湘教版高中数学选修4-4坐标系与参数方程：旋转变换中图形的变化
高中数学选修4—4(坐标系与参数方程)知识点总结
页脚内容坐标系与参数方程 知识点1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0)x x y yλλϕμμ'=>⎧⎨'=>⎩的作用下,点P(x,y)对应到点(,)P x y ''',称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 2.极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标：设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ.一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数.页脚内容特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的. 3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:点M直角坐标(,)x y 极坐标(,)ρθ互化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩ 222tan (0)x y yx xρθ=+=≠ 在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角.页脚内容4.常见曲线的极坐标方程 曲线图形极坐标方程圆心在极点,半径为r 的圆(02)r ρθπ=≤<圆心为(,0)r ,半径为r 的圆2cos ()22r ππρθθ=-≤<圆心为(,)2r π,半径为r 的圆2sin (0)r ρθθπ≤<过极点,倾斜角为α的直线(1)()()R R θαρθπαρ=∈=+∈或 (2)(0)(0)θαρθπαρ=≥=+≥和页脚内容过点(,0)a ,与极轴垂直的直线cos ()22a ππρθθ=-<<过点(,)2a π,与极轴平行的直线sin (0)a ρθθπ=<<注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即(,),(,2),(,),(,),ρθρπθρπθρπθ+-+--+都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程,ρθ=点(,)44M ππ可以表示为5(,2)(,2),444444ππππππππ+-或或(-)等多种形式,其中,只有(,)44ππ的极坐标满足方程ρθ=.二、参数方程 1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标,x y 都是某个变数t 的函数()()x f t y g t =⎧⎨=⎩①,并且对于t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点页脚内容(,)M x y 都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数,x y 的变数t 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数,x y 中的一个与参数t 的关系,例如()x f t =,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系()y g t =,那么()()x f t y g t =⎧⎨=⎩就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使,x y 的取值范围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。
高中课标课程选修4-4《坐标系与参数方程》教学参考一 《坐标系与参数方程》概观
比如“声响定位”，教材创设的情景是要学生确定 声响的位置，学生在思考如何解决这个情景问题时， 发 现要确定一 个点的位置， 必须借助于 数量关系， 此 时教师可引 导学生进一步 思考要用什 么数量关系 来 表示它？要 怎样找到数量 关系？最后 让学生体会 用坐标法解决问题的过程.
又如“参数方程的引入”，教材创设了飞机向灾区 投 放物资的情 景，教师应引 导学生思考 ；如果建立 了适当的直角坐标系，物资离开飞机后的空中位置， 可 以用坐标系 的坐标来表示 ，而表示物 资位置的坐 标，可以用物质离开飞机的时间来确定. 于是学生在 这 样一个问题情 景中，感受 到物资在某 一时刻的位 置 可以用函数来 刻画它，从 而在意识上 产生引入参 数方程的必要性.
坐 标系是坐标 法思想得 以实现的平 台，是解析 几 何的基 础. 参数方 程是以 参变量 为中介来 表示曲 线 上点的坐标 的方程，是曲 线在同一坐 标系下的又 一种表示形式. 2.坐标系与参数方程的作 用
通 过极坐标系 、柱坐标 系、球坐标 系等不同的 坐 标系的学习 ，可以丰富对 坐标系的认 识，体会不 同 坐标系在刻 画几何图形或 描述自然现 象的特点， 从 而可以根据 不同几何图形 的特点选择 适当坐标系 使建立的方程更加简单，研究更方便. 通过参数方程 的 学习，可以发 现某些曲线 用参数方程 表示比用普 通 方程表示更方 便，而且有 助于进一步 体会解决问 题中数学方法的灵活多变. 3.教材地位分析
近十年来 ，本专题的 教学内容在 中学数学课 程 中经历了三 个不同时期． 一是以一章 的形式出现 在 解析几何中；二是在“两省一市”(山西、江西、天津) 的教科书里 面把它分解到 各个章节中 ；三是在课 标 课程中，又 重新把它集中 为一个专题 即《坐标系 与 参数方程》．本专题是以《平面解析几何初步》、《平 面向量》、《三角函数》 等模块的知识 为基础，是 平 面解析几何 初步、平面向 量、三角函 数等内容的 综 合应用和进一步深化. 4.本专题 知识网络图
高中数学选修4—4(坐标系与参数方程)知识点总结
