1-OR1_3_4_单纯形解法
Lingo基本用法总结
Lingo基本用法总结（除集函数部分）LINGO是用来求解线性和非线性优化问题的简易工具。
Lingo免费版可以支持30个未知数，lingo破解版可以支持几万个未知数、几万个约束条件。
当你在windows下开始运行LINGO系统时，会得到类似下面的一个窗口：外层是主框架窗口，包含了所有菜单命令和工具条，其它所有的窗口将被包含在主窗口之下。
在主窗口内的标题为LINGO Model – LINGO1的窗口是LINGO的默认模型窗口，建立的模型都都要在该窗口内编码实现。
下面举两个例子。
例1.1 如何在LINGO中求解如下的LP问题：在模型窗口中输入如下代码：min=2*x1+3*x2;x1+x2>=350;x1>=100;2*x1+x2<=600;然后点击工具条上的按钮即可。
得到如下结果：所以当x1为250，x2为100时目标函数得到最大值。
算术运算符Lingo 中变量不区分大小写，以字母开头不超过32个字符算术运算符是针对数值进行操作的。
LINGO 提供了5种二元运算符： ＾ 乘方 ﹡ 乘 ／ 除 ﹢ 加 ﹣ 减 LINGO 唯一的一元算术运算符是取反函数“﹣”。
这些运算符的优先级由高到底为：高 ﹣（取反） ＾ ﹡／ 低 ﹢﹣运算符的运算次序为从左到右按优先级高低来执行。
运算的次序可以用圆括号“（）”来改变。
例：在x1+x2>=350，x1>=100，2*x1+x2<=600的条件下求2*x1+3*x2的最小值 在代码窗口中编写 min =2*x1+3*x2; x1+x2>=350; x1>=100;2*x1+x2<=600;然后单击上面菜单lingo 菜单下solve 键即可。
数学函数标准数学函数：@abs(x) 返回x 的绝对值@sin(x) 返回x 的正弦值，x 采用弧度制 @cos(x) 返回x 的余弦值 @tan(x) 返回x 的正切值 @exp(x) 返回常数e 的x 次方 @log(x) 返回x 的自然对数@lgm(x) 返回x 的gamma 函数的自然对数 @sign(x) 如果x<0返回-1；否则，返回1@floor(x) 返回x 的整数部分。
单纯形解法
线性规划问题解法：（1）图解法： 优点---只管易掌握，有助于理解结构。
缺点---只能解决低维的问题，对高维无能为力。
（2）单纯形法：单纯形法把寻优的目标集中在所有基本可行解（即可行域顶点）中。
单纯形法的一般步骤如下：1、寻找一个初始的基本可行解。
2、检查现行的基本可行解是否最优，如果为最优，则停止迭代，已找到最优解，否则转一步。
3、移至目标函数值有所改善的另一个基本可行解，然后转会到步骤（2）。
步骤1： 约束方程 表示为： 用可行基Ｂ的逆阵Ｂ-1左乘等式两端，再通过移项可推得： 若令所有非基变量 ，则基变量 由此可得初始的基本可行解：其过程为：存在问题：1、要判断m 个系数列向量是否恰好构成一个基并不是一件容易的事。
基由系数矩阵Ａ中m 个线性无关的系数列向量构成。
但是要判断m 个系数列向量是否线性无关并非易事。
2、即使系数矩阵Ａ中找到了一个基B ，也不能保证该基恰好是可行基。
因为不能保证基变量ＸB =Ｂ-1b ≥0。
3、为了求得基本可行解，必须求基Ｂ的逆阵Ｂ-1。
但是求逆阵Ｂ-1也是一件麻烦的事。
结论：在线性规划标准化过程中设法得到一个m 阶单位矩阵I 作为初始可行基Ｂ为了设法得到一个m 阶单位矩阵I 作为初始可行基Ｂ，可在规划标准化过程中作如下处理：1、若在化标准形式前，m 个约束方程都是“≤”的形式，那么在化标准形时只需在一个约束不等式左端都加上一个松弛变量x n+i (i=12…m)。
2、若在化标准形式前，约束方程中有“≥”不等式，那么在化标准形时除了在方程式左端减去剩余变量使不等式变成等式以外，还必须在左端再加上一个非负新变量，称为人工变量．3、若在化标准形式前，约束方程中有等式方程，那么可以直接在等式左端添加人工变量。
【步骤一完成：寻找一个初始的基本可行解】 AX=bB B N N X AX=(BN)=BX +NX =bX ⎛⎫ ⎪⎝⎭-1-1B N X =B b-B NX N X =0-1B X =B b1B b X=0-⎛⎫ ⎪⎝⎭-1-1-1B N B N N B AX=b BX +NX =b X =B b-B NX X =0,X =B b→→→步骤2： 假如已求得一个基本可行解将这一基本可行解代入目标函数，可求得相应的目标函数值其中 分别表示基变量和非基变量所对应的价值系数子向量。
单纯形法的解题步骤
三、单纯形法的解题步骤第一步：作单纯形表•）（1）把原线性规划问题化为标准形式；）（2）找出初始可行基，通常取约束方程组系数矩阵中的单位矩阵；）（3）目标函数非基化；）（4）作初始单纯形表.第二步：最优解的判定.（1）若所有检验数都是非正数，即，则此时线性规划问题已取得最优解.（2）若存在某个检验数是正数，即：二小，而所对应的列向量无正分量，则线性规划问题无最优解.如果以上两条都不满足，则进行下一步.第三步：换基迭代.（1）找到最大正检验数，设为山，并确定，1|所在列的非基变量■■:为进基变量.（2）对最大正检验数所在列实施最小比值法，确定出主元，并把主元加上小括号主元是最大正检验数.：所在列，用常数项与进基变量、所对应的列向量中正分量的比值匸最小者；%（3）换基：用进基变量;替换出基变量从而得到新的基变量.也就是主元所在列的非基变量进基，所在行的基变量出基；（4）利用矩阵的行初等变换，将主元变为1，其所在列其他元素都变为零，从此得到新的单纯形表；（5）回到第二步，继续判定最优解是否存在，然后进行新一轮换基迭代，直到问题得到解决为止.例 3 求二匚：；二 1 .x<5x解（1）化标准型：令］二_「；，引进松弛变量.