2020北京首师大附中高一(下)期中数学(A卷)含答案

2020北京首师大附中高一（下）期中数学（A卷）一、单选题1．（3分）已知α∈R，2sinα﹣cosα＝，则＝（）A．B．﹣7 C．D．2．（3分）已知x＞0，y＞0，2x+y＝2，则xy的最大值为（）A．B．1 C．D．3．（3分）设U＝{1，2，3，4，5}，A＝{2，5}，B＝{2，3，4}，A∪（∁U B）＝（）A．{5} B．{1，2，3，4，5} C．{1，2，5} D．∅4．（3分）已知函数f（x）＝，则f[f（）]的值是（）A．B．C．4 D．95．（3分）已知a、b为实数，则2a＞2b是log2a＞log2b的（）A．必要非充分条件B．充分非必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（3分）已知集合M＝{x|x2﹣x﹣12＞0}，N＝{x|﹣4＜x＜5}，则M∩N＝（）A．R B．（﹣3，4）C．（4，5）D．（﹣4，﹣3）∪（4，5）7．（3分）高铁、扫码支付、共享单车、网购被称为中国的“新四大发明”，为评估共享单车的使用情况，选了n座城市作实验基地，这n座城市共享单车的使用量（单位：人次/天）分别为x1，x2，…，x n，下面给出的指标中可以用来评估共享单车使用量的稳定程度的是（）A．x1，x2，…x n的平均数B．x1，x2，…x n的标准差C．x1，x2，…x n的最大值D．x1，x2，…x n的中位数8．（3分）集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≥0}，B＝{x|x2﹣4＞0}，则A∩（∁R B）＝（）A．[﹣2，﹣1] B．[﹣1，2）C．[﹣1，1] D．[1，2）9．（3分）某位居民站在离地20m高的阳台上观测到对面小高层房顶的仰角为60°，小高层底部的俯角为45°，那么这栋小高层的高度为（）A．20（1+）m B．20（1+）m C．10（）m D．20（）m10．（3分）关于函数f（x）＝x+sin x，下列说法错误的是（）A．f（x）是奇函数B．f（x）是周期函数C．f（x）有零点D．f（x）在上单调递增二、填空题11．（3分）设函数f（x）是定义在R上的偶函数，记g（x）＝f（x）﹣x2，且函数g（x）在区间[0，+∞）上是增函数，则不等式f（x+2）﹣f（2）＞x2+4x的解集为12．（3分）设，不等式sinα﹣cos2β﹣m≤0对满足条件的α，β恒成立，则实数m的最小值为．13．（3分）在平面直角坐标系xOy中，在x轴、y轴正方向上的投影分别是﹣3、4，则与平行的单位向量是．14．（3分）为了了解家庭月收入x（单位：千元）与月储蓄y（单位：千元）的关系，从某居民区随机抽取10个家庭，根据测量数据的散点图可以看出x与y之间具有线性相关关系，其回归直线方程为，若该居民区某家庭月收入为7千元，据此估计该家庭的月储蓄为千元．15．（3分）已知函数f（x）＝，若f（a）＝1，则实数a的值是．三、解答题16．我市某苹果手机专卖店针对苹果6S手机推出无抵押分期付款购买方式，该店对最近购买苹果6S手机的100人进行统计（注：每人仅购买一部手机），统计结果如下表所示：付款方式分1期分2期分3期分4期分5期频数35 25 a10 b已知分3期付款的频率为0.15，请以此100人作为样本估计消费人群总体，并解决以下问题：（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求“购买手机的3名顾客中（每人仅购买一部手机），恰好有1名顾客分4期付款”的概率；（Ⅲ）若专卖店销售一部苹果6S手机，顾客分1期付款（即全款），其利润为1000元；分2期或3期付款，其利润为1500元；分4期或5期付款，其利润为2000元．用X表示销售一部苹果6S手机的利润，求X的分布列及数学期望．17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a cos C+c cos A＝a（1）求证：A＝B（2）若A＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．18．如图，在等腰直角三角形OPQ中，∠POQ＝90°，OP＝2，点M在线段PQ上．（1）若OM＝，求PM的长；（2）若点N在线段MQ上，且∠MON＝∠POM＝30°，求△OMN的面积．19．已知，，α，β∈（0，π）（1）求tan（α+β）的值；（2）求函数的最大值．20．已知定义在R上的偶函数f（x）满足：当x≥0时，．（1）求实数a的值；（2）用定义法证明f（x）在（0，+∞）上是增函数；（3）求函数f（x）在[﹣1，2]上的值域．21．（12分）已知函数f（x）＝log a（ax2﹣（a+1）x+1）（1）求函数f（x）的定义域；（2）若对任意x∈[2，+∞）恒有f（x）＞0，试确定a的取值范围．