2021年新高考数学总复习讲义：积分

第 1 页 共 6 页 2021年新高考数学总复习讲义：积分
知识讲解
一、函数定积分
1.定义：设函数()y f x =定义在区间[,]a b 上．用分点0121n n a x x x x x b -=<<<<<=，把
区间[,]a b 分为n 个小区间，其长度依次为10121i i i x x x i n +∆=-=-，
，，，，．记λ为这些小区间长度的最大值，当λ趋近于0时，所有的小区间长度都趋近于0．在每个小区间内任取一点i ξ，作和式1
0()n n i i i I f x ξ-==∆∑． 当0λ→时，如果和式的极限存在，我们把和式n I 的极限叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定
积分，记作()b a f x dx ⎰，即1
00()lim ()n b i i a i f x dx f x λξ-→==∆∑⎰．其中()f x 叫做被积函数，a 叫积分下限，b 叫积分上限．()f x dx 叫做被积式．此时称函数()f x 在区间[,]a b 上可积． 2.曲边梯形：曲线与平行于y 轴的直线和x 轴所围成的图形，通常称为曲边梯形．
根据定积分的定义，曲边梯形的面积S 等于其曲边所对应的函数()y f x =在区间[]a b ，
上的定积分，即()b a S f x dx =⎰．
求曲边梯形面积的四个步骤：
第一步：分割．在区间[]a b ，
中插入1n -各分点，将它们等分成n 个小区间[]1i i x x -， ()12i n =，，，，区间[]1i i x x -，的长度1i i i x x x -∆=-，
第二步：近似代替，“以直代曲”，用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出每个小曲边梯形面积的近似值．
第三步：求和．
y=f (x )O y
x
b a。