上海市高三数学每周一测试卷(18)
2024-2025学年上海中学高三上学期数学周测1及答案(2024.09)
1上海中学2024学年第一学期高三年级数学周测一2024.09一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分） 1．已知集合{}|02A x x =≤≤，{}|10B x x =−<，则AB =________．2．若62a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的常数项为45，则a 的值为________．3．已知函数()221f x x =+，则()()22Δx f Δx f limΔx→−−=________．4．已知()()3993log log log log x x =，则x 的值为________． 5．已知()35P A =，()15P A B =，()1|2P A B =，则()P B =________．6．已知1tan 3x =，则sin sin cos 3cos 2cos 2cos x x x x x x +=________．7．已知等差数列{}n a 的公差为3π，且集合{}|,*n M x x sina n N ==∈中有且只有4个元素，则M 中的所有元素之积为________． 8．已知向量a ，b 为单位向量，且12a b ⋅=−，向量c 与3a b +平行，则b c +的最小值 为________．9．已知实数x ，y 满足491x y +=，则1123x y +++的取值范围是________．10．向量集合(){}|,,,S a a x y x y R ⊂=∈，对于任意a ，b S ∈以及任意[]0,1t ∈，都有()1ta t b S +−∈，则称集合S 是“凸集”．现有4个命题：①集合(){}2|,,M a a x y y x ==≥是“凸集”；②若S 是“凸集”，则集合{}2|T a a S =∈也是“凸集”； ③若1A ，2A 都是“凸集”，则12A A 也是“凸集”；④若1A ，2A 都是“凸集”，且交集非空，则12A A 也是“凸集”其中所有正确命题的序号是________．211．已知双曲线22:145x y C −=的左右焦点分别是1F ，2F ，直线l 与C 的左、右支分别交于P Q 、（P ,Q 均在x 轴上方）．若直线1PF ，2QF 的斜率均为k ，且四边形21PQF F的面积为k 的值为________．12．设函数()11xf x e =+图像上任意—点处的切线为1l ，总存在函数()sin g x a x =+(0)x a >图像上一点处的切线2l ，使得12∥l l ，则实数a 的最小值是________． 二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题5分)13．一枚质地均匀的正方形骰子，其六个面分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，投掷这枚骰子两次，设事件M 为“第一次朝上的数字是奇数”，则下列事件中与M 相互独立的事件是（ ）．A ．第一次朝上的数字是偶数B ．第一次朝上的数字是1C ．两次朝上的数字之和是8D ．两次朝上的数字之和是714．如图所示，曲线C 是由半椭圆221:1(0)43x y C y +=<，半圆()222:(1)10C x y y −+=≥和半圆()223:(1)10C x y y ++=≥组成，过1C 的左焦点1F 作直线1l 与曲线C 仅交于A ，B 两点，过1C 的右焦点2F 作直线2l 与曲线C 仅交于M ，N 两点，且12∥l l ，则AB MN +的最小值为（ ）． A ．3B ．4C ．5D ．615．数列{}n a 中，12a =，211n n n a a a +=−+，记12111n nA a a a =+++，12111n nB a a a =⋅⋅⋅，则（ ）． A ．202420241A B +> B ．202420241A B +< C ．2024202412A B −>D．2024202412A B −<316．在直角坐标平面xOy 中，已知两定点()12,0F −与()22,0F ，1F ，2F 到直线l 的距离之差的绝对值等于l 上的点组成的图形面积是（ ）． A ．4π B ．8 C ．2π D ．4π+ 三、解答题(共5道大题,共76分)17.（本题满分14分.本题共2小题,第（1）小题7分,第（2）小题7分.) ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，且)cos a bC C =+．（1）求角B 的大小；（2）已知BC =，D 为边AB 上一点，若1BD =，2πACD ∠=，求AC 的长．18.(本题满分14分.本题共2小题，第（1）小题8分,第（2）小题6分.) 如图，直三棱柱111ABC A B C −的体积为1，AB BC ⊥，2AB =，1BC =． （1）求证：11BC A C ⊥；（2）求二面角11B A C B −−的余弦值．19.(本题满分14分.本题共2小题,第（1）小题6分,第（2）小题8分.)五月初某中学举行了“庆祝劳动光荣，共绘五一华章”主题征文活动，旨在通过文字的力量展现劳动者的风采，传递劳动之美，弘扬劳动精神．征文篮选由A、B、C三名老师负责．首先由A、B两位老师对征文进行初审，若两位老师均审核通过则征文通过筛选；若均审核不通过则征文落选；若只有一名老师审核通过，则由老师C进行复审，复审合格才能通过筛选．已知每篇征文通过A、B、C三位老师审核的概率分别为34，45，37，且各老师的审核互不影响．（1）已知某篇征文通过筛选，求它经过了复审的概率；（2）从投稿的征文中抽出4篇，设其中通过筛选的篇数为X，求X的分布和期望．4520.（本题满分16分.本题共有3小题,第(1)小题满分4分,第（2）小题满分6分.第 (3)小题满分6分)设直线()0y kx b k =+≠与抛物线2:4C y x =交于两点()11,A x y ，()22,B x y ，且12(0)y y a a −=>．M 是弦AB 的中点，过M 作平行于x 轴的直线交抛物线C 于点D ，导到ABD ；再分别过弦AD 、BD 的中点作平行于x 轴的直线依次交抛物线C 于点E 、F ，得到ADE 和BDF ；按此方法继续下去． （1）用k ，b 表示a ；（2）用a 表示三角形ABD 的面积ABDS；（3）根据以上结果，求抛物线C 与线段AB 所围成封闭图形的面积S ．621.（本题满分18分.本题共有3个小题,第（1）小题满分4分,第（2）小题满分6分,第(3)小题满分8分)已知函数()3(1)2xf x lnax b x x=++−−． （1）若0b =，且()0f x '≥，求a 的最小值； （2）证明：曲线()y f x =是中心对称图形；（3）若()2f x >−当且仅当12x <<，求b 的取值范围．参考答案一、填空题1.(],2−∞;2.;3.-8;4.81;5.45; 6.109; 7.14;8.;9.(; 10.①②④；11.12.5411．已知双曲线22:145x yC−=的左右焦点分别是1F，2F，直线l与C的左、右支分别交于P Q、（P,Q均在x轴上方）．若直线1PF，2QF的斜率均为k，且四边形21PQF F的面积为k的值为________．【答案】【解析】由题意绘制示意图如图所示：由双曲线方程可得:2,3a c==,因为直线1PF、2QF的斜率均为k,所以直线12//PF QF, 在三角形12QF F中, 设2QF x=，则124QF a x x=+=+，设2QF的倾斜角为θ, 则由余弦定理得2236426x xcosx+−+π−θ=⨯解得2523QF xcos==−θ,同理可得：1523PFcos=+θ所以四边形21PQF F的面积:12121152223S PF QF F F sincos=+⨯⨯θ=⨯++θ5623sincos⨯⨯θ=−θ解得sinθ=sinθ=(舍去),故k tan=θ=故答案为:.12．设函数()11xf xe=+图像上任意—点处的切线为1l，总存在函数()sing x a x=+ (0)x a>图像上一点处的切线2l，使得12∥l l，则实数a的最小值是________．【答案】54【解析】()1,1xf xe=+()()21',112xx xxef xe ee∴=−=−+++78[)()112,'0.4x x e ,f x ,e ⎡⎫+∈+∞∴∈−⎪⎢⎣⎭而()(),'1[1g x asinx x g x acosx a =+=+∈−,1]a +,要使题意成立，则有114a −≤−且10…a +,解得54a ≥,∴实数 a 的最小值为54 故答案为:54二、选择题13.D 14.C 15.C 16.D15．数列{}n a 中，12a =，211n n n a a a +=−+，记12111n nA a a a =+++，12111n nB a a a =⋅⋅⋅，则（ ）． A ．202420241A B +> B ．202420241A B +< C ．2024202412A B −>D ．2024202412A B −<【答案】C【解析】由2112,1n n n a a a a +==−+, 可得24213,a =−+=由()111n n n a a a +−=−, 可得111111n n na a a +=−−−即有111111n n n a a a +=−−−,则122311111111n A a a a a =−+−+⋯+−−−−111111111111n n n a a a a ++−=−=−−−−−111n a +− 由1111n n n a a a +−=−, 可得121231111111111111n n n n n a a a a B a a a a a +++−−−−=⋅⋅⋯⋅==−−−−−可得1n n A B +=, 故AB 错误;121,1n n n A B a +−=−−由()2110n n n a a a +−=−>, 即1n n a a +>, 可得数列{}n a 为递增数列,又320259317,,5,a a =−+=⋯>由202521111122a −>−=−, 可得2024202412A B −>，故选：C .16．在直角坐标平面xOy 中，已知两定点()12,0F −与()22,0F ，1F ，2F 到直线l 的距离之差的绝对值等于l 上的点组成的图形面积是（ ）． A ．4π B ．8 C ．2π D ．4π+ 【答案】D【解析】设直线l的方程为0Ax By C++=,=所以22A C A C−+−+=当()()220…A C A C−++,即224…C A时,4A=化简可得22A B=,所以|,2CA B≥=如图,则正方形12AF BF上及外部的点均在直线l上;当()()220A C A C−++<,即224C A<时,2C=22222C A B=+设直线l的方程为0Ax By C++=上任意一点(0x,0y), 则000Ax By C++=,由()()()2222220000A B x y Ax By C++≥+=可知22002x y+≥,又2222224C A B A=+<,则221AB>,所以，与圆222x y+=相切的直线所扫过的点均在直线l上;综上, 平面上不在任何一条直线I上的点组成的图形面积是21244⎤⨯π=+π⎥⎦,故选：D.三．解答题17.（1）6π（218.（1）证明略（219.（1）15P=（2）PQ=20．（1）2216(1)kba=k−（2）332ABDSa=（3）324Sa=91021.（本题满分18分.本题共有3个小题,第（1）小题满分4分,第（2）小题满分6分,第(3)小题满分8分)已知函数()3(1)2xf x lnax b x x=++−−． （1）若0b =，且()0f x '≥，求a 的最小值； （2）证明：曲线()y f x =是中心对称图形；（3）若()2f x >−当且仅当12x <<，求b 的取值范围． 【答案】（1）-2（2）见解析（3）23,⎡⎫−+∞⎪⎢⎣⎭【解析】（1）由0220xx x ⎧⎪⎨⎪>−≠⎩−, 解得02x <<，所以函数()f x 的定义域为()02,,当0b =时,()2xf x lnax x=+−,所以()11'02f x a x x =++≥−, 对02x ∀<<恒成立， 又()112222a a a x x x x ++=+≥+−−, 当且仅当1x =时取"'"=, 所以只需20…a +, 即2…a −,所以a 的最小值为-2 . (2)证明:()02x ,∈， ()()()222(1x f x f x lna xb x x−−+=+−+−()33)122x lnax b x a x +++−=− 所以()f x 关于点()1,a 中心对称.(3) 因为()2f x >−当且仅当12x <<,所以1x =为()2f x =−的一个解， 所以()12f =−, 即2a =−,先分析12x <<时,()2f x >−恒成立,此时()2f x >−, 即为()321(1)02xlnx b x x+−+−>−在()12,上恒成立, 设()1,01t x t ,=−∈, 则31201t lnt bt t+−+>−在()01,上恒成立, 设()()312,011t g t ln t bt t ,t +=−+∈−,则()()222223232'2311t bt b g t bt t t −++=−+=−− 当0…b 时,232332220bt b b b −++>−++=>,所以()'0g t >恒成立,11 所以()g t 在()01,上为增函数,所以()()00g t g >=, 即()2f x >−在()12,上恒成立, 当203…b −<时,2323230…bt b b −++>+所以()'0g t >恒成立,故()g t 在()01,上为增函数, 故()()00g t g >=,即()2f x >−在()12,上恒成立, 当23b <−,即当01t <<时,()'0g t <,所以在0⎛ ⎝上()g t 为减函数, 所以()()00g t g <=, 不合题意, 舍去,综上所述,()2f x >−在()12,上恒成立时,23…b −, 而23…b −时, 由上述过程可得()g t 在()01,单调递增,所以()0g t >的解为()01,,即()2f x >−的解为()12,,综上所述,23…b −,所以b 的取值范围为23,⎡⎫−+∞⎪⎢⎣⎭.。
2024学年上海川沙中学高三上学期数学月考试卷及答案(2024.09)
1川沙中学2024学年第一学期高三年级数学月考2024.09一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分） 1．已知全集U R =，集合(,1)[2,)A =−∞+∞，则A =________． 2．函数()sin2f x x =的最小正周期是________．3．在等比数列{}n a 中，若公比4q =，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式n a =________．4．参考数学竞赛决赛的15人的成绩（单位：分）依次如下：56、70、91、98、79、80、81、83、84、86、88、90、72、94、78，则15人成绩的第80百分位数是________． 5．在△ABC 中，90A ∠=︒，3AB =，4AC =，将△ABC 绕边AC 所在直线旋转一周得到几何体Γ，则Γ的侧面积为________．6．已知3nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式的各项系数之和为256，则访二项展开式中的常数项为_____． 7．双曲线222:1y C x b−=的渐近线与直线1x =交于A ，B 两点，且4AB =，那么双曲线C 的离心率为________．8．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若6b =，2a c =，πB 3=，则△ABC 的面积为________．9．春天是鼻炎和感冒的高发期，某人在春季里鼻炎发作的概率是45，感冒发作的概率是67，鼻炎发作且感冒发作的概率是35，则此人在鼻炎发作的条件下感冒的概率是________． 10．已知函数1()lg f x x x =−，则不等式111f x ⎛⎫−< ⎪⎝⎭的解集为________． 11．已知函数()(1)x f x x e =−，若关于x 的不等式()1f x ax <−有且仅有一个正整数解，则实数a 的取值范围是________．212．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足231(,1)n n S a n N n =−∈≥，函数()f x 定义域为R ，对任意x R ∈都有()()()111f x f x f x ++=−，若()21f =−2025()f a 的值为 .二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分） 13．下列不等式恒成立的是（ ） A ．222a b ab +≤B ．222a b ab +≥− C．a b +≥ D．a b +≥−14．已知()f x 是定义在R 上的可导函数，若0(2)(2)1lim22h f h f h →+−=，则(2)f '=（ ）A ．1−B ．14− C ．1 D ．1415．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，设甲：123a a a <<，乙：{}n S 是严格增数列，则甲是乙的（ ）条件．A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要16．已知实数1x 、1y 、2x 、2y 、3x 、3y 同时满足：①11x y <，22x y <，33x y <；②112233x y x y x y +=+=+；③11332220x y x y x y +=>，则下列选项中恒成立的是（ ）A ．2132x x x <+B ．2132x x x >+C ．2213x x x <D ．2213x x x >三、解答题（本大题共5题，共141414181878++++=分）17.（本题满分14分.本题共2小题,第（1）小题7分,第（2）小题7分.)在直四棱柱1111ABCD A B C D −中，∥AB CD ，1AB AD ==，12D D CD ==，AB AD ⊥． （1）求证：BC ⊥平面1D DB ；（2）求点D 到平面1BCD 的距离．18.(本题满分14分.本题共2小题，第（1）小题8分,第（2）小题6分.)设函数2()f x x x a=+−，a为常数．（1）若()f x为偶函数，求a的值；（2）设0a>，()()f xg xx=，(]0,x a∈为严格减函数，求实数a的取值范围．19.(本题满分14分.本题共2小题,第（1）小题6分,第（2）小题8分.)近年来，随着智能手机的普及，网上买菜迅速进入了我们的生活。
上海市高三数学每周一测试卷(03)
上海市高三数学每周一测试卷（03）一、填空题（每小题4分，共56分）1．函数()1lg (0)f x x x =+>的反函数为()110x y x R -=∈ 2．解不等式1x x <，其解集为()(),10,1-∞-3．关于x 的方程122x a a +=-有负实数根，则a ∈11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ 4．要使函数]2,1[122在+-=ax x y 上存在反函数，则a 的取值范围是(,1][2,)-∞⋃∞。
5．设集合{|1A x =-≤x≤2},B={x|0≤x≤4},则A∩B= [0,2] .6．函数y=552---x x 的定义域为__[)()255,+∞，__. 7．设函数()log ()(0,1)a f x x b a a =+>≠的图像过点(2,1)，其反函数的图像过点(2,8)，则a b += 4 .8．函数)1(21)(x x x f --=的最大值是74. 9．方程22log (1)log (1)2x x -++=的解为5=x ．10．已知函数()f x 是奇函数,当0x >时, f(x)=x(1+x),则当0x <时,f(x)= x(1－x) .11．函数f(x)=x a (a >0, a ≠1)在[1, 2]中的最大值比最小值大2a, 则a 的值为 1.5或0.5 .12．水箱中有水20m3，如果打开出水孔，水箱中的水5min 可以流完，当打开出水孔时，水箱中的水的剩余量V m3是时间t(s)的函数，则函数V=f(t)的解析式为 120,(0,300]15V t t =-∈.13．在下列四个结论中，正确的有___ ①②④ ____.(填序号)①若A 是B 的必要不充分条件，则B 也是A 的必要不充分条件②“⎩⎨⎧≤-=∆>04,02ac b a ”是“一元二次不等式ax2+b x+c≥0的解集为R”的充要条件 ③“x≠1”是“x2≠1”的充分不必要条件④“x≠0”是“x+|x|＞0”的必要不充分条件14. 大家知道，在一杯糖水（浓度为a b ）中加上一块糖（质量为m ）会变得更甜。
2024-2025学年上海曹杨二中高三上学期数学周测及答案(2024.09)
曹杨二中2024学年第一学期高三年级数学月考2024.09一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分） 1.已知集合()()3,2A ,B ,=−∞=+∞,则A B ⋂= . 2.已知复数z 满足15i z =−(i 为虚数单位),则z = . 3.已知向量()()102,210a ,,b ,,==,则a ,b <>= .4.523x ⎫⎪⎭的二项展开式中的常数项为 .（结果用数值表示）5.设()y f x =是以1为周期的周期函数.若当01x <≤时,()2f x log x =,则32f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.6.设m 为正实数.若直线0x y m −+=被圆()()22113x y −+−=所截得的弦长为m ，则m = .7.从一副去掉大小王的52张扑克牌中无放回地任意抽取两次。
在第一次抽到A 的条件下，第二次也抽到A 的概率为 .（结果用最简分数表示）8.设数列{}n a 前n 项和为n S 。
若()21n n S a n ,n N +=≥∈,则5S = . 9.已知,x y 为正实数,且1x y +=,则当21x y+取最小值时,x = . 10.设(),1a R f x lnx ax ∈=−+.若函数()y f x =的图像都在x 轴下方（不含x 轴），则a 的取值范围是 .11.已知{}n a 是严格增数列,且点()()1n n P n,a n ,n N ≥∈均在双曲线2231x y −=上。
设M R ∈，若对任意正整数n ，都有1n n P P M +>，则M 的最大值为 .12.设(){}2,235a R f x min x ,x ax a ∈=−−+−，其中{}min u,v 表示,u v 中的较小值.若函数()y f x =至少有3个零点,则a 的取值范围是 .二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）13.已知a R ∈，则"1a >"是"11a<"的（ ）. A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件14.为研究某药品的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验,所有志愿者的舒张压（单位：kPa ）的分组区间为[)[)[)[)1213,1314,1415,1516,,,,，[]1617,.将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，，第五组，下图是根据试验数据制成的频率分布直方图。
上海市高三数学每周一测试卷(20)
高三每周一测数学试卷（20）一、填空题： 1. 函数2()log (1)f x x =+的反函数)(1x f-= . 21,()x x R -∈2．方程22log (95)2log (32)x x -=+-的解是 ．13. 求满足211z i i=+-的复数z 为 1i + .4、根据右边的框图，通过所打印数列的递推关系，可写出这个数列 的第3项是 30 .5、11a >-是1a <-成立的_____ 必要___非充分_________条件。