■. 2.,.-^ 2 ...'.. i .，其标准型为心王00二12巩5）（2）作单纯形表：在约束方程组系数矩阵中； .:；的系数构成单位矩阵，故取，；=仁：1为基变量，目标函数已非基化了，作初始单纯形表并“换基迭代”（见表6.8）表6.8x i X2 X3 X4 X5 常数x 3 1 0 1 0 0 5x 4 1 2 0 1 0 10x 5 0 (1) 0 0 1 4S' 1 3 0 0 0 0x 3 1 0 1 0 0 5X 4 (1) 0 0 1 -2 2X2 0 1 0 0 1 4S' 1 0 0 0 -3 -12x 3 0 0 1 -1 2 3x 1 1 0 0 1 -2 2x 2 0 1 0 0 1 4S' 0 0 0 -1 -1 -14(3) 最终结果：此时检验数均为非正数，线性规划问题取得最优解，最优解为标函数取得最优值J ］_ •性规划问题的最优解为：^ ^，］.函数的最优值为 14 '， 即.nunS = -x 1-^x 2+^x 3--x 415 2 5 35可一乃+心=2 一 3心十兀2+才4二4 勺 > 0(/ =1.234)解此数学模型已是标准型了，其中约束方程含有一个二阶单位矩阵( 列构成)，取】.二.为基变量，而目标函数没有非基化•从约束方程找出—二，「二」丨 “ ,代入目标函数〔82 1经整理后，目标函数非基化了作单纯形表，并进行换基迭代(见表6.9)表6.9目前最大检验数 f 其所目X 1 X 2 X 3 X 4 常数原线 X 31-112目标X 4-3 (1) 0 1 4S23题.X 3-2116X 2-3 1 0 1 4S110 -312例4用单纯形方法解线性规划问1、2 行，3、4最大检验数二-■■:，由最小比值法知: 换，基变量 爲出基，非基变量 .［进基•-为主元，对主元所在列施以行初等变在列没有正分量，所以该线性规划问题没有最优解例5用单纯形方法解线性规划问题求[—一二+.. + …,-2巧+ 2乜+為=4st<坯+也+必二6可刃（八1234）解此数学模型已是标准型了，其中约束方程含有一个二阶单位矩阵，取二y为基变量，而目标函数没有非基化•从约束方程找出—；］二,代入目标函数，经整理得IT . ' - . 1111,目标函数已非基化.作单纯形表，并进行换基迭代（见表6.10）.最大检验数J ,由最小比值法知：二为主元，对主元所在列施以行初等变换，基变量I出基，非基变量X2进基，先将主元二］化为1,然后再将主元所在列的其他元素化为零-. 八表6.10最优值为6，即二一一一 ._ ■ II ■-如果我们再迭代一次，将基变量〔出基，非基变量爲进基（见表6.11）表6.11可得到另一个基础可行解—:::f,原问题的最优解为：；. - .■ ■-，最优值仍为6,说明该线性规划问题有无穷多最优解，其最优解均为亠6. 一如何知道线性规划问题有无穷多最优解呢?这主要反映在单纯形表中.如果非基变量所对应的检验数为0,我们可对此列继续进行换基迭代，就可以得到另一个基础可行解.以此作下去，可得到许多基础可行解，即相对应的最优解有无穷多个.。
单纯形法求解过程
单纯形法求解过程单纯形法是一种常用于求解线性规划问题的算法，它通过不断地转移基变量来逐步接近最优解。
在本文中，我们将详细介绍单纯形法的求解过程，希望可以帮助读者更好地理解和运用这一算法。
首先，我们需要明确线性规划的基本概念。
线性规划问题通常包括一个目标函数和一组约束条件，目标函数是需要最大化或最小化的线性表达式，约束条件是一组线性不等式或等式。
我们的目标是找到使目标函数达到最优值的变量取值。
接下来，让我们来介绍单纯形法的具体步骤。
首先，我们需要将线性规划问题转化为标准形式，也就是将所有约束条件转化为等式。
然后，我们引入松弛变量，将等式约束转化为不等式约束。
这样，我们就得到了一个初始的可行解。
在开始迭代求解过程之前，我们需要对初始可行解进行检验。
通过计算各个变量的价值系数与目标函数系数的乘积之和，若所有乘积之和均为非负数，则初始可行解即为最优解，我们可以直接结束算法。
如果初始可行解不是最优解，那么我们就需要进行迭代求解。
首先，我们需要选择一个离最优解最近的变量，将其作为基变量。
这个选择需要满足一定的规则，通常是选择目标函数系数与价值系数乘积最小的变量。
确定了基变量后，我们需要通过高斯消元法来更新线性规划问题的限制条件和目标函数。
我们将基变量系数矩阵与目标函数系数矩阵进行运算，得到新的限制条件和目标函数。
然后，我们计算新的可行解，并重新检验可行解的最优性。
在迭代过程中，我们需要不断地选择新的基变量，并更新线性规划问题的限制条件和目标函数，直到达到最优解为止。
每次迭代都会逐步接近最优解，并且每次迭代都会提供一个更好的可行解。
需要注意的是，单纯形法存在一些特殊情况需要考虑，比如无界问题和无可行解问题。
在发现这些问题时，我们需要及时停止迭代，并给出相应的提示。
综上所述，单纯形法是一种常用的求解线性规划问题的有效算法。
通过反复迭代选择基变量，并更新线性规划问题的约束条件和目标函数，我们可以逐步接近最优解。
希望本文的介绍可以帮助读者更好地掌握单纯形法的求解过程，并在实际问题中灵活运用。
单纯形法的表格解法
n
bi aij xj. i 1, 2,L , m
j m1
把以上的表达式带入目标函数，就有
m
n
z c1x1 c2 x2 L cn xn ci xi c j x j
i 1
j m 1
其中：
n
n
z0
c j z j x j z0 j x j
j m 1
j m 1
0 0 1 1 0 0 0 1 0 那么显然所求得的基本解一定是基本可行解，这个单位矩阵或由单位矩阵各列向 量组成的基一定是可行基。实际上这个基本可行解中的各个变量或等于某个bj或等 于零。
.
