高二数学培优辅导资料函数(二)
高二数学第二册知识点归纳
高二数学第二册知识点归纳高二数学第二册主要包含了一些高中数学的进阶知识点，这些知识点是建立在高一数学基础之上的，对于学生的数学能力提升起着至关重要的作用。
本文将对该册的知识点进行归纳总结，帮助同学们更好地掌握和理解这些知识。
1. 函数与导数函数与导数是高中数学中的重点和难点，而在高二数学第二册中，对函数和导数的学习进一步深入。
主要的知识点有：- 函数的性质和一些常用函数的图像特点- 导数的定义和导数法则- 函数的增减性与极值问题，包括极值判定和求极值的方法- 函数的单调性与曲线的凹凸性，包括判定和求解- 复合函数的导数计算- 高阶导数和导数的应用，如泰勒公式等2. 数列与数列极限数列与数列极限是高中数学的基础知识，高二数学第二册进一步拓展了数列的相关概念和应用。
主要的知识点有：- 数列的概念和性质，包括等差数列和等比数列等- 数列极限的定义和性质，如夹逼定理等- 递推数列和递推数列极限的计算和应用- 函数极限与数列极限的关系- 无穷数列的极限计算和性质3. 三角函数与其应用三角函数是高等数学中重要的工具，也是高中数学的重点内容之一。
一些新的概念和应用在高二数学第二册中进行了深入学习。
主要的知识点有：- 基本概念和关系，如正弦函数、余弦函数和正切函数等- 三角函数的性质和图像- 三角函数的诱导公式、化简公式和和差公式- 各种特殊角的计算和性质- 三角方程的求解和应用，包括三角函数方程和三角方程组4. 概率与统计概率与统计是高中数学的拓展内容，相比于前几个知识点，它们更侧重于一种运算和分析思维。
主要的知识点有：- 随机事件的概念和性质，包括基本事件、对立事件和复合事件等- 概率的计算与性质，包括古典概型和几何概型等- 条件概率与乘法定理- 随机变量的概念和性质，包括离散随机变量和连续随机变量等- 统计数据的收集、整理和分析方法，包括频数分布表和统计图表等- 正态分布的概念和性质，以及正态分布的应用以上是高二数学第二册的主要知识点归纳，通过对这些知识的学习和理解，同学们将能够建立更牢固的数学基础，为高中数学的学习打下坚实的基础。
高二数学必修二知识点
高二数学必修二知识点高二数学必修二包含了许多重要的数学知识点，本文将对这些知识点进行详细讲解。
一、函数与导数1.1 函数基本概念函数是一种特殊的关系，它把一个集合中的每个元素都对应到另一个集合中的唯一元素。
函数的定义域、值域和一一对应性是我们需要了解的重要概念。
1.2 导数与函数的变化率导数是函数在某一点处的变化率，它能够描述函数的陡峭程度。
导数的定义、性质以及在函数图像上的几何意义是高二数学中的重要内容。
二、指数与对数函数2.1 指数函数的性质指数函数是以常数为底数、自变量为指数的函数，它在数学和科学中都有广泛的应用。
指数函数的图像特点、指数函数方程的解法以及指数函数的运算性质是我们需要掌握的知识点。
2.2 对数函数的性质对数函数是指数函数的逆运算，它能够描述指数运算中未知数的指数。
对数函数的定义、性质以及对数方程的解法都是我们需要学习的内容。
三、三角函数与向量3.1 三角函数的基本概念正弦函数、余弦函数和正切函数是我们常见的三角函数，它们能够描述角度与边长之间的关系。
三角函数的定义、图像特点、周期性以及三角函数的运算法则是我们需要了解的知识点。
3.2 向量的基本概念向量是有大小和方向的量，它在数学和物理中有着广泛的应用。
向量的表示方法、运算法则以及向量和平面几何的关系是我们需要了解和掌握的内容。
四、平面解析几何4.1 平面直角坐标系平面直角坐标系是描述平面上任意点的坐标系，它由坐标轴、坐标原点和单位长度确定。
平面直角坐标系中点、向量的坐标表示以及平面上的距离公式是我们需要学习的知识。
4.2 直线和圆的方程直线和圆是平面解析几何中重要的图形，它们的方程可以通过点、向量或者距离来表示。
直线和圆的方程、性质以及直线与圆的交点求解都是我们需要掌握的内容。
以上就是高二数学必修二的知识点概述，希望能够帮助到你。
通过深入学习这些知识点，相信你能够更好地理解和应用数学。
祝你学习顺利！。
高二数学第二册知识点总结
高二数学第二册知识点总结第一章函数与导数1.1 函数的概念与性质1.2 初等函数的性质和图像1.3 函数的运算1.4 导数的概念1.5 导数的运算法则1.6 导数与函数的关系1.7 函数的应用第二章数列与级数2.1 数列的概念2.2 等差数列2.3 等比数列2.4 数列的和与级数2.5 数列、级数在实际问题中的应用第三章平面解析几何3.1 向量的基本概念3.2 向量的线性运算3.3 平面向量与平面直角坐标系3.4 点、直线、圆的方程3.5 空间直角坐标系中的曲线3.6 平面向量的应用第四章立体几何4.1 空间向量4.2 向量数量积4.3 向量与平面4.4 点、直线、面及其方程4.5 空间几何问题的解法第五章概率与数理统计5.1 基本概念5.2 古典概型的概率5.3 条件概率及其性质5.4 事件的独立性5.5 随机变量的概念5.6 随机变量的分布及其性质5.7 数理统计的基本方法高二数学第二册知识点总结一、函数与导数1.1 函数的概念与性质函数的概念：函数是一种对应关系，将定义域的每个元素都对应到值域的一个元素上。
如果对于定义域的每个元素x，有唯一的值域元素y与之对应，则称y是x的函数值，记作y=f(x)。
其中x是自变量，y是因变量。
函数的性质：函数的定义域和值域是函数的重要性质。
函数的值域是所有可能的函数值的集合，而定义域是所有可能的自变量的集合。
函数的奇偶性、周期性以及单调性也是其重要的性质。
1.2 初等函数的性质和图像初等函数是常见的数学函数，包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等。
它们在定义域内具有特定的性质和特征，比如指数函数y=a^x的图像在x>0时是递增的，在x<0时是递减的。
1.3 函数的运算函数的加减乘除、复合函数和反函数是常见的函数运算。
复合函数是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入，可以表示为f(g(x))。
反函数是指将一个函数的自变量和因变量对调得到的函数，通常表示为y=f(x)的反函数为x=f^(-1)(y)。
高二数学培优辅导资料函数(二)
高二数学培优辅导资料 函数（二）一，选择题 1.函数)2,(21-∞-+=在x ax y 上为增函数,则实数a 的取值范围是（） A.21->a B.21>a C.21<a D.21-<a2.已知函数0)(,)1,1(213)(00=--+=x f x a ax x f 使得上存在在,则a 的取值范围是（） A.511<<-aB.51>aC.1-<a 或51>a D.1-<a3.设21,,x x R k ∈是方程01222=-+-k kx x 的两根,则2221x x +的最小值为（ ） A.－2B.0C.1D.24、设函数2()21f x ax ax =+-对于满足13x <<的一切()0f x <，则a 的取值范围是（ ） A 、10,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭B 、(],0-∞C 、()1,00,15⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D 、1,15⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭5. 已知函数224)(2-+-=x x x f ，则它是（）A ．偶函数B ．既是奇函数又是偶函数C ．奇函数D ．既不是奇函数又不是偶函数 6．函数xx xx x x f cos 22)4sin(2)(22++++=π的最大与最小值分别为M, N ， 则( )A 、4=-N MB 、4=+N MC 、2=-N MD 、2=+N M7. 对于任意实数x ，若不等式34(0)x x a a -+->>恒成立，则实数a 应满足（）A. 01a <<B. 01a <≤C. 1a >D. 1a ≥ 8设2(0)()(1)(0)x a x f x f x x -⎧-≤=⎨->⎩，若()f x x =有且仅有两个实数解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(),2-∞B ．[)1,2C ．[)1,+∞D ．(],1-∞ 9．设函数,0x ,10x ,1)x (f ⎩⎨⎧<>-= 则)b a (2)b a (f )b a ()b a (≠-⋅--+ 的值为 （ ） A ．a B ．b C ．a, b 中较小的数 D ．a, b 中较大的数10.如果23()1log 2log 9log 64x x x f x =-+-，则使()0f x <的x 的取值范围为（）A. 01x <<B. 813x << C. 1x <<+∞ D.83x <<+∞ 11.函数y=f(x+1)与y=f(1－x)的图象关于( )A.y 轴对称B.原点对称C.直线x=1对称D.关于y 轴对称且关于直线x=1对称 12.函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>≤-)1|(|||)1|(|12x x x x ，如果方程f(x)=a 有且只有一个实根，那么a 满足( )A.a<0B.0≤a<1C.a=1D.a>1 13．如果100,0,log log 3x y x y y x >>+=， 144xy =，那么x y +的值是（ ）ABCD 14. 设函数)10()(||≠>=-a a a x f x 且，f （－2）＝9，则 （ ） A. f （－2）＞f （－1） B. f （－1）＞f （－2） C. f （1）＞f （2） D. f （－2）＞f （2） 152007=的正整数解(,)x y 的组数是（ ） A ．1组 B. 2 组 C. 4组 D. 8组16．.已知⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥-≥03030y x y x y ,则x 2+y 2的最大值是17. 若2|1||1|2x ax -≤+--≤对x ∈R 恒成立，则实数a 的个数为（）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）无数个 解: 只有1a =±时，原不等式恒成立. 选C. 18．函数4218y x x =--+的部分图象是（）ABC D 19、设)(n f 为正整数n （十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如14321)123(222=++=f ，记)()(1n f n f =，))(()(1n f f n f k k =+，，⋯=,3,2,1k 则)2006(2006f ＝（ ）A.20B. 4C. 42D. 145二，填空题20．对于任意实数t ，不等式212sin 212()2t t x -+≥恒成立，则x 的取值范围是__________。
高二数学函数的单调性与导数2精品PPT课件
o
x
令6x2－12x<0,解得,0<x<2
∴当x ∈(0,2)时，f(x)是减函数。
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演 稿
3 等
唯宝网唯宝网 太孓夻
示 1
后
文 2
知识点：
定理：
一般地，函数y＝f（x）在某个区间内可导：
如果恒有 如果恒有 如果恒有
步骤：
，则 f(x)在是增函数。 f’(x)>0
，则 f(x)是减函数。 f’(x)<0
3.3.1函数的单调性与导数
情境设置 探索研究 演练反馈 创新升级 总结提炼 作业布置
画出下列函数的图像，并根据图像指出每个函数的单调区间
y 1 x
yx2 2x1 y 3x
y
y
y
o
x
1
o
x
1
o
x
在（－ ∞ ，0）和（0, ＋ ∞）上分别是减函数。
但在定义域上不是减函数。
在（－ ∞ ，1）上是减 函数，在（1, ＋∞）上 是增函数。
作业布置：
书本P107 A 1.（1）（2）,2.（2）(4). 第二教材 A
为方便学习与使用课件内容，
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Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal
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新课引入
y 1
o
1.在x＝1的左边函数图像的单 调性如何？
2.在x＝1的左边函数图像上的各
x 点切线的倾斜角为
(锐角/
钝角)?他的斜率有什么特征？
2024年高考数学复习培优讲义专题2-指对同构(朗博同构)(含解析)