6、从4名男生和6名女生中,选出3名奥运火炬手,要求至少包含1名 男生,则不同的选法共有___100_____种(数字作答).7、已知全集为R ，集合{}{}2|2,|2,0x M x y x x N y y x ==-==>，则集合()__________R M C N =I 【0，1】8、把地球看作半径为R 的球，A 、B 是北纬30o圈上的两点，它们的经度差为60o，则A 、B 两点间的球面距离为___32arcsin4R _________.9、若)(x f 是偶函数，且当0)1(,1)(,),0[<--=+∞∈x f x x f x 则时的解集是__（0，2） 10.等比数列{}n a 中，12166,128,126,n n n a a a a S -+=⋅==则_____6____n =11、设,m n N *∈，函数()()()11m nf x x x =+++中x 的一次项系数为10，f(x)中的x 的二次项系数的最小值是_____________2012、某商业银行为储户提供的储蓄卡的密码由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的6个数字组成，某人随意按下6个数字，按对自己的储蓄卡的密码的概率是_____6110________13、关于x 的方程2430x x a ++-=有三个不相等的实根，则实数a 的值是A1C 1B1E_____a=1______.14、若A 、B 、C 是ABC ∆的三个内角，其对应边长分别是a ,b ,c且22A A m cos ,sin ,⎛⎫=- ⎪⎝⎭u r 2322A A 1n cos ,sin ,a m n 2⎛⎫===⎪⎝⎭u r u r u r g 且（1）则角A = 120o；（2）则b c +的取值范围为 234b <≤ . 二、选择题：16、某商场的某种商品的年进货量为1万件,分若干次进货,每次进货的量相同,且需运费100元,运来的货物除出售外,还需租仓库存放,一年的租金按一次进货时的一半来计算,每件2元,为使一年的运费和租金最省,每次进货量应为 （D ） A ．200件 B ．5000件 C ．2500件 D ．1000件17、若011<<b a ，则下列不等式 ①ab b a <+；②|;|||b a >③b a <；④2>+b aa b中，正确的不等式有 （ C ）A ．０个B ．１个C ．2个D ．３个 18、设偶函数f (x)=loga|x －b|在(－∞，0)上递增，则f (a+1)与f (b+2)的大小关系是（ B ） A ．f(a+1)=f (b+2) B ．f (a+1)>f (b+2) C ．f(a+1)<f (b+2) D ．不确定三、解答题：19.（本题满分12分）如图所示：直三棱柱ABC —A1B1C1中，AC=BC=AA1=2，︒=∠90ACB ，E 为BB1中点，︒=∠901DE A ，（1）求证：CD ⊥平面A1ABB1； （2）（理）求二面角C —A1E —D 的大小； （3）求三棱锥A1—CDE 的体积。
2024届上海市青浦区高三一模数学试题及答案
上海市青浦区2024届高三一模数学试卷（满分150分，时间120分钟）2023.12.13一、填空题（本大题共有12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，满分54分）1.已知集合 2,3A ，16B x x ，则A B ．2.若复数z 满足3iz i ，则z ．3.已知 满足cos m ，则πsin．（结果用含有m 的式子表示）4.20235. 32 6.7.，那么这组数据的第8.若函数9.1A 和1B ，若10.11.n 的值为．12.已知三个互不相同的实数a 、b 、c 满足1a b c ，2223a b c ，则abc 的取值范围为．二、选择题（本大题共有4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，满分18分）13.已知a 、b R ，则“a b ”是“33a b ”的（）.A 充分非必要条件；.B 必要非充分条件；.C 充要条件；.D 既非充分也非必要条件．第17题图14.若函数 y f x 在0x x 处的导数等于a ，则000limx f x x f x x x的值为（）.A 0；.B a ；.C 2a ；.D 3a ．15.已知直线m 、n ，平面 、 ．给出下列命题：①若m ，n ，且m n ，则 ；②若//m ，//n ，且//m n ，则// ；③若m ，//n ，且m n ，则 ；④若m ，//n ，且//m n ，则// ．其中正确的命题的个数是（）.A 1；.B 2；.C 3；.D 4．16.曲线段:p :q .A p .C p 三、17.（1）（2）18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足222a cb ac．（1）求角B的大小；（2）若b ，求ABC的周长的最大值．19.1.2.3.4.（1）（2）已知椭圆 的离心率是12，长轴长4，椭圆的中心是坐标原点，焦点在x 轴上．（1）求椭圆 的标准方程；（2）已知A 、B 、C 是椭圆 上三个不同的点，F 是椭圆 的右焦点，若原点O 是ABC 的重心，求FA FB FC 的值；（3）已知 1,1T ，椭圆 四个动点M 、N 、P 、Q 满足3MT TQ ，3NT TP,求直线MN 的方程．第20题图已知有穷等差数列 12:,,,n m a a a a （3m ，m N *）的公差d 大于零．（1）证明： n a 不是等比数列；（2）是否存在指数函数．．．． y f x 满足： y f x 在1x a 处的切线交x 轴于 2,0a ， y f x 在2x a 处的切线交x 轴于 3,0a ，…， y f x 在1m x a 处的切线交x 轴于 ,0m a ？若存在，请写出函数 y f x 的表达式，并说明理由；若不存在，也请说明理由；（3）若数列 n a 中所有项按照某种顺序排列后可以构成等比数列 n b ，求出所有可能的m 的取值．参考答案 2023.12一.填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.1．()1,3−；23．m ；4．23； 5．4320−；6．4π3； 7．39；8．π,x k k =∈Z ；9.92−； 10.()[),01,−∞+∞；11．2或3；12. 51,27⎛⎫− ⎪⎝⎭. 二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 13. C ；14. C ； 15．A ；16. A .三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分. 解：（1）解：（1）PD ⊥平面ABCD∴ DP BC ⊥ 又 BC DC ⊥ 且DCDP D =∴ BC ⊥平面CDP ． （2）BC ⊥平面CDP∴ BC ⊥CP ∴ CBP ∠为锐角 又//AD BC∴ CBP ∠为直线AD 与BP 所成的角 ∴ 060CBP ∠=∴CP =在Rt CDP ∆中，CP =，3CD =，于是DP =．18．（本题满分14分）第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分.解：（1）因为222a cb ac +−=−，由余弦定理得2221cos 22a cb B ac +−∠==−120B ∠=︒（2）由正弦定理得，4sin a A =，()4sin 60c A =−，所以，ABC ∆的周长为()4sin 4sin 60a b c A A ++=+−+()04sin 60A =++00060A <<当030A =时，ABC ∆的周长的最大值为4+．19.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分. 解：（1）四个模型假设都合理．理由如下（供参考）：假设1是为了保证撤离人员的安全，基本符合实际情况； 假设2 是为了方便模型的建立，与假设1相呼应； 假设3 是为了方便建立模型，属于模型简化的处理方法； 假设4 是为了方便建立模型，属于模型简化的处理方法． 说明：以上4条理由任选两条只要合理就给满分（每条3分）． （2）设队列人与人之间的距离为(0)d d>，队列行进的速度为(0)v v >，先考虑第一间教室人员的疏散，该教室最后一个人达到出口即为疏散完毕，所用时间11l n dt v +=；第二间教室最后一个人达到出口所用时间为222l n d t v+=．在所有人员排成单列行进撤离的假设下，建立模型（供参考） 模型1：当第二间教室的第一个人到达第一间教室门口的时候，第一间教室已经撤空（即第一间教室的最后一个人不影响第二间教室人员的撤离），这种情形出现的条件是1n d d lv v+≤，这时两个教室内的人员完全撤离所用时间为22l n dt v+=； 模型2：当第二间教室的第一个人到达第一间教室门口的时候，第一间教室还没有撤空，此时需要等第一间教室撤空后第二间教室的队伍再继续行进，这种情形出现的条件是1n d d lv v+>，这时两个教室内的人员完全撤离所用时间为12l n d n d dt v+++=．211212()()l n d n d d l v t l n d n d d n d d l v +⎧+≤⎪⎪=⎨+++⎪+>⎪⎩20.(本题满分18分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分. 解：（1）由题意得，2a =，1c =，所以24a =，23b =，所以椭圆Γ的标准方程为22143x y +=（2）设()11,Ax y ，()22,B x y ，()33,C x y ，1122FA x ====−同理2122FB x =−，3122FC x =−又O 是△ABC 的重心，所以1230x x x ++=所以，6FA FB FC ++=（3）设()11,M x y ，()22,Q x y ，()33,N x y ，()44,P x y ，()1,1T ，因为3MT TQ =，所以()()1212131131x x y y ⎧−=−⎪⎨−=−⎪⎩，即12124343x x y y −⎧=⎪⎪⎨−⎪=⎪⎩又()11,M x y ，()22,Q x y 都在椭圆上，所以2211143x y +=，2211441114333x y −−⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()()221122111431144943x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪−+−=⎪⎩于是，()()1111424424843x y −⋅+−⋅=，即()()111122143x y −+−= 又3NT TP =，同理得()()331122143x y −+−= 所以，直线MN 的方程为()()1122143x y −+−=，即3420x y +−=． 21.(本题满分18分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分. 解：（1）∵222213222()()0a a a a a d a d d −=−−+=>∴{}n a 不是等比数列． （2）()f x 在i x a =处的切线方程为()()()i i i y f a f a x a '−=−，令0y=得()()i i i f a x a f a =−'，因此，欲使()f x 满足条件，只需使()()f x d f x =−' 令()e xdf x −=，则1()e x df x d−'=−，满足条件，因此，存在指数函数()e x df x −=满足条件．（3）取{}:2,1,4n a −，则1,2,4−成等比数列，∴3m =满足条件． 当4m ≥，首先，{}n a 不可能所有项均为正数或均为负数，否则，对应的等比数列{}n b 的公比为正，等比数列严格增或严格减，从而{}n a 即为等比数列，不可能．其次，因为{}n b 是等比数列，所以{||}nb 也是等比数列，不妨设{||}n b 严格增，则{||}n b 的前三项即为||n a 中最小的三项，则一定对应于{}n a 中的连续三项,122,(0,0)k k k k k a a a a a +++<>，不妨设10k a +>，则221||||20k k k k k a a a a a +++−=+=>．② 若1||||k k a a +<，则12||||||k k k a a a ++<<，则12,,k k k a a a ++成等比数列，不可能；②若1||||k k a a +>，则12||||||k k k a a a ++<<，则12,,k k k a a a ++成等比数列，∴212k k k a a a ++=即2()(2)k k k a a d a d =++，得23k a d =−，113k a d +=，243k a d +=，而除了这三项外，||n a 最小值为15||3k a d −=或37||3k a d +=，但1k a −和3k a +均无法与12,,k k k a a a ++构成等比数列，因此不符合条件．综上，所有可能的m 的值是3．。
2024届上海市黄浦区高三一模数学试题及答案
上海市黄浦区2024届高三一模数学试卷（满分150分，时间120分钟）2023.12.6一、填空题（本大题共有12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，满分54分）1.已知集合 2A x x ， 1B x x ，则A B ．2.若函数 1y x x a 为偶函数，则实数a 的值为．3.已知复数1z i （i 为虚数单位），则满足z w z 的复数w 为．4.5.6.7.某城市,34,36,418.在 若25a 9. 12010.若 ．11.设123,,,,n a a a a 是首项为3且公比为313233log log log a a a 1343log 1log 18n n a a 的最小正整数n 的值为．12.若正三棱锥A BCD 的底面边长为6，，动点P 满足DA CB PA PB PC PD ，则2PA PB PA 的最小值为．二、选择题（本大题共有4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，满分18分）13.设x R ，则“38x ”是“2x ”的（）.A 充分而不必要条件；.B 必要而不充分条件；.C 充要条件；.D 既不充分也不必要条件．14.从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是（）.A 720；.B 710；.C 310；.D 35．15.若实数a 、b 满足221a b ab ，则必有（）.A 222a b ；.B 221a b ；.C 1a b ；.D 2a b ．16.O 最近的点为点①点p Q ）.A 三、17.4、3、2后，（1）（2）n t ，求数列 n t 的18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，平面ABCD 平面ADEF ，四边形ADEF 是正方形，//BC AD ，45BAD CDA ，2CD，AD （1）证明：CD 平面ABF ；（2）求二面角B EF A 的正切值．19.（折线DCE ）（1）（2）第18题图第19题图设a 为实数，1 是以点 0,0O 为顶点、以点10,4F为焦点的抛物线，2 是以点 0,A a 为圆心、半径为1的圆位于y 轴右侧且在直线y a 下方的部分．（1）求1 与2 的方程；（2）若直线2y x 被1 所截得的线段的中点在2 上，求a 的值；（3）是否存在a ，满足：2 在1 的上方，且2 有两条不同的切线被1 所截得的线段长相等？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．第20题图设函数 f x 与 g x 的定义域均为D ，若存在0x D ，满足 00 f x g x 且 00''f x g x ，则称函数 f x 与 g x “局部趋同”．（1）判断函数 151f x x 与 322f x x x 是否“局部趋同”，并说明理由；（2）已知函数 21g x x ax （0x ）， 2e xg x b （0x ）．求证：对任意的正数a ，都存在正数b ，使得函数 f x 与 g x “局部趋同”；（3）对于给定的实数m ，若存在实数n ，使得函数 1n h x mx x（0x ）与 2ln h x x “局部趋同”，求实数m 的取值范围．高三数学参考答案和评分标准说明：1．本解答仅列出试题的一种解法，如果考生的解法与所列解答不同，可参考解答中的评分精神进行评分．2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．一、填空题（本大题满分54分. 其中第1~6题每题满分4分，第7~12题每题满分5分）1. [1 2]−，；2. 1；3. i − ；4. 54；5. 12； 6. ； 7. 56； 8. 2425； 9.220； 10. π(0,]6； 11. 25； 12. 8. 二、选择题（本大题共4小题，满分18分.其中第13、14题每题满分4分，第15、16题每题满分5分）13. A 14. B 15. D 16. C三、解答题（本大题共有5题，满分78分．）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．解：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，由4345441000a a a a a a q q=⋅⋅=， 可得341000a =，即410a =. …………………………2分又由3454,3,2a a a 成等差数列，可得354426,a a a += 即402060,q q+=解得1q =或2，又{}n a 是严格增数列，所以2q =，…………………4分 故443410252n n n n a a q −−−==⋅=⋅. …………………………6分（2）由3(12)n n S =−，可得当2n ≥时，1113(22)32n n n n n n b S S −−−=−=−=−⋅，又1111332b S −==−=−⋅，所以对一切正整数n ，都有132n n b −=−⋅， …………………9分所以3132n n t −===⋅， ……………………11分所以{}n t 的前n 和为113131213(122)(21)44124n n n −−+++=⋅=−−. …………………14分 18.（本题满分14分）本题共有2小题，第小题满分6分，第小题满分8分．解：（1）在平面ABCD 内，BAD ∠=CDA ∠45=︒，∴直线AB, DC 相交，设它们交于点P ，90DPA ∴∠=︒, 即AB CD ⊥. 四边形ADEF 是正方形，AF AD ∴⊥，又平面ABCD ⊥平面ADEF ，它们的交线为AD ，AF ⊂平面ADEF ，故AF ⊥平面ABCD ，又CD ⊂平面ABCD ，AF CD ∴⊥. ……………4分又AB 与AF 是平面ABF 内的两条相交直线，∴CD ⊥平面ABF . ……………6分（2）在平面ABCD 内，过B 作BG AD ⊥，垂足为G .又平面ABCD ⊥平面ADEF , 它们的交线为AD ，故BG ⊥平面ADEF . ……………8分在平面ADEF 内，过G 作GH EF ⊥，垂足为H ，连BH ，则BH EF ⊥，故BHG ∠就是二面角B EF A −−的平面角， ……………11分又sin 45sin 45BG BA CD =︒=︒=，GH AF AD ===在直角BGH △中，1tan 4BG BHG GH ∠===， 所以二面角B EF A −−的正切值为14． ……………14分 法二：设O 是线段AD 的中点，由APD △是以AD 为底边的等腰直角三角形，可知PO AD ⊥，由平面ABCD ⊥平面ADEF , 它们的交线为AD ，且PO ⊂平面ABCD ，故PO ⊥平面ADEF , 设M 是线段EF 的中点，则OM ⊂平面ADEF ，可得PO OM ⊥，又,O M 是正方形ADEF 的对边,AD EF 的中点，可得AD OM ⊥， …………9分分别以,,OD OM OP 为,,x y z 轴建立如图的空间直角坐 标系，则(42,0,0)EF =−，(2,42,2)BF =−，设(,,1)n x y =是平面BEF 的一个法向量，则有(42)0,24220,n EF x n BF x y ⎧⋅=−=⎪⎨⋅=⋅+⋅−=⎪⎩解得0,1.4x y =⎧⎪⎨=⎪⎩故1(0,,1)4n =，又(0,0,22)OP =是平面ADEF 的一个法向量， ……………11分 所以二面角B EF A −−的余弦值为||4224172217||||n OP n OP ⋅⋅==⋅⋅， ，故二面角B EF A −−的正切值为14. ……………14分 19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分．解：（1）由πππ()333DOC αα∠=+−<<，2π3AOB ∠=, 可知 π3COE α∠=−, 作OF CD ⊥, 垂足为F ，由OD OC =，可知CF DF =且1π262DOF DOC α∠=∠=+， 在直角DOF △中，πsin()62DF OD α=+，故π2sin()62CD OD α=+， 同理可得ππ2sin()2sin()6262EC OC OD αα=−=−， ……………4分 所以π2sin()62OD α++π2sin()10062OD α−=，可得OD =5050ππsin()sin()cos 62622ααα=++−(米). ……6分（2）设花卉育苗区的面积为S 平方米，则221π1πsin()sin()2323S OD OD αα=++− 22150ππ[sin()sin()]233cos 2ααα=++−. ………9分1]1cos cos 2S =α==−+α. ……………12分 当且仅当cos 1α=且ππ33α−<<，即0α=时，S 取最大值，此时50OD =米. 故使π3DOC ∠=，且50OD =米，可使花卉育苗区的面积最大. ………………14分 20．（本题满分18分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．解:（1）设1Γ的方程为22x py =，又124p =，得21p =，即1Γ的方程为2y x =， ……2分 2Γ的方程为22()1(0,)x y a x y a +−=><. ……………4分（2）设直线2y x =+与1Γ的交点为1122(,),(,)M x y N x y ，线段MN 中点为00(,)G x y ， 由22,,y x y x =+⎧⎨=⎩可得220x x −−=，故1200015,2222x x x y x +===+=， ……………7分 由点G 在2Γ上，可知215()142a +−=且52a <，解得52a =. ……………10分 （3）设(,)D x y 为2Γ上任一点，则1)y a x =−<<. 点D 在1Γ的上方等价于2a x >,即2a x >对于(0,1)x ∈t =, 由(0,1)x ∈, 可得(0,1)t ∈,故222151()24x t t t +=−++=−−+的最大值为54, 可得54a >. ………12分 设直线y kxb =+与2Γ相切, 被1Γ截得的线段长为L ，则0,1k b a ><−,1=,可得a b −=, 又由2,,y kx b y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩可得20x kx b −−=, 设它的两个实根为12,x x , 则2222212(1)()(1)(4)L k x x k k b =+−=++， …………14分 设a b n −=，则1n >，n =，222432(144)4(41)L n n n a n n a n =−−+=−+−，令432()4(41)f n n n a n =−+−，则3223()412(82)[4()811]2f n n n a n n n a '=−+−=−+−， 当且仅当8110a −<，即118a <时，存在132n +=，使得在1(1.5,)n 与1(,)n +∞上， ()f n '分别小于0和大于0, 故()f n 分别严格增与严格减，故在(1.5,)+∞上必存在两个不同的n 值, 对应的()f n 相等，即存在两个不同的正数k ，使得对应的L 值相等.所以存在a 满足题中条件，且a 的取值范围是511(,)48. ……………18分21．（本题满分18分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．解：（1）1212()(),()(),f x f x f x f x =⎧⎨''=⎩(*1)即为32512,532,x x x x ⎧+=+⎨=+⎩………………2分 也即3310,1,x x x ⎧−−=⎨=±⎩由1x =与1x =−都不满足方程3310x x −−=， 故(*1)无解，所以1()f x 与2()f x 非“局部趋同”. ……………4分（2）1212()(),()(),g x g x g x g x =⎧⎨''=⎩即为2e ,2e ,x x x ax b x a b ⎧−+=⎨−+=⎩ 等价于2(2)0,2e ,x x a x a x a b ⎧−++=⎨−+=⎩（*2） ………7分 令2()(2)g x x a x a =−++，对于任意正数a ，由(0)0g a =>，()02a g a =−<， 又()g x 在[0 ]2a ，上的图像是连续不间断的，故 ()g x 在(0 )2a ，上至少有一个零点， ……9分 设0x 是其中一个零点，则存在正数002e x x a b −+=，使得（*2）在(0 )+∞，上有解0x ， 故对任意的正数a ，都存在正数b ，使得函数1()g x 与2()g x “局部趋同”. …………10分（3）1212()(),()(),h x h x h x h x =⎧⎨''=⎩(*)即为2ln ,1,n mx x x n m x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪−=⎪⎩等价于221ln ,,mx x n mx x −=⎧⎨=−⎩（*3） ………13分令()ln h x x =，则1()h x x'=，()h x 的图像在点(,ln )t t 处的切线的方程为1ln ()y t x t t −=−， 即1ln 1y x t t=+−，令ln 11t −=−，可得1t =，此时上述切线方程为1y x =−，………15分 故当且仅当21m =时，直线21y mx =−与()h x 的图像相切，由图像可知，当且仅当21m ≤时，直线21y mx =−与()h x 的图像有公共点（在y 轴右侧），故当且仅当12m ≤时，21ln mx x −= 有正数解0x ，此时存在200n mx x =−，使得（*3）有正数解，从而1()h x 与2()h x “局部趋同”.所以满足条件的实数m 的取值范围是1(,]2−∞. ……………18分。
