2015高中数学 1.3.2函数的极值与导数学情分析 新人教A版选修2-1
高中数学_1.3.2函数的极值与导数教学设计学情分析教材分析课后反思
⾼中数学_1.3.2函数的极值与导数教学设计学情分析教材分析课后反思1.3.2函数的极值与导数⼀、教材分析《函数极值>>是⾼中数学⼈教版版新教材选修2-2第⼀章第三节，在此之前我们已经学习了导数，这为我们学习这⼀节起着铺垫作⽤。
⼆、教学⽬标 1. 教学⽬标（1）知识技能⽬标：掌握函数极值的定义，会从⼏何图形直观理解函数的极值与其导数的关系，增强学⽣的数形结合意识，提升思维⽔平；掌握利⽤导数求可导函数的极值的⼀般⽅法及步骤；了解可导函数极值点0x 与)(0x f '=0的逻辑关系；培养学⽣运⽤导数的基本思想去分析和解决实际问题的能⼒.（2）过程与⽅法⽬标：培养学⽣观察、分析、探究、归纳得出数学概念和规律的学习能⼒。
（3）情感与态度⽬标：培养学⽣层层深⼊、⼀丝不苟研究事物的科学精神；体会数学中的局部与整体的辨证关系. 2．教学重点和难点重点：掌握求可导函数的极值的⼀般⽅法. 难点： 0x 为函数极值点与)(0x f '=0的逻辑关系 3．教学⽅法与教学⼿段师⽣互动探究式教学，遵循“教师为主导、学⽣为主体”的原则，结合⾼中学⽣的求知⼼理和已有的认知⽔平开展教学。
由于学⽣对极限和导数的知识学习还⼗分的有限（⼤学⾥还将继续学习），因此教学中更重视的是从感性认识到理性认识的探索过程，⽽略轻严格的理论证明，教师的主导作⽤和学⽣的主体作⽤都必须得到充分发挥.利⽤多媒体辅助教学，直观形象，便于学⽣观察.幻灯⽚打出重要结论，清楚明了，节约时间，提⾼课堂效率.4、教学过程3 再观察再认识再观察跳⽔在波峰时的状态.寻找函数极值点与导数之间的关系.不难得出：(1)曲线在极值点处切线曲线在极⼤值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极⼩值点左侧切复习可导函数在定义域上的单调性与函数极值的相互关系；教师引导学⽣寻找函数极值点与导数之间的关系.给出寻找和判断可导函数的极值点的⽅法：(1) 如果在x附近的左侧()f x'﹥0，右侧()f x'﹤0,那么,)(xf'是极⼤值；(左正右负为极⼤)(2) 如果在x附近的左侧()f x'﹤0,右侧()f xxf'是极⼩值.(右正左负为极⼩)根据⼤纲要求及学⽣的知识⽔平,此处突出直观性,降低理论性.4应⽤1 求函数)(xf=44313+-xx的极值.教师讲解与板书解题过程,学⽣回答教师提出的相关问题。
人教A版选修1-1教案：3.2函数的极值与导数(含答案)
§1．3．2函数的极值与导数（1课时）【学情分析】：在高一就学习了函数的最大（小）值，这与本小节所要研究的对象——函数极值有着本质区别的，学生容易产生混淆，易把极大值当做最大值，极小值当做最小值。
在认识理解导数大小与函数单调性的关系后，结合函数图像直观地引入函数极值的概念，强化极值是描述函数局部特征的概念，使得学生对极值与最值的概念区分开来，也为下节“函数的最值与导数”做好铺垫。
【教学目标】：（1）理解极大值、极小值的概念.（2）能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值.（3）掌握求可导函数的极值的步骤【教学重点】：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤.【教学难点】：极大、极小值概念的理解，熟悉求可导函数的极值的步骤课后练习1、函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)(x f y =在这点取极值的（ ）A 充分条件B 必要条件C 充要条件D 必要非充分条件答案 D 对于3'2'(),()3,(0)0,f x x f x x f ===不能推出()f x 在0x =取极值，反之成立2、函数()323922y x x x x =---<<有（ ） A 极大值5，极小值27- B 极大值5，极小值11-C 极大值5，无极小值D 极小值27-，无极大值答案C '23690,1,3y x x x x =--==-=得，当1x <-时，'0y >；当1x >-时，'0y < 当1x =-时，5y =极大值；x 取不到3，无极小值3、函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示， 则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ ）A 1个B 2个C 3个D 4个答案 A 极小值点应有先减后增的特点，即'''()0()0()0f x f x f x <→=→>4、函数32()39f x x ax x =++-，已知()f x 在3x =-时取得极值，则a=( ) A, 2 B. 3C. 4D. 5答案：5、若函数()()2f x x x c =-在2x =处有极大值，则常数c 的值为_________；答案6 '22'2()34,(2)8120,2,6f x x c xc f c c c =-+=-+==或，2c =时取极小值6、函数1()cos sin 22f x m x x =+在4x π=处取得极值，则m=__________答案7、已知函数23bx ax y +=，当1x =时，有极大值3； （１） 求,a b 的值；（2）求函数y 的极小值解：（1）'232,y ax bx =+当1x =时，'11|320,|3x x y a b y a b ===+==+=，即320,6,93a b a b a b +=⎧=-=⎨+=⎩（2）32'269,1818y x x y x x =-+=-+，令'0y =，得0,1x x ==或0|0x y y =∴==极小值。
高中数学_函数的极值与导数教学设计学情分析教材分析课后反思
1.3.2 函数的极值与导数一、教学目标1 知识与技能〈1〉结合函数图象，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件〈2〉理解函数极值的概念，会用导数求函数的极大值与极小值 2 过程与方法结合实例，借助函数图形直观感知，并探索函数的极值与导数的关系。
3 情感与价值感受导数在研究函数性质中一般性和有效性，通过学习让学生体会极值是函数的局部性质，增强学生数形结合的思维意识。
二、重点：利用导数求函数的极值难点：函数在某点取得极值的必要条件与充分条件三、教学过程〈一〉、创设情景，导入新课1、通过上节课的学习，导数和函数单调性的关系是什么？（提高学生回答）2．观察图1.3.8 表示高台跳水运动员的高度h 随时间t 变化的函数()h t =-4.9t 2+6.5t+10的图象，回答以下问题a o ht（1）当t=a时，高台跳水运动员距水面的高度最大，那么函数()h t在t=a处的导数是多少呢？（2）在点t=a附近的图象有什么特点？（3）点t=a附近的导数符号有什么变化规律？<二>、探索研讨1、观察1.3.9图所表示的y=f(x)的图象，回答以下问题：（1）函数y=f(x)在a.b点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系?（2）函数y=f(x)在a.b.点的导数值是多少?（3）在a.b点附近, y=f(x)的导数的符号分别是什么，并且有什么关系呢?2、极值的定义:我们把点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值；点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极大值。
极大值点与极小值点称为极值点, 极大值与极小值称为极值.3、通过以上探索，你能归纳出可导函数在某点x0取得极值的充要条件吗？充要条件：f(x 0)=0且点x 0的左右附近的导数值符号要相反4、引导学生观察图1.3.11，回答以下问题：（1）找出图中的极点，并说明哪些点为极大值点，哪些点为极小值点？（2）极大值一定大于极小值吗？5、随堂练习:1 如图是函数y=f(x)的函数,试找出函数y=f(x)的极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点.如果把函数图象改为导函数y=()'f x 的图象?<三>、讲解例题例4 求函数()31443f x x x =-+的极值教师分析:①求f /(x),解出f /(x)=0,找函数极点； ②由函数单调性确定在极点x 0附近f /(x)的符号,从而确定哪一点是极大值点,哪一点为极小值点,从而求出函数的极值.学生动手做,教师引导解:∵()31443f x x x =-+∴()'f x =x 2-4=(x-2)(x+2)令()'f x =0,解得x=2,或x=-2.下面分两种情况讨论:x(1)当()'f x ＞0,即x ＞2,或x ＜-2时;(2) 当()'f x ＜0,即-2＜x ＜2时.当x 变化时, ()'f x ,f(x)的变化情况如下表: x(-∞,-2) -2 (-2,2) 2 (2,+∞) ()'f x +0 _ 0 + f(x)单调递增 283 单调递减 43- 单调递增 因此,当x=-2时,f(x)有极大值,且极大值为f(-2)=3;当x=2时,f(x)有极 小值,且极小值为f(2)= 43- 函数()31443f x x x =-+的图象如: 归纳：求函数y=f(x)极值的方法是:1求()'f x ,解方程()'f x =0,当()'f x =0时: (1) 如果在x 0附近的左边()'f x ＞0,右边()'f x ＜0,那么f(x 0)是极大值.(2) 如果在x 0附近的左边()'f x ＜0,右边()'f x ＞0,那么f(x 0)是极小值 <四>、课堂练习1、求函数f(x)=3x -x 3的极值2、思考：已知函数f （x ）=ax 3+bx 2-2x 在x=-2，x=1处取得极值, 求函数f （x ）的解析式及单调区间。
