二次函数存在性——直角三角形

3.如图，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限， 斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（-1，0）， 如图所示：抛物线y=ax2+ax-2经过点B． （1）求点B的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使△ACP是以 AC为直角边的直等腰角直三角角三角形形？若存在，求出所有点P的 坐标；若不存在，请说明理由．
第27题图
3.如图，抛物线yx22xk 与x轴交于A、B两 点，与y轴交于点C（0，-3）
①点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；
②设抛物线的顶点为M，求四边形ABMC的面积；
③在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边 形ABDC的面积最大？若存在，请求出点D的坐标 ；若不存在，请说明理由；
④在抛物线上求点Q，使△BCQ是以BC为直角边的 直角三角形．
回顾：如图，四边形OABC为直角梯形，A（4，0），
B（3，4），C（0，4）。点M从O出发以每秒2个单
位长度的速度向A运动；点N从B同时出发，以每秒1
个单位长度的速度向C运动。其中一个动点到达终点
时，另一个动点也随之停止运动。过点N作NP垂直x
轴于点P，连结AC交M或N）能到达终点；
yx22xk
yx22xk
4.如图，矩形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，点B的坐 标为（1，3），把矩形绕点B旋转一定的角度，使它的 顶点O落在x轴的点D处，已知M是第四象限内纵坐标为-1 的点，以M为顶点的抛物线正好过O、D两点． （1）求点D的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）在抛物线上是否存在点N，使以O、M、N为顶点的 三角形为直角三角形？若存在，求出所有满足条件的点 N的坐标；若不存在，请说明理由．
5A
4 3
2
1
32 1O0 1 2 3 4 5
1
x
2
自学指导3（6分钟）
y
已知：O为坐标原点，A(2,4)
9
8 7
6
5A
4 3
点P是直线x=3上一 动点，当△AOP是 直角三角形求P点坐 标.
2
1
32 1O0 1 2 3 4 5
x
1
2
自学检测3（5分钟）
在直线x=0.5上是否存在点P ，使△PAC为直角三角形？ 若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；
情况 ：当 一 PC 9A 00 时
P1
(
1 2
,
7 4
)
情况 ：当 二 PA 9C 00 时
P2
(
1 2
,
3 4
)
情况 ：当 三 AP 9C 00 时
11 13 P3(2,2)P4(2,2)
（-1，0）A O （0，-2）C
自学指导4（4分钟）
在抛物线y=x2-x-2上是否存在点P ，使△PAC是以AC为
（（3）2）是求否△存A在Q点M的M，面使积得S与△运AQ动M时为间直t的角函三数角关形系？式若，存 在，并求写出出点自M变的量坐t标和y ，取若值不范存围在，，当说t为明何理值由时。，S的值最
大；
C
N ←B
Q
O
M →P
Ax
二次函数与直角三角形
学习目标（1分钟）
1.会解直角三角形存在性问题（点在直线 上）
（1）“抛物线三角形”一定是 三角形； （2）若抛物线y=-x2+bx（b＞0）的“抛物线三角形” 是等腰直角三角形，求b的值； （3）如图，△OAB是抛物线y=-x2+b′x（b′＞0）的 “抛物线三角形”，是否存在以原点O为对称中心的矩 形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的 表达式；若不存在，说明理由．
当堂训练（6分钟）
（2012•赤峰改编）如图，抛物线y=x2-bx-5与x轴交于A、 B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点C与点 F关于抛物线的对称轴对称，直线AF交y轴于点E，|OC|： |OA|=5：1． （1）求抛物线的解析式； （2）求直线AF的解析式； （3）在直线AF上是否存在 点P，使△CFP是直角三角形？ 若存在，求出P点坐标；若不 存在，说明理由．
直角边的三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的
坐标；
情况 ：当 一 PC 9A 00 时
y=x2-x-2
P1
(
3 2
,
7 2
)
情况 ：当 二 PA 9C 00 时
57 P2 ( 2 , 4)
（-1，0）A O
（0，-2）C
自学检测1（5分钟）
1、已知：A(4,0),B(0,4)，C(-2,0).设抛物线上是否 存在点E，使△BCE是以BC为直角边的直角三角 形？若存在，请求出所有点E的坐标，若不存在， 请说明理由。
4、如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角 形，∠ACB=90，AC=BC，OA=1，OC=4，抛物线 y=x2+bx+c经过A，B两点，抛物线的顶点为D．
（（31））在求（b2，）c的条值件；下： ①（求2）以点E是、直B、角F三、角D形为A顶B点C的斜四边边AB形上的一面动积点；（点A、 ②在B抛除物外线）上，是过否点存E作在x一轴点的P垂，线使交△抛EF物P是线以于E点FF为，直当角 边的线直段角E三F的角长形度？最若大存时在，，求求点出E所的有坐点标P；的坐标；若不 存在，说明理由．
（4）若点D是抛物线在第三象限 内的一个动点，连接BD、 CD．当△BCD的面积最大时， 求点D的坐标．
（5）若点P是抛物线上一个动点， 以线段AB、BP为邻边作平行四边 形ABPQ．当点Q落在x轴上时， 直接写出点P的坐标.