2024届上海徐汇区高三一模数学试卷和答案
2023-2024学年第一学期上海徐汇区学习能力诊断卷高三数学试卷2023.12考生注意：1．本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分.2．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，答卷前，在答题卷上填写姓名、考号等相关信息.3．所有作答务必填涂在答题卷上与试卷题号对应的区域，不得错位，在试卷上作答一律不得分.4.用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．已知全集U =R ，集合{}2M x x =>，则M =________________．2.不等式11x>的解集是_____________.3.已知直线:2l y kx =+经过点(1,1)，则直线l 倾斜角的大小为_______________．4.若实数,x y 满足2x y +=，则22x y +的最小值为______________.5.某学校组织全校学生参加网络安全知识竞赛，成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]，若该校的学生总人数为1000，则成绩低于60分的学生人数为_________.6.函数lg(21)lg y x x =++的零点是______________.7.已知1021001210(1)x a a x a x a x -=+++⋯+，则57139a a a a a ++++=___________.8.要排出高一某班一天上午5节课的课表，其中语文、数学、英语、艺术、体育各一节，若要求语文、数学选一门第一节课上，且艺术、体育不相邻上课，则不同的排法种数是___________.9.在ABC ∆中，AC BC =，123,P P P ,为边AB 上的点，且1238428PB P B P B AB ====，设(1,2,3)k k k I P B P C k =⋅=，则123I I I -+=___________.10.某建筑物内一个水平直角型过道如图所示，两过道的宽度均为3米，有一个水平截面为矩形的设备需要水平通过直角型过道.若该设备水平截面矩形的宽BC 为1米，则该设备能水平通过直角型过道的长AB 不超过______________米．11.已知一个棱长为的正方体木块可以在一个封闭的圆锥形容器内任意转动，若圆锥的底面半径为3，母线长为6，则实数的最大值为______________.12.已知函数()y f x =，其中12()122x xxf x a +-=--+，存在实数12,,,n x x x 使得11()()n ini f x f x -==∑成立，若正整数n 的最大值为8，则实数a 的取值范围是________．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.设12z z ∈C 、，则“12z z 、中至少有一个虚数”是“12z z -为虚数”的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件14.跳水比赛共有7位评委分别给出某选手的原始评分,评定该选手的成绩时,从7个原始评分中去掉1个最高分和1个最低分,得到5个有效评分.5个有效评分与7个原始评分相比,一定不变的数字特征是()A.中位数B.平均数C.方差D.极差15.已知集合{(,)|()}=M x y y =f x ，若对于任意(,)x y M ∈，总存在与之相应的(,)x y M ∈，，（其中x x ≠，），使得()()2222||xx yy x y x y +=+⋅+，，，，成立，则称集合M 是“Ω集合”.下列选项为“Ω集合”的是()A ．1{(,)|0 }M x y y =x x=>，B ．{(,)|-2}=x M x y y =e C ．{(,)|cos }=M x y y =x D ．3{(,)|}M x y y =x =16.已知数列{}n a 为无穷数列．若存在正整数l ，使得对任意的正整数n ，均有n l n a a +≤，则称数列{}n a 为“l 阶弱减数列”．有以下两个命题：①数列{}n b 为无穷数列且cos 2n nb n =-（n为正整数），则数列{}n b 是“l 阶弱减数列”的充要条件是4l ≥；②数列{}n c 为无穷数列且11n n q c an q -=+-（n 为正整数），若存在a ∈R ，使得数列{}n c 是“2阶弱减数列”，则11q -≤<．那么()A ．①是真命题，②是假命题B ．①是假命题，②是真命题C ．①､②都是真命题D ．①､②都是假命题三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，520=S .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若等比数列{}n b 的公比为12q =，且满足449a b +=，求数列{}n n a b -的前n 项和n T .18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，某多面体的底面ABCD 为正方形，MA ‖PB ，MA BC ⊥，AB PB ⊥，1MA =，2AB PB ==.（1）求四棱锥P ABCD -的体积；（2）求二面角B PM D --的平面角的正弦值.19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）2023年杭州亚运会首次启用机器狗搬运赛场上的运动装备.如图所示，在某项运动赛事扇形场地OAB 中，2AOB π∠=，500OA =米，点Q 是弧AB 的中点，P 为线段OQ 上一点（不与点O ，Q 重合）.为方便机器狗运输装备，现需在场地中铺设三条轨道PO ，PA ，PB .记APQ θ∠=，三条轨道的总长度为y 米．（1）将y 表示成θ的函数，并写出θ的取值范围；（2）当三条轨道的总长度最小时，求轨道PO 的长．20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的离心率为e .（1）若e =E 经过点，求双曲线E 的方程；（2）若2a =，双曲线E 的左、右焦点分别为12F F 、，焦点到双曲线E ，点M 在第一象限且在双曲线E 上，若1MF =8，求12cos F MF ∠的值；（3）设圆22:4O x y +=，,k m ∈R .若动直线:l y kx m =+与圆O 相切，且l 与双曲线E 交于A B 、时，总有2AOB π∠=，求双曲线E 离心率e 的取值范围．21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）若函数(),y f x x =∈R 的导函数(),y f x x '=∈R 是以(0)T T ≠为周期的函数，则称函数(),y f x x =∈R 具有“T 性质”.（1）试判断函数2y x =和sin y x =是否具有“2π性质”，并说明理由；（2）已知函数()y h x =，其中2()2sin (03)=++<<h x ax bx bx b 具有“π性质”，求函数()y h x =在[0,]π上的极小值点；（3）若函数(),y f x x =∈R 具有“T 性质”，且存在实数0M >使得对任意x ∈R 都有|()|f x M <成立，求证：(),y f x x =∈R 为周期函数.（可用结论：若函数(),y f x x =∈R 的导函数满足()=0,f x x '∈R ，则()()常数=f x C .）参考答案及评分标准2023.12一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．[]2,2-2.()0,1 3.34π 4.25.300 6.27.512-8.249.110.2-11.212.49943773⎛⎤⎡⎫-- ⎥⎢⎝⎦⎣⎭，二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.B14.A15.D16.C三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，又因为1(1)2n n n S na d -=+，且12a =，所以5101020S d =+=，故1d =.所以1n a n =+.（2）由（1）可知，45a =，又449a b +=，所以44b =.因为12q =，可得41332b b q==，所以，1122()()()n n n T a b a b a b =-+-+⋅⋅⋅+-1212()()n n a a a b b b =++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+11()(1)21n n n a a b q q+-=--6(3)2642n n n -+=+-.18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）因为MA BC ⊥，MA //PB ，所以PB BC ⊥，因为AB PB ⊥，AB BC B = ，所以PB ⊥平面ABCD .118222333P ABCD ABCD V S PB -=⋅=⨯⨯⨯=.（2）因为四边形ABCD 为正方形，所以AB BC ⊥，又PB AB ⊥，PB BC ⊥.所以如图，建立空间直角坐标系B xyz -，则(002)P ,,，(201)M ,,，(220)D ,,，(222)PD =-,,，(201)PM =-,,.设平面PDM 的法向量为()x y z m = ,,，则00PD PM m m ⋅=⋅=⎧⎪⎨⎪⎩,,即222020x y z x z +-=-=⎧⎨⎩,.令2z =，则1x =，1y =.于是(112)m = ,,.所以，平面PDM 的一个法向量为(112)m =,,.平面PBAM 的一个法向量为(010)n =,,，设二面角B PM D --的平面角为θ，所以cos cos 66m n m n m nθ=<>==⋅,.所以，二面角B PM D --的平面角的正弦值为306.19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）因为点Q 是弧AB 的中点，由对称性，知PA PB =，4AOP BOP π∠=∠=，又APO πθ∠=-，4OAP πθ∠=-，500OA =由正弦定理，得()sin sinsin 44APOAOPπππθθ==-⎛⎫- ⎪⎝⎭，500sin 25024,sin sin AP OP πθθθ⎛⎫- ⎪⎝⎭==所以，.500sin 2sin cos 42sin sin y AP BP OP AP OP πθθθθθ⎛⎫- ⎪+-⎝⎭=++=+==所以，因为APQ AOP ∠>∠，所以4πθ>，13248AQO OAQ πππ⎛⎫∠=∠=-= ⎪⎝⎭，所以5,48ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭.（2）法一：由（1）得：2cos sin y θθ-=，5,48ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．记2cos sin t θθ-=，则sin cos 2t θθ+=，由辅助角公式可得：)2sin()1θϕθϕ+=⇒+=，解得t ≥，当t =时，可有5sin(1,6348ππππθθ⎛⎫+=⇒=∈ ⎪⎝⎭，等号可以取得．故当3πθ=时，三条轨道的总长度最小，此时(2503OP =．法二：由（1）得：2cos sin y θθ-=，5,48ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．记2cos sin t θθ-=，tan tan ,tan 2816x θππ5⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则由万能置换公式可得：2222123111132221x x x t x x x x x--+⎛⎫+===+≥ ⎪⎝⎭+，当且仅当33x =即3πθ=时等号成立．故当3πθ=，三条轨道的总长度最小，此时(2503OP =．法三：令()2sin cos sin f θθθθ+-=，5,48ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.由()212cos '0sin f θθθ-==，解得3πθ=，则有θ43ππθ<<3πθ=538ππθ<<()'f θ0<0=0>()f θ严格减极小值严格增所以当3πθ=，即(2503OP =米时，()f θ有唯一的极小值，即是最小值，则()min 1f θ=+，三条轨道的最小值为+.故当3πθ=时，三条轨道的总长度最小，此时(2503OP =．20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）解：（1）由e =，得c =，又222c a b =+得22a b =,又双曲线E 经过点，有22211a b-=，所以21a =,所以，双曲线方程为221x y -=.（2）由已知得22214x y b-=，渐近线方程为20bx y ±=，焦点坐标为(0)焦点到双曲线E的渐近线的距离为=，所以b =由双曲线定义知，24MF =，222128413cos 28416F MF +-∠==⨯⨯所以，.（3）因为直线:l y kx m =+与圆O 相切，且2R =2=，化简得2244m k =+,又2AOB π∠=，11221212(,),(,),0,0A x y B x y OA OB x x y y ⋅=+= 则即，设则221212(1)()0k x x km x x m ++++=，（*）联立2222222222222)201y kx mb a k x a kmx a m a b x y a b =+⎧⎪----=⎨-=⎪⎩得 (，则222212122222222(),a mk a m b x x x x b a k b a k-++==--代入（*）得222222222(1)()2()0k a m b km a mk m b a k ⎡⎤+-++⋅+-=⎣⎦将2244m k =+代入，进一步化简得222222222(1)(44)0,440k a a b b a a b b ++-=+-=则，又222c a b =+，22222222224()4()8024a a c a c a cb a a +---+==>由，得，则ce a=>e的取值范围)+∞.21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）解：（1）2()=f x x 不具有“2π性质”.理由是：()2,(2)(0)40,(2)(0)πππ'''''=-=≠∴≠f x x f f f f ；法一：。
2020届上海中学高三数学周练(一)(PDF版简略答案).pdf
0 ），
f
(
)
f
( ) ，且
f (x) 在区间 (
, ) 内有最
3
6
3
63
小值，无最大值，则
9.
已知函数
f
(
x)
x 2x
1 1
2
范围是
0 x 1 ，设 a b 0 ，若 f (a) f (b) ，则 b f (a) 的取值
x 1
10. 在平面直角坐标系 xOy 中，设定点 A(a, a) ， P 是函数 y 1 （ x 0 ）图像上一动点， x
16.
PA
PB
c
PA
PC
b
c
2 PA
说明
AP
为角平分线，由此判断②正确，选
B
b
b
三. 解答题
17. S 3 ， AB 6 2
18.（1） x2 y2 1 ；（2）0 84
19.（1）
f
( )
2(sin cos ) sin cos
k1 k2 k3
19. 一走廊拐角处的横截面如图所示，已知内壁 FG 和外壁 BC 都是半径为 1 m 的四分之一 圆弧， AB 、 DC 分别与圆弧 BC 相切于 B 、 C 两点， EF ∥ AB ， GH ∥ CD 且两组平行 墙壁间的走廊宽度都是 1 m . （1）若水平放置的木棒 MN 的两个端点 M 、N 分别在外壁 CD 和 AB 上，且木棒与内壁圆 弧相切于点 P ，设 CMN ，试用 表示木棒 MN 的长度 f ( ) ； （2）若一根水平放置的木棒能通过该走廊拐角处，求木棒长度的最大值（精确到 0.01 m ）
2024届上海市闵行区高三一模数学试题及答案
上海市闵行区2024届高三一模数学试卷（满分150分，时间120分钟）2023.12.12一、填空题（本大题共有12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，满分54分）1.已知集合 0,1,1M a ，若1M ，则实数a ．2.若1sin 3，则 sin ．3.若4.5.6.7.则 8.的值最小，则a 9.10.．11.已知数列 n a 为无穷等比数列，若12ii a，则1i i a的取值范围为．12.已知点P 在正方体1111ABCD A B C D 的表面上，P 到三个平面ABCD 、11ADD A 、11ABB A 中的两个平面的距离相等，且P 到剩下一个平面的距离与P 到此正方体的中心的距离相等，则满足条件的点P 的个数为．第12题图二、选择题（本大题共有4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，满分18分）13.已知a b R 、，a b ，则下列不等式中不一定成立的是（）.A 22a b ；.B 22a b ；.C 22a b ；.D 22a b ．14.某校读书节期间，共120名同学获奖（分金、银、铜三个等级），从中随机抽取24名同学参加交流会，若按高一、高二、高三分层随机抽样，则高一年级需抽取6人；若按获奖等级分层随机抽样，则金奖获得者需抽取4人．下列说法正确的是（）.A 高二和高三年级获奖同学共80人；.B 获奖同学中金奖所占比例一定最低；.C 获奖同学中金奖所占比例可能最高；.D 获金奖的同学可能都在高一年级．15.已知复数1z 、2z 在复平面内对应的点分别为P 、Q ，5OP （O 为坐标原点），且221122sin 0z z z z ，则对任意R ，下列选项中为定值的是（）.A OQ 16.①“1x .A .C 三、17.如图，，且PA PD2a（1）（2）第17题图18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）在ABC 中，角A 、B 、C 所对边的边长分别为a 、b 、c ，且2cos a c B c ．（1）若1cos 3B，3c ，求b 的值；（2）若ABC 为锐角三角形，求sin C 的取值范围．19.B 表示事件已知04p ，曲线1 、2 的方程分别为22y px（08x ，0y ）和22x py （08y ，0x ），1 与2 在第一象限内相交于点 ,K K K x y ．（1）若OK p 的值；（2）若2p ，定点T 的坐标为 4,0，动点M 在直线y x 上，动点 ,N N N x y （04N x ）在曲线2 上，求MN MT 的最小值；（3）已知点y x，求实数p 的已知a R ， 32251ln f x a x x x a x ．（1）若1为函数 y f x 的驻点，求实数a 的值；（2）若0a ，试问曲线 y f x 是否存在切线与直线10x y 互相垂直？说明理由；（3）若2a ，是否存在等差数列123,,x x x （1230x x x ），使得曲线 y f x 在点22,x f x 处的切线与过两点11,x f x 、33,x f x 的直线互相平行？若存在，求出所有满足条件的等差数列；若不存在，说明理由．参考答案与评分标准一. 填空题 1．2−； 2．13； 3．4； 4．6； 5．6π； 6．y x =±； 7．23π；8．3；9．18； 10．0,,22⎧⎪−⎨⎪⎪⎩⎭； 11．[)2,+∞；12．6.二. 选择题 13．C ； 14．D ； 15．A ； 16．C ．三. 解答题17．(1) [证明]连接AC ,ABCD 为正方形且F 为BD 的中点， F ∴为AC 的中点，又E 为PC 中点，//EF PA ∴. …………………………………2分又EF 不在平面PAD 上,PA ⊂平面PAD ，//EF ∴平面PAD . ………………………………………6分 (2) [解] 2,2PA PD a AD a ===，PA PD ∴⊥, ∴PAD △为等腰直角三角形，取AD 中点M ,由等腰三角形性质可知PM AD ⊥, ………………………………8分 又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，PM ABCD ∴⊥平面,……………………………………………10分连接BM ,则PBM ∠为直线PB 与平面ABCD 所成的角， ………………………12分由1,22PM a BM a ==，PMMB ⊥可得tan 5PBM ∠=, ∴直线PB 与平面ABCD 所成的角的正切值为5. ……………………………14分18．[解] (1)将1cos 3B =,3c =带入条件中可得5a =，………………………2分 由余弦定理2222cos b a c ac B =+−可得b =； …………………………6分 (2) 2cos a c B c −=，由正弦定理可得sin 2sin cos sin A C B C −=, ………8分 sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+,sin cos sin cos sin B C C B C ∴−=,sin()sin B C C −=， ……………………10分(,),(0,)222B C C πππ−∈−∈,所以B C C −=,即2B C =,…………………12分 又因为ABC △为锐角三角形，(,)64C ππ∴∈,1sin (,22C ∈.………………14分19．[解]（1）从这36名小青荷中随机抽取两名的方法数为236C ，……………………2分 抽取的两名都不会说日语的方法数为216C ， ………………………………4分因此，抽取的两名中至少有一名会说日语的概率为21623617121C C −=； ………………6分（抽取的两名小青荷中至少有一名会说日语的方法数为211202016C C C + 给2分）（2）当6m =、12n =时，事件A 与B 相互独立， ……………………………8分M理由如下：从这些小青荷中随机抽取一名，事件A 发生的概率121()363P A ==， 事件B 发生的概率6121()362P B +==， …………………………………10分 事件A 与B 同时发生的概率61()366P A B ==， …………………………12分 111()()()326P A P B P A B ⋅=⨯==，因此，事件A 与B 相互独立. …………………………………14分（其它答案：当7m =、14n =时，1()3P A =，7147()3612P B +==，7()36P A B =；当8m =、16n =时，1()3P A =，8162()363P B +==，82()369P A B ==.）（2）[另解] 从这些小青荷中随机抽取一名，事件A 发生的概率121()363P A ==， 事件B 发生的概率()36m nP B +=， …………………………8分 事件A 与B 同时发生的概率()36mP AB =， …………………………10分 若事件A 与B 相互独立，则1()()()33636m n m P A P B P A B +⋅=⨯==， 整理得2n m =， …………………………12分 所以可取6m =、12n =或7m =、14n =或8m =、16n =. ……………14分 (学生只需写出三种情况中的一种即可)20．[解]（1）联立2222y pxx py⎧=⎪⎨=⎪⎩，由点(,)K K K x y 在第一象限，得22K K x p y p=⎧⎨=⎩，…………………………2分 由||OK ==2p =； ……4分 （2）曲线1Γ和2Γ关于直线y x =对称，取N 关于y x =的对称点'N ，则'N 在曲线24(04,0)y x x y =≤≤≥上， ………………6分min min ()(')MN MT MN MT ∴+=+，又因为''MN MT TN +≥，所以只需求T 到24(04,0)y x x y =≤≤≥上动点'N 的距离'TN 的最小值，令'(4)N x x ≤≤，则'TN==，………8分当2x =时，'TN 的最小值为min ()MN MT ∴+=所以（当(8M −−，N 时）MN MT +的最小值为…10分（3）由（1）可得1|||AC x==，（102x p≤≤），2||BD x==，（228p x<≤），…………………………12分因此当12px=时，2m p=，当28x=时，t=，………………………………………14分由1[,2]2mt∈，得122≤≤，……………………………………………16分解得16160p−≤≤−．……………………………………………18分21．[解]（1）由题意21()3(2)25ax a xxf x−=−−++'，…………………2分由1为函数()y f x=的驻点，得(1)3(2)3(1)0a af=−++−='，因此1a=；……………………………………………4分（2）当0a=时，32()25lnf x x x x x=−−++，21()625f x x xx=−−++'，………………………………………………6分原问题等价于是否存在x>，使得()10xf'+=，令21(())1626(0)x x x xxg x f+=−−++>='因为函数()y g x=在区间1[,1]2上是一段连续曲线，且111()022g=>，(1)10g=−<，……………………………………………8分由零点存在定理，存在1(,1)2x∈，使得00(())10x xg f'+==，即曲线()y f x=存在切线与直线10x y+−=互相垂直；……………………10分（3）当2a=时，2()5lnf x x x x=−+−，1()25xxf x=−+'−，假设存在等差数列123123,,(0)x x x x x x<<<满足题意，则31231()()()x xxxfxff−=−'，即223131223131ln ln1255x x x xxx x x x x−−−+−=−+−−−，将1322x xx+=代入上式得，3131312()ln lnx xx xx x−=−+，………………………12分即3313112(1)ln01xxxx xx−−=+，令312(1),()ln(1)1x tt h t t tx t−==−>+，……………14分则22241(1)()0(1)(1)httt t t t−−=−=<++'，因此函数()y h t =在(0,)+∞上为严格减函数， …………………………………16分由题意311x t x =>，(1)0h =，所以()0h t <，即31()0xh x <．因此，不存在等差数列123123,,(0)x x x x x x <<<满足题目条件．……………18分。