高中数学 1.3.2 函数的极值与导数课件 新人教A版选修2
因此对于可导函数，导数为0是点为极值点的必 要而不充分条件．
(2)函数的导数不存在的点也可能是极值点． 如函数f(x)＝|x|，在x＝0处，左侧(x＜0时)f′(x)＝ －1＜0，右侧(x＞0时)f′(x)＝1＞0，当x＝0时f(x) ＝0是f(x)的极小值点，但f′(0)不存在．
．
• 极小值点、极大值点统称为极值点，> 极大值和极小值统
称为极值．极值反映了函数在某一点附近的大小情况，
刻画的是函数的局部性质．
<
减
• 2．求可导函数y＝f(x)的极值的方法是：
• 解方程f′(x)＝0.当f′(x0)＝0时： • (1)如果在x0附近的左侧
，那么f(x0)是极大值； • (2)f′如(x)果＜在0 x0附近的左侧
，那么f(x0)是极小值．
，右侧 f′(x)＞0
，右侧 f′(x)＜0
f′(x)＞0
• [例1] 判断函数y＝x3在x＝0处能否取得极值． • [分析] 可由极值的定义来判断，也可由导数来判断． • [解析] 解法1：当x＝0时，f(x)＝0，在x＝0的附近区域
内，f(x)有正有负，不存在f(0)>f(x)(或f(0)<f(x))，因此y＝ x3在x＝0处取不到极值． • 解法2：y′＝3x2，当x≠0时，y′>0， • 当y＝0时，f(x)＝0，因此y＝x3在(－∞，＋∞)上是增函数， 因为单调函数没有极值，所以y＝x3在x＝0处取不到极 值．
• 设函数y＝f(x)在点x0及其附近可导，且f′(x0)＝0. • (1)如果f′(x)的符号在点x0的左右由正变负，则f(x0)
为函数f(x)的极大值．
• (2)如果f′(x)的符号在点x0的左右由负变正，则f(x0) 为函数f(x)的极小值．
高中数学_1.3.2函数的极值与导数教学设计学情分析教材分析课后反思
1.3.2函数的极值与导数一、教材分析《函数极值>>是高中数学人教版版新教材选修2-2第一章第三节，在此之前我们已经学习了导数，这为我们学习这一节起着铺垫作用。
二、教学目标 1. 教学目标（1） 知识技能目标：掌握函数极值的定义，会从几何图形直观理解函数的极值与其导数的关系，增强学生的数形结合意识，提升思维水平；掌握利用导数求可导函数的极值的一般方法及步骤；了解可导函数极值点0x 与)(0x f '=0的逻辑关系；培养学生运用导数的基本思想去分析和解决实际问题的能力.（2）过程与方法目标：培养学生观察、分析、探究、归纳得出数学概念和规律的学习能力。
（3）情感与态度目标：培养学生层层深入、一丝不苟研究事物的科学精神； 体会数学中的局部与整体的辨证关系. 2．教学重点和难点重点：掌握求可导函数的极值的一般方法. 难点： 0x 为函数极值点与)(0x f '=0的逻辑关系 3．教学方法与教学手段师生互动探究式教学，遵循“教师为主导、学生为主体”的原则，结合高中学生的求知心理和已有的认知水平开展教学。
由于学生对极限和导数的知识学习还十分的有限（大学里还将继续学习），因此教学中更重视的是从感性认识到理性认识的探索过程，而略轻严格的理论证明，教师的主导作用和学生的主体作用都必须得到充分发挥.利用多媒体辅助教学，直观形象，便于学生观察.幻灯片打出重要结论，清楚明了，节约时间，提高课堂效率.4、教学过程3 再观察再认识再观察跳水在波峰时的状态.寻找函数极值点与导数之间的关系.不难得出：(1)曲线在极值点处切线的斜率为0；(2)曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切复习可导函数在定义域上的单调性与函数极值的相互关系；教师引导学生寻找函数极值点与导数之间的关系.给出寻找和判断可导函数的极值点的方法：(1) 如果在x附近的左侧()f x'﹥0，右侧()f x'﹤0,那么,)(xf'是极大值；(左正右负为极大)(2) 如果在x附近的左侧()f x'﹤0,右侧()f x'﹥0,那么,)(xf'是极小值.(右正左负为极小)根据大纲要求及学生的知识水平,此处突出直观性,降低理论性.4应用1 求函数)(xf=44313+-xx的极值.教师讲解与板书解题过程,学生回答教师提出的相关问题。
2015-2016高中数学1.3.2函数的极值与导数学案新人教A版选修2-2
所以 f ( x) 的增区间为 (2 ，＋∞ ) 和 ( －∞， 0) ，f ( x) 的减区间为 (0 ，2) ，所以当 x＝0 时，
函数取得极大值 f (0) ＝ 7. 答案： 7
自测自评
1．函数 f ( x) ＝x3＋ax2＋ 3x－9，已知 f ( x) 在 x＝－ 3 时取得极值，则 a 等于 ( D)2≥Fra bibliotek0，∴函数
y＝ x－ ln(1
＋x2) 无极值．故选 D.
x2＋ a 4. 若函数 f ( x) ＝ x＋ 1 在 x＝ 1 处取得极值，则 a＝ ______．
2x（ x＋ 1）－（ x2＋a）
解析： f ′（x) ＝
（ x＋1） 2
.
3－ a ∴ f ′ (1) ＝ 4 ＝ 0 得 a＝ 3.