题1-2 指对同构（朗博同构）【常见同构形式】（1）乘积模型：ln ln ()ln ln ln ()ln ln ln ln(ln )()ln a b x aa a aeb e f x xe ae b b e e b b f x x x a a b b f x x x ⎧<⋅⇒=⎪<⇒<⇒=⎨⎪+<+⇒=+⎩（2）商式模型：ln ()ln ln ln ()ln ln ln ln ln(ln )()ln a aa ab x e b xf x e b x e b e e e f x a b a b x a a b b f x x x ⎧<⇒=⎪⎪⎪<⇒<⇒=⎨⎪−<−⇒=−⎪⎪⎩（3）和差模型：ln ln ln ()ln ln ln ln ()ln a a aaa b xe e b bf x x xe a b b e e e bf x e x ⎧±<±⇒=±±<±⇒⎨±<±⇒=±⎩【六大超越函数图像】（6）2020新高考1卷21（2）1．已知函数1()ln x f x ae x lna −=−+，若f （x ）≥1，求a 的取值范围．2022新高考1卷第22题2．已知函数()x f x e x =−和()ln g x x x =−，证明：存在直线y b =，其与两条曲线()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．2022全国甲卷（理）21题3．已知函数()ln xf x x a xx e −=+−．(1)若()0f x ≥，求a 的取值范围；(2)证明：若()f x 有两个零点12,x x ，则121x x <．2023新高考1卷T19（2） 同构+切线放缩或2次求导4．已知函数()()x f x a e a x =+−，证明：当a ＞0时，3()2ln 2f x a >+.2022全国乙卷（理）16题5．已知1x x =和2x x =分别是函数2()2e x f x a x =−（0a >且1a ≠）的极小值点和极大值点．若12x x <，则a的取值范围是 ．题型一 一元同构2023深圳高二下期末·21（2）1．已知2()()x f x axe a R =∈，若关于x 的()2ln 0f x x x −−≥恒成立，求实数a 的取值范围.重点题型·归类精讲2．若关于x 的不等式ln ln 0e xx a a xx+−>对()0,1x ∀∈恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1,e ⎛⎤−∞ ⎥⎝⎦B ．1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭C ．1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦宁波九校高三上期末·22（2） 3．已知函数1()ln 2f x x x x x ⎛⎫=+− ⎪⎝⎭，e 是自然对数的底数．若不等式2()(1)4axf x a e x ≤+−对0x ∀＞恒成立，求实数a 的取值范围．江苏盐城2023届高三5月三模·22 4．已知函数()(ln ).x a f x e e a x =−+ (1)当a ＝1时，求()f x 的单调递增区间； (2)()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围．湖南九校联盟第二次联考·16 5．已知不等式))(1ln (0xa x e a a e −⎡⎤≥>⎢⎥⎣⎦恒成立,则实数a 的最大值为_______湖南省2023届高三下3月考试·16 6．已知e 是自然对数的底数．若()0x ∀∈+∞，，e ln mx m x ≥成立，则实数m 的最小值是 ．7．若不等式0x ae lnx lna −+恒成立，则a 的取值范围是( )A ．1[,)e +∞B ．2[,)e +∞C ．[,)2e+∞D ．[e ，)+∞湖北鄂东南联考 ·88．已知函数()ln x f x x x xe k −=−−−恒有零点，则实数k 的取值范围是( )A ．(],1−∞−B ．1,1e⎛⎤−∞−− ⎥⎝⎦C ．11,1e⎡⎤−−−⎢⎥⎣⎦D ．11,0e⎡⎫−−⎪⎢⎣⎭福建龙岩九校联考·16 9．已知函数mx x m x f −+=)1ln()(，若不等式x e x x f −+>1)(在()+∞,0上恒成立，则实数m 的取值范围是____________ .湖南常德3月模拟10．已知不等式ln()x x a e a +≤−对[1,)x ∀∈+∞恒成立，则a 的取值范围为 ．浙江省衢州、丽水、湖州三地市2023高三下学期4月教学质量检测·8 11．对任意的实数0x >，不等式22ln ln 0x ae x a −+≥恒成立,则实数a 的最小值为( )e2eC.2eD.12e2022湖北四地七校高二下期中·712．已知实数a ＞0，不等式()0x e aln ax -＞恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．1<<a e eB ．0＜a ＜1C ．0＜a ＜eD ．a ＞e湖南郴州高二下期末·16 13．函数．若对任意，都有，则实数m 的取值范围为_________．2023湖南邵阳二模·8 14．若不等式()1e 1ln 10txt x x ⎛⎫−−−≥ ⎪⎝⎭对任意[)2e 1,x ∞∈++恒成立，则正实数t 的取值范围是（ ）A. ln2,2e 1∞⎡⎫+⎪⎢+⎣⎭B. ln21,2e 1∞+⎡⎫+⎪⎢+⎣⎭C. ln210,2e 1+⎛⎫ ⎪+⎝⎭ D. ln2ln21,2e 12e 1+⎡⎤⎢⎥++⎣⎦15．已知函数ln 0x f xe a ax a a a ，若关于x 的不等式0f x恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．],0(eB ．],0(2eC ．],1[2eD ．),1(2e()()()e1ln R mxf x m x x m =+−−∈0x >()0f x ≥16．关于x 的不等式ln 1axx e xe a x x−≤−−恒成立，则a 的取值范围为 ．2022衡阳市八中高二期末·16 17．已知函数1()(0)a x f x x alnx x a e=++−<，若()0f x 在[2x ∈，)+∞上恒成立，则实数a 的取值范围为 ． 2023届郴州三模·1618．设实数0m >，若对任意的21x e ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭，，不等式ln 1mx mx x e e m m mx−≥−恒成立，则实数m 的取值范围为 ．湖北省部分学校高三下5月适应性考试·14 19．对于任意实数0x >，不等式22e ln ln 0x a x a −+≥恒成立，则a 取值范围是__________.2023·广东惠州·一模T22(2)20．已知函数()2ln f x x a x =−，若函数()(2)e x f x a x x ≥+−恒成立，求实数a 的取值范围．2023·广东深圳·南山区高三上期末联考·22 21．已知定义在()0,∞+上的函数()e ax f x x =. (1)若R a ∈，讨论()f x 的单调性；(2)若0a >，且当()0,x ∈+∞时，不等式2e ln aax xx ax ⎛⎫≥⎪⎝⎭恒成立，求实数a 的取值范围.2023·广东汕头·一模T2222．已知函数()e ln(2)ln 2x f x a x a =−++−．(1)若函数()f x 在2023x =处取得极值，求a 的值及函数的单调区间； (2)若函数()f x 有两个零点，求a 的取值范围．的题型二 二元同构2022届山东聊城一模·823．已知正数x ，y 满足ylnx +ylny ＝e x ，则xy ﹣2x 的最小值为（ ） A ．1122n B ．222ln ﹣ C ．1122n −D ．222ln +24．实数x ，y 满足ln ln xe y x y y =+，则2ln xe y x−的最小值为________2022届T8第一次联考·825．设a ，b 都为正数，e 为自然对数的底数，若1a ae b blnb ++<，则( ) A ．ab e >B ．1a b e +>C ．ab e <D ．1a b e +<2023茂名市高三一模·1226．(多选)e 是自然对数的底数，,m n ∈R ，已知e ln ln m m n n n m +>+，则下列结论一定正确的是（ ） A ．若0m >，则0m n −> B ．若0m >，则e 0m n −> C ．若0m <，则ln 0m n +< D ．若0m <，则e 2m n +>河北省衡水中学2023届高三下学期第三次综合素养评价·16 27．若正实数a ，b 满足()1ln ln e a a b a a b −−+≥，则1ab的最小值为 ．28．设11110e ,11ln1.111a b ==，则（ ）A ．1ab a <<B ．1ab b <<C ．1a ab <<D ．1b ab <<题型三 局部同构华大新高考五月押题卷·1229．(多选)已知0λ＞，若关于x 的方程()1ln 0x e x x xλλλ−−+＝存在正零点，则实数λ的值可能为A ．1eB ．12C ．eD ．230．已知函数1ln )(−−=x ae x f x ，若0)(≥x f 恒成立，则实数a 的取值范围是 ．2023·广东·海珠区高三2月联考·22 31．已知函数()()1e 02x f x ax a =−≠． (1)讨论函数()f x 的单调性； (2)已知函数()()ln xg x f x x=−有两个零点，求实数a 的取值范围．2023·广东3月·中学生标准学术能力诊断测试联考模拟预测T22（2） 部分同构+放缩 32．设()()e xxf x x =∈R ，若(e )()(ln 1)x f x k x ⋅≤⋅+在()1,x ∈+∞上恒成立，求k 的取值范围.2023·广东·深圳中学5月适应性测试T22（1） 部分同构33．已知函数()e ln xf x ax a x x =−−，若不等式()0f x <恒成立，求实数a 的取值范围.题型四 同构+切线放缩2023佛山一模T1134．(多选)若正实数x ，y 满足()1e 1ln x x y y −=+，则下列不等式中可能成立的是（ ）A ．1x y <<B ．1y x <<C ．1x y <<D ．1y x <<巴蜀中学2023届高考适应性月考卷（八）T8——局部构造+切线放缩35．已知函数22ln 1()e x x f x x a x+=−−，当()0,x ∈+∞时，()0f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(2,e 1⎤−∞−⎦B ．(],e −∞C ．(],2−∞D ．(],1−∞2023届湖南四大名校5月“一起考”T736．若当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，关于x 的不等式2e cos cos lncos 1x x x x x ax −++≥恒成立，则满足条件的a 的最小整数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 437．（2023·广东珠海·高三联考模拟考试）已知函数()()()()ln 2R ,e 1xf x x ax ag x x x a x =−−∈=−−+.(1)求函数()f x 的单调区间；(2)若不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数a 的取值范围.38．（2023·广东·统考一模）已知函数()1e x f x x +=.(1)求()f x 的极值； (2)当0x >时，()()1ln 2f x a x x ≥+++，求实数a 的取值范围.补充练习杭州一模（高三上期末）T16——同构有一定难度，函数分析也比较麻烦1．已知不等式()ln ln 10,1()xa a a x a a >−>≠对)1,(x ∀∈+∞恒成立，a 的取值范围是________.2023湖北高三九师联盟1月·82．已知a ＞b ＞1，若1a a b e be ae a ++=+，则 A ．ln(a ＋b )＞1B ．ln(a －b )＜0C ．333a b −+<D ．133a b −<湖北名校联合体高三下学期开学考·163．已知关于x 的不等式()1ln 2x e a a ax a −+>−(0)a >恒成立，则实数a 的取值范围为________.4．对0x ∀>，恒有()112ln axa e x x x ⎛⎫+≥+⎪⎝⎭，则实数a 的最小值为________.专题1-2 指对同构（朗博同构）【常见同构形式】（1）乘积模型：ln ln ()ln ln ln ()ln ln ln ln(ln )()ln a b x aa a aeb e f x xe ae b b e e b b f x x x a a b b f x x x ⎧<⋅⇒=⎪<⇒<⇒=⎨⎪+<+⇒=+⎩（2）商式模型：ln ()ln ln ln ()ln ln ln ln ln(ln )()ln a aa ab x e b xf x e b x e b e e e f x a b a b x a a b b f x x x ⎧<⇒=⎪⎪⎪<⇒<⇒=⎨⎪−<−⇒=−⎪⎪⎩（3）和差模型：ln ln ln ()ln ln ln ln ()ln a a aaa b xe e b bf x x xe a b b e e e bf x e x⎧±<±⇒=±±<±⇒⎨±<±⇒=±⎩【六大超越函数图像】（6）2020新高考1卷21（2）1．