高中数学 函数的单调性与导数课件 (优秀经典公开课比赛课件)
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说课：函数的单调性与导数 (3) 公开课一等奖课件PPT
( 教师说明：)
应正确理解“某个区间”的含义，它必是 定义域 内的某个区间。
（三）.知识应用 1．应用导数求函数的单调区间
基础训练：
(1)．函数y=x－3在[－3，5]上为______函数
(填“增”或“减”)。 （学生口答）
(2)．函数 y = x2－3x 在[2,+∞)上为______函数，
在(-∞,1]上为___函数，在[1,2]上为___ 函数 (填“增”或“减”或“既不是增函数，也不是减函 数”)。
三、说学法
为使学生积极参与课堂学习，我主要指导了以下的学习方法： 1．自主探究法：
让学生自己发现问题，自己归纳总结，自 己评析解题对 错，从而提高学生的 参与意识和数学表达能力。
2．比较法： 分组竞赛，对于同一个问题要求用不同方法，使学生从
中体验导数法的优越性。
四、说教学过程
（一）．回顾与思考
提问引入： 1．判断函数的单调性有哪些方法？ （引导学生回答“定义法”，“图象法”。）
2、 教学目标
知识目标：能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调 区间，能由导数信息绘制函数大致图象。
能力目标：培养学生的观察能力、归纳能力，增强数形结合 的思维意识。
情感目标：通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思 考、善总结，引导学生养成自主学习的学习习惯。
3、重点与难点
重点：探索并应用函数单调性与导数的关系求单调区间。 难点：利用导数信息绘制函数的大致图象。
当x 3或x 2时，f '( x) 0;
当x 3或x 2时，f '( x) 0. 试画出函数 f ( x) 图象的大致形状。
（分析题意后让学生尝试画图，并就学生中出现的两类答案 进行投影分析。）
应正确理解“某个区间”的含义，它必是 定义域 内的某个区间。
（三）.知识应用 1．应用导数求函数的单调区间
基础训练：
(1)．函数y=x－3在[－3，5]上为______函数
(填“增”或“减”)。 （学生口答）
(2)．函数 y = x2－3x 在[2,+∞)上为______函数，
在(-∞,1]上为___函数，在[1,2]上为___ 函数 (填“增”或“减”或“既不是增函数，也不是减函 数”)。
三、说学法
为使学生积极参与课堂学习，我主要指导了以下的学习方法： 1．自主探究法：
让学生自己发现问题，自己归纳总结，自 己评析解题对 错，从而提高学生的 参与意识和数学表达能力。
2．比较法： 分组竞赛，对于同一个问题要求用不同方法，使学生从
中体验导数法的优越性。
四、说教学过程
（一）．回顾与思考
提问引入： 1．判断函数的单调性有哪些方法？ （引导学生回答“定义法”，“图象法”。）
2、 教学目标
知识目标：能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调 区间，能由导数信息绘制函数大致图象。
能力目标：培养学生的观察能力、归纳能力，增强数形结合 的思维意识。
情感目标：通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思 考、善总结，引导学生养成自主学习的学习习惯。
3、重点与难点
重点：探索并应用函数单调性与导数的关系求单调区间。 难点：利用导数信息绘制函数的大致图象。
当x 3或x 2时，f '( x) 0;
当x 3或x 2时，f '( x) 0. 试画出函数 f ( x) 图象的大致形状。
（分析题意后让学生尝试画图，并就学生中出现的两类答案 进行投影分析。）
高中数学课件-函数的单调性(示范课课件)
思考4：如何用数学符号语言定义函 数的单调性？
y
图象在区间D逐渐上升
区间D内随着x的增大，y也增大
22
1
0 12
x
方案A：在区间（0,＋∞ )上取自变量1，2,∵1<2, f(1)<f(2) ∴f(x)在 (0,+∞ )上, 图象逐渐 上升
方案B：
函数f (x)在区间(a,b)上有无数个自变量x， 使得当a x1 x2 b时，有f (a) f (x1) f (x2) f (b), 由此能否说明该函数f (x)在(a,b)上的图象一直保持上升趋势？ 请你说明理由（举例或者画图）
说明:1.区间端点处若有定义写开写闭均可.无定义只能写开区间；
2.图象法判断函数的单调性：从左向右看图象的升降情况
练习1 根据下图说出函数的单调区间，以及在每 一单调区间上，函数是增函数还是减函数.
y 4 3
2
1
-1 O
2 4 5x
解:函数y=f(x)的单调区间有[－1,0）,[0,2) ，[2，4), [4，5]
（1） 函数单调性是针对某个区间D而言的，显然D是定义域 I的一部分，因此单调性是函数局部性质;
x1、x2的三大特征： （2）（（11））任x1、意x性2同属于一个单调区间
（2）x1、x2不相等，通常取 x1＜x2
（3）不是所有的函数都有单调性;
例1. 如图是定义在闭区间[－5,5]上的函数 y = f(x)的
的任意两个自变量的值x1,x2，
当x1<x2时，都有f(x1 ) < f(x2 ) ， 当x1<x2时，都有 f (x1 ) > f(x2 ) ，
那么就说在f(x)这个区间上是单调增 那么就说在f(x)这个区间上是单调
高中数学【函数的单调性】经典课件
可以看出，函数递增的充要条件是其图像上任意两点连线的斜 率都大于0，函数递减的充要条件是其图像上任意两点连线的斜率 都小于0
一般地，若I是函 数y=f（x）的定义域的子集，对任意x1，x2∈I且
x1≠x2，记y1=f（x1），y2=f（x2 ），则：f f (x2) f (x1)
），y
x
y2 x2
所以这个函数是增函数. 因此，当-1≤x≤6时， 有 f（-1）≤f（x）≤f（6），
从而这个函数的最小值为f（-1）=2，最大值为f（6）=23.