§1 单纯形法的基本思路和原理
在本例题中我们就找到了一个基是单位矩阵。
1 0 0
B2 0 1 0
0 0 1
m
z0 cibi , j c j z j ;
a1 j
i1 m
z j ciaij c1a1 j c2a2 j L
i 1
cmamj
c1, c2 ,L
, cm
a2
j
M
amj
c1, c2 ,L , cm p j .
§2 单纯形法的表格形式
上面假设x1,x2,…xm是基变量，即第i行约束方程的基变量正好是xi，而 经过迭代后，基将发生变化，计算zj的式子也会发生变化。如果迭代后的 第i行约束方程中的基变量为xBi，与xBi相应的目标函数系数为cBi，系数列
1. 最优性检验的依据——检验数σj 一般来说目标函数中既包括基变量，又包括非基变量。现在我们要求
只用非基变量来表示目标函数，这只要在约束等式中通过移项等处理就可 以用非基变量来表示基变量，然后用非基变量的表示式代替目标函数中基 变量，这样目标函数中只含有非基变量了，或者说目标函数中基变量的系 数都为零了。此时目标函数中所有变量的系数即为各变量的检验数，把变 量xi的检验数记为σi。显然所有基变量的检验数必为零。在本例题中目标 函数为50x1+100x2。由于初始可行解中x1，x2为非基变量，所以此目标函 数已经用非基变量表示了，不需要再代换出基变量了。这样我们可知 σ1=50，σ2=100，σ3=0，σ4=0，σ5=0。
《单纯形法计算步骤》课件
单纯形法是一种常用的线性规划求解方法。
算法简介
单纯形法通过逐步迭代的方式逐步化问题的解。 它能够解决满足线性可行性和有解性条件的线性规划问题。
计算步骤
1
步骤一
对原问题进行初等变换化简，转化为标准
步骤二
形式。
构造初始可行基解系统。
3
步骤三
判断当前基解系统是否为最优解，若是则
当问题有多个最优解时，需 比较确定最终的最优解。
结论
强有力的求解方法
单纯形法是一种强有力的线性 规划求解方法。
相对简单易实现
它的计算步骤相对简单，容易 实现和应用。
计算复杂度
随问题规模增大，计算复杂度 也会增加，需考虑其他高效的 求解方法。
步骤四
4
输出。
找到目标函数最优化的进入变量。
5
步骤五
找到最优组合约束的离开变量。
步骤六
6
对基向量进行初等变换，更新基变量和非
基变量。
7
步骤七
重复步骤三到步骤六，直到找到最优解或 问题无解。
注意事项
1 维护线性可行性
2 选择变量
3 多个最优解
在每一步计算中，需要保持 线性可行性和有解性条件。
选择进入变量和离开变量时， 需要经过计算和判断。
单纯形算法
单纯形算法单纯形算法是一种求解代数方程组的算法。
单纯形法已成功地应用于解线性方程组，最著名的单纯形算法莫过于葛尔丹（ Graydon）法、郭葛罗夫（ Khorgov）法、亨廷顿法等等。
本文主要介绍以下几种常用的单纯形算法：所谓单纯形算法，其实质就是一个可行域选择的问题，而可行域的选择则需依照问题的需求以及约束条件，来作相关的选择。
因此，我们若想要知道某个方程组的解时，首先必须了解此方程组的系数与方程式，也就是必须确认问题是否有解。
此时，若我们只能知道这些系数与方程式的数值大小，但是并不知道其准确的数值，这就必须利用计算机来进行此部份的工作。
计算机对于方程组解的计算方式与其他的代数方程组很类似，可以分为四种单纯形法：算术单纯形法、比例单纯形法、人工神经网路法、与蒙地卡罗法。
而单纯形法又可以分为单纯形线性法、单纯形二次型法与单纯形三次型法等等。
已知两个系统中有一个元素的量测值为，另一个元素的量测值为且二者之间的差异为，试确定第三个元素的量测值。
在这里可以运用上述的各种单纯形法来求得问题的解。
下面举一个范例来说明单纯形算法的应用：由于未知参数取值的不同，而产生许多的系统无法完全恢复原状，在某些情况下，甚至会导致系统发生灾难性的结果。
若我们欲使系统重新恢复原状，这时候可以使用葛尔丹法来求出X、 Y的值；若只希望得到Y的值时，就可以使用亨廷顿法或是郭葛罗夫法来求出Y的值。
因此在前一个例子中，如果希望获得X与Y的值，就必须使用到单纯形线性法；如果是要想得到Y的值，则使用单纯形二次型法即可。
我们的目标就是找到使上述三个变量的差最小的x的取值。
这里x的取值可以被视为自变量，而其他的两个变量就称为因变量。
由于我们的目标是找出X与Y的值，而非要使X与Y的值都为0，因此我们需要以比例法来求得X与Y的值。
因为X的值是用于表示X与Y的差异，所以X可以视为自变量，而Y的值则是用来衡量X与Y的差距。
如此一来，因变量的取值为，我们可以先求出其平均值，再将所有的X的平均值以及所有的Y的平均值加总起来，即可得到X与Y的平均值，这即是所谓的X与Y的差异。
14单纯形法计算步骤
1/40 1/40
3/20
X*=(0.5,0,0.15,0,0)T， z=2×1/2+3×3/20=1.45
第13页
练 习
用单纯形法求解问题 1、
m inz x 2 2 x 3 x1 2 x 2 x 3 2 x2 3 x3 x4 1 s.t . x2 x3 x5 2 x j 0; j 1,2,...,5
第14页
练 习
2.
