10【苏教版高考数学导航(第1轮)理数】第79讲 二阶矩阵常见的平面变换及矩阵的乘法PPT课件
苏教版高中数学目录
苏教版高中数学目录第一章集合与函数1.1 集合的概念与表示方法1.2 集合的运算1.3 表示函数的方法1.4 一些特殊函数的性质第二章数列与极限2.1 数列的概念与分类2.2 数列的通项公式与递推公式2.3 数列的性质2.4 数列的极限概念与判定方法2.5 无穷级数的概念与判定方法第三章函数的极限与连续3.1 函数的极限概念与性质3.2 函数的连续概念与性质3.3 连续函数的运算3.4 闭区间上连续函数的性质3.5 介值定理与零点定理第四章导数与微分4.1 导数的概念与计算方法4.2 导数的运算法则与中值定理4.3 函数的求导法则4.4 高阶导数与隐函数求导4.5 微分的概念与计算方法第五章定积分5.1 定积分的概念与基本性质5.2 定积分的计算方法5.3 定积分的应用5.4 反常积分第六章微积分应用6.1 几何应用6.2 物理应用6.3 经济学应用6.4 生物学应用6.5 工程学应用第七章常微分方程7.1 基本概念与解法7.2 可降解方程与一阶线性方程7.3 高阶微分方程7.4 变量分离与齐次方程7.5 参数方程与自由振动第八章矩阵与行列式8.1 矩阵的概念与运算8.2 矩阵的性质与逆矩阵的求法8.3 行列式的概念与性质8.4 行列式的计算方法第九章二次型9.1 二次型的概念与分类9.2 二次型的矩阵表示与标准型9.3 正交变换与规范形9.4 实二次型的矩阵分解第十章空间解析几何10.1 点、直线、平面的表示方法10.2 直线与平面的位置关系10.3 球、圆、柱、锥的表示方法10.4 空间曲面的表示方法10.5 空间向量的运算第十一章三角函数11.1 角度与弧度的概念与转换11.2 三角函数的定义与性质11.3 三角函数的基本公式11.4 三角函数的图像与性质11.5 三角函数的应用以上就是苏教版高中数学的目录，该教材内容包括了高一至高三的数学知识，涵盖了数学的各个分支，如集合与函数、数列与极限、函数的极限与连续、导数与微分、定积分、微积分应用、常微分方程、矩阵与行列式、二次型、空间解析几何和三角函数等。
步步高苏教版高考数学理科一轮配套课件14.2矩阵与变换
a M＝ c a b 1 －1 b ，则有 ＝ c d －1 ， d －1
(1)设
－2 0 b ＝ ， d 1 －2 －2a＋b＝0 ，且 －2c＋d＝－2
.
基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材
(3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则如下： a 11 a12 b11 b12 a 21 a22 b21 b22 a × b ＋ a × b a × b ＋ a × b 11 11 12 21 11 12 12 22 ＝ a × b ＋ a × b a × b ＋ a × b 11 22 21 21 12 22 22 21 (4) 两个二阶矩阵的乘法满足 结合 律，但不满足 交换 律 和 消去 律 . 即 (AB)C＝ A(BC)， AB≠ BA， 由 AB＝ AC 不一定能推出 B＝ C. 一般地，两个矩阵只有当前一个矩阵的 列数 与后一个矩阵的 行数 相等时才能进行乘法运算.
基础知识·自主学习
要点梳理
1 (6)切变变换：如 0
知识回顾 理清教材
k (k∈ R，且 k≠ 0). 1
3.逆变换与逆矩阵 (1)对于二阶矩阵 A、 B， 若有 AB＝BA＝ E， 则称 A 是 可逆的 ， B 称为 A 的 逆矩阵 ； (2)若二阶矩阵 A、 B 均存在逆矩阵，则 AB 也存在逆矩阵，且 (AB)－1＝B－1A－1. 4.特征值与特征向量 设 A 是一个二阶矩阵，如果对于实数 λ，存在一个非零向量 α， 使 Aα＝λα，那么 λ 称为 A 的一个 特征值 ，而 α 称为 A 的属 于特征值 λ 的一个 特征向量 .