例2的结论也可由不等式的知识得到：因为-1≤x≤6，所以
-3≤3x≤18， 2≤3x+5≤23， 即f（-1）≤f（x）≤f（6），其余同上.
我们已经知道，两点确定一条直线，在平面直角坐标系中，这 一结论当然也成立.一般地，给定平面直角坐标系中的任意两点A （x1，y1），B（x2，y2），当x1≠x2时，称
利用上述结论，我们可以证明一个函数的单调性.
例如，对于函数y=-2x来说，对任意x1，x2∈R且x1≠x2，有
y (2x2） (2x1) 2x2 2x1 2＜0
x
x2 x1
x2 x1
因此y=-2x在R上是减函数.
典型例题
例3 求证：函数y=1 在区间（-∞，0）和（0，+∞）上都是减函
y2 y1 x2 x1
为直线AB的斜率；当x1=x2时，称直线AB的斜率不存在.
下面我们用直线的斜率来研究函数的单调性.
由函数的定义可知，任何一个函数图像上的两个点，它们所 确定的直线的斜率一定存在.
如下图所示，观察函数图像上任意两点连线的斜率的符号与函数 单调性之间的关系，并总结出一般规律。
函数的单调性
导数与函数的单调性ppt课件
x1x2 x1 - x2
x0x
一般地,设函数y=f(x)在某个区间内可导,则函数在
该区间有下面的结论:
如果在某区间上f/(x)>0,则f(x)为该区间上的增函数;
如果在某区间上f/(x)<0,则f(x)为该区间上的减函数.
引例：讨论函数y=x2－4x＋3的单调性.
（方法3:导数法）
解:函数的定义域为R, f/(x)=2x-4 令f /(x)>0,解得x>2， 则f(x)的单增区间为（2，＋∞）. 再令f /(x)<0,解得x<2, 则f(x)的单减区间(－∞,2).
上是单调递增的，求a的取值范围. a 16
f
(x) 2x
a x2
0对任意x [2, )恒成立.
2x3 a 0对任意x [2, )恒成立.
2x3 a对任意x [2, )恒成立.
变式：(2已x3)知min函数a对f (任x)意xx2[2,a(a)恒 R成)立在.x (, 2] x
课外作业
教材P84页 习题4-1 第1题
步骤：根据导数确定函数的单调性
1.确定函数f(x)的定义域.
. 2.求出函数的导数f/(x)
3.解不等式f/(x)>0,得函数单增区间; 解不等式f/(x)<0,得函数单减区间.
例5：已知函数f (x) x2 a (a R)在x [2, ) x
解：函数的定义域为x>0, f/(x)=lnx+1.
当lnx+1>0时，解得x>1/e.则f(x)的 单增区间是(1/e,+∞). 当lnx+1<0时，解得0<x<1/e.则f(x) 的单减区间是（0，1/e).
函数单调性与最值公开课一等奖课件省赛课获奖课件
x b
0a
x b
从几何上看, y = f (x) 在 [a, b] 上单增(或单减)，
其图形是一条沿 x 轴正向上升(或下降)的曲线。
上升的曲线每点处的切线斜率均为正，
即 f ( x) 0 ;
下降的曲线每点处的切线斜率均为负， 即 f ( x) 0 .
定 理：
设函数 y f x在 a,b连续, 在 a,b 可导,
y
x 0
二. 极值的求法. 由上图可知，函数取到极值处，曲
线的切线都是水平的，但有水平切线的 点不一定都是函数的极值点。
定理 1：（必要条件）
设 f (x)在 x0 处可导，且在 x0 处获得极
值，则必有 f ( x0 ) 0 .
阐明：
1.使导数 f ( x)为 0 的点，称为 f (x) 的驻点。 可导函数的极值点必是驻点， 但 驻点不一定是极值点。
定义：设 f x在a,b内有定义，x0 a,b.
对 x U ( xˆ0 , ),
若 f (x0) > f (x), 则称 f (x0)为 f (x)的一种 极大值， x0 称为极大值点；
若 f (x0) < f (x), 则称 f (x0)为 f (x)的一种
极小值， x0 称为极小值点。 极大值(点)与极小值(点)统称极值(点)。
2. 证明方程根的唯一性
例3：证明方程 x5 5x 1 0 在 1，0内
有唯一的实根。 证：先证明根的存在性：
设 f x x5 5x 1 且在 1，0 连续，
f 1 5 0, f 0 1 0，
由零点定理, f (x) = 0 在 (-1,0) 内最少有一根; 再证明根的唯一性：
sec3 x sin x(2 cos3 x) 0
人教版高中数学选修1-1 函数的单调性与导数 PPT课件
x
(3) f(x)=sinx-x ; x∈(0,p)
解： f ( x) =cosx-1<0 从而函数f(x)=sinx-x 在x∈(0,p)单调递减， 见右图。
y
o
f ( x) sin x x
x
(4) f(x)=2x3+3x2-24x+1 ; 解： f ( x) =6x2+6x-24=6(x2+x-4)>0 当 f ( x) >0，
即 x 1 17 或x 1 17
2 2
时，
函数单调递增；
当 f ( x) <0，
即 1 17 1 17 时， y x 2 2
函数单调递减； 图象见右图。
o
x
1°什么情况下，用“导数法” 求函数单调性、 单调区间较简便？
总结: 当遇到三次或三次以上的,或图象很难
1．应用导数求函数的单调区间 基础训练：
(选填:“增” ,“减” ,“既不是增函数,也不是减函数”)
增 (1) 函数y=x－3在[－3，5]上为__________ 函数。 增 函数， (2) 函数 y = x2－3x 在[2，+∞)上为_____ 减 函数，在[1,2]上为__ 在(－∞,1]上为______
解：
y ' 6x 3
解：
y ' 9 x 6 x 3 x(3 x 2) 2 令y ' 0得x 或x 0 3 2 令y ' 0得0 x 3
2
2
例2、已知导函数 f ( x ) 的下列信息：
当1<x<4时， f ( x) 0 当x>4,或x<1时， f ( x) 0 当x=4,或x=1时， f ( x) 0 试画出函数f(x)图象的大致形状。
高中数学函数的单调性(1)优秀课件
函数是描述事物运动变化规律的数学模型.如果 了解了函数的变化规律，那么也就根本把握了相应事 物的变化规律.
