要有以下几种方法：(1)涉及一个命题p 的真假，可根据命题特征进行判断．(2)关于四种命题真假的判断，可根据互为逆否命题的两个命题同真同假判断． (3)形如p ∧q ，p ∨q ，綈p 命题真假用真值表判断．(4)判断一个全称命题和特称命题的真假，要注意举特例方法的应用．2．利用命题的真假求参数的取值范围的方法： (1)对命题进行合理转化，求出命题为真时参数的范围． (2)根据真值表确定命题的真假，从而确定相应参数的范围．变式训练3 (2013·四川高考)设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A,2x ∈B ，则( )A ．綈p ：∀x ∈A,2x ∉B B ．綈p ：∀x ∉A,2x ∉BC ．綈p ：∃x ∉A,2x ∈BD ．綈p ：∃x ∈A,2x ∉B【解析】命题p 是全称命题： ∀x ∈A,2x ∈B ，则綈p 是特称命题：∃x ∈A,2x ∉B .故选D.【答案】 D全称命题和特称命题是新课标新增内容，其命题的否定和真假判断，体现了数学的两种思维方式，是高考重点考查的内容，2013年，山东、辽宁、安徽等省份对此作了考查，预测2014年高考，根据命题的真假求参数的取值范围，是命题的一个方向，应引起高度重视．用等价转化的方法求参数的取值范围(12分)已知函数f (x )＝m (x －2m )·(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x －2，若同时满足条件：①∀x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0；②∃x ∈(－∞，－4)，f (x )g (x )<0.求m 的取值范围．【规范解答】由g (x )＝2x －2<0，得x <1，在条件①中，∀x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0，当x ≥1时，必有f (x )<0恒成立，则m <0.3分因此⎩⎪⎨⎪⎧2m <0，－(m ＋3)<1.解之得－4<m <0(*).5分在条件②中，∃x ∈(－∞，－4)，f (x )g (x )<0. ∵g (x )＝2x －2<0恒成立，因此，问题转化为∃x ∈(－∞，－4)时，f (x )>0， ∴f (x )＝0的最小实根小于－4.8分(i)当－1<m <0时，有－m －3<2m ，∴－m－3<－4，m>1与m<0矛盾，舍去．(ii)当m<－1时，有2m<－m－3，∴应有2m<－4，∴m<－2.(iii)当m＝－1时，f(x)＝－(x＋2)2≤0恒成立，不满足条件②，所以由(i)、(ii)、(iii)知，满足条件②，应有m<－2(**).11分根据(*)、(**)知－4<m<－2.故实数m的取值范围为(－4，－2). 12分【阅卷心语】易错提示(1)全称命题，特称命题理解不清，难以把条件转化为判定f(x)与0大小关系．(2)数形结合与化归能力差．不能判定m<0，将条件①化为f(x)＝0的较大根小于1，条件②中的较小根小于－4.防范措施(1)全称命题强调的是“任意性”，从而可把问题转化为恒成立问题解决；特称命题强调的是“存在性”，从而可把问题转化为方程f(x)＝0在(－∞，－4)上有一个实根．(2)结合二次函数的图象，形象直观进行不等式与方程之间相互转化；对于f(x)＝0的最小实根小于－4，一定要根据m的取值范围，确定2m与－m－3的大小．1．下列有关命题的说法正确的是()A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为：“若x2＝1，则x≠1”B．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件C．命题“∃x∈R，使得：x2＋x＋1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2＋x＋1＜0”D．命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题【解析】对于选项A，命题的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，故A错；对于选项B，x＝－1⇒x2－5x－6＝0但x2－5x－6＝0x＝－1，故B错；对于选项C，命题的否定是“∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0”，故C错；对于选项D，命题“若x＝y，则sin x＝sin y”是真命题，从而其逆否命题也是真命题，故D正确．【答案】 D2．设集合A＝{5，log2(a＋3)}，B＝{a，b}，若A∩B＝{2}，则A∪B＝________.【解析】由A∩B＝{2}知，log2(a＋3)＝2，∴a＝1，b＝2.从而A＝{2,5}，B＝{1,2}，∴A∪B＝{1,2,5}．【答案】{1,2,5}。

[VIP专享]2014届高三数学辅导精讲精练51

2014届高三数学辅导精讲精练51 1．已知两条不同直线l1和l2及平面α，则直线l1∥l2的一个充分条件是( ) A．l1∥α且l2∥α B．l1⊥α且l2⊥αC．l1∥α且l2⊄αD．l1∥α且l2⊂α答案　B解析　l1⊥α且l2⊥α⇒l1∥l2.2．(2012·四川)下列命题正确的是( )A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行答案　C解析　若两条直线和同一平面所成的角相等，则这两条直线可平行、可异面、可相交，A项不正确；如果到一个平面距离相等的三个点在同一条直线上或在这个平面的两侧，那么经过这三个点的平面与这个平面相交，B项不正确．3．设α，β表示平面，m，n表示直线，则m∥α的一个充分不必要条件是( ) A．α⊥β且m⊥βB．α∩β＝n且m∥nC．m∥n且n∥αD．α∥β且m⊂β答案　D解析　若两个平面平行，其中一个面内的任一直线均平行于另一个平面，故选D.4．若空间四边形ABCD的两条对角线AC、BD的长分别是8、12，过AB的中点E且平行于BD、AC的截面四边形的周长为( ) A．10 B．20C．8 D．4答案　B解析　设截面四边形为EFGH，F、G、H分别是BC、CD、DA的中点，∴EF ＝GH ＝4，FG ＝HE ＝6.∴周长为2×(4＋6)＝20.5．(2013·衡水调研卷)已知直线l ∥平面α，P ∈α，那么过点P 且平行于直线l 的直线( )A ．只有一条，不在平面α内B ．有无数条，不一定在平面α内C ．只有一条，且在平面α内D ．有无数条，一定在平面α内答案　C解析　由直线l 与点P 可确定一个平面β，则平面α，β有公共点，因此它们有一条公共直线，设该公共直线为m ，因为l ∥α，所以l ∥m ，故过点P 且平行于直线l 的直线只有一条，且在平面α内，选C.6．下列命题中，是假命题的是( )A ．三角形的两条边平行于一个平面，则第三边也平行于这个平面B ．平面α∥平面β，a ⊂α，过β内的一点B 有唯一的一条直线b ，使b ∥a C ．α∥β，γ∥δ，α、β分别与γ、δ的交线为a 、b 、c 、d ，则a ∥b ∥c ∥d D ．一条直线与两个平面成等角是这两个平面平行的充要条件答案　D 解析　D 错误．当两个平面平行时，则该直线与两个平面成等角；反之，如果一条直线与两个平面成等角，这两个平面可能是相交平面．如下图，α⊥β，直线AB 与α、β都成45°角，但α∩β＝l.7．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( )2a 3A ．相交B ．平行C ．垂直D ．不能确定答案　B解析　连接CD 1，在CD 1上取点P ，使D 1P ＝，∴MP ∥BC ，PN ∥AD 1.2a 3∴MP ∥面BB 1C 1C ，PN ∥面AA 1D 1D .∴面MNP ∥面BB 1C 1C ，∴MN ∥面BB 1C 1C .8．设α、β、γ为两两不重合的平面，l 、m 、n 为两两不重合的直线．给出下列四个命题：①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β；③若α∥β，l ⊂α，则l ∥β；④若α∩β＝l ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，l ∥γ，则m ∥n .其中真命题的是________．答案　③④解析　①∵垂直于同一个平面的两个平面也可以相交，如墙角，∴该命题不对；②m 、n 相交时才有α∥β，此命题不对；③由面面平行的性质定理可知该命题正确；④∵l ∥γ，β∩γ＝m ，l ⊂β，∴l ∥m .又α∩β＝l ，且m ⊂β，∴m ∥α.又m ⊂γ且γ∩α＝n ，∴m ∥n ，故④对．9．如图所示，四个正方体图形中，A 、B 为正方体的两个顶点，M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥面MNP 的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形序号)．答案　①③10.棱锥P －ABCD 的底面是一直角梯形，AB ∥CD ，BA ⊥AD ，CD ＝2AB ，PA ⊥底面ABCD ，E 为PC 的中点，则BE 与平面PAD 的位置关系为________．答案　平行解析　取PD 的中点F ，连接EF.在△PCD 中，EF 綊CD .12又∵AB ∥CD 且CD ＝2AB ，∴EF ＝CD 且CD ＝2AB .12∴EF 綊AB ，∴四边形ABEF 是平行四边形，∴EB ∥AF .又∵EB ⊄平面PAD ，AF ⊂平面PAD ，∴BE ∥平面PAD .11. 如图所示，ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M 、N 分别是下底面的棱A 1B 1、B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝，过a 3P ，M ，N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ ＝________.答案　a 23解析　如图，连接AC ，易知MN ∥平面ABCD .∴MN ∥PQ .又∵MN ∥AC ，∴PQ ∥AC .又∵AP ＝，∴＝＝＝.a 3PD AD DQ CD PQ AC 23∴PQ ＝AC ＝a ＝a .2323222312．考察下列三个命题，在“________”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题(其中l 、m 为直线，α、β为平面)，则此条件为________．①Error!⇒l ∥α；②Error!⇒l ∥α；③Error!⇒l ∥α.答案　l ⊄α解析　①体现的是线面平行的判定定理，缺的条件是“l 为平面α外的直线”，即“l ⊄α”，它也同样适合②③，故填l ⊄α.13．在四面体ABCD 中，M 、N 分别是面△ACD 、△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________．答案　平面ABC 和平面ABD 解析　连接AM 并延长交CD 于E ，连接BN 并延长交CD 于F .由重心的性质可知，E 、F 重合为一点，且该点为CD 的中点E .由＝＝，得MN ∥AB .因EM MA EN NB 12此，MN ∥平面ABC 且MN ∥平面ABD .14．过三棱柱ABC —A 1B 1C 1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB 1A 1平行的直线共有________条．答案　6解析　过三棱柱ABC —A 1B 1C 1的任意两条棱的中点作直线，记AC ，BC ，A 1C 1，B 1C 1的中点分别为E ，F ，E 1，F 1，则直线EF ，EF 1，EE 1，FF 1，E 1F ，E 1F 1均与平面ABB 1A 1平行，故符合题意的直线共6条．15. 如图所示，已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为3的正方体，点E 在AA 1上，点F 在CC 1上，G 在BB 1上，且AE ＝FC 1＝B 1G ＝1，H 是B 1C 1的中点．(1)求证：E 、B 、F 、D 1四点共面；(2)求证：平面A 1GH ∥平面BED 1F .解析　(1)连接FG .∵AE ＝B 1G ＝1，∴BG ＝A 1E ＝2.∴BG 綊A 1E ，∴A 1G ∥BE .又∵C 1F 綊B 1G ，∴四边形C 1FGB 1是平行四边形，∴FG 綊C 1B 1綊D 1A 1.∴四边形A 1GFD 1是平行四边形．∴A 1G 綊D 1F ，∴D 1F 綊EB .故E 、B 、F 、D 1四点共面．(2)∵H 是B 1C 1的中点，∴B 1H ＝.又B 1G ＝1，32∴＝.B 1G B 1H 23又＝，且∠FCB ＝∠GB 1H ＝90°，FC BC 23∴△B 1HG ∽△CBF .∴∠B 1GH ＝∠CFB ＝∠FBG ，∴HG ∥FB .又由(1)知，A 1G ∥BE ，且HG ∩A 1G ＝G ，FB ∩BE ＝B ，∴平面A 1GH ∥平面BED 1F .16.如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1，底面为正三角形，侧棱A 1A ⊥底面ABC ，点E 、F 分别是棱CC 1、BB 1上的点，点M 是线段AC 上的动点，EC ＝2FB .当点M 在何位置时，BM ∥平面AEF?解析　方法一　如图，取AE 的中点O ，连接OF ，过点O 作OM ⊥AC 于点M.∵侧棱A 1A ⊥底面ABC ，∴侧面A 1ACC 1⊥底面ABC .∴OM ⊥底面ABC .又∵EC ＝2FB ，∴OM ∥FB 綊EC .12∴四边形OMBF 为矩形．∴BM ∥OF .又∵OF ⊂面AEF ，BM ⊄面AEF ，故BM ∥平面AEF ，此时点M 为AC的中点．方法二　如图，取EC 的中点P ，AC 的中点Q ，连接PQ 、PB 、BQ .∴PQ ∥AE .∵EC ＝2FB ，∴PE 綊BF ，PB ∥EF .∴PQ ∥平面AEF ，PB ∥平面AEF .又PQ ∩PB ＝P ，∴平面PBQ ∥平面AEF .又∵BQ ⊂面PQB ，∴BQ ∥平面AEF .故点Q 即为所求的点M ，此时点M 为AC 的中点．17.如图，在底面是平行四边形的四棱锥P —ABCD 中，点E 在PD 上，且PE ∶ED ＝2∶1，在棱PC 上是否存在一点F ，使BF ∥平面AEC ？证明你的结论．解析　当F 是棱PC 的中点时，BF ∥平面AEC .证明：取PE 的中点M ，连接FM ，则FM ∥CE .①由EM ＝PE ＝ED ，知E 是MD 的中点．12连接BM ，BD ，设BD ∩AC ＝O ，则O 为BD 的中点，连接OE ，所以BM ∥OE .②由①，②知，平面BFM ∥平面AEC .又BF ⊂平面BFM ，所以BF ∥平面AEC .18.(2012·山东)如图，几何体E —ABCD 是四棱锥，△ABD 为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.(1)求证：BE＝DE；(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.解析　(1)如图，取BD的中点O，连接CO，EO.由于CB＝CD，所以CO⊥BD.又EC⊥BD，EC∩CO＝C，CO，EC⊂平面EOC，所以BD⊥平面EOC.因此BD⊥EO.又O为BD的中点，所以BE＝DE.(2)方法一　如图，取AB的中点N，连接DM，DN，MN.因为M是AE的中点，所以MN∥BE.又MN⊄平面BEC，BE⊂平面BEC，所以MN∥平面BEC.又因为△ABD为正三角形，所以∠BDN＝30°.又CB＝CD，∠BCD＝120°，因此∠CBD＝30°.所以DN∥BC.又DN⊄平面BEC，BC⊂平面BEC，所以DN∥平面BEC.又MN ∩DN ＝N ，故平面DMN ∥平面BEC .又DM ⊂平面DMN ，所以DM ∥平面BEC .方法二　如图，延长AD ，BC 交于点F ，连接EF.因为CB ＝CD ，∠BCD ＝120°，所以∠CBD ＝30°.因为△ABD 为正三角形，所以∠BAD ＝60°，∠ABC ＝90°.因此∠AFB ＝30°.所以AB ＝AF .12又AB ＝AD ，所以D 为线段AF 的中点．连接DM ，由于点M 是线段AE 的中点，因此DM ∥EF .又DM ⊄平面BEC ，EF ⊂平面BEC ，所以DM ∥平面BEC.1．设x ，y ，z 为空间不同的直线或不同的平面，且直线不在平面内，下列说法中能保证“若x ⊥z ，y ⊥z ，则x ∥y ”为真命题的序号有________．(把所有的真命题全填上)①x 为直线，y ，z 为平面；②x ，y ，z 都为平面；③x ，y 为直线，z 为平面；④x ，y ，z 都为直线，⑤x ，y 为平面，z 为直线．答案　③⑤解析　①直线x 可能在平面y 内；②平面x 与y 可能相交；④直线x 与y 可能相交，也可能异面，故③⑤正确．2．如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，ABCD 是平行四边形，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，求证：MN ∥平面PAD.证明　方法一　取CD 中点E ，连接NE 、ME.∵M 、N 分别是AB 、PC 的中点，∴NE ∥PD ，ME ∥AD .∴NE ∥平面PAD ，ME ∥平面PAD .又NE ∩ME ＝E ，∴平面MNE ∥平面PAD .又MN ⊂平面MNE ，∴MN ∥平面PAD .方法二　取PD 中点F ，连接AF 、NF.∵M 、N 分别为AB 、PC 的中点，∴NF 綊CD ，AM 綊CD .1212∴AM 綊NF .∴四边形AMNF 为平行四边形．∴MN ∥AF .又AF ⊂平面PAD ，MN ⊄平面PAD ，∴MN ∥平面PAD .3.如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点D 在边BC 上，AD ⊥C 1D .(1)求证：AD ⊥平面BCC 1B 1；(2)设E 是B 1C 1上的一点，当的值为多少时，A 1E ∥平面ADC 1？请给出B 1E EC 1证明．解析　(1)在正三棱柱中，CC 1⊥平面ABC ，AD ⊂平面ABC ，∴AD ⊥CC 1.又AD ⊥C 1D ，CC 1交C 1D 于C 1，且CC 1和C 1D 都在平面BCC 1B 1内，∴AD ⊥平面BCC 1B 1.(2)由(1)得AD ⊥BC .在正三角形ABC 中，D 是BC 的中点．当＝1，即E 为B 1C 1的中点时，A 1E ∥平面ADC 1.B 1EEC 1在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，四边形BCC 1B 1是矩形，且D 、E 分别是BC 、B 1C 1的中点，∴B 1B ∥DE ，B 1B ＝DE .又B 1B ∥AA 1，且B 1B ＝AA 1，∴DE ∥AA 1，且DE ＝AA 1.∴四边形ADEA 1为平行四边形，∴A 1E ∥AD .而A 1E ⊄平面ADC 1，故A 1E ∥平面ADC 1.。

