2021年新高考数学总复习讲义:积分

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知识讲解

一、函数定积分

1.定义:设函数()y f x =定义在区间[,]a b 上.用分点0121n n a x x x x x b -=<<<<<=,把

区间[,]a b 分为n 个小区间,其长度依次为10121i i i x x x i n +∆=-=-,

,,,,.记λ为这些小区间长度的最大值,当λ趋近于0时,所有的小区间长度都趋近于0.在每个小区间内任取一点i ξ,作和式1

0()n n i i i I f x ξ-==∆∑. 当0λ→时,如果和式的极限存在,我们把和式n I 的极限叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定

积分,记作()b a f x dx ⎰,即1

00()lim ()n b i i a i f x dx f x λξ-→==∆∑⎰.其中()f x 叫做被积函数,a 叫积分下限,b 叫积分上限.()f x dx 叫做被积式.此时称函数()f x 在区间[,]a b 上可积. 2.曲边梯形:曲线与平行于y 轴的直线和x 轴所围成的图形,通常称为曲边梯形.

根据定积分的定义,曲边梯形的面积S 等于其曲边所对应的函数()y f x =在区间[]a b ,

上的定积分,即()b a S f x dx =⎰.

求曲边梯形面积的四个步骤:

第一步:分割.在区间[]a b ,

中插入1n -各分点,将它们等分成n 个小区间[]1i i x x -, ()12i n =,,,,区间[]1i i x x -,的长度1i i i x x x -∆=-,

第二步:近似代替,“以直代曲”,用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积,求出每个小曲边梯形面积的近似值.

第三步:求和.

y=f (x )O y

x

b a

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