2020北京首师大附中高一（下）期中数学（A卷）参考答案一、单选题1．【分析】首先把已知等式两边平方，然后化弦为切，求得tanα，进而求得tan2α，从而求出的值．【解答】解：已知等式两边平方得，即，即3tan2α﹣8tanα﹣3＝0，解得，所以，从而＝﹣7．故选：B．【点评】本题考查的知识要点：三角关系式的恒等式变换，解方程等运算问题．2．【分析】利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵x＞0，y＞0，且2x+y＝2，∴xy＝（2x•y）≤（）2＝，当且仅当x＝，y＝1时取等号，故则xy的最大值为，故选：A．【点评】熟练掌握基本不等式的性质是解题的关键．3．【分析】进行补集、并集的运算即可．【解答】解：∁U B＝{1，5}；∴A∪（∁U B）＝{1，2，5}．故选：C．【点评】考查列举法的定义，以及补集、并集的运算．4．【分析】利用分段函数，先求f（）的值，然后求f[f（）]的值即可．【解答】解：由分段函数可知f（）＝，所以f[f（）]＝f（﹣2）＝．故选：A．【点评】本题主要考查分段函数的应用，以及指数函数和对数函数的求值问题，比较基础．5．【分析】分别解出2a＞2b，log2a＞log2b中a，b的关系，然后根据a，b的范围，确定充分条件，还是必要条件．【解答】解：2a＞2b⇒a＞b，当a＜0或b＜0时，不能得到log2a＞log2b，反之由log2a＞log2b即：a＞b＞0可得2a＞2b成立．故选：A．【点评】本题考查对数函数的单调性与特殊点，必要条件、充分条件与充要条件的判断，是基础题．6．【分析】求出集合M，N，由此能求出M∩N．【解答】解：集合M＝{x|x2﹣x﹣12＞0}＝{x|x＜﹣3或x＞4}，N＝{x|﹣4＜x＜5}，∴M∩N＝（﹣4，﹣3）∪（4，5）．故选：D．【点评】本题考查交集的求法，考查并集、交集、子集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．【分析】利用方差或标准差表示一组数据的稳定程度．【解答】解：表示一组数据x1，x2，…x n的稳定程度是方差或标准差．故选：B．【点评】本题考查了利用方差或标准差表示一组数据的稳定程度，是基础题．8．【分析】解一元二次不等式得集合A，B，再求∁R B＝[﹣2，2]，进而求交集．【解答】解：∵集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≥0}＝{x|x≤﹣1或x≥3}，又B＝{x|x2﹣4＞0}＝{x|x＜﹣2或x＞2}，则∁R B＝[﹣2，2]，则A∩（∁R B）＝[﹣2，﹣1]，故选：A．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．9．【分析】由题意作出图形，解三角形即可得出所求．【解答】解：依题意作图如下：AB＝20m，仰角∠DAE＝60°，俯角∠EAC＝45°，在等腰直角△ACE中，AE＝EC＝20m，在直角△DAE中，∠DAE＝60°，∴DE＝AE tan60°＝20m，∴小高层的高度为CD＝（20+20）＝20（1+）m．故选：B．【点评】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了作图与运算能力，是基础题．10．【分析】根据题意，依次分析选项，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝x+sin x，依次分析选项：对于A，f（x）的定义域为R，且f（﹣x）＝﹣x﹣sin x＝﹣f（x），则f（x）为奇函数，故A正确；对于B，根据周期的定义，可知它一定不是周期函数，故B错误；对于C，因为f（0）＝0+sin0＝0，f（x）在上有零点，故C正确；对于D，由于f'（x）＝1+cos x≥0，故f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，故D正确；故选：B．【点评】本题考查函数的奇偶性、周期性、单调性的判断，涉及函数的零点，属于基础题．二、填空题11．【分析】根据题意，分析可得g（x）为偶函数，进而分析可得f（x+2）﹣f（2）＞x2+4x⇒f（x+2）﹣（x+2）2＞f（2）﹣4⇒g（x+2）＞g（2），结合函数的奇偶性与单调性分析可得|x+2|＞2，解可得x的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，g（x）＝f（x）﹣x2，且f（x）是定义在R上的偶函数，则g（﹣x）＝f（﹣x）﹣（﹣x）2＝f（x）﹣x2＝g（x），则函数g（x）为偶函数，f（x+2）﹣f（2）＞x2+4x⇒f（x+2）﹣（x+2）2＞f（2）﹣4⇒g（x+2）＞g（2），又由g（x）为增函数且在区间[0，+∞）上是增函数，则|x+2|＞2，解可得：x＜﹣4或x＞0，即x的取值范围为（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）；故答案为：（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意分析g（x）的奇偶性与单调性，属于基础题．