2014高考数学总复习：提素能高效题组训练选修4-4-2

一、选择题1．(2013年湖南十二校联考)若直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋3t ，y ＝2－3t (t 为参数)，则直线的倾斜角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：由直线的参数方程知，斜率k ＝y －2x －1＝－3t 3t ＝－33＝tan θ，θ为直线的倾斜角，所以该直线的倾斜角为150°.答案：D2．参数方程为⎩⎨⎧x ＝3t 2＋2，y ＝t 2－1(0≤t ≤5)的曲线为( ) A ．线段 B ．双曲线的一支 C ．圆弧D ．射线解析：化为普通方程为x ＝3(y ＋1)＋2，即x －3y －5＝0，由于x ＝3t 2＋2∈[2,77]，故曲线为线段．故选A. 答案：A3．曲线⎩⎨⎧x ＝23cos θ，y ＝32sin θ(θ为参数)中两焦点间的距离是( )A. 6B. 3 C ．2 6D ．2 3解析：曲线化为普通方程为x 212＋y 218＝1，∴c ＝6，故焦距为2 6. 答案：C4．若直线2x －y －3＋c ＝0与曲线⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝5sin θ(θ为参数)相切，则实数c等于( )A ．2或－8B ．6或－4C ．－2或8D ．4或－6解析：将曲线⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝5sin θ(θ为参数)化为普通方程为x 2＋y 2＝5，由直线2x －y －3＋c ＝0与圆x 2＋y 2＝5相切，可知|－3＋c |5＝5，解得c ＝－2或8. 答案：C5．(2013年淮南模拟)已知曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)和直线l ：⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t ＋b (t 为参数，b 为实数)，若曲线C 上恰有3个点到直线l 的距离等于1，则b ＝( )A. 2 B ．－ 2 C ．0D ．±2解析：将曲线C 和直线l 的参数方程分别化为普通方程为x 2＋y 2＝4和y ＝x ＋b ，依题意，若要使圆上有3个点到直线l 的距离为1，只要满足圆心到直线的距离为1即可，得到|b |2＝1，解得b ＝±2. 答案：D二、填空题6．(2013年西安八校联考)已知曲线C ：⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(参数θ∈R )经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，12，则m ＝________. 解析：将曲线C ：⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(参数θ∈R )化为普通方程为x 2＋y 24＝1，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，12代入该椭圆方程，得m 2＋144＝1，即m 2＝1516，所以m ＝±154.答案：±1547．(2013年江西八校联考)已知定点A (1,0)，F 是曲线⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝1＋cos 2θ(参数θ∈R )的焦点，则|AF |＝________.解析：曲线⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝1＋cos 2θ(参数θ∈R )的普通方程为x 2＝2y ，所以焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，又A (1,0)，所以|AF | ＝(0－1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－02＝52.答案：528．(2012年高考广东卷)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧ x ＝t ，y ＝t (t 为参数)和⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________．解析：化参数方程为普通方程然后解方程组求解． C 1的普通方程为y 2＝x (x ≥0，y ≥0)， C 2的普通方程为x 2＋y 2＝2.由⎩⎨⎧ y 2＝x ，x ≥0，y ≥0，x 2＋y 2＝2得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1.∴C 1与C 2的交点坐标为(1,1)．答案：(1,1)9．(2012年高考湖南卷)在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t(t 为参数)与曲线C 2：⎩⎨⎧x ＝a sin θ，y ＝3cos θ(θ为参数，a >0)有一个公共点在x 轴上，则a ＝________.解析：将曲线C 1与C 2的方程化为普通方程求解． ∵⎩⎨⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t ，消去参数t 得2x ＋y －3＝0.又⎩⎨⎧x ＝a sin θ，y ＝3cos θ，消去参数θ得x 2a 2＋y 29＝1. 方程2x ＋y －3＝0中，令y ＝0得x ＝32，将⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0代入x 2a 2＋y 29＝1，得94a 2＝1.又a >0，∴a ＝32.答案：32 三、解答题10．已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝sin α，y ＝cos 2α，α∈[0,2π)，曲线D 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－ 2.(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程； (2)曲线C 与曲线D 有无公共点？试说明理由．解析：(1)由⎩⎨⎧x ＝sin α，y ＝cos 2α，α∈[0,2π)得 x 2＋y ＝1，x ∈[－1,1]．(2)由ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－2得曲线D 的普通方程为x ＋y ＋2＝0.⎩⎨⎧x ＋y ＋2＝0，x 2＋y ＝1得x 2－x －3＝0. 解得x ＝1±132∉[－1,1]，故曲线C 与曲线D 无公共点．11．(2013年银川模拟)在极坐标系中，圆C 的方程为ρ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝1＋2t(t 为参数)，判断直线l 和圆C 的位置关系．解析：消去参数t ，得直线l 的直角坐标方程为y ＝2x ＋1； ρ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4即ρ＝2(sin θ＋cos θ)，两边同乘以ρ得ρ2＝2(ρsin θ＋ρcos θ)，得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2，圆心C 到直线l 的距离 d ＝|2－1＋1|22＋12＝255＜2，所以直线l 和⊙C 相交．12．(能力提升)(2012年高考辽宁卷)在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4.(1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程．解析：(1)圆C 1的极坐标方程为ρ＝2，圆C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ. 解⎩⎨⎧ρ＝2，ρ＝4cos θ得ρ＝2，θ＝±π3，故圆C 1与圆C 2交点的坐标为(2，π3)，(2，－π3)．注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)解法一由⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得圆C 1与C 2交点的直角坐标分别为(1，3)，(1，－3)．故圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1，y ＝t ，－3≤t ≤ 3.(或参数方程写成⎩⎨⎧x ＝1，y ＝y ，－3≤y ≤3)解法二将x ＝1代入⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得ρcos θ＝1，从而ρ＝1cos θ .于是圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为 ⎩⎨⎧x ＝1，y ＝tan θ，－π3≤θ≤π3.。

