江西省2007年高等职业学校招生统一考试数学
2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学卷(江西)
2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学卷（江西）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．化简2)1(42i i++的结果是A ．2＋iB ．－2＋iC ．2－iD ．－2－i 2．1lim 231--→x x x xA ．等于0B ．等于lC ．等于3D ．不存在3．若3)4tan(=-απ，则cot α等于A ．－2B ．21-C ．21D ．2 4．已知(x ＋33x )n 展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n等于 A ．4 B ．5 C ．6 D ．75．若0＜x ＜2π，则下列命题中正确的是A ．sin x ＜x π3B ．sin x ＞x π3 C ．sin x ＜224x π D ．sin x ＞224x π 6．若集合012|),{(},2,1,0{≥+-==y x y x N M 且M y x y x ∈≤--,,012}，则N 中元素的个数为A ．9B ．6C ．4D ．27．如图，正方体AC 1的棱长为1，过点A 作平面A 1BD 的垂线，垂足为点H ．则以下命题中，错误的命题是A ．点H 是△A 1BD 的垂心B ．AH 垂直平面CB 1D 1C ．AH 的延长线经过点C 1D ．直线AH 和BB 1所成角为45°8．四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯,如图所示．盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为h 1，h 2，h 3，h 4，则它们的大小关系正确的是A ．h 2＞h 1＞h 4B ．h 1＞h 2＞h 3C ．h 3＞h 2＞h 4D ．h 2＞h 4＞h 19．设椭圆)0(12222＞＞b a b y a x =+的离心率为e ＝21,右焦点为F (c ,0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1,x 2)A ．必在圆x 2＋y 2＝2内B ．必在圆x 2＋y 2＝2上C ．必在圆x 2＋y 2＝2外D ．以上三种情形都有可能10．将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为（ ） A ．19 B ．112 C ．115 D ．11811．设函数f (x )是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线y ＝f (x )在x ＝5处的切线的斜率为A ．－B ．0C ．D ．5 12．设12ln )(:2++++=mx x x e x f p x 在(0，＋∞)内单调递增，5:-≥m q ，则p是q 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题13．设函数y ＝4＋log 2(x －1)(x ≥3)，则其反函数的定义域为 ．14．已知数列{a n }对于任意p ，q ∈N *，有a p +a q =a p +q ，若a 1=91，则a 36＝ ． 15．如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ,若n m ==,,则m +n 的值为 ．16．设有一组圆)(2)3()1(:*422N k k k y k x C k ∈=-++-．下列四个命题：A ．存在一条定直线与所有的圆均相切B ．存在一条定直线与所有的圆均相交C ．存在一条定直线与所有的圆均不．相交D ．所有的圆均不．经过原点 其中真命题的代号是 ．（写出所有真命题的代号）三、解答题17．（本小题满分12分）已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤++=-)1(2)0(1)(2＜＜＜x c k c x cx x f c x 在区间(0，1)内连续,且89)(2=c f ．（1）求实数k 和c 的值；（2）解不等式182)(+＞x f18．（本小题满分12分）如图,函数的图象与y 轴交于点(0，)，且在该点处切线的斜率为一2．（1）求θ和ω的值；（2）已知点A(，0)，点P是该函数图象上一点，点Q(x0，y0)是P A的中点，当y0＝，x0∈[，π]时，求x0的值．19．（本小题满分12分）某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5， 0.6，0.4．经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6，0.5，0.75．（1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；（2）经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为ξ，求随机变量ξ的期望．20．（本小题满分12分）右图是一个直三棱柱（以A1B1C1为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC．已知A1B1＝B1C1＝l，∠A l B l C1＝90°，AA l＝4，BB l＝2，CC l＝3．（1）设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A1B1C1；（2）求二面角B—AC—A1的大小；（3）求此几何体的体积．21．（本小题满分12分）设动点P到点A(－l，0)和B(1，0)的距离分别为d1和d2，∠APB＝2θ,且存在常数λ(0＜λ＜1＝,使得d1d2 sin2θ＝λ．（1）证明：动点P的轨迹C为双曲线，并求出C的方程；（2）过点B作直线交双曲线C的右支于M、N两点,试确定λ的范围,使OM·ON＝0,其中点O为坐标原点．22．（本小题满分14分）设正整数数列{a n }满足：a 2＝4，且对于任何 n ∈N *，有n n n n a n n a a a 1211111211++-++++＜＜． （1）求a 1，a 3；（2）求数列{ a n }的通项a n ．参考答案1．C【解析】略2．B【解析】略3．A【解析】略4．C【解析】略5．D【解析】略6．C【解析】略7．D【详解】因为三棱锥A－A1BD是正三棱锥，故顶点A在底面的射影是底面的中心，A正确；平面A1BD∥平面CB1D1，而AH垂直于平面A1BD，所以AH垂直于平面CB1D1，B正确；根据对称性知C正确，故选D.8．A【解析】略9．A【解析】略10．B【分析】先求出将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的情况，再求出若不考虑限制它落地时向上的点数情况，前者除以后者即可．【详解】∵骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列∴落地时向上的点数若不同，则为1，2，3或1，3，5，或2，3，4或2，4，6或3，4，5共有6×2=12种情况， 也可全相同，有6种情况∴共有18种情况若不考虑限制，有36=216 落地时向上的点数依次成等差数列的概率为18121612= 故选：B.【点睛】在求解有关古典概型概率的问题时，首先求出样本空间中基本事件的总数n ，其次求出概率事件中含有多少个基本事件m ，然后根据公式m P n=求得概率 11．B【解析】试题分析：根据导数的定义，曲线在的切线的斜率为，因为函数()f x 是上以5为周期的可导偶函数，所以因为()f x 是上的偶函数，所以必有，故曲线y=f(x)在x=5处的切线的斜率为0 考点：导数的定义，导数的几何意义，周期函数的性质，定义在R 上的偶函数的性质12．B【解析】略13．[5)+，∞【解析】略14．4【解析】略15．2【解析】略16．B,D17．（1）1k =,12c = （2）()1f x >+的解集为58x ⎧⎫⎪⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭【解析】解：（1）因为01c <<，所以2c c <， 由29()8f c =，即3918c +=，12c =． 又因为4111022()1212x x x f x k x -⎧⎛⎫+<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+< ⎪⎪⎝⎭⎩≤在12x =处连续， 所以215224f k -⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，即1k =． （2）由（1）得：4111022()12112x x x f x x -⎧⎛⎫+<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+< ⎪⎪⎝⎭⎩≤由()1f x >+得，当102x <<12x <<． 当112x <≤时，解得1528x <≤，所以()1f x >+的解集为58x ⎧⎫⎪⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭． 18．（1）θ=π6,ω=2（2）x 0=2π3或x 0=3π4． 【解析】解：（1）将x =0，y =√3代入函数y =2cos(ωx +θ)得cosθ=√32， 因为0≤θ≤π2，所以θ=π6．又因为y ′=−2ωsin(ωx +θ)，y ′|x=0=−2，θ=π6，所以ω=2， 因此y =2cos(2x +π6)．（2）因为点A(π2，0)，Q(x 0，y 0)是PA 的中点，y 0=√32， 所以点P 的坐标为(2x 0−π2，√3)．又因为点P 在y =2cos(2x +π6)的图象上，所以cos(4x 0−5π6)=√32． 因为π2≤x 0≤π，所以7π6≤4x 0−5π6≤19π6， 从而得4x 0−5π6=11π6或4x 0−5π6=13π6． 即x 0=2π3或x 0=3π4．19．（1）)()()()(321321321A A A p A A A A A A P E P ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=0.50.40.60.50.60.60.50.40.40.38=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=（2）()10.44120.18930.0270.9E ξ=⨯+⨯+⨯=【解析】解：分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件1A ，2A ，3A ，（1）设E 表示第一次烧制后恰好有一件合格，则 )()()()(321321321A A A p A A A A A A P E P ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=0.50.40.60.50.60.60.50.40.40.38=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=．（2）解法一：因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为0.3p =，所以~(30.3)B ξ，，故30.30.9E np ξ==⨯=．解法二：分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件A B C ，，，则 ()()()0.3P A P B P C ===，所以3(0)(10.3)0.343P ξ==-=， 2(1)3(10.3)0.30.441P ξ==⨯-⨯=，2(2)30.30.70.189P ξ==⨯⨯=，3(3)0.30.027P ξ===．于是，()10.44120.18930.0270.9E ξ=⨯+⨯+⨯=．20．(1)OC ∥平面A 1B 1C 1(2) 二面角的大小为30∘(3)【解析】（1）证明：作OD ∥AA 1交A 1B 1于D ，连C 1D ．则OD ∥BB 1∥CC 1．因为O 是AB 的中点，所以OD =12(AA 1+BB 1)=3=CC 1．则ODC 1C 是平行四边形，因此有OC ∥C 1D ．C 1D ⊂平面C 1D ⊂且OC ⊄平面C 1D ⊂，则OC ⊄面C 1D ⊂．（2）如图，过O 作截面BA 2C 2∥面C 1D ⊂，分别交AA 1，AA 1于A 2，A 2．作BH ⊥A 2C 2于B ，连CH ．因为A 1B 1C 1面A 1B 1C 1，所以CC 1⊥BH ，则BH ⊥平面AA 1．又因为AB =√5，AB =√5，AC =√3⇒AB 2=BC 2+AC 2．所以BC ⊥AC ，根据三垂线定理知BC ⊥AC ，所以∠BCH 就是所求二面角的平面角． 因为BH =√22，所以sin∠BCH =BH BC =12，故∠BCH =30∘， 即：所求二面角的大小为30∘．（3）因为BH =√22，所以所求几何体体积为．解法二：（1）如图，以B 1为原点建立空间直角坐标系，则∠BCH ，A(0，1，4)，∠BCH ，因为O 是AB 的中点，所以BH =√22， OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，−12，0)． 易知，n ⃗ =(0，0，1)是平面C 1D ⊂的一个法向量．因为n ⃗ =(0，0，1)，OC ⊄平面C 1D ⊂，所以OC ⊄平面C 1D ⊂．（2）AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，−1，−2)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，0，1)， 设m ⃗⃗ =(x ，y ，z)是平面ABC 的一个法向量，则则得：{−y −2z =0x +z =0 取x =−z =1，m ⃗⃗ =(1，2，−1)．显然，l=(1，1，0)为平面C(1，0，3)的一个法向量． 则,结合图形可知所求二面角为锐角．所以二面角BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，0，1)的大小是30∘． （3）同解法一． 21．（1）动点P 的轨迹C 为双曲线，方程为：2211x y λλ-=-（223λ<<23λ< 【解析】解法一：（1）在PAB △中，2AB =，即222121222cos 2d d d d θ=+-，2212124()4sin d d d d θ=-+，即122d d -==<（常数），点P 的轨迹C 是以A B ，为焦点，实轴长2a =的双曲线． 方程为：2211x y λλ-=-． （2）设11()M x y ，，22()N x y ，①当MN 垂直于x 轴时，MN 的方程为1x =，(11)M ，，(11)N -，在双曲线上．即2111101λλλλλ-=⇒+-=⇒=-，因为01λ<<，所以λ=． ②当MN 不垂直于x 轴时，设MN 的方程为(1)y k x =-． 由2211(1)x y y k x λλ⎧-=⎪-⎨⎪=-⎩得：2222(1)2(1)(1)()0k x k x k λλλλλ⎡⎤--+---+=⎣⎦， 由题意知：2(1)0k λλ⎡⎤--≠⎣⎦， 所以21222(1)(1)k x x k λλλ--+=--，2122(1)()(1)k x x k λλλλ--+=--． 于是：22212122(1)(1)(1)k y y k x x k λλλ=--=--． 因为0=⋅ON OM ，且M N ，在双曲线右支上，所以2121222122212(1)0(1)121011231001x x y y k x x k x x λλλλλλλλλλλλλλλ-⎧+=⎧-⎧=⎪>⎪⎪⎪+-+>⇒⇒⇒<<+--⎨⎨⎨⎪⎪⎪>+->>⎩⎩⎪-⎩．由①②知，1223λ<≤． 解法二：（1）同解法一（2）设11()M x y ，，22()N x y ，，MN 的中点为00()E x y ，．①当121x x ==时，221101MB λλλλλ=-=⇒+-=-， 因为01λ<<，所以12λ=；②当12x x ≠时，002222212111111y x k y x y x MN ⋅-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=--λλλλλλ． 又001MN BE y k k x ==-．所以22000(1)y x x λλλ-=-； 由2MON π=∠得222002MN x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由第二定义得2212()222MN e x x a ⎛⎫+-⎡⎤= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭220001(1)21x x x λλ=-=+---． 所以222000(1)2(1)(1)y x x λλλλ-=--+-． 于是由22000222000(1)(1)2(1)(1)y x x y x x λλλλλλλ⎧-=-⎪⎨-=--+-⎪⎩得20(1)23x λλ-=- 因为01x >，所以2(1)123λλ->-，又01λ<<，23λ<<23λ<． 22．（1）11a =，39a =（2）对任意n ∈*N ，2n a n =【解析】解：（1）据条件得1111112(1)2n n n n n n a a a a ++⎛⎫+<++<+ ⎪⎝⎭① 当1n =时，由21211111222a a a a ⎛⎫+<+<+ ⎪⎝⎭，即有1112212244a a +<+<+， 解得12837a <<．因为1a 为正整数，故11a =． 当2n =时，由33111126244a a ⎛⎫+<+<+ ⎪⎝⎭， 解得3810a <<，所以39a =．（2）方法一：由11a =，24a =，39a =，猜想：2n a n =．下面用数学归纳法证明． 1当1n =，2时，由（1）知2n a n =均成立； 2假设(2)n k k =≥成立，则2k a k =，则1n k =+时 由①得221111112(1)2k k k k a k a k ++⎛⎫+<++<+ ⎪⎝⎭ 2212(1)(1)11k k k k k k a k k k +++-⇒<<-+- 22212(1)1(1)(1)11k k k a k k k ++⇒+-<<+++- 因为2k ≥时，22(1)(1)(1)(2)0k k k k k +-+=+-≥，所以(]22(1)011k k +∈+，． 11k -≥，所以(]1011k ∈-，． 又1k a +∈*N ，所以221(1)(1)k k a k +++≤≤．故21(1)k a k +=+，即1n k =+时，2n a n =成立．由1，2知，对任意n ∈*N ，2n a n =．（2）方法二：由11a =，24a =，39a =，猜想：2n a n =．下面用数学归纳法证明． 1当1n =，2时，由（1）知2n a n =均成立； 2假设(2)n k k =≥成立，则2k a k =，则1n k =+时 由①得221111112(1)2k k k k a ka k ++⎛⎫+<++<+ ⎪⎝⎭ 即21111(1)122k k k k k a k a k+++++<+<+ ② 由②左式，得2111k k k k k a +-+-<，即321(1)k k a k k k +-<+-，因为两端为整数，则3221(1)1(1)(1)k k a k k k k k +-+--=+-≤．于是21(1)k a k ++≤ ③ 又由②右式，22221(1)21(1)1k k k k k k k k a k k+++-+-+<=． 则231(1)(1)k k k a k k +-+>+．因为两端为正整数，则2431(1)1k k k a k k +-+++≥， 所以4321221(1)11k k k ka k k k k k +++=+--+-+≥．又因2k ≥时，1k a +为正整数，则21(1)k a k ++≥④ 据③④21(1)k a k +=+，即1n k =+时，2n a n =成立．由1，2知，对任意n ∈*N ，2n a n =．。
2007年高考理科数学试题及参考答案(江西卷)
2007年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷1至2页，第II卷3至4页，共150分．第I卷考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．第I卷每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第II卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回．参考公式：如果事件互斥，那么球的表面积公式如果事件相互独立，那么其中表示球的半径球的体积公式如果事件在一次试验中发生的概率是，那么次独立重复试验中恰好发生次的概率其中表示球的半径一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．化简的结果是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．2．（）Ａ．等于Ｂ．等于Ｃ．等于Ｄ．不存在3．若，则等于（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．4．已知展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为，则等于（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．5．若，则下列命题中正确的是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．6．若集合，，则中元素的个数为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．7．如图，正方体的棱长为，过点作平面的垂线，垂足为点，则以下命题中，错误的命题是（）Ａ．点是的垂心Ｂ．垂直平面Ｃ．的延长线经过点Ｄ．直线和所成角为8．四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示，盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为，，，，则它们的大小关系正确的是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．9．设椭圆的离心率为，右焦点为，方程的两个实根分别为和，则点（）Ａ．必在圆内Ｂ．必在圆上Ｃ．必在圆外Ｄ．以上三种情形都有可能。
2007年高考理科数学试题及参考答案(江西卷)
