3第三章Z变换1gxs

Z [ a1 x1 ( t ) ± a2 x 2 ( t )] = a1 X 1 ( z ) ± a2 X 2 ( z )
2、迟后定理 设连续信号x(t)， 时为零，具有Z 设连续信号 (t)，当t＜0时为零，具有Z变换 (t) X(z),x(t)在时间上产生k个采样周期kT迟后时， (t)在时间上产生 kT迟后时 X(z), (t)在时间上产生k个采样周期kT迟后时，其 表达式为x(t-kT)，则有： x(t) 表达式为 (t-kT)，则有： (t x(t-kT) Z[x(tZ[ (t-kT)]=z-kX(z) (t
14
e* (t)
注意： 变换和拉氏变换的区别： 注意：Z变换和拉氏变换的区别： L[e(t)]=E(s), L-1[E(s)]=e(t) Z[e(t)]=E(z), Z-1[E(z)]=e(nT) 1、长除法
o
T 2T
t
对于Z变换的无穷级数，变量z-n的系数代表连 对于Z变换的无穷级数，变量z 续时间函数在各采样时刻的采样值，如果X(z) X(z)是 续时间函数在各采样时刻的采样值，如果X(z)是 一个有理分式， 一个有理分式，则可直接通过分母除分子得到一 个无穷项幂级数展开式，（关于z 升幂形式）。 ，（关于 个无穷项幂级数展开式，（关于z-1升幂形式）。 根据z 的系数便可以得出时间序列x(nT)的值。 (nT)的值 根据z-n的系数便可以得出时间序列 (nT)的值。
得到x(t)的 变换的一个级数和，如果能把其写成闭合形式， 得到 (t)的Z变换的一个级数和，如果能把其写成闭合形式， (t) 则可应用。 则可应用。
6
例1. 求单位阶跃函数的Z变换 求单位阶跃函数的Z 单位阶跃函数I(t)在各采样时刻的值均 解：单位阶跃函数 在各采样时刻的值均 为 1。 I(nT)=1， 2……) I(nT)=1， (n=0, 1, 2 ) Z[I(t)]=1z0+1z-1+1z-2 +…… +1z-n+ … 公比为z 公比为z-1，若|z-1|<1， 则：
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10z 例1：设：X(z ) = (z − 1)(z − 2)
求：x(nT)
10z X(z ) = 2 z − 3z + 2 = 0 • z 0 + 10 • z −1 + 30 • z − 2 + 70 • z − 3 + 150 • z − 4 + ......
公比为：(eaTz)-1 公比为： 则： Z[e - at ] = 若| (eaTz)-1 | <1
1 1 − ( e - aT z )−1
z = z − e - aT
为一具体的数， a=1， e-aT为一具体的数，若：a=1，T=0.5s 则： z -t Z[e ] = z − 0.606
8
Z变换的查表法 部分分式法) 变换的查表法( 2. Z变换的查表法(部分分式法) 若已知连续函数x(t)的拉氏变换具有下面的形式: 若已知连续函数x(t)的拉氏变换具有下面的形式: x(t)的拉氏变换具有下面的形式
e( t )δ T ( t ) = e* ( t ) = e( t )∑ δ (t − nT ) = e( 0 )δ (t ) + e( T )δ (t − T ) + e( 2T )δ (t − 2T ) + L
E * ( s ) = e ( 0 ) + e ( T )e − Ts + e ( 2T )e − 2Ts + L = e ( nT )e − nTs ∑
2
线性连续系统e(t) 线性连续系统e(t) 高阶微分方程
拉 氏 变 换
线性离散系统e(nT) 线性离散系统e(nT) 高阶差分方程
变 换 Z Z
( )
档
( )
3
一、Z变换定义及其表达式 连续信号：e(t)（高阶微分方程） 连续信号：e(t)（高阶微分方程）拉氏变换 E(s) 采样信号： 采样信号：e*(t) (s)： (t)进行拉氏变换 E*(s)：对e*(t)进行拉氏变换
n=0 ∞
∞
n=0
时域平移定理
L[(δ ( t − kT )] = e−kTs
4
E * ( s ) = e ( 0 ) + e ( T )e − Ts + e ( 2T )e − 2Ts + L =
令
e ( nT )e − nTs ∑
n= 0
Ts
∞
z=e
则:
1 s = ln z T
其中z为定义在复数 平面上的复变量 其中 为定义在复数Z平面上的复变量。 为定义在复数 平面上的复变量。
o t -kT o 12
4、终值定理
x Z[x(t)]=X(z) (t)]=X(z)， 设Z[ (t)]=X(z)，则： (∞ ) = lim x(nT ) = lim x(t )
n →∞ t →∞
= lim [( z − 1) X ( z )]
z →1
0.792 z 2 例：设： X ( z ) = ( z − 1 )( z 2 − 0.416 z + 0.208 )
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例： 求：x(nT) 解：
X(z ) =
X(z ) =
10z (z − 1)(z − 2)
10z z 2 − 3z + 2 = 0 • z 0 + 10 • z −1 + 30 • z − 2 + 70 • z − 3 + 150 • z − 4 + ......