1坐标系与参数方程知识点1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0)x xy yλλϕμμ'=>⎧⎨'=>⎩的作用下,点P(x,y)对应到点(,)P x y ''',称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 2.极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标：设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ.一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数.特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0,θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的. 3.极坐标和直角坐标的互化2(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:点M直角坐标(,)x y极坐标(,)ρθ互化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩ 222tan (0)x y yx xρθ=+=≠ 在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程曲线 图形 极坐标方程3圆心在极点,半径为r 的圆(02)r ρθπ=≤<圆心为(,0)r ,半径为r 的圆2cos ()22r ππρθθ=-≤<圆心为(,)2r π,半径为r 的圆2sin (0)r ρθθπ≤<过极点,倾斜角为α的直线(1)()()R R θαρθπαρ=∈=+∈或 (2)(0)(0)θαρθπαρ=≥=+≥和过点(,0)a ,与极轴垂直的直线cos ()22a ππρθθ=-<<4过点(,)2a π,与极轴平行的直线sin (0)a ρθθπ=<<注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即(,),(,2),(,),(,),ρθρπθρπθρπθ+-+--+都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程,ρθ=点(,)44M ππ可以表示为5(,2)(,2),444444ππππππππ+-或或(-)等多种形式,其中,只有(,)44ππ的极坐标满足方程ρθ=.二、参数方程 1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标,x y 都是某个变数t 的函数()()x f t y g t =⎧⎨=⎩①,并且对于t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点(,)M x y 都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数,x y 的变数t 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化5(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数,x y 中的一个与参数t 的关系,例如()x f t =,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系()y g t =,那么()()x f t y g t =⎧⎨=⎩就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使,x y 的取值范围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。
湘教版高中数学选修4-4坐标系与参数方程：位似变换与伸缩变换
x y
1 00 x k Nhomakorabea
y
或
x y
k 0
0 x
1
y
的形式。
谢谢
x y
x, ky
或
x kx,
y
y
将图形在一条坐标轴的方向上拉伸（当k>1时）或压缩（当0<k<1时） 到原来的k倍，而在另一条坐标轴的方向上不变。这样的变换称为伸缩变 换。
伸缩变换的矩阵为
1 0 k 0 或 0 k 0 1
伸缩变换可写为
位似变换与伸缩变换
x x,
解
（1）从例3的变换表达式中解出
y
1 2
y,
代入直线方程 Ax By C 0
得 Ax B y C 0. 2
因此，直线 l : Ax By C 0 编程直线 l : Ax B y C 0,
例3中的变换
x x,
y
2
y
将图形在y轴方向上拉长到原来的2倍，x轴方向上不变。图形的形状
一般都改变了，比如例4(2)中的圆变成了椭圆，类似地可以考虑变换
x x,
y
1 2
y,
它将图形在y轴方向上缩短到原来的一半，x轴方向不变。
一般地，设正实数k≠1,则变换
2
如图。
（2）由 x x, y 2 y
得
x x, y 1 y.
2
代入方程
2
x
高中数学选修4—4(坐标系与参数方程)知识点总结
坐标系与参数方程知识点1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0)x xy yλλϕμμ'=>⎧⎨'=>⎩的作用下,点P(x,y)对应到点(,)P x y''',称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2.极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点O,叫做极点,自极点O引一条射线Ox,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标：设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ.一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数.特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的.3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:点M 直角坐标(,)x y 极坐标(,)ρθ互化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩222tan (0)x y yx xρθ=+=≠ 在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角.4.