已知函数1()ln x f x ae x lna −=−+，若f （x ）≥1，求a 的取值范围．【答案】[)1+∞， ［方法一］：【最优解】：同构由()1f x ≥得1e ln ln 1x a x a −−+≥，即ln 1ln 1ln a x e a x x x +−++−≥+，而ln ln ln x x x e x +=+，所以ln 1ln ln 1ln a x x e a x e x +−++−≥+．令()m h m e m =+，则()10m h m e +'=>，所以()h m 在R 上单调递增．由ln 1ln ln 1ln a x x e a x e x +−++−≥+，可知(ln 1)(ln )h a x h x +−≥，所以ln 1ln a x x +−≥，所以max ln (ln 1)a x x ≥−+． 令()ln 1F x x x =−+，则11()1xF x x x−'=−=． 所以当(0,1)x ∈时，()0,()F x F x '>单调递增； 当(1,)x ∈+∞时，()0,()F x F x '<单调递减． 所以max [()](1)0F x F ==，则ln 0a ≥，即1a ≥． 所以a 的取值范围为1a ≥． ［方法二］:换元同构由题意知0,0a x >>，令1x ae t −=，所以ln 1ln a x t +−=，所以ln ln 1a t x =−+． 于是1()ln ln ln ln 1x f x ae x a t x t x −=−+=−+−+．由于()1,ln ln 11ln ln f x t x t x t t x x ≥−+−+≥⇔+≥+，而ln y x x =+在,()0x ∈+∞时为增函数，故t x ≥，即1x ae x −≥，分离参数后有1x xa e −≥．令1()x x g x e −=，所以1112222(1)()x x x x x e xe e x g x e e −−−−−−−=='． 当01x <<时，()0,()g x g x >'单调递增；当1x >时，()0,()g x g x <'单调递减． 所以当1x =时，1()x x g x e−=取得最大值为(1)1g =．所以1a ≥．［方法三］：通性通法1()ln ln x f x ae x a −=−+,11()x f x ae x−'∴=−，且0a >.设()()g x f x =',则121()0,x g x ae x −'=+> ∴g(x)在(0,)+∞上单调递增，即()f x '在(0,)+∞上单调递增， 当1a =时，()01f '=,∴()()11min f x f ==,∴()1f x ≥成立.当1a >时，11a < ，111a e −<∴，111()(1)(1)(1)0a f f a e a a−''∴=−−<,∴存在唯一00x >，使得01001()0x f x ae x −'=−=，且当0(0,)x x ∈时()0f x '<，当0(,)x x ∈+∞时()0f x '>，0101x ae x −∴=，00ln 1ln a x x ∴+−=−， 因此01min 00()()ln ln x f x f x ae x a −==−+000011ln 1ln 2ln 122ln 1a x a a x a x x =++−+≥−+⋅=+>1, ∴()1,f x >∴()1f x ≥恒成立；当01a <<时， (1)ln 1,f a a a =+<<∴(1)1,()1f f x <≥不是恒成立. 综上所述，实数a 的取值范围是[1,+∞). ［方法四］：因为定义域为(0,)+∞，且()1f x ≥，所以(1)1f ≥，即ln 1a a +≥． 令()ln S a a a =+，则1()10S a a='+>，所以()S a 在区间(0,)+∞内单调递增． 因为(1)1S =，所以1a ≥时，有()(1)S a S ≥，即ln 1a a +≥． 下面证明当1a ≥时，()1f x ≥恒成立．令1()ln ln x T a ae x a −=−+，只需证当1a ≥时，()1T a ≥恒成立． 因为11()0x T a ea−=+>'，所以()T a 在区间[1,)+∞内单调递增，则1min [()](1)ln x T a T e x −==−． 因此要证明1a ≥时，()1T a ≥恒成立，只需证明1min [()]ln 1x T a e x −=−≥即可．由1,ln 1x e x x x ≥+≤−，得1,ln 1x e x x x −≥−≥−．上面两个不等式两边相加可得1ln 1x e x −−≥，故1a ≥时，()1f x ≥恒成立． 当01a <<时，因为(1)ln 1f a a =+<，显然不满足()1f x ≥恒成立．所以a 的取值范围为1a ≥．【整体点评】（2）方法一：利用同构思想将原不等式化成ln 1ln ln 1ln a x x e a x e x +−++−≥+，再根据函数()m h m e m =+的单调性以及分离参数法即可求出，是本题的最优解；方法二：通过先换元，令1x ae t −=，再同构，可将原不等式化成ln ln t t x x +≥+，再根据函数ln y x x =+的单调性以及分离参数法求出；方法三：利用导数判断函数()f x 的单调性，求出其最小值，由min 0f ≥即可求出，解法虽稍麻烦，但是此类题，也是本题的通性通法；方法四：由特殊到一般，利用(1)1f ≥可得a 的取值范围，再进行充分性证明即可2022新高考1卷第22题2．已知函数()x f x e x =−和()ln g x x x =−，证明：存在直线y b =，其与两条曲线()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列． 【解答】易得()f x 在()0,+∞↑，(),0−∞↓；()g x 在()0,1↓，()1,+∞↑只有y b =过()f x 与()g x 交点时，恰有3个不同交点 则有1223()()()()f x f x g x g x b ====，即12122233ln ln x xe x e x x x x x b −=−=−=−= ①∵111122ln ln xxxe x e e x x −==−− ，且1211,xe x <<，∴1212ln xe x x x =⇒= ② 又∵32ln 3332ln ln x x x x ex e x −=−=− ，且3200ln ,x x >>，∴2323ln x x x x e =⇒= ③由①②③可得：()()2132222ln 2xx x e x b x x b x +=+=++−=，证毕2022全国甲卷（理）21题3．已知函数()ln xf x x a x x e −=+−．(1)若()0f x ≥，求a 的取值范围；(2)证明：若()f x 有两个零点12,x x ，则121x x <． 【详解】（1）[方法一]：同构处理 由()0f x ≥得：ln ln 0x x e x x a −++−−≥令ln ,1t x x t −=≥，则()0tf t e t a =+−≥即t a e t ≤+ 令()[),1,tg t e t t =+∈+∞，则()'10tg t e =+>故()tg t e t =+在区间[)1,+∞上是增函数故()()min 11g t g e ==+，即1a e ≤+ 所以a 的取值范围为(,1]e −∞+ [方法二]：常规求导()f x 的定义域为(0,)+∞，则2111()1x f x e x x x ⎛⎫'=−−+ ⎪⎝⎭1111111x x x e e x x x x x ⎛⎫−⎛⎫⎛⎫=−+−=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭令()0f x '=,得1x =当(0,1),()0,()x f x f x '∈<单调递减当(1,),()0,()x f x f x >'∈+∞单调递增()(1)1f x f e a ≥=+−， 若()0f x ≥,则10e a +−≥,即1a e ≤+ 所以a 的取值范围为(,1]e −∞+ （2）法一：极值点偏移+同构简化计算由题知,()f x 一个零点小于1,一个零点大于1，不妨设121x x ，要证121x x <,即证121x x <因为121,(0,1)x x ∈,即证()121f x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭， 又因为()()12f x f x =,故只需证()221f x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即证11ln ln 0,(1,)x x e x x xe x x x x −+−−−>∈+∞同构，原不等式变形为：()1ln ln 1ln ln x x xxex x ex x+−++−>+ 令()xg x e x =+，则有1(ln )ln g x x g x x ⎛⎫−>+⎪⎝⎭即证：)1ln ln ,(1,x x x x x−>∈+∞+ 即证1()2ln 0(1,,)h x x x xx =+∈<+∞− ()()222121'()10,1x h x x x x x−−=−−=<>，即()h x 递减，故()(1)0h x h <=，证毕. [方法二]：对数平均不等式由题意得：()ln x xe ef x a x x=+−令1xe t x=>，则()ln f t t t a =+−，()1'10f t t =+>所以()ln g t t t a =+−在()1,+∞上单调递增，故()0g t =只有1个解又因为()ln x xe ef x a x x =+−有两个零点12,x x ，故1212x x e e t x x == 两边取对数得：1122ln ln x x x x −=−，即12121ln ln x x x x −=−()121212*ln ln x x x x x x −<−121x x <，即121x x <()121212*ln ln x x x x x x −<−121211212121222112ln ln ln ln ln x x xx xx x x x x x x x x x x −<⇔−⇔<−不妨设121x t x =>，则只需证12ln t t t <−构造()12ln ,1h t t t t t =−+>，则()22211'110h t t t t ⎛⎫=−−=−−< ⎪⎝⎭故()12ln h t t t t=−+在()1,+∞上单调递减故()()10h t h <=，即12ln t t t<−得证2023新高考1卷T19（2） 同构+切线放缩或2次求导4．已知函数()()x f x a e a x =+−，证明：当a ＞0时，3()2ln 2f x a >+. 解：即证：当a ＞0时，232ln 2xae a x a +−>+第一步，指数化，同构变形：()ln 2ln 2332ln ln ln 22a xa x ea x a e a x a a +++−>+⇒−+>−+ 第二步，换元：令ln t a x =+，t ∈R ，有23ln 2te t a a −>−+ 第三步，放缩：1t e t −≥（证明略），即证231ln 2a a >−+第四步，构造函数：令23()ln 2g a a a =−+，1'()2g a a a =−，故()g a 在202⎛⎫↑ ⎪ ⎪⎝⎭，，2,2⎫+∞↓⎪⎢⎪⎣⎭22132()ln ln 1122222g a g ⎛≤=−+=+< ⎝⎭2022全国乙卷（理）16题5．已知1x x =和2x x =分别是函数2()2e x f x a x =−（0a >且1a ≠）的极小值点和极大值点．若12x x <，则a的取值范围是 ．【答案】1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭【详解】[方法一]：转化法，零点的问题转为函数图象的交点因为()2ln 2e xf x a a x '=⋅−，所以方程2ln 2e 0x a a x ⋅−=的两个根为12,x x ，即方程ln e x a a x ⋅=的两个根为12,x x ，即函数ln x y a a =⋅与函数e y x =的图象有两个不同的交点，因为12,x x 分别是函数()22e x f x a x =−的极小值点和极大值点，所以函数()f x 在()1,x −∞和()2,x +∞上递减，在()12,x x 上递增， 所以当时()1,x −∞()2,x +∞，()0f x '<，即e y x =图象在ln x y a a =⋅上方 当()12,x x x ∈时，0fx，即e y x =图象在ln x y a a =⋅下方1a >，图象显然不符合题意，所以01a <<．