文1-2命题及其关系、充分条件与必要条件
专题1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件(原卷版)
第一篇集合与常用逻辑用语专题1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件【考纲要求】1．理解命题的概念．2．了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，3. 会分析四种命题的相互关系．4．理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.【命题趋势】1. 判断命题的真假．2．写出一个命题的逆命题、否命题、逆否命题等．3．常以函数、不等式等知识为载体，考查一个命题是另一个命题的什么条件．4．求一个命题的充要条件、充分不必要条件、必要不充分条件，或已知充要条件求参数的取值范围等. 【核心素养】本讲内容主要考查数学运算和逻辑推理的核心素养.【素养清单•基础知识】1．命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.一个命题要么是真命题，要么是假命题，不能模棱两可.2．四种命题及其相互关系3．充分条件、必要条件与充要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件；①A是B的充分不必要条件是指：A⇒B且B A；②A 的充分不必要条件是B 是指：B ⇒A 且AB ，在解题中要弄清它们的区别，以免出现错误．(2)如果q ⇒p ，则p 是q 的必要条件； (3)如果既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，记作p ⇔q ，则p 是q 的充要条件．充要关系与集合的子集之间的关系设A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q(x )}，①若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．②若A ØB ，则p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件．③若A ＝B ，则p 是q 的充要条件．【素养清单•常用结论】1．四种命题中的等价关系原命题等价于逆否命题，否命题等价于逆命题，所以在命题不易证明时，往往找等价命题进行证明．2．等价转化法判断充分条件、必要条件p 是q 的充分不必要条件，等价于非q 是 非p 的充分不必要条件．其他情况以此类推．【真题体验】1.（2019·全国Ⅱ卷文、理7）设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是（ ）A ．α内有无数条直线与β平行B ．α内有两条相交直线与β平行C ．α，β平行于同一条直线D ．α，β垂直于同一平面 2.（2019·全国Ⅲ卷文11）记不等式组6,20x y x y +⎧⎨-≥⎩…表示的平面区域为D .命题:(,),29p x y D x y ∃∈+…；命题:(,),212q x y D x y ∀∈+….下面给出了四个命题①p q ∨ ②p q ⌝∨ ③p q ∧⌝ ④p q ⌝∧⌝这四个命题中，所有真命题的编号是（ ）A ．①③B ．①②C ．②③D ．③④ 3.（2019·天津卷文、理3）设x R ∈，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.（2019·浙江卷5）若a ＞0，b ＞0，则“a +b ≤4”是 “ab ≤4”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5.(2018·天津卷)设x∈R，则“x3＞8”是“|x|＞2”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6.(2018·北京高考) 设a，b，c，d是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7. (2018·北京高考) 设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考法拓展•题型解码】考法一四种命题的相互关系及其真假判断解题技巧：与四种命题有关的问题的解题策略(1)写一个命题的其他三种命题时，需注意：①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例．(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．【例1】(1)(2019·邹平双语学校月考)已知命题p：若x＜－3，则x2－2x－8＞0，则下列叙述正确的是() A．命题p的逆命题是“若x2－2x－8≤0，则x＜－3”B．命题p的否命题是“若x≥－3，则x2－2x－8＞0”C．命题p的否命题是“若x＜－3，则x2－2x－8≤0”D．命题p的逆否命题是真命题(2)(2019·长治二中月考)设原命题：若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是()A．原命题真，逆命题假B．原命题假，逆命题真C．原命题与逆命题均为真命题D．原命题与逆命题均为假命题(3)已知命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是()A．否命题是“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m>1”，是真命题B．逆命题是“若m≤1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数”，是假命题C．逆否命题是“若m>1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数”，是真命题D．逆否命题是“若m>1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数”，是真命题考法二充分条件、必要条件的判断解题技巧:充分条件、必要条件的三种判断方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断．(2)集合法：根据p，q成立的对应集合之间的包含关系进行判断．(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，常用的是逆否等价法．①¬q是¬p的充分不必要条件⇔p是q的充分不必要条件；②¬q是¬p的必要不充分条件⇔p是q的必要不充分条件；③¬q是¬p的充要条件⇔p是q的充要条件．【例2】(1)(2018·北京卷)设a，b，c，d是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(2)(2017·北京卷)设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考法三充分条件、必要条件的应用误区防范:充分条件、必要条件的应用的注意点充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式能否取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．【例3】 (1)已知条件p ：|x －4|≤6；条件q ：(x －1)2－m 2≤0(m >0)．若p 是q 的充分不必要条件，则m 的取值范围是( )A ．[21，＋∞)B ．[9，＋∞)C ．[19，＋∞)D ．(0，＋∞)(2)已知条件p ：|x －4|≤6；条件q ：(x －1)2－m 2≤0(m >0)．若¬p 是¬q 的充分不必要条件，则m 的取值范围为__________．【易错警示】易错点 逻辑关系与集合关系的转化出错【典例】 (2019·广东六校联考)“不等式x 2－x ＋m ＞0在R 上恒成立”的一个必要不充分条件是( )A ．m ＞14B ．0＜m ＜1C ．m ＞0D ．m ＞1【错解】：A【错因分析】：是充分条件、必要条件、充要条件对应集合关系的转化上出现了失误．事实上，充要条件时参数取值集合是必要不充分条件时参数取值集合的真子集．【正解】【答案】C【解析】不等式x 2－x ＋m ＞0在R 上恒成立，则Δ＝1－4m ＜0，所以m ＞14.所以“不等式x 2－x ＋m ＞0在R 上恒成立”的一个必要不充分条件是m ＞0.误区防范：注意区分以下两种不同的说法(1)A 是B 的充分不必要条件，是指A ⇒B 但B ⇒/A ．(2)A 的充分不必要条件是B ，是指B ⇒A 但A ⇒/B ．以上两种说法在充要条件的推理判断中经常出现且容易混淆，在解题中一定要注意问题的设问方式，弄清它们的区别，以免出现错误判断．【跟踪训练】 已知p ：1x －2≥1，q ：|x －a |<1，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为__________． 【递进题组】1．(2019·南昌二中月考)命题“已知a ＞1，若x ＞0，则a x ＞1”的否命题为( )A ．已知0＜a ＜1，若x ＞0，则a x ＞1B ．已知a ＞1，若x ≤0，则a x ＞1C ．已知a ＞1，若x ≤0，则a x ≤1D ．已知0＜a ＜1，若x ≤0，则a x ≤12．给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则函数y ＝f (x )的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．03．(2019·北京四中期中)设a ，b 是实数，则“a ＞b ”是“a 2＞b 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，请问“有志”是“到达奇伟、瑰怪，非常之观”的__________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)．5．已知“(x －t )2>3(x －t )”是“x 2＋3x －4<0”成立的必要不充分条件，则实数t 的取值范围为__________．【考卷送检】一、选择题1．已知命题p ：正数a 的平方不等于0，命题q ：若a 不是正数，则它的平方等于0，则q 是p 的( )A ．逆命题B ．否命题C ．逆否命题D ．否定2．(2018·天津卷)设x ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪x －12＜12”是“x 3＜1”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．原命题为“△ABC 中，若cos A <0，则△ABC 为钝角三角形”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A ．真、真、真B ．假、假、真C ．真、真、假D ．真、假、假4．(2018·浙江卷)已知平面α，直线m ，n 满足m ⊄α，n ⊂α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．命题“∀x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是() A．a≤4 B．a≥4C．a≤5 D．a≥56．(2019·北京东城期末)下列四个选项中错误的是()A．命题“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”的逆否命题是“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”B．存在x0∈R，使x20＋2x0＋3＝0C．“若α＝β，则sin α＝sin β”的逆否命题为真命题D．“x＞2”是“x2－3x＋2＞0”的充分不必要条件二、填空题7．已知命题p：若a>b>0，则log12a<log12b＋1，命题p的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为________．8．能够说明“设a，b，c是任意实数，若a＞b＞c，则a＋b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为________．9．记不等式x2＋x－6<0的解集为集合A，函数y＝lg(x－a)的定义域为集合B．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则实数a的取值范围为________．三、解答题10．写出“若x＝2，则x2－5x＋6＝0”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．11．已知函数f(x)＝lg(x2－2x－3)的定义域为集合A，函数g(x)＝2x－a(x≤2)的值域为集合B．(1)求集合A，B；(2)已知命题p：m∈A，命题q：m∈B，若¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．12．已知p：A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈R}，q：B＝{x|x2－2mx＋m2－9≤0，x∈R，m∈R}．(1)若A∩B＝[1,3]，求实数m的值；(2)若p是¬q的充分条件，求实数m的取值范围．13．(2019·商南高中模拟)在△ABC中，设命题p：asin B＝bsin C＝csin A，命题q：△ABC是等边三角形，那么命题p是命题q的()A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件。
高三高考数学复习课件1-2命题及其关系充分条件与必要条件
跟踪训练1 (1)命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶 数”的逆否命题是( )
A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数 B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数 C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数 D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数
(2)设原命题：若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于 1，则原命题与其逆命题的真假情况是( )
【答案】 A
题型一 命题及其关系 【例1】 (1)命题：“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题 是( ) A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1 B．若－1<x<1，则x2<1 C．若x>1或x<－1，则x2>1 D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1
(2)(2018·石家庄模拟)命题“若一个数是负数，则它的 平方是正数”的逆命题是( )
1－m≤1＋m， 则1－m≥－2， ∴0≤m≤3.