江苏省2014届高考数学考前辅导之解答题(含答案)

C 江苏省2014届高考数学考前辅导之解答题1.已知向量2(3sin ,1),(cos ,cos )444x x xm n ==.（1）若1m n ⋅=,求2cos()3x π-的值；（2）记()f x m n =⋅，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ,b ,c ，且满足C b B c a cos cos )2(=-，求函数f (A )的取值范围.1.解：（1）23sin cos cos 444x x x m n ⋅=⋅+ 1sin(262x π=++∵1m n ⋅= ∴1sin(262x π+= ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分211cos()12sin ()23262x x ππ+=-+= 21cos()cos()332x x ππ-=-+=- ┉┉┉┉┉7分（2）∵（2a -c ）cos B =b cos C由正弦定理得(2sinA -sin C)cos B=sinBcosC ┉┉┉┉┉┉8分 ∴2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC ∴2sinAcosB=sin(B+C)∵A B C π++= ∴sin()sin 0B C A +=≠，∴1cos ,23B B π== ∴203A π<< ┉┉┉┉┉┉11分∴1,sin()(,1)6262262A A ππππ<+<+∈ ┉┉┉┉┉┉12分又∵1()sin(262x f x π=++,∴1()sin(262A f A π=++ ┉┉┉┉┉┉13分故函数f (A )的取值范围是3(1,)2. ┉┉┉2．设锐角△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知边a ＝23，△ABC 的面积S ＝34(b 2＋c 2－a 2)．求：（1）内角A ；（2）周长l 的取值范围．3.如图，AB 为圆O 的直径，点E 、F 在圆O 上，且//AB EF ，矩形ABCD 所在的平面和圆O 所在的平面互相垂直，且2AB =，1AD EF ==.（1）求证：AF ⊥平面CBF ；（2）设FC 的中点为M ，求证：//OM 平面DAF ；（3）设平面CBF 将几何体EFABCD 分成的两个锥体的体积分别为F ABCD V -，F CBE V -，求:F ABCD F CBE V V --． 3.解：（1）证明：平面⊥ABCD 平面ABEF ,AB CB ⊥,平面 ABCD 平面ABEF =AB ，⊥∴CB 平面ABEF ，⊂AF 平面ABEF ，CB AF ⊥∴ ,又AB 为圆O 的直径，BF AF ⊥∴， ⊥∴AF 平面CBF . ………5分（2）设DF 的中点为N ，则MN //CD 21，又AO //CD 21，则MN //AO ，MNAO 为平行四边形，//OM ∴AN ，又⊂AN 平面DAF ，⊄OM 平面DAF ，//OM ∴平面DAF . ………9分(3)过点F 作AB FG ⊥于G ，平面⊥ABCD 平面ABEF ，⊥∴FG 平面ABCD ，FG FG S V ABCD ABCD F 3231=⋅=∴-， ………11分⊥CB 平面ABEF ，CB S V V BFE BFE C CBE F ⋅==∴∆--31FG CB FG EF 612131=⋅⋅⋅=， ………14分ABCD F V -∴1:4:=-CBE F V ．4．多面体PABCD 的直观图及三视图如图所示，E 、F 、G 分别为PA 、AD 和BC 的中点，M 为PG 上的点，且:3:4PM MG =．（1）求多面体PABCD 的体积；（2）求证：PC BDE 平面；（3）求证：FM ⊥平面PBC ．4.解：（14分（2）连接AC 与BD 交于点O ，连接EO则在PAC ∆中，由E 、O 分别为PA 和AC 的中点，得EO PC ………………6分因为EO BDE ⊂平面所以PC BDE 平面 ……………………………………………… 8分（3）连接PF 与FG ，则BC ⊥平面PFG所以BC FM ⊥ ……………………………………………… 10分在PFG ∆中，2,PF FG PG ==:3:4PM MG =可求得MG =，FM =，故222FM MG FG += 所以FM PG ⊥ ……………………………………………… 12分又PG BC G ⋂=所以FM ⊥平面PBC ……………………………………………… 14分5．（本小题满分15分）P A B CD E F GM 左视图主视图俯视图在平面直角坐标系xOy 中，已知以O 为圆心的圆与直线l ：(34)y mx m =+-，()m R ∈恒有公共点，且要求使圆O 的面积最小. （1）写出圆O 的方程；（2）圆O 与x 轴相交于A 、B 两点，圆内动点P 使||PA 、||PO 、||PB 成等比数列，求PA PB ⋅的范围；（3）已知定点Q （4-，3），直线l 与圆O 交于M 、N 两点，试判断tan QM QN MQN ⋅⨯∠ 是否有最大值，若存在求出最大值，并求出此时直线l 的方程，若不存在，给出理由.5.解：（1）因为直线l ：(34)y mx m =+-过定点T （4，3）由题意，要使圆O 的面积最小, 定点T （4，3）在圆上，所以圆O 的方程为2225x y +=. ………4分（2）A （-5，0），B （5，0），设00(,)P x y ，则220025x y +< (1)00(5,)PA x y =---，00(5,)PB x y =--，由||,||,||PA PO PB 成等比数列得，2||||||PO PA PB =⋅，4[,0)2PA PB ∴⋅∈-………………………9分（3）tan ||||cos tan QM QN MQN QM QN MQN MQN ⋅⨯∠=⋅∠⨯∠||||sin 2MQNQM QN MQN S=⋅∠= . ………11分由题意，得直线l 与圆O 的一个交点为M （4，3），又知定点Q （4-，3），直线MQ l ：3y =，||8MQ =，则当(0,5)N -时MQN S 有最大值32. ………14分即tan QM QN MQN ⋅⨯∠有最大值为32，此时直线l 的方程为250x y --=. ………15分6.如图，在四棱锥A －BCDE 中，底面BCDE 是直角梯形，∠BED ＝90︒，BE ∥CD ，AB ＝6，BC ＝5，CD BE ＝13，侧面ABE ⊥底面BCDE ．且∠BAE ＝90︒．（1）求证：平面ADE ⊥平面ABE ；（2）过点D 作平面α∥平面ABC ，分别与BE ，AE交于点F ，G ，求△DFG 的面积．7．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，直线l 为圆O ：x 2＋y 2＝b 2的一条切线，且经过椭圆的右焦点，记椭圆离心率为e ．（1）若直线l 的倾斜角为π6，求e 的值；（2）是否存在这样的e ，使得原点O 关于直线l 的对称点恰好在椭圆C 上？若存在，请求出e 的值；若不存在，请说明理由．8．如图，已知椭圆x 2a 2＋y 24＝1(a ＞0)上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 轴上两点M (1，0)，N (－1，0)．（1）若tan ∠ANM ＝－2，tan ∠AMN ＝12，求该椭圆的方程；（2）若MA →＝－2MB →，且0＜x 1＜x 2，ABC D E求椭圆的离心率e的取值范围．9．已知线段CD =CD 的中点为O ，动点A 满足2AC AD a +=（a 为正常数）．（1）求动点A 所在的曲线方程；（2）若存在点A ，使AC AD ⊥，试求a 的取值范围；（3）若2a =，动点B 满足4BC BD +=，且AO OB ⊥，试求AOB ∆面积的最大值和最小值．9．解：（1）以O 为圆心，CD 所在直线为轴建立平面直角坐标系若2AC AD a +=<0a <A 所在的曲线不存在；若2AC AD a +==a =，动点A所在的曲线方程为0(y x =≤；若2AC AD a +=>a >，动点A 所在的曲线方程为222213x y a a +=-. ……………………………………………… 4分（2）由（1）知a A ，使AC AD ⊥，则以O为圆心，OC =26a ≤所以aa . ……………………………………………8分（3）当2a =时，其曲线方程为椭圆2214x y +=由条件知,A B 两点均在椭圆2214x y +=上，且AO OB ⊥ 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，OA 的斜率为k (0)k ≠，则OA 的方程为y kx =， OB 的方程为1y x k=-解方程组2214y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得212414x k =+，212414k y k =+ 同理可求得222244k x k =+，22244y k =+ …………………………………………… 10分 A O B ∆面积2S= ………………12分令21(1)k t t +=>则S =令22991125()49()(1)24g t t t t t =-++=--+> 所以254()4g t <≤，即415S ≤< ……………………………………………… 14分当0k =时，可求得1S =,故415S ≤≤，故S 的最小值为45，最大值为1. ……………………………………………… 10.（本小题满分15分）某工厂有216名工人接受了生产1000台GH 型高科技产品的总任务，已知每台GH 型产品由4个G 型装置和3个H 型装置配套组成.每个工人每小时能加工6个G 型装置或3个H 型装置.现将工人分成两组同时开．．．始．加工，每组分别加工一种装置.设加工G 型装置的工人有x 人，他们加工完G 型装置所需时间为g （x ），其余工人加工完H 型装置所需时间为h （x ）（单位：小时，可不为整数）. （1）写出g （x ），h （x ）的解析式；（2）比较g （x ）与h （x ）的大小，并写出这216名工人完成总任务的时间f （x ）的解析式；（3）应怎样分组，才能使完成总任务用的时间最少？ 10. 解：（1）由题知，需加工G 型装置4000个，加工H 型装置3000个，所用工人分别为x 人，（216－x ）人.∴g （x ）=x64000，h （x ）=3)216(3000⋅-x ，即g （x ）=x 32000，h （x ）=x-2161000（0＜x ＜216，x ∈N *）. ……………………4分（2）g （x ）－h （x ）=x 32000－x-2161000=)216(3)5432(1000x x x --⋅. ∵0＜x ＜216，∴216－x ＞0.当0＜x ≤86时，432－5x ＞0，g （x ）－h （x ）＞0，g （x ）＞h （x ）；当87≤x ＜216时，432－5x ＜0，g （x ）－h （x ）＜0，g （x ）＜h （x ）.∴f （x ）=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈<≤-∈≤<.,21687,2161000,,860,32000**N N x x xx x x……………………8分（3）完成总任务所用时间最少即求f （x ）的最小值. 当0＜x ≤86时，f （x ）递减，∴f （x ）≥f （86）=8632000⨯=1291000. ∴f （x ）min =f （86），此时216－x =130.当87≤x ＜216时，f （x ）递增，∴f （x ）≥f （87）=872161000-=1291000.∴f （x ）min =f （87），此时216－x =129. ∴f （x ）min =f （86）=f （87）=1291000.∴加工G 型装置，H 型装置的人数分别为86、130或87、129……………………15分11.抛掷一枚骰子,当它每次落地时,向上的点数称为该次抛掷的点数,可随机出现1到6点中的任一个结果,连续抛掷三次,将第一次,第二次,第三次抛掷的点数分别记为c b a ,,,求长度为c b a ,,的三条线段能构成等腰三角形的概率.11.【解】连续抛掷三次, 点数分别为c b a ,,的基本事件总数为216666=⨯⨯ 长度为c b a ,,的三条线段能构成等腰三角形有下列两种情形①当c b a ==时, 能构成等边三角形,有;1,1,1;2,2,2; 6,6,6共6种可能. ②当c b a ,,恰有两个相等时,设三边长为z y x ,,,其中}6,5,4,3,2{∈x ,且y x ≠;若2=x ,则y 只能是1或3,共有2种可能; 若3=x ,则y 只以是5,4,2,1,共有4种可能; 若6,5,4=x ,则y 只以是集合}6,5,4,3,2,1{中除x 外的任一个数,共有53⨯种可能; ∴当c b a ,,恰有两个相等时,符合要求的c b a ,,共有63)5342(3=⨯++⨯ 故所求概率为722366363=+=P 12.已知关于x 的一元二次函数14)(2+-=bx ax x f .（1）设集合P={1，2， 3}和Q={－1，1，2，3，4}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b ，求函数)(x f y =在区间[),1+∞上是增函数的概率；（2）设点（a ，b ）是区域⎪⎩⎪⎨⎧>>≤-+0008y x y x 内的随机点，求()[1,)y f x =+∞在区间上是增函数的概率.12.解：（1）∵函数14)(2+-=bx ax x f 的图象的对称轴为,2abx =要使14)(2+-=bx ax x f 在区间),1[+∞上为增函数，当且仅当a >0且a b ab≤≤2,12即 ……………………………3分若a =1则b =－1，若a =2则b =－1，1；若a =3则b =－1，1； ……………………5分∴事件包含基本事件的个数是1+2+2=5∴所求事件的概率为51153=. ……………………………7分（2）由（Ⅰ）知当且仅当a b ≤2且a >0时，函数),1[14)(2+∞+-=在区是间bx ax x f 上为增函数，依条件可知试验的全部结果所构成的区域为80(,)00a b a b a b ⎧⎫+-≤⎧⎪⎪⎪>⎨⎨⎬⎪⎪⎪>⎩⎩⎭构成所求事件的区域为三角形部分. 由),38,316(208得交点坐标为⎪⎩⎪⎨⎧==-+ab b a …………11分 ∴所求事件的概率为31882138821=⨯⨯⨯⨯=P .13.如图，已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左顶点，右焦点分别为,A F ，右准线为m 。