常见曲线的极坐标方程曲线 图形 极坐标方程圆心在极点,半径为r 的圆(02)r ρθπ=≤<圆心为(,0)r ,半径为r 的圆2cos ()22r ππρθθ=-≤<圆心为(,)2r π,半径为r 的圆2sin (0)r ρθθπ≤<过极点,倾斜角为α的直线(1)()()R R θαρθπαρ=∈=+∈或(2)(0)(0)θαρθπαρ=≥=+≥和过点(,0)a,与极轴垂直的直线cos()22aππρθθ=-<<过点(,)2a π,与极轴平行的直线sin (0)a ρθθπ=<<注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即(,),(,2),(,),(,),ρθρπθρπθρπθ+-+--+都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程,ρθ=点(,)44M ππ可以表示为5(,2)(,2),444444ππππππππ+-或或(-)等多种形式,其中,只有(,)44ππ的极坐标满足方程ρθ=. 二、参数方程 1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标,x y 都是某个变数t 的函数()()x f t y g t =⎧⎨=⎩①,并且对于t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点(,)M x y 都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数,x y 的变数t 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程. (2)如果知道变数,x y 中的一个与参数t 的关系,例如()x f t =,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系()y g t =,那么()()x f t y g t =⎧⎨=⎩就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使,x y 的取值范围保持一致. 注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。
湘教版选修4《旋转变换》说课稿
湘教版选修4《旋转变换》说课稿一、课程背景与目标1.1 课程背景《旋转变换》是湘教版选修4中的一节重要课程，主要介绍了旋转变换的概念、性质以及应用。
通过学习本课程，学生能够深入理解几何学中的旋转变换，并掌握基本的旋转变换技巧，为进一步学习几何学和应用于实际生活中的问题打下坚实的基础。
1.2 课程目标本课程的学习目标包括：1.理解旋转变换的基本概念和性质；2.掌握旋转变换的基本技巧和运算规则；3.熟练运用旋转变换解决几何问题；4.培养学生的几何思维和创新意识。
二、教学内容与教学重点2.1 教学内容本课程的主要内容包括：1.旋转变换的定义和性质；2.旋转变换的基本技巧和运算规则；3.旋转变换在几何问题中的应用。
2.2 教学重点本课程的教学重点是：1.真正理解旋转变换的定义和性质；2.掌握旋转变换的基本技巧和运算规则；3.熟练运用旋转变换解决几何问题。
三、教学过程与教学方法3.1 教学过程本课程的教学过程分为以下几个步骤：第一步：引入通过给学生提出一个与旋转变换相关的问题引入课程，激发学生的兴趣和思考，为后续学习打下基础。
第二步：讲解在讲解中，老师结合课件和教材逐步介绍旋转变换的定义和性质，引导学生思考旋转变换的特点和运算规则。
通过示例和实际问题的讲解，帮助学生理解旋转变换的实际应用。
第三步：练习在练习环节中，学生通过课堂练习和小组合作练习，巩固并运用所学的旋转变换技巧。
教师在练习过程中及时给予指导和反馈，提高学生的解决问题的能力。
第四步：总结在总结环节中，教师通过概括性的总结和讨论，帮助学生对本节课的知识点建立全面深入的理解，巩固所学的知识，并培养学生的几何思维和创新意识。
3.2 教学方法本课程采用以下教学方法：1.情境教学法：通过引入问题、示例讲解等情境，激发学生学习的积极性和主动性。
2.合作学习法：通过小组合作练习、互动交流等方式，培养学生的合作意识和团队精神。
3.提问式教学法：通过提问和回答的方式，激发学生的思考和参与，促进深入学习。
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坐标系与参数方程知识点1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0)x xy ygg的作用下,点P(x,y)对应到点(,)P x y,称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2.极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点O,叫做极点,自极点O引一条射线Ox,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角,记为.有序数对(,)叫做点M的极坐标,记作(,)M.一般地,不作特殊说明时,我们认为0,可取任意实数.特别地,当点M在极点时,它的极坐标为(0,)(∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定0,02,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)表示;同时,极坐标(,)表示的点也是唯一确定的.3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(2)互化公式:设M是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y,极坐标是(,)(0),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:点M直角坐标(,)x y极坐标(,)互化公式cossinxy222tan(0)x yyxx在一般情况下,由tan确定角时,可根据点M所在的象限最小正角.4.常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点,半径为r的圆(02) r圆心为(,0)r,半径为r的圆2cos()22 r圆心为(,)2r,半径为r的圆2sin(0) r过极点,倾斜角为的直线(1)()()R R 或(2)(0)(0)和过点(,0)a ,与极轴垂直的直线cos()22a 过点(,)2a ,与极轴平行的直线sin (0)a 注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即(,),(,2),(,),(,),都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程,点(,)44M 可以表示为5(,2)(,2),444444或或(-)等多种形式,其中,只有(,)44的极坐标满足方程.