2024届上海静安区高三一模数学试卷和答案
上海静安区2023-2024学年第一学期期末教学质量调研高三数学试卷本试卷满分150分，考试时间120分钟．一、填空题（本大题共12小题，满分54分）第1小题至第6小题每个空格填对得4分，第7小题至第12小题每个空格填对得5分，考生应在答题纸的相应编号后填写答案，否则一律得零分．1.准线方程为10x +=的抛物线标准方程为______．2.32x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中x 的系数为______.3.若一个圆柱的底面半径和母线长都是1，则这个圆柱的体积是______.4.已知R a ∈，i 是虚数单位，1i a -的虚部为______.5.计算123ii +∞=⎛⎫=⎪⎝⎭∑_____________．6.某果园种植了222棵苹果树，现从中随机抽取了20棵苹果树，算得这20棵苹果树平均每棵产量为28kg ，则预估该果园的苹果产量为______kg ．7.下列幂函数在区间()0,∞+上是严格增函数，且图象关于原点成中心对称的是______（请填入全部正确的序号）．①12y x =；②13y x =；③23y x =；④13y x-=．8.若不等式35x x a-+-≥对所有实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是______．9.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是矩形，||||2AP AB ==，||4AD =，E 是BC 上的点，直线PB 与平面PDE 所成的角是3arcsin6，则BE 的长为______.10.不等式2log 42x x +<的解集为______.11.在国家开发西部的号召下，某西部企业得到了一笔400万元的无息贷款用做设备更新．据预测，该企业设备更新后，第1个月收入为20万元，在接下来的5个月中，每月收入都比上个月增长20%，从第7个月开始，每个月的收入都比前一个月增加2万元．则从新设备使用开始计算，该企业用所得收入偿还400万无息贷款只需______个月．（结果取整）12.记22()ln 2f x x x kx k =+-+，若存在实数a b 、，满足122a b ≤<≤，使得函数()y f x =在区间[],a b 上是严格增函数，则实数k 的取值范围是______.二、选择题（本大题共4小题，满分18分）第13题、14题各4分，第15题、16题各5分．每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑．13.已知α：1x >，β：11x <，则α是β的（）A.必要非充分条件B.充分非必要条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件14.设α是第一象限的角，则2α所在的象限为（）A.第一象限B.第三象限C.第一象限或第三象限D.第二象限或第四象限15.教材在推导向量的数量积的坐标表示公式“1212a b x x y y ⋅=+（其中1122(,),(,)x y x y ==a b ）”的过程中，运用了以下哪些结论作为推理的依据（）①向量坐标的定义；②向量数量积的定义；③向量数量积的交换律；④向量数量积对数乘的结合律；⑤向量数量积对加法的分配律．A.①③④ B.②④⑤C.①②③⑤D.①②③④⑤16.记点P 到图形C 上每一个点的距离的最小值称为点P 到图形C 的距离，那么平面内到定圆C 的距离与到定点A 的距离相等的点的轨迹不可能是（）A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.直线三、解答题（本大题共5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17.记22()sin cos cos ()f x x x x x x λ=-++∈R ，其中λ为实常数．（1）求函数()y f x =的最小正周期；（2）若函数()y f x =的图像经过点π,02⎛⎫⎪⎝⎭，求该函数在区间20,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．18.甲、乙两人每下一盘棋，甲获胜的概率是0.4，甲不输的概率为0.9．（1）若甲、乙两人下一盘棋，求他们下成和棋的概率；（2）若甲、乙两人连下两盘棋，假设两盘棋之间的胜负互不影响，求甲至少获胜一盘的概率．19.已知双曲线C ：2212x y -=，点M 的坐标为()0,1．（1）设直线l 过点M ，斜率为12，它与双曲线C 交于A 、B 两点，求线段AB 的长；（2）设点P 在双曲线C 上，Q 是点P 关于y 轴的对称点．记k MP MQ =⋅，求k 的取值范围．20.如下图，某公园东北角处有一座小山，山顶有一根垂直于水平地平面的钢制笔直旗杆AB ，公园内的小山下是一个水平广场（虚线部分）．某高三班级数学老师留给同学们的周末作业是：进入该公园，提出与测量有关的问题，在广场上实施测量，并运用数学知识解决问题．老师提供给同学们的条件是：已知10AB =米，规定使用的测量工具只有一只小小的手持激光测距仪（如下图，该测距仪能准确测量它到它发出的激光投射在物体表面上的光点之间的距离）．（1）甲同学来到通往山脚下的笔直小路l 上，他提出的问题是：如何测量小山的高度？于是，他站在点C 处，独立的实施了测量，并运用数学知识解决了问题．请写出甲同学的解决问题方案，并用假设的测量数据（字母表示）表示出小山的高度H ；（2）乙同学是在一阵大风过后进入公园的，广场上的人纷纷议论：旗杆AB 似乎是由于在根部A 处松动产生了倾斜．她提出的问题是：如何检验旗杆AB 是否还垂直于地面？并且设计了一个不用计算就能解决问题的独立测量方案．请你写出她的方案，并说明理由；（3）已知（1）中的小路l 是东西方向，且与点A 所确定的平面垂直于地平面．又已知在（2）中的乙同学已经断定旗杆AB 大致向广场方向倾斜．如果你是该班级的同学，你会提出怎样的有实际意义的问题？请写出实施测量与解决问题的方案，并说明理由（如果需要，可通过假设的测量数据或运算结果列式说明，不必计算）．21.如果函数()y f x =满足以下两个条件，我们就称()y f x =为L 型函数．①对任意的()0,1x ∈，总有()0f x >；②当12120,0,1x x x x >>+<时，总有1212()()()f x x f x f x +<+成立．（1）记21()2g x x =+，求证：()y g x =为L 型函数；（2）设R b ∈，记()ln()p x x b =+，若()y p x =是L 型函数，求b 的取值范围；（3）是否存在L 型函数()y r x =满足：对于任意的()0,4m ∈，都存在()00,1x ∈，使得等式0()r x m =成立？请说明理由．参考答案一．填空题：1、24y x =；2、6；3、π；4、211a +；5、2；6、6216；7、②；8、(,2]-∞；9、2；10、()0,4；11、10；12、9,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭；二．选择题：13、B ；14、C ；15、D ；16、D ；三．解答题：17、（1）()cos 22f x x x =-+π2sin 26x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭λ+．∴函数()y f x =的最小正周期为π．（2） π102f λ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，∴1λ=-，则π()2sin 216f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．令2π6x t -=，则π7π,66t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．当ππ266x -=-或7π6，即0x =或2π3时，()min 2f x =-．当ππ262x -=，即π3x =时，max ()1f x =．18、设事件A 表示甲获胜，事件B 表示和棋，事件C 表示甲不输．则C A B = ．因为和棋与获胜是互斥的，由概率的可加性，得()()()()P C P A B P A P B ==+ ．因为()0.9,()0.4P C P A ==，所以()0.90.40.5.P B =-=（2）设事件A 表示甲获胜，则A 表示甲未获胜.设下两次棋至少有一次获胜的事件为E ，则()()()E A A A A A A =⋂⋃⋂⋃⋂，因为两盘棋之间的胜负互不影响，且至少有一次获胜包括的三种情况是互斥的.所以()0.40.4(10.4)0.40.4(10.4)0.64P E =⨯+-⨯+⨯-=19、（1）直线l 的方程为112y x =+．由方程组2211,21,2y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩得2480x x --=．设()()1122,,,A x y B x y ,则12124,8x x x x +==-，AB ===．（2）设点(),P x y ，则点Q 的坐标为(),x y -．(),1MP x y =- ，(),1MQ x y =--，∴()221k x y =-+-222221y y y =--+-+2221(1)y y y =---=-+．因为R y ∈，所以(],0k ∞∈-．20、（1）解一：(1)如图1，设点A 在水平面的投影点为O ．用测距仪测得CA m =，CB n =．在ABC 中，22100cos 20m n BAC m +-∠=，在AOC 中，22100cos 20m n OAC m +-∠=-，所以22100cos 20n m H m OAC --=∠=．解二：如图2，在平面ABC 上，以点C 为原点，向量CO为x 轴，建立平面直角坐标系xCy ，设点(),A x H ，则(),10B x H +，用测距仪测得CA m =，CB n =，则()22222210x H mx H n⎧+=⎪⎨++=⎪⎩，解得22100.20n m H --=（2）如图，用电子尺测得CA m =，CB n =，在广场上从点C 移动至点D ，使得DB n =，再移至点E ，使得EA n =，此时再测量DA EA 、，若CA DA EA ==，则可知旗杆AB 垂直于地面，否则就是倾斜了．理由如下：已知CB DB =，CA DA =，设点M 是CD 的中点，则在等腰CBD △中，BM CD ⊥．同理AM CD ⊥，又,AM BM ⊂平面ABM ，所以AM ⊥平面ABM ；又因为AB ⊂平面ABM ，故AB CD ⊥．同理可证AB DE ⊥．综上所述，旗杆AB 垂直于地面．（3）提问：旗杆AB 向哪个方向倾斜多少角度？说明：用AB 在地平面上的投影来刻画AB 的倾斜方向是合理的，也可以采用在广场上确定一个位于在地平面上投影上的点来刻画，用AB 与小路l 的夹角刻画扣1分．关于如何刻画AB 倾斜多少角度的问题，既可以用AB 与垂直于地面的直线所成角的大小，也可以用AB 与地平面所成角的大小来刻画．解答方案1：如图，在地面画出离点A 距离相等的点的轨迹圆O ，再在圆O 上找到离点B 距离最近的点D ，作BH 垂直于地面，垂足为H ，则ABH ∠的大小就是旗杆AB 倾斜角度．理由如下：先证明OH 与圆O 的交点既是点D ．只需证明：对于圆O 上任意一点M ，MB DB >．因为在MHD 中，ODM OMD ∠>∠，所以MH DH >，故MB DB >．如图5，从图4中的点D 向点A 的方向走到点P ，放置一个物体，测得PD 、PA 、DA 的长，利用余弦定理可得ADO ∠的大小．同理可得BDO ∠的大小．因此，可以求得图4中的BH 、AO 、DH 、DO 的长．在COD △中，三边已知，利用余弦定理可求得COD ∠，即旗杆AB 向西偏南COD ∠的方向倾斜．又由于DH 、DO 已求得，故AB 倾斜角度为arccos10DO DH-．测量倾斜角的大小方案2：如图5，从点D 向点A 的方向走到点P ，测得PD 、PA 、DA 的长，利用余弦定理可得ADO ∠的大小，从而求得A 点的高度1h ．同理可求得B 点的高度2h ．如图，1210h h +-即是由于旗杆倾斜旗杆顶点所下降的高度1B G．所以21AG h h =-，在Rt ABG △中，21arccos 10h h BAG -∠=即为所求，测量倾斜角的大小方案3：在图5中，以点O 为原点，以OA 为y 轴建立平面直角坐标系xOy ，则容易求出点A 与点B 的坐标(),A A x y 与(),B B x y ，故AB 的倾斜角为arctanB AB Ay y x x --．21、（1）当()0,1x ∈时，1()02g x >>，当1>0x ，20x >，121x x +<时，()()2121212g x x x x +=++，()()2212121g x g x x x +=++，则()()()()2221212121212111222g x g x g x x x x x x x x +-+=++-+-=-12142x x -=，121x x >+≥∴12140x x ->，∴()()()1212g x g x g x x +>+，∴21()2g x x =+为L 型函数.（2）当()0,1x ∈时，由()()ln 00p x b >+≥得1b ≥，当1>0x ，20x >，121x x +<时，()()1212ln p x x x x b +=++，()()()()1212ln ln p x p x x b x b +=+++，由()()()1212p x x p x p x +<+，得()()()1212ln ln ln x x b x b x b ++<+++，即()()1212x x b x b x b ++<++，即()2121212x x b x x b x x b ++<+++，即()()212121210b b x x x x x x ++-+-+>，令()()()21212121h b b b x x x x x x =++-+-+，则对称轴()12110,22x x b -+⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，所以()h b 在[)1,+∞上的最小值为()1h ，只要()10h >，则()0h b >，因为()()()2121212111h x x x x x x =++-+-+120x x =>，所以[)1,b ∈+∞．（3）存在，举例1：()r x =理由如下：当()0,1x ∈时，()()04r x ∈,符合()0r x >；当1>0x ，20x >，121x x +<时，()12r x x +=()()12r x r x +=，212x x =++，21212x x x x =+<++，故22<，∴<()()()1212r x x r x r x +<+，即()y r x =是L 型函数，且对任意的()0,4m ∈，存在()00,1x ∈，使得等式0()r x m =成立；举例2：()()1r x x =+；理由如下：当()0,1x ∈时，()()04r x ∈,，符合()0r x >，当1>0x ，20x >，121x x +<时，()()12121r x x x x +=++，()()()()121211r x r x x x +=+++，()()121212121111x x x x x x x x ++=+++>++ ，∴()()()1212111x x x x ++<+++，即()()()1212r x x r x r x +<+，即()y r x =是L 型函数，且对任意的()0,4m ∈，都存在()00,1x ∈，使得等式0()r x m =成立.由此可知存在L 型函数()y r x =满足：对于任意的()0,4m ∈，都存在()00,1x ∈，使得等式0()r x m =成立.。
上海复旦附中2024学年高三年级第二学期数学试题周练一(含附加题)
上海复旦附中2024学年高三年级第二学期数学试题周练一（含附加题）注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图所示，已知某几何体的三视图及其尺寸（单位：cm ），则该几何体的表面积为( )A ．15π2cmB ．21π2cmC ．24π2cmD ．33π2cm2．抛掷一枚质地均匀的硬币，每次正反面出现的概率相同，连续抛掷5次，至少连续出现3次正面朝上的概率是（ ） A ．14B ．13C ．532D ．3163．已知函数f (x )＝223,1ln ,1x x x x x ⎧--+≤⎨>⎩,若关于x 的方程f (x )＝kx －12恰有4个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是( ) A ．1e 2⎛⎝ B ．12e ⎡⎢⎣C ．12e ⎛⎝⎦D ．12e ⎛⎝⎭4．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，0>ω，0ϕπ<<）的图象关于点5,012M π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称，且与点M 相邻的一个最低点为2,33N π⎛⎫- ⎪⎝⎭，则对于下列判断： ①直线2x π=是函数()f x 图象的一条对称轴；②点,012π⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 的一个对称中心； ③函数1y =与()351212y f x x ππ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭的图象的所有交点的横坐标之和为7π. 其中正确的判断是（ ） A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③5．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若ABC ∆的面为S ，且()2243S a b c =+-，则sin 4C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．1B ．22C ．624- D ．624+ 6．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题；“三百七十八里关，初行健步不为难，次后脚痛递减半，六朝才得到其关，要见每朝行里数，请公仔细算相还.”其意思为：“有一个人走了378里路，第一天健步走行，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地，求该人每天走的路程.”由这个描述请算出这人第四天走的路程为（ ） A ．6里B ．12里C ．24里D ．48里7．已知函数()f x 的导函数为()f x '，记()()1f x f x '=，()()21f x f x '=，…，()()1n n f x f x +'=(n ∈N *). 若()sin f x x x =，则()()20192021f x f x += （ ）A ．2cos x -B ．2sin x -C ．2cos xD ．2sin x8．如图，在ABC ∆中，点Q 为线段AC 上靠近点A 的三等分点，点P 为线段BQ 上靠近点B 的三等分点，则PA PC +=（ ）A ．1233BA BC + B ．5799BA BC + C ．11099BA BC + D ．2799BA BC +9．明代数学家程大位（1533~1606年），有感于当时筹算方法的不便，用其毕生心血写出《算法统宗》，可谓集成计算的鼻祖．如图所示的程序框图的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”问题．执行该程序框图，若输出的y 的值为2，则输入的x 的值为（ ）A ．74B ．5627C ．2D ．1648110．函数()5sin 20312f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的值域为（ ） A ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]0,1D ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦11．曲线24x y =在点()2,t 处的切线方程为（ ） A ．1y x =-B ．23y x =-C ．3y x =-+D ．25y x =-+12．若命题：从有2件正品和2件次品的产品中任选2件得到都是正品的概率为三分之一；命题：在边长为4的正方形内任取一点，则的概率为，则下列命题是真命题的是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023-2024学年上海实验高三下学期数学周测及答案(2024.05)