观察以下两个函数的图象，你能说说它们分别反 映了相应函数的哪些变化规律？
f (x) x
f (x) x2
f (x) x
f (x) x2
函数 f(x)=x 的图象 由左至右是上升的；
函数 f(x)=x2的图象 在y轴左侧是下降的, 在y轴右侧是上升的.
O
x
在区间(,0),(0,)上是减函数.
能写成并集么？
引例.定义在闭区间[-5，5]上的函数y=f(x)的图象， 根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一单调 区间上，y=f(x)是增函数还是减函数.
解：函数的单调区间有[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5]; 其中y=f(x)在区间[-5,-2)，[1,3)上是减函数， 在区间[-2,1)，[3,5]上是增函数.
y f (x) x2
一般地，设函数f ( x)的定义域为I :
O
x
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量
的值x1, x2 ,当x1 x2时，都有f ( x1 ) f ( x2 ),那么就说 函数f ( x)在区间D上是增函数.
增函数的定义：
一般地，设函数f ( x)的定义域为I : 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量 的值x1, x2 ,当x1 x2时，都有f ( x1 ) f ( x2 ),那么就说 函数f ( x)在区间D上是增函数.
思考：对于函数f(x)定义域内某个区间D上的任意
两个自变量的值x1,x2，若 区间D上的单调性如何？
f (x1) f (，x2则) 函0 数f(x)在
x1 x2
观察以下两个函数的图象，你能说说它们分别反 映了相应函数的哪些变化规律？
f (x) x
f (x) x2
f (x) x
f (x) x2
函数 f(x)=x 的图象 由左至右是上升的；
函数 f(x)=x2的图象 在y轴左侧是下降的, 在y轴右侧是上升的.
O
x
在区间(,0),(0,)上是减函数.
能写成并集么？
引例.定义在闭区间[-5，5]上的函数y=f(x)的图象， 根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一单调 区间上，y=f(x)是增函数还是减函数.
解：函数的单调区间有[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5]; 其中y=f(x)在区间[-5,-2)，[1,3)上是减函数， 在区间[-2,1)，[3,5]上是增函数.
y f (x) x2
一般地，设函数f ( x)的定义域为I :
O
x
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量
的值x1, x2 ,当x1 x2时，都有f ( x1 ) f ( x2 ),那么就说 函数f ( x)在区间D上是增函数.
增函数的定义：
一般地，设函数f ( x)的定义域为I : 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量 的值x1, x2 ,当x1 x2时，都有f ( x1 ) f ( x2 ),那么就说 函数f ( x)在区间D上是增函数.
思考：对于函数f(x)定义域内某个区间D上的任意
两个自变量的值x1,x2，若 区间D上的单调性如何？
f (x1) f (，x2则) 函0 数f(x)在
x1 x2
人教版高中数学必修1《函数的单调性》PPT课件
k(x1 x2 )．
解：函数 f (x) kx b (k 0)的定义域是R．
x1， x2 R，且 x1 x2，则 f (x1) f (x2 ) kx1 b (kx2 b)
k(x1 x2 )． 由 x1 x2，得 x1 x2 0．所以
①当k 0时，k(x1 x2 ) 0．
只要 x1 x2，就有 f (x1) f (x2 )．
追问 3：这里对 x1，x2有什么要求？只取(,0]上的某些数对 是否可以？你能举例说明吗？
追问 3：这里对 x1，x2有什么要求？只取(,0]上的某些数对 是否可以？你能举例说明吗？
所有的 x1 x2，有 f (x1) f (x2 )．
你能由例 1、例 2 的证明过程，归纳一下用单调性定义研究或证 明一个函数在区间 D上的单调性的基本步骤吗？
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤：
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤： 第一步，在区间 D上任取两个自变量的值 x1，x2 D，并规定 x1 x2；
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤： 第一步，在区间 D上任取两个自变量的值 x1，x2 D，并规定 x1 x2；
V
于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强 p将增大，试对此用函数
的单调性证明．
例 2 物理学中的玻意耳定律 p k （k 为正常数）告诉我们，对
V
于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强 p将增大，试对此用函数 的单调性证明．
思考:“体积V 减小时，压强 p增大”的含义？
例 2 物理学中的玻意耳定律 p k （k 为正常数）告诉我们，对
解：函数 f (x) kx b (k 0)的定义域是R．
x1， x2 R，且 x1 x2，则 f (x1) f (x2 ) kx1 b (kx2 b)
解：函数 f (x) kx b (k 0)的定义域是R．
x1， x2 R，且 x1 x2，则 f (x1) f (x2 ) kx1 b (kx2 b)
k(x1 x2 )． 由 x1 x2，得 x1 x2 0．所以
①当k 0时，k(x1 x2 ) 0．
只要 x1 x2，就有 f (x1) f (x2 )．
追问 3：这里对 x1，x2有什么要求？只取(,0]上的某些数对 是否可以？你能举例说明吗？
追问 3：这里对 x1，x2有什么要求？只取(,0]上的某些数对 是否可以？你能举例说明吗？