2007年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第I 卷1至2页，第II 卷3至4页，共150分．第I 卷考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．第I 卷每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第II 卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效． 3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回． 参考公式： 如果事件A B ，互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 34π3V R =n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()(1)k k n kn n P k C P P -=-其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．化简224(1)ii ++的结果是（ ）Ａ．2i +Ｂ．2i -+Ｃ．2i -Ｄ．2i --2．321lim 1x x x x →--（ ）Ａ．等于0Ｂ．等于1Ｃ．等于3Ｄ．不存在3．若πtan 34α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cot α等于（ ） Ａ．2-Ｂ．12-Ｃ．12Ｄ．24．已知n展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n 等于（ ） Ａ．4 Ｂ．5Ｃ．6Ｄ．75．若π02x <<，则下列命题中正确的是（ ） Ａ．3sin πx x < Ｂ．3sin πx x >Ｃ．224sin πx x < Ｄ．224sin πx x >6．若集合{}012M =，，，{}()210210N x y x y x y x y M =-+--∈，≥且≤，，，则N 中元素的个数为（ ）Ａ．9 Ｂ．6Ｃ．4Ｄ．27．如图，正方体1AC 的棱长为1，过点A 作平面1A BD 的垂线，垂足为点H ，则以下命题中，错误．．的命题是（ ） Ａ．点H 是1A BD △的垂心 Ｂ．AH 垂直平面11CB D Ｃ．AH 的延长线经过点1C Ｄ．直线AH 和1BB 所成角为458．四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示，盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为1h ，2h ，3h ，4h ，则它们的大小关系正确的是（ ）Ａ．214h h h >> Ｂ．123h h h >>Ｃ．324h h h >>Ｄ．241h h h >>9．设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为1e 2=，右焦点为(0)F c ，，方程20ax bx c +-=的两个实根分别为1x 和2x ，则点12()P x x ，（ ）Ａ．必在圆222x y +=内Ｂ．必在圆222x y +=上11C1BＣ．必在圆222x y +=外Ｄ．以上三种情形都有可能10．将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次．．成等差数列的概率为（ ） Ａ．19Ｂ．112Ｃ．115Ｄ．11811．设函数()f x 是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线()y f x =在5x =处的切线的斜率为（ ） Ａ．15-Ｂ．0Ｃ．15Ｄ．512．设2:()e l n 21x p f x x x m x =++++在(0)+∞，内单调递增，:5q m -≥，则p 是q 的（ ）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件2007年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学 第II 卷注意事项： 第II 卷2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试卷题上作答，答案无效．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把答案填在答题卡上． 13．设函数24log (1)(3)y x x =+-≥，则其反函数的定义域为．14．已知数列{}n a 对于任意*p q ∈N ，，有p q p q a a a ++=，若119a =，则36a = ．15．如图，在ABC △中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M N ，，若A B m A M=，AC nAN =，则m n +的值为．16．设有一组圆224*:(1)(3)2()k C x k y k k k -++-=∈N ．下列四个命题：Ａ．存在一条定直线与所有的圆均相切 Ｂ．存在一条定直线与所有的圆均相交 Ｃ．存在一条定直线与所有的圆均不．相交 Ｄ．所有的圆均不．经过原点 其中真命题的代号是 ．（写出所有真命题的代号）三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知函数21(0)()2(1)x c cx x c f x k c x -+<<⎧⎪=⎨⎪+<⎩≤在区间(01)，内连续，且29()8f c =．（1）求实数k 和c 的值； （2）解不等式()18f x >+． 18．（本小题满分12分）如图，函数π2cos()(0)2y x x ωθθ=+∈R ，≤≤的图象与y轴交于点(0，且在该点处切线的斜率为2-． （1）求θ和ω的值；（2）已知点π02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，点P 是该函数图象上一点，点00()Q x y ，是PA的中点，当02y =，0ππ2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求0x 的值． 19．（本小题满分12分）某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5，0.6，0.4，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6，0.5，0.75． （1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；（2）经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为ξ，求随机变量ξ的期望． 20．（本小题满分12分）右图是一个直三棱柱（以111A B C 为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC ．已知11111A B B C ==，11190A B C ∠= ，14AA =，12BB =，13CC =．（1）设点O 是AB 的中点，证明：OC ∥平面111A B C ； （2）求二面角1B AC A --的大小； （3）求此几何体的体积． 21．（本小题满分12分）设动点P 到点(10)A -，和(10)B ，的距离分别为1d 和2d ，2APB θ∠=，且存在常数(01)λλ<<，使得212sin d d θλ=．（1）证明：动点P 的轨迹C 为双曲线，并求出C 的方程；（2）过点B 作直线双曲线C 的右支于M N ，两点，试确定λ的范C11y围，使OM ON =0 ，其中点O 为坐标原点．22．（本小题满分14分）设正整数数列{}n a 满足：24a =，且对于任何*n ∈N ，有11111122111n n n n a a a a n n ++++<<+-+．（1）求1a ，3a ；（3）求数列{}n a 的通项n a ．参考答案 一、选择题 1．C 2．B 3．A 4．C 5．D 6．C 7．D 8．A 9．A 10．B11．B 12．B 二、填空题13．[5)+，∞14．4 15．2 16．B D ，三、解答题17．解：（1）因为01c <<，所以2c c <， 由29()8f c =，即3918c +=，12c =． 又因为4111022()1212x x x f x k x -⎧⎛⎫+<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+< ⎪⎪⎝⎭⎩≤在12x =处连续，所以215224f k -⎛⎫=+=⎪⎝⎭，即1k =． （2）由（1）得：4111022()12112x x x f x x -⎧⎛⎫+<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+< ⎪⎪⎝⎭⎩≤由()18f x >+得，当102x <<时，解得142x <<．当112x <≤时，解得1528x <≤，所以()1f x >+的解集为58x ⎧⎫⎪⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭．18．解：（1）将0x =，y =2cos()y x ωθ=+得cos 2θ=， 因为02θπ≤≤，所以6θπ=． 又因为2sin()y x ωωθ'=-+，02x y ='=-，6θπ=，所以2ω=， 因此2cos 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭．（2）因为点02A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，，00()Q x y ，是PA 的中点，0y =所以点P 的坐标为022x π⎛-⎝．又因为点P 在2cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上，所以05cos 462x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭因为02x ππ≤≤，所以075194666x πππ-≤≤， 从而得0511466x ππ-=或0513466x ππ-=． 即023x π=或034x π=．19．解：分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件1A ，2A ，3A ， （1）设E 表示第一次烧制后恰好有一件合格，则123123123()()()()P E P A A A P A A A P A A A =++0.50.40.60.50.60.60.50.40.40.38=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=．（2）解法一：因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为0.3p =，所以~(30.3)B ξ，， 故30.30.9E np ξ==⨯=．解法二：分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件A B C ，，，则()()()0.3P A P B P C ===，所以3(0)(10.3)0.343P ξ==-=，2(1)3(10.3)0.30.441P ξ==⨯-⨯=， 2(2)30.30.70.189P ξ==⨯⨯=， 3(3)0.30.027P ξ===．于是，()10.44120.18930.0270.9E ξ=⨯+⨯+⨯=． 20．解法一：（1）证明：作1OD AA ∥交11A B 于D ，连1C D ．则11OD BB CC ∥∥． 因为O 是AB 的中点， 所以1111()32OD AA BB CC =+==． 则1ODC C 是平行四边形，因此有1OC C D ∥．1C D ⊂平面111C B A 且OC ⊄平面111C B A ，则OC ∥面111A B C ．（2）如图，过B 作截面22BA C ∥面111A B C ，分别交1AA ，1CC 于2A ，2C ． 作22BH A C ⊥于H ，连CH ．因为1CC ⊥面22BA C ，所以1CC BH ⊥，则BH ⊥平面1AC ．又因为AB =BC =222AC AB BC AC =+．所以BC AC ⊥，根据三垂线定理知CH AC ⊥，所以BCH ∠就是所求二面角的平面角．因为2BH =，所以1sin 2BH BCH BC ==∠，故30BCH = ∠， 即：所求二面角的大小为30．（3）因为2BH =，所以 22221111(12)33222B AAC C AA C C V S BH -==+= ．11A 21112211111212A B C A BC A B C V S BB -=== △．所求几何体体积为221112232B AAC C A B C A BC V V V --=+=． 解法二：（1）如图，以1B 为原点建立空间直角坐标系，则(014)A ，，，(002)B ，，，(103)C ，，，因为O 是AB 的中点，所以1032O ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，1102OC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，．易知，(001)n =，，是平面111A B C 的一个法向量．因为0OC n = ，OC ⊄平面111A B C ，所以OC ∥平面111A B C ．（2）(012)AB =-- ，，，(101)BC = ，，， 设()m x y z =，，是平面ABC 的一个法向量，则 则0AB m = ，0BC m = 得：200y z x z --=⎧⎨+=⎩ 取1x z =-=，(121)m =-，，．显然，(110)l =，，为平面11AAC C 的一个法向量．则cos m l m l m l===， 所以二面角1B AC A --的大小是30． （3）同解法一．21．解法一：（1）在PAB △中，2AB =，即222121222cos2d d d d θ=+-，2212124()4sin d d d d θ=-+，即122d d -==（常数）， 点P 的轨迹C 是以A B ，为焦点，实轴长2a =方程为：2211x y λλ-=-．1x（2）设11()M x y ，，22()N x y ，①当MN 垂直于x 轴时，MN 的方程为1x =，(11)M ，，(11)N -，在双曲线上．即2111101λλλλλ-=⇒+-=⇒=-，因为01λ<<，所以λ= ②当MN 不垂直于x 轴时，设MN 的方程为(1)y k x =-．由2211(1)x y y k x λλ⎧-=⎪-⎨⎪=-⎩得：2222(1)2(1)(1)()0k x k x k λλλλλ⎡⎤--+---+=⎣⎦， 由题意知：2(1)0k λλ⎡⎤--≠⎣⎦，所以21222(1)(1)k x x k λλλ--+=--，2122(1)()(1)k x x k λλλλ--+=--． 于是：22212122(1)(1)(1)k y y k x x k λλλ=--=--．因为0OM ON = ，且M N ，在双曲线右支上，所以2121222122212(1)0(1)2101131001x x y y k x x k x x λλλλλλλλλλλλλλλ-⎧+=⎧-⎧=⎪>⎪⎪⎪+-+>⇒⇒⇒<<+--⎨⎨⎨⎪⎪⎪>+->>⎩⎩⎪-⎩．由①②知，1223λ<≤． 解法二：（1）同解法一（2）设11()M x y ，，22()N x y ，，MN 的中点为00()E x y ，． ①当121x x ==时，221101MB λλλλλ=-=⇒+-=-，因为01λ<<，所以λ=②当12x x ≠时，22110222211111MN x y x k y x y λλλλλλ⎧-=⎪⎪-⇒=⎨-⎪-=⎪-⎩ ．又001MN BE y k k x ==-．所以22000(1)y x x λλλ-=-； 由2MON π=∠得222002MN x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由第二定义得2212()222MN e x x a ⎛⎫+-⎡⎤= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭220001(1)21x x x λλ==+---． 所以222000(1)2(1)(1)y x x λλλλ-=--+-．于是由22000222000(1)(1)2(1)(1)y x x y x x λλλλλλλ⎧-=-⎪⎨-=--+-⎪⎩得20(1)23x λλ-=- 因为01x >，所以2(1)123λλ->-，又01λ<<，23λ<<23λ<． 22．解：（1）据条件得1111112(1)2n n n n n n a a a a ++⎛⎫+<++<+ ⎪⎝⎭① 当1n =时，由21211111222a a a a ⎛⎫+<+<+ ⎪⎝⎭，即有1112212244a a +<+<+，解得12837a <<．因为1a 为正整数，故11a =． 当2n =时，由33111126244a a ⎛⎫+<+<+ ⎪⎝⎭， 解得3810a <<，所以39a =．（2）方法一：由11a =，24a =，39a =，猜想：2n a n =． 下面用数学归纳法证明．1当1n =，2时，由（1）知2n a n =均成立；2假设(2)n k k =≥成立，则2k a k =，则1n k =+时由①得221111112(1)2k k k k a ka k ++⎛⎫+<++<+ ⎪⎝⎭2212(1)(1)11k k k k k k a k k k +++-⇒<<-+- 22212(1)1(1)(1)11k k k a k k k ++⇒+-<<+++- 因为2k ≥时，22(1)(1)(1)(2)0k k k k k +-+=+-≥，所以(]22(1)011k k +∈+，． 11k -≥，所以(]1011k ∈-，． 又1k a +∈*N ，所以221(1)(1)k k a k +++≤≤． 故21(1)k a k +=+，即1n k =+时，2n a n =成立． 由1 ，2 知，对任意n ∈*N ，2n a n =． （2）方法二：由11a =，24a =，39a =，猜想：2n a n =． 下面用数学归纳法证明．1当1n =，2时，由（1）知2n a n =均成立； 2假设(2)n k k =≥成立，则2k a k =，则1n k =+时 由①得221111112(1)2k k k k a k a k ++⎛⎫+<++<+ ⎪⎝⎭ 即21111(1)122k k k k k a k a k+++++<+<+ ② 由②左式，得2111k k k k k a +-+-<，即321(1)k k a k k k +-<+-，因为两端为整数， 则3221(1)1(1)(1)k k a k k k k k +-+--=+-≤．于是21(1)k a k ++≤ ③ 又由②右式，22221(1)21(1)1k k k k k k k k a k k+++-+-+<=． 则231(1)(1)k k k a k k +-+>+．因为两端为正整数，则2431(1)1k k k a k k +-+++≥，所以4321221(1)11k k k k a k k k k k +++=+--+-+≥． 又因2k ≥时，1k a +为正整数，则21(1)k a k ++≥ ④ 据③④21(1)k a k +=+，即1n k =+时，2n a n =成立． 由1 ，2 知，对任意n ∈*N ，2n a n =．。
2007年全国各地高考数学试卷及答案(37套)word--完整版
2007年普通高等学校招生全国统一考试数学卷（四川.文）含答案
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2007年普通高等学校招生全国统一考试数学卷（天津.文）含答案
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2007年普通高等学校招生全国统一考试数学卷（湖南.理）含答案
2007年普通高等学校招生全国统一考试数学卷（湖南.文）含答案
2007年普通高等学校招生全国统一考试数学卷（江西.理）含答案
2007年普通高等学校招生全国统一考试数学卷（江西.文）含答案
2007年普通高等学校招生全国统一考试数学卷（山东.理）含答案
2007年全国各地高考数学试卷及答案（37套）--完整版
2007年普通高等学校招生全国统一考试数学卷（全国卷Ⅰ.理）含答案
2007年普通高等学校招生全国统一考试数学卷（全国卷Ⅰ.文）含答案
2007年普通高等学校招生全国统一考试数学卷（全国卷Ⅱ.理）含答案
2007年普通高等学校招生全国统一考试数学卷（全国卷Ⅱ.文）含答案
宁夏和海南都是新课标教材，使用的是同一套数学题。
பைடு நூலகம் 四川省蓬安中学校 张万建 整理 zwjozwj@
2007年普通高等学校招生全国统一考试数学卷 (宁夏.海南.理) 含答案
2007年普通高等学校招生全国统一考试数学卷 (宁夏.海南.文) 含答案
2007年普通高等学校招生全国统一考试数学卷（江苏卷不分文理）含答案
注：使用全国卷Ⅰ的省份：河北 河南 山西 广西 ；
使用全国卷Ⅱ的省份：吉林 黑龙江 云南 贵州 新疆 青海 甘肃 内蒙 西藏
2007年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷I)数学(文科)试卷参考答案
2007年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷I）数学（文科）试卷参考答案一、选择题1．D2．B3．A4．A5．C6．C7．D8．D9．B 10．D11．A12．C二、填空题13．0.2514．3()x x∈R15．4π316．1 3三、解答题17．解：（Ⅰ）由a=2b sinA，根据正弦定理得sinA=2sinBsinA，所以1 sin2B=，由△ABC为锐角三角形得π6B=。
（Ⅱ）根据余弦定理，得b2=a2+c2－2ac cosB=27+25－45=7所以，b=18．解：（Ⅰ）记A表示事件：“3位顾客中至少1位采用一次性付款”，则A表示事件：“3位顾客中无人采用一次性付款”。
()P A=（1－0.6）2=0.064，P（A）=1－()P A=1－0.064=0.936。
（Ⅱ）记B表示事件：“3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元”。
B0表示事件：“购买该商品的3位顾客中无人采用分期付款”。
B1表示事件：“购买该商品的3位顾客中恰有1位采用分期付款”。
则B= B 0+ B 1。
P （B 0）=0.63=0.216，1213()0.60.40.432P B C =⨯⨯=。
P （B ）=P （B 0+ B 1） =P （B 0）+P （B 1） =0.216+0.432 =0.64819．解法一：（1）作SO ⊥BC ，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥底面ABCD 。
因为SA=SB ，所以AO=BO ，又∠ABC=45°，故AOB △为等腰直角三角形，AO ⊥BO ， 由三垂线定理，得SA ⊥BC 。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA ⊥BC ， 依题设AD BC ∥， 故SA ⊥AD ， 由，SA =SD =又AO=ABsin45°，作DE ⊥BC ，垂足为E ，则DE ⊥平面SBC ，连结SE 。
∠ESD 为直线SD 与平面SBC 所成的角。
(Word版)2007年(江西)高考理科数学真题试卷
17.已知函数 在区间 内连续，且 .
（1）求实数 和 的值；
（2）解不等式 .
18.如图，函数 的图象与 轴交于点 ，且在该点处切线的斜率为 .
（1）求 和 的值；
（2）已知点 ，点 是该函数图象上一点，点 是 的中点，当 ， 时，求 的值.
（1）证明：动点 的轨迹 为双曲线，并求出 的方程；
（2）过点 作直线交双曲线 的右支于 、 两点，试确定 的范围，使 ，其中点 为坐标原点.
22.设正整数数列 满足： ，且对于任何 ，有 .
（1）求 ， ；
（2）求数列 的通项 .
