第五章 液体三元流动基本原理w
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本章内容 5.2 流线与迹线微分方程 5.3 液体三元流动的连续性方程 5.4 液体微团运动的基本形式
第 五 章 液 体 三 元 流 动 基 本 原 理
5.5 有旋运动简介
5.6 液体恒定平面势流 5.7 边界层简介
水力学
5.2 流线与迹线微分方程
1. 流线 （1）定义：流线是某 瞬时在流场中绘出的曲 线，曲线上各点的速度 矢量均与该曲线相切。
（1）恒定流动，不论液体是否压缩
0, t
第 五 章 液 体 三 元 流 动 基 本 原 理
( u ) 0
（2）不可压缩流体流动，不论是否恒定
u x u y u z 0, x y z
（4）对于二维恒定不可压缩流动
u x u y 0, x y
水力学
第5章 液体三元流动基本原理
5.1概述
第 五 章 液 体 三 元 流 动 基 本 原 理
工程中绝大多数水利工程可用一元恒定总流方程解决；
实际工程中遇到的二元或三元的流动问题可建立三元流 动的基本方程解决；
重点解决恒定平面势流问题（主要用于解决地下水渗流 问题）
水力学
第5章 液体三元流动基本原理
水力学
第 五 章 液 体 三 元 流 动 基 本 原 理
3．连续性方程的意义
（1）质量守恒 （2）用连续性方程判别流动能否发生 （3）用连续性方程推求某一速度分量 （4）与运动微分方程联立求解
水力学
第 五 章 液 体 三 元 流 动 基 本 原 理
例1
已知二维恒定不可压缩流动速度场为
u x 3x y
t 为流线方程的参数，积分时可视作常数。
水力学
2. 迹线
（1）定义：迹线是流体质点运动的轨迹。 （2）迹线方程 由
dx dy dz ux , u y , uz dt dt dt
第 五 章 液 体 三 元 流 动 基 本 原 理
得出迹线微分方程：
dx dy dz dt u x ( x, y , z , t ) u y ( x, y , z , t ) u z ( x, y , z , t )
解：
(ru r ) u 0 r
[ ( ux ) ( u y ) ( uz )]dxdydzdt x y z
水力学
dM [ ( ux ) ( u y ) ( uz )]dxdydzdt x y z 第 五 dM ( dxdydz )dt 质量减少 章 t
( u y )dxdydzdt y
水力学
第 五 章 液 体 三 元 流 动 基 本 原 理
dM y ( u y )dxdydzdt y
dM x ( u x )dxdydzdt x
dM z ( u z )dxdydzdt z
dM dM x dM y dM z
t
i j k x y z
哈密顿算子
水力学
第 五 章 液 体 三 元 流 动 基 本 原 理
柱坐标系下连续性方程 1 ( rur ) 1 u uz 0 r r r z
水力学
2．连续性方程的简化
[ ( ux ) ( u y ) ( uz )] 0 t x y z
第 五 章 液 体 三 元 流 动 基 本 原 理
u dr 0
水力学
第 五 章 液 体 三 元 流 动 基 本 原 理
（2）流线方程：
由
u dr u x u y u z 0 dx dy dz
i
j
k
得出流线微分方程：
dx dy dz u x ( x, y , z , t ) u y ( x, y , z , t ) u z ( x, y , z , t )
t 为变量。
水力学
第 五 章 液 体 三 元 流 动 基 本 原 理
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例1 已知用欧拉变数表示的流体运动的速度场
为
ux kx, uy ky, uz 0
(式中，k 为大于零的常数) ，求流线与迹线。
水力学
5.3 液体三元流动的连续性方程
第 五 章 液 体 三 元 流 动 基 本 原 理
1、方程的推导
dt时段,x,y,z三个方向流出
与流入控制体积的液体
的质量差为：
dM x , dM y , dM z
dM dM x dM y dM z
水力学
dM dM x dM y dM z
第 u y dy u y dy dy dy 五 章 dM y [( y 2 )(u y y 2 )dxdz ( y 2 )(u y y 2 )dxdz ]dt 液 体 dM [( dy u u y dy ) ( dy u u y dy )]dxdzdt y y y 三 y 2 y 2 y 2 y 2 元 流 u y 动 dM y [( dyu y dy )]dxdzdt y y 基 本 u y 原 [(u y )]dxdydzdt y y 理
质量净流出
液 dM dM 体 三 元 流 [ x ( ux ) y ( u y ) z ( uz )]dxdydzdt t ( dxdydz )dt 动 基 [ ( ux ) ( u y ) ( uz )] 0 本 t x y z 原 理 ( u ) 0 液体三元流动的连续性方程
2
u y (6 xy x)
判别流动是否能发生。
解：
u x u y 6x 6x 0 x y
所以该流动能发生。
水力学
第 五 章 液 体 三 元 流 动 基 本 原 理