二、参数方程1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标,x y 都是某个变数t 的函数()()x f t yg t ①,并且对于t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点(,)M x y 都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数,x y 的变数t 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数,x y 中的一个与参数t 的关系,例如()x f t ,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系()yg t ,那么()()x f t yg t 就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使,x y 的取值范围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。
高中数学新湘教版精品教案《湖南教育出版社高中数学选修4-4：坐标系与参数方程 2.2 直线的参数方程
直线的参数方程教学设计教材：湘教版《选修4—4》执教人：林禄云指导教师：苏华春学校：宁德市民族中学直线的参数方程宁德市民族中学林禄云教材：湘教版普通高中课程标准实验教科书《数学》选修4—4 坐标系与参数方程0M M te =在直线L 上运动时，都有哪些量在发生变化？可以用以前数学中学过的什么量表示？【师生活动】教师提出问题，并引发学生探究思考，通过提问方式，对学生所得结论进行展示。
【设计意图】结合多媒体动态功能，展示动点M 在直线上的变化，帮助提升学生的直观想象能力，根据学生探究结果的反馈时引导学生用向量来描述问题中的变化情况，为后面引入参数t 做好必要的铺垫。
问题 2 是否可以引入一个实数t 来刻画点M 在直线上的位置，如何引入？【师生活动】引导学生去建立数量和向量的联系，回忆必修四中的平面向量共线定理，引出直线的方向向量，为了接下来的计算简便，选定与直线向上方向同向的单位向量e 。
【设计意图】回忆旧知识，加强知识间的联系与串通，促进知识网络的构建。
用一元参数来控制点的变化，探究过程也促进数学建模思想的生成，提升学生跨维度研究问题的能力，培养创新思维。
问题3 如何描述e 的坐标，思考如何求得直线的参数方程？直线的标准参数方程有何特点？【师生活动】教师通过多媒体软件动态功能， 确定判断单位向量e 的坐标的方法，并通过0M M te = 过程求得直线的参数方程，具体过程如下：一般地，设直线l 经过点000M x y （，），且倾斜角为α，动点M x y （，）为直线上任意一点，直线l 的单位方向向量记作cos sin e αα=（，）,[)0απ∈，，那么0//M M e ，因此根据共线向量的充要条件可知，存在实数t ，使得0=M M te ，即00cos sin x x y y t αα--=（，）（，），于是，有00cos sin x x t t y y t αα-=⎧⎨-=⎩（为参数） 因此，把上面的方程叫做经过点000M x y （，），倾斜角为α的直线l 的参数方程． 直线参数方程的文字表述：直线上任意动点的纵横坐标等于定点相应坐标加上参数乘以倾斜角的正余弦．注意：直线上的任意一个点都唯一对应一个参数t ．并探究思考该参数方程的形式特征为：≤≤0(1)两t 前系数平方和为1.（2）y =y +tsin θ中的系数0sin θ 1.故也可称该形式方程为直线标准的参数方程。
高中数学选修4—4(坐标系与参数方程)知识点复习总结
坐标系与参数方程 知识点1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0)x xy yλλϕμμ'=>⎧⎨'=>⎩的作用下,点P(x,y)对应到点(,)P x y ''',称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2.极坐标系的概念 (1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ.一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数. 特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的.3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:在一般情况下,由tan 确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即(,),(,2),(,),(,),ρθρπθρπθρπθ+-+--+都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程,ρθ=点(,)44M ππ可以表示为5(,2)(,2),444444ππππππππ+-或或(-)等多种形式,其中,只有(,)44ππ的极坐标满足方程ρθ=.二、参数方程 1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标,x y 都是某个变数t 的函数()()x f t y g t =⎧⎨=⎩①,并且对于t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点(,)M x y 都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数,x y 的变数t 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数,x y 中的一个与参数t 的关系,例如()x f t =,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系()y g t =,那么()()x f t y g t =⎧⎨=⎩就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使,x y 的取值范围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。
湘教版高中数学选修4-4坐标系与参数方程：矩阵表示的变换
这说明：平行直线仍变成平行直线。同一方向上长度 相等的线段仍变成同一方向上长度相等的线段。
这些性质是否对由其他矩阵决定的线性变换也成立？ 可以更换矩阵重新画图观察。在观察的基础上，进行理论 证明。
谢谢
矩阵表示的变换