令()ln x g x a a =⋅，则()2ln ,01xg x a a a '=⋅<<，设过原点且与函数()y g x =的图象相切的直线的切点为()00,ln x x a a⋅，则切线的斜率为()020ln x g x a a '=⋅，故切线方程为()0020ln ln x x y a a a a x x −⋅=⋅−，则有0020ln ln x x a a x a a −⋅=−⋅，解得01ln x a=，则切线的斜率为122ln ln eln a a a a ⋅=， 因为函数ln x y a a =⋅与函数e y x =的图象有两个不同的交点，所以2eln e a <，解得1e e a <<，又01a <<，所以11ea <<，综上所述，a 的取值范围为1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭．[方法二]：【通性通法】构造新函数，二次求导 ()2ln 2e x f x a a x '=⋅−=0的两个根为12,x x因为12,x x 分别是函数()22e x f x a x =−的极小值点和极大值点，所以函数()f x 在()1,x −∞和()2,x +∞上递减，在()12,x x 上递增，设函数()()()g 2ln xx f x a a ex '==−，则()()2g 2ln 2x x a a e '=−，若1a >，则()g x '在R 上单调递增，此时若()0g 0x '=，则()f x '在()0-,x ∞上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，此时若有1x x =和2x x =分别是函数()22(0x f x a ex a =−>且1)a ≠的极小值点和极大值点，则12x x >，不符合题意；若01a <<，则()g x '在R 上单调递减，此时若()0g 0x '=，则()f x '在()0,x −∞上单调递增，在()0,x +∞上单调递减，令()0g 0x '=，则02(ln )xea a =，此时若有1x x =和2x x =分别是函数()22(0x f x a ex a =−>且1)a ≠的极小值点和极大值点，且12x x <，则需满足()00f x '>，()()00002ln 20ln xe f x a a ex ex a ⎛⎫'=−=−> ⎪⎝⎭，即001ln 1ln x x a a <>，故()002ln ln ln 1ln x e a x a a ==>，所以11ea <<. [方法三]：同构+放缩（简证） ① 先得出01a << ② ()ln ln 2ln ln ln ln x a xx ae ea a ex ea ex x a a ⋅=⇒⋅=⇒=（ln 0x a >）③ 放缩：xxe e ex e x≥⇒≥()()221ln 11ln 01ln ee a a a ea >⇒<⇒−<<⇒<<题型一 一元同构2023深圳高二下期末·21（2）1．已知2()()x f x axe a R =∈，若关于x 的()2ln 0f x x x −−≥恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】1a e≥【简证】()2ln 0f x x x −−≥恒成立等价于()22ln 0xaxe x x −−≥恒成立，即()()ln 2ln 22ln 2ln 0x xx x aee x x ae x x +−+=−+≥，则有ln 22ln x xx xa e++≥令2ln t x x =+，t ∈R ，则有max1t t a e e ⎛⎫≥=⎪⎝⎭（构造函数求导得出最值，过程略） 总结：同构+分参2．若关于x 的不等式ln ln 0e xx a a xx+−>对()0,1x ∀∈恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1,e ⎛⎤−∞ ⎥⎝⎦B ．1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭C ．1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】B【分析】由题意可知0a >，且ln e ln e xx a xa x >对()0,1x ∀∈恒成立，设()ln x g x x =，则问题转化为()()e xg a g x >在()0,1上恒成立，利用导数说明函数的单调性，再分e 1x a ≥和0e 1x a <<两种情况讨论，结合函数的取值情况及单调性，分别计算可得.重点题型·归类精讲【详解】由题意可知0a >，ln e ln ln e x x a a x x +>，即ln e ln e x x a xa x >对()0,1x ∀∈恒成立． 设()ln x g x x =，则问题转化为()()e xg a g x >在()0,1上恒成立，因为()21ln xg x x−'=，所以当0e x <<时，()0g x '>，当e x >时，()0g x '<， 所以()g x 在()0,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减，又()10g =，所以当()0,1x ∈时，()0g x <；当()1,x ∈+∞时，()0g x >． ①在()0,1x ∈上，若e 1x a ≥恒成立，即1a ≥，()()e0xg a g x ≥>；②在()0,1x ∈上，若0e 1x a <<，则e x a x >恒成立，即1e xxa <<恒成立， 令()e x x h x =，()0,1x ∈，则()10ex xh x −'=>，所以()h x 在()0,1上单调递增， 所以()()11e h x h <=，所以11e a <≤，综上所述，实数a 的取值范围为1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭．故选：B ．宁波九校高三上期末·22（2） 3．已知函数1()ln 2f x x x x x ⎛⎫=+− ⎪⎝⎭，e 是自然对数的底数．若不等式2()(1)4axf x a e x ≤+−对0x ∀＞恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】实数a 的取值范围为2,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．12()(1)42ln 4(1)4ax ax f x a e x x x x a e x x ⎛⎫≤+−⇒+−≤+− ⎪⎝⎭，整理，同乘x 得：()2212ln (1)1ln (1)ax axx x a e x x ax e x ⎛⎫+≤+⇒+≤+ ⎪⎝⎭， 比较一下2种构造方式，方式1：令()x g x xe x =+，()'()11xg x x e =++，易错：由洛必达可知（选填时用）——这里用不了错了！()111lim 1lim 0x x x x x x x e e e −−→−∞→−∞+−∞+=====−+∞−−∞，故()'()110()xg x x e g x =++>⇒↑()11'()111x xx xx x e g x x e e e−−−+++=++=+=，令()1xh x e x =−+，易知()h x ≥2恒成立， 故()11()0'()0()xx x e e x h x g x g x −−++=−−++=−>⇒>⇒↑由()2222ln 21ln (1)ln ln axx ax x x ax e x ex axe ax +≤+⇒+≤+，则有2(ln )()g x g ax ≤，由单调性可知22min ln 2ln x x ax a x e⎛⎫≤⇒≥= ⎪⎝⎭参考ln xy x=图像可以快速得出答案，解答题还是要写一下求导过程. 方式2：()ln g x x x x =+总结：（1）求导通分看极值点即可，注意2个增区间之间用“，”而不是“∪”（2）先同构再判断单调性. 江苏盐城2023届高三5月三模·22 4．已知函数()(ln ).x a f x e e a x =−+ (1)当a ＝1时，求()f x 的单调递增区间； (2)()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）()1,+∞（2）(,1]−∞（1）解：当时，，，又，单调递增， ··············································· 2分 又，当时，当时，∴的单调递增区间为()1,+∞. ·························································· 4分 1a =()()1ln x f x e e x =−+()xe f x e x'=−()20xef x e x ''=+>()f x '∴()10f '=∴()0,1x ∈()0f x '<()1,x ∈+∞()0f x '>()f x(2)若恒成立，即恒成立.方法1：,,令， 则，在上单调递增，又，当时，故存在唯一正实数使得， ····················································· 6分 当时，，单调递减，当时，，单调递增，，由恒成立，得，由得，， ······ 8分 ∴，∴，∴，设，则恒成立，故在上递增，而，∴， 又且函数在上是增函数，故的取值范围为. ···································································· 12分 法2：同法一得，由得，∴ ，，故的取值范围为. ················· 12分方法3：令，则，，则，令，则， ················································ 8分 ∵，∴在上单调递增，当时，显然成立；当时，恒成立，即恒成立，可证（过程略），，，即，，综上，的取值范围为(,1]−∞. ······························································ 12分 ()0f x ≥()ln 0x ae e a x −+≥()ln x a af x e e x e a =−−()a x a x e xe e f x e x x−'=−=()x ag x xe e =−()0x x g x e xe '=+>()x ag x xe e ∴=−()0,+∞()00ag e =−<x →+∞()g x →+∞0x 00x a x e e =0x x <()0f x '<()f x 0x x >()0f x '>()f x ()()000min ln x a a f x f x e e x e a ∴==−−()0f x ≥()min 0f x ≥00x a x e e =00ln x x a +=()()00000min (2ln )0x xf x f x e x e x x ∴==−+≥0001(2ln )0x x x −+≥000(2ln )10x x x +−≤00012ln 0x x x +−≤1()2ln h x x x x=+−221()10h x x x '=++>()h x (0,)+∞(1)0h =001x <≤00ln x x a +=ln y x x =+(0,1]a (,1]−∞()()000min ln x a af x f x e e x e a ==−−00x a x e e =00ln x x a +=()000min00011ln ln aa a a a a a e f x e x e a e x e a e x a e a x x x ⎛⎫⎛⎫=−−=−−=+−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()20a a e a e a ≥−−≥()220a e a ∴−≥a (,1]−∞a e t =ln a t =()()ln ln ln x e t t x t tx ≥+=()()()ln ln ln tx xxe tx tx tx e ≥=()(0)xg x xe x =>()()ln()g x g tx ≥()()10x g x x e '=+>()(0)xg x xe x =>()0,+∞()ln 0tx ≤()()ln()g x g tx ≥()ln 0tx >()ln ln ln x tx t x ≥=+ln ln t x x ≤−ln 1x x −≥∴ln 1t ≤∴t e ≤a e e ≤∴1a ≤a方法4：∵恒成立，∴，即，同法3考查函数可得， ··········································· 7分 反之，当时，， 又可证（过程略），∴，∴恒成立，故的取值范围为. ···································································· 12分 补充：同构和型+放缩ln (ln )0(ln )ln ln ln x a x a x a x a x e x x e a x e e a x e a x e x x a e −−−+≥⇒≥+⇒−≥+⇒+≥+=+令()x g x e x =+↑，则有()min ()(ln )ln ln 1g x a g x x a x a x x −≥⇒−≥⇒≤−=总结：（1）两次求导+取点（2）法一和法二是整体求导再用隐零点处理，法三和法四是同构处理相对简单 湖南九校联盟第二次联考·16 5．