A． (2 ， 3)
B
． (3 ，＋∞）
C． (2 ，＋∞ )
D
． ( －∞， 3)
解析： y′＝ 6x2＋2ax＋ 36. 依题意知 6× 22＋ 4a＋36＝ 0，∴ a＝－ 15，∴ y′＝ 6x2－ 30x
＋36＝ 6( x－ 2)( x－ 3) ，易知当 x>3 时， y′ >0，∴函数的一个增区间为 (3 ，＋∞ ) ． 7．函数 y＝ x3－ 3x 的极大值点是 x＝－ 1，极小值点是 x＝ 1，极大值为 2，极小值为 － 2．
答案： 3
能力提升
5．函数 f ( x) ＝2x＋x3－ 2 在区间 (0 ， 1) 内的零点个数是 ( B)
A． 0 B ．1 C ． 2 D ． 3
解析： 因为
x
f ′（x) ＝ 2 ln 2
＋ 3x2＞ 0，所以函数
f
(
高二数学 第一章《1.3.2函数的极值与导数(2课时)》教案 新人教A版选修2-2
§1.3.2函数的极值与导数（2课时）教学过程：一．创设情景观察图3.3-8，我们发现，t a =时，高台跳水运动员距水面高度最大．那么，函数()h t 在此点的导数是多少呢？此点附近的图像有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规律？放大t a =附近函数()h t 的图像，如图3.3-9．可以看出()h a '；在t a =，当t a <时，函数()h t 单调递增，()0h t '>；当t a >时，函数()h t 单调递减，()0h t '<；这就说明，在t a =附近，函数值先增（t a <，()0h t '>）后减（t a >，()0h t '<）．这样，当t 在a 的附近从小到大经过a 时，()h t '先正后负，且()h t '连续变化，于是有()0h a '=．对于一般的函数()y f x =，是否也有这样的性质呢？附：对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明.并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的. 从图象观察得出，判别极大、极小值的方法.判断极值点的关键是这点两侧的导数异号二．新课讲授2．函数的单调性与导数的关系观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．如图 3.3-3，导数'0()f x 表示函数()f x 在点00(,)x y 处的切线的斜率．在0x x =处，'0()0f x >，切线是“左下右上”式的，这时，函数()f x 在0x 附近单调递增；在1x x =处，'0()0f x <，切线是“左上右下”式的，这时，函数()f x 在1x 附近单调递减．结论：函数的单调性与导数的关系在某个区间(,)a b 内，如果'()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；如果'()0f x <，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减．说明：（1）特别的，如果'()0f x =，那么函数()y f x =在这个区间内是常函数．3．求解函数()y f x =单调区间的步骤：（1）确定函数()y f x =的定义域；（2）求导数''()y f x =；（3）解不等式'()0f x >，解集在定义域内的部分为增区间；（4）解不等式'()0f x <，解集在定义域内的部分为减区间．三．典例分析例1．（课本例4）求()31443f x x x =-+的极值 解： 因为()31443f x x x =-+，所以 ()'24(2)(2)f x x x x =-=-+。
高中数学 专题1.3.2 函数的极值与导数教案 新人教A版选修22
函数的极值与导数【教学目标】1．了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用．2．掌握函数极值的判定及求法．3．掌握函数在某一点取得极值的条件．【教法指导】本节学习重点：掌握函数极值的判定及求法．本节学习难点：掌握函数在某一点取得极值的条件．【教学过程】☆复习引入☆在必修1中，我们研究了函数在定义域内的最大值与最小值问题．但函数在定义域内某一点附近，也存在着哪一点的函数值大，哪一点的函数值小的问题，如何利用导数的知识来判断函数在某点附近函数值的大小问题？又如何求出这些值？这就是本节我们要研究的主要内容．解析：请同学思考并回顾以前所学知识并积极回答之.☆探索新知☆探究点一函数的极值与导数的关系思考1 如图观察，函数y＝f(x)在d、e、f、g、h、i等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y＝f(x)在这些点处的导数值是多少？在这些点附近，y＝f(x)的导数的符号有什么规律？结论思考1中点d叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(d)叫做函数y＝f(x)的极小值；点e叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(e)叫做函数y＝f(x)的极大值．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．思考2 函数的极大值一定大于极小值吗？在区间内可导函数的极大值和极小值是唯一的吗？答函数的极大值与极小值并无确定的大小关系，一个函数的极大值未必大于极小值；在区间内可导函数的极大值或极小值可以不止一个．思考3 若某点处的导数值为零，那么，此点一定是极值点吗？举例说明．答 可导函数的极值点处导数为零，但导数值为零的点不一定是极值点．