例2 已知二维恒定不可压缩流动径向速度分量为
ur ( A cos / r )
2
式中A为常数，求切向速度分量
第 五 章 液 体 三 元 流 动 基 本 原 理
5.5 有旋运动简介
5.6 液体恒定平面势流 5.7 边界层简介
水力学
5.2 流线与迹线微分方程
1. 流线 （1）定义：流线是某 瞬时在流场中绘出的曲 线，曲线上各点的速度 矢量均与该曲线相切。
（1）恒定流动，不论液体是否压缩
0, t
第 五 章 液 体 三 元 流 动 基 本 原 理
( u ) 0
（2）不可压缩流体流动，不论是否恒定
u x u y u z 0, x y z
（4）对于二维恒定不可压缩流动
u x u y 0, x y
水力学
第5章 液体三元流动基本原理
5.1概述
第 五 章 液 体 三 元 流 动 基 本 原 理
工程中绝大多数水利工程可用一元恒定总流方程解决；
实际工程中遇到的二元或三元的流动问题可建立三元流 动的基本方程解决；
重点解决恒定平面势流问题（主要用于解决地下水渗流 问题）
水力学
第5章 液体三元流动基本原理
水力学
第 五 章 液 体 三 元 流 动 基 本 原 理
3．连续性方程的意义
（1）质量守恒 （2）用连续性方程判别流动能否发生 （3）用连续性方程推求某一速度分量 （4）与运动微分方程联立求解
水力学
第 五 章 液 体 三 元 流 动 基 本 原 理
例1
已知二维恒定不可压缩流动速度场为
u x 3x y
t 为流线方程的参数，积分时可视作常数。
水力学
2. 迹线
（1）定义：迹线是流体质点运动的轨迹。 （2）迹线方程 由
dx dy dz ux , u y , uz dt dt dt
第 五 章 液 体 三 元 流 动 基 本 原 理
得出迹线微分方程：
dx dy dz dt u x ( x, y , z , t ) u y ( x, y , z , t ) u z ( x, y , z , t )
解：
(ru r ) u 0 r
[ ( ux ) ( u y ) ( uz )]dxdydzdt x y z
水力学
dM [ ( ux ) ( u y ) ( uz )]dxdydzdt x y z 第 五 dM ( dxdydz )dt 质量减少 章 t
( u y )dxdydzdt y
水力学
第 五 章 液 体 三 元 流 动 基 本 原 理
dM y ( u y )dxdydzdt y
dM x ( u x )dxdydzdt x
dM z ( u z )dxdydzdt z
dM dM x dM y dM z
t
i j k x y z
哈密顿算子
水力学
第 五 章 液 体 三 元 流 动 基 本 原 理
柱坐标系下连续性方程 1 ( rur ) 1 u uz 0 r r r z
水力学
2．连续性方程的简化
[ ( ux ) ( u y ) ( uz )] 0 t x y z
第 五 章 液 体 三 元 流 动 基 本 原 理
u dr 0
水力学
第 五 章 液 体 三 元 流 动 基 本 原 理
（2）流线方程：
由
u dr u x u y u z 0 dx dy dz
i
j
k
得出流线微分方程：
dx dy dz u x ( x, y , z , t ) u y ( x, y , z , t ) u z ( x, y , z , t )
t 为变量。
水力学
第 五 章 液 体 三 元 流 动 基 本 原 理
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例1 已知用欧拉变数表示的流体运动的速度场
为
ux kx, uy ky, uz 0
(式中，k 为大于零的常数) ，求流线与迹线。
水力学
5.3 液体三元流动的连续性方程
第 五 章 液 体 三 元 流 动 基 本 原 理
1、方程的推导
dt时段,x,y,z三个方向流出
与流入控制体积的液体
的质量差为：
dM x , dM y , dM z
dM dM x dM y dM z
水力学
dM dM x dM y dM z
第 u y dy u y dy dy dy 五 章 dM y [( y 2 )(u y y 2 )dxdz ( y 2 )(u y y 2 )dxdz ]dt 液 体 dM [( dy u u y dy ) ( dy u u y dy )]dxdzdt y y y 三 y 2 y 2 y 2 y 2 元 流 u y 动 dM y [( dyu y dy )]dxdzdt y y 基 本 u y 原 [(u y )]dxdydzdt y y 理
质量净流出
液 dM dM 体 三 元 流 [ x ( ux ) y ( u y ) z ( uz )]dxdydzdt t ( dxdydz )dt 动 基 [ ( ux ) ( u y ) ( uz )] 0 本 t x y z 原 理 ( u ) 0 液体三元流动的连续性方程
2
u y (6 xy x)
判别流动是否能发生。
解：
u x u y 6x 6x 0 x y
所以该流动能发生。
水力学
第 五 章 液 体 三 元 流 动 基 本 原 理
例2 已知二维恒定不可压缩流动径向速度分量为
ur ( A cos / r )
2
式中A为常数，求切向速度分量