1＋m≤10，
∴当 0≤m≤3 时，x∈P 是 x∈S 的必要条件，即所求 m 的取
值范围是[0，3]．
【思维升华】 充分条件、必要条件的应用，一般表现 在参数问题的求解上．解题时需注意：
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的 关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或 不等式组)求解．
p是q的_充__分__不__必__要___条件
p⇒q且q⇒ p
p是q的__必__要__不__充__分___条件
p q且q⇒p
p是q的_充__要__条件
p⇔q
p是q的_既__不__充__分__也__不__必__要___条件 p q且q p
【知识拓展】 从集合角度理解充分条件与必要条件
若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝ {x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则关于充分条件、必要条件又可以 叙述为
1.2命题及其关系、充分 条件与必要条件
解析： a＞b⇒/ ac2＞bc2，原因是 c 可能为 0，而若 ac2＞bc2， 则可以推出 a＞b， 故“a＞b”是“ac2＞bc2” 的必要不充分条件，故选 B.
答案：
B
第一章 集合与常用逻辑用语
栏目导引
2．(2010· 杭州二模)已知命题 p：“若 a＞b＞0， 1 1 则 log a＜log b＋1”，则命题 p 的逆命题、否命 2 2 题、逆否命题中真命题的个数为( ) A． 0 B．1 C． 2 D． 4
第一章 集合与常用逻辑用语
栏目导引
解析： (1)∵(x－2)(x－3)＝0⇒/ x－2＝0(可能 x－3＝0)， 但 x－2＝0⇒(x－2)(x－3)＝0， ∴p 是 q 的必要不充分条件． (2)∵四边形的对角线相等⇒/ 四边形是平行四边形， 四边 形是平行四边形⇒/ 四边形的对角线相等， ∴p 是 q 的既不充分也不必要条件． (3)∵(x－1)2＋(y－2)2＝0⇒x＝1 且 y＝2⇒(x－1)(y－2)＝ 0，而(x－1)(y－2)＝0⇒/ (x－1)2＋(y－2)2＝0. ∴p 是 q 的充分不必要条件． (4)∵在△ABC 中，大边对大角，大角对大边． ∴∠A＞∠B⇒BC＞AC，同时，BC＞AC⇒∠A＞∠B， ∴p 是 q 的充要条件．
2．命题“若 a∉A，则 b∈B”的否命题是( ) A．若 a∉A，则 b∉B B．若 a∈A，则 b∉B C．若 b∈B，则 a∉A D．若 b∉B，则 a∈A
答案：
B
3．(2010· 广东卷)“x＞0”是“ x2＞0”成立的 ( ) A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．非充分非必要条件 D．充要条件 3 2 3 2 解析： 因为当 x＞0 时，一定有 x ＞0，但当 x 3 2 ＞0 时，x＜0 也成立，因此，x＞0 是 x ＞0 成立的 充分非必要条件． 答案： A
考点02 命题及其关系、充分条件和必要条件(解析版)
考点02 命题及其关系、充分条件和必要条件【考纲要求】理解必要条件、充分条件与充要条件的意义． 【命题规律】考查充分条件与必要条件的题型一般以选择题或填空题的形式出现，以集合、函数、数列、三角函数、不等式及立体几何中的线面关系为载体，难度一般不大． 【典型高考试题变式】（一）充分条件与必要条件的判定例1．（2021全国甲卷理7）等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，设甲：0q >，乙：{}n S 是递增数列，则 （ ）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】B【分析】当0q >时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当{}n S 是递增数列时，必有0n a >成立即可说明0q >成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案． 【解析】由题，当数列为2,4,8,---时，满足0q >，但是{}n S 不是递增数列，∴甲不是乙的充分条件．若{}n S 是递增数列，则必有0n a >成立，若0q >不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则0q >成立，∴甲是乙的必要条件，故选B ．【点睛】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程．【变式1】【2018年北京卷文】设a,b,c,d 是非零实数，则“ad=bc ”是“a,b,c,d 成等比数列”的A ． 充分而不必要条件B ． 必要而不充分条件C ． 充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 分析：证明“”“成等比数列”只需举出反例即可，论证“成等比数列”“”可利用等比数列的性质.【名师点睛】充分条件、必要条件的判断方法：①定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．②等价法：利用p ⇒q 与⌝q ⇒⌝p ，q ⇒p 与⌝p ⇒⌝q ，p ⇔q与⌝q ⇔⌝p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．③集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件． 【变式2】【变式1中的条件与结论换位】设a,b,c,d 是非零实数，则“a,b,c,d 成等比数列”是“ad=bc ”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】由a,b,c,d 成等比数列可得ad=bc ，当时，a,b,c,d 不是等比数列，所以“a,b,c,d成等比数列”是“ad=bc ”的充分而不必要条件，故选A.例2．（2021年高考天津卷2）已知a ∈R ，则“6>a ”是“362>a ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【分析】由充分条件、必要条件的定义判断即可得解．【解析】由题意，若6a >，则236a >，故充分性成立；若236a >，则6a >或6a <-，推不出6a >，必要性不成立；∴“6a >”是“236a >”的充分不必要条件，故选A ． 【名师点睛】充分条件与必要条件的两个特征：①对称性：若p 是q 的充分条件，则q 是p 的必要条件，即“p ⇒q ”⇔“q ⇐p ”．②传递性：若p 是q 的充分(必要)条件，q 是r 的充分(必要)条件，则p 是r 的充分(必要)条件，即“p ⇒q 且q ⇒r ”⇒“p ⇒r ”(“p ⇐q 且q ⇐r ”⇒“p ⇐r ”)． 【变式1】【改变例题的条件】设，则“24x >”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．即不充分也不必要条件 【答案】C【解析】由242x x >⇔>或2x <-，所以“24x >”是“||2x >”的充分必要条件，故选C. （二）充分条件与必要条件的运用例3．【2019·全国Ⅱ卷】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是（ ） A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面【答案】B【解析】由面面平行的判定定理知：α内有两条相交直线都与β平行是αβ∥的充分条件；由面面平行的性质定理知，若αβ∥，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内有两条相交直线都与β平行是αβ∥的必要条件，故α∥β的充要条件是α内有两条相交直线与β平行，故选B ．【变式1】【改变例题中的问法】设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂．“m β∥”是“αβ∥”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】//m β不能推出//αβ，而//αβ，//m β⇒，∴“//m β”是“//αβ”的必要不充分条件，故选B ． 例4.【2011全国卷】下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是( ) A ．1a b >+ B ．1a b >- C ．22a b > D ．33a b > 【答案】A【解析】由1a b >+，得a b >；反之不成立，故选A.【名师点津】命题p 是q 的必要不充分条件⇔p q ⇒且q p ⇒；命题p 的必要不充分条件是q ⇔q p ⇒且p q ⇒. 这两种说法有区别，不能混淆.【变式1】【改变例题中的问法】下面四个条件中，使a b >成立的必要而不充分的条件是( ) A ．1a b >+ B ．1a b >- C ．22a b > D ．33a b > 【答案】B【解析】由a b >，可得1a b >-；反之不成立，故选B.【变式2】【改变例题中的条件、问法】下面四个条件中，使33a b >成立的充要的条件是( ) A ．1a b >+ B ．a b <C ．22a b >D ．a b > 【答案】C【解析】由a b >，可得33a b >；反之也成立，故选C. （三）新定义问题例5.【2011湖北卷】若实数a ，b 满足0,0,0a b ab ≥≥=且，则称a 与b 互补，记()22,a b a b a b ϕ=+-，那么(),0a b ϕ=是a 与b 互补的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．即不充分也不必要条件 【答案】C【名师点津】紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在．【变式1】【2010年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷10】记实数1x ，2x ，……n x 中的最大数为max {}12,,......n x x x ，最小数为min {}12,,......n x x x 。
02简易逻辑--命题及其关系、充分条件与必要条件
a b c a b c 的倾斜度为 l = max , , , min , , ，则 b c a b c a
“l = 1” 是“△ABC为等边三角形”的（ 为等边三角形” B 为等边三角形
）
例8: 设0 < x <
π
2 A.充分不必要条件 充分不必要条件
, 则“ x sin x < 1”是“ x sin x < 1”的 B ） （
(
)(
)
重难点突破： 重难点突破：
1.反证法与逆否命题： 反证法与逆否命题： 反证法与逆否命题 例1:已知 a, b, c ∈ R, 若a + b + c < 1 已知
1 a 证明： 证明： , b, c中至少有一个小于 3 2.充要条件的证明： 充要条件的证明： 充要条件的证明
注意找出题中的条件与结论
4.常用的正面词语和它的否定词语 常用的正面词语和它的否定词语
正面词语 等于 小于 大于 是 都是 否定 不等于 不小于（大于 或等于） 不大于（小于 或等于） 不是 不都是（至少 有一个不是） 正面词语 任意的 所有的 至多有一个 至少有一个 至多有n个 否定 某个 某些 至少有两个 一个也没有 至少有n+1 个
“对任何x ∈ R, x − 2 + x − 4 > 3” 例3:命题 命题 的否定是？ 的否定是？
∃x ∈ R, x − 2 + x + 4 ≤ 3例4:命题“若x 命题2 Nhomakorabea2
< 1, 则 − 1 < x < 1”的逆否命题是
D
.若 A. x ≥ 1, 则x ≥ 1或x ≤ −1 若 − 1 < x < 1, 则x 2 < 1 B.