第1章讨论的旋转、反射、位似、伸缩、投影变换都 是线性变换，都可以由矩阵表示。
第1章讨论的只是一些特殊的线性变换。它们的几何 性质各不相同。有的保持图形的形状和大小不变，变换前 后的图形全等，如旋转和反射，有的虽然改变图形的大小， 但保持形状不变，变换前后的图形相似，如位似变换。伸 缩变换改变了图形的形状，将圆变成椭圆，但仍将直线变 成直线，投影变换将整个平面变到一条直线，将某些直线 变成一个点。
画出这些直线、圆以及曲线图形的像，如下图所示。
观察并比较变换前后的图形，看有什么变化，是否有什么 性质保持不变。
原来的每个正方形变成什么图形？所画的曲线图形变成什 么图形？
由于所有的点的y坐标不变，平行或重合于x轴的直线y=a 仍变为自身。
由变换式①中可解出x=x'-y=x'-y'，因此，平行于y轴的直 线x=a变成x'-y'=a，即y'=x'-a，仍是一条直线，仍然过点(a,0)， 但斜率为1，倾斜角为45°。
但这些直线x=a并非沿顺时针方向旋转45°，而是由于直 线上的点P(x，y)向右(当y>0时)或向左(当y<0时)平行移动到 P' (x+y，y)而导致的直线倾斜。原来的边平行于坐标轴的正 方形都被变成平行四边形，圆被变成椭圆。而曲线图形也被 相应地向右倾斜变形。
为了验证这个变换是否将直线变成直线，求任何一条直 线Ax+By+C=0在这个变换下的像的方程。
高中数学选修4—4(坐标系与参数方程)知识点总结
坐标系与参数方程 知识点1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0)x xy yλλϕμμ'=>⎧⎨'=>⎩g g 的作用下,点P(x,y)对应到点(,)P x y ''',称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2.极坐标系的概念 (1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ.一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数. 特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的.3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:点M直角坐标(,)x y极坐标(,)ρθ互化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩222tan (0)x y yx xρθ=+=≠ 在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程 曲线图形极坐标方程圆心在极点,半径为r 的圆(02)r ρθπ=≤<圆心为(,0)r ,半径为r 的圆2cos ()22r ππρθθ=-≤<圆心为(,)2r π,半径为r 的圆2sin (0)r ρθθπ≤<过极点,倾斜角为α的直线(1)()()R R θαρθπαρ=∈=+∈或 (2)(0)(0)θαρθπαρ=≥=+≥和过点(,0)a ,与极轴垂直的直线cos ()22a ππρθθ=-<<过点(,)2a π,与极轴平行的直线sin (0)a ρθθπ=<<注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即(,),(,2),(,),(,),ρθρπθρπθρπθ+-+--+都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程,ρθ=点(,)44M ππ可以表示为5(,2)(,2),444444ππππππππ+-或或(-)等多种形式,其中,只有(,)44ππ的极坐标满足方程ρθ=.二、参数方程 1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标,x y 都是某个变数t 的函数()()x f t y g t =⎧⎨=⎩①,并且对于t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点(,)M x y 都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数,x y 的变数t 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数,x y 中的一个与参数t 的关系,例如()x f t =,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系()y g t =,那么()()x f t y g t =⎧⎨=⎩就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使,x y 的取值范围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。
选修4-4坐标系与参数方程
建立联系．
Y＝byb>0
(2)已知变换后的曲线方程 f(x，y)＝0，一般都要改写为方程 f(X，Y)＝0，再利用换元法确定伸缩变换公式．
能力练通
抓应用体验的“得”与“失”
x′＝3x，
1，－2
1．在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：
求点 A 3
经过φ变换所得的点 A′的坐标．
2y′＝y.
第 1 页 共 22 页
解析：设曲线 C′上任意一点 P′(x′，y′)，
x＝1x′， 由题意，将 3
y＝2y′
代入 x2－ y2 ＝1 64
得x′2－4y′2＝1，化简得x′2－y′2＝1，
9 64
9 16
即x2－ y2 ＝1 为曲线 C′的方程，可见经变换后的曲线仍是双曲线， 9 16
则所求焦点坐标为 F1(－5,0)，F2(5,0)．
选修 4－4 坐标系与参数方程
第一节 坐 标 系
本节主要包括 2 个知识点： 1.平面直角坐标系下图形的伸缩变换； 2.极坐标系.
突破点(一) 平面直角坐标系下图形的伸缩变换
基础联通
抓主干知识的“源”与“流”
x′＝λ·xλ＞0，
设点 P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：
的作用下，点 P(x，y)对应到点
4．将圆 x2＋y2＝1 变换为椭圆x2＋y2＝1 的一个伸缩变换公式为φ： X＝axa>0， 求 a，b 的值．
94
Y＝byb>0，
X＝ax， 解y＝1Y， b
代入 x2＋y2＝1 中得Xa22＋Yb22＝1，所以 a2＝9，b2＝4，即 a＝3，b＝2.