基础知识·自主学习
江苏高考数学矩阵知识点
江苏高考数学矩阵知识点在江苏高考数学考试中，矩阵是一个重要的知识点。
矩阵是以矩形排列的数（或变量）为元素所组成的一个矩形阵列。
在数学中，矩阵常常用于表示线性方程组、向量、平面图形的变换等。
1. 矩阵的定义矩阵是由m行n列的数构成的一个数表，通常记作A=[aij]，其中i 表示行，j表示列，aij表示矩阵中第i行第j列的元素。
2. 矩阵的基本运算矩阵的加法：两个矩阵A和B的加法定义为A+B=C，其中矩阵C 的每个元素等于A和B对应位置元素之和。
矩阵的减法：两个矩阵A和B的减法定义为A-B=C，其中矩阵C 的每个元素等于A和B对应位置元素之差。
矩阵的数乘：矩阵A乘以数k，定义为kA，即矩阵A的每个元素都乘以k。
3. 矩阵的转置矩阵的转置是指将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。
如果矩阵A的转置矩阵记作A^T，则对于A的任意元素aij，其在A^T中位置将变为a_ji。
4. 矩阵的乘法矩阵的乘法是指将一个矩阵的行与另一个矩阵的列进行对应相乘，再将结果相加得到新矩阵。
设矩阵A为m行n列，矩阵B为n行p列，则矩阵积AB是一个m行p列的矩阵，记作C=AB，其中矩阵C的第i行第j列元素等于A的第i行与B的第j列对应元素相乘再求和。
5. 矩阵的性质矩阵的加法和乘法满足交换律和结合律，但减法和数乘不满足交换律。
矩阵的转置对应于几何意义上的镜面对称变换。
对于方阵A，如果存在一个方阵B，使得AB=BA=I，其中I为单位矩阵，则称A为可逆矩阵，B为A的逆矩阵。
对于方阵A，如果存在一个非零向量X使得AX=λX，其中λ为常数，则称λ为矩阵A的特征值，X为对应于特征值λ的特征向量。
6. 矩阵的应用矩阵在实际问题中有广泛的应用。
例如，矩阵可以用来描述线性方程组的解集，解决线性方程组的相关问题。
矩阵还可以用来表示向量，进行向量的运算。
此外，矩阵还可以表示平面图形的变换，如旋转、缩放、错切等。
在江苏高考数学考试中，矩阵相关的题目通常涉及矩阵的基本运算、转置、乘法、可逆性和特征值特征向量等内容。
高考数学(理)一轮复习课件选修系列第二节 矩阵与变换(苏教版江苏专用
令 β＝ mα1＋ nα2， 将具体数据代入有 m＝ 4， n＝－ 3， M4β＝ M4(4α1－ 3α2) ＝ 4(M4α1)－ 3(M4α2) ＝ 4(λ41α1)－ 3(λ42α2) 1 1 4 4 ＝ 4× 3 － 3×(－ 1) 1 －1 321 ＝ . 327
3．逆变换与逆矩阵 (1)设TM是一个线性变换，如果存在线性变换TN， 使得TMTN＝TNTM＝I，则称变换TM________ 可逆 ，并且称 逆变换 ． TN是TM的________ (2)设A是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵B，使 可逆 ，或称矩阵A是 得AB＝BA＝E，则称A______ 可逆矩阵 ，并且称B是A的_______ 逆矩阵 ．若二阶矩阵 _________ 惟一的 ．通常记A的 A存在逆矩阵B，则逆矩阵是_______ 逆矩阵为A－1.一般地，对于二阶可逆矩阵A＝ (ad－bc≠0)，它的逆矩阵为A－1＝ .