可导函数f (x )在x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0且在x 0两侧f ′(x )的符号不同．例如，函数f (x )＝x 3可导，且在x ＝0处满足f ′(0)＝0，但由于当x <0和x >0时均有f ′(x )>0，所以x ＝0不是函数f (x )＝x 3的极值点．思考4 函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有________个极小值点． 【答案】 1例1 求函数f (x )＝13x 3－4x ＋4的极值．解 f ′(x )＝x 2－4.解方程x 2－4＝0，得x 1＝－2，x 2＝2. 由f ′(x )>0，得x <－2或x >2； 由f ′(x )<0，得－2<x <2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－2)－2 (－2,2) 2 (2，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )单调递增283单调递减－43单调递增由表可知：当x ＝－2时，f (x )有极大值f (－2)＝283；当x ＝2时，f (x )有极小值f (2)＝－43.反思与感悟 求可导函数f (x )的极值的步骤： (1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x )； (2)求方程f ′(x )＝0的根；(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间，并列成表格．检测f ′(x )在方程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值． 跟踪训练1 求函数f (x )＝3x＋3ln x 的极值．解 函数f (x )＝3x＋3ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－3x 2＋3x＝3x －1x 2. 令f ′(x )＝0，得x ＝1.当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：x (0,1) 1 (1，＋∞)f ′(x ) － 0 ＋ f (x )单调递减3单调递增因此，当x ＝1时，f (x )f 探究点二 利用函数极值确定参数的值思考 已知函数的极值，如何确定函数解析式中的参数？例2 已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，求常数a ，b 的值． 解 因为f (x )在x ＝－1时有极值0， 且f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′－1＝0，f－1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0.解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9.当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0， 所以f (x )在R 上为增函数，无极值，故舍去．当a ＝2，b ＝9时，f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)． 当x ∈(－3，－1)时，f (x )为减函数； 当x ∈(－1，＋∞)时，f (x )为增函数，所以f (x )在x ＝－1时取得极小值，因此a ＝2，b ＝9.反思与感悟 (1)利用函数的极值确定参数的值，常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)因为“导数值等于零”不是“此点为极值点”的充要条件，所以利用待定系数法求解后，必须验证根的合理性．跟踪训练2 设x ＝1与x ＝2是函数f (x )＝a ln x ＋b x 2＋x 的两个极值点． (1)试确定常数a 和b 的值；(2)判断x ＝1，x ＝2是函数f (x )的极大值点还是极小值点，并说明理由． 解 (1)∵f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x ，∴f ′(x )＝a x＋2bx ＋1. 由极值点的必要条件可知：f ′(1)＝f ′(2)＝0，∴a ＋2b ＋1＝0且a2＋4b ＋1＝0，解方程组得，a ＝－23，b ＝－16.(2)由(1)可知f (x )＝－23ln x －16x 2＋x ，且函数f (x )＝－23ln x －16x 2＋x 的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝－23x －1－13x ＋1＝－x －1x －23x.当x ∈(0,1)时，f ′(x )＜0；当x ∈(1,2)时，f ′(x )＞0； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＜0； 所以，x ＝1是函数f (x )的极小值点，x ＝2是函数f (x )的极大值点．探究点三 函数极值的综合应用 例3 设函数f (x )＝x 3－6x ＋5，x ∈R . (1)求函数f (x )的单调区间和极值；(2)若关于x 的方程f (x )＝a 有三个不同的实根，求实数a 的取值范围．所以，f (x )的单调递增区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)； 单调递减区间为(－2，2)．