所有的 x1 x2，有 f (x1) f (x2 )．
你能由例 1、例 2 的证明过程，归纳一下用单调性定义研究或证 明一个函数在区间 D上的单调性的基本步骤吗？
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤：
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤： 第一步，在区间 D上任取两个自变量的值 x1，x2 D，并规定 x1 x2；
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤： 第一步，在区间 D上任取两个自变量的值 x1，x2 D，并规定 x1 x2；
V
于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强 p将增大，试对此用函数
的单调性证明．
例 2 物理学中的玻意耳定律 p k （k 为正常数）告诉我们，对
V
于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强 p将增大，试对此用函数 的单调性证明．
思考:“体积V 减小时，压强 p增大”的含义？
例 2 物理学中的玻意耳定律 p k （k 为正常数）告诉我们，对
解：函数 f (x) kx b (k 0)的定义域是R．
x1， x2 R，且 x1 x2，则 f (x1) f (x2 ) kx1 b (kx2 b)
函数单调性课件(公开课)ppt
函数单调性课件(公开课)
目录
• 函数单调性的定义与性质 • 判断函数单调性的方法 • 单调性在解决实际问题中的应用 • 函数单调性的深入理解 • 函数单调性的实际案例分析
01 函数单调性的定义与性质
函数单调性的定义
函数单调性是指函数在某个区间内的增减性。如果函数在某个区间内单调递增， 则表示函数值随着自变量的增加而增加；如果函数在某个区间内单调递减，则表 示函数值随着自变量的增加而减小。
的计算过程。
单调性与微分方程的关系
要点一
单调性决定了微分方程解的稳定 性
对于一阶线性微分方程，如果其系数函数在某区间内单调 递增（或递减），则该微分方程的解在此区间内是稳定的 。
要点二
单调性是研究微分方程的重要工 具
通过单调性可以判断微分方程解的存在性和唯一性，以及 研究解的动态行为。
05 函数单调性的实际案例分 析
总结词
利用单调性证明或解决不等式问题
详细描述
单调性在解决不等式问题中起到关键作用。通过分析函数的单调性，我们可以证明不等式或解决与不等式相关的 问题。例如，利用单调性可以证明数学归纳法中的不等式，或者在比较大小的问题中利用单调性进行判断。
单调性在函数极值问题中的应用
总结词
利用单调性求解函数的极值
详细描述
函数单调性的定义可以通过函数的导数来判断。如果函数的导数大于0，则函数在该 区间内单调递增；如果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
函数单调性的性质
函数单调性具有传递性，即如果函数在区间I上单调递增，且 在区间J上单调递增，则函数在区间I和J的交集上也是单调递 增的。
函数单调性具有相对性，即如果函数在区间I上单调递增，且 另一个函数在区间J上单调递增，则这两个函数在区间I和J的 交集上也是单调递增的。
目录
• 函数单调性的定义与性质 • 判断函数单调性的方法 • 单调性在解决实际问题中的应用 • 函数单调性的深入理解 • 函数单调性的实际案例分析
01 函数单调性的定义与性质
函数单调性的定义
函数单调性是指函数在某个区间内的增减性。如果函数在某个区间内单调递增， 则表示函数值随着自变量的增加而增加；如果函数在某个区间内单调递减，则表 示函数值随着自变量的增加而减小。
的计算过程。
单调性与微分方程的关系
要点一
单调性决定了微分方程解的稳定 性
对于一阶线性微分方程，如果其系数函数在某区间内单调 递增（或递减），则该微分方程的解在此区间内是稳定的 。
要点二
单调性是研究微分方程的重要工 具
通过单调性可以判断微分方程解的存在性和唯一性，以及 研究解的动态行为。
05 函数单调性的实际案例分 析
总结词
利用单调性证明或解决不等式问题
详细描述
单调性在解决不等式问题中起到关键作用。通过分析函数的单调性，我们可以证明不等式或解决与不等式相关的 问题。例如，利用单调性可以证明数学归纳法中的不等式，或者在比较大小的问题中利用单调性进行判断。
单调性在函数极值问题中的应用
总结词
利用单调性求解函数的极值
详细描述
函数单调性的定义可以通过函数的导数来判断。如果函数的导数大于0，则函数在该 区间内单调递增；如果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
函数单调性的性质
函数单调性具有传递性，即如果函数在区间I上单调递增，且 在区间J上单调递增，则函数在区间I和J的交集上也是单调递 增的。
函数单调性具有相对性，即如果函数在区间I上单调递增，且 另一个函数在区间J上单调递增，则这两个函数在区间I和J的 交集上也是单调递增的。
函数函数的单调性课件
2023函数函数的单调性课件pptcontents •引言•函数的单调性•判定函数单调性的方法•应用•习题与练习•总结目录01引言课程简介课程名称函数函数的单调性适用对象高中数学及大学数学初学者课程目标掌握函数单调性的概念、分类、判定方法及其应用帮助学生学习函数单调性的基本知识和判定方法，能够正确判断函数的单调性，并解决相关问题。
函数单调性是函数的重要性质之一，对于理解函数的变化规律、解决函数的相关问题具有重要意义，同时也是学习微积分、概率统计等学科的基础。
目的意义目的和意义1教学方法23通过讲解、演示和图示等方法，使学生理解函数单调性的概念和判定方法。
理论教学通过典型例题的分析和求解，使学生掌握函数单调性的应用和解题技巧。
案例教学教师与学生进行互动，及时了解学生的学习情况并调整教学策略。
互动教学02函数的单调性函数的定义定义域自变量的取值范围对应关系给定自变量x，可以确定唯一因变量y函数关系一种对应关系，即对于自变量x的每一个确定的值，都有唯一确定的y值与之对应。
函数的图形表示直角坐标系以x为横轴，y为纵轴，描绘函数图形函数图形展现函数与自变量之间的变化关系单调递增单调递减单调区间当自变量x增大时，函数值y反而减小单调递增或递减的区间03单调性的定义02 01当自变量x增大时，函数值y也增大03判定函数单调性的方法最基础的判定方法总结词定义法是通过在函数定义域内任意取两个自变量，比较其对应的函数值大小，进而判断函数的单调性。