1 2 1 3．已知 M＝ ，β＝ ，求 M4β. 2 1 7
λ－1 －2 解：矩阵 M 的特征多项式为 f(λ)＝ ＝ －2 λ－1
λ －2λ－3＝0，所以 λ1＝3，λ2＝－1， 1 1 对应的一个特征向量分别为 α1 ＝ ， α 2＝ ， 1 －1
(4)若二阶矩阵A、B均存在逆矩阵，则 也存在逆矩阵 ，且(AB)－1＝B－1A－1. AB________________ 二阶矩阵 a b A＝ 可逆，当且仅当 detA＝ad－ bc≠ 0. c d a b － 1 当矩阵 A＝ 可 逆 时 ， A ＝ c d －b d detA detA . －c a detA detA
(5)如果关于变量 x，y 的二元一次方程组 (线性方
高考江苏数学大一轮精准复习课件矩阵与变换
旋转变换
利用三维旋转矩阵，可将 空间图形绕某一轴旋转一 定角度。
缩放变换
通过三维缩放矩阵，可将 空间图形沿某一方向进行 缩放。
利用矩阵求解几何问题举例
点线距离问题
01
通过构造点线距离的矩阵表达式，可快速求解点到直线的距离
。
点面距离问题
02
利用点面距离的矩阵表达式，可便捷地求解点到平面的距离。
直线与直线、直线与平面的位置关系问题
克拉默法则应用条件
系数矩阵A的行列式D≠0，即A满秩。若D=0，则克拉默法则不适用，需采用其他方法 求解。
03
特征值与特征向量
特征值与特征向量定义及性质
特征值定义
设A是n阶方阵，如果存在数λ和非零n维 列向量x，使得Ax=λx成立，则称λ是A的 特征值，x是A的对应于特征值λ的特征向 量。
VS
特征向量性质
矩阵数乘与乘法运算
矩阵数乘
一个数与矩阵中的每一个元素相乘，得到的结果按照原矩阵的形状排列，即为该数与该矩阵的数乘。
矩阵乘法
设A为$m times p$的矩阵，B为$p times n$的矩阵，那么称$m times n$的矩阵C为矩阵A与B的乘 积，记作C=AB。其中，矩阵C中的第i行第j列元素可以表示为A的第i行元素与B的第j列对应元素乘积 之和。需要注意的是，两个矩阵相乘时，第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数。
03
矩阵表示方法：矩阵通常用大写的英文字母表示，如A、B 、C等。矩阵的维度用“行×列”表示，如$3 times 3$矩 阵表示该矩阵有3行3列。
矩阵相等与加减法运算
矩阵相等
两个矩阵的行数相等、列数相等且对应位置上的元素相等，则称这两个矩阵相 等。
高中数学教材目录（苏教版）
高中数学教材目录（苏教版）第1章集合1.1集合的含义及其表示1.2子集、全集、补集1.3交集、并集第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ2.1函数的概念和图象函数的概念和图象函数的表示方法函数的简单性质映射的概念2.2指数函数分数指数幂指数函数2.3对数函数对数对数函数2.4幂函数2.5函数与方程二次函数与一元二次方程用二分法求方程的近似解2.6函数模型及其应用数学2第1章立体几何初步1.1空间几何体1.1.1棱柱、棱锥和棱台1.1.2圆柱、圆锥、圆台和球1.1.3中心投影和平行投影1.1.4直观图画法1.2点、线、面之间的位置关系1.2.1平面的基本性质1.2.2空间两条直线的位置关系1.2.3直线与平面的位置关系1.2.4平面与平面的位置关系1.3空间几何体的表面积和体积1.3.1空间几何体的表面积1.3.2空间几何体的体积第4章平面解析几何初步4.1直线与方程直线的斜率直线的方程两条直线的平行与垂直两条直线的交点平面上两点间的距离点到直线的距离4.2圆与方程圆的方程直线与圆的位置关系圆与圆的位置关系4.3空间直角坐标系空间直角坐标系空间两点间的距离数学3第5章算法初步5.1算法的意义5.2流程图5.3基本算法语句5.4算法案例第6章统计6.1抽样方法6.2总体分布的估计6.3总体特征数的估计6.4线性回归方程第7章概率7.1随机事件及其概率7.2古典概型7.3几何概型7.4互斥事件及其发生的概率数学4第8章三角函数8.1任意角、弧度8.2任意角的三角函数8.3三角函数的图象和性质第9章平面向量9.1向量的概念及表示9.2向量的线性运算9.3向量的坐标表示9.4向量的数量积9.5向量的应用第10章三角恒等变换10.1两角和与差的三角函数10.2二倍角的三角函数10.3几个三角恒等式数学5第11章解三角形11．1正弦定理11．2余弦定理11．3正弦定理、余弦定理的应用第12章数列12．1等差数列12．