当x ＝－2时，f (x )有极大值5＋42； 当x ＝2时，f (x )有极小值5－4 2.(2)由(1)的分析知y ＝f (x )的图象的大致形状及走向如图所示．所以，当5－42＜a＜5＋42时，直线y＝a与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，即方程f(x)＝a有三个不同的实根．反思与感悟用求导的方法确定方程根的个数，是一种很有效的方法．它通过函数的变化情况，运用数形结合思想来确定函数图象与x轴的交点个数，从而判断方程根的个数．跟踪训练3 若函数f(x)＝2x3－6x＋k在R上只有一个零点，求常数k的取值范围．f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是单调增函数．f(x)的极大值为f(－1)＝4＋k，f(x)的极小值为f(1)＝－4＋k.要使函数f(x)只有一个零点，只需4＋k<0或－4＋k>0(如图所示)或即k<－4或k>4.∴k的取值范围是(－∞，－4)∪(4，＋∞)．☆课堂提高☆1．“函数y＝f(x)在一点的导数值为0”是“函数y＝f(x)在这点取得极值”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】 B【解析】对于f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，不能推出f(x)在x＝0处取极值，反之成立．故选B.2．函数y＝1＋3x－x3有( )A ．极小值－2，极大值2B ．极小值－2，极大值3C ．极小值－1，极大值1D ．极小值－1，极大值3 【答案】 D∴当x ＝－1时，函数有极小值，y 极小＝－1. 当x ＝1时，函数有极大值，y 极大＝3.3．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】 A【解析】 由f ′(x )的图象可知，函数f (x )在区间(a ，b )内，先增，再减，再增，最后再减，故函数f (x )在区间(a ，b )内只有一个极小值点． 4．下列函数中，x ＝0是极值点的是( ) A ．y ＝－x 3B ．y ＝cos 2x C ．y ＝tan x －xD ．y ＝1x【答案】 B【解析】 y ＝cos 2x ＝1＋cos2x 2，y ′＝－sin2x ，x ＝0是y ′＝0的根且在x ＝0附近，y ′左正右负，∴x ＝0是函数的极大值点． 5．求下列函数的极值：f (x )＝x 3－22x －12；【解析】 函数的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)． ∵f ′(x )＝x －22x ＋12x －13，令f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－1)－1 (－1,1) 1 (1,2) 2 (2，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 －＋ 0 ＋ f (x )单调递增－38单调递减单调递增3单调递增故当x ＝－1时，函数有极大值， 并且极大值为f (－1)＝－38，无极小值．6．设函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ，在x ＝1和x ＝－1处有极值，且f (1)＝－1，求a 、b 、c 的值，并求出相应的极值．又f (1)＝－1，则有a ＋b ＋c ＝－1，此时函数的表达式为f (x )＝12x 3－32x .∴f ′(x )＝32x 2－32.令f ′(x )＝0，得x ＝±1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )变化情况如下表：x (－∞，－1)－1 (－1,1) 1 (1，＋∞)f ′(x ) ＋－＋f (x )极大值1极小值－1由上表可以看出，当x ＝－1时，函数有极大值1；当x ＝1时，函数有极小值－1.。
高中数学 1.3.2函数的极值与导数教案 新人教A版选修2-2-新人教A版高二选修2-2数学教案
1.3.2 函数的极值与导数教学建议1.教材分析本节让学生结合实际,探索函数的极值与导数之间的关系,并用大量的函数图象,让学生直观感受函数在某些特殊点(极值点)的函数值与附近点函数值大小的关系,以及在这些点附近函数的增减情况和导数值的关系.本节的重点是求函数极值的方法,难点是函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.主要问题及教学建议(1)从函数的单调性到极值.建议教师利用实例并结合大量的函数图象,让学生观察,并感受在导数为0的点的两侧导数值与函数增减性的关系,并具体说明,给出极大值和极小值的概念.要强调极值反映的是函数在某点附近的性质,是局部性质,而且极大值不一定大于极小值.(2)函数极值的求法.建议教师在学生掌握极值的概念的基础上,建立极值和导数的联系,通过例子讲解归纳出求函数极值的方法和步骤.备选习题1.如果函数y=f(x)的导函数的图象如图所示,给出下列判断:(1)函数y=f(x)在区间内单调递增;(2)函数y=f(x)在区间内单调递减;(3)函数y=f(x)在区间(4,5)内单调递增;(4)当x=2时,函数y=f(x)有极小值;(5)当x=-时,函数y=f (x)有极大值.则上述判断中正确的是.