1上实验2023-2024学年第二学期高三年级数学周考2024.05一、填空题（本题共12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）1．在复数集中，若复数z 满足21z =−，则z = ． 2．双曲线2212y x −=的离心率是 ．3．若全集为R ，集合103x A x x−=< −，{}22B y y x ==−+，则A B ∩=． 4．若函数221x y a =−+是奇函数，则实数a = ． 5．若nx + 的展开式中共有7项，则常数项为 ．（用数字作答） 6．从高三某班抽取10名同学，他们的数学成绩如下：102，110，117，120，122，122，122，126，134，145（单位：分），则这10名同学数学成绩的第70百分位数是 ． 7．盒子中有大小与质地相同的5个红球和4个白球，从中随机取1个球，观察其颜色后放回，并同时．加入与其相同颜色的球3个，再从盒子中取1个球，则第二次取出的球是白色的概率是 ．8．关于x 的不等式220≥ax x a −+的解集是(),−∞+∞，则实数a 的取值范围为 ． 9．已知()sin 202y x π =−ϕ<ϕ< 在0,3π 上是严格增函数，且该函数在70,8π上有最小值，那么ϕ的取值范围是 ．10．在△ABC 中，已知2ABC BAC ∠=∠，32BC AB =，BD AC ⊥，D 为垂足，CD =BD = ．11．已知圆()221:11C x y ++=在椭圆()22222:10x y C a b a b+=>>的内部，A 为C 2上的一个动点，过A 作C 1的一条切线，交C 2于另一点B ，切点为D ，若当D 为AB 的中点时，2直线C 1D 的倾斜角恰好为23π，则椭圆2C 的离心率为 ． 12．已知0,0a b >>，且满足22ln 2ln 202ba ab −+−+≥，则ab = ． 二、选择题（本题共4小题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）13．“11x −<<”是“112≤x x −++”的（ ）. A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件14．青少年的身高一直是家长和社会关注的重点，它不仅关乎个体成长，也是社会健康素养发展水平的体现．某市教育部门为了解本市高三学生的身高状况，从本市全体高三学生中随机抽查了1200人，经统计后发现样本的身高(单位：cm)近似服从正态分布N (172，σ2)，且身高在168cm 到176cm 之间的人数占样本量的75%，则样本中身高不低于176cm 的约有（ ）.A ．150人B ．300人C ．600人D ．900人 15．莱莫恩(Lemoine)定理指出：过△ABC 的三个顶点A ，B ，C 作它的外接圆的切线，分别和BC ，CA ，AB 所在直线交于点P ，Q ，R ，则P ，Q ，R 三点在同一条直线上，这条直线被称为三角形的Lemoine 线．在平而直角坐标系xOy 中，若三角形的三个顶点坐标分别为(0，1)，(2，0)，(0，－4)，则该三角形的Lemoine 线的方程为（ ）. A ．2x －3y －2＝0 B ．2x ＋3y －8＝0 C ．3x ＋2y －22＝0 D ．2x －3y －32＝0 16．已知向量a 与b 的夹角为120°，且2a b ⋅=− ，向量c 满足()()101c a b =λ+−λ<λ< ，且a c b c ⋅=⋅ ，记向量c 在向量a 与b方向上的投影分别为x､y .现有两个结论：①若13λ=，则2a b = ；②22x y xy ++的最大值为34.则正确的判断是（ ）. A ．①成立，②成立B ．①成立，②不成立3C ．①不成立，②成立D ．①不成立，②不成立三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 17.（本题满分14分.第（1）小题7分，第（2）小题7分.） 在△ABCcos cos C A =，6B π=，BC边中线AM = （1）求角A 的值； （2）求△ABC 的面积．18. （本题满分14分.第（1）小题6分，第（2）小题8分）如图，在三棱锥D ABC −中，侧面DAC ⊥底面ABC ，,AD DC AB BC ==． （1）求证：AC BD ⊥； （2）已知2,ABAC AD==，F 是线段BD 上一点，当AF BD ⊥时，求二面角F AC B −−的余弦值．419. （本题满分14分.第（1）小题6分，第（2）小题8分）第22届世界杯在卡塔尔举办，某校“足球社”调查学生喜欢足球是否与性别有关，现从全校学生中随机抽取了()*40k k N ∈人，若被抽查的男生与女生人数之比为5：3，男生中喜欢足球的人数占男生的35，女生中喜欢足球的人数占女生的13．经计算，有95%的把握认为喜欢足球与性别有关，但没有99%的把握认为喜欢足球与性别有关． （1）请完成下面的2×2列联表，并求出k 的值；喜欢足球不喜欢足球合计 男生 女生 合计40k（2）将频率视为概率，用样本估计总体，从全校男学生中随机抽取3人，记其中喜欢足球的人数为X ，求X 的分布及期望． 附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d −χ=++++，其中n a b c d =+++．()20≥P k χ0.10 0.05 0.01 0.001 0k2.7063.8416.63510.828520、（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点到准线的距离为2，过点()2,2A 作直线交C 于M ，N 两点，点()1,1B −，记直线BM ，BN 的斜率分别为1k ，2k .（1）求C 的方程：（2）求()121232k k k k −+的值；（3）设直线BM 交C 于另一点Q ，求点B 到直线QN 距离的最大值.621、（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 已知()246ln f x x x x =−−，（1）求()f x 在()()1,1f 处的切线方程以及()f x 的单调性；（2）对()1,x ∀∈+∞，有()()21'6112xf x f x x k x −>+−−恒成立，求k 的最大整数解；（3）令()()46n ()l g x f x x a x =+−−，若()g x 有两个零点分别为1x ，2x （12x x <）且0x 为()g x 的唯一的极值点，求证：12034x x x +>．7上实验2023学年第二学期高三年级数学周考2024.05一、填空题（本题共12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）1．在复数集中，若复数z满足21z =−，则z = ． 【答案】i ±2．双曲线2212y x −=的离心率是 ．3．若全集为R ，集合103x A x x−=< −，{}22B y y x ==−+，则A B ∩=．【答案】()23， 4．若函数221x y a =−+是奇函数，则实数a = ． 【答案】15．若nx +的展开式中共有7项，则常数项为 ．（用数字作答） 【答案】2406．从高三某班抽取10名同学，他们的数学成绩如下：102，110，117，120，122，122，122，126，134，145（单位：分），则这10名同学数学成绩的第70百分位数是 ． 【答案】1247．盒子中有大小与质地相同的5个红球和4个白球，从中随机取1个球，观察其颜色后放回，并同时．加入与其相同颜色的球3个，再从盒子中取1个球，则第二次取出的球是白色的概率是 ． 【答案】4988．关于x 的不等式220≥ax x a −+的解集是(),−∞+∞，则实数a 的取值范围为 ．【答案】4+∞9．已知()sin 202y x π =−ϕ<ϕ< 在0,3π 上是严格增函数，且该函数在70,8π上有最小值，那么ϕ的取值范围是 ． 【答案】64ππ，10．在△ABC 中，已知2ABC BAC ∠=∠，32BC AB =，BD AC ⊥，D为垂足，CD =BD = ．【答案】【详解】令BAC ∠=α, 则2,3ABC C ∠=α=π−α，3223BC AB BC m AB m === ，令，，ABC ∆中，32m m sinC sinA =，即323343432sinC sin sin sin sin sinA sin sin α−α+α====−α+αα 2235,88sin cos ∴α=α=，()3234343sinC sin sin sin sin sin v =α=−α+α=α−+==()33343cosC cos cos cos cos =π−α=−α=−α+α=tanC BD ∴11．已知圆()221:11C x y ++=在椭圆()22222:10x y C a b a b+=>>的内部，A 为C 2上的一个动点，过A 作C 1的一条切线，交C 2于另一点B ，切点为D ，若当D 为AB 的中点时，直线C 1D 的倾斜角恰好为23π，则椭圆2C 的离心率为 ．9【答案】【详解】法一)11::1C D C D k l y x +联立与圆()2211x y ++=的方程,得113,2x y =−或111,2x y =−;不妨设32D −, 且为AB 的中点,不妨设33,22A n B n −++−−, 均在2C 上,代入方程得()()22222222222233,1,222b m a n a b b m a n a b −++−−+(2)减(1)得226mb =,再由AB n k m==2213b a =,故c e a =.又)11C D D D k y x +, 代入圆1C 得, 2222221112a b c c−+=⇒= ,222222132,223a c c a c e ∴−=⇒=∴=,故e =. 法二: 由11AB C D k k ⋅=−, 及222,2221C D D AB OD OD D K x b a a k k k x a b b ⋅=−⇒=⇒=+, 故22Da x c =− 12．已知0,0ab >>，且满足22ln 2ln 202ba ab −+−+≥，则ab = ．【详解】方法1:设()1f x lnx x =−+, 则()11'1x f x x x−=−= 当01x <<时,()'0f x >, 当1x >时,()'0f x <,10()f x ∴在()01,上单调递增, 在()1,+∞上单调递减,()()10,10,max f x f lnx x ∴==∴−+…2222222212b lna a lnb ln a a ∴−+−+=−+10,22b bln +−+… (当且仅当221a =且12b =,即a b = 2 时等号成立)又22220,2b lna a lnb −+−+…22220,2b lna a lnb ∴−+−+=2,a b ab ∴==∴=方法2：令t ab =, 则0,tt b a>=,由222202b lna a lnb −+−+…得2lna −2220,2t t a ln a a +−+…2220,2tlnt lna a a ∴−+−+… 设()2222t f t lnt lna a a =−+−+, 则()0f t ≥∴()112',22a t f t t a at −=−=当02t a <<时,()'0f t >, 当2t a >时,()'0,f t <()f t ∴在()02,a 上单调递增, 在()2a,+∞上单调递减,()()222122max f t f a ln a lna a ∴==−+−+222210,ln a a =−+…(当且仅当221a =,即a =时等号成立) 又()()0,0f t f t ∴=…,2a t a ab ∴===∴=二、选择题（本题共4小题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）13．“11x −<<”是“112≤x x −++”的（ ）. A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件【答案】A14．青少年的身高一直是家长和社会关注的重点，它不仅关乎个体成长，也是社会健康素养发展水平的体现．某市教育部门为了解本市高三学生的身高状况，从本市全体高三学生中随机抽查了1200人，经统计后发现样本的身高(单位：cm)近似服从正态分布N (172，σ2)，且身高在168cm 到176cm 之间的人数占样本量的75%，则样本中身高不低于176cm 的11约有（ ）.A ．150人B ．300人C ．600人D ．900人 【答案】A【详解】()2172,,(168176)0.75,(172176)0.375X N P X P X ∼σ<<=∴<<=，(176)0.50.3750.1250.1251200150.P X A ∴>=−=×=，，选15．莱莫恩(Lemoine)定理指出：过△ABC 的三个顶点A ，B ，C 作它的外接圆的切线，分别和BC ，CA ，AB 所在直线交于点P ，Q ，R ，则P ，Q ，R 三点在同一条直线上，这条直线被称为三角形的Lemoine 线．在平而直角坐标系xOy 中，若三角形的三个顶点坐标分别为(0，1)，(2，0)，(0，－4)，则该三角形的Lemoine 线的方程为（ ）. A ．2x －3y －2＝0 B ．2x ＋3y －8＝0 C ．3x ＋2y －22＝0 D ．2x －3y －32＝0 【答案】B【详解】ABC ∆的外接圆设为220,x y Dx Ey F ++++=104201640E F D F E F ++=∴++= −+= ，034D E F = =∴ =− 外接圆:22340x y y ++−=，即2232524x y++=，在A 处切线 :31,:1,1,,242x y y BC P ,C D=+=∴ −排除. 在C 处切线()4,:1,1042xy AB y R ,=−+=∴−，选 B. 16．已知向量a 与b 的夹角为120°，且2a b ⋅=−，向量c 满足()()101c a b =λ+−λ<λ< ，且a c b c ⋅=⋅ ，记向量c 在向量a 与b方向上的投影分别为x､y .现有两个结论：①若13λ=，则2a b = ；②22x y xy ++的最大值为34.则正确的判断是（ ）.12A ．①成立，②成立B ．①成立，②不成立C ．①不成立，②成立D ．①不成立，②不成立【答案】C【详解】由cos1202a b a b ⋅=⋅°=− ，解得：4a b ⋅= ，当13λ=时，1233c a b =+ ，由a c b c ⋅=⋅ 得：12123333a a b b a b ⋅+=⋅+ ，即2212123333a a b a b b +⋅=⋅+ ， 由2a b ⋅=− 得：22122333a b =+ ，因为4a b ⋅= ，假设2a b =，则可求出b =，a = 22122333a b =+ 中，等号不成立，故①错误；设OA a = ，OB a =，OC c = ，因为()()101c a b =λ+−λ<λ< ，由向量共线定理可知，点C 在线段AB 上，如图，设,a c =α，则,120b c =°−α ， 因为a c b c ⋅=⋅ ，所以()cos cos 120a c b c ⋅α=⋅°−α ， 即()cos cos 120a b ⋅α=⋅°−α ，故a 在c 方向的投影等于b 在c方向的投影相等，故点C 满足OC AB ⊥，又cos x c =α，()cos 120y c =°−α ， 所以 ()()222222223cos cos 120cos cos 1204x y xy c c c c ++=α+°−α+α°−α= ，其中1sin12042ABOS a b =⋅°== ，而要想保证c 最大，只需AB 最小， 由余弦定理可得：222222cos12042412AB a b a b a b a b =+−°=++≥+=，当且仅当a b = 时，等号成立，所以AB最小值为，所以c 最大值为21ABO SAB = ，故22234x y xy c ++= 的最大值为34，②正确. 故选：C13三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 17.（本题满分14分.第（1）小题7分，第（2）小题7分.） 在△ABCcos cos C A =，6B π=，BC边中线AM = （1）求角A 的值； （2）求△ABC 的面积．【答案】（1）6A π∴=（2）ABC S ∆=【解析】（1cosCcosA=可得，)20b cosA −+=,由正弦定得:2a b cRsinA sinB sinC ===2,sinBcosA +=()2,C A sinBcosA +=因为在ABC ∆中,()sin C A sinB +=,2sinBcosA =, 因为()0,0B ,sinB ∈π≠,所以()0cosA C ,=∈π,6A π∴=.(2)2,,63A B a b C A B ππ==∴==π−−= , 在ABC ∆中利用余弦定理得:22222233c a b abcosb π=+−=,即c =, 因为边BC 上的中线AM , 所以()12AM AB AC =+ 则()221||4AM AB AC =+即()222221177||22444b AB AC AB AC cosA c b bc =++×=++ 解得2b =,故c =,则12ABC S bcsinA ∆==.18. （本题满分14分.第（1）小题6分，第（2）小题8分）如图，在三棱锥D ABC −中，侧面DAC ⊥底面ABC ，,AD DC AB BC ==．14（1）求证：AC BD ⊥； （2）已知2,ABAC AD==，F 是线段BD 上一点，当AF BD ⊥时，求二面角F AC B −−的余弦值．【答案】（1）见解析 （2【解析】（1）取AC 中点E ，连接,DE BE ．因为AD DC =，所以DE AC ⊥． 又因为AB BC =，所以BE AC ⊥．又因为BE DE E = ，所以AC ⊥平面BED ． 又BD ⊂平面BED ，所以AC BD ⊥．（Ⅱ）因为侧面DAC ⊥底面ABC ，且DE AC ⊥，DE ⊂平面DAC ， 平面DAC 平面ABC AC =，所以DE ⊥平面ABC ．又EB ⊂平面ABC ，所以DE EB ⊥．又因为BE AC ⊥，如图，建立空间直角坐标系E xyz −．因为2,ABAC AD==1,2DE EB ==． 则(1,0,0),(0,2,0),(1,0,0),(0,0,1)A B C D −． 所以(2,0,0),(1,0,1),(0,2,1)AC AD DB =−=−=− ．因为F 是线段BD 上一点，设([0,1])DF DB =λλ∈． 所以(1,2,1)AF AD DF AD DB =+=+λ=−λ−λ ．15因为AF BD ⊥，所以(1)04AF DB ⋅λ−−λ ，解得15λ=．所以24(1,,)55AF − ．设平面FAC 的法向量为(,,)n x y z =，则0,0,n AF n AC ⋅= ⋅= 即240,5520,x y z x −++= −=令1z =，则0,2x y ==−．于是(0,2,1)n =−．因为ED ⊥平面ABC ，所以平面ABC 的法向量为(0,0,1)ED =．所以cos ,||||n ED n ED n ED ⋅<>===由题知，二面角F AC B −−19. （本题满分14分.第（1）小题6分，第（2）小题8分）第22届世界杯在卡塔尔举办，某校“足球社”调查学生喜欢足球是否与性别有关，现从全校学生中随机抽取了()*40k k N ∈人，若被抽查的男生与女生人数之比为5：3，男生中喜欢足球的人数占男生的35，女生中喜欢足球的人数占女生的13．经计算，有95%的把握认为喜欢足球与性别有关，但没有99%的把握认为喜欢足球与性别有关． （1）请完成下面的2×2列联表，并求出k 的值；喜欢足球不喜欢足球合计 男生 女生 合计40k（2）将频率视为概率，用样本估计总体，从全校男学生中随机抽取3人，记其中喜欢足球的人数为X ，求X 的分布及期望． 附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d −χ=++++，其中n a b c d =+++．()20≥P k χ0.100.05 0.01 0.001160k2.7063.841 6.635 10.828【答案】（1）见解析（2）2k =, 数学期望为95.【解析】（1）由已知, 完成列联表,喜欢足球不喜欢足球合计男生15k10k 25k女生 5k 10k 15k 合计20k20k40k将数值代入公式可得2χ的观测值:()222240150508202025153k k k k k k k k ×−χ==×××,根据条件, 可得83.841 6.6353k≤<, 解得1.440 2.488k ≤<,因为*k N ∈, 所以2k =; （2）由（1）知, 样本的男生中喜欢足球的频率为35, 用样本估计总体, 从全校男生中随机抽取一人, 喜欢足球的概率为35, 则335X B ,∼, ()()031213332832360,155********P X C P X C ======,()()21302333325432272,35512555125P X C P X C ====== , 则X的分布为:01238365427125125125125,[]39355E X =×=综上,2k =, 数学期望为95. 20、（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点到准线的距离为2，过点()2,2A 作直线交C 于M ，N 两点，点()1,1B −，记直线BM ，BN 的斜率分别为1k ，2k .（1）求C 的方程：17（2）求()121232k k k k −+的值；（3）设直线BM 交C 于另一点Q ，求点B 到直线QN 距离的最大值. 【答案】（1）24y x=（2）-1（3）【解析】（1）因为焦点到准线的距离为2，所以2p =，所以抛物线C 的方程为24y x =. （2）设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN 的方程为()22x t y =−+， 由()222,4,x t y y x =−+ = 得24880y ty t −+−=，所以12120,4,88.y y t y y t > +==− △ 因为12121212121111112323y y y y k k x x ty t ty t −−−−+=+=+++−+−+ ()()()()()2121222221212233464681292323ty y t y y t t t t t y y t t y y t +−+++−−=−++−+++−， 12121212121111112323y y y y k k x x ty t ty t −−−−⋅=⋅=⋅++−+−+ ()()()()121222*********81292323y y y y t t t t y y t t y y t −++−=−++−+++−， 所以，()()()2212122222463478129321812981298129t t t t k k k k t t t t t t −−−+−−+=−==−−+−+−+.（3）设211,4y M y，222,4y N y ，233,4y Q y，则直线MN 的斜率21221221444y y k y y y y −=+−，所以直线MN 的方程为2111244y y x y y y=−+ +，即()121240x y y y y y −++=. 同理，直线MQ 方程为()131340x y y y y y −++=， 直线QN 方程为()232340x y y y y y −++=.因为直线MN 经过()2,2A ，所以()1212820y y y y −++=，解得212282y y y −=−，18因为直线MQ 经过()1,1B −，所以()131340y y y y −−++=，解得31341y y y +=−， 所以322342821y y y y +−=−−，整理得()23231660y y y y −++=.又因为直线QN 的方程为()232340x y y y y y −++=，所以直线QN 经过定点()4,6P ， 所以，当BP QN ⊥时，点B 到直线QN距离取得最大值为BP =21、（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 已知()246ln f x x x x =−−，（1）求()f x 在()()1,1f 处的切线方程以及()f x 的单调性；（2）对()1,x ∀∈+∞，有()()21'6112xf x f x x k x −>+−−恒成立，求k 的最大整数解；（3）令()()46n ()l g x f x x a x =+−−，若()g x 有两个零点分别为1x ，2x （12x x <）且0x 为()g x 的唯一的极值点，求证：12034x x x +>．【答案】（1）单调递减区间为()03,, 单调递增区间为()3,+∞.（2）3 （3）见解析【解析】(1)()246f x x x lnx =−− , 所以定义域为()0,+∞()()()6'24;'18;13,f x x f f x∴=−−=−=− 所以切线方程为85y x =−+;()()()2'13f x x x x=+−, 令()'0f x >, 解得3x >, 令()'0f x <, 解得03x << 所以()f x 的单调递减区间为()03,, 单调递增区间为()3,+∞.(2)()()21'6112xf x f x x k x−>+−−等价于min ()1x xlnx k h x x +<=−； ()()22',1x lnx h x x −−∴=−记()()12,'10m x x lnx m x x =−−=−>,所以()m x 为()1,+∞上的递增函数,且()()3130,4240m ln m ln =−<=−>,19所以()034x ,∃∈, 使得()00m x =即0020x lnx −−=, 所以()h x 在()01,x 上递减, 在()0x ,+∞上递增, 且()()()00000034;1min x x lnx h x h x x ,x +===∈−所以k 的最大整数解为3 . （3）()()2,'20ag x x alnx g x x x=−=−==,得0x=当()(),'0,,'0x g x x g x ∈<∈+∞>; 所以()g x 在0上单调递减, +∞ 上单调递增, 而要使()g x 有两个零点, 要满足()00g x<,即202g a e −<⇒>； 因为120x x <<>, 令21(1)x t t x =>,由()()22121122,f x f x x alnx x alnx =∴−=−,即:2221111x alnx t x alntx −=−，2121alntx t ∴=−而要证12034x x x +>,只需证()131t x +>,即证:221(31)8t x a +>即:22(31)81alntt a t +>−由0,1a t >>只需证:22(31)880t lnt t +−+>, 令()()223188h t t lnt t =+−+, 则()()1'18676h t t lnt t t=+−++令()()118676n t t lnt t t =+−++, 则()261'18110(1)t n t lnt t t −=++>>故()n t 在()1,+∞上递增,()()10n t n >=;故()h t 在()1,+∞上递增,()()10h t h >=; 12034.x x x ∴+>。