min z 8 3x1 5 x2 8 s.t. x1 2 x2 x3 4 x1 x4 16 4 x2 x5 12 x j 0( j 1, 2,3, 4,5)
第15页
练 习
3.
min z 8 3x1 5 x2 8 s.t. x1 2 x2 x3 4 x1 x4 16 4 x2 x5 12 x j 0( j 1, 2,3, 4,5)
CB XB
2 1
1 1
x3 x2
σj x1 x2 σj
1 0
1 1
[1] -1
0 1 0 0
0 1
0 0 1 0
1 0
0 1 1 0
-1 2
-1 -1 1 -1
第10页
关于单纯形法的补充说明
无最优解（无界解）的判定
若对基可行解X1，存在非基变量xk的检验数 σk>0，但aik≤0，i=1，2，…，m即xk的系数列 向量无正分量，则问题无最优解。
a1m+1 a2m+1 amm+1
m i 1
… …
…
a1k a2k amk
m i 1
单纯形法判断解的类型
单纯形法判断解的类型单纯形法是一种用于线性规划问题的优化算法，通过迭代的方式逐步靠近最优解。
在使用单纯形法判断解的类型时，主要有三种可能的结果：无界解、有穷解和无解。
当线性规划问题存在无界解时，意味着目标函数可以无限增加或无限减小。
在单纯形法中，通过计算目标函数系数与约束条件的比值来判断无界解。
如果所有的比值都小于等于0，则表明目标函数可以无限增加，即问题存在无界解。
有穷解是指线性规划问题存在有限的最优解。
在单纯形法中，通过引入人工变量来构造初始解，并通过迭代计算来不断改进解的质量。
如果经过有限次迭代后，目标函数值不再发生改变，则可以确定存在有穷解。
当线性规划问题不存在满足约束条件的解时，称之为无解。
在单纯形法中，通过检查约束条件中的人工变量是否仍然为基变量，来判断是否存在无解情况。
如果人工变量仍然为基变量，则表明约束条件无法满足，即问题无解。
除了以上三种情况外，单纯形法还可以确定最优解的具体数值。
在每一次迭代中，通过计算目标函数的增量以及选择合适的基变量来改变当前解，直到达到最优解。
在单纯形法中，目标函数值的减少是保证最优解的关键。
总结起来，单纯形法通过迭代的方式逐步靠近最优解，并可以判断解的类型为无界解、有穷解或无解。
通过计算目标函数的增量和选择合适的基变量来改变当前解，以求得最优解。
这种方法在实际应用中具有很高的效率和准确性，特别是在大规模线性规划问题中。
在实际应用中，单纯形法可以用于求解各种优化问题，如生产计划、资源分配、运输问题等。
通过对问题进行数学建模，并利用单纯形法求解最优解，可以有效地提高生产效率、降低成本，并实现资源的合理利用。
单纯形法是一种有效的线性规划问题求解方法，通过迭代的方式逐步靠近最优解，并可以判断解的类型为无界解、有穷解或无解。
在实际应用中，单纯形法可以帮助我们解决各种优化问题，提高效率和降低成本。
因此，掌握单纯形法的原理和应用，对于提升我们的问题解决能力和决策水平具有重要意义。
单纯形法原理以及步骤
,0)
4、单纯形法迭代原理
单纯形法是沿顶点寻找线性规划问题最优解的一种有效方法。该方法主要包括： 确定初始基可行解（即起始顶点）；从一个基可行解转移到另一个基可行解； 最优性检验三项内容。
1. 确定初始基可行解
对标准形式的线性规划问题
max z = ∑jn=1 cjxj
（1-6）
∑jn=1 Pjxj = b
0 0 … 0 amj 0 … 1 bm
bl alj
xj
min
bi aij
aij＞
0
x1
2 1 1 1 4 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
x2 x3 x4
3 1 2
min
3, 2
1 1
,
2 4
1 2
x5
0
1 2
1
0
54
0
1
1 4
0
0
1 2
2
1
1 4
X (1) (x10 a1 j , x20 a2 j ,, xm0 amj ,0,, ,,0)T
由于Pj≤ 0，对任意的 0
xi0 aij 0
无限增大时，目标函数值无限增加，所以，线性规划问题具有无界解。
返回
第四节 单纯形法计算步骤
1.求初始基可行解，列出单纯形表 2. 最优性检验 3. 基变换（从一个基转换到另一个基） 4. 重复步骤2和3，求出最优解
…
xl 变为非基变量
xk 变为基变量
4 . 重复第2、3步，直到求出最优解（或计算结束）。
例：用表格式单纯形法求解下列线性规划问题。
max z =20x1 + 8x2 + 6x3
三、单纯形法的解题步骤
,0121内年三、单纯形法的解题步骤第一步：作单纯形表.）（1）把原线性规划问题化为标准形式；）（2）找出初始可行基，通常取约束方程组系数矩阵中的单位矩阵；）（3）目标函数非基化；）（4）作初始单纯形表.第二步：最优解的判定.(1) 若所有检验数都是非正数，即，则此时线性规划问题已取得最优解.(2) 若存在某个检验数是正数，即，而所对应的列向量无正分量，则线性规划问题无最优解.如果以上两条都不满足，则进行下一步.第三步：换基迭代.，并确定所在列的非基变量为进基变量.（1）找到最大正检验数，设为（2）对最大正检验数所在列实施最小比值法，确定出主元，并把主元加上小括号.主元是最大正检验数所在列，用常数项与进基变量所对应的列向量中正分量的比值最小者；替换出基变量，从而得到新的基变量.也就是主元所在（3）换基：用进基变量（4）利用矩阵的行初等变换，将主元变为1，其所在列其他元素都变为零，从此得到新的单纯形表；（5）回到第二步，继续判定最优解是否存在，然后进行新一轮换基迭代，直到问题得到解决为止.例3 求.解（1）化标准型：令，引进松弛变量，其标准型为求（2）作单纯形表：在约束方程组系数矩阵中的系数构成单位矩阵，故取为基变量，目标函数已非基化了，作初始单纯形表并“换基迭代”（见表6.8）.