已知不等式))(1ln (0xa x e a a e −⎡⎤≥>⎢⎥⎣⎦恒成立,则实数a 的最大值为_______ 【答案】2e[]ln ln (1)lnln (1)1ln ln(1)1ln ln(1)1x x x a x a a x e a e a a x e a x x x e a x e−−−≥⇒≥−−−+⇒≥+−⇒−+−≥−令()x g x e x =+↑，则有()2(ln )ln(1)ln ln(1)ln(1)ln 2ln g x a g x x a x x x a a e a −≥−⇒−≥−⇒−−≥⇒≥⇒≥可放缩补充：构造函数求导令ln(1)()g x x x −−＝，12()111x g x x x '−=−=−− 故g (x )在(1，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，因此min ()(2)2g x g ==. 因为不等式(1)ln(0)xa x e a a e−≥>恒成立，所以Ina ≤2，即2.a e ≤ 总结：指对分离，补全结构，最后的最值可以放缩得出. 补充：对右边的式子配凑也可以()0f x ≥(1)0f ≥a e e a ≥()(0)xg x xe x =>1a ≤1a ≤11x a a x −+≥+−ln 1,1x a x x e x a −≤−≥−+ln x a e a x −≥+()ln x ae e a x ≥+a (,1]−∞湖南省2023届高三下3月考试·166．已知e 是自然对数的底数．若()0x ∀∈+∞，，e ln mx m x ≥成立，则实数m 的最小值是 ． 【答案】1e解析：由ln e ln e ln ln mx mx x m x mx x x e x ≥⇒≥=⋅．令()e x f x x =，则()f x 在()0+∞，上单调递增， 且()()ln f mx f x ≥，所以ln mx x ≥，即ln xm x≥对()0x ∀∈+∞，恒成立． 令()ln xg x x =，则()21ln x g x x−'=，所以当()0e x ∈，时，()0g x '>；当()e x ∈+∞，时，()0g x '<， 故()g x 在[)1+∞，上的最大值是1e ，所以1e m ≥，即实数m 的最小值是1e ．故答案为：1e． 总结：同乘补全结构即可，入门型7．若不等式0x ae lnx lna −+恒成立，则a 的取值范围是( )A ．1[,)e +∞B ．2[,)e +∞C ．[,)2e+∞D ．[e ，)+∞【答案】A 【法一】：同构ln ln ln ln ln 0ln ln ln ln ln x a x a x x ae x a e e a x e a x x x e x +⇒+−+≥⇒≥+≥=+++构造函数()x g x e x =+，故ln ln ln ln (ln )(ln )a x x e a x e x g a x g x ++≥++≥+⇒ 而'()10x g x e =+>，则ln ln a x x +≥，即()max ln ln a x x ≥−令ln y x x =−，则1x y x '−=，故max 1y =−，则1ln 1a a e≥−⇒≥. 对于ln ln a x x +≥还可以直接分类参数：max1ln ln ln ln ln ln x xx xx a x x a x e a ee e ⎛⎫⎛⎫+≥⇒≥−=⇒≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 总结：需要同加x 才能补全结构 【法二】：整体求导、取点设()x f x ae lnx lna =−+，则0x >，0a >，1()x f x ae x∴'=−， 易知()f x '在(0,)+∞上为增函数，存在0(0,)x ∈+∞，使得0001()0x f x ae x '=−=， 即01x ae x =， 两边取对数，可得00lna x lnx +=−，当00x x <<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减， 当0x x >时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，000001()()2x min f x f x ae lnx lna x lna x ∴==−+=++， 不等式0x ae lnx lna −+恒成立，∴00120x lna x ++恒成立， ∴12x lna x +−恒成立， 00001122x x x x +⋅=，当且仅当01x =时取等号， 22lna ∴−，即1ae ，故a 的取值范围是1[e，)+∞．湖北鄂东南联考 ·88．已知函数()ln x f x x x xe k −=−−−恒有零点，则实数k 的取值范围是( )A ．(],1−∞−B ．1,1e⎛⎤−∞−− ⎥⎝⎦C ．11,1e⎡⎤−−−⎢⎥⎣⎦D ．11,0e⎡⎫−−⎪⎢⎣⎭方法1：同构要使()ln x f x x x xe k −=−−−恒有零点，只需ln ln l =n x x x k x x xe x x e e −−=−−−− 设ln x x t −=，求导可知(],1t ∈−∞−而t k t e =−，求导可知函数t k t e =−在(],1−∞−上单调递增，故1,1k e ⎛⎤∈−∞−⎥⎝⎦方法2：分参求导ln xk x x xe −=−−，令()ln xg x x x xe −=−−，则()1'()1111x x x g x e x x x e x e −−⎪=⎛⎫+−=−−− ⎝⎭∵110xx e −> 故()ln x g x x x xe −=−−在(]0,1递增，()1,+∞递减，故max 1()(1)1g x g e==−−，故选B.注：由常见不等式1x e x ≥+得到，即1100xx e x x e−−>⇒>； 或者令11()x x xe e h x e x x x −=−=，221'()x x x e h x e−=，因为0x >,故'()0h x > 方法3：直接求导（可以消掉k ）()()2111'()1xx x x x xxx x e x xe e x x f x x e e xe xe −−−−−=−+=++=，不难得出x x e −在()0,+∞上恒小于0，故()f x 在()0,1上单调递增，在[)1,+∞上递减，故max 1()(1)1f x f k e ==−−−，当0x →时，()f x →−∞，故()f x 的值域为1,1k e ⎛⎤−∞−−− ⎥⎝⎦，则11101k k e e−−−≥⇒≤−−. 福建龙岩九校联考·169．已知函数mx x m x f −+=)1ln()(，若不等式x e x x f −+>1)(在()+∞,0上恒成立，则实数m 的取值范围是____________ . 【答案】(],1−∞x e x x f −+>1)(在()+∞,0上恒成立等价于ln(1)1x m x mx x e +−>+−第一步，错位同构：()ln(1)1xm x x mx e +−+>−，第二步，构造对应函数：令()xg x mx e =−，则有[]ln(1)()g x g x +>第三步，分析单调性，定义域：易知0ln(1)x x <+<，故()g x 在()0,+∞上单调递减 第四步，由单调性求出参数范围：()min'()001xx g x m e x m e=−≤>⇒≤=总结：错位同构，很少见，最后要注意取等.湖南常德3月模拟10．已知不等式ln()x x a e a +≤−对[1,)x ∀∈+∞恒成立，则a 的取值范围为 ． 【答案】11a e −<≤−解析：易得：()ln()ln()x xx a e a x a x a x e +≤−⇒+++≤+，1a >−即：ln()ln()x a x x a e x e +++≤+，构造函数()xg x x e =+，∴()()()ln g x a g x +≤．易知()g x 在[1,)x ∈+∞为增函数；∴()ln x x a ≥+， 令()()ln h x x x a =−+，()111x a h x x a x a+−'=−=++， 当0a ≥时，()0h x '≥，()h x 在[1,)x ∈+∞为增函数，()()10h x h ≥≥，∴01a e ≤≤−；当10a −<<时，11a −>；[1,1)x a ∈−，()0h x '<；()1x a ∈−+∞，时，()0h x '≥； ∴()()min 110h x h a a =−=−≥，∴11a −<≤，综上：11a e −<≤−． 总结：最后不等式要注意x 取值范围 补充：对于()ln x x a ≥+，也可以分参()()()minln ln ln 1x x x x x a e x a e x a a e x e ≥+⇒≥+⇒≥+⇒≤−=−浙江省衢州、丽水、湖州三地市高三下学期4月教学质量检测·811．对任意的实数0x >，不等式22ln ln 0x ae x a −+≥恒成立,则实数a 的最小值为( )e2eC.2eD.12e【答案】D总结：指对分离，补全结构2022湖北四地七校高二下期中·712．已知实数a ＞0，不等式()0x e aln ax -＞恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．1<<a e eB ．0＜a ＜1C ．0＜a ＜eD ．a ＞e【解答】解：令f （x ）＝e x ﹣aln （ax ），a ＞0，x ∈（0，+∞），f ′（x ）＝e x ﹣在x ∈（0，+∞）上单调递增，x →0时，f ′（x ）→﹣∞；x →+∞时，f ′（x ）→+∞． ∴存在唯一x 0＞0，使得﹣＝0，即＝，x 0＝lna ﹣lnx 0，∴x ＝x 0时，函数f （x ）取得极小值即最小值，f （x 0）＝+ax 0﹣2alna ＞0，∴2﹣2lna ＞0，解得0＜a ＜e ． 总结：补全结构即可。
双曲线高二数学专题复习培优讲义
第02讲双曲线必备方法巧设双曲线方程：（1）与双曲线22221x y a b-=(a >0，b >0)有共同渐近线(离心率)的方程可表示为：2222(0)x y t t a b -=≠.有共同焦距的双曲线方程可表示为：22221x y a b λλ-=+-.（2）过已知两个点的双曲线方程可设为()2210mx ny mn +=<．易误提醒（1）双曲线的标准方程中对a ，b 的要求只是a >0，b >0易误认为与椭圆标准方程中a ，b 的要求相同．若a >b >0，则双曲线的离心率e ∈(；若a ＝b >0，则双曲线的离心率e ；若0<a <b ，则双曲线的离心率e >.当焦点在x 轴上，渐近线斜率为ba±，当焦点在y 轴上，渐近线斜率为a b±.（2）注意区分双曲线与椭圆中的a ，b ，c 的大小关系：在椭圆中222a b c =+，而在双曲线中222c a b =+.（3）易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系．当焦点在x 轴上，渐近线斜率为b a ±，当焦点在y 轴上，渐近线斜率为a b±.（4）在双曲线的焦点三角形12PF F 中，12F PF α∠=，点P 的坐标为00()x y ，，12PF F ∆的面积122=tan2PF F b S α△.考点一双曲线的定义及标准方程命题点1利用双曲线定义求轨迹方程例题1.1已知圆221:(3)1C x y ++=和圆222:(3)9C x y -+=，动圆M 同时与圆1C 及圆2C 相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为（）A ．2218y x -=B ．221(1)8y x x -=≤-C ．2218x y +=D ．221(1)8y x x -=≥命题点2双曲线定义的应用例题1.2过双曲线2213y x -=的右支上一点P 分别向圆1C ：22(2)4x y ++=和圆2C ：22(2)1x y -+=作切线，切点分别为,M N ，则22||||PM PN -的最小值为（）A ．5B ．4C ．3D ．2例题1.3（2021·湖南长沙市·长沙一中高三月考）已知椭圆1C 与双曲线2C 的焦点相同，离心率分别为1e ，2e，且满足21e =，1F ，2 F 是它们的公共焦点，P 是椭圆和双曲线在第一象限的交点，若12120F PF ∠=︒，则双曲线2C 的离心率为（）ABC ．2D规律方法求解双曲线定义及标准方程问题的两个注意点（1）在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时注意定义的转化应用．