解析:由导函数的图象知:当x∈(-∞,-2)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(-2,2)时,f'(x) >0,f(x)单调递增;当x∈(2,4)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(4,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;在x=-2时,f(x)取极小值;在x=2时,f(x)取极大值;在x=4时,f(x)取极小值;所以只有(3)正确.答案:(3)2.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-2处取得极值,并且它的图象与直线y=-3x+3在点(1,0)处相切,求a,b,c的值.解:因为f'(x)=3x2+2ax+b,所以f'(-2)=3×(-2)2+2a(-2)+b=0.所以12-4a+b=0.又f'(1)=3+2a+b=-3,所以a=1,b=-8.又f(x)过(1,0)点,所以13+a×12+b×1+c=0,所以c=6.3.已知a∈R,讨论函数f(x)=e x(x2+ax+a+1)的极值点的个数.解:f'(x)=e x(x2+ax+a+1)+e x(2x+a)=e x[x2+(a+2)x+(2a+1)].令f'(x)=0,得x2+(a+2)x+(2a+1)=0.(1)当Δ=(a+2)2-4(2a+1)=a2-4a=a(a-4)>0,即a<0或a>4时,方程x2+(a+2)x+(2a+1)=0有两个不同的实根x1,x2,不妨设x1<x2,∴f'(x)=e x(x-x1)(x-x2).当x变化时,f'(x),f(x)即此时f(x)有两个极值点.(2)当Δ=0,即a=0或a=4时,方程x2+(a+2)x+(2a+1)=0有两个相同的实根x1=x2, ∴f'(x)=e x(x-x1)2.∴当x<x1时,f'(x)>0;当x>x1时,f'(x)>0.∴f(x)无极值点.(3)当Δ<0,即0<a<4时,x2+(a+2)x+(2a+1)>0,f'(x)=e x[x2+(a+2)x+(2a+1)]>0,∴f(x)为增函数,此时f(x)无极值点.综上所述,当a>4或a<0时,f(x)有两个极值点;当0≤a≤4时,f(x)无极值点.。
高中数学_函数的极值与导数教学设计学情分析教材分析课后反思
《§1.3.2函数的极值与导数》教案图2 图31. 根据图2回答以下问题：①指出哪些是极大值点、极小值点.②极大值一定比极小值大吗？2.图3是导函数'()=y f x 的图像，试找出函数()=y f x 的极值点，并指出哪些是极大值点，哪些是极小值点.探究二：求函数的极值 例题：求函数31()443=-+f x x x 的极值.变式1：求函数3()3=-f x x x 的极值，并画出它的大致图象.变式2：求函数()ln =-f x x x 的极值.方法小结：求函数极值的步骤： 变式3：函数344()3=-+f x x x c 的极大值为103，求c 的值.思考题：导数值为0的点一定是函数的极值点吗？举例说明.例题.学生独立完成后，老师点评. 变式练习1主要是巩固如何求函数的极值.练习2主要是让学生时刻注意函数的定义域. 方法小结 学生总结求函数极值的步骤.变式3除了巩固求函数的极值以外，主要目的是为思考题埋下伏笔. 思考题:通过变式3和前面练习2的铺垫学生能够比较顺利的解决》 学生谈收获，包括知识和能力方面.课后习题分为A,B【课堂小结】【课后习题】A 组：1.求下列函数的极值：（1）2()62f x x x =++； （2）3()48f x x x =-.2. 函数232y x x =--的极值情况是（ ）A ．有极大值，没有极小值B ．有极小值，没有极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值也极小值3. 三次函数当1x =时，有极大值4；当3x =时，有极小值0，且函数过原点，则此函数是（ ）A ．3269y x x x =++B ．3269y x x x =-+C ．3269y x x x =--D ．3269y x x x =+-4．如图是导函数()y f x '=的图象,在标记的点中，在哪一点处 （1）导函数()y f x '=有极大值？ （2）导函数()y f x '=有极小值？ （3）函数()y f x =有极大值？ （4）导函数()y f x =有极小值？B 组：1. 函数322()f x x ax bx a =--+在1x =时有极值10，则a 、b 的值为（ ）A ．3,3a b ==-或4,11a b =-=B ．4,1a b =-=或4,11a b =-=C ．1,5a b =-=D ．以上都不正确组，A 组习题是针对本节课的内容进行练习，是必做题目.B 组题目，主要是提高题目，是选做题.实践作业，丰富学生的知识面，提高学生的数学思维品质，感受数学来源于生活并服务于生活.《函数的极值与导数》学情分析函数的极值与导数是理科选修2-2第一章第三节第三课时的内容。
高中数学_函数的极与导数教学设计学情分析教材分析课后反思
《函数的极值与导数》的教学设计【教学目标】知识目标：1、了解函数极大值、极小值的概念；2、能够运用求极大值、极小值的方法求函数的极值；3、掌握求可导函数极值的步骤。
能力目标：培养学生分析、探索、类比和数形结合等数学思想方法在解决问题中的应用能力，培养学生自主探究的能力，深化研究函数性质的思想方法；情感、态度与价值观：让学生体会数学来源于生活，体会从感性到理性的思维过程，体会数形结合思想；让学生亲身经历数学研究的过程，体验创造的激情，享受成功的喜悦，感受数学的魅力。
[教学重点]能够运用求极大值、极小值的方法求函数的极值。
[教学难点] 理解函数极大值、极小值的概念。
[教学方法] 情景教学法、合作探究法、讨论法、启发式教学法、讲授法等相结合。
[设计思路] 通过正、余弦函数的图像及实例引入并归纳周期函数的定义及最小正周期的定义通过一些判断正误的题目对定义的内涵和外延加以理解。