第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件
p是q的充 分条件
p⇒q
A⊆B
p是q的必要条件
q⇒p
A⊇B
p是q的充要条件
p⇒q且q⇒p A＝B
p是q的充分不必要条件 p⇒q且q p A B
p是q的必要不充分条件 p q且q⇒p A B
p是q的既不充分条件 也不必要条件
p q且q p A B且A B
二、“基本技能”运用好 1．通过对四种命题及其相互关系的复习，提高学生的抽象概
答案：A
[一“点”就过] 判断命题真假的 2 种方法
直接 判断
判断一个命题为真命题，要给出严格的推理 证明；说明一个命题是假命题，只需举出一 个反例即可
根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题 间接 与否命题同真同假”这一性质，当一个命题 判断 直接判断不易进行时，可转化为判断其逆否
命题的真假
[提醒] (1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改 写；(2)当命题有大前提时，写其他三种命题时需保留大前 提．(3)命题的否命题是条件和结论都否定，而命题的否定是条 件不变只否定结论．
答案：充分不必要 充要
三、“基本思想”很重要 1．利用等价转化思想判断命题真假及充分与必要条件． 2．利用集合思想、数形结合思想解决充分、必要条件的应用
问题．
1．命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是
()
A．若α≠π4，则tan α≠1
B．若α＝π4，则tan α≠1
C．若tan α≠1，则α≠π4
答案：C
3．(2020·广东中山一中第一次统测)下列命题中为真命题的是
A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题
()
B．命题“若x>1，则x2>1”的否命题
1.2命题及其关系、充分条件、必要条件
科 目数学 年级 高三 备课人 高三数学组 第 课时 1.2命题及其关系、充分条件、必要条件考纲定位 了解命题的逆命题、否命题与逆否命题；理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，会分析四种命题的相互关系疑难提示 1、命题真假的判断；2、四种命题的关系的应用；3、两个命题互为逆否命题；4、充要条件的证明应分别证明充分性和必要性两个方面；【考点整合】1、命题及四种命题的相互关系(1)可以判断真假的语句叫命题，由 两部分构成.(2)命题的四种形式：原命题：若p 则q ；逆命题：若 ，则 ；否命题：若 ，则 ；逆否命题：若 ，则(3)四种命题的关系：互为 的命题互为等价命题，它们同真同假.2、充分条件与必要条件(1)若,p q q ⇒⇒p ，则称p 是q 的 ,同时q 是p 的 ；(2)若p ⇒,q q p ⇒，则称p 是q 的 ，同时q 是p 的 ；(3)若,p q q p ⇒⇒，则称p 是q 的 .【真题演练】1、(2012 湖南)命题“若4πα=，则tan 1α=”的逆否命题是（ ） A.若4πα≠，则tan 1α≠ B.若4πα=，则tan 1α≠ C.若tan 1α≠，则4πα≠ D.若tan 1α≠，则4πα= 2、(2010 天津)命题“若()f x 是奇函数，则()f x -是奇函数”的否命题是（ ）A.若()f x 是偶函数，则()f x -是偶函数B.若()f x 不是奇函数，则()f x -不是奇函数C.若()f x -是奇函数，则()f x 是奇函数D.若()f x -不是奇函数，则()f x 不是奇函数3、(2011 重庆)“1x <-”是“210x ->”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4、(2011 福建)若a R ∈，则“2a =”是“(1)(2)0a a --=”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5、(2013 湖南)“12x <<”是“2x <”成立的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【经典例题】一、命题及其相互关系例1、分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，同时分别指出它们的真假.（1）面积相等的两个三角形是全等三角形；（2）若1q <,则方程220x x q ++=有实根.变式训练：1、若命题p 的逆命题是q ，命题p 的否命题是r ，则q 是r 的（ ）A.逆命题B.否命题C.逆否命题D.以上都不对2、给出命题：“已知,,,a b c d 是实数，若,a b c d a c b d ≠≠+≠+且则”，对原命题、逆命题、否命题、逆否命题而言，其中的真命题有（ ）A. 0个B.1个C.2个D.4个3、分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，同时分别指出它们的真假.（1）若xy=0，则x=0或y=0；（2）已知a,b,c,d 是实数，若a=b 且c=d,则a+c=b+d.二、充分条件、必要条件的判断例2、用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件或既不充分也不必要条件”填空（1）2424x x y y xy >+>⎧⎧⎨⎨>>⎩⎩是的 条件；（2）4(4)(1)001x x x x --+≥≥+是的 条件 （3）tan tan αβαβ==是的 条件；（4）312x y x y +≠≠≠“”是“或”的 条件例3、设命题:|43|1p x -≤；命题2:(21)(1)0q x a x a a -+++≤，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.变式训练：1、若向量(4,)()a y y R =∈，则“3y =”是“||5a =”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2、设{}n a 是等差数列，则“12a a <”是“数列{}n a 是递增数列”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3、(2008 湖南)“|1|2x -<成立”是“(3)0x x -<成立”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4、已知集合{|22},{|(2)(4)0}A x a x a B x x x =-<<+=+-≥，则A B φ=的充要条件是（ ）A.02a ≤≤B.22a -<<C.02a <≤D.02a <<三、充要条件的证明例4、已知函数2()||f x x x a b =+++，求证：函数()f x 是偶函数的充要条件是0a =.【作业】《胜券在握》P117页 第1、2题；【上本作业】《胜券在握》P117页 第3、4、5题.。
1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件
2 －a<0 且 1>0 a
，故方程有两个负根，符合题意．
综上知：当 a≤1 时，方程 ax2＋2x＋1＝0 至少有一个负根． 必要性：若方程 ax2＋2x＋1＝0 至少有一个负根． 当 a＝0 时，方程为 2x＋1＝0 符合题意． 当 a≠0 时，方程 ax2＋2x＋1＝0 应有一正一负根或两个负根．
思维启迪 首先分清条件和结论， 然后根据充要条件的
定义进行判断．
解
(1)在△ABC 中，∠A＝∠B⇒sin A＝sin B，反之，
若 sin A＝sin B， 因为 A 与 B 不可能互补(因为三角形三 个内角和为 180° )，所以只有 A＝B.故 p 是 q 的充要条 件． (2)易知，綈 p：x＋y＝8，綈 q：x＝2 且 y＝6，显然 綈 q⇒綈 p，但綈 p⇒綈 q，即綈 q 是綈 p 的充分不必要 条件，根据原命题和逆否命题的等价性知，p 是 q 的充 分不必要条件． (3)显然 x∈A∪B 不一定有 x∈B，但 x∈B 一定有 x∈A∪B，所以 p 是 q 的必要不充分条件． (4)条件 p：x＝1 且 y＝2，条件 q：x＝1 或 y＝2， 所以 p⇒q 但 q⇒p，故 p 是 q 的充分不必要条件．
已知推出条件成立是必要性． (2)证明分为两个环节，一是充分性；二是必要性．证 明时，不要认为它是推理过程的“双向书写”，而应该 进行由条件到结论，由结论到条件的两次证明． (3)证明时易出现必要性与充分性混淆的情形，这就要 分清哪是条件，哪是结论．
变式训练 3 求证： 方程 x2＋ax＋1＝0 的两实根的平方 和大于 3 的必要条件是|a|> 3，这个条件是其充分条 件吗？为什么？
题型三
充要条件的证明
例 3 求证：关于 x 的方程 ax2＋2x＋1＝0 至少有一个 负根的充要条件是 a≤1. 思维启迪
第一章 第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件
第二节命题及其关系、充分条件与必要条件1.理解命题的概念．2.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．突破点一命题及其关系[基本知识]1．命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及相互关系3．四种命题的真假关系(1)若两个命题互为逆否命题，则它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)“x2＋2x－8<0”是命题．()(2)一个命题非真即假．()(3)四种形式的命题中，真命题的个数为0或2或4.()(4)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．()答案：(1)×(2)√(3)√(4)×二、填空题1．命题“若x2<4，则－2<x<2”的否命题为________________，为________(填“真”或“假”)命题．答案：若x2≥4，则x≥2或x≤－2真2．设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是____________________．答案：若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0 3．有下列几个命题：(1)“若a >b ，则1a >1b ”的否命题；(2)“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题； (3)“若|x |<4，则－4<x <4”的逆否命题． 其中真命题的序号是________．解析：(1)原命题的否命题为“若a ≤b ，则1a ≤1b ”，假命题；(2)原命题的逆命题为“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”，真命题；(3)原命题为真命题，故逆否命题为真命题．