2007年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）
理科数学
第Ⅰ卷
参考公式：
如果事件 、 互斥，那么
如果事件 、 相互独立，那么
如果事件 在一次试验中发生的概率是 ，那么 次独立重复试验中恰好发生 次的概率
球的表面积公式 其中 表示球的半径：本大题共12小题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.化简 的结果是（）
A. B. C. D.
2. （）
A.等于0B.等于1C.等于3D.不存在
3.若 ，则 等于（）
A. B. C. D.2
4.已知 展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则 等于（）
A.4B.5C.6D.7
5.若 ，则下列命题中正确的是（）
A. B. C. D.
6.若集合 ， ，则 中元素的个数为（）
（1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；
（2）经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为 ，求随机变量 的期望.
20.如图是一个直三棱柱（以 为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为 .已知 ， ， ， ， .
2007年高考理科数学试题及参考答案(江西卷)
2007年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学参考答案一、选择题 1．C 2．B3．A 4．C 5．D 6．C 7．D 8．A 9．A 10．B11．B 12．B 二、填空题 13．[5)+，∞ 14．4 15．2 16．B D ，三、解答题17．解：（1）因为01c <<，所以2c c <， 由29()8f c =，即3918c +=，12c =． 又因为4111022()1212x x x f x k x -⎧⎛⎫+<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+< ⎪⎪⎝⎭⎩≤在12x =处连续，所以215224f k -⎛⎫=+=⎪⎝⎭，即1k =． （2）由（1）得：4111022()12112x x x f x x -⎧⎛⎫+<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+< ⎪⎪⎝⎭⎩≤由()18f x >+得，当102x <<时，解得142x <<． 当112x <≤时，解得1528x <≤，所以()18f x >+的解集为58x ⎧⎫⎪⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭． 18．解：（1）将0x =，y =2cos()y x ωθ=+得cos θ=， 因为02θπ≤≤，所以6θπ=．又因为2sin()y x ωωθ'=-+，02x y ='=-，6θπ=，所以2ω=， 因此2cos 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭．（2）因为点02A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，，00()Q x y ，是PA 的中点，02y =，所以点P 的坐标为022x π⎛-⎝．又因为点P 在2cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上，所以05cos 46x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭因为02x ππ≤≤，所以075194666x πππ-≤≤， 从而得0511466x ππ-=或0513466x ππ-=． 即023x π=或034x π=．19．解：分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件1A ，2A ，3A ， （1）设E 表示第一次烧制后恰好有一件合格，则123123123()()()()P E P A A A P A A A P A A A =++0.50.40.60.50.60.60.50.40.40.38=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=．（2）解法一：因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为0.3p =，所以~(30.3)B ξ，， 故30.30.9E np ξ==⨯=．解法二：分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件A B C ，，，则()()()0.3P A P B P C ===，所以3(0)(10.3)0.343P ξ==-=，2(1)3(10.3)0.30.441P ξ==⨯-⨯=， 2(2)30.30.70.189P ξ==⨯⨯=， 3(3)0.30.027P ξ===．于是，()10.44120.18930.0270.9E ξ=⨯+⨯+⨯=．20．解法一：（1）证明：作1OD AA ∥交11A B 于D ，连1C D ．则11OD BB CC ∥∥． 因为O 是AB 的中点， 所以1111()32OD AA BB CC =+==． 则1ODC C 是平行四边形，因此有1OC C D ∥．1C D ⊂平面111C B A 且OC ⊄平面111C B A ，则OC ∥面111A B C ．（2）如图，过B 作截面22BA C ∥面111A B C ，分别交1AA ，1CC 于2A ，2C ． 作22BH A C ⊥于H ，连CH ．因为1CC ⊥面22BA C ，所以1CC BH ⊥，则BH ⊥平面1AC ．又因为AB =BC =222AC AB BC AC ⇒=+．所以BC AC ⊥，根据三垂线定理知CH AC ⊥，所以BCH ∠就是所求二面角的平面角．因为BH =，所以1sin 2BH BCH BC ==∠，故30BCH = ∠， 即：所求二面角的大小为30．（3）因为BH =，所以22221111(12)3322B AA C C AA C C V S BH -==+= ．1112211111212A B C A BC A B C V S BB -=== △．所求几何体体积为221112232B AAC C A B C A BC V V V --=+=． 解法二：（1）如图，以1B 为原点建立空间直角坐标系，则(014)A ，，，(002)B ，，，(103)C ，，，因为O 是AB 的中点，所以1032O ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，11A 21102OC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，，．易知，(001)n =，，是平面111A B C 的一个法向量．因为0OC n = ，OC ⊄平面111A B C ，所以OC ∥平面111A B C ．（2）(012)AB =-- ，，，(101)BC = ，，， 设()m x y z =，，是平面ABC 的一个法向量，则 则0AB m = ，0BC m = 得：200y z x z --=⎧⎨+=⎩ 取1x z =-=，(121)m =-，，．显然，(110)l =，，为平面11AAC C 的一个法向量．则cos m l m l m l===， 所以二面角1B AC A --的大小是30． （3）同解法一．21．解法一：（1）在PAB △中，2AB =，即222121222cos2d d d d θ=+-，2212124()4sin d d d d θ=-+，即122d d -==<（常数），点P 的轨迹C 是以A B ，为焦点，实轴长2a =方程为：2211x y λλ-=-． （2）设11()M x y ，，22()N x y ，①当MN 垂直于x 轴时，MN 的方程为1x =，(11)M ，，(11)N -，在双曲线上．即211111012λλλλλ--=⇒+-=⇒=-，因为01λ<<，所以12λ=． ②当MN 不垂直于x 轴时，设MN 的方程为(1)y k x =-．1x由2211(1)x y y k x λλ⎧-=⎪-⎨⎪=-⎩得：2222(1)2(1)(1)()0k x k x k λλλλλ⎡⎤--+---+=⎣⎦， 由题意知：2(1)0k λλ⎡⎤--≠⎣⎦，所以21222(1)(1)k x x k λλλ--+=--，2122(1)()(1)k x x k λλλλ--+=--． 于是：22212122(1)(1)(1)k y y k x x k λλλ=--=--．因为0OM ON = ，且M N ，在双曲线右支上，所以2121222122212(1)0(1)2101131001x x y y k x x k x x λλλλλλλλλλλλλλλ-⎧+=⎧-⎧=⎪>⎪⎪⎪+-+>⇒⇒⇒<<+--⎨⎨⎨⎪⎪⎪>+->>⎩⎩⎪-⎩．由①②知，1223λ<≤． 解法二：（1）同解法一（2）设11()M x y ，，22()N x y ，，MN 的中点为00()E x y ，． ①当121x x ==时，221101MB λλλλλ=-=⇒+-=-，因为01λ<<，所以12λ=； ②当12x x ≠时，22110222211111MN x y x k y x y λλλλλλ⎧-=⎪⎪-⇒=⎨-⎪-=⎪-⎩ ． 又001MN BE y k k x ==-．所以22000(1)y x x λλλ-=-； 由2MON π=∠得222002MN x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由第二定义得2212()222MN e x x a ⎛⎫+-⎡⎤= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭220001(1)21x x x λλ==+---．所以222000(1)2(1)(1)y x x λλλλ-=--+-．于是由22000222000(1)(1)2(1)(1)y x x y x x λλλλλλλ⎧-=-⎪⎨-=--+-⎪⎩得20(1)23x λλ-=- 因为01x >，所以2(1)123λλ->-，又01λ<<，23λ<<23λ<． 22．解：（1）据条件得1111112(1)2n n n n n n a a a a ++⎛⎫+<++<+ ⎪⎝⎭① 当1n =时，由21211111222a a a a ⎛⎫+<+<+ ⎪⎝⎭，即有1112212244a a +<+<+，解得12837a <<．因为1a 为正整数，故11a =． 当2n =时，由33111126244a a ⎛⎫+<+<+ ⎪⎝⎭， 解得3810a <<，所以39a =．（2）方法一：由11a =，24a =，39a =，猜想：2n a n =． 下面用数学归纳法证明．1当1n =，2时，由（1）知2n a n =均成立；2假设(2)n k k =≥成立，则2k a k =，则1n k =+时由①得221111112(1)2k k k k a ka k ++⎛⎫+<++<+ ⎪⎝⎭ 2212(1)(1)11k k k k k k a k k k +++-⇒<<-+- 22212(1)1(1)(1)11k k k a k k k ++⇒+-<<+++-因为2k ≥时，22(1)(1)(1)(2)0k k k k k +-+=+-≥，所以(]22(1)011k k +∈+，．11k -≥，所以(]1011k ∈-，． 又1k a +∈*N ，所以221(1)(1)k k a k +++≤≤． 故21(1)k a k +=+，即1n k =+时，2n a n =成立． 由1，2知，对任意n ∈*N ，2n a n =．（2）方法二：由11a =，24a =，39a =，猜想：2n a n =． 下面用数学归纳法证明．1当1n =，2时，由（1）知2n a n =均成立；2假设(2)n k k =≥成立，则2k a k =，则1n k =+时由①得221111112(1)2k k k k a k a k ++⎛⎫+<++<+ ⎪⎝⎭ 即21111(1)122k k k k k a k a k+++++<+<+ ② 由②左式，得2111k k k k k a +-+-<，即321(1)k k a k k k +-<+-，因为两端为整数， 则3221(1)1(1)(1)k k a k k k k k +-+--=+-≤．于是21(1)k a k ++≤ ③又由②右式，22221(1)21(1)1k k k k k k k k a k k+++-+-+<=． 则231(1)(1)k k k a k k +-+>+．因为两端为正整数，则2431(1)1k k k a k k +-+++≥，所以4321221(1)11k k k ka k k k k k +++=+--+-+≥．又因2k ≥时，1k a +为正整数，则21(1)k a k ++≥ ④ 据③④21(1)k a k +=+，即1n k =+时，2n a n =成立． 由1，2知，对任意n ∈*N ，2n a n =．。
2007年高考文科数学试题及参考答案(江西卷)
2007年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科数学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第I 卷1至2页，第II 卷3至4页，共150分．第I 卷考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．第I 卷每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第II 卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回． 参考公式： 如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发的概率是P ，那么 34π3V R =n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()(1)k k n kn n P k C P P -=-其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}01M =，，{}012345I =，，，，，，则I M ð为（ ） Ａ．{}01，Ｂ．{}2345，，，Ｃ．{}02345，，，， Ｄ．{}12345，，，， 2．函数5tan(21)y x =+的最小正周期为（ ） Ａ．π4Ｂ．π2Ｃ．π Ｄ．2π3．函数1()lg 4x f x x -=-的定义域为（ ）Ａ．(14)，Ｂ．[14)，Ｃ．(1)(4)-∞+∞ ，，Ｄ．(1](4)-∞+∞ ，，4．若tan 3α=，4tan 3β=，则tan()αβ-等于（ ）Ａ．3- Ｂ．13-Ｃ．3 Ｄ．135．设2921101211(1)(21)(2)(2)(2)x x a a x a x a x ++=+++++++ ， 则01211a a a a ++++ 的值为（ ） Ａ．2-Ｂ．1-Ｃ．1Ｄ．26．一袋中装有大小相同，编号分别为12345678，，，，，，，的八个球，从中有放回．．．地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于．．．15的概率为（ ） Ａ．132Ｂ．164Ｃ．332Ｄ．3647．连接抛物线24x y =的焦点F 与点(10)M ，所得的线段与抛物线交于点A ，设点O 为坐标原点，则三角形O A M 的面积为（ ）Ａ．1-+Ｂ．32- Ｃ．1+ Ｄ．32+8．若π02x <<，则下列命题正确的是（ ）Ａ．2sin πx x <Ｂ．2sin πx x >Ｃ．3sin πx x <Ｄ．3sin πx x >9．四面体A B C D 的外接球球心在C D 上，且2C D =，AD =在外接球面上两点A B，间的球面距离是（ ） Ａ．π6Ｂ．π3Ｃ．2π3Ｄ．5π610．设32:()21p f x x x m x =+++在()-∞+∞，内单调递增，4:3q m ≥，则p 是q 的（ ）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件11．四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示，盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为1h ，2h ，3h ，4h ，则它们的大小关系正确的是（ ）Ａ．214h h h >> Ｂ．123h h h >> Ｃ．324h h h >>Ｄ．241h h h >>12．设椭圆22221(0)x y a b ab+=>>的离心率为1e 2=，右焦点为(0)F c ，，方程20a x b x c +-=的两个实根分别为1x 和2x ，则点12()P x x ，（ ）Ａ．必在圆222x y +=上 Ｂ．必在圆222x y +=外 Ｃ．必在圆222x y +=内Ｄ．以上三种情形都有可能2007年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科数学 第II 卷注意事项：第II 卷2页，须要黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试卷题上作答，答案无效．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把答案填在答题卡上． 13．在平面直角坐标系中，正方形O A B C 的对角线O B 的两端点分别为(00)O ，，(11)B ，，则AB AC =．14．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1221S =，则25811a a a a +++=．15．已知函数()y f x =存在反函数1()y f x -=，若函数(1)y f x =+的图象经过点(31)，，则函数1()y fx -=的图象必经过点 ．16．如图，正方体1AC 的棱长为1，过点作平面1A B D 的垂线，垂足为点H ．有下列四个命题Ａ．点H 是1A BD △的垂心 Ｂ．A H 垂直平面11C B DＣ．二面角111C B D C --Ｄ．点H 到平面1111A B C D 的距离为34其中真命题的代号是．（写出所有真命题的代号）三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）11C1B已知函数21(0)()21(1)x ccx x c f x c x -+<<⎧⎪=⎨⎪+<⎩≤满足29()8f c =．（1）求常数c 的值； （2）解不等式()18f x >+．18．（本小题满分12分）如图，函数π2cos()(00)2y x x >ωθωθ=+∈R ，，≤≤的图象与y轴相交于点(0，且该函数的最小正周期为π． （1）求θ和ω的值； （2）已知点π02A ⎛⎫⎪⎝⎭，，点P 是该函数图象上一点，点00()Q x y ，是P A的中点，当02y =，0ππ2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求0x 的值． 19．（本小题满分12分）栽培甲、乙两种果树，先要培育成苗．．，然后再进行移栽．已知甲、乙两种果树成苗．．的概率分别为0.6，0.5，移栽后成活．．的概率分别为0.7，0.9． （1）求甲、乙两种果树至少有一种果树成苗．．的概率； （2）求恰好有一种果树能培育成苗．．且移栽成活．．的概率． 20．（本小题满分12分）右图是一个直三棱柱（以111A B C 为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC ．已知11111A B B C ==，11190A B C ∠=，14AA =，12BB =，13C C =．（1）设点O 是A B 的中点，证明：O C ∥平面111A B C ； （2）求A B 与平面11AA C C 所成的角的大小； （3）求此几何体的体积． 21．（本小题满分12分）设{}n a 为等比数列，11a =，23a =． （1）求最小的自然数n ，使2007n a ≥； （2）求和：212321232n nn T a a a a =-+--．C1122．（本小题满分14分）设动点P 到点1(10)F -，和2(10)F ，的距离分别为1d 和2d ，122F PF θ=∠，且存在常数(01)λλ<<，使得212sin d d θλ=．（1）证明：动点P 的轨迹C 为双曲线，并求出C 的方程；（2）如图，过点2F 的直线与双曲线C 的右支交于A B ，两点．问：是否存在λ，使1F AB △是以点B 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．2007年普通高等学校招生全国统一考试（江西文）参考答案一、选择题1．Ｂ 2．Ｂ 3．Ａ 4．Ｄ 5．Ａ 6．Ｄ 7．Ｂ 8．Ｂ 9．Ｃ 10．Ｃ 11．Ａ 12．Ｃ 二、填空题13．1 14．7 15．(14)， 16．A ，B ，C 三、解答题17．解：（1）因为01c <<，所以2c c <； 由29()8f c =，即3918c +=，12c =．（2）由（1）得411122()211x x x f x x -⎧⎛⎫+0<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨1⎛⎫⎪+< ⎪⎪2⎝⎭⎩，，≤由()18f x >+得，当102x <<时，解得142x <<，当112x <≤时，解得1528x <≤，所以()18f x >+的解集为58x x ⎧⎫⎪⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭．18．解：（1）将0x =，y =代入函数2cos()y x ωθ=+中得cos 2θ=，因为π02θ≤≤，所以π6θ=．由已知πT =，且0ω>，得2π2π2T πω===．（2）因为点π02A ⎛⎫⎪⎝⎭，，00()Q x y ，是P A 的中点，02y =． 所以点P 的坐标为0π22x ⎛-⎝． 又因为点P 在π2cos 26y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上，且0ππ2x ≤≤，所以05πcos 462x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 07π5π19π4666x -≤≤，从而得05π11π466x -=或05π13π466x -=，即02π3x =或03π4x =．19．解：分别记甲、乙两种果树成苗为事件1A ，2A ；分别记甲、乙两种果树苗移栽成活为事件1B ，2B ，1()0.6P A =，2()0.5P A =，1()0.7P B =，2()0.9P B =． （1）甲、乙两种果树至少有一种成苗的概率为 1212()1()10.40.50.8P A A P A A +=-=-⨯= ；（2）解法一：分别记两种果树培育成苗且移栽成活为事件A B ，， 则11()()0.42P A P A B ==，22()()0.45P B P A B ==． 恰好有一种果树培育成苗且移栽成活的概率为()0.420.550.580.450.492P A B AB +=⨯+⨯=．解法二：恰好有一种果树栽培成活的概率为11211221221212()0.492P A B A A B A B A A B A A B B +++=．20． 解法一：（1）证明：作1O D AA ∥交11A B 于D ，连1C D ． 则11O D BB C C ∥∥， 因为O 是A B 的中点，2CA所以1111()32O D A A B B C C =+==．则1ODC C 是平行四边形，因此有1O C C D ∥，1C D ⊂平面111C B A ，且O C ⊄平面111C B A则O C ∥面111A B C ．（2）解：如图，过B 作截面22BA C ∥面111A B C ，分别交1A A ，1C C 于2A ，2C ， 作22BH A C ⊥于H ，因为平面22A BC ⊥平面11AA C C ，则BH ⊥面11AA C C ． 连结A H ，则BAH ∠就是A B 与面11AA C C 所成的角．