2014高考数学(理)名师指导提能专训2 平面向量、复数、程序框图及合情推理

提能专训(二)平面向量、复数、程序框图及合情推理A组一、选择题1．（2013·宁夏育才中学高三模拟)若复数z＝m（m－1）＋（m－1)(m－2）i是纯虚数,其中m是实数，i2＝－1，则1z等于( ）A。

错误!B．－错误!C。

错误!D．－错误!D 解题思路：因为复数z＝m（m－1）＋（m－1)(m－2）i是纯虚数,所以m（m－1)＝0且(m－1)（m－2)≠0，所以m＝0，则错误!＝12i＝－错误!。

2．(2013·合肥二次质检）设复数z＝7＋i3＋4i－i·sin θ,其中i为虚数单位，θ∈R,则｜z｜的取值范围是（)A．［1, 3 ] B．[错误!，3］C．［错误!，错误!] D．[1，错误!］D 命题立意：本题考查复数的运算及三角函数最值的求解，难度中等．解题思路:据已知得，原式＝1－i－i·sin θ＝1－(1＋sin θ）i,故|z｜＝错误!∈[1，错误!］，当sin θ＝－1,1时分别取得最小值与最大值．3．(2013·呼和浩特第一次统考）已知a＝（1,2），b＝（－2，m），若a∥b，则｜2a＋3b|等于( )A。

错误!B．4错误!C．3错误!D．2错误!B 命题立意:本题考查向量的坐标运算，难度中等．解题思路：由a∥b⇒m＋4＝0，解得m＝－4，故2a＋3b＝2（1,2）＋3（－2,－4)＝(－4，－8），因此｜2a＋3b|＝错误!＝4错误!.4．（2013·东北师大附中模拟考试)已知向量a,b是夹角为60°的两个单位向量，向量a＋λb(λ∈R）与向量a－2b垂直，则实数λ的值为（）A．1 B．－1C．2 D．0D 命题立意：本题主要考查平面向量数量积的运算与平面向量垂直的坐标运算．解题思路：由题意可知a·b＝｜a｜|b|cos 60°＝12，而(a＋λb）⊥(a－2b)，故(a＋λb)·（a－2b）＝0,即a2＋λa·b－2a·b－2λb2＝0,从而可得1＋λ2－1－2λ＝0,即λ＝0。

2014高考数学(文)一轮复习配套精讲学案：选修系列：不等式选讲

不等式选讲
考纲解读考向预测课前热身
考点突破
即时巩固课后拔高
考点六考点五考点四考点三考点二考点一
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2014届高三数学辅导精讲精练82

