中考数学面积问题压轴题

§2.2由面积产生的函数关系问题

图形运动的过程中,求面积随某个量变化的函数关系,是中考数

学的热点问题.

计算面积常见的有四种方法,一是规则图形的面积用面积公式;

二是不规则图形的面积通过割补进行计算;三是同高(或同底)三角形

的面积比等于对应边(或高)的比;四是相似三角形的面积比等于相似

比的平方.

前两种方法容易想到,但是灵活使用第三种和第四种方法,可以

使得运算简单.

一般情况下,在求出面积S关于自变量x的函数关系后,会提出在

什么情况下(x为何值时),S取得最大值或最小值.

关于面积的最值问题,有许多经典的结论.

1.周长一定的矩形,当正方形时,面积最大.

2.面积一定的矩形,当正方形时,周长最小.

3.周长一定的正多边形,当边数越大时,面积越大,极限值是圆.

4.如图1,锐角△ABC的内接矩形DEFG的面积为y, AD=x,当点D

是AB的中点时,面积y最大.

5.如图2,点P在直线AB上方的抛物线上一点,当点P位于AB

的中点E的正上方时,△PAB的面积最大.

6.如图3,△ABC中,∠A和对边BC是确定的,当AB=AC时,△ABC

的面积最大.

图1

图2 图3

x2+bx+c的图象与如图所示,在平面直角坐标系中,二次函数y=-1

4

坐标轴交于A、B、C三点,其中点A的坐标为(0, 8),点B的坐标为(-4, 0).

(1) 求该二次函数的表达式及点C的坐标;

(2) 点D的坐标为(0, 4),点F为该二次函数在第一象限内图象上的动点,连结CD、CF,以CD、CF为邻边作平行四边形CDEF.设平行四边形CDEF的面积为S.

①求S的最大值;

②在点F的运动过程中,当点E落在该二次函数的图象上时,请直接写出此时S的值.

请打开几何画板文件名“16淮安27”,拖动点F在第一象限内的抛物线上运动,观察△CDF的面积随点F变化的函数图象,可以体验到,当点F的横坐标为3时,△CDF的面积最大;当点F的横坐标为7时,点E落在抛物线上.

1.把点F的横坐标x设为自变量,用x表示△CDF的面积.

2.连结OF“割补”△CDF比较简便.

3.如果设点F的坐标为(m, n),根据FE与CD平行且相等,通过坐标平移可以表示点E的坐标,再把点F、E的坐标分别代入抛物线的解析式,联立方程组求m的值.

如图1,在平面直角坐标系中,点B在x轴正半轴上,OB的长度为2m,以OB为边向上作等边三角形AOB,抛物线l: y=ax2+bx+c经过O、

A、B三点.

(1) 当m=2时,a= ,当m=3时,a= ;

(2) 根据(1)中的结果,猜想a与m的关系,并证明你的结论;

(3) 如图2,在(1)的基础上,作x轴的平行线交抛物线l于P、Q 两点,PQ的长度为2n,当△APQ为等腰直角三角形时,a与n的关系式为;

(4) 利用(2)、 (3)中的结论,求△AOB与△APQ的面积比.

图1 图2

请打开几何画板文件名“16吉林26”,拖动点B运动,可以体验到,虽然△AOB和△APQ的形状保持不变,但是抛物线的二次项系数a 在改变.观察m随a、n随a变化的图象,可以体验到,m、n都是a

的反比例函数.

1.点A和点B的坐标可以用m表示,那么设抛物线的顶点式或交点式,可以用m表示抛物线的解析式.

2.点Q的坐标可以用m、n表示,代入抛物线的解析式可以得到m、n的关系.

如图1,四边形OABC各顶点的坐标分别为O(0, 0), A(3, 3√3), B(9, 5√3), C(14, 0).动点P与Q同时从点O出发,运动时间为t秒,点P沿OC方向以1个单位/秒的速度向点C运动,点Q沿折线OA—AB —BC运动,在OA、AB、BC上运动的速度分别为3、√3、5

2

(单位长度/秒).当P、Q中的一点到达点C时,两点同时停止运动.

(1) 求AB所在直线的函数表达式;

(2) 如图2,当点Q在AB上运动时,求△CPQ的面积S关于t的函数表达式及S的最大值;

(3) 在P、Q的运动过程中,若线段PQ的垂直平分线经过四边形OABC的顶点,求相应的t的值.

图1 图2

请打开几何画板文件名“17金华24”,拖动点P运动,可以体验到,PQ的垂直平分线4次经过四边形OABC的顶点.

1.先求线段OA、AB、BC的长,把点Q在三条线段上的运动时间罗列出来.

2.直线OA、BC与x轴的夹角为60°,直线AB与x轴的夹角为30°.

3.点Q在AB上时,AQ=速度×时间=√3(t-2).

点Q在BC上时,BQ=速度×时间=5

2(t-6), CQ=5

2

(10-t).

点P从点C出发,沿射线CB方向以每秒2个单位长度的速度运动;同时,动点Q从点O出发,沿x轴正半轴方向以每秒1个单位长度的速度运动.设点P、Q的运动时间为t秒.

(1) 当t=1秒时,求经过O、P、A三点的抛物线的解析式;

(2) 当t=2秒时,求tan∠QPA的值;

(3) 当线段PQ与线段AB相交于点M,且BM=2AM时,求t的值;

(4) 连结CQ,当点P、Q在运动过程中,记△CQP与矩形OABC重叠部分的面积为S,求S与t的函数关系式.

请打开几何画板文件名“17黄冈24”,拖动点Q由点O向右运动,可以体验到,△CQP与矩形OABC重叠部分的形状依次是△CQP、四边形CQMB和△CBN.

1.第(1)题:设交点式比较简便,代入点P的坐标求二次项系数a 就好了.

2.第(2)题:点P恰好与点B重合,∠QPA就在直角三角形中.

3.第(3)题:根据“8字型”相似列方程,为第(4)题提供方法依据.

4.第(4)题:分三种情况讨论.