因为2BH =，AB =sin 10BH BAH AB==∠．A B 与面11AA C C所成的角为arcsin10BAH =∠．（3）因为2BH =，所以222213B A A CCA A C C V SB H -=．111(13222=+= ． 1112211111212A B C A B C A B C V S B B -=== △．所求几何体的体积为221112232B A A CCA B C A B C V V V --=+=．解法二：（1）证明：如图，以1B 为原点建立空间直角坐标系，则(014)A ，，，(002)B ，，，(103)C ，，，因为O 是A B 的中点，所以1032O ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，1102O C ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，，易知，(001)n =，，是平面111A B C 的一个法向量． 由0OC n =且O C ⊄平面111A B C 知O C ∥平面111A B C ．1Bx（2）设A B 与面11AA C C 所成的角为θ． 求得1(004)A A = ，，，11(110)A C =- ，，．设()m x y z = ，，是平面11AA C C 的一个法向量，则由11100A A m A C m ⎧=⎪⎨=⎪⎩得00z x y =⎧⎨-=⎩，取1x y ==得：(110)m =，，．又因为(012)A B =--，，所以，cos m <，10m AB AB m AB>==-sin 10θ= 所以A B 与面11AA C C所成的角为arcsin 10．（3）同解法一21．解：（1）由已知条件得112113n n n a a a --⎛⎫== ⎪⎝⎭，因为67320073<<，所以，使2007n a ≥成立的最小自然数8n =． （2）因为223211234213333n n n T -=-+-+- ，…………① 2234212112342123333333n n nn n T --=-+-++-，…………②+①②得：2232124111121333333n n nn T -=-+-+--2211231313n n n -=-+22333843nnn--=所以22223924163n n nnT +--=．22．解：（1）在12PF F △中，122F F =22221212121242cos 2()4sin d d d d d d d d θθ=+-=-+ 212()44d d λ-=-12d d -=2的常数）故动点P 的轨迹C 是以1F ，2F为焦点，实轴长2a = 方程为2211xyλλ-=-．（2）方法一：在1AF B △中，设11AF d =，22AF d =，13BF d =，24BF d =． 假设1AF B △为等腰直角三角形，则12343421323422πsin 4d d a d d a d d d d d d λ⎧⎪-=⎪-=⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎪=⎪⎩ ①②③④⑤ 由②与③得22d a =，则1343421)d a d d d a a=⎧⎪=⎨⎪=-=⎩ 由⑤得342d d λ=，21)2a λ=(8)2λλ--=，12(01)17λ-=∈，故存在1217λ-=满足题设条件．方法二：（1）设1AF B △为等腰直角三角形，依题设可得21212212122πsin π81cos 4πsin 24A F A F A F A F B F B F B F B F λλλλ⎧⎧===⎪⎪⎪⎪-⇒⎨⎨⎪⎪=⎪=⎪⎩⎩所以12121πsin1)24A F F S A F A F λ==+ △，121212B F F S B F B F λ== △．则1(2AF B S λ=+△．①由1212221AF F BF F S AF S BF ==△△，可设2BF d =，则21)AF d =，1(2BF AB d ==+．则122211(222A FB S A Bd ==+△．②由①②得2(22d λ+=．③根据双曲线定义122BF BF a -==1)d =．平方得：221)4(1)d λ=-．④由③④消去d可解得，12(01)17λ-=∈，故存在1217λ-=满足题设条件．。
[2007年高考]江西文
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2007年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科数学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第I 卷1至2页，第II 卷3至4页，共150分．第I 卷考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．第I 卷每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第II 卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回．参考公式： 如果事件A B ，互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =g g球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发的概率是P ，那么 34π3V R =n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()(1)k kn k n n P k C P P -=-其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若集合{}01M =，，{}012345I =，，，，，，则I M ð为（ ） Ａ．{}01，Ｂ．{}2345，，，Ｃ．{}02345，，，，Ｄ．{}12345，，，，解析：I M ð={}2345，，，，选B.2．函数5tan(21)y x =+的最小正周期为（ ） Ａ．π4Ｂ．π2Ｃ．πＤ．2π解析：,2T π=选B.3．函数1()lg 4xf x x -=-的定义域为（ ） Ａ．(14)，Ｂ．[14)，Ｃ．(1)(4)-∞+∞U ，，Ｄ．(1](4)-∞+∞U ，，解析：10(1)(4)0,1 4.4xx x x x ->⇒--<∴<<-选A. 4．若tan 3α=，4tan 3β=，则tan()αβ-等于（ ）Ａ．3- Ｂ．13- Ｃ．3 Ｄ．13解析：43tan tan 13tan().41tan tan 3133αβαβαβ---===++⨯ 所以选D. 5．设2921101211(1)(21)(2)(2)(2)x x a a x a x a x ++=+++++++L ，则01211a a a a ++++L 的值为（ ） Ａ．2-Ｂ．1-Ｃ．1Ｄ．2解析：令2x +=1，右边为01211a a a a ++++L ；左边把1x =-代入299(1)(21)2(1)2x x ++=-=-，01211 2.a a a a ∴++++=-L 选A.6．一袋中装有大小相同，编号分别为12345678，，，，，，，的八个球，从中有放回．．．地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于．．．15的概率为（ ） Ａ．132Ｂ．164Ｃ．332Ｄ．364解析：从中有放回地取2次，所取号码共有8*8=64种，其中和不小于15的有3种，分别是（7，8），（8，7），（8，8），故所求概率为3.64P =选D. 7．连接抛物线24x y =的焦点F 与点(10)M ，所得的线段与抛物线交于点A ， 设点O 为坐标原点，则三角形OAM 的面积为（ ）Ａ．1-Ｂ．32Ｃ．1Ｄ．32+解析：线段FM 所在直线方程1x y +=与抛物线交于00(,),A x y 则：02134x y y x y+=⎧⇒=-⎨=⎩11(32OAM S ∆∴=⨯⨯-=32选B. 8．若π02x <<，则下列命题正确的是（ ）Ａ．2sin πx x <Ｂ．2sin πx x >Ｃ．3sin πx x < Ｄ．3sin πx x > 解析：12131sin ,,,626362x x πππππ=⇒=⨯=⨯=取右边显然A 、C 、D 不正确，选B.9．四面体ABCD 的外接球球心在CD 上，且2CD =，AB =在外接球面上两点A B ，间的球面距离是（ ）Ａ．π6Ｂ．π3 Ｃ．2π3 Ｄ．5π6解析：由球心在CD 上，且2CD =，得球的半径R=1，1OA OB ==⇒22211122,..211233COS AOB AOB l R ππθ+-∠==-⇒∠=∴==⨯⨯选C.10．设32:()21p f x x x mx =+++在()-∞+∞，内单调递增，4:3q m ≥， 则p 是q 的（ ） Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析：()f x 在()-∞+∞，内单调递增，则()f x '在()-∞+∞，上恒成立。
2007年江西高考数学
绝密★启用前2007年普通高等学校招生全国统一考试一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．化简2)1(42i i ++的结果是A ．2＋iB ．－2＋iC ．2－iD ．－2－i2．1lim 231--→x x x xA ．等于0B ．等于lC ．等于3D ．不存在 3．若3)4tan(=-απ，则cot α等于A ．－2B ．21-C ．21D ．24．已知(x ＋33x)n 展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n 等于A ．4B ．5C ．6D ．7 5．若0＜x ＜2π，则下列命题中正确的是A ．sin x ＜x π3B ．sin x ＞x π3 C ．sin x ＜224x π D ．sin x ＞224x π6．若集合012|),{(},2,1,0{≥+-==y x y x N M 且M y x y x ∈≤--,,012}，则N 中元素的个数为 A ．9B ．6C ．4D ．27．如图，正方体AC 1的棱长为1，过点A 作平面A 1BD 的垂线，垂足为点H ．则以下命题中，错误．．的命题是 A ．点H 是△A 1BD 的垂心 B ．AH 垂直平面CB 1D 1 C ．AH 的延长线经过点C 1D ．直线AH 和BB 1所成角为45°8．四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯,如图所示．盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为h 1，h 2，h 3，h 4，则它们的大小关系正确的是A ．h 2＞h 1＞h 4B ．h 1＞h 2＞h 3C ．h 3＞h 2＞h 4D ．h 2＞h 4＞h 19．设椭圆)0(12222＞＞b a by a x =+的离心率为e ＝21,右焦点为F (c ,0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1,x 2)A ．必在圆x 2＋y 2＝2内B ．必在圆x 2＋y 2＝2上C ．必在圆x 2＋y 2＝2外D ．以上三种情形都有可能10．将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为 A ．91B ．121C ．151D ．181 11．设函数f (x )是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线y ＝f (x )在x ＝5处的切线的斜率为 A ．－51 B ．0 C ．51D ．512．设12ln )(:2++++=mx x x e x f p x 在(0，＋∞)内单调递增，5:-≥m q ，则p 是q 的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把答案填在答题卡上． 13.设函数y ＝4＋log 2(x －1)(x ≥3)，则其反函数的定义域为 ． 14.已知数列{a n }对于任意p ，q ∈N *，有a p +a q =a p +q ，若a 1=91，则a 36＝ ． 15.如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线 AB 、AC 于不同的两点M 、N ,若n m ==,,则m +n 的值 为 ．16.设有一组圆)(2)3()1(:*422N k k k y k x C k ∈=-++-．下列四个命题：A ．存在一条定直线与所有的圆均相切B ．存在一条定直线与所有的圆均相交C ．存在一条定直线与所有的圆均不．相交D ．所有的圆均不．经过原点 其中真命题的代号是 ．（写出所有真命题的代号）三．解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤++=-)1(2)0(1)(2＜＜＜x c kc x cx x f c x在区间(0，1)内连续,且89)(2=c f ． （1）求实数k 和c 的值； （2）解不等式182)(+＞x f18．（本小题满分12分）如图,函数)20,)(cos(2πθθω≤≤∈+=R x x y 的图象与y 轴交于点(0，3)，且在该点处切线的斜率为一2．（1）求θ和ω的值； （2）已知点A (2π，0)，点P 是该函数图象上一点，点Q (x 0，y 0)是P A 的中点，当y 0＝23，x 0∈[2π，π]时，求x 0的值． 19．（本小题满分12分）某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5， 0.6， 0.4．经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6，0.5，0.75． （1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；（2）经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为ξ，求随机变量ξ的期望． 20．（本小题满分12分）右图是一个直三棱柱（以A 1B 1C 1为底面）被一平面所截得到 的几何体，截面为ABC ．已知A 1B 1＝B 1C 1＝l ，∠A l B l C 1＝90°， AA l ＝4，BB l ＝2，CC l ＝3．（1）设点O 是AB 的中点，证明：OC ∥平面A 1B 1C 1； （2）求二面角B —AC —A 1的大小； （3）求此几何体的体积． 21．（本小题满分12分）设动点P 到点A (－l ，0)和B (1，0)的距离分别为d 1和d 2， ∠APB ＝2θ,且存在常数λ(0＜λ＜1＝,使得d 1d 2 sin 2θ＝λ． （1）证明：动点P 的轨迹C 为双曲线，并求出C 的方程； （2）过点B 作直线交双曲线C 的右支于M 、N 两点,试确定λ的范围,使·＝0,其中点 O 为坐标原点．22．（本小题满分14分）设正整数数列{a n }满足：a 2＝4，且对于任何n ∈N *，有n n n n a n n a a a 1211111211++-++++＜＜．（1）求a 1，a 3；（2）求数列{ a n }的通项a n ．参考答案一、选择题 1．C 2．B3．A 4．C 5．D6．C 7．D 8．A 9．A 10．B11．B 12．B 二、填空题 13．[5)+，∞ 14．4 15．2 16．B D ，三、解答题17．解：（1）因为01c <<，所以2c c <，由29()8f c =，即3918c +=，12c =． 又因为4111022()1212x x x f x k x -⎧⎛⎫+<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+< ⎪⎪⎝⎭⎩≤在12x =处连续，所以215224f k -⎛⎫=+=⎪⎝⎭，即1k =． （2）由（1）得：4111022()12112x x x f x x -⎧⎛⎫+<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+< ⎪⎪⎝⎭⎩≤由()18f x >+得，当102x <<时，解得142x <<． 当112x <≤时，解得1528x <≤，所以()18f x >+的解集为58x ⎧⎫⎪⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭． 18．解：（1）将0x =，y =2cos()y x ωθ=+得cos θ=， 因为02θπ≤≤，所以6θπ=． 又因为2sin()y x ωωθ'=-+，02x y ='=-，6θπ=，所以2ω=， 因此2cos 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭． （2）因为点02A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，，00()Q x y ，是PA的中点，02y =，所以点P的坐标为022x π⎛-⎝． 又因为点P 在2cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上，所以05cos 462x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 因为02x ππ≤≤，所以075194666x πππ-≤≤， 从而得0511466x ππ-=或0513466x ππ-=． 即023x π=或034x π=．19．解：分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件1A ，2A ，3A ， （1）设E 表示第一次烧制后恰好有一件合格，则)()()()(321321321A A A p A A A A A A P E P ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=0.50.40.60.50.60.60.50.40.40.38=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=．（2）解法一：因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为0.3p =，所以~(30.3)B ξ，， 故30.30.9E np ξ==⨯=．解法二：分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件A B C ，，，则()()()0.3P A P B P C ===，所以3(0)(10.3)0.343P ξ==-=，2(1)3(10.3)0.30.441P ξ==⨯-⨯=， 2(2)30.30.70.189P ξ==⨯⨯=， 3(3)0.30.027P ξ===．于是，()10.44120.18930.0270.9E ξ=⨯+⨯+⨯=． 20．解法一：（1）证明：作1OD AA ∥交11A B 于D ，连1C D ．则11OD BB CC ∥∥． 因为O 是AB 的中点， 所以1111()32OD AA BB CC =+==．1A 2则1ODC C 是平行四边形，因此有1OC C D ∥．1C D ⊂平面111C B A 且OC ⊄平面111C B A ，则OC ∥面111A B C ．（2）如图，过B 作截面22BA C ∥面111A B C ，分别交1AA ，1CC 于2A ，2C ．作22BH A C ⊥于H ，连CH ．因为1CC ⊥面22BA C ，所以1CC BH ⊥，则BH ⊥平面1AC ．又因为AB =BC =222AC AB BC AC =⇒=+．所以BC AC ⊥，根据三垂线定理知CH AC ⊥，所以BCH ∠就是所求二面角的平面角．因为2BH =，所以1sin 2BH BCH BC ==∠，故30BCH = ∠， 即：所求二面角的大小为30．（3）因为2BH =，所以1221.21222)21(2131311111221112222=⋅=⋅==⋅⋅+⋅=⋅=∆--BB S V BH S V C B A BC A C B A C C AA C C AA B所求几何体体积为221112232B AAC C A B C A BC V V V --=+=． 解法二：（1）如图，以1B 为原点建立空间直角坐标系，则(014)A ，，，(002)B ，，，(103)C ，，，因为O 是AB 的中点，所以1032O ⎛⎫⎪⎝⎭，，1102OC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，，．易知，(001)n =，，是平面111A B C 的一个法向量．因为0=⋅，OC ⊄平面111A B C ，所以OC ∥平面111A B C ．（2）(012)AB =-- ，，，(101)BC = ，，，1x设()m x y z =，，是平面ABC 的一个法向量，则则0,0=⋅=⋅m BC m AB 得：20y z x z --=⎧⎨+=⎩取1x z =-=，(121)m =-，，．显然，(110)l =，，为平面11AAC C 的一个法向量．则2362021,cos =⨯++=>=<l m , 结合图形可知所求二面角为锐角． 所以二面角1B AC A --的大小是30． （3）同解法一．21．解法一：（1）在PAB △中，2AB =，即222121222cos2d d d d θ=+-，2212124()4sin d d d d θ=-+，即122d d -==<（常数）， 点P 的轨迹C 是以A B ，为焦点，实轴长2a =的双曲线．方程为：2211x y λλ-=-． （2）设11()M x y ，，22()N x y ，①当MN 垂直于x 轴时，MN 的方程为1x =，(11)M ，，(11)N -，在双曲线上．即2111101λλλλλ-=⇒+-=⇒=-，因为01λ<<，所以λ=． ②当MN 不垂直于x 轴时，设MN 的方程为(1)y k x =-．由2211(1)x y y k x λλ⎧-=⎪-⎨⎪=-⎩得：2222(1)2(1)(1)()0k x k x k λλλλλ⎡⎤--+---+=⎣⎦， 由题意知：2(1)0k λλ⎡⎤--≠⎣⎦，所以21222(1)(1)k x x k λλλ--+=--，2122(1)()(1)k x x k λλλλ--+=--．于是：22212122(1)(1)(1)k y y k x x kλλλ=--=--．因为0=⋅ON OM ，且M N ，在双曲线右支上，所以2121222122212(1)0(1)121011231001x x y y k x x k x x λλλλλλλλλλλλλλλ-⎧+=⎧-⎧=⎪>⎪⎪⎪+-+>⇒⇒⇒<<+--⎨⎨⎨⎪⎪⎪>+->>⎩⎩⎪-⎩．23λ<． 解法二：（1）同解法一（2）设11()M x y ，，22()N x y ，，MN 的中点为00()E x y ，．①当121x x ==时，221101MB λλλλλ=-=⇒+-=-，因为01λ<<，所以12λ=； ②当12x x ≠时，002222212111111y x k y x y x MN ⋅-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=--λλλλλλ． 又001MN BE y k k x ==-．所以22000(1)y x x λλλ-=-； 由2MON π=∠得222002MN x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由第二定义得2212()222MN e x x a ⎛⎫+-⎡⎤= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭220001(1)21x x x λλ==+---．所以222000(1)2(1)(1)y x x λλλλ-=--+-．于是由22000222000(1)(1)2(1)(1)y x x y x x λλλλλλλ⎧-=-⎪⎨-=--+-⎪⎩得20(1)23x λλ-=- 因为01x >，所以2(1)123λλ->-，又01λ<<，解得：1223λ<<．由①②知1223λ<≤． 22．解：（1）据条件得1111112(1)2n n n n n n a a a a ++⎛⎫+<++<+ ⎪⎝⎭①当1n =时，由21211111222a a a a ⎛⎫+<+<+ ⎪⎝⎭，即有1112212244a a +<+<+，解得12837a <<．因为1a 为正整数，故11a =． 当2n =时，由33111126244a a ⎛⎫+<+<+ ⎪⎝⎭， 解得3810a <<，所以39a =．（2）方法一：由11a =，24a =，39a =，猜想：2n a n =．下面用数学归纳法证明．1当1n =，2时，由（1）知2n a n =均成立；2假设(2)n k k =≥成立，则2k a k =，则1n k =+时由①得221111112(1)2k k k k a ka k ++⎛⎫+<++<+ ⎪⎝⎭ 2212(1)(1)11k k k k k k a k k k +++-⇒<<-+- 22212(1)1(1)(1)11k k k a k k k ++⇒+-<<+++-因为2k ≥时，22(1)(1)(1)(2)0k k k k k +-+=+-≥，所以(]22(1)011k k +∈+，． 11k -≥，所以(]1011k ∈-，． 又1k a +∈*N ，所以221(1)(1)k k a k +++≤≤． 故21(1)k a k +=+，即1n k =+时，2n a n =成立． 由1，2知，对任意n ∈*N ，2n a n =．（2）方法二：由11a =，24a =，39a =，猜想：2n a n =． 下面用数学归纳法证明．1当1n =，2时，由（1）知2n a n =均成立；2假设(2)n k k =≥成立，则2k a k =，则1n k =+时由①得221111112(1)2k k k k a k a k ++⎛⎫+<++<+ ⎪⎝⎭ 即21111(1)122k k k k k a k a k+++++<+<+ ② 由②左式，得2111k k k k k a +-+-<，即321(1)k k a k k k +-<+-，因为两端为整数， 则3221(1)1(1)(1)k k a k k k k k +-+--=+-≤．于是21(1)k a k ++≤ ③又由②右式，22221(1)21(1)1k k k k k k k k a k k+++-+-+<=． 则231(1)(1)k k k a k k +-+>+．因为两端为正整数，则2431(1)1k k k a k k +-+++≥，所以4321221(1)11k k k ka k k k k k +++=+--+-+≥．又因2k ≥时，1k a +为正整数，则21(1)k a k ++≥ ④ 据③④21(1)k a k +=+，即1n k =+时，2n a n =成立． 由1，2知，对任意n ∈*N ，2n a n =．。