2014届高三数学辅导精讲精练821．已知随机变量ξ服从二项分布ξ～B (6，13)，即P (ξ＝2)等于 ( )A.316 B.1243 C.13243 D.80243答案 D解析已知ξ～B (6，13)，P (ξ＝k )＝C k n p k q n －k. 当ξ＝2，n ＝6，p ＝13时，有P (ξ＝2)＝C 26(13)2(1－13)6－2＝C 26(13)2(23)4＝80243.2．若X ～B (5,0.1)，则P (X ≤2)等于( )A ．0.665B ．0.008 56C ．0.918 54D ．0.991 44答案 D3．某厂大量生产某种小零件，经抽样检验知道其次品率是1%，现把这种零件每6件装成一盒，那么每盒中恰好含一件次品的概率是( )A ．(99100)6B ．0.01C.C 16100(1－1100)5D ．C 26(1100)2(1－1100)4答案 C解析 P ＝C 16·1%·(1－1100)5. 4．位于直角坐标原点的一个质点P 按下列规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向向左或向右，并且向左移动的概率为13，向右移动的概率为23，则质点P 移动五次后位于点(1,0)的概率是( )A.4243B.8243C.40243D.80243答案 D解析依题意得，质点P 移动五次后位于点(1,0)，则这五次移动中必有某两次向左移动，另三次向右移动，因此所求的概率等于C 25·(13)2·(23)3＝80243，选D. 5．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了ξ次球，则P (ξ＝12)等于( )A ．C 1012(38)10·(58)2B ．C 911(38)9(58)2·38C ．C 911(58)9·(38)2D ．C 911(38)9·(58)2答案 B解析 P (ξ＝12)表示第12次为红球，前11次中有9次为红球，从而P (ξ＝12)＝C 911·(38)9(58)2×38.6．设10件产品中有4件不合格，从中任意取2件，试求在所取得的产品中发现有一件是不合格品，另一件也是不合格品的概率是( )A ．0.2B ．0.3C ．0.4D ．0.5答案 A解析记事件A 为“有一件是不合格品”，事件B 为“另一件也是不合格品”，n (A )＝C 14C 16＋C 24＝30，n (AB )＝C 24＝6，∴P (B |A )＝n (AB )n (A )＝0.2. 7．在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率p 的取值范围是 ( )A ．[0.4,1)B ．(0,0.6]C ．(0,0.4]D ．[0.6,1)答案 A解析 C 14p (1－p )3≤C 24p 2(1－p )2,4(1－p )≤6p ，p ≥0.4，又0<p <1，∴0.4≤p <1. 8．箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率为( )A.C 35C 14C 45B.⎝ ⎛⎭⎪⎫593×49 C.35×14 D ．C 14×⎝ ⎛⎭⎪⎫593×49答案 B解析由题意知，第四次取球后停止是当且仅当前三次取的球是黑球，第四次取的球是白球的情况，此事件发生的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫593×49.9．口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列{a n }：a n ＝⎩⎨⎧ －1，1，第n 次摸取红球，第n 次摸取白球.如果S n 为数列{a n }的前n 项和，那么S 7＝3的概率为( )A ．C 57⎝ ⎛⎭⎪⎫132·⎝ ⎛⎭⎪⎫235B ．C 27⎝ ⎛⎭⎪⎫232·⎝ ⎛⎭⎪⎫135C ．C 47⎝ ⎛⎭⎪⎫232·⎝ ⎛⎭⎪⎫135D ．C 37⎝ ⎛⎭⎪⎫132·⎝ ⎛⎭⎪⎫135答案 B解析 S 7＝3说明摸取2个红球，5个白球，故S 7＝3的概率为C 27⎝ ⎛⎭⎪⎫232·⎝ ⎛⎭⎪⎫135. 10．某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层停靠．若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为13，用ξ表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，则P (ξ＝4)＝________.答案 10243解析考察一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验，故ξ～B (5，13)，即有P (ξ＝k )＝C k 5(13)k×(23)5－k ，k ＝0,1,2,3,4,5.∴P (ξ＝4)＝C 45(13)4×(23)1＝10243.11．(2013·西安五校一模)某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________．答案 0.128解析依题意得，事件“该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮”即意味着“该选手在回答前面4个问题的过程中，要么第一个问题答对且第二个问题答错，第三、四个问题都答对了；要么第一、二个问题都答错；第三、四个问题都答对了”，因此所求事件的概率等于[0.8×(1－0.8)＋(1－0.8)2]×0.82＝0.128.12．在一次考试中出了六道是非题，正确的记“ ”，不正确的记“ ”，若某考生完全记上六个符号且答对每道题的概率均为12，试求：(1)全部正确的概率；(2)正确解答不少于4道的概率； (3)至少正确解答一半的概率．解析 (1)P 1＝P 6(6)＝C 66·(12)6＝164. (2)P 2＝P 6(4)＋P 6(5)＋P 6(6)＝C 46·(12)4(1－12)2＋C 56·(12)5(1－12)1＋C 66(12)6(1－12)0＝1132. (3)P 3＝P 6(3)＋P 6(4)＋P 6(5)＋P 6(6)＝C 36·(12)3·(12)3＋C 46·(12)4·(12)2＋C 56·(12)5·(12)＋C 66(12)6＝2132. 13．(2013·西城期末)一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为1,2,3,4,5,6.(1)若从袋中每次随机抽取1个球，有放回的抽取2次，求取出的两个球编号之和为6的概率；(2)若从袋中每次随机抽取2个球，有放回的抽取3次，求恰有2次抽到6号球的概率；(3)若一次从袋中随机抽取3个球，记球的最大编号为X ，求随机变量X 的分布列．解析 (1)设先后两次从袋中取出球的编号为m ，n ，则两次取球的编号的可能结果(m ，n )，共有6×6＝36种，其中编号之和为6的结果有(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，共有5种，则所求概率为536.(2)每次从袋中随机抽取2个球，抽到编号为6的球的概率p ＝C 15C 26＝13.所以，3次抽取中，恰有2次抽到6号球的概率为 C 23p 2(1－p )＝3×(13)2×23＝29.(3)随机变量X 所有可能取值为3,4,5,6.P (X ＝3)＝C 33C 36＝120，P (X ＝4)＝C 23C 36＝320，P (X ＝5)＝C 24C 36＝620＝310，P (X ＝6)＝C 25C 36＝1020＝12.所以，随机变量X 的分布列为14.A 、B 、C 三种人工降雨方式分别对甲、乙、丙三地实施人工降雨，其试验数据统计如下：拟试验的统计数据．(1)求甲、乙、丙三地都恰为中雨的概率；(2)考虑到各地的旱情和水土流失情况不同，如果甲地恰需中雨即达到理想状态，乙地必须是大雨才达到理想状态，丙地只需小雨或中雨即达到理想状态，记“甲、乙、丙三地中达到理想状态的个数”为随机变量 ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E (ξ)．解析 (1)由人工降雨模拟的统计数据，用A 、B 、C 三种人工降雨方式对甲、乙、丙三地实施人工降雨得到大雨、中雨、小雨的概率如下表所示.P (E )＝P (A 2)P (B 2)P (C 2)＝12×12×16＝124.(2)设甲、乙、丙三地都达到理想状态的概率分别为P 1，P 2，P 3，则P 1＝P (A 2)＝12，P 2＝P (B 1)＝14，P 3＝P (C 2)＋P (C 3)＝56.ξ的可能取值为0,1,2,3.P (ξ＝0)＝(1－P 1)(1－P 2)(1－P 3)＝12×34×16＝116；P (ξ＝1)＝P 1(1－P 2)(1－P 3)＋(1－P 1)P 2(1－P 3)＋(1－P 1)(1－P 2)P 3＝12×34×16＋12×14×16＋12×34×56＝1948；P (ξ＝2)＝(1－P 1)P 2P 3＋P 1(1－P 2)P 3＋P 1P 2(1－P 3)＝12×14×56＋12×34×56＋12×14×16＝716；P (ξ＝3)＝P 1P 2P 3＝12×14×56＝548. 所以随机变量ξ的分布列为所以，数学期望E (ξ)＝116×0＋1948×1＋716×2＋548×3＝1912.15．(2013·四川绵阳诊断)某电视台有A 、B 两种智力闯关游戏，甲、乙、丙、丁四人参加，其中甲、乙两人各自独立进行游戏A ，丙、丁两人各自独立进行游戏B .已知甲、乙两人各自闯关成功的概率均为12，丙、丁两人各自闯关成功的概率为23.(1)求游戏A 被闯关成功的人数多于游戏B 被闯关成功的人数的概率； (2)记游戏A 、B 被闯关成功的总人数为ξ，求ξ的分布列和期望．解析 (1)设“i 个人游戏A 闯关成功”为事件A i (i ＝0,1,2)，“j 个人游戏B 闯关成功”为事件B j (j ＝0,1,2)，则“游戏A 被闯关成功的人数多于游戏B 被闯关的人数”为A 1B 0＋A 2B 1＋A 2B 0.∴P (A 1B 0＋A 2B 1＋A 2B 0)＝P (A 1B 0)＋P (A 2B 1)＋P (A 2B 0)＝P (A 1)·P (B 0)＋P (A 2)·P (B 1)＋P (A 2)·P (B 0)＝C 12·12·12·C 02⎝ ⎛⎭⎪⎫230·⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋C 22·⎝ ⎛⎭⎪⎫122·⎝ ⎛⎭⎪⎫120·C 12·23·13＋C 22·⎝ ⎛⎭⎪⎫122·C 02·⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝736.即游戏A 被闯关成功的人数多于游戏B 被闯关的人数的概率为736. (2)由题设可知：ξ＝0,1,2,3,4. P (ξ＝0)＝C 02⎝ ⎛⎭⎪⎫122·C 02·⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝136， P (ξ＝1)＝C 12·12·12·C 02⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋C 12·23·13·C 02⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝636＝16， P (ξ＝2)＝C 22·⎝ ⎛⎭⎪⎫122·C 02·⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋C 22·⎝ ⎛⎭⎪⎫232·C 22·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋C 12·12·12·C 12·23·13＝1336， P (ξ＝3)＝C 22·⎝ ⎛⎭⎪⎫122·C 12·23·13＋C 22·⎝ ⎛⎭⎪⎫232·C 12·12·12＝1236＝13， P (ξ＝4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122·⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝436＝19.∴ξ的分布列为∴E(ξ)＝0×136＋1×16＋2×1336＋3×13＋4×19＝73.1．设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程x2＋bx＋c＝0实根的个数(重根按一个计)．(1)求方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率；(2)求ξ的分布列和数学期望；(3)求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率．解析(1)设基本事件空间为Ω，记“方程x2＋bx＋c＝0有实根”为事件A，则A＝{(b，c)|b2－4c≥0，b、c＝1， (6)Ω中的基本事件总数为6×6＝36个．A中的基本事件总数为6＋6＋4＋2＋1＝19个，故所求概率为P(A)＝19 36.(2)由题意，ξ可能取值为0,1,2，则P(ξ＝0)＝1736，P(ξ＝1)＝236＝118，P(ξ＝2)＝1736.∴ξ的分布列为∴ξ的数学期望E(ξ)＝0×1736＋1×118＋2×1736＝1.(3)记“先后两次出现的点数中有5”为事件B，则P(B)＝1－2536＝1136.P(A∩B)＝6＋136＝736，∴P (A |B )＝P (A ∩B )P (B )＝7361136＝711.2．一个口袋中装有n 个红球(n ≥5且n ∈N *)和5个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球颜色不同则为中奖．(1)试用n 表示一次摸奖中奖的概率p ；(2)若n ＝5，求三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率；(3)记三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率为f (p )．当n 取多少时，f (p )最大？解析 (1)一次摸奖为从n ＋5个球中任选两个，有C 2n ＋5种，它们等可能发生，其中两球不同色有C 1n C 15种，一次摸奖中奖的概率p ＝C 1n C 15C 2n ＋5＝10n (n ＋5)(n ＋4)(n ≥5且n ∈N *)．(2)若n ＝5，一次摸奖中奖的概率p ＝10×5(5＋5)(5＋4)＝59，三次摸奖是独立重复试验，三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率是P 3(1)＝C 13·p ·(1－p )2＝80243. (3)设每次摸奖中奖的概率为p ，则三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率为f (p )＝C 13·p ·(1－p )2＝3p 3－6p 2＋3p,0<p <1. 由f ′(p )＝9p 2－12p ＋3＝3(p －1)(3p －1)知，在(0，13]上f (p )为增函数，在[13，1)上f (p )为减函数，则当p ＝13时，f (p )取得最大值．即p ＝10n (n ＋5)(n ＋4)＝13，解得n ＝20或n ＝1.又∵n ≥5且n ∈N *，∴当n ＝20时，三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率最大．。

2014版高考数学一轮复习(苏教版,理)配套导学案：第8章学案42

学案42空间几何体的表面积和体积导学目标：1。

了解球、柱、锥、台的表面积及体积的计算公式(不要求记忆).2。

培养学生的空间想象能力、逻辑推理能力和计算能力，会利用所学公式进行计算．自主梳理1．柱、锥、台和球的侧面积和体积面积体积圆柱S侧＝________V＝____＝________圆锥S侧＝________V＝________＝________＝错误!πr2错误!圆台S侧＝________V＝错误!（S上＋S下＋错误!)h＝错误!π（r错误!＋r错误!＋r1r2)h直棱柱S侧＝____V＝____正棱锥S侧＝________V＝________正棱台S侧＝________V＝错误!（S上＋S下＋错误!）h球S球面＝________V＝________2．几何体的表面积(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是________________．（2）圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于________________________________．自我检测1．一个长方体上一个顶点所在的三个面的面积分别是错误!，错误!, 6，则这个长方体的对角线长为________．2．（教材改编)表面积为3π的圆锥,它的侧面展开图是一个半圆,则该圆锥的底面直径为________．3．（教材改编）球的体积为错误!，一个正方体的顶点都在球面上，则正方体的体积为________．4．圆台的一个底面周长为另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面半径为_________________________________________________________．5．(2010·南京模拟)将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC 折起,使BD＝a,则三棱锥D－ABC的体积为__________________________________________________________ __．探究点一多面体的表面积及体积例1三棱柱的底面是边长为4的正三角形,侧棱长为3,一条侧棱与底面相邻两边都成60°角，求此棱柱的侧面积与体积．变式迁移1 已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面边长都等于2，A1在底面ABC上的射影为BC的中点,则三棱柱的侧面面积为________．探究点二旋转体的表面积及体积例2如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的表面积（其中∠BAC ＝30°)及其体积．变式迁移2 直三棱柱ABC—A1B1C1的各顶点都在同一球面上．若AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝120°，则此球的表面积等于________．探究点三割补法与等积变换法例3如图,在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为1的正方形,且△ADE、△BCF均为正三角形，EF∥AB,EF＝2，则该多面体的体积为________．变式迁移3 (1）如图所示，已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截，剩下部分的母线长最大值为a,最小值为b，那么圆柱被截下部分的体积是____________．(2）(2009·辽宁改编）正六棱锥P－ABCDEF中,G为PB的中点,则三棱锥D－GAC与三棱锥P－GAC体积之比为________．1．有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算，应以公式为基础，充分利用几何体中的直角三角形、直角梯形求有关的几何元素．2．当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法运用,或者虽然几何体并不复杂，但条件中的已知元素彼此离散时,我们可采用“割”、“补”的技巧，化复杂几何体为简单几何体(柱、锥、台），或化离散为集中,给解题提供便利．（1)几何体的“分割”:几何体的分割即将已知的几何体按照结论的要求，分割成若干个易求体积的几何体，进而求之．（2）几何体的“补形”：与分割一样,有时为了计算方便，可将几何体补成易求体积的几何体，如长方体、正方体等．另外补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法，由台体的定义,我们在有些情况下,可以将台体补成锥体研究体积．（满分：90分)一、填空题（每小题6分,共48分)1．（2010·东北育才学校三模)如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是S，那么圆柱的体积等于________．2．（2009·陕西改编)若正方体的棱长为错误!，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为________．3．已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切，若这个球的体积是32π3,则这个三棱柱的体积是________．4．(2010·南京联考）矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B－AC－D，则四面体ABCD的外接球的体积为________．5．（2010·全国改编)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为________．6．如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥P—ABCDEF，则此正六棱锥的侧面积是________．7．(2010·苏州模拟）一块正方形薄铁片的边长为4 cm，以它的一个顶点为圆心,一边长为半径画弧，沿弧剪下一个扇形(如图），用这块扇形铁片围成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的容积等于________cm3.8．(2010·湖北）圆柱形容器内部盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后,水恰好淹没最上面的球(如图所示），则球的半径是________cm。