突破点(二) 极坐标系
(2)直线 C3 的极坐标方程为θ＝α0，其中α0 满足 tan α0＝2，若曲线 C1 与 C2 的公共点都在 C3 上，求 a. 解析：(1)消去参数 t 得到 C1 的普通方程为 x2＋(y－1)2＝a2，
选修4-4坐标系和参数方程
数学选修4-4坐标系与参数方程2016-7第一讲 坐标系一、平面直角坐标系1.平面直角坐标系在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。
它使平面上任一点P 都可以由惟一的实数对（x,y ）确定.例1 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比其他两个观测点晚4s ，已知各观测点到中心的距离都是1020m ，试确定该巨响的位置。
（假定当时声音传播的速度为340m/s ，各相关点均在同一平面上）以接报中心为原点O ，以BA 方向为x 轴，建立直角坐标系.设A 、B 、C 分别是西、东、北观测点，则 A(1020,0), B(－1020,0), C(0,1020) 设P （x,y ）为巨响为生点，由B 、C 同时听到巨响声，得|PC|=|PB|，故P 在BC 的垂直平分线PO 上，PO 的方程为y=－x ，因A 点比B 点晚4s 听到爆炸声，故|PA|－ |PB|=340×4=1360，由双曲线定义知P 点在以A 、B 为焦点的双曲线22221x y a b-=上，2222222222680,1020102068053401(0)6805340a c b c a x y x ∴==∴=-=-=⨯-=<⨯故双曲线方程为用y=－x代入上式，得x =± ， ∵|PA|>|PB|,(x y P PO ∴=-=-=即故答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心处.上述问题的解决体现了坐标法的思想. 建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系:(1)如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点； (2)如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴； (3)使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。
变式训练1．一炮弹在某处爆炸,在A 处听到爆炸的时间比在B 处晚2s,已知A 、B 两地相距800米，并且此时的声速为340m/s,求曲线的方程.2．在面积为1的PMN ∆中，2tan ,21tan -=∠=∠MNP PMN ，建立适当的坐标系，求以M ，N 为焦点并过点P 的椭圆方程.课后作业1.若P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上的一点，且PF 1→·PF 2→＝0，tan ∠PF 1F 2＝12，则此椭圆的离心率为( )． A.53 B.23 C.13 D.122.设F 1、F 2是双曲线x23－y 2＝1的两个焦点，P 在双曲线上，当△F 1PF 2的面积为2时，1PF ·2PF 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．6 3.若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点在圆x 2＋y 2＋2x －3＝0上，则p ＝( )A.12B ．1C ．2D ．3 4.已知两定点A (1,1)，B (－1，－1)，动点P 满足P A →·PB →＝x22，则点P 的轨迹方程是_________.5.△ABC 的顶点A (－5,0)、B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是___________.6. 已知动圆过点(1,0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________．7.已知：圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0. (1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且AB ＝22时，求直线l 的方程．8. 已知长方形ABCD ，22=AB ，BC=1。
高中数学选修4—4(坐标系与参数方程)知识点总结
坐标系与参数方程 知识点1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0)x xy yλλϕμμ'=>⎧⎨'=>⎩g g 的作用下,点P(x,y)对应到点(,)P x y ''',称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 2.极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标：设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ.一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数. 特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0,θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的.3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(2)互化公式:设M是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:点M直角坐标(,)x y极坐标(,)ρθ互化公式cossinxyρθρθ=⎧⎨=⎩222tan(0)x yyxxρθ=+=≠在一般情况下,由tanθ确定角时,可根据点M所在的象限最小正角.4.