答案：(2)(3)[全析考法]考法一 命题真假的判断[例1] 下面的命题中是真命题的是( ) A ．y ＝sin 2x 的最小正周期为2πB ．若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根同号，则ca >0 C ．如果M ⊆N ，那么M ∪N ＝MD ．在△ABC 中，若AB ―→·BC ―→>0，则B 为锐角 [解析] y ＝sin 2x ＝1－cos 2x 2，T ＝2π2＝π，故A 为假命题；当M ⊆N 时，M ∪N ＝N ，故C 为假命题；在三角形ABC 中，当AB ―→·BC ―→>0时，向量AB ―→与BC ―→的夹角为锐角，B 应为钝角，故D 为假命题，故选B.[答案] B [方法技巧]判断命题真假的思路方法(1)判断一个命题的真假时，首先要弄清命题的结构，即它的条件和结论分别是什么，然后联系其他相关的知识进行判断．(2)当一个命题改写成“若p ，则q ”的形式之后，判断这个命题真假的方法： ①若由“p ”经过逻辑推理，得出“q ”，则可判定“若p ，则q ”是真命题； ②判定“若p ，则q ”是假命题，只需举一反例即可． 考法二 四种命题的关系[例2] (1)(2019·长春质监)命题“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是( )A ．若x 2≥1，则x ≥1或x ≤－1B ．若－1<x <1，则x 2<1C ．若x >1或x <－1，则x 2>1D ．若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1(2)(2019·广东中山一中第一次统测)下列命题中为真命题的是( ) A ．命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题 B ．命题“若x >1，则x 2>1”的否命题 C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题 D ．命题“若x 2>0，则x >1”的逆否命题[解析] (1)命题的形式是“若p ，则q ”，由逆否命题的知识，可知其逆否命题为“若綈q ，则綈p ”的形式，所以“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是“若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1”．故选D.(2)命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题为“若x >|y |，则x >y ”，是真命题，故A 正确；命题“若x >1，则x 2>1”的否命题为“若x ≤1，则x 2≤1”，是假命题，故B 错误；命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题为“若x ≠1，则x 2＋x －2≠0”，是假命题，故C 错误；命题“若x 2>0，则x >1”的逆否命题为“若x ≤1，则x 2≤0”，是假命题，故D 错误．选A.[答案] (1)D (2)A [方法技巧]四种命题的关系及真假判断(1)判断关系时，先分清命题的条件与结论，再分析每个命题的条件与结论之间的关系，注意四种命题间关系的相对性．(2)命题真假的判断方法①直接判断法：若判断一个命题为真，需经过严格的推理证明；若说明为假，只需举一反例．②间接判断法：转化成等价命题，再判断．[集训冲关]1.[考法二]命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( )A ．若α≠π4，则tan α≠1B ．若α＝π4，则tan α≠1C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π4解析：选C 否定原命题的结论作条件，否定原命题的条件作结论所得的命题为逆否命题，可知C 正确．2.[考法一、二]原命题为“若z 1，z 2互为共轭复数，则|z 1|＝|z 2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A ．真，假，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假解析：选B 因为原命题为真，所以它的逆否命题为真；若|z 1|＝|z 2|，当z 1＝1，z 2＝ －1时，这两个复数不是共轭复数，所以原命题的逆命题为假，故否命题也为假．故选B.3.[考法一]定义“正对数”：ln ＋x ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0<x <1，ln x ，x ≥1.现有四个命题：①若a >0，b >0，则ln ＋(a b )＝b ln ＋a ； ②若a >0，b >0，则ln ＋(ab )＝ln ＋a ＋ln ＋b ；③若a >0，b >0，则ln ＋⎝⎛⎭⎫a b ≥ln ＋a －ln ＋b ； ④若a >0，b >0，则ln ＋(a ＋b )≤ln ＋a ＋ln ＋b ＋ln 2. 其中的真命题有________(写出所有真命题的编号)． 解析：对于①，当a ≥1时，a b ≥1， 则ln ＋(a b )＝ln a b ＝b ln a ＝b ln ＋a ；当0<a <1时，0<a b <1，则ln ＋(a b )＝0，b ln ＋a ＝0， 即ln ＋(a b )＝b ln ＋a ，故①为真命题．同理讨论a ，b 在(0，＋∞)内的不同取值，可知③④为真命题． 对于②，可取特殊值a ＝e ，b ＝1e，则ln ＋(ab )＝0，ln ＋a ＋ln ＋b ＝1＋0＝1，故②为假命题． 综上可知，真命题有①③④. 答案：①③④突破点二 充分条件与必要条件[基本知识]1．充分条件与必要条件的概念若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件 p 是q 的充分不必要条件p ⇒q 且qpp是q的必要不充分条件p q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p q且q p 2.p成立的对象构成的集合为A，q成立的对象构成的集合为Bp是q的充分条件A⊆Bp是q的必要条件B⊆Ap是q的充分不必要条件A Bp是q的必要不充分条件B Ap是q的充要条件A＝B一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．()(2)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．()(3)“x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的必要不充分条件．()答案：(1)√(2)√(3)×二、填空题1．“x＝3”是“x2＝9”的________条件(填“充分不必要”或“必要不充分”)．答案：充分不必要2．“ab>0”是“a>0，b>0”的________条件．答案：必要不充分3．xy＝1是lg x＋lg y＝0的________条件．解析：lg x＋lg y＝lg(xy)＝0，∴xy＝1且x>0，y>0.所以“lg x＋lg y＝0”成立，xy＝1必成立，反之无法得到x>0，y>0.因此“xy＝1”是“lg x＋lg y＝0”的必要不充分条件．答案：必要不充分4．设p，r都是q的充分条件，s是q的充要条件，t是s的必要条件，t是r的充分条件，那么p是t的________条件，r是t的________条件(用“充分不必要”“必要不充分”“充要”填空)．解析：由题知p⇒q⇔s⇒t，又t⇒r，r⇒q，故p是t的充分不必要条件，r是t的充要条件．答案：充分不必要 充要[全析考法]考法一 充分条件与必要条件的判断[例1] (1)(2018·北京高考)设a ，b ，c ，d 是非零实数，则“ad ＝bc ”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2018·天津高考)设x ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪x －12＜12”是“x 3＜1”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] (1)a ，b ，c ，d 是非零实数，若a <0，d <0，b >0，c >0，且ad ＝bc ，则a ，b ，c ，d 不成等比数列(可以假设a ＝－2，d ＝－3，b ＝2，c ＝3)．若a ，b ，c ，d 成等比数列，则由等比数列的性质可知ad ＝bc .所以“ad ＝bc ”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的必要而不充分条件．(2)由⎪⎪⎪⎪x －12＜12，得0＜x ＜1，则0＜x 3＜1， 即“⎪⎪⎪⎪x －12＜12”⇒“x 3＜1”； 由x 3＜1，得x ＜1，当x ≤0时，⎪⎪⎪⎪x －12≥12， 即“x 3＜1”“⎪⎪⎪⎪x －12＜12”． 所以“⎪⎪⎪⎪x －12＜12”是“x 3＜1”的充分而不必要条件． [答案] (1)B (2)A[方法技巧] 充分、必要条件的判断方法 利用定义判断 直接判断“若p ，则q ”“若q ，则p ”的真假．在判断时，确定条件是什么、结论是什么从集合的角度判断利用集合中包含思想判定．抓住“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，即可解决充分必要性的问题利用等价转化法条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断真假[例2] (2019·大庆质检)已知p ：x ≤1＋m ，q ：|x －4|≤6.若p 是q 的必要不充分条件，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(－∞，9]C ．[1,9]D ．[9，＋∞)[解析] 由|x －4|≤6，解得－2≤x ≤10，因为p 是q 的必要不充分条件，所以m ＋1≥10，解得m ≥9.故选D.[答案] D [方法技巧]根据充分、必要条件求参数范围的思路方法(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间关系列出关于参数的不等式(组)求解．(2)求解参数的取值范围时， 一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．[集训冲关]1.[考法一]已知m ，n 为两个非零向量，则“m ·n <0”是“m 与n 的夹角为钝角”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 设m ，n 的夹角为θ，若π2<θ<π，则cos θ<0，所以m ·n <0；若θ＝π，则m ·n＝－|m |·|n |<0.故“m ·n <0”是“m 与n 的夹角为钝角”的必要不充分条件．故选B.2.