表 6.8（3）最终结果：此时检验数均为非正数，线性规划问题取得最优解，最优解为目标函数取得最优值.原线性规划问题的最优解为：.目标函数的最优值为14，即.例4 用单纯形方法解线性规划问题.求.解此数学模型已是标准型了，其中约束方程含有一个二阶单位矩阵（1、2行，3、4列构成），取为基变量，而目标函数没有非基化.从约束方程找出，,代入目标函数,经整理后，目标函数非基化了.作单纯形表，并进行换基迭代（见表6.9）.最大检验数，由最小比值法知：为主元，对主元所在列施以行初等变换，基变量出基，非基变量进基.表 6.9目前最大检验数，其所在列没有正分量，所以该线性规划问题没有最优解.例5用单纯形方法解线性规划问题. 求解 此数学模型已是标准型了，其中约束方程含有一个二阶单位矩阵，取为基变量，而目标函数没有非基化.从约束方程找出，,代入目标函数，经整理得,目标函数已非基化.作单纯形表，并进行换基迭代(见表 6.10). ，由最小比值最大检验数 法知：为主元，对主元所在列施量出基，非基变量以行初等变换，基变化为1，然后x 2进基，先将主元 再将主元所在列的其他元素化为零.表 6.10x 1 x 2 x 3 x 4常数x 3 x 41 -1 1 0 -3 (1) 0 12 4 S2 3 0 0 0 x 3 x 2-2 0 1 1 -3 1 0 1 6 4 S11 0 0 -312至此，检验数均为非正数，故得基础可行解.原问题的最优解为：.最优值为6，即.如果我们再迭代一次，将基变量出基，非基变量进基（见表6.11）.表 6.11（4）0 1 1 0可得到另一个基础可行解,原问题的最优解为：，最优值仍为6，说明该线性规划问题有无穷多最优解，其最优解均为6.如何知道线性规划问题有无穷多最优解呢？这主要反映在单纯形表中.如果非基变量所对应的检验数为0，我们可对此列继续进行换基迭代，就可以得到另一个基础可行解.以此作下去，可得到许多基础可行解，即相对应的最优解有无穷多个.。
单纯行法的计算步骤
max c j c j 0 ck ，对应的 xk 为进基变量。 选择进基变量：
选择出基变量： min
bi bl ，对应的第 l 个基变量 aik 0 aik alk
为出基变量。
max z 2 x1 x2 5 x2 x3 15 6 x 2 x x 24 2 4 s.t. 1 x1 x2 x5 5 x15 0
max z 3 x1 4 x2 2 x1 x2 x3 40 x1 3 x2 x4 30 x , x , x , x 0 1 2 3 4
alk为主元素
2 1 1 0 A 1 3 0 1
1 0 B1 0 1 a12
4 x2
1
1 2 c2 c3 c4 a13 4 0 0 4 a 0 3 c3 c3 c4 0 0 0 0 a 3 14 22 0 0 0 4 c4 c3 c4 a 0 23 0
x1 x2 X x n
a11 a12 a a22 21 A am1 am 2
b1 b2 b b m
线性规划数学模型的标准型：
C c1, c2 , c3 ,, cn
max z 2 x1 x2 5 x2 x3 15 6 x 2 x x 24 2 4 s.t. 1 x1 x2 x5 5 x15 0
1 1 max z 8 x2 x4 3 3 5 x2 x3 15 1 1 x x x 4 1 3 2 6 4 s.t. 2 1 x2 x4 x5 1 6 3 x1 5 0
单纯形法的四象限结构
单纯形法的四象限结构单纯形法是一种用于线性规划问题求解的迭代算法，通过不断地在可行域内移动来逼近最优解。
它的核心思想就是不断优化线性规划目标函数的值，直至找到最优解。
单纯形法的四象限结构是一个用于展示算法步骤的图形化工具。
它划分为四个象限，每个象限代表一个不同的阶段或操作。
下面将详细介绍这四个象限及其作用。
第一象限：初始表初始表象限是单纯形法的起始点，它包含了原始线性规划问题的约束条件以及初始解。
初始表中的变量通常被称为基变量和非基变量。
基变量是规划问题的一部分，而非基变量是待定的。
初始表的目标是找出初始基本可行解。
第二象限：选择入基变量选择入基变量是为了将目标函数从当前值提高到一个更优的值。
在第二象限中，通过检查每一个非基变量来确定哪个变量将进入基变量集合。
选择时通常采用最大回报策略，即使目标函数值最大化。
第三象限：选择出基变量选择出基变量是为了确保选定的入基变量不违背约束条件。
在第三象限中，通过检查每一个基变量来确定哪个变量将离开基变量集合。
选择时通常采用最小比率策略，即最小化离开基变量的比率。
第四象限：更新表更新表象限是为了在新的基变量和非基变量集合下重新构建单纯形表。
在第四象限中，通过使用选择好的入基变量和出基变量来重新计算表中的元素。
更新表的目标是在保持约束条件的前提下，提高目标函数的值。
这四个象限被迭代使用，直到某个条件满足为止，如目标函数不能更优化或无可行解等。
每一次迭代都会通过选择入基变量、选择出基变量和更新表来不断优化目标函数的值，直至找到最优解。
总结：单纯形法的四象限结构是一个展示算法步骤的图形化工具，它包含了初始表、选择入基变量、选择出基变量和更新表这四个象限。
通过不断迭代使用这四个象限，单纯形法可以逐步优化线性规划问题的目标函数值，最终找到最优解。
这一结构的清晰描述和理解对于正确使用和理解单纯形法非常重要。
单纯形法求解思路及重要参数的推导
单纯形法求解线性规划的思路及重要参数的推导在求解线性规划问题的算法中，单纯形法是一种成熟、简便、有效的算法，在目前应用最为广泛。
因此，我们组通过查阅资料以及小组讨论的形式，分工合作，共同探讨出单纯形法求解线性规划的思路。
一般线性规划问题有时具有线性方程组的变量数大于方程个数的情况, 这时就使得方程有不定的解。
这时就可以使用单纯形法来求解，从线性方程组中找出一个个的单纯形, 每一个单纯形可以求得一组解, 然后再判断该解使目标函数值是增大还是变小, 决定下一步选择的单纯形。
