变化的快慢与变化率 (上课)

实例3分析
抚州市今年3月18日到4月20日期间的日最高气温记载.
时间 气温变化曲线 日最高气温
T(oC) 33.4 18.6 A(1,3.5) 3.5
3月18日 4月18日 4月20日
3.5℃
C(34,33.4)
18.6℃
33.4℃
温差15.1℃ 温差14.8℃
B(32,18.6) 气温曲线 32 34 t (d)
变化率为 f ( x1 ) f (1) x1 1 在区间[x 2 ，34]上的平 均变化率为 f (34) f ( x2 )
34 x2
建构数学理论
平均变化率的定义：
一般地，函数
[ x1 , x2 ]上的平均变化率为 y f ( x2 ) f ( x1 ) x x2 x1
所取长度越小，则平均线密度就越接近合金棒
在x
2 m处的线密度。
解：
x1 趋近于 x0 2m时 平均线密度 趋近于 0.71kg） （ /m
/ 则合金棒在 x 2 m处的线密度为 0.71kg）m 。 （
பைடு நூலகம்
概括 思考：瞬时变化率与平均变化率有什么关系？？
对于函数 y f ( x) ，在自变量 x 从 x0 变到 x1 时，
y / C
x / min 比较时间 x 从0到20min和从20到30min体温的 变化情况，那段时间体温变化较快？如何刻画体温 变化的快慢？
分析： 时间从0变到20min时，单位时间的体温平均变化 率为：
38.5 39 0.025( C / min) 20 0
从20变到30min时，平均变化率为：
2时的平均速度和 t 2
y
＊ 函数 f (x ) 的平均变化率：
y f ( x2 ) f ( x1 ) x x2 x1
B(x2,f(x2))
f(x2)-f(x1)
A(x1,f(x1)) 0
刻画在区间 [ x1 , x2 ]上，函数值变化的快慢。
x2x1
x
＊ 函数 f (x ) 在 x0处的瞬时变化率：
[问题]如果将上述气温
曲线看成是函数y = f(x)
的图象, 则函数y = f(x)
y=f(x)
x1 x2
o
1
34
x
在区间[1 ， 34]上的平均 变化率为 f (34) f (1) 34 1 在区间[1 ， x1 ]上的平均
你能否类比归纳出 “函 数f(x)在区间[x1,x2]上的平均 变化率”的一般性定义吗？
答案：在这5个区间上的平均变化率分别是:4、3、 2.1、2.01、2.001 规律： 当区间的右端点逐渐接近1 时，平均变化 率逐渐接近2.
例1 一小球从高空自由落下，其路程s与时间t的
函数关系为
1 2 s gt , ( g 9.8m / s 2 ) 2
试估计小球在t=5s这个时刻的瞬时速度。 分析： 由公式可知：从5s到6s球的平均速度为：
39 38 37 36
38.5 39 0.5 0.025 20 0 20
( C/min)
体温从20min到30min的平均变化率是：
38 38.5 0.05 30 20
( C/min)
0.05 0.025
10 20 30 40 50 60 70
0
x/min ∴后面10min体温变化较快
f ( x2 ) f ( x1 ) 的平均变化率为: x2 x1
平均变化率 一般地,函数 f ( x) 在 [ x1 , x2 ] 区间上
探索思考
1.已知函数f(x)=2x+1,分别计算在区间[-1,1],[0,5]上的平 均变化率. 答案：都是2 2.变式一:求函数f(x)=2x+1在区间[m,n]上的平均变化率. 答案：还是2 3.变式二:函数f(x): =kx+b在区间[m,n]上的平均变化率. 答案：是k 一般地，一次函数f(x)=kx+b（k≠0）在任意区 间[m,n](m<n)上的平均变化率等于k.
