高考数学百大经典例题 平面 新课标版
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典型例题一
例1 三条直线两两相交,由这三条直线所确定平面的个数是( ).
A .1
B .2
C .3
D .1或3
分析:本题显然是要应用推论2判断所能确定平面的个数,需要在空间想象出这三条直线所有不同位置的图形,有如下图的三种情况(如图):
答案:D .
说明:本题启发我们考虑问题不要只局限于平面图形,应养成在三维空间考虑问题的习惯.
典型例题二
例2 一条直线与三条平行直线都相交,求证这四条直线共面.
分析:先将已知和求证改写成符号语言.证明诸线共面,可先由其中的两条直线确定一个平面,然后证明其余的直线均在此平面内.也可先由其中两条确定一个平面α,另两条确定平面β,再证平面α,β重合.
已知:c b a ////,A a l =I ,B b l =I ,C c l =I .
求证:直线a ,b ,c ,l 共面.
证明: ∵ b a //,
∴ a ,b 确定一个平面α.
∵ A a l =I ,B b l =I ,
∴ α∈A ,α∈B ,故α⊂l .
又 ∵ c a //, ∴ a ,c 确定一个平面β.
同理可证β⊂l .
∴ a =βαI ,且l =βαI .
∵ 过两条相交直线a ,l 有且只有一个平面,故α与β重合
即直线a ,b ,c ,l 共面.
说明:本例是新教材第9页第9题的一个简单推广,还可推广到更一般的情形.本例证明既采用了归一法,同时又采用了同一法.这两种方法是证明线共面问题的常用方法.在证明α⊂c 时,也可以用如下反证法证明:
假设直线α⊄c ,则c 一定与α相交,此时直线c 与a 内的所有直线都不会平行,这显然
与c a //矛盾.故α⊂c .
典型例题三
例3 已知ABC ∆在平面α外,它的三边所在的直线分别交平面α于P ,Q ,R 三点,证明P ,Q ,R 三点在同一条直线上.
分析:如图所示,欲证P ,Q ,R 三点共线,只须证P ,
Q ,R 在平面α和平面ABC ∆的交线上,由P ,Q ,R 都是
两平面的公共点而得证.
证明:∵ P AB =αI ,Q BC =αI ,
∴ PQ 是平面α与平面ABC 的交线.
又 ∵ R AC =αI
,
∴ α∈R 且∈R 平面ABC , ∴ PQ R ∈,
∴ P ,Q ,R 三点共线.
说明:证明点共线的一般方法是证明这些点是某两个平面的公共点,由公理2,这些点都在这两平面的交线上.
典型例题四
例4 如图所示,ABC ∆与111C B A ∆不在同一个平面内,如果三直线1AA 、1BB 、1CC 两两相交,证明:三直线1AA 、1BB 、1CC 交于一点.
分析:证明三线共点的一般思路是:先证明两条直线交
于一点,再证明该点在第三条直线上即可.
证明:由推论2,可设1BB 与1CC ,1CC 与1AA ,1
AA 与1BB 分别确定平面α,β,γ.
取P BB AA =11I ,则1AA P ∈,1BB P ∈.
又因1CC =βαI ,则1CC P ∈(公理2),
于是P CC BB AA =111I I ,
故三直线1AA 、1BB 、1CC 共点.
说明:空间中证三线共点有如下两种方法:
(1)先确定两直线交于一点,再证该点是这两条直线所在两个平面的公共点,第三条直线是这两个平面的交线,由公理2,该点在它们的交线上,从而得三线共点.
(2)先将其中一条直线看做是某两个平面的交线,证明该交线与另两直线分别交于两点,再证这两点重合.从而得三线共点.
典型例题五
(1)不共面的四点可以确定几个平面?
(2)三条直线两两平行但不共面,它们可以确定几个平面?
(3)共点的三条直线可以确定几个平面?
分析:(1)可利用公里3判定。
(2)可利用公里3的推论3判定。
(3)需进行分类讨论判定。
解:(1)不共面的四点可以确定四个平面。
(2)三条直线两两平行但不共面,它们可以确定3个平面。
(3)共点的三条直线可以确定1个或3个平面。
说明:判定平面的个数问题关键是要紧紧地抓住已知条件,要做到不重不漏。
平面的确定问题
主要是根据已知条件和公里3及其3个推论来判定平面的个数。
典型例题六
例6 A 、B 、C 为空间三点,经过这三点:
A .能确定一个平面
B .能确定无数个平面
C .能确定一个或无数个平面
D .能确定一个平面或不能确定平面
分析:本题考查空间确定平面的方法,解题的主要依据是公理3及三个推论.
解:由于题设中所给的三点A 、B 、C 并没有指明这三点之间的位置关系,
所以在应用公理3时要注意条件“不共线的三点”.
当A 、B 、C 三点共线时,经过这三点就不能确定平面,
当A 、B 、C 三点不共线时,经过这三点就可以确定一个平面,故选D .
说明:空间确定一平面的方法有多种,既可以根据不共线的三点来确定一个平面,又可以根据空间两相交直线或两平行直线来确定一个平面.
典型例题七
例7 判断题(答案正确的在括号内打“√”号,不正确的在括号内打“×”号).
(1)两条直线确定一个平面;( )
(2)经过一点的三条直线可以确定一个平面;( )
(3)两两相交的三条直线不共面;( )
(4)不共面的四点中,任何三点不共线.( )
分析:(1)两条直线能否确定平面,应注意这两条直线的位置关系,不给出位置关系则要分情况讨论,才可得出结论.两条相交直线可确定一个平面,两条平行直线可确定一个平面,