2007年高考数学(江西卷) 全卷 加答案及解析
2007年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第I 卷1至2页，第II 卷3至4页，共150分．第I 卷考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．第I 卷每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第II 卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效． 3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回． 参考公式： 如果事件A B ，互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 34π3V R =n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()(1)k kn k n n P k C P P -=-其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．化简224(1)ii ++的结果是（ ）Ａ．2i +Ｂ．2i -+Ｃ．2i -Ｄ．2i --2．321lim 1x x x x →--（ ）Ａ．等于0Ｂ．等于1Ｃ．等于3Ｄ．不存在3．若πtan 34α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cot α等于（ ） Ａ．2-Ｂ．12-Ｃ．12Ｄ．24．已知n展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n 等于（ ）Ａ．4 Ｂ．5Ｃ．6Ｄ．75．若π02x <<，则下列命题中正确的是（ ） Ａ．3sin πx x < Ｂ．3sin πx x >Ｃ．224sin πx x < Ｄ．224sin πx x >6．若集合{}012M =，，，{}()210210N x y x y x y x y M =-+--∈，≥且≤，，，则N 中元素的个数为（ ）Ａ．9 Ｂ．6Ｃ．4Ｄ．27．如图，正方体1AC 的棱长为1，过点A 作平面1A BD 的垂线，垂足为点H ，则以下命题中，错误．．的命题是（ ） Ａ．点H 是1A BD △的垂心 Ｂ．AH 垂直平面11CB D Ｃ．AH 的延长线经过点1C Ｄ．直线AH 和1BB 所成角为458．四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示，盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为1h ，2h ，3h ，4h ，则它们的大小关系正确的是（ ）Ａ．214h h h >> Ｂ．123h h h >>Ｃ．324h h h >>Ｄ．241h h h >>9．设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为1e 2=，右焦点为(0)F c ，，方程111B20ax bx c +-=的两个实根分别为1x 和2x ，则点12()P x x ，（ ）Ａ．必在圆222x y +=内 Ｂ．必在圆222x y +=上 Ｃ．必在圆222x y +=外Ｄ．以上三种情形都有可能10．将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次．．成等差数列的概率为（ ） Ａ．19Ｂ．112Ｃ．115Ｄ．11811．设函数()f x 是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线()y f x =在5x =处的切线的斜率为（ ） Ａ．15-Ｂ．0Ｃ．15Ｄ．512．设2:()e l n 21xp f x x x m x =++++在(0)+∞，内单调递增，:5q m -≥，则p 是q 的（ ）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件2007年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学 第II 卷注意事项： 第II 卷2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试卷题上作答，答案无效．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把答案填在答题卡上． 13．设函数24log (1)(3)y x x =+-≥，则其反函数的定义域为．14．已知数列{}n a 对于任意*p q ∈N ，，有p q p q a a a ++=，若119a =，则36a = ．15．如图，在ABC △中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M N ，，若A B m A M = ，AC nAN =，则m n +的值为．16．设有一组圆224*:(1)(3)2()k C x k y k k k -++-=∈N ．下列四个命题：Ａ．存在一条定直线与所有的圆均相切 Ｂ．存在一条定直线与所有的圆均相交 Ｃ．存在一条定直线与所有的圆均不．相交 Ｄ．所有的圆均不．经过原点 其中真命题的代号是 ．（写出所有真命题的代号）三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知函数1(0)()2(1)x c cx x c f x k c x -+<<⎧⎪=⎨⎪+<⎩ ≤在区间(01)，内连续，且29()8f c =．（1）求实数k 和c 的值； （2）解不等式()18f x >+． 18．（本小题满分12分）如图，函数π2cos()(0)y x x ωθθ=+∈R ，≤≤的图象与y轴交于点(0，且在该点处切线的斜率为2-． （1）求θ和ω的值；（2）已知点π02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，点P 是该函数图象上一点，点00()Q x y ，是PA 的中点，当02y =，0ππ2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求0x 的值．19．（本小题满分12分）某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5，0.6，0.4，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6，0.5，0.75． （1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；（2）经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为ξ，求随机变量ξ的期望． 20．（本小题满分12分）右图是一个直三棱柱（以111A B C 为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC ．已知11111A B B C ==，11190A B C ∠= ，14AA =，12BB =，13CC =．（1）设点O 是AB 的中点，证明：OC ∥平面111A B C ； （2）求二面角1B AC A --的大小； （3）求此几何体的体积． 21．（本小题满分12分）设动点P 到点(10)A -，和(10)B ，的距离分别为1d 和2d ，2APB θ∠=，且存在常数(01)λλ<<，使得212sin d d θλ=．（1）证明：动点P 的轨迹C 为双曲线，并求出C 的方程；（2）过点B 作直线双曲线C 的右支于M N ，两点，试确定λ的范围，使OM ON =0，其中点O 为坐标原点． 22．（本小题满分14分）设正整数数列{}n a 满足：24a =，且对于任何*n ∈N ，有11111122111n n n n a a a a n n ++++<<+-+．11y（1）求1a ，3a ；（3）求数列{}n a 的通项n a ．2007年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学参考答案一、选择题 1．C 2．B3．A 4．C 5．D 6．C 7．D 8．A 9．A 10．B11．B 12．B 二、填空题 13．[5)+，∞ 14．4 15．2 16．B D ，三、解答题17．解：（1）因为01c <<，所以2c c <， 由29()8f c =，即3918c +=，12c =． 又因为4111022()1212x x x f x k x -⎧⎛⎫+<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+< ⎪⎪⎝⎭⎩≤在12x =处连续，所以215224f k -⎛⎫=+=⎪⎝⎭，即1k =． （2）由（1）得：4111022()12112x x x f x x -⎧⎛⎫+<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+< ⎪⎪⎝⎭⎩≤由()18f x >+得，当102x <<时，解得142x <<． 当112x <≤时，解得1528x <≤，所以()18f x >+的解集为58x ⎧⎫⎪⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭．18．解：（1）将0x =，y =代入函数2cos()y x ωθ=+得cos θ= 因为02θπ≤≤，所以6θπ=． 又因为2sin()y x ωωθ'=-+，02x y ='=-，6θπ=，所以2ω=， 因此2cos 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭．（2）因为点02A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，，00()Q x y ，是PA 的中点，02y =，所以点P 的坐标为022x π⎛-⎝．又因为点P 在2cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上，所以05cos 462x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 因为02x ππ≤≤，所以075194666x πππ-≤≤， 从而得0511466x ππ-=或0513466x ππ-=． 即023x π=或034x π=．19．解：分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件1A ，2A ，3A ， （1）设E 表示第一次烧制后恰好有一件合格，则123123123()()()()P E P A A A P A A A P A A A =++0.50.40.60.50.60.60.50.40.40.38=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=．（2）解法一：因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为0.3p =， 所以~(30.3)B ξ，， 故30.30.9E np ξ==⨯=．解法二：分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件A B C ，，，则()()()0.3P A P B P C ===，所以3(0)(10.3)0.343P ξ==-=，2(1)3(10.3)0.30.441P ξ==⨯-⨯=， 2(2)30.30.70.189P ξ==⨯⨯=， 3(3)0.30.027P ξ===．于是，()10.44120.18930.0270.9E ξ=⨯+⨯+⨯=． 20．解法一：（1）证明：作1OD AA ∥交11A B 于D ，连1C D ．则11OD BB CC ∥∥． 因为O 是AB 的中点， 所以1111()32OD AA BB CC =+==． 则1ODC C 是平行四边形，因此有1OC C D ∥．1C D ⊂平面111C B A 且OC ⊄平面111C B A ，则OC ∥面111A B C ．（2）如图，过B 作截面22BA C ∥面111A B C ，分别交1AA ，1CC 于2A ，2C ． 作22BH A C ⊥于H ，连CH ．因为1CC ⊥面22BA C ，所以1CC BH ⊥，则BH ⊥平面1AC ．又因为AB =BC =222AC AB BC AC ==+．所以BC AC ⊥，根据三垂线定理知CH AC ⊥，所以BCH ∠就是所求二面角的平面角．因为BH =，所以1sin 2BH BCH BC ==∠，故30BCH = ∠， 即：所求二面角的大小为30．（3）因为BH =，所以 22221111(12)33222B AAC C AA C C V S BH -==+= ．11A 21112211111212A B C A BC A B C V S BB -=== △．所求几何体体积为221112232B AAC C A B C A BC V V V --=+=．解法二：（1）如图，以1B 为原点建立空间直角坐标系，则(014)A ，，，(002)B ，，，(103)C ，，，因为O 是AB 的中点，所以1032O ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，， 1102OC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，．易知，(001)n =，，是平面111A B C 的一个法向量． 因为0OC n =，OC ⊄平面111A B C ，所以OC ∥平面111A B C ． （2）(012)AB =-- ，，，(101)BC =，，， 设()m x y z =，，是平面ABC 的一个法向量，则则0AB m = ，0BC m = 得：200y z x z --=⎧⎨+=⎩取1x z =-=，(121)m =-，，． 显然，(110)l =，，为平面11AA C C 的一个法向量．则cos 2m l m l m l===，，结合图形可知所求二面角为锐角． 所以二面角1B AC A --的大小是30． （3）同解法一．21．解法一：（1）在PAB △中，2AB =，即222121222cos 2d d d d θ=+-，2212124()4sin d d d d θ=-+，即122d d -==<（常数），点P 的轨迹C 是以A B ，为焦点，实轴长2a =1x方程为：2211x y λλ-=-．（2）设11()M x y ，，22()N x y ，①当MN 垂直于x 轴时，MN 的方程为1x =，(11)M ，，(11)N -，在双曲线上．即211111012λλλλλ--=⇒+-=⇒=-，因为01λ<<，所以12λ=． ②当MN 不垂直于x 轴时，设MN 的方程为(1)y k x =-．由2211(1)x y y k x λλ⎧-=⎪-⎨⎪=-⎩得：2222(1)2(1)(1)()0k x k x k λλλλλ⎡⎤--+---+=⎣⎦， 由题意知：2(1)0k λλ⎡⎤--≠⎣⎦，所以21222(1)(1)k x x k λλλ--+=--，2122(1)()(1)k x x k λλλλ--+=--． 于是：22212122(1)(1)(1)k y y k x x k λλλ=--=--．因为0OM ON =，且M N ，在双曲线右支上，所以2121222122212(1)0(1)121011231001x x y y k x x k x x λλλλλλλλλλλλλλλ-⎧+=⎧-⎧=⎪>⎪⎪⎪+-+>⇒⇒⇒<<+--⎨⎨⎨⎪⎪⎪>+->>⎩⎩⎪-⎩．23λ<． 解法二：（1）同解法一（2）设11()M x y ，，22()N x y ，，MN 的中点为00()E x y ，． ①当121x x ==时，221101MB λλλλλ=-=⇒+-=-，因为01λ<<，所以12λ-=；②当12x x ≠时，221102202211111MN x y x k y x y λλλλλλ⎧-=⎪⎪-⇒=⎨-⎪-=⎪-⎩ ． 又001MN BE y k k x ==-．所以22000(1)y x x λλλ-=-； 由2MON π=∠得222002MN x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由第二定义得2212()222MN e x x a ⎛⎫+-⎡⎤= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭220001(1)21x x x λλ=-=+---． 所以222000(1)2(1)(1)y x x λλλλ-=--+-．于是由22000222000(1)(1)2(1)(1)y x x y x x λλλλλλλ⎧-=-⎪⎨-=--+-⎪⎩得20(1)23x λλ-=- 因为01x >，所以2(1)123λλ->-，又01λ<<，解得：1223λ<<．由①②知1223λ<≤． 22．解：（1）据条件得1111112(1)2n n n n n n a a a a ++⎛⎫+<++<+ ⎪⎝⎭ ① 当1n =时，由21211111222a a a a ⎛⎫+<+<+ ⎪⎝⎭，即有1112212244a a +<+<+， 解得12837a <<．因为1a 为正整数，故11a =． 当2n =时，由33111126244a a ⎛⎫+<+<+ ⎪⎝⎭， 解得3810a <<，所以39a =．（2）方法一：由11a =，24a =，39a =，猜想：2n a n =． 下面用数学归纳法证明．1 当1n =，2时，由（1）知2n a n =均成立；2 假设(2)n k k =≥成立，则2k a k =，则1n k =+时 由①得221111112(1)2k k k k a k a k ++⎛⎫+<++<+ ⎪⎝⎭ 2212(1)(1)11k k k k k k a k k k +++-⇒<<-+- 22212(1)1(1)(1)11k k k a k k k ++⇒+-<<+++- 因为2k ≥时，22(1)(1)(1)(2)0k k k k k +-+=+-≥，所以(]22(1)011k k +∈+，． 11k -≥，所以(]1011k ∈-，． 又1k a +∈*N ，所以221(1)(1)k k a k +++≤≤．故21(1)k a k +=+，即1n k =+时，2n a n =成立．由1 ，2 知，对任意n ∈*N ，2n a n =． （2）方法二：由11a =，24a =，39a =，猜想：2n a n =．下面用数学归纳法证明．1 当1n =，2时，由（1）知2n a n =均成立；2 假设(2)n k k =≥成立，则2k a k =，则1n k =+时 由①得221111112(1)2k k k k a k a k ++⎛⎫+<++<+ ⎪⎝⎭ 即21111(1)122k k k k k a k a k+++++<+<+ ② 由②左式，得2111k k k k k a +-+-<，即321(1)k k a k k k +-<+-，因为两端为整数，则3221(1)1(1)(1)k k a k k k k k +-+--=+-≤．于是21(1)k a k ++≤ ③ 又由②右式，22221(1)21(1)1k k k k k k k k a k k+++-+-+<=． 则231(1)(1)k k k a k k +-+>+．因为两端为正整数，则2431(1)1k k k a k k +-+++≥， 所以4321221(1)11k k k k a k k k k k +++=+--+-+≥． 又因2k ≥时，1k a +为正整数，则21(1)k a k ++≥ ④ 据③④21(1)k a k +=+，即1n k =+时，2n a n =成立．由1 ，2 知，对任意n ∈*N ，2n a n =．。
2007年高考数学江西理科(详细解答)