12．【分析】等式sinα﹣cos2β﹣m≤0对满足条件的α，β恒成立，可得m≥sinα﹣cos2β的最大值，根据所给的函数式，整理出sinα＝﹣sinβ，求得sinβ的范围，代入要求的三角函数式，整理出关于sinβ的二次函数形式，根据正弦函数的值域，得到函数的最大值，可得所求范围．【解答】解：∵sinα+sinβ＝，sinα＝﹣sinβ，由，可得﹣≤sinβ≤1，sinα﹣cos2β＝﹣sinβ﹣（1﹣sin2β）＝（sinβ﹣）2﹣，当sinβ＝﹣时，上式取得最大值，且为，等式sinα﹣cos2β﹣m≤0对满足条件的α，β恒成立，可得m≥sinα﹣cos2β的最大值，可得m≥，即m的最小值为．故答案为：．【点评】本题考查三角函数的化简求值和二次函数的性质，本题解题的关键是整理出关于正弦函数的二次函数的形式，问题转化成二次函数的最值，考查变形能力和运算能力，属于中档题．13．【分析】首先由题意可得＝（﹣3，4），再除以向量的模，再考虑反向的情况即可．【解答】解：∵在x轴、y轴正方向上的投影分别是﹣3、4，∴＝（﹣3，4），||＝＝5．则的单位向量＝±（）．故答案为：±（）．【点评】本题考查的知识要点：向量的求法及应用，单位向量的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．14．【分析】直接把x＝7代入线性回归方程得答案．【解答】解：由，取x＝7，得．∴估计该家庭的月储蓄为1.7千元．故答案为：1.7．【点评】本题考查线性回归方程，是基础的计算题．15．【分析】因为函数f（x）为分段函数，所以须分a≥0以及a＜0两种情况分别代入对应的解析式来求出a，最后综合即可．【解答】解：因为f（a）＝1，且f（x）＝．所以当a≥0时，有f（a）＝2a﹣1＝1⇒2a＝2⇒a＝1；当a＜0时，有f（a）＝﹣a2﹣2a＝1⇒（a+1）2＝0⇒a＝﹣1．综上得：a＝±1．故答案为：±1．【点评】本题考查有理指数幂的化简求值以及分段函数函数值的求法，是基础题．三、解答题16．【分析】（Ⅰ）由题意得，由此能求出a，b．（Ⅱ）设事件A为“购买一部手机的说名顾客中，恰好有1名顾客分4期付款”，由题意得：随机抽取一位购买者，分4期付款的概率为0.1，由此能求出“购买手机的3名顾客中（每人仅购买一部手机），恰好有1名顾客分4期付款”的概率．（Ⅲ）记分期付款的期数为ξ，依题意得P（ξ＝1）＝0.35，P（ξ＝2）＝0.25，P（ξ＝3）＝0.15，P（ξ＝4）＝0.1，P（ξ＝5）＝0.15，X的可能取值为1000元，1500元，2000元，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，∴a＝15，又35+25+a+10+b＝100，解得b＝15．（Ⅱ）设事件A为“购买一部手机的说名顾客中，恰好有1名顾客分4期付款”，由题意得：随机抽取一位购买者，分4期付款的概率为0.1，∴P（A）＝＝0.243．（Ⅲ）记分期付款的期数为ξ，依题意得P（ξ＝1）＝0.35，P（ξ＝2）＝0.25，P（ξ＝3）＝0.15，P（ξ＝4）＝0.1，P（ξ＝5）＝0.15，∵X的可能取值为1000元，1500元，2000元，P（X＝1000）＝P（ξ＝1）＝0.35，P（X＝1500）＝P（ξ＝2）+P（ξ＝3）＝0.4，P（X＝2000）＝P（ξ＝4）+P（ξ＝5）＝0.25，∴X的分布列为：X 1000 1500 2000P 0.35 0.4 0.25∴EX＝1000×0.35+1500×0.4+2000×0.25＝1450．【点评】本题考查统计表的应用，考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．17．【分析】（1）法一：由正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形的内角和定理，诱导公式可得sin B＝sin A，结合范围A，B∈（0，π），可证A＝B．法二：由余弦定理化简已知等式即可证明A＝B．（2）由已知及（1）可知C＝，利用三角形的面积公式可求a，b的值，利用余弦定理可求c的值，即可得解三角形的周长．