2014届高三数学一轮复习精讲精练：4.4向量综合应用

2014届高三数学一轮复习精讲精练：4.4向量综合应用∵x ⊥y ，∴x · y ＝0，即－k a 2＋t (t 2－3)b 2＝0，∴t 3－3t －4k ＝0,即k ＝41t 3－43t (2) 由(1)知：k ＝f (t ) ＝41t 3－43t ∴k ´＝f ´(t ) ＝43t 2－43, 令k ´＜0得－1＜t ＜1；令k ´＞0得t ＜－1或t＞1.故k ＝f (t )的单调递减区间是(－1, 1 )，单调递增区间是（－∞，－1）和（1，＋∞）. 点拨:第1问中两种解法是解决向量垂直的两种常见的方法：一是先利用向量的坐标运算分别求得两个向量的坐标，再利用向量垂直的充要条件；二是直接利用向量的垂直的充要条件，其过程要用到向量的数量积公式及求模公式，达到同样的求解目的（但运算过程大大简化，值得注意）。

第2问中求函数的极值运用的是求导的方法，这是新旧知识交汇点处的综合运用。

例2.已知两个力（单位：牛）1f 与2f 的夹角为60，其中1f =（2，0），某质点在这两个力的共同作用下，由点A （1，1）移动到点B （3，3）（单位：米）（1）求1f ；（2）求1f 与2f 的合力对质点所做的功分析:理解向量及向量数量积的物理意义,将物理中的求力和功的问题转化为向量问题解决.点拨:学习向量要了解向量的实际背景,并能用向量的知识解决方一些简单的实际问题. 【反馈练习】1.平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A(3, 1)，B(－1, 3)，若点C 满足OC OA OB =α+β，其中α，β∈R 且α+β=1，则点C 的轨迹方程为x＋2y －5=0 2.已知a ,b 是非零向量且满足（a －2b ）⊥a ，（b－2a ）⊥b ，则a 与b 的夹角是3π 3. 已知直线x+y=a 与圆x 2+y 2=4交于A 、B 两点,且|OA +OB |=|OA -OB |,其中O 为原点,则实数a 的值为2或-24.已知向量a =(cos ,sin θθ)，向量b =(3,1-)，则|2a －b |的最大值是 45．如图，AB (6,1),BC (,),CD (2,3)===--x y ，（1）若BC ∥DA ，求x 与y 间的关系；（2）在（1）的条件下，若有AC BD ⊥，求x ,y 的值及四边形ABCD 的面积.解（1）),2,4(-+=y x AD 又BC ∥,DA（2）由AC ⊥BD ，得（x －2）(6＋x)＋(y －3)·(y＋1)＝0,②即x 2＋y 2＋4x －2y －15＝0 由①，②得63x y =-⎧⎨=⎩或21x y =⎧⎨=⎩16=∴S第5。

2014高考数学(文)一轮复习用书配套精练(广东专用)第42课等差数列

第42课等差数列1．（2012肇庆二模）若把能表示为两个连续偶数的平方差的正整数称为“和平数”，则在1～100这100个数中，能称为“和平数”的所有数的和是（）A ．130B ．325C ．676D ．1300【答案】C【解析】设两个连续偶数为22k +和2k ，则2222(2)4(21)k k k +-=+（）， ∴和平数的特征是4的倍数，但不是8的倍数，∴在1～100之间，能称为和平数的有41,43,45,47⨯⨯⨯⨯，…，425⨯，即1～25之间的奇数个数，共计13个，其和为6761322514=⨯+⨯． 2．（2011东城二模）已知正项数列{}n a 中，11=a ，22=a ，222112(2)n n n a a a n +-=+≥，则6a 等于（）A ．16B ．8C ．22D ．4【答案】D【解析】∵222112(2)n n n a a a n +-=+≥，令2n n b a =，∴112n n n b b b +-=+，∴数列{}n b 为等差数列，∵2111b a ==，2221213b b a d a -=-==，∴1(1)332n b n n =+-⨯=-．∴n a ==，∴64a ==．3．（2012东莞一模）设{lg }n a 成等差数列，公差lg3d =，且{lg }n a 的前三项和为6lg3，则{}n a 的通项为___________.【答案】3n n a =【解析】∵{lg }n a 的前三项和为6lg3，∴123lg lg lg 6lg 3a a a ++=，2lg 2lg 3a =，∴2lg lg (2)2lg3(2)lg3n a a n d n =+-=+-，∴lg lg 3lg 3n n a n ==，∴3n n a =.4．（2012苏州质检）已知命题：“在等差数列{}n a 中，若210()424a a a ++=，则11S 为定值”为真命题，由于印刷问题，括号处的数模糊不清，可推得括号内的数为_____．【答案】18 【解析】∵111116()11112a a S a +=⨯=， 11S 为定值为真命题，则6a 为定值．设括号内的数为n ，则210424n a a a ++=， ∴6664(4)(4)[(6)]24a d a d a n d -++++-=， ∴66(18)24a n d +-=，∵6a 为定值，且0d ≠，∴18n =．5．(2011昌平二模)已知数列{}n a 满足125a =，且对任意*n ∈N ，都有11422n n n n a a a a +++=+．（1）求证：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列；（2）试问数列{}n a 中*1()k k a a k +⋅∈N 是否仍是{}n a 中的项？如果是，请指出是数列的第几项；如果不是，请说明理由．【解析】（1）111242n n n n n n a a a a a a ++++=+，即11223n n n n a a a a ++-=， ∴11132n n a a +-=， ∴数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以52为首项，公差为32的等差数列．（2）由（1）可得数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式为1322n n a +=， ∴232n a n =+． ∴122323(1)2k k a a k k +⋅=⋅+++2492110k k =++ 22921622k k =+++22372322k k =++⋅+． ∵22372(1)3122k k k k k k +++=+++，当k *∈N 时，()12k k +一定是正整数， ∴23722k k ++是正整数．∴1k k a a +⋅是数列{}n a 中的项，是第23722k k ++项．6.已知数列}{n a 中，51=a 且1221n n n a a -=+-（2n ≥且*n ∈N ）．（1）求2a ，3a 的值；（2）是否存在实数λ，使得数列2n n a λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．【解析】（1）∵51=a ，∴22122113a a =+-=，33222133a a =+-=．（2）方法1：假设存在实数λ，使得数列2n n a λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，设2n n na b λ+=，由}{n b 为等差数列，则有3122b b b +=． ∴321232222a a a λλλ+++⨯=+， ∴13533228λλλ+++=+，解得，1λ=-．事实上，1111122n n n n n n a a b b +++---=-()111212n n n a a ++=-+⎡⎤⎣⎦ ()1112112n n ++⎡⎤=-+⎣⎦1=．综上可知，存在实数1λ=-，使得数列2n n a λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭为首项是2、公差是1的等差数列．方法2：假设存在实数λ，使得2n n a λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，设2n n n a b λ+=，由}{n b 为等差数列，则有122n n n b b b ++=+（*n ∈N ）． ∴12122222n n n n n n a a a λλλ+++++++⨯=+． ∴1244n n n a a a λ++=--()()121222n n n n a a a a +++=---()()12221211n n ++=---=-．综上可知，存在实数1λ=-，使得数列2n n a λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭为首项是2、公差是1的等差数列．。