2等比数列12．3数列的进一步认识第13章不等式13．1不等关系13．2一元二次不等式13．3二元一次不等式组与简单的线性规划问题13．4基本不等式选修系列11-1第1章常用逻辑用语1．1命题及其关系1．2简单的逻辑联结词1．3全称量词与存在量词第2章圆锥曲线与方程2．1圆锥曲线2．2椭圆2．3双曲线2．4抛物线2．5圆锥曲线与方程第3章导数及其应用3．1导数的概念3．2导数的运算3．3导数在研究函数中的应用3．4导数在实际生活中的应用1-2第1章统计案例1．1假设检验1．2独立性检验1．3线性回归分析1．4聚类分析第2章推理与证明2．1合情推理与演绎推理2．2直接证明与间接证明2．3公理化思想第3章数系的扩充与复数的引入3．1数系的扩充3．2复数的四则运算3．3复数的几何意义第4章框图4．1流程图5．2结构图选修系列22-1第1章常用逻辑用语1．1命题及其关系1．2简单的逻辑连接词1．3全称量词与存在量词第2章圆锥曲线与方程2．1圆锥曲线2．2椭圆2．3双曲线2．4抛物线2．5圆锥曲线的统一定义2．6曲线与方程第3章空间向量与立体几何3．1空间向量及其运算3．2空间向量的应用2-2第1章导数及其应用1．1导数的概念1．2导数的运算1．3导数在研究函数中的应用1．4导数在实际生活中的应用1．5定积分第2章推理与证明2．1合情推理与演绎推理2．2直接证明与间接证明2．3数学归纳法2．4公理化思想第3章数系的扩充与复数的引入6．1数系的扩充3．2复数的四则运算3．3复数的几何意义2-3第1章计数原理1．1两个基本原理1．2排列1．3组合1．4计数应用题1．5二项式定理第2章概率2．1随机变量及其概率分布2．2超几何分布2．3独立性2．4二项分布2．5离散型随机变量的均值与方差2．6正态分布第3章统计案例3．1假设检验3．2独立性检验3．3线性回归分析4．4聚类分析。
高考数学苏教版理科一轮复习配套课件14.1矩阵及其变换
－1 (2)反射变换：因为 0
－x 0 x ＝ y ，该变换把点(x，y) 1 y
－1 0 变成(－x，y)，故矩阵 表示关于y轴的反射变换；类似 1 0 1 0 0 ， － 1 0 ， 1 0 －1 － 1 0 1 0 分别表示关于x轴、直线y 地， ， ，
－1 . 2
0 设A(a，b)，则由 1 a＝－2 所以 b＝3
－1 －b＝－3， a －3 b＝ ，得 2 4 a＋2b＝4.
，即A(－2,3)．
待定系数法在平面变换中的应用 通过二阶矩阵与平面向量的乘法求出变换前与变换后坐 标之间的变换公式，进而得到所求曲线(或点)，求解时应注 意待定系数法的应用．
－2 .求AB和AC. 1
2 解：AB＝ －4 2 AC＝ －4
Hale Waihona Puke －3 8 5 6 4 1 ＝ 5 －2
－7 ， 14 －7 . 14
－3 5 6 3
－2 1 ＝ 1 －2
第一节
矩阵及其变换
1．乘法规则 b11 (1)行矩阵[a11 a12]与列矩阵 b 的乘法法则： 21
[a11
b11 a12] b ＝ 21
[a11b11＋a12b21] ．
a11 a12 x0 (2)二阶矩阵 与列向量 的乘法规则： a21 a22 y0 a11x0＋a12y0 a11 a12 x0 a x ＋ a y ＝ 21 0 22 0 . a 21 a22y0
[练一练]
1．(2014· 扬州模拟)已知矩阵
高考数学 第十四章 第一节 二阶矩阵与平面向量及几种常见的平面变换课件 理 苏教版
x y
x x,
y
1 2
y,
有x′2+(2y′)2=1,得x′2+4y′2=1,即所求曲线方程为x2+4y2=1.
8.如果曲线x2+4xy+3y2=1在矩阵
1 b
a 1
的作用下变换为曲线x2-y2=1,试求a+b的值.
【解析】设(x,y)是x2+4xy+3y2=1上任意点,在矩阵作用下变换
的对应点为(x′,y′),有
cos sin
形F′, 称为旋转变换, 其变换矩阵是__s_in__ ___c_o_s___.
(5) 投影变换: 把平面图形F投影到某条直线(或点)的变换,
称为投影变换, 其中垂直投影到x轴上或直线y=x上的变换矩阵 分别是__10_ _ 0_ 0_ _和__11_ _ 00__. (6) 切变变换:保持图形的面积大小不变而点间_距__离__和线间 _夹__角__可以改变，且点沿_坐__标__轴__运动的变换.其变换矩阵分别
【变式训练】已知A= 5
3
1 24，
a＝ 21，b＝34，
设 α a b，β a b，求 Aα, Aβ.