2007年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第I 卷1至2页，第II 卷3至4页，共150分．第I 卷考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．第I 卷每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第II 卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效． 3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回． 参考公式： 如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 34π3V R =n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()(1)k k n kn n P k C P P -=-其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．化简224(1)ii ++的结果是（ ） Ａ．2i + Ｂ．2i -+ Ｃ．2i - Ｄ．2i --2．321lim1x x xx →--（ ）Ａ．等于0Ｂ．等于1Ｃ．等于3Ｄ．不存在3．若πtan 34α⎛⎫-=⎪⎝⎭，则cot α等于（ ） Ａ．2- Ｂ．12- Ｃ．12Ｄ．24．已知n展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n 等于（ ） Ａ．4 Ｂ．5 Ｃ．6 Ｄ．75．若π02x <<，则下列命题中正确的是（ ）Ａ．3sin πx x < Ｂ．3sin πx x > Ｃ．224sin πx x < Ｄ．224sin πx x >6．若集合{}012M =，，，{}()210210N x y x y x y x y M =-+--∈，≥且≤，，，则N 中元素的个数为（ ）Ａ．9 Ｂ．6 Ｃ．4 Ｄ．27．如图，正方体1AC 的棱长为1，过点A 作平面1A B D 的垂线，垂足为点H ，则以下命题中，错误．．的命题是（ ） Ａ．点H 是1A BD △的垂心 Ｂ．A H 垂直平面11C B D Ｃ．A H 的延长线经过点1C Ｄ．直线A H 和1B B 所成角为458．四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示，盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为1h ，2h ，3h ，4h ，则它们的大小关系正确的是（ ）Ａ．214h h h >> Ｂ．123h h h >>Ｃ．324h h h >>Ｄ．241h h h >>9．设椭圆22221(0)xya b a b+=>>的离心率为1e 2=，右焦点为(0)F c ，，方程20ax bx c +-=的两个实根分别为1x 和2x ，则点12()P x x ，（ ）Ａ．必在圆222x y +=内 Ｂ．必在圆222x y +=上 Ｃ．必在圆222x y +=外Ｄ．以上三种情形都有可能10．将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次．．成等差数列的概率为（ ） Ａ．19Ｂ．112Ｃ．115Ｄ．11811．设函数()f x 是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线()y f x =在5x =处的切线的斜率为（ ）Ａ．15-Ｂ．0Ｃ．15Ｄ．512．设2:()e ln 21xp f x x x mx =++++在(0)+∞，内单调递增，:5q m -≥，则p 是q 的（ ）Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件2007年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学 第II 卷注意事项：第II 卷2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试卷题上作答，答案无效． 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把答案填在答题卡上． 13．设函数24log (1)(3)y x x =+-≥，则其反函数的定义域为 ．11B14．已知数列{}n a 对于任意*p q ∈N ，，有p q p q a a a ++=，若119a =，则36a =．15．如图，在A B C △中，点O 是B C 的中点，过点O 的直线分别交直线A B ，A C 于不同的两点M N ，，若A B m A M = ，AC n AN =，则m n +的值为 ． 16．设有一组圆224*:(1)(3)2()k C x k y k k k -++-=∈N ．下列四个命题：Ａ．存在一条定直线与所有的圆均相切 Ｂ．存在一条定直线与所有的圆均相交 Ｃ．存在一条定直线与所有的圆均不．相交 Ｄ．所有的圆均不．经过原点 其中真命题的代号是．（写出所有真命题的代号）三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知函数21(0)()2(1)x ccx x c f x k c x -+<<⎧⎪=⎨⎪+<⎩≤在区间(01)，内连续，且29()8f c =．（1）求实数k 和c 的值； （2）解不等式()18f x >+．18．（本小题满分12分）如图，函数π2cos()(0)2y x x ωθθ=+∈R ，≤≤的图象与y轴交于点(0，且在该点处切线的斜率为2-．（1）求θ和ω的值；（2）已知点π02A ⎛⎫⎪⎝⎭，，点P 是该函数图象上一点，点00()Q x y ，是P A的中点，当02y =0ππ2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求0x 的值．19．（本小题满分12分）某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5，0.6，0.4，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6，0.5，0.75．（1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；（2）经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为ξ，求随机变量ξ的期望． 20．（本小题满分12分）右图是一个直三棱柱（以111A B C 为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC ．已知11111A B B C ==，11190A B C ∠=，14AA =，12BB =，13C C =．（1）设点O 是A B 的中点，证明：O C ∥平面111A B C ； （2）求二面角1B AC A --的大小；C（3）求此几何体的体积． 21．（本小题满分12分） 设动点P 到点(10)A -，和(10)B ，的距离分别为1d 和2d ，2A P B θ∠=，且存在常数(01)λλ<<，使得212sin d d θλ=．（1）证明：动点P 的轨迹C 为双曲线，并求出C 的方程；（2）过点B 作直线双曲线C 的右支于M N ，两点，试确定λ的范围，使OM ON =0，其中点O 为坐标原点． 22．（本小题满分14分）设正整数数列{}n a 满足：24a =，且对于任何*n ∈N ，有11111122111n n n na a a a n n ++++<<+-+．（1）求1a ，3a ；（3）求数列{}n a 的通项n a ．y2007年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学参考答案1．化简224(1)i i ++=2422i i i+=-，选C 。
2007年高考真题试卷江西卷数学文科参考答案
2007年普通高等学校招生全国统一考试（江西文）参考答案一、选择题1．Ｂ 2．Ｂ 3．Ａ 4．Ｄ 5．Ａ 6．Ｄ 7．Ｂ 8．Ｂ 9．Ｃ 10．Ｃ 11．Ａ 12．Ｃ 二、填空题13．1 14．7 15．(14)， 16．A ，B ，C 三、解答题17．解：（1）因为01c <<，所以2c c <； 由29()8f c =，即3918c +=，12c =． （2）由（1）得411122()211x x x f x x -⎧⎛⎫+0<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨1⎛⎫⎪+< ⎪⎪2⎝⎭⎩，，≤由()18f x >+得， 当102x <<时，解得142x <<， 当112x <≤时，解得1528x <≤，所以()1f x >+的解集为58x ⎧⎫⎪⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭． 18．解：（1）将0x =，y =2cos()y x ωθ=+中得cos θ=， 因为π02θ≤≤，所以π6θ=． 由已知πT =，且0ω>，得2π2π2T πω===． （2）因为点π02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，00()Q x y ，是PA的中点，02y =． 所以点P的坐标为0π22x ⎛-⎝． 又因为点P 在π2cos 26y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上，且0ππ2x ≤≤，所以05πcos 46x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，07π5π19π4666x -≤≤，从而得05π11π466x -=或05π13π466x -=， 即02π3x =或03π4x =．19．解：分别记甲、乙两种果树成苗为事件1A ，2A ；分别记甲、乙两种果树苗移栽成活为事件1B ，2B ，1()0.6P A =，2()0.5P A =，1()0.7P B =，2()0.9P B =． （1）甲、乙两种果树至少有一种成苗的概率为1212()1()10.40.50.8P A A P A A +=-=-⨯=；（2）解法一：分别记两种果树培育成苗且移栽成活为事件A B ，， 则11()()0.42P A P A B ==，22()()0.45P B P A B ==． 恰好有一种果树培育成苗且移栽成活的概率为()0.420.550.580.450.492P AB AB +=⨯+⨯=．解法二：恰好有一种果树栽培成活的概率为11211221221212()0.492P A B A A B A B A A B A A B B +++=．20．解法一：（1）证明：作1OD AA ∥交11A B 于D ，连1C D ． 则11OD BB CC ∥∥， 因为O 是AB 的中点，所以1111()32OD AA BB CC =+==．则1ODC C 是平行四边形，因此有1OC C D ∥，1C D ⊂平面111C B A ，且OC ⊄平面111C B A则OC ∥面111A B C ．（2）解：如图，过B 作截面22BA C ∥面111A B C ，分别交1AA ，1CC 于2A ，2C ， 作22BH A C ⊥于H ，因为平面22A BC ⊥平面11AAC C ，则BH ⊥面11AAC C ．连结AH ，则BAH ∠就是AB 与面11AAC C 所成的角．112CA因为2BH =，AB =sin 10BH BAH AB ==∠． AB 与面11AAC C所成的角为arcsin10BAH =∠ （3）因为2BH =，所以222213B AA C C AA C C V S BH -=．1121(12)2322=+=． 1112211111212A B C A BC A B C V S BB -===△． 所求几何体的体积为221112232B AAC C A B C A BC V V V --=+=． 解法二：（1）证明：如图，以1B 为原点建立空间直角坐标系，则(014)A ，，，(002)B ，，，(103)C ，，，因为O 是AB 的中点，所以1032O ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，1102OC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，，易知，(001)n =，，是平面111A B C 的一个法向量． 由0OC n =且OC ⊄平面111A B C 知OC ∥平面111A B C ． （2）设AB 与面11AAC C 所成的角为θ． 求得1(004)A A =，，，11(110)AC =-，，． 设()m x y z =，，是平面11AAC C 的一个法向量，则由11100A A m A C m ⎧=⎪⎨=⎪⎩得0z x y =⎧⎨-=⎩，取1x y ==得：(110)m =，，． 又因为(012)AB =--，， 所以，cos m <，10m AB ABm AB>==-sin 10θ=． 1x所以AB 与面11AAC C所成的角为arcsin 10． （3）同解法一21．解：（1）由已知条件得112113n n n a a a --⎛⎫== ⎪⎝⎭，因为67320073<<，所以，使2007n a ≥成立的最小自然数8n =． （2）因为223211234213333n n nT -=-+-+-，…………① 2234212112342123333333n n n n nT --=-+-++-，…………② +①②得：2232124111121333333n n n nT -=-+-+--221123313nn n -=-+ 22333843n nn --= 所以22223924163n n nnT +--=．22．解：（1）在12PF F △中，122FF =22221212121242cos2()4sin d d dd d d d d θθ=+-=-+212()44d d λ-=-12d d -=2的常数）故动点P 的轨迹C 是以1F ，2F 为焦点，实轴长2a =的双曲线．方程为2211x y λλ-=-． （2）方法一：在1AF B △中，设11AF d =，22AF d =，13BF d =，24BF d =． 假设1AF B △为等腰直角三角形，则12343421323422πsin 4d d a d d a d d d d d d λ⎧⎪-=⎪-=⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎪=⎪⎩①②③④⑤ 由②与③得22d a =，则1343421)d a d d d a a=⎧⎪=⎨⎪=-=⎩ 由⑤得342d d λ=，21)2a λ=(8)2λλ--=，12(01)17λ-=，故存在λ=方法二：（1）设1AF B △为等腰直角三角形，依题设可得21212212122πsin π81cos4πsin 24AF AF AF AF BF BF BF BF λλλλ⎧⎧===⎪⎪⎪⎪-⇒⎨⎨⎪⎪=⎪=⎪⎩⎩所以12121πsin 1)24AF FS AF AF λ==△，121212BF F S BF BF λ==△．则1(2AF B S λ=△．①由1212221AF F BF F S AF S BF ==△△，可设2BF d =，则21)AF d =，1(2BF AB d ==．则122211(222AF B S AB d ==△．②由①②得2(22d λ=．③根据双曲线定义122BF BF a -==可得，1)d =．平方得：221)4(1)d λ=-．④由③④消去d 可解得，12(01)17λ-=∈，故存在1217λ-=。
2007年江西省高考试题(数学理)全解全析
2007年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）数 学(理 科)全解全析参考公式：如果事件A.B 互斥,那么 球的表面积公式P (A ＋B)＝P (A)＋P (B) S ＝4πR 2如果事件A.B 相互独立,那么 其中R 表示球的半径P (A·B)＝P (A)·P (B) 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ,那么 V ＝34πR 3n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径P n (k )＝C k n P k(1一P )kn -一.选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.化简2)1(42i i++的结果是（ ） A.2＋i B.－2＋i C.2－i D.－2－i【标准答案】 C 【试题分析】22424122(1)2i i i i i i++==+=-+,故选C 。
【高考考点】复数的运算。
【易错提醒】2i ＝－1是学生容易出错的地方,易忘记负号。
【备考提示】复数是高考经常出现的试题之一,一般出现在选择题或填空题,难度不会太大。
2.1lim 231--→x x x x （ ） A.等于0 B.等于l C.等于3 D.不存在【标准答案】 B【试题分析】32211limlim 11x x x x x x →→-==-,故选B 。
【高考考点】极限。
【易错提醒】未将分子分解因式,直接将x ＝1代入分母,不存在,错选（D ）。
【备考提示】极限也是高考中经常出现的试题之一,有时也会在解答题中出现。
3.若tan(4π一α)＝3,则cot α等于 A.－2 B.－21 C.21D.2【标准答案】 A【试题分析】tan(4π一α)＝31tan 13tan cot 21tan 2αααα-⇒=⇒=-⇒=-+,故选A 。
【高考考点】三角函数,两角差的正切公式。
【易错提醒】两角差的正切公式与两角和的正切公式混淆。
2007年高考数学试题及答案(共37份)
2007年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题湖南卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 不等式2x x >的解集是（ ）A (0)-∞，B (01)，C (1)+∞，D (0)(1)-∞+∞ ，，2 若O E F ，，是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（ ）A EF OF OE =+B EF OF OE =-C EF OF OE =-+D EF OF OE =--3 设2:40p b ac ->（0a ≠），:q 关于x 的方程20ax bx c ++=（0a ≠）有实数，则p是q 的（ ） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分又不必要条件4 在等比数列{}n a （n ∈N *）中，若11a =，418a =，则该数列的前10项和为（ ） A 4122-B 2122-C 10122-D 11122-5 在(1)n x +（n ∈N *）的二次展开式中，若只有3x 的系数最大，则n =（ ）A 8B 9C 10D 116 如图1，在正四棱柱1111ABC D A B C D -中，E F ，分别是1A B ，1BC 的中点，则以下结论中不成立．．．的是（ ） A E F 与1B B 垂直B E F 与B D 垂直C E F 与CD 异面D E F 与11A C 异面7 根据某水文观测点的历史统计数据，得到某条河流水位的频率分布直方图（如图2） 从图中可以看出，该水文观测点平均至少一百年才遇到一次的洪水的最低水位是（ ） A 48米 B 49米 C 50米 D 51米CA 18 函数2441()431x x f x x x x -⎧=⎨-+>⎩， ≤，的图象和函数2()log g x x =的图象的交点个数是（ ） A 1B 2C 3D 49 设12F F ，分别是椭圆22221x y ab+=（0a b >>）的左、右焦点，P 是其右准线上纵坐标为（c 为半焦距）的点，且122||||F F F P =，则椭圆的离心率是（ ）A2B12C2D210 设集合{123456}M =，，，，，， 12k S S S ，，，都是M 的含两个元素的子集，且满足：对任意的{}i i i S a b =，，{}j j j S a b =，（i j =，{123}i j k ∈ 、，，，，），都有m in m inj j i i i i j j a b a b b a b a ⎧⎫⎧⎫⎪⎪≠⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭，，（min{}x y ，表示两个数x y ，中的较小者），则k 的最大值是（ ） A 10B 11C 12D 13二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分 把答案填在横线上11 圆心为(11)，且与直线4x y -=12 在A B C △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若1a =，c =，π3C =，则A =13 若0a >，2349a =，则14loga =14 设集合{()||2|0}A x y y x x =-，≥，≥，{()|}B x y y x b =-+，≤，A B =∅ ，频率0 水位（米）图2（1）b 的取值范围是 ；（2）若()x y A B ∈ ，，且2x y +的最大值为9，则b15 棱长为1的正方体1111ABC D A B C D -的8个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积是 ；设E F ，分别是该正方体的棱1A A ，1DD 的中点，则直线E F 被球O 截得的线段长为三、解答题：本大题共6小题，共75分 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16 （本小题满分12分）已知函数2πππ()12sin 2sin cos 888f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 求： （I ）函数()f x 的最小正周期； （II ）函数()f x 的单调增区间17 （本小题满分12分）某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响（I ）任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；（II ）任选3名下岗人员，求这3人中至少有2人参加过培养的概率18 （本小题满分12分）如图3，已知直二面角PQ αβ--，A PQ ∈，B α∈，C β∈，C A C B =，45BAP ∠=，直线C A 和平面α所成的角为30（I ）证明BC PQ ⊥；（II ）求二面角B A C P --的大小19 （本小题满分13分）已知双曲线222x y -=的右焦点为F ，过点F 的动直线与双曲线相交于A B ，两点，点C 的坐标是(10)，（I ）证明C A ，C B为常数；（II ）若动点M 满足CM CA CB CO =++（其中O 为坐标原点），求点M 的轨迹方程20 （本小题满分13分）设n S 是数列{}n a （n ∈N *）的前n 项和，1a a =，且22213n n n S n a S -=+，0n a ≠，234n = ，，，（I ）证明：数列2{}n n a a +-（2n ≥）是常数数列；（II ）试找出一个奇数a ，使以18为首项，7为公比的等比数列{}n b （n ∈N *）中的所有项都是数列{}n a 中的项，并指出n b 是数列{}n a 中的第几项21 （本小题满分13分）已知函数3211()32f x x ax bx =++在区间[11)-，，(13]，内各有一个极值点（I ）求24a b -的最大值；（II ）当248a b -=时，设函数()y f x =在点(1(1))A f ，处的切线为l ，若l 在点A 处穿过函数()y f x =的图象（即动点在点A 附近沿曲线()y f x =运动，经过点A 时，从l 的一侧进入另一侧），求函数()f x 的表达式2007年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题（必修+选修Ⅰ）湖南卷 参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 D2 B3 A4 B5 C6 D7 C8 C9 D 10 B 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分 把答案填在横线上11 22(1)(1)2x y -+-=12π613 314 （1）[2)+∞，（2）9215 3π三、解答题：本大题共6小题，共75分 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16 解：ππ()cos(2)sin(2)44f x x x =+++πππ))2442x x x =++=+=（I ）函数()f x 的最小正周期是2ππ2T ==；（II ）当2ππ22πk x k -≤≤，即πππ2k x k -≤≤（k ∈Z ）时，函数()2f x x=是增函数，故函数()f x 的单调递增区间是π[ππ]2k k -，（k ∈Z ）17 解：任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件A ，“该人参加过计算机培训”为事件B ，由题设知，事件A 与B 相互独立，且()0.6P A =，()0.75P B =（I ）解法一：任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是 1()()()0.40.250.1P P A B P A P B ===⨯=所以该人参加过培训的概率是1110.10.9P -=-=解法二：任选1名下岗人员，该人只参加过一项培训的概率是 2()()0.60.250.40.750.45P P A B P A B =+=⨯+⨯=该人参加过两项培训的概率是3()0.60.750.45P P A B ==⨯=所以该人参加过培训的概率是230.450.450.9P P +=+=（II ）解法一：任选3名下岗人员，3人中只有2人参加过培训的概率是22430.90.10.243P C =⨯⨯=3人都参加过培训的概率是330.90.729P ==所以3人中至少有2人参加过培训的概率是450.2430.7290.972P P +=+=解法二：任选3名下岗人员，3人中只有1人参加过培训的概率是1230.90.10.027C ⨯⨯=3人都没有参加过培训的概率是30.10.001=所以3人中至少有2人参加过培训的概率是10.0270.0010.972--=18 解：（I ）在平面β内过点C 作CO PQ ⊥于点O ，连结O B因为αβ⊥，PQ αβ= ，所以C O α⊥， 又因为C A C B =，所以O A O B =而45BAO ∠= ，所以45ABO ∠=，90AOB ∠=，从而BO PQ ⊥，又CO PQ ⊥，所以PQ ⊥平面O BC 因为B C ⊂平面O BC ，故PQ BC ⊥（II ）解法一：由（I ）知，BO PQ ⊥，又αβ⊥，PQ αβ= ，B O α⊂，所以BO β⊥过点O 作O H A C ⊥于点H ，连结B H ，由三垂线定理知，B H A C ⊥故B H O ∠是二面角B A C P --的平面角由（I ）知，C O α⊥，所以C A O ∠是C A 和平面α所成的角，则30CAO ∠=，不妨设2A C =，则AO =sin 302O H AO ==在R t O AB △中，45ABO BAO ∠=∠=，所以BO AO ==，于是在R t B O H △中，tan 22BO BH O O H∠===故二面角B A C P --的大小为arctan 2解法二：由（I ）知，O C O A ⊥，O C O B ⊥，O A O B ⊥，故可以O 为原点，分别以直线O B O A O C ，，为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系（如图）因为C O a ⊥，所以C A O ∠是C A 和平面α所成的角，则30CAO ∠=不妨设2A C =，则AO =1C O =在R t O AB △中，45ABO BAO ∠=∠=，所以BO AO ==则相关各点的坐标分别是(000)O ，，，0)B ，，(00)A ，(001)C ，，所以A B =-，(0A C =-，设1n {}x y z =，，是平面ABC 的一个法向量，由1100n A B n A C ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得00z -=+=⎪⎩，取1x =，得1(11n =易知2(100)n =，，是平面β的一个法向量设二面角B A C P --的平面角为θ，由图可知，12n n θ=<>，所以1212cos ||||n nn n θ===故二面角B A C P --的大小为arccos19 解：由条件知(20)F ，，设11()A x y ，，22()B x y ，（I ）当A B 与x 轴垂直时，可设点A B ，的坐标分别为(2，(2-，，此时(1(11C A C B =-=-，当A B 不与x 轴垂直时，设直线A B 的方程是(2)(1)y k x k =-≠±代入222x y -=，有2222(1)4(42)0k x k x k -+-+=则12x x ，是上述方程的两个实根，所以212241kx x k +=-，2122421k x x k +=-，于是212121212(1)(1)(1)(1)(2)(2)CA CB x x y y x x k x x =--+=--+--2221212(1)(21)()41k x x k x x k =+-++++2222222(1)(42)4(21)4111k k k k k k k +++=-++--22(42)411k k =--++=-综上所述，C A C B为常数1-（II ）解法一：设()M x y ，，则(1)C M x y =-，，11(1)CA x y =- ，， 22(1)CB x y =- ，，(10)C O =-，，由CM CA CB CO =++ 得： 121213x x x y y y -=+-⎧⎨=+⎩，即12122x x x y y y +=+⎧⎨+=⎩，于是A B 的中点坐标为222x y +⎛⎫⎪⎝⎭， 当A B 不与x 轴垂直时，121222222yy y y x x x x -==+---，即1212()2y y y x x x -=--又因为A B ，两点在双曲线上，所以22112x y -=，22222x y -=，两式相减得12121212()()()()x x x x y y y y -+=-+，即1212()(2)()x x x y y y -+=-将1212()2y y y x x x -=--代入上式，化简得224x y -=当A B 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(20)M ，，也满足上述方程所以点M 的轨迹方程是224x y -=解法二：同解法一得12122x x x y y y +=+⎧⎨+=⎩，……………………………………①当A B 不与x 轴垂直时，由（I ） 有2122x x +=…………………②21212244(4)411k ky y k x x k k k ⎛⎫+=+-=-= ⎪--⎝⎭ ………………………③由①②③得222x +=…………………………………………………④2y =……………………………………………………………………⑤当0k ≠时，0y ≠，由④⑤得，2x k y+=，将其代入⑤有222224(2)1x yy x y+⨯==+- 整理得224x y -=当0k =时，点M 的坐标为(20)-，，满足上述方程当A B 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(20)M ，，也满足上述方程故点M 的轨迹方程是224x y -=20 解：（I ）当2n ≥时，由已知得22213n n n S S n a --=因为10n n n a S S -=-≠，所以213n n S S n -+= …………………………①于是213(1)n n S S n ++=+ …………………………………………………②由②－①得：163n n a a n ++=+ ……………………………………………③于是2169n n a a n +++=+ ……………………………………………………④由④－③得：26n n a a +-= …………………………………………………⑤即数列2{}n n a a +-（2n ≥）是常数数列（II ）由①有2112S S +=，所以2122a a =-由③有1215a a +=，所以332a a =+，而⑤表明：数列2{}k a 和21{}k a +分别是以2a ，3a 为首项，6为公差的等差数列所以22(1)6626k a a k k a =+-⨯=-+，213(1)6623k a a k k a +=+-⨯=+-，k ∈N *由题设知，1187n n b -=⨯ 当a 为奇数时，21k a +为奇数，而n b 为偶数，所以n b 不是数列21{}k a +中的项，n b 只可能是数列2{}k a 中的项若118b =是数列2{}k a 中的第n k 项，由18626k a =-+得036a k =-，取03k =，得3a =，此时26k a k =，由2n k b a =，得11876n k -⨯=，137n k -=⨯∈N *，从而n b 是数列{}n a 中的第167n -⨯项（注：考生取满足36n a k =-，n k ∈N *的任一奇数，说明n b 是数列{}n a 中的第126723n a -⨯+-项即可）21 解：（I ）因为函数3211()32f x x ax bx =++在区间[11)-，，(13]，内分别有一个极值点，所以2()f x x ax b '=++0=在[11)-，，(13]，内分别有一个实根，设两实根为12x x ，（12x x <），则21x x -=2104x x <-≤ 于是04<，20416a b <-≤，且当11x =-，23x =，即2a =-，3b =-时等号成立 故24a b -的最大值是16（II ）解法一：由(1)1f a b '=++知()f x 在点(1(1))f ，处的切线l 的方程是(1)(1)(1)y f f x '-=-，即21(1)32y a b x a =++--，因为切线l 在点(1())A f x ，处空过()y f x =的图象， 所以21()()[(1)]32g x f x a b x a =-++--在1x =两边附近的函数值异号，则1x =不是()g x 的极值点而()g x 321121(1)3232x ax bx a b x a =++-++++，且22()(1)1(1)(1)g x x ax b a b x ax a x x a '=++-++=+--=-++若11a ≠--，则1x =和1x a =--都是()g x 的极值点所以11a =--，即2a =-，又由248a b -=，得1b =-，故321()3f x x x x =--解法二：同解法一得21()()[(1)]32g x f x a b x a =-++--2133(1)[(1)(2)]322a x x x a =-++-+因为切线l 在点(1(1))A f ，处穿过()y f x =的图象，所以()g x 在1x =两边附近的函数值异号，于是存在12m m ，（121m m <<）当11m x <<时，()0g x <，当21x m <<时，()0g x >； 或当11m x <<时，()0g x >，当21x m <<时，()0g x < 设233()1222a a h x x x ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则 当11m x <<时，()0h x >，当21x m <<时，()0h x >； 或当11m x <<时，()0h x <，当21x m <<时，()0h x < 由(1)0h =知1x =是()h x 的一个极值点，则3(1)21102a h =⨯++=， 所以2a =-，又由248a b -=，得1b =-，故321()3f x x x x =--。
2007年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)数学(文科)参考答案
2007年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）数 学（文科）参考答案一、选择题1．B 2．B 3．A 4．D 5．A 6．D7．B 8．B 9．C 10．C 11．A 12．C二、填空题13．114．715．（1，4）16．A ，B ，C三、解答题17．解：（1）因为01c <<，所以2c c <； 由29()8f c =，即3918c +=，12c = （2）由（1）得411122()211x x x f x x -⎧⎛⎫+0<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨1⎛⎫⎪+< ⎪⎪2⎝⎭⎩，，≤由()18f x >+得， 当102x <<12x <<， 当112x <≤时，解得1528x <≤，所以()18f x >+的解集为58x ⎧⎫⎪⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭18．解：（1）将0x =，y =2cos()y x ωθ=+中得cos θ=， 因为π02θ≤≤，所以π6θ= 由已知πT =，且0ω>，得2π2π2T πω===（2）因为点π02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，00()Q x y ，是PA 的中点，0y =所以点P 的坐标为0π22x ⎛- ⎝ 又因为点P 在π2cos 26y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上，且0ππ2x ≤≤，所以05πcos 46x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭07π5π19π4666x -≤≤，从而得05π11π466x -=或05π13π466x -=， 即02π3x =或03π4x =19．解：分别记甲、乙两种果树成苗为事件A 1，A 2；分别记甲、乙两种果树苗移栽成活为事件1B ，2B ，1()0.6P A =，2()0.5P A =，1()0.7P B =，2()0.9P B =．（1）甲、乙两种果树至少有一种成苗的概率为1212()1()10.40.50.8P A A P A A +=-=-⨯=；（2）解法一：分别记两种果树培育成苗且移栽成活为事件A ，B ，则11()()0.42P A P A B ==，22()()0.45P B P A B ==恰好有一种果树培育成苗且移栽成活的概率为()0.420.550.580.450.492P AB AB +=⨯+⨯=解法二：恰好有一种果树栽培成活的概率为：11211221221212()0.492P A B A A B A B A A B A A B B +++=20．解法一：（1）证明：作1OD AA ∥交11A B 于D ，连1C D则11OD BB CC ∥∥，因为O 是AB 的中点，所以1111()32OD AA BB CC =+==． 则1ODC C 是平行四边形，因此有1OC C D ∥， 1C D ⊂平面111C B A ，且OC ⊄平面111C B A则OC ∥面111A B C（2）解：如图，过B 作截面22BA C ∥面111A B C ，分别交1AA ，1CC 于2A ，2C ， 作22BH A C ⊥于H ，因为平面22A BC ⊥平面11AAC C ，则BH ⊥面11AAC C连结AH ，则BAH ∠就是AB 与面11AAC C 所成的角因为2BH =，AB =sin BH BAH AB ==∠AB 与面11AAC C 所成的角为arcsin10BAH =∠（3）因为2BH =，所以222213B AAC C AA C C V S BH -=⋅111(1322=⋅+= 1112211111212A B C A BC A B C V S BB -=⋅=⋅=△ 所求几何体的体积为221112232B AAC C A B C A BC V V V --=+=解法二： （1）证明：如图，以1B 为原点建立空间直角坐标系，则(014)A ，，，A （0，1，4），B （0，0，2）C （1，），3）。
2007年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)理科数学
2007年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学第Ⅰ卷参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P A B P A P B ⋅=⋅如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()()1n kk kn n P k C P P -=-球的表面积公式24S R π=其中R 表示球的半径 球的体积公式343V R π=其中R 表示球的半径 一.选择题：本大题共12小题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.化简()2241ii ++的结果是（ ）A.2i +B.2i -+C.2i -D.2i --2.321lim 1x x x x →--（ ） A.等于0B.等于1C.等于3D.不存在3.若tan 34πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则cot α等于（ ） A.2-B.12-C.12D.24.已知n展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n 等于（ ） A.4B.5C.6D.75.若02x π<<，则下列命题中正确的是（ ）A.3sin x x π<B.3sin x x π>C.224sin x x π<D.224sin x x π>6.若集合{}0,1,2M =，(){},210210,,N x y x y x y x y M =-+≥--≤∈且，则N 中元素的个数为（ ） A.9B.6C.4D.27.如图，正方体1AC 的棱长为1，过点A 作平面1A BD 的垂线，垂足为点H .则以下命题中，错误．．的命题是（ ）A.点H 是1A BD △的垂心B.AH 垂直平面11CB DC.AH 的延长线经过点1CD.直线AH 和1BB 所成角为45°8.四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示.盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半，设剩余酒的高度从左到右依次为1h ，2h ，3h ，4h ，则它们的大小关系正确的是（ ）A.214h h h >>B.123h h h >>C.324h h h >>D.241h h h >>9.设椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为1e 2=，右焦点为(),0F c ，方程20ax bx c +-=的两个实根分别为1x 和2x ，则点()12,P x x （ ） A.必在圆222x y +=内 B.必在圆222x y +=上 C.必在圆222x y +=外D.以上三种情形都有可能10.将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次．．成等差数列的概率为（ ）A.19B.112C.115D.11811.设函数()f x 是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线()y f x =在5x =处的切线的斜率为（ ） A.15-B.0C.15D.512.设p ：()2e ln 21x f x x x mx =++++在()0,+∞内单调递增，q ：5m ≥-，则p 是q 的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2007年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学 第Ⅱ卷二.填空题：本大题共4小题.请把答案填在答题卡上.13.设函数()()24log 13y x x =+-≥，则其反函数的定义域为______.14.已知数列{}n a 对于任意p ，*q N ∈，有p q p q a a a ++=，若119a =，则36a =______. 15.如图，在ABC △中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M ，N ，若AB mAM =uu u r uuu r ，AC nAN =uuu r uuu r，则m n +的值为______.16.设有一组圆k C ：()()()224*132x k y k k k N -++-=∈.下列四个命题： A.存在一条定直线与所有的圆均相切B.存在一条定直线与所有的圆均相交C.存在一条定直线与所有的圆均不．相交 D.所有的圆均不．经过原点 其中真命题的代号是______.（写出所有真命题的代号）三.解答题：本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知函数()()()21021xc cx x c f x k c x -+<<⎧⎪=⎨⎪+≤<⎩在区间()0,1内连续，且()298f c=. （1）求实数k 和c 的值； （2）解不等式()18f x >+. 18.如图，函数()2cos ,02y x x R πωθθ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭剟的图象与y轴交于点(，且在该点处切线的斜率为2-.（1）求θ和ω的值； （2）已知点,02A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，点P 是该函数图象上一点，点()00,Q x y 是PA 的中点，当02y =，0,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求0x 的值.19.某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立.根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5，0.6，0.4.经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格概率依次为0.6，0.5，0.75.（1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；（2）经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为ξ，求随机变量ξ的期望.20.如图是一个直三棱柱（以111A B C 为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC .已知11111A B B C ==，11190A B C ∠=︒，14AA =，12BB =，13CC =.（1）设点O 是AB 的中点，证明：//OC 平面111A B C ； （2）求二面角1B AC A --的大小； （3）求此几何体的体积.21.设动点P 到点()1,0A -和()1,0B 的距离分别为1d 和2d ，2APB θ∠=，且存在常数()01λλ<<，使得212sin d d θλ=.（1）证明：动点P 的轨迹C 为双曲线，并求出C 的方程；（2）过点B 作直线交双曲线C 的右支于M 、N 两点，试确定λ的范围，使0OM ON ⋅=uuu r uuu r，其中点O 为坐标原点.22.设正整数数列{}n a 满足：24a =，且对于任何*n N ∈，有11111122111n n n na a a a n n ++++<<+-+. （1）求1a ，3a ；（2）求数列{}n a 的通项n a .。
2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试卷及答案-江西卷
2007年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第I 卷1至2页，第II 卷3至4页，共150分．第I 卷考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．第I 卷每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第II 卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回． 参考公式： 如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 34π3V R =n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()(1)k k n kn n P k C P P -=-其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．化简224(1)i i ++的结果是（ ） Ａ．2i +Ｂ．2i -+Ｃ．2i -Ｄ．2i --2．321lim1x x x x →--（ ） Ａ．等于0Ｂ．等于1Ｃ．等于3Ｄ．不存在3．若πtan 34α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cot α等于（ ） Ａ．2-Ｂ．12-Ｃ．12Ｄ．24．已知n⎛⎝展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n 等于（ ） Ａ．4Ｂ．5 Ｃ．6 Ｄ．75．若π02x <<，则下列命题中正确的是（ ）Ａ．3sin πx x < Ｂ．3sin πx x >Ｃ．224sin πx x <Ｄ．224sin πx x >6．若集合{}012M =，，，{}()210210N x y x y x y x y M =-+--∈，≥且≤，，，则N 中元素的个数为（ ） Ａ．9Ｂ．6Ｃ．4Ｄ．27．如图，正方体1AC 的棱长为1，过点A 作平面1A B D 的垂线，垂足为点H ，则以下命题中，错误．．的命题是（ ） Ａ．点H 是1A BD △的垂心 Ｂ．A H 垂直平面11C B D Ｃ．A H 的延长线经过点1C Ｄ．直线A H 和1B B 所成角为458．四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示，盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为1h ，2h ，3h ，4h ，则它们的大小关系正确的是（ ）Ａ．214h h h >> Ｂ．123h h h >>Ｃ．324h h h >>Ｄ．241h h h >>9．设椭圆22221(0)x y a bab+=>>的离心率为1e 2=，右焦点为(0)F c，，方程20a x b x c +-=的两个实根分别为1x 和2x ，则点12()P x x ，（ ）11C1B。