[考法一]已知α，β均为第一象限角，那么“α>β”是“sin α>sin β”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选D α＝7π3，β＝π3均为第一象限角，满足α>β，但sin α＝sin β，因此不满足充分性；α＝－5π3，β＝π6均为第一象限角，满足sin α>sin β，但α<β，因此不满足必要性．故选D.3.[考法二]设M 为实数区间，a >0且a ≠1，若“a ∈M ”是“函数f (x )＝log a |x －1|在(0,1)上单调递增”的充分不必要条件，则区间M 可以是( )A ．(1，＋∞)B ．(1,2)C ．(0,1)D.⎝⎛⎭⎫0，12 解析：选D 由函数f (x )＝log a |x －1|在(0,1)上单调递增可知0<a <1，由题意及选项知区间M 可以是⎝⎛⎭⎫0，12.故选D. 4.[考法二]已知p ：(x －m )2>3(x －m )是q ：x 2＋3x －4<0的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为________________．解析：p 对应的集合A ＝{x |x <m 或x >m ＋3}，q 对应的集合B ＝{x |－4<x <1}． 由p 是q 的必要不充分条件可知B A ， ∴m ≥1或m ＋3≤－4，即m ≥1或m ≤－7. 答案：(－∞，－7]∪[1，＋∞)[课时跟踪检测] 1．(2019·合肥模拟)命题“若a 2＋b 2＝0，则a ＝0且b ＝0”的逆否命题是( ) A ．若a ≠0或b ≠0，则a 2＋b 2≠0 B ．若a 2＋b 2≠0，则a ≠0或b ≠0 C ．若a ＝0或b ＝0，则a 2＋b 2≠0 D ．若a 2＋b 2≠0，则a ≠0且b ≠0解析：选A 原命题的逆否命题为“若a ≠0或b ≠0，则a 2＋b 2≠0”．故选A. 2．(2018·天津高考)设x ∈R ，则“x 3＞8”是“|x |＞2”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由x 3＞8⇒x ＞2⇒|x |＞2，反之不成立， 故“x 3＞8”是“|x |＞2”的充分而不必要条件． 3．下列命题中为真命题的是( ) A ．mx 2＋2x －1＝0是一元二次方程B ．抛物线y ＝ax 2＋2x －1与x 轴至少有一个交点C ．互相包含的两个集合相等D ．空集是任何集合的真子集解析：选C A 中，当m ＝0时，是一元一次方程，故是假命题；B 中，当Δ＝4＋4a <0，即a <－1时，抛物线与x 轴无交点，故是假命题；C 是真命题；D 中，空集不是本身的真子集，故是假命题．4．(2019·合肥调研)“a >1”是“3a >2a ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 因为y ＝⎝⎛⎭⎫32x 是增函数，又a >1，所以⎝⎛⎭⎫32a >1，所以3a >2a ；若3a >2a ， 则⎝⎛⎭⎫32a >1＝⎝⎛⎭⎫320，所以a >0，所以“a >1”是“3a >2a ”的充分不必要条件，故选A. 5．已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的12，则其体积缩小到原来的18；②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等； ③直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝12相切．其中真命题的序号为( ) A ．①②③ B ．①② C ．①③D ．②③解析：选C 对于命题①，设球的半径为R ，则43π⎝⎛⎭⎫R 23＝18·43πR 3，故体积缩小到原来的18，命题正确； 对于命题②，若两组数据的平均数相同，则它们的标准差不一定相同，例如数据：1,3,5和3,3,3的平均数相同，但标准差不同，命题不正确；对于命题③，圆x 2＋y 2＝12的圆心(0,0)到直线x ＋y ＋1＝0的距离d ＝12＝22，等于圆的半径，所以直线与圆相切，命题正确．6．(2019·咸阳模拟)已知p ∶m ＝－1，q ：直线x －y ＝0与直线x ＋m 2y ＝0互相垂直，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由题意得直线x ＋m 2y ＝0的斜率是－1，所以－1m 2＝－1，m ＝±1.所以p 是q 的充分不必要条件．故选A.7．(2019·重庆调研)定义在R 上的可导函数f (x )，其导函数为f ′(x )，则“f ′(x )为偶函数”是“f (x )为奇函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )．∴[f (－x )]′＝[－f (x )]′＝－f ′(x )， ∴f ′(－x )＝f ′(x )，即f ′(x )为偶函数；反之，若f ′(x )为偶函数，如f ′(x )＝3x 2，f (x )＝x 3＋1满足条件，但f (x )不是奇函数，所以“f ′(x )为偶函数”是“f (x )为奇函数”的必要不充分条件．故选B.8．(2019·抚州七校联考)A，B，C三个学生参加了一次考试，A，B的得分均为70分，C的得分为65分．已知命题p：若及格分低于70分，则A，B，C都没有及格．则下列四个命题中为p的逆否命题的是()A．若及格分不低于70分，则A，B，C都及格B．若A，B，C都及格，则及格分不低于70分C．若A，B，C至少有一人及格，则及格分不低于70分D．若A，B，C至少有一人及格，则及格分高于70分解析：选C根据原命题与它的逆否命题之间的关系知，命题p的逆否命题是若A，B，C至少有一人及格，则及格分不低于70分．故选C.9．(2019·济南模拟)原命题：“a，b为两个实数，若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”，下列说法错误的是()A．逆命题为：a，b为两个实数，若a，b中至少有一个不小于1，则a＋b≥2，为假命题B．否命题为：a，b为两个实数，若a＋b<2，则a，b都小于1，为假命题C．逆否命题为：a，b为两个实数，若a，b都小于1，则a＋b<2，为真命题D．a，b为两个实数，“a＋b≥2”是“a，b中至少有一个不小于1”的必要不充分条件解析：选D原命题：a，b为两个实数，若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1；逆命题：a，b为两个实数，若a，b中至少有一个不小于1，则a＋b≥2；否命题：a，b为两个实数，若a＋b<2，则a，b都小于1；逆否命题：a，b为两个实数，若a，b都小于1，则a＋b<2.逆否命题显然为真，故原命题也为真；若a＝1.2，b＝0.5，则a＋b≥2不成立，逆命题为假命题，所以否命题为假命题．所以“a＋b≥2”是“a，b中至少有一个不小于1”的充分不必要条件．故选D.10．已知：p：x≥k，q：(x＋1)(2－x)<0，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是()A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)C．[1，＋∞) D．(－∞，－1]解析：选B由q：(x＋1)(2－x)<0，得x<－1或x>2，又p是q的充分不必要条件，所以k>2，即实数k的取值范围是(2，＋∞)，故选B.11．在原命题“若A∪B≠B，则A∩B≠A”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．解析：逆命题为“若A∩B≠A，则A∪B≠B”；否命题为“若A∪B＝B，则A∩B＝A”；逆否命题为“若A∩B＝A，则A∪B＝B”．全为真命题．答案：412．已知命题“若m －1<x <m ＋1，则1<x <2”的逆命题为真命题，则m 的取值范围是________．解析：由已知得，若1<x <2成立，则m －1<x <m ＋1也成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤1，m ＋1≥2.∴1≤m ≤2. 答案：[1,2]13．条件p ：1－x <0，条件q ：x >a ，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________．解析：p ：x >1，若p 是q 的充分不必要条件，则p ⇒q ，但qp ，也就是说，p 对应的集合是q 对应的集合的真子集，所以a <1.答案：(－∞，1)14．(2019·湖南十校联考)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝Aq n ＋B (q ≠0)，则“A ＝－B ”是“数列{a n }为等比数列”的____________条件．解析：若A ＝B ＝0，则S n ＝0，数列{a n }不是等比数列．如果{a n }是等比数列，由a 1＝S 1＝Aq ＋B ，得a 2＝S 2－a 1＝Aq 2－Aq ，a 3＝S 3－S 2＝Aq 3－Aq 2，∴a 1a 3＝a 22，从而可得A ＝－B ，故“A ＝－B ”是“数列{a n }为等比数列”的必要不充分条件．答案：必要不充分15．(2019·湖南长郡中学模拟)已知函数f (x )＝4sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －23cos 2x －1，p ：π4≤x ≤π2，q ：|f (x )－m |<2，若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围． 解：化简解析式，得f (x )＝4·1－cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4＋x 2－23cos 2x －1＝2sin 2x －23cos 2x ＋1＝4sin ( 2x －π3 )＋1. 当π4≤x ≤π2时，π6≤2x －π3≤2π3， 则12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1，所以f (x )∈[3,5]． 当|f (x )－m |<2时，f (x )∈(m －2，m ＋2)．又p 是q 的充分不必要条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －2<3，m ＋2>5，所以3<m <5. 即实数m 的取值范围为(3,5).。
1.2命题及其关系充分条件与必要条件
解答：(1)∵x2＋x＋1＝
，∴命题为真命题．
(2)真命题．
(3)∵α＝β＝0时，sin(α＋β)＝0，sin α＋sin β＝0， ∴sin(α＋β)＝sin α＋sinβ，∴命题为真命题． (4)∵x＝y＝10时，3x－2y＝10，∴命题为真命题． (5)∵a＝0，b＝1时，ax＋b＝1≠0，∴a＝0，b＝1时，ax＋b＝0无解， ∴命题为假命题．
是s的必要条件．
现有下列命题：
①s是q的充要条件；②p是q的充分条件，而不是必要条件；③r是q的必要条