【解析】由条件得
α
2 6
,
β
4 2
,
从而
Aα
5 3
1 2 4
2 6
7 18
,
Aβ
5 3
1
2
4
4 2
19 4.
考向 2 几种常见的平面变换问题
【典例2】(1)已知矩阵
考向 1 二阶矩阵与平面向量
【典例1】已知
A
1 1
20 ，α
11，
＝1x
，
二阶矩阵和常见的平面变换
二阶矩阵和常见的平面变换江苏省天一中学沈钰一．教学目标1.知识与技能：通过这节课的复习，使学生进一步理解和掌握六种常见的平面变换的矩阵表示及其几何意义，及矩阵的一些相关知识，如行，列，零矩阵，会用矩阵表示一些问题2.过程与方法：通过以平面变换为载体的复习过程，培养学生从特殊到一般，从直观到抽象的学习过程，提高学生学习数学的能力3.情感态度与价值观：通过生动通俗的语言和丰富有趣的实例来循序渐进的展开教学过程，激发学生的兴趣与求知欲；通过师生互动的合作交流，营造和谐的教学氛围；通过设置思考或探究的问题，给学生创设思考与探究的空间。
二．教学手段多媒体三．教学过程（一）情节创设新的一年马上来临了，在上课之前首先播放了一段动画祝大家新年快乐。
〔问题〕：大家知道动画是运用什么知识形成的吗？计算机动画是指用绘制程序生成的一系列景物画面，其中后一帧画面是对前一帧画面的部分修改，就是几何变换，在平面或空间中物体（图片）的移动就由相应的矩阵乘法来实现。
而且每个动画过程背后都涉及数量惊人的矩阵运算，当然计算机的速度是动画的关键。
不仅如此矩阵在图论、线性规划、大型工程的计算、信息安全加密等问题中都有重要的运用。
为了使我们的生活更加美好，我们应该认真学习矩阵知识。
〔设计意图〕：通过贴近大家生活的动画演示，○1可以激发学生的求知欲，提高学生学习数学的兴趣，○2教师对学生的新年祝福增进了师生情感，○3让学生了解矩阵在现实生活的广泛运用，有利于增强学生的数学应用意识，○4使学生很自然的就进入了今天学习的主题。
（二）活动探究例 1.已知变换'32'02x x xy y y⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦,将它写成坐标变换的形式是___________________.变式○1已知T,)(',')x y x y y x→=：（，将它写成矩阵乘法形式____________________. 〔问题〕：这两题说明了一个什么问题？学生进行观察分析概括○1二阶矩阵与平面中的坐标变换是一一对应； ○2矩阵和坐标变换都是平面中的几何变换的代数表示。
【数学】高三数学一轮复习课件——矩阵的概念及几种常见的平面变换
三维设计·高三数学（苏教版） 选考内容
选修4-2 矩阵与变化
三维设计·高三数学（苏教版） 选考内容
选修4-2 矩阵与变化
三维设计·高三数学（苏教版） 选考内容
选修4-2 矩阵与变化
三维设计·高三数学（苏教版） 选考内容
选修4-2 矩阵与变化
三维设计·高三数学（苏教版） 选考内容
选修4-2 矩阵与变化
三维设计·高三数学（苏教版） 选考内容
选修4-2 矩阵与变化
三维设计·高三数学（苏教版） 选考内容
选修4-2 矩阵与变化
三维设计·高三数学（苏教版） 选考内容
选修4-2 矩阵与变化
三维设计·高三数学（苏教版） 选考内容
选修4-2 矩阵与变化
三维设计·高三数学（苏教版） 选考内容
选修4-2 矩阵与变化
三维设计·高三数学（苏教版） 选考内容
选修4-2 矩阵与变化
三维设计·高三数学（苏教版） 选考内容
选修4-2 矩阵与变化
三维设计·高三数学（苏教版） 选考内容
选修4-2 矩阵与变化
三维设计·高三数学（苏教版） 选考内容
选修4-2 矩阵与变化
三维设计·高三数学（苏教版） 选考内容
选修4-2 矩阵与变化
三维设计·高三数学（苏教版） 选考内容
选修4-2 矩阵与变化
三维设计·高三数学（苏教版） 选考内容
选修4-2 矩阵与变化
三维设计·高三数学（苏教版） 选考内容
选修4-2 矩阵与变化
三维设计·高三数学（苏教版） 选考内容
选修4-2 矩阵与变化
三维设计·高三数学（苏教版） 选考内容
选修4-2 矩阵与变化
三维设计·高三数学（苏教版） 选考内容
【高考】高考数学一轮复习第1节二阶矩阵平面变换与矩阵的乘法课后限时自测理苏教版选修42