常见曲线的极坐标方程曲线 图形 极坐标方程圆心在极点,半径为r 的圆(02)r ρθπ=≤<圆心为(,0)r ,半径为r 的圆2cos ()22r ππρθθ=-≤<圆心为(,)2r π,半径为r 的圆2sin (0)r ρθθπ≤<过极点,倾斜角为α的直线(1)()()R R θαρθπαρ=∈=+∈或(2)(0)(0)θαρθπαρ=≥=+≥和过点(,0)a ,与极轴垂直的直线cos ()22a ππρθθ=-<<过点(,)2a π,与极轴平行的直线sin (0)a ρθθπ=<<注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即(,),(,2),(,),(,),ρθρπθρπθρπθ+-+--+都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程,ρθ=点(,)44M ππ可以表示为5(,2)(,2),444444ππππππππ+-或或(-)等多种形式,其中,只有(,)44ππ的极坐标满足方程ρθ=.二、参数方程 1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标,x y 都是某个变数t 的函数()()x f t y g t =⎧⎨=⎩①,并且对于t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点(,)M x y 都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数,x y 的变数t 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数,x y 中的一个与参数t 的关系,例如()x f t =,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系()y g t =,那么()()x f t y g t =⎧⎨=⎩就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使,x y 的取值范围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。
湘教版高中数学选修4-4坐标系与参数方程：旋转变换中图形的变化
x x ' y ' ,
2
②
y y ' x ' . 2
代入直线l的方程工x+y=1得变换后直线l'的方程 2 y ' 1,
即 y' 2 ，将直线上的点（x'，y'）重新写成（x，y），则直线
2
l'的方程为 y
2 ，如图1-4（b）。
2
（5）反比例函数图像的方程
y 1x可写为 xy 1。
的坐标之间的关系为
x ' 2 x 2 y，
22
①
y ' 2 x 2 y. 22
显然原点O（0，0）仍旋转到O（0，0）。 （1）设点A（1，1）变到点A'（x'，y'）。则 由①得
2 2 2 22
因此，点A（1，1）变到点A'（O，2 ），如图1-4（a）。
（2）线段OA变到线段OA'，A'坐标为（0， 2 ），
如图1-4（a）。 （3）直线OA：y=x变到直线OA'，OA'即是y轴，
即直线x=0，如图1-4（a）。 （4）方法1 直线x+y=1分别与坐标轴交于 B（1，0），C（0，1）。 将B，C的坐标代入①，计算可得它们分别被变到
B'
2，2 22
将（4）得到的表达式②代入方程 xy 1得到
x ' y ' . y ' x ' 1 22
即
( y ')2 (x ') 2 1
22
③
将图象上的点的坐标（x'，y'）重新写为（x，y），则旋 转后得到的曲线方程为
湘教版高中数学选修4-4坐标系与参数方程：不变直线
观察发现，两条直线M1M2，N1N2（共4个方向）上的向 量方向保持不变，这两条直线被变到自身。两条直线上共 4个方向将平面划分成4个区域，同一区域中向量方向的转 向相同，相邻的不同区域中向量方向转向相反。
如果这个一元二次方程有实数根，对每个实数根 0 ，将 0
代入方程组①就可以求出解 x, y x0, y0 0,0,
非零向量OP0 被变换A变到自己的倍向量 0OP0，我们称 0为A的特
征值，称 OP0 为A的属于特征值 0 的特征向量。 特征向量 OP0 的非零倍向量 kOP0 也是属于同一个特征值 0 的特征
向量。
我们也称 0 为矩阵A的特征值，向量OP0 的坐标
X0
x0 y0
满足条件
A
x0 y0
0
x0 y0
.
实际上，对所有的实数k，都有
A
kx0 ky0
0
kx0 ky0
.
设L是过原点和点 P0 x0, y0 的直线，则整条直线L被变换A变到L之中，
称为在变换A作用下不变的直线。
不变直线
我们知道，平面上所有的线性变换都将原点保持不动. 除了原点以外，是否还有别的点被保持不动？ 想一些例子： 恒等变换当然保持所有的点不动。 旋转变换与位似变换，除了保持原点不动，所有的点 都被变动。 反射变换将对称轴上所有的点保持不动。 当然还可以考察另外一个问题，线性变换是否保持某条直 线不动？（直线上的点可以在直线上变动，但是不变到直 线外。）
a d bc, 即 2 a b ad bc
湘教版高中数学选修4-4坐标系与参数方程：坐标系的作用
2、在空间直角坐标系分别中作出下列方程的图形：
(1)x 1
(2)x y 0 Z
(3)x2 y2 1
O
Z
YZ
O
1
X Y
O Y
X
X
课堂小结