2007江西省2007年中等学校招生考试
江西省2007年中等学校招生考试数学试卷（课标卷）说明：本卷共有六个大题，25个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟． 一、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．计算：(3)2-⨯= ．2．化简：52a a -= ． 3．在“We like maths ．”这个句子的所有字母中，字母“e ”出现的频率约为 （结果保留2个有效数字）．4．在Rt ABC △中，90C ∠=°，a b c ，，分别是A B C ∠∠∠，，的对边，若2b a =，则tan A = ．5．在加油站，加油机显示器上显示的某一种油的单价为每升4.75元，总价从0元开始随着加油量的变化而变化，是总价y （元）与加油量x （升）的函数关系式是 ．6．的点的距离最近的整数点所表示的数是 ．7．如图，在ABC △中，点D 是BC 上一点，80BAD ∠=°，AB AD DC ==，则C ∠= 度．8．如图，点A B ，是O e 上两点，10AB =，点P 是O e 上的动点（P 与A B ，不重合），连结AP PB ，，过点O 分别作OE AP ⊥于E ，OF PB ⊥于F ，则EF = ．9．已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程220x x m -++=的解为 ．10．如图，已知AOB OA OB ∠=，，点E 在OB 边上，四边形AEBF 是矩形．请你只用无刻度的直尺在图中画出AOB ∠的平分线（请保留画图痕迹）．BE O （第10题）ACBD80o（第7题）（第9题）C Bb（第4题）AP（第8题）二、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）每小题只有一个正确选项，请把正确选项的代号填在题后的括号内．11．在某次国际乒乓球单打比赛中，甲、乙两名中国选手进入最后决赛，那么下列事件为必然事件的是（）A．冠军属于中国选手B．冠军属于外国选手C．冠军属于中国选手甲D．冠军属于中国选手乙12．对于反比例函数2yx=，下列说法不正确．．．的是（）A．点(21)--，在它的图象上B．它的图象在第一、三象限C．当0x>时，y随x的增大而增大D．当0x<时，y随x的增大而减小13．下列图案中是轴对称图形的是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．14．已知：20n是整数，则满足条件的最小正整数n为（）A．2 B．3 C．4 D．515．桌面上放着1个长方体和1个圆柱体，按如图所示的方式摆放在一起，其左视图是（）16．如图，将矩形ABCD纸片沿对角线BD折叠，使点C落在C'处，BC'交AD于E，若22.5DBC∠=°，则在不添加任何辅助线的情况下，图中45°的角（虚线也视为角的边）有（）A．6个B．5个C．4个D．3个三、（本大题共3小题，第17小题6分，第18、19小题各7分，共20分）17．计算：2007(1)132sin60-+--°．18．化简：24214aa a+⎛⎫+⎪-⎝⎭·．2008年北京2004年雅典1988年汉城1980年莫斯科左面（第15题）A．B．Ｃ．Ｄ．AEC'C22.5o（第16题）19．如图，在正六边形ABCDEF 中，对角线AE 与BF 相交于点M ，BD 与CE 相交于点N ．（1）观察图形，写出图中两个不同形状．．．．的特殊四边形； （2）选择（1）中的一个结论加以证明．四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）20．某学校举行演讲比赛，选出了10名同学担任评委，并事先拟定从如下4个方案中选择合理的方案来确定每个演讲者的最后得分（满分为10分）： 方案1 所有评委所给分的平均数．方案2 在所有评委所给分中，去掉一个最高分和一个最低分，然后再计算其余给分的平均数．方案3 所有评委所给分的中位数． 方案4 所有评委所给分的众数． 为了探究上述方案的合理性，先对某个同学的演讲成绩进行了统计实验．下面是这个同学的得分统计图：（1）分别按上述4个方案计算这个同学演讲的最后得分；（2）根据（1）中的结果，请用统计的知识说明哪些方案不适合作为这个同学演讲的最后得分．21．如图，在Rt ABC △中，90A ∠=°，86AB AC ==，．若动点D 从点B 出发，沿线段BA 运动到点A 为止，运动速度为每秒2个单位长度．过点D 作DE BC ∥交AC 于点E ，设动点D 运动的时间为x 秒，AE 的长为y ．（1）求出y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （2）当x 为何值时，BDE △的面积S 有最大值，最大值为多少？分数人数五、（本大题共2小题，第22小题8分，第23小题9分，共17分）22．在一次数学活动中，黑板上画着如图所示的图形，活动前老师在准备的四张纸片上分别写有如下四个等式中的一个等式： ①AB DC = ②ABE DCE ∠=∠ ③AE DE = ④A D ∠=∠ 小明同学闭上眼睛从四张纸片中随机抽取一张，再从剩下的纸片中随机抽取另一张．请结合图形解答下列两个问题：（1）当抽得①和②时，用①，②作为条件能判定BEC △是等腰三角形吗？说说你的理由； （2）请你用树状图或表格表示抽取两张纸片上的等式所有可能出现的结果（用序号表示），并求以已经抽取的两张纸片上的等式为条件，使BEC △不能．．构成等腰三角形的概率．23．2008年北京奥运会的比赛门票开始接受公众预订．下表为北京奥运会官方票务网站公布的几种球类比赛的门票价格，某球迷准备用8000元预订10张下表中比赛项目的门票． （1）若全部资金用来预订男篮门票和乒乓球门票，问他可以订男篮门票和乒乓球门票各多少张？ （2）若在现有资金8000元允许的范围内和总票数不变的前提下，他想预订下表中三种球类门票，其中男篮门票数与足球门票数相同，且乒乓球门票的费用不超过男篮门票的费用，求他能预订三种球类门票各多少张？比赛项目 票价（元／场） 男篮 1000 足球 800 乒乓球 500六、（本大题共2小题，第24小题9分，第25小题10分，共19分）24．在同一平面直角坐标系中有6个点：(11)(31)(31)(22)A B C D -----，，，，，，，，(23)E --，，(04)F -，．（1）画出ABC △的外接圆P e ，并指出点D 与P e 的位置关系；（2）若将直线EF 沿y 轴向上平移，当它经过点D 时，设此时的直线为1l ． ①判断直线1l 与P e 的位置关系，并说明理由；②再将直线1l 绕点D 按顺时针方向旋转，当它经过点C 时，设此时的直线为2l ．求直线2l 与P e 的劣弧．．CD 围成的图形的面积（结果保留π）．25．实验与探究（1）在图1，2，3中，给出平行四边形ABCD 的顶点A B D ，，的坐标（如图所示），写出图1，2，3中的顶点C 的坐标，它们分别是(52)，， ， ；（2）在图4中，给出平行四边形ABCD 的顶点A B D ，，的坐标（如图所示），求出顶点C 的坐标（C 点坐标用含a b c d e f ，，，，，的代数式表示）；归纳与发现 （3）通过对图1，2，3，4的观察和顶点C 的坐标的探究，你会发现：无论平行四边形ABCD 处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为()()()()A a b B c d C m n D e f ，，，，，，，（如图4）时，则四个顶点的横坐标a c m e ，，，之间的等量关系为 ；纵坐标b d n f ，，，之间的等量关系为 （不必证明）； 运用与推广（4）在同一直角坐标系中有抛物线2(53)y x c x c =---和三个点15192222G c c S c c ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，(20)H c ，（其中0c >）．问当c 为何值时，该抛物线上存在点P ，使得以G S H P ，，，为顶点的四边形是平行四边形？并求出所有符合条件的P 点坐标．x图1x图2x图3)x图4江西省2007年中等学校招生考试 数学试题参考答案及评分意见（课标卷）说明：1．如果考生的解答与本参考答案不同，可根据试题的主要考查内容参照评分标准制定相应的评分细则后评卷．2．每题都要评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分时，如果该步以后的解答未改变这一题的内容和难度，则可视影响的程度决定后面部分的给分；但不得超过后面部分应给分数的一半；如果这一步以后的解答有较严重的错误，就不给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．一、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．6-； 2．3a ； 3．0.18； 4．12； 5． 4.75y x =； 6．2； 7．25； 8．5； 9．11x =-，23x =；10．如图：二、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．A ； 12．C ； 13．D ； 14．D ； 15．C ； 16．B ． 三、（本大题共3小题，第17小题6分，第18，19小题各7分，共20分） 17．解：原式11)22=-+-⨯······························································ 3分11=- ······································································· 4分2=- ························································································· 6分 18．解：原式224424a a a a-++=-g ······································································· 2分22(2)(2)a a a a a+=+-g ······························································· 4分 2a a =- ······················································································ 7分 19．解：（1）矩形ABDE ，矩形BCEF ； 或菱形BNEM ；（第10题） A OE B F或直角梯形BDEM ，AENB 等． ····································································· 4分 （2）选择ABDE 是矩形．证明：ABCDEF Q 是正六边形，120AFE FAB ∴==o ∠∠，30EAF ∴=o ∠，90EAB FAB FAE ∴=-=o ∠∠∠． ··· 5分 同理可证90ABD BDE ==o∠∠．∴四边形ABDE 是矩形． ················································································ 7分选择四边形BNEM 是菱形．证明：同理可证：90FBC ECB ==o∠∠，90EAB ABD ==o∠∠，BM NE ∴∥，BN ME ∥． ∴四边形BNEM 是平行四边形．BC DE =Q ，30CBD DEN ==o ∠∠，BNC END =∠∠，BCN EDN ∴△≌△． BN NE ∴=．∴四边形BNEM 是菱形． ··············································································· 7分 选择四边形BCEM 是直角梯形．证明：同理可证：BM CE ∥，90FBC =o∠，又由BC 与ME 不平行，得四边形BCEM 是直角梯形． ········································································· 7分 四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 20．解：（1）方案1最后得分：1(3.27.07.83838.49.8)7.710+++⨯+⨯+=； ········ 1分 方案2最后得分：1(7.07.83838.4)88++⨯+⨯=； ············································· 2分 方案3最后得分：8； ····················································································· 3分 方案4最后得分：8或8.4． ············································································· 4分（2）因为方案1中的平均数受极端数值的影响，不能反映这组数据的“平均水平”， 所以方案1不适合作为最后得分的方案． ···························································· 6分 因为方案4中的众数有两个，众数失去了实际意义，所以方案4不适合作为最后得分的方案． ········································································ 8分 （说明：少答一个方案扣2分，多答一个方案扣1分） 21．解：（1）DE BC Q ∥，ADE ABC ∴△∽△．AD AEAB AC∴=．······························································································ 1分 又8AB =Q ，6AC =，82AD x =-，AE y =，8286x y-∴=． 362y x ∴=-+． ··························································································· 3分自变量x 的取值范围为04x ≤≤． ··································································· 4分（2）11326222S BD AE x x ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭g g g22336(2)622x x x =-+=--+． ····································································· 6分 ∴当2x =时，S 有最大值，且最大值为6． ······················································· 8分（或用顶点公式求最大值） 五、（本大题共2小题，第22小题8分，第23小题9分，共17分） 22．解：（1）能．··························································································· 1分 理由：由AB DC =，ABE DCE =∠∠，AEB DEC =∠∠， 得ABE DCE △≌△． ··················································································· 3分BE CE ∴=，BEC ∴△是等腰三角形． ····························································· 4分 （2）树状图：先抽取的纸片序号所有可能出现的结果（①②）（①③）（①④）（②①）（②③）（②④）（③①）（③②）（③④）（④①）（④②）（④③） ················································································· 6分 也可以用表格表示如下：① ② ③ ④① （①②）（①③） （①④） ② （②①） （②③）（②④） ③ （③①） （③②） （③④）④（④①）（④②）（④③）··········································································· 6分 由表格（或树状图）可以看出，抽取的两张纸片上的等式可能出现的结果有12种，它们出现的可能性相等，不能构成等腰三角形的结果有4种，所以使BEC △不能构成等腰三角形的概率为13． ································································································ 8分 23．解：（1）设预订男篮门票x 张，则乒乓球门票(10)x -张．由题意，得1000500(10)8000x x +-=， ··························································· 2分 解得6x =．104x ∴-=． ······························································································· 3分 答：可订男篮门票6张，乒乓球门票4张． ·························································· 4分① ② ③ ④ ② ① ③ ④ ③ ① ② ④ ④ ① ② ③开始 后抽取的纸片序号 先抽取的 纸片序号后抽取的 纸片序号（2）解法一：设男篮门票与足球门票都订a 张，则乒乓球门票(102)a -张．由题意，得1000800500(102)8000500(102)1000.a a a a a ++-⎧⎨-⎩≤，≤ ·············································· 6分解得132324a ≤≤． 由a 为正整数可得3a =． ················································································ 8分 答：他能预订男篮门票3张，足球门票3张，乒乓球门票4张． ······························· 9分解法二：设男篮门票与足球门票都订a 张，则乒乓球门票(102)a -张．由题意，得500(102)10001020.a a a -⎧⎨->⎩≤，·································································· 6分解得552a <≤．由a 为正整数可得3a =或4a =． 当3a =时，总费用31000380045007400⨯+⨯+⨯=（元）8000<（元）， 当4a =时，总费用41000480025008200⨯+⨯+⨯=（元）8000>（元），不合题意，舍去．··························································································· 8分 答：他能预订男篮门票3张，足球门票3张，乒乓球门票4张． ······························ 9分 六、（本大题共2小题，第24小题9分，第25小题10分，共19分） 24．解：（1）所画P e 如图所示，由图可知P ePD =．∴点D 在P e 上． (2)（2）①Q 直线EF 向上平移1个单位经过点D ，且经过点(0G -，∴2221310PG =+=，25PD =，25DG =．222PG PD DG ∴=+．则90PDC ∠=o，1PD l ∴⊥．∴直线1l 与P e 相切．（另法参照评分）··························································································· 6分 ②Q PC PD ==CD =222PC PD CD ∴+=．90CPD ∴∠=o ． 5π4S ∴==扇形，21522PCD S ==△．∴直线2l 与劣弧CD 围成的图形的面积为5π542-． ………………………………………9分 25．解：（1）()e c d +，，()c e a d +-，． ························································ 2分x（2）分别过点A B C D ，，，作x 轴的垂线，垂足分别为1111A B C D ，，，， 分别过A D ，作1AE BB ⊥于E ，1DF CC ⊥于点F ． 在平行四边形ABCD 中，CD BA =，又11BB CC Q ∥，180EBA ABC BCF ABC BCF FCD ∴∠+∠+∠=∠+∠+∠=o ．EBA FCD ∴∠=∠．又90BEA CFD ∠=∠=oQ ，BEA CFD ∴△≌△． ····················································································· 4分 AF DF a c ∴==-，BE CF d b ==-． 设()C x y ，．由e x a c -=-，得x e c a =+-．由y f d b -=-，得y f d b =+-．()C e c a f d b ∴+-+-，． ···························· 5分 （此问解法多种，可参照评分）（3）m c e a =+-，n d f b =+-．或m a c e +=+，n b d f +=+． ·················· 7分（4）若GS 为平行四边形的对角线，由（3）可得1(27)P c c -，．要使1P 在抛物线上， 则有274(53)(2)c c c c c =--⨯--，即20c c -=．10c ∴=（舍去），21c =．此时1(27)P -，． ························································· 8分 若SH 为平行四边形的对角线，由（3）可得2(32)P c c ，，同理可得1c =，此时2(32)P ，． 若GH 为平行四边形的对角线，由（3）可得(2)c c -，，同理可得1c =，此时3(12)P -，． 综上所述，当1c =时，抛物线上存在点P ，使得以G S H P ，，，为顶点的四边形是平行四边形．符合条件的点有1(27)P -，，2(32)P ，，3(12)P -，． ··············································· 10分)x。