o 1 (3月18日为第一天)
y
f(34)
C
[问题]如果将上述气温
曲线看成是函数y = f(x)
的图象, 则函数y = f(x)
在区间[1 ， 34]上的平均
A
f(1)
y=f(x) 34 x
变化率为 f (34) f (1)
34 1
o
1
y
f(34) f(x2) f(x1) A f(1)
C
函数的平均变化率为：
y f ( x1 ) f ( x0 ) f ( x0 x ) f ( x0 ) x x1 x0 x
x 0 时，平均变化率就趋于函数在 x0处 的瞬时变化率，它刻画的是函数在一点处变化的快
趋近于
慢。
平均变化率 逼近 瞬时变化率
x2 x 趋近于xx-- 022 时，平均变化率就趋于函数在 x0处 xx x1 1 1 的瞬时变化率，它刻画的是函数在一点处变化的快
慢。
物体在0~2s和10~13s这两段时间内，哪一段时
间运动得快？
分析：
比较运动的快慢，一般用平均速度来刻画。 在0~2s内，平均速度为：
60 3( m / s ) 20
13 10
在10~13s内，平均速度为： 32 20 4( m / s )
显然，在这两段时间内，后一段时间比前一段 时间运动得快些。
x1
x2
x
f ( x2 ) f ( x1 ) 的平均变化率为: x2 x1
平均变化率 一般地,函数 f ( x) 在 [ x1 , x2 ] 区间上
探索思考
5.变式四:已知函数f(x)=x2,分别计算在区间 [1，3] , [1，2], [1，1.1] ,[1，1.01] ,[1，1.001]上的平均变化率.
用一段时间内物体的平均速度 来刻画物体运动的快慢 从时间 t0到 t1时，物体的路程从 s(t0 ) 变为 s(t1 ) ， 这段时间内的平均速度为：
s(t1 ) s(t 2 ) v t1 t0
函数值变化量，记作△s 自变量变化量，记作△t
s 记为 v t
某病人吃完药，他的体温变化如图示：
动手做一做
9 1. 求 y x 2 x 3 在 2 到 4 之间的平均变化率。
2
1 ( x 0) 在 x0 到 x0 x 之间的平均变 2. 求 y x 化率。
3. 一物体作直线运动，其位移 s 与时间 t 的函数关
系是 s
3t t
2
，
求此物体 t 0 到 t 时刻的瞬时速度。
f ( x2 ) f ( x1 ) 的平均变化率为: x2 x1
平均变化率 一般地,函数 f ( x) 在 [ x1 , x2 ] 区间上
探索思考
4.变式三:求函数f(x)=x2在区间[-1,1]上的平均变化率. 答案：是0 y C1 C3
B A
O
C2
平均变化率的缺点:
它不能具体说明函 数在这一段区间上的变 化情况.
引言
为了描写运动变化着的现象，我们引入了函数，
刻画静态的数与动态的函数都是数学中很重要的概
念，随着对函数的研究的不断深化，产生了微积分，
它是数学发展史上继欧式几何后的又一个具有划时
代意义的伟大创造，被誉为数学史上的里程碑。
而导数，是微积分的核心概念之一，它是研究
函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题的最一
质量 平均线密度 长度
x 2 处合金棒的线密度。
我们用 x0
2 到 x1 3 的平均线密度来估计
y f ( 3) f ( 2) 3.464 2.828 0.636( kg / m) x 32 1 1 同样地，为了提高精确度，可取原长度的 ， 10 1 1 ， ，…… 100 1000
f (x)在区间
说明:(1)平均变化率的实质就是:两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2)) 连线的斜率. （以直代曲思想） (2)平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”， 或者说曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化” ． （数形结合思想） “数离形时难直观，形离数时难入微”——华罗庚
归纳概括
1 平均变化率的定义: 一般地,函数 f ( x) 在 [ x1 , x2 ] 区间上的平均变化率为:
般、最有效的工具。
本章我们将讨论导数的产生及其运算。
§1 变化的快慢与变化率
实例1分析
银杏树 雨后春笋
树高:15米
高:15厘米
时间:两天
树龄:1000年
问题：
物体从某一时刻开始运动，设 s表示此物体经过 时间 t 走过的路程，显然 s 是时间
s s(t ) 。在运动过程中，测得如下数据：
t 的函数，表示为
( f ( x1 ))、 x2 , f ( x2 ))
连线的斜率.
f ( x2 ) f ( x1 ) 的平均变化率为: x2 x1
平均变化率 一般地,函数 f ( x) 在 [ x1 , x2 ] 区间上
数学 应用
某病人吃完退烧药，他的体温变化如图，比较时间x 从0min到20min 和从20min到30min体温的变化情况，哪 段时间体温变化较快？ y/(oC) 体温从0min到20min的平均变化率是： 解：
38 38.5 0.05( C / min) 30 20
显然，绝对值大，下降的越快，即后一段时间降 得快。
用一段时间内体温的平均变化率 刻画体温变化的快慢
时间从 x0 变为
x1 时，体温从 y( x0 ) 变为 y( x1 )，
函数值变化 量△y