一般情况下，需要证明函数在定义域内满足以下条件：若$x_1<x_2$，则$f(x_1)<f(x_2)$，此时函数为增函数；若$f(x_1)<f(x_2)$，则$x_1<x_2$，此时函数为减函数。
详细描述总结词适用于较复杂函数的判定方法详细描述导数法是通过求出函数的导数，然后根据导数值的正负情况来判断函数的单调性。
函数在某区间内导数值大于0时，函数在该区间内单调递增；导数值小于0时，函数在该区间内单调递减。
函数的单调性(公开课课件)
详细描述
单调减函数是指函数在某个区间内，对于任意两个自变量$x_1$和$x_2$（$x_1 < x_2$），如果$x_1$和$x_2$ 都在这区间内，那么函数值$f(x_1) geq f(x_2)$。也就是说，函数的图像随着$x$的增加而下降。
严格单调函数的定义
总结词
严格单调函数是指函数在某个区间内，严格满足单调增或单调减条件的函数。
利用单调性解方程
利用函数的单调性，可以求解方程。
通过分析函数的单调性，可以确定方程解的范围，从而求解方程。例如，对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$，如果$a > 0$，则函数$f(x) = ax^2 + bx + c$在区间$(-infty, -frac{b}{2a})$上单调递减，在区间$(-frac{b}{2a}, +infty)$上单调递增 ，因此方程的解必定落在$(-frac{b}{2a}, +infty)$区间内。
函数单调性的反例
04
单调增函数的反例
总结词
非严格单调增函数
详细描述
有些函数在其定义域内并非严格单调递增，即存在某些区间内函数值先减小后 增大。例如，函数$f(x) = x^3$在区间$(-2, -1)$内是单调减函数。
单调减函数的反例
总结词
非严格单调减函数
详细描述
有些函数在其定义域内并非严格单调递减，即存在某些区间 内函数值先增大后减小。例如，函数$f(x) = frac{1}{x}$在区 间$(1, +infty)$内是单调增函数。
详细描述
单调增函数是指函数在某个区间内，对于任 意两个自变量$x_1$和$x_2$（$x_1 < x_2$ ），如果$x_1$和$x_2$都在这区间内，那么 函数值$f(x_1) leq f(x_2)$。也就是说，函数 的图像随着$x$的增加而上升。
单调减函数是指函数在某个区间内，对于任意两个自变量$x_1$和$x_2$（$x_1 < x_2$），如果$x_1$和$x_2$ 都在这区间内，那么函数值$f(x_1) geq f(x_2)$。也就是说，函数的图像随着$x$的增加而下降。
严格单调函数的定义
总结词
严格单调函数是指函数在某个区间内，严格满足单调增或单调减条件的函数。
利用单调性解方程
利用函数的单调性，可以求解方程。
通过分析函数的单调性，可以确定方程解的范围，从而求解方程。例如，对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$，如果$a > 0$，则函数$f(x) = ax^2 + bx + c$在区间$(-infty, -frac{b}{2a})$上单调递减，在区间$(-frac{b}{2a}, +infty)$上单调递增 ，因此方程的解必定落在$(-frac{b}{2a}, +infty)$区间内。
函数单调性的反例
04
单调增函数的反例
总结词
非严格单调增函数
详细描述
有些函数在其定义域内并非严格单调递增，即存在某些区间内函数值先减小后 增大。例如，函数$f(x) = x^3$在区间$(-2, -1)$内是单调减函数。
单调减函数的反例
总结词
非严格单调减函数
详细描述
有些函数在其定义域内并非严格单调递减，即存在某些区间 内函数值先增大后减小。例如，函数$f(x) = frac{1}{x}$在区 间$(1, +infty)$内是单调增函数。
详细描述
单调增函数是指函数在某个区间内，对于任 意两个自变量$x_1$和$x_2$（$x_1 < x_2$ ），如果$x_1$和$x_2$都在这区间内，那么 函数值$f(x_1) leq f(x_2)$。也就是说，函数 的图像随着$x$的增加而上升。
函数的单调性与最值 课件(共20张PPT)
最值. 三．对于较复杂函数，可用换元法化归为简单函数、或者运用导数，
求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.
课堂小结
单调性
定义
图象特征 判断方法
应用
定义法 图象变换 求导法 求最值 求参数范围 解不等式
祝同学们前程似锦！
专题一：判断、证明函数的单调性
例 1：(3)已知 f x 2x , x 2,6. (1)判断 f x 的单调性，并加以证明；(2)求 f x 的最值.
x 1
专题一：判断、证明函数的单调性
变式 3：讨论 f x ax a 0, 的单调性.
x 1
小结： 确定函数单调性的四种方法 (1)定义法；(2)导数法；(3)图象法；(4)性质法．
【学习目标】
01
理解函数的单调性、最大值、最小值及其 几何意义；
02
会运用函数图象理解和研究函数的单调性， 并利用单调性求最值或者求参数范围；
03
培养抽象概括、逻辑推理、运算求解等能 力．
复习回顾 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义
增函数
减函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1，x2∈D 定义 当x1<x2时，都有__f_(x_1_)_<_f(_x_2)_， 当x1<x2时，都有_f_(_x_1)_>_f_(x_2_)，
自左向右看图象是下降的
复习回顾
(2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上_单__调__递__增__或_单__调__递__减__，那么就说函数y＝f(x) 在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间.
复习回顾 2.函数的最值
前提
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.