即：x(0)=0， x(T)=0， x(2T)=30，x(3T)=70， x(0)=0， x(T)=0， x(2T)=30，x(3T)=70， x(4T)=150…… x(4T)=150 (t)=10δ(t-T)+30δ(t-2T)+70δ(tx*(t)=10δ(t-T)+30δ(t-2T)+70δ(t3T)+150δ(t-4T)+… 3T)+150δ(t-4T)+…
o t o kT t 11
3、超前定理 设连续函数x(t) x(t)在 时为零， 设连续函数x(t)在t＜0时为零，且Z变换 X(z)。 (t)在时间上产生k个采样周期kT (t)在时间上产生 kT的超 为X(z)。x(t)在时间上产生k个采样周期kT的超 前时，其表达式为x(t+kT) 则有： x(t+kT)， 前时，其表达式为x(t+kT)，则有：
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四、Z反变换及其求法ຫໍສະໝຸດ X(z) Z -1 x* ( t )
从Z变换函数求出原来的采样函数称为Z反变 变换函数求出原来的采样函数称为Z 换，用Z-1[X(z)]表示。因x(t)的Z变换X(z)仅包 [X(z)]表示。 (t)的 变换X(z)仅包 表示 (t) X(z) 含了连续时间函数在各采样时刻的数值， 含了连续时间函数在各采样时刻的数值，从原则 上讲，通过Z 上讲，通过Z反变换得到的仅是连续时间函数在 各采样时刻的数值而非采样时刻上却不能得到有 关连续函数的信息。即： 关连续函数的信息。 Z[x(t)]=X(z)， [X(z)]=x (t)=x(nT)≠ (nT)≠x(t) Z[ (t)]=X(z)，Z-1[X(z)]= *(t)= (nT)≠ (t) (t)]=X(z) Z反变换只包含采样时刻的信息和连续信号无 一一对应关系。 一一对应关系。
Z [ x ( t + kT )] = z k [ X ( z ) − ∑ x( mT )z − m ]
m =0
k −1
如果：m=0， 如果：m=0，1，2……k-1时x(mT)=0 k (mT)=0 则有： 则有：
x(t)
减去超前项 的Z变换 变换
x(t+kT)
Z [ x(t + kT )] = z k X ( z )
第三章 计算机控制系统 的数学模型
3.1 采样信号的Z变换 采样信号的Z 3.2 用Z变换解差分方程 3.3 脉冲传递函数
1
采样信号的Z §3－1采样信号的Z变换 研究一个实际物理系统首先要解决它 的数学描述(数学模型)和分析工具, 的数学描述(数学模型)和分析工具,连续 系统是用微分方程来描述的，拉氏变换是 微分方程来描述的 系统是用微分方程来描述的，拉氏变换是 其主要的数学工具。 其主要的数学工具。在研究计算机控制系 统时通常把系统中不同形式信号都转换为 时间离散信号，用差分方程来描述系统， 时间离散信号， 差分方程来描述系统， 来描述系统 变换做为分析工具 做为分析工具， 以Z变换做为分析工具，引入脉冲传递函 实现在离散域里研究系统的目的。 数，实现在离散域里研究系统的目的。参 看表3 看表3-1：
M ( s ) k Ai X( s ) = =∑ N ( s ) i =1 s + si
Z[e-at ] =
由拉氏变换可知,与Ai/(s+si)项对应的时间 由拉氏变换可知, 函数为A 而其对应的Z变换为: 函数为Aie-sit而其对应的Z变换为: 则有： 则有：
Z[ x ( t )] = X(z) =
E ( z ) = e( 0 ) + e( T )z −1 + e( 2T )z −2 + L = ∑ e( nT )z − n
n= 0 ∞
5
定义： 定义：X ( z ) = X * ( s ) |
s=
1 ln z T
= ∑ x ( nT )z − n
n=0
∞
称为x (t)的 变换（级数收敛），记作： ），记作 称为x*(t)的Z变换（级数收敛），记作： Z[x*(t)]=X(z) 或 Z[x(t)]=X(z) 注意:时域δ(t-T)， 域中e 域中的z 注意:时域δ(t-T)，s域中e-Ts及z域中的z-1均表示 信号延迟一拍。 信号延迟一拍。 二、Z变换的求法 1、级数求和法 上式可知，只要知道连续时间函数x(t) (t)在各 由上式可知，只要知道连续时间函数 (t)在各 采样时刻nT(n=0, 2……)上的采样值, 便可以 采样时刻nT(n=0, 1, 2 )上的采样值,