2023-2024学年上海实验中学高三下学期数学周测(2024.05)
1上实验2023-2024学年第二学期高三年级数学周测2024.05一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分） 1．已知集合{}0,2,4A =，()0,B=+∞，则A B = ________．2．抛物线24x y =−的准线方程为________．3．已知sin cos 22θθ+sin θ的值等于________．4．已知向量()1,0a =和)b =，则b 在a 方向上的投影是________．5．已知集合(){}ln 3A x y x ==−，{}B x x a =>，若A B =∅ ，则实数a 的取值范围为________．6．621x x−展开式中的常数项为________．7．甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局．已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为56和15，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则3次活动中，甲至少获胜1次的概率为________．8．已知函数()()9log 3f x x =+，[]0,x m ∈，若[]10,x m ∀∈，[]20,x m ∃∈，使得()()121f x f x =，则m =________． 9．如图，一个棱长1分米的正方体形封闭容器中盛有V 升的水，若将该容器任意放置均不能使水平面呈三角形，则V 的取值范围是________．10．记定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()f x ′，且()()0f x f x ′−>，()11f =，则不等式()1x f x e −>的解集为________．211．已知集合()223,,0,,sin sin sin sin 24S x y x y x x y yπ=∈−+≤，则集合S 所对应的平面区域的面积为________．12．已知平面向量a ，b ，c ，（0c ≠ ）满足1a = ，2b = ，0a b ⋅= ，()0a b c −⋅=，记向量d 在a ，b 方向上的投影分别为x ，y ，d a − 在c方向上的投影为z ，则222x y z ++的最小值为________．二、选择题（本大题满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分） 13．关于x 的方程420x x a b c ⋅+⋅+=（0a ≠）中，常数a ，b 同号而b ，c 异号，则下列结论正确的是（ ）. A ．此方程无实根B ．此方程有两个互异的负实根C ．此方程有两异号实根D ．此方程仅有一个实根14．已知一个棱长为1的正方体，与该正方体每个面都相切的球半径记为1R ，与该正方体每条棱都相切的球半径为2R ，过该正方体所有顶点的球半径为3R ，则下列关系正确的是（ ） A．123::2R R R =B ．123R R R +=C ．222123R R R +=D ．333123R R R += 15．已知函数()y f x =与它的导函数()y f x ′=的定义域均为R ，现有下述两个命题： ①“()y f x =为奇函数”是“()y f x ′=为偶函数”的充分非必要条件； ②“()y f x =为严格增函数”是“()y f x ′=为严格增函数”的必要非充分条件． 则说法正确的选项是（ ）. A ．命题①和②均为真命题B ．命题①为真命题，命题②为假命题C ．命题①为假命题，命题②为真命题D ．命题①和②均为假命题316．对于无穷数列{}n a 给出如下三个性质：①10a <；②n ∀，*s N ∈，n s n s a a a +>+；③*n N ∀∈，*t N ∃∈，n t n a a +>．定义：同时满足性质①和②的数列{}n a 为“s 数列”，同时满足性质①和③的数列{}n a 为“t 数列”．则下列说法正确的有（ ）个. （1）若23n a n =−，则{}n a 为“s 数列” （2）若12nn a=−，则{}n a 为“t 数列”（3）若{}n a 为“s 数列”，则{}n a 为“t 数列” （4）若{}n a 为“t 数列”，则{}n a 为“s 数列” A ．0B ．1C ．2D ．3三、解答题（本大题满分78分）17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）己知ABC △中的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，角B为钝角，且2sin 3a B π−（1）求角B 的大小；（2）若点D 在AC 边上，满足4AC AD =，且4AB =，3BD =，求BC 边的长．18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第小题满分8分）如图所示的几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，圆锥底面圆O的半径为1，圆锥的高PO=，三棱锥P ABC−的底面ABC是以圆锥的底面圆的直径AB为斜边的等腰直角三角2形，且与圆锥底面在同一个平面上．Array（1）求直线PC和平面ABC所成角的大小；（2）求该几何体的表面积．19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）在临床检测试验中，某地用某种抗原来诊断试验者是否患有某种疾病．设事件A表示试验者P A B=，的检测结果为阳性，事件B表示试验者患有此疾病．据临床统计显示，()0.99 ()0.98P A B=．已知该地人群中患有此种疾病的概率为0.001．（下列两小题计算结果中的概率值精确到0.00001）（1）对该地某人进行抗原检测，求事件A与B同时发生的概率；（2）对该地3个患有此疾病的患者进行抗原检测，用随机变量表示检测结果为阳性的人数，求X的分布和期望．4520．（本题满分18分，第1小题满分4分，第小题满分6分，第3小题满分8分） 已知椭圆1C ：22221x y a b+=（0a b >>），，右焦点为2F ，抛物线2C ：22x by =−的焦点F 到其准线的距离为1． （1）求1C ，2C 的标准方程；（2）若过2F的直线交椭圆1C 于B ，D ，交y 轴于A ，BD 的中垂线交y 轴于E ，记以弦BD 为直径的圆M 的面积为1S ，MAE △的面积为2S ，求12:S S ；（3）已知2n ≥且n N ∈，若斜率为2231n n −−的直线与椭圆1C 相交于P ，Q 两点，且PQ 中点N 恰在抛物线上2C 上，记N 的横坐标为n x ，求n x 的最大值．621．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 设函数()21x f x x ae =+（其中a 是非零常数，e 是自然对数的底），记()()1n n f x f x −′=（2n ≥，*n N ∈）． （1）求对任意实数x ，都有()()1n n f x f x −=成立的最小整数n 的值（2n ≥，*n N ∈）； （2）设函数()()()()23n n g x f x f x f x =+++ ，若对任意3n ≥，*n N ∈，()n y g x =都存在极值点n x t =，求证：点()(),n n n n A t g t （3n ≥，*n N ∈）在一定直线上，并求出该直线方程；（3）是否存在正整数k （2k ≥）和实数0x ，使()()0100k k f x f x −==且对于任意*n N ∈，()n f x 至多有一个极值点，若存在，求出所有满足条件的k 和0x ，若不存在，说明理由．7参考答案一、填空题1.{}2,4;2.1y =;3.13; 4.); 5.[)3,+∞; 6.15; 7.2627; 8.78; 9.15,66; 10.{}|1x x >； 11.26π 12.25 11．已知集合()223,,0,,sin sin sin sin 24S x y x y x x y yπ=∈−+≤，则集合S 所对应的平面区域的面积为________． 【答案】26π【解析】因为()22212sin x sinx siny sin y cos x −⋅+=−()()12cos x y cos x y cos y ++−−+− ()()()22()cos x y cos x y cos x y cos x y =−+⋅−++−−()()3112222cos x y cos x y=−++−−则题中条件不等式等价于()()11022cos x y cos x y++−− … 22,33.33x y x y x y x y ππ++ ⇒ππ −−或剠…… 得到图中所示阴影部分的区域,其面积为22221.26236S ππππ=−−=12．已知平面向量a ，b ，c ，（0c ≠ ）满足1a = ，2b =，0a b ⋅= ，()0a b c −⋅= ，记向量d 在a ，b 方向上的投影分别为x ，y ，d a − 在c方向上的投影为z ，则222x y z ++的最小值为________． 【答案】25【解析】令()()()10,02,a,b ,c m,n ==因为()0a b c −⋅=,8故()()120,20,m,n m n −⋅=∴−=,令()2c n,n =平面向量d 在,a b 方向上的投影分别为,x y ,设()d x,y = ， 则:()()1,d a x ,y d a c−=−−⋅()21,n x ny c =−+=从而:()d a c zc −⋅=,故22,x y +±= 方法一：由柯西不等式可得22x y +−…化简得22242105x y z ++=…, 当且仅当21x y==即21,,55x y z ===时取等号,故222x y z ++的最小值为25. 方法二：则222x y z ++表示空间中坐标原点到平面220x y +±−=上的点的距离的平方,由平面直角坐标系中点到直线距离公式推广得到的空间直角坐标系中点到平面距离公式可得:()222minx y z++2410==25二、选择题13.D 14.C 15.B 16.B15．已知函数()y f x =与它的导函数()y f x ′=的定义域均为R ，现有下述两个命题： ①“()y f x =为奇函数”是“()y f x ′=为偶函数”的充分非必要条件； ②“()y f x =为严格增函数”是“()y f x ′=为严格增函数”的必要非充分条件． 则说法正确的选项是（ ）. A ．命题①和②均为真命题B ．命题①为真命题，命题②为假命题C ．命题①为假命题，命题②为真命题D ．命题①和②均为假命题【答案】B【解析】对于①, 若()f x 为奇函数且在其定义域内可导,函数()f x 的图象关于原点对称,9则其图象任意一点的切线斜率必定关于y 轴对称, 即其导函数必为偶函数，反之, 若()'y f x =为偶函数, 则()y f x =不一定为奇函数, 如()31f x x =+, 其导数()'f x 为偶函数，故 “()y f x =为奇函数” 是 “()'y f x =为偶函数”的充分非必要条件, ①是真命题;对于②, 若()'y f x =为严格增函数, 但()y f x =不一定严格增函数,如()x f x e −=,其导数()'x f x e −=−,故 “()y f x =为严格增函数” 不是 “()'y f x =为严格增函数”的必要条件,②是假命题;故选:B .16．对于无穷数列{}n a 给出如下三个性质：①10a <；②n ∀，*s N ∈，n s n s a a a +>+；③*n N ∀∈，*t N ∃∈，n t n a a +>．定义：同时满足性质①和②的数列{}n a 为“s 数列”，同时满足性质①和③的数列{}n a 为“t 数列”．则下列说法正确的有（ ）个. （1）若23n a n =−，则{}n a 为“s 数列” （2）若12nn a=−，则{}n a 为“t 数列”（3）若{}n a 为“s 数列”，则{}n a 为“t 数列” （4）若{}n a 为“t 数列”，则{}n a 为“s 数列” A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】B【解析】若23na n =−, 则12310a =−=−<, 满足①, ()*,,23,n s n s N a n s +∀∈=+−()232326n s a a n s n s +=−+−=+−因为()()2326n s n s +−>+−, 所以n ∀,*,n s n s s N a a a +∈>+, 满足②, 故（1）正确;10若12n n a =− , 则1111022a=−=−<,满足①,111,2n n a ++ =− 令11,22n tn+−>−若n 为奇数, 此时102n−< , 存在*t N ∈, 且为奇数时, 此时满足11022n tn+−>>−,若n 为偶数, 此时102n−> , 则此时不存在*t N ∈, 使得1122n tn+−>−,综上：（2）错；设21n a n =−+, 此时满足12110,a =−+=−<也满足()*,,21n s n s N a n s +∀∈=−++ ()212122n s a a n s n s +=−+−+=−+−即*,,n s n s n s N a a a +∀∈>+,但不满足③**1,,n n n N t N a a −∀∈∃∈>,因为()21221n t a n t n t +=−++=−−+2n n a t a =−<综上（3）错; 不妨设()2nn a =−, 满足120a =−<,且()*,2nn n N a ∀∈=−,当n 为奇数时, 取1t =, 使得11(2)n n n a a ++=−>,当n 为偶数时, 取2t =, 使得22(2)n n n a a ++=−>,故{}n a 为 “t 数列”, 但此时不满足*,,n s n s n s N a a a +∀∈>+,不妨取1,2n s ==,则1232,4,8a a a =−==−, 而1212824a a a +=−<−+=+,则{}n a 不是“s 数列”，故（4）错；故选B. 三．解答题 17.（1）23B π=（2）12 18.（1）arctan 2（24+ 19.（1）0.01998 (2)分布列为1120．（本题满分18分，第1小题满分4分，第小题满分6分，第3小题满分8分） 已知椭圆1C ：22221x y a b+=（0a b >>），，右焦点为2F ，抛物线2C ：22x by =−的焦点F 到其准线的距离为1． （1）求1C ，2C 的标准方程；（2）若过2F的直线交椭圆1C 于B ，D ，交y 轴于A ，BD 的中垂线交y 轴于E ，记以弦BD 为直径的圆M 的面积为1S ，MAE △的面积为2S ，求12:S S ；（3）已知2n ≥且n N ∈，若斜率为2231n n −−的直线与椭圆1C 相交于P ，Q 两点，且PQ 中点N 恰在抛物线上2C 上，记N 的横坐标为n x ，求n x 的最大值． 【答案】（1）221,2x y +=22.x y =− （2）12S S ∴（3）89【解析】（1）()11,c b a = 22,a ∴=12,C C ∴的标准方程分别为221,2x y +=22.x y =− （2）()210,F ,直线BD的方程为)1,y x =−(()()11220,,,A ,B x ,y D x ,y ∴−设 联立)22112y x x y =− +=化为271240,x x −+=21212412,,27x x x x x ∴+===2132249BD S π∴=π⋅= .又BD的中点67M , −⋅ BD 的中垂线方程为:67y x +− ,化为y x +0E ∴.12212M E AS x y y ∴=⋅−=.12S S ∴(3)设()(),P P Q Q P x ,y Q x ,y ,2231n PQk n −=−代入可得 22221212PP QQ x y x y += += 作差得：1•2PQ ON k k =−,211,22N n ON n y x k x =−∴=− ,(22123n n n x n −−∴=≥且)*n N ∈ .于是22112(1)1133n nn n n n x x +−−+−−−=−2122303n n n −−++<23x x ∴>>…又22222,0112n x yx x y =− ≤≤ +=得,而23x =(不符合),383x =(不符合), 453x =(不符合) ,589x =(符合).n x ∴的最大值为89. 21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 设函数()21x f x x ae =+（其中a 是非零常数，e 是自然对数的底），记()()1n n f x f x −′=（2n ≥，*n N ∈）． （1）求对任意实数x ，都有()()1n n f x f x −=成立的最小整数n 的值（2n ≥，*n N ∈）； （2）设函数()()()()23n n g x f x f x f x =+++ ，若对任意3n ≥，*n N ∈，()n y g x =都存在极值点n x t =，求证：点()(),n n n n A t g t （3n ≥，*n N ∈）在一定直线上，并求出该直线方程；（3）是否存在正整数k （2k ≥）和实数0x ，使()()0100k k f x f x −==且对于任意*n N ∈，()n f x 至多有一个极值点，若存在，求出所有满足条件的k 和0x ，若不存在，说明理由． 【答案】（1）5;min n ∴= （2）见解析（3）存在23,k a e==−满足条件. 【解析】(1)()()()2121,'2x f x x ae f x f x x =+==x ae +13()()()()3243'2,'x f x f x ae f x f x ==+=()()54,'x x ae f x f x ae == 即()()1,5x n n f x f x ae n −==…,5;min n ∴= 证明:（2）()()()()23n n g x f x f x f x =+++ ()()22x x x x x ae ae ae ae =++++++x ae +()()221,x x n ae =++−()()'21,x n g x n ae =+−因为()n y g x =都存在极值点n x t =,所以()()'210n t n g t n ae =+−=,方程两边同时加上2n t 得()()2212,n t n n n n t n ae g t t ++−==即()()n n n n A t ,g t 在直线2y x =上;(3)()()0,4x n f x ae n ==…无解, 所以3,k …①当3k =时，()()32000f x f x ==000120220x x x x ae a ae e = += ⇒⇒ =−+=而当2,a e =−时()()4302x x f x ae f x ae =<⇒=+严格减且()310f =,()22x f x x ae =+在()1,−∞上严格增, 在()1,+∞上严格减,()()22100f f x =⇒…恒成立, 所以()1y f x =单调减,综上所述,∴存在23,k a e==−满足条件; ②当2k =时，()()00220030020x x f x x ae f x x ae =+==+=, 即00x =或 2 ,当00x =时,()200f a ==(舍)，当02x =时, ()()22424240f ae a f x e=+=⇒=−⇒()223244024x x x e e f x e e −−=−=−<⇒=−单调减, 且()30f x =时,22x ln =−,()2y f x =在()22,ln −∞−上严格增, 在()22ln ,−+∞上严格减, 而()220f =存在2ln 2m <−使得在(),m −∞上,()20f x <, 在()2m,上()20f x >, 在()2,+∞上,()()210f x f x <⇒在(),m −∞上严格减, 在()2m,上严格增, 在()2,+∞上严格减, 不合题意舍,2k ∴≠;综上所述: 存在23,k a e==−满足条件.。
上海实验中学2024届高三第二学期数学周测(1)及答案
1上海实验中学2024届高三第二学期数学周测(1)2024.02一、填空题（本大题满分54分，第1-6题每题4分,第7-12题每题5分)1.已知集合2101x A xx − =≤ + ,全集U R =,则A −=_________. 2.双曲线22128y x −=的渐近线方程为_________.3.设随机变量ξ服从正态分布()42N ,,若(3)(21)P a P a ξ>+=ξ<−,则实数a =_________.4.若23i −(i 为虚数单位)是关于x 的实系数方程220x px q ++=的一个根,则p q −=_______5.若关于x 的不等式250mx x m −+≤的解集为R ,则实数m 的取值范围是_______.6.若一个圆柱的底面半径为1,侧面积为10π,且该圆柱的上、下底面都在球O 的球面上, 则球O 的表面积为_______.7.若251161515x x xC C C −−=+,则正整数x 的值为_______. 8.已知{}n a 为无穷等比数列,213,4i i a a +∞===−∑,则{}n a 的公比为_______.9.记函数423y sin x π=+ 在6t ,t π + 上的最大值为t M ,最小值为t m ,则当t R ∈时,t t M m −的最小值为_______.10.设定义在R 上的偶函数()y f x =满足()()2f x f x =−−,它在区间[]01,上的图像为如图所示的线段AB ,则方程()2f x x = 的最大实数根的值为_______.11.平面直角坐标系xOy 中,,P Q 两点到直线1:l y x =和2:6l y x =−+的距离之和均为当OP 最大时,QO QP ⋅的最小值为_________.12.已知数列{}n a 满足:对任意*n N ∈,都有11,2n n n n a a n a +−−=≤.设数列{}n a 的前n 项和为n S ,若10a =,则2024S 的最大值为________.2二、选择题（本大题满分18分,第13,14题每题4分,第15,16题每题5分) 13.已知0a b +>,且0b <,则( ) A.1a b >−B.2ab b >−C.11a b >− D.22a b > 14.空间向量()011a ,,=−在()123b ,,= 上的投影为( )A.114b−B. C.114−D. 15.全概率公式在敏感性问题调查中有着重要应用.例如某学校调查学生对食堂满意度的真实情况,为防止学生有所顾忌而不如实作答,可以设计如下调查流程:每位学生先从一个装有3个红球,6个白球的盒子中任取3个球,取到至少一个红球的学生回答问题一“你出生的月份是否为3的倍数?”,未取到任何红球的学生回答问题二“你对食堂是否满意?”.由于两个问题的答案均只有“是”和“否”,而且回答的是哪个问题他人并不知道(取球结果不被看到即可),因此理想情况下学生应当能给出符合实际情况的答案.已知某学校800名学生参加了该调查,且有250人回答的结果为“是”,由此估计学生对食堂的实际满意度大约为( )A.25%B.35%C.45%D.55% 16.函数(),,x x Pf x x x M ∈ =−∈ ,其中,P M 为实数集R 的两个非空子集,又规定()(){}()(){}|,|f P y y f x ,x P f M y y f x ,x M ==∈==∈,给出下列四个判断: (1)若P M ∩=∅,则()()f P f M ∩=∅; (2)若,P M ∩≠∅则()()f P f M ∩≠∅; 若P M R ∪=,则()()f P f M R ∪=; (4)若P M R ∪≠,则()()f P f M R ∪≠. 其中正确判断有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个3三、解答题（本大题满分78分）17.(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分) 如图,已知圆锥的顶点为P ,底面圆心为O ,高为3,底面半径为2. (1)求该圆锥侧面展开图的圆心角;(2)设,OA OB 为该圆锥的底面半径,且90,AOB M ∠=为线段AB 的中点,求直线PM 与直线OB 所成的角的大小.18.(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分) 已知函数()2221f x cos x sin x =−−. （1）当[]0x ,∈π时，求()f x 的增区间;（2）在ABC ∆中,角A所对边a =角B 所对边5b =,若()1f A =−,求ABC ∆的面积.19.（本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分) 环境监测部门为调研汽车流量对空气质量的影响,在某监测点统计每日过往的汽车流量x (单位:辆)和空气中的PM2.5的平均浓度y (单位:3/g m µ).