在这其中每一个单纯形所对应的解其实都相当于n维空间图形中的一个顶点，我们就是要一个顶点，一个顶点的找到使目标函数值更好的顶点, 直到目标函数实现最大值或最小值为止。
这样问题就得到了最优解。
具体的求解步骤来说有6步：1：建立基本可行解。
2：计算变量的检验数。
3：判断是否最优。
4：若不是最优解，则换基。
5：计算新的基本可行解。
6：迭代计算直到求的最优解或者可判断无最优解为止。
接下来，我们通过具体的事例来详细介绍具体的求解步骤，并列出重要参数以及定理的推导过程。
某工厂在计划期内要安排生产Ⅰ、Ⅱ两种产品, 已知生产单位产品所需的设备台时及A、B 两种原材料的消耗, 如下表所示。
该工厂每生产一件产品Ⅰ可获利2 元, 每生产一件产品Ⅱ可获利3元, 问应如何安排计划使该工厂获利最多?解：根据题意建立其标准型：max z = 2x1 + 3x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5 (1)x1 +2x2 +x3 = 84x1 + x4 = 16 (2)4x2 +x5 = 12x j ≥0 , j = 1 , 2 , ⋯ , 5 一、建立基本可行解在标准型中x3 , x4 , x5为转化为标准型时加入的松弛变量，从(2)式中可以看到x3, x4 , x5的系数列向量1 0 0P3 = 0 , P4 = 1 , P5 = 00 0 1而这些列向量就可以看做一个初始可行基1 0 0B = ( P3 , P4 , P5 ) = 0 1 00 0 1B 的变量x 3 , x 4 , x 5 为基变量, 从(2)式中可以得到 x 3 = 8 -x 1 - 2x 2x 4= 16 - 4x 1 (3) x 5= 12 - 4x 2二、计算变量的检验数将(3)式代入目标函数(1)式得到z = 0 + 2x 1 + 3x 2 (4)当令非基变量x 1 = x 2 = 0 , 便得到z = 0。
三节单纯形方法
3 2 1 思考：是否都可
2 1 1 3
2 经过简单初等行 3 变换化成典式？
若将k=4引入基，需计算
mi1 n,2{}b1 1
32 a14 3
r1
x4为进基变量x1为离基变量
新 B ˆ 基 (A 4 ,A 2 ,A 3 )
x1 x2 x3 x4 x5
1 0 0 3 21
0 1 0 2 1 2
0 0 1 1 3 3
N
xB xN
b
B B x N N x b
精品课程《运筹学》
z c T x c T B x B c T N x N c T B ( b B 1 N N ) x c T N x N
n
c T B b ( c T B B 1 N c T N ) x N cT Bb (cT BAj cj)xj
精品课程《运筹学》
b1
bm
出基列 出基变量
基矩阵 基变量
精品课程《运筹学》
进基列 进基变量 b1
bm
新基矩阵
精品课程《运筹学》
b1
bm
新基矩阵
精品课程《运筹学》
b1
bm
minzz0 Tx
s.t.xBB1NxN b x0
定理1.3.4
(1.3.7) (1.3.8)
对于任何非退化的线性规划问题，从任何基本可
b xˆi1bi xa b rrrk aik ,ix m1, xm ,m 1,i r xk
xn RHS
1 0 0 a1m1 a1k a1n b1
0 1 0 arm1 ark arn br
0 0 1 amm1 amk amn bm
精品课程《运筹学》
min z z0 Tx
单纯形法的循环问题
单纯形法的循环问题和解决方法摘要：单纯形法是解决线性规划的最普遍的方法，但是在出现退化问题的时候很容易出现循环现象。
本文对循环问题进行了分析，并给出了解决循环问题的几种方法。
关键字：单纯形法 循环问题单纯形法的循环问题在单纯形法计算过程中，基变量有时存在两个以上相同的最小比值，在下一次的迭代中就有一个或几个基变量等于零，这称之为退化。
单纯形法迭代过程中选取出基变量，若多于一个可选者就会出现退化，当出现这样情况，选择出基变量不当的话，就可能导致迭代过程中基的反复，即迭代过程的循环，这样目标函数值永远达不到最优解。
这种问题就是单纯形法的循环问题。
出现循环问题的原因退化是循环的必要条件，当线形规划中出现退化的基本可行解时，如果进基，出基变量选取准则不合理就有可能出现循环现象。
例子：123412345123463731min ()204421156********2210(1,2,...,7)jf x x x x x x x x x x x x x x x x x x j =-+-+⎧--++=⎪⎪⎪--++=⎨⎪+=⎪⎪≥=⎩在上面的例子中，每次迭代出现多个候选的出基变量时，我们都是选取最上面行的基变量作为出基变量，最后还是出现了循环。
有学者证明：迭代出现循环的最小迭代次数是6次，因此上面的例子已经是出现循环的最简单的例子。
不难发现在出现循环现象时，每次迭代至少有两个基变量取零值，且其中至少有一个变量是候选的出基变量。
解决循环的方法退化是循环的必要条件，要避免循环要么是考虑如何在退化的情况下采取措施使循环不会发生，要么是从根本上消除退化现象。
1、摄动法就是从根本上消除退化现象，将原规划进行摄动处理，使之成为一个非退化的规划问题。
线形规划存不存在退化的基本可行解，重要是和右端常数b 有关。
摄动法用向量1()nj j j b b a εε==+∑ 来代替原规划P 中的b 得到一个新的规划P(ε) ;其中j a 是系数矩阵的列向量，ε是一个非常小的正数可以证明：当ε是个很小的正数时，P(ε)是不会退化的；当ε→0时，P(ε)的最优解就是原问题P 的最优解。
第5章-1单纯形法-10-09.ppt
0 0 1
0 0 1
A中基之外的其它列称为B的非基向量。
又如:B’
1 1 2 1
1 0
是基
1 B 2
1 1
1 0
的三个基向量.