1、坐标系是刻画点的位置与其变化的参照物。
2、有了坐标系，不仅几何图形的位置得以精确描绘，而 且可以使曲线的形象用代数方程来表达。
坐标系的作用
方程X 4=1在实数范围内的根是什么？给它一个几何意义。
解：方程 x4 1在实数范围内的根是：
Y y x4
x1 1, x2 1
其几何意义是曲线 y x4与直线 Y=1的交点的横坐标。
y=1 -1 O 1 X
方程Z 4=1在复数范围内的根是什么？给它一个几何意义。
解：方程 z4 1在复数范围内的根是：
4
P (x,y)
d
N
PN 2 PO2 2 NO2 2
O1
x 22 y2 1
PN x2 y2 12 x 3 0 x 62 y2 33
所以，点P的轨迹是以点（6，0），半径为 33 的圆。
例3、如图，线段|AB|=4，|AC|=3|CB|。直线L过点C且垂直与
AB，P为动点，△PAB的内切圆圆心恒在直线L上，建立适当的
平面直角坐标系，求点P的轨迹方程。
解：设E、F是另两个切点，则
Y P
|AE|=|AC|=3，|BF|=|BC|=1，|PE|=|PF|=u
E
F
∴|PA|=3+ u，|PB|=1+ u
∴|PA| - |PB|= 2
A
OC B X
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（2）线段OA变到线段OA'，A'坐标为（0， 2 ），
如图1-4（a）。 （3）直线OA：y=x变到直线OA'，OA'即是y轴，
即直线x=0，如图1-4（a）。 （4）方法1 直线x+y=1分别与坐标轴交于 B（1，0），C（0，1）。 将B，C的坐标代入①，计算可得它们分别被变到
B'
2，2 22
对例1的解法及结果可以总结如下：
1.求点P（x，y）变换之后的点P'（x'，y'）的坐标， 只要带入变换表达式X'=TX计算就行了。
2.预先知道旋转变换将线段变成线段，直线变成直线。 因此，求出线段AB的两个端点变换后的点A'，B'的坐标， 就确定了变换后的线段A'B'。求出直线l上两点A，B变换 后的位置A'，B'的坐标，再求经过A'，B'的方程，就知道 直线l变成直线l'的方程。
的坐标之间的关系为
x ' 2 x 2 y，
22
①
y ' 2 x 2 y. 22
显然原点O（0，0）仍旋转到O（0，0）。 （1）设点A（1，1）变到点A'（x'，y'）。则 由①得
x' 2 2 0 22
y' 2 2 2 22
因此，点A（1，1）变到点A'（O，2 ），如图1-4（a）。
x x ' y ' ,
2
②
y y ' x ' . 2
代入直线l的方程工x+y=1得变换后直线l'的方程 2 y ' 1,
即 y' 2 ，将直线上的点（x'，y'）重新写成（x，y），则直线
2
l'的方程为 y
2 ，如图1-4（b）。
2
（5）反比例函数图像的方程
y 1x可写为 xy 1。
cos(
) 4
2 2
2 2
x 2 x ' 2 y '，
2
2
y 2 x ' 2 y '.
2
2
这正是例1中通过解方程得出的②。
平面上饶原点旋转角 变换T与绕原点旋转角- 的变换M
的效果正好相互抵消。
若T：P→T（P），则M：T（P）→P。
若M：Q→M（Q），则T：M（Q）→Q。
旋转变换中图形的变化
平面上的变换T将每个点P变到某个点T（P）， 也就将平面上的每个图形G变成某个图形T（G），图 形T（G）由图形G中所有的点在T作用下的像组成。
例1在平面直角坐标系上，设变换T将每个点绕 原点O沿逆时针旋转 。点A的坐标为（1，1）。以 下图形变成什么图形？4
（1）点A；
（2）线段OA；
将（4）得到的表达式②代入方程 xy 1得到
x ' y ' . y ' x ' 1 22
即
( y ')2 (x ') 2 1
22
③
将图象上的点的坐标（x'，y'）重新写为（x，y），则旋 转后得到的曲线方程为
y2 x2 1 22
这是焦点在y轴上的双曲线的标准方程，如图1-4（c）。
变换M将P'（x'，y'）再变回P（x，y）？比如，由P到P'的
变换T是绕原点旋转 ，只要让变换M是绕原点旋转相反的
角-
4
就是
4
，岂不就将P'变回P了？而旋转-
4
的矩阵M是知道的，
因此
M
COS
(
4
)
sin(
4)Βιβλιοθήκη
2 2
2
2
sin( )
4
因此，我们称M为T的逆变换，记作 M T 1
同样，T也是M的逆变换，T M 1
因此（T1）1 T （M ） 1 1 M
课后作业
1.完成例题2。 2.完成课后习题。 3.复习这节课内容。
谢谢
（3）直线y=x； （4）直线l：y+x=1；
（5）反比例函数C：y= 1 的图像。 x
解 T的变换矩阵是
cos 4
sin
4
- sin 4
cos
4
=
2 2 2 2
-
2
2
2
2
点P（x，y）与它在变换T作用下的像P' （x'，y'）
，C'
2 2
，2 2
T是旋转变换，因而将直线BC：x+y=1变到直线B'C'， 而B'C'的方程为 y 2 ，如图1-4（b）。
2
方法2 旋转将直线l变到另一条直线l'。设法求出由 表x'，y'表示x，y的表达式，代入直线l的方程x+y=1就可 得到l'的方程。
关系式①是由x，y表示x'，y'的的关系式，要得到x'， y'表示x，y的关系式，可以在关系式①中将x'，y'当作已 知数，解二元一次方程组求出未知数x，y。分别将①的两 式相加、相减（后一式减前一式），再除以 2 ，得
3.已知曲线C的方程f（x，y）=0，要求曲线经过变换 的像C'的方程，可以通过解方程求出由变化后的坐标（x'， y'）计算变换前的坐标（x，y）的表达式，再将表达式代 入原来曲线的方程f（x，y）=0就可以得到变换后的曲线 方程。
怎样由变换后的点P'的坐标（x'，y'）计算变换前的点
P的坐标（x，y）？是不是一定要解方程组？能不能用一个