调研人员采集了50天的数据,制作了4关于()()12350i i x ,y i ,,,,= 的散点图,并用直线1500x =与100y =将散点图分成如图所示的四个区域I 、II 、III 、IV ，落入对应区域的样本点的个数依次为6,20,16,8. (1)完成下面的22×列联表,并判断至多有多大把握认为“PM2.5平均浓度不小于3100/g m µ”与“汽车日流量不小于1500辆”有关;汽车日流量 1500x <汽车日流量1500x ≥合计PM2.5的平均浓度100y <PM2.5的平均浓度100y ≥合计(2)经计算得回归方程为6ˆ0.1273.3yx =−,且这50天的汽车日流量x 的标准差252x s =, PM2.5的平均浓度y 的标准差36y s =. ①求相关系数r ,并判断该回归方程是否有价值;②若这50天的汽车日流量x 满足50281 1.210ii x ==×∑,试推算这50天的PM2.5日均浓度y 的平均数y −.(精确到0.1) 参考公式:()()()()()22n ad bc a b c d a c b d −χ=++++,其中n a b c d =+++.()2P k χ≥0.100 0.050 0.010 0.001k 2.706 3.841 6.635 10.8285回归方程 y a bx =+ ,其中121ˆni i i n i i x x y y b x x =−−=− −− =−∑∑.相关系数nr −− =.若0.75r ≥,则认为y 与x 有较强的线性相关性.620. (本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分) 已知椭圆(2222:10)x y C a b a b+=>的左、右焦点分别是12,F F ,其离心率e =过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1. (1)求椭圆C 的方程;(2)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点,过点P 作斜率为k 的直线l ,使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点,设直线12,PF PF 的斜率分别为12,k k ,若0k ≠,证明:1211kk kk +为定值,并求出这个定值;(3)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点,设12F PF ∠的角平分线PM 交椭圆C 的长轴于点()0M m,,求m 的取值范围.721.(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分)设函数()y f x =的定义域为开区间I ,若存在0x I ∈,使得()y f x =在0x x =处的切线l 与()y f x =的图像只有唯一的公共点,则称()y f x =为“L 函数”,切线l 为一条“L 切线”. (1)判断1y x =−是否是函数y lnx =的一条“L 切线”,并说明理由;（2）设()26x g x e x =−,求证:()y g x =存在无穷多条“L 切线”; （3）设()321(0)f x x ax x c =++<<,求证:对任意实数a 和正数(),c y f x =都是“L 函数”.8参考答案一、填空题1.(]112,,−∞−∪+∞ ； 2.2x y =±； 3.2； 4.14−； 5.52, −∞− ； 6.29π；7.5或7； 8.12−；9.4−；； 11.414−； 12.-1012；10.（题目）设定义在R 上的偶函数()y f x =满足()()2f x f x =−−,它在区间[]01,上的图像为如图所示的线段AB ,则方程()2f x x = 的最大实数根的值为_______.当[]01x ,∈时,易得AB 的方程为:[]()101y x x ,=+∈, 因为()f x 是偶函数,所以当10x −≤≤时,01x ≤−≤,则()()()110f x f x x x =−=−+−≤≤, 再由()()2f x f x =−−,可推出()f x 的图像还关于直线1x =−对称,因此()f x 有周期2T =.显然原方程等价于()f x =,作出函数()f x 和()g x=,由图像知()()()()()5312,32,52f f f g g ===, 则当34x ≤≤时,方程()f x =取得最大根,当34x ≤≤时,()()()140,4415x f x f x x x −≤−≤=−=−−+=−+,由()f x =得5x −+,平方得21025x x x −+=, 即211250x x −+=,解得x =(舍)或x =.故答案为11.（题目）平面直角坐标系xOy 中,,P Q 两点到直线1:l y x =和2:6l y x =−+的距离之和均为当OP 最大时,QO QP ⋅的最小值为_________.414−9先求符合的轨迹Γ:设动点()M x,y ,,即64x y x y −++−=,如图,按区域①-④去绝对值讨论: ①区域中,6x y x ≤≤−,化为64,1y x x y x −+−−==; ②区域中,6y x ≥−且y x ≥,化为64,5y x x y y −−++==; ③区域中,6x y x −≤≤,化为64,5x y x y x −−++==; ④区域中,6y x ≤−且y x ≤，化为64,1x y x y y −+−−==; 如图,Γ为一个正方形.当OP最大时,()22212555,42P ,QO QP QM OP QM ⋅=−=−(M 为OP 中点),QO QP ⋅ 的最小值的等价于QM 最小显然QM ⊥正方形①②中的边时,3||2min QM =所以92541424min QO QP ⋅=−=−12.（题目）已知数列{}n a 满足:对任意*n N ∈,都有11,2n n n n a a n a +−−=≤.设数列{}n a 的前n 项和为n S ,若10a =,则2024S 的最大值为________.-1012不难得120,a a =只能取-1.注意到一个可行的数列为0,1,1,2,2,3,3,4−−−− .下证该数列使2024S 达到最大:为此,我们证明:当n 为奇数()3n ≥时,11n n a a ++≤−. 假设存在某正奇数3n ≥使11n n a a ++>−,则分为两种可能: (1)若1n n a a n +=+,则1121,22n n n n n a a a n a ++=+>−>−−;同时,按原数列要求,1,22n n n n n a a n a +=+≤≤−.故1222n n n a ,∈−−−.注意到该数列显然为整数数列, 故当n 为奇数时,不存在整数能位于该区间1222n n , −−− 中因此矛盾.(2)若1n n a a n +=−,则则1121,2n n n n n a a a n a +−+=−>−>,与12n n a −≤矛盾; 综上,原假设不成立,故当n 为奇数()3n ≥时,11n n a a ++≤−10而已经找到的数列0,1,1,2,2,3,3,4−−−− 中等号全部成立,故2024S 的最大值为-1012. 二、选择题13.D ； 14.A ； 15.A ； 16.B16.（题目）函数(),,x x Pf x x x M ∈ =−∈ ,其中,P M 为实数集R 的两个非空子集,又规定()(){}()(){}|,|f P y y f x ,x P f M y y f x ,x M ==∈==∈,给出下列四个判断: (1)若P M ∩=∅,则()()f P f M ∩=∅; (2)若,P M ∩≠∅则()()f P f M ∩≠∅; 若P M R ∪=,则()()f P f M R ∪=; (4)若P M R ∪≠,则()()f P f M R ∪≠. 其中正确判断有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个B 对(1):取{}{}1,1P M ==−,满足P M ∩=∅, 但(){}(){}()(){}1,1,1f P f M f P f M ==∩=,故(1)错误;对(2):若P M ∩≠∅,由函数定义可得{}0P M ∩=, 所以()()0f P f M ∈∩≠∅ ,故(2)正确;对(3):取{}|0,{|0}P x x M x x =≥=<,满足P M R ∪=,但(){}(){()()|0,|0},f P x x f M x x f P f M R =≥=∪≠,故(3)错误;对(4)：假设P M R ∪≠，且()()f P f M R ∪=, 则存在()x P M ∉∪,则(),x P x f P ∉∉,所以()x f M ∈,所以x M −∈,且()()x f P f M R −∈∪= ,若()x f P −∈,则x P −∈,所以(){}0x P M −∈∩=, 所以0x P =∈,矛盾,假设不成立;若()x f M −∈,则x M ∈,矛盾,假设不成立;11所以若P M R ∪≠,则()()f P f M R ∪≠,故(4)正确.故选:B. 三、解答题 17.()2(1)由圆锥性质可知OP ⊥平面AOB ,易知高3h OP ==,底面半径2r OB ==,可得母线长l ,所以圆锥的侧面展开图的圆心角大小2rlπα==(2)取OA 的中点为N ,连接,PN MN ,如下图所示:因为M 为线段AB 的中点,所以//MN OB ,因此PMN ∠(或其补角)就是直线PM 与直线OB 所成的角,又90AOB ∠= ,即,OA OB OP OB ⊥⊥,且,OP OA ⊂平面,POA OP OA O ∩=,即OB ⊥平面POA , 所以MN ⊥平面POA ,即MN PN ⊥;在Rt PNM ∆中,易知1,PNMN PM==,MN cos PMN PM ∠=,因此PMN ∠=.即直线PM 与直线OB所成的角的大小为 18.(1)(;22,ππ或(1)()2221222f x cos x sin x cos x =−−=−.令2t x =,则[]02t ,∈π. 因为y cost =在[]2t ,∈ππ单调递增,所以()222f x cos x =−在2x ,π∈π上单调递增. 即()f x 的单调递增区间为2,ππ.（2）由()1f A =−,可得:122cos A =.因为()0A ,∈π,所以()202A ,∈π,所以23A π=时,6A π=;523A π=时,56A π=.但此时5ab ,所以A B <,所以56B π>,不符合三角形内角和定理,舍去. 所以在ABC ∆中,,56A a b π==,由余弦定理得:2222a b c bccosA =+−,12即2132525c c =+−××解得:c =或c =当c =时,1115222ABC S bcsinA ∆==×=;当c =时,1115222ABCS bcsinA ∆==××=所以ABC ∆或19.(1)表格见解析,至多有99%的把握;(2)(1)0.84,有价值;(2) (1)22×列联表如下:汽车日流量1500< 汽车日流量1500x ≥ 合计PM2.5的平均浓度100y <16 8 24PM2.5的平均浓度100y ≥6 20 26 合计222850()()22501620869.62 6.63510.82824262228,××−×∴χ=≈∈∴×××至多有99%的把握（但还不能有99.9%的把握）认为PM2.5平均浓度不小于3100/g m µ与汽车日流量不小于1500辆有关.(2)①50125012ˆ0.1i i i i i x x y y bx x −=−−= −− =− ∑∑,252,=36=，502520.120.8436ˆr b−− ∴===×=.130.840.75,r y =>∴ 与x 有较强的相关性,∴该回归方程有价值.②252x s ====解得1528.56x −≈，而样本中心点x ,y −−位于回归直线6ˆ0.1273.3y x =−上, 因此可推算()30.121528.5673.36110.1/y g m −≈×−=µ 20.(1)2214x y +=;(2)12118kk kk +=−,证明见解析;(3)3322m −<<. (1)由于222c a b =−,将x c =−代入椭圆方程22221x y a b+=,得2b y a =±.由题意知221b a =,即22a b =.又2221,2b a b c a ==+,所以2,1a b ==. 所以椭圆C 的方程为2214x y +=.(2)设()()0000P x ,y y ≠,则直线l 的方程为()00y y k x x −=−.联立得()220014x y y y k x x +=−=−整理得()()()2222220000001484210k x ky k x x y kx y k x ++−+−+−=由题意得0∆=,即()22200004210x k x y k y −++−=.又220014x y +=, 所以22200001680y k x y k x ++=,故004x k y =−.又知0120211x k k y +=+, 所以0012120042111118y x kk kk k k k x y +=+=−⋅=− ,因此1211kk kk +为定值,这个定值为-8. (3)设()()0000P x ,y y ≠,又())120,0F F ,所以直线12,PF PF的方程分别为(1000:0PF l y x x y −++=,(2000:0.PF l y x x y −−−=14=.由于点P 在椭圆上,所以220014x y +=.=因为022m x <<−<<,=,所以034m x =,因此3322m −<<.21.（1）是 （2） 见解析 （3）见解析21.（题目）设函数()y f x =的定义域为开区间I ,若存在0x I ∈,使得()y f x =在0x x =处的切线l 与()y f x =的图像只有唯一的公共点,则称()y f x =为“L 函数”,切线l 为一条“L 切线”.(1)判断1y x =−是否是函数y lnx =的一条“L 切线”,并说明理由;（2）设()26x g x e x =−,求证:()y g x =存在无穷多条“L 切线”; （3）设()321(0)f x x ax x c =++<<,求证:对任意实数a 和正数(),c y f x =都是“L 函数”.（1）是 （2） 见解析 （3）见解析(1)记()f x lnx =,则()1'f x x=,由切线方程为1y x =−知()0'1f x =,则011x =, 解得01x =.所以切点为()10,,下面证明直线1y x =−与()f x lnx =的图象只有唯一的公共点, 将1y x =−与函数y lnx =联立,得10lnx x −+=.记()1g x lnx x =−+,则()1'1g x x=−, 当()01x ,∈时()'0g x >,当()1x ,∈+∞时()'0g x <,故()g x 在()01,上严格增,在()1,+∞上严格减,()()10max g x g ==,故函数()1g x lnx x =−+只有一个零点1x =, 故1y x =−是一条“L 切线”;15(2)()2'26x g x e =−,将点()()00P x ,g x 处的切线l 的方程与()y g x =联立得()()()()000'g x g x g x x x −=−,记()()()()()000'h x g x g x g x x x =−−−,则直线l 为“L 切线”⇔函数()h x 有且仅有一个零点0x (此时,一个0x 对应一条“L 切线”),显然0x 是()h x 的零点,故只要()h x 没其他零点,此时()()()0220'''22x x h x g x g x e e =−=−,当0x x <时,()'0h x <,当0x x >时,()'0h x >,故此时0x 为()h x 唯一的极小值点(也是最小值点), 而()00h x =,故()h x 无其他零点,故直线l 为“L 切线”，因0x 的任意性, 故函数()y g x =存在无穷多条“L 切线”,(3)()()()3210f x x ax x ,c =++∈,设点()00P x ,y 在函数()y f x =的图象上, 则点P 处的切线为()()()000:'l y f x f x x x −=−,与()y f x =联立得:()()()()()()()3232200000000'32f x f x f x x x x ax x ax xax x x −=−⇔+−−=+−()()()()222000000032x x x x x x ax ax xax x x ⇔−++++=+−()()()()2220000002020(*)x x x x x x ax ax x x x x a ⇔−+−+−=⇔−++=由题意得直线l 为“L 切线”,故方程()*在()0,c 上有且仅有一解0x ,则()0020x x a ,c =−−∈或()()00020x ,c x a ,c ∈ −−∉ ，若0a ≥,则()00x ,c ∈是方程(*)的唯一解(此时有无数条“L 切线”切点横坐标为()0,c 上的任意值）.若0a <,则033a c ax≥− =−(此时只有一条“L 切线”,切点的横坐标为3a −)或()0030a c x ,c<<− ∈(此时有无数条“L 切线”,切点横坐标为()0,c 上的任意值),综上,a R ∈,即证.。
2023-2024学年上海交附高三上学期数学周测及答案(2023.12)
1上海交大附中2023学年第一学期高三年级数学卓越测一2023.11一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第16∼题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知函数y =，其定义域是____________．2．已知函数tan 2=y x ，其最小正周期是___________． 3．若幂函数()()25m f x mm x =−−在()0,+∞上是严格减函数，则m =______．4．集合{}210,++=∈x ax ax x 为空集，则实数a 的值所构成的集合为__________． 5．已知1==ab ，且a 在b 上的投影为12b，则⋅=a b ______． 6．随机变量()10,0.3X B ～，则()E X =__________．7．点()1,1在圆2220x y kx y k ++++=外，则实数k 的取值范围是__________． 8．∆ABC中，sin :sin :sin 1=A B C cos cos cos ++=A B C __________． 9．不等式()()1log 211++>x x 的解集是___________．10．已知双曲线的渐近线方程为2y x =±，则其离心率e =______．11．已知,1∈=z z ，且满足10n z z ++=，则所有正整数n 构成的集合为___________． 12．直三棱柱111,3πABC A B C ACB −∠=．D 为线段1CC 上任意一点，均满足ADB ACB ∠≤∠．则CAB ∠的取值范围是______________________．二、选择题．（本题共4小题，前2题每小题4分；后2题每小题5分，共18分． 13．“2x >”是“12x <”的什么条件（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件14．关于简单随机抽样，下列说法错误的是（ ）A ．抽签法和随机数法都属于简答随机抽样B ．总体个数可以是无限的2C ．总体中每个个体被选入样本的可能性相同D ．简单随机抽样是不放回抽样15．已知a 为常数，sin cos =+y x a x 是区间()0,1上的严格增函数．则下列选项中，a 的值可以是（ ） A．a =B ．1a = C．a =D．a =16．()y f x =、()y g x =均为定义在 上的函数．记(){} == A x f g x x ，(){} == Bx g f x x ．以下说法正确的是（ ）①若=∅A ，则=∅B ； ②若=A ，则=B ；③若A 中元素个数为m （m 为正整数），则B 中元素个数也为m ； ④若==A B ，则()y f x =和()y g x =互为反函数． A ．①③ B ．②④ C ．①③④ D ．①②③④三、解答题．（本大题共5小题，满分78分．请写出必要的证明过程或演算步骤） 17．（本题满分14分，其中小题（1）满分8分，小题（2）满分6分）已知向量(()sin ,1,cos ,,22ππ=θ=θθ∈−a b． （1）若⊥a b，求θ； （2）求+a b的最大值．318．（本题满分14分，其中小题（1）满分6分，小题（2）满分8分）从某企业生产的产品中抽取120件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表： 质量指标值分组 [)10,15[)15,20[)20,25[)25,30[)30,35[]35,40频数6303618246（1）在表格中作出这些数据的频率分布直方图和频率分布折线图； （2）估计这种产品质量指标的平均数及方差．419．（本题满分14分，第（1）题满分4分，第（2）题满分4分，第（3）题满分6分） 如图，在三棱锥P ABC −中，,,,2⊥⊥⊥===PA AB PA BC AB BC PA AB BC ，D 为线段AC 的中点，E 为线段PC 上一点．（1）求证：PA BD ⊥；（2）求证：平面BDE ⊥平面PAC ；（3）当PA ∥平面BDE 时，求三棱锥E BCD −的体积．520．（本题满分18分，第（1）题满分4分，第（2）题满分6分，第（3）题满分8分） 已知抛物线22y x =．（1）在抛物线上任取二点()()111222,,,P x y P x y ，经过线段12P P 的中点作直线平行于抛物线的轴，和抛物线交于点3P ，证明：123∆P P P 的面积为312116y y −； （2）经过线段1323,P P P P 的中点分别作直线平行于抛物线的轴，与抛物线依次交于12,Q Q ，试将131∆P P Q 与232∆P P Q 的面积和用12,y y 表示出来；（3）仿照（2）又可作出四个更小的三角形，如此继续下去可以作一系列的三角形，由此设法求出线段12P P 与抛物线所围成的图形的面积．621．（本题满分18分，第（1）题满分4分，第（2）题满分6分，第（3）题满分8分） 已知()ln =f x x ，在该函数图像Γ上取一点()()11,a f a ，过点()()11,a f a 作函数()f x 的切线，该切线与y 轴的交点记作()20,a ，若20a >，则过点()()22,a f a 作函数()f x 的切线，该切线与y 轴的交点记作()30,a ，以此类推34,,a a ⋅⋅⋅，直至0m a ≤停止，由这些项构成数列{}n a ．（1）设()2m a m ≥是数列{}n a 中的项，证明：1ln 1−=−m m a a ； （2）试比较m a 与12m a −−的大小关系；（3）若正整数3k ≥，是否存在k 使得123,,,,⋅⋅⋅k a a a a 依次成等比数列？若存在，求出k 的所有取值；若不存在，请说明理由．7参考答案一、填空题 1.()1,+∞； 2.2π； 3. 2−； 4.{}|04a a ≤<； 5. 12； 6.3； 7.4,3−+∞ ；8.； 9. ()()1,00,−+∞；11. (){}23=+∈n n k k 12.7,1212ππ11．已知,1∈=z z ，且满足10n z z ++=，则所有正整数n 构成的集合为___________． 【答案】(){}23=+∈n n k k 【解析】设cos sin =θ+θz i ，其中[)0,2θ∈π，则cos sin =θ+θn z n i n ，代入10n z z ++=得()()cos cos 1sin sin 0θ+θ++θ+θ=n i n ，从而cos cos 10sin sin 0θ+θ+=θ+θ= n n ①， ∴1cos 2θ=−，sinθ=. 当1cos 2θ=−，sinθ时，得23πθ=，代入①式得()23=+∈n k k ②； 当1cos 2θ=−，sin θ=43πθ=，代入①式得()132+∈kn k ③； 结合②③可知：正整数n 构成的集合为(){}23=+∈n n k k . 12．直三棱柱111,3πABC A B C ACB −∠=．D 为线段1CC 上任意一点，均满足ADB ACB ∠≤∠．则CAB ∠的取值范围是______________________．二、选择题13. A 14. B 15. D 16.D16．()y f x =、()y g x =均为定义在 上的函数．记(){} == A x f g x x ，(){} == Bx g f x x ．以下说法正确的是（ ）①若=∅A ，则=∅B ； ②若=A ，则=B ；③若A 中元素个数为m （m 为正整数），则B 中元素个数也为m ；8④若==A B ，则()y f x =和()y g x =互为反函数． A ．①③ B ．②④ C ．①③④ D ．①②③④ 【答案】D【解析】对于①：若A =∅，则()()f f x x =无解，即()g x 无解，故=∅B ，故①正确； 对于②：若=A ，则()()f f x x =恒成立，即()f x x =，故()()()g f x g x x ==，故=B ，故②正确；对于③：若A 中元素个数为m （m 为正整数），则()()f f x x =的解有m 个，即()g x 的解也为m 个，故③正确；对于④：若==A B ，则()()f f x x =恒成立，且()()g f x x =恒成立，即()()f x g x x ==，故()y f x =和()y g x =互为反函数，故④正确； 故选D. 