（2）求双曲线方程时一是标准形式判断；二是注意a ，b ，c 的关系易错易混．变式训练1.1如图，圆E ：(x ＋2)2＋y 2＝4，点F (2,0)，动圆P 过点F ，且与圆E 内切于点M ，求动圆P 的圆心P 的轨迹方程．1变式训练1.2（2018·湖南长沙市·雅礼中学高三月考（文））已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，()1,4A ，P 是双曲线右支上的动点，则PF PA +的最小值为________．变式训练1.3若12,F F 是双曲线221916x y -=的两个焦点.（1）若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离；（2）若P 是双曲线左支上的点，且122||3||F PF P =⋅，试求12F PF ∆的面积.考点二渐近线与离心率问题命题点1渐近线例题2.1已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 为双曲线C 上的一点，若线段1PF 与y 轴的交点M 恰好是线段1PF 的中点，21MF MO b ⋅=，其中，O 为坐标原点，则双曲线C 的渐近线的方程是（）A ．3y x =±B ．2y x =±C ．y x=±D ．12y x =±命题点2离心率例题2.2（1）（2021·湖南长沙市·雅礼中学高三月考）设双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，过1F 直线的l 分别与双曲线左､右两支交于M ，N 两点，且22F M F N ⊥，22F M F N =，则双曲线C 的离心率为___________.（2）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左,右焦点分别为()1,0F c -、()2,0F c ，A ,B 是圆()2224x c y c -+=与C 位于x 轴上方的两个交点(A在左支，B 在右支)，且12//F A F B ，则双曲线C 的离心率为（）A ．23B ．43C ．34+D ．54+命题点3渐近线和离心率的综合应用例题2.3已知0a b >>，椭圆1C 的方程为22221x y a b +=，双曲线2C 方程为22221x y a b -=，1C 与2C 的离心率之积为32，则2C 的渐近线方程为________.规律方法解决有关渐近线与离心率关系问题的方法（1）已知渐近线方程y ＝mx ，若焦点位置不明确要分|m |＝a b 或|m |＝ba 讨论．（2）注意数形结合思想在处理渐近线夹角、离心率范围求法中的应用．变式训练2.1已知双曲线C ：22219x y a -=(0a >)的左、右焦点分别为1F 、2F ，一条渐近线与直线430x y +=垂直，点M 在C 上，且26MF =，则1MF =（）A ．2或14B ．2C ．14D ．2或10变式训练2.2已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的两条渐近线均与圆()2224b x a y -+=相切，则双曲线C 的离心率为（）A B ．2C ．3D ．4变式训练2.3已知F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，过F 作与x 轴垂直的直线交双曲线于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆过坐标原点，则该双曲线的离心率为____________．考点三直线与双曲线的综合应用命题点1直线与双曲线的位置关系例题3.1设离心率为e 的双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，直线l 过焦点F ，且斜率为k ，则直线l 与双曲线C 的左、右两支都相交的充要条件是（）A ．221k e ->B ．221e k ->C ．221k e -<D ．221e k -<（2）已知直线y =与双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>有两个交点，则双曲线C 的离心率的取值范围是________.命题点2中点弦问题例题3.2（1）（2017·湖南长沙市·长郡中学高二月考（理））双曲线2221x y -=与直线10x y +-=交于P ，Q 两点，M 为PQ 中点，则OMk 为（）A ．12-B ．2-C ．12D ．2（2）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，斜率为12的直线l 交双曲线于M 、N ，O 为坐标原点，P 为MN 的中点，若OP 的斜率为2，则双曲线的离心率为（）A B C ．D ．4命题点3定点问题例题3.3已知双曲线C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率2e =，虚轴长为2．（1）求双曲线C 的标准方程；（2）若直线:l y kx m =+与双曲线C 相交于,A B 两点（,A B 均异于左、右顶点），且以AB 为直径的圆过双曲线C 的左顶点D ，求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标．规律方法解决直线与双曲线位置关系的两种方法（1）法一：解决此类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x (或y )的一元二次方程．利用根与系数的关系，整体代入．法二：根据直线的斜率k 与渐近线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系．（2）与中点有关的问题常用点差法．直线l 与双曲线22221x y a b-=相交于,A B ,M 为AB 的中点，则22AB OMb k k a⋅=.变式训练3.1已知双曲线2212x y m -=(12)m ≤≤的离心率为e ，直线:2l y x =-，则（）A ．存在m ，使得2e =B ．存在m ，使得直线l 与双曲线右支有一个公共点C ．存在m ，使得e =D ．存在m ，使得直线l 与双曲线右支有两个公共点变式训练3.2已知直线l :20x y -+=与双曲线C :22221x ya b-=(0a >，0b >)交于A ,B 两点，点()1,4P 是弦AB 的中点，则双曲线C 的离心率为（）A ．43B ．2C D。
高二数学选修2知识点总结
高二数学选修2知识点总结高二数学选修2是高中数学课程中的一部分，主要内容涵盖了高等数学的基础知识以及数学问题的解题技巧和方法。
本文将对高二数学选修2的知识点进行总结，以帮助同学们复习和提高数学成绩。
一、函数与导数1. 函数的概念：函数是一种映射关系，将一个自变量映射到一个因变量上。
2. 函数的性质：奇偶性、周期性、单调性、有界性等。
3. 导数的定义：导数表示函数在某一点处的变化率，可以用极限的概念来定义。
4. 导数的计算：常见函数的导数求法，如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
5. 函数的应用：利用导数解决最值、单调性、弦切线、曲线图形等问题。
二、不定积分与定积分1. 不定积分的概念：不定积分是导数的逆运算，表示函数的一族原函数。
2. 不定积分的基本积分公式：常见函数的不定积分求法。
3. 定积分的概念：定积分表示函数在一定区间上的累积量。
4. 定积分的性质：线性性、区间可加性、保号性等。
5. 定积分的计算：利用基本积分公式、换元积分法、分部积分法等方法求解。
三、向量与立体几何1. 向量的运算：向量的加法、数乘、模长以及内积、外积等。
2. 空间直线与平面：直线的方向向量、点向式方程、平面的法向量、点法式方程等。
3. 空间立体几何：平面与直线的位置关系、两个平面的位置关系、空间中的距离等。
四、概率与统计1. 概率的基本概念：样本空间、随机事件、概率的定义等。
2. 概率的计算：加法定理、乘法定理、全概率公式、贝叶斯公式等。
3. 随机变量与分布：离散随机变量、连续随机变量、常见分布的特点和应用。
4. 统计的基本概念：总体、样本、频数分布、统计量等。
5. 参数估计与假设检验：点估计、区间估计、正态总体的假设检验等。
总结：高二数学选修2是深化数学学习的重要课程，它涵盖了函数与导数、不定积分与定积分、向量与立体几何、概率与统计等知识点。
同学们在学习过程中要掌握各个知识点的概念、性质和计算方法，并能够熟练运用于解题。
高二下学期函数知识点归纳
高二下学期函数知识点归纳在高二下学期的数学学习中，函数是一个重要的知识点，我们需要掌握函数的定义、基本性质、常见类型以及相关的解题方法。
下面对这些内容进行归纳总结。
一、函数的定义与基本性质函数是一种特殊的关系，它把一个集合中的每个元素都对应到另一个集合中的唯一元素。
函数通常用f(x)表示，其中x是自变量，f(x)是函数的值或因变量。
函数的定义包括定义域、值域、图像等要素。
在函数的基本性质方面，我们需要了解以下几点：1. 定义域与值域：函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围；2. 单调性：函数可以是递增的、递减的或单调不变的；3. 奇偶性：函数可以是奇函数、偶函数或无奇偶性；4. 周期性：函数可以是周期函数或非周期函数；5. 定义的延拓：函数可以进行定义的延拓，扩展定义域。
二、函数的常见类型1. 一次函数：y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。
在求解一次函数方程、函数的图像特征等方面要有一定的熟练操作能力；2. 二次函数：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数且a ≠ 0。
需要掌握二次函数的图像、顶点坐标等特性，并能通过配方法或公式法求解二次方程；3. 指数函数：y = a^x，其中a > 0 且a ≠ 1。
需要了解指数函数的图像、性质，以及指数函数与对数函数的互逆性质；4. 对数函数：y = loga(x)，其中a > 0 且a ≠ 1。
需要熟悉对数函数的图像、性质，以及对数函数与指数函数的互逆性质；5. 幂函数：y = x^a，其中a为实数。
需要掌握幂函数的图像、性质，以及幂函数与指数函数的关系；6. 三角函数：包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
需要熟悉三角函数的图像、周期性质、奇偶性质等。
三、函数的解题方法在解题过程中，我们可以运用函数的性质与解题技巧来求解各种函数相关的题目。
以下是一些常见的解题方法：1. 函数的图像与性质：通过函数的图像、单调性、奇偶性等来解决不等式、最值等问题；2. 函数的运算与复合：通过函数的运算、复合来求解函数的值、函数的方程等；3. 函数的求导与极值：运用导数的概念和性质求解函数的最值、拐点等问题；4. 函数的方程与不等式：通过解方程、解不等式的方法求解函数的零点、定义域等问题。
高二第二册数学知识点总结
高二第二册数学知识点总结高二数学是学生们学习数学的重要阶段，也是数学知识深化和拓展的时期。
高二数学知识点繁多，内容涵盖代数、几何、三角、解析几何等多个方面。
本文将对高二第二册数学知识点进行总结，并针对每个知识点进行详细的介绍和解析，帮助学生们更好地理解和掌握数学知识。
一、函数与导数1. 函数及其图像函数是数学中的重要概念，其是一种特殊的对应关系，即对于定义域内的每一个自变量，都有唯一的因变量与之对应。
在高二数学中，学生需要掌握函数的定义、性质、图像以及函数的求导等内容。
2. 导数的概念与性质导数是函数在某一点的变化率，其是函数的一阶导数。
在高二数学中，学生需要掌握导数的定义、性质、导数的计算方法以及导数与函数图像之间的关系等内容。
3. 导数应用在高二数学中，导数是一个非常重要的工具，它在物理、化学、生物等领域有着广泛的应用。
学生需要掌握导数在最值问题、曲线的凹凸性、函数的单调性等方面的应用方法。
二、数列1. 等差数列与等比数列等差数列是指一个数列中的相邻两项之差都相等，等比数列是指一个数列中的相邻两项的比值都相等。
在高二数学中，学生需要掌握等差数列与等比数列的性质、通项公式、前n项和的计算方法等内容。
2. 数列的极限在数列的学习中，学生需要掌握数列的极限的概念、性质以及数列极限存在的条件等内容。
3. 递推数列递推数列是指一个数列中的每一项都是由前面的一项或几项推出来的，学生需要掌握递推数列的通项公式、前n项和的计算方法等内容。
三、三角函数1. 基本概念在高二数学中，学生需要掌握三角函数的定义、性质、图像以及周期性等内容。
2. 三角函数的性质与图像学生需要掌握三角函数的奇偶性、周期性、对称性等性质，以及三角函数的图像、变化规律等内容。