件， 而不是充分条件；④綈p是綈s的必要条件， 而不是充分条件；⑤r是s的 充分条件，而不是必要条件． 则正确命题的序号是( A．①④⑤ ) C．②③⑤ ，则s⇔q；p D．②④⑤ q；又p s，
B．①②④
1.3
逻辑联结词全称量词与存在量词
（了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义/理解全称量词与存在量词的意 义/能正确地对含有一个量词的命题进行否定 ）
1．命题中的“且”、“或”、“非”叫做逻辑联结词． 2．用来判断复合命题的真假的真值表
真 假 假 假
3. 全称量词与存在量词 (1) 常 见的全称量词有：“任意一个”、“一切”、“每一个”、“任给”、 “所有的”等． (2)常见的存在量词有：“存在一个”、“ 至少 有一个”、“有些”、“有一 个”、“某个”、“有的”等． (3)全称量词用符号“ ∀ ”表示；存在量词用符号“∃”表示．
) B．綈p：∀x∈R，sin x≥1 D．綈p：∀x∈R，sin x>1
解析：命题p是全称命题，全称命题的否定是特称命题． 答案：C
2．设p、q是两个命题，则复合命题“p∨q为真，p∧q为假”的充要条件是(
A．p、q中至少有一个为真 C．p、q中有且只有一个为真 答案：C B．p、q中至少有一个为假 D．p为真、q为假
2020届高三数学一轮复习人教版通用教师讲义：第2讲命题及其关系含详细答案
第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件1.命题(1)命题的概念:数学中把用语言、符号或式子表达的,能够判断的陈述句叫作命题.其中的语句叫作真命题, 的语句叫作假命题.(2)四种命题及其相互关系图1-2-1特别提醒:若两个命题互为逆否命题,则它们有相同的真假性.2.充分条件、必要条件与充要条件(1)如果p⇒q,则p是q的条件.(2)如果q⇒p,则p是q的条件.(3)如果既有p⇒q,又有q⇒p,记作p⇔q,则p是q的条件.常用结论1.充要条件的两个结论:(1)若p是q的充分不必要条件,q是r的充分不必要条件,则p是r的充分不必要条件;(2)若p是q的充分不必要条件,则q是p的充分不必要条件.2.题组一常识题1.[教材改编]对于下列语句:①垂直于同一直线的两条直线必平行吗?②作△ABC∽△A'B'C'.③x2+2x-3<0.④四边形的内角和是360°.其中是命题的是.(填序号)2.[教材改编]有下面4个命题:①集合N中最小的数是1;②若-a不属于N,则a 属于N;③若a∈N,b∈N,则a+b的最小值为2;④x2+1=2x的解集可表示为{1,1}.其中真命题的个数为.3.[教材改编]命题“若整数a不能被2整除,则a是奇数”的逆否命题是.4.[教材改编]“点P(x,y)在第一象限”是“x+y>1”的条件. 题组二常错题◆索引:命题的条件与结论不明确;含有大前提的命题的否命题易出现否定大前提的情况;真、假命题的推理考虑不全面;对充分必要条件判断错误.5.命题“若a2+b2=0,a,b∈R,则a=b=0”的逆否命题是.6.已知命题“对任意a,b∈R,若ab>0,则a>0”,则它的否命题是.7.若命题“ax2-2ax-3>0不成立”是真命题,则实数a的取值范围是.8.条件p:x>a,条件q:x≥2.①若p是q的充分不必要条件,则a的取值范围是;②若p是q的必要不充分条件,则a的取值范围是.9.已知p是r的充分不必要条件,s是r的必要条件,q是s的必要条件,那么p是q 的条件.探究点一四种命题及其相互关系例1 (1)对于命题“单调函数不是周期函数”,下列说法正确的是( )A.逆命题为“周期函数不是单调函数”B.否命题为“单调函数是周期函数”C.逆否命题为“周期函数是单调函数”D.以上都不正确(2)给出以下四个命题:①“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题;②“全等三角形的面积相等”的否命题;③“若q≤-1,则x2+x+q=0有实根”的逆否命题;④若ab是正整数,则a,b都是正整数.其中为真命题的是.(写出所有真命题的序号)[总结反思](1)求一个命题的其他三种命题时,需注意:①对于不是“若p,则q”形式的命题,需先改写为“若p,则q”的形式;②若命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提.(2)判断一个命题为真命题,要给出推理证明;判断一个命题为假命题,只需举出反例.(3)当不易直接判断一个命题的真假时,根据互为逆否命题的两个命题同真同假,可转化为判断其等价命题的真假.变式题(1)已知命题p:正数a的平方不等于0,命题q:若a不是正数,则它的平方等于0,则q是p的( )A.逆命题B.否命题C.逆否命题D.否定(2)以下关于命题的说法正确的是.(填写所有正确说法的序号)①“若log2(a+1)>1,则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内是增函数”是真命题;②命题“若a≠0,则a(b+1)≠0”的否命题是“若a=0,则a(b+1)=0”;③命题“若x,y都是偶数,则(x+1)(y+1)是偶数”的逆命题为真命题;④命题“若a∈M,则b∉M”与命题“若b∈M,则a∉M”等价.探究点二充分、必要条件的判定例2 (1)[2018·北京卷]设a,b均为单位向量,则“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件(2)“函数f(x)=a+ln x(x≥e)存在零点”是“a<-1”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件[总结反思]充分条件、必要条件的判定方法有定义法、集合法和等价转化法.三种不同的方法适用于不同的类型:定义法适用于定义、定理的判断问题;集合法多适用于命题中涉及参数的取值范围的推断问题;等价转化法适用于条件和结论中带有否定性词语的命题.变式题(1)[2018·深圳一模]已知数列{a n}是等比数列,则“a2>a1”是“数列{a n}为递增数列”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件(2)“α=”是“sin 2α-cos 2α=1”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件探究点三充分、必要条件的应用例3 方程ax2+2x+1=0至少有一个负实根的充要条件是( )A.0<a≤1B.a<1C.a≤1D.0<a≤1或a<0[总结反思]充分条件、必要条件的应用一般表现在参数问题的求解上,解题时通常把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.解题过程中要注意检验区间端点值.变式题(1)下面四个条件中,使a>b成立的必要而不充分条件是( )A.a-1>bB.a+1>bC.|a|>|b|D.a3>b3(2)[2018·衡阳4月调研]已知p:实数m满足m2+12a2<7am(a>0),q:方程-+-=1表示焦点在y轴上的椭圆,且p是q的充分不必要条件,则a的取值范围为.第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件考试说明 1.理解命题的概念;2.了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系;3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.【课前双基巩固】知识聚焦1.真假判断为真判断为假2.(1)充分(2)必要(3)充要对点演练1.④[解析]①是疑问句,不是命题;②是祈使句,不是命题;③不能判断真假,不是命题;④是命题.2.0[解析]①为假命题,集合N中最小的数是0;②为假命题,如a=不满足;③为假命题,如a=0,b=1,则a+b=1,比2小;④为假命题,所给集合中的元素不满足互异性.3.若整数a不是奇数,则a能被2整除[解析]以原命题结论的否定作条件、原命题条件的否定作结论得出逆否命题.4.既不充分也不必要[解析]取x=,y=,知充分性不成立;取x=-1,y=3,知必要性不成立.故为既不充分也不必要条件.5.若a≠0或b≠0,a,b∈R,则a2+b2≠0[解析]“若p,则q”的逆否命题为“若q,则p”,又a=b=0的实质为a=0且b=0,故其否定为a≠0或b≠0.6.对任意a,b∈R,若ab≤0,则a≤0[解析]“对任意a,b∈R”是大前提,在否命题中不变,又因为ab>0,a>0的否定分别为ab≤0,a≤0,所以原命题的否命题为“对任意a,b∈R,若ab≤0,则a≤0”.7.[-3,0] [解析]由已知可得ax2-2ax-3≤0恒成立.当a=0时,-3≤0恒成立;当a≠0时,得解得-3≤a<0.故-3≤a≤0.8.①a≥2②a<2[解析]①因为p是q的充分不必要条件,所以{x|x>a}⫋{x|x≥2},则a的取值范围是a≥2.②因为p是q的必要不充分条件,所以{x|x≥2}⫋{x|x>a},则a的取值范围是a<2.9.充分不必要[解析]依题意有p⇒r,r⇒s,s⇒q,∴p⇒r⇒s⇒q.又∵r⇒/ p,∴q⇒/ p.故p是q的充分不必要条件.【课堂考点探究】例1[思路点拨](1)根据四种命题的构成判断即可.(2)对于①②,按照要求写出相应的逆命题、否命题,再判断真假;对于③,可直接利用原命题与逆否命题的等价性判断原命题的真假;对于④,直接判断.(1)D(2)①③[解析](1)根据四种命题的构成可知,选项A,B,C均不正确.故选D.(2)①“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题为“若x,y互为相反数,则x+y=0”,显然为真命题;②否命题为“不全等的三角形的面积不相等”,而不全等的三角形的面积也可能相等,故为假命题;③原命题为真,所以它的逆否命题也为真,故③为真命题;④ab是正整数,但a,b不一定都是正整数,例如a=-1,b=-2,故④为假命题.所以答案是①③.变式题(1)B(2)①②④[解析](1)“正数a的平方不等于0”即“若a是一个正数,则它的平方不等于0”,其否命题为“若a不是正数,则它的平方等于0”,所以选B.(2)①正确,由log2(a+1)>1,得a+1>2,所以a>1,所以f(x)=log a x在其定义域内是增函数.②正确,由命题的否命题的定义知,该说法正确.③不正确,原命题的逆命题为“若(x+1)(y+1)是偶数,则x,y都是偶数”,是假命题,如(3+1)×(4+1)=20为偶数,但x=3,y=4.④正确,两者互为逆否命题,因此两命题等价.例2[思路点拨](1)将已知等式两边同时平方,可得出向量a,b的关系,从而得出结论;(2)通过研究单调性,求出函数存在零点的充要条件为a≤-1,从而得出结论.(1)C(2)B[解析](1)将|a-3b|=|3a+b|两边平方,得a2-6a·b+9b2=9a2+6a·b+b2.∵a,b均为单位向量,∴a·b=0,即a⊥b.反之,由a ⊥b可得|a-3b|=|3a+b|.故为充分必要条件.(2)因为f'(x)=>0,所以若函数f(x)=a+ln x(x≥e)存在零点,则f(e)≤0,即a≤-1,因此“函数f(x)=a+ln x(x≥e)存在零点”是“a<-1”的必要不充分条件,故选B.