课堂小结
单调性
定义
图象特征 判断方法
应用
定义法 图象变换 求导法 求最值 求参数范围 解不等式
祝同学们前程似锦！
专题一：判断、证明函数的单调性
例 1：(3)已知 f x 2x , x 2,6. (1)判断 f x 的单调性，并加以证明；(2)求 f x 的最值.
x 1
专题一：判断、证明函数的单调性
变式 3：讨论 f x ax a 0, 的单调性.
x 1
小结： 确定函数单调性的四种方法 (1)定义法；(2)导数法；(3)图象法；(4)性质法．
【学习目标】
01
理解函数的单调性、最大值、最小值及其 几何意义；
02
会运用函数图象理解和研究函数的单调性， 并利用单调性求最值或者求参数范围；
03
培养抽象概括、逻辑推理、运算求解等能 力．
复习回顾 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义
增函数
减函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1，x2∈D 定义 当x1<x2时，都有__f_(x_1_)_<_f(_x_2)_， 当x1<x2时，都有_f_(_x_1)_>_f_(x_2_)，
自左向右看图象是下降的
复习回顾
(2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上_单__调__递__增__或_单__调__递__减__，那么就说函数y＝f(x) 在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间.
复习回顾 2.函数的最值
前提
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
导数与函数的单调性高三数学一轮复习课件
答案： g'(x)=3x^26x+2，g'(x)在 [1,2]上单调递减， 所以g(x)在[1,2]
上单调递减
答案：g'(x)=3x^2-6x+2，g'(x)在[1,2]上单调递减，所以g(x)在[1,2]上单调递减
题目：求函数 h(x)=x^33x^2+2x+1在区 间[-2,2]上的极值
答案： h'(x)=3x^26x+2，h'(x)^26x+2，g'(x)在 区间[1,2]上单调 递减，所以g(x) 在区间[1,2]上单 调递减
综合练习题三及答案
题目：求函数f(x)=x^33x^2+2x+1在区间[-1,1]上的单 调性
题目：求函数g(x)=x^33x^2+2x+1在区间[-1,1]上的极 值
添加标题
上单调递增
综合练习题二及答案
题目：求函数 f(x)=x^33x^2+2x+1在 区间[-1,1]上的 单调性
答案： f'(x)=3x^26x+2，f'(x)在 区间[-1,1]上单 调递增，所以f(x) 在区间[-1,1]上 单调递增
题目：求函数 g(x)=x^33x^2+2x+1在 区间[1,2]上的单 调性
等
导数的应用举例
判断函数的单调性：通过导 数判断函数的增减性
求函数的极值：通过导数求 解函数的最大值和最小值
求函数的切线：通过导数求 解函数的切线方程
求函数的凹凸性：通过导数 判断函数的凹凸性
03
函数的单调性
单调性的定义与判断方法
判断方法：利用导数判断，如果 导数大于0，则函数在该区间内 单调递增；如果导数小于0，则 函数在该区间内单调递减
上单调递减
答案：g'(x)=3x^2-6x+2，g'(x)在[1,2]上单调递减，所以g(x)在[1,2]上单调递减
题目：求函数 h(x)=x^33x^2+2x+1在区 间[-2,2]上的极值
答案： h'(x)=3x^26x+2，h'(x)^26x+2，g'(x)在 区间[1,2]上单调 递减，所以g(x) 在区间[1,2]上单 调递减
综合练习题三及答案
题目：求函数f(x)=x^33x^2+2x+1在区间[-1,1]上的单 调性
题目：求函数g(x)=x^33x^2+2x+1在区间[-1,1]上的极 值
添加标题
上单调递增
综合练习题二及答案
题目：求函数 f(x)=x^33x^2+2x+1在 区间[-1,1]上的 单调性
答案： f'(x)=3x^26x+2，f'(x)在 区间[-1,1]上单 调递增，所以f(x) 在区间[-1,1]上 单调递增
题目：求函数 g(x)=x^33x^2+2x+1在 区间[1,2]上的单 调性
等
导数的应用举例
判断函数的单调性：通过导 数判断函数的增减性
求函数的极值：通过导数求 解函数的最大值和最小值
求函数的切线：通过导数求 解函数的切线方程
求函数的凹凸性：通过导数 判断函数的凹凸性
03
函数的单调性
单调性的定义与判断方法
判断方法：利用导数判断，如果 导数大于0，则函数在该区间内 单调递增；如果导数小于0，则 函数在该区间内单调递减
高中数学选修2-2课件1.3.1《函数的单调性与导数》课件
y y=x
y y = x2
y y = x3
y
y1 x
O
x
O
x
O
x
x
O
在某个区间(a,b)内,如果 f (x) 0 ,那么函数 y f (x)在这个区间内单调递增; 如果 f (x) 0 ,那
么函数 y f (x) 在这个区间内单调递减.
如果恒有 f '(x) 0 ，则 f (x) 是常数。
h
h
h
h
O
t
(A)
O
t
(B)
O
t
(C)
O
t
(D)
一般地, 如果一个函数在某一范围内导数 的绝对值较大, 那么函数在这个范围内变化得 快, 这时, 函数的图象就比较“陡峭”(向上 或向下); 反之, 函数的图象就“平缓”一些.