3. 三角函数的应用三角函数在物理、工程、地理等领域有着广泛的应用，学生需要掌握三角函数在角度的测量、直角三角形、平面直角坐标系中的应用方法。
四、解析几何1. 直线与圆解析几何中，学生需要掌握直线与圆的方程、性质及其相互关系等内容。
高二数学函数的单调性与导数2
G=(a,b)
y
o
a
b
x
o
a
b
x
导数与函数的单调性的关系
一般地， 设函数y＝f（x），
1)如果在某区间上f′(x)>0，那么f（x） 为该区间上的增函数，
2)如果在某区间上f′(x)<0，那么f（x） 为该区间上的减函数。
y
y=f(x)
y
y=f(x)
o
a
b
x
o a
b
x
利用导数讨论函数单调的步骤:
3 2
求a的取值范围
1 a 3
求参数
1 已知函数（ f x） 2ax 2 ，x (0 ,1],若（ f x）在 x x (0 ,1]上是增函数，求a的取值范围. 2 解：由已知得 f '(x ) 2a 3 x
因为函数在（0，1]上单调递增
2 f '(x)>0, 即a - 3 在x （0， 1]上恒成立 x 1
a -1时，（ f x）在(0, 1)上是增函数 所以 a的范围是 [-1， + ）
在某个区间上，f '(x )>0(或<0) ，f（x）在这个区间上单调递增 （递减）；但由f（x）在这个区间上单调递增（递减）而 仅仅得到 f '(x )>0(或<0) 是不够的。还有可能导数等于0 也能使f（x）在这个区间上单调， 所以对于能否取到等号的问题需要单独验证
1 2
x
o
1
x
o
(C)
(D)
函数y x cos x sin x在下面哪个区间内是增函数(B ) 3 3 5 A. ( , ) B. ( ,2 ) C . ( , ) D. (2 ,3 ) 2 2 2 2
新高二数学暑假培优班第3讲 二次函数(二)(P)
二次函数（二）【知识要点】一、怎样处理有关二次方程的根的问题?【典型例题】例1．设有一元二次方程()()02122=++-+m x m x ，试问：（1）m 为何值时，有一正根，有一负根；（2）m 为何值时，有一根大于1，有一根小于1；（3）m 为何值时，有两正根；例2.（1）关于240x x x a +-=的方程有实数解，求a 的取值范围（2）关于240[3,0]x x x a +-=-的方程在区间 上有实数解，求a 的取值范围例3.x 讨论关于的方程24310x x a -+--=的解的情况。
例4.已知a 是实数，关于230x x ax -+=的方程在区间[1,4]上有解，求a 的取值范围．例5.已知关于x 的方程2410[0,3]ax x a -+-=在区间上有实数解，求a 得取值范围。
例6．已知函数()()132+-+=x m mx x f 的图象与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数的m 的范围。
课堂训练及作业：1．关于x 的方程()()02122=-+-+a x a x 的一根比1大，另一根比1小，则有（ ）A 、21<<-aB 、12>-<a a 或C 、12<<-aD 、21>-<a a 或 2.若函数)3(log )(2+-=ax x x f a 在区间]2,(a -∞上为减函数，则a 的取值范围为（ ）(A) (0,1) (B)(),1+∞ (C))32,1( (D))32,1()1,0(⋃3.如果关于x 的方程212+=-kx x 有唯一的实数解,那么实数k 的值为( ) A.3±=k B.22<<-k C.2-<k 或2>k D.2-<k 或2>k 或3±=k4.关于2210[0,3]x x x a +--=的方程在区间 上有实数解，求a 的取值范围为5.方程0422=+-ax x 的两根均大于1，则实数a 的取值范围是＿＿＿＿＿。
高二下学期函数知识点
高二下学期函数知识点高二下学期是学习数学的重要阶段，其中函数是一个重要的知识点。
函数可以描述数学与现实生活之间的关系，已经被广泛应用于各个领域。
在本文中，将介绍高二下学期函数的基本概念、性质和应用。
一、函数的定义与表示方法函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素与另一个集合中的唯一元素相关联。
函数可以用多种方式表示，其中最常见的是函数关系式和函数图像。
1. 函数关系式函数关系式是描述函数输入和输出之间关系的一种方式。
它通常采用f(x)的形式表示，其中x表示自变量，f(x)表示对应的函数值或因变量。
2. 函数图像函数图像是函数关系式的可视化表示。
通常，在平面直角坐标系中绘制函数的图像。
自变量x沿x轴变化，相应的函数值f(x)沿y轴变化。
函数图像可以直观地反映函数的性质和变化趋势。
二、函数的基本性质1. 定义域和值域函数的定义域是自变量的取值范围，决定了函数的输入范围。
值域是函数的所有可能输出值的集合。
2. 单调性函数的单调性描述了函数值随自变量变化的趋势。
如果函数的值随自变量的增大而增大，则函数是递增的；如果函数的值随自变量的减小而增大，则函数是递减的。
3. 奇偶性函数的奇偶性描述了函数的对称性。
如果对于函数中的任意x，有f(-x) = f(x)，则函数是偶函数；如果对于函数中的任意x，有f(-x) = -f(x)，则函数是奇函数。
三、常见的函数类型1. 线性函数线性函数是函数关系式中的常见类型。
它的函数关系式为f(x)= kx + b，其中k为斜率，b为截距。
线性函数的图像为一条直线，斜率决定了直线的倾斜程度，截距决定了直线与y轴的交点位置。
2. 幂函数幂函数是函数关系式中的另一种特殊类型。
它的函数关系式为f(x) = x^a，其中a为幂指数。
幂函数的图像形状取决于幂指数的正负和大小。
3. 指数函数指数函数是函数关系式中的一种常见类型。
它的函数关系式为f(x) = a^x，其中a为底数。
指数函数的图像特点是增长速度趋于无穷大或无穷小。
高一升高二衔接教材高二预科班数学精品课程二十讲(课件)：第二讲 函数及其性质之1-函数及其表示
者不是同一函数；
对于(3)，f(x)与 g(t)的定义域、值域和对应法则均相同，所以
f(x)和 g(t)表示同一函数； 对于(2)，若 x＝1 不是 y＝f(x)定义域的值，则直线 x＝1 与 y
＝f(x)的图象没有交点，如果 x＝1 是 y＝f(x)定义域内的值，
由函数定义可知，直线 x＝1 与 y＝f(x)的图象只有一个交点，
要点梳理
忆一忆知识要点
(4)相等函数：如果两个函数的定义域 和 对应法则 完全一
致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
2．函数的表示法
表示函数的常用方法有：列表法、 解析法 、 图象法 ．
3．映射的概念
设 A、B 是两个非空集合，如果按某一种对应法则 f，对于 A 中的每一个元素，在 B 中都有惟一 确定的元素与之对应，
第十四页，编辑于星期六：八点 四十六分。
函数的表示方法
例 3 如图，有一直角墙角，两边的长度足够 长，在 P 处有一棵树与两墙的距离分别是 a m (0<a<12)、4 m，不考虑树的粗细．现 在想用 16 m 长的篱笆，借助墙角围成一 个矩形的花圃 ABCD.设此矩形花圃的面积为 S m2，S 的最 大值为 f(a)，若将这棵树围在花圃内，则函数 u＝f(a)的图 象大致是________．(填图象的序号)
第十五页，编辑于星期六：八点 四十六分。
设出 AD 和 DC 的边长，将 f(a)用函数表示出来，用函数的 观点来研究最值．
设 AD＝x，DC＝y，则 x＋y＝16， S＝xy＝x(16－x)＝－(x－8)2＋64 (x≥a)．
当 0<a≤8 时，x＝8 使 S 取得最大值，且 f(a)＝64； 当 8<a<12 时，x＝a 使 S 取得最大值，且 f(a)＝－(a－8)2＋ 64 是一个在区间(8,12)上单调递减的函数，但始终有 f(a)>0. 故只有④图象符合． 答案 ④
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2．换元法――通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根 式或三角函数公式模型，如
2．特别提醒：求单调区间时，一是勿忘定义域，如 例 27、若函数 f (x) loga (x2 ax 3) 在区间 (, a2] 上为减函数，求 a 的取值范围（答： (1, 2 3) ）；
（2）已知 f (x) 是奇函数， g(x) 是偶函数，且 f (x) + g(x) =
x
1 1
,则
f
(x)
=
．
九．函数的奇偶性。 1．具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性时，务必先判
定函数定义域是否关于原点对称。如 例 18、若函数 f (x) 2sin(3x ) ， x [2 5 ,3 ] 为奇函数，其中 (0, 2 ) ，则 的值是 ．
提醒：（1）求函数的定义域、值域时,你按要求写成集合形式了吗？（2）函数的最值与值域之间有何关系？ 六．分段函数的概念。分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的函
数，它是一类较特殊的函数。在求分段函数的值 f (x0 ) 时，一定首先要判断 x0 属于定义域的哪个子集， 然后再代相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集。如
求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。如
例
12、设 x, a1, a2 , y
高二数学必修二函数基础知识点
高二数学必修二函数基础知识点【一】一、定义与定义式：自变量x和因变量y有如下关系：y=kx+b则此时称y是x的一次函数。
特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。
即：y=kx(k为常数，k≠0)二、一次函数的性质：1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k即：y=kx+b(k为任意不为零的实数b取任何实数)2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。
三、一次函数的图像及性质：1.作法与图形：通过如下3个步骤(1)列表;(2)描点;(3)连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。
因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。
(通常找函数图像与x轴和y轴的交点)2.性质：(1)在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式：y=kx+b。
(2)一次函数与y 轴交点的坐标总是(0，b)，与x轴总是交于(-b/k，0)正比例函数的图像总是过原点。
3.k，b与函数图像所在象限：当k>0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大;当k当b>0时，直线必通过一、二象限;当b=0时，直线通过原点当b特别地，当b=O时，直线通过原点O(0，0)表示的是正比例函数的图像。
这时，当k>0时，直线只通过一、三象限;当k四、确定一次函数的表达式：已知点A(x1，y1);B(x2，y2)，请确定过点A、B的一次函数的表达式。
(1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b。
(2)因为在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式y=kx+b。
所以可以列出2个方程：y1=kx1+b……①和y2=kx2+b……②(3)解这个二元一次方程，得到k，b的值。
(4)最后得到一次函数的表达式。
五、一次函数在生活中的应用：1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。
s=vt。
2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。
设水池中原有水量S。
g=S-ft。
六、常用公式：(不全，希望有人补充)1.求函数图像的k值：(y1-y2)/(x1-x2)2.求与x轴平行线段的中点：|x1-x2|/23.求与y轴平行线段的中点：|y1-y2|/24.求任意线段的长：√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2(注：根号下(x1-x2)与(y1-y2)的平方和)【二】I.定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a则称y为x的二次函数。
高二数学函数复习(2)苏教版知识精讲