【解答】解：（1）法一：∵a cos C+c cos A＝a，∴由正弦定理，可得sin A cos C+cos A sin C＝sin A，即sin（A+C）＝sin A，又∵A+C＝π﹣B，∴sin B＝sin A，又∵A，B∈（0，π），∴A＝B或A+B＝π（舍去），∴A＝B．法二：∵a cos C+c cos A＝a，∴由余弦定理可得a•+c•＝a，整理可得2b2＝2ab，∴a＝b，∴A＝B．（2）∵A＝，由（1）可知C＝π﹣（A+B）＝，又∵△ABC的面积为＝ab sin C，且a＝b，∴a2＝，∴a＝b＝2，∵由余弦定理可得c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝4+4﹣2×2×2×（﹣）＝12，∴c＝2，∴△ABC的周长为4+2．【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形的内角和定理，诱导公式，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18．【分析】（1）在△OPQ中，由余弦定理得，OM2＝OP2+MP2﹣2•OP•MP cos45°，解得MP即可．（2）∠POM＝α，0°≤α≤60°，在△OMP中，由正弦定理求出OM，同理求出ON，推出三角形的面积，利用两角和与差的三角函数化简面积的表达式，通过α的范围求出面积的最大值．【解答】（本题满分为12分）解：（1）在△OMP中，∠OPM＝45°，OM＝，OP＝2，由余弦定理得，OM2＝OP2+MP2﹣2OP•MP•cos45°，…（2分）得MP2﹣4MP+3＝0，解得MP＝1或MP＝3．…（6分）（2）设∠POM＝α，0°≤α≤60°，在△OMP中，由正弦定理，得：，……（8分）所以OM＝＝2﹣2，同理ON＝2﹣2，……（10分）故S△OMN＝＝8﹣4，即∠POM＝30°时，△OMN的面积的最小值为8﹣4．…（12分）【点评】本题考查正弦定理以及余弦定理，两角和与差的三角函数的在解三角形中应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．19．【分析】（1）先由cosβ求sinβ，进而求tanβ，再利用公式tan（α+β）＝解之；（2）先由tanα求出sinα、cosα，再利用公式sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ与cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ化简函数f（x），最后根据﹣1≤sin x≤1求出f（x）的最大值．【解答】解：（1）由，β∈（0，π）得，所以tanβ＝2，于是tan（α+β）＝．（2）因为所以＝故f（x）的最大值为．【点评】本题主要考查两角和与差的三角函数公式．20．【分析】（1）由当x≥0时，，解得实数a的值；（2）任取0＜x1＜x2，作差判断f（x1）﹣f（x2）的符号，进而由定义，中得f（x）在（0，+∞）上是增函数；（3）由（1）（2）中的结论，可得函数f（x）在[﹣1，2]上的值域．【解答】（本题满分12分）解：（1）∵当x≥0时，即f（1）＝2+，∴a＝1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）（2）．任取0＜x1＜x2，＝＝．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）∵0＜x1＜x2，∴，，得：f（x1）﹣f（x2）＜0∴f（x1）＜f（x2），∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）（3）由（1）得：当x≥0时，故，，由（2）得：（x）在[﹣1，0]为减函数，在[0，2]为增函数，∴f（x）的值域为[2，]﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）【点评】本题考查的知识点是函数的单调性，函数的奇偶性，函数求值，函数的值域，难度中档．21．【分析】（1）化简ax2﹣（a+1）x+1＞0为（ax﹣1）（x﹣1）＞0，从而求函数的定义域；（2）讨论a＞1与0＜a＜1，从而化恒成立问题为最值问题．【解答】解：（1）ax2﹣（a+1）x+1＞0得，（ax﹣1）（x﹣1）＞0，解得，a＞1时，定义域为{x|x＜或x＞1}，当0＜a＜1时，定义域为{x|x＜1或x＞}；（2）①当a＞1时，f（x）＞0，即ax2﹣（a+1）x+1＞1，即ax2﹣（a+1）x＞0，又对任意x∈[2，+∞）恒有ax2﹣（a+1）x＞0，故a＞（）max，故a＞1；②当0＜a＜1时，由f（x）＞0得，ax2﹣（a+1）x+1＜1，即a＜（）min，故a≤0；综上所述，a＞1．【点评】本题考查了函数的性质的应用及恒成立问题的处理方法，属于基础题．。