由周期的定义得出正、余弦函数的周期及正弦型函数和余弦型函数的周期公式，然后利用公式解决问题。
教学过程中通过问题设置层层递进，循序渐进，通过讨论，发挥学生主体作用，在此基础上提高学生的理解能力和分析解决问题的能力。
[教学过程]本节课的教学过程由（一）复习引入（二）新课探究（三）应用举例1（四）归纳总结（五）反馈练习（六）布置作业，六个教学环节构成。
（一）复习引入1、复习：函数的极值与导数的正负有什么关系？2、利用函数的导数求函数单调性的步骤是什么？（二）新课探究通过设计几个小问题，数学结合，自然引入极值的概念。
利用函数极值定义并结合函数图像分析探究以下几个问题:1、函数极值考察的是整体性质还是局部性质？2、函数会不会有多个极小或极大值点？3、极小值一定比极大值小吗？4、导数为零的点一定是极值点吗？5、怎样确定函数的极小值点、极大值点？6、怎样求函数的极值呢?《函数的极值与导数》学情分析在前面的学习中，学生已经有了一定的知识准备。
不过鉴于我校学生的水平普遍偏低，理解和应用知识的能力稍显不足，所以在教学中，有必要从基础入手，层层深入，努力提升认识水平，力争让尽可能多的学生达到知识的融会贯通。
高中数学 1.3.2函数的极值与导数学情分析 新人教A版选
2015高中数学 1.3.2函数的极值与导数学情分析 新人教A 版选修2-1学情分析学生已经初步学习了函数极值与导数的关系，但还不够深入，因此在学习上还有一定困 难。
本节课能够进一步提高学生运用导数研究函数的能力，充分利用数形结合思想，体会导数的工具作用。
考虑到我校学生的实际情况，利用问题导学的方式，让学生自主探究，一步步接近“事实的真相”，掌握本节课的重点；并在问题辨析中，突破难点。
通过小组活动，让学生体验竞争的氛围，又通过合作体验成功的喜悦。
效果分析本节课是一节新授课，关键是概念的教学，是学生认知和课本知识相统一的一节课。
学生根据老师的教学设计，一个步骤接一个步骤的完成了本节课的教学。
以问题导学的方式，引导学生去解决一个个的问题，通过小组讨论的方式理解重点，突破难点。
在最后的练习巩固的过程中，让学生板演，展示自己的掌握程度；通过提问，让学生自行总结本节课的内容。
通过课下的评测练习，也反映部分学生在细节方面的不足。
教材分析1：从函数的单调性到极值结合实际问题，让学生从生活经验探索数学知识——函数的极值与导数值变化之间的关系。
从图像上看非常的直观，为了使学生有“眼见为实”的感觉，让学生自己画出一个函数的图像，学生会直观感觉到在a x =附近，导数的正负与函数单调性的关系。
教科书给出大量的函数图像，让学生观察图像，直观感受函数在某些特殊点（极值点）的函数值与附近点的函数值大小之间的关系，并直观感受函数在这些点的导数值以及在这些点附近函数的单调性情况。
课本以图1.3.10为例，进行了具体说明，在此基础上，给出了函数的极大值和极小值的概念。
需要特别说明的是，极大值和极小值反映的是函数在某点附近的性质，是局部性质。
而且极大值不一定小于极小值。
2：关于例4的说明求三次多项式函数的单调区间以及极值是本节的重点，例4给出了求三次多项式函数极值的方法，表格直观清楚，容易看出具体的变化情况，并且能判断出是极大值还是极小值，最后得出函数的极值。
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2015高中数学 1.3.2函数的极值与导数学情分析 新人教A 版选修
2-1
学情分析
学生已经初步学习了函数极值与导数的关系，但还不够深入，因此在学习上还有一定困 难。
本节课能够进一步提高学生运用导数研究函数的能力，充分利用数形结合思想，体会导数的工具作用。
考虑到我校学生的实际情况，利用问题导学的方式，让学生自主探究，一步步接近“事实的真相”，掌握本节课的重点；并在问题辨析中，突破难点。
通过小组活动，让学生体验竞争的氛围，又通过合作体验成功的喜悦。
效果分析
本节课是一节新授课，关键是概念的教学，是学生认知和课本知识相统一的一节课。
学生根据老师的教学设计，一个步骤接一个步骤的完成了本节课的教学。
以问题导学的方式，引导学生去解决一个个的问题，通过小组讨论的方式理解重点，突破难点。
在最后的练习巩固的过程中，让学生板演，展示自己的掌握程度；通过提问，让学生自行总结本节课的内容。
通过课下的评测练习，也反映部分学生在细节方面的不足。
教材分析
1：从函数的单调性到极值
结合实际问题，让学生从生活经验探索数学知识——函数的极值与导数值变化之间的关系。
从图像上看非常的直观，为了使学生有“眼见为实”的感觉，让学生自己画出一个函数的图像，学生会直观感觉到在a x =附近，导数的正负与函数单调性的关系。
教科书给出大量的函数图像，让学生观察图像，直观感受函数在某些特殊点（极值点）的函数值与附近点的函数值大小之间的关系，并直观感受函数在这些点的导数值以及在这些点附近函数的单调性情况。
课本以图1.3.10为例，进行了具体说明，在此基础上，给出了函数的极大值和极小值的概念。
需要特别说明的是，极大值和极小值反映的是函数在某点附近的性质，是局部性质。
而且极大值不一定小于极小值。
2：关于例4的说明
求三次多项式函数的单调区间以及极值是本节的重点，例4给出了求三次多项式函数极值的方法，表格直观清楚，容易看出具体的变化情况，并且能判断出是极大值还是极小值，最后得出函数的极值。
图像是函数性质的直观载体，课本上提供的图像可以为我们的结论提供直观验证。
3：函数在某点的导数值为0是取得极值的必要条件，而非充分条件
需要特别说明的是，导数值为0的点不一定是函数的极值点。
例如3)(x x f =。
函数在某点取得极值的充分条件是：（1）导数为0；（2）此点左右两边单调性不一致。