3.如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交 点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三 角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．
2.会解直角三角形存在性问题（点在抛物 线上）
自学指导1（5分钟）
1. 射影定理 CD是RT△ABC斜边AB上的高。
c
AD
B
由△ACD∽△CBD得： DC2=DA·DB
由△ACD∽△ABC得： AC2=AD·AB
由△BCD∽△BAC得： BC2=BD·BA
2.直角三角形相似----K型图
C
A
D
B
（4）在抛物线上是否存在点M， 使△ACM是以AC为直角边的三 角形？若存在，求出M点坐标； 若不存在，说明理由．
16．已知抛物线y=a（x+1）2+c与x轴交于点A（-3，0） （1）直接写出抛物线与x轴的另一个交点B的坐标； （2）若直线过抛物线顶点M及抛物线与y轴的交点C（0， 3）． ①求直线MC所对应的函数关系式； ②若直线MC与x轴的交点为N，在抛物线上是否存在点P， 使得△NPC是以NC为直角边的直角三角形？若存在，求出 点P的坐标；若不存在，请说明理由．
E
已知：在直角梯形ADEC中，∠D=90°B是DE边 上一点，∠ABC=90° 求证： BD·BE=AD·CE
3.直角三角形斜边上的中线 CD是RT△ABC斜边AB上的中线。
A
D
C
B
自学指导2（6分钟）
y
已知：O为坐标原点，A(2,4)
9
点P坐是y标x轴轴上上一动点，
8
当△AOP是直角三
7 6
角形求P点坐标
y
B
CO
Ax
2、如图所示，矩形OABC位于平面直角坐标系中， AB=2，OA=3，点P是OA上的任意一点，PB平分 ∠APD，PE平分∠OPF，且PD、PF重合．
（（13））设请O探P究=x：，在O（E=2y），的求条y关件于下x，的抛函物数线解上析是式否，存并在求 一x点为M何，值使时得，△yE的P最M大为值直；角三角形？若存在，求出M （点2的）坐当标P；D⊥若O不A存时在，，求请经说过明E、理P由、．B三点的抛物线的
5.如图，抛物线 y1x2 2x2 与x轴交于A,B
两点，与y轴交于c点2． 2
y
C
AO
B
x
2.已知：如图一次函数y＝0.5x＋1的图象与x轴交于点A， 与y轴交于点B；二次函数y＝0.5x2＋bx＋c的图象与一次 函数y＝0.5x＋1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E 两点且D点坐标为(1，0) (1)求二次函数的解析式； (2)在x轴上是否存在点P，使得△PBC是以P为直角顶点 的直角三角形？若存在，求出所有的点P，若不存在，请 说明理由．
解析式；
3、如图，矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为 （0，8），点C的坐标为（6，0）．抛物线y=4/9x2+bx+c经过A、C两点，与AB边交于点D．
（①1求）S求关抛于物m的线函的数函表数达表式达，式并；求出m为何值时，S取 （得2最）大点值P；为线段BC上一个动点（不与点C重合），点Q ②为当线S最段大A时C上，一在个抛动物点线，y=A-4Q/=9Cx2P+，bx连+c接的P对Q，称设轴Cl上P若=m， 存△在C点PFQ，的使面△积F为DQS为．直角三角形，请直接写出所有符 合条件的F的坐标；若不存在，请说明理由．