【关键字】高考【高考讲坛】高考数学一轮复习第1节二阶矩阵、平面变换与矩阵的乘法课后限时自测理苏教版选修4-2[A级根底达标练]1．求向量α＝在矩阵作用下变换得到的向量．[解] ＝＝.2．求直线y＝－3x在矩阵M＝作用下变换得到的图形解析式．[解] 由＝知即所以x′＝－3y′即y＝－x.3．已知在一个二阶矩阵M对应的变换作用下，将点(1,1)、(－1,2)分别变换成(1,1)、(－2,4)，求矩阵M.[解] 设M＝，则＝，即因为矩阵M对应的变换将点(－1,2)变换成(－2,4)，所以＝，即联立两个方程组，解得即矩阵M＝.4．在线性变换＝下，直线x＋y＝k(k为常数)上的所有点都变为一个点．求此点坐标．[解] ＝，即所以直线x＋y＝k(k为常数)上的所有点都变为一个点(k,2k)．5．若△ABC在矩阵M对应的旋转变换作用下得到△A′B′C′，其中A(0,0)，B(1，)，C(0,2)，A′(0,0)，C′(－，1)，求点B′的坐标．[解] 由题意旋转中心为原点，设逆时针旋转角为α(0≤α≤2π)，则旋转变换矩形为M＝，∴＝∴∴α＝，∴M＝.设B′(x，y)，则＝＝，∴B′(－1，)．6．(2014·苏、锡、常、镇四市模拟)已知点A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)在矩阵M ＝对应变换的作用下，得到的对应点分别为A ′(0,0)，B ′(，1)，C ′(0,2)，求矩阵M.[解] 由条件得＝.所以解得a ＝且c ＝.又＝，所以解得b ＝－且d ＝.所以矩阵M ＝.7．(2014·南京模拟)已知M ＝，N ＝，求二阶矩阵X ，使MX ＝N.[解] 设X ＝，按题意有 ＝.根据矩阵乘法法则有解之得∴X ＝.8．(2014·镇江模拟)直角坐标系xOy 中，点(2，－2)在矩阵M ＝对应变换作用下得到点(－2,4)，曲线C ：x2＋y2＝1在矩阵M 对应变换作用下得到曲线C ′，求曲线C ′的方程．[解] 由＝得2a ＝4，a ＝2.设点(x ，y)是曲线C 上任意一点，在矩阵M 对应的变换作用下得到点(x ′，y ′)，则＝， 即∴∴C ′：y ′2＋x ′2＝1，∴曲线C ′的方程为x2＋y2＝1.9．求使等式＝M 成立的矩阵M.[解] 设M ＝，＝，∴＝，∴＝，∴∴∴M ＝.10．已知变换T 把平面上的点(1,0)，(0，)分别变换成点(1,1)，(－，)．(1)试求变换T 对应的矩阵M ；(2)求曲线x 2－y 2＝1在变换T 的作用下所得到的曲线的方程．[解] (1)设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，依题意得 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝ax ＋by ，y ′＝cx ＋dy ，由(1,0)变换为(1,1)得a ＝1，c ＝1；由(0，2)变换为(－2，2)得b ＝－1，d ＝1.所以矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －11 1. (2)变换T 所对应关系⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝x －y ，y ′＝x ＋y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x ′＋y ′2，y ＝y ′－x ′2.代入x 2－y 2＝1得x ′y ′＝1.故x 2－y 2＝1在变换T 的作用下所得到的曲线方程为xy ＝1.[B 级 能力提升练]1．(2013·盐城二模)求曲线2x 2－2xy ＋1＝0在矩阵MN 对应的变换作用下得到的曲线方程，其中M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 2，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 0－1 1.[解] MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 0－1 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 0－2 2， 设P (x ′，y ′)是曲线2x 2－2xy ＋1＝0上任意一点，点P 在矩阵MN 对应的变换下变为点P ′(x ，y )． 则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 0－2 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ x ′－2x ′＋2y ′， 于是x ′＝x ，y ′＝x ＋y 2. 代入2x ′2－2x ′y ′＋1＝0，得xy ＝1，∴曲线2x 2－2xy ＋1＝0在MN 对应的变换作用下得到的曲线方程为xy ＝1.2．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0,0)，B (－2,0)，C (－2,1)，设k 为非零实数，矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k 00 1，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0，点A ，B ，C 在矩阵MN 对应的变换下得到的点分别为A 1，B 1，C 1，△A 1B 1C 1的面积是△ABC 的面积的2倍，求k 的值．