2014高考数学百题精练分项解析7

2014高考数学百题精练之分项解析7一、选择题（每小题6分，共42分）1.等差数列{a n }前四项和为40，末四项和为72，所有项和为140，则该数列共有（）A.9项B.12项C.10项D.13项【答案】C【解析】∵a 1+a 2+a 3+a 4=40,a n +a n-1+a n-2+a n-3=72.∴a 1+a n =47240+=28. 又2)(1n a a n +=140, 故n=10.2.给出下列等式：（ⅰ）a n+1-a n =p(p 为常数);（ⅱ）2a n+1=a n +a n+2(n ∈N *);(ⅲ)a n =kn+b(k,b 为常数)则无穷数列{a n }为等差数列的充要条件是（）A.（ⅰ）B.（ⅰ）（ⅲ）C.（ⅰ）（ⅱ）D.（ⅰ）（ⅱ）（ⅲ）【答案】D【解析】易知三个都是，另外还有一个常见的是{a n }的前n 项和S n =an 2+bn ，（a,b 为常数）.3.等差数列{a n }中，若a 1+a 4+a 7=39,a 3+a 6+a 9=27，则前9项的和S 9等于（）A.66B.99C.144D.297【答案】B【解析】a 1+a 4+a 7=39⇒a 4=13,a 3+a 6+a 9=27⇒a 6=9，S 9=2)(92)(96491a a a a +=+=99. 4.等差数列{a n }的公差为d,前n 项的和为S n ,当首项a 1和d 变化时,a 2+a 8+a 11是一个定值,则下列各数中也为定值的是（）A.S 7B.S 8C.S 13D.S 15【答案】C【解析】因a 2+a 8+a 11=3a 7,故a 7为定值.又S 13=2)(13131a a +=13a 7, ∴选C.5.已知数列{a n }中,a 3=2,a 7=1,又数列{11+n a }是等差数列,则a 11等于() A.0B.21C.32D.-1 【答案】B 【解析】∵111137+=+a a +(7-3)d,∴d=241. ∴1111311+=+a a +(11-3)d=32, a 11=21. 6.已知数列{a n }的通项为a n =26-2n,若要使此数列的前n 项之和S n 最大,则n 的值是()A.12B.13C.12或13D.14【答案】C【解析】由⎩⎨⎧≤≥+,0,01n n a a 得12≤n ≤13, 故n=12或13.7.在等差数列{a n }中,2021a a ＜-1,若它的前n 项和S n 有最大值,则下列各数中是S n 的最小正数值的是()A.S 1B.S 38C.S 39D.S 40【答案】C【解析】因S n 有最大值,故d ＜0,又202021a a a +＜0. 因a 21＜a 20,故a 20＞0,a 20+a 21＜0.∴S 40=20(a 1+a 40)=20(a 20+a 21)＜0.S 39=39a 20＞0,S 39-S 38=a 39＜0.又S 39-S 1=a 2+a 3+…+a 39=19(a 2+a 39)=19(a 1+a 40)＜0,故选C.二、填空题（每小题5分，共15分）8.黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下图的规律拼成若干个图案:则第n 个图案中有白色地面砖_____________块.【答案】4n+2【解析】每增加一块黑砖,则增加4块白砖,故白砖数构成首项为6,公差为4的等差数列,故a n =6+4(n-1)=4n+2.9.设f(x)=244+x x ,利用课本中推导等差数列前n 项和方法,求f(111)+f(112)+…+f(1110)的值为_________________.【答案】5【解析】当x 1+x 2=1时,f(x 1)+f(x 2)=42)44(4)44(242244244212121212211+⨯+++⨯+⨯=+++++x x x x x x x x x x x x =1.设S=f(111)+f(112)+…+f(1110),倒序相加有2S=［f(111)+f(1110)］+［f(112)+f(119)］+…+［f(1110)+f(111)］=10.即S=5.10.数列1,2+3,4+5+6,7+8+9+10,…,的一个通项公式a n =__________________. 【答案】2)1(2+n n【解析】前n 项一共有1+2+3+…+n=2)1(+n n 个自然数,设S n =1+2+3+…+n=2)1(+n n ,则a n =2)1(2]12)1([2)1(2]12)1([2)1(22)1(2)1(+=+++=++∙+=--+n n n n n n n n n n S S n n n n .三、解答题（11—13题每小题10分，14题13分，共43分）11.{a n }是等差数列，公差d ＞0，S n 是{a n }的前n 项和，已知a 2a 3=40,S 4=26.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)令b n =11+n n a a ，求数列{b n }的所有项之和T.【解析】（1）S 4=24(a 1+a 4)=2(a 2+a 3)=26.又∵a 2a 3=40,d ＞0，∴a 2=5,a 3=8,d=3.∴a n =a 2+(n-2)d=3n-1.(2)b n =11+n n a a =)231131(31)23)(13(1+--=+-n n n nT n =)23(2)23121(31]231)1(31)8151()5121[(31+=+-=+--++-+-n nn n n .12.已知f(x)=x 2-2(n+1)x+n 2+5n-7,(1)设f(x)的图象的顶点的纵坐标构成数列{a n }，求证：{a n }为等差数列；（2）设f(x)的图象的顶点到x 轴的距离构成{b n },求{b n }的前n 项和.(1)证明：f(x)=［x-(n+1)2］+3n-8,∴a n =3n-8.∵a n-1-a n =3,∴{a n }为等差数列.(2)【解析】b n =|3n-8|,当1≤n ≤2时，b n =8-3n,b 1=5.S n =23132)385(2n n n n -=-+；当n ≥3时，b n =3n-8.S n =5+2+1+4+…+(3n-8) =7+2)831)(2(-+-n n =2281332+-n n . ∴S n =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+-≤≤-).3(228133),21(2313222n n n n n n 13.假设你在某公司打工，根据表现，老板给你两个加薪的方案：（Ⅰ）每年年末加1000元；(Ⅱ)每半年结束时加300元.请你选择.(1)如果在该公司干10年，问两种方案各加薪多少元？(2)对于你而言，你会选择其中的哪一种？【解析】设方案一第n 年年末加薪a n ,因为每年末加薪1000元，则a n =1000n ；设方案二第n 个半年加薪b n ，因为每半年加薪300元，则b n =300n.(1)在该公司干10年（20个半年），方案（Ⅰ）共加薪S 10=a 1+a 2+…+a 10=55000（元）. 方案（Ⅱ）共加薪T 20=b 1+b 2+…+b 20=20×300+2)120(20-⨯×300=63000元. (2)设在该公司干n 年，两种方案共加薪分别为：S n =a 1+a 2+…+a n =1000×n+2)1(-n n ×1000=500n 2+500n, T 2n =b 1+b 2+…+b 20=2n ×300+2)12(2-⨯n n ×300=600n 2+300n ；令T 2n ≥S n 即600n 2+300n ＞500n 2+500n,解得，n ≥2,当n=2时等号成立.∴如果干3年以上（包括3年）应选择第二方案；如果只干2年，随便选；如果只干1年，当然选择第一方案.14.设{a n }是正数组成的数列,其前n 项和为S n ,且对于所有的正整数n,有a n =2n S 2-2.(1)写出数列{a n }的三项;(2)求数列{a n }的通项公式,并写出推证过程;(3)令b n =14+∙n n a a ,求数列{b n }的前n 项和T n . 【解析】(1)由题意，当n=1时，有a 1=212S -2,S 1=a 1，∴a 1=212a -2,解得a 1=2.当n=2时，有a 2=222S -2,S 2=a 1+a 2,将a 1=2代入，整理得（a 2-2）2=16,由a 2＞0，解得a 2=6.当n=3时，有a 3=232S -2,S 3=a 1+a 2+a 3,将a 1=2,a 2=6代入，整理得（a 3-2）2=64,由a 3＞0，解得a 3=10. 所以该数列的前三项分别为2，6，10.(2)由a n =2n S 2-2(n ∈N *),整理得S n =81(a n +2)2,则S n+1=81(a n+1+2)2,∴a n+1=S n+1-S n =81［(a n+1+2)2-(a n +2)2］.整理，得（a n+1+a n ）(a n+1-a n -4)=0,由题意知a n+1+a n ≠0,∴a n+1-a n =4.∴即数列{a n }为等差数列，其中首项a 1=2，公差d=4,∴a n =a 1+(n-1)d=2+4(n-1).即通项公式为a n =4n-2(n ∈N *).(3)b n =241241)24)(24(4+--=+-n n n n , T n =b 1+b 2+…+b n=1224121)241241()10161()6121(+=+-=+--++-+-n n n n n .。

2014高考数学总复习(人教新课标理科)课时作业42 第7章不等式3含解析

课时作业（四十二）1．设A＝[－2,4），B＝｛x｜x2－ax－4≤0｝，若B⊆A，求实数a的取值范围．分析观察到方程x2－ax－4＝0有两个实根，故此题不妨用求根公式来解决．解析因x2－ax－4＝0有两个实根x1＝a2－错误!，x2＝错误!＋错误!，故B⊆A等价于x1≥－2且x2<4，即错误!－错误!≥－2且错误!＋错误!<4，解之得0≤a<3.2．已知方程x2＋(3m－1)x＋（3m－2）＝0的两个根都属于（－3，3），且其中至少有一个根小于1,求m的取值范围．解析原方程即为（x＋1）（x＋3m－2)＝0，所以方程两根分别为－1，2－3m,而－1在(－3,1）上，则由题意，另一根满足－3<2－3m〈3⇔－13<m<错误!.3．已知方程4x2＋2（m－1)x＋（2m＋3）＝0（m∈R）有两个负根，求m的取值范围．解析依题意有错误!∴m≥11.4．求实数m的范围，使关于x的方程x2＋2（m－1）x＋2m＋6＝0。

（1)有两个实根，且一个比2大,一个比2小；(2）有两个实根α，β,且满足0<α<1〈β〈4;（3)至少有一个正根．解析设y＝f（x)＝x2＋2(m－1）x＋2m＋6.（1)依题意有f(2)<0，即4＋4(m－1）＋2m＋6〈0，得m〈－1.(2)依题意有错误!解得－错误!<m<－错误!。

(3）方程至少有一个正根，则有三种可能:①有两个正根，此时可得错误!即错误!∴－3〈m≤－1.②有一个正根，一个负根,此时可得f（0）<0，得m〈－3.③有一个正根，另一根为0，此时可得错误!∴m＝－3。

综上所述，得m≤－1.5．已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0。

(1)若方程有两根,其中一根在区间（－1，0）内，另一根在区间（1，2)内,求m的范围；(2）若方程两根均在区间（0,1)内，求m的范围．解析（1)条件说明抛物线f（x)＝x2＋2mx＋2m＋1与x轴的交点分别在区间(－1，0）和(1，2）内，则错误!⇔错误!⇔－错误!〈m〈－错误!。