0 1 0
0 1 0
而A中其它两列,
0 1
0 ,0
0 1
则称为B’的非基向量.
•原模型为:
max z 50x1100x2 0s1 0s2 0s3
s.t.
2x1+1 x2+0s1+1s2+0s3 =400
0x1+1x2+0s1+0s2+1s3 =250
x1 ≥0, x2≥0, s1≥0， s2≥0， s3≥0
•基及基本解:
max z 50x1100x2 0s1 0s2 0s3
x1
x2
max z 50
100
0
0
0•
s1
s2
•基及基本解:
s.t. 1 0 0 300 1 1
0s1 1s2 0s3 400 2x1 1x2 0 0 1 250 0 1
1 0 0 300 1x1 x2 0s1 1s2 0s3 400 2x1 x2 0 0 1 250 x2
•基及基本解:
的解称为可行解.即可行域内所有点.
max z=50x1+100x2
最优解
x1+ x2≤300
2x1+x2≤400
200
s.t.
x2≤250
可行域内的 所有点称为: 可行解.
x1 ≥0, x2≥0
200
300
x1
一、线性规划问题解的基本概念
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max z = 2x1 + 3x2 + 0 x3 + 0 x4 + 0 x5
初始单纯形表 对应的方程组
最终单纯形表 对应的方程组
最优解 最优解时目标函数值 Z= 无法使Z再增加了！ 无法使Z再增加了！
2 x1 + 2 x2 + 1 x3 + 0 x4 + 0 x5 = 12 4 x1 + 0 x2 + 0 x3 + 1 x4 + 0 x5 = 16 0 x1 + 5 x2+ 0 x3 + 0 x4 + 1 x5 = 15 2 3 0 0 0 | 0 1 x1 0 0.5 x3 + 0 -.2 x5 = 6 0 0 - 2 x3 + 1 x4 + 0 x5 = 4 0 + 1 x2 + 0 x3 + 0 +0 x5 = 3 0 0 -1 0 -1/5 | -15 停 X = [3, 3, 0, 4, 0]T
Z = 15 15 - x3
已获最优解 停，已获最优解
- .2x5 初始单纯形表的数学背景
只观察方程组的关键信息
3. 第一次迭代
Z = 2x1 + 3x2 + 0 x3 + 0 x4 + 0 x5 选非基变量 x2 为换入变量. 为什么?
非负约束
⑴ 确定换入变量 ⑵ 确定换出变量 x1 x2 x3 x4 x5 2 2 1 0 0 4 0 0 1 0 0 5 0 0 1 2 3 0 0 0 x1 x2 2 0 4 0 0 1 2 0 x3 x4 x2 x3 x4 x5 1 0 -.4 0 1 0 0 0 .2 0 0 -.6 = 6 - 2 x1 = 16 - 4 x1 = 3
第一章 线性规划的基本理论及其应用
第三节 线性规划问题单纯形原理解法 一 、LP问题的解的基本概念 二、单纯形解法 三、解的最优性检验讨论 四、表解形式的单纯形法 五、单纯形解法中的一些问题及其处理方法 ( 凸集及其顶点 )
可行解,最优解, 可行解,最优解,基,基解,基可行解 基解,
LP的单纯形原理解法 第三节 LP的单纯形原理解法
二次迭代单 纯形表对应 的方程组
初始单纯形表的数学背景
x1 x4 x2
= 3 - x3 /2 = 4 + 2 x3 = 3
- x5/5 -4 x5 /5 - x5 / 5
Z = 2 (3 - x3 /2 - x5 /5 )+ 3(3 - x5 /5 ) = 15 - x3 - x5 / 5 无法使Z再增加了！ 无法使Z再增加了！
b 12 16 15 0
Θ规则 保证变量非负 规则 变量非负 12 = 6 2 为什么? 16 =/
15
b 6 16 3 -9 + .4 x5 还可使 Z 增加,继续迭代 . 增加, - .2 x5
x5 换出 Z = 2x1 + 3x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5 = 2(x1) + 3 (3 - .2 x5) + + 0x3 + 0x4 + 0x5 = 9 + 2x1 + 0x3 + 0x4 - .6x5 = 9
Z = 2x1 + 3x2 + 0 x3 + 0 x4 + 0 x5 减少, 减少 x3 , x4 , x5 时不会使 Z 减少 增大非基变量 x1 或 x2 都可使 Z 增加 增加.