[解] 由题设得MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k00 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 k 10. 由⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 k 10⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 k 1 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－2， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 k 1 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ k －2，可知A 1(0,0)，B 1(0，－2)，C 1(k ，－2)．计算得△ABC 的面积是1，△A 1B 1C 1的面积是|k |，则由题设知|k |＝2×1＝2.所以k 的值为－2或2.3．(2013·泰州调研)已知变换T 把平面上的点(1,0)，(0，2)分别变换成点(1,1)，(－2，2)．(1)试求变换T 对应的矩阵M ；(2)求曲线x 2－y 2＝1在变换T 的作用下所得到的曲线方程． [解] (1)设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ， 依题意得⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝ax ＋by ，y ′＝cx ＋dy ，由(1,0)变换为(1,1)得a ＝1，c ＝1，由(0，2)，变换为(－2，2)得b ＝－1，d ＝1.所求矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －11 1. (2)变换T 所对应关系⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝x －y ，y ′＝x ＋y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x ′＋y ′2，y ＝y ′－x ′2.代入x 2－y 2＝1得x ′y ′＝1，故x 2－y 2＝1在变换T 的作用下所得到的曲线方程为xy ＝1.此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。
【苏教版高考数学复习导航(第1轮)理】两个计数原理和排列、组合PPT文档49页
48、法律一多，公正就少。——托·富 勒 49、犯罪总是以惩罚相补偿；只有处 罚才能 使犯罪 得到偿 还。— —达雷 尔
50、弱者比强者更能得到法律的保护 。—— 威·厄尔
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
a
c
b
d
,
则
1 1
0 a 2Ba2c
b b2d
,
a 4
a 4
故
b a
3 2c
4
,
解得
b c
3 4
.
b 2 d 1
d 2
故B=
4
4
3
2
.
3.已知二阶矩阵M满足
M
1
0
1
0
,
M
1
1
2
2
,求M
2
1 1
.
【解析】设M=
a
c
b
d
.
由
M
1
0
1
由
0
0
1 2
x
y
x
1
y
2
x'
y'
,
得
x
y
x' 2y'
，代入 x2+y2=1，
得 x'24y'2 1 ,
即曲线C在伸缩变换σ的作用下的曲线C′的 方程为 x2+4y2=1, 其图形为焦点在 x 轴上， 中心在坐标原点的椭圆.
又由01
1x yx' 0yxy'
，得
x y
y' x'
，
代入 x2+y2=1, 得 y'2 x'2 1.
故曲线C在反射变换ρ的作用下的曲线C′ 的方程为 x2+y2=1, 其图形仍为圆心在坐标 原点，半径为1的圆.
变换是点到点的对应关系，可用 点的坐标关系来刻画.矩阵通过变 换作用，使曲线方程所对应的图 形产生变化.图形的变换依托矩阵 这一重要的数学模型，矩阵控制 着图形的变换.
11 11
解答这种类型的题，首先分清哪一个是 变换前的点，哪一个是变换后的点，然 后把点的坐标写成列向量的形式；其次 根据二阶矩阵与平面列向量的乘法规则 进行解题.
【变式练习1】已知矩阵M=
2 2
a
1
，其
中a R,若点P(1，-2)在矩阵M的变换
下得到点P’（-4,0），求a的值
【解析】由题意可知
y0
sin
x
，
0
得
-2x
sin
y，
即 所 求 的 曲 线 方 程 为 2 x sin y 0.
1.(2010•扬 州 模 拟 考 试 )二 阶 矩 阵 M对 应 的 变 换 将 点 (1， － 1)与 (－ 2,1)分 别 变 换 成 点 (－ 1， － 1)与 (0， － 2)． 求 矩 阵 M.