2014届高三数学辅导精讲精练41

2014届高三数学辅导精讲精练411．不等式x ＋5(x －1)2≥2的解集是( )A ．[－3，12] B ．[－12，3] C ．[12，1)∪(1,3] D ．[－12，1)∪(1,3]答案 D解析 x ＋5(x －1)2≥2⇒⎩⎨⎧x ＋5≥2(x －1)2，x －1≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤3，x ≠1.∴x ∈[－12，1)∪(1,3]．故选D.2．不等式ax 2＋bx ＋2>0解集是(－12，13)，则a ＋b 的值是 ( )A ．10B ．－10C ．14D ．－14答案 D解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧－b a ＝－12＋13，2a ＝－12×13，a <0，∴a ＝－12，b ＝－2，∴a ＋b ＝－14，故选D.3．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f (|x |)的x 的取值范围是( )A ．(13，23)B ．(13，1) C ．(12，23) D ．(12，23)答案 B解析由于f (x )是偶函数，故f (x )＝f (|x |)，故f (|2x －1|)<f (|x |)，再根据f (x )的单调性得|2x －1|<|x |⇒(2x －1)2<x 2⇔3x 2－4x ＋1<0⇔(3x －1)(x －1)<0⇔13<x <1.4．若关于x 的不等式ax －b >0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式ax ＋bx －2>0的解集是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(1,2)D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)答案 A解析因为不等式ax －b >0的解集是(1，＋∞)，所以a >0且a ＝b ，则不等式ax ＋b x －2>0等价于x ＋1x －2>0⇔(x ＋1)(x －2)>0⇔x >2或x <－1，故选A. 5．不等式2x 2－3|x |－35>0的解集为( )A ．{x |x <－72或x >5} B ．{x |0<x <72或x >5} C ．{x |x <5或x >7} D ．{x |x <－5或x >5}答案 D解析 2x 2－3|x |－35>0⇔2|x |2－3|x |－35>0⇔(|x |－5)(2|x |＋7)>0⇔|x |>5或|x |<－72(舍)⇔x >5或x <－5，故选D.6．若0＜m ＜1，则不等式(x －m )(x －1m )＜0的解集为( )A ．{x |1m ＜x ＜m }B ．{x |x ＞1m 或x ＜m } C ．{x |x ＞m 或x ＜1m } D ．{x |m ＜x ＜1m }答案 D解析当0<m <1时，m <1m.7．若a >0，b >0，则不等式－b <1x <a 等价于( )A ．－1b <x <0或0<x <1aB ．－1a <x <1bC ．x <－1a 或x >1b D ．x <－1b 或x >1a答案 D解析当a >0，b >0时解不等式－b <1x <a ⇔⎩⎪⎨⎪⎧1x >－b ，1x <a⇔⎩⎪⎨⎪⎧1＋bxx >0，1－ax x <0⇔⎩⎨⎧(1＋bx )x >0，(ax －1)x >0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x >0或x <－1b ，x <0或x >1a .利用数轴：可得x >1a 或x <－1b .8．“log 2x <3”是“(12)x －8>1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析由log 2x <3⇔0<x <8.由(12)x －8>1⇔x －8<0⇔x <8.log 2x <3⇒(12)x －8>1，且(12)x －8>1⇒/ log 2x <3.9．设函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋1，x ≥1，x 2－2x －2，x <1，若f (x 0)>1，则x 0的取值范围为( )A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪[1，＋∞)C ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－3)∪[1，＋∞) 答案 B解析 ∵f (x 0)>1，∴⎩⎨⎧ x 0≥1，2x 0＋1>1或⎩⎨⎧x 0<1，x 20－2x 0－2>1，解得x 0∈(－∞，－1)∪[1，＋∞)．10．关于x 的不等式ax 2－2ax ＋2a ＋3>0的解集为R ，则实数a 的取值范围为________．答案 [0，＋∞)解析当a ≠0时，由题意得⎩⎨⎧a >0，Δ<0.即⎩⎨⎧a >0，4a 2－4a (2a ＋3)<0. 解得a >0.当a ＝0时，恒有3>0，不等式也成立，故a 的取值范围是[0，＋∞)． 11．已知关于x 的不等式ax －1x ＋1<0的解集是(－∞，－1)∪(－12，＋∞)，则a ＝________.答案－2 解析ax －1x ＋1<0⇔(ax －1)(x ＋1)<0，根据解集的结构可知，a <0且1a ＝－12，∴a ＝－2.12．若关于x 的方程x 2＋ax ＋a 2－1＝0有一正根和一负根，则a 的取值范围为________．答案－1<a <1解析令f (x )＝x 2＋ax ＋a 2－1，∴二次函数开口向上．若方程有一正一负根，则只需f (0)<0，即a 2－1<0.∴－1<a <1.13．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R )的部分对应值如表：答案 (－∞，－2)∪(3，＋∞)解析方程的根是对应不等式解集的端点，画草图即可． 14．解不等式：log 3(x 2－6x ＋8)<log 3x ＋1. 解析由题意得定义域为{x |0<x <2或x >4}．不等式化成：log 3(x 2－6x ＋8)<log 3(3x )，得x 2－9x ＋8<0，即(x －8)(x －1)<0，解得1<x <8.综上得不等式的解为1<x <2或4<x <8.15．已知函数f (x )＝x 2ax ＋b (a ，b 为常数)，且方程f (x )－x ＋12＝0有两个实根为x 1＝3，x 2＝4.(1)求函数f (x )的解析式；(2)设k >1，解关于x 的不等式f (x )<(k ＋1)x －k2－x.解析 (1)f (x )＝x 22－x(x ≠2)．(2)当1<k <2时，解集为(1，k )∪(2，＋∞)．当k ＝2时，解集为(1,2)∪(2，＋∞)．当k >2时，解集为(1,2)∪(k ，＋∞)． 16．解关于x 的不等式ax 2ax －1>x .解析由ax 2ax －1>x ，得ax 2ax －1－x >0，即xax －1>0.此不等式与x (ax －1)>0同解．若a <0，则1a <x <0；若a ＝0，则x <0；若a >0，则x <0或x >1a .综上，a <0时，原不等式的解集是(1a ，0)； a ＝0时，原不等式的解集是(－∞，0)；a >0时，原不等式的解集是(－∞，0)∪(1a ，＋∞)．17．解关于x的不等式ax－3x＋1≤1a(其中a>0且a≠1)．解析(1)当a>1时，有x－3x＋1≤－1，∴x－3x＋2≤0，∴x2＋2x－3x≤0，∴(x＋3)(x－1)x≤0，∴x≤－3或0<x≤1.(2)当0<a<1时，有x－3x＋1≥－1，∴x2＋2x－3x≥0.∴－3≤x<0或x≥1.综上，当a>1时x∈(－∞，－3)∪(0,1]；当0<a<1时，x∈[－3,0)∪[1，＋∞)．18．已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)>－2x的解集为(1,3)．(1)若方程f(x)＋6a＝0有两个相等的根，求f(x)的解析式；(2)若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围．答案(1)f(x)＝－15x2－65x－35(2)(－∞，－2－3)∪(－2＋3，0)解析(1)由题意，知f(x)＋2x>0的解集为(1,3)且二次项系数为a，则f(x)＋2x＝a(x－1)(x－3)，且a<0.因而f(x)＝a(x－1)(x－3)－2x＝ax2－(2＋4a)x＋3a.①由方程f(x)＋6a＝0，得ax2－(2＋4a)x＋9a＝0.②因为方程②有两个相等的根，所以Δ＝[－(2＋4a)]2－4a·9a＝0.即5a2－4a－1＝0.解得a＝1或a＝－1 5.由于a<0，故舍去a＝1.将a＝－15代入①，得f(x)的解析式为f(x)＝－15x2－65x－35.(2)由f(x)＝ax2－2(1＋2a)x＋3a＝a(x－1＋2aa)2－a2＋4a＋1a及a<0，可得f(x)的最大值为－a 2＋4a ＋1a .由⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋4a ＋1a >0，a <0，解得a <－2－3或－2＋3<a <0.∴实数a 的取值范围是(－∞，－2－3)∪(－2＋3，0)．1. 已知函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )为f (x )的导函数，函数y ＝f ′(x )的图像如右图所示，且f (－2)＝1，f (3)＝1，则不等式f (x 2－6)>1的解集为( )A ．(2,3)∪(－3，－2)B ．(－2，2)C ．(2,3)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) 答案 A解析由导数图像知当x <0时，f ′(x )>0，即f (x )在(－∞，0)上为增函数；当x >0时，f ′(x )<0，即f (x )在(0，＋∞)上为减函数．故不等式f (x 2－6)>1等价于f (x 2－6)>f (－2)或f (x 2－6)>f (3)，即⎩⎨⎧x 2－6<0，x 2－6>－2或0≤x 2－6<3，解得x ∈(2,3)∪(－3，－2)．2．已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，若当x ∈[－1,1]时，f (x )>0恒成立，则b 的取值范围是( )A ．－1<b <0B ．b >2C ．b <－1或b >2D ．不能确定答案 C解析由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )的对称轴为直线x ＝1，则有a2＝1，故a ＝2.又f (x )开口向下，所以f (x )在[－1,1]上为增函数． f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2，∴b 2－b －2>0，解得b <－1或b >2.3．函数f (x )＝log 3(x 2－3x ＋2＋－x 2－3x ＋4)的定义域为 ( )A ．(－∞，－4]∪(0,2)B ．[－4,1]C ．[－4,0)∪(0,1)D ．[－4,1)答案 D解析要使函数有意义，应满足⎩⎨⎧ x 2－3x ＋2≥0，－x 2－3x ＋4≥0，x 2－3x ＋2＋－x 2－3x ＋4≠0，即⎩⎨⎧x 2－3x ＋2≥0，x 2＋3x －4≤0，x 2－3x ＋2＋－x 2－3x ＋4≠0.解得⎩⎨⎧x ≥2或x ≤1，－4≤x ≤1，x ≠1，即－4≤x <1.所以函数的定义域为[－4,1)．4．已知a ＝(x ，－1)与b ＝(1，1x )，则不等式a ·b ≤0的解集为 ( )A ．{x |x ≤－1或x ≥1}B ．{x |－1≤x <0或x ≥1}C ．{x |x ≤－1或0≤x ≤1}D ．{x |x ≤－1或0<x ≤1} 答案 D解析 a ·b ≤0⇔x －1x ≤0⇔x 2－1x ≤0⇔⎩⎨⎧x (x －1)(x ＋1)≤0，x ≠0⇔⎩⎨⎧x ≤－1或0≤x ≤1，x ≠0⇔x ≤－1或0<x ≤1. 5．关于x 的不等式x 2－(a ＋1a ＋1)x ＋a ＋1a <0(a >0)的解集为________．答案 (1，a ＋1a )解析不等式可化为[x －(a ＋1a )](x －1)<0. ∵a >0，∴a ＋1a ≥2>1.∴该不等式的解集为(1，a ＋1a )．6．(2012·福建)已知关于x 的不等式x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案 (0,8)解析由题意得Δ＝a 2－8a <0，解得a ∈(0,8)． 7．若规定⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝|ad －bc |，则不等式log 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 11 x <0的解集为________．答案 (0,1)∪(1,2) 解析据题意⎪⎪⎪⎪⎪⎪111x ＝|x －1|， ∴不等式log 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 11 x <0化为log 2|x －1|<0. ∴0<|x －1|<1，∴1<x <2或0<x <1.8．若关于x 的不等式(2x －1)2<ax 2的解集中整数恰好有3个，则实数a 范围________．答案 (259，4916)9．不等式9－x 2≤k (x ＋2)－2的解集为区间[a ，b ]，且b －a ＝2，则k ＝________.答案2解析数形结合易得k ＝ 2.10．已知关于x 的不等式(a 2－4)x 2＋(a ＋2)x －1≥0的解集是空集，求实数a 的取值范围．答案－2≤a <65解析当a 2－4＝0，即a ＝－2或a ＝2时．当a ＝2时不等式为4x －1≥0，解集不是空集；当a ＝－2时，不等式为－1≥0，其解集为空集，故a ＝－2符合题意．当a 2－4≠0时，需⎩⎨⎧a 2－4<0，Δ＝(a ＋2)2＋4(a 2－4)<0，解得－2<a <65. 综上可知－2≤a <65.11．(2010·湖南理)已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c (b ，c ∈R )，对任意的x ∈R ，恒有f ′(x )≤f (x )．证明：当x ≥0时，f (x )≤(x ＋c )2.证明易知f ′(x )＝2x ＋b .由题设，对任意的x ∈R,2x ＋b ≤x 2＋bx ＋c ，即x 2＋(b －2)x ＋c －b ≥0恒成立，所以(b －2)2－4(c －b )≤0，从而c ≥b 24＋1.于是c ≥1，且c ≥2b 24×1＝|b |，因此2c －b ＝c ＋(c －b )＞0.故当x ≥0时，有(x ＋c )2－f (x )＝(2c －b )x ＋c (c －1)≥0. 即当x ≥0时，f (x )≤(x ＋c )2.12．设函数f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的增函数，是否存在这样的实数a ，使得不等式f (1－ax －x 2)<f (2－a )对于任意x ∈[0,1]都成立？若存在，试求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．思路首先利用函数单调性将抽象型函数符号去掉，然后转化为二次不等式恒成立问题，最后转化为二次函数区间最值问题．解析由于f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的增函数，所以不等式f (1－ax －x 2)<f (2－a )对任意x ∈[0,1]都成立⇔不等式1－ax －x 2<2－a 对于任意x ∈[0,1]都成立．即不等式x 2＋ax －a ＋1>0在x ∈[0,1]上恒成立．方法一令g (x )＝x 2＋ax －a ＋1，只需g (x )在[0,1]上的最小值大于0即可．g (x )＝x 2＋ax －a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22－a 24－a ＋1.①当－a2<0，即a >0时，g (x )min ＝g (0)＝1－a >0⇒a <1.故0<a <1； ②当0≤－a2≤1，即－2≤a ≤0时，g (x )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－a 24－a ＋1>0 ⇒－2－22<a <－2＋2 2.故－2≤a ≤0；③当－a 2>1，即a <－2时，g (x )min ＝g (1)＝2>0，满足，故a <－2.故存在实数a ，使得不等式f (1－ax －x 2)<f (2－a )对于任意x ∈[0,1]都成立，其取值范围是(－∞，1)．方法二由1－ax －x 2<2－a ，得(1－x )a <x 2＋1.∵x ∈[0,1]，∴1－x ≥0.∴①当x ＝1时，0<2恒成立，此时a ∈R ；②当x ∈[0,1)时，a <x 2＋11－x恒成立．求当x ∈[0,1)时，函数y ＝x 2＋11－x的最小值．令t ＝1－x (t ∈(0,1])，则y ＝x 2＋11－x＝(1－t )2＋1t ＝t ＋2t －2. 而函数y ＝t ＋2t －2是(0,1]上的减函数，所以当且仅当t ＝1，即x ＝0时，y min ＝1.故要使不等式在[0,1)上恒成立，只需a <1.由①②得a <1.故存在实数a ，使得不等式f (1－ax －x 2)<f (2－a )对于任意x ∈[0,1]都成立，其取值范围是(－∞，1)．13．关于x 的不等式组⎩⎨⎧x 2－x －2>0，2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k <0的整数解的集合为{－2}，求实数k 的取值范围．解析解x 2－x －2>0，得x >2或x <－1.解2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k <0(有解集)，得(2x ＋5)(x ＋k )<0.由原不等式组，整数解为{－2}．得5－2<x<－k，∴－2<－k≤3，∴－3≤k<2.。