高二数学函数复习（2）苏教版【本讲教育信息】一. 教学内容：函数复习（2）二、教学目标：1、会求简单复合函数的定义域，掌握求简单函数值域的方法；2、了解函数单调性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法。
会用函数单调性解决一些问题．三、知识要点：（一）求函数值域的常用方法有：直接法、换元法、配方法、均值不等式法、单调性法、数形结合法．（二）函数单调性1. 概念（1）函数单调性的定义：设函数y ＝f （x ）的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f （x 1）<f （x 2），那么就说f （x ）在区间D 上是增函数。
区间D 称为y ＝f （x ）的单调增区间如果对于区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1<x 2 时，都有f （x 1）＞f （x 2），那么就说f （x ）在这个区间上是减函数．区间D 称为y ＝f （x ）的单调减区间． 注意：①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；②必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1<x 2时，总有f （x 1）<f （x 2） ．（2）图象的特点如果函数y ＝f （x ）在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y ＝f （x ）在这一区间上具有（严格的）单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的．2. 证明函数单调性的一般方法:①定义法：设2121,x x A x x <∈且；作差)()(21x f x f -（一般结果要分解为若干个因式的乘积，且每一个因式的正或负号能清楚地判断出）；判断正负号。
②用导数证明：若)(x f 在某个区间A 内有导数，则()0f x ≥’，)x A ∈（ ⇔)(x f 在A 内为增函数；⇔∈≤)0)(A x x f ，（’)(x f 在A 内为减函数。
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高二数学培优辅导资料 函数（二）一，选择题 1.函数)2,(21-∞-+=在x ax y 上为增函数,则实数a 的取值范围是（） A.21->a B.21>aC.21<a D.21-<a2.已知函数0)(,)1,1(213)(00=--+=x f x a ax x f 使得上存在在,则a 的取值范围是（） A.511<<-aB.51>a C.1-<a 或51>a D.1-<a3.设21,,x x R k ∈是方程01222=-+-k kx x 的两根,则2221x x +的最小值为（ ）A.－2B.0C.1D.24、设函数2()21f x ax ax =+-对于满足13x <<的一切()0f x <，则a 的取值范围 是（ ） A 、10,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B 、(],0-∞ C 、()1,00,15⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D 、1,15⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ 5. 已知函数224)(2-+-=x x x f ，则它是（）A ．偶函数B ．既是奇函数又是偶函数C ．奇函数D ．既不是奇函数又不是偶函数 6．函数xx xx x x f cos 22)4sin(2)(22++++=π的最大与最小值分别为M, N ， 则( ) A 、4=-N M B 、4=+N M C 、2=-N M D 、2=+N M7. 对于任意实数x ，若不等式34(0)x x a a -+->>恒成立，则实数a 应满足（） A. 01a << B. 01a <≤ C. 1a > D. 1a ≥ 8设2(0)()(1)(0)x a x f x f x x -⎧-≤=⎨->⎩，若()f x x =有且仅有两个实数解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(),2-∞B ．[)1,2C ．[)1,+∞D ．(],1-∞ 9．设函数,0x ,10x ,1)x (f ⎩⎨⎧<>-= 则)b a (2)b a (f )b a ()b a (≠-⋅--+ 的值为 （ ） A ．aB ．bC ．a, b 中较小的数D ．a, b 中较大的数10.如果23()1log 2log 9log 64x x x f x =-+-，则使()0f x <的x 的取值范围为（）A. 01x <<B. 813x << C. 1x <<+∞ D.83x <<+∞ 11.函数y=f(x+1)与y=f(1－x)的图象关于( )A.y 轴对称B.原点对称C.直线x=1对称D.关于y 轴对称且关于直线x=1对称12.函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>≤-)1|(|||)1|(|12x x x x ，如果方程f(x)=a 有且只有一个实根，那么a 满足( )A.a<0B.0≤a<1C.a=1D.a>1 13．如果100,0,log log 3x y x y y x >>+=， 144xy =，那么x y +的值是（ ）ABCD 14. 设函数)10()(||≠>=-a a a x f x 且，f （－2）＝9，则 （ ） A. f （－2）＞f （－1） B. f （－1）＞f （－2） C. f （1）＞f （2） D. f （－2）＞f （2） 152007=的正整数解(,)x y 的组数是（ ） A ．1组 B. 2 组 C. 4组 D. 8组16．.已知⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥-≥03030y x y x y ,则x 2+y 2的最大值是17. 若2|1||1|2x ax -≤+--≤对x ∈R 恒成立，则实数a 的个数为 （） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）无数个 解: 只有1a =±时，原不等式恒成立. 选C. 18．函数4218y x x =--+的部分图象是（）ABC D 19、设)(n f 为正整数n （十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如14321)123(222=++=f ，记)()(1n f n f =，))(()(1n f f n f k k =+，，⋯=,3,2,1k 则)2006(2006f ＝（ ） A.20 B. 4 C. 42 D. 145 二，填空题20．对于任意实数t ，不等式212sin 212()2t t x -+≥恒成立，则x 的取值范围是__________。
21．若2,0()1,00,0x x f x x x +>⎧⎪==⎨⎪<⎩，则[()]f f x 的表达式为_____________。
22．设1()()1x f x f x x==+，且1()[()]n n f x f f x -=，则12(1)(2)()(1)(2)(1)n f f f n f f f +++++++ =____________。
23．函数y ____________。
24．若函数y=()f x 对于一切实数a ，b 都满足()()()f a b f a f b +=+，且(1)f =8，则1()2f -=_________。
25．设22212()()()()n f x x x x x x x =-+-++- ，其中1x ，2x ，……，n x 是常数，当x =a 时，()f x 取得最小值，则a =______________。
26．若x =1(mod2)(表示x 是一个正整数，且被2除余1，以下同)，x =3(mod5),x =7(mod9),则最小的x 为_________。
27．若二次函数222y ax x a =+-，且|a |≤1，|x |≤1，则|y |的最大值为______。
28．y x =-+的最小值是_____________。
29．若()f x =22()()33f x f x -+--=________。
30．若51()1010x x k f x -++=-为奇函数，那么当x ∈［－lg 2，lg 3］时，y 的取值范围是__________。
31．若实数x ，y 满足方程2265x xy y +-=，22u x y =+，则u 的取值范围是_____。
32．函数y =x的值域为______________。
33．若函数()f x 的定义域为R ，且对于x 的任意值都有(2005)(2004)(2006)f x f x f x +=+++，则函数()f x 的周期为__________。
34．当x =_____时，函数y =_______。
三解答题 35．已知函数11()2x f x -=，数列{}n a 的前n 项和n S =6－2n a +(1)f n -。
试求数列{}n a 的通项公式na 与前n 项和n S 。
36.已知函数.2222)(xx xx x f --+-= （1）求函数的定义域和值域；（2）试问函数f(x)的图象上是否存在两个不同的点A,B,使直线AB 恰好与y 轴垂直,若存在,求出A,B 两点的坐标；若不存在,说明理由并加以证明.37、对于函数()()y f x x D =∈，若同时满足下列条件：（1）()f x 在D 内是单调函数：（2）存在区间[],a b D ⊆，使()f x 在[],a b 上的值域为[],a b ，那么()y f x =叫做闭函数。
（1）判断函数[]2()2(1,3)f x x x x =-+∈是否为闭函数，并说明理由。
（2）求函数3y x =-符合条件的区间[],a b 。
（3）若y k =k 的取值范围。
1 D 2 C 3 C 4 D 5 C 6 D 7 A 8 A9 D 10 B解：显然0x >，且1x ≠。
23()1log 2log 9log 64x x x f x =-+-1l o g 2l o g x x x =-+-3l o g 8x x =。
要使()0f x <。
当1x >时，318x <，即813x <<；当01x <<时，318x >，此时无解。
由此可得， 使()0f x <的x 的取值范围为813x <<。
11.解析：根据对称关系验证D 正确，选D. 答案：D12，解析：由图知a=1时，图象只有一个交点，故选C. 答案：C 13，B 14，A 15，D 16，9 17，C 18，A19，D 解： 将40)2006(=f 记做402006→，于是有→→→→→→→→→→→164204214589583716402006从16开始，n f 是周期为8的周期数列。
故 20．5[2,2]()66k k k Z ππππ++∈。
提示：由条件知只须212sin 2t t x -+≥-恒成立。
但221112(1)222t t t -+=--≥-，故只须－sin x ≤－12，即sin x ≥12，从而得。
21．4,0[()]3,01,0x x f f x x x +>⎧⎪==⎨⎪<⎩。
22．n ．提示：1212111(1),(2),,(),(1),(1),,(1)231231n n f f f n f f f n n ======++ ∴()(1)1n f n f +=。
23．0，,206］，又2(2006)y x x =-++4012≤。
24．－4。
提示：111(00)(0)(0)(0)0,(1)()()8()4222f f f f f f f f +=+⇒==+=⇒=1111()()(0)0()()42222f f f f f -+==⇒-==-。
(注：y =()f x 是以y =8x 作代表函数的)。
25．12nx x x n+++ 。
提示：22221212()2()()n n f x nx x x x x x x x =-+++++++ 。
26。
提示：由题设知x =5n +3=9m +7，其中n 、m ∈N ，则945m n +=，将m =0,1，2,3代入上式得到n 的值均不是自然数，即m =0,1，2,3均不满足题意。
当m =4时n =8，则x =43。
27。
提示：当|a |≤1时，|y|=222|22||(2)2||(2)||2|ax x a a x x a x x +-=-+≤-+≤222|2|2||2||2||(||1)3x x x x x -+=-+=--+≤3(当a =－1，x =1时等号成立)28．12。
提示：显然y >0。
因为221()(14)2y x x +=+，所以2211()042y x y -=-≥ 故当x =y =12时，y 取最小值12。