变式题(1)B(2)A[解析](1)当a1=-1,a2=2,公比q=-2时,虽然有a1<a2,但是数列{a n}不是递增数列,所以充分性不成立;反之,当数列{a n}是递增数列时,必有a1<a2,因此必要性成立.故选B.(2)由sin 2α-cos 2α=1得sin-=,所以2α-=2kπ+,k∈Z或2α-=2kπ+,k∈Z,即α=kπ+,k∈Z或α=kπ+,k∈Z,所以“α=”是“sin 2α-cos 2α=1”的充分而不必要条件,故选A.例3[思路点拨]直接法,分情况讨论;特例法,结合选项取特殊值验证.C[解析]方法一(直接法):当a=0时,x=-,符合题意.当a≠0时,若方程的两根为一正一负,则-⇒ ⇒a<0;若方程的两根均为负,则--⇒ ⇒0<a≤1.综上所述,所求充要条件是a≤1.方法二(排除法):当a=0时,原方程有一个负实根,可以排除A,D;当a=1时,原方程有两个相等的负实根,可以排除B.所以选C.变式题(1)B(2)[解析](1)“a>b”不能推出“a-1>b”,故选项A不是“a>b”的必要条件,不满足题意;“a>b”能推出“a+1>b”,但“a+1>b”不能推出“a>b”,故满足题意;“a>b”不能推出“|a|>|b|”,故选项C不是“a>b”的必要条件,不满足题意;“a>b”能推出“a3>b3”,且“a3>b3”能推出“a>b”,故是充要条件,不满足题意.故选B.(2)由a>0,m2-7am+12a2<0,得3a<m<4a,即p:3a<m<4a,a>0.由方程-+-=1表示焦点在y轴上的椭圆,可得2-m>m-1>0,解得1<m<,即q:1<m<.因为p是q的充分不必要条件,所以或解得≤a≤,所以实数a的取值范围是.【备选理由】例1考查对命题真假的判断,是一个开放式命题,答案不唯一,有利于学生发散思维;例2强化了充分、必要条件的判断方法和余弦定理、基本不等式的应用;例3主要考查了充要条件的判断;例4是以简单不等式的方式考查充分、必要条件的应用.例1[配合例1使用][2018·北京通州区三模]能够说明“设a,b,c是任意实数,若a>b>c,则a2>ab>c2”是假命题的一组整数a,b,c的值依次为.[答案] 1,0,-1(此题答案不唯一)[解析]当a=1,b=0,c=-1时,满足a>b>c,不满足a2>ab>c2,∴命题是假命题.故答案可以为1,0,-1.例2[配合例2使用][2018·武汉4月调研]在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知条件p:a≤,条件q:A≤,那么p是q成立的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件[解析] A由条件p:a≤,知cos A=-≥-=-≥-=,当且仅当b=c=a时取等号,又A∈(0,π),∴0<A≤,∴A≤,即q成立.取A=,C=,B=,满足条件q,但是a>.∴p是q成立的充分而不必要条件.故选A.例3[配合例2使用][2018·莆田六中三模]在等比数列{a n}中,a2=-2,则“a4,a12是方程x2+3x+1=0的两根”是“a8=-1”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件[解析] C因为a4,a12是方程x2+3x+1=0的两根,所以a4a12=1,因此=1,又因为a2=-2<0,所以a8<0,即a8=-1.从而“a4,a12是方程x2+3x+1=0的两根”是“a8=-1”的充要条件,故选C.例4[配合例3使用][2018·南昌模拟]在实数范围内,使得不等式>1成立的一个充分而不必要条件是( )A.x>0B.x<1C.0<x<1D.0<x<[解析]D∵>1,∴-<0,∴0<x<1.∵ ⫋(0,1),∴0<x<为不等式>1成立的一个充分而不必要条件,故选D.。
2015高考总复习数学(文)课件：1.2 命题及其关系、充分必要条件
命题及其关系、充分条件与必要条件
考情风向标 从近几年的高考试题看，充要条件的判 定、命题真假的判断是高考的热点，以选择 1.理解命题的概念. 题及填空题为主，属中低档题目.本节知识常 2.了解“若 p，则 q”形式 和函数、不等式、向量、三角函数及立体几 的命题及其逆命题、否命 何中线、面的位置关系等有关知识相结合， 题与逆否命题，会分析四 考查学生对函数的有关性质、不等式的解 种命题的相互关系. 法、线面位置关系判定的掌握程度.预计 2015 3.理解必要条件、充分条 年高考仍将以充要条件的判定、命题真假的 件与充要条件的意义. 判断为主要考点，在考查知识的同时重点考 查命题转化、逻辑推理和分析问题的能力.
D.既不充分也不必要条件
解析： 注意到 z＝(1－2i)(a＋i)＝(a＋2)＋(1－2a)i 在复平面 1 内对应的点为 M(a＋2,1－2a).当 a>2时，有 a＋2>0,1－2a<0， 故点 M 在第四象限； 反过来， 当点 M 在第四象限时， 有 a＋2>0 1 1 且 1－2a<0， 由此解得 a>2.所以“a>2”是“点 M 在第四象限” 的充要条件.故选 C.
若 q，则 p ； 原命题：若 p，则 q(或如果 p，那么 q)；逆命题：__________ 3.四种命题之间的相互关系
图 1-2-1 逆否命题 ，逆命题与________ 否命题 是等 如图 1-2-1，原命题与__________ 价命题.
4.充分条件与必要条件
充分 条件. (1)若 p⇒q，则 p 是 q 的________
考点 1 四种命题的关系及真假的判断
例 1：写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并分 别判断其真假： (1)面积相等的两个三角形是全等三角形； (2)若 x＝0，则 xy＝0；
第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件
1．易混淆否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又 否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．
2．易忽视 A 是 B 的充分不必要条件(A⇒B 且 B⇒/ A)与 A 的 充分不必要条件是 B(B⇒A 且 A⇒/ B)两者的不同．
[小题纠偏] 1． “x<0”是“ln(x＋1)<0”的
( B)
[即时应用] 1．设 a>0，b>0，则“a2＋b2≥1”是“a＋b≥ab＋1”成立的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
(B)
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．已知条件 p：x＋y≠－2，条件 q：x，y 不都是－1，则 p 是 q
的
(A )
A．充分不必要条件
B．必要不充ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．已知四边形 ABCD 为梯形，AB∥CD，l 为空间一直线，则“l 垂直
于两腰 AD，BC”是“l 垂直于两底 AB，DC”的 ( A )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
考点三 充分必要条件的应用
已知关于 x 的实系数二次方程 x2＋ax＋b＝0 有两个实数根 α，β.
(B )
A．若 a2>b2，则 a≤b
B．若 a2≤b2，则 a≤b
C．若 a≤b，则 a2>b2
D．若 a≤b，则 a2≤b2
2．命题“若 x2＋3x－4＝0，则 x＝4”的逆否命题及其真假性为
A．“若 x＝4，则 x2＋3x－4＝0”为真命题
(C )
B．“若 x≠4，则 x2＋3x－4≠0”为真命题
命题及其关系、充分条件与必要条件
目
CONTENCT
录
• 命题及其关系 • 充分条件 • 必要条件 • 充分条件与必要条件的联系与区别 • 命题逻辑在现实生活中的应用
01
命题及其关系
命题的定义与分类
总结词
命题是陈述句，分为简单命题和复合命题。
详细描述
简单命题是只包含一个主语和谓语的命题，例如“小明是医生”。复合命题由多个简单命题通过逻辑联结词（如 “且”、“或”、“非”）组合而成，例如“小明是医生且小李是律师”。
03
必要条件
必要条件的定义
必要条件是指为了使某一结果发生所必须满足的条件。如果没有 这个条件，该结果就不会发生。
必要条件通常用于逻辑推理和数学证明中，以确定某个结论是否 成立。
必要条件的判定
02
01
03
判断一个条件是否是必要条件，可以通过逻辑推理和 反证法来进行。
如果一个条件是某个结论的必要条件，那么当这个条 件不满足时，该结论一定不会成立。
THANK YOU
感谢聆听
在法律和伦理领域，必要条件 的概念也经常被用来判断某个 行为是否合法或道德。
04
充分条件与必要条件的联系与区别
联系
充分条件与必要条件都是描述命题之间的逻辑关系。
在某些情况下，一个充分条件可能也是另一个命题的必要条件，反之亦然。 充分条件与必要条件在逻辑上具有对称性，即如果P是Q的充分条件，则Q 是P的必要条件。
02
充分条件
充分条件的定义
充分条件的定义
如果条件A存在，则会导致结果B发生，那么我们说A是B的充分条 件。
例子
如果下雨（条件A），则地面会湿（结果B）。在这个例子中，“下 雨”是“地面湿”的充分条件。
2020版高考文科数学新课标总复习课件：第一章 第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件
a2>b2,q 为 a>b,故綈 p 为 a2≤b2,綈 q 为 a≤b．所以 原命题的否命题为：若 a2≤b2,则 a≤b．
【答案】B
(2)命题“若 x2－3x－4＝0,则 x＝4”的逆否命题 及其真假性为( )
【解析】“若 x＋y＝0,则 x,y 互为相反数”的逆 命题为“若 x,y 互为相反数,则 x＋y＝0”,其为真命 题,①正确；“全等三角形的面积相等”的否命题为“不 全等三角形的面积不相等”,显然是假命题,②错误； 对于③,若 q≤1,则 4－4q≥0,即 Δ＝4－4q≥0,所以 x2＋2x＋q＝0 有实根．又原命题与逆否命题同真假, 故③正确；“不等边三角形的三个内角相等”的逆命 题为“三个内角相等的三角形为不等边三角形”,显 然是假命题,④错误,选 C．
【解析】条件 p：log2(1－x)<0,∴0<1－x<1,解得 0<x<1．
条件 q：x>a, 若 p 是 q 的充分不必要条件,∴a≤0． 则实数 a 的取值范围是：(－∞,0]．
【答案】－∞，0
【知识要点】
1．命题
概念
使用语言、符号或者式子表达的，可以判 断__真__假____的陈述句
【小结】根据充要条件求参数的值或取值范围的 关键：
(1)先合理转化条件,常通过有关性质、定理、图 象将恒成立问题和有解问题转化为最值问题等,得到 关于参数的方程或不等式(组),再通过解方程或不等 式(组)求出参数的值或取值范围．
(2)若綈 p 是綈 q 的必要不充分条件转化为等价命
题即逆否命题为：p 是 q 的充分不必要条件．
命题及其关系、充分条件及必要条件
10分
a 1
若方程有且仅有一负根，则 #43;2x+1=0有且仅有一负根的充要条件为
a≤0或a=1.