三．解答题 17.（1）3πθ=−；（2）3. 18.（1）图略；（2）平均值为24.25x =，方差为243.1875s =. 19.（1）证明略；（2）证明略；（3）1133∆=⋅=BCD VS DE . 20. 已知抛物线22y x =．（1）在抛物线上任取二点()()111222,,,P x y P x y ，经过线段12P P 的中点作直线平行于抛物线的轴，和抛物线交于点3P ，证明：123∆P P P 的面积为312116y y −； （2）经过线段1323,P P P P 的中点分别作直线平行于抛物线的轴，与抛物线依次交于12,Q Q ，试将131∆P P Q 与232∆P P Q 的面积和用12,y y 表示出来；（3）仿照（2）又可作出四个更小的三角形，如此继续下去可以作一系列的三角形，由此9设法求出线段12P P 与抛物线所围成的图形的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）123232312128∆∆∆−==P P P P P Q y y S S ；（3）312112y y −. 【解析】（1）证明：根据()()111222,,,P x y P x y 得其中点坐标为121212,2+ +x x y y M ， 故()212123,82++y y y y P ，从而()()2212123121288+−+=−=y y y y x x P M ， 所以12331213121612∆−⋅=−=P P Py y S M P y y ，得证； （2）由（1）可知：131∆P P Q 的面积为1233123112216128∆+−−==P P P y y y y y S ； 232∆P P Q 的面积为2323123122216128∆∆+−−==P P Q y y y y y S ； （3）由（1）（2）可知：每操作一次，所得三角形的个数增加到2倍，每个三角形的面积变为原来的18. 所以每操作一次，新增加的三角形面积为上一次操作所增加面积的14. 记123∆P P P 的面积为3112116=−S y y ，则可知数列{}n S 为一个等比数列，公比为14， 根据题意可得：3121l 2im11411n S S y y →+∞==−−总，即线段12P P 与抛物线所围成的总面积为10312112y y −． 21．（本题满分18分，第（1）题满分4分，第（2）题满分6分，第（3）题满分8分） 已知()ln =f x x ，在该函数图像Γ上取一点()()11,a f a ，过点()()11,a f a 作函数()f x 的切线，该切线与y 轴的交点记作()20,a ，若20a >，则过点()()22,a f a 作函数()f x 的切线，该切线与y 轴的交点记作()30,a ，以此类推34,,a a ⋅⋅⋅，直至0m a ≤停止，由这些项构成数列{}n a ．（1）设()2m a m ≥是数列{}n a 中的项，证明：1ln 1−=−m m a a ； （2）试比较m a 与12m a −−的大小关系；（3）若正整数3k ≥，是否存在k 使得123,,,,⋅⋅⋅k a a a a 依次成等比数列？若存在，求出k 的所有取值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）12−≤−m m a a ；（3）3k =. 【解析】（1）证明:()1f x x′=，则过点()()11m m a ,f a −−的切线的斜率为11m a −，由点斜式可得，此时切线方程为()1111ln −−−−=−m m m y a x a a ，即111ln 1−−=+−m m y x a a . 令0x =，可得1ln 1−−m y a ，根据题意可知，1ln 1−=−m m a a ，即得证； （2）先证明()ln 10≤−>x x x ，设()()ln 10=−+>F x x x x ，则()111xF x x x−=−=′. 易知当01x <<时，()'0>F x ，()F x 单调递增，当1x >时，()'0<F x ，()F x 单调递减，则()()10≤=F x F ，即()ln 10≤−>x x x . 结合（1）可知，111ln 1112−−−=−≤−−=−mm m m a a a a ； （3）假设存在这样的k 符合要求，由（2）可知，数列{}n a 为严格的递减数列，1,2,3,,=n k ； 由（1）可知，公差()111ln 1,2−−−=−=−−≤≤n n n n d a a a a n k .11 先考察函数()ln 1=−−g x x x ，则()111x g x x x−=−=′. 易知当01x <<时，()0′>g x ，则()g x 单调递增，当1x >时，()0′<g x ，()g x 单调递减，则()g x d =至多只有两个解，即至多存在两个1n a −，使得()1n g a d −=.若4≥k ，则()()()123g a g a g a d ===，矛盾，则3k =.当3k =时，设函数()()ln ln 12ln 1=−−++h x x x x . 由于()1.1 1.1 1.1ln 0.1 2.21ln10 1.20=−++=−−<h e e e ，()2230=−+>h e e .则存在()1.120x e ,e ∈，使得()00h x =，于是取1021,ln 1==−a x a a ，32ln 1=−a a ，它们构成等差数列.综上所述：3k =.。
上海市高三数学每周一测试卷(01)
高三每周一测数学试卷（1）一、填空题（每小题4分，共56分）1．函数331log 3x y x -=-的定义域是 1(,3)3 ．2．“x>-6”是“|x+3|<3”成立的 必要非充分 条件．3．已知函数f(x)是以4为周期的奇函数，且f(-1)=1，那么f(5)的值是 -1 。
4．已知集合211{|},{|}22A y y x B y y x ==-+==-，则A B =I 11[,]22- ．5．方程2lg lg 20x x -=的解是___x=2_______. 6．如果不等式230x x a -+>的解集为(,1)(2,)-∞⋃+∞，则实数a = 2 .7．已知函数21()(1)1f x x x =<-+，则113f -⎛⎫= ⎪⎝⎭ 2- ． 8．设()f x 是定义在R 上的奇函数，若0x ≥时，5()log (12)f x x =+，则(2)f -= -1 ．9．已知2{(,)|2},{(,)|6}A x y y x m B x y y x x ==+==-，若A B =∅I ，则实数m 的取值范围为 m<-16 ．10．已知0,0x y >>，且252x y +=，则lg lg x y +的最大值为 -1 ．11．函数22121y x ax a a a =-+++-的定义域为R ，则实数a 的取值范围为 a>1 ．12．（文）设函数()f x 满足：对任意的12,x x R∈，都有[]1212()()()0x x f x f x -->，则(3)f -与()f π-的大小关系是：(3)f - > ()f π-．（理）若方程2240x ax -+=在区间(]1,2上有且只有一个实根，则实数a 的取值范围为5[2,)2．13．已知函数f(x)=x2-6x+8，x ∈[1，a]，且f(x)的最小值为f(a)，则实数a 的取值范围为(1,3] ．14．已知函数131()log (31)2x f x abx=++为偶函数，()22x x a bg x +=+为奇函数，其中a 、b 为常数，则2233100100()()()()a b a b a b a b ++++++++=L 1- ．二、选择题（每小题4分，共16分）15．若0a b <<，则下列不等式中不能成立的是（ D ）A ．||a b >-；B ．11a b >； C ．33a b <； D ．11a b a >-．16．“1a =”是“函数||y x a =-在区间[)1,+∞上为增函数”的（ A ）A ．充分不必要条件；B ．必要不充分条件；C ．充要条件；D ．既不充分也不必要条件．17．若函数1()31x f x =+，则该函数在(),-∞+∞上是（ C ）A ．单调递增无最大值；B ．单调递增有最大值；C ．单调递减无最小值；D ．单调递减有最小值18．（文）已知函数(2),2()2,2xf x x f x x -+<⎧=⎨≥⎩ ，则()3f -=（ A ） A ．18； B ．8； C ．2； D ．12（理）若关于x 的不等式x k )1(2+≤4k ＋4的解集是M ，则对任意实常数k ，总有（ A ） A ．2∈M ，0∈M ； B ．2∉M ，0∉M ； C ．2∈M ，0∉M ； D ．2∉M ，0∈M ．三、解答题（写出必要的解题过程，共78分）19．（满分12分）已知全集U R =，125{|log (3)2},{|1}2A x x B x x =-≥-=≥+，求()U A B I ð．(2,1){3}--⋃20．（满分14分）记函数3121x x +--A ，()lg(23)(4)g x x a a x =-+--(1)a >-的定义域为B ．（１）求A ； （２） 若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．(,3](1,)-∞-⋃∞105a a -<≤≥或21．（满分16分）解：（1）当0=a 时，()2x x f =为偶函数；当0≠a 时，()x f 既不是奇函数也不是偶函数.22．（满分16分）已知0,1a a >≠，设命题 P ：函数log (1)a y x =+在(0,)+∞内单调递减；命题Q ：曲线2(23)1y x a x =+-+与x 轴交于不同的两点。
上海市高三数学每周一测试卷(16)
上海市高三数学每周一测试卷（16）高三每周一测数学试卷（16）一、填空题:1. 若sin α=55-,则cos2α= .352. 若函数()43x f x a a =-+的反函数的图像经过点()1,2-，则实数a =2. 3.已知f(x)是二次函数，不等式f(x)<0的解集是（0，5），则f(x)≥0的解集是____________(][)+∞∞-,50,4. 若函数()y f x =的定义域[]2,4-，则函数()()()F x f x f x =+-的定义域为[]22－，5. 已知1sin ,,322ππαα⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，则用反三角表示α的值为1arcsin 3－ 6. 设集合10,2x A x x R x ⎧-⎫=<∈⎨⎬-⎩⎭，则集合A ={}12,x x x R ≤≤∈ 7. 方程22lg(2)lg(6)x x x x --=--的解集是{}2- 8. 已知ABC ∆中，2=b ，3=c ，三角形面积23=S ，则A ∠= 3π或23π9. 已知52tg ctg αα+=，ππ42α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则πsin(2)4α+=210 10.设“a =1”是“y=22cos sin ax ax -”的最小正周期π的________条件。
充分非必要11.某企业要从其下属6个工厂中抽调8名工程技术人员组成课题攻关小组，每厂至少调1 人，则这8个名额的分配方案共有21种。
12. 若关于x 的不等式23log x x a +<对133x ≤≤恒成立，则实数a 的取值范围为()10,+∞13. 若函数(1)()(1)(32)61xx a f x x a x a ≥⎧=⎨<-+-⎩在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是32,83⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 14. 设函数f (x)的图象与直线,x a x b ==及x 轴所围成图形的面积称为函数f(x)在[a ，b]上的面积.已知函数sin y nx =在[0,n π] (n 为正整数)上的面积为n 2,则()sin 31y x π=-+在[3π,34π]上的面积为23π+二、选择题:15. 11x ≤“”是1x ≥“”成立的……………………………………………………………（ B ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件16. 关于()1x f x x =-的下列四个命题中，错误的命题是……………………………（ C ）（A ）定义域为{}|1,x x x R ≠∈ （B ）值域为{}|1,y y x R ≠∈（C ）在定义域内单调递减 （D ）图像关于直线y x =对称17. 一个圆锥的母线长为20cm ，母线与轴的夹角为30，则圆锥的高为（ ）AA.103cmB.203cmC.20cmD.10cm18. 已知βα,为复数，给出下列四个命题：①若R ∈2α，则R ∈α或α是纯虚数；②若βα=，则βα±=或i αβ=；③若0αβ->，则αβ>;④若0>+βα，且0>⋅βα，则0>α且0>β.上述命题中假命题的个数是 （ B ）C A BD 南岸河流 （A ）4. （B ）3. （C ）2 . （D ）1.三、解答题: （2）(][),11,-∞-⋃+∞21．欲从黄浦江的南岸直接测量北岸,A B 两地的距离.假定可测得从南岸上的任意一点出发的两条直线之间的夹角大小，以及南岸上任意两点之间的距离.现在南岸设定两个测量点,C D ，请根据下列测量数据求值（结论精确到0.1）.（1）10,60,45,CD ACD ADC =∠=∠=求AC 的距离；（2）在（1）的条件下，又得知30,80,BCD BDC ∠=∠=求AB 的距离.[解]：（1）7.3AC ≈；（2） 5.5AB ≈.22． 已知函数22()cos 2sin cos sin .f x x x x x =-- （1）求)(x f 的最小正周期和对称轴；（2）画出该函数在区间[]0,π内的图像,并指出函数在[]0,π的单调递减区间. （3）讨论方程()20f x c +=在[]0,π上的解的情况.[解]：（1）T π=,对称轴3,28k x k Z ππ=+∈;（2）图像略，递减区间为30,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和7,8ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（3）当22c <-或22c >时，无解； 当22c =-或22c =时，1解；当2122c -<<-或1222c -<<时，2解；当12c =-时，3解.23．若集合M 是满足下列条件函数()f x 的全体：若存在常数m ，使得对定义域D 内的任意两个不同的实数12,x x ，均有1212()()f x f x m x x -≤-成立. （1）判断：函数()23f x x M =+∈？请说明理由； （2）若函数()3()11f x x x =-≤≤M∈,求常数m 的最小值； （3）设A 、B 是函数()()10g x x x =+>图像上任意两不同的点，证明：直线AB 与直线y=x 一定相交.[解]：（1）存在常数[)2,m ∈+∞，使得()23f x x M =+∈；（2）常数m 的最小值为3；（3）12121212121111211AB x x y y k x x x x +-+-==<<-+++。
上海市高三数学每周一测试卷(04)
上海市高三数学每周一测试卷（04）一、填空题（每小题4分，共56分）1．函数2()1(1)f x x x =+<-的反函数1()f x -=_____ 1,(2)x x -->________. 2．已知集合A={x|x ≤1},B={x|≥a},且A ∪B=R ，则实数a 的取值范围是________a ≤1 ________.3. 若函数()43x f x a a =-+的反函数的图像经过点()1,2-，则实数a = .2 4. 若函数()y f x =的定义域[]2,4-，则函数()()()F x f x f x =+-的定义域为 [-2,2]5. 设函数)(x f y =是奇函数. 若3)2()1(3)1()2(++=--+-f f f f ，则=+)2()1(f f -3 .6. 设集合10,2x A x x R x ⎧-⎫=<∈⎨⎬-⎩⎭，则集合A = .[1,2] 7. 方程22lg(2)lg(6)x x x x --=--的解集是_____________.-2 8. 已知ABC ∆中，2=b ，3=c ，三角形面积23=S ，则A ∠= .60,1209．若一个球的体积为π34，则它的表面积为________________．12π10. 若,,,E F G H 分别为空间四边形ABCD 的各边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，其对角线AC =4、BD =2.则22EG FH += 10 。
11．在棱长为1的正方体ABCD 1111A B C D 中，,,E F G 分别为1111,,A B BB CC 的中点，则（文）异面直线1D G与AE 所成的角的大小为 2π；（理）异面直线CF 与AE 所成的角的大小为2arccos5 。
12. 若21x x 、为方程11212+-⎪⎭⎫ ⎝⎛=xx 的两个实数解，则=+21x x 1- .13. 在空间四边形ABCD 中，,,,AC BD AC BD E F ⊥=分别是,AB CD 的中点，则EF与AC 所成角的大小为 4π14. 若,a b 为非零实数，则下列四个命题都成立：①10a a +≠ ②()2222a b a ab b +=++ ③若a b =，则a b =±④若2a ab =，则a b =.则对于任意非零复数,a b ，上述命题仍然成立的序号是_____。
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高三每周一测数学试卷（18）
一、填空题 1、设集合
2{5,log (3)}A a =+，{,}B a b =．若A∩B={1}，则A ∪B= {－1，1，5} ．
2、已知复数z 与
i z 18)3(2
+-均是纯虚数，则=z i 3- 。
3、函数
a
x x f -=)(在区间
[)1,+∞上为增函数，则实数a 的取值范围为 1≤a 。
4、在△ABC 中，5=AB ，7=AC ，D 是BC 边的中点，则⋅的值是 12 .
5、已知函数
)
21(log )()(2
11-==-x x f x f y 的反函数，则方程1)(=x f 的解集是 {1} 。
6、图l 是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为
1A 、
2A 、…、m A (如2A 表
示身高(单位：cm )在
[150，155)内的学生人数)．图2是统计图l 中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～180cm (含160cm ，不含180cm )的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填
写的条件是
8i < .
7、设
}1{,21n a a +=数列是公比为2的等比数列，则数列的通项公式n a = 1231-⋅-n 。
8、等差数列
}{n a 的公差,0<d 且2
1121a a =，则数列}{n a 的前n 项和n S 取得最大值时的
项数n 是 5或6 。
9．一次二期课改经验交流会打算交流试点学校的论文5篇和非试点学校的论文3篇. 若任
意排列交流次序，则最先和最后交流的论文都为试点学校的概率是 15
56 (结
果用分数表示).
10．在抽查某产品尺寸过程中，将其尺寸分成若干组，
[],a b 是其中一组，已知该组的频
率为m ，该组上的直方图的高为h ，则a b
-等于 m
h .
11．已知球O 的半径为1，A 、B 、C 三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为2π，，
则球心O 到平面ABC 的距离为
3 。
12、已知函数y=12x
⎛⎫ ⎪⎝⎭与y=log a x (a>0且a ≠1)，两者的图像相交于点P 00(,)x y ，
如果x0≥2,
那么a 的取值范围是 16≥a 。
13、函数
),2[)2(log 2
+∞+-=在ax x y a 恒为正，则实数a 的数值是 1<a<25。
14、设数列
{}n a 的前n 项和为n S ，令
12n
n S S S T n
++
+=
，称
n T 为数列1a ，2a ，……，
n a 的“理想数”，已知数列1a ，2a ，……，501a 的“理想数”为2008，那么数列2， 1a ，2a ，……，501a 的 “理想数”为 2006 。
二、选择题
15、函数1
)4
(cos )4
(sin )(22--
++
=π
π
x x x f 是…………………………………（ A ）
A ．周期为π的奇函数
B ．周期为π的偶函数
C ．周期为2π的奇函数
D ．周期为2π的偶函数
16、若三阶行列式D 的第二行的元素依次1，2，3，它们的余子式分别为2，3，4，则D 的值是……………………………………………………………（D ） A ．8 B ． 9 C ．7 D ．-8
17、等差数列{an}中，a1=-5，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项，余下10项的平均值是4，则抽取的是……………………………………………………………（ A ） A ．a11 B ．a10 C ．a9 D ．a8
18、设点列*
),(N n a n P n n ∈，数列{an}的前n 项和为Sn, 且Sn = 2n2 + 3n ， 则直线
2+n n P P 的一个方向向量的坐标可以是…………………………………………… （ C ）
A ．（2，21
）
B ．(-1, -1)
C ．（2,21--）
D ． (21
-
, -1)
三、解答题
19．已知z 是复数，i z i z -+22、均为实数（i 为虚数单位），且复数2
)(i a z +在复平面上
对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围.
解：设R)∈+=y x yi x z 、(，i y x i z )2(2++=+ ，由题意得 2-=y .
i x x i i x i i x i z )4(51
)22(51)2)(2(51222-++=+-=--=-
由题意得 4=x . ∴ i z 24-=. ∵
2)(ai z +i a a a )2(8)412(2
-+-+= 根据条件，可知⎩⎨
⎧>->-+0)2(80
4122a a a ，解得 62<<a ，∴ 实数a 的取值范围是)6,2(
20．在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，43
4sin 4cos 22
=-C C .
（1）求C cos 的值；
（2）若
25
=
⋅CA CB ，且9=+b a ，求c 边的长.
1
A
21、（本题满分12分）在长方体1111
ABCD A BC D
-中，
1
1,2
AD AA AB
===，点E在棱AB上移动，
（1）证明：11
D E AD
⊥；（2）当E为AB的中点时，求点E到面
1
ACD的距离；（3）（理）AE为何值时，二面角1
D C
E D
--的大小为4
π
．
解：（2）
1
3
（3
）2
AE=
22．已知函数
()()
2
log x x
f x a b
=-
，且
()()
2
11,2log12
f f
==
，
（1）求a、b的值；
（2）当
[]
1,2
x∈
时，求
()
f x
的最大值
解：（1）4
a=，2
b=
（2）
()()
2
log42
x x
f x=-
，
[]
1,2
x∈
令42
x x
u=-
设
[]
22,4x t =∈
则
2
2
11
24u t t t ⎛⎫=-=--
⎪⎝⎭ ，[]2,4t ∈ []
2,12u ∈
2log y u =在[]2,12单调递增
∴max 22log 122log 3y ==+
23、容器A 中有12%的食盐水300克，容器B 中有6%的食盐水300克.现约定完成下列工
作程序为一次操作：从A 、B 两个容器中同时各取100克溶液，然后将从A 中取出的溶液注入B 中，将B 中取出的溶液注入A 中.
（1）经过n 次操作后，A 、B 中的盐水浓度分别为an%、bn%，求证：an+bn 为常数； （2）分别求出an 和bn 的通项公式.
解：（1）经过n 次操作后，A 中盐水的浓度为
300%
100%200%11--⨯+⨯=
n n n b a a ，
得)
2(31
11--+=n n n b a a ，同理)2(3111--+=n n n b a b .
186120011=+=+==+=+∴--b a b a b a n n n n 为常数
（2）由（1）可知
}{),(31
,1811n n n n n n n n b a b a b a b a -∴-=
-=+--又是首项为a0－
b0=6，公比为31
的等比数列，于是有
1
131
9,319.)31(6---=+=⋅=-n n n n n n n b a b a 解得。