如图,函数 y f (x) 在 (0,b)或 (a,0)内的图 象“陡峭”,在(b,) 或(, a)
练习2
已知函数f(x)=2ax - x3，x (0,1],a 0,
若f(x)在（0，1]上是增函数，求a的取值范围。
[
3 2
,)
例3：方程根的问题
求证：方程 x 1 sin x 0 只有一个根。
2
f ( x ) x - 1 sin x,x ( , ) 2
f '( x ) 1 1 cos x 0 2
在（－ ∞ ，1）上是减 函数，在（1, ＋∞）上 是增函数。
在(－ ∞,＋∞)上是 增函数
(1)函数的单调性也叫函数的增减性； (2)函数的单调性是对某个区间而言的，它是个局部概
念。这个区间是定义域的子集。 (3)单调区间：针对自变量x而言的。
函数单调性课件公开课
典型例题分析与解答
• 例题1：讨论函数$f(x) = |x| + x^2$的单调性。 • 解答：首先确定函数的定义域为全体实数。当$x \geq 0$时，$f(x) = x + x^2$，其导数为$f'(x) = 1 + 2x
\geq 1 > 0$，故在该区间内函数单调递增；当$x < 0$时，$f(x) = -x + x^2$，其导数为$f'(x) = -1 + 2x < 1 + 0 = -1 < 0$，故在该区间内函数单调递减。因此，函数$f(x) = |x| + x^2$在$x \geq 0$时单调递增，在 $x < 0$时单调递减。 • 例题2：判断分段函数$f(x) = \begin{cases} x^2, & x \leq 1 \ 2x, & x > 1 \end{cases}$的单调性。 • 解答：当$x \leq 1$时，$f(x) = x^2$，其导数为$f'(x) = 2x$。由于在该区间内$2x \leq 2 < 0$不成立，故函 数在该区间内不单调；当$x > 1$时，$f(x) = 2x$，其导数为$f'(x) = 2 > 0$，故函数在该区间内单调递增。 因此，分段函数$f(x)$在$x \leq 1$时不单调，在$x > 1$时单调递增。同时注意到在分段点$x=1$处$f(1) = 1^2 = 1 < 2 \times 1 = 2$，不影响整体单调性判断。
分段函数单调性判断方法
逐段判断
对于分段函数，需要分别在每一 段上判断函数的单调性，并考虑
分段点处的函数值大小关系。
图像法
通过绘制分段函数的图像，可以直 观地判断函数的单调性。
2024年函数的单调性(公开课课件)很赞
函数的单调性(公开课课件)很赞函数的单调性（公开课课件）一、引言函数是数学中非常重要的概念，它描述了一种输入与输出之间的特殊关系。
在实际应用中，我们经常需要研究函数的性质，其中函数的单调性是一个重要的研究方向。
函数的单调性可以理解为函数值随着自变量的增加或减少而单调递增或递减的性质。
本文将详细介绍函数的单调性，包括单调性的定义、判定方法以及单调性在数学和其他学科中的应用。
二、函数的单调性定义1.单调递增函数：如果对于任意的x1<x2，都有f(x1)≤f(x2)，则称函数f(x)在区间I上是单调递增的。
2.单调递减函数：如果对于任意的x1<x2，都有f(x1)≥f(x2)，则称函数f(x)在区间I上是单调递减的。
3.单调函数：如果函数f(x)在区间I上既是单调递增又是单调递减的，则称函数f(x)在区间I上是单调的。
三、函数单调性的判定方法1.导数法：利用导数的性质来判断函数的单调性。
如果函数f(x)在区间I上可导，且导数f'(x)在区间I上恒大于0（小于0），则函数f(x)在区间I上是单调递增（递减）的。
2.增减性判定法：通过比较函数在区间I上任意两点处的函数值，来判断函数的单调性。
如果对于区间I上的任意两点x1和x2，满足x1<x2时有f(x1)≤f(x2)（f(x1)≥f(x2）），则函数f(x)在区间I上是单调递增（递减）的。
3.图像法：通过观察函数的图像来判断函数的单调性。
如果函数图像从左到右上升（下降），则函数在该区间上是单调递增（递减）的。
四、函数单调性的应用1.数学中的应用：函数的单调性在数学中有着广泛的应用，如求解不等式、极值问题、最优化问题等。
利用函数的单调性，可以简化问题的求解过程，提高解题效率。
2.经济学中的应用：在经济学中，函数的单调性可以用来分析价格、产量、需求等经济变量之间的关系。
通过研究这些变量的单调性，可以预测市场变化，为政府和企业提供决策依据。
3.3.1函数的单调性与导数(优秀经典公开课比赛课件).
课堂互动 一、判断函数的单调性
关于函数单调性的证明问题： (1)首先考虑函数的定义域，所有函数性质的研究必 须保证在定义域内这个前提下进行． (2)f′(x)>(或<)0，则f(x)为单调递增(或递减)函数； 但要特别注意，f(x)为单调递增(或递减)函数，则 f′(x)≥(或≤)0.
例1 证明：函数y＝lnx＋x在其定义域内为单调
3.3.1 函数的单调性与导数
温故夯基
1．函数 y＝x2－2x 的单调递增区间是_[1_，__＋__∞__)_， 单调递减区间是_(－__∞__，__1_]_ ． 2．函数 f(x)＝sinx 的导数 f′(x)＝_c_o_s_x_；在区间 0，π2上，f(x)单调递_增___(填“增”或“减”)， f′(x)_>__0(填“>”或“<”)．
3 3 <x<0
或
x>
3 3.
又∵x>0，∴x>
3 3.
令 f′(x)<0，即 2·3x2x－1<0，
解得
x<－
3或 3
0<x<
3 3.
又∵x>0，∴0<x<
3 3.