【 变 式 练 习 3 】 二 阶 矩 阵 M 1和 M 2对 应 的 变 换 对 正 方 形 区 域 的 作 用 如 下 图 所 示 ：
1写出一个满足条件的矩阵M1和M2； 2根据1的结果，令M＝M2M1，求曲
线y＝sinx在矩阵M变换下的曲线方程．
1
【 解 析 】1由 题 意 有 ， M
1
0
2 2
所以2-2a=-4,解得a=3
a 1
1 2
=
0
4
常见的平面交换
【例2】已知曲线C的方程为 x2+y2=1，伸缩
变换σ和反射变换ρ的矩阵分别为
1 0
0
1
2
和
0
1
1
0
, 求曲线C在σ和ρ变换下曲线
C′的方程，并说明曲线的特征.
【解析】设点P(x , y)为曲线C上任意一点， 通过变换后对应的点为P′(x′, y′).
1 0
,
得
a
c
1
0
，所以a=1, c=0.
由
M
1
1
2
2
,
得
a c
b d
2 2
，所以b=1
,
d=2.
所以M=
1
0
1
【变式练习2】分别给出下列矩阵表示的变
换对图中△ABC的作用结果，其中A(-3 ,
0) , B(0 , 2) , C(2 , 0).
(1)
1
0
0
2
1
;
(2)
0
1
1
;
(3)
0
1
1
0
; (4)
1 2 3 2
3
2
.
1
2
【变式练习2】(1)矩阵 保持不变，
1
0
0
2
表示横坐标
纵坐标沿y轴负方向拉伸为原来的2倍的伸 压变换，故△ABC变为△A′B′C′，其中A′(-
1
2
在复合变换σρ作用
下的像为
17 2
.
4
(2)因为ρ i=
1
2
0
0 2
1 0
1
2
0
,
ρj=
1
2
0
0
2
0
1
0
2
,
又(σ·ρ)i=
1
0
2
1
1 2 0
,12
0
(σ·ρ)j= 从而
1 0
2 1
0 2
42,
复合变换中先施行右边的变换， 再施行左边的变换.
【
解
析
】
设
矩
阵
M
＝
a c
b
d
,
则
a cb d1来自111
且
a
c
b 2 0
d
1
2
,
a b 1
a 1
所
以
cd 2a
b
1 0
，
解
得
b
c
2 3
，
即
M
＝
1 3
2
4
2c d 2
d 4
2.已知 B.
1 1
0 4
2 B
4
3 1
, 求矩阵
【解析】设B=
第79讲
二阶矩阵与平面向量
3 2
【例1】求在矩阵
1
3
对应的变换作用
下得到点(2, -4)的平面上的点P的坐标.
【解析】设P点的坐标为(x , y),
则 即
2 3 2 x
4 1
3
y
,
3x 2y 2
x
3
y
4
，解得
x y
2 11
14 11
.
所以P点的坐标为 ( 2 , 1 4 ) .
0
, 压缩变换ρ对应的
0 2
矩阵B=
1
0
2
1
.
1
(1)求向量α= 用下的像；
2
在复合变换σρ作
(2)复合变换σρ把单位正方形区域变
成了什么图形？
【解析】(1)因为AB=
1 0
2 1
1
2
0
0
1
2
2 0
4
2
,
所以(AB)α=
1
2
0
4
2
1
2
17
2
4
,
即向量α=
C′(0 , 2).
1
(4)矩阵 2
3 2
3
2
1
2
表示绕原点逆时针
旋转60°的旋转变换，故△ABC变为
△A′B′C′，其中A′
( 3 ,, B3′ 3 ) , ( 3 ,1)
22
C′ ( 1 , 3.)
变换的复合与矩阵
的乘法
【例3】在直角坐标系xOy中，切变变换σ
对应的矩阵A=
1
2
0
1
2
,M2
0 1
1
0
.
2M
0 1
1
0
1 0
0 1
0
2 1
1 2
.
0
设y＝sin x上任意一点P(x0，y0 )在M 对应的变换作
用 下 的 对 应 点 为 Q ( x， y )，
【
解
析
】
则
0
1
1 2 0
x0 y0
x
y
,
所
以
x0 y y0 2
x
.
又
由
3 , 0) , B′(0 , -4) , C′(2 , 0).
(2)矩阵
1
0
1
1
表示纵坐标不变，横坐
标依纵坐标比例增加的切变变换，故
△ABC变为△A′B′C′，其中A′(-3 , 0) , B′(2 ,
2) , C′(2 , 0).
0 1
(3)矩阵
1
0
表示将图形变换为与之
关于直线 y=x 对称的反射变换，故△ABC 变为△A′B′C′，其中A′(0 , -3) , B′(2 , 0) ,