只有当目标函数中全部系数为负值或 只有 目标函数中全部系数为负值或零 目标函数 才是最优解 最优解. 最优解 3. 第一次迭代 非基变量 换入变量 ⑴ 从非基变量 非基变量中确定换入 换入 ⑵ 从 换出变量 基变量中确定换出 变量 换出
停，已获最优解 已获最优解
' i j=m+1
Z = ∑ci ⋅ b +
约 束 条 件
目标函数达到最大值 可行解 最大值的可行解 目标函数 最大值 2最优解 使目标函数 最优解
二、 单纯形解法
1. 确定初始基可行解 max z = 2x1 + 3x2 + 0 x3 + 0 x4 + 0 x5 2 x + 2 x + x = 12 1 2 3 + x4 = 16 4x s.t . 1 5 x2 + x5 = 15 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ≥ 0 初始可行基 增广矩阵 B＝（P3 P4 P5） x1 x2 x3 x4 x5 b 1 0 0 2 2 1 0 0 12 B1 = 0 1 0 4 0 0 1 0 16 0 0 1 0 5 0 0 1 15
三解的最优性检验讨论 X = [0, 0, 12, 16, 15]T X = [0, 3, 6, 16,0]T X = [3, 3, 0, 4, 0]T 无法使Z再增加了！ 无法使Z再增加了！ 一般表达式: 一般表达式 检验数: 检验数 Z = 2x1 + 3x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5 = 0 + 2x1 + 3x2 Z= 9 + 2x1 + 0x3 +0x4– 0.6x5 Z= 15 - x3 - .2x5
二次迭代单 纯形表对应 的方程组
1 x1 + 0 x2 0 x1 + 0 x2 0 x1 + 1 x2 0 0
+ x3 / 2+ 0 x4 - x5/5 = 3 - 2 x3 + 1 x4 + 4 x5 /5 = 4 + 0 x3 + 0 x4 + x5/5 = 3 -1 0 -1/5 | -15 已获最优解 停，已获最优解
可行基解： 可行基解： X = [0, 3, 6, 16, 0]T , Z=9
x1 进入基才能 提高 目标函数值
初始单纯形表的数学背景
一次迭代 单纯形表 对应的方 程组
2 x1 + 0 x2 + 1 x3 + 0 x4 - 2 x5/5 = 6 4 x1 + 0 x2 + 0 x3 + 1 x4 + 0 x5 = 16 0 x1 + 1 x2 + 0 x3 + 0 x4 + x5/5 = 3 2 0 0 0 -3/5 |43; 0 x2 0 x1 + 1 x2 0 0 + x3 / 2+ 0 x4 - x5/5 = 3 - 2 x3 + 1 x4 + 4 x5 /5 = 4 + 0 x3 + 0 x4 + x5/5 = 3 -1 0 -1/5 | -15
maxx3 = 2x1= 3x2 + 2 x3 + 02xx5 /05 5 z + 6 - 0 1 + 4+ x
一次迭代单 纯形表对应 的方程组
2 x1 + 0 x2 + 1 x3 + 0 x4 - 2 x5/5 = 6 4 x1 + 0 x2 + 0 x3 + 1 x4 + 0 x5 = 16 0 x1 + 1 x2 + 0 x3 + 0 x4 + x5/5 = 3 2 0 0 0 -3/5 | -9
初始单纯形表 对应的方程组
2 x1 x 2 x2 +-1 x3 + 0 x4 + 0 x5 = 12 + = 16 4 x 4 1 4 x1 + 0 x2 + 0 x3 + 1 x4 + 0 x5 = 16 x2 = 3 - x5/5 0 x1 + 5 x2+ 0 x3 + 0 x4 + 1 x5 = 15 Z = 2x1 + 3(3 - x5/5 ) = 9 + 2 x1 - 3 x5 / |5 )0 2 3 0 0 0
引入概念的原由
源之方程组求解
max z = 2x1 + 3x2 + 0 x3 + 0 x4 + 0 x5 2 x + 2 x + x = 12 1 2 3 + x4 = 16 4x s.t . 1 5 x2 + x5 = 15 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ≥ 0 不理目标函数， 不理如何改进定解？ 如何结合目标函数和非负约束改进定解？ 非负约束， 五个变量三个方程, 不理目标函数，不理非负约束， ？ 如何结合目标函数和非负约束改进定解？ 目标函数 目标函数 如何改进定解 五个变量三个方程, 非负约束 改进定解 补充二个方程 x1 ) 0, B -1 ＝(P3,P 二个方程: 补充二个方程: 4,P5= -1 x2 = 0 基 x3 = 12 – 2 x1 – 2 x2 1 0 0 x4 = 16 – 4 x1 B1 = 0 1 0 0 0 1 x5 = 15 – 5 x1 对应 B ＝（P3,P4,P5） 基可行解： 基可行解： X = [0, 0, 12, 16, 15]T , Z=0
引入概念的原由
源之方程组求解
max z = 2x1 + 3x2 + 0 x3 + 0 x4 + 0 x5 2 x + 2 x + x = 12 1 2 3 + x4 = 16 4x s.t . 1 5 x2 + x5 = 15 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ≥ 0 不理目标函数， 不理非负约束 非负约束， 五个变量三个方程, 不理目标函数，不理非负约束， 五个变量三个方程, 目标函数 非 补充二个方程 二个方程: 补充二个方程: x1 = 0, x2 = 0 基 基 = 12 – 2 x1 – 2 x2 基 x3 1 0 0 变 x4 = 16 – 4 x1 变 B1 = 0 1 0 量 0 0 1 x5 = 15 – 5 x1 量 对应 B ＝（P3,P4,P5） 基可行解： 基可行解： X = [0, 0, 12, 16, 15]T , Z=0