∴f(x)的单调递增区间为( 33，＋∞)，单调递减区间为(0，
33)．
方法感悟
利用导数研究函数单调性时应注意的问题 (1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确 定函数的定义域，解决问题的过程只能在定义域 内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区 间． (2)在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导 数等于零的点外，还要注意在定义域内的不连续 点和不可导点． (3)如果一个函数的单调区间不止一个，这些单调 区间之间不能用“∪”连接，而只能用“逗号” 或“和”字等隔开．
1.3.1函数的单调性与导数第一时公开课PPT课件一等奖新名师优质课获奖比赛公开课
练习：求下列函数的单调区间
(1) f (x) ex x 1 增区间为(0,+∞)
减区间为(-∞,0)
(2) (3)
f f
(x) (x)
3x x3 cos x
增区间为(-1,1)
2x减(x区间(为2 (, -2∞) 减增,-区区1)间间,(为为1,+(∞(2)
, )
6
,)
(4) f (x) 2x3 3x2 24x 1
当x 3或x 2时，f '( x) 0. f ( x)图象在此两处
附近几乎没有升降
试画出函数 f ( x) 图象的大致形状。变化,切线平行x轴 yA
y f (x)
解： f ( x)的大致形状如右图： 这里，称A,B两点为“临界点”
B o 2 3x
(04浙江理工类)
设 f '(x)是函数 f ( x) 的导函数，y f '(x)的图象如
2、根据导数确定函数的单调性步骤：
（1）确定函数f(x)的定义域. （2）求出函数的导数. （3）解不等式f´(x)>0,得函数单增区间;
解不等式f´(x)<0,得函数单减区间.
题型三：根据函数的单调性求参数的取值范围
思考：
例1：求参数的范围 若函数f(x) ax3 - x2 x - 5在(-,+)上单调递增， 求a的取值范围
即：a 3 x2在（0，1]上恒成立，
2
而g( x ) 3 x2在（0，1]上的最大值为 3，
2
2
a 3。 2
[
3 2
,)
例3：方程根的问题
求证：方程 x 1 sin x 0 只有一个根。
2
解：f ( x ) x - 1 sin x,x ( , ) 2
(1) f (x) ex x 1 增区间为(0,+∞)
减区间为(-∞,0)
(2) (3)
f f
(x) (x)
3x x3 cos x
增区间为(-1,1)
2x减(x区间(为2 (, -2∞) 减增,-区区1)间间,(为为1,+(∞(2)
, )
6
,)
(4) f (x) 2x3 3x2 24x 1
当x 3或x 2时，f '( x) 0. f ( x)图象在此两处
附近几乎没有升降
试画出函数 f ( x) 图象的大致形状。变化,切线平行x轴 yA
y f (x)
解： f ( x)的大致形状如右图： 这里，称A,B两点为“临界点”
B o 2 3x
(04浙江理工类)
设 f '(x)是函数 f ( x) 的导函数，y f '(x)的图象如
2、根据导数确定函数的单调性步骤：
（1）确定函数f(x)的定义域. （2）求出函数的导数. （3）解不等式f´(x)>0,得函数单增区间;
解不等式f´(x)<0,得函数单减区间.
题型三：根据函数的单调性求参数的取值范围
思考：
例1：求参数的范围 若函数f(x) ax3 - x2 x - 5在(-,+)上单调递增， 求a的取值范围
即：a 3 x2在（0，1]上恒成立，
2
而g( x ) 3 x2在（0，1]上的最大值为 3，
2
2
a 3。 2
[
3 2
,)
例3：方程根的问题
求证：方程 x 1 sin x 0 只有一个根。
2
解：f ( x ) x - 1 sin x,x ( , ) 2
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作业布置：
教材P98 A 组1.（1）（2） 2.（2）（4）
对于函数y＝f(x)在某个区间上单调递增或单调 递减的性质，叫做f(x)在这个区间上的单调性， 这个区间叫做f(x)的单调区间。
问题2:
讨论f (x)=x3-6x2+9x-3 的单调性.
新课引入
y
2 o
1.在x＝2的左边函数图像的单 调性如何？
2.在x＝2的左边函数图像上的各
点切线的倾斜角为
(锐角
3.3《导数在研究函数中的应用》
3.3.1函数的单调性与导数
基本初等函数的导数公式：
c 0
xn nxn1
sin x cos x cosx -sin x
导数运算法则：
u v u v
u v uv u v
u v
uv u v v2
Y
y x2 4x 3
O
X
问题1.确定函数
问题2:
讨论f (x)=x3-6x2+9x-3的单调性.
解: f ' (x)=3x2-12x+9
令3x2-12x+9>0,解得x>3或x<1,因此,当 x (3,) 或 x (,1) 时, f(x)是增函数.
令3x2-12x+9<0,解得1<x<3,因此,当 x(1,3) 时, f(x)是减函数.
步骤： （1）求函数的定义域
（2）求函数的导数
（3）令f’(x)>0以及f’(x)<0,求自变量x的取值范围， 即函数的单调区间。
确定函数 f (x) 2x3 6x2 7 ，在哪个区间
是增函数，那∞,＋∞)
y
f '(x) 6x2 12 x
令6x2－12x>0,解得x>2或x<0
f (x) x2 4x 3
在哪个区间是减函数？
y
在哪个区间上是增函数？
2
o
x
单调性的概念
对于给定区间上的函数f(x):
1.如果对于这个区间上的任意两个自变量x1,x2,当 x1<x2时，都有 f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在这个区 间上是增函数.
2.如果对于这个区间上的任意两个自变量x1,x2,当 x1<x2时，都有f(x1)>f(x2),那么就说f(x)在这个区 间上是减函数
/钝角)?它的斜率有什么特征？
x
3.由导数的几何意义，你可以 得到什么结论？
4.在x＝2的右边时，同时回答 上述问题。
y
1 3
01
x
3
定理： 一般地，函数y＝f（x）在某个区间内可导： • 如果恒有 f′(x)>0，则 f（x） 是增函数; • 如果恒有 f′(x)<0，则f（x） 是减函数; • 如果恒有 f′(x)=0，则f（x） 是常数。
∴当x ∈(2,＋∞)时，f(x)是增函数；
当x ∈(－∞，0)时，f(x)也是增函数 令6x2－12x<0,解得,0<x<2 ∴当x ∈(0,2)时，f(x)是减函数。
o
x
首页
练习:判断下列函数的单调性 (1) f(x)=x3+3x; (2) f(x)=sinx-x, x∈(0,π); (3) f(x)=2x3+3x2-24x+1;