12分
探究提高 （1）条件已知证明结论成立是充分性. 结论已知推出条件成立是必要性； （2）证明分为两个环节，一是充分性;二是必要性. 证明时，不要认为它是推理过程的“双向书写”,而 应该进行由条件到结论，由结论到条件的两次证明； （3）证明时易出现必要性与充分性混淆的情形，这 就要分清哪是条件，哪是结论.
∴a-c<b-d,与题设矛盾，∴a>b.
综上可知，“a>b”是“a-c>b-d”的必要不充分
条件.
题型分类 深度剖析
题型一 命题的关系及命题真假的判断
【例1】分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否
命题，并判断它们的真假.
（1）面积相等的两个三角形是全等三角形.
（2）若q<1,则方程x2+2x+q=0有实根.
题型三 充要条件的证明
【例3】 （12分）求证方程ax2+2x+1=0有且只有一个
负数根的充要条件为a≤0或a=1.
思维启迪 （1）注意讨论a的不同取值情况；
（2）利用根的判别式求a的取值范围.
证明 充分性：
当a=0时，方程变为2x+1=0，其根为 x 1 , 2
方程只有一负根.
2分
当a=1时，方程为x2+2x+1=0，其根为x=-1,
知能迁移3 求证方程x2+ax+1=0的两实根的平方和大 于3的必要条件是|a|> 3, 这个条件是其充分条件 吗？为什么？ 证明 设x2+ax+1=0的两实根为x1,x2, 则平方和大于3的等价条件是
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命题及其关系、充分条件与
必要条件
[考纲展示] 1．理解命题的概念． 2.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命
题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系． 3．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.
四种命题及其关系
1．命题的概念
在数学中用语言、符号或式子表达的，可以 句叫做命题．其中 判断真假 的 陈 述
四种命题及其真假判断 【例1】 (2014年南京模拟)有下列几个命题： ①“若a>b，则a2>b2”的否命题； ②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题； ③“若x2<4，则－2<x<2”的逆否命题． 其中真命题的序号是________． [解析] ①原命题的否命题为“若a≤b则a2≤b2”错误． ②原命题的逆命题为：“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”正确．
A)
1 3．“x>1”是“x<1”的 A．充分不必要条件 C．充要条件 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
(A )
4．下面四个条件中，使 a＞b 成立的充分而不必要的条 3
件是(
A)
B．a＞b－1 D．a3＞b3
A．a＞b＋1 C．a2＞b2
充分、必要条件的三种判断方法 1．定义法：直接判断“若 p 则 q”、“若 q 则 p ”的真 假．并注意和图示相结合，例如“p⇒q”为真，则 p 是 q 的 充分条件． 2．等价法：利用 p⇒q 与┑q⇒┑p，q⇒p 与┑p⇒┑q， p⇔q 与┑q⇔┑p 的等价关系， 对于条件或结论是否定式的命 题，一般运用等价法． 3．集合法：若 A⊆B，则 A 是 B 的充分条件或 B 是 A 的 必要条件；若 A＝B，则 A 是 B 的充要条件．
反思总结
解决与充要条件有关的参数问题的方法：解决此类问 题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之 间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等
式求解．
[对点练习] (2015· 泰州模拟)若 p：x(x－3)<0 是 q：2x－3<m 的充 分不必要条件，则实数 m 的取值范围是________．
③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤－2，则x2≥4”正确．
[答案] ②③
[对点练习] (1)命题“若 x，y 都是偶数，则 x＋y 也是偶数”的逆 否命题是(
C)
A．若 x＋y 是偶数，则 x 与 y 不都是偶数 B．若 x＋y 是偶数，则 x 与 y 都不是偶数 C．若 x＋y 不是偶数，则 x 与 y 不都是偶数 D．若 x＋y 不是偶数，则 x 与 y 都不是偶数
充要条件的应用
【例3】 已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．
(1)是否存在实数 m，使P 是S的充要条件，若存在，求出m的范围； (2) 是否存在实数 m ，使 P 是 S 的必要条件，若存在，求出 m 的范 围．
[解析]
(1)由 x2－8x－20≤0 得－2≤x≤10，
2 2
其中真命题的序号是( A．①②③
C
) C．①③ D．②③
B．①②
3．有下列四个命题： ①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆否命题 ； ②“全等三角形的面积相等”的否命题； ③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题 ； ④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题． 其中的真命题为( C ) A．①② B．②③ C．①③ D．③④
【解析】
p：x(x－3)<0，即 0<x<3，q：2x－3<m，即
m＋3 m＋3 x< 2 ，由题意知 p⇒q，q p，由数轴知， 2 ≥3，解得 m≥3.
【答案】 [3，＋∞)
∴ P＝{x|－ 2≤x≤10}， ∵ x∈P 是 x∈S 的充要条件，∴P＝S.
1－m＝－2， m＝3， ∴ ∴ 1＋m＝10， m＝9，
这样的 m 不存在．
(2)由题意 x∈P 是 x∈S 的必要条件，则 S⊆P.
1－m≥－2， ∴ 1＋m≤10，
∴m≤3. 综上，可知 m≤3 时，x∈ P 是 x∈S 的必要条件．
“ a>b 且 c>d” 可得知 “ a ＋ c>b ＋ d”，因此 “ a ＋ c>b ＋ d”是 “ a>b 且 c>d”的必要不充分条件，选D.定两个命题 p，q.若┑p 是 q 的必要 而不充分条件，则 p 是┑q 的( A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
充分条件与必要条件
1．如果p⇒q，则p是q的 充分条件 ，q是p的 必要条件 ．
2．如果p⇒q，q⇒p，则p是q的
充要条件 ．
充分条件和必要条件的判定 【例2】 (2013年高考湖南卷)“1<x<2”是“x<2”成立的( A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 )
C．充分必要条件
[解析]
D．既不充分也不必要条件
“都是”的否定词是“不都是”，而不是“都 不是”，同理“全”的否定词是“不全”，而 不是“全不”.另外，原命题中的“或”，在否 命题中要改为“且”.
(2)(2013· 天津高考)已知下列三个命题： 1 ①若一个球的半径缩小到原来的2， 则其体积缩小到原来 1 的8； ②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等； 1 ③直线 x＋y＋1＝0 与圆 x ＋y ＝ 相切． 2
当1<x<2时，x<2成立；当 x<2时， 1<x<2不一定成立，所
以“1<x<2”是“x<2”成立的充分不必要条件．
[答案] A
变式训练 1．“a＋c>b＋d”是“a>b且c>d”的( A．充分不必要条件 C．充分必要条件 )
B．既不充分也不必要条件 D．必要不充分条件
解析： 由 “ a ＋ c>b ＋ d” 不能得知 “ a>b 且 c>d” ，反过来，由
___________[通关方略]____________________
1 ．区别“否命题”与命题的否定：否命题是既否定命题的条件， 又否定命题的结论，而命题的否定是只否定命题的结论，要注意区
别．
2 ．由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而当判 断一个命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假．
判断为真
的语句叫做真命题， 判断为假 的
语句叫做假命题．
2．四种命题间的相互关系
3．四种命题的真假关系
原命题
逆命题
否命题
逆否命题
真 真 假 假
由上表可知：
真 假 真 假
真 假 真 假
真 真 假 假
(1)两个命题互为逆否命题，它们有
相同
的真假性；
(2) 两 个 命 题 互 为 逆 命 题 或 互 为 否 命 题 ， 它 们 的 真 假 性 没有关系 ．